Mathématique ECS 1 05Sept.2015 Devoir surveillé 1.skaddouri.maths.free.fr/...devoirs/.../DS_20152016.pdfMathématique ECS 1 10oct.2015 Devoir surveillé 2. Veillezàbienjustiﬁervosréponses:unexercicebientraitérapportedespoints,unexercicetraitédefaçonnonrigoureuse

Mathématique ECS 105 Sept. 2015

Devoir surveillé 1.

Veillez à bien justifier vos réponses : un exercice bien traité rapporte des points, un exercice traité de façon non rigoureusene rapporte pas de points. Malus de 2 points pour les copies mal rédigées. La durée de l’épreuve est de 4 heures. Aucunesortie avant la fin de l’épreuve. Les calculatrices ne sont pas autorisées.

Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur votre copie et poursuivezvotre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes amenés à prendre.

Ce sujet comporte cinq exercices indépendants.

Exercice 1. Un artisan est contacté à domicile par ses clients sur appel téléphonique et dispose d’un répondeur. Quandl’artisan est absent, il branche systématiquement son répondeur. Quand il est présent, l’artisan décroche le téléphone deuxfois sur trois.

Quand un client téléphone, il tombe quatre fois sur cinq sur le répondeur.Un client téléphone à l’artisan. On note— R l’événement : « le client obtient le répondeur »— A l’événement : « l’artisan est présent »— A l’événement contraire de A.On note PE(F ) la probabilité de l’événement F sachant E.

(1) Déterminer les probabilités P (R), PA(R) et PA(R).(2) Exprimer la relation liant P (R), P (A), PA(R) et PA(R).(3) En déduire P (A).(4) Un client téléphone et tombe sur le répondeur. Quelle est la probabilité que l’artisan soit présent ?

Exercice 2. Les courbes Cf et Cg données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal (O,~i,~j), lesfonctions f et g définies sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

f(x) = lnx et g(x) = (lnx)2.

0 x

y

y = lnx

y = (lnx)2

~i

~j

(1) On cherche à déterminer l’aire A (en unités d’aire) de la partie du plan grisée.

On note I =

∫ e

1

lnx dx et J =

∫ e

1

(lnx)2 dx.

(a) Vérifier que la fonction F définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ parF (x) = x lnx− x est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire I.

1

(b) Exprimer la dérivée de la fonction x 7→ F (x) lnx et en déduire que J = e− 2I.(c) En déduire la valeur de J .(d) Donner la valeur de A.

(2) Pour x appartenant à l’intervalle [1 ; e], on note M le point de la courbe Cf d’abscisse x et N le point de la courbe Cgde même abscisse. Pour quelle valeur de x la distance MN est-elle maximale ? Calculer la valeur maximale de MN .

Exercice 3. On définit la fonction tangente notée tan par

tan(x) =sinx

cosx

sur tout intervalle où l’expression a un sens.On considère les intégrales

I =

∫ π4

0

1

cos2 xdx et J =

∫ π4

0

1

cos4 xdx

(1) Justifier la dérivabilité et calculer la dérivée de la fonction tangente sur[0,π

4

]. En déduire la valeur de I.

(2) Soit f la fonction définie sur[0,π

4

]par f(x) =

sinx

cos3 x.

(a) Justifier la dérivabilité de f et établir que

f ′(x) =3

cos4 x− 2

cos2 x

(b) En déduire une relation entre I et J , puis la valeur exacte de J .

Exercice 4. On considère le nombre complexe z = −√

2 +√

2 + i√

2−√

2.

(1) Donner la forme algébrique de z2.(2) En déduire la forme exponentielle de z2.(3) Déterminer alors la forme exponentielle de z. On justifiera soigneusement cette détermination.

(4) En déduire le sinus et le cosinus deπ

8.

Exercice 5. Soit f la fonction définie sur ]0,+∞[ par

f(x) =x√3

+

√3

2x

et soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,~i,~j).

(1) (a) Etudier les variations de f sur son intervalle de définition.

(b) Etudier la position de la courbe C par rapport à la droite d’équation y =x√3.

(c) Tracer la courbe C représentative de f sur la feuille annexe fournie avec l’énoncé.(2) Soit m un nombre réel et ∆m la droite d’équation y = m. Discuter suivant les valeurs de m, le nombre de points

d’intersection de ∆m et de C .(3) On construit une suite de points (An)n∈N de la manière suivante :

— le point A0 est le point de C d’abscisse 2 ;— pour tout n ∈ N, à partir du point An de C ,

— on détermine Bn, deuxième point d’intersection de C avec la parallèle à l’axe (O,~i) passant par An,— puis, on détermine In, milieu du segment [An, Bn],— le point An+1 est alors le point de C de même abscisse que In.

Pour tout entier n ∈ N, on appelle xn l’abscisse du point An.

(a) Placer les points A0, B0, I0, A1, B1, I1 sur la feuille annexe fournie avec l’énoncé.(b) Soit n ∈ N. Etablir une relation de récurrence entre xn+1 et xn.

2

(4) On considère la suite (vn)n∈N définie par v0 = 2 et pour tout entier n ∈ N,

vn+1 =1

2

(vn +

3

2vn

).

(a) Etablir pour tout entier n ∈ N l’inégalité vn > 0.(b) Etablir pour tout entier n ∈ N, l’égalité

vn+1 −√

3

2=

(vn −√

32 )2

2vn

(c) En déduire, pour tout entier n ∈ N, l’inégalité vn ≥√

3

2et ensuite que

0 ≤ vn+1 −√

3

2≤

(vn −

√3

2

)2

(d) Montrer, à l’aide des questions précédentes, que pour tout entier n ∈ N,

0 ≤ vn −√

3

2≤

(v0 −

√3

2

)(2n)

(e) En vous rappelant que xα = eα ln x lorsque x > 0, montrer que la suite (vn) converge et déterminer sa limite.

(5) Compléter (sur la feuille annexe ) les pointillés dans l’algorithme suivant pour qu’il calcule vn :

Entrée n est un entier naturel.Initialisation i prend la valeur 0 ; v prend la valeur · · ·Traitement Tant que · · · · · ·

i prend la valeur · · · · · ·v prend la valeur · · · · · ·

Fin Tant queSortie Afficher v.

3

Feuille annexe à rendre avec la copie.

Nom :Prénom :

~i

~j

0 x

y

Entrée n est un entier naturel.Initialisation i prend la valeur 0 ; v prend la valeur · · ·Traitement Tant que · · · · · ·

i prend la valeur · · · · · · · · ·v prend la valeur · · · · · · · · ·

Fin Tant queSortie Afficher v.

4

Mathématique ECS 110 oct. 2015




Ce sujet comporte quatre exercices indépendants.

