Electromagnetisme 1 Propagation - Nouvellebiblio.com

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Jean-Luc Dion

Électromagnétismepropagation

lignes électriques

LDLoze-Dion éditeur


Copyright Loze Dion éditeur inc.

Loze Dion éditeur

95, Saint Sylvestre

Longueuil (Québec) J4H 2W1

Téléphone : (450) 679 1955

fax : (450) 679 6339

Tous droits réservés. On ne peut reproduire, enregistrer, ni diffuser aucune partie du présent ouvrage sous

quelque forme ou par quelque procédé que ce soit sans avoir une autorisation écrite de l'éditeur.

ISBN 978-2-923565-20-0


Cet ouvrage sur la propagation des ondes électromagnétiques s’adresse auxétudiants en génie électrique et en physique des universités et des écolesd’ingénieurs. Il sera aussi utile à tous les praticiens qui veulent rafraîchir ouapprofondir leurs connaissances. On y trouvera un traitement relativementcomplet du sujet par rapport à de nombreux livres dans le domaine.

Il fait suite au tome 1 traitant des phénomènes d’induction électro-magnétiques. Toutefois, le présent tome peut être utilisé avantageusementpar tous ceux qui ont déjà les bases requises. L’ouvrage se divise en deuxparties assez étroitement intégrées : la propagation libre, et la propagationguidée. L’ensemble vise l’acquisition d’une connaissance rigoureuse etpratique des phénomènes de propagation électromagnétique dans différentsmilieux.

Il suppose au départ une bonne maîtrise de l’électromagnétismefondamental, du calcul vectoriel et du calcul des variables complexes,essentiellement l’usage du théorème d’Euler et de la fonction exponentiellecomplexe pour décrire les vibrations.

L’auteur a choisi l’approche la plus intuitive possible en utilisant denombreuses illustrations et exemples numériques. Il a aussi privilégié lesdémonstrations claires où beaucoup d’étapes intermédiaires sontvolontairement conservées pour faciliter la compréhension en évitant de sebuter sur des difficultés mathématiques secondaires. Lors d'une premièrelecture, on peut facilement sauter ces étapes pour saisir l’ensemble d’unsujet donné. Tous les chapitres se terminent par une série d’exercicesidentifiés permettant de pratiquer les diverses notions introduites.

La première partie comporte une brève introduction à la propagation et aumode de production des ondes électromagnétiques sur la base des équationsde Maxwell. La notion de vecteur complexe en régime harmonique estintroduite pour faciliter le traitement mathématique dans tout ce qui suit, enfaisant bien ressortir que la partie réelle d’un vecteur complexe correspondau champ réel.

On traite ensuite à fond de la propagation des ondes planes dans différentsmilieux illimités : vide et diélectrique parfaits, diélectriques réels etconducteurs. L’atténuation des ondes en cours de propagation estdémontrée comme un effet général des pertes diélectriques et de laconductivité du milieu. La relation est ensuite établie entre le champ élec-tromagnétique et la puissance transportée par une onde.


iv Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriquesLa transmission de l’énergie électromagnétique à l’interface de deux milieuxse retrouve dans les deux chapitres suivants. Le premier traite du cas simplede l’incidence perpendiculaire ou normale à l’interface, en introduisant lesconcepts de coefficients de réflexion et de transmission. Il comporte aussiune introduction aux ondes stationnaires. Le chapitre 3 traite de l’incidenceoblique en distinguant le cas d’une onde polarisée perpendiculairement auplan d’incidence et celui de l’onde polarisée parallèlement. On introduitl’expression générale d’une onde qui se propage dans une directionquelconque. Les expressions exactes des coefficients de réflexion et detransmission dans les deux cas y sont démontrées : les formules de Fresnel.Ce chapitre se termine par une introduction au concept d’onde évanescentequi prend toute son importance pratique dans les nouveaux dispositifs decommunication optique, y compris les fibres optiques. Le dernier chapitre decette première partie est une brève mais rigoureuse introduction aurayonnement électromagnétique produit par des charges et courantsoscillants.

La deuxième partie de l’ouvrage traite de la propagation guidée des ondesélectromagnétiques. Le chapitre 5 étudie les conditions de propagation entredes plans conducteurs ou guides d’ondes « ouverts ». Cette approche permetd’introduire de façon relativement simple les notions de mode depropagation, de fréquence de coupure, de vitesse de phase et de vitesse degroupe. Ce qui est traité dans ce chapitre s’applique assez directement à lapropagation dans les « microrubans » utilisés dans les circuitshyperfréquences. On y démontre particulièrement les expressions del’atténuation dans les différents modes. Les méthodes et les conceptsdéveloppés devraient aussi beaucoup faciliter l’étude ultérieure des guidesd’ondes « fermés », rectangulaires, circulaires ou autres.

Les chapitres suivants sur les lignes électriques pourraient être abordés, sion le désire, sans avoir étudié la propagation guidée au chapitre précédent,l’ordre proposé ici est préférable sans être essentiel. En effet, on y développele concept de paramètres localisés d’une ligne qui permet d’une façonclassique d’utiliser la méthode des circuits électriques pour développer leséquations de propagation de la tension et du courant électrique sur la ligne.On commence par étudier le cas des lignes semi-infinies sans pertes pourintroduire certains concepts comme ceux d’impédance caractéristique et decoefficient de réflexion. La propagation et la réflexion des ondes en échelon ysont étudiées pour illustrer les problèmes qui peuvent se poser en pratiquedans le cas de réflexions multiples sur la ligne. L’introduction de


v

théorèmes des interrupteurs permet de résoudre le problème des lignesinitialement chargées ou parcourues par un courant qui sont ensuitefermées sur une charge. L’auteur a délibérément choisi de ne pas utiliser leformalisme de la transformée de Laplace pour décrire les ondes en échelon,de façon à ne pas obscurcir l’essentiel qui est de bien comprendre lesphénomènes de propagation et de réflexion.

Au chapitre 7, on aborde la propagation sur les lignes semi-infinies avecpertes en régime harmonique, en utilisant systématiquement la fonctionexponentielle complexe pour décrire les vibrations et les ondes. On analysel’effet de la fréquence sur la fonction de propagation et l’impédancecaractéristique qui sont des grandeurs complexes. On y étudie aussi lavariation des paramètres linéiques en fonction de la fréquence pour en tirerdes expressions du coefficient d’atténuation d’une ligne quelconque enfonction de la fréquence, en rapport avec l’effet pelliculaire vu précédemment.

Le chapitre 8 traite finalement de la ligne réelle comme liaison entre unesource et un récepteur en régime harmonique. Les notions précédentes ysont intégrées pour élaborer des expressions générales et rigoureusesservant à la solution de problèmes concrets dans le domaine descommunications et de la transmission de l’énergie électrique en général. Ony développe le concept de coefficient de réflexion généralisé et sa relation aveccelui d’impédance électrique, sur la ligne pour établir clairement les relationsentre les grandeurs d’entrée et de sortie, en relation avec la fréquence et lesparamètres de la ligne. Ces différents concepts sont clarifiés par denombreux graphiques et figures réalisés par ordinateur. On y décritparticulièrement des méthodes simples et vérifiées en laboratoire pourdéterminer les paramètres essentiels d’une ligne que sont la vitesse dephase, l’impédance caractéristique et le coefficient d’atténuation. L’outilgraphique appelé abaque de Smith est décrit avec des exemplesd’application, particulièrement pour le problème d’adaptation de l’impédanced’une charge au récepteur à celle de la ligne.

Au terme de cette étude, l’auteur espère que l’étudiant ou l’étudiante auraacquis une solide connaissance des phénomènes de propagationélectromagnétique lui permettant à la fois de résoudre divers problèmespratiques et d’approfondir le sujet par lui-même s’il le désire.

Mars 2002


Table des matièresIntroduction

Première partie Propagation libre 1

1 Ondes électromagnétiques planes 3

1.1 Généralités 3

1.2 Production des ondes électromagnétiques 6

1.3 Le régime harmonique 7

1.4 Onde plane dans un diélectrique parfait 10

1.5 Polarisation d'une onde 19

1.6 Expression du champ magnétique H 24

1.7 Propagation dans un diélectrique avec perte 26

1.8 Propagation dans un conducteur 32

1.9 Théorème de Poynting 35

2 Réflexion d'une onde plane - Incidence normale 51

2.1 Interface de deux diélectriques parfaits 52

2.2 Interface diélectrique - conducteur 56

2.3 Ondes stationnaires 59

3 Réflexion d'une onde plane • Incidence oblique 69

3.1 Onde plane - Direction quelconque 69

3.2 Réflexion oblique 72

3.3 Lois de Descartes et Snell 73

3.4 Réflexion en polarisation perpendiculaire 76

3.5 Polarisation parallèle 82

3.6 Onde évanescente 87

4 Rayonnement électromagnétique 98

4.1 Potentiels retardés 99

4.2 Régime harmonique 104


viii Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques4.3 Rayonnement d'un dipôle oscillant - Ondes sphériques 105

4.4 Vecteur de Poynting, intensité, puissance 110

Deuxième partie Propagation guidée 113

5 Guides d'onde conducteurs 115


5.2 Types d'ondes et modes de propagation 119

5.3 Plans conducteurs parallèles - Mode TEM 120

5.4 Mode TM 126

5.5 Mode TE 135

5.6 Types de vitesse 143

6 Lignes électriques sans perte 150


6.2 Bases du modèle 159

6.3 Équation et fonction d'onde 161

6.4 Impédance caractéristique 169

6.5 Source avec résistance interne 172

6.6 Réflexion 172

6.7 Théorèmes des interrupteurs 180

7 Lignes semi infinies avec perte 198

7.1 Équation d'onde - Amplitude complexe 198

7.2 Fonctions d'onde - Atténuation 200

7.3 Analyse de la fonction 204

7.4 Paramètres linéiques - Effet de la fréquence 211

7.5 Impédance caractéristique 220

7.6 Impédance caractéristiques et paramètres géométriques 222

8 Lignes finies avec perte 235

8.1 Fonctions d'onde 235

8.2 Changement de coordonnées 236


ix

8.3 Coefficient de réflexion 236

8.4 Ondes stationnaires 240

8.5 Impédance sur la ligne 245

8.6 Mesures d'une ligne 257

8.7 Relations entrée/sortie 260

8.8 Propriété des lignes avec charge capacitive 269

8.9 L'abaque de smith 272

8.10 Adaptation d'impédances 278

Annexe 291

Index 295


PPPPaarrrrttttiiiieeee 1111Propagation libre


1111Ondes électromagnétiquesplanes

1.1 Généralités

Concept de propagationConsidérons une région E de l’espace (Figure 1.1.1) où se trouve un courantvariable i(t) ou une charge Q ayant une accélération a(t). Si un observateurse trouve dans une région R éloignée d’une distance moyenne r de lapremière, l’expérience montre qu’il pourra alors mesurer une tension v auxbornes d’un circuit, ou encore une force F déplaçant une charge d’épreuveQ’. De plus, cette tension ou cette force apparaissent avec un certain retard tpar rapport à i(t) ou a(t), et ce retard augmente proportionnellement à laséparation r des régions E et R. On doit donc conclure qu’il y a transmissiond’énergie de la région E (émettrice) à la région R (réceptrice).

On sait depuis les travaux de J.C. Maxwell1 que des courants variables etdes charges accélérées sont à l’origine d’un champ électromagnétique quise propage dans le vide à la vitesse de lumière désignée par c, et à unevitesse inférieure dans les milieux matériels. Cette vitesse est aujourd’huiconnue avec précision :

c = 2,997925... · 108 m/s ≈ 3 · 108 m/s (1.1.1)

Il s’ensuit que le retard mentionné plus haut est donné par τ ≈ r/c .

1 James Clerk MAXWELL, physicien écossais (1831-1879). Dans un mémoire publié en 1864, il exposa sa théorie

électromagnétique de la lumière dans laquelle figurent les équations générales du champ électromagnétique.


4 Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques

Ce champ électromagnétique est décrit par les équations de Maxwell quenous avons vues précédemment :

Le théorème de Gauss ∇ · D ρ (1.1.2)

La loi de conservation du flux magnétique

∇ · B 0 (1.1.3)

L’équation de Maxwell-Faraday ∇ ∧ E ∂B∂t

(1.1.4)

L’équation de Maxwell-Ampère ∇ ∧ H J + ∂D∂t

(1.1.5)

En tous points de l'espace et en tout temps, les champs E et H doiventsatisfaire ces équations. Ces champs sont indissociables et constituent lechamp électromagnétique.

Dans ce qui suit, nous allons particulièrement voir comment la solution deces équations fait apparaître un champ électromagnétique qui se propage.

ri(t)

Q

a

E R

v

F

Q'

Espace vide

- Courant variable i (t ) - Tension induite v

Énergie

- Charge Q accélérée - Force F sur Q'

Figure 1.1.1

Transmission d’énergie par onde électromagnétique



Le spectre électromagnétiqueUne charge ou un courant oscillant à une fréquence f font apparaître unchamp électromagnétique à la même fréquence pour un observateurimmobile par rapport à la source. Ce champ se propage à une vitesse c dansle vide et parcourt une distance λ, appelée longueur d'onde au cours d'unepériode d'oscillation. Donc, λ = c/f, une relation fondamentale.

L'étendue des fréquences ou des longueurs d'ondes dans le vide des ondesélectromagnétiques connues s'appelle le spectre électromagnétique. Cespectre n'a pas de limites théoriques, mais les modes de production et dedétection de ces ondes varient considérablement avec la fréquence. Il estremarquable que les équations de Maxwell s'appliquent essentiellement àtoutes. Rappelons que c'est vers 1862 que ce dernier a prédit l'existence deces ondes et a établi la nature électromagnétique de la lumière. Lesexpériences de Hertz (1888) ont confirmé brillamment l'oeuvre théorique deMaxwell et il a laissé son nom à ce type d'ondes2 : les ondes hertziennes. Lesimportants travaux de Branly3 sur la détection des ondes électromagnétiquesont par la suite permis les premières applications par Popov4 et Marconi5. Lafigure 2 est une représentation du spectre électromagnétique.

2 Heinrich HERTZ. Physicien allemand (1857-1894). Après avoir conçu son résonateur et son oscillateur, il découvrit les ondes

électromagnétiques qui portent son nom (1888) et montra qu'elles suivent les mêmes lois que la lumière. Il découvrit en outrel'effet photoélectrique (1887), établissant un nouveau lien entre l'optique et l'électricité (Petit Robert 2).

3 Édouard BRANLY. Universitaire et physicien français (1844 - 1940) surtout connu pour son invention d'un radioconducteurou « cohéreur » à limaille en 1890, organe principal des appareils de réception de la télégraphie sans fil (Le Petit Robert 2). Aucours de l’année 1890, il fit de nombreuses expériences démontrant l’action à distance d’une décharge électrique, jusqu’à 20 m,sur son « radioconducteur ». Il fut le premier à attribuer cet effet, cette transmission d’un « signal », à des ondes de natureélectrique. Il fut l’un des tout premiers à utiliser le mot « radio » associé à ce genre de phénomènes. «Tous les pionniers de laT.S.F., Popov, Ducretet, Marconi et bien d’autres construiront leurs appareils récepteurs autour du tube à limaille de Branly... »(« Branly - Au temps des ondes et des limailles », P. Monod-Broca, Belin, Paris, 1990, p. 178). Membre de l’Académie desSciences de Paris.

4 Aleksandre Stepanovitch POPOV. Ingénieur russe (1859 - 1906). Il eut l'idée d'utiliser les ondes électromagnétiquesdécouvertes par Hertz pour transmettre des signaux. Il inventa l'antenne en combinant l'éclateur de Hertz et le cohéreur deBranly, remarquant que leurs sensibilités respectives augmentaient si on les reliait à un fil conducteur formant un condensateuravec la terre. Il construisit le premier système de télégraphie sans fil (1896) permettant la transmission d'un message en morse à250 m (Le Petit Robert 2).

5 Guglielmo MARCONI. Physicien italien (1874 - 1937). Avec l'éclateur de Hertz, le cohéreur de Branly et l'antenne de Popovil construisit, à 22 ans, un poste qui permettait des transmissions par télégraphie sans fil sur quelques centaines de mètres. (...) Ilaugmenta progressivement la longueur de ses transmissions et réussit, en 1901, la liaison Cornouailles - Terre-Neuve, au-dessusde l'Atlantique (Prix Nobel, 1909) (Le Petit Robert 2).


10 10 10 10 102 6 10 14 18

1022

Fréquence (hertz)

106

102 10-2 10

-610

-1010

-14

Longueur d'onde (mètre)

Tran

smiss

ion

d'én

ergi

e R A D I O

Ond

es lo

ngue

sO

ndes

moy

enne

sO

ndes

cou

rtes

M

icro-

onde

s

(hyp

er-fr

éque

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Infra

roug

eVi

sible

Ultra

viole

t

Rayo

ns X

Rayo

ns g

amm

aRa

yons

cos

miq

ues

Ondes hertziennes

TÉLÉVISION

Figure 1.1.2

Représentation du spectre électromagnétique

1.2 Production des ondes électromagnétiques

Les potentiels retardésD'une façon générale, les ondes électromagnétiques sont produites par descharges et des courants variables. On sait que le potentiel électrique V d'unedistribution continue statique de charges de densité r dans le vide est donné

par l'expression suivante : V 14πεo

ρr dv

v

(1.2.1)

De même, dans le vide, le potentiel-vecteur A d'une densité de courant Jstationnaire s'exprime comme :

A =J

d

v

μ

π0

4 rv∫ (1.2.2)

Les intégrales sont calculées sur tout volume englobant toutes les charges ettous les courants. Mais, si les densités sont variables dans la région E de lafigure 1.1.1, ρ(t) et J(t), l'effet de ces variations se fera sentir avec un retard τdans la région R. Il est donc naturel de penser que les potentiels dans R



peuvent s'écrire comme si les densités de charge et de courant étaientretardés, c'est-à-dire de la forme ρ(t - r/v) et J(t - r/v), où v est la vitesse depropagation. De façon générale :

[V ](t) 14πεo

ρ(t r/v )

r dv v

(1.2.3)

[A](t) μo

4π

J(t r/v )r dv

v

(1.2.4)

Ce sont les potentiels retardés. Ils représentent les potentiels en un point Pde l’espace à l’instant t, mais calculés avec les densités de charge et decourant telles qu’elles étaient à l’instant précédent t - r/v. L’intervalle r/v estle temps que met la perturbation ou l’onde à franchir la distance de lasource au point P. Remarquons que ces perturbations se produisentsensiblement au même instant à très grande distance de R, sur une surfacesphérique centrée sur R dans un milieu homogène et isotrope, c'est-à-direun milieu de même composition en tous points où la vitesse est la mêmedans toutes les directions.

