Dynamique Recueil2014

7/21/2019 Dynamique Recueil2014

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DYNAMIQUE DES STRUCTURES

DYNAMIQUE DES OUVRAGES

Recueil d'Exercices

PROFESSEUR ALAIN PECKER

Equipe Enseignante

MATHIEU ARQUIER

CHARISIS T. CHATZIGOGOS

SEBASTIEN GERVILLIERS

NICOLAS GREFFET

ROMAIN MEGE

IOANNIS POLITOPOULOS

Anne Acadmique 2013 - 2014


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Table des matires

Preface............................................................................................................................................. 5

Dynamique des Structures.............................................................................................................. 6

1 Systmes un degr de libert................................................................................................... 7

1.1 Poutre sur des appuis simples.............................................................................................. 71.2 Poutres sans masse avec surcharge..................................................................................... 8

1.3 Chute de masse sur oscillateur simple................................................................................. 9

1.4 Automobile sur route de rugosit sinusodeale................................................................ 10

1.5 Modle de frottement de Coulomb................................................................................... 12

1.6 Spectres de rponse de sollicitations impulsives.............................................................. 13

1.7 Transforme de Fourier d'un acclrogramme et nergie............................................... 14

1.8 Portique soumis un chargement sismique..................................................................... 15

1.9 Notions de transfert de spectres........................................................................................ 17

1.10 Etude d'un portique avec pont roulant*......................................................................... 19

1.11 Oscillateurs gnraliss et effet de forces longitudinales.............................................. 202 Systmes Ndegrs de libert................................................................................................. 21

2.1 Equation de mouvement de btiment rigide.................................................................... 21

2.2 Etude d'une barre sur 2 ressorts........................................................................................ 22

2.3 Etude de la rponse dynamique d'une tuyauterie sous pression lors d'une rupture...... 24

2.4 Etude d'une poutre cantilever supportant trois masses*................................................. 26

2.5 Etude d'un portique de 2 tages soumis un chargement sismique............................... 27

2.6 Prise en compte de l'interaction sol-structure.................................................................. 30

2.7 Dalle sur sol lastique couple avec oscillateur de faible masse *.................................. 33

2.8 Comportement sismique de structure asymtrique *...................................................... 35

Dynamique des Ouvrages.............................................................................................................. 37

1 Vibrations des poutres - systmes continus............................................................................. 38

1.1 Etude simplifie des vibrations d'une masse attache un cble tendu........................ 38

1.2 Etude d'une poutre masse rpartie soumise un chargement dynamique................. 40

1.3 Etude d'une poutre masse rpartie avec une section variable...................................... 42

1.4 Modes propres de poutres uniformes............................................................................... 44

1.5 Chute de poutre en rotation.............................................................................................. 45

1.6 Modes propres de la Terre................................................................................................. 46

1.7 Mode de vibration fondamental de pile de pont.............................................................. 47

1.8 Tassement de pile de pont*............................................................................................... 48

1.9 Calcul de chemine avec interaction sol-structure........................................................... 49

2 Propagation d'ondes.................................................................................................................. 502.1 Etude de la propagation des ondes suite l'impact de 2 barres...................................... 50

2.2 Propagation d'ondes sphriques....................................................................................... 51

2.3 Propagation d'ondes dans un milieu stratifi (ondes SH)................................................. 52

2.4 Propagation d'ondes dans un milieu stratifi (ondes P/SV)............................................. 54

2.5 Propagation d'ondes travers d'une interface solide - fluide*........................................ 55

2.6 Ondes rfractes dans une membrane *........................................................................... 56

3 Interaction Sol-Structure........................................................................................................... 57


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3.1 Fondation de machines tournantes................................................................................... 57

3.2 Interaction cinmatique d'un radier rectangulaire rigide................................................. 60

4 Interaction Fluide-Structure...................................................................................................... 62

4.1 Calcul de la masse ajoute de 2 cylindres concentriques spars par un fluide............. 62

4.2 Calcul d'une barre partiellement immerge...................................................................... 64


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Preface

Ce receuil d'exercices est destin aux lves participant aux cours Dynamique des

Structureset Dynamique des Ouvragesde l'ENPC. La plupart des exercices inclus dans le recueil

seront tudis et rsolus par les lves eux-mmes lors des sances des petites classes. Pour

cette raison, on n'en fournit pas la solution dtaille mais uniquement quelques indications sur

la dmarche suivre ainsi que les rsultats finaux.

Les exercices qui sont annots avec une toile ont servi comme sujets d'examen

antrieurs.


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6

Partie I

Dynamique des Structures


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1 Systmes un degr de libert

1.1 Poutre sur des appuis simples

I. Ecrire les quations du mouvement du systme rerpsent sur la Figure 1. Ensupposant la poutre sans masse, le systme prsente un seul degr de libert dfini par la

dflexion u sous poids propre P . La rigidit de flexion de la poutre est EI et sa longueur L .

Figure 1: Vibrations de poutres sans masse avec surcharge.

II. Dterminer la frquence propre d'un poids P suspendu un ressort au milieu d'une

poutre sur appuis simples (cf. Figure 2). La rigidit de flexion de la poutre est EI et sa longueur

vaut L . Elle est suppose sans masse. La raideur du ressort vaut k.

Figure 2: Poids suspendu une poutre sans masse par un ressort.

Elments de rponse

I.3

48=

EIk

L

II.3

48=

(48 )

EIk

m EI L k

+avec =

Pm

g


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8

1.2 Poutres sans masse avec surcharge

Refaire l'exercice prcdente avec :

I.Le systme reprsent sur la Figure 3.

II.Le systme reprsent sur la Figure 4.

Figure 3: Poutre console sans masse avec surcharge.

Figure 4: Poutre biencastre sans masse avec surcharge.

Elments de rponse

I.3

3=

EIk

L

II.3

192=

EIk

L


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9

1.3 Chute de masse sur oscillateur simple

Une masse 1m est suspendue un ressort k et se trouve en quilibre statique. Une

deuxime masse2

m chute d'une hauteur h et s'accole 1

m sans rebond (figure 5).

I.Dterminer le mouvement ( )u t autour de la position d'quilibre statique de la masse

1m .

Figure 5: Chute d'une masse sur un systme masse-ressort en quilibre statique.

