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de

Cours • Méthode • Exercices • Corrigés

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Sixième

mon annéeMathématiques

6e

Maths

rédigé par des professeursde l’Éducation Nationale

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1

© Copyright Cours Legendre – Tous droits réservés

Ce cours a été rédigé par :

Monsieur Djamil Guenfoud et Laurie Obadia

Professeur de Mathématiques

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2


COURS DE REVISION

Le cours de révision est composé de trois dossiers :

1. Un bilan-test de début de cours autocorrectif qui permet de repérer les éventuelles difficultés et de mieux orienter vos révisions.

2. Le cours : 4 séries de travail avec des leçons et des exercices d’application

autocorrectifs.

3. Les corrigés des exercices : ce sont les corrigés des exercices du cours.

COMMENT ETUDIER SON COURS ?

Nous vous conseillons d’étudier une série de travail par semaine en faisant tous les exercices d’application. Durée théorique du cours : 4 ou 5 semaines.

Bon travail !

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3 BILAN TEST


Questions : Réponses :

1. Quelle est l’écriture décimale de ce nombre ?

(52×10 000) + (7 × 100) + 8 +1000

5

10

3+

□ a. 5 278,35 □ b. 520 708, 305 □ c. 52 705, 3

2. 0,0342 est le résultat de l’opération : □ a. 34,2 ×1 000 □ b. 3,42 ÷10 □ c. 34,2 ÷1 000

3. C est un cercle de centre O et de diamètre [AB]. □ a. OB est un arc de cercle □ b. OA= 2× AB □ c. OA = OB

4. Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est :

□ a. parallèle à l’autre □ b. perpendiculaire à l’autre □ c. confondue avec l’autre

5. Quel(s) chiffre(s) peux-tu mettre à la place de pour que l’inégalité 5, 4 < 5,44 soit vraie ?

□ a. 0 ou 1 ou 2 ou 3 □ b. 0 ou 1 ou 2 ou 6 □ c. 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9

6. Quel est le nombre à la fois divisible par 3 et 5 ? □ a. 111 □ b. 4 730 □ c. 585

7. Si ABC est un angle aigu, alors sa mesure est comprise entre :

□ a. 30° et 100° □ b. 0° et 90° □ c. 90° et 180°

□ a. rectangle en B □ b. isocèle en A □ c. isocèle en B

9. La partie correspondante à la partie hachurée du carré est

□ a. 2

1

□ b. 4

3

□ c. 8

5

10. Si on compare les fractions 18

5 et 36

11 alors :

□ a. 36

11

18

5<

□ b. 36

11

18

5=

□ c. 36

11

18

5>

11. Un champ mesure 58 m de long et 32 m de large. Son périmètre vaut :

□ a. 1 hm 8m □ b. 90 m □ c. 18 dam

8. Le triangle ABC est :

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4 BILAN TEST


Questions : Réponses :

12. Si [Oa) est la bissectrice de l’angle xOy� alors :

□ a. xOa� = xOy� ÷ 2 □ b. xOy� =xOa� ÷ 2 □ c. xOy� = xOa�

13. La solution de l’équation 43,8 + x = 101,2 est : □ a. 57,4 □ b. 145 □ c. 58,6

14. Un robinet d’eau permet de remplir un seau de 4 litres en 12 s. Combien de temps, avec le même robinet, faut-il pour remplir une baignoire de 70 litres ?

□ a. 23 min 20 s □ b. 3 min 30 s □ c. 280 s

15. A est le symétrique de B par rapport à (d’) :

16. Un triangle ayant un axe de symétrie est toujours : □ a. équilatéral □ b. rectangle □ c. isocèle

17. Si D est le symétrique de C par rapport à (AB) alors : □ a. (AB) est la médiatrice de [CD] □ b. (CD) est la médiatrice de [AB] □ c. [AB] est la médiatrice de (AB)

18. Le coefficient de proportionnalité du tableau suivant est : 1,5 7 10,3 3,75 17,5 25,75

□ a. 0,4 □ b. 2,25 □ c. 2,5

19. 130 m³ est égal à : □ a. 130 000 litres □ b. 1,3 dam □ c. 1 300 dm³

20. Quelle est la distance réelle entre 2 villages lorsque

leur distance sur une carte à l’échelle 000 200

1 est égale à

3,5 cm ?

□ a. 7 000 cm □ b. 57 142 cm □ c. 7 km

Score

□ a. □ b. □ c.

