Cours Majeur2_Guide d'Onde

5/12/2018 Cours Majeur2_Guide d'Onde - slidepdf.com

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1/67

Guides d’onde et applications

A: Approche géométrique:les rayons piégés

B: Équations de MaxwellIndice optiqueRéfractionSusceptibilité linéaire

C: Modes de propagationsTransverses électriques

Transverses magnétiquesAnalogie quantiqueInterprétation géométriqueDispersion modale

C: Confinement optiqueapplication aux lasers

D: Théorie des modes couplés

fonction enveloppeE: Guides de Braggaccord de phaseguide de Bragg

F: Technologies des guides

d’ondesFibres optiquesGap photoniques

Emmanuel Rosencher MNO 2 8/02/2005



2/67

1n

2n

2n

Approche géométrique

' cθcθ 1

2n

nc' sin =θ

Angle critique de guidage

maxθ

21

22

n

n1c1max 1nsinnsinON −=== θθ

Ouverture numérique

22

21 nnON −=

Interaction onde-matière faible

c1ext n θθ sinsin =

2W

0

20 z #λπλ

≈=

0W

Espace libre:

Propagation sur de petites distancesInteraction onde-matière forte

Guide optique:Propagation sur de longues distances



3/67

Approche géométrique

Déphasage de Fresnel

Quantification desdirections de propagation

Effet Goos-Hanschen

Pénétration tunnel des photons



4/67



B: Équations de MaxwellIndice optiqueRéfractionSusceptibilité linéaire










5/67

Équations de Maxwell

0 E . =∇ r ( )0=ρPoisson

B E dt

d rr−=×∇Lenz

D j E Bdt d

cdt d

c

rrrr

20

21

01

εµ =+=×∇Faraday Ampère

0 B. =∇rAbsence de

monopole magnétique

P E D

rrr

+= 0εVecteur déplacement

E E r qP e

rrrr )1(0 χεα ===Vecteur polarisation

Propriétés de la matière

+

E r

er r

0 E E 2

dt

2d

2c

12 =−∇rr

Dans le vide



6/67

( ) t ier E E ωrrr=

( ) ( )r 1r n )1(2 rrχ+= Définition de l’indice optique

Onde monochromatique

( ) 0 E r nk E 222 =+∇rrr

Helmholtz

Équations de Maxwell-Helmholtz

)1(χ Susceptibilité optique linéaire

0 E E 2

2

2

)1(

dt

d

c

12 =−∇ + rr χ

ck =ω dans le vide

nck =ω dans la matière

P E E 2

2

20

2

2

2dt

d

c

1

dt

d

c

12 rrr

ε=−∇*

*



7/67

Optique linéaire:indice optique, vitesse de la lumière et susceptibilité linéaire

( ) ( ) ( ) ( )t E t r qt P 10 χε==

opn' λλ

=

λopnc' c =

( )1op 1n χ+=

avec

Lire Le cours de Physique de Feynman

Chapitre 31 L’origine de l’indice optique



8/67



B: Équations de MaxwellIndice optique

RéfractionSusceptibilité linéaire










9/67

2 / d x0 << ( ) ( ) ( ) 0 x E nk x E y22

12

ydx

d 2

2=−+ β

2 / d x > ( ) ( ) ( ) 0 x E nk x E y22

22

ydx

d 2

2=−+ β

Modes de propagation

( ) ( )

