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Dossier Maître de ConférencesYoann Offret
• Curriculum Vitæ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-5
• Rapport de Recherche et d’Enseignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-14
• Rapports de Thèse et de Soutenance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-26
• Projet de Recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27-30
• Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31-32
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Curriculum VitæYoann Offret
Informations personnelles
Situation
⊲ En Post-Doctorat sous la direction de M. Benaïm, Professeur à l’Institut de Mathématiques de Neuchâtelet Directeur de l’équipe Processus Stochastiques et Systèmes Dynamiques.
⊲ Nationalité Française.⊲ Né le 30 Juin 1983 (29 ans) à Paimpol (Bretagne, Côtes d’Armor).⊲ Célibataire.
Contact
Université de Neuchâtel, Institut de MathématiquesRue Émile Argant 11, 2000 Neuchâtel, Suisse
Tél. : +41 (0)32 718 2807Fax : +41 (0)32 718 2801
E-mail : [email protected]
P. Web : http ://members.unine.ch/yoann.offret/
Positions Universitaires
2012- En Post-Doctorat à l’Université de Neuchâtel sous la direction de M. Benaïm, Profes-seur à l’Institut de Mathématiques et Directeur de l’équipe Processus Stochastiqueset Systèmes Dynamiques.
2011-2012 ATER à l’Université de Rennes 1 dans l’UFR de Mathématiques et membre del’IRMAR dans l’équipe Processus Stochastiques.
2008-2012 Doctorat à l’Université de Rennes 1 sous la direction de M. Gradinaru, Profes-seur à l’UFR de Mathématiques et membre de l’IRMAR dans l’équipe ProcessusStochastiques.
2008-2011 Allocataire-Moniteur-Normalien à l’Université de Rennes 1 dans l’UFR de Mathé-matiques et membre de l’IRMAR dans l’équipe Processus Stochastiques.
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Formation
2008 Master 2 Recherche en Mathématiques, spécialité Probabilités et Applications, àl’Université de Rennes 1, mention très bien.
2006-2008 Élève à l’ENS Cachan, antenne de Bretagne, concours troisième année.
2004-2008 Magistère de Mathématiques, à l’ENS Cachan, antenne de Bretagne, et à l’Universitéde Rennes 1.
2007 Agrégation externe de Mathématiques, spécialité Probabilités et Modélisation, àl’ENS Cachan, antenne de Bretagne, et à l’Université de Rennes 1. rang 57.
2006 Master 1 de Mathématiques, à l’Université de Rennes 1, mention très bien.
2005 Licence de Mathématiques, à l’Université de Rennes 1, mention très bien.
2001-2004 Classes Préparatoires aux Grandes Écoles, MPSI-MP*, au lycée Kerichen de Brest.
2001 Baccalauréat Scientifique, spécialité Mathématiques, au lycée Félix le Dantec deLannion, mention bien.
Activités de Recherche
Thèmes de Recherche
⊲ Processus stochastiques
Diffusions - Comportement en temps long - Limites d’échelle - Lois du logarithme itéré - Récurrence - Tran-sience - Phénomènes de transition de phase - Distributions stationnaires - Ergodicité - Mesures invariantes -Nombre de tours - Équations différentielles stochastiques - Singularités - Explosion - Schémas numériques - Inva-riance d’échelle - Auto-similarité - Mouvement Browniens fractionnaires - Processus de Lévy stables symétriques- Environnements aléatoires - Milieux inhomogènes en temps - Milieux auto-similaires.
⊲ Systèmes Dynamiques
Systèmes dynamiques aléatoires - Produits d’opérateurs de Markov aléatoires - Flots de mesures aléatoiresquasi-invariantes et stationnaires - Exposants et fonctions de Foster-Lyapunov - Perturbations aléatoires.
Publications
⊲ Thèse de Doctorat en Mathématiques
2012 Y. Offret "Dynamique de diffusions inhomogènes sous des conditions d’invariance
d’échelle". Soutenue le 25 Juin à l’Université de Rennes 1 devant le jury
A. Debussche Professeur à l’ENS Cachan, antenne de Bretagne PrésidentN. Fournier Professeur à l’Université de Paris Est ExaminateurM. Gradinaru Professeur à l’Université de Rennes 1 DirecteurS. Herrmann Professeur à l’Université de Bourgogne ExaminateurP. Imkeller Professeur à la Humboldt-Universität de Berlin RapporteurZ. Shi Professeur à l’Université de Paris VI Rapporteur
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⊲ Revues avec comité de lecture
2012 Y. Offret "Invariant distributions and scaling limits for some diffusions in time-varying
random environments". Probability Theory and Related Field (PTRF), 38 p.
2011 M. Gradinaru, Y. Offret "Existence and asymptotic behaviour of some time-
inhomogeneous diffusions". Annales de l’Institut Henri Poincaré (AIHP), 26 p.
Exposés
2012 Séminaire de Probabilités, Dijon.
Groupe de travail, Neuchâtel.
Séminaire de Probabilités, Nice.
2011 Séminaire de Probabilités, Rennes.
2010 Séminaire de Probabilités, Brest.
Journées MAS et Journée en l’honneur de Jacques Neveu, Bordeaux.
Journées de Probabilités, Dijon.
Colloque Jeunes Probabilistes et Statisticiens, Mont Dore.
2009 Séminaire de Probabilités, Rennes.
Activités d’Enseignement
2008-2012 Moniteur (2008-2011) puis ATER (2011-2012) à l’Université de Rennes 1 dansl’UFR de Mathématiques.
Enseignements dispensés : M1 Math., TP - M1 Bio., CM,TD,TP - L3 Mag. Math., TD- L3 Math., TD - L2 Math., TD.
2011-2012 Khôlleur aux lycées Chateaubriand et Saint-Vincent de Rennes en MP*-MPSI-ECE.
2008-2009 Participation à la Fête de la Science de Rennes.
2007-2008 Khôlleur au lycée Chateaubriand de Rennes en ECS-BCPST.
2005-2006 Tutorat à l’Université de Rennes 1.
Compétences
Informatiques Caml - C/C++ - HTML - LATEX- Scilab/Matlab - R - Maple.
Langues Français : langue maternelle.
Anglais : bon niveau.
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Rapport de Recherche et d’Enseignement
Domaines de Recherche
Mes recherches se concentrent principalement sur l’étude du comportement en temps long de certainsprocessus, notamment inhomogènes en temps, en milieux aléatoires et déterministes, et sous des conditionsd’invariance d’échelle du potentiel et du terme de diffusion.
