Devoir surveillé n°2 - Free

DS de Physique MPSI-2021/2022

Devoir surveillé n°2

Problème n°1 : Problème de Poiseuille1. Rappeler les sept dimensions fondamentales de la physique ainsi que leurs unités

correspondantes dans le système international d’unités.

On considère l’écoulement d’un liquide à travers une conduite cylindrique de rayon et de longueur .

Figure 1: schéma d’une conduite

On s’intéresse au débit volumique (c’est-à-dire le volume de liquide traversant une section

droite du cylindre par unité de temps) en fonction de la longueur du cylindre, son rayon , de la viscosité du liquide et de la différence de pression entre les deux extrémités du

cylindre.

2. Donner les équations aux dimensions de , , , et , sachant que l’unité

internationale de est le (pascal seconde, le pascal étant l’unité d’une pression).

RL

Dv

L Rη ΔP = P2 − P1

Dv L R η ΔP = P2 − P1η Pa. s

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3. On cherche sous la forme :

Où est réel et sont des nombres rationnels. Donner le système d’équations

auxquelles doivent satisfaire . Ce système admet-il une solution ? En admet-il

plusieurs ?

4. On constate expérimentalement que tout autre paramètre étant fixé, varie comme l’inverse

de . Quelle conséquence cela a-t-il sur ?

5. En déduire les valeurs .

Dv

Dv = k × LαRβηγ ΔP( )δ

k α ,β,γ ,δ( )α ,β,γ ,δ( )

Dv

L α

β,γ ,δ( )

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L’étude complète du phénomène nécessite des éléments de mécanique des fluides et conduit au

même résultat avec en plus la valeur de .

6. D’après vos connaissances, estimer les ordres de grandeur du débit d’un robinet, de son

rayon et de la longueur des tuyaux des conduites d’eau d’une installation domestique. En déduire l’ordre de grandeur de la différence de pression nécessaire pour atteindre un

tel débit. On prendra pour l’eau .

Il arrive que lorsque l’on fait couler de l’eau chaude d’un robinet, le débit diminue fortement après quelques secondes d’utilisation.7. En considérant que les phénomènes de dilatation thermique peuvent entraîner une diminution

de de , par combien serait alors multiplié le débit volumique sortant du robinet ? Expliquer alors le phénomène observé.

Problème n°2 : Cycliste sur pisteOn s’intéresse à un cycliste, considéré comme un point matériel , qui s’entraine sur un vélodrome constitué de deux demi-cercles reliés par deux lignes droites. Le cycliste part de avec une vitesse nulle.

Figure 2 : schéma de la piste du vélodrome

Données : et

k = π8

Dv

R LΔP

η = 1,0.10−3Pa. s

R 10%

MD

L = 62 m R = 20 mPage sur 3 13


D est au milieu de la ligne droite .

1. Le cycliste effectue un effort constant ce qui se traduit par une accélération constante égale à

jusqu’à l’entrée du premier virage. Quel type de mouvement a le cycliste ? Donner

l’équation horaire de la trajectoire. En déduire le temps de passage en ainsi que la

vitesse en fonction de et .

2. Dans le premier virage, le cycliste a une accélération tangentielle (suivant ) constante et

égale à .

a. Quel type de mouvement a le cycliste ? Établir l’expression de l’accélération en

coordonnées polaires et en déduire que l’accélération angulaire a pour expression .

b. En remarquant que l’accélération angulaire est constante, exprimer la vitesse angulaire

puis l’angle (attention, le début du virage s’effectue à et non à ).

E1S2

a1 E1

x t( ) tE1 E1

vE1 a1 L

uθ!"!

a1

a!

!!θ a1R

!θ t( ) θ t( ) t = tE1 t = 0

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c. Exprimer le temps de passage en ainsi que la vitesse en fonction de , et

.

Pour poursuivre l’exercice, on admettra le cas échéant les résultats suivants :

; ;

3. De même, en considérant l’accélération tangentielle constante tout au long du premier tour et

égale à , déterminer les temps , et (après un tour), ainsi que les vitesses

correspondantes.

tS1 S1 vS1 a1 R

L

tS1 =L + 2Rπ

a1!θ t = tS1( ) = a1 L + 2Rπ( )

Rv t = tS1( ) = R !θ = a1 L + 2Rπ( )

a1 tE2 tS2 tD

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4. La course s’effectue sur quatre tours (un kilomètre) mais on ne s’intéresse qu’au premier

effectué en (temps du britannique Chris Hoy aux championnats du monde en

). Déterminer la valeur de l’accélération ainsi que la vitesse atteinte en . La vitesse

mesurée sur piste est d’environ . Que doit-on modifier dans le modèle pour se

rapprocher de la réalité ?