Elments de rponse

I. 2 2

1 2

2( ) = (1 cos ) sin

ghm g mu t t t

k m m

++


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10

1.4 Automobile sur route de rugosit sinusodeale

Question A. Une automobile est modlise de faon simplifie par une masse

concentre m reposant sur un systme ressort-amortisseur (Figure 6). L'automobile se dplace

vitesse constante v sur une route dont la rugosit est connue sous la forme d'une fonction dela position sur la route.

I.Dterminer l'quation du mouvement.

Figure 6: Mouvement idalis d'une automobile sur une route.

Figure 7: Mouvement d'une automobile sur un pont plusieurs traves.

Question B. Cette automobile se dplace maintenant sur un pont plusieurs traves

dont les piles sont distantes de 35m (cf. Figure 7). Le fluage long terme du pont a provoqu

une dflexion de 15cm en milieu de chaque trave. Le profil de la chausse peut tre approch

par une sinusodee d'amplitude 15cm et de priode 35m. La masse de l'automobile en charge

est de 800kg, la raideur de son systme de suspension est de 60000N/m et le coefficient

d'amortissement visqueux est tel que le coefficient d'amortissement du systme vaut 40%.

Dterminer :


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11

II.L'amplitude ,0tu du mouvement vertical ( )tu t quand l'automobile se dplace

70km/h.

III.La vitesse du vhicule qui conduirait une rsonance pour ,0tu .

Elments de rponse

I. Travailler avec la mthode de formulation directe de l'quation d'quilibre.

II. ,0tu = 0.175m

III. v = 155.1km/h


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1.5 Modle de frottement de Coulomb

Des systmes utiliss pour limiter les effets des sismes sur les structures permettent de

dissiper l'nergie par frottement de Coulomb. Le dispositif est rgl pour fonctionner sous un

effort de prcontrainte constant N et un coefficient de frottement . Un essai de vibration

libre (ou de lcher) est effectu pour mesurer la frquence propre fondamentale et le

coefficient de frottement (cf. Figure 8).

I.Montrez que la dcroissance de l'amplitude entre 2 cycles conscutifs 1( )i iu u + est

constante et donnez sa valeur en fonction de =fN

uK

o Kest la raideur de la structure.

II.Calculez la frquence fondamentale etf

u d'aprs la Figure 8.

Figure 8: Rponse en vibration libre du dispositif de dissipation d'nergie par

frottement.

Elments de rponse

I.Etudier la vibration force du systme sous la force de frottement.

II. f = 2Hz, fu = 0.38cm


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13

1.6 Spectres de rponse de sollicitations impulsives

Calculer les spectres de rponses des sollicitations suivantes :

I.L'impulsion simple reprsente sur la Figure 9.

II.L'impulsion sinusodeale de la Figure 10 en considrant = 0 et < 2sT

Figure 9: Impulsion simple.

Figure 10: Impulsion sinusodeale.

Elments de rponse

I.

1cos21

( , ) =2

d

PS T Te

II.

2

0

2

2

( ) = sin1 1dP n

S T

+ , pour = < 12

T


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1.7 Transforme de Fourier d'un acclrogramme et nergie

Montrer que la transforme de Fourier ( ) d'un acclrogramme ( )gu t et l'nergie

totale ( )d

t introduite dans l'oscillateur lmentaire non-amorti sont lies par la relation:

2 ( )( ) = d

t

m

La quantit dt reprsente la dure totale de l'acclrogramme.

Elments de rponse

Ecrire l'nergie totale comme la somme de l'nergie cintique et l'nergie potentielle

dans l'oscillateur.


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1.8 Portique soumis un chargement sismique

On dsire dimensionner un portique en bton arm situ en zone sismique. Le portique

est reprsent sur la Figure 11. On ne considrera que la composante horizontale du

mouvement sismique.Les caractristiques du portique sont les suivantes :

Hauteur des poteaux : H = 10m

Porte de la poutre : L = 8m

Largeur des poteaux : l = 0.40m

Hauteur de la poutre : b = 0.60m

Epaisseur des poteaux et de la poutre: t= 0:25m.

La masse est suppose concentre sur la poutre suprieure et vaut m = 50t. On prendra

un module d'Young du bton de E= 30000MPa.

Figure 11: Portique en bton arm.

Figure 12: Spectre de rponse lastique PS92


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I.En supposant que la poutre est infiniment rigide par rapport aux poteaux, calculez les 2

premires frquences de la structure (horizontale et verticale).

II.Si on considre le spectre de rponse des rgles PS92 avec 2= 2.5m/sna (pour un sol

dur S0). Quel est l'effort tranchant global de dimensionnement ( la base de la structure).

Quelle est la contrainte de cisaillement de dimensionnement dans les poteaux ?

En pensant la rpartition de moment dans un poteau bi-encastr, donnez la valeur

du moment de dimensionnement.

Calculez le dplacement relatif (de la poutre par rapport au sol) impos par le sisme

de dimensionnement.

III.Mmes questions pour le sol S3 (sdiments). Conclusions ?

Les valeurs numriques pour la dfinition du spectre de rponse pour chaque catgoriede sol sont donnes dans le Tableau suivant.

Type de solB

T [s]C

T [s]D

T [s] RA RM

S0 0.15 0.30 2.67 1.0 2.5

S1 0.20 0.40 3.20 1.0 2.5

S2 0.30 0.60 3.87 0.9 2.25

S3 0.45 0.90 4.44 0.8 2.0

La pseudo-acclration des spectres lastiques des rgles PS92 vaut : PSA = ( )na Re T

avec :

Branche AB: ( ) = ( )B

TRe T RA RM RA

T+

Branche BC: ( ) =Re T RM

Branche CD: ( ) = CT

Re T RMT

Branche DE:2

( ) = C DT T

Re T RMT

Elments de rponse

I.X

T = 1.434s,Z

T = 0.057s.

II.d

S = 0.068m, maxV = 32.75kN, max = 490.3kPa, maxM = 163.5kNm.

III.d

S = 0.163m,max

V = 78.45kN,max

= 1176.8kPa,maxM = 392.2kNm.


