Lucien CHAMBADAL, né à Paris en 1935, ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, est pro- fesseur dans les classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques ; il est l'auteur (sous des noms divers) de nombreux ma- nuels d'enseignement et d'ouvrages para- scolaires, bien connus pour leurs citations insolites.

"Lucien CHAMBADAL, lettré doublé d'un agrégé d'université scientifique" (Pierre BEARN).

Dans la même collection :

Dictionnaire de

PHYSIQUE Jean-Pierre SARMANT

Chez le même éditeur :

Collection LIAISONS SCIENTIFIQUES Dirigée par R. Omnès et H. Gié

HACHETTE-CNRS

La structure de la matière André Guinier

— Méthodes de l'astrophysique Lucienne Gouguenheim

Le renouvellement complet des mathémati- ques dans les enseignements élémentaire, secondaire et supérieur qui s'est manifesté, en particulier, par une refonte du langage est la justification de ce dictionnaire.

Outil indispensable à tous ceux qui appren- nent, utilisent ou enseignent les mathéma- tiques, ce dictionnaire contient environ 1800 articles classés par ordre alphabé- tique. Sa typographie particulièrement soi- gnée lui permet de présenter, sous une forme condensée, un maximum de rensei- gnements.

Les matières traitées ne se limitent pas au modernisme naguère de mise. C'est pour- quoi une part importante est consacrée aux notions fondamentales de l'algèbre, du calcul différentiel et intégral, et de la géométrie dite élémentaire. En dehors des notions indispensables, sont abordées de nombreuses questions que le lecteur aura pu rencontrer incidemment : compléments au programme, sujets actuellement négli- gés (courbes et équations différentielles classiques), voire à la mode. On trouvera aussi le vocabulaire du calcul des proba- bilités.

Environ cent quarante mathématiciens font l'objet d'une notice présentant leur contribution à l'histoire des mathémati- ques. Soixante-dix autres noms, cités seu- lement à propos d'un théorème célèbre, sont accompagnés des dates et lieux de naissance et de décès.

Le dictionnaire comporte un index des notations, signalant à propos de chaque symbole l'article où celui-ci est introduit.

Cette édition de bibliothèque est enrichie d'une iconographie et d'une très impor- tante bibliographie, consacrée aux ouvra- ges de vulgarisation et aux ouvrages scien- tifiques, aussi bien qu'à l'histoire des mathématiques ou à la philosophie des sciences.

Photo de couverture Vue au satellite GEOS et du champ magnétique terrestre. Cliché remis gracieusement par J 'Agence Spatiale Européenne.

/

Lucien CHAMBADAL Ancien élève

de l'École normale supérieure Agrégé de l'Université

Dictionnaire de

MATHÉMATIQUES

Du même auteur

Formulaire de mathématiques, Dunod. Exercices et problèmes résolus d'algèbre, Dunod. Exercices et problèmes résolus d'analyse, Dunod. Mathématiques préparatoires au commerce et à l'économie, Dunod.

1. Algèbre. 2. Analyse. 3. Calcul des probabilités.

En collaboration avec J. L. Ovaert : Cours de mathématiques, Gauthier-Villars.

Algèbre II. Analyse II.

Algèbre linéaire et algèbre tensorielle, Dunod (épuisé).

ISBN 2.01.007596.X La loi du 11 mars 1957 n'autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3 de l'article 41 d'une part, que les «copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite» (alinéa 1" de l'article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

© HACHETTE, 1981 Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays.

« La mathématique est une science qui remplit et qui satisfait beaucoup l'esprit. » Mme Périer.

« Plus que tout, il rageait d'avoir à publier des livres de mathématiques. » Ed. Mc Bain.

AVANT-PROPOS

Le renouvellement complet des mathématiques dans les enseignements élémentaire, secondaire et supérieur s 'est mani - festé en particulier par une refonte du langage, désormais introduit à l'aide de définitions précises. Dès lors, la nécessité d'un dictionnaire n'est plus à prouver.

Mais l'époque est révolue où l'on pouvait dire que «fixer la terminologie, c'est la renouveler tous les trois ans». Depuis l'adoption quasi universelle du vocabulaire employé par les mathématiciens professionnels (et en particulier de la termino - logie de N. Bourbaki), depuis la parution des normes de l'AFNOR, un nouveau langage s'est créé et stabilisé. Le qualificatif moderne attribué aux mathématiques prête à confusion : les mathématiques dites «modernes» développent des idées dues à Galois ou à Gauss, voire à Euler ou à Archimède; il ne s'agit pas d'une mode, comme ce fut le cas pour la géométrie dite «moderne» qui nous fut enseignée, et qui ne fait plus l'objet d'aucun cours. Suivant J. Dieudonné : «II ne faut pas se lasser de répéter qu 'il n'y a pas de « mathématiques modernes» s'opposant aux «mathématiques classiques », mais simplement une mathématique d'aujourd'hui qui continue celle d'hier sans rupture profonde et s'attache avant tout à résoudre les grands problèmes que nous ont légués nos prédécesseurs. »

Nous n'avons pas pour unique but de «sécuriser» le lecteur, en nous contentant de présenter dans l'ordre alphabétique un vocabulaire déjà assimilé. Nous considérons surtout le présent dictionnaire comme un instrument de travail, destiné à accompagner constamment l'élève à partir du second cycle de l'enseignement du second degré jusqu'à la fin de ses études de mathématiques; on trouvera ainsi des articles à tous les niveaux. (Les concepts ne figurant pas au programme des classes préparatoires aux grandes écoles sont composés en petits caractères.)

Système d'équations paramétriques

Document : S. E. A.

Les matières traitées ne se limitent pas au modernisme naguère de mise. C'est pourquoi une part importante est consacrée aux notions fondamentales de l'algèbre, du calcul différentiel et intégral et de la géométrie dite élémentaire : triangles, polygones, polyèdres convexes, cercles, sphères, coniques et quadriques. En dehors des notions indispensables, sont abordées de nombreuses questions que le lecteur aura pu rencontrer incidemment : compléments au programme, sujets actuellement négligés (courbes et équations différentielles classiques), voire à la mode (ensembles en extension et en compréhension ).

On trouvera aussi le vocabulaire du calcul des probabilités. Mais, compte tenu du nombre de pages imposé, il a fallu renoncer à toutes les autres branches des mathématiques appliquées. En particulier, pour la cinématique, nous ren- voyons au Dictionnaire de physique de J. P. Sarmant, paru dans la même collection.

En principe, tous les mots introduits se trouvent à leur place alphabétique (éventuellement suivis d'un renvoi). Les définitions sont généralement accompagnées d'exemples et de résultats fondamentaux.

Environ cent quarante mathématiciens, contemporains ou du passé, font l'objet d'une notice présentant leur contribution à l'histoire des mathématiques. Soixante-dix autres noms, cités seulement à propos d'un théorème célèbre, sont accompagnés des dates et lieux de naissance (et de décès).

Le dictionnaire se termine par un index des notations, signalant à propos de chaque symbole l'article où celui-ci est introduit.

L'Étang-la-Ville L. Ch.

A

Abel (Niels Henrik), mathématicien norvégien (île de Finnoy 1802 — Arendal 1829). Étude de la conver- gence des séries entières. Travaux fondamentaux sur les intégrales. Inversion des fonctions elliptiques. Première résolution d'équation inté- grale. Démonstration de l'impossi- bilité de résoudre en général une équation algébrique de degré 5 à l'aide des radicaux. Auteur de la notion de polynôme irréductible sur un corps. Son Mémoire sur une propriété géné- rale d'une classe très-étendue de fonctions transcendantes (1826), pré- senté à l'Académie des sciences, confié par Fourier à Legendre et Cauchy, oublié par celui-là et « perdu » par celui-ci, fut retrouvé et publié en 1841. Sur ces entrefaites, Abel est mort de tuberculose.

Abel (lemme d'). Soient ( ) une suite d'éléments d'un espace vecto- riel normé complet E et z0 un nombre complexe tel que la suite ( Zq an ) soit bornée. La série entière de terme général est absolument convergente sur le dis- que ouvert de centre 0 et de rayon |z0|, et normalement convergente sur tout compact contenu dans ce disque.

Abel (règle d'). Soient (an) une suite de nombres réels positifs, et (an) une suite d'éléments d'un espace vectoriel normé complet F. Si les conditions suivantes sont satisfaites : — La suite (a,, ) est décroissante; — La suite (αn ) converge vers 0; — Il existe un nombre réel stricte- ment positif (3 tel que, pour tout

couple (p, q) d'entiers naturels, p < q, .

la série de terme général ( ) converge. De plus, pour tout entier naturel n,

(formule de majoration du reste). La règle d'Abel s'étend aux séries de fonctions : soient ( f,, ) une suite d'applications d'un ensemble E dans un espace vectoriel normé complet F, et (an) une suite de fonctions numériques positives définies sur E. Si les conditions suivantes sont satisfaites : — Pour tout élément x de E, la suite (an (x )) est décroissante; — La suite ( a,, ) converge uniformé- ment vers 0 sur E ; — Il existe un nombre réel stricte- ment positif /3 tel que, pour tout couple (p, q) d'entiers naturels, p > q, et pour tout élément x de E,

la série de terme général (αn fn) converge uniformément sur E. Par exemple, la série trigonométri- que de terme général où a est un nombre réel strictement positif et inférieur à 1, converge uniformément sur toute partie com- pacte de R ne contenant pas d'entier rationnel.

