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Ahmed CHEMORI
Laboratoire d’Informatique, de Robotique et de Microelectronique de Montpellier LIRMM, CNRS/University of Montpellier
161, rue Ada 34095
www.lirmm.fr/~chemoriEmail : [email protected]
Dominante : Mécatronique & Génie ElectriqueModule : Robotique Pour la Mécatronique
COURS 4
1
Ahmed CHEMORI
Plan
Robo
tique
1. Introduction : Rappel sur l’asservissement
2. Commande d’un robot (principe/dynamique/classification)
3. Les approches non basées modèle (Décentralisées)
La Commande Proportionnelle avec boucle de vitesse
La commande Proportionnelle Dérivée (PD)
La commande PID
4. Les approches basées modèle (Centralisées)
La commande PD avec compensation de gravité
La commande PD avec compensation de gravité désirée
La commande PD augmenté (PD+)
La commande PD avec feedforward pré-calculé
La commande par couple calculé (dynamique)
5. Exemple d’une commande avancée : Commande par mode glissant
6. Références bibliographiques
2
Ahmed CHEMORI
Rappel sur l’asservissement
Introduction
Com. D’un Robot
Centralisées
Commande Avancée
Références
Décentralisées
3
Ahmed CHEMORI
Synthèse d’un asservissement
IdentificationModélisation
Choix de la commande
Synthèse du correcteur
Essais expérimentaux
Modélisation du processus Lois de la physique et/ou essais en BO/BF
Continue ? Echantillonnée ? Quelle stratégie de calcul ?
Choix des paramètres du régulateur REGLAGE
Validation par simulation et essais en temps-réels
Introduction
Com. D’un Robot
Centralisées
Commande Avancée
Références
Décentralisées
4
Ahmed CHEMORI
Synthèse d’un asservissement
Stabilité (il faut que le système en boucle fermée soit stable)
Précision (par exemple une valeur max sur l’erreur de position εp<Seuil )
Rapidité (valeur max sur le temps de monté tm<Seuil )
Robustesse (marges de stabilité, par exemple Mp>Seuil )
Dépassement (valeur max sur le 1ier dépassement d%<Seuil )
Rejet de perturbations (annuler l’effet de la perturbation sur la sorite)
La synthèse d’un asservissement doit toujours répondre à certaines exigences. Cesdernières sont appelées cahier des charges.
Un cahiers des charges d’une boucle de régulation, impose en boucle fermée :
Introduction
Com. D’un Robot
Centralisées
Commande Avancée
Références
Décentralisées
5
Ahmed CHEMORI
Les systèmes peuvent présenter des défauts Exemples : Une précision insuffisante, une stabilité faible (voir une instabilité),
un temps de réaction trop lent, un dépassement trop important, etc Il est souvent nécessaire d’intégrer dans le système asservis un correcteur L’objectif est alors d’améliorer un ou plusieurs de ces différents paramètres Sans bien évidement le faire au détriment des autres.
On considère un système asservi défini par le schéma bloc suivant :
L’idée de base consiste à introduire dans la chaîne directe, en amont du système un dispositif supplémentaire de fonction de transfert C(p)
Ce dispositif est appelé correcteur, contrôleur , compensateur ou encore régulateur. Le rôle du correcteur consiste à modifier les performances du système initial (précision,
stabilité, rapidité, . . . etc).
Synthèse d’un asservissement
Introduction
Com. D’un Robot
Centralisées
Commande Avancée
Références
Décentralisées
6
Ahmed CHEMORI
SystèmeContrôleurConsigne
ou référence
Sortie+
-
La commande L’erreur
Le contrôleur est le cœur de la boucle de commande En se basant sur l’erreur entre la consigne et la sortie, le régulateur calcule la
commande pour que la sortie suive la consigne
Le rôle du correcteur consiste à modifier les performances du système initial (précision, stabilité, rapidité) pour les améliorer.
Ce qui donnera le système asservi représenté par le schéma bloc suivant :
Synthèse d’un asservissement
Introduction
Com. D’un Robot
Centralisées
Commande Avancée
Références
Décentralisées
7
Ahmed CHEMORI
La fonction de transfert en boucle fermée du système corrigé est donnée par :
L’objectif de la correction (le contrôle ou la commande) consiste à choisir la bonne fonction de transfert C(p) du correcteur de manière à régler chaque performance sur sa valeur requise, sans perturber le fonctionnement du système.
Les correcteurs sont généralement constitués de dispositifs électroniques qui peuvent souvent être simples.
Néanmoins, quand le cahier des charges est très exigeant, il faut parfois faire appel à des correcteurs plus sophistiqués donc plus coûteux et même parfois délicats à régler.