Je m’intéresse en particulier aux différents comportement asymptotiques, dépendant des paramètres d’auto-similarité en jeu, qui illustrent des phénomènes de transition de phase.
Ces différentes problématiques m’ont amené où m’amènent, naturellement, à aborder de nombreuses branchesde la théorie des processus stochastiques et des systèmes dynamiques.
Processus stochastiques
⊲ Diffusions - Comportement en temps long - Limites d’échelle - Lois du logarithme itéré - Récurrence -Transience - Phénomènes de transition de phase - Distributions stationnaires - Ergodicité - Mesures inva-riantes - Nombre de tours.
⊲ Équations différentielles stochastiques - Singularités - Explosion -Schémas numériques.⊲ Invariance d’échelle - Auto-similarité - Browniens fractionnaires - Lévy stables symétriques.⊲ Environnements aléatoires - Milieux inhomogènes en temps - Milieux auto-similaires
Systèmes Dynamiques
⊲ Systèmes dynamiques aléatoires - Produits d’opérateurs de Markov aléatoires - Flots de mesures aléatoiresquasi-invariantes et stationnaires - Exposants et fonctions de Foster-Lyapunov.
⊲ Perturbations aléatoires.
Publications
Thèse de Doctorat en Mathématiques
2012 Y. Offret "Dynamique de diffusions inhomogènes sous des conditions d’invariance
d’échelle" [22]. Soutenue le 25 Juin à l’Université de Rennes 1 devant le jury
A. Debussche Professeur à l’ENS Cachan, antenne de Bretagne PrésidentN. Fournier Professeur à l’Université de Paris Est ExaminateurM. Gradinaru Professeur à l’Université de Rennes 1 DirecteurS. Herrmann Professeur à l’Université de Bourgogne ExaminateurP. Imkeller Professeur à la Humboldt-Universität de Berlin RapporteurZ. Shi Professeur à l’Université de Paris VI Rapporteur
Revues avec comité de lecture
2012 Y. Offret "Invariant distributions and scaling limits for some diffusions in time-varying
random environments". Probability Theory and Related Field (PTRF) [23], 38 p.
2011 M. Gradinaru, Y. Offret "Existence and asymptotic behaviour of some time-
inhomogeneous diffusions". Annales de l’Institut Henri Poincaré (AIHP) [13], 26 p.
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Problématiques générales de la thèse
Pour une présentation plus détaillée des motivations et des résultats obtenus lors de mon doctorat, on pourrase référer à la première partie de mon manuscrit de thèse [22]. Celui-ci est par ailleurs agrémenté de nombreusesapplications et illustrations numériques des résultats démontrés ainsi que de quelques conjectures.
La ligne directrice qui sous-tend l’essentiel de mes travaux est la mise en évidence, ou l’infirmation le caséchéant, du principe heuristique général exposé ci-dessous. Soit Z et V un processus de diffusion et un milieuauto-similaires, en temps et en espace, tels que les égalités en loi et/ou déterministes suivantes soient satisfaites :
{Zλ t : t ≥ 0}= {λ hd Zt : t ≥ 0}, {V (λ t,x) : t ≥ 0}= {λ htV (t,x) : t ≥ 0}et {V (t,λx) : x ∈ E}= {λ hxV (t,x) : x ∈ E}. (1)
Considérons de manière informelle la diffusion Z plongée dans le potentiel V , dont la dynamique est donnée par
dXt = dZt −12
∇xV (t,Xt)dt. (2)
L’objectif principal de ma thèse a été de mettre en exergue un phénomène de transition de phase concernantle comportement en temps long de ces processus en fonction des différents paramètres d’invariance d’échelle. Lasituation critique est donné, heuristiquement, par l’équation
hd(hx −2)+ht +1 = 0, (3)
et les comportements asymptotiques attendus sont les suivants :
hd(hx −2)+ht +1 < 0 L’influence du milieu V est négligeable devant le terme de diffusion Z etla diffusion X se comporte comme ce dernier.
hd(hx −2)+ht +1 = 0 Les diffusions X et Z ont des comportements diffusifs similaires maisl’influence du milieu V apparaît.
hd(hx −2)+ht +1 > 0 Le comportement de la diffusion X est principalement gouverné par lemilieu V .
FIGURE 1 – Phénomène de transition de phase
Une des idées originales développée dans mon étude est de montrer que les dynamiques de ces diffusionssont profondément associées, via des transformations d’échelle en temps et en espace tirant pleinement partides nombreuses invariances du problème, à des dynamiques mieux comprises. Ces dernières peuvent être desdiffusions ergodiques, des systèmes dynamiques déterministes, des équations différentielles stochastiques detype pont où encore, en environnement aléatoire, des systèmes dynamiques aléatoires linéaires sur des espacesde mesure.
Mon travail de thèse s’articule plus précisément autour de deux grands axes : le cas des milieux déterministeset celui des environnements aléatoires. Ces deux sujets constituent la seconde et la troisième partie de ma thèseet font l’objet de deux articles [13, 23] acceptés pour publication dans des revues avec comité de lecture.
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Descriptif des publications
1. M. Gradinaru, Y. Offret "Existence and asymptotic behaviour of some time-inhomogeneous diffusions".Annales de l’Institut Henri Poincaré (AIHP) [13, 2011], 38 p.
Nous nous intéressons dans ce travail à la famille de diffusions satisfaisant les EDSs
dXt = dBt +ρ sgn(Xt)|Xt |α
tβdt, Xt0 = x0 ∈ R, t ≥ t0 > 0, (4)
avec B un mouvement brownien standard unidimensionnel et (ρ,α,β ) des paramètres réels quelconques. Cesprocessus peuvent être vus comme des mouvements browniens évoluant dans des potentiels V dépendant dutemps, éventuellement singuliers, donnés par
V (t,x) :=−2ρ
α +1|x|α+1
tβ, si α 6=−1 et V (t,x) :=−2ρ ln(x), si α =−1. (5)
Les conditions d’auto-similarité similaires à celles posées dans (1) s’écrivent donc dans ce cadre
{Bλ t : t ≥ 0} L= {λ 1/2Bt : t ≥ 0} et {V (λ t,λ ′x) : t ≥ 0, x ∈ R}= {λ−β λ ′α+1V (t,x) : t ≥ 0, x ∈ R}. (6)
De plus, l’analogue de la droite critique (3) est ici donnée par l’équation
2β = α +1. (7)
Ces diffusions généralisent en temps continu les marches aléatoires inhomogènes étudiées par M. Menshikovet S. Volkov dans [21] et dont une des principales motivations est le problème d’urne de B. Friedman décritdans [12] par D. A. Freedman. Lorsque ρ,β < 0, ce modèle est également relié, via un changement d’échelle entemps, à des EDSs de type recuit simulé semblables à celles considérées par J. A. D. Appleby et D. Mackey [1].
