II Diffraction du jet atomique par une onde stationnaireA l'.id" d'un laser de longueur d'onde \t :67I nm, on crr6e une onde plane et progressive, polaris6e rectiligne-ment selon dr, de vecteur d'onde kp et de pulsation cd1, eui se propage dans la direction dr. Le champ 6lectriquede cette onde s'6crit :

E*1r,t7 = i luE*(x,t) : duEscos(r..rpt - kt x)

II.A - Onde str;tiontro,irr-L'onde laser se r6fl6chit en incidence normale sur un miroir plan assimil6 A, un miroir m6tallique parfaitementconducteur, situ6 dans le plan t: ,EM.Montrer que le champ 6lectrique de I'onde stationnaire r6sultante s'6crit E(o, t) : iluE(r)sin(ar1t - kux').Pr6ciser I'expression de .E(c) en fonction de Es, ky, et ry1.

II.B - Notion de ptentiel lumineusOn s'int6resse d'abord i I'interaction de cette onde stationnaire avec les atomes de lithium. Lorsqu'ils p6nbtrentdans la zone oi rdgne le champ E, les atomes se polarisent. Lorsque la pulsation &/1 est trds 6loign6e desr6sonances atomiques, les dip6les induits oscillent d, la pulsation ar" du laser excitateur et en phase avec lui:le dip6le atomique induit s'6crit alors p : €se.E, oi o est la polarisabilit6 de I'atome de lithium. Dans les

conditions de l'exp6rience (laser hors de r6sonance), on a o : - L * oi d : 3,45 x 10-2e C.m est une€o ndLconstante caract6risant le dip6le de I'atome de lithium et or) dp : uL - uo est l'6cart entre la pulsation laser r^r1et la pulsation ais de la transition atomique la plus proche. Le champ lumineux interagit avec le dip6le atomiquey' qu'il induit via une 6nergie potentielle , : -IO'8, appelee potentiel lumineu,s.

II.B.1) Montrer que la moyenne temporelle de ce potentiel lumineux s'6crit sous la forme

W(r) : - t r"( t - cos(k,(c - " r ) ) )

II.B.2) Exprimer Vs et k, en fonction des paramdtres du probldme.

fi,C - Eqntion de prcpgotion de l'onde de matidruUn jet supersonique de lithium se propage dans le plan (Orz) d, une vitesse o : 1060 m.s 1 et traverse I'ondelumineuse stationnaire g6n6ree par un miroir (M) (figure 4). Un atome de lithium est assimil6 i un paquet d'ondesde matidre d6crit par sa fonction d'onde ,lr(n,z,t) dont le module au carr6 donne la densit6 de probabilit6 depr.6sence de I'atome dans I'espace d trois dimensions. On s'intrlresse ici excluSivement au processus 6lastique dediffusion des atomes par I'onde lumineuse stationnaire, de sorte que l'6nergie de I'atome peut 6tre consid6r6ecomme fixee et 6gale d son 6nergie cin6tique incidente Et. La partie spatiale g(x, z) de sa fonction d'onde ob6italors d l'6quation de Schrodinger

h2 (d2p , 02.^r- nldn * 6; )+W(x)g: Erp d I ' int6rieur de I 'onde stationnaire (0 < z < D)

-#(* .#) :E,e i I'ext6rieur de I'onde stationnaire (z < 0 ou z > D)

ot) rn : 1,16 x 10-26kg est la masse de I'atome de lithium 7 et Erson 6nergie totale, 6gale d son 6nergie cin6tiqueincidente.II'C'l) Rappeler I'expression de la longueur d'onde de de Broglie ,\6s de l,atome incident et l,6laluer num&riquement dans le cas pr6sent.rr'c'2) on assimile le paquet d'onde atomique incident d une onde plane de vepteur d,onde En. R"liu, in a luquantit6 de mouvement de I'atome m6 et

"tt d6duir" I'expression de son 6nergie Er. L,6valuer num6riquement.

on supposera dans la suite que la profondeur I/o du potentiel lumineux est beaucoup plus faible que l,6nergie.En de I'atome.rl'c'3) licrire l'6quation de propagation, dans un milieu d'indice n(r), d'une onde lumineuse E@,2,t) devecteur d'onde dans le vide t et de pulsation r.,,.

