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Terminale ES Lycée Honoré d’Urfé

DIVERS EXERCICES TOUS ISSUS DE SUJETS DE BAC ES RECENTSCORRECTION SUCCINCTE

VEUILLEZ EXCUSER LES EVENTUELLES ERREURS DE FRAPPETous ces exercices sont conformes au programme, j’ai essayé de vous indiquer l’origine de chacun

1 Probabilités

1.1 Bac ES Métropole 2013

Une usine de composants électriques dispose de deux unités de production, A et B.La production journalière de l’usine A est de 600 pièces, celle de l’unité B est de 900 pièces.

On prélève au hasard un composant de la production d’une journée.

La probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité A est égale à 0,014.La probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité B est égale à 0,024.On note :

• D l’évènement : « le composant présente un défaut de soudure »

• A l’évènement : « le composant est produit par l’unité A »

• B l’évènement :« le composant est produit par l’unité B »

On note p(D) la probabilité de l’évènement D et pA(D) la probabilité de l’évènement D sachant que l’évènement A est réalisé.

Partie A : généralités

1. a) D’après les données de l’énoncé, on a pA(D) = 0,014 et pB(D) = 0,024.

b) Calculer p(A) =6

15= 0,4 et p(B) =

915

= 0,6.

2. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous :

A

P(A) =

0,4

D

PA(D) = 0,014

D

PA(D) = 0,986

B

P(B) = 0,6

D

PB(D) = 0,024

D

PB(D) = 0,976

3. a) Calculer p(A∩D) = PA(D)×P(A) = 0,014× 0,4= 0,0056et p(B∩D) = PB(D)×P(B) = 0,024× 0,6= 0,0144.

b) En déduire p(D).D’après la formule des probabilités totales, P(D) = P(A∩D)+P(B∩D) = 0,02

4. On prélève dans la-production totale un composant présentant un défaut de soudure. Quelle est la probabilité qu’il proviennede l’unité A ?

On cherche PD(A) =P(A∩D)

P(D)=

0,00560,02

= 0,28

Partie B : contrôle de qualité

On suppose que les composants doivent présenter une résistance globale comprise entre 195 et 205 ohms.On admet que la variable aléatoire R qui, à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, suit uneloi normale de moyenne m = 200,5 et d’écart-type σ = 3,5.On prélève un composant dans la production.Les résultats sont arrondis à 0,0001 près ; ils ont été obtenus à l’aide de la calculatrice

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1. Calculer la probabilité p1 de l’évènement : « La résistance du composant est supérieure à 211 ohms ».On cherche p1 = P(X > 211) = 1−P(R 6 211) = 1−P(R 6 200,5)−P(200,56 R 6 211)≈ 0,0013

2. Calculer la probabilité p2 de l’évènement :« La résistance du composant est comprise dans l’intervalle de tolérance indiquédans l’énoncé ».On cherche p2 = P(195 6 R 6 205)≈ 0,8427

3. On prélève au hasard dans la production trois composants. On suppose que les prélèvements sont indépendants l’un del’autre et que la probabilité qu’un composant soit accepté est égale à 0,84.Ici on reconnait la loi binomiale :On a trois épreuves à deux issues possibles, le composant est accepté ou non, la probabilité de succès (composant accepté)est constante et vaut 0,84, les épreuves sont indépendantes, la variable aléatoire X qui donne le nombre de succès suit doncla loi binomiale B(3;0,84)Déterminer la probabilité p qu’exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés.

p = P(X = 2) =

(

32

)

× 0,842× 0,16 ≈ 0,3387

1.2 Bac ES Centres Etrangers 2013

Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.

1. Paul se connecte sur le site. La durée D (en seconde) qu’il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire quisuit une loi uniforme sur l’intervalle [20 ; 120].

a) Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes.

On cherche P(20 6 D 6 60) =60− 20120− 20

=40

100= 0,4

b) Calculer l’espérance mathématique de D. Interpréter ce résultat.

On sait que E(D) =20+ 120

2= 70 ce qui permet de dire que le jeu pourra commencer en moyenne au bout de 70

secondes soit une minute et dix secondes.

2. L’équipe est maintenant réunie et la partie peut commencer. La durée J (en minute) d’une partie est une variable aléatoirequi suit la loi normale N (120, 400).

a) Déterminer l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire J.Rappel : l’espérance est la moyenne (le premier nombre de la notation) et l’écart type est la racine carrée du deuxièmenombre donné dans la notation N (m, σ2) J suit N (120, 400) donc E(J) = 120 et σ =

√400 = 20

b) Montrer l’équivalence :

90 < J < 180 ⇔−1,5 <J− 120

20< 3

Je préfère la notation avec ssi il suffit d’écrire 90 < J < 180 ssi 90− 120< J− 120 < 180− 120

ssi −− 30 < J− 120 < 60 ssi −3020

<J − 120

20<

6020

ssi −1,5 < J−12020 < 3 et c’est fini !

c) On définit la variable aléatoire X par X =J− 120

20.

Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire X .Ceci est un résultat de cours, lorsque l’on enlève à la variable aléatoire qui suit N (m, σ2)la moyenne et que l’on divisepar l’écart type , la variable aléatoire X obtenue suit la loi normale centrée réduite soit N (0, 1)

d) Déterminer la probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes, à 0,001 près.Ici le plus simple est d’utiliser la calculette sans tenir compte de la question précédente,

la machine donne P(90 < J < 120)≈ 0,4332

1.3 bac ES Polynésie juin 2013

On s’intéresse à une espèce de poissons présente dans deux zones différentes (zone 1 et zone 2) de la planète.

A . Étude de la zone 1



On note X la variable aléatoire qui à chaque poisson observé dans la zone 1associe sa taille en cm.Une étude statistique sur ces poissons de la zone 1 a montré que la variablealéatoire X suit une loi normale de moyenne m et d’écart type σ = 30. Lacourbe de la densité de probabilité associée à X est représentée ci-contre.

0,0064

0,0128

150 200 250 30050 100 x

y

1. Par lecture graphique, donner la valeur de m.On cherche l’abscisse du maximum de la courbe : on lit m = 150

2. On pêche un de ces poissons dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à 10−2, d’avoir un poisson dont la taille estcomprise entre 150 cm et 210 cm.On utilise la calculette, on obtient P150 6 X 6 210)≈ 0,48

3. Un poisson de cette espèce de la zone 1 est considéré comme adulte quand il mesure plus de 120 cm.

On pêche un poisson de l’espèce considérée dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à 10−2, de pêcher un poissonadulte.On cherche PX > 120) = P(X < 180) = P(X < 150)+P(150< X < 180) = 0,5+ 0,3413≈ 0,84

4. On considère un nombre k strictement plus grand que la valeur moyenne m.Est-il vrai que P(X < k)< 0,5 ? Justifier.

On sait qu P(X < m) = 0,5 or K > m donc P(X < k)> 0,5

B . Étude de la zone 2

1. Certains poissons de la zone 2 sont atteints d’une maladie. On prélève de façon aléatoire un échantillon de 50 poissons decette espèce dans la zone 2 et on constate que 15 poissons sont malades.

a) Calculer la fréquence f de poissons malades dans l’échantillon.

f =1550

= 0,3

b) Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de 95%, de la proportion p de poissons malades dans toute la zone 2.On arrondira les bornes au millième.

Ic =

[

f − 1√n

; f + 11√n

]

soit [0,158 ;0,442] Ici pensez à arrondir en dessous pour la borne inférieure et au dessus

pour la borne supérieure.

2. Soit Y la variable aléatoire qui, à chaque poisson de l’espèce considérée de la zone 2, associe sa taille en cm. On admet quela variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne m′ = 205 et d’écart type σ ′ = 40.

En comparant avec le graphique de la zone 1 donné à la question 1 qui représente une loi normale d’écart type σ = 30, direlaquelle des trois courbes ci-dessous représente la densité de probabilité de la variable aléatoire Y . Justifier la réponse.La bonne courbe est la première, car elle est symétrique par rapport à la droite d’équation x = 205 ce qui n’est pas le casde la troisième, de plus la seconde courbe étant plus ressérée autour de la moyenne traduit un écart type plus petit que lacourbe de référence, or l’écart type de Y est supérieur à l’écart type de X .

Courbe 1

0,0064

0,0128

150 200 250 30050 100 x

y

Courbe 2

0,0064

0,0128

0,0192

150 200 250 30050 100 x

y



Courbe 3

0,0064

0,0128

150 200 250 30050 100 x

y



1.4 Bac ES Antilles Guyane 2013

Les parties A et B sont indépendantes.Les résultats décimaux seront arrondis au millième pour tout l’exercice.

Partie A

La direction d’une société fabriquant des composants électroniques impose à ses deux sites de production de respecter lesproportions ci-dessous en termes de contrat d’embauche du personnel :

� 80 % de CDI (contrat à durée indéterminée)

� 20 % de CDD (contrat à durée déterminée).

On donne la composition du personnel des deux sites dans le tableau suivant :

CDI CDD Effectif total Pourcentage de CDISite de production A 315 106 421 74,822%Site de production B 52 16 68 76,471%

1. Calculer le pourcentage de CDI sur chaque site de production. Voir tableau

2. Pour une proportion p= 0,8, déterminer les intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil de 95 % relatifs aux échantillonsde taille n, pour n = 421 et pour n = 68

On cherche :

[

p− 1,96

√

p× (1− p)

n; p+ 1,96

√

p× (1− p)

n

]

.