Connaissant ces potentiels, on peut en tirer les expressions du champ E etdu champ H, à partir des équations connues :

E ∇V ∂A∂t

(1.2.5)

et H Bμo

1μo

∇ ∧ A (1.2.6)

1.3 Le régime harmonique

Champ complexeDans le cas de variations sinusoïdales de pulsation ω = 2π f, f étant lafréquence, il est pratique d'exprimer les diverses grandeurs sous forme defonctions exponentielles complexes dont la partie réelle est la grandeurréelle :

ρ t r/v ρ ejω t - r/v ρ e-jωr/vejωt t (1.3.1)



J J J( / ) ( / ) /t r v w t r v wr v wt− = =−e -jj je e (1.3.2)

V(t) = V ejω t (1.3.3)

A(t) = A ejω t (1.3.4)

où ρ, J , V et A sont les amplitudes complexes des diverses grandeurs. Plusparticulièrement, J et A sont des vecteurs complexes, des vecteurs dont lescomposantes sont des nombres complexes. On a, par exemple :

Pour le potentiel réel V(t) = Ré {V (t)} = |V | cos (ω t) = V cos (ω t) (1.3.5)

Pour le champ A = Ax x + A y y + A z z (1.3.6)

A = Ax eja x + Ayejb y + Az ejc z = Axeja x + Ayejb y + A zejc z (1.3.7)

où Ax, Ay, Az sont les amplitudes réelles. On obtient le champ en fonction dutemps en multipliant par ejω t :

A(t) Aejω t A xej(ω t + a) x + A yej(ω t + b) y + A zej(ω t + c) z (1.3.8)

La composante sur x du champ réel est alors :

A x(t) Ré{A xej(ω t + a)} Ax cos (ω t + a) etc. (1.3.9)

Potentiels retardés – RayonnementPortant les relations (1.3.1) à (1.3.4) dans (1.2.3) et (1.2.4), on obtient lesamplitudes complexes des potentiels retardés produits par les charges et lescourants au point P de l'espace :

[V ](r) 14πεo

ρ e-jω r/v

r v

dv 14πεo

ρ e-jkr

r v

dv (1.3.10)

[A ](r) μo

4π J e-jω r/v

r v

dv μo

4π J e-jkr

r v

dv (1.3.11)



où k = ω/v est la constante de propagation, ou encore la constante de phase.C'est aussi le module du vecteur d'onde6. On place les potentiels entrecrochets pour bien indiquer ici que ce sont des potentiels retardés. Cescrochets peuvent être supprimés par la suite. La substitution de cesdernières relations dans (1.2.5) et (1.2.6) permet de trouver les expressionsdu champ électromagnétique en tous points de l'espace : c'est le phénomènede rayonnement. On peut ensuite trouver la puissance rayonnée danstoutes les directions.

Production d’une onde planeIci toutefois, nous allons limiter l'étude à celle du cas où la région d'émissionE est extrêmement loin du point d'observation P sur l'axe 0-Z passant par lecentre de E. À cette condition, il est évident qu'à un instant donné, le champa la même valeur en tous points d'un plan XY perpendiculaire à 0-Z, car ladistance à E est essentiellement la même en tous points du plan (Figure1.3.1). Nous allons démontrer que dans ce cas simple, les solutions deséquations de Maxwell sont des fonctions d'onde relativement simples et quele champ électromagnétique est sous forme d'une onde plane qui se propageen s'éloignant de la région E.

Source

Énergie

Z

X

Y

0

Figure 1.3.1

Cas d'une source à l'infini sur 0-Z : tous les points d'un plan normal XY sont à la même

distance de la source

6 Cette grandeur est aussi désignée par la lettre grecque β .



1.4 Onde plane dans un diélectrique parfait

Expression générale de l’équation depropagation du champ électromagnétiqueOn peut partir des équations (1.1.4) et (1.1.5) pour obtenir une équation en zet t qui s'applique à la propagation dans le vide ou dans un diélectriqueparfait où la densité de charge et la densité de courant sont nulsρ 0, J 0 . Voyons comment le faire. Ces équations deviennent :

∇ ∧ E μo ∂H ∂t

(1.4.1)

∇ ∧ H ε ∂E ∂t

(1.4.2)

Il s'agit d'éliminer une des inconnues, H en l'occurrence. Prenons lerotationnel des deux membres de la première équation :

∇ ∧ ∇ ∧ E μo ∂∂t

∇ ∧ H

En substituant l'expression précédente de ∇ ∧ H dans cette dernière, on

obtient :

∇ ∧ ∇ ∧ E μoε ∂2E

∂t2

Mais, on sait que ∇ ∧ ∇ ∧ E ∇(∇·E) ∇2E, où ∇(∇·E) 0, car il n'y

a pas de charges dans l'espace, par hypothèse. Donc :

∇2E μoε ∂2E

∂t2

(1.4.3)

Mais, si on admet que la source est à l'infini, l'onde est plane et on peutsupposer qu'elle n'a qu'une composante selon x, fonction de z et t seulement.Cette dernière équation devient alors simplement :


∂2Ex

∂z2 μοε ∂

2Ex

∂t2 (1.4.4)

C'est une équation d'onde qui admet des solutions de la forme :

Ex(z,t) = f(z ± ut) (1.4.5)

ce qu’on vérifie facilement par substitution. De telles fonctions sont desfonctions d'onde.

On retrouve des équations de forme identique qui décrivent la propagationdes ondes acoustiques et des ondes mécaniques en général. Par exemple, lapropagation d'une déformation transversale y (z,t) le long d'une corde tendueest décrite par l'équation suivante :

∂2y∂z2

ρT

∂2y

∂t2

où ρ est la masse de la corde par unité de longueur et T est la force detension dans la corde7. La pression acoustique étant la variation de pressiondans un fluide au passage d'une onde, son équation de propagation est :

∂2p∂z2

ρK

∂2p

∂t2

où ρ est la masse volumique du fluide, et K sa compressibilité adiabatique8.On a une équation identique pour le déplacement s du fluide au passage del'onde.

Équation de propagation en régime harmoniqueÉquation de HelmholtzSupposons que l'espace de la figure 1.3.1 est plein d'un diélectriquehomogène et isotrope parfait, sans pertes, de permittivité électrique ε et deperméabilité magnétique μo. Supposons de plus que les charges et les

7 Ondes et vibrations, par Jean-Luc Dion, C.É.C. Montréal 1974, p. 115.8 Ibid., p. 120.



courants sont nuls partout sauf dans la région source E qui se trouveinfiniment loin de la région d'observation (région R). On suppose que cescharges et courants varient de façon sinusoïdale. Dans ce cas, les équationsde Maxwell (1.1.2) à (1.1.5) deviennent :

∇ · D 0 (1.4.6)

∇ · B 0 (1.4.7)

∇ ∧ E ∂B∂t

(1.4.8)

∇ ∧ H ∂D∂t

(1.4.9)

On s'intéresse ici à trouver des expressions de E et H qui satisfont ceséquations, ainsi que la relation entre ces deux champs. Cela revientessentiellement à résoudre ces deux dernières équations qui sont deséquations aux dérivées partielles. Mais, on sait que D = εE et B = μoH, desorte que les deux dernières du groupe se réduisent à un système de deuxéquations à deux inconnues E et H :

∇ ∧ E μo ∂H∂t

(1.4.10)

∇ ∧ H ε ∂E∂t

(1.4.11)

Or, si les sources varient sinusoïdalement, les champs doivent aussi variersinusoïdalement. On peut donc les exprimer sous forme d'exponentiellescomplexes :

E(z,t) E(z) ejω t E ejω t (1.4.12)

H(z,t) H(z) ejω t H ejω t (1.4.13)

où les amplitudes complexes sont fonction de z seulement, à cause del'hypothèse initiale. En dérivant H(z,t) par rapport au temps et en portant lerésultat dans (1.4.10), on obtient,

∇ ∧ E(z,t) ∇∧(E ejω t) ejω t ∇∧E(z) jω μoH(z) ejω t

Vu que les exponentielles complexes se simplifient dans les deux dernierstermes, on n’a plus qu’une équation indépendante du temps :



∇ ∧ E(z) j ω μo H(z) (1.4.14)

En faisant de même pour l’équation (1.4.11), on obtient :

∇ ∧ H(z) jω ε E(z) (1.4.15)

ou simplement ∇ ∧ = −E Hjwμ 0

et ∇ ∧ H jω ε E (1.4.16)

En tirant de (1.4.14) l’expression de H qu’on porte dans (1.4.15), on obtient :

∇ ∧ ∇ ∧ E ω2μoε E (1.4.17)

De même pour H : ∇ × ∇ × H = ω2μoε H (1.4.18)

Vu l’identité de forme de ces équations, les solutions pour E et H doivent êtreidentiques. Posons k2 = ω2μoε. Alors :

∇ ∧ ∇ ∧ E k 2E (1.4.19)

Mais, ∇ ∧ ∇ ∧ E ∇(∇·E) ∇2E et, dans le cas présent, ∇·E 0 (éq. 1.1.2), de sorte que :

∇2E k

2 E (1.4.20)

De même : ∇2H k 2 H (1.4.21)

Les équations de ce type s’appellent équations de Helmholtz9. Or, comme lasource est à l’infini, on sait déjà que l’amplitude complexe du champ ne peutdépendre que de z. Le laplacien se réduit donc à une simple dérivée secondepar rapport à z :

∂2E∂z 2

∂2Ex

∂z 2 +

∂2Ey

∂z 2 +

∂2Ez

∂z 2 k 2 E (1.4.22)

Mais, la composante Ez est nulle dans le cas présent. En effet, d’aprèsl’équation (1.4.6), avec D = εE, le champ étant indépendant de x et de y :

9 Herman Ludwig von HELMHOLTZ, physicien et physiologiste allemand (1821-1894). Il fit d’importants travaux dansplusieurs domaines de la physique. Il énonça le principe de conservation de l’énergie. En acoustique, il interpréta le timbre dessons par l’existence d’harmoniques superposées (Petit Robert 2).



∇ · E ∂Ex

∂x +

∂Ey

∂y +

∂Ez

∂z 0 (1.4.23)

Mais les deux premières dérivées sont nulles, vu que le champ estindépendant de x et de y. Donc, Ez ne peut pas dépendre de z : il peut êtreconstant ou nul. Choisissons Ez = 0, une composante constante neprésentant pas d’intérêt. De même, Hz = 0.

On arrive ainsi à l’importante conclusion que, dans le cas d’une source àl’infini, le champ électromagnétique est transversal, c’est-à-direperpendiculaire à la direction de propagation. Supposons une seulecomposante, pour simplifier :

E = Ex x (1.4.24)

Fonctions d’ondeL’équation (1.4.20) se réduit à l’équation différentielle ordinaire du secondordre :

d2Ex(z)

dz 2 + k 2Ex(z) 0

(1.4.25)

C'est l'équation de Helmholtz : l’équation d'onde de l'amplitude complexe duchamp E. Une telle équation admet comme solution une fonctionexponentielle complexe ou une somme d’exponentielles. Soit, par exemple,

Ex(z) E1 e-jkz + E2 e+jkz (1.4.26)

où E1 et E2 sont des constantes complexes à déterminer. On peut poser :

E1 = E1 ejφ1 = E1 ejφ1 (1.4.27)

et E2 = E2 ejφ2 = E2 ejφ2

où E1 et E2 sont des constantes réelles. Rappelons que :

k = ω εμo (1.4.28)

Le champ magnétique H est nécessairement de la même forme. Nous verronsplus loin comment il est relié au champ électrique.



La fonction d'onde complexe Ex(z) avec l'exposant négatif peut donc s'écrire :

Ex(z) = E1oe jkz = E1oejφ1 e jkz = E1oe j(kz φ1) = E1o exp –j( kz – φ1) (1.4.29)

où l'indice o est utilisé pour bien signifier qu'il s'agit de l'amplitude à l'origine(z = 0). On peut s'en dispenser selon la clarté du contexte. De plus, on peutposer E1o Exo dans ce cas.

On définit la longueur d'onde comme la distance Δz = λ sur laquelle laphase du champ varie de 2π radians à un instant donné :

k Δz k λ 2π (rd)

d'où la relation utile : k 2πλ

(rd/m) (1.4.30)

D'une façon générale, la grandeur kΔz = Δφ est le déphasage des vibrationsà l'instant t en deux points espacés de Δz .

La figure 1.4.1 représente une superposition de l'axe de propagation Z et duplan complexe, montrant comment évolue l'amplitude complexe E1 (ou

phaseur) du champ avec la position z à un instant quelconque t. Elle estreprésentée à des positions espacées d'un quart de longueur d'onde (λ/4).On voit la phase initiale à l'origine φ1. On observe qu'au cours d'un tel

déplacement, le vecteur tourne d'un quart de tour (π/2 radians).

φ1

Ε1ο

ω

0

φ1

Ε1

φ1 φ1Ε1 φ1

Ε1 φ1

Ε1Z

PLAN COMPLEXE

0 λ/4 λ/2 3λ/4 λ 5λ/4

Ε1kz kz kz

Figure 1.4.1

Variation de l'amplitude complexe du champ le long de l'axe de propagation

En un point donné au cours du temps, le vecteur phase tourne à la vitesse ωdans le sens positif, car la fonction d’onde complète est obtenue enmultipliant la précédente par l’exponentielle ejω t (voir équation 1.4.12).



Rappelons que la multiplication d'une grandeur complexe A par

l'exponentielle complexe ejθ fait tourner le vecteur A d'un angle θ dans leplan complexe.

Champ réel et vitesse de phasePour obtenir la forme réelle du champ E, multiplions les deux membres de

(1.4.26) par ejωt et prenons la partie réelle :

Ex(z,t) Ré Ex(z)ejω t Ré E1 ej(ω t kz) + E2 e

j(ω t + kz)(1.4.31)

ou Ex(z,t) Ré Ex(z)ejω t Ré E1 ej(ω t kz + φ1) + E2 e

j(ω t + kz + φ2)

Donc,

Ex(z,t) E1 cos ωt kz + φ1 + E2 cos ω t + kz + φ2 (1.4.32)

L’expression entre parenthèses est la phase de la vibration ; la constante φ1

(ou φ2) est la phase initiale (à t = 0) à l’origine (z = 0). Le premier termereprésente une onde qui se propage dans le sens positif de z, tandis que ledeuxième représente une onde dans le sens négatif. Pour voir cela,considérons le premier terme qui peut se réécrire comme suit :

Ex+(z,t) Exo cos ω (t kz /ω + φ1/ω ) (1.4.33)

ou Ex+(z,t) Exo cos ω t τ + C1

où Exo est l'amplitude du champ à l'origine (z = 0), où τ = kz/ω et la constante

C1 = φ1/ω. À l’origine (z = 0), le champ est donc décrit par la vibration :

Ex+(0,t) = Exo cos ω (t + C1)(1.4.34)

qu’on a représentée par la courbe A à la figure 1.4.2. La période est T = 1/f.Le champ passe pas un maximum en SA quand t = -C1, car cos 0 = 1. La

vibration en z, en un point supposé près de l’origine, est décrite par lacourbe B, (équation 1.4.33). On remarque qu’elle passe par un maximum SBavec un retard τ : c’est le temps que met la perturbation à franchir ladistance z et ce temps est directement proportionnel à z comme le montre larelation τ = kz/ω. La vitesse de propagation de l’onde se déduit alors de cettedernière :

z ωk

τ v τ



d’où, considérant (1.4.28) :

v ω k

1εμο

c εr

(1.4.35)

La vitesse donnée par la relation (1.4.35) est la vitesse de phase, la vitessede propagation d’une onde sinusoïdale de fréquence f = ω /2π. Dans undiélectrique considéré comme parfait, elle ne dépend que de la valeur de lapermittivité ε.

Sachant qu’en unités SI la perméabilité magnétique du vide est définiecomme μο = 4π 107, et connaissant la vitesse de la lumière (équation 1.1.1), larelation (1.4.35) permet de calculer la permittivité du vide :

εo 1μoc2

8,85418·10-12 farad/mètre (1.4.36)

0

t

C1

AS SB

τEx

T

T/2 T 3T/2

A BExo

Exo

Figure 1.4.2

Variation du champ électrique avec le temps à l’origine (courbe A) et au point d’abcisse z

positive (courbe B) où la vibration est retardée de t

Représentons maintenant le champ en fonction de z en deux instantssuccessifs, afin de mettre la propagation en évidence d’une autre façon. À ceteffet, factorisons k dans (1.4.33) :

Ex(z,t) = Exo cos [-k z - ω t/k - φ1/k ] = Exo cos [-k z - vt - D1 ] Ex(z,t) = Exo cos k z - vt - D1

(1.4.37)

À t = 0 on a donc : Ex(z,t) Exo cos k z D1 (1.4.38)

Cette dernière fonction est représentée par la courbe M de la figure 1.4.3 quipasse par un premier maximum SM en z = D1. À l’instant ultérieur t, parexemple, le champ est décrit par la fonction (1.4.37) (courbe N), le maximums’est déplacé de vt jusqu’en SN. La figure sert à définir la longueur d’onde λ.



Les figures 1.4.4 et 1.4.5 montrent deux représentations du champélectrique à un instant donné t. La première montre comment le module et lesens du champ varient le long de l’axe Z. Elle fait apparaître la longueurd’onde λ comme la distance minimale entre deux points où le champ passepar un maximum. La deuxième fait ressortir le fait que le champ a la mêmevaleur en tous points d’un plan perpendiculaire à l’axe de propagation Z.