Exercice 1. Un cycliste va d’une ville A à une ville B. Le parcours compte x kilomètres de montée, y kilomètres de plat etz kilomètres de descente. Il roule à 15 km/h en montée, 20 km/h sur le plat et 30 km/h en descente.

Il met deux heures à effectuer le trajet aller et trois heures pour le retour.(1) Un mobile parcourt une distance d à la vitesse v en un temps t. Quelle équation relie v, d et t ?(2) Déduire de l’énoncé une équation impliquant x, y et z traduisant le temps mis pour le trajet aller. Etablir de même une

équation impliquant x, y et z traduisant le temps mis pour le trajet retour.Un autre cycliste qui roule respectivement à 20, 30 et 40 km/h sur chaque type de route, effectue l’aller et le retour en

un temps total de trois heures et quarante minutes.(3) Déduire de cette information une équation impliquant x, y et z traduisant le temps mis pour le trajet aller-retour.(4) Résoudre le système obtenu.(5) La montée et la descente ont toute deux une pente de 5% (cela signifie qu’en parcourant 100 mètres en montée, l’altitude

augmente de 5 mètres et inversement en parcourant 100 mètres en descente, l’altitude diminue de 5 mètres). Quelleest la différence d’altitude entre les deux villes A et B ?

Exercice 2. L’objectif de cet exercice est le calcul des intégrales suivantes

I =

∫ 1

0

1√x2 + 2

dx, J =

∫ 1

0

x2√x2 + 2

dx, K =

∫ 1

0

√x2 + 2dx

(1) Soit f la fonction définie sur [0, 1] par f(x) = ln(x+√x2 + 2).

(a) Calculer la dérivée de la fonction f .(b) En déduire la valeur de l’intégrale I.

(2) Calcul de J et K.(a) Sans calculer I et J , montrer que J + 2I = K.

(b) A l’aide d’une intégration par parties portant sur l’intégrale K, montrer que K =√3− J.

(c) En déduire les valeurs des intégrales J et K.

Exercice 3. On considère l’équation suivante

z3 + (−1− 4i)z2 + (−7 + 4i)z + 4i+ 3 = 0. (1)

(1) Déterminer les racines carrées complexes de 8− 6i.(2) Déterminer une solution de l’équation (1) sous la forme αi où α est un réel.(3) Déterminer des nombres complexes u et v tels que

z3 + (−1− 4i)z2 + (−7 + 4i)z + 4i+ 3 = (z − αi)(z2 + uz + v)

(4) Terminer la résolution de (1).

1

Exercice 4. Pour tout n ∈ N∗, on définit une fonction fn sur ]0,+∞[ par

fn(x) =(lnx)n

x2.

On pose alors In =

∫ e

1

fn(x)dx.

(1) Pour tout réel x > 0, on pose F (x) = −1 + lnx

x. Vérifier que F est une primitive de la fonction f1 et en déduire la

valeur de I1.(2) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tout n ∈ N∗,

In+1 = −1

e+ (n+ 1)In.

(3) Etablir par récurrence, pour tout entier n ∈ N∗

Inn!

= 1− 1

e

(1 +

1

1!+

1

2!+

1

3!+ · · ·+ 1

n!

)(4) En utilisant un encadrement de lnx sur l’intervalle [1, e], montrer que, pour tout n ∈ N∗,

0 ≤ In ≤ 1.

(5) En déduire la limite

limn→+∞

(1 +

1

1!+

1

2!+

1

3!+ · · ·+ 1

n!

).

2

Mathématique ECS 121 nov. 2015





Exercice 1. Calcul de sommes déjà vues et d’autres.

(1) Simplifier la somme3n+2∑k=1

e2ikπ

3 .

(2) Soit x ∈ R. Simplifier la sommen∑k=1

kxk−1. On pourra remarquer kxk−1 est le polynôme dérivé de xk.

(3) Simplifier la somme∑

1≤i,j≤n

j(i2 + j). On donnnera une forme factorisée.

(4) Quel est le résultat affiché par la dernière instruction lorsque les instructions Scilab ci-dessus sont exécutées :

m=[-4, 1; 2, 3];a=(m+m’).*(m-m’);x=m(1,:)./m(2,:);disp(a*x’);

Exercice 2. (1) Déterminer des réels a, b, c tels que : pour tout x ∈ R∗,1

t(1 + t2)=a

t+bt+ c

1 + t2.

(2) A l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale H(x) =

∫ 1√x

0

2t ln t

(1 + t2)2dt.

(3) Etudier la limite limx→0x>0

H(x).

(4) Justifier la dérivabilité de la fonction H sur ]0,+∞[ et exprimer H ′(x).

Exercice 3. Soit s ∈ R∗ et A la matrice A =

0

1

s

1

s21

s3

s 01

s

1

s2

s2 s 01

ss3 s2 s 0

(1) Calculer A2 et déterminer une relation entre A2, A et I4.(2) Montrer que A est inversible et donner la matrice A−1.(3) Montrer, par récurrence sur n, qu’il existe des suites (an) et (bn) telles que :

∀n ∈ N, An = anI4 + bnA

et donner les relations entre an+1, an, bn d’une part et entre bn+1, an, bn d’autre part.(4) Etablir que la suite (an − bn) est une suite géométrique et on exprimera an − bn en fonction de n.(5) On pose, pour tout n, un = (−1)nbn.

(a) Montrer que, pour tout entier n, un+1 = −3un − 1.

(b) On pose, pour tout entier n, vn = un +1

4. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique et on exprimera

vn en fonction de n.

1

(c) En déduire les expressions de an et bn en fonction de n.

Exercice 4. Quelques limites matricielles.

Partie 1.

On rappelle que :

N∑k=1

(ak bkck dk

)est la matrice

N∑k=1

ak

N∑k=1

bk

N∑k=1

ck

N∑k=1

dk

et on désigne par I2 la matrice

(1 00 1

).

Pour tout réel non nul t, on pose

At =

(1 t− 1t −1

).

(1) A quelle condition sur s et t, l’égalité AtAs = AsAt est-elle vérifiée ?(2) Calculer (At +As)

2

(3) Montrer que (At +As)2n = (−1)n (s− t)

2n

(st)nI2.

(4) On dit qu’une suite de matrices(an bncn dn

)converge vers une matrice

(a bc d

)lorsque

lim an = a, lim bn = b, lim cn = c, lim dn = d

et on note alors : lim(an bncn dn

)=

(a bc d

).

On pose pour tout entier n ∈ N∗,

Mn =

n∑k=1

(At +A2t)2k.

Etudier limn→+∞

Mn.