Synthèse d’un asservissement
Introduction
Com. D’un Robot
Centralisées
Commande Avancée
Références
Décentralisées
8
Ahmed CHEMORI
Les actions de corrections élémentaires
En automatique, il existe trois actions correctives élémentaires qui permettent,
individuellement, de corriger telle ou telle performance.
Ces trois actions sont :
L’action Proportionnelle (P)
L’action Intégrale (I)
L’action Dérivée (D)
Ces actions sont relativement simple à réaliser mais, généralement, elles dégradent
d’autres performances.
Quand le cahier des charges est peu exigeant, ces actions suffisent largement à satisfaire
ce dernier.
Dans le cas contraire, il faut envisager de combiner ces différentes actions au sein d’un
correcteur plus complexe.
Introduction
Com. D’un Robot
Centralisées
Commande Avancée
Références
Décentralisées
9
Ahmed CHEMORI
Le correcteur à action Proportionnel (P)
Ce correcteur élémentaire est le correcteur de base. Il s’agit d’un simple amplificateur de gain réglable C(p) = K qui a pour objectif de
modifier le gain statique initial du système.
A remarquer, au passage, que l’influence du gain statique sur les performances du système peut être résumé en deux cas de figure selon sa valeur : K0 < 1 : il s’agit d’un atténuateur, et dans ce cas on améliore la stabilité du système et on diminue son dépassement en boucle fermée. Cependant, la rapidité et la précision sont dégradées. K0 > 1 : il s’agit d’un amplificateur, et dans ce cas on améliore la rapidité et la précision en boucle fermée, mais on diminue la stabilité (ce qui peut aller jusqu’à rendre le système instable) et on augmente son dépassement.
Dans le cas d’un correcteur proportionnel, la loi de commande corrigée u(t) est proportionnelle à l’erreur ε(t) (l’écart entre la référence et la sortie), a savoir u(t) = Kε(t), et la fonction de transfert du correcteur s’écrit :
Introduction
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Centralisées
Commande Avancée
Références
Décentralisées
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Ahmed CHEMORI
Un correcteur intégral est un correcteur dont la loi de commande u(t) est de la forme :
Sa fonction de transfert s’écrit donc :
Ce correcteur a pour objectif d’ajouter un pôle nul à la fonction de transfert en boucle ouverte.
A remarquer qu’un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte possède un pôle nul sera caractérisée par une erreur de position nulle.
On peut dire, bien que cela n’ait aucun sens d’un point de vue physique, que le gain statique du système en boucle ouverte tend vers l’infinie, ce qui corrobore la nullité de l’erreur statique en boucle fermée, qui est inversement proportionnelle au gain statique en boucle ouverte.
Le correcteur à action Intégral (I)
Introduction
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Commande Avancée
Références
Décentralisées
11
Ahmed CHEMORI
Le correcteur à action intégrale est censé améliorer la précision du système asservi. Mais la question qui se pose étant la suivante : Ce correcteur modifie-t-il les autres
performances ? Les modifications apportées à la fonction de transfert influencent sans doute les autres
performances du système.
En effet, ce correcteur introduit un déphasage de (-π/2) et risque de rendre le système instable (diminution de la marge de phase).
Par ailleurs il dégrade aussi les autres performances : Augmenter le temps de montée ralentir le système en BF.
En ce qui concerne la réalisation électronique de ce type de correcteur, un réseau passif (circuit RC) ne permet pas de le réaliser, cependant une bonne approximation peut être réalisée avec un montage intégrateur à base d’amplificateurs opérationnels.
Le correcteur à action Intégral (I)
Introduction
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Commande Avancée
Références
Décentralisées
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Ahmed CHEMORI
Un correcteur a action dérivée est un correcteur dont la commande u(t) est de la forme :
L’objectif de ce correcteur est d’ajouter un zéro nul à la fonction de transfert en boucle ouverte.
L’effet de l’introduction de ce correcteur dans la boucle de commande diminue le temps de montée donc il a tendance à accélérer le système en boucle fermée.
Par ailleurs il agit aussi sur les autres performances du système. A titre d’exemple introduit un déphasage de (+π/2). En effet, la remontée de phase de (π/2) peut avoir deux effets différents.
Sa fonction de transfert s’écrit donc :
Le correcteur à Dérivée (D)
Introduction
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Commande Avancée
Références
Décentralisées
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Ahmed CHEMORI
En effet, la remontée de phase de (π/2) peut avoir deux effets différents :
Si le système possède un ordre élevé, le déphasage peut tendre vers des valeurs négatives importantes, donc la remontée de la phase peut être sans effet sur l’amélioration de la marge de phase, voir la dégrader et même parfois rendre le système instable.
Si l’ordre du système est faible, la remontée de phase peut se traduire par une nouvelle courbe qui tend vers une valeur située largement au dessus de (-π).