I*#b3.911i":1" la propagation de I'onde de matibre d I'int6rieur de t'onde stationnaire esr r6gie par unel,ot uuL

,"^o:::t1"j]Tli,t"__, ":ll" d'une onde,lumineuse.dans un milieu d'indice n(c) moclul6 p6riodiquement. euel estle pas A de ce r6seau d'indice ? L'6valuer num6riiquement. Donner I'expression de I'amplitude n, de modulationde I'indice en fonction de Vo et Er.

€f"^U^ a^1 a^r-/oq/a ,h. Lz{rn-6* +,r^(Ll t s,n,;J,-f,

II.C.5) On 6crit l'6quation de propagation de l'onde de matidre d l'int6rieur de l'onde stationnaire .o,r, luforme suivante

k* **k lv:4kiKcos(f t , (o -xt))p - , . ' ' r r ( I I .1)dr2 ' 022 ' ' , " iY 'w?4rvvuvwr\e *M/,Y - I

Exprimer I{ en fonction de n1 et .\6s. f-' i - rr ''

(. l i ' - l ' : i '

(M) "!. ,- ,. r rt -,.,K

^l I

Figure 4 R.6seau lumineux de pas A et d'6paisseur D

II.D - Rdsolution de I'furntion de prcpagotionLe faisceau lumineux qui cr6e I'onde stationnaire est limit6 transversalement par un diaphragme de rayonR : 5 mm. Le r6seau lumineux sur lequel vont se diffracter les ondes atomiques a donc une 6paisseut D : 2R(figure 4). Deux fentes trbs fines, de largeur - 10 lrm, sont plac6es le Iong du jet supersonique, de manidre d,s6lectionner trds pr6ci#ment I'angle d'incidence d, des atomes sur le r6seau lumineux (l'orientation de I'angled; est pr6cis6e sur Ia figure 4). Dans ces conditions, on montre que seules deux ondes planes se propagentsimultan6ment dans le r6seau lumineux : I'onde incidente rpi(i) d amplitude 4(z) et de vecteur d'onde (, etI'onde diffract6e g6(i) d'amplitude BaQ) et de vecteur d'onde ka : k; * q&, ori q : Ll et oi /c, : krd,caract6rise la p6riodicit6 du r6seau lumineux et est choisi ici de m6me sens que le vecteur d'onde E, de I'ondelaser incidente sur le miroir (M). On considbre dans la suite le ca^s ( = -1.II.D.l) Montrer que la conservation de l'6nergie cin6tique de I'atome, entre son entr6e dans le r6seau etsa sortie dans I'ordre e : -I de diffraction, implique une certaine relation que I'on explicitera entre I'angled'incidence 01, le pas A du r6seau et la longueur d'onde de de Broglie ,\6 de I'atome.II.D.2) livaluer num6riquement I'angle d'incidence, not6 ds, qui satisfait cette relation.II.D.3) Quel angle fait le faisceau diffract6 avec I'axe d- dans ces conditions ? Faire un sch6ma illustrant ladisposition relative des traits du r6seau et des vecteurs d'onde kn,h, eti6.II.D.4) On cherche les solutions de l'6quation de propagation (II.1) sous la forme

g.i( z)eil ' t * g aQ)eiko'i

a/ Que repr6sente physiquement chacun des termes de cette solution ?

0n J^d' 1* =II.D.5) On impose les conditions aux limites gok : O) : go et B6e - 0) : 0. En preciser la significationphysique. Que repr6sente po ?II.D.6) On suppose que les amplitudes des deux ondes sont lentement variables d I'echelle de .\6s. Justifierque cela permet de n6gliger les d6rivees secondes dans le systdme d'6quations coupl6es ci-dessus.II.D.7) En d6duire que I'amplitude BrQ) satisfait d, une 6quation difi6rentielle de la forme

ff * rr, : o.Expliciter la constante positive z en fonction de K et cosgr.II.D.8) R6soudre cette fuuation difi6rentielle en utilisant les conditions aux limites pr6cisees en II.D.5).II.D.g) En d6duire I'expression de BaQ) et celles des ondes planes gi@) et ga(i) ensortie d'onde stationnaire,c'est-d,-dire pour z : D' Commenter ces solutions. L'approximation des r*plitnd", lentement variables voussemblet-elle justifi6e ici ?

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