(5) On pose pour tout entier n ∈ N∗,

Pn =

n∑k=1

(Ak +Ak+1)2.

Etudier limn→+∞

Pn.

Partie 2.

Pour tout réel non nul t, on pose

Bt =

(cos t − sin tsin t cos t

)et Ct =

(1 −atat 1

).

Dans cette partie, on s’intéresse à la limite limn→+∞

(Cn)n.

(6) Montrer que pour tout t ∈ R∗ et tout n ∈ N∗, (Bt)n = Bnt. On pourra procéder par récurrence sur n.(7) Soit n ∈ N∗. Justifier l’existence d’un réel θn ∈ [0, 2π[ vérifiant

cos(θn) =1√

1 + ( an )2et sin(θn) =

a

n√1 + ( an )

2.

On pourra considérer le nombre complexe 1 +a

ni.

(8) Exprimer alors Cn en fonction de√1 + ( an )

2 et Bθn .(9) Exprimer alors (Cn)n en indiquant ses coefficients en fonction de a, n et θn.

On la donnera sous la forme(Cn)

n = λn

(cos(un) − sin(un)sin(un) cos(un)

)

2

(10) On s’intéresse dans cette question à la limite : limn→+∞

(1 +

(an

)2)n2

.

(a) Rappeler la limite limu→0

ln(1 + u)

u.

(b) Utiliser la limite précédente pour déterminer limn→+∞

(1 +

(an

)2)n2

.

(11) On s’intéresse dans cette question à la limite : limn→+∞

nθn.

(a) Soit n ∈ N. Montrer que 0 < θn <π

2.

(b) A l’aide de ses variations, étudier le signe de la fonction définie sur]0,π

2

[par g(x) = sin(x)− x cos(x).

(c) En étudiant la fonction définie définie sur]0,π

2

[par f(x) =

x

sin(x), montrer que pour tout x ∈

]0,π

2

[,

sin(x) ≤ x ≤ π

2sin(x).

(d) En déduire limn→+∞

θn.

(e) En utilisant la limite limu→0

sin(u)

u, déterminer lim

n→+∞nθn.

(12) En déduire la limite limn→+∞

(Cn)n

3

Exercice 5. On répartit les entiers 1, 2, 3, . . . , n, n+ 1, . . . , 2n en deux groupes de n entiers :— les entiers du premier groupe sont renommés a1, a2, . . . , an de telle sorte que a1 < a2 < · · · < an,— les entiers du second groupe sont renommés b1, b2, . . . , bn de telle sorte que b1 > b2 > · · · > bn.

Le but de l’exercice est de calculer la sommen∑k=1

|ak − bk|.

(1) Un exemple. On suppose n = 4.

(a) On regroupe les entiers 1, 2, 3, . . . , 8 ainsi :

a1 = 1, a2 = 3, a3 = 6, a4 = 7 et b1 = 8, b2 = 5, b3 = 4, b4 = 2

Que vaut la somme4∑k=1

|ak − bk| ?

(b) On regroupe les entiers 1, 2, 3, . . . , 8 ainsi :

a1 = 2, a2 = 3, a3 = 5, a4 = 8 et b1 = 7, b2 = 6, b3 = 4, b4 = 1

Que vaut la somme4∑k=1

|ak − bk| ?

(2) On revient au cas général. On a donc une répartition des entiers 1, 2, 3, . . . , n, n+1, . . . , 2n deux groupes de n entiersvérifiant a1 < a2 < · · · < an et b1 > b2 > · · · > bn.

(a) Montrer qu’il n’est pas possible d’avoir à la fois ai ≤ n et bi ≤ n.(b) Montrer qu’il n’est pas possible d’avoir à la fois ai ≥ n+ 1 et bi ≥ n+ 1.

(3) En déduire alors le calcul den∑k=1

|ak − bk|

4

Mathématique ECS 115 décembre 2015

Concours blanc 1.




Exercice 1. Applications du cours.(1) Soit (un)n∈N la suite arithmético-géométrique définie par u0 = 6 et la relation de récurrence un+1 = 3un−8. Exprimer

un en fonction de n.(2) Enoncer l’inégalité de Cauchy-Schwarz (tout énoncé incomplet ne donnera lieu à aucun point).

(3) Simplifier la somme double∑

0≤j≤k≤2n

(−1)k(2n

k

)(k

j

).

(4) Etudier l’inversibilité et, le cas échéant, calculer l’inverse, de la matrice

M =

0 1 −10 −1/2 11 5/2 −7

.

Toutes les opérations devront être indiquées sur la copie.

Exercice 2. Pour tout n ∈ N∗, on pose In =

∫ π4

0

cosnx

(cosx)ndx.

(1) Soit n ∈ N∗. En intégrant par parties, montrer que∫ π4

0

sinnx sinx

(cosx)n+1dx =

(√2)n sin(nπ4 )

n− In.

(2) Grâce au résultat précédent, établir une relation de récurrence entre In+1 et In.

(3) En considérantIp+1

2p+1− Ip

2p, montrer que

In = 2n

(π

8−n−1∑k=1

sin(kπ4 )

2k(√2)k

)

Exercice 3. Pour une fonction f : [0, 1] −→ R , on pose pour tout n ∈ N∗ et tout x ∈ [0, 1],

Sn(f, x) =

n∑k=0

(n

k

)f

(k

n

)xk(1− x)n−k.

On prendra garde dans cet exercice à ne pas confondre les variables n et x.(1) Déterminer, dans chacun des cas suivants, la forme simplifiée de Sn(f, x) et la limite lim

n→+∞Sn(f, x) si elle existe :

(a) f est la fonction définie par f(x) = 1, pour tout x ∈ [0, 1]

(b) f est la fonction définie par f(x) = x, pour tout x ∈ [0, 1]

(c) f est la fonction définie par f(x) = x2, pour tout x ∈ [0, 1]

(2) Dans cette question, on pose, pour tout x ∈ [0, 1] , f(x) = ex.(a) Vérifier que, pour tout n ∈ N∗ et tout x ∈ [0, 1]

Sn(f, x) =(1 + x(e

1n − 1)

)n1

(b) Déterminer limn→+∞

Sn(f, x)

(3) Dans cette question, la fonction f est une fonction dérivable quelconque sur [0, 1] et on pose pour tout x ∈[0, 1], g(x) = xf(x). Vérifier que pour tout x ∈ [0, 1] et tout n ∈ N∗,

Sn(g, x) =x(1− x)

nS′n(f, x) + xSn(f, x)

où S′n(f, x) est la dérivée par rapport à x de Sn(f, x).(4) Etablir, pour tout n ∈ N∗ et pour tout x ∈ [0, 1], l’égalité :

n∑k=0

(n

k

)(k

n− x)2

xk(1− x)n−k =x(1− x)

n

(5) Dans cette question, on pose, pour tout x ∈ [0, 1] , f(x) =1

1 + x.