Abel (th. d'). Soit une série entière de terme général et de

rayon de convergence fini non nul R. Soit z0 un nombre complexe de module R, tel que la série de terme général soit convergente. Pour tout nombre réel a apparte-

v r nant a 0, — , l'application

tend vers f ( zo) lorsque z tend vers Z0 en restant dans l'intersection du disque fermé de centre 0 et de rayon R et du secteur angulaire défini par Arg( - zo) - a ≤ Arg(z - zo)

^ Arg( - zo) + a. abélien (groupe), syn. de groupe commutatif. abélienne (intégrale), primitive d'une fonction de la forme x R ( x, y ), où R est une fraction rationnelle à deux indéterminées et où y est une fonction de x vérifiant une relation de la forme P ( x, y ) = 0, P étant un polynôme à deux indéterminées. Les intégrales elliptiques et hyperelliptiques en sont des cas particuliers. abscisse. V. cartésien (repère). absolue (valeur). Une valeur abso- lue sur un anneau A est une application de A dans l'ensemble R+ des nombres réels positifs, notée x→|x|, satisfaisant aux conditions suivantes : a) La valeur absolue de x est nulle si et seulement si x = 0; b) Pour tout couple (x, y) d'élé- ments de A,

|xy| = 1 x l - 1 y| ; c) Pour tout couple (x, y) d'élé- ments de A,

lx + y|≤|x| + |y|. L'application (JC, y)→ l x - y | est une distance sur A, dite associée à

la valeur absolue considérée; la topologie définie par cette distance fait de A un anneau topologique. Par exemple, l'application de Z dans R+ qui à tout entier rationnel x associe sup(x, - x) est une valeur absolue sur l'anneau des entiers rationnels. L'application de C dans R+ qui, à tout nombre complexe z, associe son module est une valeur absolue sur le corps des nombres com- plexes. De même, pour tout nombre pre- mier p, l'application de Q dans R+ qui à tout nombre rationnel r associe (v. valuation) est une valeur absolue, dite p-adique.

absurde (raisonnement par l'), mode de démonstration d'une relation P consistant à supposer que (non P) est vraie pour en déduire à la fois une relation Q et la négation de Q.

accroissements finis (th. des). Soit / une application à valeurs dans un espace vectoriel normé F, continue sur un intervalle compact [a, b] de R, dérivable à droite sur ]a, b[. On suppose que f'd est bornée sur ]a, b [; soit M la borne supérieure de ||f'd||. Alors

||f(b) - f(a) || ≤ M (b - a). Lorsque F = R, on peut préciser ce résultat. Soient m et M les bornes inférieure et supérieure de f'd. Alors m(b - a)≤ f (b) - /(a) ≤ M (b - a). Soient E et F des espaces vecto- riels normés, / une application différentiable sur un ouvert U de E à valeurs dans F, [a, b] un segment contenu dans U et M un majorant de la norme de la différentielle de / sur [a, b]. Alors

||f(b) - f (a)ll ≤ M||b - a ||.

accumulation (point d'). Soit P une partie d'un espace topologique E. On dit qu'un point x de E est un point d'accumulation de P si tout voisinage de x contient un point de P autre que x.

achevée (droite numérique). V. numérique (droite).

action (loi d'). Soient il et E des ensembles. On appelle loi d'action de il sur E, ou encore loi de composition externe sur E, une application, notée (α,x)→αx, de Ω x E dans E. Pour tout élément a de il, on appelle action sur E définie par a l'application x → ax de E dans lui-même. Ainsi, une action de il sur E est une application de il dans l'ensemble des applications de E dans lui-même.

additif (monoÏde), monoïde dont la loi est notée additivement (v. addition).

addition, loi de composition sur un ensemble E notée par le signe + (lire plus). (Une telle loi est dite notée additivement. On ne note additivement que les lois associati- ves et commutatives.) Le composé de deux éléments x et y de E s'appelle somme de x et de y, et se note x + y. Le composé d'une suite (xi)1≤i≤n de n éléments de E s'appelle somme de cette suite et se note n X Le composé d'une famille 1 = 1 finie (xi)i∈I d'éléments de E s'appelle somme de cette famille et se note .

additive (fonction), fonction f à valeurs réelles définie sur un clan

de parties d'un ensemble telle que, pour tout couple (P, Q) d'éléments disjoints de ce clan,

f(P∪Q) = f(P) + f(Q).

adhérence (valeur d'). Soient E et F des espaces topologiques, P une partie de E, a un point de E adhérent à P et f une application de P dans F. On dit qu'un point y de F est une valeur d'adhérence de f au point a si, pour tout voisinage V de a, y est adhérent à /( V n P). Dans le cas où E et F sont métrisables, cela équivaut à dire qu'il existe une suite ( un ) de points de P conver- geant vers a telle que (f(un)) converge vers y. L'ensemble des valeurs d'adhérence de f au point a est une partie fermée de F. Lorsque F est séparé et que f admet une limite b au point a, cet ensemble est réduit au point b. Réciproque- ment, lorsque F est compact et que cet ensemble est réduit à un point b, f admet une limite au point a, à savoir b. Soit par exemple f la fonction définie sur R par les relations

L'ensemble des valeurs d'adhé- rence de f au point 0 est l'intervalle [-1,1]. La définition précédente contient le cas des suites : il suffit de prendre E = N = N ∪ + ∞ , P = N et a = + ∞ . Pour qu'un point y d'un espace métrisable F soit une valeur d'adhérence d'une suite ( xn ), il faut et il suffit qu'il existe une suite extraite de (xn ) convergeant vers y. Pour qu'une suite d'éléments d'un espace métrique compact soit con- vergente, il faut et il suffit que l'ensemble de ses valeurs d'adhé- rence soit réduit à un point.

adhérent. Soit P une partie d'un espace topologique E. On dit qu'un point x de E est adhérent à P si tout voisinage de x rencontre P. Un point adhérent à P est donc soit un point isolé de P, soit un point d'accumulation de P. L'ensemble des points adhérents à P s'appelle adhérence de P et se note P. L'adhérence de P est le plus petit fermé contenant P. Pour qu'une partie P soit fermée, il faut et il suffit qu'elle soit égale à son adhérence.

adjacentes (suites), suites ( un ) et ( Un ) de nombres réels, l'une crois- sante et l'autre décroissante, et dont la différence un - Un tend vers 0. Deux telles suites sont conver- gentes, et elles ont la même limite.

adjoint (endomorphisme). Soient E un espace vectoriel sur K (resp. sur C) et S une forme bilinéaire symétrique (resp. sesquilinéaire autoadjointe) non dégénérée sur E. On dit qu'un endomorphisme f de E admet un adjoint s'il existe un endomorphisme g de E tel que, pour tout couple (x, y) de vecteurs de E,

Un tel endomorphisme g, s'il existe, est unique; on l'appelle endomorphisme adjoint, ou, plus simplement, adjoint, de f, et on le note /*. Si E est de dimension finie, tout endomorphisme de E admet un adjoint. Si E est hilbertien, tout endomorphisme continu de E admet un adjoint.

adjointe (application bilinéaire). Soient E et F des espaces vecto- riels sur un même corps commutatif K, et S une forme bilinéaire sur E x F. L'application de F x E

dans K qui à tout élément ( y, 1 ) de Fx E associe le scalaire est une forme bilinéaire sur F x E, dite adjointe de S, et notée S*.

adjointe (application sesquilinéaire). Soient E et F des espaces vecto- riels sur C, et S une forme sesquilinéaire sur E x F. L'applica- tion de F x E dans C qui à tout élément (_y, x) de F x E associe le nombre complexe est une forme sesquilinéaire sur F x E, dite adjointe de S, et notée S*.

adjointe (matrice). Soit M une matrice à n lignes et p colonnes à éléments complexes. On appelle adjointe de M, et on note M*, la matrice conjuguée de la transposée de M, encore égale à la transposée de la conjuguée de M :

La matrice M* est un élément de Mp,n(C). Pour tout couple (M, M') d'élé- ments de Mnp(C) et pour tout couple (a, a) de nombres com- plexes, (aM + a M')* =aM* + a' M'*.

Pour tout élément M de Mn, p (C), et pour tout élément N de Mm,n (C),

(NM)* = M* N*. Pour tout élément M de Mn, p(C),

M** = M. Soient E et F des espaces vecto- riels de dimension finie sur C, B une base de E et C une base de F. Pour toute forme sesquilinéaire S sur E, la matrice associée à l'adjointe S* de S dans les bases C et B n'est autre que l'adjointe de la matrice associée à S dans les bases B et C :

MC,B(S*) = [MB,C(S)]*.

Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur C, S une forme sesquilinéaire autoadjointe non dégénérée sur E et B une base orthonormale de E. Pour tout endomorphisme / de E, les matri- ces associées à / et à son adjoint /* dans la base B sont liées par la relation

MB (/*) = [MB (f)]*.

admissible (paramétrage), élément d'un arc géométrique, ou d'une nappe géométrique, de classe CP.

affine (application). Soient E et F des espaces vectoriels sur un corps commutatif K, A et B des espaces affines attachés à E et F. On dit qu'une application u de A dans B est une application linéaire affine, ou une application affine, s'il existe une application linéaire f de E dans F telle que, pour tout couple (M, N) de points de A,

Cela revient à dire que, pour tout point M de A et pour tout vecteur de E,

Une telle application linéaire f, si elle existe, est unique; on l'appelle application linéaire associée à l'application affine u. La composée v o u de deux applica- tions affines u et v est une application affine, et l'application linéaire associée à v o u n'est autre que g ∘ f, où f et g désignent les applications linéaires associées à u et à v. Lorsque E = F et que A = B, les applications affines de A dans B s'appellent endomorphismes af- fines. On dit qu'une application affine u de A dans B est un isomorphisme (affine) de A sur B s'il existe une

application affine v de B dans A telle que v o u = lA et u o v = IB. Toute application affine bijective est un isomorphisme. Pour qu'une application affine soit un isomor- phisme de A sur B, il faut et il suffit que l'application linéaire associée soit un isomorphisme de E sur F. Un isomorphisme de A sur lui- même s'appelle automorphisme (affine) de A. Une application constante de A dans B est une application affine; l'application linéaire associée est l'application nulle de E dans F. Réciproquement, toute application affine dont l'application linéaire associée est l'application nulle est constante.

affine (espace). Soit E un espace vectoriel sur un corps commutatif K. On dit qu'un ensemble non vide A est un espace affine attaché à E s'il est muni d'une application, notée

de A x E dans A telle que le groupe additif de E opère simple- ment transitivement sur A. Autre- ment dit, pour tout couple (M, N) d'éléments de A, il existe un vecteur x de E et un seul tel que

Ce vecteur se note MN. Soit 0 un élément de A. Le couple (A, 0) s'appelle espace affine muni d'une origine. L'application OM est une bijection de A sur E, qui permet d'identifier l'espace affine A à l'espace vectoriel E, l'application

s'identifiant à l'application ( OM, OM + x Réciproquement, l'application qui à tout couple (x, y) de vecteurs de E associe le vecteur x + y permet de considérer l'ensemble E comme un espace affine attaché à l'espace

vectoriel E. Le vecteur nul de E s'appelle origine canonique de l'espace affine E, et se note O. En particulier, pour tout espace vectoriel E, il existe un espace affine attaché à E. affine (géométrie), étude des espa- ces affines et des variétés linéaires affines, ainsi que des invariants par le groupe affine. affine (groupe). Les automorphis- mes d'un espace affine A consti- tuent un sous-groupe du groupe des permutations de A, appelé groupe affine de A et noté GA(A). L'application qui à tout automor- phisme u de A fait correspondre l'automorphisme f de E associé à u est un morphisme du groupe affine GA( A) sur le groupe linéaire GL ( E), dont le noyau est constitué des translations. affine (repère). Soit A un espace affine attaché à un espace vectoriel E. On appelle repère affine de A toute famille de points de A affinement libre et génératrice. Lorsque E est de dimension finie non nulle n, toute famille affine- ment libre (Mi)1≤i≤n + 1 de n + 1 points de A est un repère affine. Pour tout élément / de [ 1, n + 1 ], le couple constitué du point Mi et de la famille est alors un repère cartésien de A. Pour tout point M de A, il existe une suite (αi)1≤i≤n + 1 de scalaires et une seule telle que

et que M soit le barycentre des points Mi affectés des coefficients a',. Les scalaires ai s'appellent coordonnées barycentriques du point M. affine (variété linéaire). Soient A et A' des espaces affines attachés à

des espaces vectoriels E et E'. On dit que A' est une variété linéaire affine, une variété affine ou un sous-espace affine de A si E' est un sous-espace vectoriel de E, si A' est contenu dans A et si l'injection canonique de A' dans A est affine. Un tel sous-espace vectoriel E' est alors unique; on l'appelle direction de A'. Pour qu'une partie non vide A' de A en soit une variété linéaire affine, il faut et il suffit qu'il existe un point 0 de A' tel que l'ensemble des vecteurs OM, où M appartient à A', soit un sous-espace vectoriel de E. Ce sous-espace vectoriel n'est autre que la direction de A'. On convient de dire que la partie vide de A est une variété linéaire affine de A. affinité. Soient E un espace vecto- riel non réduit à o, H un hyperplan de E, f un endomor- phisme de E laissant fixes tous les éléments de H, et g l'endomor- phisme de la droite E/H déduit de f par passage au quotient. L'endo- morphisme g est une homothétie; soit a son rapport. Si a est différent de 1, il existe une droite D supplémentaire de H et une seule, stable par f On dit alors que f est l'affinité d'axe D, de rapport a, relative à l'hyperplan H. Lorsque E est de dimension finie n, pour tout élément i de [1, n], il existe une base B = (ex, é2, en) de E telle que la matrice associée à / dans cette base soit la matrice diagonale définie par

ati = a ajj = 1 si j ≠ i. Une telle matrice s'appelle matrice d'affinité.

Soient plus généralement A un espace affine attaché à E, et a un scalaire. Soient D' une droite affine et H' un hyperplan affine supplé- mentaires dans A. L'application de A dans lui-même qui à tout point M fait correspondre M + aM'M, où M' désigne la projection de M sur H' parallèlement à D', est un endomorphisme de A, appelé affi- nité, ou encore dilatation, d'hyper- plan directeur H', de directrice D' et de rapport a. Si A est de dimension finie, tout endomor- phisme affine est produit d'une famille finie d'affinités.

Historiquement, l'étude des inva- riants par les affinités a conduit à la notion d'espace affine.

affixe. Soit P un plan affine attaché à un plan euclidien E, muni d'un repère cartésien (0, B), où B est une base orthonormale de E. L'application qui à tout point M de coordonnées (x, y) associe le nom- bre complexe z = x + iy est une bijection de P sur C. Le nombre complexe z s'appelle affixe du point M. Réciproquement, pour tout nombre complexe z = x+iy, le point de coordonnées (x, y) s'appelle point-image de z et le vecteur OM, vecteur-image de z.

aire. Soit A une partie intégrable de R2. La mesure de A s'appelle encore aire de A. Soit (D,/) une nappe paramétrée d'un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, régulière à l'ordre 1, où D est une partie intégrable de R2. L'intégrale double ff 9/ du dv ne dépend que de la nappe géométrique E associée à (D, f); elle ne dépend pas de l'orientation de E. On l'appelle aire de X

aléatoire (variable). Une fonction mesurable X à valeurs complexes définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P) s'appelle variable aléa- toire sur û. (Le mot variable étant particulière- ment mal choisi pour désigner une fonction, certains auteurs emploient maintenant l'expression aléa numérique.) En l'absence de précision supplémentaire, on sup- pose que X est une fonction à valeurs réelles.

Alembert (Jean Le Rond d'), mathé- maticien et philosophe français (Paris 1717 — id. 1783). Fondements de l'analyse. Première tentative de démonstration du théorème fonda- mental de l'algèbre. Équation des cordes vibrantes. Cinématique du solide, dynamique, mécanique céleste. [Acad. des sc., 1741; Acad. fr., 1754.]

Alembert (règle de D'), règle de convergence des séries numéri- ques. Soit ( un ) une suite de nombres réels strictement positifs telle que un + / un admette une limite β. Si β < 1, la série de terme général ( Un ) converge; si /3>1, cette série diverge.

Alembert-Gauss (th. de D'), ou th. fondamental de l'algèbre. Le corps C des nombres complexes est algébriquement clos.

Alexandrov (Pavel Sergueïévitch), mathématicien russe (Bogorodsk 1896). Ses principaux travaux ont trait à la topologie algébrique. On lui doit la notion d'espace compact.