Pour P = 0,8 et n = 421 I421 = [0,76179 ; 0,83821]Pour P = 0,8 et n = 68 I68 = [0,704926 ; 0,895074]

3. Comment la direction de la société peut-elle interpréter les intervalles obtenus dans la question précédente ?

On applique le coursSoit f la fréquence du caractère étudié d’un échantillon de taille n.

Soit l’hypothèse : "La proportion de ce caractère dans la population est p."

Soit I l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 : I =

[

p− 1,96

√

p× (1− p)

n; p+ 1,96

√

p× (1− p)

n

]

� Si f ∈ I , alors on accepte l’hypothèse faite sur la proportion p.

� Si f /∈ I , alors on rejette l’hypothèse faite sur la proportion p avec un risque de 5% de se tromper.

Donc pour l’échantillon de taille 421 on refuse l’hypothèse avec un risque 5% et pour l’échantillon de taille 68, on acceptel’hypothèse.

Partie B

Dans cette partie, on convient que l’on peut utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique

lorsquen > 30,np > 5 et n(1− p)> 5, où p désigne la proportion dans une population, et n désigne la taille d’un échantillon

de cette population.

La direction de cette même société tolère 7 % de composants défectueux. Le responsable d’un site de production souhaiteévaluer si sa chaîne de production respecte cette contrainte de 7 %. Pour cela, il prélève un échantillon de composantsélectroniques.

1. S’il prélève un échantillon de 50 composants, peut-il utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % ?Expliquer.n > 30 ; n× p = 3,5 6 5 donc on ne peut pas utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.

2. S’il prélève un échantillon de 100 composants, peut-il utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % ?Expliquer.n > 30 ; n× p = 8 > 5 et n× p× (1− p) = 6,51 > 5donc on peut utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuilde 95%.

3. Le responsable du site de production prélève un échantillon de taille 100, dans lequel 9 composants électroniques s’avèrentdéfectueux. Comment peut-il interpréter ce résultat ?I100 = [0,199911;0,120009], donc 0,09 ∈ I100, il accepte donc l’hypothèse que moins de 7% de pièces soient défectueusesdans la production.



1.5 Bac Es Métropole dévoilé juin 2013

Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis éventuellement au

millième.

Les parties A et B sont indépendantes.

On s’intéresse à une entreprise chargée de mettre du lait en bouteilles.

Partie A : Étude du processus de mise en bouteille

La bouteille vide arrive sur un tapis roulant et passe successivement dans 2 machines M1 et M2. La machine M1 remplit labouteille de lait et la machine M2 met le bouchon.Une étude statistique portant sur un grand nombre de bouteilles de lait à la fin de la chaîne a permis d’établir que 5 %des bouteilles ne sont pas correctement remplies et que parmi elles 8 % ont un bouchon. D’autre part, 4 % des bouteillescorrectement remplies n’ont pas de bouchon.On choisit une bouteille de lait au hasard à la fin de la chaîne et on note :

• R, l’évènement : « la bouteille est correctement remplie » ;

• B, l’évènement : « la bouteille a un bouchon ».

Rappel des notations :Si A et B sont deux évènements donnés, P(A) désigne la probabilité que l’évènement A se réalise et PB(A) désigne la probabilitéde l’évènement A sachant que l’évènement B est réalisé.A désigne l’évènement contraire de l’évènement A.

1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

R

P(R) =

0,95

B

PR(B) = 0,96

B

PR(B) = 0,04

R

P(R) = 0,05

B

PR(B) =

0,08

B

PR (B) = 0,92

2. Déterminer la probabilité que la bouteille soit correctement remplie et qu’elle ait un bouchon.

On cherche P(R∩B) = PRB×P(R) = 0,96× 0,95= 0,912

3. Montrer que la probabilité que la bouteille ait un bouchon est égale à 0,916.D’après la formule des probabilités totales, P(B) = P(R∩B)+P(R∩B)

Soit P(B) = 0,912+PR(B)×P(R) = 0,912+ 0,05× 0,08= 0,916

4. Sachant que la bouteille a un bouchon, déterminer la probabilité qu’elle soit correctement remplie.

Partie B : Production journalière

Une étude sur les dix premières années a montré que la production journalière de bouteilles de lait dans cette entreprise peutêtre modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne 2 000 et d’écart type 200.

1. Calculer la probabilité que la production journalière soit comprise entre 1 800 et 2 200 bouteilles.

La calculette donne : P(1800 6 X 6 2200)≈ 0,683 on aurait pu aussi utilisé le rappel, on est dans l’intervalle à un sigma.

2. Le service maintenance doit intervenir sur les machines si la production journalière devient inférieure à 1 600 bouteilles.Déterminer la probabilité que le service maintenance intervienne sur les machinesOn cherche :P(X 6 1600) = P(X > 2400) = 1−P(X 6 2400) = 1−P(X 6 2000)−P(20006 X 6 2400 ≈ 0,228



1.6 Bac ES Polynésie sept 2013

Commun à tous les candidats

Une entreprise qui produit du papier recyclé, a été créée en l’année 2000 et le tableau ci-dessous donne l’évolution de saproduction.

Année 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012Rang del’année

0 2 4 6 8 10 12

Productionen tonnes

7 000 18 811 36 620 49 000 58 012 63 098 68 500

1. a) Déterminer le pourcentage d’augmentation de la production entre les années 2000 et 2012. On donnera le résultatarrondi sous la forme a% où a est un nombre entier.

a =68500− 7000

7000≈ 879%

b) Déterminer un nombre réel positif qui est solution de l’équation x12 = 9,79. ssi ln(x12) = ln(9,79) ssi 12lnx = ln(9,79)

ssi lnx =ln(9,79)

12Ssi

x = e

ln(9,79)12 ≈ 1,21

Interpréter ce nombre en termes de taux d’évolution de la production de cette entreprise entre les années 2000 et 2012.On donnera le résultat arrondi sous la forme b% où b est un nombre entier. Le taux d’évolution de la production decette entreprise entre 2000 et 2012 est de 979% (la production est multipliée par 9,79 environ) donc chaque année letaux d’évolution moyen est de b ≈ 121%

2. L’entreprise fait appel à un cabinet d’experts pour modéliser l’évolution de la production de l’entreprise afin de faire uneprojection jusqu’en 2020. Le cabinet d’experts propose la fonction f définie sur l’intervalle [2 ; 20] par :

f (x) = 27131lnx+ 0,626x3

où x représente le rang de l’année et f (x) le nombre de tonnes produites.

a) On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 20]. Déterminer f ′(x) puis les variations de la fonctionf sur [2 ; 20].

f ′(x) =27131

x+ 0,626x2 > 0 car x ∈ [2 ; 20] donc la fonction f est strictement croissante sur [2 ; 20].

b) à l’aide de cette modélisation, l’entreprise peut-elle dépasser une production de 90 000 tonnes de papier recyclé avantl’année 2020 ? Justifier.

On cherche à résoudre l’inéquation f (x) > 90000La machine à calculer donne f (20)≈ 86985 la fonction étant strictement croissante, l’entreprise ne pourra pas atteindreune production de plus de 90 000 avant 2020.

3. Une commande de bobines de papier de 2,20 m de large et pesant chacune environ 500 kg est faite à cette entreprise. Lepoids d’une bobine varie en fonction de nombreux facteurs.Soit X la variable aléatoire qui à toute bobine choisie au hasard dans cette commande associe son poids. On admet que X

suit une loi normale de paramètres m = 500 et σ = 2.

a) Toute bobine dont le poids est inférieur à 496 kg est refusée.Quelle est la probabilité qu’une bobine choisie au hasard dans cette commande soit refusée ?

Donner une valeur arrondie du résultat à 10−4.On cherche P(X 6 496) = P(X > 504) = 1−P(X 6 500)−P(5006 X 6 504)≈ 0,0227

b) L’entreprise perd de l’argent pour toute bobine dont le poids est supérieur à 506 kg.Quelle est la probabilité qu’une bobine choisie au hasard dans cette commande fasse perdre de l’argent à l’entreprise ?Donner une valeur arrondie du résultat à 10−4.

On cherche P(X > 506) = 1−P(X 6 506)P(X 6 506) = P(X 6 500)+P(5006 X 6 506)≈ 0,9987,

D’où P(X > 506) = 0,0013



2 Suites

2.1 Bac ES Pondichéry 2013

Le 1er janvier 2000, un client a placé 3 000 C à intérêts composés au taux annuel de 2,5 %.On note Cn le capital du client au 1er janvier de l’année 2000+ n, où n est un entier naturel.

1. Calculer C1 et C2. Arrondir les résultats au centime d’euro.

C1 =C0 +2,5100

= 1,025C0 = 3075 et C2 = 1.025C1 ≈ 3151,88

2. Exprimer Cn+1 en fonction de Cn. En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, on a la relation :

Cn = 3000× 1,025n.

Cn+1 =Cn + 0,025Cn = 1,025Cn donc la suite (Cn) est géométrique de raison 1,025 et donc Cn = 3000× 1,025n

3. On donne l’algorithme suivant :

Entrée Saisir un nombre S supérieur à 3 000Traitement Affecter à n la valeur 0. Initialisation

Affecter à U la valeur 3 000 Initialisation

Tant que U 6 S

n prend la valeur n+ 1U prend la valeur U × 1,025

Fin tant queSortie Afficher le nombre 2000+ n

a) Pour la valeur S = 3300 saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats serontarrondis à l’unité.