(a) Vérifier que, pour tout n ∈ N∗ et tout x ∈ [0, 1],

Sn(f, x) = n

∫ 1

0

tn−1 (1− x(1− t))n dt

(b) Etablir, pour n ∈ N et (a, b) ∈ [0, 1]2, l’inégalité |an − bn| ≤ n|a− b|.(c) En déduire, pour n ∈ N∗ et pour tous réels x, x′ et t de [0, 1], l’inégalité :

|(1− x(1− t))n − (1− x′(1− t))n| ≤ n(1− t)|x− x′|

puis|Sn(f, x)− Sn(f, x′)| ≤ |x− x′|

(d) Déduire de (c) que : ∀x ∈ [0, 1], |S′n(f, x)| ≤ 1

(e) En remarquant que xf(x) = 1− f(x), montrer que

∀n ∈ N∗, ∀x ∈ [0, 1],x(1− x)

nS′n(f, x) = 1− (1 + x)Sn(f, x).

(f) En déduire, que pour tout entier n ∈ N∗ et tout réel x ∈ [0, 1],

|Sn(f, x)− f(x)| ≤1

4n

puis déterminer la limite limn→+∞

Sn(f, x).

Exercice 4 (Autour de la suite de Fibonacci.). On définit une suite (fn)n≥1 en posant

f1 = 1, f2 = 1 et pour tout n ∈ N∗, fn+2 = fn+1 + fn.

et on introduit aussi le vecteur colonne défini pour tout n ∈ N∗, par Xn =

(fn+1

fn

).

(1) Pour tout n ∈ N, on pose vn = f2n+2 − fn+1fn+3.(a) Calculer v0, v1 et v2.(b) Montrer que pour tout n ∈ N∗, vn = −vn−1.(c) En déduire, pour tout n ∈ N, vn en fonction de n.(d) A l’aide du résultat obtenu, expliquer la supercherie ci-dessous (pour être prise en compte, toute explication devra

obligatoirement s’appuyer sur un calcul.)

(2) Soit n ∈ N∗.

(a) Déterminer la matrice A telle que Xn+1 = AXn.

(b) Montrer que, pour n ≥ 2, An =

(fn+1 fnfn fn−1

)

2

(c) Etablir, pour tout p ∈ N, la relation fn+p+1 = fnfp+1 + fn+1fp+2. On pourra considérer An ×Ap+1.(d) Etablir, d’une manière analogue, la relation : f3n = f3n+1 + f3n − f3n−1.

(3) (a) Déterminer les racines de l’équation x2 − x− 1 = 0. On notera ω la racine positive.(b) Soit n ∈ N∗. Montrer que

ω =ωfn+2 + fn+1

ωfn+1 + fn.

(c) On donne 32 < ω < 2. A l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout n ∈ N∗,

f2n+3

f2n+2< ω <

f2n+2

f2n+1

(on pourrra remarquer que ω = 1 + 1ω ).

(5) Ecrire un script Scilab demandant à l’utilisateur un entier n, n’utilisant aucune boucle (ni boucle for, ni boucle while)

et permettant le calcul des quotientsf2n+2

f2n+1etf2n+1

f2n

Exercice 5 (D’après Lewis Carrol). « De deux choses l’une : ou bien le malfaiteur est venu en voiture, ou bien le témoins’est trompé. Si le malfaiteur avait un complice, alors il est venu en voiture. Le malfaiteur n’avait pas de complice et n’avaitpas la clé, ou bien le malfaiteur avait un complice et avait la clé. Le malfaiteur avait la clé. Que faut-il conclure de toutcela ? »

3

Mathématique ECS 117 décembre 2015

Concours blanc 1. Prolongation1 heure 30.

Les calculatrices ne sont pas autorisées.

Exercice 1. Simplifier la somme3n∑k=0

(3nk

)cos( 2kπ3 ).

Exercice 2. Pour tout n ∈ N∗, on pose In =

∫ π4

0

cosnx

(cosx)ndx.

(1) Soit n ∈ N∗. En intégrant par parties, montrer que∫ π4

0

sinnx sinx

(cosx)n+1dx =

(√2)n sin(nπ4 )

n− In.

(2) Grâce au résultat précédent, établir une relation de récurrence entre In+1 et In.

(3) En considérantIp+1

2p+1− Ip

2p, montrer que

In = 2n

(π

8−n−1∑k=1

sin(kπ4 )

2k(√2)k

)

Exercice 3. On définit une suite (fn)n≥1 en posant

f1 = 1, f2 = 1 et pour tout n ∈ N∗, fn+2 = fn+1 + fn.

Soit ω la racine positive de l’équation x2 − x− 1 = 0 : ω =1 +√5

2.

On donne 32 < ω < 2.

Montrer, par récurrence sur n, que pour tout n ∈ N∗,

f2n+2

f2n+1< ω <

f2n+1

f2n

1

Mathématique ECS 123 mai 2016

Concours blanc 2.



Ce sujet comporte trois exercices indépendants.

Exercice 1. On considère l’espace vectoriel R3 muni de sa base canonique (~e1, ~e2, ~e3) :

~e1 =

100

, ~e2 =

010

, ~e3 =

001

.

L’identité de R3 est notée IR3 et la matrice identité de M3(R) est notée I3.On rappelle aussi que pour un endomorphisme f d’un espace vectoriel E, les notations f2, f3, etc. désignent f f, f f fetc.Soit f l’application de R3 dans R3 définie par

f

xyz

=

2x− y + zx+ z

x− y + 2z

(1) (a) Montrer que f est un endomorphisme de R3 et déterminer la matrice A ∈M3(R) telle que f

xyz

= A

xyz

.

(b) Montrer que A2 = 3A− 2I3.(c) En déduire que f2 = 3f − 2IR3 .(d) Montrer que f est un automorphisme de R3 et déterminer l’automorphisme réciproque de f en fonction de IR3

et de f .(2) Déterminer une base de Ker (f − 2IR3) et une base de Ker (f − IR3).(3) Montrer que Ker (f − 2IR3) et Ker (f − IR3) sont supplémentaires dans R3.(4) (a) Déterminer des endomorphismes p, q de R3 tels que

p+ q = IR3

2p+ q = f

(On les exprimera en fonction de IR3 et f )(b) Montrer que p, q sont des projecteurs.(c) Vérifier que p q = q p = 0.

(5) A l’aide de la question (4), établir que pour tout entier n ∈ N, fn = 2np+ q.