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5 CORRIGÉ BILAN TEST


QUESTIONS REPONSES

1 b

(52×10 000) + (7 × 100) + 8 +1000

5

10

3+

= 520 000 + 700 + 8 + 0,3 + 0,005 = 520 708,305 1ère leçon / série 1

2 c 34,2÷1 000 = 0,0342 On décale la virgule de trois rangs vers la gauche. 1ème leçon / série 1

3 c

C est le cercle de centre O et de diamètre [AB]. OA et OB sont 2 rayons du cercle donc OA = OB. 3ème leçon / série 1

4 b

Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

4ème leçon / série 1

5 a 5,04 < 5,44 5,14 < 5,44 5,24 < 5,44 5,34 < 5,44 mais 5,44 < 5,44 est faux 1ère leçon /série 2

6 c Le nombre 585 est divisible par 5 car il se termine par 5. Il est aussi divisible par 3 car 5 + 8 + 5 = 18 et 18 est un multiple de 3. 2ème leçon / série 2

7 b

Un angle aigu a sa mesure comprise entre 0° et 90° : a est un angle aigu. 3ème leçon / série 2

8 c

Le triangle ABC est isocèle en B car AB = BC. B est le sommet principal du triangle. 3ème leçon / série 2

(d1)

(d2)

(d3)

si (d1) // (d2) et (d3) ⊥ (d1) alors (d3) ⊥ (d2)

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9 b

La partie hachurée correspond à la fraction 8

6 c'est-à-dire 4

3


10 a

Comparons 18

5 et 36

11

36

10

218

25

18

5=

×

×=

36

11

36

10< donc

36

11

18

5<


11 c

Longueur du champ L = 58 m, largeur l = 32 m. Périmètre du champ : P = 2×L + 2 × l = (2 58× ) + (2 × 32) = 116 + 64 P = 180 m = 18 dam 3ème leçon / série 3

12 a

[Oa) est la bissectrice de l'angle xOy� donc : xOa� = xOy� /2


13 a

43,8 + x = 101,2 x = 101,2 – 43,8 x = 57,4 vérification : 43,8 + 57,4 = 101,2 1ère leçon / série 4

14 b

Il faut 12 s pour remplir 4 litres d’eau. Il faudra donc 3 s pour remplir 1 litre. Pour remplir une baignoire de 70 litres, il faudra : 3 × 70 = 210 s = 3 min 30 s 2ème leçon / série 4

15 a

A est le symétrique de B par rapport à (d’), donc (d’) est la médiatrice de [AB]. (d’) ⊥ [AB] et (d’) passe par le milieu de [AB]. 3ème leçon / série 4

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16 c

Le triangle isocèle a un seul axe de symétrie. Le triangle équilatéral a 3 axes de symétrie.


17 a

C’est la droite (AB) qui est médiatrice du segment [CD] (dans la réponse c, les notations ne conviennent pas)


18 c

1,5 7 10,3 3,75 17,5 25,75


19 a 130 m³ = 130 000 dm³ = 130 000 litres 4ème leçon / série 4

20 c

Si l’échelle est 000 200

1 , 1 cm correspond à 200 000 cm sur le terrain ; 3,5

cm sur la carte correspond à 3,5×200 000 = 700 000 cm = 7 km 4ème leçon / série 4

Si ton score est supérieur à 18/20, c’est un bon début. Ne relâche pas les efforts, tu peux maintenant commencer l’étude de ton cours. Si ton score final est compris entre 13 et 18, tu as de bonnes connaissances mais certaines notions doivent être révisées. Si ton score est inférieur à 13/20, nous te conseillons de bien revoir les leçons et les exercices dans lesquels tu as fait des erreurs. Si ta réponse 1 est fausse, tu dois revoir la leçon 1 de la série 1. Les questions on été classées dans le même ordre que les leçons. Si l’une de tes réponses est fausse, réfère-toi au sommaire pour accéder à la leçon à revoir.

X 2,5

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8 SOMMAIRE


SOMMAIRE

6ème MATHEMATIQUES

1ère SERIE 2ème SERIE

Première leçon

1. Les entiers naturels 1. Comparaison des nombres entiers 2. Lecture et écriture des nombres entiers 2. Comparaison des nombres décimaux 3. Lecture et écriture des nombres décimaux 3.Encadrement d’un nombre décimal 4. Multiplications ou divisions par 10, 100, 1000 4. Troncature et arrondi 5. Ecriture fractionnaire

Deuxième leçon 1. Ordre de grandeur d’un nombre 1. Quotient entier 2. Addition, soustraction, multiplication 2. Quotient décimal

3. Critères de divisibilité

Troisième leçon

1. Utilisation de la règle seule 1. Vocabulaire des angles 2. Utilisation d’un compas 2. Triangles 3. Figures usuelles

Quatrième leçon

1. Droites perpendiculaires 1. Le cube 2. Droites parallèles 2. Le pavé droit

3. Patron d'un pavé droit

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9 SOMMAIRE


3ème SERIE 4ème SERIE

Première leçon 1. L’écriture fractionnaire 1. Qu'est- ce que résoudre une équation ? 2. Division d’un entier par un décimal 2. Ecrire une équation pour la résoudre 3. Division de deux nombres décimaux 3. Equation du type ba =× x 4. Donner l’écriture décimale d’un quotient sans poser la division