Valeur de n 0 1 2 3 4Valeur de U 3 000 3 075 3 152 3 231 3 311Condition U 6 S vrai vraie vraie vraie faux

b) En déduire l’affichage obtenu quand la valeur de S saisie est 3 300.

L’algorithme affiche 2004

c) Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand onsaisit un nombre S supérieur à 3 000.Cet algorithme donne l’année où le capital deviendra supérieur à S

4. Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d’une somme de 5 000 C. Montrer que le capital de son placement n’est passuffisant à cette date.La suite est strictement croissante car 1,025 > 1 et C13 ≈ 4136 donc le placement ne sera pas suffisant en 2013.

5. Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1er janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initialmultiplié par 10.

On cherche à résoudre 3000× 1,025n > 30000 soit 1,025n > 10, ce qui équivaut à :

ln(1,025n)> ln10 ssi nln1,025 > ln10 ssi n >ln10

ln1,025≈ 93,24 et donc son capital sera multiplié par 10 en 2094

2.2 Bac ES Liban 2013

Partie A

On considère la suite (un) définie par u0 = 10 et pour tout entier naturel n,

un+1 = 0,9un + 1,2.

1. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = un − 12.

a) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

On calcule vn+1 = un+1 − 12 = 0,9un+ 1,2− 12= 0,9un − 10,8 = 0,9(un − 12) = 0,9vn

La suite (vn) est donc géométrique de raison 0,9 et de premier terme v0 = u0 − 12 =−2

b) Exprimer vn en fonction de n.En appliquant les formules sur les suites géométriques, on aura : vn = v0 × qn =−2× 0,9n

c) En déduire que pour tout entier naturel n,un = 12− 2× 0,9n.On a vn = un − 12. soit un = vn + 12 et donc pour tout n, un = 12− 2× 0,9n.



2. Déterminer la limite de la suite (vn) et en déduire celle de la suite (un).

Comme la raison de la suite (vn) est comprise entre 0 et 1, la limite de la suite (vn) est donc nulle.

Par suite : limn→+∞

un = 12

Partie B

En 2012, la ville de Bellecité compte 10 milliers d’habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montréque chaque année :

• 10 % des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville ;

• 1 200 personnes naissent ou emménagent dans cette ville.

1. Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite (un) où un désigne le nombre de milliers d’habitants de la villede Bellecité l’année 2012+ n.

La diminution de 10% de la population de la ville peut se traduire par le coefficient multiplicateur 0,9 soit 0,9un auquel ilfaut ajouter les 1 200 nouveaux habitants soit 1,2 milliers.On obtient donc bien un+1 = 0,9un + 1,2

2. Un institut statistique décide d’utiliser un algorithme pour prévoir la population de la ville de Bellecité dans les années àvenir.

Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il calcule la population de la ville de Bellecité l’année 2012+ n.

VARIABLESa,i,n.INITIALISATIONChoisir n

a prend la valeur 10TRAITEMENTPour i allant de 1 à n,a prend la valeur 0,9a+ 1,2,

SORTIEAfficher a

3. a) Résoudre l’inéquation 12− 2× 0,9n > 11,5.12− 2× 0,9n > 11,5 ⇔−2× 0,9n >−0,5

On multiplie l’inégalité par −1 donc on change le sens de l’inégalité soit2× 0,9n < 0,5 ⇔ 0,9n < 0,25.

La fonction logarithme étant strictement croissante, on obtient :

ln(0,9n)< ln(0,25)⇔ n ln(0,9)< ln(0,25).

ln(0,9) étant négatif, on aura n >ln(0,25)ln(0,9)

soit n > 13,15.

Les solutions de l’inéquation sont donc les entiers naturels supérieur à 14.

b) En donner une interprétation.La population de Bellecité sera supérieur à 11,5 milliers d’habitants à partir de l’année 2012+ 14 soit 2026.

2.3 Bac ES Polynésie juin 2013

La production des perles de culture de Tahiti est une activité économique importante pour la Polynésie Française.Les montants réalisés à l’exportation des produits perliers de 2008 à 2011 sont donnés dans le tableau suivant, en milliersd’euros :

Années 2008 2009 2010 2011Valeurs brutes des produits perliers (enmilliers d’euros)

81 295 66 052 64 690 63 182

Source : ISPF ((Institut de Statistiques de Polynésie Française)

1. Montrer que le taux d’évolution annuel moyen des montants à l’exportation des produits perliers de Polynésie entre 2008et 2011 est −8,06% arrondi au centième.

Le coefficient multiplicateur entre 2008 et 2011 est de6318281295

≈ 0,7771942, le coefficient multiplicateur moyen est donc

(0,7771942)

13 ≈ 0,919411 soit un taux d’évolution annuel moyen de 0,919411− 1≈−0,0806=−8,06%

On admet pour la suite de l’exercice, que la production continuera à baisser de 8% par an à partir de 2011.



2. On considère l’algorithme suivant :

Entrée Saisir un nombre positif PTraitement : Affecter la valeur 0 à la variable N {initialisation}

Affecter la valeur 63 182 à U {initialisation}

Tant que U > P

Affecter la valeur N + 1 à N

Affecter la valeur 0,92×U à U

Fin de Tant que

Affecter la valeur N + 2011 à NSortie Afficher N

Si on saisit P = 50 000 en entrée, qu’obtient-on en sortie par cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de laproduction de perles.On obtient 2014 ce qui veut dire qu’en 2014 le montant deviendra inférieur à 50 000

3. Pour prévoir les montants réalisés à l’exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation par une suite (un). On noteu0 le montant en 2011, en milliers d’euros, et un le montant en 2011+ n, en milliers d’euros. On a donc u0 = 63 182 et onsuppose que la valeur baisse tous les ans de 8%.

a) Montrer que (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison.On a un+1 = un −0,08un = 0,92un donc (un) est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier terme u0 = 63 182.

b) Exprimer, pour tout entier naturel n, un en fonction de n.On a : un = 63182× 0,92n

c) Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour l’exportation des produits perliers de Polynésie Française en 2016 ?On arrondira le résultat au millier d’euros.L’année 2016 correspond à n = 5 , la machine donne u6 ≈ 41642

4. Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés que l’on peut prévoir avec ce modèle à partir de 2011 (comprise)jusqu’à 2020 (comprise). On donnera une valeur approchée au millier d’euros.

Ici on utilise la somme des termes d’une suite géométrique : S = 63182× 1− 0,9210

1− 0,92≈ 446706 millier d’euros.

2.4 Bac ES Asie 2013

Le gestionnaire d’une salle de concert constate que, chaque année, le nombre d’abonnés est constitué de 70% des abonnés del’année précédente, auxquels s’ajoutent 210 nouveaux abonnés.Le nombre d’abonnés en 2010 était de 600.

1. Calculer le nombre d’abonnés en 2011 et 2012.Le nombre d’abonnés en 2011 est de 0,70× 600+ 210= 630Le nombre d’abonnés en 2012 est de 0,70× 630+ 210= 651

2. On définit la suite (un) par : u0 = 600 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,7un + 210.On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite (un).

A B

1 n un

2 0 6003 14 25 36 47 58 69 7

Proposer une formule à écrire en B3 pour calculer u1 ; cette formule « tirée vers le bas » dans la colonne devra permettrede calculer les valeurs successives de la suite (un).

Il suffit de taper dans la cellule B3 : B2 ∗ 0.7+ 210

3. On pose, pour tout entier naturel n : vn = un − 700.

a) Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,7.Préciser son premier terme.Et c’est reparti :vn+1 = un+1 − 700 = 0,7un + 210− 700 = 0,7× (Un + 700) = 0,7vn.donc (Vn) est géométrique de raison 0,7 et depremier terme v0 =−100



b) Justifier que pour tout entier naturel n, un = 700− 100× 0,7n.vn =−100× 0,7n un = vn + 700 =−100× 0,7n+ 700

4. a) Soit n un entier naturel. Démontrer que un > 697 est équivalent à 0,7n 6 0,03.un > 697 ssi −100× 0,7n+ 700 > 697 ssi −100× 0,7n >−3 ssi 0,7n 6 0,03.

b) Pour résoudre cette inéquation, on utilise l’algorithme suivant :

Variables : N est un nombre entier naturelInitialisation : Affecter à N la Valeur 0

Affecter à U la valeur 1Traitement : Tant que U > 0,03

Affecter à N la valeur N + 1.

Affecter à U la valeur 0,7×U .

Fin du Tant queSortie : Afficher N.

Quelle valeur de N obtient-on en sortie ? (On fera tourner l’algorithme).

En faisant tourner l’algorithme on obtient :N U Sortie0 11 0,72 0,493 0,3434 0,24015 0,68076 0,117657 0,082358 0,057859 0,04035

10 0,02825 10

c) Retrouvez ce résultat en résolvant l’inéquation 0,7n 6 0,03.0,7n 6 0,03 ssi ln0,7n 6 ln0,03 ssi n ln0,7 6 ln0,03

ssi n >ln0,03ln0,7

car ln0,7 < 0 ssi n > 9,83 S = [9,83;+∞[

d) En utilisant l’étude précédente de la suite (un), déterminer à partir de quelle année le nombre d’abonnés atteindra aumoins 697.Compte tenu des deux questions précédentes, ceci se produira pour n = 10 soit en 2010.


Les services de la mairie d’une ville ont étudié l’évolution de la population de cette ville. Chaque année, 12,5 % de lapopulation quitte la ville et 1 200 personnes s’y installent.En 2012, la ville comptait 40 000 habitants.On note Un le nombre d’habitants de la ville en l’année 2012+ n.On a donc U0 = 40000.On admet que la suite (Un) est définie pour tout entier naturel n par Un+1 = 0,875×Un+ 1200.On considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n par Vn =Un − 9600.

