1

DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE - corrigé des exercices A. EXERCICES DE BASE I. Lignes de champ 1. • Dans un plan, une courbe est caractérisée par une équation, éventuellement une équation différen-tielle si on définit la courbe par ses propriétés locales. C'est le cas en particulier pour les lignes de champ. • Les lignes de champ sont caractérisées par la propriété :

!

dOM ||

!

E ; or les coordonnées polaires (avec lesquelles est décrit

!

E dans l'énoncé) correspondent à :

!

dOM = dr

!

ur + r dθ

!

u" et donc l'équation

différentielle cherchée est :

!

drEr

=

!

r d"E"

.

• La relation précédente s'écrit :

!

drr

=

!

2 cos "( )sin "( )

dθ ; qui s'intègre en : ln(r) = 2 ln(|sin(θ)|) + C où C

est une constante dʼintégration. On en tire l'équation des lignes de champ : r = a sin2(θ) avec a > 0. 2. • Dire que

!

E dérive d'un potentiel V correspond à écrire : dV =

!

"V"r

dr +

!

"V"#

dθ =

!

"V •dOM , donc

!

"V =

!

"V"r

!

ur +

!

1r"V"#

!

u" = -

!

E c'est-à-dire :

!

"V"r

= -Er = -

!

2k cos "( )r3

et

!

1r"V"#

= -Eθ = -

!

k sin "( )r3

.

• Pour simplement montrer que le champ dérive d'un potentiel V, on peut montrer que la différentielle

dV = -

!

E •dOM = -

!

2k cos "( )r3

dr -

!

k sin "( )r2

dθ est une différentielle “totale”. Or ceci correspond à lʼégalité des

dérivées “croisées” :

!

""#

$2k cos #( )

r3%

& '

(

) * =

!

""r

#k sin $( )r2

%

& '

(

) * =

!

2k sin "( )r3

(propriété vérifiée).

• Pour calculer V, il faut intégrer dV. De

!

"V"r

= -

!

2k cos "( )r3

on déduit : V =

!

k cos "( )r2

+ α(θ) où α est

une constante dʼintégration par rapport à la variable r, mais pouvant dépendre de θ. En reportant dans

l'autre équation on obtient :

!

"V"#

= -

!

k sin "( )r2

+

!

d"d#

= -

!

k sin "( )r2

donc :

!

d"d#

= 0 et α = C' où Cʼ est une cons-

tante dʼintégration.

• Choisissant par convention C' = 0 pour retrouver V → 0 quand r → ∞, on obtient : V =

!

k cos "( )r2

.

II. Champ et flux 1. • Les courbes équipotentielles ont des équations de la forme V(r, θ) = A, où A est la valeur constante du potentiel sur l'équipoten-tielle considérée. ◊ remarque : les équipotentielles sont dans ce cas homothétiques les unes des autres, celles correspondant aux plus grandes valeurs absolues du potentiel sont les plus "proches" de l'origine. • On peut par exemple tracer ces équipotentielles en reportant, pour chaque direction θ, une distance à l'origine :

r =

!

kA3 cos2 "( ) #1( )3 .

2

◊ remarque : dans l'espace, les "équipotentielles" sont des surfaces ; les "courbes" équipotentielles envisagées par l'énoncé sont les intersections de ces surfaces avec le plan du dessin (plan contenant Oz) car l'ensemble est invariant par rotation d'axe Oz (les surfaces équipotentielles sont donc des surfaces de révolution, engendrées par la rotation autour de Oz des courbes décrites ici). 2. • Le champ

!

E = -

!

"V a pour coordonnées polaires :

Er = -

!

"V"r

=

!

3k " 3 cos2 #( ) $1( )r4

et Eθ = -

!

1r"V"#

=

!

6k sin "( )cos "( )r4

.

◊ remarque : d'après l'énoncé, le champ possède une symétrie de révolution autour de Oz, c'est-à-dire qu'il est indépendant de l'angle φ ; le potentiel est d'ailleurs aussi indépendant de φ, et par suite Eφ = 0. 3. • Le flux à travers une calotte sphérique se limite à celui de la composante radiale :

Φ =

!

E •dS" =

!

Er dS" =

!

3k 3 cos2 "( ) #1( )r4$$ r2 sin "( ) d" d%

Φ =

!

3kr2

!

