Devoir 1 2004-2005 Correction

7/26/2019 Devoir 1 2004-2005 Correction

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Electronique B1 - Traitement Analogique du Signal CNAM de Saclay

Corrig du Devoir n1 du 5 fvrier 2005

Ce corrig se compose de deux parties. La premire comporte uniquement les reprsentations graphiques, et la secondepartie, en fin de document, comporte l'ensemble des dveloppements.

1. Sries et transformes de Fourier

1-1- Srie de Fourier

Dcomposition en srie de Fourier des 6 signaux priodiques ci-dessous, et le trac du module du spectre d'amplitude.

Redressement doubles alternances Redressement simple alternance

2

-1

-0,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2

y(t)=A cos(2ft) y(t)=abs(A cos(2ft)) y(t)=A cos(2ft) si cos(2ft) 0y(t)=0 si cos(2ft) < 0

exemples tracs pour A = 1 et f = 1

-1

-0,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2

6,37

0,85

0,20

3,18

2,12

10

0,09 0,05 0,03

5

0,10 0,060,180,42

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n harmonique(frquence)

10

sinus

sinus double alternance

sinus simple alternance

Spectre de l'amplitude|Cn| exemples tracs pour A = 10

Sylvain LARRIBE Page 1/6 Devoir_1_2004-2005_correction .doc (.PDF)


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Triangle Triangle redress doubles alternances Triangle redress simple alternance

-1

-0,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2

-1

-0,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2

-1

-0,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2

8,11

0,90

0,450,23

0,32 0,100,170,45 0,16

4,05

5

0,16 0,080,05

2,5

4,05

2,03

0,080

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n harmonique(frquence)

10

triangle

triangle double alternance

triangle simple alternance

|Cn|Spectre de l'amplitude

exemples tracs pour A = 10

Dcomposition en srie de Fourier dans le cas gnral d'un signal rectangulaire priodique y(t)ci-dessous,

y(t)

t

A

0 d T 2T-T T+d Figure 1: signal rectangulaire

et les reprsentations graphiques des spectres du module de l'amplitude et de la phase pour les 3 rapports cycliques (d/T)

diffrents (1/8, et ) reprsents ci-dessous.



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Rectangle : rapport cyclique = 1/8 Rectangle : rapport cyclique = 1/4 Rectangle : rapport cyclique = 1/2

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Spectre de l'amplitude d'un signal rectangle periodique6,37

0,91

3,18

1,25

1,96

1,59

0,71

5

2,12

1,27

0,58

0,49 0,420,5

0,30

2,5

4,5

1,5

0,90

1,06

0,64 0,64

0,41 0,35

0,45

1,18

2,442,25

0,75

0,35 0,270,45

0,53 0,53 0,45

0,320,160

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1n harmonique (frquence)

6

1/2

1/4

1/8

|Cn|

Le module du spectre de l'amplitude

de chaque harmonique est support

par le module d'un sinus cardinal.

( )f

fsin2AY T

d

(f) =

dans cet exemple, A=10

Spectre de la phase d'un signal rectangle periodique67,5

22,5

-22,5

-45

-67,5

45

22,5

-22,5

-45

-67,5

-45

-90

45

-90

-45

-90

45

67,5

45

-90

-45

45

-45

45

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

n harmonique (frquence)

1/8

1/4

1/2

n

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1-2- Transforme de Fourier

1-2-1. Dmonstration :

1-2-2. Filtre idal :

1-2-3. Fonction gaussienne :

1-2-4. Sinusode tronque :

On considre comme signal x(t), une sinusode tronque de priode T, et de dure totale de fonctionnement Ta. Pour

simplifier les calculs, Taest un multiple entier de priodes Ta Tk= avec k*. La reprsentation temporelle est donne

par la figure ci-dessous.

Ta

/2-Ta/2

-1

-0,5

0

0,5

1

-5 -3 -1 1 3 5

Figure 2 : exemple de sinusode tronque (A = 1, F = et k=2)

On note A l'amplitude etT

F1

= la frquence du signal sinusodal.

La transforme de Fourier de x(t)est X(f), ici note Y(f):

Le module est donn par , et la phase est donne par le signe de Y(f).

-0,3

0

0,3

0,6

0,9

-3 -2 -1 0 1 2 3

X(f)

Figure 3 : exemple du spectre d'amplitude d'une sinusode tronque (F=1,5 et k = 11)

La largeur de la raie () entre les passages 0 est dfinie par :aT

Fk

22==

Il faut avoir 200 priodes pour avoir une largeur de raie gale F=100

1



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-0,3

0

0,3

0,6

0,9

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

|X(f)|

-180

-90

0

90

180

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

(X(f))

-1,2

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

1,2

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Figure 4 : exemple du module et de la phase pour une cosinus tronque 5 priodes



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2. Produit de convolution

Rappel:

dhehes tttt

== )()()()()(

)()()()()( ttttt ehhes ==

)()(2)()(1)()(2)(1 ttttttt hehehee +=+

)(2)(1)()(2)(1)( tttttt hhehhe =

Soit s(t)le produit de convolution des deux signaux e(t)et h(t)dfinis ci-dessous,

e(t)= 0 pour t < 0

e(t)= E pour t [0..T]e(t)= 0 pour t > T

h(t)= 0 pour t < 0

h(t)= -t/+1 pour t [0..]h(t)= 0 pour t >

E

T0

1

2

-2 0 2 4 6 8

e(t)

0

1

2

-2 0 2 4 6 8

h(t)

s(t)

3,2

1,8

3

4,2

0,2

0,8

1,8

0

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0


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