Nous décrivons précisément et de manière exhaustive les comportements asymptotiques de ces proces-sus en fonction des paramètres (ρ,α,β ). En particulier, nous déterminons les conditions d’existence, d’unicitéet d’explosion ainsi que les critères de récurrence, de transience, de convergence et les différentes limitesd’échelle et lois du type logarithme itéré. Nous mettons en lumière des phénomènes de transition de phasesimilaires à celui mis en évidence dans [21] et en accord avec celui présenté heuristiquement dans la figure 1. Deplus, nous obtenons des résultats de stabilité analogues à ceux de [1] concernant les EDSs de recuit simulé.
La discussion sur les différents comportements diffusifs qui sont dégagés dans notre étude porte essentiel-lement sur la position des paramètres (α,β ) vis-à-vis de la droite critique (7) ainsi que du caractère répulsif(ρ > 0) ou attractif (ρ < 0) de la dynamique. Il est intéressant de constater que cette frontière est parfois distinctede celle distinguant la récurrence ou non du processus, ce que ne laissait pas envisager les résultats de [21] où iln’est traité (partiellement) que de la récurrence ou de la transience dans le cas répulsif. En outre, la positionde α vis à vis de ±1 et le signe de la condition initiale x0 ont une influence importante concernant les résultatsd’existence, d’unicité et d’explosion.
La principale difficulté dans l’étude de ces diffusions est due à son inhomogénéité en temps. En effet, lesoutils standards associés aux diffusions homogènes unidimensionnelles comme la fonction d’échelle, fonctionharmonique du processus de Markov (explicite en les coefficients des EDSs), et ses multiples implications :le théorème ergodique, le théorème de Motoo, les critères d’existence, d’unicité et d’explosion des EDSssingulières de A. S. Cherny et H-J. Engelbert [9], notamment, ne sont plus valides. Bien que ces propriétéspeuvent parfois être obtenues par le biais des fonctions de Foster-Lyapunov, leur détermination est en pratiquetrès difficile.
L’idée pour contourner ces difficultés est de tirer pleinement partie de l’auto-similarité du mouvement brow-nien et du terme de dérive pour construire des transformations d’échelle naturellement associées à ce type dediffusions. Celles-ci permettent de se ramener à l’étude de dynamiques sous-jacentes mieux comprises, le plussouvent des diffusions homogènes et ergodiques, des systèmes dynamiques déterministes où encore des EDSsde type pont. Les méthodes employées utilisent fortement les techniques du calcul stochastique dont notam-ment la formule d’Ito, les techniques de martingale et de sur-martingale, la transformation de Girsanov et lesthéorèmes de comparaison trajectoriels.
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Illustrons les différents comportements diffusifs ainsi que la transformation d’échelle employée dans le cassingulier α =−1/2. Dans ce cadre, nous montrons qu’il existe une unique solution forte, unique trajectorielle-ment, et nous prouvons les convergences en loi suivantes pour ρ 6= 0 :
Xt√t
L−−−→t→+∞
γ := 1√2π
exp(
− x2
2
)
dx, si β > 1/4,
µ := 1cρ
exp(
− x2
2 +4ρ√
|x|)
dx, si β = 1/4,
π := 1cρ,β
exp(
4ρ√
|x|)
dx, si β < 1/4 et ρ < 0.
(8)
La transformation d’échelle considérée et la diffusion associée sont alors données par
Zt :=X(et)
et/2
dynamique associée−−−−−−−→ dZt = dBt +
(
ρ e−(β− 14 )t sgn(Zt)
1√
|Zt |− 1
2Zt
)
dt. (9)
Il est remarquable de constater que dans le cas critique β = 1/4 ce processus soit une diffusion homogènesatisfaisant
dZt = dBt +
(
ρ sgn(Zt)1
√
|Zt |− 1
2Zt
)
dt. (10)
Nous prouvons que Z est ergodique et de mesure de probabilité invariante et stationnaire µ définie dans (8).La situation où β > 1/4 est plus délicate. Nous démontrons dans ce cas que la partie dépendant du temps dansle terme de dérive de (9) est asymptotiquement négligeable et qu’elle se comporte en temps long comme ladiffusion d’Ornstein-Uhlenbeck ergodique sous-jacente satisfaisant
dUt = dBt −12
Ut dt. (11)
Nous mettons de plus en évidence dans ces travaux une seconde transformation d’échelle bien adaptée ànotre problématique. Celle-ci est définie pour α 6=−1 par
Zt :=X(ϕ(t))
ϕ ′(t), avec ϕ ′(t) := (ϕ(t))
2βα+1 . (12)
Nous montrons que cette transformation permet, en particulier, de découpler la singularité en espace et la dé-pendance en temps dans le terme de dérive de (4). Cela nous permet de traiter l’existence et l’unicité dans le cassingulier α < 0. Par ailleurs, dans le cas répulsif et lorsque 2β > α + 1 et α > 1, nous prouvons que la diffu-sion obtenue satisfait une EDS de type pont qui explose avant l’instant terminal avec une probabilité non nulle,mais non totale. Cette transformation est surtout bien adaptée dans le cas attractif pour 2β < α + 1 contraire-ment à la transformation d’échelle exponentielle (9). Ainsi quand α =−1/2, β < 1/4 et ρ < 0, nous démontronsque le processus obtenu se comporte comme la diffusion homogène et ergodique de distribution invariante etstationnaire π définie dans (8) et dont la dynamique est donnée par
dHt = dBt +ρ sgn(Zt)1
√
|Ht |dt. (13)
Cela constitue le cœur de l’heuristique des comportement diffusifs (8) qui ont été, dans une certaine mesure,généralisés en milieu aléatoire dans [23].
10
2. Y. Offret "Invariant distributions and scaling limits for some diffusions in time-varying random environments".Probability Theory and Related Field (PTRF) [23, 2012], 38 p.