On constate aussi que la longueur d’onde est en fait la distance parcouruepar le champ ou l’onde au cours d’une période de vibration. Donc : λ = vT = v/f

Ou encore : λ f v (1.4.39)

une relation fondamentale entre ces trois grandeurs pour les ondes planes.On en tire aussi une autre expression utile de la constante de phase k :

k ω v 2πf

v 2πλ

(1.4.40)

0

Z

D1

SM

vtEx

À t > 0

À t = 0

λ

v

λ/2 λ 3λ/2

Ex

o

-Exo

SNM

N

Figure 1.4.3 Déplacement à la vitesse v du champ électrique au cours de l’intervalle de 0 à t

z

Ex λ

0

λ/2

λ

3λ/2

Figure 1.4.4 Représentation du champ électrique sur l’axe 0Z à l’instant t


z

EE

E

E

x

λ

v

0

Figure 1.4.5 Représentation du champ électrique dans l’espace à l’instant t

1.5 Polarisation d’une ondeOn désigne par le terme polarisation d'une onde électromagnétique ladirection dans laquelle vibre le champ électrique. Il existe deux types depolarisation : la polarisation plane ou rectiligne et la polarisation elliptique.

Polarisation rectiligne ou dans le planLa polarisation d’une onde électromagnétique plane est rectiligne ou dans unplan quand sa composante électrique vibre dans une direction et un plandéfinis. C’est la direction de ce plan qui détermine la polarisation de l’ondedans ce cas. L’onde électromagnétique E(z,t) représentée dans la figure 1.5.1est polarisée dans le plan Π qui fait un angle θ avec le plan x0z et se propagesuivant 0z. Ses expressions sous forme complexe sont :

E z,t Eo z ejωt Eo z ejωta Eoejφe-jkz ejωta Eoej φ - kz ejωta (1.5.1)

où Eo est l’amplitude réelle du champ à l’origine, k est la constante de phase,ω est la pulsation, φ est la phase initiale à l’origine (elle peut être nulle) et aest un vecteur unitaire perpendiculaire à l’axe 0z dans le plan depolarisation (Figure 1.5.1). On sait que sa forme réelle est la partie réelle decette dernière expression :

E z,t Eo cos ωt kz + φ a (1.5.2)

La figure 1.5.1 montre que cette onde peut être considérée comme ayantdeux composantes en phase E1 et E2 :

E1 z,t E1o cos ωt kz + φ x (1.5.3)


x

z

y

E1

E2

E1

E2

E2

E1

0

E

E

θ

E

y

x

0

E1

E2

Eθ

a

Π

Π

Figure 1.5.1 Onde de polarisation rectiligne et ses composantes

E2 z,t E2o cos ωt kz + φ y (1.5.4)

avec : E1o Eo cos θ et E2o Eo sin θ (1.5.5)

Une onde électromagnétique plane peut toujours se décomposer en deuxautres ondes planes dans des plans mutuellement perpendiculaires ou desplans ayant un angle fini entre eux. La direction du champ en tous pointsest donc constante.

Leur forme complexe correspondante est :

E1 z,t E1oej ωt - kz + φ x (1.5.6)

E2 z,t E2oej ωt - kz + φ y (1.5.7)

Polar isation ellipt ique et polar isat ion cir culair eDeux ondes planes superposées dans la direction 0z et polarisées dans desplans différents donnent une onde de polarisation elliptique dans le cas oùelles sont déphasées. Cela est représenté dans la figure 1.5.2, dans le casparticulier où les plans sont mutuellement perpendiculaires. Lescomposantes sont :

E1 z,t E1o cos ωt kz x (1.5.8)

E2 z,t E2o cos ωt kz + φ y (1.5.9)



où φ est le déphasage entre les champs. Dans le cas où ce déphasage est nulou un multiple entier de π, on retrouve le cas précédent de polarisationrectiligne. Dans le plan z = 0, on obtient :

E1 z,t E1o cos ωt x E1o cos 2πT

t x (1.5.10)

et E2 z,t E2o cos 2πT

t + φ y (1.5.11)

x

z

y

E1

E2

E1

E2

E2

E1

0

E

E

E

EE

E

E

E1

E2

Figure 1.5.2 Onde de polarisation elliptique

L a co mpo sitio n de ces deu x vect eurs dans le plan z = 0 do nne u n cha mprésulta nt E dont la po int e décrit une ellipse au co urs d’u ne période devibra tio n T . Son grand a xe est incliné d’u n a ngle θ su r l’a xe 0x. Ceci est représenté da ns la figure 1.5.3, dans le ca s o ù le dépha sa ge φ = +45˚, enu tilisa nt les vecteu rs t o urna nt s de Fresnel da ns le pla n com plexe po ur décrirele cham p dans cha qu e direct io n. Les vecteurs sont ici a u point 1 à t = 0.

Si les amplitudes des champs E1 et E2 sont égales, avec un déphasage de90˚, on obtient alors une onde de polarisation circulaire.

Examinons maintenant le champ à un instant donné (Figure 1.5.2), parexemple à t = 0. Les champs sont alors comme suit en posant t = 0 dans leséquations (8) et (9) :

E x = x = x1 1 1 10( , ) ( ) √ cos √ √z E kz E kz E z= −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

o o ocos cos2π

λ(1.5.12)

E x = x = x2 2 2 20( , ) ( ) √ cos( ) √ √z E kz E kz E z= − + − −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

o o ocos cos2

φ φπ

λφ (1.5.13)


x

y

φ

Ré

Ré

Im

Im

ω

ω

1

2

3

4 5 6

7

8

1

2

3

4

56

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

θ

E2

E1

E

ORIGINE DE LAPOLARISATION

ELLIPTIQUE

Vibration dans ladirection de l'axe 0x

Vibration dans ladirection de l'axe 0y

0

Figure 1.5.3 Production d’une onde de polarisation elliptique

On voit ainsi que le champ E résultant fait un tour complet autour de l’axe0z sur une distance λ, la longueur d’onde. Son extrémité décrit une hélice depériode spatiale λ (Figure 2). La forme complexe de ces champs est lasuivante :

E1 z E1oe-jkz x (1.5.14)

E2 z E2oej -kz + φ y E2oe-j kz - φ y (1.5.15)

Polarisations circulaires droite et gaucheDans la figure 1.5.2, on observe que le champ résultant E tourne dans lesens «antihoraire» et que, en plaçant les doigts de la main gauche dans cesens, le pouce pointe dans la direction de propagation. On dit alors que la

polarisation est circulaire (ou elliptique, 0 < φ ≤ 90˚ ) gauche. Si la condition

est satisfaite par la main droite, on parle de polarisation circulaire (ou

elliptique, 0 > φ ≥ 90˚ ) droite.



Une onde de polarisation circulaire gauche est donc décrite par :

E z E1oe-jkz x + E1oej -kz + π/2 y E1oe-jkz x + j E1oe-jkz y

ou Ecg z E1o x + j y e-jkz (1.5.16)

Si la polarisation est circulaire droite, alors :

Ecd z E1o x j y e-jkz (1.5.17)

La superposition d’une onde de polarisation circulaire gauche à une onde depolarisation circulaire droite dans la même direction donne une onde depolarisation rectiligne. En effet, en additionnant ces deux expressions onobtient :

Ecg z + Ecd z 2E1o e-jkz x (1.5.18)

c’est-à-dire une onde plane polarisée dans la direction 0x.

Considérations pratiquesLa polarisation des ondes électromagnétiques joue un rôle important dans ledomaine des communications en pratique. Par exemple, une antennedipolaire A1 (Figure 1.5.4) dans la direction 0x émet une onde E1 polarisée

dans la même direction. L’antenne E2 émet une onde E2 polarisée suivant0y. Les signaux sont amenés aux antennes par les lignes L1, L2. Plus loin,

sur l’axe 0z par exemple, des antennes identiques peuvent agir commeréceptrices de ces ondes. Toutefois, l’antenne dans la direction 0x ne serasensible qu’aux ondes polarisées dans cette direction. De même pour celledans la direction 0y. Une antenne de ce type est donc insensible aux ondespolarisées perpendiculairement à l’antenne. De telles antennes ne sont pasindiquées pour des sources qui changent d’orientation au cours du temps,telles que des satellites ou des vaisseaux de l’espace.

En déphasant de 90˚ les signaux électriques des lignes L1, L2, on produit

une onde de polarisation circulaire, gauche ou droite selon le cas. Dans cecas, la sensibilité d’une antenne de réception dipolaire ne dépend pas de sonorientation autour de l’axe 0z. Les émetteurs de satellites utilisent doncgénéralement ce type de polarisation.


L2

x

y

z

L1

E1

E2A2

A1

Figure 1.5.4 Antennes et polarisation

1.6 Expression du champ magnétique H

F o n c t i o n d ' o n d e - O r t h o g o n a l i t é d e s c h a m p s E e t H Supposons que le champ électrique qui se propage dans le sens positif de Z,avec une seule composante selon X est décrit comme précédemment par sonamplitude complexe

E(z) Ex(z) Exo e-jkz x , (1.6.1)

L’expression du champ magnétique H se déduit simplement de l’équation(1.4.14) :

H j

ω μο ∇ ∧ E (1.6.2)

Le calcul de cette expression en coordonnées cartésiennes donne aisément

H(z) kω μο

Exo e-jkz y (1.6.3)

Donc, le champ magnétique n’a qu’une composante selon Y , avec uneamplitude complexe :

Hy kω μο Ex

. (1.6.4)



Les composantes électrique et magnétique du champ électromagnétique sontmutuellement perpendiculaires ou orthogonales et se trouvent dans unplan normal à la direction de propagation : le champ électromagnétique esttransversal. La relation entre ces deux composantes du champélectromagnétique est montrée dans la figure 1.6.1.

Z

X

Y

E

H

0

v

Figure 1.6.1

Composantes E et H du champ électromagnétique d’une onde plane

qui se propage dans la direction +Z.

Impédance caractéristique du milieu(impédance d'onde)On sait que k = ω /v, avec v 1/ εμo . Il s’ensuit que la relation (1.6.4) peut

s’écrire comme suit :

Ex μo

ε Hy (1.6.5)

ou encore: Ex η Hy (1.6.6)

Ces composantes sont étroitement liées par la grandeur η (êta) :

η = μo

ε =

μo

εrεo =

ηo

εr (1.6.7)



définie comme l’impédance caractéristique ou l’impédance d’onde dumilieu. Cette appellation vient du fait que l’unité de η est l’ohm, car E est enV/m et H en A/m. L’équation (1.6.6) est donc de la forme V = ZI. L’impédancecaractéristique du vide η0 est alors :

ηo ≈ 377 ohms (1.6.8)

1.7 Propagation dans un diélectrique avec perte

Constante de propagation complexeOn sait qu’un diélectrique réel s’échauffe sous l’action d’un champ électriquealternatif : l’énergie électrique se dissipe en chaleur. Ce phénomène a deuxcauses essentielles : premièrement l’hystérésis, c’est-à-dire le déphasageentre le champ E et le champ D puis, deuxièmement, la conductivité σ dumilieu. On doit donc s’attendre à ce que l’amplitude d’une ondeélectromagnétique plane diminue en cours de propagation. C’est ce que nousallons maintenant démontrer en trouvant la fonction d’onde dans ce cas.

On sait que la permittivité électrique d’un tel diélectrique est un nombrecomplexe, la permittivité complexe :

ε ε' j ε" (1.7.1)

Supposons aussi que: σ ≠ 0, μ = μο

et la densité de charge ρ = 0 (1.7.2)

En régime harmonique de pulsation ω, les équations de Maxwell (1.1.4) et(1.1.5) deviennent, considérant (1.4.10) et (1.4.11) :

∇ ∧ E j ω μο H (1.7.3)

et ∇ ∧ H σ E + j ω ε E (σ + jω ε) E (1.7.4)

ou ∇ ∧ H σ + ω ε" + j ω ε' E σ' + j ω ε' E σ E (1.7.5)

ou encore ∇ ∧ H jω ε j σω

E jω εe E (1.7.6)



Ce qui permet de définir:

La conductivité effective σ’ = σ + ωε" (1.7.7)

La conductivité complexe effective σ = σ’ + jωε’ (1.7.8)

La permittivité complexe effective εe ε jσ/ω (1.7.9)

On constate que l’équation (1.7.6) est tout à fait de la même forme quel'équation vue précédemment pour les diélectriques sans pertes (1.4.16) quenous reproduisons ici:

∇ ∧ H jω ε E (1.7.10)

sauf que la permittivité réelle ε est remplacée par la permittivité complexeeffective εe. Par conséquent, la solution du système d’équations (1.7.3) et

(1.7.6) doit être exactement de la même forme que celle des équations(1.4.14) et (1.4.15). Sauf que l’expression (1.4.28) de la constante de phase kdevient une grandeur complexe:

k = ω εeμo (1.7.11)

C'est la constante ou fonction de propagation complexe. En substituant εe, on

obtient facilement:

k = ω ε' μo 1 j σ'ω ε'

(1.7.12)

On sait que δ est l’angle de pertes du milieu et que le facteur de pertestg δ est

tg δ = σ'ω ε'

(1.7.13)

On peut donc poser k = k’ + jk” (1.7.14)

Avec : k' ≡ k ω ε'μο 1 + σ'ω ε'

2 1/4cos δ /2 (1.7.15)

et : k" ≡ –α = –ω ε' μo 1 + σ'ω ε'

2 1/4sin δ /2 (1.7.16)

Ce dernier terme, α ou -k ” s’appelle coefficient d’atténuation oud’affaiblissement pour une raison qui deviendra évidente. La grandeur k' ouk est la constante de phase, comme avant.



Cas des bons diélectriquesSi la conductivité effective σ’ est faible devant ω ε’, alors cos δ/2 ≈ 1 etsin δ/2 ≈ tg δ/2 ≈ δ/2 ≈ σ’/(2ω ε’). Dans ce cas, celui des bons diélectriques,on a de plus σ << ωε”, et :

tg δ ≈ δ ≈ ε"/ε' (1.7.17)

k' ≡ k ≈ ω ε' μo (1.7.18)

et k" ≡ –α ≈ –ω ε' μo σ'2ω ε'

= − ω ε"2

μo

ε' (1.7.19)

À partir de l’expression (1.6.7) de l’impédance caractéristique du milieu, vu

que ε'e ≈ ε', on peut aussi exprimer k” comme

k" ≡ α ≈ σ' η

2 ≈

ω ε'η2

tg δ (1.7.20)

où δ est l’angle de pertes et η l’impédance caractéristique du diélectrique quiest pratiquement réelle ici (voir plus loin).

La vitesse de phase est alors :

v ω k'

= 1ε' μo

(1.7.21)

Le champ électrique EOn obtient l’expression du champ électrique, son amplitude complexe enfonction de la position z, en portant l’expression de k (1.7.14, 18, 20) dans(1.4.26) :

Ex(z) E1 e-αz e-jkz + E2 e+αz e+jkz (1.7.22)

ou Ex(z) E1 e-αz e-j(kz - φ1) + E2 e+αz e+j(kz + φ2) (1.7.23)



Il suffit de multiplier par l’exponentielle ejω t et de réarranger pour avoirl’expression complexe en fonction de la position et du temps :

Ex(z) E1 e-αz ej(ω t - kz + φ1) + E2 e+αz ej(ω t + kz + φ2)

On obtient le champ réel en prenant la partie réelle de cette dernièreexpression :

Ex(z) E+ e-αz cos (ωt kz + φ1) + E- e+αz cos (ωt + kz + φ2) (1.7.24)

où E+ = E1 et E = E2 sont des amplitudes à l'origine du référentiel choisi

(z = 0). Nous savons déjà que le premier terme représente une onde qui sepropage dans le sens positif de z, et l’autre, une onde dans le sens négatif.

La vitesse de phase est toujours donnée par la relation k = ω/v. D'après(1.7.15), cette vitesse doit dépendre de la conductivité effective σ’ et de lafréquence. Un milieu où la vitesse de phase des ondes dépend de lafréquence est appelé milieu dispersif. C'est le phénomène de dispersion.

La figure 1.7.1 représente à deux instants successifs t et t + Δt l’onde qui sepropage dans le sens positif de z et dont l’amplitude diminueexponentiellement avec z. On obtient une représentation du second terme(onde dans le sens négatif) en faisant faire un demi-tour aux courbes autourd’un axe vertical. L’enveloppe supérieure est décrite par la fonction E+ e αz

et l’enveloppe inférieure par -E+ e αz .

604020

Enveloppet t + Δt

de l'amplitude

100

0

100

Z: unités arbitraires

Z

v

(Uni

tés

arbi

trai

res)

Val

eur

du

cham

p

Figure 1.7.1 Champ électrique d'une onde dans le sens positif de z dans un milieu avec pertes.



Le champ magnétique H - Impédance d'ondeLa composante magnétique du champ électromagnétique se trouve de lamême façon que dans le cas d’un diélectrique parfait en remplaçantsimplement la permittivité réelle ε par la permittivité complexe effectiveεε dans l'équation (1.6.5) :

Ex μo

εe Hy (1.7.28)

ou encore: Ex η Hy (1.7.29)

L’impédance caractéristique η du milieu est alors une grandeur complexe.

Dans ce cas, le champ magnétique est déphasé par rapport au champélectrique : les deux champs ne s’annulent pas au même instant en unpoint. En substituant dans (1.7.28) l’expression (1.7.9) de εε, et en utilisant

(1.7.7), on obtient l’expression exacte suivante pour l’impédancecaractéristique complexe d’un milieu avec pertes :

η = μo/ε'

1 j σ' ω ε'

= η

1 j σ' ω ε'

= η ejθ (1.7.30)

ou encore :

η = η

1 + σ'ω ε'

2 1/4 ejθ =

ηo

ε' r ejθ

1 + σ'ω ε'

2 1/4 = ηR + jηI (1.7.31)

où θ = (1/2) arctg (σ’/ω ε’ ) (1.7.32)

ou encore : η C ηo

ε' r ejθ = η ejθ = η ejδ/2 (1.7.33)

avec C 1 + (σ' /ω ε' )2 1/4, η0 ≈ 377 ohms, où l'on reconnaît le facteur de

pertes tg δ = tg(2θ) = σ' /ω ε' .