Exercice 2. Soit (An) une suite de matrices de M4(R), l’élément situé à l’intersection de la ième ligne et de la jème colonneest noté ai,j(n), et soit une matrice A de M4(R), dont l’élément situé à l’intersection de la ième ligne et de la jème colonneest ai,j .On dit que la suite de matrices (An) converge vers la matrice A si :

∀(i, j) ∈ J1, 4K× J1, 4K, limn→+∞

ai,j(n) = ai,j

On admettra le résultat suivant : si (An) et (Bn) sont deux suites de matrices de M4(R) admettant respectivement pourlimites des matrices A et B, alors la suite (AnBn) admet pour limite la matrice AB.On considère deux urnes U et V contenant chacune 3 boules. Au départ, l’urne U contient 3 boules blanches et l’urne Vcontient 3 boules noires.

1

On effectue une suite de tirages dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à tirer au hasard une boule dechaque urne et à la mettre dans l’autrre urne (un tirage est un échange de 2 boules).Pour tout entier naturel n, on note Xn la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient U avant le(n+ 1)ème tirage (c’est à dire après le nème échange) et on a donc X0 = 3.

On considère le vecteur colonne Yn =

P (Xn = 0)P (Xn = 1)P (Xn = 2)P (Xn = 3)

.

(1) Soient n un entier supérieur ou égal à 3 et M la matrice de M4(R) dont l’élément de la (i + 1)ème ligne et de la(j + 1)ème colonne est égal à P(Xn=j)(Xn+1 = i).

(a) Pour tout couple (i, j) éléments de J0, 3K et tout entier n ≥ 3, déterminer P(Xn=j)(Xn+1 = i).(b) Justifier soigneusement que M est la matrice donnée à la question (4).(c) Montrer que : ∀n ∈ N, n ≥ 3, Yn+1 = MYn (le résultat est admis pour n = 0, 1 et 2).(d) En déduire que : ∀n ∈ N, Yn = MnY0.

(2) Soit S la matrice S =

−1 1 −1 13 −1 −3 9−3 −1 3 91 1 1 1

et J la matrice diagonale J =

− 1

3 0 0 00 − 1

9 0 00 0 1

3 00 0 0 1

(a) Montrer que S est une matrice inversible (on ne demande pas de calculer son inverse).(b) Calculer les produits MS et SJ .(c) A l’aide des questions précédentes (2a) et (2b), établir :

∀n ∈ N, Mn = SJnS−1

(d) En déduire que la suite de matrices (Mn) admet une limite M∞ vérifiant M∞ = S

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 1

S−1

(3) Soit L1, L2, L3 et L4 les lignes de la matrices S−1. On pose L4 =(a1 a2 a3 a4

).

(a) En utilisant l’égalité S−1M = JS−1, montrer que L4M = L4 et en déduire que a1 = a2 = a3 = a4.

(b) En utilisant l’égalité S−1S = I4, montrer que a1 = a2 = a3 = a4 =1

20.

(c) Déterminer la matrice M∞ en la donnant avec ses 16 coefficients.(4) Compléter les pointillés dans le programme Scilab suivant pour que la variable E renvoyée en fin de programme

calcule l’espérance de Xn. On recopiera uniquement les lignes à compléter.

n=input(’Saisir un entier naturel non nul’);M=[0 , 1/9 , 0 , 0 ; 1, 4/9 , 4/9 , 0 ; 0 , 4/9 , 4/9 , 1 ; 0 , 0 , 1/9 , 0];Y=[0 , 0 , 0 , 1]’;V=[... , ... , ... , ...];

for j=1:n doY= ... ... ...;end;

E= V * Y;disp(E)

(5) On considère dans cette question l’expérience aléatoire suivante : dans une urne contenant 3 boules blanches et 3boules noires, on tire successivement et sans remise 3 boules. On appelle alors X la variable aléatoire égale au nombrede boules blanches tirées.

(a) Déterminer X(Ω) et la loi de X.

(b) Vérifier que limn→+∞

P (Xn = 0)P (Xn = 1)P (Xn = 2)P (Xn = 3)

=

P (X = 0)P (X = 1)P (X = 2)P (X = 3)

.

On dit que la suite (Xn) converge en loi vers la variable aléatoire X.

2

Exercice 3 (Formule de Stirling.). Ce problème a pour objectif d’établir l’équivalent de n! suivant :

n! ∼√

2πn(n

e

)nCet équivalent est connu sous l’appellation « formule de Stirling. »Les deux parties de ce problème sont indépendantes.

Première partie.

(0) Par intégration par parties, trouver une primitive sur ]0,+∞[ de t 7→ ln t.(1) Soit k un entier tel que k ≥ 2.

(a) Montrer que pour tout k ∈ N, k ≥ 2 : ∫ k

k−1ln tdt ≤ ln k ≤

∫ k+1

k

ln tdt.

(a) En déduire un encadrement de lnn!, puis un équivalent de lnn!.

(2) On pose désormais, pour tout n ≥ 1,

vn =enn!

nn+12

, et dn = ln vn.

Montrer que, pour tout n ≥ 1,

dn − dn+1 =2n+ 1

2ln

(1 + 1

2n+1

1− 12n+1

)− 1

(3) Montrer que, pour tout n ≥ 1,1

12n+ 1− 1

12(n+ 1) + 1≤ 1

3(2n+ 1)2

et1

12n− 1

12(n+ 1)≥ 1

3((2n+ 1)2 − 1)

(4) Soit f la fonction définie sur ]0, 1[ par f(t) =1

2tln

(1 + t

1− t

)− 1− t2

3.

(a) Etudier les variations de la fonction g définie sur ]0, 1[ par g(t) = 2tf(t).(b) En déduire que f est positive.

(5) Soit h la fonction définie sur ]0, 1[ par h(t) =t2

3(1− t2)− 1

2tln

(1 + t

1− t

)+ 1.

(a) Etudier les variations de la fonction k définie sur ]0, 1[ par k(t) = 2th(t).(b) En déduire le signe de h.

(6) En déduire, pour tout n ≥ 1, l’encadrement

1

12n+ 1− 1

12(n+ 1) + 1≤ dn − dn+1 ≤

1

12n− 1

12(n+ 1)

(7) Montrer que les suites (dn − 112n )n∈N∗ et (dn − 1

12n+1 )n∈N∗ sont adjacentes. Soit ` leur limite commune.(8) En déduire l’existence d’un réel C tel que pour tout n ≥ 1,

Cnn+12 e−ne

112n+1 ≤ n! ≤ Cnn+ 1

2 e−ne1

12n

et donner un équivalent de n! à l’aide de la constante C.

Deuxième partie.

Dans cette partie, on détermine la constante C de l’équivalent de n! trouvé plus haut.