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1.9 Notions de transfert de spectres

L'objectif de cet exercice est de prsenter les notions principales dans la procdure de

tranfert des spectres, couramment utilis dans la pratique pour la justification de la tenue

d'quipement secondaire. A cette fin, on examine le portique prsent sur la Figure 13. Lecomportement dynamique de cette structure est modlise par un oscillateur un degr de

libert, caractris par sa masse0

m et sa rigidit0

k . L'amortissement de la structure est

nglig. La structure est soumise une excitation de support impulsive comme suit :

( ) = ( )gu t A t

Dans l'expression prcdente, A reprsente l'amplitude de l'impact (units de vitesse) et ( )t

est la fonction delta de Dirac.

Figure 13: Portique avec crneau.

I.Calculer le dplacement horizontal au niveau du toit du portique.

II.Dterminer le dplacement horizontal maximal au niveau du toit du portique comme

fonction du priode propre du portique.

III.Dessiner les spectres de rponse en pseudo-acclration, pseudo-vitesse et

dplacement de l'excitation de support considre.

Partie II.Dans la suite, on va considrer qu'un crneau se trouve suspendu du plafond

du portique. La masse du crneau est1

m et est considre beaucoup plus faible que la masse

du portique 0m . Par consquant, on supposera que la prsence du crneau n'altre pas le

mouvement du portique. La rigidit de la connection du crneau est 1k et l'amortissement au

niveau de la connection 1 .


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IV.Calculer le dplacement horizontal du crneau quand le portique est soumis

l'excitation de support considre.

V.Dterminer le dplacement horizontal maximal du crneau comme fonction du

priode propre du crneau.

VI.Dessiner les spectres de rponse en pseudo-acclration, pseudo-vitesse et

dplacement qui fournissent la rponse maximale du crneau.

VII.Comparer les spectres obtenus pour l'excitation de support impulsive avec les

spectres de rponse tranfrs la position du crneau.

NOTE.Noter que la fonction de Dirac est dfinie comme suit :

= 0( ) =

0 0

tt

t

+

et

( ) d = 1t t+

La fonction de Dirac et une fonction arbitraire ( )f t satisfont la relation suivante :

0( ) ( ) d = ( )

t

f t f t


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1.10 Etude d'un portique avec pont roulant*

Un portique supporte un pont roulant (voir Figure 14) auquel est suspendue une masse

M par l'intermdiaire d'un cble souple. Le portique est soumis une sollicitation sismique ;

cette sollicitation se traduit au niveau des poutres de roulement par un mouvement caractrispar le spectre de rponse donn sur la Figure 15.

I.Donner les expressions analytiques des diffrentes branches du spectre de rponse.

II.Etablir l'quation du mouvement de la masse.

III.Calculer le dplacement horizontal maximal de la masse.

Figure 14: Portique avec pont roulant.

Figure 15: Spectre de rponse au niveau des poutres de roulement.


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1.11 Oscillateurs gnraliss et effet de forces longitudinales

Considrons la poutre cantilever de la Figure 16 dont la masse par unit de longueur est

( )m x et la rigidit en flexion ( )EI x . La poutre est soumise une charge dynamique

( , ) = ( ) ( )p x t f x g t ainsi qu' une force longitudinale constante N son extrmit. La dforme

de la poutre est approxime par la relation :

( , ) = ( ) ( )u x t x z t (1)

o ( )x est une fonction donne.

I. Utiliser la mthode des puissances virtuelles afin de Dterminer l'quation du

mouvement du systme. En particulier, montrer que le travail virtuel effectu par la force

longitudinale N lors d'un dplacement virtuel = ( )u x z est donne par l'expression :

2

0= ( ) [ ( )] d

l

NW z t zN x x (2)

II.Dterminer la valeur de la force N , appele charge critique crN pour laquelle la

rigidit apparente du systme est nulle.

Figure 16: Poutre et coordonne gnralise.

Elments de rponse

II.

2

0cr

2

0

( )[ ( )] d =

[ ( )] d

l

l

EI x x xN

x x


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2 Systmes Ndegrs de libert

2.1 Equation de mouvement de btiment rigide

On considre le btiment parfaitement rigide de la Figure 17. Le btiment est fond sur

un sol mou au moyen d'un radier de surface a b . La hauteur du btiment est h et sa massevolumique . Le btiment est sollicit par un chargement dynamique dans le plan x z . Le sol

est considr lastique et peut tre reprsent par des ressorts verticaux ( )zk , horizontaux ( )xk

et de rotation autour de l'axe y ( )k . Dterminer l'quation du mouvement du systme en

considrant comme degrs de libert :

I. Le dplacement vertical, le dplacement horizontal et la rotation du point A .

II. Le dplacement vertical, le dplacement horizontal et la rotation du point A .

III.Comment est-ce que l'quation du mouvement est modifie dans les cas prcdents

si l'on considre l'effet du poids propre lors de la rotation du btiment ?

Figure 17: Btiment rigide sur sol mou.

Elments de rponse

III. Utiliser l'approximation :2

cos = 1 ...

2!

+


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2.2 Etude d'une barre sur 2 ressorts

Une barre de longueur L et de masse uniformment rpartie M repose sur 2 ressorts

de raideur 1K et 2K (cf. Figure 18).

Figure 18: Barre sur deux ressorts.

I.Aprs avoir choisi 2 degrs de libert permettant de dcrire le mouvement vertical de

la barre, calculer les matrices de masse et de rigidit et crire les quations de mouvement de

ce systme.

II.Que devient la matrice de masse si on fixe une masse 0M au 1/3 de la barre.

III.Calculer la matrice d'amortissement si on fixe un amortisseur C la barre.

IV.Calculer les frquences et les modes propres de ce systme pour K1 = K2 = K et 0M =

0.

Elments de rponse

I.1

2

0/ 3 / 6= , =

0/ 6 / 3

KM MM K

KM M

II.

/ 3 4 / 9 / 6 2 / 9= / 6 2 / 9 / 3 / 9

M M M M

M M M M M

+ +

+ +

III.

2

2

1 1

= .