D’autre par la précision du système, liée au gain statique, va être dégradée puisque le gain aux basses fréquences diminue fortement.
Ce type de correcteur est purement théorique, un système physique ne peut pas avoir un numérateur de degré supérieur au dénominateur.
Néanmoins, ils existent des correcteurs approchant, permettant d’avoir un effet dérivée.
Le correcteur à Dérivée (D)
Introduction
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Commande Avancée
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Ahmed CHEMORI
Inconvénients des correcteurs élémentaires
L’inconvénient majeur des actions correctives élémentaires est que leur action porte sur l’ensemble du spectre de fréquences de 0 à l’infinie.
En effet toute action corrective élémentaire menée à un endroit précis pour corriger une performance agit également à d’autres endroits en en dégradant d’autres performances.
Les correcteurs idéaux, s’ils existent, devront être caractérisés par une action localisée en vue de corriger une des performances, sans influencer les autres.
A titre d’exemple : Pour une meilleure précision, il faudrait pouvoir augmenter le gain statique mais
uniquement au voisinage des basses fréquences. Pour une meilleur rapidité, il nous faudrait choisir une pulsation de coupure à
0dB un peu plus grande et pour améliorer la marge de phase, l’idéal serait de pouvoir corriger la courbe de phase uniquement au voisinage de la fréquence pour laquelle le gains en dB s’annule.
Pour atteindre de tels objectifs, une idée consiste à, par exemple, combiner les correcteurs élémentaires, c’est ainsi qu’on obtient des correcteurs plus performants de type PI, PD, ou PID.
Introduction
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Ahmed CHEMORI
Le correcteur PID
Le correcteur PID (Proportionnel-Intégral-Dérivé) est une combinaison d'un régulateur P,un régulateur I et un régulateur D
L'intérêt du correcteur PID est d'intégrer les effets positifs des trois correcteursélémentaires (C’est le correcteur le plus utilisé en industrie)
La loi de commande u(t) s'exprime en fonction de l‘erreur comme suite :
Action Proportionnelle
Action Intégrale
Action Dérivée
Où sont les gains du régulateur qu’il faut identifier afin de satisfaire un certaincahier des charges relatif aux performances souhaitées en boucles fermée Il existe de nombreuses méthodes pour trouver ces paramètres. Cette recherche de
paramètres est souvent appelée réglage
Introduction
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Commande Avancée
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Ahmed CHEMORI
Le réglage d'un PID consiste à trouver les coefficients Kp , Ti et Td dans le but d'obtenirune réponse adéquate du procédé et de la régulation.
L'objectif est d'être stable, rapide, précis et de limiter les dépassements. Pour voir l'influence des paramètres du PID sur le système, on considère la réponse type
d’un système stable :
Le correcteur PID
Introduction
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Commande Avancée
Références
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Ahmed CHEMORI
Effet de Lorsque augmente, le temps de montée devient plus court mais il y a un dépassement
plus important. Le temps d'établissement varie peu et l'erreur statique se trouveaméliorée.Effet de
Lorsque augmente, le temps de montée devient plus court mais il y a un dépassementplus important. Le temps d'établissement au régime stationnaire (temps de réponse)s'allonge mais dans ce cas on assure une erreur statique nulle.Effet de
Lorsque augmente, le temps de montée change peu mais le dépassement diminue. Letemps d'établissement au régime stationnaire est meilleur. Pas d'influences sur l'erreurstatique.