3 cos2 "( ) #1( )0

$

% sin "( ) d"&

' (

)

* +

!

d"0

2#$% & '

(

) * =

!

6"kr2

!

3u2 "1( ) ducos #( )

1$ =

!

6"k sin2 #( ) cos #( )r2

.

• En particulier : Φ = 0 pour α =

!

"2

; Φ = 0 pour α = π.

III. Tracé d'un diagramme électrique 1. • En se limitant au plan xOy, le potentiel peut être écrit sous la forme suivante, dont l'exploitation pratique est toutefois peu évidente : V(x, y) =

!

q4"#0

(

!

1

x2 + y " a( )2+

1

x " a 32

#

$ % %

&

' ( (

2

+ y +a2

#

$ %

&

' ( 2

+1

x + a 32

#

$ % %

&

' ( (

2

+ y +a2

#

$ %

&

' ( 2

).

• Qualitativement, lʼallure des équipotentielles au voisinage de chaque charge (“loin” des autres charges) est semblable à lʼallure de celles dʼune charge isolée (cercles concentriques autour de chacune des charges).

3

• De même, puisque les trois charges sont positives, on doit retrouver des lignes concentriques autour de G pour lʼensemble considéré à grande distance (a est alors négligeable en proportion). ◊ remarque : on raisonne ici sur des “lignes équipotentielles”, qui ne sont que les intersections du plan xOy avec les surfaces équipotentielles dans lʼespace. ◊ remarque : le diagramme ci-dessus, obtenu par un calcul plus précis (non demandé ici) montre lʼexistence dʼun “minimum relatif” du potentiel au centre (en réalité, il ne sʼagit que dʼun minimum relatif par rapport aux coordonnées x et y : cʼest un maximum relatif par rapport à z et ce nʼest donc pas un extremum “dans lʼespace”). • Pour les lignes de champ, orthogonales aux équipotentielles, lʼallure au voisinage de chaque charge est semblable à lʼallure pour une charge isolée (lignes radiales autour de chacune des charges). • De même, puisque les trois charges sont positives, on doit retrouver des lignes radiales autour de G pour lʼensemble considéré à grande distance. ◊ remarque : le diagramme ci-dessus, obtenu par un calcul plus précis (non demandé ici) montre au centre lʼexistence dʼune zone (à peu près triangulaire) de “convergence” du champ (en réalité, il ne sʼagit que dʼune convergence relative par rapport aux coordonnées x et y : cʼest une divergence relative par rapport à z et une convergence “dans lʼespace” ne serait possible quʼavec une charge négative à lʼorigine) ; en particu-lier, les trois sommets de cette zone (ainsi que lʼorigine) sont des points dʼannulation du champ électrique (ou plus précisément : de sa projection sur xOy). 2. • En considérant les points de lʼaxe Oy (où Ex = 0 par symétrie) :

V(0, y) =

!

q4"#0

(

!

1

y " a( )2+

2

a 32

#

$ % %

&

' ( (

2

+ y +a2

#

$ %

&

' ( 2

).

Ey = -

!

"V"y

=

!

q4"#0

(

!

y " a

y " a( )2( )3/ 2 +

2y + a

a 32

#

$ % %

&

' ( (

2

+ y +a2

#

$ %

&

' ( 2#

$

% %

&

'

( (

3/ 2 )

• Compte tenu du fait que les points dʼannulation sont (relativement) proches de lʼorigine, on peut chercher leur position en développant par rapport à

!

ya

:

V(0, y) ≈

!

q4"#0

!

3a1+

y2

4a2+10y3

16 a3"

# $

%

& ' et donc Ey = -

!

"V"y

≈

!

q4"#0

!

3y2a3

1+15y4a

"

# $

%

& ' .

• Ceci correspond à une annulation du champ pour y = 0 (à lʼorigine) et pour y ≈ -

!

4a15

(≈ -0,27 a).

Compte tenu de lʼinvariance par rotation de

!

2"3

, on retrouve ainsi, en plus de lʼorigine, trois points

dʼannulation (soit quatre points au total). ◊ remarque : on peut aussi développer directement Ey à lʼordre 2. ◊ remarque : en développant à lʼordre suivant, on obtient une annulation pour y ≈ -0,29 a ; ceci montre bien la précision du résultat ainsi obtenu. IV. Répartition surfacique de dipôles • Un moment dipolaire

!

p correspond en fait à la limite de deux charges ±q pour d → 0 (distance entre les charges), avec

!

p = q

!

d constant. On peut de même considérer quʼune densité surfacique µ de moment dipolaire correspond à la limite de deux densités surfaciques de charges ±σ pour d → 0 (distance entre les surfaces), avec µ = σd constant.