Alexandrov (compactifié d'). V. compactifié.

algèbre, partie des mathématiques ayant pour objet l'étude des structures algébriques, indépendamment de la notion de limite. Jusqu'au XVIIe s., l'algèbre était une généralisation de l'arithmétique, ayant pour objet les opérations sur les nombres rationnels, les nombres réels et les nombres complexes. Au début du XIXe s., l'algèbre s'étend à des éléments qui ne sont plus des « nom- bres» et à des opérations qui ne sont pas nécessairement les quatre opéra- tions de l'arithmétique. L'algèbre dite « moderne » commence avec la théo- rie des groupes, due en partie à Gauss, et surtout à Galois. La notion de loi de composition s'applique à des domaines très variés : algèbre de la logique avec Boole, quaternions et systèmes hypercomplexes avec Hamilton, matrices avec Cayley. Les lois de composition ne sont plus nécessairement associatives et com- mutatives. Dans la seconde moitié du XIXe s., d'autres structures algébriques fonda- mentales ont été dégagées. La théorie des corps, due à Kummer, prend naissance à partir des travaux de Gauss sur les nombres algébriques. La notion d'idéal d'un anneau est due à Dedekind. Une nouvelle étape est franchie vers 1925 avec les travaux de Nôther et de E. Artin sur la structure d'algèbre et

sur la synthèse des idées antérieures. Cette axiomatisation se poursuit avec Nathan Jacobson et en France depuis 1939, avec la publication des Eléments de mathématique de N. Bourbaki. Depuis la fin du XIXe s., l'algèbre a eu de très nombreuses applications en analyse, en géométrie, en mécanique, en physique théorique, grâce aux notions de structure et d'invariant.

algèbre. Soit K un corps commuta- tif. On appelle algèbre sur K, ou encore K-algèbre, un espace vecto- riel E sur K muni d'une application bilinéaire de E x E dans E. Autrement dit, l'ensemble E est muni d'une structure algébrique définie par la donnée de trois lois : — Une loi de composition, notée additivement (x, y ) ↦ x + y; — Une seconde loi de composi- tion, notée multiplicativement

(x, y)↦ xy; — Une loi d'action, application de K x E dans E, notée multiplicati- vement ( a, x ) ↦ ax ; ces trois lois satisfaisant aux condi- tions suivantes : a) Muni de la première et de la troisième loi, E est un espace vectoriel sur K; b) Pour tout triplet (x, y, z) d'élé- ments de E,

x(y + z) = xy + xz (y + z) x = yx + zx;

c) Pour tout couple (a, f3) d'élé- ments de K, et pour tout couple (x, y) d'éléments de E,

(αx)(βy) = (ap )(xy). Soit A un ensemble non vide. On munit l'ensemble F (A, K) des applications de A dans K des trois lois suivantes :

(f + g)(x) = f(x) + g(x) (fg)(x) = f(x)•g(x) (af)(x)= a - f (x).

Alors F (A, K) est une algèbre sur K, appelée naturellement algèbre des applications de A dans K. Lorsque A = N, l'algèbre F( A, K) s'appelle algèbre des suites d'élé- ments de K. La structure d'algèbre est l'une des structures les plus fréquemment ren- contrées, tant en algèbre qu'en analyse. L'étude des algèbres non commutati- ves a commencé avec la théorie des quaternions, due à Hamilton, vers la fin de la première moitié du XIXe s. Dans la seconde moitié du XIXe s. apparaissent les algèbres non asso- ciatives, avec les travaux de Lie. Au début du XXe s., une généralisation considérable est obtenue dans l'aban- don du corps des nombres réels ou du corps des nombres complexes comme domaine d'opérateurs. La structure d'algèbre s'est imposée en algèbre multilinéaire avec l'algèbre extérieure, l'algèbre symétrique, l'algèbre tensorielle, les algèbres de Clifford, etc.

algébrique (clôture), extension d'un corps commutatif, algébrique et algébriquement close. Une telle extension est unique, à isomor- phisme près. Par exemple, le corps C des nombres complexes est une clôture algébrique du corps R des nombres réels.

algébrique (courbe). V. algébrique (hypersurface).

algébrique (élément). Un élément a d'une algèbre associative unifère E sur un corps commutatif K est dit algébrique sur K s'il existe un polynôme non nul à coefficients dans K s'annulant sur a. Lorsque l'algèbre E est de dimen- sion finie sur K, tous les éléments de E sont algébriques sur K.

algébrique (ensemble), partie de l'espace vectoriel K n (où K est un corps commutatif) qui peut être définie comme l'ensemble des points (Zi, Z2, ..., Zn) annulant une famille finie de fonctions polyno- miales.

algébrique (entier), nombre com- plexe qui est entier sur le sous- anneau Z de C.

algébrique (équation). Soit K un corps commutatif. On appelle équa- tion algébrique (à coefficients dans K) une équation de la forme f(x) = 0, où f est une fonction polynomiale de K dans lui-même.

algébrique (extension). Une exten- sion K' d'un corps commutatif K est dite algébrique si tous les éléments de K' sont algébriques sur K. Pour que K soit algébriquement clos, il faut et il suffit que toute extension algébrique de K soit égale à K.

algébrique (géométrie), étude des ensembles et des variétés algébri- ques, et des invariants par le groupe des applications birationnelles.

algébrique (hypersurface). Soit A un espace affine attaché à un espace vectoriel de dimension finie p sur un corps commutatif infini K. On appelle hypersurface algébrique de A tout idéal principal non trivial 3 de l'anneau K [A] des fonctions polynomiales sur A. Soit P un générateur de cet idéal. Le degré de P est indépendant du générateur consi- déré; on l'appelle degré de 3. On dit que 3 est irréductible si P l'est. Les points de A tels que P(M) = 0 s'appellent points de l'hypersurface algébrique 3. Lorsque K est algébriquement clos, des hypersurfaces algébriques irréductibles

sont égales si et seulement si elles ont le même ensemble de points (corollaire du th. des zéros de Hilbert). Lorsque p - 2 (resp. p = 3), les hyper- surfaces algébriques prennent le nom de courbes (resp. surfaces) algébriques.

Hypersurface algébrique d'un espace projectif. Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur K et P(E) l'espace projectif déduit de E. On appelle hypersurface algébrique de P ( E) un idéal principal non trivial de K[E] engendré par une fonction polynomiale homogène. Le degré de cette fonction est indépendant du générateur consi- déré; on l'appelle degré de l'hypersur- face algébrique. Soient I une hypersurface algébrique de E de degré n, définie par un élément P

de K [E], écrit sous la forme P = 2 Pk, k =0 où Pk est k-homogène. L'application

est une fonction polynomiale sur E x K homogène de degré n. L'hypersurface algébrique de P(E x K) définie par Q s'appelle complétée projective de l'hypersurface algébrique ∑.

algébrique (mesure). Soient D une droite affine réelle et ïï un vecteur non nul de D. Pour tout couple ( M, N) de points de D, l'unique nombre réel À tel que MN = Au s'appelle mesure algébrique de ( M, N ) ( ou de MN ) et se note MN.

algébrique (nombre), élément algé- brique du corps C des nombres complexes, considéré comme algè- bre sur le corps Q des nombres rationnels. Par exemple, le nombre V2 est algébrique, tandis que les nombres e et π ne le sont pas.

algébrique (surface). V. algébrique (hypersurface).

algébrique (topologie). La topologie algébrique a pour objet de dégager des propriétés des espaces topologi- ques, et de fournir ainsi des condi- tions nécessaires (voire nécessaires et suffisantes) pour que des espaces topologiques soient homéomorphes. Les techniques essentielles de la topologie algébrique consistent à associer à tout espace topologique d'un type donné (espaces localement connexes par arcs, variétés différen- tielles, par exemple) un groupe (ou un anneau) de telle sorte que les groupes (ou les anneaux) associés à deux espaces homéomorphes soient iso- morphes. Ainsi, à tout espace topologique on peut associer des groupes d'homo- topie, des groupes d'homologie de types variés. De même, à toute variété différentielle V on peut associer l'anneau de cohomologie des formes différentielles sur V. Par exemple, le premier groupe d'homotopie d'un espace simplement connexe est réduit à o, tandis que le premier groupe d'homotopie de R est égal à Z; il s'ensuit que R2 - 0 n'est pas homéomorphe à R2, Plus généralement, on démontre, en considérant les groupes d'homologie d'ordres supérieurs, que, pour tout entier naturel non nul n, Rn - a n'est pas homéomorphe à R". On prouve de même que la sphère unité de R" n'est pas homéomorphe à la boule unité fermée de R" 1. Le fait que R n'est pas homéomorphe à R2 peut aussi se démontrer en utilisant la cohomologie des formes différentiel- les, puisque la forme différentielle d z — est fermée, mais non exacte, sur z R

algorithme, procédé de calcul.

alignés (points), syn. de points colinéaires.

alterné (groupe). Soit n un entier supérieur à 2. L'ensemble des permutations paires de l'intervalle [1, n] est un sous-groupe distingué du groupe symétrique Gn, appelé groupe alterné de degré n et noté

n ! Un. Son ordre est — 2

alternée (application p-linéaire). Soit E un espace vectoriel sur un corps commutatif K. Une applica- tion p-linéaire sur E est dite alternée si elle s'annule sur toute suite de p vecteurs de E compor- tant deux vecteurs égaux. Une application p-linéaire alternée est antisymétrique. Si le corps K est de caractéristique différente de 2, une application p-linéaire antisymétri- que est alternée. Soit r un entier naturel non nul. L'application de Klr x K2r dans K qui associe aux éléments (ξj)i≤j≤2r et ( ηi)1≤j≤2r scalaire r

est une forme bilinéaire alternée, dite canonique. Les formes p-linéaires alternées sur E constituent un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des applications de EP dans K, noté Ap (E). Lorsque E est de dimen- sion finie n,Ap(E) est de dimen- sion C£ ; en particulier, An (E) est une droite.

