Deuxième séance de regroupement PHR004

Rappels de cours (Leçons 3 à 5)

Commentaires sur les exercices

Questions / Réponses

Dynamique du point matériel

Rappels

On nomme "Référentiel" un système d'axes, pouvant

constituer un repère des coordonnées, lié à un

observateur muni d'une horloge fournissant la date t.

Il existe des référentiels privilégiés: référentiels

d’inertie, dans lesquels le mouvement d’une particule

libre est rectiligne et uniforme

Le référentiel galiléen est identique au référentiel

d’inertie, il vérifie donc la loi d’inertie : si une

particule est libre, son vecteur vitesse est constant

Loi fondamentale de la dynamiqueDéfinitions :

Une particule libre est gouvernée par la loi :

Lorsque la particule n’est plus libre de toutes contraintes extérieures (non-isolée) :La loi fondamentale de la dynamique consiste àdéfinir la force comme étant l'action de l’extérieur àchaque instant sur la particule :

P m v vecteur quantité de mouvementL r P r mv vecteur moment cinétique

= =

= ∧ = ∧ =

dPP m v Cte 0dt

= = ⇒ =

dPP Cte 0dt

≠ ⇒ ≠

def d PF m adt

= =

Principe de relativité de GALILÉER un référentiel galiléen, R’ : un référentiel qui se déplace dans le référentiel R à la vitesse constante , sans rotation propre, M un point défini par :

V

OM r dans R

O'M r ' dans R '

=

=

t i i' ; j j' ; k k'∀ → = = =v 'v V cte

a a '0

d r d OO' d r't, r OO' r'd t d t d t

d v d V d v' F F'd t d t d t

référentiels R et R’ sont équivalentspour la description de la mécani

Lesque

=

∀ = + ⇒ = +

⇒ = + ⇒ =

⇒

Si le référentiel R est galiléen,il en est de même du référentiel R’qui se déplace à vitesse constanteet sans rotation propre dans R .

Forces, travail, puissance et énergie

Les lois de NewtonCe sont des lois qui permettent de lier étroitement les deux notions de force et de mouvement.

Loi d'Inertie : si un corps mobile n'est soumis àaucune force, il continue éternellement à se déplacer dans la même direction et à la même vitesse

Loi du mouvement (Formule [1.3] corrigée dans le cours)

Loi d'égalité ou d’actions réciproques

000 =⇒=⇒=⇒==⇒= adtvdm

dtpdctevmpctev

extd pF madt

= =∑

A sur B B sur AF = F−

Travail d'une Force

Fθ

drM

M

M

1

2

θ==⋅=→→

cosdr.F)rd,Fcos(dr.FrdFdW

∫∫ ⋅==→

21

MM rdFdWW

F

F F

dr

dr

dr

dW < 0

θ > π/2

θ = π/2

θ < π/2

dW = 0

dW > 0dW = F.dr cos θ

Travail résistant Travail moteur

Travail d'une Force : W

Énergie de mouvement Énergie cinétique : Ec

Énergie potentielle (qui peut créer le mouvement) : Ep

Énergie mécanique totale d'un système : E = T + V = Ec +Ep

→F rdTravail élémentaire d'une force lors d'un déplacement (élémentaire)

Le travail W est égal à la circulation de la Force le long du parcours M1M2

x y z z

x y x

dr dx i dy j dz kdW F dx F dy F dz

F F i F j F k→

⎫= + + ⎪ ⇒ = + +⎬= + + ⎪⎭

r

r z

r r z

dr dr u r d u dz kdW F dr F r d F dz

F F u F u F k

θ

→ θ

θ θ

⎫= + θ + ⎪ ⇒ = + θ+⎬= + + ⎪⎭

Le travail est une grandeur scalaire, sa valeur peut être considérée comme la somme des travaux effectués lors d'un déplacement quelconque décomposé en des trajets parallèles aux axes x, y, z respectivement.

Travail élémentaire en coordonnées cylindriques:

zyx dWdWdWdW ++=

Travail élémentaire en coordonnées cartésiennes

Puissance instantanée – Energie cinétique

dW drdW F dr P F F vdt dt

→→ →

= ⋅ ⇒ = = ⋅ = ⋅

Dans un référentiel d’inertie, on considère un point matériel de masse m animé

d’une vitesse v. Son énergie cinétique est et sa dérivée par rapport au

temps est :

221 vmEc =

Si la puissance est positive, la force est motrice, si la puissance est négative, la force est résistante. Si plusieurs forces sont appliquées à m, on a :

C'est le travail fourni par unité de temps:dWPdt

=

cdE dvmv v m v F Puissance de la Forcedt dt

= = ⋅ γ = ⋅ =

ci i i

i i

dE F v Pdt

= ⋅ =∑ ∑

Théorème de l’énergie cinétique :La variation d’énergie cinétique d’un point matériel se déplaçant entre les points A et B s’écrit :

La variation d’énergie cinétique d’un point matériel se déplaçant entre les points A et B est égale à la somme des travaux des forces appliquées effectués lors de ce déplacement.