Deuxième leçon 1. Addition et soustraction 1. Pourcentage 2. Comparaison des fractions 2. Proportionnalité

Troisième leçon 1. Définition du périmètre 1. Symétrie par utilisation du quadrillage 2. Définition de l’aire 2. Symétrie par rapport à une droite 3. Unités d’aire 3. Médiatrice d'un segment 4. Tableau d’unités de surface 4. Les symétriques 5. Aire du triangle et du triangle rectangle 5. La médiatrice

Quatrième leçon 1. Le rapporteur 1. Tableaux et courbes 2. Mesure d’un angle à l’aide d’un rapporteur 2. Relevés statistiques (diagramme et

histogramme) 3. Tracé d’un angle de mesure donnée 3. Volume (pavé droit et unités) 4. Bissectrice d’un angle 4. Les échelles 5. Longueur d’un arc de cercle 6. Construction de triangles ayant un ou deux angles de valeurs données 7. Angles supplémentaires et complémentaires

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Première leçon

1. Les entiers naturels 2. Lecture et écriture des nombres entiers 3. Lecture et écriture des nombres décimaux 4. Multiplications ou divisions par 10, 100, 1 000 5. Ecriture fractionnaire

Deuxième leçon

1. Ordre de grandeur d’un nombre 2. Addition, soustraction, multiplication

Troisième leçon

1. Utilisation de la règle seule 2. Utilisation d’un compas

Quatrième leçon

1. Droites perpendiculaires 2. Droites parallèles

1ère SÉRIE

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Vérifie tes connaissances !

Notre collection mon année DEVOIRS AVEC CORRECTION te propose 6 devoirs* en phase avec ton cahier de révision.

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l’Education Nationale, sont un complément essentiel pour t’assurer de la bonne compréhension du cours.

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1ère série 1ère leçon

1 - LES ENTIERS NATURELS Un peu d’histoire

Depuis l’antiquité, les hommes utilisent des nombres écrits avec des signes pour dénombrer les objets. Chiffres romains par exemple : XXème chapitre. Les chiffres que nous utilisons sont les chiffres arabes. Ces chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 nous permettent d’écrire une infinité de nombres qui peuvent être : - entiers : 50 ; 7 - décimaux : 71,2

2 - LECTURE ET ECRITURE DES NOMBRES

Il a été défini un système de numération. Celui que nous utilisons couramment est la numération décimale dans laquelle chaque groupement de 10 unités représente une unité de l’ordre immédiatement supérieur. Pour plus de facilité, nous utilisons le tableau suivant :

classe des

classe des

classe des

classe des

classe des

classe des

classe des

milliards millions mille unités dixièmes centièmes millièmes c d u c d u c d u c d u 1 2 4 5 6 3 0 0 9 2 4 0 7

Ce tableau nous permet de lire correctement les nombres et de différencier nombres entiers et nombres décimaux et de voir qu’un nombre peut se lire de plusieurs manières selon la colonne du tableau considérée. Le nombre inscrit dans le tableau :

12 456 300 se lit douze millions quatre cent cinquante six mille trois cents. 1 245 dizaines de mille 124 563 centaines d’unités.

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1ère leçon

1ère série

3 - LECTURE ET ECRITURE DES NOMBRES DECIMAUX

92,407 se lira quatre-vingt douze virgule quatre cent sept Ou quatre-vingt douze unités quatre cent sept millièmes Ou quatre-vingt douze mille quatre cent sept millièmes Nous venons de voir un nombre à virgule qui est un nombre décimal. 92,407 est une écriture décimale.

Vous pouvez les décomposer comme suit : 92 unités et 407 millièmes ce qui nous conduit à l’écriture suivante :

92,407 = 92 + 0001

407

92 représente la partie entière et 0,407 la partie décimale. Nous verrons plus loin que nous pouvons écrire ce même nombre sous une autre forme.

4 - MULTIPLIONS ET DIVISONS PAR 10, 100, 1 000

D’après le tableau du paragraphe 2, nous remarquons que nous pouvons aisément passer d’une classe à l’autre : - en multipliant par 10, 100, 1 000 … - en divisant par 10, 100, 1 000 …

Multiplier par 10, 100, 1 000

Comment passer de 87,501 à 8750,1. Regardons la place de la virgule dans 87,501 puis dans 8750,1. Nous voyons qu’elle est placée deux chiffres plus loin vers la droite. Il y a deux chiffres d’écart entre les deux parties entières (5 et 0). On a déplacé la virgule de 2 rangs vers la droite. On a donc multiplié par 100.

Règle : Pour multiplier un nombre par 10, 100, 1 000 … on déplace la virgule vers la droite d’autant de rangs qu’il y a de zéros dans 10, 100, 1 000 … en remplaçant les rangs manquants par des zéros.

