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Dictionnaire de nombres mathématiques
1 FENNI Salah
Abondant Nombre abondant. – Entier naturel dont la somme des diviseurs propres est supérieure au nombre lui-même. Les 49 plus petits nombres abondants sont tous pairs. Ce sont :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 12 18 20 24 30 36 40 42 48 1 54 56 60 66 70 72 78 80 84 88 2 90 96 100 102 104 108 112 114 120 126 3 132 138 140 144 150 156 160 162 168 174 4 176 180 186 192 196 198 200 204 208 210
Dans ce tableau, 17 nombres ne sont pas un multiple d’un abondant. Ce sont : 12, 18, 20, 30, 42, 56, 66, 70, 78, 88, 102, 104, 114, 138, 174, 186 et 196. On les appelle nombres abondants primitifs. Les huit plus petits abondants impairs sont des multiples de 315. Ils sont formés par le produit de 315 et successivement de 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 et 17.
Les 39 plus petits abondants impairs sont :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 945 1575 2205 2835 3465 4095 4725 5355 5775 1 5985 6435 6615 6825 7245 7425 7875 8085 8415 8505 2 8925 9135 9555 9765 10 395 11 025 11 655 12 285 12 705 12 915 3 13 545 14 175 14 805 15 015 15 435 16 065 16 695 17 325 17 955 18 585
Dans ce tableau, 13 nombres ne sont pas abondants primitifs : 2835, 4725, 6615, 7875, 8505, 10 395, 11 025, 12 285, 14 175, 15 435, 16 065, 17 325 et 17 955. Les sommes successives des diviseurs propres des nombres abondants impairs forment la suite suivante.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 975 1649 2241 2973 4023 4641 5195 5877 6129 1 6495 6669 7065 7063 7731 7455 8349 8331 8433 8967 2 8931 9585 9597 10 203 12 645 12 051 12 057 14 595 12831 13 293 3 13 911 15 833 15 147 17 241 15 435 18 495 17 001 21 363 20 445 18 855
Soit q le rapport de la somme des diviseurs propres d’un nombre et du nombre lui-même, si q < 0,5 le nombre est dit déficient ; si q = 0,5 le nombre est dit parfait ; si q > 0,5 le nombre est dit abondant. Le plus petit nombre abondant impair a été découvert par Bachet (1581-1638).
Voici trois propriétés des abondants :
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2 FENNI Salah
Tout multiple d’un nombre parfait est un abondant. Par exemple, puisque 28 est un parfait, les termes de la suite 56, 84, 112, 140, ... sont abondants. Tous les multiples de 6 sont abondants, puisque 6 est un nombre parfait. Tout multiple d’un nombre abondant pair est un abondant. Par exemple, puisque 12 est un abondant pair, les termes de la suite 24, 36, 48, 60, ... sont abondants.
Absolu
Nombre premier absolu. – Nombre premier dont toutes les permutations des chiffres forment aussi des nombres premiers. Le nombre 337 est premier absolu car 337, 373 et 733 sont premiers. Les 22 plus petits nombres premiers absolus sont :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 5 7 11 13 17 31 37 1 71 73 79 97 113 131 199 311 337 373 2 733 919 991
Aliquote Nombre aliquote. – Entier naturel qui est mis en relation avec la somme de ses diviseurs aliquotes ou propres. Lorsque la somme des diviseurs propres d'un nombre lui est supérieure, le nombre est dit abondant. Lorsque la somme lui est égale, le nombre est dit parfait. Lorsque la somme lui est inférieure, le nombre est dit déficient.
Suite aliquote. – Suite finie composée d'entiers naturels dans laquelle chaque terme est la somme des diviseurs propres du précédent, et dont le dernier terme est l'unité. Voici les suites engendrées par les entiers de 40 à 45 : [40, 50, 43, 1], [41, 1], [42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1], [43, 1], [44, 40, 50, 43, 1], [45, 33, 15, 9, 4, 3, 1]. Le nombre de termes détermine l'ordre de la suite. Ainsi, les suites dont le premier terme est un nombre premier sont d'ordre 2.
Amiables Nombres amiables. – Se dit d'entiers naturels formant une paire, tels que chacun d'eux est égal à la somme des diviseurs propres de l'autre. Ainsi, 220 et 284 sont des nombres amiables. La somme des diviseurs propres de 220 est 284 et celle de 284 est 220. Euler (1707-1783) donna une liste de 61 paires de nombres amiables.
Chaîne amiable. – Séquence d'entiers naturels dans laquelle chaque nombre est formé par la somme des diviseurs propres du nombre précédent, le premier terme de la séquence étant la somme des diviseurs propres du dernier. La plus petite chaîne amiable est d'ordre 2 et elle est composée de nombres amiables.
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3 FENNI Salah
Chaque nombre obtenu peut être appelé maillon. Les nombres 12 496, 14 288, 15 472, 14 536 et 14 264 forment une chaîne amiable de cinq maillons ou d'ordre 5. La somme des diviseurs propres de 14 264 est 12 496. Il existe une chaîne amiable d'ordre 28. Son premier terme est 14 316 et son dernier est 17 716. Voici ses 28 maillons dans l’ordre ordinaire de lecture :
14 316 19 116 31 704 47 616 83 328 177 792 295 488 629 072 589 786 294 896 358 336 418 904 366 556 274 924 275 444 243 760 376 736 381 028 285 778 152 990 122 410 97 946 48 976 45 946 22 976 22 744 19 916 17 716
Amis Nombres amis. – Se dit d'entiers naturels formant une paire, tels que le rapport des deux entiers est le même que celui de la somme de leurs diviseurs. Par exemple, 30 et 140 sont deux nombres amis. Le rapport de l’un à l’autre est de 3 à 14. La somme de leurs diviseurs est respectivement 72 et 336 qui sont aussi dans le rapport de 3 à 14.
Toute paire de deux nombres multiparfaits sont des nombres amis puisque la somme de leurs diviseurs est égale à un multiple du nombre lui-même. La somme des diviseurs de 6 est 12 et celle de 28 est 56. Aussi les biparfaits ouparfaits (6, 28) forment une paire de nombres amis.
Antipalindrome Nombre antipalindrome. – Entier naturel composé d'un nombre pair de chiffres, pour lequel les chiffres correspondants de même rang à partir de la droite et de la gauche sont différents deux à deux. Le nombre suivant est antipalindrome :
Associés Nombres associés. – Se dit de deux nombres ou plus, pas nécessairement entiers, dont l’addition et la multiplication donnent le même résultat. Il existe des algorithmes pour trouver des sous-ensembles de nombres associés.
Pour trouver deux nombres associés a et b, on choisit pour a une valeur arbitraire autre que 1. On fait b = a/(a - 1). Par exemple, si a = 1,4, alors b = 3,5. On peut écrire : 1,4 + 3,5 = 4,9 et 1,4 × 3,5 = 4,9. Voici les différents couples lorsque m varie de 2 à 9 :
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4 FENNI Salah
2 + 2 = 2 × 2 = 4 3 + 1,5 = 3 × 1,5 = 4,5
4 + 1 1/3 = 4 × 1 1/3 = 5 1/3 5 + 1,25 = 5 × 1,25 = 6,25
6 + 1,2 = 6 × 1,2 = 7,2 7 + 1 1/6 = 7 × 1 1/6 = 8 1/6
8 + 1 1/7 = 9 × 1 1/7 = 9 1/7 9 + 1 1/8 = 9 × 1 1/8 = 10 1/8
Le résultat est donné par la formule a2/(a - 1).
Automorphe Nombre automorphe. – Entier naturel qui, élevé au carré, se retrouve dans la dernière partie du résultat. Le nombre 76 est automorphe car son carré est égal à 5776. Voici 22 nombres automorphes :
5 25
625 90 625
890 625 2 890 625
12 890 625 212 890 625
8 212 890 625 18 212 890 625
918 212 890 625
6 76
376 9376
109 376 7 109 376
87 109 376 787 109 376
1 787 109 376 81 787 109 376
40 081 787 109 376
La même propriété s'applique à ces nombres si on les élève à toute puissance supérieure à 2.
Bipériodique Nombre bipériodique. – Entier naturel dont les chiffres partagés en deux parties égales sont identiques, sans qu’on change l’ordre des chiffres. Ainsi 77, 5454, 385 385, 34 563 456 sont des nombres bipériodiques. Aucun entier formé d'un nombre impair de chiffres ne peut être bipériodique.
Les 10 plus petits nombres bipériodiques supérieurs à 1000 sont : 1010, 1111, 1212, 1313, 1414, 1515, 1616, 1717, 1818 et 1919.
Catalan Nombre de Catalan. – Entier naturel de la suite 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4 862, 16 796, ... Le terme général de rang n est le produit de 2(2n - 3)/n et du terme du rang précédent, sauf lorsque n est égal à l'unité où le terme est 1 par définition. Cette suite a été définie par Catalan, un mathématicien belge.
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Chanceux Nombre chanceux. – Entier naturel déterminé en 1956 par le mathématicien polonais Stanislaw Ulam (1909-1984) en appliquant le principe du crible d'Ératosthène.