1

C C C

C C C

x x x

L L LC

x x x

L L L


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23

IV. Pulsations propres : 12

= K

M , 2

6=

K

M . Modes : 1

1=

1

, 2

1=

1


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2.3 Etude de la rponse dynamique d'une tuyauterie sous

pression lors d'une rupture

Question A. On dsire vrifier le comportement d'une tuyauterie sous pression d'un

circuit primaire d'un racteur nuclaire la suite d'une rupture accidentelle. La rupture se

produit la sortie d'un coude 90 degrs situ une distance 2L d'un encastrement. aprs la

rupture, le gaz ject exerce sur le tuyau une force parallle son axe (au niveau de la rupture)

passant brusquement de 0 0 0 0=1.26F P S ( 0S : section de la brche et 0P : pression du fluide

contenu dans la tuyauterie avant rupture). En premire approximation, la tuyauterie est

modlise par une poutre de raideur EI et 2 masses concentres situes en =x L et = 2x L

de valeurs 1= 0.50 totM M et 2 = 0.25 totM M o totM est la masse totale du tronon de

tuyauterie ( = = 460 )totM SL kg . Les applications numriques se feront avec les

caractristiques suivantes :

2L = 6m E= 210000MPa

R = 12.5cm

e = R /10 = 1.25cm

I = 3R e = 7670cm 4

S= 2 Re = 98.2cm 2

0S =2R = 491cm 2

= 7.8t/m 3

0P = 166bars = 1628kPa

Figure 19: Modlisation simplifie d'une rupture de tuyauterie sous pression.

I.Calculer les matrices de flexibilit et de rigidit.

II.Donner les quations du mouvement.


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III.Calculer les frquences et modes propres de ce systme.

IV.Dterminer l'volution dans le temps des dplacements des points A et B pour ce

chargement (cf. Figure 19).

Question B.Dans la suite, on ne tiendra compte que d'un seul mode.

V.Prciser pour quelle valeur de dplacement la vitesse est maximale.

VI.Dterminer les forces statiques quivalentes qui permettent de dimensionner

statiquement la tuyauterie.

VII.Dterminer les efforts tranchants et moments flchissants dans les diffrentes

sections en fonction du temps.

Elments de rponse

I.3

16 56=

5 27

EIK

L

III.Pulsations propres: 1 = 40.2 rad/s, 2 = 207 rad/s. Modes propres: 11

=3.05

,

2

1=

0.655

V. max B

yu = 17.9m/s

VI. st 0st

1.07=

0.816

A

B

FF

F

VII.enc 0=1.886V F , enc 0= 2.7M F L


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2.4 Etude d'une poutre cantilever supportant trois masses*

Une poutre cantilever supporte trois masses gales comme il est indiqu sur la Figure 20.

Les modes propres de vibration ainsi que les frquences propres ont t dtermins

exprimentalement et sont donns ci-dessous :

0.054 0.283 0.957 3.61

= 0.406 0.870 0.281 , = 24.2 rad/s

0.913 0.402 0.068 77.7

Une charge harmonique est applique au noeud 2 = 3 sin( )P k t dans laquelle 1= 0.75 .

Figure 20: Poutre cantilever.

I. Ecrire l'expression de la rponse stationnaire de la masse 1m , en supposant la

structure non amortie.

II. Evaluer les dplacements de toutes les masses l'instant de rponse maximale et

tracer la dforme cet instant.

III. Reprendre les questions ci-dessus avec un amortissement de 10% pour tous les

modes.


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2.5 Etude d'un portique de 2 tages soumis un chargement

sismique

On dsire dimensionner un btiment de bureaux ou d'habitations R+1 situ en zone

sismique (cf. Figure 21). Le btiment est form d'un portique en bton arm ayant les

dimensions suivantes :

Hauteur d'un tage: H = 1H = 2H = 3m

Porte des poutres: L = 6m

Section des poteaux : 25 25(cm cm)

La masse est suppose concentre chaque plancher, la masse surfacique valant 1t/m 2

soit une masse par tage valant 36t. On prendra un module d'Young du bton de 30000MPa. On

rappelle que la force ncessaire pour appliquer un dplacement diffrentiel une poutre

biencastre de hauteur H, d'inertie I et de module Evaut :

3

12=x x

EIF u

H

Figure 21: Portique en bton arm.


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Figure 22: Spectre de rponse lastique PS92.

I.En supposant que la poutre est infiniment rigide par rapport aux poteaux, calculez les 2

premires frquences correspondant aux modes propres horizontaux de la structure. Donnez

les dformes modales correspondantes. Calculez le coefficient de participation et la masse

modale de chacun des modes.

II.Si on ne considre que le premier mode et le spectre S0 des rgles PS92 (cf. Figure

14b), quel est l'effort tranchant global de dimensionnement et le dplacement correspondant

(on prendn

a = 2.5m/s 2 ).

Quelle est la contrainte de cisaillement de dimensionnement dans les poteaux ?

Donnez une valeur approche du moment de dimensionnement des poteaux.

III.Considrez les 2 modes. Quelles sont donc, dans ce cas, les erreurs commises sur les

dplacements et l'effort tranchant la base en ngligeant le second mode ? On prcisera la

mthode utilise pour la recombinaison des modes.

La pseudo-acclration des spectres lastiques des rgles PS92 vaut : PSA = ( )n

a Re T

avec :


TRe T RA RM RA

T+



Re T RMT

Branche DE:2

( ) = C DT T

Re T RMT


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Type de solB

T [s] CT [s] DT [s] RA RM

S0 0.15 0.30 2.67 1.0 2.5

S1 0.20 0.40 3.20 1.0 2.5

S2 0.30 0.60 3.87 0.9 2.25

S3 0.45 0.90 4.44 0.8 2.0

Elments de rponse

I. 1 = 9.61r/s, 2 = 25.1r/s, 11

=0.62

, 2

0.62=

1

Coefficients de participation: 1a = 1.17, 2a = 2.75.

II.

1

2 = 3.66cm=

= 2.25cm

uU

u

,dim

V = 99kN,dimM = 148kNm, max = 2.38MPa

III. 2max u = 3.67cm.


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2.6 Prise en compte de l'interaction sol-structure

L'objectif de cet exercice est de mettre en vidence les effets de l'interaction sol-

structure sur le comportement dynamique et le dimensionnement des structures. L'exercice est

inspir par les deux centrales nuclaires situes San Onofre en Californie qui sont prsentssur la Figure 23(a). Il est connu que le priode propre des centrales en considrant des

conditions de base encastre est environ 0.15s alors que le priode propre en prenant en

compte de la flxibilit du sol de fondation vaut environ 0.5s.

