Dossier de candidatureà un poste de Maître de conférences

Anne-Laure Dalibard

Détails du poste

Mettre ici le numéro du posteLe laboratoire et l’Université

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Adresse professionnelle : Université Paris-Dauphine - CEREMADEPlace du Maréchal de Lattre de Tassigny75016 Paris

Téléphone : +33 6 82 58 44 02Fax : +33 1 44 05 45 99Adresse électronique : dalibard@ceremade.dauphine.frPage web : http://www.ceremade.dauphine.fr/∼dalibard

Table des matières

1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Curriculum vitæ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Publications et pré-publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Activités d’enseignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Responsabilités administratives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Activités de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Résumé des travaux de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Projet de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Bibliographie générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1910 Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Mots clés

Équations aux dérivées partielles. Homogénéisation. Lois de conservation scalaires. Équations de transport.Formulation cinétique. Équations paraboliques. Fluides géophysiques. Couches limites. Mécanique desfluides.

1 Présentation

1.1 Recherche

Je suis docteur en Sciences (Spécialité Mathématiques) ; au cours de ma thèse, j’ai démontréles premiers résultats généraux sur l’homogénéisation de lois de conservation scalaires, dansdes cadres paraboliques ou hyperboliques.

J’ai travaillé dans de nombreux domaines liés aux équations aux dérivées partielles, qui sont tousprésents au sein de [mettre ici le nom du labo] : équations cinétiques, lois de conservation, équationselliptiques et équations paraboliques lors de mon doctorat, équations de Navier-Stokes et des fluidestournants depuis ma soutenance de thèse. Dans l’ensemble, mes travaux sont plutôt théoriques(analyse qualitative des solutions d’une équation, ou analyse asymptotique d’un système avec petitparamètre), mais certains d’entre eux sont tournés vers les applications (étude du système deKeller-Segel en biologie, de fluides géophysiques...) Je souhaiterais conserver ces deux composantes- théorie et applications - dans mes recherches à venir.

Je suis en outre tout à fait disposée à m’ouvrir à de nouvelles thématiques de recherche repré-sentées à [mettre ici le nom du labo], par exemple....

1.2 Enseignement

Au cours de ma thèse, j’ai bénéficié d’un monitorat d’une durée de trois ans à l’Université Paris-Dauphine. J’ai assuré des travaux dirigés d’Algèbre et d’Analyse (analyse réelle, calcul matriciel,analyse fonctionnelle, algèbre linéaire) dans les trois années de Licence (L1, L2 et L3), et devantdes groupes d’une trentaine ou d’une quarantaine d’étudiants.

Je souhaiterais à l’avenir enseigner dans un cursus de Mathématiques fondamentales et/ouappliquées.

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2 Curriculum vitæNom : Anne-Laure Dalibard ép. RouxDate de naissance : 05.08.1982 ;Nationalité : Française ;État civil : Mariée ;Titre : Docteur en Sciences (Spécialité Mathématiques) ;

Qualifiée en sections 25 et 26 du CNU.

2.1 Situation actuelle

2007-2008 Membre à mi-temps du DMA (ENS, Paris).Travail post-doctoral sous la direction de Laure Saint-Raymond.

2005-2008 Allocataire-monitrice au CEREMADE (Université Paris-Dauphine).

2.2 Formation doctorale

2004-2007 Thèse au CEREMADE, sous la direction de Pierre-Louis Lions.Sujet : homogénéisation de lois de conservation et d’équations de transport.Soutenance à l’Université Paris-Dauphine le 8 octobre 2007. Mention très ho-norable.Jury : Présidente : Laure Saint-Raymond. Rapporteurs : Denis Serre, BenoîtPerthame. Examinateurs : Thierry Goudon, Jean Dolbeault. Directeur : Pierre-Louis Lions.

2003-2007 Cours de Pierre-Louis Lions au Collège de France.

2002-2003 DEA d’Analyse de l’Université de Paris 6 (mention TB).Sujet de mémoire : formulation cinétique de lois de conservation.Directeur : Pierre-Louis Lions.

2002-2003 Cours du DEA d’Analyse numérique de l’Université de Paris 6.

2.3 Études pré-doctorales

2001-2002 Cursus mixte maths/physique du Magistère de mathématiques fondamentales etappliquées (ENS Paris).Licence (mention TB) et maîtrise (mention TB) de mathématiques.Licence de physique (mention TB).Mémoire de maîtrise sur le comportement en temps long des solutions des équa-tions de coagulation-fragmentation (travail dirigé par Stéphane Mischler).

2001-2005 Élève de l’ENS (Ulm).

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3 Publications et pré-publications

3.1 Articles acceptés ou publiés dans des revues à comité de lecture

1. Kinetic formulation for heterogeneous scalar conservation laws.Publié dans les Annales de l’IHP (C) : Analyse non linéaire, 23, pp. 475-498 (2006).

2. Homogenization of a quasilinear parabolic equation with vanishing viscosity.Publié dans le Journal de mathématiques pures et appliquées, 86, pp. 133-154 (2006).

3. Initial layer for the homogenization of a quasilinear parabolic equation with vanishing viscosity.Publié dans Archive for Rational Mechanics and Analysis, 185, pp. 515-543 (2007).

4. Kinetic formulation for a parabolic conservation law. Application to homogenization.Publié dans SIAM Journal on Mathematical Analysis, 39, pp. 891-915 (2007).

5. Homogenization of a linear transport equation in a stationary ergodic setting.Accepté pour publication dans Communications on Partial Differential Equations (2007) ; 31 pages.

6. Existence of solutions of the hyperbolic Keller-Segel model.Avec Benoît Perthame. Accepté pour publication dans Transactions of the AMS (2006) ; 23 pages.