On commence par supprimer les nombres pairs. Comme il reste 3 après le 1 qui est considéré comme chanceux, on supprime le troisième nombre sur trois parmi ceux qui restent. Le plus petit nombre non touché est 7. On supprime alors le septième nombre sur sept parmi ceux qui restent et ainsi de suite, le plus petit nombre restant indiquant toujours le rang des nombres à biffer. Le procédé utilisé par Ulam pour identifier les nombres chanceux est appelé crible d'Ulam. Les 49 plus petits nombres chanceux sont :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 3 7 9 13 15 21 25 31 1 33 37 43 49 51 63 67 69 73 75 2 79 87 93 99 105 111 115 127 129 133 3 135 141 151 159 163 169 171 189 193 195 4 201 205 211 219 223 231 235 237 241 259
Goldbach (1690-1764) a conjecturé que tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers. Cette conjecture a été étendue aux nombres chanceux. Il existe d’ailleurs une certaine analogie entre les chanceux et les premiers.
Chen Nombre premier de Chen. – Nombre premier p pour lequel (p + 2) est soit un premier, soit un semi-premier. Par exemple, 43 qui est un premier n’est pas un nombre de Chen car 45 n’est pas premier et n’est pas le produit de deux premiers. Par ailleurs, 53 qui est un premier est un nombre de Chen car 55 est le produit de deux premiers, soit 5 et 11.
Les 49 plus petits nombres de Chen sont (Sloane, A109611) :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 5 7 11 13 17 19 23 1 29 31 37 41 47 53 59 67 71 83 2 89 101 107 109 113 127 131 137 139 149 3 157 167 179 181 191 197 199 211 227 233 4 239 251 257 263 269 281 293 307 311 317
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Circulaire Nombre circulaire. – Entier naturel qui, multiplié généralement par un entier, donne un résultat contenant les mêmes chiffres dans le même ordre, mais déplacés d’une position. On accepte un ou des zéros au début du nombre puisque ceux-ci sont aussi dans d’autres positions. Deux cas sont possibles.
L’unité du multiplicande devient le premier chiffre du produit. Par exemple, en multipliant 142 857 par 5, on obtient 714 285. Le 7 qui est l’unité du multiplicande est promu au premier rang du produit. Connaissant la période d’une fraction a/b, on peut trouver un nombre circulaire qui lui est associé en multipliant la période par le générateur de b.
Colombien Nombre colombien. – Entier naturel qui ne peut pas être décomposé en la somme d'un autre entier et des chiffres de ce dernier. Par exemple, 36 n'est pas un nombre colombien, car il peut être décomposé en 27 + 2 + 7 = 36. Le nombre 64 est colombien, car il n'existe pas d'entier tel que la somme de cet entier et de ses chiffres soit égale à 64. Les 49 plus petits nombres colombiens sont :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 3 5 7 9 20 31 42 53 1 64 75 86 97 108 110 121 132 143 154 2 165 176 187 198 209 211 222 233 244 255 3 266 277 288 299 310 312 323 334 345 356 4 367 378 389 400 411 413 424 435 446 457
Complémentaires Nombres complémentaires – 1e Deux entiers naturels dont la somme des chiffres de même rang est égale à 9 sont dits complémentaires. Par exemple, 42 et 57 sont complémentaires. Leur somme est 99. Cette notion est à la base de la création de certains tours de magie.
Par exemple, on demande aux spectateurs de donner deux nombres de quatre chiffres ; puis, on écrit rapidement trois nombres de quatre chiffres et la somme des cinq nombres.
L'astuce consiste à choisir un nombre au hasard dont le dernier chiffre n'est pas zéro et les complémentaires des deux nombres suggérés par les spectateurs. La réponse est un nombre de cinq chiffres dont le premier chiffre est 2, les quatre autres sont ceux du nombre choisi au hasard auquel on a soustrait 2. Voici un exemple :
4680 Premier nombre choisi par un spectateur 3862 Deuxième nombre choisi par un spectateur
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+ 7234 Nombre choisi au hasard 5319 Complémentaire du premier nombre 6137 Complémentaire du deuxième nombre 27232 Somme
Composé Nombre composé. – Entier naturel qui est le produit de deux nombres premiers ou plus. La classe des nombres composés comprend tous les entiers naturels à l’exception de 1 et des nombres premiers.
Le tableau suivant donne les 10 plus petits nombres composés, leurs facteurs, leurs facteurs premiers et leur factorisation.
Facteurs Facteurs premiers Factorisation 4 1, 2, 4 2 2 × 2 = 22 6 1, 2, 3, 6 2, 3 2 × 3 8 1, 2, 4, 8 2 2 × 2 × 2 = 23 9 1, 3, 9 3 3 × 3 = 32
10 1, 2, 5, 10 2, 5 2 × 5 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 2, 3 2 × 2 × 3 = 22 × 3 14 1, 2, 7, 14 2, 7 2 × 7 15 1, 3, 5, 15 3, 5 3 × 5 16 1, 2, 4, 8, 16 2 2 × 2 × 2 × 2 = 24 18 1, 2, 3, 6, 9, 18 2, 3 2 × 3 × 3 = 2 × 32
Un nombre est composé lorsque l’unité du nombre d’au moins deux chiffres est 0, 2, 4, 5, 6 ou 8. Pour établir si un nombre impair autre que se terminant par 5 est composé, on vérifie si le nombre donné est successivement divisible par un nombre premier inférieur à sa racine carrée. Si on ne trouve pas de facteur premier dans l’intervalle donné, le nombre n’est pas composé.
Congrus Nombres congrus. – Deux entiers naturels sont dits congrus s'ils ont les mêmes restes quand ils sont divisés par un même entier. Par exemple, 25 et 46 sont congrus modulo 7 car ils ont 4 comme reste lorsqu'ils sont divisés par 7.
Consécutifs Nombres consécutifs. – Entiers naturels écrits en ordre croissant et dans lequel la différence entre chacun des éléments est égale à l'unité. Tout nombre, sauf les puissances de 2, peut être écrit sous forme d'une somme de nombres consécutifs. Ainsi, 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ou 4 + 5 + 6 ou 7 + 8.
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Tout nombre premier impair peut être représenté d'une seule façon par une somme d'entiers consécutifs. Voici l'illustration des quatre plus petits nombres premiers impairs :
Conservateur Nombre conservateur. – Entier naturel qui divise un autre entier composé des mêmes chiffres dans un autre ordre pour donner un troisième entier. Le nombre 142 857 est conservateur, car 285 714/142 857 est égal à 2. Également, 1089 est conservateur. Il divise son renversé.
Crêté Nombre crêté. – Entier naturel pour lequel chaque chiffre, lu de gauche à droite, est représenté par un point lesquels sont reliés entre eux par des segments en tenant compte de l’ordre des chiffres de cette façon : 1. Lorsque le chiffre qui suit est plus grand, le point est placé plus haut vers la droite. 2. Lorsque le chiffre qui suit est identique, le point est placé sur le même plan horizontal vers la droite. 3. Lorsque le chiffre qui suit est plus petit, le point est placé plus bas vers la droite.
Par définition, un nombre d’un seul chiffre est crêté. La figure qui représente le nombre est une crête. Les nombres de trois chiffres sont représentés par neuf crêtes différentes. Les voici :
Les crêtes (A, I), (B, H), (C, G), (D, F) contiennent mutuellement des nombres renversés en excluant les nombres dont l’unité est zéro. Il existe 28 nombres crêtés de forme A dans l’intervalle [100, 200]. Ce sont :
123 124 134 125 135 145 126 136 146 156 127 137 147 157 167 128 138 148 158 168 178 129 139 149 159 169 179 189
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Curieux
Nombre curieux. – Nombre qui possède une ou quelques propriétés généralement exclusives. Il peut arriver qu'un entier soit considéré comme curieux, mais que des recherches ultérieures permettent de trouver d'autres entiers ayant les mêmes propriétés. Le nombre cesse alors d’être curieux.
Voici des exemples de nombres curieux :
Le nombre 17 est curieux, car il est le seul comme nombre premier à être la somme de quatre premiers successifs. En effet, 2 + 3 + 5 + 7 = 17.
Le nombre 37 est curieux car 3 × 37 = 111, 6 × 37 = 222, 9 × 37 = 333, 12 × 37 = 444. Le produit est un nombre de trois chiffres identiques jusqu'à 27 × 37 = 999.
Le nombre 145 est curieux, car il peut être exprimé par la somme des factorielles de ses chiffres : 145 = 1! + 4! + 5!. On pense qu’il est le seul ayant cette propriété.
Le nombre 1089 est curieux car les produits de 1089 et de deux nombres complémentaires par rapport à 10 sont des palindromes :
1089 × 1 = 1089 et 1089 × 9 = 9801 1089 × 2 = 2178 et 1089 × 8 = 8712 1089 × 3 = 3267 et 1089 × 7 = 7623 1089 × 4 = 4356 et 1089 × 6 = 6534
Le nombre 2520 est curieux car il est le plus petit commun multiple des entiers de 1 à 10.
Cyclique Nombre cyclique. – Entier naturel de n chiffres qui, multiplié par tout entier inférieur à n, engendre un produit qui contient les mêmes chiffres dans un même ordre cyclique. On accepte un ou des zéros au début du nombre puisque ceux-ci apparaissent dans d’autres positions.
Le nombre 142 857 est cyclique. Il correspond à la période de 1/7. Multiplié par 2, 3, 4, 5 et 6, on obtient respectivement d’autres nombres cycliques : 285 714, 428 571, 571 428, 714 285 et 857 142. Les chiffres de ces nombres sont 1, 4, 2, 8, 5 et 7 dans l'ordre cyclique. Voici l'illustration du cycle :
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Décubé Nombre décubé. – Entier naturel formé d'un cube diminué de sa racine cubique. Les 10 plus petits nombres décubés non nuls sont : 6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, 720, 990 et 1320. Le terme général de rang n est n(n + 1)(n + 2). Le dernier chiffre de tout nombre décubé est 0, 4 ou 6.
