Dynamique des structures cohrentes en turbulence magntohydrodynamique
Groupe de physique non-linaireLaboratoire de Physique Statistique, UMR 8550, ENS-PARIS
Johann Herault
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I. 2d turbulenceLes coulements turbulents
Structure spatiale complexe : continuum d'chelles spatialesDynamique impredictible : sensibilit aux conditions initiales
Turbulence hydrodynamique Turbulence magntohydrodynamique
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I. 2d turbulenceLes structures cohrentes dans les coulements turbulentsStructure spatiale : tourbillons, concentration de vorticit =u
Dynamique cohrente Temps de cohrence ( >300 ans) > Temps de retournement (6 jours)
Grande tche rouge de Jupiter
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I. 2d turbulenceLes structures cohrentes et les symtriesInstabilit Dynamo : Exprience von Karman Sodium
D D
Mode dipolaire grande chelle engendr par un coulement turbulentMode symtrique :Etude de la relaxation des modes magntiquesEffet des turbines ferromagntiques
Rsultats
Circulation grande chelle en turbulence bidimensionelle
U L U L
Ecoulement grande chelle Symtrie du forage : U L
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I. 2d turbulenceLes structures cohrentes en turbulence bidimensionnelleDfinition: coulement plan ne dpendant que de deux composantes u x , y , t
Comment dterminer et quantifier l'mergence des structures aux grandes chelles ?Quelles sont la dynamique temporelle et la signature frquentielle de ces structures ?
Structurescohrentes
Turbulence aux petites chelles
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I. 2d turbulenceEcoulement bidimensionel forc priodiquementCellule remplie de Galinstan (mtal liquide) L=12cm
HauteurLargeur Champ magntiqueCourant continu
h=2cm
B0=103G
I=102 A
Le forage lectromagntique
f L= jB0= j B0e
j= jr er B0=B0 ezLa force de Laplace
Le montage
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I. 2d turbulenceTechniques de mesureSondes Vives
E=uB0Force lectromotrice V=B0uezd l
U L=2LVB0
Velocimtrie par suivi de particules
V
U L
Reconstruction trajectoiresChamp de vitesse convolu par un filtre gaussien
Tension aux bornes des sondes Vives Vitesse moyenne
Surface ensemence par plus de 1 000 particulesPositions des particules chantillones 60Hz
Velocimtrie par mesures Doppler ultrason
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I. 2d turbulenceEcoulement quasi-bidimensionelAmortissement magntique des perturbations dpendantes de Couche limite de Hartmann et H= B02 Ha= hH=102
H
Processus de bidimensionalisation B0
L'quation de Navier-Stokes 2D
z
u=0
Temps d'amortissement par friction due la couche de Hartmann
Re=[u u][ u]
=U L 10
4 Rh=[uu ][H
1u ]=
U HL10
Paramtres sans dimension vitesse, longueur: U , LLe nombre de Reynolds:
tu+u u=+u1H u+ f
H=hH
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I. 2d turbulenceTurbulence bidimensionelleTransfert d'nergie prfrentiellement vers les grandes chelles
Conservation de l'nergie et enstrophieu2 2
Cascade inverse d'nergie Cascades : la thorie KBL
La condensation
k f
E(k)
k
injection dissipation
k d
Echelle de dissipation chelle de la cellule l d~L
Transfert d'enstrophie prfrentiellement vers les petites chelles
Accumulation/condensation de l'nergie dans le mode l'chelle de la cellule
Re1,Rh1
Circulation l'chelle de la cellule
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I. 2d turbulenceLes rgimes d'coulement
1.5 Rh3 12 30
Laminaire Chaos turbulence turbulence avec structures grandes chelles Rgime condens4 Bifurcations
Brisure de symtrie
U L
P (U L)
0Symtrie au sens
statistiqueAmplitude
prfrentielleBrisure de symtrie
Forage symtrique
Paramtres de contrle Rh (Re /Rh103)
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I. 2d turbulenceLes rgimes d'coulement
1.5 Rh3 12 30
Laminaire Chaos turbulence turbulence avec structures grandes chelles Rgime condens4 Bifurcations
Paramtres de contrle Rh (Re /Rh103)
Comment dterminer et quantifier l'mergence des structures aux grandes chelles ?Quelles sont la dynamique temporelle et la signature frquentielle de ces structures ?