alternée (série), série de nombres réels dont le terme général ( Un ) est tel que la suite (( - l)n Un) soit de signe constant. — C'est le cas par exemple pour la série de terme général (( - 1 ) n ≥ 1 , dite série harmonique alternée.

amplitude. V. angle.

analyse. L'analyse met en jeu les concepts fondamentaux de suite, série et fonction, dont l'importance a

été dégagée par Euler et Lagrange. Selon J. Dieudonné, l'analyse est le « maniement des inégalités bien plus que des égalités », ce qu'« on pourrait résumer en trois mots : majorer, minorer, approcher». Le statut de la notion de fonction s'est progressivement précisé et élargi durant le XIXe s. À partir de la fin de ce siècle, le champ de l'analyse s'est modifié, grâce aux extensions du champ de la variable, celle-ci n'étant plus nécessairement un scalaire ou une suite finie de scalaires, mais pouvant être elle-même un élément d'un espace de suites ou de fonctions. Les méthodes correspondantes sont connues sous le nom d'analyse fonc- tionnelle.

analytique (ensemble), partie de l'espace vectoriel Cn qui, locale- ment, peut être définie comme l'ensemble des points (z,, Z2, ..., zn) annulant une famille finie de fonctions analytiques.

analytique (fonction). Soit n un entier naturel non nul. Une fonc- tion f à valeurs dans un espace vectoriel normé complet E définie sur un ouvert U de l'espace numérique K n (où K = R ou K = C) est dite analytique si, pour tout point z0 de U, f est développa- ble en série entière de z — zo, convergeant sur un voisinage de z0- Lorsque K = C, les fonctions ana- lytiques ne sont autres que les fonctions holomorphes sur U. Lorsque K = R, ce sont les restric- tions à U des fonctions holomor- phes sur un ouvert de C" contenant U. Soient n et p des entiers naturels non nuls. Une application d'un ouvert U de CP dans Cn est analytique si et seulement si toutes ses composantes sont des fonctions analytiques sur U.

analytique (géométrie), étude des ensembles et variétés analytiques, ainsi que des invariants par le groupe des isomorphismes analyti- ques. Cette théorie a été créée par Riemann; elle s'est montrée depuis l'une des branches les plus fécondes des mathématiques.

analytique (isomorphisme), applica- tion bijective, analytique, ainsi que son application réciproque.

angle. Soit U le groupe multiplica- tif des nombres complexes de mo- dule 1. L'application qui à tout point u de U associe la demi-droite, notée Du, d'origine 0 passant par u est une bijection de U sur l'en- semble 3) des demi-droites du plan complexe d'origine O. Dans l'en- semble 9) x 1), la relation binaire définie par les couples ((Du, Dv),

v u u' (Du,, Dv,)) tels que — = — est une v v relation d'équivalence. Les classes d'équivalence s'appellent angles de couples de demi-droites, ou encore angles. La classe d'équivalence d'un couple (Du, Dv) se note Ang(Du, Dv). L'ensemble quotient se note A. Les demi-droites DI, Di, D-1 et

j se notent Ox, Oy, Ox' et Oy'.

L'application de U dans A qui à tout élément u associe l'angle

Ang(Ox, Du) est une bijection de U sur A; l'angle Ang (Ox, Du) s'appelle amplitude de u et se note Am(u). L'application réciproque s'appelle exponentielle angulaire et se note Exp. L'application de A x A dans A qui à tout couple (a, /3) associe Am(Exp a Exp (3) est une loi de composition sur A qui fait de A un groupe commuta- tif, appelé groupe des angles. Les angles Ang (Ox, Ox') et Ang (Ox, Oy) s'appellent respecti- vement angle plat et angle droit, et se notent ϖ et 5. L'angle plat est le double de l'angle droit; l'angle nul est le double de l'angle plat. Soient a un nombre réel stricte- ment positif, et ea la fonction exponentielle circulaire de base a. L'application θa = Am ∘ ea est un morphisme surjectif, dit canonique, du groupe additif R sur le grou- pe A ; son noyau est 2aZ. Soit a un angle; on appelle mesure principale de a dans la base a et on note mesa a l'unique nombre réel x appartenant à ] - a, a] et tel que

Am(ea(x)) = a-

L'angle dont la mesure est égale à 1 s'appelle unité de mesure. Lorsque a = 180, l'unité de mesure s'appelle degré; lorsque a = 200, elle s'appelle grade; lorsque a = 1T, elle s'appelle radian. Dans le cas fondamental où a = π, les applications ea et θa se notent plus simplement e et θ.

Angles dans un plan euclidien. Soit P un plan euclidien orienté. Le choix d'une base orthonormale directe B de P permet d'identifier P au plan complexe. La classe d'équivalence d'un couple (∆, 3 ') de demi-droites d'origine 0 ne dépend pas de la base B considérée; on l'appelle angle du couple (A, J ').

On appelle angle d'un couple (a, a') de vecteurs non nuls de P l'angle du couple de demi-droites d'origine 0 et de vecteurs direc- teurs a et a'. On appelle angles d'un triangle (A, B, C) les angles des cou- ples et (CA, CB ). Soient (D, D') un couple de droites de P, ∆1 et ∆2 les demi-droites d'origine 0 contenues dans D, 3 j et les demi-droites d'origine 0 contenues dans D'. Soit a l'angle de . Alors l'angle de

est a, tandis que les angles de (Ax, A'2) et sont tous deux égaux à a + ϖ. C'est pour- quoi le groupe quotient A' = A/0, ϖ s'appelle groupe des angles de couples de droites. On appelle angle d'un couple de droites affines d'un plan affine euclidien orienté l'angle du couple de leurs directions. On appelle angle de deux arcs géométriques simples (resp. de deux arcs géométriques simples orientés) réguliers à l'ordre 1 en un point commun l'angle de leurs tangentes (resp. de leurs demi- tangentes) en ce point.

angulaire (écart). Soit E un espace vectoriel euclidien. Soient A et A' des demi-droites de E d'origine 0, et il' des vecteurs directeurs unitaires de ces demi- droites. On appelle écart angulaire de ∆ et A' l'unique angle a tel que

et Sin a ≥ 0. Soient a et a' des vecteurs non nuls. On appelle écart angulaire de a et a' l'écart angulaire des demi-droites d'origine 0 et de vecteurs directeurs a et a'. Soient D et D' des droites de E, et des vecteurs directeurs unitai- res de D et D'. Le nombre

ne dépend pas des choix de ïï et u'. On appelle écart angulaire de D et D' l'unique angle a tel que

On suppose que E est de dimen- sion 3. Soient P et P' des plans de E. On appelle écart angulaire de P et P' l'écart angulaire des droites orthogonales à P et P'. Soient D une droite et P un plan de E. Si D est orthogonale à P, on dit que l'écart angulaire de D et P est l'angle droit 8. Sinon, on appelle écart angulaire de D et P l'écart angulaire de D et de sa projection orthogonale sur P. Le cas des variétés linéaires affines se ramène aussitôt à celui de leurs directions. On appelle écart angulaire de deux arcs paramétrés réguliers à l'ordre 1 en un point commun l'écart angulaire de leurs tangentes en ce point. On appelle écart angulaire d'un arc paramétré C et d'une nappe paramétrée S régu- liers à l'ordre 1 en un point com- mun l'écart angulaire de la tan- gente à C et du plan tangent à S en ce point. On définit de même l'écart angulaire de deux nappes paramétrées.

angulaire (exponentielle). V. angle.

angulaire (fonction). Soit t↦u(t) une application continue d'un inter- valle I de R dans U. Il existe une application continue t↦α(t) de I dans R telle que, pour tout élément t de I,

u(t) = e (th. de relèvement). Une telle fonction a s'appelle fonction angu- laire associée à u. Deux fonctions angulaires diffèrent d'un multiple de 21r.

angulaire (secteur). Soient (Al, d2) un couple de demi-droites d'origine 0 d'un plan euclidien orienté, a un nombre réel strictement positif et b la mesure principale de l'angle Ang (∆1, d2) dans la base a. La réunion S des demi-droites 3 d'origine 0 telles qu'une mesure de l'angle Ang(zl,, A2) appartienne à [0, b] si 0, à [0, b + 2a] si b < 0, ne dépend pas du choix de a; on l'appelle secteur angulaire d'origine At et d'extrémité A2. (On dit parfois que A, et A2 sont les côtés de S.) Le point 0 s'appelle sommet de S. L'angle a de ∆1 et A2 s'appelle ouverture de S. On dit que S est plat (resp. droit) si l'angle a est plat (resp. droit). Pour que S soit saillant, il faut et il suffit que 0 < b < a ; dans le cas où b < 0, on dit parfois que S est rentrant. On dit que S est aigu (resp. obtus)