Les questions numérotées de 1 à 5 de cet exercice forment un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des

questions, quatre affirmations sont proposées : une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse

fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le

numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n’est demandée.

1. La valeur de U1 est :

a. 6 200 b. 35 000 c. 36 200 d. 46 200

2. La suite (Vn) est :

a. géométrique de raison −12,5% c. géométrique de raison −0,875b. géométrique de raison 0,875 d. arithmétique de raison −9600

3. La suite (Un) a pour limite :

a. +∞ b. 0 c. 1200 d. 9600



4. On considère l’algorithme suivant :

VARIABLES :

U , N

INITIALISATION :

U prend la valeur 40 000N prend la valeur 0

TRAITEMENT :

Tant que U > 10000

N prend la valeur N + 1

U prend la valeur 0,875×U + 1200

Fin du Tant queSORTIE :

Afficher N

Cet algorithme permet d’obtenir :

a. la valeur de U40000 c. le plus petit rang n pour lequel on a Un 6 10000b. toutes les valeurs de U0 à UN d. le nombre de termes inférieurs à 1 200

5. La valeur affichée est :

a. 33 b. 34 c. 9600 d. 9970,8

Correction :

U1 = 0,875U0+ 1200 = 0,875× 40000+1200= 36200 donc U1 = 36200 . La bonne réponse est donc la réponse c.

On note que Un =Vn + 9600.Vn+1 =Un+1 − 9600 = 0,875×Un+ 1200− 9600= 0,875× (Vn + 9600)− 8400 = 0,875×Vn+ 8400− 8400 donc

Vn+1 = 0,875×Vn donc la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 0,875. La bonne réponse est la réponse b.Le premier terme est donc V0 =U0 − 9600= 40000− 9600= 30400

On peut donc en déduire que pour tout entier naturel n, Vn = 30400× 0,875n, or Un =Vn + 9600 doncUn = 30400× 0,875n+ 9600.

Notons que 0 < 0,875 < 1 donc limn→+∞ 0,875n = 0 donc limn→+∞Un = 9600 . La bonne réponse est la réponse d.

La bonne réponse est la réponse c.

U32 = 30400× 0,87532+ 9600 ≈ 10024 > 10000 et U33 = 30400× 0,87533+ 9600≈ 9971 < 10000 donc la valeuraffichée est la valeur de N égale à 33 . La bonne réponse est la réponse a.

3 Fonctions

3.1 Bac ES Pondichéry 2013

La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.

PARTIE A

On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 6] par

f (x) = 1− (x+ 1)e−x.

1. Montrer que f ′(x) = xe−x où f ′ désigne la fonction dérivée de la fonction f .

f ′(x) =−e−x +(x+ 1)e−x = e−x(−1+ x+ 1)= xe−x

2. Démontrer que l’équation f (x) = 0,5 admet une solution unique α sur l’intervalle [0 ; 6].

Sur [0 ; 6], x > 0 et e−x > 0donc f ′(x) > 0 donc f est strictement croissante sur [0 ; 6]. Elle est continue car dérivable,f (0) = 0 et f (6)≈ 0,98265 donc 0,5 ∈ [ f (0) ; f (6)].

Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 0,5 admet une solution unique α sur l’intervalle[0 ; 6].Déterminer une valeur arrondie de α à 0,01.

f (1,67)≈ 0,49738 et f (1,68)≈ 0,50062 et donc α ≈ 1,68



3. On admet que la fonction F définie sur [0 ; 6] par F(x) = x+(x+2)e−x est une primitive de f sur [0 ; 6]. Donner la valeur

exacte puis une valeur arrondie à 10−3 de I =

∫ 6

0f (x)dx.

I =

∫ 6

0f (x)dx = [F(x)]60 = F(6)−F(0) = 6+ 8e−6 − 0− 2= 4+ 8e−6 ≈ 4,02 .

PARTIE B

Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l’aide de la fonction f définie dans lapartie A pour x compris entre 0 et 6.x représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.f (x) représente la production journalière de batteries en milliers.

1. Exprimer en mois puis en jours le moment où la production atteindra 0,5 millier soit 500 unités.

Confère question A.2 le moment en question est α ≈ 1,68mois soit Un mois et 20 jours.

2. Déterminer une valeur arrondie à 10−3 de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiersmois.

La valeur moyenne de f sur les six premiers mois est m =16× I ≈ 0,67 milliers de batteries.

PARTIE C

Il est prévu que l’autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km.Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l’autonomie, exprimée en km, permise par ces batteriessuit une loi normale d’espérance m = 200 et d’écart-type σ = 40.

1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ?

On cherche P(X 6 160) = P(X > 240) = 1−P(X 6 200)−P(2006 X 6 240)≈ 1− 0,5− 0,3413447399≈ 0,16

2. La probabilité de pouvoir faire l’aller-retour jusqu’à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0,01 ?Justifier votre réponse.

L’aller-retour correspond à une distance de 320 km,On cherche donc P(X > 320)P(X > 320) = 1−P(X 6 320) = 1−P(X 6 200)−P(2006 X 6 320)≈ 0,00135, elle est donc inférieure à 0,01

3.2 Bac ES Amérique du Nord 2013

On considère la fonction f définie sur R dont la courbe représentative C f est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé.

1

2

3

−1

−2

−3

−4

1 2 3−1−2−3−4−5−6−7−8x

y

A

D

C f

Figure 1

Partie A

On suppose que f est de la forme f (x) = (b− x)eax où a et b désignent deux constantes.On sait que :

• Les points A(0 ; 2) et D(2 ; 0) appartiennent à la courbe C f .

• La tangente à la courbe Cf au point A est parallèle à l’axe des abscisses.



On note f ′ la fonction dérivée de f , définie sur R.

1. Par lecture graphique, indiquer les valeurs de f (2) et f ′(0).On cherche l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse 2, c’est à dire du point D et donc f (2) = 0, la tangente à la courbeCf au point A d’abscisse 0 est parallèle à l’axe des abscisses et donc f ′(0) = 0

2. Calculer f ′(x).

f ′(x) =−eax + a(b− x)eax = eax(ab− ax− 1)

3. En utilisant les questions précédentes, montrer que a et b sont solutions du système suivant :

{

b− 2 = 0ab− 1 = 0

On sait que f (2) = 0 soit f (2) = (b−2)e2a soit b−2 = 0car pour tout x ∈R eax > 0 on obtient donc la première équationdu système.On sait que f ′(0) = 0 soit e0(ab− 1) = 0 soit ab− 1= 0 car e0 = 1, on obtient la seconde équation du système.

4. Calculer a et b et donner l’expression de f (x).

La première équation nous donne b = 2, en remplaçant dans la seconde, il vient de façon évidente a =12

et donc f (x) =

(−x+ 2)e0,5x.

Partie B

On admet que f (x) = (−x+ 2)e0,5x. (c’est rassurant, c’est ce que l’on a trouvé dans la partie A

1. À l’aide de la figure 1, justifier que la valeur de l’intégrale∫ 2

0f (x)dx est comprise entre 2 et 4.

L’intégrale précédente est égale à l’aire de la partie hachurée de la figure 1 car la fonction est positive sur l’intervalle. defaçon évidente (on compte les carreaux hachurés, cette est comprise entre 2 et 4.

2. a) On considère F la fonction définie sur R par F(x) = (−2x+ 8)e0,5x.

Montrer que F est une primitive de la fonction f sur R.Il suffit de dériver F , F ′(x) = −2× e0,5x + 0,5× (−2x+ 8)× e0,5x = e0,5x(−2− x+ 4) = e0,5x(−x+ 2) = f (x) et doncF est une primitive de la fonction f sur R.

b) Calculer la valeur exacte de∫ 2

0f (x)dx et en donner une valeur approchée à 10−2 près.

∫ 2

0f (x)dx = [F(x)]20 = F(2)−F(0) = 4× e− 8 ≈ 2,87

3. On considère Gune autre primitive de f sur R.Parmi les trois courbes C1,C2 et C3 ci-dessous, une seule est la représentation graphique de G.

Déterminer la courbe qui convient et justifier la réponse.

2

4

6

8

−2

−4

2 4 6 8 10−2−4−6−8−10

Figure 2

C1

C2C3

On sait que f (2) = 0 donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de G au point d’abscisse 2 est nul,la tangente est donc horizontale,la seule courbe qui vérifie cela est bleue à savoir C3, On aurait pu aussi essayé d’estimer la

différence G(2)−G(0) qui doit valoir 2,87



3.3 Bac ES Liban 2013

Partie A

On considère la fonction C définie sur l’intervalle [5 ; 60] par :

C(x) =e0,1x + 20

x.

1. On désigne par C′ la dérivée de la fonction C.

Montrer que, pour tout x ∈ [5 ; 60],C′(x) =0,1xe0,1x − e0,1x − 20

x2 .

C′(x) =0,1xe0,1x − (e0,1x + 20)

x2 =0,1xe0,1x − e0,1x − 20

x2

2. On considère la fonction f définie sur [5 ; 60] par

f (x) = 0,1xe0,1x − e0,1x − 20.

a) Montrer que la fonction f est strictement croissante sur [5 ; 60].On calcule la dérivée de f : f ′(x) = 0,1e0,1x + 0,12xe0,1x − 0,1e0,1x = 0,12e0,1x > 0 car la fonction exponentielle eststrictement positive sur R, donc la fonction f est strictement croissante sur [5 ; 60].

b) Montrer que l’équation f (x) = 0 possède une unique solution α dans [5 ; 60].f est continue et strictement croissante sur [5 ; 60], f (5)≈−20,82< 0 et f (60)≈ 1997,14> 0 donc 0 ∈ [ f (5); f (60)],donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation f (x) = 0 possède une unique solution α dans [5 ; 60].

c) Donner un encadrement à l’unité de α .