Exemple : 5,574121045,2571 =×

Je déplace la virgule d’un rang vers la droite.

4502571000145,1257 =× Je déplace la virgule de 3 rangs vers la droite et j’ajoute un zéro après le 5.

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1ère leçon

1ère série

Divisons par 10, 100, 1 000 Comment passer de 7,5 à 0,75 ? Nous remarquons que la virgule a été déplacée vers la gauche de 1 chiffre soit de 1 rang. 7,5 a donc été divisé par 10.

Règle : Pour diviser un nombre par 10, 100, 1 000 … on déplace la virgule

vers la gauche d’autant de rangs qu’il y a de zéros dans 10, 100, 1 000 … en remplaçant les rangs manquant par des zéros.

5 - ECRITURE FRACTIONNAIRE

D’après les exemples précédents vous avez pu remarquer qu’un nombre décimal peut être le résultat de la division par 10, 100, 1 000 …. d’un autre nombre.

Exemple : 10

49104994 =÷=, est l’écriture fractionnaire.

Il y a une relation étroite entre écriture décimale et écriture fractionnaire.

Exercice 1 _____________________________________________________

1. Calculer les nombres suivants, donner une écriture décimale s'il y a lieu.

A = 81051003100040 +×+×+× B = 310021000300 +×+×

C =100

1103

5100400000017 +++×+×

2. Ecrire les nombres précédents en toutes lettres.

3. Indiquer pour chacun d’eux le nombre de milliers, de centaines et de dizaines.

Exercice 2______________________________________________________

Traduire les écritures suivantes en nombres :

1. Quatre-vingt-quatre mille deux cent six. 2. Trois millions sept cent quatre-vingt-quatorze mille huit cent vingt-sept. 3. Cinquante millions six mille quatre.

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1ère leçon

1ère série

Exercice 3________________________________________________________ Compléter les égalités suivant les pointillés :

00141801814

178505178

100005534

1050134

,....,

,....,

,

....,

=÷

=÷

=÷

=÷

940490

7857005778

043456560434

100604345

1043456

,....,

....,

,....,

....,

....,

=×

=×

=×

=×

=×

Exercice 4 _______________________________________________________

1. Ecrire les nombres suivants en écriture fractionnaire : 0,4 ; 0,03 ; 4,6 ; 0,90 ; 72,25 ; 3,251 ; 0,0015 2. Donner une écriture décimale des nombres suivants :

100

15 10

3 1000

72 10

29 100

415 10

70 1000

1425 1000

725070

3. Donner l’écriture décimale et fractionnaire des nombres suivants : a. Quatre-vingt-douze dixièmes b. Cinq mille deux cent cinq millièmes c. Cent vingt-cinq dix millième Exercice 5_____________________________________________________

Que représente le chiffre 3 dans l’écriture de chacun des nombres suivants ? 9,53 ; 13,5 ; 0,863 ; 302; 17,3

Exercice 6________________________________________________________

Dans son corps, chaque être humain a 5 L de sang. Chaque mL de sang contient 5 000 millions de globules rouges. Chaque globule rouge a la forme d’un disque de diamètre 0, 007 mm. On imagine que l’on dispose tous les globules rouges d’un corps humain côte à côte. La circonférence de la Terre est d’environ 40 000 km. Pourrait–on faire le tour de la Terre ?

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2ème leçon

1ère série

Nous avons vu dans la leçon précédente les différentes écritures des nombres. Ici nous utiliserons l’écriture décimale des nombres. 1 - ORDRE DE GRANDEUR D’UN NOMBRE

Soit à effectuer l’addition suivante :

4056 + 242 4 056 est proche de 4 000 242 est proche de 200 Le résultat sera donc proche de 4 200. Le résultat exact sera donc : 4 056

+ 242 4 298

Il faut être vigilant quant à la disposition des chiffres. Il y a des erreurs à ne pas commettre. Les chiffres des unités des différents nombres doivent être les uns au-dessus des autres. Il en est de même pour ceux des dizaines, des centaines, des milliers…. Que se passe-t-il lorsque nous avons des nombres décimaux ? La technique opératoire ne change pas mais nous devons tenir compte de la virgule.

Soit à calculer : 2,9 + 13,105

2,9 13,105 millième

centième unité dixième unité dixième + 2,9

+13,105 16,005

Nous remarquons que les virgules des deux nombres sont au-dessus l’une de l’autre.

Comment trouver ici l’ordre de grandeur du résultat. Nous savons écrire 2,9 et 13,105 sous la forme suivante :

10

9292 +=, partie entière + partie décimale

0001

10513105,13 +=

Le résultat est donc proche de 13 + 3 = 16 15 est un résultat approché de l’addition tandis que 16,005 est le résultat exact.