Une des constatations essentielles mise en évidence dans mon précédent article [13] est que le comporte-ment en temps long des diffusions (4) ne dépend majoritairement que des paramètres d’invariance d’échelledu potentiel et du terme de diffusion. Il est donc naturel de chercher à remplacer le terme de dérive en espacede ces EDSs par un bruit blanc indexé par la droite réelle et de tenter d’obtenir des résultats analogues au casα =−1/2. En effet, le mouvement brownien est auto-similaire d’exposant 1/2 et par conséquent le bruit blancest, informellement, auto-similaire d’indice −1/2. L’objet de cet article est donc d’étudier la famille de diffusionsinhomogènes en environnement aléatoire satisfaisant, informellement,
dXt = dBt −12
θ ′(x)
tβdt, Xt0 = x0 ∈ R, t ≥ t0 > 0, (14)
avec B et {θ(±x) : x ≥ 0} des mouvements browniens standards unidimensionnels indépendants et β ∈ R.Notons que ce modèle est une extension de celui étudié par Th. Brox dans [6] et qui correspond au cas où
β = 0 et généralise en temps continu les marches aléatoires en milieux aléatoires amplement étudiées. Lesdiffusions en environnement aléatoires et leurs analogues en temps discret ont été intensivement étudiés depuisles années 70. Ces processus permettent par exemple de modéliser le mouvement de particules dans des milieuxtrès irréguliers. Dans le cas discret, des modèles dont l’environnement dépend du temps ont été étudiés sous denombreuses conditions. Le cas des diffusions a quant à lui très peu été étudié.
Ce modèle est également une généralisation en milieu aléatoire de la famille de diffusions (4) dans le sens oùles potentiels respectifs satisfont des conditions d’invariance d’échelle analogues pour α =−1/2 :
{
θ(λx)
tβ: x ∈ R
}
L=
{
λ 1/2 θ(x)
tβ: x ∈ R
}
. (15)
Th. Brox définit et construit l’unique solution faible à partir de la construction de K. Ito et H. P. McKeandes diffusions homogènes unidimensionnelles basée sur l’existence de la fonction d’échelle. Cela n’est pluspossible dans ce cadre. Cependant, le générateur infinitésimal, conditionnellement à θ , est défini et donné par
Lθ =12
eθ(x)
tβ∂
∂x
(
e− θ(x)
tβ∂
∂x
)
+∂
∂ t. (16)
Nous définissons une solution faible de (14) comme une solution du problème de martingale associé à Lθ et àson domaine naturel. Cette définition est bien consistante, elle coïncide à la fois avec la construction de K. Ito etH. P. McKean dans le cas homogène et avec les définitions classiques lorsque l’environnement est régulier.
Nous prouvons dans un premier temps des résultats d’existence, d’unicité et de non-explosion pour les EDSssingulières (14) et ce pour une large classe de milieux θ qui ne sont pas forcément des réalisations d’un environ-nement brownien. Nous montrons également que l’on peut représenter les solutions comme des transformationsC1 de solutions de véritables EDSs. Ceci étend dans un cadre tout particulier une partie des résultats de [11, 26]pour des EDSs singulières unidimensionnelles et homogènes en temps.
Ensuite nous obtenons, lorsque β ≥ 1/4, les limites d’échelle de ces processus sous les lois trempées (à en-vironnement gelé) et recuites (à environnement moyenné). Dans le cas critique β = 1/4, les convergences sontobtenues en variation totale (pondéré) et, sous les lois trempées, les vitesses de convergence sont polynomiales.Un phénomène de transition de phase similaire à celui présenté dans (8) est mis en évidence. L’unique différenceavec le cas déterministe est que l’on n’obtient pas une loi limite gaussienne quand β = 1/4 mais un flot station-naire de distributions aléatoires, déduit de l’étude d’un système dynamique aléatoire linéaire sous-jacent,vers lequel la normalisation de la diffusion converge. De plus, des estimations sur les queues de ces mesuresaléatoires et leur espérance sont obtenues.
11
Comme dans le cas déterministe, la transformation d’échelle (9) fournit une nouvelle fois des dynamiques in-téressantes à étudier. La diffusion associée évolue ici dans une perturbation aléatoire Vθ du potentiel d’Ornstein-Uhlenbeck et est donnée par la dynamique
Zt :=X(et)
et/2
dynamique associée−−−−−−−→ dZt = dBt −
12
∂xVθ (t,Zt)dt, (17)
avec
Vθ (t,x) :=x2
2+ e−(β− 1
4 )t Ttθ(x) et Ttθ(x) :=θ(et/2x)
et/4. (18)
Cependant, tout ne se passe pas aussi bien que dans le cas déterministe. Notamment dans le cas critiqueβ = 1/4 qui est d’un intérêt tout particulier. La diffusion obtenue n’est plus homogène mais elle est, d’une certainemanière, homogène en loi et le semi-groupe inhomogène associé jouit d’une structure toute particulière.
En effet, par invariance d’échelle du milieu brownien, les applications {Tt : t ∈ R} forment un systèmedynamique sur l’espace de Wiener dont nous montrons l’ergodicité. De plus, la propriété de Markov impliquela relation de cocycle sur le semi-groupe inhomogène {Pt(θ) : t ≥ 0} associée dans le cas critique :
Pt+s(θ) = Pt(θ)Ps(Ttθ). (19)
Celui-ci est donc munit d’une structure de système dynamique aléatoire linéaire sur l’espace des mesuressignées. L’objet analogue aux distributions invariantes et stationnaires des processus de Markov homogènesassocié à une telle dynamique est un flot stationnaire de mesures de probabilités aléatoires {µTt θ : t ≥ 0}satisfaisant
µθ Pt(θ) = µTt θ . (20)
Ce type de système, présenté de manière générale dans [2], est notamment bien compris dans le cadre desmatrices stochastiques et des noyaux de Markov sur un espace compact. Des théorèmes de Perron-Frobeniusaléatoires ont par exemple été obtenus dans [3, 16]. La principale difficulté ici est que le semi-groupe agit sur unespace de dimension infinie et que les noyaux de Markov associés sont définis sur un espace non-compact.
Une manière générale d’obtenir l’existence et l’unicité d’un flot de mesures de probabilités aléatoires in-variant et stationnaire pour le système dynamique aléatoire étudié est d’utiliser un théorème de point fixe. Cen’est pas le point de vue adopté car la détermination du bon espace et de la bonne métrique n’est pas évidente.
Indépendamment de la méthode employée, il est nécessaire de "récupérer" de la compacité pour le semi-groupe et les outils probabilistes naturellement liés aux diffusions pour cela sont les fonctions de Foster-Lyapunov.La difficulté ici repose dans leurs constructions car le domaine du générateur infinitésimal est aléatoire et l’en-vironnement brownien n’est pas différentiable.
La clé pour construire des fonctions de Foster-Lyapunov indépendantes du milieu est d’approcher unifor-mément celui-ci par des fonctions régulières en utilisant très fortement sa régularité höldérienne. Ensuite, desméthodes de couplage introduites par R. Douc, E. Moulines et J. S. Rosenthal dans [10] permettent de mon-trer la convergence exponentielle du système dynamique aléatoire et d’obtenir un théorème de type Perron-Frobenius.