Les paramètres du PID influencent la réponse du système de la manière suivante :
Le correcteur PID
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Ahmed CHEMORI
Réglage d’un PID
L'analyse du système avec un PID est très simple mais sa conception peut être délicate
voir difficile car il n'existe pas de manière unique pour résoudre ce problème
Il faut trouver des compromis le régulateur idéal n'existe pas
En général on se fixe un cahier des charges à respecter sur la stabilité, la précision, le
dépassement et le temps de réponse, etc
Les méthodes de réglage les plus utilisées sont :
- La méthode de Ziegler-Nichols,
- La méthode de Halman
- La méthode de Naslin
- La méthode du lieu de Nyquist inverse
- La méthode de Cohen-Coon
- … etc
Introduction
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Centralisées
Commande Avancée
Références
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Ahmed CHEMORI
La méthode de Ziegler-Nichols consiste à :
1. Boucler le système avec un correcteur proportionnel pur
2. Augmenter progressivement le gain du correcteur proportionnel jusqu'à l'apparition
d’oscillations non amorties
3. Relever le gain limite Klim qui a provoqué les oscillations et mesurer leur période Tosc
4. Identifier les paramètres des correcteurs P, PI ou PID à l’aide du tableau ci-dessous :
Réglage d’un PID
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Commande Avancée
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Ahmed CHEMORI
Commande d’un robot
ADEPT
Introduction
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Commande Avancée
Références
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Généralisés
La commande de robots manipulateurs constitue un des axes prépondérants dela recherche en robotiqueSelon la tâche à réaliser, le robot peut êtreen espace libre ou en espace contraint
Les trajectoires à suivre peuvent être :point à point ou interpolées
Start point
End pointTrajectory pointsy
x Start point
End pointContinuous trajectoryy
x
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Généralités
Etant donné la complexité du problème à résoudre, différentes solutions ont étéproposéesUne des premières solutions proposées consiste à utiliser les techniques de l’automatiquelinéaireSans prise en compte de la dynamique du robot : Approches non basées modèleLe robot manipulateur est considéré comme un système linéaire et chacune de sesliaisons est asservie de manière classique indépendamment des autres
RobotActionneurContrôleur
Codeur
Amplificateurqdi
qi
+
-
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Commande Avancée
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Ahmed CHEMORI
La boucle de commande d’un robot
ActuatorsInput signal conditioning
and interfacing
output signal conditioning
and interfacing
Digital control architectures
Graphical displays Sensors
Mechanical system
ADC, Filters, Discrete circuits, Amplifiers, …
DAC, PWM, Amplifiers, …
LCD, LED, CRT, Digital displays, …
Logic circuits, Microcontrollers, Computer, Control algorithm, …
Digital encoders, Position sensors, MEMs, …
DC motors, Servo motors, Electro valves, …
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Commande Avancée
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Ahmed CHEMORI
Les avantages des commandes non basées modèle réside dans leur simplicitéet leur faible coût d’implémentationLes inconvénients d’une commande classique non basée modèle sont :
Ces méthodes sont fondées sur un modèle linéaire, or de part sadynamique, un robot est loin d’être un système linéaire !La dynamique du robot varie avec sa configuration, et cette commande nesera pas en mesure de maintenir les performances du systèmeIl ne sera pas possible d’assurer la coordination des différents mouvementde par l’indépendance des asservissements
La dynamique d’un robot est représenté par un ensemble d’équationsdifférentielles du 2nd ordre avec des termes non linéaires fortement couplésDans ces conditions on constate qu’un asservissement classique ne permet pasd’obtenir et maintenir de bonnes performances du systèmeUne autre solution possible consiste à prendre en compte le modèle dynamiquedu robot manipulateur Approches basées modèle
La boucle de commande d’un robot
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Commande Avancée
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Ahmed CHEMORI
Rappel de la dynamique d’un robot manipulateur
La modélisation dynamique d’un robot est l’opérationpermettant de construire un modèle de son évolution dans letemps au travers une relation entre les forces/couples appliquéeset le mouvement résultant du robot.Il existe principalement deux formalismes de modélisation dynamique :
Lagrange et Newton-EulerEn espace libre (pas de contact entre l’effecteur du robot et l’environnement),la dynamique d’un robot à n degrés de liberté s’écrit (frottements négligés) :
: les vecteurs de positions, vitesses et accélérations
: la matrice d’inertie: la matrice de Coriolis
: le vecteur de gravité
: le vecteur des couples (entrées de commande)
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Commandes non basées modèle(Décentralisées)
CINCINNATI MILACRON T3
Introduction
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Commande Avancée
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Ahmed CHEMORI
Commande Proportionnelle (P) avec boucle de vitesse
La commande Proportionnelle avec boucle de vitesse est la commande enboucle fermée la plus simple.
+
-Robot+
-
L’application typique de cette stratégie de contrôle est la commande de laposition angulaire d’un moteur à courant continue (DC).
Pour les moteurs DC, ce contrôleur est aussi connu sous le nom de commandeproportionnelle avec retour tachymétrique.
La loi de commande est donnée par :
: Des matrices appropriées de retour (de position et de vitesse). Elles sont choisies par le concepteur et appelées gains de retour. Souvent choisies symétriques définies positives.
Schéma-bloc du contrôleur : :est l’erreur de position.
:la position articulaire désirée.
:la position articulaire mesurée
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Commande Avancée
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Ahmed CHEMORI
Commande Proportionnelle Dérivée (PD)
La commande PD est une extension de la commande Proportionnelle avecboucle de vitesse.
Elle comprend deux actions de commande : Un terme proportionnel à l’erreurde position et un autre terme proportionnel à l’erreur de vitesse
La loi de commande s’écrit :
sont des matrices de gains de retour symétriques définiespositives.
Schéma-bloc du contrôleur :
: est le vecteurdes erreurs de vitesse.Cette commande est dite‘dans l’espace articulaire’
+
-Robot
+
-
++
Les deux contrôleurs : Proportionnel avec boucle de vitesse et PD sont descommande non basées modèle.
