Devoir ` a la maison 2 ` a rendre au plus tard le mercredi 25 septembre 2013 Exercice 1: 1. R´ esoudre sur R, l’´ equation x = √ x + 2. 2. Calculer les sommes suivantes en fonction de n ∈ N * : n ∑ k=0 (-1) k+1 2 n-k et n ∑ k=0 2 k k!(n-k)! . 3. Soit p ∈ N * fix´ e. Montrer que pour tout entier n ≥ p, n ∑ k=p ( k p ) = ( n+1 p+1 ) . Exercice 2: On pose pour tout n ∈ N * , u n = n Q k=1 (1 + k n 2 ) et v n = ln u n . 1. (a) Calculer u 1 , u 2 et u 3 . (b) Ecrire pour tout n ∈ N * , v n sous forme de somme. 2. Montrer : ∀x ∈ R + , x - x 2 2 ≤ ln(1 + x) ≤ x. 3. En d´ eduire un encadrement de v n pour n ∈ N * . 4. D´ eterminer alors la limite de u n quand n tend vers +∞. Devoir ` a la maison 2 ` a rendre au plus tard le mercredi 25 septembre 2013 Exercice 3: 1. R´ esoudre sur R, l’´ equation x = √ x + 2. 2. Calculer les sommes suivantes en fonction de n ∈ N * : n ∑ k=0 (-1) k+1 2 n-k et n ∑ k=0 2 k k!(n-k)! . 3. Soit p ∈ N * fix´ e. Montrer que pour tout entier n ≥ p, n ∑ k=p ( k p ) = ( n+1 p+1 ) . Exercice 4: On pose pour tout n ∈ N * , u n = n Q k=1 (1 + k n 2 ) et v n = ln u n . 1. (a) Calculer u 1 , u 2 et u 3 . (b) Ecrire pour tout n ∈ N * , v n sous forme de somme. 2. Montrer : ∀x ∈ R + , x - x 2 2 ≤ ln(1 + x) ≤ x. 3. En d´ eduire un encadrement de v n pour n ∈ N * . 4. D´ eterminer alors la limite de u n quand n tend vers +∞. Devoir ` a la maison 2 ` a rendre au plus tard le mercredi 25 septembre 2013 Exercice 5: 1. R´ esoudre sur R, l’´ equation x = √ x + 2. 2. Calculer les sommes suivantes en fonction de n ∈ N * : n ∑ k=0 (-1) k+1 2 n-k et n ∑ k=0 2 k k!(n-k)! . 3. Soit p ∈ N * fix´ e. Montrer que pour tout entier n ≥ p, n ∑ k=p ( k p ) = ( n+1 p+1 ) . Exercice 6: On pose pour tout n ∈ N * , u n = n Q k=1 (1 + k n 2 ) et v n = ln u n . 1. (a) Calculer u 1 , u 2 et u 3 . (b) Ecrire pour tout n ∈ N * , v n sous forme de somme. 2. Montrer : ∀x ∈ R + , x - x 2 2 ≤ ln(1 + x) ≤ x. 3. En d´ eduire un encadrement de v n pour n ∈ N * . 4. D´ eterminer alors la limite de u n quand n tend vers +∞.

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Devoir a` la maison 2 a` rendre au plus tard le mercredi 25 septembre 2013

Exercice 1:

1. Resoudre sur R, lequation x =x + 2.

2. Calculer les sommes suivantes en fonction de n N :n

k=0

(1)k+12nk etn

k=0

2k

k!(nk)! .

3. Soit p N fixe. Montrer que pour tout entier n p,n

k=p

(kp

)=(n+1p+1

).

Exercice 2:

On pose pour tout n N, un =n

k=1

(1 + kn2 ) et vn = lnun.

1. (a) Calculer u1, u2 et u3.

(b) Ecrire pour tout n N, vn sous forme de somme.2. Montrer : x R+, x x22 ln(1 + x) x.3. En deduire un encadrement de vn pour n N.4. Determiner alors la limite de un quand n tend vers +.

Devoir a` la maison 2 a` rendre au plus tard le mercredi 25 septembre 2013

Exercice 3:

1. Resoudre sur R, lequation x =x + 2.

2. Calculer les sommes suivantes en fonction de n N :n

k=0

(1)k+12nk etn

k=0

2k

k!(nk)! .

3. Soit p N fixe. Montrer que pour tout entier n p,n

k=p

(kp

)=(n+1p+1

).

Exercice 4:

On pose pour tout n N, un =n

k=1

(1 + kn2 ) et vn = lnun.

1. (a) Calculer u1, u2 et u3.

(b) Ecrire pour tout n N, vn sous forme de somme.2. Montrer : x R+, x x22 ln(1 + x) x.3. En deduire un encadrement de vn pour n N.4. Determiner alors la limite de un quand n tend vers +.

Devoir a` la maison 2 a` rendre au plus tard le mercredi 25 septembre 2013

Exercice 5:

1. Resoudre sur R, lequation x =x + 2.

2. Calculer les sommes suivantes en fonction de n N :n

k=0

(1)k+12nk etn

k=0

2k

k!(nk)! .

3. Soit p N fixe. Montrer que pour tout entier n p,n

k=p

(kp

)=(n+1p+1

).

Exercice 6:

On pose pour tout n N, un =n

k=1

(1 + kn2 ) et vn = lnun.

1. (a) Calculer u1, u2 et u3.

(b) Ecrire pour tout n N, vn sous forme de somme.2. Montrer : x R+, x x22 ln(1 + x) x.3. En deduire un encadrement de vn pour n N.4. Determiner alors la limite de un quand n tend vers +.