Déficient Nombre déficient. – Entier naturel dont la somme des diviseurs propresest inférieure au nombre lui-même. Le nombre 16 est déficient, car la somme de ses diviseurs, autres que lui-même, est 15. Tous les nombres inférieurs à 12, sauf 6 qui est parfait, sont déficients. Les 49 plus petits nombres déficients sont :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 19 21 22 23 25 2 26 27 29 31 32 33 34 35 37 38 3 39 41 43 44 45 46 47 49 50 51 4 52 53 55 57 58 59 61 62 63 64
Les nombres premiers sont tous déficients.
Diamétral Nombre diamétral. – Entier naturel qui est le produit de deux entiers correspondant à la mesure des côtés de l'angle droit dans un triangle dePythagore. Le troisième entier, qui est la mesure de l'hypoténuse, est alors appelé diamètre. Dans le triangle dont les côtés mesurent trois, quatre et cinq unités, le nombre diamétral est 12 et le diamètre est 5.
Les 10 plus petits nombres diamétraux formés à partir d'un triplet primitif de Pythagore sont : 12, 60, 120, 168, 360, 420, 660, 1008, 1092 et 1260. Dans le tableau suivant, la suite de la colonne de gauche engendre des nombres diamétraux qui donnent des égalités comportant deux carrés successifs.
Expression Fraction N. diamétral Somme 1 + 1/3 4/3 3 × 4 = 12 32 + 42 = 52 2 + 2/5 12/5 5 × 12 = 60 52 + 122 = 132 3 + 3/7 24/7 7 × 24 = 168 72 + 242 = 252 4 + 4/9 40/9 9 × 40 = 360 92 + 402 = 412
5 + 5/11 60/11 11 × 60 = 660 112 + 602 = 612 6 + 6/13 84/13 13 × 84 = 1092 132 + 842 = 852
etc.
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Dilaté Nombre dilaté. – Un nombre est dilaté quand deux chiffres qui se suivent ne sont pas identiques ou ne sont pas voisins dans l’ordre numérique. Par exemple, 353, 4635, 50 813 sont dilatés. Les nombres 237, 5044 et 5763 ne sont pas dilatés à cause successivement de 2 et de 3, des deux 4 voisins, puis du 7 et du 6.
Par définition, les nombres de 1 à 9 sont dilatés. De 10 à 99, 26 nombres ne sont pas dilatés. Les voici :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 11 12 21 22 23 32 33 34 1 43 44 45 54 55 56 65 66 67 76 2 77 78 87 88 89 98 99
Les plus petits nombres dilatés et les plus grands qui sont composés du nombre n de chiffres sont :
n 3 4 5 6 7 plus petit 130 1302 13 020 130 202 1 302 020 plus grand 979 9797 97 979 979 797 9 797 979
Encastré
Nombre encastré – Entier naturel qui peut être formé avec les chiffres d'un premier entier, sans tenir compte de l'ordre des chiffres. Ainsi, dans 45 363, on trouve 10 entiers de deux chiffres qui sont encastrés : 33, 34, 35, 36, 43, 45, 46, 63, 64 et 65.
Entier
L'ensemble des entiers relatifs est formé par les négatifs, zéro et les positifs. En mathématiques récréatives, on emploie souvent ce mot pour désigner tout entier positif et zéro. Tout nombre entier positif non carré peut toujours se décomposer en deux, en trois ou en quatre carrés parfaits. Voici trois exemples : 19 = 9 + 9 + 1 20 = 16 + 4 21 = 16 + 4 + 1 Tout nombre entier positif qui n’est pas un cube peut toujours se décomposer en un maximum de neuf cubes parfaits. Voici trois exemples : 23 = 8 + 8 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 24 = 8 + 8 + 8 25 = 8 + 8 + 8 + 1
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Étrange Nombre étrange. – Tout nombre abondant qui n’est pas semi-parfait. Le plus petit nombre étrange est 70. Ses diviseurs propres sont 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35. La somme de ses diviseurs propres est 74. Il est donc abondant. Par ailleurs, il n’existe pas un sous-ensemble de ses diviseurs propres dont la somme est 70. Aussi, il n’est pas semi-parfait.
Les 29 plus petits nombres étranges sont :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 70 836 4030 5830 7192 7912 9272 10 430 10 570 1 10 792 10 990 11 410 11 690 12 110 12 530 12 670 13 370 13 510 13 790 2 13 930 14 770 15 610 15 890 16 030 16 310 16 730 16 870 17 272 17 570
Fermat Nombre de Fermat. – Entier naturel de la forme 2k + 1 où k = 2n et où nest un entier plus grand ou égal à 0. Les six plus petits nombres de Fermat sont : 3, 5, 17, 257, 65 537 et 4 294 967 297. Les cinq plus petits sont premiers. Euler découvrit en 1732 que le sixième n'est pas premier. Il est le produit de 641 et de 6 700 417. On ne sait pas si la formule de Fermat donne d'autres nombres premiers.
Euler Nombre d'Euler. – Entier naturel provenant de la formule qui donne le énième nombre pentagonal, soit (3n - 1)n/2, dans laquelle n est un entier positif ou négatif.
Les 10 plus petits nombres non nuls d'Euler sont : 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35 et 40. Les nombres d'Euler apparaissent dans le développement du produit infini (1 - x) (1 - x2) (1 - x3) ( 1 - x4) ..., soit 1 - x - x2 + x5 + x7 - x12 - x15 + ... Ils sont aussi utilisés pour trouver la somme des diviseurs d'un entier naturel et les partitions d'un nombre.
Fibonacci
Nombre de Fibonacci. – Entier naturel qui appartient à une suite dont les deux premiers termes sont 1 et dont chacun des termes successifs est égal à la somme des deux précédents. Les 29 plus petits nombres de Fibonacci sont :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 1 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 2 6765 10946 17 711 28 657 46 368 75 025 121 393 196 418 317 811 514 229
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Harshad Nombre harshad. – Tout entier naturel divisible par la somme des chiffres qui le composent. Le nombre 629 est un nombre harshad, car 6 + 2 + 9 = 17 et 629 est divisible par 17. Le quotient est 37. Harshad provient du sanskrit, une langue indo-européenne, et signifie "qui procure de la joie". Depuis 1997, ces nombres sont appelés nombres de Niven en l’honneur du mathématicien américain Ivan Morton Niven (1915-1999).
Les 59 plus petits nombres harshad sont :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 12 18 20 21 24 27 30 36 40 2 42 45 48 50 54 60 63 70 72 80 3 81 84 90 100 102 108 110 111 112 114 4 117 120 126 132 133 135 140 144 150 152 5 153 156 162 171 180 190 192 195 198 200
Heptaparfait
Nombre heptaparfait. – Nombre multiparfait dont le multiple est 7. On connaît 516 nombres heptaparfaits. Voici un nombre heptaparfait énoncé par Albert H. Beiler : 246 × 315 × 53 × 75 × 11 × 13 × 17 × 194 × 23 × 31 × 37 × 41 × 43 × 61 × 89 × 97 × 151 × 193 × 911 × 2351 × 4513 × 442 151 × 13 264 529.
Hétérogènes Nombres hétérogènes. – Entiers naturels qui n'ont pas tous les mêmes facteurs premiers. Par exemple, 20 et 30 sont hétérogènes, car les facteurs premiers de 20 sont 2 et 5 et ceux de 30 sont 2, 3 et 5. En effet, 20 = 22 × 5, et 30 = 2 × 3 × 5.
Heureux Nombre heureux. – Entier naturel dont on fait la somme des carrés de ses chiffres et la même opération sur chaque résultat successif jusqu'à ce qu’on aboutisse à 1. Par exemple, 70 est un nombre heureux, car 72 + 02 = 49, 42 + 92 = 97, 92 + 72 = 130, 12 + 32 + 02 = 10 et 12 + 02 = 1. La séquence est donc 70, 49, 97, 130, 10, 1. La répétition des mêmes opérations se fait cinq fois. Le nombre de répétitions ou l’ordre du nombre heureux 70 est donc 5.
Le tableau suivant présente les 59 plus petits nombres heureux.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 7 10 13 19 23 28 31 32 1 44 49 68 70 79 82 86 91 94 97 2 100 103 109 129 130 133 139 167 176 188
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3 190 192 193 203 208 219 226 230 236 239 4 262 263 280 291 293 301 302 310 313 319 5 320 326 329 331 338 356 362 365 367 368
Hexaparfait Nombre hexaparfait. – Nombre multiparfait dont le multiple est 6. On connaît 245 nombres hexaparfaits. Fermat (1601-1665) a trouvé l'hexaparfait suivant : 227 × 35 × 53 × 7 × 11 × 132 × 19 × 29 × 31 × 43 × 61 × 113 × 127.
Homogènes Nombres homogènes. – Entiers naturels qui ont les mêmes facteurs premiers. Par exemple, les nombres 20 et 100 sont homogènes. Leurs facteurs premiers sont mutuellement 2 et 5. En effet, 20 = 22 × 5 et 100 = 22× 52.
Impair Nombre impair. – Tout entier naturel qui n'est pas divisible par 2. Les 10 plus petits nombres impairs sont : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 et 19. Les nombres premiers, sauf 2, sont tous impairs. Si on additionne n entiers impairs consécutifs à partir de 1, on obtient le carré de n.