Un secteur angulaire plat est un demi-plan fermé; un secteur angu- laire saillant (resp. rentrant) est l'intersection (resp. la réunion) de deux demi-plans fermés.

angulaires (fonctions). On appelle cosinus angulaire et sinus angulaire les fonctions à valeurs réelles définies sur l'ensemble A des angles par les relations

Le nombre Cos a est nul si et seulement si a = 8 ou a = — 8. On appelle tangente angulaire la fonc- tion à valeurs réelles définie sur A - - 8, δ par la relation

Le nombre Sin a est nul si et seulement si a = 0 ou a = ϖ. On appelle cotangente angulaire la fonction à valeurs réelles définie sur A - O, gr par la relation

anguleux (point), point d'un arc géométrique en lequel il existe deux demi-tangentes, mais non une tan- gente.

anharmonique (rapport), syn. (désuet) de birapport.

anneau, ensemble A muni de deux lois de composition satisfaisant aux conditions suivantes : a) Muni de la première loi, notée additivement, A est un groupe commutatif; b) Muni de la seconde loi, notée multiplicativement, A est un monoïde; c) La multiplication est distribu- tive par rapport à l'addition. V. unitaire.

Par exemple, munis de l'addition et de la multiplication, les ensembles Z, Q, R et C sont des anneaux. En revanche, l'ensemble N des entiers naturels n'est pas un anneau.

Soient E un ensemble, et A un anneau. L'ensemble Y(E, A ) des applications de E dans A est lui-même un anneau, l'addition et la multiplication étant définies de la manière suivante : — La somme de deux applications f et g est l'application, notée f + g, qui à tout élément x de E associe l'élément f(x) + g(x); — Le produit de f et de g est l'application, notée fg, qui à x associe f(x) g(x).

annulateur. L'annulateur d'une partie P d'un A-module E est l'ensemble des éléments a de l'anneau A tels que, pour tout élément x de P, ax = 0. L'annulateur d'une partie P de E est un idéal à gauche de A, égal à A si et seulement si la partie P est réduite à l'élément nul de E. Lorsque P est un sous-module de E, son annulateur est un idéal bilatère de A.

annuler (s'), prendre la valeur 0.

antécédent. V. application.

antéorthogonal. V. orthogonal.

antiautoadjoint. On dit qu'une forme bilinéaire, ou sesquilinéaire, S est antiautoadjointe si elle est égale à l'opposé de son adjointe. Soit E un espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire, ou sesquili- néaire, autoadjointe non dégéné- rée. On dit qu'un endomorphisme f de E est antiautoadjoint s'il admet un adjoint et s'il est égal à l'opposé de celui-ci.

antidéplacement, isométrie rétro- grade d'un espace affine euclidien de dimension finie sur R.

antihermitien (endomorphisme), syn. d'endomorphisme antiautoad- joint, dans le cas d'une forme sesquilinéaire autoadjointe. antihermitienne (forme sesquili- néaire), syn. de forme sesquilinéaire antiautoadjointe. antihermitienne (matrice), matrice carrée à éléments complexes égale à l'opposé de son adjointe. antimorphisme. Soient E et F des magmas, et f une application de E dans F. On dit que f est un antimorphisme de E dans F si f est un morphisme du magma E dans le magma opposé à F. Cela revient à dire que, pour tout couple (x, y) d'éléments de E,

f(x ⊥ y ) = f(y) ⊥ f(x ). La définition est analogue dans le cas des monoïdes, des groupes ou des anneaux.

antisymétrique (application). Soient E et F des ensembles, et p un entier naturel non nul. On dit qu'une application f de EP dans F est antisymétrique si, pour toute permutation a de l'intervalle [1, p] et pour toute suite (x1, x2, ..., xp) d'éléments de E, f(xσ(1), xσ(2), ..., xσ(p)) =

ε(σ)f(x1, X2, ..., xp),

où ε(σ) désigne la signature de la permutation u. Par exemple, la fonction polyno- miale associée à un polynôme antisymétrique est une fonction antisymétrique. Soit E un espace vectoriel sur un corps commutatif K. Une forme bilinéaire S sur E est antisymétri- que si, pour tout couple (x, y) de vecteurs de E,

Cela revient à dire que S est antiautoadjointe.

antisymétrique (endomorphisme), syn. d'endomorphisme antiautoad- joint, dans le cas d'une forme bilinéaire symétrique.

antisymétrique (fraction ration- nelle). Une fraction rationnelle R à p indéterminées est dite antisymé- trique si, pour toute permutation a de l'intervalle [ 1, p], R(Xσ(1), X σ( 2), ..., Xσ(p) ) =

ε(σ) R(X1, X2, ..., Xp), où ε(σ) désigne la signature de la permutation a. Par exemple, le polynôme à p indéterminées

est antisymetrique.

antisymétrique (matrice), matrice carrée égale à l'opposé de sa transposée. antisymétrique (relation binaire), relation binaire R dans un ensem- ble E telle que, pour tout couple (x, y ) d'éléments de E,

(R(x, y) et R(y, x))⇒x = y. antisymétrisée. Soient E et F des espaces vectoriels sur un corps commutatif K, p un entier naturel non nul, et Sp le groupe des permutations de l'intervalle [1, p]. Pour toute application p-linéaire f sur E à valeurs dans F, l'applica- tion de EP dans F qui à

associe

est une application p-linéaire alter- née sur E à valeurs dans F, appelée antisymétrisée de f

Apollonius de Perge, mathématicien grec (Perge v. 260 - Alexandrie v. 200 av. J.-C.). Introduction et classification des coniques comme sections planes des cônes de révolution. Étude exhaustive, à l'exception des direc- trices.

apothème. V. régulier (polygone).

appartenance, notion première. — Soient x et E des ensembles. La relation x E E s'énonce x est un élément de E, ou encore x appar- tient à E. La négation de cette relation, non-appartenance de x à E, se note x ∉ E.

applicable. On dit qu'une surface ∑ est applicable sur une surface ∑' si ces surfaces sont régulières à l'ordre 1 et s'il existe un homéomorphisme f de ∑ sur ∑' conservant les longueurs des arcs tracés sur ∑. Cela équivaut à dire que ∑ et ∑' ont la même première forme quadratique fondamentale. Dans ces conditions, f conserve les angles; en outre, f conserve la courbure géodési- que, et transforme donc les géodésiques en géodésiques. Enfin, f conserve la courbure totale (th. de Gauss). Plus généralement, les éléments conservés par f sont dits géodésiques.

application. Soient E et F des ensembles, et G une partie du produit cartésien E x F telle que, pour tout élément x de E, il existe un élément y et un seul de F tel que le couple (x, y ) appartienne à G. Le triplet f = (G, E, F) s'appelle fonc- tion définie sur E à valeurs dans F, ou encore application de E dans (ou vers) F. (Autrement dit, une applica- tion est une correspondance dont le graphe est fonctionnel.) L'unique élément y de F correspondant à l'élément x par l'application f s'appelle transformé de x par f, ou

encore image de x par f, et se note f(x). Soit y un élément de F. On appelle antécédent dey tout élément x de E tel que f(x ) = y. La notation f = ( G, E, F) n'est pas utilisée en pratique; on lui préfère les notations suivantes : / : E→ F

f et E→ F. Pour montrer que f (x) est l'élé- ment de F associé à x, on emploie la notation x↦f(x). Les applications de E dans F constituent un ensemble, noté F(E, F), ou encore FE. Lorsque les ensembles E et F sont égaux, l'ensemble F(E, F) se note plus simplement F( (E).

approchée (valeur). Soient x un nombre réel et E un nombre réel strictement positif. On dit qu'un nombre réel a est une valeur approchée de x à E près (resp. à e près par défaut, resp. à e près par excès) si (a - E, a + E) (resp. (a, a + e), resp. (a - e, a)) est un encadrement de x.

appui (droite d'). Soient A un espace affine attaché à un espace vectoriel normé sur R, et P une partie de A. On appelle hyperplan d'appui de P tout hyperplan affine fermé H rencontrant P et tel que P soit contenue dans l'un des demi- espaces larges dont la frontière est H. Lorsque P est convexe fermé d'intérieur non vide, par tout point frontière de P il passe au moins un hyperplan d'appui. En particulier, soit f une fonction convexe sur un intervalle I de R. On appelle droite d'appui en un point M du graphe G de f toute droite affine passant par M et située en dessous de G.

Archimède, mathématicien et physi- cien grec (Syracuse 287 — id. 212 av.