Cas de bons diélectriquesDans le cas des diélectriques de bonne qualité, la conductivité σ estrelativement négligeable devant ωε” et le facteur de pertes se réduit à ε"/ε'.Si, par exemple, tg δ = 0,02 , ce qui est relativement élevé pour un



diélectrique, on calcule C = 0,99980 et δ ≈ 0,02 rd ≈ 1,15°. On peut doncconclure que dans tous les « bons » diélectriques, l'impédance caractéristiqueest pratiquement réelle et essentiellement déterminée par la permittivitérelative réelle ε' r .

Dans ce cas, ηR ≈ η ≈ ηo

ε' r (1.7.34)

et ηI ≈ η sin δ/2 ≈ η δ2

(1.7.35)

Exemple 1.7.1 Propagation dans le polystyrène

Considérons un morceau de polystyrène dans lequel se propage une ondeplane de fréquence égale à 1000 MHz. Sa permittivité relative réelle est ε' r =

2,2, et son facteur de pertes tg δ ≈ 0,001 ≈ δ, avec σ ≈ 10 15 S m 1. Alors,avec la relation (6.20),

ε" ≈ δ ε' rεo ≈ 0,001 × 2,2 × 8,854 ·10 12 ≈ 1,95 × 10 14 F/m

Puis, ω ε" = 2π·109 × 1,95 ·10 14 = 1,22 ·10 4 S/m

La conductivité σ est donc négligeable devant cette dernière grandeur. Celaest vrai jusqu'à des fréquences très supérieures à celle de la lumière visible :

environ 6 x 1014 Hz. Alors σ ' = ω ε" = 1.22 x 10 4 S/m. Il s'agit donc d'unbon diélectrique. Dans ce cas, la vitesse de phase est donnée par (1.7.21):

v = 1

2,2 × 8,854·10 12× 4π·10 7 = 2,021·108 m/s

La constante de phase : k ≈ k' ≈ ω v ≈

2π·109

2.021 ·108 = 31,09 rd/m

L'impédance caractéristique est donnée par (7.34, 7.35) :

η ≈ ηR ≈ 4π·10 7

2,2 × 8,854· 10 12

1/2

= 254,0 ohms

et ηI ≈ 254,0 × 0,001/2 = 0,127 ohms

L'impédance caractéristique est donc pratiquement réelle : par conséquent,le champ magnétique est pratiquement en phase avec le champ électrique.



Une des formes de la relation (1.7.20) sert à trouver le coefficientd'atténuation (avec σ '):

α ≈ 1.22 × 10 4× 254

2 = 0.0155 Np/m

Vu que 1 néper = 8,854 décibels, α = 0,137 dB/m. Il s'ensuit qu'en parcourantune distance de 1/0,0155 = 64,5 m, l'amplitude du champ électrique ou du

champ magnétique diminue par le facteur e 1 ≈ 0,368.

La longueur d’onde est alors :

λ vf

2,021⋅108 m/s

109 Hz 20,21 cm

1.8 Propagation dans un conducteurLes bons conducteurs tels que les métaux sont caractérisés par uneconductivité électrique très élevée et une permittivité qui est essentiellementcelle du vide. Quant à leur perméabilité magnétique, elle est pratiquementégale à celle du vide pour les métaux diamagnétiques et les métauxparamagnétiques. Elle peut en différer beaucoup pour les métauxferromagnétiques. Finalement, il ne peut y avoir de charges libres dans unconducteur. Il faut donc retenir les grandeurs suivantes :

ε = εο , μ ≠ μο , σ' = σ , ρ = 0 (1.8.1)

Dans un bon conducteur, σ >> ω εο

Constante de propagationLes premières expressions des diverses constantes de propagation (k, v, α...)dérivées plus haut pour les diélectriques avec pertes peuvent servirdirectement ici, en les adaptant, car les équations de Maxwell quis'appliquent ont exactement la même forme (éq. 1.7.3, .6). Donc :

∇ ∧ E jω μ H (1.8.2)

et ∇ ∧ H jω εe E (1.8.3)



L'équation (1.7.11) permet alors de trouver la constante de propagation k .Or, vu que σ >> ωεο, la permittivité complexe effective εe (1.7.9) se réduit à−jσ/ω, de sorte que :

k ω jσμω = jω σμ = j ω σμ (1.8.4)

Donc: k ω σμ e-jπ/4 = ω σμ

2 j

ω σμ

2 (1.8.5)

Vu que k = k – jα , il s'ensuit que :

k α = ω σμ

2 (m 1) (1.8.6)

La vitesse de phase est alors :

v ω /k 2ωσμ (m s 1) (1.8.7)

Il faut remarquer que cette vitesse tend vers zéro avec la fréquence: un telmilieu est fortement dispersif.

Exemple 1.8.1 Propagation dans le cuivre

À 100 Hz dans le cuivre (σ = 5,7·107 S m 1), cette vitesse est seulement de4,15 m/s ! Il faut comparer à 300 000 km/s dans le vide ! On calcule d’autrepart α = 150 Np/m, ce qui est énorme : la pénétration de cette onde dans lecuivre est donc très faible.

L'impédance caractéristique du conducteur est déduite de l'expression(1.7.28) en substituant la perméabilité et la permittivité appropriées:

η = μ

εe =

μ–jσ /ω

= ω μσ

ejπ/4 (1.8.8)

ou η = ω μ 2σ

+ j ω μ 2σ

= ηR + j ηI (1.8.9)



Fonction d'ondeOn obtient l'expression d'une onde plane de champ électrique qui se propagedans un conducteur simplement en portant l'expression (1.8.5) de k dans lafonction d'onde :

Ex(z) Exo e-j(k - jα)z Exo e-αz e-jk z (1.8.10)

Champ magnétiqueD'après (1.6.5), en y substituant (1.8.9), on obtient la relation entre lescomposantes électrique et magnétique du champ électromagnétique dans unconducteur :

Ex ω μ σ ejπ/4 Hy (1.8.11)

Le champ électrique a donc un avance de phase de π/4 radians (45°) sur lechamp magnétique et le rapport de leurs modules dépend fortement de lafréquence.

Pénétration - Effet pelliculaireSi l'on suppose qu'une onde dans l'air rencontre la surface plane d'unconducteur, il y a un phénomène de réflexion dans l'air et de transmissiondans le conducteur qui seront étudiés plus loin. Toutefois, admettons quel'amplitude du champ dans le conducteur, infiniment près de la surface, soitréelle Exo. D'après la relation (1.8.10), le module de l'amplitude du champ

électrique est donc :

Ex(z) Exo e-αz (1.8.12)

La diminution du champ avec la profondeur est énorme. La profondeur z àlaquelle l'amplitude est réduite à la fraction e 1 porte le nom particulier depénétration10. On la désigne par le symbole δ : pour ne pas le confondreavec l'angle de pertes, ajoutons un indice « o » pour « onde ». On a donc :

δo = 1α

= 2ω σμ

(1.8.13)

10 En anglais cela porte le nom de skin depth et le phénomène est appelé skin effect.



De sorte que l'équation (1.8.12) devient:

Ex(z) = Exo e z /δo (1.8.14)

Cette pénétration est relativement faible dans les bons conducteurs, commele montre le tableau 1.8.1.

TABLEAU 1.8.1

Pénétration δ0

ConducteurConductivité

(107 S/m)

Perméabilitérelative

60 Hz(mm)

1 kHz(mm)

1 MHz(mm)

Aluminium 3,54 1,00 11 2,7 85

Cuivre 5,80 1,00 8,5 2,1 66

Or 4,50 1,00 9,7 2,38 75

Argent 6,15 1,00 8,3 2,03 64

Fer doux 1,0 ≈2000 1,4 0,35 11

Graphite 0,010 1,00 2 000 50 1 600

Eau de mer ≈ 5·10 7 1,00 30 000 7 000 2·1

Il est intéressant de constater que l'atténuation sur une distance égale à unelongueur d'onde est une constante, et qu'elle est de

Ex(λ)/Exo = e 2π ≈ 1,87·10 3 (1.8.15)

En effet d'après (7.7) :

λ v f

= 2πv ω

= 2πω

2ω σμ

2π 2ω σμ

2πδ (1.8.16)

En portant z = λ dans (1.8.14) on obtient donc cette valeur d'atténuation de2πNp qui indique bien l'importance du phénomène. Notons que ce résultatest indépendant de la fréquence.

1.9 Théorème de Poynting

Flux d'énergie électromagnétiqueLes ondes électromagnétiques transportent de l'énergie. En un point del'espace, la puissance instantanée d'une onde par unité de surfaceperpendiculaire à la direction de propagation est donnée par le vecteur dePoynting



S = E ∧ H (1.9.1)

Ceci se démontre de la façon suivante. Considérons une région v de l'espacelimitée par une surface fermée S où existe une champ électromagnétique(fig. 1.9.1). Partout les équations de Maxwell s'appliquent :

L’équation de Maxwell-Faraday ∇ ∧ E = – ∂B∂t

(1.9.2)

L’équation de Maxwell-Ampère ∇ ∧ H = J + ∂D∂t

(1.9.3)

Multiplions la première par H⋅ et la deuxième par E⋅, puis soustrayons l'unede l'autre :

H· ∇ ∧ E – E· ∇ ∧ H = – H· ∂B∂t

– E· J – E· ∂D∂t

(1.9.4)

Or, le membre de gauche est égal à ∇· (E ∧ H) et, si le milieu est linéaire,

B = μ H et D = ε E. Il s'ensuit que :

H· ∂B∂t

= μ H· ∂H∂t

= ∂∂t

12μ H·H =

∂∂t

12μH 2 (1.9.5)

De même: E· ∂D∂t

= ∂∂t

12

ε E2 (1.9.6)

Les termes entre parenthèses sont respectivement la densité d'énergiemagnétique et la densité d'énergie électrique. Or, on sait que la densité decourant J est reliée au champ électrique E et au champ électromoteur ε par

la loi d'Ohm généralisée :

J = σ (E + ε) 1.9.7)

Alors, E = J/σ - εd'où: E · J = J2/σ - ε · J (1.9.8)

En portant ces dernières grandeurs dans (1.9.4) on obtient :

∇· (E ∧ H) = – ∂∂t

(12

μH 2 + 12

εE2) – J2

σ + ε · J (1.9.9)



Isolons le dernier terme :

ε ⋅ J = ∂∂t

12

μH 2 + 12

εE2 + J2

σ + ∇· E ∧ H (1.9.10)

S

HE

nS

dA

V

Figure 1.9.1 Démonstration du théorème de Poynting.

Signification des termes : (8)

ε ⋅ J : La puissance fourniepar les sources parunité de volume.

(1.9.11)

∂∂t

12

μH 2 + 12

εE2 :Le taux de variation dela densité d'énergietotale.

(1.9.12)

J2

σ : La puissance dissipée

par effet Joule par unitéde volume.

(1.9.13)

et ∇· (E ∧ H) : Un terme inconnu quisera associé aurayonnement d'énergiehors du volume.

(1.9.14)



Intégrons sur tout le volume l'expression (1.9.10) :

ε·J dv

v

= ∂∂t

12

μH 2+ 12

εE2

v dv + J2

σ dv

v + ∇·(E∧H)

v dv (1.9.15)

Le terme de gauche est alors la puissance totale développée par les sourcesdans le volume. Le premier terme de droite est le taux de variation desénergies électrique et magnétique dans le volume, tandis que le deuxième estla puissance totale dissipée par effet Joule. Le troisième ne peut être que lapuissance électromagnétique sortant du volume V. Il peut se transformer enune intégrale sur la surface S du volume considéré au moyen du théorèmede Green-Ostrogradsky :

∇ · (E ∧ H)v

dv = (E ∧ H) · dS s

= S · dS s

(1.9.16)

On voit ainsi que cette puissance est égale au flux du vecteur

S = E ∧ H (watts/m2) (1.9.17)

à travers la surface. C'est le vecteur de Poynting. Ce vecteur est dans lesens de propagation de l'énergie rayonnante et son module est celui de lapuissance par unité de surface (fig. 1.9.1).

Exemple 1.9.1 Application du théorème de Poynting dans un champconstant

La validité de ce théorème est générale. Montrons qu'il s'appliqueparticulièrement dans le cas où les champs sont constants. Considérons laportion de conducteur cylindrique (fig. 1.9.2) de rayon a et longueur bportant un courant constant I de densité uniforme J. Le module du champélectrique peut s'exprimer comme suit :

E = J σ

= Iπa2σ

Le champ H sur la surface latérale est en tous points perpendiculaire à E, etson module est donné par :

H(a) = I2πa


n E

S

H

J

S

a

b

Figure 1.9.2

Application du théorème de Poynting à une portion de conducteur parcouru par un courant

de densité uniforme J

Le vecteur de Poynting P = E ∧ H est donc radial et pointe vers l'intérieur duconducteur. Introduisant le vecteur unitaire n perpendiculaire à la surfacevers l'extérieur, le vecteur élément de surface dS = ndS , de sorte que:

I2 (-n)

2π2σa3

S· n dS = – I2

2π2σa3 dS

S = – I2

2π2σa3 2πab = – bI2

πσa2

Sur les extrémités, le vecteur n est axial et perpendiculaire à P : le flux estdonc nul. La dernière expression étant négative, il s'agit donc d'une

puissance reçue par le conducteur. Mais, la grandeur b/(πa2σ) représente la

résistance électrique R de cette section de conducteur et RI2 est la puissancedissipée dans le conducteur par effet Joule qui est égale en module au fluxdu vecteur de Poynting.

Le vecteur Pointing en régime harmoniqueEn régime variable sinusoïdal, S(t) = E (t)∧H(t). Or, en vertu du théorèmed'Euler, ces deux derniers termes peuvent s'écrire sous la forme d'unesomme de vecteurs complexes :

E(t) 12

E ejω t + E* e-jω t (1.9.18)

H(t) 12

H ejω t + H* e-jω t (1.9.19)



d'où : S(t) = 14

[E ∧ H ej2ω t + E*H * e 2jω t + E ∧ H* + E* ∧ H] (1.9.20)

La puissance moyenne ou le vecteur de Poynting moyen est obtenue enintégrant cette dernière expression sur une période T et en divisant par T :

< S > = 1T

S(t) dt 0

T

(1.9.21)

Mais, la moyenne des termes exponentiels est nulle sur une période. Il restedonc :

< S > = 14

E ∧ H* + E* ∧ H = 14 E ∧ H* + E ∧ H* *

(1.9.22)

On sait aussi que Ré{A} = 12

A + A* , de sorte que:

< S > = 12 Ré E ∧ H

* = 1

2 Ré H ∧ E

* (W/ m2) (1.9.23)

Cas d'une onde planeLa figure 1.9.3 illustre le cas d'une onde plane qui se propage suivant l'axe Zdans un milieu quelconque d'impédance caractéristique complexe η (milieuavec pertes). Sa polarisation est dans le plan XZ. Alors:

E = Ex e jkz x (1.9.24)

H = Hy e jkz y (1.9.25)

Alors, E ∧ H* = Ex e jkz x ∧ Hy e+jkz y = Ex Hy z (1.9.26)

Or, d'après (1.7.29), Ex = η Hy = η Hy ejθ (1.9.27)

De plus, par un simple choix d'origine, on peut faire Hy = Hy , un nombre

réel. Alors, E ∧ H* = η Hy2 ejθ z (1.9.28)

Le vecteur de Poynting moyen est donc:

<S> = Pu z = I z = 12 η Hy

2 cos θ z = 1

2 Ex

2

η cos θ z (1.9.29)


Z

X

Y

E

H

0

v

S

Figure 1.9.3 Vecteur de Poynting d'une onde plane suivant 0Z.

Ce vecteur mesure la puissance moyenne Pu transportée par l'onde par

unité de surface en W/m2. Cette grandeur est souvent appelée l'intensité del'onde et désignée par le symbole I.

Exemple 1.9.2 Vecteur de Poynting • Régime harmonique

Considérons un polymère (plastique) assez spécial contenant des additifs quile rendent faiblement conducteur, avec une conductivité effective de 10 mS(millisiemens) à 1000 MHz. En courant continu, sa conductivité mesurée σest de 5 mS/m. On a déterminé la permittivité électrique relative réelle : elleest de 4. On peut ainsi calculer diverses grandeurs en rapport avec une ondeplane de cette fréquence qui se propagerait dans un tel milieu avec unchamp électrique d’amplitude égale à 100 V/m.

On peut donc calculer le facteur de pertes :

tg δ = σ'ωε'

= σ'2πfε'

= 0,01

2π × 109 × 4 × 8,854⋅10 12 = 0,04494

D’où : δ = 0,04491 radians = 2,57˚. La constante de propagation réelle k :

k = 2πf ε'r εoμo 1 + σ'ω ε'

2 1/4 cos δ /2 = 2πf ε'r

c 1 + σ'

ω ε'

2 1/4 cos δ /2

k = 2π × 109 4

3⋅108 1 + 0,04494 2 1/4

cos 0,02246 rd = 41,89 × 1,001 × 0,9997

k = 41,92 rd/m



On observe que les deux derniers termes ont un effet négligeable dans le casprésent. Ce milieu peut encore être considéré comme un « bon diélectrique ».Le coefficient d’atténuation est alors :

α = 41,89 × 1,001 × sin 0,02246 rd = 0,9417 Np/m

Comme 1 Np = 8,686 dB, α = 8,18 dB/m

Le module de l’impédance d’onde :

η = ηo

ε'r 1

1 + σ'ω ε'

2 1/4 = 337

4 × 1

1,001 = 168,3 ohms

Son argument : θ = (1/2) arctg (σ’/ω ε’) = δ/2 = 0,02246 rd = 1,29˚.

D’où : ηR = η cos δ/2 = 168,3 × 0,9997 ≈ 168,3 ohms

et ηI = η sin δ/2 = 168,3 × 0,02246 ≈ 3,78 ohms

Donc l’impédance d’onde est pratiquement réelle : l’avance de phase duchamp électrique sur le champ magnétique n’est que de 1,29˚.

L’intensité de l’onde, ou module du vecteur de Poynting, est alors :

IEx= =

1

2

100

168 329 71

2 2

ηθcos =

1

2W/m 2

,,

Après un parcours de 1 mètre (z = 1 m) dans ce matériau, l’intensité del’onde est réduite à :

I = Ioe 2αz = 29,71 × exp -2 × 0,9417 × 1 = 4,52 W/m2

L’atténuation de cette onde est donc assez importante.