B

A

B B

A A

t

c c c i iit

t t

i i i i ABi i it t

E E (B) E (A) F v dt

F dr F dr W

Δ = − = ⋅

= ⋅ = ⋅ =

∑∫

∑ ∑ ∑∫ ∫

c c c ABi

E E (B) E (A) WΔ = − = ∑

Forces conservatives – Forces dissipatives

Une force est dite conservative si pour tous les points A et B le travail pour aller de A en B ne dépend pas du chemin suivi entre A et B

Toutes les forces transformant l’énergie mécanique en une autre forme (chaleur, rayonnement...) sont dissipatives

Exemples de forces dissipatives :

Force de frottements solides

Force de frottements liquides

Si la force est conservative on peut définir une fonction de l’espace Ep(x,y,z) qui ne dépend que du point M(x,y,z) de l’espace considéré

On dit que l'énergie potentielle est définie à une constante additive près.

Si le point de départ ou référence est toujours le même (surface de la Terre par exemple en mécanique, ou l'infini pour les forces électrostatiques) alors :

L'énergie potentielle du point B est égale à une constante moins le travail pour aller du point de référence au point B.

Energie potentielle

La fonction Ep(r) = Ep (x,y,z) est l’énergie potentielle au point M(x,y,z)

La relation suivante n’est vraie que si la force F(r) est conservative : B

p p pA

E E (B) E (A) F dr→ →

Δ = − = − ⋅∫

B

p pO

E (B) E (O) F dr→ →

= − ⋅∫

Relation entre énergie potentielle et force

( ) ( ) p pp p p

p

E dEE B E A E F d r F F

r d r

F grad E

→ → → →

→ →

→

Δ− = Δ = − ⋅ ⇒ = − → = −

Δ

→ = −

Récapitulatif

Deux types d’énergie :

Energie cinétique Ec : liée au mouvement

Energie potentielle Ep : liée à la position

Energie mécanique E = Ec + Ep

L'énergie mécanique se conserve (est constante) si les

forces sont conservatives ΔE = ΔEc +Δ Ep = 0

Les oscillateurs

Différents types d’oscillateurs

Oscillateur libre non amorti

Oscillateur forcé sur un système non amorti

Oscillateur libre sur un système amorti par frottements visqueux

Cas des faibles frottements : le régime pseudo périodique

Cas des forts frottements : le régime apériodique

Cas limite : l’amortissement critique

Oscillateur forcé sur un système amorti par frottements visqueux (Exercice n°4 –L02 : AFM)

Xx0

x

0

P

T

Oscillateur mécanique libre non amortiHorizontal Vertical

Attention à la CE :

PFD : Attention force de rappel :T = - K * (allongement total)

x

P

xkF −=R

x

P

xkF −=R

amFRP =++2

x 2dv d x K x = m a = m = m dt dt

−

2 2202 2

d x K d x + x = 0 + x = 0mdt dt

⇒ ω

( ) o

0

:x t A cos ( t ) :

2

A amplitudeavec Phase

Kpulsation fm

⎧⎪⎪⎪= ω + ϕ ϕ⎨⎪⎪ω = π =⎪⎩

0P + T = 0 K x m g 0⇒ − + =

2

2P + T = mad xmg K x md t

⇒ − Δ =

( )2

0 2

20 2

0

d xm g K x x md t

d xm g K x K x md t

− + =

⇒ − − =

Oscillateur mécanique libre non amorti

Oscillateur horizontal ou vertical, on aboutit toujours à la même

équation différentielle

Ne négliger jamais un paramètre si on ne vous le demande pas

explicitement

N’oublier pas la condition d’équilibre à chaque fois que vous avez

affaire à un ressort vertical

L’allongement Δx est toujours compté par rapport à la longueur à

vide du ressort l0

Dans toutes les équations différentielles relatives aux oscillateurs, il

faut toujours s’arranger pour avoir le facteur 1 qui précède la

dérivée seconde , le facteur qui précède x est xii 20ω

Oscillateur mécanique forcé non amortiExcitations sinusoïdales

Projection sur l'axe des x

Intuitivement la masse va osciller à la même pulsation que la force appliquée :

ressortmasse

Diapasonen vibrationsentretenues

F

R

T

P(ox)

ressortmasse

Diapasonen vibrationsentretenues

F

R

T

P(ox)

T + F + P + R = m a

−2

o 2d x Kx + F sin t = m dt

ω

22 o02

Fd x + x = sin tmdt

ω ω

( )x t = A sin ( t + )ω ϕ

−2 2 ooFA ( ) sin ( t + ) = sin t m

ω ω ω ϕ ω

− −2 2 2 2 oo oFA ( ) (cos ) sin t + A( )(sin ) cos t = sin t m

ω ω ϕ ω ω ω ϕ ω ω

A cos x + B sin x = C cos x + D sinxA = C et B = D

0

2 2o

o2 22 2 o oo

A( ) sin = 0 = 0FA = F m ( )A( ) cos =

m

≠

⎧ − ⎧⎪⎪ ⎪⇒⎨ ⎨⎪ ⎪ −− ⎩⎪⎩

ω ω ϕ ϕ

ω ωω ω ϕω

amplitude

pulsation ωο o

o2o

Fm ω

( )o

2 2o

F

m ω - ω

Résonance

Oscillateur mécanique libre amorti+ Force de frottement

Projection sur l'axe des x

Equation caractéristique :