J.-C.). Première méthode systémati- que de calcul du nombre π, à l'aide de polygones réguliers, le conduisant a l'encadrement . Utilisation de de la méthode d'exhaus- tion, due à Eudoxe, pour des calculs d'aires et de volumes : segment de parabole, segment de spirale d'Archi- mède, aire et volume de la sphère, etc. Étude des quadriques de révolution. Travaux sur la représentation des nombres à l'aide d'un système de numération. Auteur de la notion de centre de gravité; détermination de celui-ci dans le cas d'un triangle. Principes de l'hydrostatique.

Archimède (nombre d'). V. exponentielle.

Archimède (spirale d'), courbe plane admettant pour équation en coordon- nées polaires p — ad.

archimédien (groupe). Un groupe commutatif totalement ordonné G (dont la loi est notée additivement) est dit archimédien si, pour tout élément strictement positif x de G et pour tout élément positif a de G, il existe un entier naturel n tel que a ≤ nx. Les groupes Z, Q et R sont archimédiens. En revanche, le groupe Z x Z, muni de l'ordre

lexicographique, n'est pas archimé- dien.

archimédienne (valeur absolue). Soient A un anneau, et e son élément unité. Une valeur absolue sur A est dite archimédienne si la valeur absolue de ne tend vers + 00 lorsque l'entier n tend vers + 00 .

arête. V. dièdre, face.

argument. Soit z un nombre com- plexe non nul. Il existe un nombre réel 0 et un seul appartenant à l'intervalle ] - π, 7r] tel que

ce nombre s'appelle argument prin- cipal de z, et se note Arg z. La classe résiduelle modulo 2 π de Arg z s'appelle argument de z, et se note arg z.

arithmético-géométrique (suite). On dit qu'une suite (un) d'éléments d'un corps commutatif K est arithmético-géométrique s'il existe un couple (a, b) d'éléments de K tel que, pour tout entier naturel non nul n,

un = aun-1 + b. Le cas où a = 1 est celui des suites arithmétiques; on ramène l'étude du cas où a ≠ 1 à celle d'une suite géométrique en posant

arithmétique (suite). On dit qu'une suite (un) d'éléments d'un an- neau A est arithmétique s'il existe un élément a de A tel que, pour tout entier naturel non nul n, un = un-1 + a. Dans ces condi- tions, pour tout entier naturel n, un = na + b, où b = uo. Récipro-

quement, la suite (un) définie par la relation précédente est une suite arithmétique, appelée suite arithmétique de raison a et de premier terme b.

arrangement. Soient A un ensem- ble fini non vide, et p un entier naturel non nul. On appelle arran- gement de p éléments de E toute injection de l'intervalle [1, p] de N dans E. Autrement dit, un arrangement est une suite de p éléments de E distincts deux à deux. Lorsque l'entier p est inférieur au cardinal n de E, le cardinal, noté , de l'ensemble des arrange- ments de p éléments de E est égal à .

Lorsque l'entier p est strictement supérieur à n, l'ensemble des arrangements de p éléments de E est vide.

arrivée (ensemble d'). V. correspondance.

Artin (Emil), mathématicien allemand (Vienne 1898 — Hambourg 1962). Un des plus grands mathématiciens du XX s. Travaux en algèbre commuta- tive et en théorie des nombres.

artinien. Un module M est dit artinien si toute suite décroissante de sous-modules de M est stationnaire. Un anneau A est dit artinien (à gauche) si, considéré comme A-module (à gauche), A est artinien, autrement dit, si toute suite décroissante d'idéaux à gauche de A est stationnaire. Toute algèbre de dimension finie sur un corps commutatif est un anneau artinien. Tout anneau artinien est noethérien; en revanche, l'anneau Z est noethérien, et non artinien.

Ascoli (th. d'). Soient E un espace compact, F un espace métrique, et C(E, F) l'espace des applications conti- nues de E dans F muni de la distance de la convergence uniforme. Pour qu'une partie H de C( E, F) soit relativement compacte, il faut et il suffit que H soit équicontinue et que, pour tout point x de E, l'ensemble des images de x par les éléments de H soit une partie relative- ment compacte de F. (Si F est compact, cette dernière condition est toujours vérifiée.) Soient, par exemple, E un espace métrique compact, M et k des nombres réels strictement positifs. L'ensemble H des applications k-lipschitziennes de E dans R majorées en valeur absolue par M est une partie relativement compacte de l'espace vectoriel normé C(E, R). Historiquement, le théorème d'Ascoli s'est d'abord énoncé sous la forme particulière suivante : soit (fn ) une suite de fonctions holomorphes sur un ouvert U de C majorées en module sur tout compact K de U par une constante MK. Il existe une suite extraite de la suite (fn ) qui converge uniformément sur tout compact de U vers une fonction holomorphe /.

< Ascoli (Giulio), mathématicien ita- lien (Trieste 1843 — Milan 1896). >

assemblage, succession de signes d'une théorie mathématique forma- lisée, certains signes pouvant être joints par des liens.

associatif. On dit qu'une loi de composition -L sur un ensemble E est associative si, pour tout triplet (x, y, z) d'éléments de E,

(x⊥y)⊥z = x⊥(y⊥z). La valeur commune des deux membres se note alors plus simple- ment x⊥y⊥z. On dit qu'un magma est associatif si sa loi est associa- tive.

Sur l'ensemble P(F) des parties d'un ensemble F, la réunion et l'intersection sont associatives. Sur l'ensemble !F(F) des applications de F dans lui-même, la loi (f,g)↦g∘f est associative. Sur les ensembles N, Z, Q, R et C, l'addition et la multiplication sont associatives; sur les ensembles Z, Q, R et C, la soustraction n'est pas associative. On dit qu'une algèbre est associa- tive si sa multiplication l'est. Par exemple, l'algèbre £(E) des endo- morphismes d'un espace vectoriel E est associative. En revanche, l'espace vectoriel R3, muni du produit vectoriel, est une algèbre non associative.

associés (éléments). Des éléments non nuls a et b d'un anneau intègre A sont dits associés si a divise b et si b divise a. Cela revient à dire qu'il existe un élément inversible u de A tel que b = ua.

astroïde, hypocycloïde à quatre rçbrous- sements, admettant pour représentation paramétrique

x = a cos y = a sin3 t.

asymptote. V. asymptotique (direction).

asymptote (cercle). Soit C une courbe plane d'équation en coor- données polaires p = f(d). Si f(O) admet une limite a lorsque 0 tend vers + 00 , ou vers — 00 , on dit que le cercle de centre 0 et de rayon 1 a 1 est un cercle asymptote à C. Dans le cas particulier où a = 0, on dit que 0 est un point asymptote.

asymptotique. On appelle asympto- tique, ou ligne asymptotique, d'une nappe géométrique I de classe C2 régulière à l'ordre 1 tout arc C tracé sur 2 dont la courbure normale est nulle, ce qui équivaut à dire qu'en tout point de C le plan osculateur à C n'est autre que le plan tangent à S.

asymptotique (développement). La no- tion de développement asymptotique généralise celle de développement limité. Soient P une partie de R, x0 un point de R adhérent à P, 9 une échelle de comparaison au voisinage de x., ψ un élément de S et f une application définie sur P à valeurs dans un espace vectoriel normé F. Il existe au plus une famille

d'éléments de F à support fini telle que soit négligeable devant ψ; l'application s'appelle le développement asymptotique de f à la précision ψ.

asymptotique (direction). Soient (J, /) un arc paramétré et t0 une extrémité de I n'appartenant pas à l Si ||f(t)|| II tend vers + 00 lorsque t

fit) tend vers tn et si tend vers , une limite u, on dit que l'arc

paramétré (7, /) admet pour direc- tion asymptotique la droite .

On dit que (I, /) admet une branche parabolique dans la direction RM si, de plus, la distance de l'origine à la droite affine issue de f(t) de direction tend vers + 00 . On dit qu'une droite affine D est asymptote à (7, /) si la parallèle à D issue de f(t) tend vers D lorsque t tend vers to. La direction de D est alors une direction asymptotique de ( I, f). Les notions de direction asymptoti- que, de branche parabolique et d'asymptote sont liées à l'arc géométrique associé à (7, /). atlas. V. différentielle (variété).

atomique (mesure). Soit p un nombre entier naturel non nul. Etant données une suite ( an ) de points de Rp et une suite (a„) de nombres complexes telle que, pour toute partie bornée B de RP,

on appelle mesure atomique, ou mesure définie par les masses an placées aux points a., la mesure

où Dan désigne la mesure de Dirac au point an.

autoadjoint. On dit qu'une forme bilinéaire, ou sesquilinéaire, S est autoadjointe si elle est égale à son adjointe. Soit E un espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire, ou sesquili- néaire, autoadjointe non dégéné- rée. On dit qu'un endomorphisme f de E est autoadjoint s'il admet un adjoint et s'il est égal à celui-ci.

