Spciale PSI - Cours "Electromagntisme" 1

Effet HallNous considrons un conducteur mtallique parcouru par un courant lectrique. Ce courant provient du mouvement

densemble des porteurs de charges : les lectrons de conduction dans le cas de ce conducteurs.

Nous tudions laction dun champ lectromagntique (E ,B ) sur ces porteurs.

1. Rappels : conductivit et loi dOhm locale

On suppose quil ny a que le champ lectriqueE .

On se place dans le rfrentiel li au laboratoire et on applique le principe fondamental de la dynamique un porteur decharge q, anim dune vitesse densemble v .

Ce porteur est soumis :

une force lectrique: F = qE ,

laction du rseau, modlise par une force de frottement fluide f = kv .La deuxime loi de Newton applique ce porteur donne :

mdvdt

=F +

f = q

E kv

dvdt

+1

v = q

m

E avec =

m

k

est appel temps de relaxation ; On admet que est de lordre de 1014 s et donc que trs rapidement

v (t) qm

E =

q

k

E =

E o =

q

kest la mobilit des porteurs

En introduisant le vecteur densit de courantj = v avec = nq densit volumique de charges (n densit volumique de

porteurs de charges et q charge dun porteur) on a :j =

E =

E la loi dOhm locale

avec = q

k=nq2

m = conductivit lectrique du milieux

Lexprience montre que la loi dOhm locale est valable dans de nombreux cas.

2. Equation de transport et constante de Hall

On reprend le problme prcdent avec un champ lectromagntique (E,B ).

Le porteur est soumis la force de LorentzF = q(

E +v B ).

On a alors

mdvdt

=F +

f = q(

E +v B ) kv

dvdt

+k

mv = q

mv B + q

m

E

dnqvdt

+k

mnqv = nq

2

mv B + nq

2

m

E

dj

dt+j =

nq2

mv B + nq

2

m

E

dj

dt+j =

(E +

1

nq

j B

)

On appelle quation de transport lquation :

dj

dt+j =

(E +RH

j B

)avec RH =

1

nq= constante de Hall

En rgime permanent :

pour un conducteur en prsence dun champ lectrique E on a la loi dOhm locale j = E ,

pour un conducteur en prsence dun champ lectromagntique (E ,B ) on a j = (E +RH

j B

).

Electromagntisme. Complment : Effet Hall 2

3. Cas dun conducteur filiforme et rectangulaire

3.1. Champ de Hall

3.1.1. Description du phnomne

Soit un ruban conducteur section rectangulaire, de largeur b selon (Oy), dpaisseur selon (Oz) et parcouru par uncourant dintensit I de densit j uniforme en rgime permanent continu, en prsence dun champ magntique

B = Be z

(B > 0). Les lignes de courant sont rectilignesj = je x, (avec j > 0).

Lexprience montre quil existe une tension UH , appele tension de HALL entre la face arrire, note (2), et la face avant,note (1) du conducteur, proportionnelle au champ magntique

B .

3.1.2. Tension de HALL

En rgime permanentj =

(E +RH

j B

); dans une telle gomtrie, les lignes de courant tant selon (Ox), le terme

RHj B est colinaire (Oy). Ceci implique lexistence dune composante que nous dsignerons par EH , du champ

lectrique porte par (Oy) avecEH = RH

j B .

Cette composante EH = RH j B du champ lectrique est appele champ de HALL ; il apparat donc une diffrence depotentiel, appele tension de Hall, entre les faces avant et arrire du conducteur :

UH = bEH = bRH j B = b(1

nq

) (I

b

)B =

BI

nq

Dans la plupart des cas cette valeur est trs faible : il faut lamplifier pour une mesure prcise. En fait le phnomne estfacilement observable avec des matriaux qualifis de semiconducteurs, pour lesquels le nombre n par unit de volume deporteurs de charges qui participent la conduction est nettement plus faible (105 106 fois plus faible). Il est courantdutiliser de telles sondes semi-conducteur pour la mesure dun champ magntique, par exemple en travaux pratiques.

3.2. Interprtation physique

En rgime transitoire :soit un lectron de charge q = e anim dune vitesse v = ve x avec v < 0 (I > 0). La force magntique subie par cetlectron est

F = qv B = evBe ySous leffet de cette force, llectron a tendance se dplacer vers la face (1). Cest ce mouvement queffectuent leslectrons de conduction pendant la phase transitoire. La face (1) se charge ngativement tandis quun dfaut lectroniqueprovoque lapparition dune charge positive sur la face (2).Ces charges surfaciques ainsi apparues vont crer un champ lectrique (le champ de HALL) qui son tour agit sur leslectrons de conduction.

Electromagntisme. Complment : Effet Hall 3

En rgime permanent tabli :Les lignes de courant tant parallles (Ox), le champ de HALL annule rigoureusement la force magntique subie parun lectron

EH +

v B = 0 soit EH = v B = 1

nejBe y

3.3. Force de LAPLACE

Reprenons le ruban mtallique parcouru par un courant dintensit I, en prsence dun champ magntique, et intressons-nous la force sexerant par unit de volume sur ce conducteur suppos au repos dans un rfrentiel .Dans un volume lmentaire d , nous avons des charges mobiles (n par unit de volume) et des charges fixes (galement n parunit de volume). tudions les forces sexerant sur ces charges; le tableau ci-deesous donne ces forces par unit de volume :

charges influence deE =

E o +

EH influence de

B rsultante

charges mobiles ne(E o +

EH

)nev B neE o car

EH +

v B = 0

charges fixes ne(E o +

EH

)0 ne

(E o +

EH

)

Un lment de volume d est donc soumis la force la force de Laplace

dF = ned

EH =

j d B

On gnralise cette expression dans le cas dune distribution linique de courant :

dF = i

dL B

Exercice : Conductibilit dun mtal dans un champ magntique B. Effet Hall

Un ruban plat en argent de faible paisseur a, de largeur ", de conductibilit 0, soumis soumis un champ lectrique E,est parcouru par un courant lectrique I constant de densit j qui obit la loi dOhm locale j = E.On admettra que le courant est d au dplacement des lectrons libres de charge q et de densit N (nombre par unit devolume), et que les chocs sur les ions du rseau sont quivalents une force f = k v oppose la vitesse v des lectrons(k>0)On donne q = 1, 6.1019C ; k = 2, 4.1017N. s.m1 et a = 0, 50mm.1) On plonge le ruban dans un champ magntique B uniforme. Montrer que la loi dOhm doit tre remplace en rgime

permanent par : E =

1

0 j +RH B j

On exprimera la conductibilit 0 et la constante de Hall RH en fonction de k, N et q.2) On suppose B dirig suivant la normale au plan du ruban.

2.a) Montrer que les lignes de champ lectrique et de courant font un angle quon exprimera en fonction de B, k etq puis en fonction de B, 0 et RH . Calculer pour B = 13T.

2.b) Exprimer la d.d.p. Hall UH qui apparat entre les deux bords du ruban en fonction de a, B, I, N et q.2.c) Calculer la densit N des porteurs et la conductibilit 0 de largent sachant que pour B = 13T et I = 5A, on

obtient |UH | = 13, 6V.3.a) Montrer quen prsence du champ B. la conductibilit du mtal devient

=0

1 + 2B2

o le coefficient sera exprim en fonction de k et q.3.b) Calculer la diminution relative de conductibilit en prsence du champ le plus intense B = 21T que lon sait produire

actuellement.