On tudie la rponse des centrales dans la direction horizontale avec le modle simplifi

prsent sur la Figure 23(b). La superstructure est modlise comme un oscillateur un degr

de libert de masseS

m et de rigiditS

k .

Figure 23: (a) Centrales nuclaires de San Onofre, Californie et (b) modle simplifi pour

analyse dynamique

Les centrales sont fondes au moyen d'un radier circulaire trs rigide de rayon ret de

masseF

m sur la surface d'un sol considr comme milieu lastique homogne et isotrope avec

module de cisaillement G , coefficient de Poisson , masse volumique et paisseur = 2H r.

Suivant la couche de sol, on rencontre le substratum rocheux, celui-ci considr comme une

assise parfaitement rigide.

La prsence du sol est prise en compte dans le modle avec un ressort quivalent de

rigidit FK qui dpend linairement de la frquence comme prsent sur la Figure ??. La

dpendence sur la frquence est introduite au moyen du paramtre adimensionnel dfini

par la relation suivante :

=s

r

V


31/144

31

Dans l'expression prcdente, est la pulsation de l'excitation ets

V la vitesse des ondes de

cisaillement dans la couche de sol. La rigidit du ressort quivalent pour une frquence

d'excitation tendant vers zero (cas statique) est donne par la relation suivante :

,st

8= 1 0.5

2F

Gr rK

H

+

On considre que la structure est soumise une excitation sismique caractrise par le specte

de rponse prsent sur la Figure 25, dfini 5% d'amortissement avec les valeurs suivantes :

BT [s]

CT [s]

DT [s] RA RM PGA

0.25 0.45 3.0 1.0 2.5 2.5

La pseudo-acclration vaut : PSA = ( )na Re T avec :


T

Re T RA RM RA T+



Re T RMT

Branche DE:2

( ) = C DT T

Re T RMT

Figure 24: Variation de FK par rapport la frquence.


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32

Figure 25: Spectre de rponse de dimensionnement.

I.Calculer l'effort tranchant maximal dvelopp la base de la structure en considrant

des conditions de base encastre.

II.Calculer l'effort tranchant maximal la base de la structure en tenant en compte de la

souplesse du sol de fondation et en ne considrant que le mode fondamental du systme sol-

superstructure. Afin de prendre en compte de l'incertitude sur les proprits mcaniques du sol

de fondation, on considrera un paramtrage pour la valeur du module de cisaillement G avec

valeur moyenne moy =G G , valeur minimale min2

=3

G G et valeur maximale max3

=2

G G . Les

amortissements modaux sont gaux 5%. La rigidit du ressort quivalent FK doit tre calibr

de manire correspondre au mode propre du systme sol-fondation-superstructure.

III.Refaire la question prcdente en considrant la contribution des deux modes.

Paramtres numriques.

Les calculs seront effectus avec les valeurs numriques suivantes:

Sm = 100kt

Sk = 175000MN/m

r= 12.0m

F

m = 0.2Sm

G = 500MPa

= 0.3

= 0.002 kt/m 3


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33

2.7 Dalle sur sol lastique couple avec oscillateur de faible

masse *

Question A. La dalle de la figure 26, considre comme tant infiniment rigide est

sollicite par un moment harmoniquee

M (par exemple cause d'une machine tournante

prsentant un balourd). On suppose que les mouvements horizontaux de la dalle sont bloqus

et on tudie lespetitsmouvements dans le plan vertical x Oy autour de la position d'quilibre

statique. La dalle est appuye sur un support souple qui peut tre modlis par une densit de

raideur verticale (l'effort linique dans le sol est : = sf k v ou sk est la densit de raideur et v

est le dplacement vertical).

Figure 26: Dalle sur sol lastique.

I.Choisir comme degrs de libert la rotation et le dplacement vertical du centre de la

dalle. Montrer que les deux pulsations propres de la dalle sont gales. Calculer leur valeur, etl'amplitude de la rponse stationnaire quand la frquence de l'excitation est respectivement

0e , 0=e et 0e . On considrera que le taux d'amortissement critique est 1 .

On notera m la masse linique de la dalle et L sa longueur.

Question B.On ajoute au systme un pendule invers rigide (figure 27). Il est attach au

milieu de la dalle par l'intermdiaire d'un ressort de rotation de raideur k . La masse de la tige

est nglige. On note M et H la masse l'extrmit et la hauteur respectivement.

Figure 27: Dalle sur sol lastique avec oscillateur de faible masse.


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34

II. Ecrire les quations de mouvement linarises de ce systme coupl. Donner

l'expression des matrices de raideur et de masse. On considre que MgH k ( g tant

l'acclration de pesanteur). Montrer que dans ce cas on peut ngliger le poids propre du

pendule.

Question C.En plus de la relation ci-dessus, la masse et la hauteur ont t choisies de

sorte que2

3

12= 1

MH

mL et la raideur k est telle que la frquence du pendule seul est gale

la raideur de la dalle, 0 .

III.Calculer les modes propres (pulsations propres et dformes modales) du systme

coupl.

IV. Calculer l'amplitude de la rponse tablie de la dalle et du pendule quand la

frquence de l'excitation est 0e , 0=e , 1=e et 2=e o 1 , 2 sont lespulsations propres du systme. On fera l'hypothse que le taux d'amortissement critique modal

, est le mme pour les deux modes propres et que 2 . Tracer qualitativement la courbe

de l'amplitude de la rponse tablie en fonction de la pulsation de l'excitation. Comparer par

rapport la rponse de la dalle seule en supposant que le taux d'amortissement critique est le

mme dans les deux cas.


35/144

35

2.8 Comportement sismique de structure asymtrique *

On considre la structure de la Figure 28, qui se compose d'une plaque carre en bton

arm de dimensions L L et de masse totale M , supporte par quatre poteaux en bton arm

de hauteur h . La section des poteaux est carre : les sections des poteaux 1 et 2 sont dedimensions a a et celles des poteaux 3 et 4 de dimensions b b .

On considre que la rigidit de la plaque est trs leve par rapport celle des poteaux.

On peut donc supposer que la plaque se comporte comme corps rigide. De plus, on nglige les

dformations axiale et de cisaillement dans les poteaux.