Vitesse de propagation de l'énergieConsidérons une surface élémentaire dS perpendiculaire à une onde planequi se propage suivant l'axe Z. On constate que l'énergie qui traverse lasurface dS dans l'intervalle dt occupe le volume de longueur v dt (fig. 8.4).Si on désigne par Pu = < S > , le module de la valeur moyenne du vecteurde Poynting (puissance par unité de surface), et par w la densité d'énergieélectromagnétique dans le volume dV ainsi défini, on obtient :

Pu dS dt = w dV = w dS v dt



On en tire une relation utile: Pu v w (1.9.30)

v dt

S

dV

dS Z

Hyo H (z)y

dzv

Y

Z

0

Figure 1.9.4 Relation entre la densitéd'énergie et le vecteur dePoynting.

Figure 1.9.5 Résistance de surface d'unconducteur.

Résistance de surfaceConsidérons une onde électromagnétique plane Ex(z,t) et Hy(z,t) qui se

propage dans un conducteur de conductivité σ (fig. 8.5). Les amplitudes deschamps E et H à la surface, dans le conducteur, étant Exo,et Hyo, la

puissance effective moyenne Ps transportée par l'onde par unité de surface,d'après (8.29) et (7.9), est :

Ps = 12

η Hyo2

cos θ = 12

ω μ σ

Hyo2

cos (π/4) = 12

ω μ

2σ Hyo

2 (1.9.31)

ou encore: Ps = 12

ηR Hyo2

= 12

Rs Hyo2

(W/m2) (1.9.32)

On note que cette dernière expression a la même forme que la loi de Joule.On appelle résistance de surface du conducteur (ou du milieu en général) lagrandeur Rs = ηR, la partie réelle de l'impédance caractéristique du milieu.

Or, cette puissance doit être entièrement dissipée dans le milieu à droite del'origine. Pour le vérifier, calculons la puissance dissipée dans un cylindre desection unitaire allant de z = 0 à l'infini. On sait que la densité de courantdans le milieu est donnée par la loi d'Ohm :

Jx(z) σ Ex(z) σ Exo e αz e jkz (A/m2) (1.9.33)



La puissance dissipée par effet Joule en un point d'abcisse z, par unité devolume, est donnée par

Pv 12

Jx(z)2

σ 12

σ Ex(z)2 (1.9.34)

D'où : Pv 12

σ Exo2 e 2αz (W/m 3) (1.9.35)

ou : Pv 12

σ η2 Hyo2 e 2αz 1

2 ω μ Hyo

2 e 2αz (1.9.36)

La puissance dissipée dans la tranche d'épaisseur dz et de surfaceA 1 m 2 est:

dP Pv dv 12

ω μ Hyo2 e 2αz ·1·dz (W) (1.9.37)

En intégrant cette expression de z = 0 à l'infini, on obtient

P 14α ω μ Hyo

2 14

ω μ

ωσμ/2 Hyo

2 12

ω μ 2ω

Hyo2 (1.9.38)

Ce résultat est bien identique à celui de l'équation (1.9.31), comme il doit yavoir conservation de l'énergie. On peut vérifier que la résistance de surfaceRs est reliée à la pénétration δο par la relation suivante:

RS ηR 1σ δo

(1.9.39)

En effet, considérons la figure 1.9.6 qui représente une portion de surfacecarrée (a = b = 1 unité) d’épaisseur δο. La résistance électrique entre les facesopposées M et N est donnée par l’expression

R 1σ

abδo

qui se réduit à la précédente.

a 1

b 1

δο

M

N

Figure 1.9.6



EXERCICES

Questions de revueR-1 Quel scientifique français a jeté les bases de l'électromagnétisme au

début du 19e siècle, avant J.C. Maxwell ?

R-2 Quel scientifique allemand a démontré l'existence des ondes électro-magnétiques ? En quelle année ?

R-3 Énoncer les équations que doit satisfaire le champ électromagnétiqueen tout temps et en tous points.

R-4 Décrire les principales parties du spectre électromagnétique en fonctionde la fréquence.

R-5 Qu'est-ce qu'un champ vectoriel complexe. Donner un exemple.Discuter.

R-6 Qu'est-ce qu'une onde plane ? Comment est-elle produite en principe ?

R-7 À partir des équations de Maxwell, démontrer que l'équation depropagation suivant l'axe Z dans un diélectrique parfait, de lacomposante électrique du champ électromagnétique est

∇2E + k 2 E = 0 , où k 2 = ω2 μo ε E

étant l'amplitude complexe du champ, un phaseur. Dans le cas de lapropagation en une dimension, quelle est une forme de fonctionpouvant satisfaire cette équation ?

R-8 Si la propagation d'une onde est selon l'axe Z, pourquoi la composanteEz du champ électrique est-elle nulle ? Démontrer.

R-9 Comment est définie la polarisation d'une onde électromagnétique ?

R-10 Représenter le long de l'axe Z l'amplitude complexe d'une onde planequi se propage dans le sens positif de cet axe. Même question pour uneonde dans le sens négatif.

R-11 Établir clairement la relation entre la forme complexe générale et laforme réelle de la fonction d'onde décrivant une onde plane defréquence f = ω/2π qui se propage dans le sens positif de l'axe Z. Dans lesens négatif ?



R-12 Comment peut-on définir la longueur d'onde ? Quelle est sa relationavec la constante de phase.

R-13 Déterminer la relation entre les composantes électrique et magnétiqued'une onde électromagnétique plane, premièrement dans undiélectrique parfait ou le vide, puis dans un milieu quelconque ycompris dans un conducteur. Trouver l'expression de l'impédanced'onde ou impédance caractéristique dans chaque cas.

R-14 Discuter de la signification de la constante de propagation complexe kd’une onde électromagnétique plane qui se propage dans un milieuquelconque. Montrer comment l'utilisation d'une permittivité complexeeffective εe permet de trouver facilement l'expression de k à partir de

sa forme dans le vide ou un diélectrique réel.

R-15 Trouver l'expression du coefficient d'atténuation α d'une ondeélectromagnétique plane dans un diélectrique à faibles pertes, faisantintervenir l'impédance caractéristique et le facteur de pertes du milieu.

R-16 Déterminer l'expression de l'impédance caractéristique ou impédanced’onde d'un diélectrique à faibles pertes. Quelle est la particularité decette grandeur, par rapport à celle d'un milieu à pertes élevées ?

R-17 Trouver l'expression de la constante de propagation complexe dans unbon conducteur, ainsi que celle de la vitesse de phase et du coefficientd'atténuation.

R-18 Trouver l'expression de l'impédance caractéristique ou impédanced’onde d'un bon conducteur.

R-19 Établir l'expression de la pénétration d'une onde électromagnétiquedans un milieu conducteur. Quelle relation y a-t-il entre la pénétrationet la résistance de surface?

R-20 Qu'est-ce que le vecteur de Poynting? Que mesure la valeur moyennedu vecteur de Poynting dont le module est l'intensité de l'onde?

R-21 Qu'est-ce que la résistance de surface d'un conducteur? À quoi peutservir ce concept?

1.1 Équation d'onde

Vérifier que toute fonction du genre Ex = f(t ± z/v) satisfait l'équation

de propagation du champ électromagnétique suivante :



∇2E – 1

v 2 ∂2

E

∂t2

= 0 où v = 1εμ

avec Ey = Ez = 0

Suggestion : vérifier par substitution. Qu'est-ce que représente lafonction Ex ?

1.2 Équation d'onde

En régime harmonique de fréquence f = ω/2π, l'équation de propagationde la composante électrique du champ électromagnétique est lasuivante :

∇2E – k 2 E = 0

où E est l'amplitude complexe du champ électrique, k est uneconstante généralement complexe : k = ω εμ . Vérifier que cette

équation est satisfaite par une fonction de la formeEx(z) = Exo exp (±k z) Supposer nulles les composantes sur Y et Z.

1.3 Paramètres d'une onde

Une onde plane décrite par E(z, t) = 50 exp (1010t - kz + 1) x V/m sepropage dans du polypropylène (εr = 2,25) supposé sans pertes.

Déterminer :

a) La valeur de k.

Rép.: 50 m 1

(b) La longueur d'onde.

Rép.: 0,1257 m

c) L'expression du champ magnétique.

Rép.: 0 199 50, √cos(1010 z + 1)y A/mt −

1.4 Onde - Propriétés diverses

Une onde plane dont l'amplitude du champ élecrique est de 100 V/mse propage selon l'axe Z dans un milieu sans pertes dont μr = 1 et

εr = 3. L'onde est polarisée selon Y et sa fréquence est de 50 MHz.

Trouver :

a) Sa vitesse de propagation (vitesse de phase).

Rép.: 1,732· 108 m/s



b) Sa pulsation, sa constante de propagation (ou constante de phase)et sa longueur d'onde.

Rép.: ω = 3,1416·108 rd/s; k = 1,814 rd/m; λ = 3,64 m

c) Les expressions complexe et réelle du champ E(z,t), dans le cas oùle champ est de 40 V/m à l'origine à l'instant t = 2 ns(nanosecondes).

Rép.: E cos( 10 y8( , ) , , ) √z t t z= × − +100 1 814 0 531π

d) L'impédance caractéristique du milieu. Rép.: η = 217,5 ohms

e) Les expressions correspondantes du champ magnétique.

Rép.: H = -0,460 √x ... etc.

f) Le vecteur de Poynting complexe.

Rép.: S = 46,0 √z W/m2

g) Le vecteur de Poynting moyen et l'intensité moyenne de l'onde.

Rép.: < S > = 23,0 z W/m2 ; I = 23,0 W/m2

1.5 Énergie

Démontrer que dans une onde électromagnétique plane les densitésmaximales d'énergie électrique et d'énergie magnétique sont égales.

1.6 Onde - Phase

Une onde plane de 20 MHz se propage parallèlement au sol suivantl'axe Z et on a placé le long de celui-ci, aux points A et B, des antennescaptant de l'énergie envoyée au point d'observation P par des lignesd'égales longueurs AP et BP. Évaluer la différence de phase qu'onpourra mesurer n P entre les signaux arrivant en P sur les lignes si ladistance AB = 25 m.

Rép.: ± 120°

1.7 Milieu spécial

Une certaine onde plane a une longueur d'onde dans le vide égale à 12cm. Or, quand elle se propage dans un matériau diélectrique sans

pertes aux caractéristique inconnues (μr ≠ 1 et εr ≠ 1), sa vitesse de

phase est de 1,5·108 m/s, l'amplitude du champ E est 50 V/m, celle



du champ H, 0,10 A/m. Trouver la fréquence de l'onde, la permittivitéélectrique et la perméabilité magnétique du milieu, ainsi que l'intensitéde l'onde dans ce dernier.

Rép.: 2,5 GHz; εr = 1,508 ; μr = 2,653 ; I = 2,5 W/m2

1.8 Déphasage

Une onde plane de 3 GHz est incidente perpendiculairement sur uneplaque de polystyrène (εr = 2,7) percée d'un trou. Quelle doit être

l'épaisseur de la plaque afin que la portion de l'onde qui passe par letrou acquière une avance de phase de 180° sur l'autre partie quitraverse le diélectrique. On ne tiendra pas compte du phénomène deréflexions multiples sur les faces du diélectrique ; la solution est doncapproximative.

Rép.: 7,77 cm

1.9 Milieu avec pertes

Une onde plane de 1 GHz se propage dans un diélectrique à faiblespertes avec une vitesse de phase de 200 000 km/s. Si on constate unediminution d'amplitude de 5% sur un parcours de 2 mètres, évaluer :

a) Le coefficient d'atténuation du milieu.

Rép.: 25,65 Np/km

b) La conductivité effective du diélectrique.

Rép.: 204 μS/m

c) Le facteur de pertes du diélectrique.

Rép.: 0,00163

d) La diminution relative d'intensité par longueur d'onde de parcours.

Rép.: 1,03%


Un certain milieu diélectrique est caractérisé par une permittivitérelative complexe εr = 5 - j0,006. Il s'y propage une onde

électromagnétique plane de fréquence égale à 200 MHz suivant l'axe Zdont l'amplitude à l'origine choisie est de 100 V/m. Elle est polariséesuivant l'axe X. Évaluer :



a) La vitesse de phase.

Rép.: 1,342·108 m/s

b) L'impédance caractéristique du milieu.

Rép.: 168,6 ohms

c) La conductivité effective et le facteur de pertes du milieu.

Rép.: 66,76 μS/m ; 0,0012

d) Le coefficient d'atténuation.

Rép.: 5,628 mNp/m

e) La fonction d'onde réelle telle que la phase initiale à l'origine soitnulle.

Rép.: Ex(z, t) = 100 exp (-5,628· 10 3z) cos (1,257*109t - 9,366 z ) V/m

f) La distance de propagation telle que l'intensité de l'onde tombe à1 % de sa valeur à l'origine. (409 m)

g) Quel devrait être le facteur de pertes du milieu afin que l'amplitudede l'onde ne diminue que de 1% sur la même distance queprécédemment ?

Rép.: 5,24⋅ 10 6


Une onde électromagnétique plane à fréquence très élevée se propagedans un milieu diélectrique solide relativement étendu dont lapermittivité relative réelle est de 2,5 avec un facteur de pertes de 0,01.Des mesures ont permis de déterminer la longueur d'onde dans cemilieu et l'amplitude du champ électrique : λ = 10 cm, E = 100 V/m.

a) Évaluer la vitesse de propagation de l'onde et sa fréquence.

b) Déterminer l'impédance d'onde du milieu et son coefficientd'atténuation.

c) Établir l'expression réelle de cette onde le long de l'axe 0z, la phaseinitiale à l'origine étant nulle.


2222Réflexion d’une onde plane

Incidence normale

Un problème pratique important est celui qui se pose à l'interface de deuxmilieux où se propagent des ondes électromagnétiques. Il s'agit dedéterminer les relations entre les valeurs des divers champs de chaque côté.Dès les années 1820, ce problème a été largement résolu pour la lumière parle grand ingénieur et physicien français Augustin Fresnel1. Il a en effettrouvé les lois exactes de la réflexion et de la transmission de la lumière parla surface d'un diélectrique pour un angle d'incidence quelconque.

Dans ce chapitre, nous traiterons seulement du problème de l'onde incidenteperpendiculairement sur une surface plane : l'incidence normale. Nous allonspremièrement considérer le cas de l'incidence sur l'interface de deuxdiélectriques à faibles pertes, puis ensuite celui de l'incidence sur unesurface conductrice.

1 Augustin FRESNEL, physicien et ingénieur français (1788-1827). Il est le créateur de l'optique vibratoire et de l'optique

cristalline. Il établit solidement la nature ondulatoire de la lumière et expliqua les phénomènes d'interférence et de polarisation.

La théorie de Fresnel établie pour les phénomènes d'optique put s'appliquer par la suite aux autres rayonnements

électromagnétiques. On lui doit l'invention des lentilles qui portent son nom qui servirent initialement à augmenter

considérablement le pouvoir éclairant des phares et qui sont couramment utilisées aujourd'hui dans les rétroprojecteurs, pour

concentrer la lumière sur l'objectif.



2.1 Interface de deux diélectriques parfaits

Fonctions d’ondeLa figure 2.1.1 représente deux milieux quelconques ayant une interfaceplane sur laquelle est incidente une onde plane provenant d'une sourceà -∞. Dans le cas considéré ici, ce sont des diélectriques parfaits ; alors,μ1 = μ2 = μo et les permittivités ε1, ε2 sont réelles. On constate alors qu'unepartie de l'énergie incidente est réfléchie dans la direction -Z et qu'une autrepartie est transmise (ou réfractée) dans le deuxième milieu suivant Z. Sil'onde incidente est polarisée suivant X, les autres le sont nécessairement. Ils'agit de trouver des relations entre les divers champs. Définissons à ceteffet :

– L'onde incidente E1x+ (z) E1xo

+ exp ( j k 1z ) x (2.1.1)

– L'onde réfléchie E1x(z) E1xo exp (+j k 1z ) x (2.1.2)

– L'onde transmise E2x+ (z) E2xo

+ exp ( jk 2z ) x (2.1.3)

Vu que la polarisation est connue, on peut utiliser la forme scalaire et sedispenser de l'indice x :

E1+(z) E1o

+ exp ( j k 1z ) (2.1.4)

E2+

Z0

1 2

X

v2

Z0

1

2

X

ε1

Polyéthylène Air

E1+

E1–

E2+E1+

E1–

ε1 μ1μ1 μ2ε2

μ2ε2

v2v1

v1

v1

v1

Figure 2.1.1 Réflexion et transmission d'une onde Figure 2.1.2 Exemple électromagnétique à

l'interface de deux milieux


E1(z) E1o exp (+j k 1z ) (2.1.5)

E2+(z) E2o

+ exp ( jk 2z ) (2.1.6)

S'il n'y a pas de charges électriques sur l'interface, on sait que la composantetangentielle du champ électrique est continue à l'interface (même valeur depart et d'autre) :

E1o+ + E1o E2o

+ (2.1.7)

De même pour le champ magnétique H, qui est dans le plan YZ comme on lesait, s'il n'y a pas de courant superficiel :

H1yo+ + H1yo H2yo

+ (2.1.8)

ou, plus simplement H1o+ + H1o H2o

+ (2.1.9)

Coefficients de réflexion et de transmissionOn sait d'après la relation (1.6.6) entre le champ électrique et le champmagnétique que la relation (2.1.7) peut s'exprimer à partir du champmagnétique et des impédances caractéristiques des milieux :

η1 H1o+ – η1 H1o = η2 H2o

+ (2.1.10)

En effet, pour une onde dans le sens négatif, on démontre aisément que

E1xo η1 H1yo. L'amplitude de l'onde incidente étant connue, on peut

alors résoudre ces deux dernières équations pour les inconnues :

H1o ≡ H1yo = – η2 – η1 η2 + η1

H1o+ (2.1.11)

H2o+ ≡ H2yo

+ = 2 η1

η2 + η1 H1o

+ (2.1.12)

Pour le champ électrique, on vérifie aisément par substitution que :

E1o ≡ E1xo = η2 – η1 η2 + η1

E1o+ (2.1.13)


E2o+ ≡ E2yo

+ = 2 η2

η2 + η1 E1yo

+ (2.1.14)

On convient de définir les coefficients de réflexion et de transmissioncomme :

R E1xoE1xo

+ et T E2xo+

E1xo+ (2.1.15)

On en tire les importantes expressions suivantes :

– Le coefficient de réflexion R = η2 – η1

η2 + η1

(2.1.16)

– Le coefficient de transmission T = 2 η2

η2 + η1 = 1 + R (2.1.17)

On voit que T = 1 + R et :

Si η2 > η1 , 0 ≤ R ≤ +1 et 1 ≤ T ≤ 2

Si η2 < η1 , -1 ≤ R ≤ 0 et 0 ≤ T ≤ 1

Un coefficient de réflexion négatif correspond à une inversion de phase duchamp à la réflexion.