Introduction
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Commande Avancée
Références
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Ahmed CHEMORI
Commande Proportionnelle Dérivée (PD)
Dans la littérature les deux contrôleurs précédents sont identiquement appelés‘commande PD’.
En effet, dans la cas particulier où le vecteur des positions désirées estconstant, l’erreur de vitesse s’écrira , par conséquent les deuxcontrôleurs deviennent identiques.
Pour des applications réelles, la commande PD est une commandedécentralisée (locale) dans le sens où le couple ou la force d’une articulationparticulière dépend uniquement de la position et vitesse de cette articulationet non pas celles des autres articulations.
Mathématiquement, ceci se traduit par un choix des matrices de gaindiagonales :
Le contrôleur PD nécessite la mesure des positions et vitesses articulaires Il nécessite aussi la spécification des positions et vitesses articulaires désirées.
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Commande Avancée
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Ahmed CHEMORI
Commande PD en espace Cartésien (opérationnel)
Introduction
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Commande Avancée
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Commande PID en espace articulaire
Introduction
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Ahmed CHEMORI
Commande PID en espace Cartésien (opérationnel)
+
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Ahmed CHEMORI
Analyse des approches non basées modèle
Avantages et inconvénients
Avantages Inconvénients
Simplicité
Efficace en temps de calcul
Pas besoin du modèle du robot
Adéquates pour la plupart des tâches
Dynamique et couplage non pris en compteEfforts internes endommager le robot (chaines fermées)Forte consommation énergétiqueMauvaise performances en hautes cadences
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Commandes basées modèle(Centralisées)
KUKA
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Ahmed CHEMORI
La commande PD avec compensation de gravité
L’objectif de la commande en position pour des robots manipulateurs peutêtre facilement réalisé avec une commande PD dans le cas où :
Dans ce cas le réglage (pour le but de stabilité) de ce contrôleur est trivialétant donné qu’il suffit de choisir les matrices de gains de retoursymétriques définies positives.
Néanmoins, la commande PD ne peut pas garantir un bon suivi de commandeen position pour les manipulateurs dont le modèle dynamique contient leterme de gravité (i.e. vecteur ).
La commande PD avec compensation de gravité est capable d’atteindrel’objectif de commande en position globalement pour des robots à n ddl.
De plus son réglage est trivial. L’étude formelle de ce contrôleur remonte au début des années 80. (pour plus
de détails, voir [Kelly et al 2005]). Il nécessite une connaissance partielle du modèle dynamique du robot à
commander.
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Commande Avancée
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Ahmed CHEMORI
La loi de commande est donnée par :
sont des matrices symétriques définies positives.
La seule différence avec le contrôleur PD est l’ajout du terme .
Au contraire de la commande PD, qui ne nécessite pas de connaissance dumodèle dynamique du robot, ce contrôleur utilise explicitement uneconnaissance partielle du modèle du manipulateur et en particulier .
Schéma-bloc du contrôleur :
+
-Robot
+
-
++
+
Pour l’analyse de stabilitédu système résultant enboucle fermée, voir [Kelly etal 2005].
La commande PD avec compensation de gravité
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Commande Avancée
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37
Ahmed CHEMORI
Schéma-bloc de la commande :
Dans certaines applications, la fréquence d’échantillonnage très élevée nepermet pas l’évaluation d’évaluer en permanence le terme de gravité .
Une solution triviale serait d’implémenter la loi de commande avec deuxfréquences d’échantillonnage, une haute fréquence pour les termes PD unefréquence plus faible pour évaluer le terme de gravité .
Il existe une solution alternative qui consiste à utiliser une autre variante decette commande, le PD avec compensation de gravité désirée.
La loi de cette commande est donnée par :
+
-Robot
+
-
++
+
La commande PD avec compensation de gravité désirée
Pour l’analyse de stabilitédu système résultant enboucle fermée, voir [Kelly etal 2005].
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38
Ahmed CHEMORI
La commande PD augmenté (PD+)
Cette commande est basée sur la dynamique du robot.