= −

0

e x E

0

r E zi

yβrr

Onde transverse électrique TE

02

2

dy

d = x

z

y

Attention: il y a aussi des composants H z

z

x

0

d/2

1n

2n

2n y

( ) ( )( ) ( ) 0 x E r nk x E y222

y2dx

2d =−+ βr

*



10/67

2222

221

222 ON k nk nk =−=+ακ Résultat utile pour la suite:

( ) x E y

x Modes de fuites ou de radiatifs

( ) x E y x

Modes guidés

Modes de propagation

221

22 nk βα −=

22222 nk −= βκ Modes guidés

β>2nk

β<1nk < 1k n

β

> 2k nβ

*



11/67

2 / d x0 <<

2 / d x >

( ) ( ) 0 x E x E y2

y

dx

d 2

2=+α

( ) ( ) 0 x E x E y2

ydx

d 2

2=−κ

( ) xcos A x E y α= ( ) xsin A x E y α=

( ) x y eC x E κ −=

Modes pairs guidés Modes impairs guidés

1n

2n

k n / β=interdit

Continuum: modes radiatifs

Modes guidés

n

x

221

2221

22 nnk nk −=−= βα

22

2222

222nnk nk −=−= βκ



12/67

Onde transverse électrique TE

−=

×

t i z

t i x

dt d

y

e B

0

e B

0

E

0

dz / d

dy / d

dx / d

ω

ω x y ydz

d Bi E i E ωβ −=−=−

z ydx

d

Bi E ω−= ydxd

E continu

E et B continus

2d eC 2d A / / cos κ α −=

2d eC 2d A / / sin κ κ αα −−=−

κ αα =2 / d tg

22122 nk βα −=2

2222 nk −= βκ

β

inconnue

Continuité de E y et dE y /dz en x=d/2: modes pairs



13/67

Nombre de modes guidés == ON 2 E E N 0

d d / ON k λπ

Condition pour être monomodeON 20d λ

<

12d tg2

22ON k −=α

α /

12d 2

22ON k −=−α

α / cot

Solutions paires

Solutions impaires

Solution graphique

0.5 1 1.5 2 2.5 3

2

4

6

8

10

2 / d tgα

12

2kON −α

2 / d cot α−

d / π

α

kON

1 2 3 4 5

*



14/67

Onde transverse magnétique TM

Continuité de B y et 1/ni2 dB y /dz en x=d/2:

( ) ( )

= −

0

e x B

0

r Bzi

yβrr

E Bdt d

cn

122

i

rr=×∇avec E donné par

κ αα2

n

n

2

12d tg = /

κ αα

2

nn212d −= / cot

Solutions paires

Solutions impaires



15/67

m1m kn θβ cos=

m1m kn θα sin=

( ) 212c

2m1m kn

/ coscos θθκ −=

Interprétation géométrique

z

x

0

d/2

1n

2n

2n

mθ

mβ

Pour chaque mode m

1nk

12d tg2

m

22ON k

m −=α

α / Déphasage de Fresnel

+

Stationnarité de la phase



16/67

Analogie quantique

( ) ( )( ) ( ) 0 x E xV x2

22

dx

d

m2

=−+− ψ ψ h

( ) ( )( ) ( ) 0 x E xnk x E y222

ydx

d 2

2=−+ βHelmholtz

Schrödinger

( ) ( ) xV 2 xnk 2

m22

h

−↔

E 2 2m2

h−↔β

( ) ( ) x x E ψ ↔

-40 -20 20 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Notamment:

( ) ( ) mnnmnm dx x E x E E E δ=∫ =∞+

∞−*



17/67

Dispersion modaleOn introduit l’indice optique effectif du mode: neff cn

k eff ωββ ==

2eff

21k

nn −=α

12d tg 2

22ON k

−= αα /

( )( )

1nntg2

eff 2

1

2

nn

ON d 212

eff 2

1 −=−−λ

π /

L’indice neff est fonction de 1/ λ soit encore de ω

Le guide est dispersif !

L’indice effectif dépend de λ: en effet

Exemple: n1 = 1.8, n2 = 1.2 ON 21

sm0

d =λ

341ON .≈37 0

sm0

d .≈λ

eff n

λ / d 0 0.5 1 1.5 2

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8



18/67








D: Théorie des modes couplésfonction enveloppe

E: Guides de Braggaccord de phaseguide de Bragg





19/67

CONFINEMENT

( )

( )ℜ+

∫

∫ ==

∞ 11

dx x E 2

dx x E 2

0

2

2 / d

0

2

Γ

( )

( )∫

∫ ∞

=ℜ2 / d

0

2

2 / d

2

dx x E

dx x E

avec

Dans un guide symétrique:

( ) d

2

2C x2

2 / d

2

2 / d

2edxeC dx x E

κ κ

κ −−∞∞=∫ =∫

( ) ( ) ( ) dx2d

0

x212

2 Adx x22d

0

2 A

2d

0

dx x2

E ∫ +=∫ =∫ /

coscos / /

αα ( )d sind 14

2 A α

α+=

totaleénergie

guideledansénergie=Γ

Facteur de confinement

-6 -4 -2 2 4 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4



20/67

( ) ( )guideledansénergie

guideduhorsénergie

d d

2d 2

d d

e2

AC 2

mm

m

1m

2

m1

d ===ℜ

++

−

α

α

κ ακ

αα

κ

sin

/ cos

sin

0.5 1 1.5 2 2.5 3

2

4

6

8

10

T

m

mmmm 2d tgT ακ α / / ==

2

mT 1

1m

22d

+= / cos α

2

m

m

T 1

T 2md

+

=αsin

avec

et

et2

mT 1

ON k m

+=α

( ) 2mm

2m T 1T ON d k T

1m

++=ℜ

∞→ℜm quand ∞→m0→Γ et

Les modes de plus bas indices sont les plus confinés



21/67

Application à une structure laser GaAs/AlGaAs

0.9 1.1 1.2 1.3lHµmL

3.25

3.3

3.35

3.4

3.45

3.5

3.55

3.6

n Alx Ga1-xAs

.1.2

.3

.4

Variation de l’indice dans AlGaAs

0 0.5 1 1.5 2

3.28

3.3

3.32

3.34

3.36

3.38

Modes guidés dans GaAs/AlGaAs

Γ GaAs = 0.02

x1= 0.2

nAlGaAs1= 3. 274

nAlGaAs2= 3.393

x2= 0.4

ON= 0.89

dmax = λ /2ON = 0.5 µmapuits= 10 nm

GaAs

AlGaAs1AlGaAs2

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

!!!



22/67














23/67

Théorie des modes couplés

Par construction:

( ) ( )( ) ( ) 0 x E r nk x E m2

m22

m2dx

2d =−+ β

r*



24/67

Théorie des modes couplésAvertissements:

- calcul générique à de très nombreux domaines de la Physique:optique non linéaire, micro-ondes, acoustique, mécanique quantique…- archétype du calcul qui commence mal et termine bien- demande du sang froid

Rappel: fonction lentement variable dite « enveloppe »

AdA<<

k 1dz / =

dz

Ad

dz

Ad k

2

2

<<

Ak dz

Ad <<

( ) ( ) ( ) )()( t zimm

t zim

mm e x E z Ae x E ωβωβ −− →



25/67

Théorie des modes couplés

La base des modes est complète: ( ) ( ) ( ) ( ) ..,, cce x E z At z x E zt imm

m m +∑= − βω

0 Acst A 1m1 == >,par exemple:

On introduit une perturbation par exemple ( ) ( ) ( )t r E r t r P 0 per ,, εε ∆=

( )r ε∆perturbation

x

z

( ) ( )t r P E r nk E per 2dt

2d 0

222 ,µ=+∇rr

Équation fondamentale de l’optoélectronique

P E E 2

2

20

2

2

2dt

d

c

1

dt

d

c

12 rrr

ε=−∇

( ) per

10 P E P

rrr+= χε

Si P per = 0, les modes sont stationnaires c.a.d cst Am = solution



26/67

La présence de la perturbation P per va coupler les modes(cf mécanique quantique)

( ) ( )t r P E r nk E per 2dt

2d 0

222dz

2d 2dx

2d ,µ=+

+

rrr

( ) ( ) ( ) ( ) ..,, cce x E z At z x E zt i

m

m

mm +∑= − βω

modes propres

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑

+−

mm

22m

2mm2dx

2d m x E r nk x E x E z A

rβ

( ) ( ) ( ) ( ) per

dt

d 0

zt imm

dz

d mm

dz

d Pcce x E z Ai2 z A2

2m2

2 µβ βω =+ −+ − ..

fonction lentement variable

?