Exemple 2.1.1 Calculs de R et T. Intensité

Supposons que les milieux 1 et 2 sont respectivement de l'air et dupolyéthylène et que l'onde plane incidente a une amplitude électrique de 10V/m avec une fréquence de 100 MHz. On a ε1 ≈ εο , ε2 ≈ 2,2εo. Si l'on

considère cette amplitude comme réelle à l'interface, la fonction d'onde s'écritcomme suit :

E1x+ (z) = 10 exp (–jk1z ) V/m

avec k1 = ωv1

= 2π·108

3·108 = 2,094 rd/m


2 Réflexion d'une onde plane 55

Dans le deuxième milieu, k2 = ω /v2 = ω εr2/c = εr2 k1 = 3,106 rd/m . Puis,η1 ≈ ηo ≈ 377 ohms, et η2 = 377/ 2,2 = 254,17 ohms (ici, θ = 0).

Évaluons les coefficients R et T :

R = 254,2 - 377254,2 + 377

= – 0,1946 et

T =2 × 254,2

254,2 + 377 = 0,8054

Dans ce cas, il y a donc inversion de phase du vecteur électrique à laréflexion ; par contre le vecteur magnétique se réfléchit sans déphasageselon (2.1.11). Les ondes réfléchies et transmises ont ainsi les amplitudescomplexes :

E1x(z) = –1,946 exp (+jk1z ) et E2x+ (z) = 8,054 exp (-jk2z ) V/m

Si les milieux sont dans l'ordre inverse (Figure 2.1.2) l'onde incidente estdans le polyéthylène et on calcule R = +0,1946 et T = 1,1946. Le vecteurélectrique n'est donc pas déphasé à la réflexion. Dans ce dernier cas,l'amplitude du champ électrique transmis est supérieure à celle du champdans le premier milieu, mais la puissance transmise ne peut l'être en vertude la loi de conservation de l'énergie. Vérifions-le.

L'intensité de l'onde dans l'air (milieu 2) est donnée par l'expression (1.9.29) :

I2+ = 1

2 E2

2

η2 = 1

2 T 2E1

2+

η2 =

T 2η1

η2 12

E12+

η1 =

T 2η1

η2 I1

+

Ce qui donne l'intensité dans l'air I2 = 0,962I1, qui est inférieure à celle dans

le polyéthylène, comme il fallait s'y attendre. La fraction (1 – 0,962) = 0,038doit donc être réfléchie à l'interface. Vérifions :

I1 = 12

E1

2

η1 = 1

2 R 2E1

2+

η1 = R 2 I1

+ ≈ 0,038 I1+

La loi de conservation de l'énergie est donc vérifiée.



2.2 Interface diélectrique - ConducteurDans le cas où les milieux 1 et 2 (Figures 2.1.1, 2.1.2) sont respectivementun diélectrique et un conducteur, on pose les mêmes raisonnements quedans le cas précédent et on trouve aisément des coefficients de réflexion etde transmission de la même forme (équations 2.1.15, 2.1.16) quand il n'y ani charge ni courant superficiels. Il suffit d'utiliser l'expression (1.8.9) del'impédance caractéristique d'un conducteur :

η = ω μ 2σ

+ j ω μ 2σ

= ηR + j ηI (2.2.1)

Alors : R = ηR2 + jηI2 – η1

ηR2 + jηI2 + η1 et T =

2ηR2 + j2ηI2

ηR2 + jηI2 + η1 (2.2.2)

On note que les coefficients R et T sont complexes. Il s’ensuit que ledéphasage à la réflexion peut être compris entre -180˚ et +180˚.

Dans le cas d’un bon conducteur, l’impédance caractéristique a un moduletrès inférieur à 1. Il s’ensuit, comme nous allons le voir, que le module de Rest voisin de 1 et que celui de T est très inférieur à 1.

Exemple 2.1.2 Calculs divers

Une onde plane à 500 MHz dans l'air d'intensité égale à 1 W/m2 rencontreune surface de cuivre (σ = 5,75 x 107 S/m) à incidence normale. Trouvonspremièrement l'impédance caractéristique ou impédance d’onde d'après(2.2.1), ce qui permet l'évaluation des coefficients de réflexion et detransmission :

ηR2 = ηI2 = 2π × 5·108 × 4π·10 7

2 × 5,75· 107

1/2

= 5,859· 10 3 ohm = η2 cos π/4 (a)



On calcule η2 = 8,286· 10 3 ohms . On sait déjà que η1 ≈ ηo ≈ 377 ohms .Alors :

R = 5,859· 10 3 + j 5,859· 10 3 – 377

5,859· 10 3 + j 5,859· 10 3 + 377 ≈

376,994 ∠ 179,99911°

377,0059 ∠ 0,00089°

R ≈ 0,999968 ∠ 179,998° ≈ – 1 (b)

Le coefficient de réflexion de l'intensité (ou de la puissance) est alorsRI = R2 = 0,999936 ≈ 1. La réflexion est donc quasi parfaite, avec inversion

de phase du vecteur électrique. Puis, la transmission :

T = 2 × 5,859· 10 3 + j 2 × 5,859· 10 3

5,859· 10 3 + j 5,859· 10 3+ 377 ≈

1,6572· 10 2∠ 45°

377,0059 ∠ 0,00089°

T ≈ 4,396· 10 5 ∠45° = T ∠ 45° = T exp (jπ/4) (c)

Par définition, T = E2+/ E1

+ . Le coefficient de transmission de l'inten-sité est donc, d'après l'exemple précédent et la relation (1.9.29) :

TI = I2

+

I1+

= η1 E2+

2

2 η2 E1+2

= η1

2 η2 T 2

TI = 377 × (4,396· 10 5)2

2 × 8,286· 10 3 = 6,217· 10 5 (d)

Donc, à peine 6 parties sur 100 000 de la puissance incidente sonttransmises dans le métal.

Sachant que l'intensité dans l'air est de 1 W/m2, on peut calculer le moduledu champ électrique :

I1 = 12

E1

+2

η1 cos θ = 1

2 E1+

2

η1 cos 0°, d'où E1

+ = 2η1I1 = 27,459 V/m (e)

Alors, H1+ = E1

+/377 = 0,0728 A/m . La phase du champ électriqueincident à l'interface est prise comme référence : il est réel.



D'après (c), le champ électrique transmis est, à la surface :

E2o+ = T E1o

+ = 4,396· 10 5 ∠45° × 27,459 = 1,2071· 10 3 ∠45°

ou encore E2o+ = 1,2071· 10 3 exp (jπ/4) V/m (f)

On en tire l'expression du champ magnétique :

H2o+ =

E2o+

η2 ∠45° =

1,2071· 10 3∠45°

8,286· 10 3 ∠45° = 0,1457 A/m (g)

On observe que ce champ est en phase avec le champ électrique incident àl'interface. On peut en déduire la puissance transmise dans le métal :

I2 = 12 Ré {E ∧ H*} = 1

2 E2

2

η2 cos π/4

= 12

E2 H2 cos π/4 = 0,5 × (1,2071· 10 3)2

8,286· 10 3 1

2

I2 = TI I2 = 6,217· 10 5 W/m2 (h)

ce qui correspond bien au résultat en (d).

Si on désire écrire les expressions des champs réfléchis et incidents, il fautconnaître les constantes de phase :

Dans le premier milieu (air) : k1 = 2π × 500·106

3·108 = 10,47 rd/m (i)

Dans le deuxième :

k2 = Ré{k2} = α2 = 2π × 500·106 × 5,75· 107 × 4π·10 7

2

1/2

= 3,369· 105 m 1 (j)

La vitesse de phase : v2 = ω /k2 = 9322 m/s (k)

Si l'on suppose que l'onde est polarisée suivant l'axe vertical X, le champélectrique de l'onde incidente peut s'écrire :

E1+(z) = 27,46 exp (-j 10,47 z) x V/m (l)

Puis, E1(z) = –27,46 exp (+j 10,47z) x V/m (m)

E2+(z) = 1,207· 10 3 exp (-3,37· 105z) exp -j(3,37· 105z – π/4) x V/m (n)



H1(z) = 0,0728 exp (+j 10,47z) y A/m (o)

H2+(z) = 0,1457 exp (-3,37· 105z) exp (-j 3,37· 105z ) y V/m (p)

Finalement, le champ électrique réel dans le conducteur s'obtient enmultipliant (n) par exp (jωt) et en prenant la partie réelle du résultat :

E2+(z, t) = 1,207 ⋅ 10 3 exp (-3,37 ⋅ 105z) cos (ω t – 3,37 ⋅ 105z + π/4) x V/m (q)

où ω = 2πf . La pénétration δο = 1/α2 = 2,968 μm.

On peut aussi calculer la résistance de surface (équation 1.9.39):

Rs = η R = 1/(σδo ) = 5,859· 10 3 Ω

On peut remarquer que cette valeur est la résistance entre les extrémitésd'une feuille de cuivre carrée de 1 m de côté dont l'épaisseur est égale à δο lapénétration du champ !

2.3 Ondes stationnairesLa superposition de l'onde incidente sur une surface et de l'onde réfléchiefait apparaître un phénomène d'interférence entre les deux ondes qu'onappelle une onde stationnaire : On constate dans ce cas que l'amplitude duchamp résultant varie périodiquement dans l'espace le long de la normale àla surface.

Réflexion sur un conducteur parfaitLa figure 2.3.1 illustre le phénomène dans le cas d'une onde plane incidentenormalement sur la surface d'un conducteur supposé parfait dans un milieusans pertes. Elle montre les amplitudes complexes du champ (les phaseurs)de l'onde incidente en fonction de la position dans l'espace :

Ex+(z) E1xo

+ exp ( j k 1z ) (2.3.1)

de l'onde réfléchie Ex–(z) E1xo

– exp +j k 1z R E1xo+ exp +j k 1z (2.3.2)

et du champ résultant à un instant quelconque :

Ex(z) E1xo+ exp ( j k 1z) + R exp (+j k 1z) (2.3.3)



où E1xo+ E1xo

+ exp jφ1 . Dans le cas présent, R = -1, alors :

Ex(z) E1xo+ exp j k 1z exp +j k 1z (2.3.4)

Le phaseur de l'onde incidente tourne dans le sens négatif quand on sedéplace de gauche à droite, tandis que celui de l'onde réfléchie tourne ensens inverse ; la rotation de ce dernier est indiquée comme on la perçoit ense déplaçant dans le sens négatif de Z.

Dans ce cas particulier, l'amplitude de l'onde réfléchie est égale et sa phaseest opposée à celle de l'onde incidente à l’interface. L'amplitude résultante duchamp électrique est donc nulle à la surface et l'on observe qu'elle s'annuleégalement aux points d’abcisse -λ/2, -λ, -3λ/2, etc. Le champ résultantpasse par un maximum aux points intermédiaires, en -λ/4, -3λ/4, etc. et saphase varie de π radians d'un tel point à l'autre. La figure 2.3.2 est une autrereprésentation qui montre l'évolution des champs avec z. Elle permet detrouver une expression du module du champ résultant au moyen de la loi ducosinus, en simplifiant la notation :

E2 E+2 + E2 + 2E+E cos θ (2.3.5)

où θ = π + 2kz (signe + du fait que z est négatif ici). Donc :

E2 E+2 + E2 + 2E+E cos (π + 2kz ) E+

2 + E2 2E+E cos 2kz (2.3.6)

Vu que k = 2π/λ, E E+2 + E2 2E+E cos 4π

λ z

1/2 (2.3.7)

Dans le cas présent, les modules étant égaux :

E(z) E+ 2 1 cos 4πλ

z 1/2

(2.3.8)

La figure 2.3.3 montre cette fonction : cas de la réflexion sur un conducteurparfait, R = –1. On appelle plan nodal un plan où la résultante est minimale,et plan ventral celui où la résultante E est maximale. Un plan ventral setrouve à mi-chemin entre deux plans nodaux et vice-versa. La figure 2.3.4montre ces plans.

Exemple d’application Les parois d'un four à micro-ondes sont faites d'unbon conducteur de façon qu'elles absorbent une fraction négligeable del'énergie électromagnétique. D'une façon générale, il existe dans le four unsystème d'ondes stationnaires en trois dimensions, de sorte que si la



fréquence est constante, il y a un ensemble de zones où l'amplitude duchamp électromagnétique est maximale et un autre où l'amplitude estminimale. Par conséquent, le chauffage d'un substance diélectrique tellequ'un aliment ne sera pas uniforme dans la masse : certaines partieschauffent beaucoup plus fortement que d'autres. Ce problème est résolu dedeux façons :1° À fréquence constante, on injecte l'énergie dans le four par un tourniquetqui en uniformise la distribution ou on place l’objet à chauffer sur une tabletournante.2° On utilise une source (magnétron) à fréquence modulée, ce qui produit lemême effet, car à chaque fréquence correspond une distribution d'énergieparticulière. Toutefois, la variation de fréquence doit être relativementimportante, de l’ordre de ±15 %.

Onde incidente

φ1

π/2−λ/4

0π

−λ/2−3λ/4

E+

E+ E+

Eo+

3π/2

−λ

E+

Onde réfléchie

φ1

−π/2

−λ/4

0−π

−λ/2−3λ/4E- E-

E- Eo-−3π/2

−λ

E-π

Champ résultant

φ1

−π/2

−λ/4

0−λ/2

−3λ/4

E

E−3π/2

−λEE

SUR

FAC

E

Figure 2.3.1 Onde stationnaire. Superposition de l'onde plane incidente et de l’onde

réfléchie. On montre une superposition du plan complexe et de l'espace réel.


Réel

Imaginaire

+ k z

φ1

E+

E

k z

θ

E

Figure 2.3.2 Composition des champsincident et réfléchi à la surface d'un conducteur : E+ ≈ E

0.250.50.7511.25h/λ

R = 1E(z)

2Eo+

Eo+

0

Figure 2.3.3 Module du champ devant la surface conductrice

VVV NNN

0 z−λ/4−λ/2−3λ/4−λ−5λ/4−3λ/2

Max.

Min.

Max.

Min.

Max.

Min.

Figure 2.3.4 Réflexion sur un conducteur. Plans nodaux et plans ventraux.



Réflexion sur un diélectriqueOn considère une onde plane incidente perpendiculairement sur la surfaceplane séparant deux diélectriques 1 et 2 supposés parfaits (Figure 2.1.1). Vuque la réflexion n’est pas totale, les minimums de l’onde stationnaire nepeuvent être nuls. Les résultats s’appliquent assez exactement auxdiélectriques réels à faibles pertes.

Forme complexe de l’onde stationnaireEn se reportant à la figure 2.1.1, le champ électrique résultant dans lemilieu de gauche (1) est la somme du champ incident et du réfléchi. À partirdes expressions 2.1.1, 2.1.2, laissant tomber l’indice x superflu, on a donc :

E(z) E1+(z) + E1o(z) E1o

+ exp j k 1z + E1o exp +j k 1z (2.3.9)

Considérant la définition du coefficient de réflexion (équation 2.1.15), onpeut donc écrire :

E(z) E1o+ exp j k 1z + R exp +j k 1z (2.3.10)

ou encore : E(z) E1o+ exp j k 1z 1 + R exp +j2 k 1z (2.3.11)

ou : E(z) E1+(z) + E1

+(z)R exp +j 2k 1z (2.3.12)

Champ incident ↑ ↑ Champ réfléchi

où E1o+ E1o

+ exp jφ1 E1o+ exp jφ1 . Cette somme est représentée dans

la figure 2.3.5, où le module E R E+, avec R < 0, en faisant φ1 = 0 poursimplifier. On observe qu'au cours d'une variation de z, les vecteurs tournenten sens opposés des angles -kz et +k z respectivement, de sorte que levecteur E1 z fait un angle π – |2kz | = π + 2kz avec la direction de E1

+ z .Mais il faut noter que z est négatif ici, de sorte que +2kz l'est également.Quand z = –λ/4, ces angles sont –kz = +π /2 et +kz = –π /2, l'amplituderésultante E est minimale. Avec z = –λ/2, on a +π et –π et la résultante est denouveau maximale, etc. Remarquons que l’expression 2.3.12 montre que lechamp réfléchi E1 z est obtenu en multipliant le champ incident E1

+ z parla grandeur R exp +j 2k 1z .



Taux d'onde stationnaireOn définit le taux d'onde stationnaire comme le rapport du module duchamp résultant maximal et du module du champ résultant minimal.

TOS E max.

E min.

E+(z) + E (z)E+(z) E (z)

(2.3.13)

Im

RéE1o E1o+

0

E (z)1+

E (z)1

E(z)

Ré

Im

0

-kz+kz

Figure 2.3.5 Addition du champ incident et du champ réfléchi devant un diélectrique

dans le cas où R = -0,5, à incidence normale

Ce qui peut s’écrire comme suit :

TOS 1 + R 1 R

(2.3.14)

C'est une constante si les modules sont indépendant de z. Sa valeur estl'infini quand les champs ont des amplitudes égales, c'est-à-dire quandR = ±1. Elle est nulle quand R = 0.