7. Homogenization of nonlinear scalar conservation laws.Accepté pour publication dans Archive for Rational Mechanics and Analysis (2007) ; 35 pages.

3.2 Articles soumis

8. Asymptotic behavior of a rapidly rotating fluid with random stationary surface stress.Disponible sur HAL (référence hal-00260396) ; 45 pages.

9. Mathematical study of resonant wind-driven oceanic motions.Avec Laure Saint-Raymond. Disponible sur HAL (référence hal-00258519) ; 52 pages.

10. Resonant wind-driven oceanic motions.Avec Laure Saint-Raymond ; 6 pages.

3.3 Article en préparation

11. Nonlinear stability of vertical profiles for resonant wind-driven oceanic motions.En collaboration avec Laure Saint-Raymond.

3.4 Acte de séminaire sans comité de lecture

12. Étude mathématique de fluides en rotation rapide avec forçage en surface.Séminaire X-EDP, 2007-2008 ; 17 pages.

Les articles 1-10 et 12 sont accessibles sur la page

http://www.ceremade.dauphine.fr/∼dalibard/publis.html,

et pourront être adressés aux rapporteurs.

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4 Activités d’enseignement

4.1 Monitorat à l’Université Paris-Dauphine (2005-2008)

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4.2 Interrogations orales au Lycée Henri IV à Paris (2002-2003)

Durant l’année 2002-2003, j’ai donné 90 heures d’interrogations orales (colles) dans les deuxclasses de MPSI du Lycée Henri IV, à Paris, à raison de trois heures hebdomadaires. Ce typed’enseignement permet d’avoir un contact suivi et personnalisé avec des étudiants d’un trèsbon niveau, et requiert un travail personnel important de la part de l’interrogateur (recherche dequestions de cours et d’exercices originaux).

4.3 Participation à la préparation à l’agrégation à l’ENS Ulm (2008)

En février 2008, j’ai encadré deux leçons d’Analyse, à la demande du responsable de la pré-paration à l’épreuve orale d’Analyse de l’agrégation à l’ENS (Grégoire Nadin) ; les sujets étaient« Méthodes hilbertiennes en dimension finie et infinie » et « Équations différentielles X = f(t,X) ;exemples d’études qualitatives des solutions ». Ma formation doctorale en équations aux dérivéespartielles m’a permis d’apporter aux élèves quelques exemples originaux pour chacune des deuxleçons.

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5 Responsabilités administratives

2005-... Reviewer pour Mathematical Reviews.

2006-2008 Représentante (nommée) des doctorants et ATER au conseil de laboratoire duCEREMADE.

Déc. 2007 Porte-parole des doctorants lors de l’évaluation du CEREMADE par l’AERES.

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6 Activités de recherche

6.1 Exposés dans des conférences nationales ou internationales

Déc. 2007 Journées Singularités et Comportement Asymptotique des Systèmes d’Euler etNavier Stokes, à Paris (exposé sur invitation).

Juil. 2007 Conférence ICIAM 07 à Zürich (exposé sans invitation).

Juin 2006 Conférence à Vienne : “Nonlinear PDEs : Homogenization and Kinetic Equations”(exposé sur invitation).

Juin 2006 Conférence à Tolède en l’honneur de Peter Lax et Louis Nirenberg : “Recentadvances in Nonlinear PDEs and Applications” (présentation d’un poster).

6.2 Invitation dans des séminaires ou des groupes de travail en France

Juin 2008 Séminaire EDP de l’Institut Élie Cartan de Nancy.

Juin 2008 Séminaire d’Analyse Numérique et Calcul Scientifique de l’Université de Franche-Comté (Besançon).

Fév. 2008 Groupe de travail Calcul des variations du CEREMADE (Université Paris-Dauphine).

Jan. 2008 Séminaire X-EDP (École polytechnique, Palaiseau).

Nov. 2007 Séminaire EDP de l’Université Paris-Sud.

Oct. 2007 Séminaire Analyse-Probabilités du CEREMADE.

Sep. 2007 Séminaire de mathématiques appliquées de l’Université Blaise Pascal (Clermont-Ferrand).

Av. 2007 Séminaire de Mathématiques appliquées du Collège de France.

Jan. 2007 Groupe de travail Calcul des variations du CEREMADE.

Jan. 2007 Séminaire Calcul scientifique du CERMICS (ENPC).

Nov. 2006 Séminaire EDP et Applications de l’UMPA (ENS Lyon).

Jan. 2006 Séminaire EDP du DMA (ENS Paris).

Nov. 2005 Groupe de travail des thésards du CEREMADE.

Av. 2004 Séminaire des élèves de l’ENS.

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6.3 Participation régulière à des groupes de travail, avec exposé

2007-2008 Groupe de travail « Maths-Océano »à l’École normale supérieure (Paris).Exposé en Janvier 2008.

2007 Groupe de lecture « Transport Optimal »à l’École normale supérieure (Paris).Exposé en Mars 2007.

6.4 Participation à des conférences nationales ou internationales sans exposé

Juil. 2007 Congrès en l’honneur de Luc Tartar à Paris.

Juil. 2005 Congrès “Homogénéisation aléatoire” au CIRM à Marseille.

Mai 2005 Congrès “Recent advances in homogenization” à Rome.

Juin 2004 Congrès en l’honneur de Haïm Brézis à Paris.

6.5 Participation régulière à des séminaires (en tant qu’auditeur)

2007-2008 Groupe de travail Analyse non linéaire (commun au DMA et au LaboratoireJacques-Louis Lions).

2004-2008 Séminaire Analyse-Probabilités du CEREMADE.

2004-2008 Séminaire de mathématiques appliquées du Collège de France.

2003-2007 Séminaire EDP du DMA.