1 + 3 + 5 = 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52
Si on additionne successivement les entiers impairs par groupes d’un, de deux, de trois, ..., on obtient le cube des nombres successifs.
1 = 13 3 + 5 = 8 = 23
7 + 9 + 11 = 27 = 33
13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 43 Les premiers nombres de chaque ligne forment une suite dont le terme général est (n2 - n + 1).
Invariant Nombre invariant. – Entier naturel qui peut être représenté sous une autre forme exclusivement à l'aide des chiffres qui le composent en faisant certaines opérations sur ces chiffres. Les trois entiers suivants sont invariants : 25 = 52 2592 = 25 × 92 36 = 6 × 3!
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Joyeuse Suite joyeuse. – Suite d'entiers naturels dont le premier est choisi arbitrairement ; le terme qui le suit est la somme des carrés de ses chiffres et ainsi de suite.
Par exemple, si le premier terme est 36, le deuxième sera 45, car 32 + 62 = 45. À moins que ce procédé ne conduise à l'unité, il conduit à 145 et engendre un cycle qui se reproduit indéfiniment.
Les nombres 5, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89, ... forment une suite joyeuse dont le cycle commence à 89 et finit à 58. Lorsque la suite se termine par 1, les nombres sont dits heureux.
Jumeaux Nombres premiers jumeaux. – Se dit de deux nombres premiers dont la différence est égale à 2. C’est l’Allemand Paul Stäckel (1862-1919) qui a introduit le concept de jumeaux. Les 10 plus petites paires de nombres premiers jumeaux sont : (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109). Le plus petit nombre premier impair qui n’a pas de jumeau est 23. L’unité du premier terme d’une paire ne peut pas être 3, sauf pour (3, 5). Il y a huit paires dont les termes sont inférieurs à 100, 35 paires inférieures à 1000 et 205 paires inférieures à 10 000.
Dans le tableau suivant, M indique qu’il s’agit de multiple. Les exceptions ne sont pas indiquées
Différence dans une
paire
Somme dans une paire : M
Différence entre deux paires : M
Produit dans une paire
N. de paires <
100 Jumeaux 2 12 12 + 1 8
Bijumeaux 4 6 12 + 4 8 Trijumeaux 6 4 4 + 9 15
Tétrajumeaux 8 6 12 + 16 9 Pentajumeaux 10 12 12 + 25 10 Hexajumeaux 12 2 4 + 36 14
Kaprekar Nombre de Kaprekar. – Entier naturel qui est égal à la somme de deux parties de son carré, aucune partie n'étant formée uniquement de zéros. Ainsi, 45 est un nombre de Kaprekar. Son carré est égal à 2025 qu'on peut décomposer en 20 et en 25, dont la somme est 45. Les 10 plus petits nombres de Kaprekar sont : 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 2223, 2728 et 7272. Le nom du mathématicien indien D. R. Kaprekar est associé à la théorie des nombres.
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Langford Suite de Langford. – Suite dans laquelle il existe un nombre entre deux 1, deux nombres entre deux 2, trois nombres entre deux 3, quatre nombres entre deux 4, etc. Cette suite, qui contient autant de paires de nombres égaux que le plus grand de ses termes, a été inspirée par le problème descubes de Langford.
La suite pour trois paires de nombres est : 3, 1, 2, 1, 3, 2. Avec quatre paires de nombres, on a la suite suivante : 4, 1, 3, 1, 2, 4, 3, 2. Il n'y a pas de suite avec cinq ou six paires. On trouve 26 suites différentes avec sept paires et 150 suites avec huit paires.
Littéral Nombre littéral. – Entier naturel formé à partir d'un mot en considérant les lettres de l'alphabet comme des chiffres et en attribuant à chaque lettre un nombre correspondant à son rang dans l'alphabet, sauf le z qui devient zéro. Il s'agit donc de transformer un entier de base 26 en base 10. Le nombre correspondant au mot ZINC est : Z × 263 + I × 262 + N × 261 + C × 260 = 0 × 263 + 9 × 262 + 14 × 26 + 3 × 1 = 6451 Le nombre correspondant à JEU est : 10 × 262 + 5 × 26 + 21 × 1 = 6911
Lucas
Nombre de Lucas. – Entier naturel qui appartient à une suite dont les deux premiers termes sont 1 et 3 et dont chacun des termes successifs est égal à la somme des deux précédents. Les 29 plus petits nombres de Lucas sont :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 3 4 7 11 18 29 47 76 1 123 199 322 521 843 1364 2207 3571 5778 9349 2 15 127 24 476 39 603 64 079 103 682 167 761 271 443 439 204 710 647 1 149 851
Suite de Lucas. – Suite des nombres de Lucas. Les deux premiers termes sont 1 et 3. Chacun des termes successifs est égal à la somme des deux précédents. Les 10 plus petits termes de la suite sont : 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76 et 123.
La suite de Lucas est constituée à la façon d'une suite de Fibonacci
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Mandela, Nelson Nombre de Mandela. – Entier naturel qui fut le numéro de matricule de Nelson Mandela à la prison de Robben Island en Afrique du Sud. Ce nombre est 46 664. Mandela fut le 466e prisonnier politique à y être incarcéré en 1964. Voici quelques propriétés de ce nombre :
Le nombre de la bête qui est 666 est intercalé entre deux 4. Ce seul fait donne une grande valeur au nombre de Mandela, puisque 666 a beaucoup de propriétés. Le 4 qui apparaît deux fois est le carré du premier nombre premier qui est aussi le seul premier pair. C’est comme si les deux 4 étaient les gardiens de la bête. À l’aide de ses chiffres, le nombre de Mandela peut être réduit au nombre de la bête : 664 + 6 - 4 = 666.
C’est un nombre de Smith. Ses facteurs sont 2 × 2 × 2 × 19 × 307. La somme des chiffres des facteurs est 26 tout comme la somme des chiffres de 46 664.
C’est le 19e nombre presque premier constitué par cinq nombres premiers qui sont formés des chiffres semi-premiers 4, 6 ou 9. Le rang est égal à un de ses facteurs.
Si on divise 46664 par 4, on obtient 11 666 : le retour de 666 et de deux chiffres identiques.
Ce nombre a deux 4 et trois 6. Or, 4 est le double de 2 et 6 est le triple de 2. Si on additionne 4 et 6, on obtient 10 qui est le double du nombre de chiffres de 46 664.
Le nombre de Mandela apparaît dans les décimales des deux tiers du nombre de Neper. Le premier 4 est la 46e décimale. Les deux tiers sont justifiés par les deux 4 et les trois 6.
Il apparaît dans les décimales de π. Le premier 4 de 46 664 est la 98 145edécimale.
La somme du premier et du dernier chiffre de ce nombre est 8. La somme totale de ses chiffres est 26 et 2 + 6 = 8.
C’est un nombre palindrome. Il peut être lu dans les deux sens. Il est le sixième palindrome qui est coincé entre un nombre premier et un nombretriangulaire : 46 663 est un premier et 46 665 est un triangulaire.
Ce nombre s’écrit XLVIDCLXIV en chiffres romains, les quatre premiers chiffres devant être surmontés d’une barre transversale. Dans la partie des 1000, quatre des chiffres romains apparaissent en ordre décroissant une et une seule fois ; dans la deuxième partie, six des sept chiffres romains apparaissent ; seul le M n’apparaît pas. Dans cette dernière partie, si on donne à chaque lettre neuf fois son rang dans l’ordre
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alphabétique, on obtient : 9(4 + 3 + 12 + 24 + 9 + 22) = 666, qui est le centre de 46 664.
Mersenne
Nombre de Mersenne – Entier naturel de la forme (2p - 1) où p est un entier naturel. Le nom de Mersenne qui était théologien et mathématicien français resta lier à cette classe de nombres à cause d’une conjecture qu’il a faite en 1644. Il affirmait que les nombres de la forme (2p - 1) sont premiers. lorsque p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 et 257 et qu’ils sont composés pour toute autre valeur de n inférieure à 257. D’après le deuxième tableau ci-après, on constate que pour n = 67 et 257 le nombre n’est pas premier et qu’il l’est pour 61, 89 et 107, nombres omis par Euler. Voici les 20 plus petits nombres de Mersenne avec des indications sur leur propriété d’être premier ou composé :
Rang 2p - 1 Nombre Premier ou composé 1 21 - 1 1 - 2 22 - 1 3 Nombre premier 3 23 - 1 7 Nombre premier 4 24 - 1 15 3 × 5 5 25 - 1 31 Nombre premier 6 26 - 1 63 32 × 7 7 27 - 1 127 Nombre premier 8 28 - 1 255 3 × 5 × 17 9 29 - 1 511 7 × 73 10 210 - 1 1023 3 × 11 × 31 11 211 - 1 2047 23 × 89 12 212 - 1 4095 32 × 5 × 7 × 13 13 213 - 1 8191 Nombre premier 14 214 - 1 16 383 3 × 43 × 127 15 215 - 1 32 767 7 × 31 × 151 16 216 - 1 65 535 3 × 5 × 17 × 257 17 217 - 1 131 071 Nombre premier 18 218 - 1 262 143 33 × 7 × 19 × 73 19 219 - 1 524 287 Nombre premier 20 220 - 1 1 048 575 3 × 52 × 11 × 31 × 41
Un nombre de Mersenne de rang n est égal à la somme des puissances successives de 2 où p varie de 0 à (n - 1). Ainsi, le nombre de Mersenne de rang 5 est 20 + 21 + 22 + 23 + 24 = 31
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Multiparfait Nombre multiparfait. – Entier naturel dont la somme des diviseurs est égale à un multiple de lui-même. Le nombre 120 est multiparfait, car la somme de ses diviseurs est 360. Comme la somme des diviseurs est égale à trois fois 120, on dit que ce nombre est triparfait. Tout nombre parfait est un multiparfait de multiple 2. D'après la définition de nombre multiparfait, on peut considérer un nombre parfait comme un biparfait.