On considre finalement que la masse de la plaque est uniformment repartie dans son

volume. La masse des poteaux est nglige.

Figure 28: Structure tudie.

I. Calculer la rigidit Kde chaque poteau (rapport de force horizontale sur dplacement

horizontale en tte de chaque poteau).

II.En choisissant comme degrs de libert les dplacements du centre de la plaquex

u ,

zu et sa rotation autour de l'axe vertical , crire les quations linarises du mouvement.

Donner l'expression des matrices de rigidit Ket de masse M .

III. Calculer les frquences propres et les dformes modales. Tracer les dformes

modales.

IV.On suppose que tous les modes ont le mme taux d'amortissement critique = 5%

et que la donne de l'ala sismique est le spectre de la Figure 29. Calculer les maxima des

momentsx

M ,yM dans le poteau 2 dus un sisme suivant y pour chacun des modes.

V. En appliquant les rgles de recombinaison des rponses modales SRSS calculer les

maxima desx

M ety

M .


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36

On effectuera les calculs avec les donnes suivantes :

Spectre d'ala sismique :

La pseudo-acclration spectrale 5% d'amortissement vaut = ( )nPSA a Re T avec :

Branche AB: ( ) = ( ) B

T

Re T RA RM RA T+



Re T RMT

Branche DE:2

( ) = C DT T

Re T RMT

Paramtres numriques :

Dimension de la plaque L = 5m.

Hauteur des poteaux h = 3m.

Dimension de la section des poteaux 1 et 2 a = 0.3m.

Dimension de la section des poteaux 3 et 4 b = 0.5m.

Masse totale de la plaque M = 25t.

Module d' Young du bton E= 30000MPa.

Paramtres pour la dfinition du spectre :

Acclration maximale du sol na = 1.5m/s2 .

Paramtre RA = 1.0. Paramtre RM = 2.5.

ParamtreB

T = 0.06s.

ParamtreC

T = 0.40s.

Paramtre DT = 2.50s.

Figure 29: Spectre d'ala sismique


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37

Partie IIDynamique des Ouvrages


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38

1 Vibrations des poutres - systmes continus

1.1 Etude simplifie des vibrations d'une masse attache un

cble tendu

On dsire tudier les vibrations longitudinales (traction-compression) d'une masse

attache un cble (cf. Figure 30). On note les quantits suivantes :

Longueur du cble : 2L

Section du cble : S

Caractristiques du cble : E, , .

Masse du tlcabine : M

Figure 30: Masse attache un cble horizontal tendu.

Figure 31: Masse attache un cble vertical.

I.Rappeler l'quation de la dynamique de ce systme.

II. Ecrire les conditions aux limites. Quelles seraient les conditions aux limites pour la

Figure 31 ?


39/144

39

III.Donner l'expression permettant de calculer la frquence fondamentale.

IV.Donner les frquences et les dformes des premiers modes lorsque M LS et

M LS .

V.Dans ce dernier cas, vrifier l'orthogonalit des 2 premiers modes propres.

Elments de rponse

III.2

tan =p p

L L SL

c c M

.

IV. Si 0L : 0

0

( , ) = , 0 < 0) et le modle 1D ( = 0).

V. Donnez l'quation du mouvement du radier supportant la machine tournantfonctionnant la vitesse . Discutez l'amplitude et la phase du mouvement selon les valeurs dela vitesse de rotation de la machine. On ngligera l'amortissement hystrtique du sol.

VI.On isole maintenant la machine du radier l'aide d'un support lastique de raideur

K et d'amortissement C . Donnez l'quation rgissant les mouvements du radier et de lamachine.

Figure 45: Modlisation simplifie du sol avec modle de cne.

Figure 46: Modlisation simplifie du sol avec modle 1D .


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59

Elments de rponse

II.st

(2 )( ) = 1 i

8K K

+

, o =

R

c

.

III.st st

(2 ) (2 ) 2( ) = 1 i

8 8

AK K K

A

+ +

, o 2= 0.5 1 4A + .

IV.Modle 1D : ( ) = i 1 2 iK GR + .

V.1

( ) =x xu t f

A,

2 2st

st

(2 )= 1 i

8

MRA K

c K

+

.

VI.Travailler avec un systme deux degrs de libert.


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60

3.2 Interaction cinmatique d'un radier rectangulaire rigide

On considre un radier rectangulaire parfaitement rigide de dimensions L D . Le radierest sollicit par une onde incidente uniforme dans la direction x , qui se propage dans la

direction y avec une vitesse V et induit un dplacement dans la direction x . Alors le

mouvement du sol peut s'crire comme intgrale de Fourier:

i ( ) d 1( , ) = (i )

2

yt

V

gxu y t A e

+

Ce mouvement est transmise sur le radier et le met en vibration. Alors il peut s'crire aussi

comme :

1( , ) = ( ) ( )gx ix iu y t a t y

o les fonctions ( )i y sont les modes propres du radier qui satisfont la condition

d'orthogonalit :

0( ) ( ) d = 0,

D

i ky y y i k

Figure 47: Radier rectangulaire de grandes dimensions.

I.Ecrire la fonction 1( )y qui correspond au premier mode rigide (translation) du radier

et la fonction 2 ( )y qui correspond au deuxime mode rigide du radier (rotation rigide autour

de l'axe z ).


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61

II.En utilisant la condition d'orthogonalit calculer les coefficients 1 ( )xa t et 2 ( )xa t .

III. En ne retenant que le premier mode rigide du radier et en considrant une onde

incidente monochromatique, calculer le rapport entre l'amplitude du mouvement libre du sol

par rapport l'amplitude du mouvement transmise au radier.

Elments de rponse

III.1

= 2(1 cos )radier

sol

Ak

A k , =

Dk

V

.


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62

4 Interaction Fluide-Structure

4.1 Calcul de la masse ajoute de 2 cylindres concentriques

spars par un fluide

On desire calculer la matrice de masse ajoutee du systeme forme de 2 cylindres rigides

de rayons respectifs 1R et 2R initialement concentriques. L'espace entre les 2 cylindres est

rempli d'un fluide de masse volumique .

Partie 1

I.Rappeler les equations que doivent verifier les champs de pression et de vitesse du

fluide.

II.Rappeler les conditions aux interfaces entre le fluide et chacun des cylindres.