6.6 Organisation de groupes de travail

2005-2007 Co-organisatrice du groupe de travail des thésards du CEREMADE

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7 Résumé des travaux de rechercheCette partie est consacrée à la description de mes travaux de recherche, réalisés dans le cadre

de mon stage de DEA et de ma thèse au sein de l’équipe Analyse non linéaire du CEREMADE(UMR CNRS 7534, Université Paris-Dauphine), sous la direction du Professeur Pierre-Louis Lions,puis de mon travail post-doctoral dans l’équipe Équations aux dérivées partielles du Départementde mathématiques et applications (UMR CNRS 8553, École normale supérieure, Paris), sous ladirection du Professeur Laure Saint-Raymond.

Les références de cette partie et de la suivante sont regroupées dans la bibliographie généralepage 19.

7.1 Présentation générale

Au cours de ma thèse, j’ai étudié différents phénomènes d’oscillations dans des équations auxdérivées partielles d’évolution, et en particulier des questions liées à l’homogénéisation de loisde conservation scalaires. Précisément, le résultat principal de ma thèse est le suivant : soituε ∈ C(R+, L

1loc(RN )) ∩ L∞loc(R+ × RN ) la solution entropique de l’équation

∂uε

∂t(t, x) +

N∑i=1

∂

∂xiAi

(xε, uε(t, x)

)= 0 t ≥ 0, x ∈ RN ,

uε(t = 0, x) = u0

(x,x

ε

),

(7.1)

où A : RN × R → RN est un flux donné, périodique en sa première variable. J’ai démontré, sousune hypothèse de donnée initiale « bien préparée », c’est-à-dire adaptée à la microstructure dictéepar le flux A, que

uε(t, x)− u(t, x,

x

ε

)→ 0 dans L1

loc([0,∞)× RN ), (7.2)

où u est l’unique solution d’un système limite de nature cinétique, composé d’une équation micro-scopique dite « de la cellule », et d’une équation d’évolution macroscopique. La grande nouveauté dece résultat réside dans l’universalité de ses hypothèses sur le flux A, ainsi que dans la complexité dusystème limite : en effet, il n’y a en général ni problème homogénéisé, ni loi de conservation associéeaux équations cinétiques limites. Ce phénomène était entièrement absent des travaux antérieurs surle sujet.

Avant la preuve de ce résultat et en vue de définir des techniques adaptées à l’étude de phéno-mènes d’oscillations dans les équations de transport, j’ai travaillé sur l’homogénéisation de lois deconservation scalaires avec viscosité évanescente, une variante parabolique du problème (7.1). J’aidémontré dans ce cadre un résultat de convergence du même type que (7.2). Ce résultat est, à maconnaissance, le premier sur l’homogénéisation de lois de conservation multi-dimensionnelles dansun cadre général, sans hypothèse de structure sur le flux ou sur la condition initiale.

Cette entreprise nécessite une bonne compréhension de la loi de conservation (7.1) - ou de saversion visqueuse - à ε > 0 fixé. J’ai donc été amenée à démontrer, parallèlement aux questionsd’homogénéisation directement liées à (7.1) (voir [?, ?, ?, ?]), deux résultats sur les formulationscinétiques de lois de conservation scalaires (voir [?, ?]). Ces derniers travaux ont donné lieuà un article en collaboration avec Benoît Perthame sur un sujet indépendant, dans lequel nousdémontrons l’existence de solutions du modèle de Keller-Segel hyperbolique (voir [?]).Enfin, toujours dans le cadre de ma thèse, j’ai également prouvé un résultat d’homogénéisationpour une équation de transport, dans un cadre stationnaire ergodique (voir [?]).

Depuis le mois de septembre 2007, je suis également membre à mi-temps de l’équipe Équationsaux dérivées partielles du DMA, où je travaille sous la direction de Laure Saint-Raymond sur des

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problèmes d’océanographie, abordés sous un angle mathématique, et plus spécifiquement surl’influence du vent sur la vitesse des courants océaniques. Dans l’article [?], je démontredes résultats de convergence forte pour un fluide en rotation rapide soumis à un forçage aléatoire,stationnaire et non résonnant ; dans [?], nous étudions, avec Laure Saint-Raymond, le cas où leforçage est en résonance avec la rotation de la Terre, et nous mettons en évidence de nouveauxprofils de couches limites et des phénomènes de déstabilisation du fluide dans ce cadre.

Dans les paragraphes qui suivent, je décris plus en détail chacun des articles sus-mentionnés.

7.2 Formulation cinétique de lois de conservation scalaires et applications

7.2.1 Formulation cinétique de lois de conservation hétérogènes[?], paru aux Annales de l’IHP.

Cet article est consacré à l’étude des solutions entropiques de lois de conservation scalaires dutype ∂tu+divxA(x, u) = 0. Dans le cas homogène, c’est-à-dire lorsque le flux A est indépendant de lavariable d’espace x ∈ Rn, Pierre-Louis Lions, Benoît Perthame et Eitan Tadmor ont démontré dans[?] que la fonction (t, x, v) 7→ 1v<u(t,x) vérifie une équation de transport linéaire, appelée formulationcinétique, dont le second membre est la dérivée en v d’une mesure positive. Cette constructionpermet ensuite de définir une notion plus faible de solutions, appelées solutions cinétiques. J’aigénéralisé dans [?] ces résultats au cas hétérogène. La principale différence structurelle réside dansla présence d’un terme supplémentaire dans la formulation cinétique, qui représente un transportdans la variable v. Par ailleurs, les preuves deviennent beaucoup plus techniques en raison de ladépendance spatiale du flux.

7.2.2 Formulation cinétique d’une loi de conservation parabolique[?], paru dans SIAM J. Math. Anal.

L’article [?] est composé de deux parties : la première, que je vais exposer ici, présente uneformulation cinétique pour une loi de conservation scalaire parabolique, et la seconde, dont il seraquestion plus tard, donne une application de cette construction à l’homogénéisation d’une versionvisqueuse de l’équation (7.1).