La calculette donne 25 6 α 6 26 car f (25)≈−1,726 < 0 et f (26)≈ 1,542 > 0

d) En déduire le tableau de signes de f (x) sur [5 ; 60].

x 5 α 60Signe de f (x) - 0 +

3. En déduire le tableau de variations de C sur [5 ; 60].C′(x) est du signe de f (x) car sur [5 ; 60] x2 > 0, on en déduit le tableau de variation de C

x 5 α 60Signe de C′(x) - 0 +

C(5) C(60)Variation de f ց ր

C(α)

Avec C(5)≈ 4,33 ; C(α)≈ 1,2865 et C(60)≈ 7,057

4. En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :

a) C(x) = 2.Cette équation admet deux solutions car 2 ∈ [C(α) ; C(5)] et 2 ∈ [C(α) ; C(60)]

b) C(x) = 5.

Cette équation admet une unique solution car 5 /∈ [C(α) ; C(5)] et 5 ∈ [C(α) ; C(60)].

Partie B

Une entreprise fabrique chaque mois x vélos de course, avec x appartenant à l’intervalle [5 ; 60].Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d’euros, pour une production de x vélos de course, est donné par la fonctionC définie dans la partie A.Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal.Ce coût moyen minimal correspond au minimum de la fonctionC et est obtenu pour x = α , Il faut donc fabriquer 25 vélos.




Partie A

On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d’un repère orthonormal, la courbe représentative C d’une fonction f définie etdérivable sur l’intervalle [0 ; 20]. On a tracé les tangentes à la courbe C aux points A, D et E d’abscisses respectives 0 ; 6 et 11.On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1

-2

-3

-4

-5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 200 x

y

b

b

bB

D

E

A

C

Par lecture graphique (aucune justification n’est demandée) :

1. Donner les valeurs exactes de f (0) =−5, f (1) = 0, f ′(0) = 6 et f ′(6) = 0.

2. Indiquer si la courbe C admet un point d’inflexion. Si oui, préciser ce point. Manifestement le point E est un pointd’inflexion.

3. Déterminer un encadrement, d’amplitude 4, par deux nombres entiers de I =

∫ 8

4f (x)dx.

On compte les carreaux correspondant à la partie hachurée du plan , il vient 28 6 I 6 32

4. Indiquer le nombre de solutions de l’équation f (x) = 4. Préciser un encadrement de la (ou des) solution(s) à l’unité.On cherche les abscisses des points d’intersection éventuels de la courbe et de la droite d’équation y = 4 on lit x ≈ 2 etx ≈ 14

Partie B

La fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; 20] par

f (x) = (5x− 5)e−0,2x.

1. Montrer que f ′(x) = (−x+ 6)e−0,2x où f ′ désigne la fonction dérivée de f sur l’intervalle [0 ; 20].f ′(x) = 5e−0,2x − 0,2(5x− 5)e−0,2x = e−0,2x(6− x)

2. a) Étudier le signe de f ′(x) sur [0 ; 20].f ′(x)> 0 sssi 6− x > 0 car e−0,2x > 0 pour tout x ∈R.Et donc f ′(x)′geqslant0 ssi x 6 6.

b) Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; 20]. On fera apparaître les valeurs exactes de f (0) et f (6).

x 0 6 20Signe de f ′(x) + 0 -

f (6)Variation de f ր ց

f (0) f (20)

f (0) =−5 ; f (6) = 25e−1,2 ≈ 7,3576 ; f (20) = 95e−4 ≈ 1,74

3. Justifier que l’équation f (x) = 4 admet une unique solution α sur [0 ; 6]. Donner la valeur arrondie au millième de α .La fonction f est continue, strictement croissante sur [0 ; 6], 4 ∈ [ f (0) ; f (6)], donc d’après le théorème des valeursintermédiaire, l’équation f (x) = 4 admet une unique solution α sur [0 ; 6] la calculette donne α ≈ 2,256

4. a) Montrer que la fonction F définie sur [0 ; 20] par F(x) = (−25x− 100)e−0,2x est une primitive de f sur [0 ; 20].On doit donc démontrer que F ′x) = f (x),F ′(x) =−25e−0,2x − 0,2× (−25x− 100)e−0,2x = e−0,2x(−25+ 10x20)= (5x− 5)e−0,2x = f (x)



b) Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [4 ; 8]. Donner sa valeur exacte.La valeur moyenne m de la fonction f sur l’intervalle [4 ; 8] vaut :

m =1

8− 4

∫ 8

4f (x)dx = [F(x)]84 = F(8)−F(4) =−300e−1,6 + 100e−0,8 ≈ 29,297

Partie C

Une entreprise fabrique x centaines d’objets où x appartient à [0 ; 20]. La fonction f des parties A et B modélise le bénéficede l’entreprise en milliers d’euros, en supposant que toute la production est vendue.Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats précédents, et en admettant que l’équation f (x) = 4 admet une autresolution β sur [6 ; 20] dont la valeur arrondie au millième est 13,903.

1. Quelle doit être la production de l’entreprise pour réaliser un bénéfice d’au moins 4000 C ? (Arrondir à l’unité).

L’ensemble solution de l’inéquation f (x) > 4 est S = [α ; β ]

Et donc la production de l’entreprise pour réaliser un bénéfice d’au moins 4000 C doit être comprise entre 226 et 1 390

2. L’entreprise pense produire régulièrement entre 400 et 800 objets.Déterminer alors la valeur moyenne du bénéfice. (On donnera le résultat arrondi à l’euro près).m = 29297C

3.5 Bac ES Asie 2013

La courbe C f ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie et deux fois dérivable sur l’ensemble desnombres réels.Elle passe par les points A

(

1;4e0,5)

,B(0;5) et C(5;0).Le point D(−3;0) appartient à la tangente à C f au point A.On note f ′ la fonction dérivée de f sur R.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-1

-2

-3

-4

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5 0 x

y

b

B

A

C

C f

D

Partie A - Par lecture graphique

1. Quel est le signe de f ′(1) ? Justifier.La tangente au point A(1; f (1)) a un coefficient directeur positif, donc le nombre dérivé en 1 est positif donc f ′(1)> 0

2. Que semble représenter le point A pour la courbe C f ?Le point A semble être un point d’inflexion, car la courbe semble traverser sa tangente en A et semble être convexe avant,puis devient concave.

3. a) Préciser un domaine du plan dont l’aire est égale à I =

∫ 3

0f (x)dx unités d’aires.

La fonction étant positive sur [0 ; 3], il s’agit du domaine situé entre la courbe représentative de f , l’axe des abscisseset l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 3, c’est la partie du plan hachurée en rouge sur la figure.

b) Recopier sur votre copie le seul encadrement qui convient parmi :0 6 I 6 9 10 6 I 6 12 20 6 I 6 24En comptant les carreaux, onconstate que c’est 20 6 I 6 24



Partie B - Par le calcul

On admet que pour tout réel x, f (x) = (−x+ 5)e0,5x et f ′(x) = (1,5− 0,5x)e0,5x.On note f ′′ la fonction dérivée seconde de f sur R.

1. a) Vérifier que, pour tout réel x, f ′′(x) = 0,25(−x+ 1)e0,5x.f ′′(x) =−0,5e0,5x+ 0,5(1,5− 0,5x)e0,5x = e0,5x(−0,5+ 0,75− 0,25x)= (−0,25x+ 0,25)e0,5x = 0,25(−x+ 1)e0,5x.

b) Résoudre l’équation f ′′(x) = 0. Montrer que le point A est un point d’inflexion de la courbe C f .f ′′(x) = 0 ssi −x+ 1 = 0 ssi x = 1f ′′(x)6 0 ssi −x+16 0 ssi x > 1 donc la dérivée seconde s’annule en changeant de signe en x = 1, le point A est doncun point d’inflexion de C f .

c) Sur quel intervalle la fonction f est-elle convexe ? Justifier.

D’après l’étude précédente du signe de f ′′(x), la fonction f est convexe sur [−∞ ; 1] .

2. Soit F la fonction définie, pour tout réel x, par F(x) = (−2x+ 14)e0,5x. On admet que F est une primitive de f sur R.

Calculer I =∫ 3

0f (x)dx. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.

I =

∫ 3

0f (x)dx = F(3)−F(0) = 8e1,5 − 14 ≈ 21,85


On considère la fonction f définie sur l’intervalle [2 ; 8] par :

f (x) =−x2 + 10x− 16

x2

On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.