automorphisme. Soit E un magma, un monoïde, un groupe, un anneau, un espace vectoriel, une algèbre ou une algèbre unifère. Les isomor-

phismes de E sur lui-même sont appelés automorphismes de E. Muni de la loi de composition (J, g)↦g∘f, l'ensemble des auto- morphismes de E est un groupe, appelé naturellement groupe des automorphismes de E et noté Aut (E). Soit, par exemple, E un espace vectoriel sur un corps commutatif K. Une homothétie de E est un automorphisme si et seulement si son rapport est non nul. — On suppose maintenant que E est de dimension finie. Pour qu'un endo- morphisme de E soit un automor- phisme, il faut et il suffit qu'il soit injectif, ou encore qu'il soit surjectif. Automorphisme d'une forme bili- néaire. Soient E un espace vecto- riel sur un corps commutatif K (resp. sur le corps C des nombres complexes), et S une forme bili- néaire (resp. sesquilinéaire) sur E. On dit qu'un automorphisme / de l'espace vectoriel E est un auto- morphisme de S si, pour tout couple

de vecteurs de E,

On dit encore que f laisse inva- riante la forme bilinéaire (resp. ses- quilinéaire) S. L'ensemble des automorphismes de S est un sous-groupe du groupe Aut (E), noté Auts(E).

axe, droite affine euclidienne orientée. Soient A un espace affine attaché à un espace vectoriel réel E, 0 un point de A et f un vecteur non nul de E. On confond souvent le couple (0, r) avec l'axe de repère cartésien (0, f). Lorsque A est de dimension finie et muni d'un repère cartésien

les axes

s'appellent axes de coordonnées. Si n ≤ 3, (0, e,) se note Ox; si n = 2 ou n = 3, (0, e2) se note Oy; si n = 3, se note Oz. Le mot axe est syn. de droite affine, dans certains cas tradition- nels. V. affinité, cercle, conoide, orthogonale (symétrie), rotation.

axiome. De même que, dans une théorie mathématique, il existe des notions (dites «premières») qui ne sont pas introduites à partir d'autres notions, il existe des relations, appelées axiomes, qui sont placées au point de départ de la théorie, sans être déduites d'autres relations. Dans les théories mathématiques formalisées, les notions premières et les axiomes sont écrits explicite- ment. Axiomes d'Euclide. La première tentative d'axiomatisation de la géométrie est due à Euclide; elle fait appel à quinze axiomes explicités, et malheureusement aussi à des axiomes non explicités, tels que l'axiome de Pasch. Le plus célèbre des axiomes d'Euclide, dit «cinquième postulat », peut s'énoncer ainsi : Par un point, il passe une parallèle et une seule à une droite donnée. (Dans la conception actuelle de la géométrie affine, cet énoncé est devenu un théorème. V. parallèle.) Axiomes de Hilbert. Hilbert a donné une description parfaitement rigoureuse delà géométrie euclidienne à l'aide de vingt axiomes, dont l'axiome de Pasch. Axiome de Pasch. Une droite rencon- trant le côté AB d'un triangle ABC et ne passant pas par les points A, B et C rencontre AC ou BC. < Pasch (Moritz), mathématicien alle- mand (Breslau 1843 — 1930). > Axiomes de Peano. Une description de l'ensemble N des entiers naturels repose

sur les notions primitives de 0, d'entier naturel et de successeur, et sur les cinq axiomes suivants : 1. 0 est un entier naturel; 2. Tout entier naturel a un successeur; 3. Des entiers naturels ayant même successeur sont égaux; 4. 0 n'est le successeur d'aucun entier naturel; 5. Une partie P de N contenant 0 et telle que le successeur de tout élément de P appartienne à P est égale à N tout entier. Axiomes de Zermelo-Frânkel. Pour don- ner une base axiomatique à la théorie des ensembles fondée par Cantor, tout en évitant les paradoxes, Ernst Zermelo et Abraham A. Frânkel ont été conduits à poser les axiomes suivants : Axiome d'extensionalité. Des ensembles ayant les mêmes éléments sont égaux. Axiome de sélection et de réunion. Soient S(x, y) une relation portant sur des variables x et y, et E un ensemble. Si, pour tout élément y de E, la relation S(x, y) est collectivisante en x, alors la relation (3y E E) S(x, y) est collectivi- sante en x. Axiome de la paire. Soient x et y des ensembles. Il existe un ensemble et un seul dont les éléments sont x et y; on le note x, y. Axiome de l'ensemble des parties. Soit x un ensemble. La relation y C x est collectivisante en y. Axiome de choix. Pour toute application <p d'un ensemble A dans l'ensemble des

parties d'un ensemble B telle que, pour tout élément a de A, ϕ(a) soit non vide, il existe une application ψ de A dans B telle que, pour tout élément a de A, ψ(a) appartienne à ϕ(a). Axiome de /' infini. Il existe un ensemble x dont l'ensemble vide est élément et tel que, pour tout élément y de x, y U y soit encore un élément de x. Axiome de fondation. Pour tout ensem- ble non vide x, il existe un élément y de x tel que y n x = 0. Ce dernier axiome a pour conséquence le fait qu'aucun ensemble n'est élément de lui-même et, plus généralement, qu'il n'existe pas de suite (un ) d'ensembles telle que, pour tout entier naturel n, u. + 1∈ un.

Il apparaît sur ces exemples qu'un axiome n'est pas une proposition évi- dente par elle-même, mais un énoncé posé a priori. En particulier, l'axiome de choix a été refusé par certains des plus grands mathématiciens du début du XXe s. Un système d'axiomes étant supposé non contradictoire, le nouveau système d'axiomes obtenu en lui ajoutant une relation indécidable (ou sa négation) est non contradictoire. Ainsi, Paul J. Cohen a montré en 1963 que l'hypothèse du continu est indécidable. Il s'ensuit que si la théorie des ensembles n'est pas contradictoire, on peut lui ajouter comme axiome l'hypothèse du continu, ou sa négation.

B

Baire (René Louis), mathématicien français (Paris 1874 — Chambéry 1932). Travaux fondamentaux sur les nombres réels et les fonctions d'une variable réelle, l'amenant à introduire les concepts d'ensemble maigre et de fonction semi-continue.

Baire (espace de), espace topologique E tel que l'intersection de toute famille dénombrable d'ouverts denses dans E soit dense dans E. Tout ouvert d'un espace de Baire est un espace de Baire. Tout espace localement compact est un espace de Baire. Tout espace métrique complet est un espace de Baire. Il s'ensuit que, par exemple, les fonctions continues sans dérivée constituent une partie dense de l'espace vectoriel des fonctions numériques défi- nies sur un intervalle [a, b] de R.

Baire (fonction de), fonction définie sur un espace topologique à valeurs réelles qui est limite simple d'une suite de fonctions continues.

Banach (Stéphane), mathématicien polonais (Cracovie 1892 — Lvov 1945). Autodidacte, il fut découvert par H. Steinhaus. Un des plus grands mathématiciens du XXe s. Fondateur de l'analyse fonctionnelle moderne. Avec ses élèves (S. Mazur, W. Orlicz, 1. Schauder), Banach créa la célèbre école de Lvov, qui, avec l'école de Varsovie, a conféré à la science mathématique polonaise une des pre- mières places à l'échelle mondiale. La théorie des algèbres de Banach est l'une des branches les plus dévelop- pées de l'analyse fonctionnelle.

Banach (espace de), espace vecto- riel normé complet. Algèbre de Banach, algèbre normée complète.

Banach (th. de). Soient E et F des espaces de Banach, et f une application linéaire continue surjective de E sur F. L'image d'un ouvert de E est un ouvert de F. En particulier, toute application linéaire continue bijective de E.sur F est un homéomorphisme.

Banach-Mackey (th. de). Soient E un espace vectoriel topologique localement convexe séparé, et P une partie de E. Pour que P soit bornée, il faut et il suffit que l'image de P par toute forme linéaire continue sur E soit bornée.

Banach-Steinhaus (th. de). Soient E un espace de Fréchet, F un espace vectoriel topologique localement convexe séparé, et H une partie de l'espace vectoriel CC (E, F) des applications linéaires con- tinues de E dans F. Il est équivalent de dire : — Pour tout élément Je de E, l'ensemble des éléments , où f parcourt H, est une partie bornée de F; — Pour toute partie bornée P de E, l'ensemble des éléments f(x), où f parcourt H et x parcourt P, est une partie bornée de F; — La partie H est équicontinue. En pratique, on utilise ce théorème sous la forme suivante : soit (fn) une suite d'applications linéaires continues de E dans F convergeant simplement vers une application linéaire f Alors l'appli- cation f est continue.

Barrow (Isaac), pasteur et mathémati- cien anglais (Londres 1630 — Cam- bridge 1677). Détermination de tan- gentes et d'aires dans quelques cas particuliers, ouvrant la voie à son élève et successeur 1. Newton.

Imprimé en France

par Hemmerlé, Petit et Cie, Paris — 1437-11-1981 Dépôt légal N° 4065-11-1981 Collection N° 24. Édition N° 01

16/5103/3

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