Dans la première partie de [?], on considère l’équation ∂tu(t, y)+divyA(y, u(t, y))−∆yu(t, y) =0, munie de conditions aux bords périodiques. En s’inspirant d’une idée de E. Audusse et B.Perthame [?], on définit pour cette équation une nouvelle formulation cinétique, associée à desinégalités entropiques basées sur la comparaison entre la fonction u et les solutions stationnairesde la loi. Cette formulation permet en particulier de définir une notion de solution cinétique, donton montre qu’elle est équivalente à celle de solution entropique si l’on travaille dans une classe defonctions régulières et bornées.

On donne dans la seconde partie une application de cette construction à l’homogénéisationd’une version visqueuse de l’équation (7.1) ; ce point sera décrit au paragraphe 6.3.1.

7.2.3 Existence de solutions du système de Keller-Segel hyperbolique[?], avec Benoît Perthame, accepté pour publication dans Transactions of the AMS.

Le modèle de Keller-Segel décrit la réponse collective de populations de cellules à des signauxchimiques. On étudie un système couplé de deux équations :

∂tu+ divy (∇S u(1− u)) = 0, t > 0, y ∈ Ω,

u(t = 0) = u0 ∈ L1 ∩ L∞(Ω), 0 ≤ u0 ≤ 1 p.p,et

−∆S + S = u dans Ω,

∇S · nΩ = 0 sur ∂Ω,(7.3)

où Ω ⊂ Rd est un domaine C1 borné, et nΩ est la normale sortante à Ω. Ici, la quantité u représente la

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densité de cellules et S la concentration en chimioattractant. Dans un premier temps, on démontrel’existence de solutions du système (7.3) par passage à la limite dans une approximationparabolique de l’équation. Cette méthode avait été utilisée en dimension d = 1 par Yasmin Dolaket Christian Schmeiser dans [?] ; mais dès que d > 1, l’analyse du système parabolique approchéest très différente en raison de l’absence de bornes a priori dans L∞loc(0,∞;BV (Ω)), et donc decompacité sur les solutions du système. La technique adoptée consiste en l’écriture d’une formulationcinétique pour le système approché, équation de transport linéaire dans laquelle il est possible depasser à la limite faible. Le cœur de la preuve réside dans un théorème de « rigidité » : on montreque les solutions de l’équation limite sont des fonctions indicatrices. On en déduit ensuite sans malla convergence forte des solutions du système approché vers une solution du système de Keller-Segel(7.3).

Dans un second temps, on démontre des résultats qur le comportement en temps long d’unesolution du système (7.3) ; ceux-ci viennent en partie corroborer les simulations numériques de [?]en dimension 1.

7.3 Homogénéisation de lois de conservation scalaires

7.3.1 Cas visqueux, données bien préparées[?], paru au J. Math. Pures et Appl. ;[?], paru dans SIAM J. Math. Anal.

L’objet de ces travaux est la preuve du résultat (7.2) dans le cas de l’équation∂uε

∂t(t, x) +

N∑i=1

∂

∂xiAi

(xε, uε(t, x)

)− ε∆xu

ε = 0 t > 0, x ∈ RN ,

uε(t = 0, x) = u0

(x,x

ε

).

(7.4)

En postulant un développement asymptotique du type uε(t, x) ≈ u0(t, x, xε

)+ εu1

(t, x, xε

), on

trouve que u0(t, x, y) = v(y, u(t, x)), où, pour chaque p ∈ R, v(·, p) est la solution d’un problèmemicroscopique dit « de la cellule » (une équation elliptique en y) et u : R+×RN → R est la solutionentropique d’une loi de conservation scalaire homogène, appelée « problème homogénéisé ». Cetteméthode formelle soulève une première difficulté, sur laquelle on reviendra dans le paragraphesuivant : il est possible qu’à l’instant t = 0, u0(x, ·) ne soit pas solution du problème de la cellule.Cela signifie que l’Ansatz était faux à t = 0, et il faut alors le modifier pour décrire convenablementle comportement asympotique de uε. Dans tout ce paragraphe, on se concentre donc sur le cas dedonnées initiales bien préparées ; autrement dit, u0(x, ·) est solution de l’équation de la cellule pourpresque tout x.

Dans un premier temps, dans [?], on montre l’existence et l’unicité de solutions du problème dela cellule sous certaines hypothèses de régularité et de croissance sur le flux. On montre ensuite lerésultat de convergence (7.2) dans le cas visqueux. Cette étape est réalisée de deux façons différentesdans [?] et [?] : dans [?], la méthode s’inspire de celle développée dans [?] et [?], et s’appuie sur lanotion de mesures d’Young à deux échelles. Dans [?], j’ai mis en place une méthode originale, quisimplifie nettement la preuve de convergence, et qui s’appuie sur la formulation cinétique développéedans la première partie de [?], décrite plus haut. Le passage à la limite double-échelle dans cetteéquation linéaire permet facilement de montrer le résultat de convergence forte. De plus, le résultatdémontré est plus général que celui de [?] car l’hypothèse u0 ∈ L∞ devient superflue. Enfin, cetteméthode se généralise aisément au cas où le flux A possède une dépendance macroscopique, i.e.A = A(x, y, v), et A très régulier en x ; cette dernière extension, qui ne figure pas dans [?], estincluse dans ma thèse de doctorat.

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7.3.2 Couche initiale dans le cas visqueux, pour des données mal préparées[?], paru dans Arch. Rat. Mech. Anal.