• Sur lʼaxe dʼun disque de rayon R portant une σ uniforme, le potentiel est : V(x) =

!

"2#0

x2 +R2 $ x% &

' (

et le champ (parallèle à lʼaxe) a pour coordonnée : Ex(x) =

!

"x2#0

1x$

1x2 +R2

%

& '

(

) * .

4

• Si on considère le potentiel créé par deux disques, dʼabscisses ±

!

d2

, de densités ±σ, on obtient au

total sur lʼaxe : Vʼ(x) =

!

µ2"0

f x # d2

$

% &

'

( ) # f x +

d2

$

% &

'

( )

d, avec f(x) =

!

x2 +R2 " x , et dont la limite est le potentiel

cherché: V”(x) = -

!

µ2"0

!

"f x( )"x

=

!

µx2"0

1x#

1x2 +R2

$

% &

'

( ) .

• On peut procéder de même pour le champ sur lʼaxe, ou bien considérer :

E”x(x) = -

!

" # # V x( )"x

=

!

µ2"0

!

R2

x2 +R2( )3/ 2.

V. Dipôle cylindrique 1. • Le potentiel créé par le fil (1) à une distance r1 est de la forme : V1 = -

!

"2#$0

ln(r1) + C1 où C1 est

une constante arbitraire ; et de même pour le fil (2) : V2 =

!

"2#$0

ln(r2) + C2.

• Le potentiel total est donc : V(r1, r2) =

!

"2#$0

ln(

!

r2r1

) + C2-C1, et compte tenu de la référence choisie

(V(

!

d2

,

!

d2

) = 0 sur Oz) on obtient : V(r1, r2) =

!

"2#$0

ln(

!

r2r1

).

2. • Pour d << r on obtient au premier ordre : r12 ≈ r2 - rd cos(θ) et r22 ≈ r2 + rd cos(θ). Ceci donne :

V(r1, r2) ≈

!

"4#$0

!

lnr2 + rd cos "( )r2 # rd cos "( )

$

% & &

'

( ) ) ≈

!

"4#$0

!

ln 1+2 drcos "( )

#

$ %

&

' ( puis à la limite :

V(r, θ) =

!

"d2#$0r

cos(θ) =

!

p2"#0r

cos(θ).

• On en déduit ensuite le champ :

!

E = Er

!

ur + Eθ

!

u" (Ez = 0 dʼaprès les symétries), avec :

Er(r, θ) = -

!

"V"r

=

!

p2"#0r

2 cos(θ) et Eθ(r, θ) = -

!

1r"V"#

=

!

p2"#0r

2 sin(θ).

◊ remarque : les lignes de champ sont des cercles parallèles à xOy et centrés sur Oy. B. EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT VI. Force de Keesom 1. • En considérant que le premier dipôle est dans le sens de l'axe, il crée au niveau du second un

champ : Er =

!

p02"#0r

3 (parallèle à l'axe).

• En considérant le second dipôle dans le même sens, il subit dans ce champ une force totale qui peut se calculer en ajoutant les forces subies par chaque charge : Fr = qʼ

!

p02"#0r+

3 - qʼ

!

p02"#0r$

3 ≈ -

!

3p0 " p 02#$0r4 .

◊ remarque : s'il est dans le même sens, le second dipôle est attiré vers la zone de champ plus fort. ◊ remarque : pour un dipôle permanent, on peut utiliser :

!

F = -

!

"Ep =

!

" (

!

p •E) ; plus généralement, il faut considérer

!

F =

!

p •"( )E .

5

2. • Le moment

!

M =

!

p"E correspond à : dW = pE sin(θ) dθ. Le travail nécessaire pour retourner le second dipôle dans le champ du premier (passage de θ = 0 à θ = π) est donc : W = 2pE. ◊ remarque : ceci se déduit aussi de l'énergie potentielle : W = -ΔEp. 3. • Les proportions respectives de dipôles parallèles et antiparallèles sont :

P+ =

!

1

1+ e"WkT

et P- =

!

e"WkT

1+ e"WkT

avec W =

!

p0 " p 0#$0r3 .