Loi de commande :
Les deux derniers termes représentent les actions Proportionnelle et Dérivée
Les autres termes dépendent de la dynamique du robot et des trajectoires désirées
Introduction
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39
Ahmed CHEMORI
Commande PD avec feedforward pré-calculé
Basée sur la dynamique du robot :
Loi de commande :
Les deux derniers termes représentent les actions Proportionnelle et Dérivée
Les termes dépendant de la dynamique en fonction des positions et vitesses désirées
Avantage : Connaissant les trajectoires de référence
Les termes de feedforward peuvent être calculés hors ligne
Réduire considérablement le temps de calcul
Réduire l’effet de bruit de mesure
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Commande Avancée
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Décentralisées
40
Ahmed CHEMORI
Commande PD avec feedforward pré-calculé
Contrôleur décentralisé Robot
Valeur désirée Erreur
Valeur actuelleCommande
Modèle dynamique
inverse
Compensation dynamique
Trajectoires désirées/actuelles
Avantages Inconvénients
Meilleur suivi des trajectoires de référenceFaible consommation énergétique Gains de retour moins importantsPrise en compte de la redondance et des non linéarités grâce au retour non linéaire
Nécessité d’un modèle dynamique précis (parfois indisponible)Architecture de commande plus complexe → besoin d’un calculateur performantLe bruit de mesure détériore encore plus la performance
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Commande Avancée
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Décentralisées
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Ahmed CHEMORI
Commande dynamique
La commande dynamique est appelée ainsi car elle utilise le modèledynamique du robotAppelé aussi ‘commande par couple calculé’ (Computed torque).Elle est adapté à la commande des robots manipulateurs (même ceux à grandesvitesse et à grande précision) du moment où le modèle dynamique est le pluscomplet possible et que ses paramètres ont été bien identifiésL’inconvénient majeur de cette commande est sa forte dépendance du modèledynamique pour être efficace, un calcul complet du modèle dynamique etsurtout une bonne identification de ses paramètres est nécessaire
Une commande dynamique peut être synthétisée :1) Dans l’espace articulaire, ou2) Dans l’espace cartésien
X
[Kelly 2005]
Introduction
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Centralisées
Commande Avancée
Références
Décentralisées
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Ahmed CHEMORI
Commande dynamique dans l’espace articulaire
On rappelle la dynamique d’un robot (exprimée dans l’espace articulaire)
La commande dynamique consiste à linéariser (linéarisation globale) avec unretour d’état non linéaireOn considère l’objectif de synthèse d’une commande dynamique pour lapoursuite de trajectoires de référence dans l’espace articulaire :
Sur la position :
Sur la vitesse :
Sur l’accélération :
Soit la commande linéarisante suivante :
Remplacé dans la dynamique du robot donne le système linéarisé :
Principe de base
Introduction
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Centralisées
Commande Avancée
Références
Décentralisées
43
Ahmed CHEMORI
Commande dynamique dans l’espace articulaire
On considère maintenant le choix suivant de :
où sont des matrices de gains de position et de vitesse (respectivement)La dynamique résultante en boucle fermée s’écrit donc :
avec
Introduction
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Commande Avancée
Références
Décentralisées
Si on considère la notation suivante des erreurs de poursuite (sur la position, sur la vitesse, etsur l’accélération) :
La dynamique résultante en boucle fermée s’écrit en fonction de ces erreurs :
Cette dynamique représente un système autonome linéaire.Pour montrer cela, on considère le vecteur d’état :
44
Ahmed CHEMORI
Commande dynamique dans l’espace articulaire
Si les matrices de gains de retour (de position et de vitesse ) sont définiespositives ⇒ La matrice A est Hurwitz (à valeurs propres à partie réelle négative) ,donc le système est asymptotiquement stable, c.à.d. :
Exemple de choix des gains :
La condition de positivité des gain de retour garantit une convergence globaleasymptotique vers les trajectoires de référence.
C’est le choix des valeurs des matrices de gain de retour qui définira l’allure deconvergence vers les trajectoires de référence.
Preuve de convergenceIntroduction
Com. D’un Robot
Centralisées
Commande Avancée
Références
Décentralisées
45
Ahmed CHEMORI
Commande dynamique dans l’espace articulaire
Schéma-Bloc de la commandeIntroduction
Com. D’un Robot
Centralisées
Commande Avancée
Références
Décentralisées
46
Ahmed CHEMORI
Commande dynamique dans l’espace opérationnel
On rappelle la dynamique d’un robot (exprimée dans l’espace articulaire)
On considère l’objectif de synthèse d’une commande dynamique pour lapoursuite de trajectoires de référence dans l’espace cartésien
Sur la position :
Sur la vitesse :
Sur l’accélération :
Soit la commande linéarisante suivante :
Remplacé dans la dynamique du robot donne le système linéarisé :
Principe de base
Introduction
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Centralisées
Commande Avancée
Références
Décentralisées
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Ahmed CHEMORI
Commande dynamique dans l’espace opérationnel
Soit les relations permettant le passage de l’espace articulaire à l’espacecartésien, et en particulier :
La dynamique résultante en boucle fermée s’écrit donc :
Les relations et donnent la dynamique résultante en boucle fermée enfonction des erreurs de poursuite :avec :
Qui représente une dynamique linéaire (idem au cas de l’espace articulaire).
On considère maintenant le choix suivant de :
où sont des matrices de gains de position et de vitesse (respectivement).