Dans le cas où β > 1/4, les outils utilisés sont similaires à ceux employés précédemment dans [13] et uncomportement diffusif analogue à celui de (8) est obtenu.
Malheureusement, le cas β < 1/4 n’est pas décrit dans ce travail car les techniques adoptées ne s’adaptentplus dans ce cadre. Celui-ci fait actuellement l’objet d’un travail en commun avec R. Diel de l’Université de NiceSophia Antipolis au laboratoire J. A. Dieudonné.
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Stages et Rapports de Recherche
2008 Stage de Recherche de Master 2 à l’IRMAR, sous la direction de M. Gradinaru.Grande déviations, perturbations aléatoires de systèmes dynamiques et phénomènes dePeano.
Séminaire de Master 2 à l’IRMAR, sous la direction de B. Bekka. Algèbres de rota-tions irrationnelles .
2006 Stage de Recherche de Master 1 à l’IRISA, sous la direction de B. Sericola. Filesd’attente fluides en environnement markovien, processus de naissance et de mort.
Travail d’Étude et de Recherche de Master 1 à l’IRMAR sous la direction deF. Mehats. Espaces vectoriels et réflexivité.
2005 Projet informatique de Magistère 1 à l’IRMAR, sous la direction de J-C. Darchen.Le problème de Cayley.
Travail d’Étude et de Recherche de Licence 3 à l’IRMAR, sous la direction deB. Le Stum. Groupes classiques.
Exposés
Conférences nationales
2010 Journées MAS et Journée en l’honneur de Jacques Neveu, Bordeaux.
Journées de Probabilités, Dijon.
Colloque Jeunes Probabilistes et Statisticiens, Mont Dore.
Séminaires et groupes de travail
2012 Séminaire de Probabilités, Dijon.
Groupe de travail, Neuchâtel.
Séminaire de Probabilités, Nice.
2011 Séminaire de Probabilités, Rennes.
2010 Séminaire de Probabilités, Brest.
2009 Séminaire de Probabilités, Rennes.
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Conférences (sans communication)
2011 Journées Louis Antoine, Rennes.
Journées de Probabilités, Nancy.
IMPACT-Workshop in honour of Professor Peter Imkeller’s 60th birthday, Berlin.
2010 Journées Louis Antoine, Rennes.
2009 Journées de Probabilités, Poitiers.
2008 GdR CHANT, ENS Cachan antenne de Bretagne.
Activités d’Enseignements
2008-2012 Moniteur (2008-2011) puis ATER (2011-2012) à l’Université de Rennes 1 dansl’UFR de Mathématiques. Tutrice : Hélène Guérin. Enseignements dispensés :
⊲ M1 de Mathématiques :
- TP de Modélisations et Probabilités en Scilab (2008-2012, 12h).Responsables : M. Gradianru (2008-2010) et J-C. Breton (2010-2012).
⊲ M1 de Biologie :
- CM, TD et TP de Simulations et Probabilités en Matlab (2011-2012, 34h).Responsable : Yoann Offret.
⊲ L3 Magistère de Mathématiques :
- TD d’Intégration et Séries de Fourier (2009-2011, 24h).
Responsable : D. Petritis.
⊲ L3 de Mathématiques :
- TD d’Intégration et Probabilités (2010-2012, 24h).
Responsables : D. Petritis (2010-2011) et N. Demni (2011-2012).
⊲ L2 de Mathématiques :
- TD de Probabilités de Base (2008-2010, 24h).Responsable : Y. Coudène.- TD de Fonctions de Plusieurs Variables (2008-2010, 24h).Responsable : B. Wiest.- TP de Modélisation et Équations Différentielles en Matlab (2011-2012, 12h).Responsable : N. Raymond.
2011-2012 Khôlleur aux lycées Chateaubriand et Saint-Vincent de Rennes en MP*-MPSI-ECE.
2008-2009 Participation à la Fête de la Science, Rennes.
2007-2008 Khôlleur au lycée Chateaubriand de Rennes en ECS-BCPST.
2005-2006 Tutorat à l’Université de Rennes 1 (24h).
14
Projet de Recherche
Dans la continuité de mes travaux de doctorat [22] ayant fait l’objet de deux publications [13, 23], je proposedans un premier temps d’approfondir et d’étendre les résultats obtenus en ce qui concerne le comportement entemps long de certaines diffusions inhomogènes en temps, en environnements aléatoires et déterministes, etsous des conditions d’invariance d’échelle du milieu et du terme de diffusion.
Par exemple, il pourrait être intéressant de voir si les outils développés dans la situation déterministe [13]permettent d’adapter les résultats obtenus à des termes de dérive et de diffusion proches de ceux déjà considérés.
Un autre axe de recherche s’inscrivant naturellement dans la suite de mes travaux de thèse serait de considérerune diffusion similaire à celle étudiée dans [13] mais dirigée par un processus de Lévy symétrique stable oùencore par un mouvement brownien fractionnaire. Je souhaiterais en particulier démontrer des phénomènesde transitions de phases en adéquation avec ceux déjà obtenus. Le cas d’un Lévy fait actuellement l’objet d’untravail en commun avec M. Gradinaru de l’IRMAR et I. Pavlyukevich de l’Institut für Stochastik de Iéna.
En outre, ces problématiques pour des processus plus généraux, par exemple des diffusions renforcées, deséquations différentielles stochastiques avec délai où encore des processus de Markov hybrides, pourraientégalement s’avérer être riches d’intérêts.
Par ailleurs, une situation est laissée ouverte pour la diffusion en environnement aléatoire étudiée dans [23].Celle-ci fait l’objet de conjectures présentées dans mon manuscrit de thèse et un travail commun sur ce sujet avecR. Diel du Laboratoire J.A. Dieudonné à Nice est en cours.
Toujours dans le but de mettre en lumière le phénomène de transition de phase dégagé dans mes travaux,il serait intéressant de chercher à étendre les résultats de [23] à des milieux aléatoires auto-similaires plus gé-néraux. Dans cette optique, j’ai commencé à étudier le cas où l’environnement est un mouvement brownienfractionnaire.
Mes travaux m’ont amené à étudier dans [23] des équations différentielles stochastiques dont le terme dedérive est singulier et à considérer les problèmes d’existence, d’unicité et d’explosion associés. Donner dans uncadre plus général ce type de condition, notamment en ce qui concerne la non-explosion, me semble être un sujetde recherche motivant. L’idée serait de donner ces critères en fonction du potentiel quand celui-ci est bien défini,à la manière des diffusions homogènes unidimensionnelles.