III.Montrer que le champs de pression peut s'crire sous la forme:

( , ) = cos sin cos sinc d

p r ar brr r

+ + +

IV. Dterminer les constantes a , b , c , d partir des acclrations de chacun des

cylindres.

V.En dduire les forces exerces par le fluide sur chacun des cylindres et la matrice de

masse ajoute.

Partie 2Donner la matrice de masse ajoute pour les cas particuliers suivants :

I.Rservoir cylindrique rempli de fluide.

II.Pile de pont de rayon R plonge dans un fluide.

III.Palier d'une machine tournante (paisseur du film d'huile mince devant le rayon du

cylindre central et le rayon du cylindre extrieur).


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63

Figure 48: systme de deux cylindres rempli de liquide.

Elments de rponse

I-IV.

2 2

2 1,2 ,12 2 2 2

1 2 1 2

= x xR R

a U UR R R R

2 2

2 1,2 ,12 2 2 2

1 2 1 2

= y yR R

b U UR R R R

( )2 2

1 2,2 ,12 2

1 2

= x xR R

c U UR R

( )2 2

1 2,2 ,12 2

1 2

= y yR R

d U UR R


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64

4.2 Calcul d'une barre partiellement immerge

Utiliser les rsultats prcdents pour calculer les frquences et modes propres d'une

barre de hauteur H = 1m, de masse M = 1kg et de section S = 5cm2 fixe ces 2 extrmits

2 ressorts horizontaux de raideur K= 10kN/m et immerge sur une hauteur de 50cm.

Figure 49: Barre partiellement immerge.


65/144


66/144

N


67/144


68/144


69/144


70/144


71/144


72/144

u

P

EI

L

P

EI

L

k

k= 48EI

L3

= 48EIk

m(48EI+L3k)

m= Pg


73/144

k= 3EIL3

k= 192EI

L3


74/144

m1 k

m2 h m1

u(t)

m1

u(t) = m2gk (1 cos t) +

2gh

m2m1+m2 sin t


75/144

m

v

ut,0 ut(t)


76/144

ut,0

ut,0

v


77/144

N

(ui ui+1)

uf =

NK

K

uf

f

uf


78/144

= 0

T


79/144

F() ug(t)

H(td)

|F()| =

2H(td)m

td


80/144

H

L

l

b

t

m

E


81/144

an = 2.5

2

TB TC TD RA RM

=

anRe(T)

Re(T) =RA+ (RM RA) TTB

Re(T) =RM

Re(T) =RMTCT

Re(T) =RMTCTDT2

TX TZ

Sd Vmax max Mmax

Sd Vmax max Mmax


82/144

m0 k0

ug(t) =A(t)

A

(t)

m1

m0

k1 1


83/144

(t) =

+ t= 00 t = 0

+

(t) t= 1

f(t)

t0

f(t )() =f(t)


84/144

M


85/144

m(x)

EI(x)

p(x, t) = f(x)g(t)

N

u(x, t) =(x)z(t)

(x)

N u = (x)z

WN=z(t)zN

l0

[(x)]2

x

N

N

N

=l0EI(x)[(x)]2 xl0[(x)]2 x


86/144

N

a b

h

xz

(kz) (kx) y (k)

A

A

cos = 1

2

2! +...


87/144

N

L

M

K1 K2

M0

C

M=

M/3 M/6M/6 M/3

, K=

K1 00 K2

M=

M/3 + 4M/9 M/6 + 2M/9M/6 + 2M/9 M/3 +M/9

C=

1 xC

L

2 xCL

1 xC

L

xCL

1 xC

L

xCL

2

.

1=

2KM

2 =

6KM

1 =

11

2 =

11


88/144

E

l S

l

2

S

2

m

u

v

l

E

S 2

m


89/144

N

2L

F0 = 1.26P0S0

S0 P0

EI

x = L

x = 2L

M1 =

0.50Mtot M2 = 0.25Mtot Mtot (Mtot = SL= 460kg)

2L

E

R

e

R

I

R3e

4

S

2Re

2

S0 R

2

2

3

P0


90/144

K= 6EI

7L3 16 5

5 2

1 2 1 = 1

3.05

2=

1

0.655

max uBy

FA

FB

=F0

1.07

0.816

V

= 1.886F0 M = 2.7F0L


91/144

N

=

0.054 0.283 0.9570.406 0.870 0.2810.913 0.402 0.068

, =3.6124.2

77.7

P = 3k sin(t)

=0.751

m1


92/144

H

H1 H2

L

2

H

I

E

Fx = 12EIH3

ux


93/144

N

an

2

=

anRe(T)


Re(T) =RM

Re(T) =RMTCT

Re(T) =RMTCTD

T2

TB TC TD RA RM

1 2

1=

1

0.62

2 =

0.621

a1 a2

U=

u2 = 3.66

u1= 2.25

V

M

max

max u2


94/144

mS kS

r

mF

G

H= 2r

KF

=r

Vs

Vs

KF, = 8Gr

2

1 + 0.5r

H


95/144

N

TB TC TD RA RM

=anRe(T)


Re(T) =RM

Re(T) =RMTC

T

Re(T) =RMTCTD

T2

KF


96/144

G

G

=G

G

= 2

3

G

G

= 3

2

G

KF

mS

kS

r

mF mS

G

3


97/144

N

Me

x

y

f=ksv ks v

e 0 e = 0 e 0

1

m

L

k M H


98/144

M gH k g

12MH2

mL3 = 1

k

0

e 0

e = 0

e = 1

e = 2

1

2

2


99/144

N

L L

M

h

aa

b b

K

ux uz

K

M

Mx My y

Mx My


100/144

P SA = a

nRe(T)

Re(T) =RA+ (RM RA) T

TB

Re(T) =RM

Re(T) =RMTCT

Re(T) =RMTCTDT2

L

h

a

b

M

E

an

2

RA

RM

TB

TC

TD


101/144

N

x

x1 x2 x3

x=

x1x2x3

=11

1

L=60m L=60m L=60m

H=50mpile

tablier

y x

z z

m m m

k1 k1 k1

k2 k2

x1 x2 x3


102/144

K

M

i i

Ap

2

Ip

4

At

2

E

10

3

a

x

m= 1

2mp+mt mp mt

L

k1 =

3EIph3

m

k1

x

a

3 =

k1+3k2

m

|aij

|= a11a22a33 + a31a12a23 + a21a32a13

a11a32a23

a31a22a13

a21a12a33


103/144

N

Spectre norm 0,1g

Pourcentage d'amortissement critique de 5%

0,01

0,1

1

10

0,1 1 10 100

frquence (Hz)

pseudo-acclration(m/s)