Reprod

uctio

n inte

rdite

17


2ème leçon

1ère série

2 - ADDITION-SOUSTRACTION-MULTIPLICATION Addition

Soit l’opération : 5413290 ,, + → ordre de grandeur : 290 + 40 = 330

Le résultat est la somme des deux termes : 290,3 et 41,5 = 331,8 Nous pouvons changer l’ordre des termes et nous trouverons la même somme. Cela permet de regrouper des termes complémentaires afin de calculer plus rapidement.

Exemple : 78 + 29 + 12 + 11

Peut s’écrire 78 + 12 + 29 + 11 90 40 130

Soustraction Soit l’opération : 405 – 203 → ordre de grandeur : 400 - 200 = 200 405 et 203 sont les termes de différence. Contrairement à l'addition, nous ne pouvons modifier l'ordre des termes. 203 – 405 n'est pas possible. La différence 405 – 203 est égale à 202 Multiplication

24926 ,, × ordre de grandeur : 108427 =× 26,9 et 4,2 sont les facteurs du produit.

Remarque : On place la virgule dans le produit en sachant que le résultat doit avoir autant de décimales que les deux facteurs réunis.

Reprod

uctio

n inte

rdite

18


2ème leçon

1ère série

Posons l’opération :

2 6, 9 x 4, 2 5 3 8 1 0 7 6 . 1 1 2, 9 8

Nous pouvons ici aussi changer l’ordre des facteurs d’un produit de manière à effectuer des calculs plus rapides.

Exemple : 437252 ××× ,, Peut s’écrire : 452 ×, × 372 ×,

10 × 8,1 81

Soit l’opération : 4932501032549 ,,, =×

L’écriture fractionnaire de 0,01 est 100

1

Nous pouvons donc écrire :

100

13254901032549

×=×

,,, ce qui équivaut à écrire 2 549,3 ÷ 100 = 25,493

Rappel : Lorsque nous devons multiplier un nombre par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 … nous pouvons diviser le nombre par 10, 100, 1 000 …

1 + 1 = 2 chiffres derrière la virgule

Reprod

uctio

n inte

rdite

19


2ème leçon

1ère série

Exercice 1____________________________________________________

Regrouper les différents termes des opérations suivantes de manière à effectuer des calculs plus simples et plus rapides.

0724, + 10,5 + 0,03 + 9,5 0,04 + 2,9 + 1,16 + 0,1 14,035 + 7,02 + 9,465 + 0,08

Contrôler votre résultat en utilisant le calcul de l’ordre de grandeur.

Exercice 2 _______________________________________________________ Effectuer les produits suivants en utilisant des regroupements. Donner le détail de chaque opération.

020122385

20025432115

2529762040

,,,

,,

,,,

×××

×××

×××

Exercice 3 _______________________________________________________ Opérations à trous.

3 . 1 5 4 7 + 1 0 . 1 6 7 + 6 8 2 7 . 3 7 , 5 3 + 5 0 2 0 . 4 × . . . 0 4 . 3 1 . . . , . 1

Reprod

uctio

n inte

rdite

20


3ème leçon

1ère série

1 - UTILISATION DE LA REGLE SEULE Droite, demi-droite et segment de droite

Nous pouvons marquer des points A, B, C situés sur une droite. Nous allons devoir nous familiariser avec un certain mode d’écriture. Observons la figure ci-dessous.

Nous pouvons nommer plusieurs droites et plusieurs segments de droite. Il s’agit de la droite (AB) ou (BA) du segment [AB] ou [BA]

de la droite (BC) ou (CB) du segment [BC] ou [CB] de la droite (AC) ou (CA) du segment [AC] ou [CA]

Une droite peut aussi être nommée à l’aide d’une seule lettre. On parle souvent de droite (d) ou ∆ (delta).

La droite (d) ou encore (xy) comporte un point O. Ce point détermine deux demi-droites situées à droite et à gauche de O.

Il s’agit des demi-droites [O x) et [O y) qui peuvent être représentées de la façon suivante :

demi-droite [Ox)

Des droites peuvent se couper. On dit qu’elles sont sécantes (penser à « sécateur »). (d) et (∆) sont sécantes (se coupent) en A.

A est le point d’intersection de (d) et (∆).

Milieu d’un segment

I sera le milieu du segment [AB] si les points A, I et B sont alignés et si les longueurs des segments [IA] et [IB] sont identiques.

On écrira alors IA = IB (on remarque que les crochets ont disparu, ce qui veut dire que nous parlons de la mesure (en cm ou une autre unité) de [IA] ou [IB]).

A

Reprod

uctio

n inte

rdite

21


3ème leçon

1ère série

Définition : Le milieu d’un segment est le point de ce segment situé à égale distance des extrémités de ce segment.

Egalité des longueurs

Deux segments sont égaux lorsqu’ils ont la même longueur ou qu’ils sont superposables.