Du biparfait à l'octaparfait, on connaît 2046 nombres multiparfaits. Ils sont répartis ainsi :
Multiple Classe Nombre
2 Biparfait (Parfait) 48
3 Triparfait 6
4 Tétraparfait 36
5 Pentaparfait 65
6 Hexaparfait 245
7 Heptaparfait 516
8 Octaparfait 1134
Multiplicatif
Nombre multiparfait multiplicatif. – Entier naturel n dont le produit les diviseurs est égal à n élevé à une puissance entière p. Seuls les nombres premiers et les nombres élevés à une puissance paire ne sont pas dans cette classe. L’appellation des nombres multiparfaits est faite en fonction de la puissance du produit.
Puissance 2 3 4 5 6 7 8 Appellation Bi-parfait Tri-parfait Tétra-parfait Penta-parfait Hexa-parfait Hepta-parfait Octa-parfait
Narcissique Chaîne narcissique. – Séquence d'entiers naturels dans laquelle chaque nombre est formé par la somme des puissances entières de chiffres ou de tranches égales de chiffres du précédent jusqu'à ce que la dernière somme soit égale au premier entier. La puissance entière est la même pour chaque chiffre ou pour chaque tranche. Chaque nombre obtenu est appelé maillon. Les trois chaînes narcissiques suivantes ont respectivement 2, 3 et 8 maillons : 3869 : 382 + 692 = 6205, 6205 : 622 + 052 = 3869
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55 : 53 + 53 = 250, 250 : 23 + 53 + 03 = 133, 133 : 13 + 33 + 33 = 55 58 : 52 + 82 = 89, 89 : 82 + 92 = 145, 145 : 12 + 42 + 52 = 42, 42 : 42 + 22 = 20, 20 : 22 + 02 = 4, 4 : 42 = 16, 16 : 12 + 62 = 37, 37 : 32 + 72 = 58
Narcissique
Nombre narcissique. – Entier naturel dont la somme des puissances entières de ses chiffres ou de puissances entières de tranches égales de ses chiffres est égal à lui-même. L'exposant peut être tout entier supérieur à 1 et il est le même pour chaque chiffre ou chaque tranche.
Les 10 nombres suivants sont narcissiques :
153 = 13 + 53 + 33 370 = 33 + 73 + 03 371 = 33 + 73 + 13 407 = 43 + 03 + 73 1634 = 14 + 64 + 34 + 44 8208 = 84 + 24 + 04 + 84 9474 = 94 + 44 + 74 + 44 4151 = 45 + 15 + 55 + 15 1233 = 122 + 332 8833 = 882 + 332 165 033 = 163 + 503 + 333 548 834 = 56 + 46 + 86 + 86 + 36 + 46
Or Nombre d'or. – Nombre qui provient de la proportion a/b = (a + b)/a et qui est égal approximativement à 1,618 033 989. Le nombre d'or, appelé phi, est le seul nombre positif qui est égal à son inverse augmenté de l'unité. L'inverse est, en effet, 0,618 033 989... Les rapports successifs de deux nombres de Fibonacci consécutifs se rapprochent de plus en plus de cet inverse.
Dans le pentagramme suivant, le rapport de la mesure du segment MN à celle du segment NP est égal au nombre d'or.
Pair
Nombre pair. – Entier naturel divisible par 2. Les 10 plus petits nombres pairs non nuls sont : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 et 20. On peut partager les nombres pairs en au moins deux classes : les nombres impairement pairs, ceux qui sont les doubles des nombres impairs ou divisibles par 2 une seule fois, comme 2, 6, 10, 14, ... ; les nombres pairement pairs, ceux qui sont les doubles des nombres pairs ou divisibles par 4, comme 4, 8, 12, 16, ...
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Cette classification est utile notamment dans la construction de carrés magiques où des règles différentes peuvent être appliquées à chaque classe. La somme des n plus petits nombres pairs consécutifs est égale à n(n + 1), soit le double du triangulaire de rang n.
Pair Nombre purement pair. – Nombre pair qui est une puissance de 2. Les 10 plus petits nombres purement pairs sont : 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 et 1024.
Palindrome Nombre palindrome. – Entier naturel égal à lui-même s'il est lu de gauche à droite ou de droite à gauche. Voici les 59 plus petits nombres palindromes :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 22 33 44 55 66 77 88 99 101 2 111 121 131 141 151 161 171 181 191 202 3 212 222 232 242 252 262 272 282 292 303 4 313 323 333 343 353 363 373 383 393 404 5 414 424 434 444 454 464 474 484 494 505
Dans l'intervalle de 1 à 9, il existe neuf palindromes ; de 10 à 99, il existe neuf palindromes ; de 100 à 999 comme de 1000 à 9999, il existe 90 palindromes ; de 10 000 à 99 999 comme de 100 000 à 999 999, il existe 900 palindromes. Entre 10 et 10 000, il y a trois carrés palindromes : 121, 484 et 676. Le carré palindrome qui suit est 10 201.
Il n’existe pas de nombre premier palindrome dont le nombre de chiffres est pair car ces nombres sont des multiples de 11. Entre 100 et 1000, il y a 15 palindromes premiers : 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919 et 929 ; entre 10 000 et 100 000, il y en a 93 ; entre 1 000 000 et 10 000 000, il y en a 668. La dernière année palindrome du 20e siècle a été 1991 ; la première du 21e siècle a été 2002.
En additionnant un nombre et son renversé, on peut trouver un nombre palindrome. Par exemple, 23 + 32 = 55, 145 + 541 = 686. Si le nombre obtenu n’est pas palindrome, on peut exécuter la même opération sur le résultat jusqu'à ce qu'on obtienne un palindrome.
Par exemple, 57 exige deux renversements pour produire en bout de ligne un nombre palindrome : 57 + 75 = 132 et 132 + 231 = 363. Aussi, 78 exige quatre renversement : 78 + 87 = 165, 165 + 561 = 726, 726 + 627 = 1353 et 1353 + 3531 = 4884. Le nombre
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89 (ou 98) donne le palindrome 8 813 200 023 188 après 24 renversements ; c'est le nombre de deux chiffres qui exige le plus de renversements.
Parfait Carré parfait – 1e Nombre qui est le carré d'un entier naturel. Voici un tableau qui contient les 99 plus petits carrés parfaits :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81
1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801
Le terme général de rang n est n2. La somme des n carrés parfaits consécutifs à partir de l'unité est égale à n(n + 1)(2n + 1)/6.
Un entier n'est pas un carré si son dernier chiffre est 2, 3, 7 ou 8 ; ou encore si son résidu est 2, 3, 5, 6 ou 8. Chaque carré parfait est divisible par 3 ou l’est quand on lui soustrait 1. Chaque carré parfait est divisible par 4 ou l’est quand on lui soustrait 1. Chaque carré parfait est divisible par 5 ou l’est quand on lui additionne ou soustrait 1. En retranchant l'unité à un carré parfait impair, le résultat est un multiple de 8.
On peut écrire des identités avec des carrés lorsque le premier terme est 3, 10, 21, 36, ... On a successivement 2, 3, 4, ... termes dans le premier membre et 1, 2, 3, ... termes dans le deuxième membre. Voici les quatre premières identités : 32 + 42 = 52 = 25 102 + 112 + 122 = 132 + 142 = 365 212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272 = 2030 362 + 372 + 382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442 = 7230
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Parfait Cube parfait. – Nombre qui est le cube d'un entier naturel. Les 10 plus petits cubes parfaits sont : 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 et 1000. Le terme général de rang n est n3. Voici six propriétés des cubes parfaits : Tout cube parfait de rang n est la somme des n entiers consécutifs impairs commençant avec [n(n - 1) + 1]. Ainsi, 64 est égal à 13 + 15 + 17 + 19. Tout cube parfait est soit un multiple de 9, soit un multiple de 9 augmenté ou diminué de l'unité. La somme des n cubes parfaits consécutifs à partir de l'unité est égale à [n(n + 1)/2]2. La somme des cubes des n plus petits entiers est le carré de la somme des n plus petits entiers. Elle est égale à (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)2. Le plus petit nombre de cubes dont la somme est un cube est 3. Exemples : 33 + 43 + 53 = 63 et 63 + 83 + 103 = 123. Les cubes des entiers dont l'unité est 0, 1, 4, 5, 6 ou 9 sont terminés respectivement par ces mêmes chiffres ; les cubes des entiers terminés par 2, 3, 7 et 8 sont respectivement terminés par 8, 7, 3 et 2.