27/67

On projette sur le mode q: ( ) ( ) qmqmmq dx x E x E E E ,* δ=∫ =

∞

∞−

( )( )

( )( )

( ) ( )∫ =−∞

∞−

+−−+dx x E t r Pie z Ae z A q per

2dt

2d

q2

0 zqt iq

dz

d zqt iq

dz

d *,r

β

µβωβω

( ) ( ) ( ) per dt d 0 zt im

mmdzd m Pcce x E z Ai2 2

2

m µβ βω =+

∑− − ..

Ce n’était pas si catastrophique que cela …

La perturbation nourrit les modes q

( ) E 22

m2h

−↔± βen n’oubliant par la dégénérescence



28/67

( ) ( ) ( ) ( )∫ −=−∞

∞−

+−−+ dx x E r Pie z Ae z A q per 2

q20 zqi

qdzd zqi

qdzd *ω

β

µββ

Théorie des modes couplés: résultats

( ) ( ) ( )∫ −=∞

∞−

−dx x E r Pie z A q per

2

q20 zqi

qdzd *r

ωβ

µβ

Fondamental pour optique non linéaire, acoustique, électronique, guide de Bragg, …

Perturbation synchrone: ( ) ( ) t i per per er Pt r P ωrr =,

Sans couplage vers l’arrière: ( ) 0 z Aq =−

*



29/67














30/67

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ..cce x E z Ar P z M K mim

mm2

x M 0 per +∑= ±− βεεr

La base des modes est complèteMême fréquence ω ( ) ( ) ( ) .., cce x E z A z x E

zim

mm

m +∑= − β

( ) ( ) ( ) ( )r E zK xr P M M 0 per rr

cosεε= M

2 M K Λ= π

avec

Guide de Bragg

Dh

M Λ

( ) x M ε

x



31/67

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dx x E x E xe z Ai qm M zK i

mm

24

M m

q

M 00 *∫ ∑− ±−+ εω ββ

εεµ

( ) ( ) =− −−+ ziqdz

d ziqdz

d qq e z Ae z Aββ

( )( )

( ) ( ) ( ) dx x E x E xe z Ai qm M zK i

mm

24 M mq

M 00

*∫ ∑−−

εωβ

β

εεµ m

Diffraction vers l’avant

Diffraction vers l’arrière

Seuls transferts efficaces

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zimqm M

24qdz

d e zdxA x E x E xi z Aq

M 00 ββ

εεµεω ∆−++ ∫ −= * 0K M qm ≈±−=∆ βββ

mqg

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zimqm M

2

q4 M 00

qdzd e zdxA x E x E xi z A

'* ββ

εεµεω ∆−−+∫ −= 0K M qm ≈+=∆ mβββ '

mqg

vers l’avant

vers l’arrière vers l’arrière

Diffractionvers l’arrière



32/67

Couplage du mode q vers l’arrière – q efficace seulement si:

02K 2 M 2

q M q ≈−=−=∆ Λπβββ ' 'β∆ est le désaccord de phase

m q

Modes couplés dzegzi

mq ∫ ∆− β

mqm

mqm

K

K

±+±−

=∆ββ

βββ

( ) ( ) zimmqqdz

d e z Agi z Aβ∆−++ −=

( ) ( ) zimmqqdz

d e z Agi z A 'β∆−−+ −=

vers l’avant

vers l’arrière

Réflexion de Bragg: m = -q



33/67

0=∆β

Accord de phase: 0=∆β

( ) ( )

( ) ( ) ziqqdz

d

ziqqdz

d

e z Agi z A

e z Agi z A

β

β

∆−+

∆−+−

=

−=

Conditions limites: onde +q entrante de la gauche, pas d’onde –q incidente de la droite

( ) ( )

( ) ( ) z Agi z A

z Agi z A

qqdzd

qqdzd

−+

+−

=

−=

( )( )

( )( )[ ] L zgch z A

gLch

0 A

q

q −=+

+

( )( )

( )( )[ ] L zgsh z A

gLchi

0 A

qq −=+

−

Onde transmise

Onde réfléchie

g décrit la force du couplage entre les deux ondes

( ) 0q A0 A =+

( ) 0 L Aq =−



34/67

Accord de phase: interprétation vectorielle

z

+q A

( ) z Aq−0 L

M Λ

gze−≈

q

β− qβ

M

2 M K

Λ= π

""4λ



35/67

Filtre de Bragg 0≠∆β

( ) ( )