L’article [?] est consacré à l’homogénéisation de l’équation (7.4) dans le cas de données initialesmal préparées, c’est-à-dire qui ne sont pas solutions du problème de la cellule. Dans ces circons-tances, on s’attend à ce qu’il se forme une couche initiale, de durée typique ε, durant laquelle lafamille de solutions uε se rapproche du profil microscopique dicté par le flux. Plus précisément, onmontre que l’évolution de uε sur des temps courts (d’ordre ε) est régie par un problème d’évolutionparabolique, dont les solutions convergent en temps grand vers une solution stationnaire. De plus,en vertu d’une propriété de trou spectral, on montre que la vitesse de convergence est exponentielle.

Il faut ensuite combiner cette analyse avec le résultat d’homogénéisation dans le cas de donnéesbien préparées [?, ?]. À l’aide d’une série d’estimations fines, on montre qu’au bout d’un tempsε, tout se passe comme si la condition initiale était bien préparée. Évidemment, le résultat deconvergence exponentielle exposé plus haut est fondamental dans la description des solutions surdes temps d’ordre ε. À ma connaissance, ce résultat est la première preuve d’homogénéisation pourdes lois de conservation scalaires hétérogènes dans le cas de données mal préparées.

7.3.3 Cas hyperbolique, données bien préparées[?], accepté pour publication dans Arch. Rat. Mech. Anal.

L’article [?] traite de l’homogénéisation de l’équation hyperbolique (7.1), dans le cas de donnéesbien préparées, et j’y démontre le résultat de convergence (7.2). La situation est ici beaucoup pluscompliquée que dans le cas parabolique, en raison du manque d’informations sur la structure dessolutions stationnaires de l’équation (7.1) ; en particulier, il est impossible de transposer directementles techniques mises au point dans [?].

La première partie de la preuve de convergence repose sur un passage à la limite double-échelledans l’équation de formulation cinétique associée à (7.1) (voir aussi l’article [?]). Le système limite secompose alors de deux équations sur la fonction indicatrice 1p<u(t,x,y) : une équation de contrainted’une part, qui joue le rôle d’une équation de la cellule à un niveau cinétique, et une équationde transport linéaire d’autre part, avec un second membre que l’on peut interpréter comme unmultiplicateur de Lagrange associé aux contraintes sur 1p<u(t,x,y). La grande particularité de cesystème réside dans le fait qu’on ne peut écrire d’équation d’évolution pour la fonction u, ni pourla moyenne de u sur une période spatiale. Il n’y a donc pas, en général, de problème homogénéisé.Ainsi, la formulation cinétique de la loi de conservation (7.1) semble être la vision adéquate pouraborder les problèmes d’oscillations en général, et d’homogénéisation en particulier.

En vue de montrer le résultat de convergence forte, il faut ensuite montrer des propriétés derigidité et de contraction pour le système limite. La faible régularité des solutions, ainsi que laprésence d’oscillations rapides, rend les preuves relativement techniques.

7.4 Homogénéisation d’une équation de transport linéaire

[?], accepté pour publication dans Comm. Partial Differential Equations.Ce travail traite de l’homogénéisation de l’équation ∂tf ε + ξ · ∇xf ε − 1

ε∇xu(xε , ω

)· ∇ξf ε = 0,

qui modélise le transport de particules chargées par un potentiel électrique fortement oscillantu(x/ε, ω), où x ∈ RN est la variable d’espace, et ω ∈ Ω, où (Ω, P ) est un espace de probabilité surlequel agit un groupe ergodique de transformations invariantes τy, y ∈ RN . On suppose de plus quela densité de particules initiale f0(x, y, ω) et u(y, ω) sont des fonctions stationnaires en y.

Je montre dans [?] un résultat de convergence forte dans L1loc sur la fonction f ε, et j’identifie les

équations macroscopiques et microscopiques satisfaites à la limite. Ce travail généralise un articlede K. Hamdache et E. Frénod [?], qui abordent le même problème dans un cadre périodique. Mais

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les techniques choisies par ces auteurs semblaient difficilement transposables au cas stochastique,et il a donc fallu changer de stratégie. La méthode adoptée dans [?] est fondée sur les liens entrel’équation de transport et le système hamiltonien associé à l’énergie H(y, ξ;ω) = |ξ|2/2 + u(y, ω).Au moyen du théorème ergodique, on retrouve alors les résultats de K. Hamdache et E. Frénod, enmettant de plus en évidence un phénomène d’oscillations rapides en temps, qui était absent de [?].

Dans un second temps, on démontre des formules explicites sur les coefficients du système homo-généisé en dimension un. Ici encore, la méthode choisie est différente de celle de [?]. Les argumentsutilisés dans le cadre stationnaire sont inspirés de calculs récurrents dans la théorie d’Aubry-Matherou dans la théorie KAM, et mettent ainsi à jour certains liens inédits avec l’homogénéisation d’équa-tions de Hamilton-Jacobi.

7.5 Forçage par le vent de courants océaniques

[?], pré-publication ;[?], avec Laure Saint-Raymond, pré-publication.

Ces articles sont consacrés à l’analyse du comportement d’un fluide homogène et incompressible,en rotation rapide à une fréquence 1/ε, soumis à un forçage en surface. Le forçage est décrit par unecondition de Neumann non homogène et rapidement oscillante sur le bord, de la forme σ (t, t/ε) .On étudie le comportement asymptotique du système de Navier-Stokes-Coriolis lorsque le petitparamètre ε et la viscosité verticale ν tendent vers zéro. Des résultats de convergence forte sontalors démontrés dans deux cadres différents et complémentaires : l’article [?] traite du cas où lafonction σ est aléatoire et stationnaire en sa variable rapide, et n’a pas de fréquences d’oscillationsvoisines de celle de la rotation de la Terre. Le cas résonnant, c’est-à-dire celui où le forçage σ estune fonction périodique, de même période que la rotation de la Terre, est traité dans [?], dans lecas linéaire. Ces deux travaux généralisent ceux de Nader Masmoudi dans [?].