Pour tout n ∈ N, on pose In =

∫ π2

0

cosn xdx

(1) Calculer I0 et I1.(2) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour n ≥ 1,

In+1 =n

n+ 1In−1.

En déduire les valeurs de I2p et I2p+1 en fonction de p.

(3) Montrer que la suite (In)n∈N est décroissante et en déduire la limite de la suite(

I2nI2n+1

).

(4) Montrer alors que C =√

2π.

3

Mathématique ECS 123 janv. 2016





Exercice 1. On considère la suite (un) définie par récurrence comme suit : on pose u0 = 0 et pour tout entier n ∈ N∗,

un =√n+ un−1

(1) Montrer que (un) est une suite positive et croissante. On pourra raisonner par récurrence.(2) En déduire que : pour tout n ∈ N, un ≥

√n.

(3) On pose, pour tout n ∈ N, vn = un −√n.

(a) Montrer que pour tout n ∈ N, vn =un−1

un +√n

et en déduire l’encadrement 0 < vn < 1 pour tout n ∈ N tel que

n ≥ 2.

(b) En déduire, pour tout entier n ≥ 3, l’encadrement :√n− 1

2√n+ 1

< vn <

√n− 1 + 1

2√n

.

(c) Conclure à la convergence de la suite (vn) et à sa limite éventuelle.(4) Compléter le programme Scilab suivant pour qu’il calcule le terme un de la suite :

n=input(’Entrez une valeur de n’);u=0;for ...... do

u=.....end;

(5) Donner le résultat du programme suivant sous sa forme exacte (on ne demande pas de valeur approchée) :

u=0;for j=5:(-1):1 do

u=sqrt(j+u);end;

Exercice 2. Soit (ak)k≥0 une suite de réels strictement positifs.

Pour tout entier n ≥ 1, on définit la fonction fn sur [0,+∞[ par : fn(x) =n∑

k=1

akxk − a0

(1) Montrer que l’équation fn(x) = 0 admet une unique solution positive. On note λn cette racine.(2) Montrer que pour tout n ∈ N∗, fn+1(λn) = an+1λ

n+1n . En utilisant les variations de fn+1, établir que la suite (λn)n≥1

est strictement décroissante. En déduire que cette suite converge vers une limite λ.(3) Dans cette question, on suppose que pour tout entier k ≥ 0, on a : ak = k + 1.

(a) Montrer que 0 ≤ λ < 1.(b) Montrer la relation suivante : (n+1)λn+2

n − (n+2)λn+1n +1 = 2(1−λn)2 (on pourra exprimer fn(x) en fonction

de la dérivée den+1∑k=0

xk.)

1

(c) Etudier la limite limn→+∞

λnn.

(d) En déduire la valeur de λ.

Exercice 3. Une urne contient quatre boules rouges, quatre boules blanches et quatre boules noires.

On prélève simultanément quatre boules dans l’urne. On suppose les boules indiscernables au toucher.(1) Décrire ce qu’est un résultat possible pour cette expérience et déterminer le nombre de cas possibles (le cardinal de

l’univers).(2) Calculer la probabilité que d’un prélèvement unicolore (c’est à dire les quatre boules soient de la même couleur).(3) (a) Quelle est la probabilité d’un prélèvement bicolore composé de boules rouges et blanches ?

(b) Démontrer que la probabilité d’un prélèvement bicolore est68

165.

(4) Déduire des résultats précédents la probabilité d’un prélèvement tricolore.(5) Quelle est la probabilité d’avoir exactement deux boules rouges sachant que le prélèvement est bicolore ?

Exercice 4. Deux personnes P1 et P2 ont rendez-vous dans un complexe formé de cinq sites S1, S2, S3, S4 et S5, disposésen pentagone et reliés par des routes, comme l’illustre le schéma ci-dessous.

S4

S3

S2

S1

S5

Ils arrivent au rendez-vous à I’heure prévue, mais suite à un malentendu, P1 se présente au site S1 et P2 au site S2.

Ils décident alors de partir à la recherche I’un de l’autre. Ils empruntent les différentes routes du complexe, avec les règlessuivantes : .

— à partir d’un site, chacun choisit de se rendre sur l’un des deux sites voisins, les deux possibilités étant équiprobables ;

— les déplacements des deux personnes se font simultanément ;

— tous les choix de déplacement se font indépendamment les uns des autres.

Ils continuent à se déplacer ainsi jusqu’à se retrouver éventuellement sur un même site (ils ne se rencontrent pas le longdes routes ). Une fois retrouvés, ils ne se déplacent plus.

Pour tout entier naturel n, on définit les trois événements An, Bn, Cn :

— An : « les deux personnes sont sur le même site après le n-ième déplacement »

— Bn : « les deux personnes sont sur des sites adjacents après le n-ième déplacement »

— Cn : « les deux personnes sont à deux routes de distance après le n-ième déplacement »

On note an, bn, cn les probabilités respectives des événements An, Bn, Cn.

(1) Justifier pourquoi An, Bn, Cn forment un système complet d’événements.(2) Déterminer les valeurs de a0, b0 et c0.(3) (a) Montrer : ∀n ∈ N, PCn

(An+1) =14 .

(b) Justifier l’égalité : PAn(An+1) = 1

(c) Déterminer toutes les probabilités conditionnelles analogues. On représentera les résultats en reproduisant sur lacopie et en complétant le schéma ci-dessous (indiquer les valeurs des probabilités conditionnelles figurant sur lescéma)

2

C

A BPAn(An+1)

PCn(An+1)

PAn(Cn+1)

PAn(Bn+1)

PBn(An+1)

PCn(Bn+1)

PBn(Bn+1)

PBn(Cn+1)

PCn(Cn+1)

(4) Etablir les relations suivantes pour tout entier n ∈ N :

an+1 = an + 1

4cn

bn+1 = 34bn + 1

4cn

cn+1 = 14bn + 1

2cn

(5) (a) En utilisant les relations en (4), exprimer bn+2 à l’aide de bn+1, bn.

(b) En déduire une expression de bn en fonction de n. On fera intervenir les nombres α = 5−√5

8 et β = 5+√5

8

(c) Montrer que pour tout n ∈ N : cn =√55 (βn − αn).

(6) (a) Exprimer an en fonction de n, α et β. (on pourra s’intéresser à la somme an + bn + cn).(b) Déterminer la limite de la suite (an)n∈N.

3

Mathématique ECS 112 mars. 2016





Exercice 1. Soit f la fonction définie sur R par

f(x) =e2x − 1

e2x + 1

(1) Montrer que f est impaire. Etudier les variations de f .(2) Montrer que f réalise une bijection de R sur ]− 1, 1[ et donner son application réciproque.(3) Vérifier que pour tous réels a et b,

f(a+ b) =f(a) + f(b)

1 + f(a)f(b)

(4) Déduire de ce qui précède que si x et y appartiennent à ]− 1, 1[ alorsx+ y

1 + xyappartient à ]− 1, 1[.