t1 = 18,55 s

2007 a1 D

60 km.h−1

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Problème n°3 : Oscillateurs couplésPremière partie : Oscillateur simpleOn considère un oscillateur mécanique simple constitué d’un ressort horizontal, de longueur à vide

et de raideur . L’extrémité de ce ressort est fixé à un bâti fixe dans le

référentiel du laboratoire. L’autre extrémité est fixée à une masselotte de masse

assimilée à . À , on allonge le ressort de par rapport à sa longueur d’équilibre

et on lâche la masselotte sans vitesse initiale. La position de est repérée par rapport à sa

position d’équilibre. La masselotte est supposée se mouvoir sans frottement. Le support contraint

la masselotte à se mouvoir uniquement suivant l’axe .

Figure 3.1 - Oscillateur simple

I. Étude dynamique

2. Déterminer la dimension de la raideur du ressort en fonction des dimensions fondamentales. Quelle est son unité légale ? Que représente cette grandeur ?

3. Exprimer la force de rappel du ressort en fonction de ?

l0 = 30 cm k = 20 N .m−1 A

m = 500 g

M t = 0 a = 20 cm

x t( ) M

Ox( )

k

x t( )

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4. Déterminer alors l’équation différentielle du mouvement de .

5. On pose . Réécrire l’équation du mouvement en faisant apparaître . De quel type

d’oscillateur s’agit-il ?

6. Quelle est la dimension de ? Exprimer puis calculer numériquement la période des

oscillations.

7. Résoudre l’équation différentielle obtenue en tenant compte des conditions initiales.

M

ω 0 =km

ω 0

ω 0 T0

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8. Représenter graphiquement la fonction en faisant apparaître la période et l’amplitude des

oscillations.

II. Étude énergétique

1. Exprimer l’énergie mécanique de l’oscillateur en fonction de , , et (on ne

tiendra pas compte de l’énergie potentielle de pesanteur qui reste constante au cours du mouvement).

2. À partir des expressions de et , calculer . Comparer à l’énergie mécanique

initiale. Que constate-t-on ? Est-ce surprenant ?

x t( )

m ω 0 x t( ) !x t( )

x t( ) !x t( ) Em

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3. Représenter sur un même graphe, l’énergie potentielle élastique, l’énergie cinétique et l’énergie mécanique de l’oscillateur.

Deuxième partie : deux oscillateurs couplésOn considère à présent un système constitué de deux oscillateurs précédents reliés par une

ressort central. Les extrémités et sont fixes si bien que la distance est constante.

Figure 3.2 - Oscillateurs couplés

Les trois ressorts sont identiques. Les longueurs courantes des ressorts, à un instant

quelconque, sont respectivement , et . Les deux masselottes sont également identiques

( ). La positions de , repérée par rapport à , est notée , la position de ,

repérée par rapport à , est notée .

O E D = 3l0

tl1 L l2

m = 500 g M1 O x1 t( ) M 2

O x2 t( )

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1. En appliquant la deuxième loi de Newton à , montrer que l’équation différentielle vérifiée

par est :

avec

2. De même, montrer que l’équation différentielle vérifiée par est :

avec

3. À partir des deux équations précédentes, déterminer les positions d’équilibre et de

et .

M1

x1 t( )

!!x1 t( )+ω 02 2x1 t( )− x2 t( )( ) = 0 ω 0 =

km

x2 t( )

!!x2 t( )+ω 02 2x2 t( )− x1 t( )( ) = 3l0ω 0

2 ω 0 =km

xeq,1 xeq,2

M1 M 2

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4. Dans les conditions de l’expérience, la résolution des équations précédentes conduit aux

solutions représentées sur le graphique ci-dessous. Il montre que les mouvements de et

sont sinusoïdaux.

Figure 3.3 - Représentation graphique des positions relatives des deux masselottes

a. Mesurer la période des mouvements.

M1

M 2

T

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b. Mesurer les amplitudes et des mouvements.

c. Que vaut le déphasage entre entre et .

d. Faire un dessin du système d’oscillateurs à , puis . Comment les

masses oscillent-elles l’une par rapport à l’autre ? On appelle ce mode d’oscillation mode propre asymétrique.

A1 A2

Δϕ x1 t( ) x2 t( )

t = 0 t = T2

t = T

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