• Pour W ≪ kT : P+ ≈

!

12

!

1+W2kT

"

# $

%

& ' et P- ≈

!

12

!

1" W2kT

#

$ %

&

' ( .

• La force moyenne est donc : < Fr > = P+F+ + P-F- ≈ -

!

3p0 " p 02#$0r4

!

W2kT

= -

!

34kT

!

p0 " p 0#$0

%

& '

(

) *

2

!

1r7

.

◊ remarque : le plus exact (prenant en compte tous les angles possibles) donne un coefficient

!

14kT

.

VII. Force de Debye 1. • Le champ électrique est homogène à

!

q4"#0r

2 donc lʼunité de base pour ε0E est C.m-2. Le mo-

ment dipolaire a pour unité de base C.m ; par suite, le coefficient de polarisabilité α =

!

p"0E

a pour unité de

base m3. 2. • Le champ subi par la molécule à lʼabscisse x correspond à : Ex(x) =

!

p2"#0x3

; donc lʼénergie poten-

tielle du dipôle induit dans ce champ est : Ep = -

!

E • " p = -αε0Ex2 = -

!

"p2

4#2$0x6.

• Finalement, la force subie par la molécule polarisée est :

!

F = -

!

"Ep

"x

!

ux = -

!

3"p2

2#2$0x7

!

ux .

VIII. Force de London 1. • Sous l'effet d'un champ extérieur

!

E (et de l'interaction avec la charge -q), la charge q se déplace

(relativement) de

!

OM =

!

pq

=

!

"#0Eq

(constatation expérimentale dont la justification n'est pas demandée).

• Si cette charge subit la force extérieure q

!

E , sa nouvelle position d'équilibre indique que son interac-

tion avec -q cause une force opposée

!

F = -q

!

E = -

!

q2

"#0

!

OM . Ceci est analogue à l'action d'un ressort de

raideur k =

!

q2

"#0.

2. • Pour une molécule isolée, l'équation du mouvement correspond à : m x1

•• + k x1 = 0.

• Les solutions sont de la forme : x1 = x10 cos(ω0t + φ) avec ω0 =

!

km

. Le déplacement moyen

< x1 > est donc nul, ainsi que le moment dipolaire moyen. 3. • Le premier dipôle crée au niveau du second un champ : E1 =

!

p12"#0x3

(algébriquement selon l'axe).

6

• Le second dipôle subit dans ce champ une force totale qui peut se calculer en ajoutant les forces subies par chaque charge (algébriquement) : F1→2 ≈ q

!

p12"#0x3

- q

!

p12"#0 x + x2( )3

≈ -

!

3p1p22"#0x4

.

◊ remarque : cela n'apporte rien de plus de détailler x ±

!

x22

(et analogue pour x1).

4. • Les équations des mouvements (en ajoutant pour chaque point le champ de l'autre dipôle) peuvent

s'écrire : m x2•• + k x2 ≈

!

q2

2"#0x3 x1 ; m x1

•• + k x1 ≈

!

q2

2"#0x3 x2.

• Avec k =

!

q2

"#0 on peut écrire : m x2

•• + k x2 ≈ λk x1 et m x1•• + k x1 ≈ λk x2.

• Les combinaisons indiquées donnent : m u1•• + (1 - λ) k u1 ≈ 0 et m u2

•• + (1 + λ) k u2 ≈ 0.

• Ceci correspond à ωi =

!

kim

avec k1 = (1 - λ) k et k2 = (1 + λ) k.

◊ remarque : lorsque deux systèmes identiques sont mis en interaction, les fréquences propres de l'ensemble se “dédoublent” pour donner une fréquence un peu plus petite et une autre un peu plus grande.

5. • La force moyenne est : < F1→2 > = -

!

3q2

2"#0x4 < x1x2 > = -

!

3q2

8"#0x4 < u1

2 - u22 >

• Avec ui =

!

h"m#i

cos(ωit + βi) on obtient :

< F1→2 > = -

!

3q2h16"2#0x4m$0

!

11" #

"11+ #

$

% &

'

( ) ≈ -

!

3q2h16"2#0x4m$0

!

"

2#x3 = -

!

3"2h#016$2x7

.