1. Montrer que pour tout réel de l’intervalle [2 ; 8], on a :

f ′(x) =−10x+ 32

x3

f ′(x) =(−2x+ 10)× x2− 2x(−x2 + 10x− 16)

x4 =−2x3 + 10x2+ 2x3 − 20x2+ 32x

x4 =−10x2 + 32x

x4 =−10x+ 32

x3

2. a) Étudier le signe de f ′(x) sur l’intervalle [2 ; 8].Sur ; 8[2 ], x3 > 0 donc f ′(x) est du signe de −10x+ 32−10x+ 32> 0 ssi x 6 0,32

b) En déduire le tableau de variations de f sur l’intervalle [2;8].

x 2 3,2 8f ′′ + 0 −

f (3,2)f ′ ր ց

0 0

f (3,2)≈ 0,5625

3. On appelle f ′′ la dérivée seconde de f sur [2 ; 8].

On admet que, pour tout réel x de l’intervalle [2;8], on a :

f ′′(x) =20x− 96

x4

a) Montrer que f est une fonction convexe sur [4,8 ; 8].f ′′(x) = 20x−96

x4 , notons que x4 > 0 sur [2 ; 8] donc f ′′ est du signe de 20x− 96, 20x− 96 > 0qui ssi > 4,8 donc lafonction f est convexe sur [4,8 ; 8]. .

b) Montrer que le point de (C) d’abscisse 4,8 est un point d’inflexion.La fonction f ′ est décroissante sur [2 ; 4,8] puis croissante sur [4,8 ; 8] donc la fonction f est concave sur [2 ; 4,8] puisconvexe sur [4,8 ; 8] donc le point de (C ) d’abscisse 4,8 est un point d’inflexion.

4. On considère la fonction F définie sur [2 ; 8] par :

F(x) =−x+ 10lnx+16x

a) Montrer que F est une primitive de f sur [2 ; 8].

F ′(x) = −1+ 10× 1x+ 16×

(

− 1x2

)

= −1+ 10x− 16

x2 = −x2+10x−16x2 donc F ′(x) = f (x) donc la fonction F est une

primitive de f sur [2 ; 8].



b) Calculer I =

∫ 8

2f (x)dx

I =∫ 8

2 f (x)dx = [F(x)]82 = F(8)−F(2) =−8+ 10 ln8+ 2− (−2+ 10 ln2+ 8)

I =−8+ 10 ln8+ 2+ 2− 10 ln2− 8 =−12+ 10 ln8− 10 ln2 donc I =−12+ 10 ln4 ≈ 1,86 .


Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l’industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue.L’entreprise peut fabriquer entre 0 et 3 600 poulies par semaine. On note x le nombre de milliers de poulies fabriquées etvendues en une semaine. (x varie donc dans l’intervalle [0 ; 3,6]).Le bénéfice hebdomadaire est noté B(x), il est exprimé en milliers d’euros.

L’objet de cet exercice est d’étudier cette fonction B. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

Partie A : étude graphique

On a représenté, en annexe 2, la fonction B dans un repère du plan.Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas.Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie seraattendue pour chaque question posée.

1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 13 000 euros.On cherche les abscisses des points de la courbe dont l’ordonnée est supérieure à 13, on lit [2,45 ; 3,4] l’intervallecorrespondant en nombre de poulies est donc [2450 ; 3400]

2. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l’entreprise ?La courbe admet un sommet d’ordonnée environ 15,1, la fonction semble admettre un maximum valant 15,1 soit 15100euro. Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé ?Le nombre de poulies vendues semble être 3000

Partie B : étude théorique

Le bénéfice hebdomadaire noté B(x), exprimé en milliers d’euros vaut

B(x) =−5+(4− x)ex.

1. a) On note B′ la fonction dérivée de la fonction B.

Montrer que pour tout réel x de l’intervalle I = [0 ; 3,6], on a :

B′(x) = (3− x)ex

B′(x) =−ex +(4− x)ex = ex(3− x)

b) Déterminer le signe de la fonction dérivée B′ sur l’intervalle I.B′(x)> 0 ssi 3− x > 0 ssi x 6 3 car ex > 0

c) Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l’intervalle I.x 0 3 3,6B′ + 0 −

B(3)B ր ց

B(0) B(3,6)

B(0) =−1 ; B(3)≈ 15,0855 et B(3,6)≈ 9,639

On indiquera les valeurs de la fonction B aux bornes de l’intervalle.

2. a) Justifier que l’équation B(x) = 13 admet deux solutions x1 et x2, l’une dans l’intervalle [0 ; 3] l’autre dans l’intervalle[3 ; 3,6].La fonction B est continue, strictement croissante sur [0 ; 3], 13 ∈ [B(0) ; B(3)], donc d’après le théorème des valeursintermédiaire, l’équation B(x) = 13 admet une unique solution x1 sur [0 ; 3] la calculette donne x1 ≈ 2,456

La fonction B est continue, strictement décroissante sur [3 ; 3,6], 13 ∈ [B(3,6) ; B(3)], donc d’après le théorème desvaleurs intermédiaire, l’équation B(x) = 13 admet une unique solution x2 sur [3 ; 3,66] la calculette donne x2 ≈ 3,398

b) À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 0,01 près de chacune des deux solutions.

Confère question précédente x1 ≈ 2,46 et x2 ≈ 3,4



Annexe 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

−10,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6

I

3.8 Bac ES Métropole dévoilé 2013

Dans un laboratoire, des scientifiques ont étudié pendant 10 ans l’effet de la pollution sur une population d’insectes car ilscraignaient l’extinction de cette espèce.L’étude a été effectuée sur un échantillon de 25 000 insectes.

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

Partie A :

Une étude a permis de montrer que la population d’insectes diminue très rapidement lors des quatre premières années. Lapopulation peut être modélisée par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 4] par f (t) = 25e−0,5t , où t est le temps expriméen années et f (t) le nombre de milliers d’insectes.

1. Calculer le pourcentage de diminution du nombre d’insectes la première année. Arrondir à 1 %.

On a f (0) = 25 et f (1) ≈ 15,1633 et doncf (0)− f (1)

f (0)≈ 39,35% ≈ 39% le pourcentage de diminution du nombre

d’insectes la première année est d’environ 39%.

2. a) Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle [0 ; 4] par

F(t) =−50e−0,5t

est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 4].On cherche donc à démontrer que F ′(t) = f (t)F ′(t) =−50× (−0,5)× e−0,5t = 25e−0,5t = f (t) donc F est une primitive de f .

b) Calculer la valeur exacte de∫ 4

225e−0,5t dt.

∫ 4

225e−0,5t dt = [F(t)]42 = F(4)−F(2) =−50e−2 + 50e−1 ≈ 11,627

c) En déduire la population moyenne d’insectes entre le début de la deuxième et le début de la quatrième année.

La valeur moyenne de la fonction f entre 2 et 4 est m =1

4− 2

∫ 4

225e−0,5t dt =

12(F(4)−F(2))≈ 5,814, la population

moyenne sera donc d’environ 5 814 insectes.

Partie B :

Après de longues recherches, un biologiste a mis au point un traitement pour essayer de sauver cette espèce. Ce traitement estadministré aux insectes à partir de la quatrième année.



L’évolution de la population est alors modélisée par la fonction g définie sur l’intervalle [4 ; 10] par :

g(t) = 20e−0,1t2+ t − 4,65.

1. On désigne par g′ la fonction dérivée de la fonction g.

Montrer que pour réel t de l’intervalle [4 ; 10], g′(t) =−4te−0,1t2+ 1.

g′(t) = 1− 0,2t× 20e−0,1t2= 1− 4te−0,1t2

2. On admet que la fonction g′ est continue et strictement croissante sur l’intervalle [4 ; 10].

Montrer que l’équation g′(t) = 0 a une solution et une seule α dans l’intervalle [4 ; 10]. Donner la valeur arrondie audixième de α .La fonction g′ est continue et strictement croissante sur l’intervalle [4 ; 10], g′(4) ≈ −2,23 et g′(10) ≈ 0,998 donc 0 ∈[g′(4) ; g′(10)] donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation g′(t) = 0 a une solution et une seule α dansl’intervalle [4 ; 10]. La calculette donne α ≈ 5,58 ≈ 5,6 .

3. a) En déduire le signe de g′(t) sur l’intervalle [4 ; 10].D’après ce qui précède, g′ étant strictement croissante sur l’intervalle [4 ; 10 , g′(t) > 0 pour t ∈ [α ; 10] et g′(t) 6 0pour t ∈ [0 ; α]

b) Donner le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle [4 ; 10].On en déduit le tableau de variation de g

t 4 α 10Signe de g′(t) - 0 +

g(4) g(10)Variation de g ց ր

g(α)

On a g(4)≈ 3,3879 : g(α ≈ 1,8188 et g(10)≈ 5,3509

c) Que peut-on supposer quant à l’effet du traitement sur la population d’insectes ?Il semblerait que la population diminue jusqu’à 1 818 insectes puis se remette à croitre après 5,56 années et atteigne aubout de 10 ans environ 5 350 individus, et si la situation perdure, elle continuera de croitre.

4 Exercices de spécialité graphes

4.1 Bac ES Amérique du Nord 2013

Léa est inscrite sur les réseaux sociaux et consulte régulièrement sa page.

On considère que :

• Si Léa s’est connectée un certain jour, la probabilité qu’elle se connecte le lendemain est égale à 0,9.

• Si Léa ne s’est pas connectée un certain jour, la probabilité qu’elle se connecte le lendemain est égale à 0,8.

Pour tout entier n > 1, on note an la probabilité que Léa se connecte le n-ième jour et bn la probabilité qu’elle ne se connectepas le n-ième jour.On a donc : an + bn = 1.

Le 1er jour, Léa ne s’est pas connectée, on a donc a1 = 0.

1. a) Traduire les données par un graphe probabiliste.

C C

0,1

0,9

0,8

0,2

b) Préciser la matrice M de transition associée à ce graphe.