2 - UTILISATION DU COMPAS

Recherche :

Dans une ligne, comment pouvons-nous tracer tous les points situés à 2 cm du point O. Prenons une règle graduée et marquons le plus de points possibles situés à 2 cm de O. Nous remarquons que l’ensemble de ces points dessine un cercle qui est une ligne fermée. Le cercle de centre O et de rayon 2 cm est formé de tous les points situés à 2 cm de O.

Vocabulaire du cercle

Ne pas confondre cercle et disque. Le cercle est une ligne fermée dont tous les points sont à égale distance d’un même point appelé centre. Le disque est constitué d’un cercle et de l’intérieur. (Pour vous en souvenir vous pouvez assimiler le cercle à un anneau et le disque à un « compact disc » (ce disque est plein)).

[AB] = diamètre D [OC] = rayon R BC�= arc de cercle [BC] = corde Erreur !

O

x

disque

circonférence Reprod

uctio

n inte

rdite

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3ème leçon

1ère série

Il faut savoir calculer la longueur de la circonférence ou encore périmètre du cercle. Cette longueur P = 3,14 × D = 2 × 3,14 × R 3,14 représente le nombre π "se lit pi".

Formule à retenir : P = π × D = 2 × π×R

Exemple : R = 5 cm P = 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm R = 5 cm D = 2 × R = 10 cm P = 3,14 × 10 = 31,4 cm

3 - FIGURES USUELLES 1. Rectangle

Définition : Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

Propriétés du rectangle : Si un quadrilatère est un rectangle, alors il a ses côtés opposés parallèles et de même longueur. Ici, (AB) // (CD) et AB = CD (AD) // (BC) et AD = BC. Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont le même milieu et la même longueur. Ici, [AC] et [BD] ont pour milieu I et AC = BD.

A B

C D

I

Reprod

uctio

n inte

rdite

23


3ème leçon

1ère série

2. Losange

Définition :

Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur.

Propriétés du losange :

Si un quadrilatère est un losange, alors il a ses côtés opposés parallèles.

Ici, (AB) // (DC) et (AD) // (BC).

Si un quadrilatère est un losange, alors ses angles opposés sont égaux.

Ici, ABC� =ADC� et BAD� =BCD� Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales ont le même milieu et sont perpendiculaires.

Ici, [AC] et [BD] ont pour milieu I et (AC) ┴ (BC) 3. Carré

Définition :

Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange.

Un carré a les propriétés du losange et du rectangle.

B

C A

D

I

Reprod

uctio

n inte

rdite

24


3ème leçon

1ère série

Exercice 1 _______________________________________________________________

Marquer 4 points A, B, C et D dispersés sur une feuille de papier. Nommer au moins : 3 segments de droite 3 droites 2 droites qui se coupent en un des 4 points

Exercice 2 _______________________________________________________________

Tracer un segment [AB] dont la mesure est égale à 8 cm. Marquer le milieu M de [AB]. Calculer les mesures des segments formés si on marque le point N milieu de [BM].

Exercice 3 _______________________________________________________________

Autour d’un bassin circulaire de 2 m de rayon, on veut placer un grillage à 50 cm du bord. Quelle longueur de grillage doit-on acheter ? Ne pas oublier d’exprimer toutes les mesures dans la même unité.

Exercice 4 _______________________________________________________________

Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses : 1. Les diagonales de ABCD ont le même milieu et sont perpendiculaires donc

ABCD est un carré. 2. Un losange peut être un carré. 3. Un losange est toujours un carré. 4. Un carré est toujours un losange. 5. Un quadrilatère qui a trois côtés de même longueur est un losange.

Reprod

uctio

n inte

rdite

Reprod

uctio

n inte

rdite

25


4ème leçon 1ère série

1 - DROITES PERPENDICULAIRES L’équerre est un instrument

comportant un angle particulier qui vaut 90° ou un angle droit. Les droites (D) et (d) se coupent en formant quatre angles égaux : des angles droits. On dit que ces droites sont perpendiculaires ce qui s’écrit :

(d) (D) ⊥ (d) (D)

Traçons la perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point C. On pose l’un des côtés de l’angle droit de l’équerre sur la droite (AB). Puis on fait glisser celle-ci jusqu’à ce qu’elle rencontre le point C. A ce moment nous pouvons tracer la droite (D) ⊥ (AB) et passant par C. Par ce point, nous ne pouvons tracer qu’une seule perpendiculaire à la droite (AB).

(AB) A X X (AB) A B (D)

B

× C

C ×

Reprod

uctio

n inte

rdite

26



2 - DROITES PARALLELES A retenir : des droites qui ne se coupent jamais sont parallèles

(symbole //).