De plus, ma thèse est agrémentée de nombreuses illustrations numériques, notamment en milieu aléatoire.J’aimerais étudier de manière générale la convergence de schémas numériques pour ce type de processus pourlesquels on a besoin, dans un premier temps, d’approcher l’environnement avant de discrétiser l’équation.
Enfin, je propose de m’intéresser sous certaines conditions d’invariance d’échelle, à certaines fonctionnellesoscillantes du mouvement brownien unidimensionnel et au comportement asymptotique des processus deMarkov bidimensionnels associés. En particulier, je pense à étudier la récurrence où la transience, les limitesd’échelles et leurs nombre de tours autour de l’origine. Cette thématique constitue en partie mon travail dePost-Doctorat et s’effectue en collaboration avec M. Benaïm et B. De Loynes de l’Institut de Mathématiques deNeuchâtel.
Dans la suite, présentons plus en détails ces divers projets d’études et évoquons les difficultés afférentes auxnombreuses problématiques qu’ils soulèvent. Le cas échéant, donnons aussi quelques idées sur la façon d’aborderces différentes questions.
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Diffusions inhomogènes et invariance d’échelle
Dans la poursuite de mes travaux que je propose de compléter et de généraliser, je distingue deux thématiquesparticulières : les milieux déterministes et les environnements aléatoires.
Milieux déterministes
Dans [13] il est traité de la diffusion unidimensionnelle dirigée par un mouvement brownien (MB) standard B,solution de l’équation différentielle stochastique (EDS)
dXt = dBt +ρ sgn(Xt)|Xt |α
tβdt. (21)
Des phénomènes de transition de phase concernant le comportement asymptotique de cette diffusion sontmis en évidence en fonction des paramètres (ρ,α,β ) et ceux-ci dépendent essentiellement de la position desparamètres vis à vis de la droite critique 2β = α +1.
Signalons que les différentes vitesses de convergence ne sont pas données et qu’il serait intéressant de lesobtenir. On pourrait de plus considérer des modèles similaires en plus grande dimension. Présentons ensuitequelques pistes de recherche plus consistantes issues de ce modèle.
Bruits multiplicatifs et perturbations du terme de dérive
Je pense qu’il serait intéressant d’étendre les résultats obtenus à des termes de diffusion et de dérive similaires.Une première idée pourrait être de remplacer dans (21) le bruit additif dBt par le bruit multiplicatif σ(t,Xt)dBt
avec σ borné et uniformément elliptique.On pourrait également considérer un terme de dérive d vérifiant
d(t,x) ∼t,|x|→∞
g(t) f (x),
avec g une fonction monotone tendant vers 0 ou ±∞ et f satisfaisant
f (x) ∼x→∞
ρ+|x|α+ , f (x) ∼x→−∞
ρ−|x|α− et f (x) ∼x→0±
ρ0± |x|α0 .
Les outils développés dans [13] ne permettent pas de répondre directement à ces questions car les différentesconditions d’auto-similarité, cruciales dans notre approche, ne sont plus valides dans ce cadre. Cependant, celles-ci sont en un certain sens préservées asymptotiquement et on s’attend à obtenir des résultats analogues.
Termes de diffusions auto-similaires
J’aimerais aussi généraliser le terme de diffusion B dans (21) tout en gardant des propriétés d’invarianced’échelle. Par exemple, je souhaiterais le remplacer par un processus de Lévy 1/h-stable symétrique où encorepar un mouvement brownien fractionnaire (MBF) d’indice Hurst h.
Aux vues des résultats obtenus dans [13] pour un mouvement brownien, les considérations naturelles sont dedéterminer si les droites β = h(α − 1) + 1 jouent un rôle critique dans le comportement en temps long desdiffusions correspondantes et de chercher à obtenir les limites d’échelle associées.
Une première difficulté dans le cadre des EDSs dirigées par des MBFs serait de montrer l’existence etl’unicité d’une telle solution, surtout dans le cas où le terme de dérive est singulier en espace. Par ailleurs, lessolutions n’étant plus markoviennes, la majeure partie des méthodes employées précédemment doit être revue.
Dans le cas des processus de Lévy on garde le caractère markovien mais on perd la continuité trajectorielledes solutions. On peut noter que lorsque β < 0 l’équation (21) est équivalente, via un changement d’échelle entemps, à une équation de recuit simulé proche de celle étudiée dans [24]. Ceci fait actuellement l’objet d’untravail en commun avec M. Gradinaru de l’IRMAR et I. Pavlyukevich de l’Institut für Stochastik de Iéna.
28
Processus plus généraux
Un autre axe de recherche consisterait à étudier le cas des diffusions renforcées satisfaisant la dynamique
dXt = dBt −12
(
∫ t
0∂xV (t,Xt −Xs)ds
)
dt, (22)
avec B un MB et V un potentiel satisfaisant certaines conditions d’auto-similarité. Les diffusions renforcéesdont le milieux dépend du temps ont très peu été étudiées. On peut cependant citer les travaux [5, 17] qui corres-pondent, en un certain sens, à des potentiels de la forme
V (t,x) := F(x)/t.
Considérer un potentiel analogue à celui de (21) pourrait, je pense, faire l’objet d’un sujet de recherche perti-nent et donner lieu à des développements très intéressant.
Pour rester dans la thématique des processus à mémoire, il serait aussi possible d’étudier le cas des EDSs avecdélais en gardant les mêmes types de propriétés sur le milieu.
Par ailleurs, on pourrait considérer un jeu de paramètre {(ρt ,αt ,βt) : t ≥ 0} dans (21) dont la dynamique estrégie par un processus de Markov à temps continu, sur un espace d’état dénombrable, indépendant du bruit.L’idée serait de déterminer à la manière de [4] les conditions d’ergodicité sur le processus de Markov sous-jacentpour lesquelles il existe des limites d’échelle pour la diffusion hybride et d’obtenir des informations sur les loislimites (les queues de ces mesures par exemple). Ce travail prendrait appuis sur les différents diagrammes detransition de phase donnés dans [13].
Environnements aléatoires
Il est question dans [23] de la diffusion unidimensionnelle en milieu aléatoire brownien θ , dirigée par unMB B indépendant de θ , solution de
dXt = dBt −12
θ ′(Xt)
tβdt. (23)
Le point critique mis en évidence est donné par β = 1/4. Il est à noter que la récurrence ou non du processusn’est pas traitée dans ce papier, tout comme l’obtention de lois du type logarithme itéré, contrairement à [13].Exposons quelques thèmes de recherche dans la continuité de ce travail.