Introduction
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Centralisées
Commande Avancée
Références
Décentralisées
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Ahmed CHEMORI
Commande dynamique dans l’espace opérationnel
Preuve de convergence
Si les matrices de gains de retour (de position et de vitesse ) sont définiespositives ⇒ La matrice A est Hurwitz (à valeurs propres à partie réelle négative) ,donc le système est asymptotiquement stable, c.à.d. :
La condition de positivité des gain de retour garantit une convergence globaleasymptotique vers les trajectoires de référence.C’est le choix des valeurs des matrices de gain de retour qui définira l’allure deconvergence vers les trajectoires de référence.
avec
Introduction
Com. D’un Robot
Centralisées
Commande Avancée
Références
Décentralisées
49
Ahmed CHEMORI
Schéma-Bloc de la commande
Commande dynamique dans l’espace opérationnel
Introduction
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Commande Avancée
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Ahmed CHEMORI
Exemple d’une commande avancée
Commande par mode glissant
Omega 6, Force Dimension
Introduction
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Commande Avancée
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Ahmed CHEMORI
Commande par mode glissant
La commande par mode glissant est relativement simple à implémenter(par rapport à d’autres approches de commande)Elle fait partie des commandes dites à structure variableElle s’applique à la fois aux systèmes linéaires et aux systèmes non linéairesRobuste par rapport aux perturbations externesRobuste aussi par rapport aux incertitudes/variations des paramètres, etcDifférentes applications : Régulation, poursuite de trajectoires, poursuite demodèle, observateurs, etcLa commande par mode glissant est une suite logique de la commande discontinue(dans sa forme la plus facile : commande bang-bang)
Début des années 60 besoin de robustesse en aéronautiqueDécouverte même avant l’utilisation du terme robustesse : Les
ingénieurs automaticiens cherchaient des lois de commandeinsensibles aux variations dans la système à commander
IntroductionIntroduction
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Ahmed CHEMORI
Commande par mode glissant
On considère le système mécanique suivant (masse-ressort-amortisseur) :
La dynamique de ce système s’écrit :
: La masse
: la position de la masse
: Coefficient de raideur du ressort
: Coefficient d’amortissement
: Force appliquée sur la masse
On souhaite faire converger vers avec la commandePour cela on considère la loi de commande suivante :
Exemple introductifIntroduction
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Ahmed CHEMORI
Commande par mode glissant
Exemple introductif
On remplace cette loi de commande dans la dynamique système, on obtient :
Si l’on considère :La dynamique en boucle-fermée ci-dessus peut s’écrire :
Si on considère les états (position) et (vitesse)Cette dynamique peut être mis sous forme d’équation d’état suivante :
C’est un système autonome dont le comportement dépend de la conditioninitiale sur les états et des paramètres .
Introduction
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Ahmed CHEMORI
Commande par mode glissant
Exemple introductif
Simulation du comportement en boucle-fermée du système résultant pour :
0 10 20 30 40 50 60-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps (sec)
Posit
ion
et v
itess
e
PositionVitesse
Pour ce choix de paramètres
Introduction
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Commande Avancée
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Ahmed CHEMORI
Commande par mode glissant
Si on trace le plan de phase du système en boucle-fermée on obtient :
La commande proposée amène le système au point souhaité MAIS laconvergence est très lente !
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
x1
x 2
Condition initiale
Point d’équilibre
Exemple introductifIntroduction
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Ahmed CHEMORI
Commande par mode glissant
L’idée de base de la commande consiste en deux étapes :o Amener le système sur un hyperplan de commutation stable (surface de
glissement)o Converger sur la surface de glissement vers le point d’équilibre désiré
1
2
12
Exemple introductifIntroduction
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Ahmed CHEMORI
Commande par mode glissant
On considère le cas générale d’un système non linéaire dont la dynamiques’écrit :
Avec deux fonctions non linéaires, avec
L’objectif de la commande est la stabilisation du système autour du pointd’équilibre :
Dans la suite l’approche de commande sera détaillée en se basant sur cemodèle non linéaireNéanmoins, elle reste valide pour les systèmes linéaires dont la dynamiques’écrit :
Dynamique du système à commanderIntroduction
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Ahmed CHEMORI
Commande par mode glissant
La dynamique de est stable pour :
Soit la variété :
La dynamique de est stable siLa variété est une surface appelée ’surface de commutation’ ou ’surface deglissement’
Donc :
Sur la surface de glissement définie par est stable, doncconverge vers 0, le déplacement est gouverné par
La vitesse de convergence dépend de la valeur deMais sur cette surface donc converge aussi vers 0L’évolution sur la surface de glissement est indépendante de etSi au départ, le point initial n’est pas sur la surface de glissement, il faudra
amener le système sur cette surface
Dynamique de glissementIntroduction
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Ahmed CHEMORI
Commande par mode glissant
Pour évaluer la stabilité, on considère la fonction de Lyapunov suivante :
Stabilité asymptotique si : est définie positiveest définie négative
On a :
Étant donné que :
donc est définie positive
Calculons maintenant sa première dérivée :
Dynamique de convergence vers la surface de glissementIntroduction
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Ahmed CHEMORI
Commande par mode glissant
est définie négative si :
est :
La commande équivalente :
Soit :
La commande équivalente est définie par :
est définie négative si :
Pour quel choix de ceci est vérifié ?