Parfait
Nombre parfait. – Entier naturel dont la somme des diviseurs propres est égale à lui-même. Avant 1952, on connaissait 12 nombres parfaits. Avec l’arrivée des calculateurs électroniques en 1952, on en a trouvé six autres. Depuis ce temps, 30 autres ont été découverts. Voici les 48 nombres parfaits connus en 2013 :
Rang p 2p-1(2p - 1) Nombre parfait 1 2 2 × 3 6 2 3 4 × 7 28 3 5 16 × 31 496 4 7 64 × 127 8128 5 13 4096 × 8191 33 550 336 6 17 65 536 × 131 071 8 589 869 056 7 19 262 144 × 524 287 137 438 691 328
8 31 1 073 741 824 × 2 147 483 648
2 305 843 008 139 952 128
9 61 260(261 - 1) 37 chiffres 10 89 288(289 - 1) 54 chiffres
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Pensé Nombre pensé. – Nombre choisi par une personne et qui doit être deviné par une autre. Des opérations successives sont indiquées et le résultat final ou non peut permettre de deviner le nombre choisi. Dans certains cas, des questions peuvent être posées pour savoir, par exemple, si le nombre pensé est pair ou impair. Parfois, le choix de plus d'un nombre au départ est requis.
Des objets numérotés comme des jetons ou des cartes peuvent être utilisés. Le calcul algébrique permet de créer de nombreuses récréations de cette classe.
Dans les siècles passés, les nombres pensés ont eu une place importante dans la littérature récréative, d'autant plus qu'ils peuvent être, avec des variantes, la base de tour de magie. Voici sept exemples :
1. On dit à la personne : Pensez à un nombre. Multipliez-le par 6. Additionnez 42. Divisez le résultat par 3. Soustrayez 20. Divisez le résultat par 2. Quel est le résultat ?
Il s’agit d’additionner 3 au résultat pour trouver le nombre pensé. Pour ne pas que la personne devine le truc, on peut modifier certaines opérations à la condition de connaître au préalable la relation entre le résultat et le nombre pensé.
2. On dit à la personne : Pensez à un nombre. Additionnez 6. Additionnez le nombre initial. Divisez le résultat par 2. Soustrayez le nombre initial. Quel est le résultat ?
On n’a pas besoin de demander à la personne son résultat car celui-ci est toujours 3. Ci-après, on donne la séquence d'opérations et leur représentation visuelle à l'aide d'une boîte et des billes. Le nombre pensé correspond au nombre de billes sans tenir compte de la boîte.
3. Faites tripler le nombre pensé. Faites prendre la moitié du résultat obtenu, exactement si c’est possible, sinon on fera ajouter 1 au quotient. Faites tripler le nouveau résultat obtenu et qu’on vous annonce le résultat définitif. Vous divisez alors par 9 ce nombre définitif. Le nombre pensé sera le double du quotient, sauf s’il a fallu ajouter 1 dans la seconde opération ; dans ce dernier cas, vous ajouterez également 1. Nicolas Chuquet (1450-1488)
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Par exemple, le nombre pensé est 35. La personne fait : 35 ×�3 = 105, 105 ÷�2 = 52 reste 1, 52 + 1 = 53, 53 ×�3 = 159. Vous faites 159 ÷�9 = 17 reste 6, 17 ×�2 + 1 = 35.
4. Faites multiplier le nombre pensé par lui-même. Faites augmenter le nombre pensé d’une unité et multiplier le nombre obtenu par lui-même. Faites effectuer la différence des deux carrés. Connaissant cette différence qui est toujours un nombre impair, en la diminuant de 1, on a le double du nombre cherché. Jacques Ozanam (1640-1717)
Par exemple, le nombre pensé est 26. La personne fait 26 ×�26 = 676, 27 ×�27 = 729, 729 - 676 = 53. Vous faites : 53 - 1 = 52 et 52÷�2 = 26.
5. Faites penser à un nombre. Faites-le multiplier par 3. Faites retrancher 1 du produit obtenu et multiplier le résultat obtenu par 3. Faites ajouter le nombre pensé au dernier produit obtenu. Demandez le résultat, ajoutez-lui 3 mentalement ; le résultat est un nombre exact de dizaines, supprimez le zéro (chiffre des unités) et vous avez le nombre pensé. Gaston Boucheny (1865-1935)
Par exemple, le nombre pensé est 52. La personne fait 52 ×�3 = 156, 156 - 1 = 155, 155 ×�3 = 465, 465 + 52 = 517. Vous faites : 517 + 3 = 520. On supprime le 0.
Pratique
Nombre pratique. – Un entier naturel est pratique aux deux conditions suivantes : Il peut être représenté comme la somme de certains de ses diviseurs distincts d’au moins une façon. Tous les entiers qui lui sont inférieurs correspondent à un de ses diviseurs ou sont la somme de certains de ses diviseurs distincts d’au moins une façon. Par exemple, 12 est un nombre pratique. Ses diviseurs sont 1, 2, 3, 4, 6, 12. Il peut être représenté notamment par 2 + 4 + 6. Aussi, 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, 4 = 4, 5 = 1 + 4, 6 = 6, 7 = 1 + 6, 8 = 2 + 6, 9 = 3 + 6, 10 = 4 + 6, 11 = 4 + 6 + 1. Le tableau suivant donne les 49 plus petits nombres pratiques.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 4 6 8 12 16 18 20 1 24 28 30 32 36 40 42 48 54 56 2 60 64 66 72 78 80 84 88 90 96 3 100 104 108 112 120 126 128 132 140 144 4 150 156 160 162 168 176 180 192 196 198
Voici quelques propriétés des nombres pratiques : Les nombres premiers, sauf 2, ne sont pas pratiques, car leurs seuls diviseurs sont 1 et le premier.
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Tout double d’un nombre premier à partir de 10 n’est pas pratique, car 4 ne peut pas être représenté. Tout quadruple d’un nombre premier à partir de 44 n’est pas pratique, car au moins 8 ne peut pas être représenté. Tout octuple d’un nombre premier à partir de 136 n’est pas pratique, car au moins 16 ne peut pas être représenté. Les nombres impairs sauf 1 ne sont pas pratiques car 2 ne peut pas être représenté. Toutes les puissances de 2 sont des nombres pratiques. Par exemple, les diviseurs de 32 sont 1, 2, 4, 8, 16 et 32. Le produit de deux nombres pratiques est un nombre pratique
Premier
Nombre premier. – Nombre naturel supérieur à 1 qui a deux diviseurs : 1 et lui-même. Voici les 99 plus petits nombres premiers :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 5 7 11 13 17 19 23
1 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 2 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 3 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 4 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 5 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 6 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 7 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 8 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 9 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523
Premiers Nombres premiers entre eux. – Entiers naturels qui n'admettent que l'unité comme diviseur commun. Ainsi 10 et 21 sont premiers entre eux. Les diviseurs de 10 sont 1, 2, 5 et 10. Les diviseurs de 21 sont 1, 3, 7 et 21.
Primaire
Nombre primaire. – Entier naturel qui est un nombre premier ou la puissance d'un nombre premier. Les nombres 49 = 72, 125 = 53 et 2187 = 37sont des nombres primaires. Les 39 plus petits nombres primaires sont :
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 7 8 9 11 13 1 16 17 19 23 25 27 29 31 32 37 2 41 43 47 49 53 59 61 64 67 71 3 73 79 81 83 89 97 101 103 107 109
Les 39 plus petits nombres primaires qui sont des puissances d’un nombre premier sont :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 8 9 16 25 27 32 36 49 1 64 81 100 121 125 128 144 169 196 216 2 225 243 256 289 324 343 361 400 441 484 3 512 529 576 625 676 729 784 841 900 961
Primitif
Nombre semi-parfait primitif. – Nombre semi-parfait pour lequel aucun de ses diviseurs propres ne sont semi-parfaits. Par exemple, 88 est un semi-parfait. Ses diviseurs propres sont : 1, 2, 4, 8, 11, 22 et 44. Aucun de ces nombres n’est semi-parfait. Les 29 plus petits semi-parfaits primitifs sont :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 6 20 28 88 104 272 304 350 368 1 464 490 496 550 572 650 748 770 910 945 2 1184 1190 1312 1330 1376 1430 1504 1575 1610 1696
Principal Nombre superpremier principal. – Nombre superpremier qui devientcomposé si on lui accole successivement chacun des 10 chiffres comme chiffre des unités. Ainsi, 79 n'est pas superpremier principal car un nouvel entier formé en lui ajoutant 7 comme unité, soit 797, est premier. Par ailleurs, 797 est un superpremier principal, car aucun des nombres dans l'intervalle de 7970 à 7979 n'est premier.
Puissant
Nombre puissant. – Entier naturel pour lequel la somme des puissances entières de ses chiffres ou de tranches égales de ses chiffres est égale à lui-même. Il doit exister au moins un exposant différent des autres. S'ils sont tous identiques, le nombre est dit narcissique. Par exemple, le nombre 3435 est puissant, car 3435 = 33 + 44 + 33 + 55.
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Quadratique Chaîne quadratique. – Séquence d'entiers naturels dans laquelle chaque nombre est formé par la somme des carrés des chiffres du nombre précédent. Si on commence avec 15, par exemple, le terme suivant est 12 + 52 = 26 ; le suivant est 22 + 62 = 40 et ainsi de suite. Cette chaîne quadratique fournit la boucle 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89, 145.