Cas sous-critique de la diffusion de Brox inhomogène
Il manque dans [23] l’étude du cas β < 1/4. En effet, aucunes des deux transformations d’échelle utiliséesdans [13] n’est vraiment adaptées dans cette situation car celles-ci ne permettent plus de se ramener à l’étuded’une dynamique ergodique.
Cependant, nous formulons les deux conjectures suivantes. La diffusion admet un comportement sous-diffusif de l’ordre de t2β (log(t))2 quand 0 < β < 1/4 et elle converge presque sûrement vers une variablene dépendant que de l’environnement lorsque β < 0.
Les preuves de ces conjectures font actuellement l’objet d’un travail en collaboration avec R. Diel du Labora-toire J.A. Dieudonné à Nice. Les méthodes utilisées sont proches de celles employées par Th. Brox dans [6] et destechniques de recuit simulé.
Environnements auto-similaires
Il existe de nombreuses généralisations de la diffusion de Brox [6] à des milieux aléatoires auto-similairesplus généraux. À ce titre on pourra consulter [8, 27]. Je souhaiterais m’intéresser à des extensions analogues pourla diffusion de Brox inhomogène (23). L’idée serait de remplacer le milieu brownien θ par un processus de Lévy1/h-stable où encore un MBF d’indice de Hurst h et de déterminer les différentes limites d’échelle en fonction dela position des paramètres vis-à-vis de la droite critique β = h/2.
29
Le cas des MBFs semble être une conséquence des techniques utilisées dans [23]. En effet, celles-ci utilisentfortement la régularité hölderienne et le caractère gaussien de l’environnement brownien, propriétés conser-vées pour ces processus. Ceci fait l’objet d’une note en préparation. En ce qui concerne les milieux auto-similairesquelconques, en particulier les processus de Lévy stables qui ne sont même pas continus, il est nécessaire de mo-difier en profondeur les démonstrations dans [23].
EDSs singulières
Ces différentes problématiques en dimension supérieure mériteraient aussi d’être étudiées. L’environnementserait alors un champs aléatoire. Cela généraliserait le cas homogène étudié dans [19] et nécessiterait d’utiliserdes formes de Dirichlet dépendant du temps.
Les solutions de (23) sont des processus de Dirichlet. Ce type d’équation a été étudié dans le cas homogènedans [11, 26] indépendemment de la structure d’espace de probabilités sur l’environnement. Les résultats dans lecas inhomogène, bien que nombreux, ne sont pas toujours d’une application aisée. On pourra consulter [25,29] parexemple. J’aimerais donner des critères d’existence, d’unicité et de non-explosion, pour des EDSs inhomogènessingulières dirigées par un MB en fonction des propriétés du milieu.
De plus, je souhaiterais étudier les convergences des approximations numériques des EDSs en milieu aléa-toire et quantifier l’influence mutuelle du pas en espace, choisi pour approcher l’environnement, et celui en temps,pour approcher la solution de l’EDS.
Fonctionnelles oscillantes du mouvement brownien
Un sujet d’étude actuel porte sur l’étude du comportement en temps long de la diffusion bidimensionnelle{(
−12
∫ t
0V ′(Bs)ds,Bt
)
: t ≥ 0
}
, (24)
Le processus B étant un MB standard unidimensionnel et V une fonction localement de carré intégrable. Cesdiffusions sont en lien avec certaines marches aléatoires considérées dans [7, 14, 18] ou dans [15, 20].
Le premier objectif est de déterminer les conditions sur V assurant la Lebesgue-irréductibilité ainsi que larécurrence ou non de ces processus de Markov. Ensuite, l’idée est d’étudier plus précisément le comportementen temps long de cette diffusion pour les potentiels déterministes définis pour α >−3/2 par
V (x) :=− 2α +1
|x|α+1, si α 6=−1 et V (x) :=−2ln(x), si α =−1, (25)
et pour le potentiel aléatoire donné par un mouvement brownien unidimensionnel indexé par la droite réelle (ouplus généralement un processus auto-similaire).
On peut montrer dans le cadre déterministe précédent que ce processus est Lebesgue-irréductible et qu’ilest transient si et seulement si α > −1. Notons que la diffusion tourne autour de l’origine dans le sens inversetrigonométrique. Remarquons également que la partie fonctionnelle additive (d’énergie nulle) est une valeurprincipale du mouvement brownien et qu’elle est en relation avec certains processus de Lévy stables symé-triques via la théorie des temps locaux.
De plus, en utilisant des transformations d’échelles similaires à celles employées dans [13, 23], on obtientdes diffusions ergodique permettant d’obtenir des limites d’échelle pour ces processus.
Concernant l’argument de cette diffusions plane, la conjecture est qu’il se comporte dans le cas transient enlog(t) comme le brownien bidimensionnel, selon le résultat démontré par F. Spitzer dans [28]. Le cas récurrentest beaucoup plus problématique car on passe beaucoup de temps au voisinage de l’origine. Par ailleurs, on obtientdes estimations sur le temps d’occupation de l’argument dans des domaines variant avec le temps du type
Φt := {φ ∈ R/2πZ : |φ | ≤ c/t1+α
2 }. (26)
Il est aussi intéressant de constater que certaines quantités peuvent être explicitées pour certains paramètres αet notamment pour α = 0. On retrouve dans ce cas des liens avec la loi de l’arc-sinus.
Ce travail est en collaboration avec M. Benaïm et B. De Loynes de l’Institut de Mathématique de Neuchâtel.