La loi de commandeIntroduction
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Ahmed CHEMORI
Commande par mode glissant
Cela est vérifié pour le choix suivant de :
La commande globale :
La commande proposée comporte deux termes : le premier correspond à une
commande continue et le deuxième correspond à une commande discontinue.
Commande discontinue
La commande discontinue :
La commande discontinue et le 2ème terme de l’expression de u, c.à.d :
Pour ce choix on a :
est définie négative car :
Introduction
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Ahmed CHEMORI
Commande par mode glissant
Retour à l’exemple
On souhaite faire converger vers avec la commande
On rappelle la dynamique du système :
La loi de commande par mode glissant s’écrira donc :
Avec :
et
Si on considère le choix suivant des paramètres de la commande : donc :
Qui peut s’écrire sous la forme :
avec :
Introduction
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Commande par mode glissant
Si on considère, dans un premier lieu, la commande discontinue uniquement :
Évolution dans le plan de phase du système en B.F
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
x1
x 2
Condition initiale
Point d’équilibre
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
x1
x 2Condition
initiale
Point d’équilibre
Commande par mode glissant (discontinue) Commande anticipative précédente (‘Feedforward’)
Retour à l’exempleIntroduction
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Commande par mode glissant
Retour à l’exemple
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
temps (sec)
Pos
ition
et v
itess
e
PositionVitesse
Évolution des états du système en B.F
Commande par mode glissant (discontinue)
0 10 20 30 40 50 60-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps (sec)
Posi
tion
et v
itess
e
PositionVitesse
Commande anticipative précédente (‘Feedforward’)
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Commande par mode glissant
Retour à l’exemple
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
temps (sec)
Com
man
de
2 2.0005 2.001 2.0015 2.002 2.0025 2.003 2.0035 2.004 2.0045 2.005
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
temps (sec)
Com
man
de
Évolution de l’entrée de commande
Autour de 2 sec
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Commande par mode glissant
Retour à l’exemple
2 2.0005 2.001 2.0015 2.002 2.0025 2.003 2.0035 2.004 2.0045 2.005
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
temps (sec)
Com
man
de
Phénomène de réticence (‘Chattering’ en anglais)Si on fait un zoom sur la commande autour de on obtient :
Un mode glissant idéal n’existe pas étant donné qu’il nécessite une commande quicommute avec une fréquence infinie
Dans un cas réel la commutation se fait pendant un temps de commutation + laconstante de temps des actionneurs ⇒ La discontinuité dans le commande produit uncomportement dynamique particulier (cf. figure ci-dessus) autours de la surface deglissement, appelé phénomène de réticence (‘Chattering’ en anglais)
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Commande par mode glissant
Retour à l’exemple
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
x1
x 2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5
0
5
10
temps (sec)
Com
man
de
Même avec la commande globale il y a toujours le phénomène de réticence
C’est un des problèmes de la commande par mode glissant
Peut endommager les actionneurs !
Quelle solution peut on envisager ?
Application de la commande globale
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Commande par mode glissant
Quelle solution pour le problème de réticence
Afin d’éviter le problème de réticence différentes solutions peuvent être envisagées :
-1
+1
-1
+1
-1
+1
Sigmoïde
Solution 3 : Envisager la commande par mode glissant d’ordre supérieur
Solution 2 : remplacer la fonction Sign
-1
+1
Solution 1 : remplacer la fonction Sign
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Commande par mode glissant
Quelle solution pour le problème de réticence
Exemple précédent : Application de la solution → utilisation de la fonction de saturation
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
x1
x 2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps (sec)
Pos
ition
et v
itess
e
PositionVitesse
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-4
-3
-2
-1
0
1
2
temps (sec)
Com
man
de
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
x1
x 2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5
0
5
10
temps (sec)
Com
man
de
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps (sec)
Pos
ition
et v
itess
e
PositionVitesse
Avec
fonc
tion s
atur
ation
Avec
fonc
tion s
igne
Pas de réticence !
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Références bibliographiques
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Description de sa géométrie
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Mexico, December 2013 …
www.lirmm.fr/~chemori/
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