Deuxième partie.

On note D le sous-ensemble de C défini par D = z ∈ C| |z| < 1 et α un nombre complexe appartenant à D.

(1) Montrer que pour tout z ∈ C, |1−αz|2− |z−α|2 = (1− |z|2)(1− |α|2). En déduire que si z ∈ D alorsz − α1− αz

∈ D.

(2) Montrer que l’application ϕ : D −→ D définie par ϕ(z) =z − α1− αz

est une bijection et donner l’application réciproque

ϕ−1.

Exercice 2. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Une urne contient n+ 5 boules dont n rouges, 3 jaunes et 2 vertes. Ontire au hasard et simultanément trois boules de cette urne. Soit les événements suivants :

A « Les trois boules sont rouges. »

B « Les trois boules sont de la méme couleur. »

C « Les trois boules sont chacune d’une couleur différente. »

Les réponses seront données sous la forme la plus réduite possible.(1) Calculer les probabilités P (A), P (B) et P (C) en fonction de n.(2) On note X le nombre de couleurs obtenues. Déterminer les probabilités des événements [X = 1], [X = 2], [X = 3]

(3) Soit maintenant l’ événement D : « Deux boules exactement sont de la méme couleur. »Calculer la probabilité del’événement D en fonction de n.

Exercice 3. Questions indépendantes sur les polynômes.(1) Soit A la matrice

A =

3 2 1 −10 1 0 0−1 −1 1 11 1 1 1

1

(a) Calculer A2 et trouver une relation entre A2, A et I4.(b) Soit n ∈ N tel que n ≥ 2. Déterminer le reste de la division euclidienne du polynôme Xn par le polynôme

X2 − 3X + 2.(c) En déduire le calcul de la matrice An.

(2) Soit P un polynôme à coefficients complexes de degré n ∈ N∗ ayant pour expression P (X) =

n∑j=0

cjXj .

(a) Soit k ∈ J0, nK et α ∈ C∗. Donner l’expression de P (k)(α) en fonction de ck, ck+1, . . . , cn et α.(b) Soit j ∈ J0, nK. A l’aide de la formule du binôme, déterminer des coefficients λ0, λ1, . . . , λj tels que

Xj =

j∑k=0

λk(X − α)k.

(c) Etablir alors la formule de Taylor

P (X) =

n∑k=0

P (k)(α)

k!(X − α)k

(3) On considère le polynôme P (X) = X6+2X4+4X3+X2+4X+4. Factoriser dans R[X] le polynôme P (X) sachantqu’il admet une racine évidente dont on précisera la multiplicité.

Exercice 4. Dans la première partie, on met en oeuvre la méthode de Newton pour construire des approximations de lasolution d’une équation.

Dans la seconde partie, on étudie un exemple où la méthode de Newton peut produire des suites périodiques de n’importequelles périodes pourvu que la condition initiale soit bien choisie.

Première partie.

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x3 − 2x − 5. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal(O,~i,~j).

(1) Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans R et que 2 < α <5

2.

(2) Soit t > α. Ecrire l’équation de la tangente T au graphe de f au point (t, f(t)).

Montrer que T coupe l’axe (O,~i) au point d’abscisse g(t) = t− f(t)

f ′(t).

(3) On considère la suite définie par récurrence par

u0 =5

2, et ∀n ∈ N un+1 = g(un)

(4) (a) Montrer que, sur I = [α,+∞[, la fonction g est croissante et vérifie g(x) ≥ α.(b) Montrer que pour tout n ∈ N, un > α puis que la suite (un) décroît.(c) En déduire que la suite (un) converge vers une limite que l’on précisera.

(5) (a) Montrer que, pour tout x ∈ [α,+∞[,

g(x)− α =(x− α)2(2x+ α)

3x2 − 2.

(b) En étudiant les variations de la fonction h définie sur [α,+∞[ par h(x) =2x+ α

3x2 − 2, montrer l’inégalité

∀x ∈ [α,+∞[,2x+ α

3x2 − 2<

3

4

(c) En déduire que, pour tout entier n ∈ N, |un+1 − α| ≤ 0.75|un − α|2 puis par récurrence que

|un − α| ≤1

0.750.752

n

(6) Compléter le programme suivant pour qu’il calcule une valeur approchée de α à une précision « eps » donnée parl’utilisateur :

2

eps=input(’Entrer une precison : ’)u=5/2;err=1;while err > eps dou=...err=...end;disp(u)

Deuxième partie.

Soit R ∈ N∗.On dit qu’une suite (un) est périodique de période R lorsque

∀n ∈ N, un+R = un.

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x3 − 3x+ 3.

Pour un réel α donné, on considère, lorsqu’elle est bien définie, la suite (xn)n∈N vérifiant x0 = α et la relation de récurrence :

∀n ∈ N, xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn).

Le but de cette partie est de montrer que pour tout entier naturel R ∈ N∗, il existe un réel α tel que la suite (xn) soitpériodique de période R.

(1) Montrer qu’il existe un réel α tel que la suite (xn) soit stationnaire (c’est à dire de période R = 1). On supposeradésormais que R est un entier supérieur ou égal à 2.

(2) On considère la fonction F définie sur R \ −1, 1 par F (x) = x− f(x)

f ′(x).

(a) Montrer que, pour tout réel x différent de −1 et 1, F (x) =2x3 − 3

3(x2 − 1).

(b) Montrer que F réalise une bijection de l’intervalle ]1,+∞[ sur un intervalle J à préciser et que son applicationréciproque est une fonction continue. On note G l’application réciproque de F .

(c) Montrer que pour tout réel x, G(x) > x. On pourra commencer par établir que F (t) < t pour tout réel t > 1.(3) On définit G2 = G G,G3 = G G G et plus généralement si k ∈ N∗, on pose

Gk = G G G · · · G︸︷︷︸k fois

.

On considère alors un entier R supérieur ou égal à 2 et H la fonction définie sur l’intervalle ]− 1, 0] par

H(x) = F (x)−GR−1(x).

(a) A l’aide du théorème des valeurs intermédiaires, montrer qu’il existe α ∈]− 1, 0] tel que H(α) = 0.

(b) Montrer alors que la suite définie par x0 = α et la relation de récurrence :

∀n ∈ N, xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn)

est périodique de période R.(c) A l’aide de la question (2c), montrer que

x1 > x2 > · · · > xR−1 > x0.

Que peut-on en conclure pour la périodicité de la suite (xn) ?