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I. 2d turbulence
Rh12 30
turbulence turbulence avecstructures grandes chelles Rgime condens
Proprits statistiques du rgime turbulent
Etude de l'amplitude de la circulation grande chelle U L
Emergence d'une amplitude prfrentielle de la circulationSpectres frquentiels aux basses frquences
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I. 2d turbulenceProprits statistiques du rgime turbulentEtude de la norme de : U L
2 1 /2
Pour I
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I. 2d turbulenceProprits statistiques du rgime turbulentCoefficient d'aplatissement K=
U L4
U L2 2
Ecart au rgime gaussien pour Rh>12.La distribution devient bi-modale pour Rh>20. Rh=20
Rh=10
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I. 2d turbulenceProprits statistiques du rgime turbulentDcomposition des distributions (Guillaume Michel) U MSomme de deux gaussiennes centres en et de variance . 2
La variance varie peuBifurcation de l'amplitude la plus probableEstimation : U M(RhRhc)1 / 4
P(U L)= 1
2 2exp((U LU m)
2
22 )+ 12 2 exp((U L+Um)
2
22 )
2
Transition Rh=12 : apparition d'une amplitude prfrentielle de rotation
Rh=18
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I. 2d turbulenceProprits spectrales du rgime turbulentU L( f )=U L(t )exp(i2 f t )d t E ( f )=
1T U L( f )U L ( f )Spectre frquentiel
Hautes frquences: dcroissance rapide du spectre ou E ( f ) f 4 exp( f / f 0)Basses frquences: Loi de puissance avec E ( f ) f =0,7f L
U L2 1/ 2
2.5sCorrespondance entre la gamme frquentielle et temporelle :Existe-il une relation entre et ?
Dcroissance lente de la distribution : vnements longs probables.
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I. 2d turbulenceProprits spectrales du rgime turbulentSpectre deSpecte du signe deDistributionSomme des exposants
Prdiction thorique
Les exposants suivent la loi :
S
+
U L
U L
P ()
+=2.950.35
=3
Lowen and Teich, P.R.E, 1993Niemann et al., P.R.L., 2013 Systme 2 tats avec distribution des temps de sjour alors P ()
Les exposants
L'exposant contrle la valeur de l'exposant du spectre.
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I. 2d turbulenceTurbulence avec structures aux grandes chellesRh12 30
turbulence turbulence avecStructures grandes chelles Rgime condensDistributions non gaussiennes pour Rh>12.Amplitude prfrentielle de la circulation grande chelle.Bruit en 1/f aux basses frquencesDynamique lente : distribution des dures Relation P ~
E ( f ) f
=3
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I. 2d turbulence
Rh12 30
turbulence turbulence avecStructures grandes chelles Rgime condens
Transition vers l'tat condens
Emergence d'une configuration prfrentielle de vorticitRenversement circulation grande chelle.
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I. 2d turbulenceTransition vers l'tat condens
Rcurrence dans les systmes dynamiques
Analyse du flot et de zones prfrentielles dans l'espace des phases.Prsence de point fixe, cycle instable... Eckmann et al, EPL, 1987
Changement de la structure de l'attracteur turbulent ?
Champs moyen de vorticit sur 100 temps de retournements
Emergence d'une configuration de vorticitTurbulence : ergodicit/rcurrences
Rh=21 Rh=39
Turbulence avec structures grande chelle Rgime condens
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I. 2d turbulenceTransition vers l'tat condensMthode de capture des rcurrences
c (t i , t j)=k ' ( xk , t i) ' (xk , t j)Corrlation spatiale aux deux instants t i , t jProduit scalaire entre les deux vecteurs unitaires ' ( xk , t i) , ' ( xk , t j)
t i
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I. 2d turbulenceC i , j(c)
c (t i , t j)cC i , j=1 si (noir)
Transition vers l'tat condens
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I. 2d turbulenceTransition vers l'tat condens
Mode le plus probableT i=
1N j C i , j(c)
Pourcentage de temps pass au voisinage du champ de vorticit ' (xk , t i)
T (1)=max i (T i )
1N
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I. 2d turbulenceTransition vers l'tat condensMoyenne cohrente et structure du mode le plus probable
c=0.55
c=0.75
Rh=30 Rh=34 Rh=38
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I. 2d turbulenceTransition vers l'tat condensDcomposition de Fourier
(x , y)= (n x , n y)sin(nx xL)sin(n y yL)
Etat condens pour un forage stationnaire Gallet and Young, 2013
Vorticit petite chelleEcoulement grande chelle Mode du forage (n x , n y)=(1,1)(n x , n y)=(3,3) ,(3,5)
(n x , n y)=(2,4)
Structure de l'coulement
Interactions triadiques
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I. 2d turbulenceDynamique de l'tat condens
Renversements erratiques entre les deux sens de rotation.
Renversements entre deux tats symtriques
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I. 2d turbulenceDynamique de l'tat condensFrquence des renversements F r= N rT f
Dcroissance exponentielle de la frquence avec F r=c1C exp( Rh)Distribution des temps entre renversementsP( renv)=C exp(renv / 0)
c1= f /L
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I. 2d turbulenceDynamique de l'tat condensDynamique des renversements
Concentration