Dans les deux cas, la preuve repose sur la construction d’une solution approchée, et suit pour cefaire des méthodes classiques en théorie des fluides tournants (voir [?, ?]), utilisant des techniquesde filtrage des oscillations d’une part, et de construction de couches limites d’autre part. Dansl’article [?], l’introduction de termes aléatoires et stationnaires nécessite de modifier les définitionshabituelles des termes de couches limites, adaptées à des cadres périodiques ou presque périodiquesen temps (voir par exemple [?, ?]). Par ailleurs, les méthodes de filtrage consistent à étudier lecomportement moyen en temps long de fonctions oscillantes, ce qui est accompli ici au moyen duthéorème ergodique de Birkhoff. Il convient de souligner que l’équation limite obtenue dans [?]demeure aléatoire. Par conséquent, la dernière partie de l’article [?] est consacrée à l’obtentiond’une équation déterministe « moyenne », ou homogénéisée.

Dans l’article [?], la résonance entre la fréquence de rotation de la Terre et celle du forçagepar le vent modifie principalement la construction des couches limites : en effet, on montre qu’unforçage résonnant et non homogène crée des tailles de couches limites beaucoup plus grandes queles forçages usuels. En outre, la partie homogène et résonnante du forçage ne peut être traitée parles méthodes usuelles de couches limites, et donne naissance à un profil singulier, déstabilisant ainsien temps grand l’ensemble du fluide à l’intérieur du domaine. Ces résultats diffèrent donc de façonconséquente des travaux [?, ?]. Dans un troisième article en cours de rédaction [?], nous démontronsun résultat de stabilité non linéaire pour ce profil singulier.

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8 Projet de recherche

Dans les années à venir, je compte développer trois grands axes de recherche, classés ici par ordredécroissant d’importance du temps que je souhaite leur consacrer. Le premier et le deuxième thèmesont partiellement liés : il s’agit respectivement d’étudier des modèles de fluides géophysiques et derugosité en mécanique des fluides. Le troisième volet de ce programme de recherche est indépendantdes autres, et porte sur le comportement en temps long des solutions de lois de conservation scalaires.

Par ailleurs, je suis prête à m’investir dans d’autres projets, suivant les souhaits et les besoinsde l’équipe dans laquelle j’effectuerai mes recherches.

Les références entre crochets sont regroupées dans la bibliographie générale page 19.

8.1 Étude de fluides géophysiques

Le but de cette première thématique de recherche est d’étudier mathématiquement le compor-tement des fluides géophysiques. Cette question se situe dans la continuité des travaux que j’aieffectués après la fin de ma thèse, et qui ont donné lieu à la rédaction de deux articles de recherche,dont un en collaboration avec Laure Saint-Raymond.

Les modèles considérés décrivent l’évolution des fluides océaniques ou atmosphériques dans unréférentiel terrestre en rotation, sur des domaines qui s’étendent horizontalement sur plusieurs mil-liers de kilomètres, et verticalement sur quelques kilomètres. Les forces qui s’exercent sur le systèmesont la force de Coriolis et la force de pesanteur. Ces deux forces se compensent, créant ainsi un équi-libre dit « géostrophique », autour duquel apparaissent de petites oscillations. La compréhensionde ce mécanisme de compensation et la description des fluctuations autour de l’équilibre sont deuxenjeux majeurs de la modélisation. Du point de vue mathématique, l’évolution du système (océanou atmosphère) est régie par les équations de la mécanique des fluides, portant sur la densité, lavitesse, l’énergie volumique ou la température du fluide. Ce système d’équations est ensuite réduità l’aide d’équations d’état ou d’approximations physiques qui dépendent de la situation étudiée(voir [?]).

Objectifs généraux et outils. Le but est, dans un premier temps, de montrer l’existencede solutions du système réduit, puis de passer à la limite lorsque le petit paramètre ε := U/(2|Ω|L)tend vers zéro, où U (resp. L) est une vitesse (resp. une distance) horizontale caractéristique dumouvement, et |Ω| est la vitesse de rotation de la Terre. Cette limite correspond donc à des situationsoù la vitesse de rotation de la Terre est grande devant la vitesse angulaire caractéristique du fluide ;pour l’Atlantique occidental, par exemple, on a ε ' 10−3, et cette approximation est justifiée.

Ce type d’étude s’apparente donc à des problèmes de perturbation singulière ; dès lors, la pre-mière étape en vue du passage à la limite consiste à étudier le spectre de l’opérateur de pénali-sation, et les ondes associées à celui-ci. Le système limite est ensuite obtenu grâce à des méthodesde filtrage, introduites indépendamment par Emmanuel Grenier [?] et Steven Schochet [?]. Parailleurs, il est classique en océanographie de supposer que la viscosité verticale tend vers zéro, cequi conduit naturellement à étudier des phénomènes de couches limites. Enfin, les preuves deconvergence reposent en général sur des méthodes d’énergie classiques (voir [?]), qui permettentd’estimer la différence entre la solution du système initial et une solution approchée explicite, ob-tenue comme la somme de la solution du système limite filtré, de termes de couches limites, et determes correctifs intérieurs.

Quelques problèmes plus précis. Un premier but à moyen terme sera de généraliser lesrésultats de [?, ?], portant sur le forçage par le vent de courants océaniques, au cas du modèleβ-plan, pour lequel on prend une approximation affine (et non constante) pour le vecteur rotation

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de la Terre. Ce type d’étude a déjà été réalisé par Isabelle Gallagher et Laure Saint-Raymond dans[?], où les auteurs étudient le modèle β-plan au voisinage des zones équatoriales (sans forçage parle vent).