Forme réelle de l’onde stationnairePour obtenir la forme réelle, multiplions l'expression (2.3.11) par ejω t :

E(z,t) E1o+ exp j φ+ exp j k 1z ωt + R exp (jθ) exp +j k 1z + ωt (2.3.15)

La phase φ+ à l'origine de l'onde incidente étant arbitraire, on peut l'annuler :φ+ = 0. L'angle θ est l'argument du coefficient de réflexion, qui est égal au

déphasage à la réflexion. Le champ réel est donc :



E(z,t) E1o+ cos k 1z ωt + E1o

+ R cos k 1z + ωt + θ (2.3.16)

Au moyen de relations trigonométriques2, on transforme cette dernière pourobtenir :

E(z,t) 1 + R cos θ cos k 1z R sin θ sin k 1z cos ωt +

1 R cos θ sin k 1z R sin θ cos k 1z sin ωt E1o

+ (2.3.17)

Dans le cas où R est réel avec θ = 0, on a :

E(z,t) = 1 + R cos k 1z cos ωt + 1 R sin k 1z sin ωt E1o+ (2.3.18)

Si θ = -180˚= -π radians,

E(z,t) = 1 R cos k 1z cos ωt + 1 + R sin k 1z sin ωt E1o+ (2.3.19)

Dans le cas particulier où |R| = 1, avec E1o = 1 volt, θ = 0 :

E(z,t) 2 cos k 1z cos ωt (2.3.20)

Si |R| = 1, avec θ = π rd (réflexion sur un conducteur parfait) :

E(z,t) 2 sin k 1z sin ωt (2.3.21)

Ce dernier cas est représenté à la figure 2.3.3 qui est le graphique de |2 sink1z|. Ces derniers sont des cas limites. La figure 2.3.6 montre l'amplitude dela vibration résultante quand R = –0,6. La courbe A se rapporte au cas où lepremier milieu est sans pertes, les maximums et les minimums ont partoutla même valeur. S’il s’agit d’un milieu avec pertes, la valeur des maximumset des minimums se rapprochent de 1 à mesure qu’on s’éloigne de la surfacede réflexion en effet, très loin de la surface, l’onde réfléchie a une amplitudequi tend vers zéro.

E

Figure 2.3.6 Amplitude de l’onde stationnaire quand R = -0,6 - A : sans pertes ; B : avec pertes.

2 cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B ; cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B



EXERCICESQUESTIONS DE REVUE

R-1 Démontrer les expressions du coefficient de réflexion et du coefficientde transmission d'une onde plane incidente normalement surl'interface de deux milieux différents.

R-2 Qu'est-ce qu'un plan nodal ? Un plan ventral ?

R-3 Dans le cas de la réflexion d'une onde plane incidente normalementsur la surface d'un deuxième milieu d'impédance caractéristiquequelconque, trouver l'expression de l'amplitude réelle du champélectrique résultant dans le premier milieu en fonction de la positionz relative à l'interface. Et celle de l'amplitude complexe résultante ?

R-4 Qu'est-ce que le taux d'ondes stationnaires ? Comment est-il relié aucoefficient de réflexion ?

R-5 Discuter du problème posé par les ondes stationnaires dans un fourà micro-ondes et des façons de le résoudre.

2.1 Coefficients de réflexion et de transmission

Vérifier que dans le cas des bons diélectriques, c’est-à-dire desmilieux de faible conductivité effective, les coefficients de réflexion etde transmission à incidence normale sont de la forme :

R εr1

, εr2,

εr1, + εr2

,

T 2 εr1

,

εr1, + εr2

,

où εr1,

et εr2,

sont les permittivités électriques relatives réelles desmilieux 1 et 2.

2.2 Réflexion et transmission

Une onde électromagnétique plane dans l'air est décrite parl'expression complexe suivante :E(z) = 50 exp (–j5z)x V/m . Elle rencontre à incidence normale lasurface plane d'un diélectrique prise comme référence. Ce dernier aune permittivité relative égale à 4 – j0 et on le considère commeillimité.

a) Évaluer les coefficients de réflexion et de transmission.

Rép. : R = -1/3 T = 2/3



b) Trouver l'expression de l'onde réfléchie et celle de l'ondetransmise sous forme complexe, en fonction de z et t.

Rép. : E2+(z, t ) = 33.3 exp j(15 ⋅ 108t –10z) x V/m

E1 (z, t ) = –(50/3) exp j(15 ⋅ 108t +5z) x V/m

2.3 Réfraction

Une onde plane dans l'air a un champ électrique dont la valeurefficace est de 100 V/m et rencontre perpendiculairement unesurface d'eau salée caractérisée par σ = 3 S/m, μr = 1, εr = 80. Si cesparamètres sont indépendants de la fréquence, évaluer lesprofondeurs où le champ sera de 1 μV/m aux fréquences suivantes :(a) 10 kHz ; (b) 1 MHz. Que pouvez-vous conclure quant à lapossibilité de communiquer par radio avec un sous-marin, sachantque 1 μV/m correspond à la limite de détection approximative ?

Rép. : (a) 33 m (b) 3,8 m

2.4 Couche antireflet

Un mélange de ferrite à haute perméabilité (complexe) et de titanatede baryum (grande permittivité complexe) donne un matériauremarquable utilisé pour absorber fortement les ondesélectromagnétiques dans certaines applications. Un tel matériau sert,par exemple, à rendre invisible un avion pour les radars, car ilréfléchit une très faible fraction de l'énergie incidente. Si, à lafréquence de 1000 MHz, il est caractérisé par μr = εr = 60 (2 - j1) etune conductivité pratiquement nulle, trouver :

a) Le niveau d'intensité de l'onde réfléchie en décibels (dB) parrapport à l'onde incidente si l'épaisseur du composé est trèsélevée.

b) Le coefficient d'atténuation.

Rép. : 126 Np/m = 1092 dB/m

2.5 Réflexion - Ondes stationnaires

Vous placez en P dans l’air libre un récepteur pouvant mesurer lechamp électrique sur le parcours d’une onde d’une source très



éloignée émettant à 100 MHz. L’onde est polarisée dans le plan de lafigure. En l’absence de tout obstacle ou réflecteur, vous mesurez unchamp de 500 μV/m. Si vous placez maintenant une plaque de cuivreM sur le parcours de l’onde tel qu’indiqué, à quelle distance d près deM allez-vous détecter un maximum et quelle sera sa valeur ? Justifiezclairement votre réponse.

M

P

Onde plane

Plaquede cuivre

d z

x

0

2.6 Réflexion - Ondes stationnaires

Une onde plane provenant d'une antenne de radar à 5 GHz ayant une

intensité de 1000 W/m2 est incidente dans l'air perpendiculairementsur un bloc de polyéthylène. Il y a donc production d'une ondestationnaire dans l'air à cause de la réflexion.

a) Évaluer les densités maximale et minimale d'énergieélectromagnétique dans l'air, ainsi que le rapport des deux.Comparer à la densité d'énergie s'il n'y a pas de réflexion.

Rép. : 9,526 ·10 6 J/m3, 1,640 ·10 7 J/m3

b) Déterminer la position des nœuds de champ électrique auvoisinage de l'interface.

c) Écrire une expression du champ électrique dans l'air sous formecomplexe.

Remarque : Dans une onde électromagnétique progressive,l'énergie est également répartie entre la formeélectrique et la forme magnétique, ce qui entraîne :

w = 12

εEeff2 + 1

2 μHeff

2 = 12

εEmax2


3333Réflexion d’une onde plane

Incidence oblique

3.1 Onde plane – Direction quelconqueLa solution du problème de la réflexion et de la transmission d’une ondeélectromagnétique incidente obliquement sur l’interface de deux milieuxexige de pouvoir décrire cette onde convenablement. C’est ce que nous feronspremièrement.

Fonction d’ondeLa fonction représentant une onde plane qui se propage dans une directionquelconque est relativement simple. Considérons un milieu sans pertes etl’onde représentée dans la figure 3.1.1 qui se propage dans la direction del’axe s, qui fait un angle A avec l’axe 0x, un angle B avec l’axe 0y (nonreprésenté) et un angle C avec l’axe 0z. Il s’agit d’une onde électromagnétiquedont la polarisation (vecteur E) est dans le plan x0z : c’est la polarisationparallèle à ce plan. Il existe diverses façons de décrire cette onde. On sait qued’une façon générale, par rapport à l’axe de propagation s, sa fonction d’onderéelle est :

E(s,t) Eo cos (ω t ks + φ ) (3.1.1)

où ω est la pulsation, k est la constante de phase et φ est la phase initiale àl’origine (φ = 0 par un choix convenable du référentiel). Le vecteur r illustré



indique la position d’un point quelconque P d’une surface d’onde Ω et n estle vecteur unitaire normal au même plan d’onde : n indique la direction depropagation. On constate que :

s r · n r cos β (3.1.2)

Supposons φ = 0 pour simplifier l’écriture. Alors :

E(r,t) Eo cos (ω t k n·r) (3.1.3)

C’est la valeur du champ électrique au temps t en tous points repérée par levecteur position r. On sait que r x x + y y + z z et, de plus,

n · x cos A n · y cos B n · z cos C (3.1.4)

où cos A, cos B et cos C sont les cosinus directeurs du vecteur n. Alors,

n ⋅ r x cos A + x cos B + z cos C (3.1.5)

β

n

r

A

C

x

z

Surface d'ondeou de phase

0

s

P

E C

v

Ω

Ω

Figure 3.1.1 Onde plane - Direction quelconque

La fonction d’onde complexe est alors :

E(r,t) Eo exp j(ω t k n·r) Eo e-jkn·r ejωt (3.1.6)

L’amplitude complexe du champ est :

E(r) Eo exp ( j k n·r) Eo e-jkn·r (3.1.7)


3 Réflexion d'une onde plane - Incidence oblique 71

Le champ E a des composantes selon z et x (Figure 3.1.1) :

Ex E cos C et Ez E sin C (3.1.8)

Alors : E E x cos C z sin C E x sin A z cos A (3.1.9)

Vecteur d’ondeLe concept de vecteur d’onde est utile en rapport avec la description d’uneonde quelconque. Ce vecteur est simplement le vecteur k dans la direction ndont le module est k (Figure 3.1.2), c’est-à-dire :

k k n xk cos A + yk cos B + zk cos C (3.1.10)

k k n xk x + yk y + zk z (3.1.11)

On a aussi : k 2πλ

n x 2πλx

+ y 2πλy

+ z 2πλz

(3.1.12)

car : λx λcos A

= ... etc. (3.1.13)

La fonction d’onde (3.1.7) devient ainsi :

E(r) Eo exp ( j k⋅ r) Eo e-jk ⋅r (3.1.14)

D’après (3.1.9), cela peut s’écrire ainsi :

E(r) Eo exp ( j k⋅ r) Eo e-jk⋅ r Eo e-jφe-jk⋅ r (3.1.15)

où φ est la phase initiale à l’origine choisie.


βk

r

C

x

z0

Pλ x

λz

λC

s

v

Gvz

Ω

Figure 3.1.2 Vecteur d’onde et longueurs d’onde

Composantes du champDans le cas illustré (Figures 3.1.1, 3.1.2), le champ magnétique H n’a qu’unecomposante sur Z qu’on peut désigner par une des formes suivantes :

H(r) Ho exp ( j k⋅ r) Ho e-jk⋅ r Ho e-jφ'e-jk ⋅r Ho e-jφ 'e-jk⋅ r z(3.1.16)

où φ’ est la phase initiale à l’origine : on sait que si le milieu est plus oumoins conducteur, cette phase est différente de celle du champ électrique.Par contre le champ électrique a des composantes selon X et Z. D’après(3.1.9) :

E(r) Eo x cos C z sin C e-jφ e-jk·r (3.1.17)

3.2 Réflexion obliqueQuand une onde électromagnétique plane rencontre l'interface de milieuxdifférents, dans une direction faisant un angle θ1 avec la normale à

l'interface, il se passe deux choses :



• Une fraction de l'énergie se réfléchit dans le premier milieu sous formed'une onde plane dans une direction symétrique de la première parrapport à la normale.

• Une fraction de l'énergie est transmise ou réfractée dans le deuxièmemilieu dans une direction qui dépend de la permittivité des milieux, avecune intensité qui dépend aussi de ces derniers.

Il faut distinguer deux cas selon que la polarisation est perpendiculaire ouparallèle au plan d’incidence. De plus, la vitesse de propagation dans ledeuxième milieu peut être inférieure ou supérieure à celle dans le premier.Les coefficients de réflexion et de transmission sont différents dans cesdivers cas comme nous le verrons.

3.3 Lois de Descartes et Snell

DémonstrationOn peut établir les relations entre les directions des ondes incidente,réfléchie et transmise, sans faire appel à leur caractère électromagnétique.Le raisonnement que nous allons faire est le même pour tous types d’onde.Les surfaces d’onde incidente, réfléchie et transmise (ou réfractée) sont

représentées respectivement (Figure 3.3.1) par Ωi, Ωr et Ωt qui sontperpendiculaires aux vecteurs vitesse correspondants. Au cours d’un

intervalle Δt le point M de l’onde incidente avec l’angle θi parcourt ladistance MP. Or, pendant le même temps, l’onde réfléchie parcourt ladistance ON qui est nécessairement égale à MP. Il s’ensuit que :

θ i θr (3.3.1)

C'est la première loi de Descartes et Snell 1,2. Les angles θ sont mesurés àpartir de la normale 0y au plan d’incidence x0y.

1 René DESCARTES. Philosophe et savant français (1596 - 1650). Il formula en philosophie des méthodes d'inspiration

mathématique. Il fut le créateur de la géométrie analytique. Il établit les lois de réflexion et de réfraction de la lumière. Il estconsidéré comme le père de l'idéalisme moderne et celui du matérialisme mécaniste et géométrique. Auteur de plusieurs traitésphilosophiques dont le «Discours de la méthode».

2 Willebrord SNELL VAN ROYEN, dit Villebrordus Snellius. Astronome et mathématicien hollandais (1580 - 1626). Il mit aupoint une méthode de triangulation pour la détermination de la longueur d'un arc de méridien. Il découvrit également la loi deréfraction de la lumière indépendemment de René Descartes.



Note importante : Dans tout ce qui suit, les angles sont mesurés en valeurabsolue.D’autre part, la distance OP est l’hypothénuse commune aux deux trianglesONP et ORP. On a donc :

OP MPsin θi

v 1 Δt

sin θi

ORsin θt

v 2 Δt

sin θt

(3.3.2)

Par conséquent : v 1

sin θi

v 2

sin θt

(3.3.3)

C’est la deuxième loi de Descartes et Snell.

y

M

Ωr

N

P

R

1

2

0 x

Ωi

Ωt

v1

v2

v1

ΩiΩr

θi

θi θr

θr

θt

θt

v1

Figure 3.3.1 Relations entre les ondes incidente, transmise et réfléchie

Indice de réfractionOn définit l’indice de réfraction n d’un milieu comme ; le rapport entre lavitesse v0 des ondes en question dans un milieu de référence et la vitesse vdans le milieu considéré :

n v ov (3.3.4)



Dans le cas des ondes électromagnétiques, le milieu de référence utilisé estle vide où vo = c ≈ 300 000 km/s.

La deuxième loi de Descartes s’écrit alors comme suit :

n1 sin θi n2 sin θ t (3.3.5)

Angle d’incidence critiqueConsidérons le cas où v2 > v1 (ou n2 < n1). Il existe alors un angle

d’incidence particulier dit angle critique pour lequel l’angle de transmissionou de réfraction est de 90˚. D’après la relation (3.3.3) :

sin θc = v 1v 2

sin 90˚ = v 1v 2

(3.3.6)

Nous verrons plus loin que l’énergie ondulatoire incidente est totalementréfléchie dans ce cas.

Directions et paramètres physiquesOn connaît l’expression de la vitesse de phase des ondes électromagnétiquesdans un milieu diélectrique quelconque :

v ωk'

= 1μoε'

11 + σ'

ωε'2 1/4

cos δ/2 (3.3.7)

où : ε’ est la partie réelle de la permittivité complexe du milieu ;

σ’ = σ + ωε” est la conductivité effective du milieu ;

μο est la perméabilité magnétique ;

δ est l’angle de pertes,

avec tg δ = σ’/ωε’ , le facteur de pertes.L’utilisation de cette relation dans l’équation 3.2.4, permet de calculer l’anglede transmission (ou de réfraction) θt en fonction de l’angle d’incidence θidans tout milieu.



Cas de bons diélectriquesDans le cas des milieux qui sont de bons diélectriques (faible facteur depertes, tg δ << 1), μ = μο et l’expression précédente se réduit à :

v ωk'

= 1μo ε'

1μo εoε'r

cε'r

(3.3.8)

ε'r1 sin θi ε'r2 sin θt (3.3.9)

3.4 Réflexion en polarisation perpendiculaireLa figure 3.4.1 représente une onde électromagnétique plane incidente avecun angle θi sur l’interface plane de deux milieux différents. La polarisation

est perpendiculaire au plan d’incidence x0z. Il y a réflexion d’une fraction del’énergie dans la direction θr. Il y a généralement transmission (ou réfraction)dans le deuxième milieu, avec un angle θt. Les directions indiquées deschamps Εr et Ηr doivent obéir au théorème de Poynting, mais elles peuvent

être inversées selon les paramètres des milieux comme nous le verrons.

Composantes du champ électromagnétiqueLes amplitudes complexes des champs Ε i. et Η i sont alors, d’après les

expressions précédentes (3.1.7 et 3.1.9) :

Ei(r) Eio exp ( j k1⋅ r) y (3.4.1)

Hi(r) Hio(+x cos θ i – z sin θi) exp ( j k1⋅ r) (3.4.2)

Notons que l'axe 0y pointe hors du plan de la figure (référentiel droit).