( ) ( ) ziqqdz

d

ziqqdz

d

e z Agi z A

e z Agi z A

β

β

∆−+∆−+−

=

−=0 Ag Ai A q

2qdz

d q

dz

d 2

2=−∆− +++ β

( ) z

2

i

e

δβ ±∆

( ) ( ) z Aet z A qq−+ combinaison linéaire de 22g4 βδ ∆−=avec

( ) 0q A0 A =+

( ) 0 L Aq =−

( )( ) ( ) ( )

22 Lshi2 Lch

2

0 A

L A

q

qT

/ / δβδδδ∆+== +

+

transmittivité d’un filtre de Bragg-4 -2 2 4

Db•2g

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T

gL=1

gL=2

gL=5

stop band



36/67

Technologie de guide d’onde pour laser Bragg



37/67





C: Modes de propagationsTransverses électriquesTransverses magnétiquesAnalogie quantiqueInterprétation géométriqueDispersion modale








38/67

FIBRES OPTIQUES

( )r n

46 1.451.

z

( ) 0 E r nk E 222 =+∇rrr

( )( ) ( ) 0r nk r 2d d

r 1

dzd dr d dr d r 1 2

2

22

2

=+++ ψ ψ ψ ψ ϕ

coordonnéescylindriques

z z Bou E =

Solutions séparables: ( ) ( ) zt ilieer

βωϕψ −±=

( ) 0k r n2

2

2

2

r

l222

dr

d dr d

r 1 =

−−++ ψ βψ ψ

Croyez le ou non, il y a des solutions algébriques: les fonctions de Bessel

( ) ( ) ( )r hY cr h J cr l2l1 += ( ) ( ) ( )r qK cr q I cr l2l1 +=

( ) 0k r nh2222 >−= β ( ) 0k r nq

2222 >−=β



39/67

Dispersion modale d’une fibre



40/67

FIBRES OPTIQUES

tirage de fibres Fibres monomodes

et multimodes



41/67

vers 1.55 µm: 0.2 dB/km !!

Exemple: atténuation de x dB → de e-x

pour 50 km → de e- 10 ≈ 4.5 10-5répéteurs



42/67

1994 1996 1998 2000 2002 20040.01

0.1

1

P e t a B i t s

/ s .

k m

date

6 térabits sur 2700 km

Capacité des réseaux télécom:

doublement tous les 16 mois

soliton

CAPACITES DES SYSTEMES DE TELECOMMUNICATIONS

A FIBRES OPTIQUES

Bande passante multipliée par

le nombre de voies



43/67

Interference patternGrating

Coreø 9µm

Claddingø 125µm

LaserBeam

LaserBeam

Λ

Fiber

FIBRES OPTIQUES A RESEAU DE BRAGG



44/67

LASER A FIBRES OPTIQUES DE PUISSANCE



45/67

Fabrication (e.g.)

silica glass tube (cm’s)

fiber

draw

~1 mm

fuse &

draw

~50 µm

[ R. F. Cregan et al., Science 285, 1537 (1999) ]

Photonic Crystal Fiber: guidage dans l’air



46/67

10µm

5µm





47/67


ω (c / a) (not 2p c / a)

transmitted intensityafter ~ 3cm




48/67

Cristaux photoniques

( ) 0 E xnk E 22

dx

d

2

2

=+rr

Fabry Pérot

( ) 0 E z xnk E E 22

dz

d

dx

d

2

2

2

2

=++rrr

,Guide d’ondede Bragg

Steven G. Johnson MIT

( ) 0 E r nk E 222

=+∇

rrr

( ) périodiquestructurer nr

BLOCH !