Ramanujan Nombre de Ramanujan. – Entier naturel qui peut s'exprimer comme la somme de deux cubes de deux façons différentes. Le nombre 1729 est le plus petit nombre connu. En effet, 93 + 103 = 13 + 123 = 1729. Il a été popularisé par le mathématicien indien Ramanujan. D'autres nombres ayant cette propriété avaient été trouvés par le mathématicien français Bernard Frénicle de Bessy (1602-1675). Les voici : 23 + 163 = 93 + 153 = 4 104 103 + 273 = 193 + 243 = 20 683 23 + 343 = 153 + 333 = 39 312 93 + 343 = 163 + 333 = 40 033 On peut trouver des nombres de Ramanujan à partir de l'équation x3 + y3 = z3+ t3. L'équation est satisfaite pour toute valeur de r et de s dans les expressions x = 28r2 + 11rs - 3s2, y = 35r2 + 7rs + 6s2 , z = -21r2 + 11rs + 4s2 et t= 42r2 + 7rs + 5s2. Si r = 1 et s = 2, on obtient : x = 38, y = 73, z = 17 et t = 76. On peut donc écrire : 383 + 733 = 173 + 763 = 443 889. Si r = 1 et s = 3, on obtient x = 34, y = 110, z = 48 et t = 108. En divisant chaque nombre par 2, on a l’identité primitive : 173 + 553 = 243 + 543 = 171 288.
Renversé
Carré renversé. – Carré d'un entier naturel qui, à la suite d'un renversement, produit un autre carré, les racines carrées de ces deux entiers étant des nombres renversés. Les nombres 169 et 961 sont des carrés renversés. En effet, le renversé de 169 est 961. La racine carrée de 169 est 13 et, celle de 961 est 31. Les nombres 13 et 31 sont des nombres renversés. Voici cinq autres paires de carrés renversés : 144 et 441, car 122 = 144 et 212 = 441 10 404 et 40 401, car 1022 = 10 404 et 2012 = 40 401 10 609 et 90 601, car 1032 = 10 609 et 3012 = 90 601 12 544 et 44 521, car 1122 = 12 544 et 2112 = 44 521 12 769 et 96 721, car 1132 = 12 769 et 3112 = 96 721
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À partir de l’identité 32 + 42 + 82 = 22 + 62 + 72 = 89, on peut composer des identités dont un membre contient les carrés renversés de l’autre. En voici six : 322 + 462 + 872 = 232 + 642 + 782 = 10 709 322 + 472 + 862 = 232 + 742 + 682 = 10 629 462 + 322 + 872 = 642 + 232 + 782 = 10 709 462 + 822 + 372 = 642 + 282 + 732 = 10 209 872 + 322 + 462 = 782 + 232 + 642 = 10 709 872 + 422 + 362 = 782 + 242 + 632 = 10 629
Renversé
Nombre renversé. – Entier naturel formé par les mêmes chiffres qu'un autre entier mais lus dans le sens contraire. Par exemple, 235 est le renversé de 532 et réciproquement. Si un nombre est égal à son renversé, il est ditpalindrome. La somme de deux nombres peut être égale à la somme de leur renversé. Par exemple, 29 + 81 = 92 + 18 = 110.
Pour que deux paires de nombres de deux chiffres aient cette propriété, il faut que la somme des dizaines des deux nombres soit égale à la somme des unités de ces deux nombres. Voici quelques exemples lorsque 13 est le nombre initial :
13 + 42 = 31 + 24 = 55 13 + 53 = 31 + 35 = 66 13 + 64 = 31 + 46 = 77 13 + 75 = 31 + 57 = 88 13 + 86 = 31 + 68 = 99 13 + 97 = 31 + 79 = 110
Soit 10a + b le premier nombre et 10c + d le deuxième. Les nombres renversés sont 10b + a et 10c + d. On fait 10a +b + 10c + d = 10b + a + 10c +d. D’où, a + c = b + d. Voici huit propriétés qui touchent aux nombres renversés :
1. La différence entre un nombre de deux chiffres différents et son renversé est égale à neuf fois la différence des deux chiffres. Par exemple, 92 - 29 = 9 × (9 - 2) = 63. Si on fait la somme du résultat et de son renversé, on obtient toujours 99.
2. La différence entre un nombre de trois chiffres et son renversé est un nombre dont la somme des chiffres est un multiple de 9. Par exemple, 821 - 128 = 693. La somme des chiffres est 18 et le chiffre des dizaines est 9.
3. La différence entre un nombre de trois chiffres différents et son renversé est égale à 99 fois la différence entre le chiffre des centaines et celui des unités. Ainsi 823 - 328 = 99 × (8 - 3) = 495.
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30 FENNI Salah
4. La différence entre un nombre de trois chiffres consécutifs et son renversé est égale à 198. Par exemple, 765 - 567 = 198.
5. La différence entre un nombre de trois chiffres consécutifs pairs (ou impairs) et son renversé est égale à 396. Par exemple, 642 - 246 = 396.
6. Soit un nombre de trois chiffres dont le premier et le troisième sont différents, la différence en valeur absolue entre ce nombre et son renversé, augmentée du renversé de la différence est égale à 1089. Par exemple, on prend 358. On fait 358 - 853 = (-) 495 et 495 + 594 = 1089.
7. La différence entre un nombre de quatre chiffres consécutifs et son renversé est égale à 3087. Par exemple, 7654 - 4567 = 3087.
8. La différence entre un nombre de cinq chiffres consécutifs et son renversé est égale à 41 976. Par exemple, 76 543 - 34 567 = 41 976.
Voici trois exemples de récréations :
1. Je suis un nombre impair situé entre 54 et 90. Si vous m’ajoutez mon nombre renversé, vous obtenez un nombre pair entre 54 et 90. Qui suis-je ? La solution est donnée.
2. Dans la grille, encerclez deux par deux les nombres renversés. À la fin, vous additionnez les nombres qui restent et vous obtenez le nombre-clef.Quel est ce nombre ? La solution est donnée.
98 45 27 37 81 36
46 52 95 56 13 41
18 63 31 23 89 64
73 78 14 79 87 39
65 72 32 61 35 43
25 97 59 93 53 54
3. Trouvez un nombre de quatre chiffres tel qu’en le multipliant par 4 on trouve son renversé. Gaston Boucheny (1865-1935). La solution est donnée.
Renversée
Paire renversée. – Paire d'entiers naturels dont la somme ou le produit donne un nombre qui est le renversé respectivement de la somme ou du produit des entiers renversés. Par exemple, 213 et 122 (ou 312 et 221) forment une paire renversée par
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rapport au produit, car 213 × 122 = 25 986 et 312 × 221 = 68 952 et, 25 986 est le renversé de 68 952.
Voici d'autres paires renversées : 14 et 2 (ou 41 et 2), car 14 × 2 = 28 et 41 × 2 = 82 23 et 12 (ou 32 et 21), car 23 × 12 = 276 et 32 × 21 = 672 112 et 113 (ou 211 et 311), car 112 × 113 = 12 656 et 211 × 311 = 65 621
Réversible
Nombre réversible. – Entier naturel ayant la même valeur à la suite d'une rotation de 180 degrés. Les millésimes 1881 et 1961 sont réversibles. Il y a, entre les ans 1 et 10 000, 38 années dont le millésime est réversible. Par extension, tout nombre retourné qui devient un mot. Par exemple, 355378 retourné devient BLESSE.
Semi-parfait
Nombre semi-parfait. – Tout entier naturel pour lequel il existe un sous-ensemble de diviseurs propres dont la somme est égale à l'entier lui-même. Ainsi, 30 est semi-parfait et il l'est de trois façons : 1 + 3 + 5 + 6 + 15, 2 + 3 + 10 + 15 et 5 + 10 + 15. Les 49 plus petits nombres semi-parfaits sont :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 12 18 20 24 30 36 40 42 48 1 54 56 60 66 72 78 80 84 88 90 2 96 100 102 104 108 112 114 120 126 132 3 138 140 144 150 156 160 162 168 174 176 4 180 186 192 196 198 200 204 208 210 216
Tout multiple d’un semi-parfait est semi-parfait. Un nombre semi-parfait ne peut pas être déficient. Les nombres abondants qui ne sont pas semi-parfaits sont dits étranges.
Aussi appelé nombre pseudoparfait.
Semi-premier
Nombre semi-premier. – Nombre qui est le produit de deux premiers. Ainsi, 15 est semi-premier car il est le produit de 3 et de 5 qui sont premiers. Les 49 plus petits semi-premiers sont :
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 6 9 10 14 15 21 22 25 1 26 33 34 35 38 39 46 49 51 55 2 57 58 62 65 69 74 77 82 85 86 3 87 91 93 94 95 106 111 115 118 119 4 121 122 123 129 133 134 141 142 143 145
Les 10 plus petites paires de semi-premiers sont : (9, 10), (14, 15), (21, 22), (25, 26), (38, 39), (57, 58), (118, 119), (133, 134), (145, 146) et (158, 159). Les 10 plus petits triplets de semi-premiers sont : (33, 34, 35), (85, 86, 87), (93, 94, 95), (121, 122, 123), (141, 142, 143), (301, 302, 303), (393, 394, 395), (445, 446, 447), (633, 634, 635) et (697, 698, 699).
Smith
Nombre de Smith. – Nombre composé dont la somme des chiffres est la même que celle des chiffres de ses facteurs premiers, incluant les répétitions de facteurs. Ainsi, 636 est un nombre de Smith. Ses facteurs sont 2 × 2 × 3 × 53. La somme des chiffres de 636 est 15 et celle des chiffres des facteurs est également 15.
Les 49 plus petits nombres de Smith sont :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 22 27 58 85 94 121 166 202 1 265 274 319 346 355 378 382 391 438 454 2 483 517 526 535 562 576 588 627 634 636 3 645 648 654 663 666 690 706 728 729 762 4 778 825 852 861 895 913 915 922 958 985
Sociable Nombre sociable. – Entier naturel qui forme une chaîne amiable d'ordre supérieur à 2. On ne connaît pas de nombre sociable d'ordre 3. Les nombres 12 496, 14 288, 15 472, 14 536 et 14 264 sont sociables. Ils forment une chaîne amiable d'ordre 5.