M =

(

0,9 0,10,8 0,2

)

c) Déterminer la probabilité que Léa se connecte le troisième jour.On cherche

(

a3 b3)

or(

a3 b3)

=(

a1 b1)

×M2 Attention ici on commence à n = 1La machine à calculer donne :

(

a3 b3)

=(

0,88 0,12)

, donc la probabilité que Léa se connecte le troisième jour est

de a3 = 0,88



2. Démontrer que, pour tout entier n > 1, on a : an+1 = 0,1an + 0,8.(

an+1 bn+1)

=(

an bn

)

×(

0,9 0,10,8 0,2

)

=(

0,9an + 0,8bn 0,1an+ 0,2bn

)

Donc an+1 = 0,9an + 0,8bn or bn = 1− an, il vient donc an+1 = 0,9an + 0,8− 0,8an = 0,1an + 0,8

3. On considère la suite (un) définie, pour tout entier n > 1, par unn = an −89

.

a) Montrer que (un) est une suite géométrique, préciser sa raison et son premier terme.encore une fois la même chose :

un+1 = an+1 −89= 0,1an+ 0,8− 8

9= 0,1an +

7,29

− 89= 0,1an +

0,89

= 0,1(an +89) = 0,1un

Donc la suite (un) est géométrique de raison 0,1 et de premier terme u1 = a1 −89= −8

9Ici encore attention on

commence à n = 1

b) Exprimer un puis an en fonction de n.Ici encore attention on commence à n = 1

un = u1 × 0,1n−1 =−89× (0,1)n−1

et donc an = un +89=−8

9× (0,1)n−1+

89

4. a) Déterminer en justifiant la limite de (an).

0 < 0,1 < 1 donc limn→+∞

(0,1)n−1 = 0 d’où limn→+∞

−89(0,1)n−1 = 0

et donc limn→+∞

an =89

b) Interpréter ce résultat.

La probabilité que Léa se connexe va tendre vers89≈ 0,888888888889

4.2 Bac ES Polynésie 2013

Les parties A et B sont indépendantes

Alors qu’une entreprise A possédait le monopole de l’accès à internet des particuliers, une entreprise concurrente B estautorisée à s’implanter.Lors de l’ouverture au public en 2010 des services du fournisseur d’accès B, l’entreprise A possède 90% du marché etl’entreprise B possède le reste du marché.Dans cet exercice, on suppose que chaque année, chaque internaute est client d’une seule entreprise A ou B.On observe à partir de 2010 que chaque année, 15% des clients de l’entreprise A deviennent des clients de l’entreprise B, et10% des clients de l’entreprise B deviennent des clients de l’entreprise A.Pour tout entier naturel n, on note an la probabilité qu’un internaute de ce pays, choisi au hasard, ait son accès à internet fournipar l’entreprise A pour l’année 2010+n, et bn, la probabilité pour que son fournisseur d’accès en 2010+n soit l’entreprise B.On note Pn =

(

an bn

)

la matrice correspondant à l’état probabiliste de l’année 2010+ n et on a ainsi a0 = 0,9 et b0 = 0,1.

PARTIE A

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.

A B

0,15

0,85

0,10

0,9

2. a) Déterminer la matrice de transition M de ce graphe.

M =

(

0,85 0,150,10 0,90

)

b) Montrer qu’en 2013, l’état probabiliste est environ(

0,61 0,39)

.On a Pn = P0 ×Mn , 2013 correspond à n = 3 soit P3 = P0 ×M3

La calculatrice donne :(

a3 b3)

≈(

0,61 0,39)



c) Déterminer l’état stable P =(

a b)

de la répartition des clients des entreprises A et B. Interpréter le résultat.Il s’agit de résoudre l’équationP×M = P avec P =

(

a b)

et a+ b = 1 ,

ce qui correspond au système

0,85a+0,10b=a0,15a+0,90b=ba+b=1

qui est équivalent à :

-0,15a+0,10b=00,15a-0,10b=0a+b=1

si l’on considère la

dernière équation de ce système, en remplaçant b= 1−a dans les deux autres équations, il vient : 0,15a−0,1+0,1a= 0

soit 0,25a = 0,1, on obtient donc a =0,1

0,25= 0,4 et donc b = 0,6, l’état stable est donc P =

(

0,4 0,6)

Cela signifie donc que la répartition entre les deux entreprises va tendre vers 40% de part de marché pour A et 60%pour B.

PARTIE B

Lors d’une campagne de marketing l’entreprise B distribue un stylo ou un porte-clés ; il en coûte à l’entreprise 0,80 C parstylo et 1,20 C par porte-clés distribué.À la fin de la journée l’entreprise a distribué 550 objets et cela lui a coûté 540 C.On cherche le nombre s de stylos et le nombre c de porte-clés distribués.

1. Écrire un système traduisant cette situation.

Il s’agit du système :

{

s+p=5500,8s+1,2p=540

2. Montrer que le système précédent est équivalent à R×X = T où R =

(

1 10,8 1,2

)

et X et T sont des matrices que l’on

précisera.

De façon évidente ce système est équivalent à :

(

1 10,8 1,2

)

×(

s

p

)

=

(

550540

)

3. Résoudre le système à l’aide de la calculatrice. Interpréter le résultat.La matrice R est inversible car 1× 1,2− 0,8×1 6= 0 et donc X = R−1T , la machine à calculer donne : s = 300 et p = 250,l’entrepise a donc distribué 300 stylos et 250 porte-clé.


Un guide de randonnée en montagne décrit les itinéraires possibles autour d’un pic rocheux.La description des itinéraires est donnée par le graphe ci-contre. Les sommets de ce graphe correspondent aux lieux remarquables.Les arêtes de ce graphe représentent les sentiers possibles entre ces lieux.

Légende :

➀ Départ ➁ Passerelle

➂ Roche percée ➃ Col des 3 vents

➄ Pic rouge ➅ Refuge

➆ Col vert ➇ Pont Napoléon

➈ Cascade des anglais ➉ Arrivée

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

➀

➁

➂

➃

➄

➅

➆

➇

➈

➉

D

A

1. Donner un itinéraire allant de D à A passant par tous les sommets du graphe une seule fois mais n’empruntant pas forcémenttous les sentiers.Par exemple : 1−2−4−5−6−3−8−7−9−10 soit Départ-Passerelle-Col de 3 vents-Pic rouge-Refuge-Roche percée-Pont Napoléon-Col vert-Cascade des anglais-Arrivée.

2. Existe-t-il un itinéraire allant de D à A utilisant tous les sentiers une seule fois ? La question précédente indique que legraphe est connexe, ce graphe a quatre sommets de degrés impairs à savoir 1 ; 6 ; 7 et 9, donc d’après le théorème d’ Euler,ce graphe n’admet pas de chaine eulérienne, donc il n’existe pas d’itinéraire allant de D à A utilisant tous les sentiers uneseule fois.



3. On note M la matrice d’adjacence associée à ce graphe, lessommets étant pris dans l’ordre. On donne ci-contre M5.

a) Que représente le nombre 89 situé sur la deuxième ligne etla quatrième colonne ?Cela signifie qu’il existe 89 chaines de longueur 5 allant dusommet 2 au sommet 4

b) Déterminer le nombre d’itinéraires allant de D à Aempruntant 5 sentiers. Citer un tel itinéraire passant par lepic rouge.Le coefficient a1;10 = 31 il donne le nombre d’itinérairesallant de D à A empruntant 5 sentiers. Un itinérairecorrespondant passant par le pic rouge (sommet 5) est parexemple 1− 4− 5− 7−8−10

M5 =

56 78 75 82 59 57 54 40 26 3178 88 95 89 96 57 50 65 48 3075 95 68 68 77 68 46 73 52 2382 89 68 62 98 49 29 79 67 1359 96 77 98 50 82 80 40 24 4657 57 68 49 82 36 25 68 49 1654 50 46 29 80 25 10 73 60 540 65 73 79 40 68 73 32 14 4826 48 52 67 24 49 60 14 6 3931 30 23 13 46 16 5 48 39 2

4. On a complété ci-contre le graphe décrivant les itinéraires avecles temps de parcours en minutes pour chacun des sentiers.

Déterminer l’itinéraire allant de D à A le plus court en temps.On fera apparaître la démarche en utilisant un algorithme.

bb

b

b

b

b

b

b

b

b15 25

35

90

60

50

35

45

20

10

40

25

90

40

20

5515

➀

➁

➂

➃

➄

➅

➆

➇

➈

➉

D

A

On utilise l’algorithme de Dijkstra :1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Marqués0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

� 351 151 901 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1� 351 � 901 ∞ 403 ∞ 1053 ∞ ∞ 1 ;3� � � 901 852 403 ∞ 1053 ∞ ∞ 1 ;3 ;2� � � 901 806 � ∞ 956 ∞ ∞ 1 ;3 ;2 ;6� � � 901 � � 905 956 ∞ ∞ 1 ;3 ;2 ;6 ;5� � � � � � 905 956 1354 ∞ 1 ;3 ;2 ;6 ;5 ;4� � � � � � � 956 1107 ∞ 1 ;3 ;2 ;6 ;5 ;4 ;7� � � � � � � � 1107 1358 1 ;3 ;2 ;6 ;5 ;4 ;7 ;8� � � � � � � � � 1309 1 ;3 ;2 ;6 ;5 ;4 ;7 ;8 ;9

On lit 10− 9− 7− 5−6−3−1 d’où l’itinéraire cherché :1− 3− 6− 5−7−9−10 la durée est de 130 minutes.

4.4 Bac ES Centres Etrangers

Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d’activités d’une municipalité. Unearête reliant deux de ces sommets indique l’existence d’une voie d’accès principale entre deux lieux correspondants.