Comment construire des droites parallèles ? On construit la droite (D) parallèle à (AB) passant par le point C. On trace la droite (AB) sur laquelle on place le plus grand côté de l’équerre. On trace une droite de construction sur un des côtés de l’angle droit. On fait ensuite glisser l’équerre jusqu’à ce que le grand côté rencontre le point C. On trace alors la droite (D) parallèle à (AB).

droite de (D) construction

Si l’on nous impose la distance entre les 2 droites parallèles nous devons utiliser une méthode légèrement différente. On souhaite tracer deux droites (D) et (D’) distantes de 1 cm. Traçons la droite (D) puis plaçons notre équerre et traçons une perpendiculaire à la droite (D). Sur celle-ci reportons la distance d’écartement demandée (ici, 1 cm) puis faisons glisser notre équerre sur cette droite (sens de la flèche) de manière à amener l’angle droit sur le point C. Il ne reste plus qu’à tracer (D’). (D) et (D’) sont parallèles et à la distance demandée (ici, 1 cm). Ces procédés de construction utilisent des propriétés des droites perpendiculaires que vous aurez l’occasion de rencontrer lors de certains exercices.

A C

B

1 cm

(D)

(D’) C Rep

roduc

tion i

nterdi

te

27



Propriétés :

- Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. - Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. - Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Utilisation des symboles ∈ et ∉ ∈ signifie « appartient à » ∉ signifie « n’appartient pas »

Exercice 1 ________________________________________________________

A 4 cm B

D La figure n’est pas à l’échelle.

Répertorier les droites parallèles et les droites perpendiculaires. Rédiger un énoncé permettant de transmettre la figure par téléphone.

Exercice 2 ________________________________________________________ Rechercher des quadrilatères ayant des caractéristiques semblables.

Exercice 3 ________________________________________________________

Dire si l’affirmation suivante est vraie ou fausse : Un quadrilatère qui a trois angles droits est un rectangle.

2 cm

C

Reprod

uctio

n inte

rdite

Reprod

uctio

n inte

rdite

28


Première leçon

1. Comparaison des nombres entiers 2. Comparaison des nombres décimaux 3. Encadrement d’un nombre décimal 4. Troncature et arrondi

Deuxième leçon

1. Quotient entier 2. Quotient décimal 3. Critères de divisibilité

Troisième leçon

1. Vocabulaire des angles 2. Triangles

Quatrième leçon

1. Le cube 2. Le pavé droit 3. Patron d’un pavé droit

2ème SÉRIE

Reprod

uctio

n inte

rdite

29


1ère leçon 2ème série

1 - COMPARAISON DES NOMBRES ENTIERS Soit à comparer 43 et 45 :

Le nombre de dizaines étant identique, il nous suffit de regarder les chiffres des unités. 3 est plus petit que 5 donc 43 est plus petit que 45. On utilisera le symbole < (« plus petit que » ou « inférieur à ») et > (« plus grand que » ou « supérieur à »). On peut écrire 43 < 45 ou 45 > 43 (45 « plus grand que » ou « supérieur à » 43).

2 - COMPARAISON DES NOMBRES DECIMAUX

On se souvient (1ère série) que les nombres décimaux comportent une partie entière et une partie décimale. Lorsque nous avons à comparer des décimaux, deux cas peuvent se produire :

Les parties entières sont différentes

Exemple : 25,302 et 21,403

Dans ce cas, on se reporte à la comparaison de deux nombres entiers 25 et 21 donc 25,302 > 21,403.

Les parties entières sont identiques

Exemple : 12,407 et 12,047

Dans ce cas, on s’attachera à comparer les parties décimales en comparant les décimales de rangs identiques ce qui donne ici la comparaison de 407 et 047. Les chiffres des millièmes étant identiques, nous allons comparer celui des centièmes et ensuite celui des dixièmes.

12 , 40 7 40 centièmes ainsi 407 > 47

12 , 04 7 4 centièmes Donc 12,407 > 12,047 Ordre croissant et décroissant

Ordre croissant : On commence par écrire le plus petit nombre puis on écrit les nombres allant en augmentant pour terminer par le plus grand. 1 < 4 < 7 < 9 < 16 < 23 < 45 sont classés par ordre croissant :

1 est plus petit que 4

4 est plus petit que 7 7 est plus petit que 9

Reprod

uctio

n inte

rdite

30



9 est plus petit que 16 16 est plus petit que 23 23 est plus petit que 45

Ordre décroissant : On commence par écrire le plus grand nombre jusqu’au plus petit, soit à classer : 3, 1, 2, 9, 6, 4, 13.

13 > 9 > 6 > 4 > 3 > 2 > 1

Lorsque nous avons à ranger des nombres décimaux selon l’ordre croissant ou décroissant nous classons les nombres selon leur partie entière et leur partie décimale.

