8/18/2019 DEVOIR 2 2T TC 2015
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EXERCICEPour tout entier naturel n non nul, on considère les
nombres: a n= 4.10
n-1 , b n= 2.10n-1 et cn = 2.10
n + 1 .
a) Calculez an , bn et cn pour n = 1 ,
2 et 3.
b) Combien les écritures décimales des nombres an et
cn ontelles de c!i""res# $ontrez %ue an et
cn sont
di&isibles par 3.
c) $ontrez, en utilisant la liste des nombres premiers
in"érieurs ' 100 %ue b3 est premier.
d) $ontrez %ue, pour tout entier naturel n, bn.cn =
a2n . (éduisezen la décomposition en produit de "acteurs
premiers de a6 .e) $ontrez %ue PC(*bn ,
cn ) = PC(* cn , 2 ). (éduisezen %ue bn et
cn sont premiers entre eu+.
2: n considère l-é%uation : (1): b3 x + c3 y =
1 d-inconnues les entiers
relati"s x et y .
a) usti"iez le "ait %ue *1) possède au moins une solution.
b) /ppli%uez l-alorit!me d-uclide au+ nombres c3 et
b3. (éduisezen une solution particulière de *1).
c) ésol&ez l-é%uation *1).
PROBLEME
Pour tout entier n on note " n la "onction de
[ [03+∞ dans dé"inie par f n
( ) x=
5
n x x e
n
−
et *Cn) sa courbe
représentati&e dans le plan rapporté ' un repère ort!oonal
*unités : 2 cm sur l6a+e des abscisses et 10 cm sur
l6a+e des ordonnées).n rappelle %ue
n 5= n*n1)*n2)7773.2.1 et 0 5=1
1. (éterminer les limites de " n en 0 et en 8∞
pour n = 0 et pour n 9 0
2. a. (onner le tableau de &ariation de " 0
de " 1 et puis de " n pour n 2
b. $ontrer %ue pour tout entier naturel n non
nul f n
( ) x− f n
1
( ) x= f
-
n ( ) x
où f
-
n
est la "onction
déri&ée de la "onction " n
c. (éduire de l6éalité précédente la position relati&e des
courbes *Cn) et *Cn
1) pour n entier
naturel non nul
d. Construire a&ec soin et sur le m;me rap!i%ue les courbes
*C0) *C1) et *C2) a&ec des
couleurs di""érentes. n indi%uera la tanente en 0 ' c!acune des
ces courbes
3. Pour tout entier naturel n on dé"init la "onction