K

M

i i i=j i =j

M=M+

1

i

i

2i =2i (1 +i)

i

i=i+i

i

i

TiK

i= 0

TiM

i= 0

er

i= T

i

i

TiM

i


104/144

i=

j=iijj

ij = 2i

2j 2iTj

i

Tj

M j

m(1 )

m

m(1 +)

i

k2=k1 1 2

1

2

p2

= 0.05


105/144

N

L

M

EI

EI

L

m

x= L

x= 2L

m

F

x = 2L

r = M

3L

= 1L2112EI

93r


106/144

EI

K =6EI

5L3

8 77 8

m

u1(t) u2(t)

F

x= 2L

t0= 0 t0

E

I

4

M

L

F


107/144

N


108/144


109/144


110/144

L

S

E

M

M LS

M LS


111/144

Lcp

tanLcp

= 2SL

M

L 0 ux(x, t) =u0x, 0< x < Lux(x, t) =u0(2L x), L < x


112/144

H

S

M

E


113/144

cos k cosh k+ 1 = 0

k

1 = (1.875)

2

EISH4

M

v

F

T =1

3M

v

2 = (1.878)4 EI

SH4

f= 0.771F

umax M =umaxEI

(0) M

V

= umaxEI (0) V


114/144

e

3

g

2

R

= 7.125 3.75180

x

I(x) =eR3

(x)

(x) = 3x2

2L2 x

3

2L3

L

x

x


115/144

g

m

k

p

ug(t)

f

umax

M M V

V

M

M

V

V


116/144

EI

m

L

M

i=ki

EImL4

k1 k2 k3


117/144

A

B

h

u(x, t) = 23gh

11

sin xL

sin 1t 122 sin 2xL sin 2t+...


118/144

R

P

cL

S

cT

r

u= u(r)er

ur(r) =

rf(r)

r = B

r2(kr cos kr sin kr)

k = cL

rr(R) = 0

tan kR = kR

1+24 k2R2

k=

cL


119/144

m0

m

h

D

m0

E

f


120/144

L

t0

u(L, t) =u0sin (t t0)

u(x, t)

x [0, 2L]

t [t0, t0+ 2 ]

m

E

I

u0


121/144

x

y

x

H

m

E

I

MF

Kx

Kyy


122/144

L

x

T(x)

S

E

x

x

x

| y

x| 1

T

x

x+ x

S2y

t2 T

2y

x2


123/144

n

I

S2y

t2 =T

2y

x2 EI

4y

x4

n n=n+ n

n=n

L(1 +Bn2)

T

S

B


124/144

Sx

axay

=T(x+ x)

cos((x+ x))sin((x+ x))

T(x)

cos((x))sin((x))

x

y

Sx2yt2

=T(x+ x)sin((x+ x)) T(x)sin((x)) Tyx

|x+x yx |x

Sx2yt2

T2yx2

x

y(x, t) =u(x)e t

k= v

v=

TS

2u(x)

x2 +k

2u(x) = 0

u(0) =u(L) = 0

un(x) =A sinnx

L

n =nv

L

a n

L

4 = a

4EIS


125/144


126/144

H

H1

E1 S1 1 H2 E2 S2 2

E1 = E2 S1=S2 1 = 2H2 = 10H1


127/144

N= ES v10

2cp


128/144

rr rr ur

ur

er = rrr +rr + rr sin +1r (2rr +rcot )

e =

rr

+

r +

r sin

+1

r[( )cot + 3r]

e= rr +r + r sin +1r (3r+ 2cot )

u(r, t) = u0

re (krt)

k=

+2

u(r, t) = u0

r

k

1

r

e (krt)


129/144

u1 = u2= 0

u3 = u0e (kx1t)

Ri Ti

=k

k

e+ =e kh

e=ekh

T=T2e

kh

SH

T0

e+

e

T2

1=

1


130/144

T = 4

(1+)2e(1)2e+

T= 21+2


131/144

P

Ri Ti R

i T

i

P

SV

P

P

SV

P

u1=u0cos e (k1x+k2yt)

u2=u0sin e

(k1x+k2yt)

u3= 0

SV

u1 = T2u0cos T2e

(K1x+K2yt)

u2 = T2u0sin T2e

(K1x+K2yt)

u3 = 0


132/144

CS

CP

w CF

0


133/144

q(x1, x3, t)

2u2x21

+2u2

x23+

q

T =

T

2u2t2

A


134/144

E

=G(1 + 2)

R

fx=md

2 cost

fy =md2 sint

m

d

0< < 50 2= 100

M1 M2

z


135/144

1D


136/144

R

K

= 8GR

2

1D

K

C

K() =K

1 +

(2)8

= Rc

K() =K

1 (2)

8A

+

K

A(2)

8 + 2

A=

0.5

1 + 42

K() =GR

1 + 2

ux(t) =fx

1A

A= K

1 +

(2)R8c

2M2K


137/144

L D

x

y

V x

ugx(y, t) = 1

2

+

A()e (t

yV

)

ugx(y, t) =

1 aix(t)i(y)

i(y) D

0

i(y)k(y) y = 0, i =k

1(y)

2(y)

z

a1x(t) a2x(t)


138/144

AradierAsol

= 1k

2(1 cos k)

k= D

V


139/144

2L

Kz

K

k

k

Kz K

k1 k2

k1

k2


140/144

k1 k2

Kz K

k1 =

Kz3

k2 =

K2L2


141/144


142/144

R1 R2

p(r, ) =ar cos +br sin +c

rcos +

d

rsin

a

b

c

d

R


143/144

a= R22R21 R22

Ux,2 R21

R21 R22Ux,1

b= R22R21 R22

Uy,2 R21

R21 R22Uy,1

c= R21R

22

R21 R22

Ux,2 Ux,1

d= R21R22

R21 R22Uy,2 Uy,1


144/144

H

M

S

2

K

Documents

Dynamique Recueil2014