Discussion des mérites et des faiblesses de la méthode

des L-moments pour l’ajustement des lois statistiques

Salaheddine El AdlouniTaha B.M.J. Ouarda

B. Bobée

Les "Seizièmes Entretiens" du Centre Jacques Cartier

Estimation locale et régionale des événements hydrologiques extrêmes

Lyon, 1 Décembre 2003Chaire en Hydrologie Statistique

INRS-ETE

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Plan de la présentation

Introduction

Présentation du test basé sur les L-moments

Comparaison avec le test de Kolmogorov-Smirnov

Conclusions & Perspectives de recherche

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But

Ø Déterminer la distribution qui s’ajuste le mieux à un échantillon

Ajustement de la série des débits maximum annuels de la rivière Rimouski par la loi GEV et la loi PIII

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Diagramme des L-moments

Les quatre premiers L-moments sont donnés par (Sillito 1969):

[ ]1

E X xdFλ = = ∫

( )2 2:2 1:2

1E X X x 2F 1 dF

2 λ = − = −∫

( )23 3:3 2:3 1:3

1E X 2X X x 6F 6F 1 dF

3 λ = − + = − +∫

( )3 24 4:4 3:4 2:4 1:4

1E X 3X 3X X x 20F 30F 12F 1 dF

4 λ = − + − = − + −∫

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Estimateurs des L-moments

• Méthode basée sur les PWM Estimateurs Sans-Biais

• Méthode « Plotting-position » Estimateurs Biaisés

• Méthode directe (équivalente à la première)

On définit les rapports des L-moments (Hosking 1990) :

r r 2/τ =λ λ r 3,4,...=

Notation : l1 , l2 , l3 …

Les estimateurs

L-coefficient d’asymétrie (L-Cs) :

L-coefficient d’aplatissement (L-Ck) :3 3 2

t l / l=

4 4 2t l / l=

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Courbes théoriques de quelques distributions les plus utilisées en analyse fréquentielle sur le diagramme des L-moments (Hosking 1990).

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Forces des L-moments

• Produisent une approche unifiée pour une inférence statistique complète Hosking (1990).

• Souffrent moins des effets de variabilité de l’échantillon (Vogel & Fennessey, 1993)

• Plus robustes à la présence des horsains.

8

• Bernier (1993) : La robustesse face aux grandes valeurs peut éliminer l’information donnée par les valeurs extrêmes

• Onoz & Bayazit (1995) : on montre une concentration faible des valeurs des L-moments pour les régions considérées proches de la distribution

• Ben-Zvi et al. (1997) :Le diagramme des L-moments ne permet pas de déterminer la distribution la plus adéquate parmi les distributions acceptables.

• Klemeš (2000) : Ce diagramme semble conduire dans de nombreux cas au choix de la loi GEV

Faiblesses des L-moments

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Test basé sur L-Cv (approximation normale) (Chowdhury et al., 1991)

Test basé sur L-Cs (approximation normale) (Chowdhury et al., 1991)

Test basé sur (L-Cv,L-Cs) (Test de Chi-deux) (Chowdhury et al., 1991)

Test basé sur L-Ck (Pandey et al., 2001)

Tests basés sur les L-moments

Ne considère pas la distribution de L-Ck

Simulation à partir d’une distribution Kappa et ajustement aux lois (GEV, LN3 …)

10

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0

0.005

0.01

0.015

0.02

L-Cs

Var(L-Cs) GEV

LN 3

PIII

Variance de L-Cs des lois GEV, LN3 et PIII pour un échantillon de taille n=50 (simulation faite

pour M=10000)

Variance de L-Ck de la loi LN3 en fonction de la taille de l’échantillon

pour différentes valeurs de L-Cs(simulation faite pour M=10000)

Propriétés de L-Cs et L-Ck

11

Illustration du test basé sur les L-moments, tenant compte des lois de L-Cs et L-Ck

Idée

12

Test basé sur L-Cs et L-Ck :

3 3, 1 2ˆVar ( ) ( / ) /nV n nτ η η≈ = +

4 4, 1 2ˆVar ( ) ( / ) /nV n nτ ω ω≈ = +

[ ] 23 4 1ˆ ˆ,ρ

τ τ ≈ ρ = ρ +Corrn

2 1tχ δ δ−= ΣLa statistique du test

avec( )( )

13, 3 3

14, 4 4

ˆ

ˆ

n

n

V

V

τ τδ

τ τ

−

−

−=

− et

ˆ1

ˆ 1

ρρ

Σ =

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Résultat de la comparaison entre le test des L-moments et Kolmogorov-Smirnov : Cas de la loi GEV

01020304050607080

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

t3

P GEV

LN3

PIII

Pourcentage d'acceptation du test des L-moments pour N=1000

échantillons issus d'une loi GEV

01020304050607080

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

t3

P GEV

LN3

PIII

Pourcentage d'acceptation du test K-S pour N=1000 échantillons

issus d'une loi GEV

14

0

1020

3040

50

60

70

80

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

t3

P GEV

LN3

PIII

Pourcentage d'acceptation du test des L-moments pour N=1000

échantillons issus d'une loi LN3

0102030405060

708090

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

t3

P GEV

LN3

PIII

Pourcentage d'acceptation du test de K-S pour N=1000

échantillons issus d'une loi LN3

Résultats (Cas de la loi LN3)

15

Résultats (Cas de la loi PIII)

0

20

40

60

80

100

120

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

t3

P GEV

LN3

PIII

Pourcentage d'acceptation du test des L-moments pour N=1000

échantillons issus d'une loi PIII

010203040

50607080

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

t3

P GEV

LN3

PIII

Pourcentage d'acceptation du test de K-S, pour N=1000 échantillons

issus d'une loi PIII

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Conclusions & Perspectives de recherche

ü L’emploi de tests basés sur les L-moments seuls, ne permet pas une bonne discrimination entre les lois

ü Nécessité d’explorer d’autres outils statistiques capables de donner plus de poids aux valeurs extrêmes :

Ø LH-moments fonction de statistiques d’ordre élevé

Ø ET-test (Exponential Tail)

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Références

Ben-Zvi, A. and Azmon, B. (1997). Joint Use of L-Moment Diagram and Goodness-of-fit Test: A Case Study of Diverse Series. Journal of Hydrology; 198:245-259.

Bernier, J. (1993) Sur les utilisations des L-Moments en hydrologie statistique. Notes en vue d'une publication.

Chowdhury, J.U. and Stedinger, J.R. (1991). Goodness-of-Fit Tests for Regional Generalized Extreme Value Flood Distributions. Water Resources Research 27 (7), 1765-1776.

Hosking, J.R.M. (1990). L-Moments: Analysis and Estimation of Distributions Using Linear Combinations of Order Statistics. Journal of Royal Statistical Society, 52:105-124.

Klemeš, V. (2000). Tall Tales About Tails of Hydrological Distributions. II. J. Hydrolog. Eng. 5(3) : 232-239.

Onoz, B. and Bayazit, M. (1995). Best-Fit Distribution of Largest Available Flood Samples. Journal of Hydrology. 167:195-208.Pandey, M. D.; van Gelder, P. H. A. J. M., and Vrijling, J. K.(2001). Assessment of an L-Kurtosis-based criterion for quantile estimation. Journal of Hydrologic Engineering. 6(4):284-292

Sillito, G.P. (1969). Derivation of approximants to the inverse distribution function of continuous univariatepopulation from the order statistics of a sample. Biometrika. 56, 641-650.

Vogel, R.M. and Fennessey, N.M. (1993). L-Moment Diagrams Should Replace Moment Diagrams. Water Resources Research, 29:1745-1752.