3

Exercice 5. Jack, un malfrat, a été assassiné sur une route déserte à la sortie de Baltimore, vers 3 heures du matin. C’étaitle 7 août dernier. Une semaine plus tard, cinq suspects ont été arrêtés et interrogés : Shorty Malone, Tony Almeda, FreddyVerelli, Joey Goldman, Elliot Smith et Sam Johnson. Lors des interrogatoires, chacun d’eux a donné quatre informationsparmi lesquelles trois seulement sont absolument vraies et une seule est fausse.

Shorty : «

— J’étais à Chicago quand Jack a été tué.

— Je n’ai jamais tué personne.

— Le coupable est Sam.

— Joey et moi avons déjà été associés. »

Elliot : «

— Je n’ai pas tué Jack.

— Je n’ai jamais possédé de revolver de ma vie.

— Sam me connait.

— J’étais à Washington la nuit du 7 août. »

Tony : «

— Elliot ment quand il affirme n’avoir jamais possédé de pistolet.

— Le meutre a été commis vers 3 heures du matin.

— Shorty était à Chicago au moment du crime.

— Le coupable est l’un d’entre nous. »

Joey : «


— Sam n’a jamais mis les pieds à Baltimore.

— Je n’avais jamais rencontré Shorty avant aujourd’hui.

— Elliot et moi étions à Washington la nuit du 7 août. »

Sam : «


— Je ne suis jamais allé à Baltimore.

— Je n’avais jamais rencontré Elliot avant aujourd’hui.

— Shorty ment quand il affirme que je suis coupable. »

Les enquêteurs ont la certitude que l’assassin est l’un des cinq. Qui est ce ?

Sam dit « Je n’ai pas tué Jack » et « Shorty ment quand il affirme que je suis coupable » : si la première est vraie, ladeuxième est vraie aussi et si la première est fausse alors la deuxième aussi est fausse. Donc elles sont ou bien toutes deuxvraies ou bien toutes deux fausses. Comme il ne peut y avoir qu’une information fausse, ces deux informations sont vraies.Sam est donc innocent.

Shorty dit « Le coupable est Sam ». On a établi que cette information est fausse donc les trois autres informations donnéespar Shorty sont vraies. En particulier, Shorty est innocent et Joey le connait bien donc la troisième information de Joey estfausse et c’est donc la seule fausse. Par conséquent, Joey est innocent et il dit vrai quand il affirme que Sam n’a jamais étéà Baltimore. La deuxième information donnée par Sam est donc vraie. L’information fausse de Sam porte donc sur les liensentre lui et Elliot : ainsi Sam et Elliot se connaissent ce qui rend vraie la troisième information donnée par Elliot. Joey ditvrai aussi à propos de la présence à Washington d’Elliot ce qui implique que la troisième information donnée par Elliot estvrai aussi.

Les trois dernières informations données par Tony sont vraies donc la première est fausse : Tony ment quand il affirmequ’Elliot a menti. La seconde information d’Elliot est donc vraie.

Les trois dernières informations données par Eliott sont donc vraies. La première est donc fausse : Elliot a tué Jack !

4

Mathematiques - ECS1

1

DS - 08

Lycee La Bruyere30 avenue de Paris78000 Versailles

Année scolaire 2015 - 2016.

1 Contrôle de mathématiques

1.1 Algèbre linéaire

(1) Soit V le sous espace vectoriel de R3 formé des vecteurs de la forme

(x − y + z, 2x − y, −y + 2z)

où x, y, z sont des réels quelconques. Déterminer une famille génératrice de V .

(2) Soit W le sous espace vectoriel de R3

W = (x, y, z, t) ∈ R4 | x + y = 2z − t et x − y = 2z + t.

Déterminer une base et la dimension de W.

(3) Soit F l’endomorphisme de R3[X] défini par F(P) = 3P − XP′. Déterminer une basede Im(F) et la dimension de ker(F)

(4) Enoncer le théorème du rang (énoncé complet avec les hypothèses).

2

1.2 Analyse 3

(5) Soit f : R4 −→M2(R) l’application linéaire définie par f (x, y, z, t) =

(x + 2y − z −x − z + t2y − 2z + t x + 4y − 3z + t

).

Déterminer le rang de f .

(6) Déterminer une base de ker( f ) où f est l’application linéaire précédente.

1.2 Analyse

(1) Calculer la somme de la série+∞∑k=0

(−1)k

k!

(2) Soit f la fonction définie sur R \ −1 par f (x) = arctan(

x − 1x + 1

). Calculer f ′(x).

(3) Donner un équivalent de un =ln(1 + ne−2n)

1 − ee−n

(4) Donner un équivalent de un =e

1n√

n − 1− ln(cos( 1

n2 ))et indiquer la nature de la série

∑n≥1

un

4 Contrôle de mathématiques

(5) Nature de la série∑n≥2

n(n − 1)(

1318

)n

et calculer sa somme en cas de convergence.

(6) Calculer, par changement de variable, l’intégrale∫ √

3

0

13 + t2 dt

(7) Enoncer la formule de Leibniz.

1.3 Probabilités

(1) Soit X une variable aléatoire telle que X(Ω) = ~1, n et P(X = k) = α2−k. Déterminerα.

(2) Soit X une variable aléatoire suivant la loi binômiale B(10, 14 ). On pose Y = 2X − 10.

Donner E(Y) et V(Y).

1.3 Probabilités 5

(3) Un examen consiste en un QCM de cinq questions indépendantes, chaque questionétant suivi de trois réponses dont une seule est correcte. Un étudiant répond au hasard.Quelle est la probabilité que l’étudiant obtienne au moins quatre bonnes réponses ?

(4) La fonction de répartition F d’une variable aléatoire X est donnée par

F(x) =

0 si x < −116

si −1 ≤ x < 014

si 0 ≤ x < 313

si 3 ≤ x < 535

si 5 ≤ x < 6

1 si 6 ≤ x

Déterminer la loi de X.

(5) On lance un dé équilibré douze fois. Quelle est la probabilité que chaque face appa-raisse deux fois ?

(6) On lance un dé douze fois. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de foisqu’apparait la face 6 et Y la variable aléatoire au nombre de fois qu’apparait la face1 ? Déterminer P(X = Y).

(7) Enoncer le théorème de transfert (énoncé complet).

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Mathématique ECS 1 05Sept.2015 Devoir surveillé 1.skaddouri.maths.free.fr/...devoirs/.../DS_20152016.pdfMathématique ECS 1 10oct.2015 Devoir surveillé 2. Veillezàbienjustiﬁervosréponses:unexercicebientraitérapportedespoints,unexercicetraitédefaçonnonrigoureuse