Successifs
Nombres successifs. – Entiers naturels qui sont de rangs voisins dans une suite. Ainsi, dans la suite 1, 3, 6, 10, 15, ... les nombres 6 et 10 sont successifs.
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Sublime Nombre sublime : La quantité de diviseurs et la somme des diviseurs sont deux nombres parfaits. Exemple : 12 est un nombre sublime. Diviseurs 1, 2, 3, 4, 6 et 12 Quantité 6 Nombre parfait Somme 28 Nombre parfait
Superpremier
Nombre superpremier. – Nombre premier qui engendre des nombres premiers quand on efface un à un les chiffres de droite à gauche. Ainsi, 5939 est superpremier car 5939, 593, 59 et 5 sont premiers. Les 10 plus petits nombres superpremiers sont 23, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79 et 233. Les chiffres 0, 4, 6 et 8 ne peuvent pas apparaître dans un superpremier. Les chiffres 2 et 5 ne peuvent qu'être au premier rang, tandis que 1 ne peut pas apparaître à ce rang.
Un nombre superpremier peut être principal.
Tétrabonaccique Nombre tétrabonaccique. – Dans une suite, tout nombre formé par la somme des quatre prédécesseurs. Par définition, les deux premiers correspondent à l'unité ; le troisième est 2 et le quatrième est 4. Les 10 plus petits nombres tétrabonacciques sont : 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108 et 208.
La règle de formation de ces nombres s'inspire de celle de la suite de Fibonacci.
Tétradigital
Nombre tétradigital. – Entier naturel formé par les quatre chiffres 1, 2, 3 et 4 pris chacun une seule fois, ou encore entier qui est égal à une séquence d'opérateurs dans laquelle chacun des quatre chiffres est pris une seule fois. On peut, par exemple, vouloir représenter les entiers à partir de l'unité jusqu'à l'entier le plus grand possible. Voici une solution pour chaque résultat variant de 20 à 25 : 20 = 1 + 23 - 4 21 = 3(1 + 2 + 4) 22 = 21 + 4 - 3 23 = (2 × 3 × 4) - 1 24 = 12 + (3 × 4) 25 = (3! × 4) + 2 - 1 Les nombres tétradigitaux appartiennent à la classe des nombres multidigitaux.
Tribonaccique
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Nombre tribonaccique. – Entier naturel formé par la somme de ses trois prédécesseurs dans une suite. Par définition, les deux premiers termes correspondent à l'unité et le troisième est 2. Les 10 plus petits nombres tribonacciques sont : 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81 et 149. Ce nom a été donné en 1963 par Mark Feinberg.
La règle de formation de ces nombres s'inspire de celle de la suite deFibonacci.
Trigonal
Carré trigonal. – Entier naturel qui est un carré entre les chiffres duquel on peut insérer successivement des chiffres identiques à des rangs symétriques de telle manière qu'on obtient toujours un carré parfait. Voici la représentation des carrés trigonaux 49 et 1089 :
49 = 72 1089 = 332 4489 = 672 110889 = 3332 444889 = 6672 11108889 = 33332 44448889 = 66672 1111088889 = 333332 4444488889 = 666672 111110888889 = 3333332 ......................... = .................. .......................... = ................
Triparfait
Nombre triparfait. – Nombre multiparfait dont le multiple est 3. Voici six nombres triparfaits : 23 × 3 × 5 = 120 25 × 3 × 7 = 672 29 × 3 × 11 × 31 = 523 776 28 × 5 × 7 × 19 × 37 × 73 = 459 818 240 213 × 3 × 11 × 43 × 127 = 1 476 304 896 214 × 5 × 7 × 19 × 31 × 151 = 51 001 180 160 En 1631, Mersenne a signalé l'existence de 120 comme triparfait. On retrouve ces six nombres dans les écrits de Descartes (1596-1650) et de Fermat (1601-1665). On pense que ce sont les seuls nombres triparfaits.
Uniforme
Nombre uniforme. – Entier naturel formé d’un seul chiffre ou par la répétition d’un même chiffre. Outre les nombres de 1 à 9, les plus petits nombres uniformes
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sont : 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999, 1111, etc. On abrège l’appellation par U suivi du chiffre répété. Par exemple, les nombres U5 sont 5, 55, 555, 5555, 55 555, etc.
En ne tenant pas compte du chiffre répété, les nombres uniformes ayant le même nombre de chiffres ont les mêmes facteurs premiers. Voici un tableau des facteurs premiers :
Nombre de chiffres Facteurs premiers 2 - 3 3 et 37 4 11 et 101 5 41 et 271 6 3, 7, 11, 13 et 37 7 239 et 4649 8 11, 73, 101, 137 9 3, 37 et 333 667
10 11, 41, 271 et 9091 11 21 649 et 513 239 12 3, 7, 11, 13, 37, 101 et 9901
La classe des nombres formés par 1, appelée U1, est la plus considérée. Le terme anglais pour désigner cette classe est repunit (repeated unit). Ce terme a été créé par Albert H. Beiler en 1964. Une condition essentielle pour qu’un nombre U1 soit un nombre premier est que le nombre de chiffres soit premier. Les trois plus petits nombres U1 qui sont des nombres premiers sont respectivement formés de 2, de 19 et de 23 chiffres. On ne sait pas s’il y a une infinité de nombres U1 qui sont premiers. Une curiosité : 12 345 679 × 9 = 111 111 111.
Les nombres U1 sont divisibles par 3 si le nombre de chiffres est un multiple de 3, comme 111, 111 111, 111 111 111. Ils sont divisibles par 7, 11, et 13 si le nombre de chiffres est un multiple de 6. Ils sont divisibles par 11 si le nombre de chiffres est pair. On a montré qu’un nombre U1 ne peut être ni un carré ni un cube ni une puissance cinquième. Dans le tableau suivant, on trouve les nombres U1 en A, leur quotient entier si on les divise par 7 en B, par 11 en C et par 13 en E. Si on considère les nombres de la colonne C en base 2, on obtiendrait la suite D en base 10.
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Si on considère les nombres de cette classe en base 2 et qu’on les traduit en base 10, on a : 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16 383, 32 767, 65 535, 131 071, 262 143, soit 2n - 1 où n est le rang du terme.
On peut représenter les nombres uniformes U1 par la mosaïque suivante :
1 × 9 + 2 = 11 12 × 9 + 3 = 111
123 × 9 + 4 = 1 111 1 234 × 9 + 5 = 11 111
12 345 × 9 + 6 = 111 111 123 456 × 9 + 7 = 1 111 111
1 234 567 × 9 + 8 = 11 111 111 12 345 678 × 9 + 9 = 111 111 111
Cette mosaïque pourrait être présentée ainsi :
1 × 9 + 1 + 1 = 11 11 × 9 + 11 + 1= 111
111 × 9 + 111 + 1 = 1 111 1111 × 9 + 1111 + 1 = 11 111
11 111 × 9 + 11 111 + 1 = 111 111 111 111 × 9 + 111 111 + 1 = 1 111 111
1 111 111 × 9 + 1 111 111 + 1 = 11 111 111 11 111 111 × 9 + 11 111 111 + 1 = 111 111 111
Tout nombre uniforme U1 en base 9 est un triangulaire. Le rang des triangulaires est successivement : 1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, 3280, 9841, 29 524, ... Le terme général de cette suite est (3n - 1)/2. Les nombres pairs sont des multiples de 4 et les impairs des multiples de 4 plus 1. Si on exclut 1 de la suite, la somme de ses chiffres appartient à la suite : 4, 13, 22, 31, 40, 49, 58, 67, 76, 85, 94, 103, 112, 121, ... Tous les termes de la première suite apparaissent dans cette dernière suite.
Vampire
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Nombre vampire. – Entier naturel, défini par Clifford A. Pickover, qui peut être décomposé en deux facteurs ayant le même nombre de chiffres et dont les chiffres de l’entier sont les mêmes que ceux des deux facteurs. Par exemple, 1827 est vampire car 1827 = 21 × 87. Il n’y a pas de vampire de deux chiffres. Les 20 plus petits vampires sont (Sloane, A020342) :
126 153 688 1206 1255 1260 1395 1435 1503 1530 6 × 21 3 × 51 8 × 86 6 × 201 5 × 251 21 × 60 15 × 93 35 × 41 30 × 51 3 × 510
1827 2187 3159 3784 6880 10 251 10 255 10 426 10 521 10 525 21 × 87 27 × 81 9 × 351 8 × 473 80 × 86 51 × 201 5 × 2051 26 × 401 21 × 501 5 × 2105
Les 12 plus petits vampires de six chiffres parmi les 148 sont :
102 510 = 201 × 510 104 260 = 260 × 401 105 210 = 210 × 501 105 264 = 204 × 516 105 750 = 150 × 705 108 135 = 135 × 801 110 758 = 158 × 701 115 672 = 152 × 761 116 725 = 161 × 725 117 067 = 167 × 701 118 440 = 141 × 840 120 600 = 201 × 600
Le nombre 125 460 est doublement vampire car 204 × 615 = 246 × 510 = 125 460. Un nombre est dit pseudo-vampire lorsque le nombre de chiffres des facteurs est différent. Par exemple, 9 × 7911 = 71 199 est pseudo-vampire.