A

B

C

D

E F

G

1. Donner, sans justifier, le degré de chacun des sommets (la réponse pourra être présentée sous forme de tableau où lessommets seront mis dans l’ordre alphabétique).



Sommets A B C D E F GDegrés 2 4 5 5 4 4 2

2. a) Donner la matrice M associée au graphe (les sommets seront mis dans l’ordre alphabétique).

M =

0 1 1 0 0 0 01 0 1 1 1 0 01 1 0 1 1 1 00 1 1 0 1 1 10 1 1 1 0 1 00 0 1 1 1 0 10 0 0 1 0 1 0

b) On donne la matrice M3 =

2 7 8 5 5 5 37 8 12 13 12 8 58 12 12 15 13 13 55 13 15 12 13 12 85 12 13 13 10 12 55 8 13 12 12 8 73 5 5 8 5 7 2

Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant A et F puis donner leur liste.Le nombre de chemins de longueur 3 reliant A et F est donné par le coefficient a1;7 = 3 de la matrice M3, il y en a donc3, qui sont A−B−D−G ; A−C−D−G et A−C−F −G

3. Pour sa campagne électorale, un candidat souhaite parcourir toutes les voies d’accès principales de ce quartier sansemprunter plusieurs fois la même voie.Montrer qu’un tel parcours est possible.Le graphe est connexe, car il existe au moins une chaine passant par tous les sommets, par exemple : A−B−D−C−E −F −G il n’a que deux sommets de degrés impairs à savoir C et D, donc d’après le théorème d’Euler, il admet une chaineeulérienne .

4. Dans le graphe ci-dessous, les valeurs indiquent, en minutes, les durées moyennes des trajets entre les différents lieux viales transports en commun.

A

B

C

D

E F

G

4

8 12

12

8

4

20

8

4

12 24

20

16

Ce même candidat se trouve à la mairie (A) quand on lui rappelle qu’il a un rendez-vous avec le responsable de l’hôpitalsitué en zone G.

a) En utilisant l’algorithme de Dijkstra, déterminer le chemin de durée minimale que ce candidat devra emprunter pourarriver à son rendez-vous.

A B C D E F G Marqués0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

� 8A 4A ∞ ∞ ∞ ∞ A� 8A � 20C 16C 24C ∞ A ;C� � � 12B 16C 24C ∞ A ;C ;B� � � � 16C 24C 32D A ;C ;B ;D� � � � � 20E 32D A ;C ;B ;D ;E� � � � � � 28F A ;C ;B ;D ;E ;F

Le trajet cherché est A−C−E −F −G

b) Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet ?Ce trajet dure 28 minutes




Un chauffeur-livreur réside en Italie dans la ville d’Aoste.Quatre fois par mois, son employeur l’envoie livrer du matériel informatique dans la ville de Florence.Il est établi que le trajet en camion coûte, en carburant, 0,51 euro au kilomètre. Le chauffeur dispose d’un budget mensuel de2 200 euros pour son carburant. Ce qu’il réussit à économiser lui permet de toucher une prime P équivalente en fin de mois.Il consulte donc la carte routière ci-dessous pour optimiser ses trajets.Le graphe ci-dessous indique les distances entre différentes villes d’Italie : Aoste, Milan, Parme, Turin, Gènes, La Spézia,Bologne et Florence. Chaque ville est désignée par son initiale.

AM

TP

G

LS

F

B

174

120 140 126246

168

108

119

98

104

145

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A : étude du trajet

1. Déterminer le trajet le plus court entre Aoste et Florence. (On indiquera les villes parcourues et l’ordre de parcours).

On utilise l’algorithme de Dijkstra

A M T G P LS B F Marqués0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

� 174A 120T ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ A� 174A � 288T 300M ∞ ∞ ∞ A ;T ;M� � � 288T 300M ∞ ∞ ∞ A ;T ;M� � � � � 396G 398P ∞ A ;T ;M ;G ;P� � � � � � 398P 541LS A ;T ;M ;G ;P ;LS� � � � � � � 502B A ;T ;M ;G ;P ;LS ;B

le trajet le plus court est donc : A−M−P−B−F , il fait 502 km.

2. Déterminer le budget carburant nécessaire aux quatre voyages aller-retour du mois (le résultat sera arrondi à l’euro près).Le budget est donc de 8× 502× 0,51≈ 2048 C.

En déduire le montant de la prime P qui lui sera versée en fin de mois, à l’euro près.Il aura donc une prime de 2200− 2048= 152 C.

Partie B : traversée de Parme

Durant son trajet, le chauffeur est obligé de traverser Parme et ses très nombreux feux tricolores. Lorsque le feu est orange, lechauffeur se comporte comme lorsqu’il est rouge, il s’arrête.L’expérience lui a permis d’établir que s’il se présente à un feu, il se produit les évènements suivants :

• Arrivé au feu, celui-ci est au vert (V) : la probabilité que le suivant soit vert est de 0,85.

• Arrivé au feu, celui-ci est orange ou rouge (R) : la probabilité que le suivant soit vert est de 0,30.



1. Représenter la situation par un graphe probabiliste.

V R

0,15

0,85

0,30

0,7

2. Indiquer la matrice de transition M du graphe, en considérant les sommets dans l’ordre (V, R) en ligne comme en colonne.

M =

(

0,85 0,150,30 0,70

)

3. Le premier feu rencontré est vert. La matrice P1 donnant l’état initial est donc (1 0).

a) Déterminer les matrices P2 = P1 ×M et P3 = P2 ×M. (Le détail des calculs n’est pas demandé.)La machine à calculer donne :

P2 = (0,85 0,15) et P3 = (0,7675 0,2325)

b) Conclure quant à la probabilité p de l’évènement « Le chauffeur doit s’arrêter au troisième feu ».

La probabilité de « le chauffeur doit s’arrêter au troisième feu »est de p = 0,2325

4.6 Bac ES Métropole dévoilé 2013

Dans une entreprise, la société de débit boisson CAFTHÉ installe deux machines : l’une ne sert que du café et l’autre ne sertque du thé.Chaque jour lors de la pause déjeuner, chaque employé de l’entreprise choisit une boisson, et une seule : café ou thé. Onsuppose que le nombre total d’employés de l’entreprise reste constant au cours du temps.La société CAFTHÉ pense que la machine à café sera toujours la plus utilisée. Une enquête, effectuée sur plusieurs jours,auprès des employés pour connaitre leurs choix de boisson a montré que :

• 97 % des employés qui choisissent un café un jour donné prennent encore un café le lendemain.

• 98 % des employés qui choisissent un thé un jour donné prennent encore un thé le lendemain.

On admet que cette tendance se poursuit les jours suivants.

Le premier jour, 70 % des employés ont choisi un café.On note C l’état « L’employé choisit un café » et T l’état « L’employé choisit un thé ».Pour tout entier naturel n non nul, on note :

• cn la probabilité de l’évènement « un employé, pris au hasard, choisit un café le jour n » ;

• tn la probabilité de l’évènement « un employé, pris au hasard, choisit un thé le jour n » ;

• Pn la matrice (cn tn) correspondant à l’état probabiliste le jour n.

1. Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste de sommets C et T .

C T

0,03

0,97

0,02

0,98

2. Déterminer la matrice P1 donnant l’état probabiliste le premier jour.P1 =

(

0,70 0,30)

3. La matrice de transition M de ce graphe, en considérant les sommets dans l’ordre C et T est M =

(

0,97 0,030,02 0,98

)

.

Déterminer la probabilité, arrondie au centième, qu’un employé choisisse un thé le quatrième jour.On calcule P4 = P1 ×M3 Attention, on commence à n = 1 car premier jour, la calculette donne

P4 =(

0,91 0,09)

4. a) Montrer que l’état stable est (0,4 0,6).



On résous l’équation P×M = P avec P =(

c t)

. Il vient

0,97c+0,02t=c0,03c+0,98t=tc+t=1

Ce qui équivaut à :

-0,03c+0,02t=00,03c-0,02t=0c+t=1

et donc

{

-0,03c+O,O2(1-c)=0c+t=1

On obtient :

{

O,O5c=0,02c+t=1

ssi

{

c=0,4t=0,6

b) Est-ce que la société CAFTHÉ avait raison quant à l’utilisation de la machine à café à long terme ?La société à tord car la probabilité du choix du café va tendre vers 0,4, le pourcentage d’amateurs de café sera donc égalà 40% à long terme.

5. a) Exprimer Pn+1 en fonction de Pn.

On a : Pn+1 = Pn ×M soit(

cn+1 tn+1)

=(

cn tn)

×(

0,97 0,030,02 0,98

)

En déduire que pour tout entier n, on a cn+1 = 0,95× cn+ 0,02.De l’équation précédente, on obtient cn+1 = 0,97cn+0,02tn or cn+ tn = 1 soit tn = 1−cn, en remplaçant, il vient donc :

cn+1 = 0,97cn + 0,02(1− cn) = 0,95cn + 0,02

b) On considère l’algorithme suivant :

Variables : A est un réeli et n sont des entiers naturels

Entrée : Saisir n

Initialisation : Affecter à A la valeur 0,70Traitement : Pour i de 1 à n

Affecter à A la valeur 0,95×A+ 0,02Fin Pour

Sortie : Afficher A

En faisant apparaître les différentes étapes, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque la valeur de n est égaleà 3.

i A Affichage1 0,95×A+ 0,02=0,6852 0,95×A+ 0,02=0,670753 0,95×A+ 0,02=0,6572125 0,6572125

Que permet de déterminer cet algorithme ?Cet algorithme permet de déterminer pour une valeur de n donnée, la valeur de cn.


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