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Références
[1] Appleby, J.A.D., Mackey, D. : Polynomial asymptotic stability of damped stochastic differential equations.In : Proceedings of the 7th Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations, Proc. Colloq.Qual. Theory Differ. Equ., vol. 7, pp. No. 2, 33 pp. (electronic). Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ., Szeged(2004). URL http://doras.dcu.ie/17/ 9
[2] Arnold, L. : Random dynamical systems. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin(1998) 12
[3] Arnold, L., Gundlach, V.M., Demetrius, L. : Evolutionary formalism for products of positive random ma-trices. Ann. Appl. Probab. 4(3), 859–901 (1994). URL http://projecteuclid.org/euclid.aoap/
1177004975 12
[4] Bardet, J.B., Guérin, H., Malrieu, F. : Long time behavior of diffusions with Markov switching. ALEA Lat.Am. J. Probab. Math. Stat. 7, 151–170 (2010). URL http://alea.math.cnrs.fr/english/index_v7.
htm 29
[5] Benaïm, M., Ledoux, M., Raimond, O. : Self-interacting diffusions. Probab. Theory Related Fields 122(1),1–41 (2002). DOI 10.1007/s004400100161. URL http://link.springer.com/article/10.1007/
s004400100161 29
[6] Brox, T. : A one-dimensional diffusion process in a Wiener medium. Ann. Probab. 14(4), 1206–1218 (1986).URL http://projecteuclid.org/euclid.aop/1176992363 11, 29
[7] Campanino, M., Petritis, D. : Random walks on randomly oriented lattices. Markov Process. Related Fields9(3), 391–412 (2003). URL http://fr.arxiv.org/abs/math.PR/0111305 30
[8] Carmona, P. : The mean velocity of a Brownian motion in a random Lévy potential. Ann. Probab. 25(4),1774–1788 (1997). DOI 10.1214/aop/1023481110. URL http://projecteuclid.org/euclid.aop/
1023481110 29
[9] Cherny, A.S., Engelbert, H.J. : Singular stochastic differential equations, Lecture Notes in Mathematics, vol.1858. Springer-Verlag, Berlin (2005). URL http://www.springerlink.com/content/wn4l1vteq64k/
9
[10] Douc, R., Moulines, E., Rosenthal, J.S. : Quantitative bounds on convergence of time-inhomogeneous Mar-kov chains. Ann. Appl. Probab. 14(4), 1643–1665 (2004). DOI 10.1214/105051604000000620. URLhttp://projecteuclid.org/euclid.aoap/1099674073 12
[11] Flandoli, F., Russo, F., Wolf, J. : Some SDEs with distributional drift. I. General calculus. Osaka J. Math.40(2), 493–542 (2003). URL http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1153493096 11, 30
[12] Freedman, D.A. : Bernard Friedman’s urn. Ann. Math. Statist 36, 956–970 (1965). URL http://
projecteuclid.org/euclid.aoms/1177700068 9
[13] Gradinaru, M., Offret, Y. : Existence and asymptotic behaviour of some time-inhomogeneous diffusions.Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 49(1), 182–207 (2013). DOI 10.1214/11-AIHP469. URL http:
//projecteuclid.org/euclid.aihp/1359470131 7, 8, 9, 11, 12, 27, 28, 29, 30
[14] Guillotin-Plantard, N., Le Ny, A. : A functional limit theorem for a 2D-random walk with dependentmarginals. Electron. Commun. Probab. 13, 337–351 (2008). DOI 10.1214/ECP.v13-1386. URL http:
//dx.doi.org/10.1214/ECP.v13-1386 30
[15] Isozaki, Y., Kotani, S. : Asymptotic estimates for the first hitting time of fluctuating additive functionals ofBrownian motion. In : Séminaire de Probabilités, XXXIV, Lecture Notes in Math., vol. 1729, pp. 374–387.Springer, Berlin (2000). DOI 10.1007/BFb0103814. URL http://dx.doi.org/10.1007/BFb0103814
30
[16] Kifer, Y. : Perron-Frobenius theorem, large deviations, and random perturbations in random environments.Math. Z. 222(4), 677–698 (1996). DOI 10.1007/PL00004551. URL http://dx.doi.org/10.1007/
PL00004551 12
[17] Kurtzmann, A. : The ODE method for some self-interacting diffusions on Rd . Ann. Inst. Henri Poincaré
Probab. Stat. 46(3), 618–643 (2010). DOI 10.1214/09-AIHP206. URL http://dx.doi.org/10.1214/
09-AIHP206 29
31
[18] de Loynes, B. : Marche aléatoire sur un di-graphe et frontière de Martin. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 350(1-2), 87–90 (2012). DOI 10.1016/j.crma.2011.12.005. URL http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2011.
12.005 30
[19] Mathieu, P. : Zero white noise limit through Dirichlet forms, with application to diffusions in a randommedium. Probab. Theory Related Fields 99(4), 549–580 (1994). DOI 10.1007/BF01206232. URL http:
//dx.doi.org/10.1007/BF01206232 30
[20] McGill, P. : Hitting law asymptotics for a fluctuating Brownian functional. Osaka J. Math. 45(2), 423–444(2008). URL http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1216151107 30
[21] Menshikov, M., Volkov, S. : Urn-related random walk with drift ρxα/tβ . Electron. J. Probab. 13, no. 31,944–960 (2008). URL http://ejp.ejpecp.org/article/view/508 9
[22] Offret, Y. : Dynamique de diffusions inhomogènes sous des conditions d’invariance d’échelle (2012). URLhttp://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00730606. Thesis (Ph.D.)–University of Rennes 1 7, 8, 27
[23] Offret, Y. : Invariant distributions and scaling limits for some diffusions in time-varying random en-vironments. Probab. Theory Related Fields (2013). DOI 10.1007/s00440-012-0475-7. URL http:
//link.springer.com/article/10.1007/s00440-012-0475-7 7, 8, 10, 11, 27, 29, 30
[24] Pavlyukevich, I. : Simulated annealing for Lévy-driven jump-diffusions. Stochastic Process. Appl. 118(6),1071–1105 (2008). DOI 10.1016/j.spa.2007.07.012. URL http://dx.doi.org/10.1016/j.spa.2007.
07.012 28
[25] Russo, F., Trutnau, G. : About a construction and some analysis of time inhomogeneous diffusions on mo-notonely moving domains. J. Funct. Anal. 221(1), 37–82 (2005). DOI 10.1016/j.jfa.2004.08.007. URLhttp://dx.doi.org/10.1016/j.jfa.2004.08.007 30
[26] Russo, F., Trutnau, G. : Some parabolic PDEs whose drift is an irregular random noise in space. Ann.Probab. 35(6), 2213–2262 (2007). DOI 10.1214/009117906000001178. URL http://dx.doi.org/10.
1214/009117906000001178 11, 30
[27] Singh, A. : Rates of convergence of a transient diffusion in a spectrally negative Lévy potential. Ann.Probab. 36(1), 279–318 (2008). DOI 10.1214/009117907000000123. URL http://dx.doi.org/10.
1214/009117907000000123 29
[28] Spitzer, F. : Some theorems concerning 2-dimensional Brownian motion. Trans. Amer. Math. Soc. 87, 187–197 (1958). URL http://www.jstor.org/stable/1993096 30
[29] Stannat, W. : The theory of generalized Dirichlet forms and its applications in analysis and stochastics.Mem. Amer. Math. Soc. 142(678), viii+101 (1999). URL http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/
summary?doi=10.1.1.29.7205 30
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