Après cela, une généralisation supplémentaire consistera à considérer des modèles dépendantde la densité. En effet, la stratification des fluides océaniques - c’est-à-dire la répartition du fluideen couches d’isodensité superposées - joue un rôle primordial dans l’équilibre et dans la dynamique,et il serait donc intéressant de disposer d’une méthode systématique pour étudier ces phénomènes.Pour cela, les travaux de Raphaël Danchin (voir par exemple [?, ?]) sont un point de départ possible.

Enfin, la prise en compte de conditions aux bords réalistes est un autre enjeu important dela modélisation. Dans cette optique, des liens se tisseront naturellement avec mon deuxième axe derecherche, les modèles de rugosité en mécanique des fluides : dans le contexte de l’océanographie,l’objectif sera d’étudier les conséquences sur la dynamique globale des irrégularités des fonds marinsou des côtes. Plus précisement, je compte m’intéresser aux effets de la rugosité sur les coucheslimites. Des études ont déjà été menées par David Gérard-Varet [?] et David Gérard-Varet etDidier Bresch [?] pour des profils périodiques de rugosité, et le but sera dans un premier temps degénéraliser leurs travaux à un cadre aléatoire et stationnaire.

Environnement scientifique. Une demande de projet ANR Blanc a été déposée en mars2008 par David Lannes (CNRS, MAB-UMR 5466, Université de Bordeaux 1), sur le thème « Modé-lisation, analyse mathématique et simulation numérique en océanographie » ; si le projet est accepté,il est prévu que je fasse partie de la composante « Fluides tournants » de ce projet.

8.2 Modèles de rugosité en mécanique des fluides

Le but de ce deuxième axe de recherche est de comprendre les effets d’une paroi rugueusesur la dynamique d’un fluide au contact de celle-ci. Outre les questions liées à l’océanographie,mentionnées dans la première partie, il s’agit d’étudier par exemple des problèmes de microfluidique.Cette thématique de recherche est en grande partie nouvelle pour moi, mais se rapproche néanmoinsdes travaux que j’ai effectués dans ma thèse, puisque la modélisation des rugosités se traduit souventmathématiquement par des problèmes d’homogénéisation.

Motivations physiques. La problématique est d’obtenir une description précise des propriétésde glissement d’un fluide sur une surface rugueuse. Il semble naturel, et il est de fait communémentadmis, que la rugosité augmente les effets de friction sur le bord de la paroi, allant jusqu’à sup-primer toutes les propriétés de glissement au niveau macroscopique. Néanmoins, des expérienceset des simulations récentes (voir par exemple [?]) indiquent au contraire que pour certaines sur-faces hydrophobes et très rugueuses, soumises à de faibles pressions, les irrégularités de la surfaceaméliorent les propriétés de glissement. Ce phénomène s’explique par la formation d’une interfacecomposite : des poches d’air s’immiscent dans les creux des aspérités de la surface, et le fluideglisse sur ce coussin d’air au lieu d’être au contact direct de la paroi. La minimisation des effets defriction est un enjeu industriel primordial, car l’énergie dissipée pour faire passer un fluide visqueuxdans des microcanaux est considérable. Toutefois, il semble difficile pour l’instant de quantifier cespropriétés de glissement à l’aide d’une loi empirique, car les résultats expérimentaux, par ailleurspeu nombreux, sont très disparates. D’après les physiciens, ces différences quantitatives pourraients’expliquer par des propriétés de mouillage variables d’une expérience à l’autre, ou par la forma-tion de « nano-bulles » à l’interface fluide/paroi. Disposer d’études mathématiques approfondiessur le sujet permettrait de trancher entre ces différents points de vue, et de mieux comprendre lephénomène de glissement.

D’autre part, dans l’idée d’accentuer l’effet de ce glissement, on peut utiliser un procédé d’élec-trophorèse pour concentrer l’écoulement dans une couche limite près de la surface rugueuse « glis-sante ». Un deuxième objectif sera de décrire mathématiquement ce phénomène de couche limite.

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Modélisation et outils mathématiques. D’un point de vue formel, la rugosité de lasurface peut être modélisée d’au moins deux façons : soit par le manque de régularité de la fonctionreprésentant la surface, soit par son caractère fortement oscillant. Je compte me concentrer plutôtsur le deuxième aspect, ce qui conduit donc à représenter une surface rugueuse par une équationdu type

z = f(x, y,

x

ε,y

ε

), (x, y, z) ∈ R3,

où ε est un petit paramètre. Une hypothèse classique consiste à supposer que la fonction f est pério-dique mais en général, les rugosités sont dûes à des défauts de fabrication de la paroi, par exemple,et il semble donc plus réaliste de supposer que la fonction f est aléatoire. Je serai donc naturelle-ment amenée à étudier des problèmes d’homogénéisation stochastique de systèmes fluides.Pour cela, mes travaux antérieurs sur l’homogénéisation stochastique d’équations de transport (voir[?]), ainsi que sur le forçage aléatoire par le vent de courants océaniques (voir [?]), seront des atoutscertains. En passant à la limite lorsque le petit paramètre ε tend vers zéro, on espère trouver unecondition aux limites effective, appelée loi de paroi. Ce type d’étude a été mené par exemple parDavid Gérard-Varet dans [?], pour des conditions aux limites de type Dirichlet. Compte tenu desmotivations physiques exposées plus haut, mon but est de généraliser ce travail à des conditions auxlimites mixtes, afin de prendre en compte les bulles qui se forment dans les cavités de la surface.Un point de départ possible serait de considérer des conditions de type Neumann dans les zones oùle fluide est en contact avec une bulle d’air, et Dirichlet pour l’interface fluide/paroi. Cette étudedevrait spontanément conduire à étudier des phénomènes de couches limites, ce qui facilitera sansdoute l’attaque du deuxième point mentionné plus haut.