19871887

eriodicinone direction

2-D

periodic intwo directions

3-D

periodicinthree directions

1-D

p

Pé i di ité 2d 12 1



49/67

E

H TM

a

f r e q u e n c y

ω

( 2 p c / a )

= a

/

λ

Γ X

M

Γ X M Γ irreducible Brillouin zone

k

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Photonic Band Gap

TM bands

gap for n > ~1.75:1

Périodicité 2d, ε=12:1


Pé i di ité 2d 12 1



50/67

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Photonic Band Gap

TM bands

E

H TM

Γ X M Γ

E z

– +

E z

(+ 90° rotated version)

Périodicité 2d, ε=12:1

gap for n > ~1.75:1


Steven G Johnson MIT



51/67

UÕ L Γ X W K

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0

21% gap

L'

LK'

Γ W

U'XU'' U

W' K

z

I: rod layer II: hole layer

I.

II.

[ S. G. Johnson et al., Appl. Phys. Lett. 77, 3490 (2000) ]

gap for n > ~4:1

3d photonic crystal: complete gap , ε=12:1Steven G. Johnson MIT




52/67

rod layer

hole lay er

(diamond-like: rods ~ “bonds”)

A

B

C

[ S. G. Johnson et al.,

Appl. Phys. Lett. 77, 3490 (2000) ]

Up to ~ 27% gap

for Si/air

hole layer

Méthode de fabricationSteven G. Johnson MIT

Steven G Johnson MIT



53/67

Making Rods & Holes Simultaneously

substrate

top view

side view

Si




54/67


substrate

A A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

expose/etch

holes



55/67


substrate

A A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

backfill with

silica (SiO2)& polish



56/67


substrate

A A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

deposit another

Si layer layer 1



57/67


B B B B

B B B B

B B B B

B B B

B B B

B B B

substrate

layer 1

A A A A

B B B B

A A A A

A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

dig more holes

offset

& overlapping

S



58/67


B B B B

B B B B

B B B B

B B B

B B B

B B B

substrate

layer 1

A A A A

B B B B

A A A A

A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

backfill

M ki R d & H l Si lt l



59/67


B B B B

B B B B

B B B B

B B B

B B B

B B B

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

substrate

layer 1

lay er 2

lay er 3

A A A A

B B B B

C C C C

A A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

etcetera

(dissolve

silica

when

done)

one

period

M ki R d & H l Si lt l



60/67


B B B B

B B B B

B B B B

B B B

B B B

B B B

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

substrate

layer 1

lay er 2

lay er 3

A A A A

B B B B

C C C C

A A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

etcetera one

period

hole layers

Making Rods & Holes Sim ltaneo sl



61/67


B B B B

B B B B

B B B B

B B B

B B B

B B B

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

C C C C

substrate

layer 1

lay er 2

lay er 3

A A A A

B B B B

C C C C

A A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

A A A A

A A A

etcetera one

period

rod layers

e -beam Fabrication: Top View



62/67

p

5 µm

[ M. Qi, H. Smith, MIT ]

e -beam Fabrication: Side Views



63/67

(cleaving worst sample)

[ M. Qi, H. Smith, MIT ]

Le cristal de « tas de bois »



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[ K. Ho et al., Solid State Comm. 89, 413 (1994) ] [ H. S. Sözüer et al., J. Mod. Opt. 41, 231 (1994) ]

Up to ~ 17% gap for Si/air

(diamond-like, “bonds”)

[ Figures from S. Y. Lin et al., Nature 394, 251 (1998) ]





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[ S. Y. Lin et al., Nature 394 , 251 (1998) ]

gap

(4 “log” layers = 1 period)

“UV Stepper:” e-beam mask at ~4x size+ UV through mask, focused on substrate

Good: high resolution, mass production Bad: expensive ($20 million)

http://www.sandia.gov/media/photonic.htm

Si


Mass-production II: Colloids



66/67

microspheres (diameter < 1µm)silica (SiO2)

sediment by gravity into

close-packed fcc lattice!

(evaporate)

p

[ figs courtesy

D. Norris, UMN ]Inverse Opals



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fcc solid spheres do not have a gap…

…but fcc spherical holes in Si do have a gap

Infiltration

sub-micron colloidal spheres

Template(synthetic opal)3D

Remove

Template

“Inverted Opal”

complete band gap

~ 10% gap between 8th & 9th bandssmall gap, upper bands: sensitive to disorder

]

[ fig courtesy

D. Norris, UMN ]



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Documents

Cours Majeur2_Guide d'Onde