Discriminent :

F + f P + R = m a+

x

P

xkF −=R

x

P

xkF −=R

f x→

= − αi

− − =K x x m xα

20

2

0 0m x K x x x K xm

xm

+ + = ⇒ + + =

λω

αα

2 202 0+ + =r rλ ω

2 204 4Δ = −λ ω

( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 00

4 4 4 4 2i i>

Δ = − = − − = − = −λ ω ω λ ω λ ω λ

Oscillateur mécanique libre faiblement amortiDiscriminent négatif

Solutions complexes de l’équation caractéristique:

Solution générale de l’équation différentielle :

2 21 0

2 22 0

r i i

r i i

⎧ = − − − = − − Ω⎪⎨

= − + − = − + Ω⎪⎩

λ ω λ λ

λ ω λ λ

-( ) [ cos sin ] = Ω + Ωtx t e A t B tλ

( )- tMx(t) = X e cos t +Ωλ ϕ

x(t) ≠ x(t + T) : l’amplitude des oscillations diminue avec le temps Mouvement pseudo périodique

22 20 0 02

0

1Ω = − = − Ω −

− −

π π π ωω λ λ λ

ω ω

Pseudo période

Oscillateur mécanique libre fortement amortiDiscriminent positif

Solutions réelles de l’équation caractéristique:

Solution générale de l’équation différentielle :

Régime Apériodique Pas d’oscillationsLe temps de relaxation le plus grand imposera la décroissance de l’exponentielle.

( ) ( )2 22 2 2 20 04 4 2 2Δ = − = − =λ ω λ ω β

( )( )

1 2 20

2

020

ravec et

mr

= − +

Régime critique

Discriminent nul

Solution générale de l’équation différentielle :

2 20 0

24 4 02

Δ = − = ⇒ = − = − = −r λλ ω λ ω

( ) ( ) 0−= + tx t At B e ω

Temps de relaxation pour le régime critique :

0

1=cτ ω

.

0

1=cτ ω

Le temps de relaxation pour le régime apériodique est toujours plus important que celui du régime critique. Si on désire un retour rapide à l’équilibre(pour les amortisseurs d’une voiture par exemple)

on a un intérêt de se rapprocher le plus possible du régime critique.

Oscillateur mécanique forcé et amorti (1/2)Excitation sinusoïdale + Force de frottement

Ressort horizontal. Projection sur l'axe des x :

On peut poser : x(t) = xm cos(ωt + ϕ) et résoudre l’équation :

Plus simple : passage au nombre complexe

T + f + F P + R = m a+

0 cosK x x F t m x− −α + ω =iii

200 0cos 2 cos

FKx x x t x x x A tm m mα

+ + = ω ⇒ + λ + ω = ωii i ii i

( ) ( ) ( )2 20 0cos 2 sin cos cosm m mx t x t x t A t− ω ω + ϕ − λ ω ω + ϕ + ω ω + ϕ = ω

( )

( ) ( )

( ) ( )

0

00

0

2 20

0 0( )( )

i i t i t

x

i t

i t

i t i t

x t x e e x e

x t x i e i x t

x t x e x tF tF t F e A e

m

ϕ ω ω

ω

ω

ω ω

⎧ = =⎪⎪⎪⎪ = ω = ω⎨⎪

= − ω = − ω⎪⎪⎪ = ⇒ =⎩

i

iiDéterminer x(t) = Déterminer les valeurs de :x0 et ϕ

F f

Oscillateur mécanique forcé et amorti (2/2)Equation du mouvement :

Rappel mathématique :

Dans notre cas :

( )

( )( )

2 2 20 0 0 0 0

00 0 0 2 2

0

2 2

2

i t i t i t

i i

x x x A e i x e A e

Ax x e x ei

ω ω ω

ϕ ϕ

+ λ + ω = ⇒ −ω + ωλ +ω =

⇒ = = =ω − ω + ωλ

ii i

2 2

111 2

2 2

arg arg arg

z a i b z a b

zzz z et z z zz z

⎧ = + ⇒ = +⎪⎪⎨

= ⇒ = = −⎪⎪⎩

( )( )0

0 0 12 22 2 2 2

0 4

Ax x= =

− +ω ω ω λ

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

2 200 0 02 2

0 0

2 20

2 2 2 20 0

arg arg arg arg 22

arg 2

2 2

AZ A ii

i

tg arctg

⎛ ⎞⎜ ⎟= = = − − +⎜ ⎟− +⎝ ⎠

⇒ =− − +

⎛ ⎞−⎜ ⎟⇒ = − ⇒ =⎜ ⎟− −⎝ ⎠

ϕ ω ω ωλω ω ωλ

ϕ ω ω ω λ

λω λωϕ ϕω ω ω ω