Environnement scientifique.David Gérard-Varet (CNRS, DMA-UMR 8553, École normalesupérieure) m’a proposé de participer à un projet ANR-Jeunes chercheurs, sur les modèles derugosité en mécanique des fluides. La demande de projet a été déposée en mars 2008, et si celui-ciest accepté, l’équipe comportera des mathématiciens « numériciens » et « théoriciens ».

8.3 Comportement en temps long de solutions de lois de conservation scalaires

Cette partie de mon projet de recherche est totalement indépendante des deux premières ; monintérêt pour ces questions est né de discussions avec Denis Serre. Il s’agit d’étudier le comportementen temps long de solutions entropiques de lois de conservation visqueuses ou hyperboliques. Dansun premier temps, je me concentrerai sur l’étude du système

∂u

∂t+ divxA(x, u(t, x))−∆xu = 0, t > 0, x ∈ TN (8.1)

u(t = 0) = u0 ∈ L∞(TN ). (8.2)

Connaître le comportement lorsque t→∞ de u(t) est une question directement inspirée de certainsde mes travaux de thèse, et j’y ai d’ailleurs consacré l’un de mes articles (voir [?]). J’ai démontré,sous certaines hypothèses sur le flux et à condition que la donnée initiale soit comprise entre deuxsolutions stationnaires de la loi (8.1), que la famille u(t) converge exponentiellement vite vers unesolution stationnaire de (8.1). Le but ici sera donc de comprendre dans quelle mesure ce résultatpeut être généralisé à des classes plus grandes de données initiales.

Dans un second temps, je compte m’intéresser à un problème similaire, mais sans doute plusdifficile en raison de son hyperbolicité. En effet, il s’agit de comprendre la nature du comportementen temps long de la solution du système

∂u

∂t+ divxA(x, u(t, x)) = 0, t > 0, x ∈ Ω (8.3)

u(t = 0) = u0 ∈ L∞(Ω), (8.4)

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où Ω = TN ou RN . À ma connaissance, ce type de comportement asymptotique a été étudiémajoritairement dans le cas homogène ; l’hypothèse classique sur le flux A est alors une conditionde convexité, sous laquelle on démontre qu’il y a convergence vers une solution stationnaire de (8.3)(voir par exemple [?], [?], ainsi que l’ouvrage de C. Dafermos [?]). Il est important de soulignerque la seule non-linéarité du flux est insuffisante pour obtenir ce résultat, comme le montre uncontre-exemple de Debora Amadori et Denis Serre dans [?] : les auteurs construisent, pour un fluxA particulier, non linéaire et non convexe, une solution périodique en temps et en espace de (8.3).Dès lors, la solution de (8.3) ne peut converger vers un état stationnaire pour toute donnée initiale.La convexité est donc une condition cruciale en dimension un, et il faudra dégager des hypothèsesnon triviales en dimension supérieure.

Objectifs précis et pistes possibles. Dans le cas visqueux, supposer que la donnée initialeest comprise entre deux solutions stationnaires est une hypothèse relativement classique dans uncadre parabolique ; on pourra par exemple se référer à [?], ou encore à [?]. Néanmoins, dans [?],les résultats de convergence sont généralisés à des profils quelconques de données initiales, ce quilaisse penser que le même type d’étude peut être entrepris ici. Je commencerai par étudier le cas oùle flux A est de la forme A(y, v) = ∇φ(y)g(v), où φ est périodique. En effet, de nombreux calculsexplicites sont possibles dans ce cas, et en particulier, la forme des états stationnaires est connue. Ilsemble donc plus accessible d’obtenir des conditions nécessaires et suffisantes de convergence dansce cadre. D’un point de vue mathématique, le phénomène de convergence est dû à des propriétésde dissipation par diffusion : les parties de la solution u(t) qui se trouvent respectivement au-dessuset en-dessous du profil stationnaire ont tendance à décroître avec le temps.

Quant au cas hyperbolique, le type de résultat que je souhaite généraliser dans un premiertemps est celui obtenu par D. Amadori et D. Serre dans [?] : ces auteurs considèrent un flux A dutype A(y, v) = f(v) − V (y), avec V périodique, en dimension 1. Sous une hypothèse de convexitéde f , ils montrent que u(t) converge quand t → ∞ vers une solution stationnaire de (8.3) ; sousune hypothèse supplémentaire sur V , cet état stationnaire peut être déterminé de façon unique enfonction de u0.

Ce projet nécessite donc de connaître les états stationnaires de la loi (8.4) ; toutefois, on peutdiviser la preuve de [?] en deux étapes. La première s’appuie des arguments de systèmes dynamiques,et ne fait pas appel à la forme des solutions stationnaires de (8.3). On peut donc imaginer quel’on puisse généraliser les résultats de cette première partie en dimension supérieure en admettantl’existence de solutions stationnaires. La seconde partie, en revanche, repose sur une étude précisedes solutions stationnaires, ainsi que sur la structure des chocs de (8.3)-(8.4) en dimension un. Pourcette partie, il faudra donc vraisemblablement mettre en place d’autres arguments, ou commencerpar étudier les solutions stationnaires de (8.3).

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9 Bibliographie générale

9.1 Publications

9.2 Références

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10 Annexes

Je donne ici la liste des documents joints à ce dossier de candidature.

– Déclaration de candidature ANTARES/ANTEE datée et signée ;– Copie du rapport de soutenance de thèse ;– Copie des rapports de pré-soutenance, rédigés par Benoît Perthame et Denis Serre ;– Lettres de recommandation de recherche (Pierre-Louis Lions et Laure Saint-Raymond) ;– Lettres de recommandation d’enseignement (Judith Rousseau, Rabah Tahraoui et Gabriel

Turinici).

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