Exemple : Classer les nombres décimaux suivants selon l’ordre décroissant

2,642 – 3,14 – 2,403 – 2,761 – 2,061 – 0,314

on obtient → 3,14 > 2 ,761 > 2,642 > 2,403 > 2,061 > 0,314

3 - ENCADRER UN NOMBRE DECIMAL Par deux nombres entiers consécutifs

Soit à encadrer 5,32 entre deux entiers consécutifs (qui se suivent). Regardons la partie entière de 5,32. C’est le 5 : ce nombre sera donc le nombre entier immédiatement plus petit que 5,32. Le nombre entier suivant sera donc 6. 5,32 est donc compris entre 5 et 6.

5 < 5,32 < 6

Par deux nombres décimaux à la décimale la plus proche

5,3 < 5,32 < 5,4 Soit à intercaler un décimal entre deux nombres décimaux

Intercaler un décimal entre 5,3 et 5,4. Ces deux nombres peuvent s’écrire 5,30 et 5,40. Les nombres pouvant être intercalés entre 5,3 et 5,4 sont :

5,31 – 5,32 – 5,33 – 5,34 – 5,35 – 5,36 – 5,37 – 5,38 – 5,39

5,30 < 5,37 < 5,40

On peut donc toujours intercaler un nombre décimal entre deux nombres décimaux donnés, il suffit de rajouter une ou plusieurs décimales.

Reprod

uctio

n inte

rdite

31



4 - TRONCATURE ET ARRONDI

Troncature (vient du verbe tronquer = couper un morceau)

On parle toujours de la troncature d’un nombre à un rang donné (à l’unité, au dixième, au centième …). Soit tronquer au dixième le nombre 7,596 « 5 » est le chiffre des dixièmes, on va donc couper le nombre après le 5 et abandonner les chiffres 9 et 6. La troncature au dixième de 7,596 sera 7,5 et au centième sera 7,59.

Arrondi d’un nombre décimal

Pour arrondir un nombre décimal donné on commence par le tronquer à un rang donné puis on regarde le chiffre qui suit la coupure. Si ce chiffre est plus petit que 5, troncature et arrondi sont identiques. Question : Arrondi au dixième de 4,52 La troncature au dixième est 4,5 le chiffre 2 est plus petit que 5 donc l’arrondi au dixième près est 4,5. La troncature à l’unité est 4, le chiffre qui suit la coupure est 5 donc par convention on arrondit au rang supérieur lorsque le chiffre qui suit est 5 ou plus grand que 5. Donc l’arrondi de 4,52 à l’unité sera 5 alors que l’arrondi à l’unité de 4,32 sera 4.

Exercice 1 _______________________________________________________________

Ranger les nombres suivants selon l’ordre croissant :

1,0709 – 1,00907 – 2,7041 – 2,0741 – 1,0907 – 2,4071 Exercice 2 _______________________________________________________________ Ranger les nombres suivants selon l’ordre décroissant :

0,304 – 0,405 – 0,0054 – 0,104 – 0,00203 – 0,540

Reprod

uctio

n inte

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32



Exercice 3 _______________________________________________________________ Dans la première série nous avons fait connaissance avec le nombre π dont la valeur la plus couramment utilisée est 3,14.

Encadrer ce nombre entre 2 nombres entiers consécutifs puis entre deux décimaux à la première décimale (au dixième).

Exercice 4 _______________________________________________________________

Reprendre les nombres de l’exercice 2 et les encadrer à la décimale la plus proche. (C'est-à-dire avec une décimale de moins)

Exercice 5 _______________________________________________________________

Soit les nombres suivants :

2,51 – 1,21 – 3,47 – 1,01 – 3,29 – 5,65 Présenter les résultats sous forme de tableau : 1. Donner la troncature à l’unité et au dixième de chacun de ces nombres. 2. Donner l’arrondi à 1 près (unité) et à 0,1 près (dixième). 3. Effectuer un encadrement de chaque nombre au dixième près. 4. Placer les nombres sur une droite numérique.

Reprod

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n inte

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2ème leçon 2ème série

1 - QUOTIENT ENTIER Définition

Soit à chercher le quotient entier de 756 par 17. Cela équivaut à chercher le nombre qui multiplié par 17 donnera 756 ou sera très proche de 756 en restant toujours inférieur à 756.

Nombre de chiffres du quotient

17 × 10 < 756 < 17 × 100. Le quotient sera donc un nombre compris entre 10 et 100 c'est-à-dire comportant 2 chiffres.

Poser la division : quotient entier

756 = 17 × 44 + 8

Dividende Diviseur 756 17 076 44 8 Reste quotient entier

Dividende = diviseur × quotient entier + reste Le reste doit toujours être inférieur au diviseur. 44 est le quotient entier de la division.

Quotient exact

Posons maintenant la division de 756 par 18. 756 18 756 = 18 × 42 + 0 036 42 00

Ici le reste est nul. Nous avons donc un quotient exact.

On dit aussi que 756 est divisible par 18 ou 42, ce qui équivaut à dire : 756 est un multiple de 42. 756 est un multiple de 18.

Reprod

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