IX. Dipôle induit dans un champ extérieur 1. • Pour étudier les actions respectives exercées par le champ extérieur sur les charges (+) et (-), on peut les représenter par des charges ponctuelles car elles sont très éloignées des charges qui créent le champ extérieur. • Au contraire, pour décrire leur interaction, on doit tenir compte (au moins qualitativement) de la répartition de ces charges car leur distance est comparable à la dimension de la zone de répartition. 2. • En considérant deux charges ponctuelles, +q au point P et -q au point N, dans l'approximation où P et N sont très proches en comparaison des autres distances (modèle du dipôle) : Epext = q Vext(P) - q Vext(N) ≈ q

!

" (Vext)•

!

NP = -

!

p •E .

◊ remarque : le champ considéré ici est

!

E =

!

Eext ; ce n'est pas le champ total subi par chacune des deux charges puisqu'elles sont en plus en interaction mutuelle. 3.a. • Pour modéliser le déplacement des charges négatives, on peut ajouter une distribution équivalente de charges positives (qui compensent les anciennes charges négatives) et une distribution de charges négatives dans la nouvelle position. Les charges positives sont alors soumises, en plus du champ préalable dans lequel elles étaient en équilibre, au champ d'une sorte de dipôle. • Puisque le déplacement est faible, l'effet prépondérant subi par les charges positives correspond à “l'intérieur” du dipôle, dans la zone d'intersection des deux distributions. Le théorème de Gauss permet de montrer qu'à l'intérieur d'une distribution sphérique, le champ est

!

"3#0

!

PM ou -

!

"3#0

!

NM ; le champ total

ajouté (celui associé à l'écart à l'équilibre) est donc uniforme :

!

E int(P) ≈

!

"3#0

!

PN.

7

3.b. • Avant polarisation, les charges positives et négatives étaient en “équilibre” relatif (moyen, compte tenu du fait que ces charges ne sont pas immobiles). Pour obtenir un nouvel “équilibre”, il faut que le champ supplémentaire total subi par les charges positives soit nul :

!

E +

!

E int(P) =

!

0 . ◊ remarque : ceci suppose aussi que le déplacement soit faible. 3.c. • Le moment dipolaire induit est

!

p = q

!

NP où q est proportionnel à ρ (avec une constante dépendant de la géométrie précise) et donc proportionnel à

!

E . 3.d. • La force de rappel proportionnelle à l'écartement des charges peut être décrite par un ressort tel

que : k

!

PN = q

!

E int(P). Ceci correspond à : k

!

NP = q

!

E =

!

q"#0

!

p donc k =

!

q2

"#0.

3.e. • L'énergie potentielle “interne” décrivant la polarisation (en prenant comme référence la molécule non

polarisée) peut s'écrire : Epint =

!

12

k

!

NP2 =

!

p2

2"#0 =

!

12

!

p •E .

4. • En prenant en compte toutes les interactions, on obtient finalement : Ep = Epext + Epint = -

!

12

!

p •E .

X. Dipôle quelconque dans un champ extérieur 1. • La force peut s'écrire :

!

F = q

!

E (P) - q

!

E (N).

• En utilisant un repère local avec une coordonnée ξ orientée selon le dipôle :

!

F = p

!

dEd"

.

• Avec des notations plus générales, cette “dérivée selon

!

p ” peut s'écrire :

!

F =

!

p • "( )

!

E . 2.a. • On peut écrire :

!

F =

!

p0 • "( )

!

E + αε0.

!

E • "( )

!

E . • La partie associée au moment dipolaire permanent (polarisation) est :

!

p0 • "( )

!

E =

!

"

!

p0 • "( ) cor-

respondant à une énergie potentielle “externe” : Epext = -

!

p0 •E.

• La partie associée au moment dipolaire induit (polarisabilité) est : αε0.

!

E • "( )

!

E = αε0

!

"

!

E2

2

"

#

$ $

%

&

' '

puisque

!

"#E = -

!

"B"t

=

!

0 en l'absence de phénomènes magnétiques variables ; ceci correspond à une

énergie potentielle “interne” : Epint = -

!

12αε0

!

E2 = -

!

12

!

pind •E.

• Au total : Ep = -

!

p0 •E -

!

12αε0

!

E2.

2.b. • Étant donné que l'expression de l'énergie potentielle fait intervenir les parties

!

p0 et αε0

!

E avec des coefficients différents, on ne peut pas trouver d'expression en fonction de seulement

!

p et

!

E (il faut au moins faire intervenir α dont dépend la proportion du moment dipolaire qui est induit).