1Er

ε1

1

1

μη η

2

2

ε2

ημ

θr

i

k2

k1

Ei

X

0

k1,

Et

tH

H

Hr

2

θi θt + 180˚

θtZ

Figure 3.4.1 Onde é.m. incidente obliquement sur l’interface de deux milieux : réflexion et transmission

Mais on sait que Eio η1 Hio , où η1 est l’impédance caractéristique (ouimpédance d’onde) du milieu 1 (nombre complexe dans les milieux avecpertes). Alors :

Hi(r) Eioη1

(x cos θi – z sin θ i) exp ( j k1⋅ r) (3.4.3)

Vu que θr = θi, les champs réfléchis et transmis sont respectivement :

Er(r) Ero exp ( j k'1⋅ r) y (3.4.4)

Hr(r) Eroη1

( x cos θi – z sin θi) exp ( j k' 1⋅ r) (3.4.5)

Et(r) Eto exp ( j k2⋅ r) y (3.4.6)

Ht(r) Etoη2

(+x cos θ t – z sin θt) exp ( j k2⋅ r) (3.4.7)

Coefficients de réflexion et de transmissionOr, les composantes tangentielles (selon 0x) du champ électrique et duchamp magnétique doivent être continues à l’interface (r = 0), d’où :

Eio + Ero Eto (3.4.8)


Hio cos θi – Hro cos θi = Hto cos θt (3.4.9)

d’où Eioη1

cos θi Eroη1

cos θi Etoη2

cos θt (3.4.10)

où les inconnues sont Ero, Eto et cos θ t. On sait déjà qu’entre lescomposantes tangentielles du champ électrique existent les relations :

Ero R⊥ Eio et Eto T⊥ Eio (3.4.11)(3.4.8) donne : T⊥ 1 + R⊥ (3.4.12)

où R⊥ et T⊥ sont respectivement le coefficient de réflexion et le coefficient detransmission de Fresnel pour une onde polarisée perpendiculairement auplan d’incidence. En portant ces expressions dans (3.4.8) et (3.4.10) onobtient facilement :

R⊥ η2 cos θ i – η1 cos θt

η2 cos θi + η1 cos θt

(3.4.13)

T⊥ 2η2 cos θ i

η2 cos θi + η1 cos θt

(3.4.14)

Ces diverses grandeurs sont généralement complexes pour des ondessinusoïdales de fréquence f. Rappelons que les impédances caractéristiquesou impédances d’onde des milieux sont données par :

η1 μ1

ε1

et η2 μ2

ε2

(3.4.15)

Cas des bons diélectriquesDans les diélectriques, la perméabilité magnétique est essentiellement celle

du vide μo. De plus, si les pertes sont relativement très faibles, la

permittivité électrique se réduit à sa partie réelle ε ,. On obtient alors :

R⊥ cos θi – ε'2/ε'1 cos θt

cos θ i + ε'2/ε'1 cos θt

(3.4.16)

Vu que cos θ t 1 sin 2 θt et que sin θt ε1,/ε2

, sin θ i, on a aussi :


R⊥ cos θ i – ε' 2/ε'1 sin 2 θi

cos θ i + ε' 2/ε'1 sin 2 θi

(3.4.17)

T⊥ 2 cos θi

cos θ i + ε' 2/ε'1 sin 2 θi

(3.4.18)

Réflexion totaleConsidérons le cas où ε'2/ε'1 < 1 ou η2/η1 > 1. On note alors que le radicalde l’équation (3.4.17) s’annule pour une valeur particulière θc de l’angle

d’incidence telle que :

sin θc = ε'2ε'1

(3.4.19)

C’est l’angle critique d’incidence, pour lequel l’angle de réfraction est de 90˚et la réflexion est totale : R⊥ +1. La figure 3.4.2 illustre ce phénomène.

1 2

θt = 90˚

Z

X

0

θt

θ i= θc

ε 2ε1μ 1 μ 2η 1 η 2

Figure 3.4.2 Réflexion totale et angle d’incidence critique



Exemple 3.4.1 Réflexion en polarisation perpendiculaire

La figure 3.4.3a illustre le cas où n2/n1 = v1/v2 = ε2/ε1 = η1/η2 = 2. C’est

celui, par exemple, de la réflexion de la lumière sur du verre à haute densitédont l’indice de réfraction est d’environ 2 (par rapport au vide) : le coefficient

de réflexion est négatif pour toutes les valeurs de θi ; à incidence normale

(θi = 0), R⊥ = −0 0 333, . La figure (b) montre le cas où les milieux sont

inversés. Il y a alors réflexion totale pour un angle d’incidence critique de30˚.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100Angle d'incidence [dg]

R⊥

Figure 3.4.3 (a)


0 20 40 60 80 100Angle d'incidence [dg]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1R⊥

Figure 3.4.3 (b) Coefficient de réflexion, interface de deux diélectriques

(a) n2/n1 = ε2/ε1 2 (b) n1/n2 = ε1/ε2 2

Onde évanescenteQuand l’angle d’incidence dépasse l’angle critique, le coefficient detransmission devient complexe d’après (3.4.14 ou 3.4.18) carsin 2 θi > ε2

,/ε1,, de sorte qu’on peut écrire :

cos θ t = j ε1,/ε2

, sin 2 θi – 1 jF θi ≥ θc

Le coefficient de transmission devient alors :

T⊥ 2 cos θi

cos θ i + j F ε2,/ε1

, θi > θc (3.4.20)

Cela est lié au fait qu’il existe un champ électromagnétique dans le deuxièmemilieu : c’est l’onde évanescente. C’est une onde qui se propage sansatténuation le long de l’interface (axe 0X), mais dont l’amplitude diminueexponentiellement dans le deuxième milieu. Il n’y a pas de propagation dansla direction de z dans ce dernier : on peut démontrer que les composantes



électrique et magnétique du champ sont déphasées de 90˚, de sorte que lapuissance transportée est nulle d’après le théorème de Poynting. Il s’agitd’une onde de surface. L’existence de cette onde est mise à profit dans lescoupleurs directionnels à fibres optiques et autres. La question est discutéeplus en détail dans une prochaine section.

3.5 Polarisation parallèle

Composantes du champ électromagnétiqueDans le cas où la polarisation de l’onde incidente est parallèle au pland’incidence (figure 3.5.1), l’application de la relation (3.1.17) donne, entenant compte de l’orientation du champ et du fait que θr θi :

Ei(r) Eio + x cos θi z sin θ i exp ( jk1⋅ r) (3.5.1)

Er(r) Ero x cos θ i + z sin θi exp ( jk' 1⋅ r) (3.5.2)

Et(r) Eto + x cos θt z sin θ t exp ( jk2⋅ r) (3.5.3)

Hi(r) H io exp ( j k1⋅ r) y (3.5.4)

Hr(r) Hro exp ( j k' 1⋅ r) y (3.5.5)

Ht(r) H to exp ( j k2⋅ r) y (3.5.6)

Le soulignement a été supprimé pour simplifier la notation, mais les champssont complexes quand même.


1

2

Z

X

0

Ei

k1

Ht

Etk2

Er

Hr

k'1

θ i

θr θt

Hi1η η

2η

ε1

1μ 2

ε2μ

Figure 3.5.1 Réflexion et transmission d’une onde polarisée parallèlement au plan d’incidence

Coefficients de réflexion et de transmissionÀ l’interface (r = 0) et exp ( j k⋅ r) 1. De plus, les composantes

tangentielles (axe Ox) du champ magnétique et du champ électrique y sontcontinues en l’absence de charge et de courant superficiels :

Hio + Hro Hto (3.5.7)

et : Eio cos θ i + Ero cos θi = Eto cos θ t (3.5.8)

Vu que E = η H (3) :Eioη1

+ Eroη1

Etoη2

(3.5.9)

Définissons le coefficient de réflexion R|| en polarisation parallèle comme :

R|| EroEio

(3.5.10)

Alors : Eio cos θ i + R||Eio cos θ i = Eto cos θt (3.5.11)

Eioη1

+ R||Eio

η1 Eto

η2(3.5.12)

3 Les impédances d’onde peuvent être des grandeurs complexes en général. Pour simplifier la notation, les grandeurs complexes

ne sont pas soulignées.



Résolvant ces deux dernières équations pour R|| on obtient :

R|| η2 cos θt – η1 cos θ i

η2 cos θt + η1 cos θ i

(3.5.13)

Puis, résolvant pour Eto T||Eio, on trouve facilement que :

T|| cos θ i

cos θt

1 + R|| 2 η2 cos θi

η2 cos θ t + η1 cos θ i

(3.5.14)

Ce sont les formules de Fresnel pour la polarisation parallèle au pland’incidence.

Cas des bons diélectriquesDans les diélectriques à faibles pertes η2/η1 n2/n1 ≈ ε'1/ε'2 . Utilisant le

fait que : cos θ t = 1 – sin 2 θt et sin θt = ε1/ε2 sin θ i, on obtient

par substitution, en simplifiant la notation (ε'1 ε1, etc.) :

R|| – ε2/ε1 cos θ i + ε2/ε1 – sin 2 θi

ε2/ε1 cos θi + ε2/ε1 – sin 2 θi

(3.5.15)

Angle d’incidence critiqueComme précédemment, dans le cas où l’impédance d’onde du deuxièmemilieu est supérieure à celle du premier, il y a réflexion totale pour un angled’incidence critique défini par la même expression (Équation. 3.4.19).

Angle de BrewsterL’examen de l’expression de R|| montre une propriété remarquable des

ondes électromagnétiques de polarisation parallèle. En effet, pour toutevaleur du rapport des permittivités, il existe un angle d’incidence particulier



θB pour lequel la réflexion est nulle et l’énergie totalement transmise dans ledeuxième milieu : c’est l’angle de Brewster. En posant R|| = 0, on démontre

que cet angle est donné par l’expression suivante :

tg θB ε2ε1

n2n1

(3.5.16)

EXEMPLE 3.5.1 Angle critique - Angle de Brewster

Considérons le cas de deux milieux diélectriques dont le rapport despermittivités ε2/ε1 est égal à 4. La courbe 1 du graphique de la figure 3.5.2montre la valeur absolue de R|| dans ce cas. La courbe 2 est le cas oùε2/ε1 = 0,25. Quand l’angle d’incidence est égal à l’angle de Brewster θB laréflexion est nulle. On calcule dans le premier cas θB = 63,4˚ et, dans ledeuxième cas θB = 26,6˚.

(a)

0

1

0 20 40 60 80 100

0.2

0.4

0.6

0.8

Angle d'incidence [dg]

R||

θB



(b)

R||

0

1

0.2

0.4

0.6

0.8

Angle d'incidence [dg]

θB

0 20 40 60 80 100θC

Figure 3.5.2 Réflexion en polarisation parallèle. Angle de Brewster

(a) ε2/ε1 4 (b) ε1/ε2 4

Exemple 3.5.2 Angle critique - Angle de Brewster

Ce phénomène a certaines applications, dans les lasers, par exemple. Leslasers conçus pour donner un faisceau de lumière polarisée dans unedirection particulière comportent, insérée dans le faisceau, une lame de verreinclinée d’un angle égal à l’angle de Brewster qui laisse passer totalement lacomposante de la lumière polarisée dans le plan d’incidence sur la lame : ladirection de ce plan détermine celle de la polarisation du faisceau produit.L’indice de réfraction n du verre étant d’environ 1,5, l’angle de Brewster θB

est alors voisin de 56˚.

Une autre application est l’utilisation de verres ou de filtres polarisants pourréduire l’éblouissement produit par la réflexion sur les surfaces diélectriquestelles que l’eau, le verre, les plastiques... Par exemple, en portant des verrespolarisants dont l’axe de polarisation est vertical, la lumière réfléchie surl’eau ou une route mouillée (n ≈ 1,33, θB ≈ 53˚) est plus fortement bloquéeque la lumière venant d’ailleurs. En effet, la lumière réfléchie sur unesurface horizontale a une composante de polarisation horizontale plusintense que celle de polarisation verticale.



3.6 Onde évanescente

Incidence surcritiqueQuand l’angle d’incidence dépasse l’angle critique et qu’il y a réflexion totale,un champ électromagnétique existe quand même dans le second milieu :c’est l’onde évanescente. Cette onde joue un rôle important dans le domainedes guides d’ondes diélectriques tels que les fibres optiques.

Considérons l’incidence sur un bon diélectrique en polarisationperpendiculaire vue plus haut, dans le cas où ε2 < ε1, oun2 < n1 ou η2 > η1, avec l’angle d’incidence supérieur à l’angle critique :θi > θc (Figure 3.6.1). Mathématiquement, l’équation de Descartes-Snells’applique toujours :

n1 sin θi n2 sin θt (3.6.1)

Dans le cas présent : sin θ t n1

n 2 sin θi > 1

Il s’ensuit que cos θt est alors purement imaginaire :

1Erk2

k1

E1

X

0

k'1

tH Et

Hr

2

Z

ε1

1

1

μη η

2

2

ε2

ημ

iH θ i

θr

θ t

θi

Figure 3.6.1



cos θt ± 1 sin 2θ t ±j sin 2θ t 1 ±jn1

n2

2 sin 2θ i 1 (3.6.2)

Pour simplifier, posons : cos θ t ±j F (3.6.3)

Pour le moment, le signe à conserver est indéterminé et ce choix doit s’avérerimportant.

Champ transmisOn a vu plus haut l’expression générale du champ électrique transmis:

Et(r) Eto exp ( j k2⋅ r) y (3.6.4)

D’après (1-1.10), le vecteur d’onde k2 dans le cas présent est:

k2 xk 2 sin θt + zk 2 cos θt xk 2 sin θt ± jzk 2F (3.6.5)

Alors, vu que r x x + z z : k2⋅ r k 2x sin θt ± jk 2z F (3.6.6)

Posons sin θt G n 1/n2 sin θ i, et = k2F. Alors:

k2⋅ r k 2Gx ± jαz k 2,x ± jαz (3.6.7)

L’expression du champ électrique transmis devient :

Et(r) T⊥Eio exp ±α z exp j k 2Gx y

Il faut rejeter le signe + devant αz, car il correspond à une amplitude quiaugmenterait sans limite avec z, ce qui est physiquement impossible : il faut

choisir cos θ t +j F. On obtient finalement :

Et(r) Eto exp α z exp j k 2Gx y (3.6.8)

Cette fonction représente une onde qui se propage sans atténuation le longde l’interface (axe 0x), mais dont l’amplitude diminue exponentiellementdans le deuxième milieu, avec z. Il n’y a pas de propagation dans la directionde z dans ce dernier. Il s’agit d’une onde de surface qu’on appellegénéralement onde évanescente. L’existence de cette onde est mise à profitdans les coupleurs directionnels à fibres optiques et autres.

Le champ magnétique transmis (3.4.7) dans le deuxième milieu diélectrique,si on le suppose sans pertes (η2 réel), est alors :


Ht(r) Etoη2

j F x – G z exp α z exp j k 2Gx (3.6.9)

D’autre part, le coefficient de transmission devient complexe d’après (3.4.18)

car sin 2 θi > n2/n1 :

T⊥ 2 cos θi

cos θi + j sin 2θ i n2/n12

2 cos θ i

cos θ i + j n2/n1 n1/n 22sin 2θi 1

ou encore : T⊥ 2 cos θ i

cos θ i + j n2/n 1 F T⊥ ∠φT (3.6.10)

avec tg φT n2/n1 F

cos θ i

(3.6.11)

Comme le coefficient de transmission est complexe, le champ transmis estdéphasé par rapport au champ incident à l’interface.

Champ réfléchiLe coefficient de réflexion est de même :

R⊥ cos θ i j n 2/n1 F

cos θ i + j n 2/n1 F 1 ∠φR (3.6.12)

où : φR 2φT . Cet angle est le déphasage entre l’onde réfléchie et l’onde

incidente dans le plan z = 0 : il se produit un retard de phase à la réflexion.Il se produirait le même retard de phase si, comme illustré dans la figure3.3.2, le milieu 1 s’étendait jusqu’au plan conducteur P, causant un

parcours supplémentaire OAB 2d/ cos θi et un déphasage total :

2k 1d

cos θi

+ π

car il se produit un déphasage de π radians à la réflexion sur une surfaceconductrice. Or, ce déphasage doit être égal à celui sur le parcours OD qui

est φr – 2k1e. Constatant que e 2d sin 2θ i/cos θ i, on a :


2k 1d

cos θi

+ π φR 2k 1d sin 2θi

cos θ i

d’où : d φR + π

2k 1 cos θ i

Z

X

E

1

2

Σi

k1

d0

A

B

θiP

e Σr

k'1Dθi

Figure 3.6.2 Incidence surcritique - Plan conducteur équivalent P

Mais tg φR + π tg φR tg φR. Il s’ensuit que :

d φR

2k 1 cos θ i

(3.6.13)

C’est l’effet Goos-Hanchen5. Cette relation prend toute son importance quandon traite de propagation guidée dans un diélectrique, comme dans les fibresoptiques.

Intensité transmiseLe vecteur de Poynting complexe est :

S Et ∧ Ht* Eto

2

η2 e-2αzy ∧ +j F x G z Eto

2

η2 e-2αz jF z G x

5 Pierre LECOY, Télécommunications optiques, Traité des Nouvelles Technologies, p. 32,

Hermès, Paris, 1992.


S Et ∧ Ht* Eto

2

η2 e-2αz jF z + G x (3.6.14)

Comme il est formé d’une partie purement imaginaire selon l’axe Z, lapuissance transmise dans cette direction est donc nulle. Ceci découle du faitqu’il n’y a pas de propagation selon Z. Par contre, l’onde de surface qui sepropage selon X transporte une puissance qui diminue rapidement avecl’éloignement de l’interface. Son intensité est donnée par :

Ix 12

Ré Et ∧ Ht* 1

2 G Eto

2

η2 e-2αz (3.6.15)

Propagation guidéeD’après ce que nous venons de voir, il devient évident qu’une ondeélectromagnétique peut se propager dans une lame diélectrique (Figure3.6.3). Une onde plane pénétrant dans une lame diélectrique en 0 subit desréflexions multiples dans la lame si l’angle θi est supérieur à l’angle critique

de l’interface air-diélectrique. Le même principe s’applique dans le cas d’untube diélectrique de section rectangulaire ou circulaire. Une fibre optiqueest essentiellement un tube diélectrique où une onde lumineuse peut sepropager sur de grandes distances par réflexions internes multiples. Dansles communications modernes, les fibres optiques servent à transmettre surde grandes distances des signaux lumineux infrarouges (télévision, radio,données numériques...).

Diélectrique

Air

θi

0

Figure 3.6.3



Transmission par onde évanescenteSi un troisième milieu (3, Figure 3.6.4) comparable au milieu 1 est approchéde l’interface 1-2 à une distance b inférieure à une longueur d’onde λ2, onobserve qu’une onde se propage dans le milieu 3 dans la direction indiquée.Il se produit un couplage du milieu 1 au milieu 3 par l’intermédiaire del’onde évanescente dans le milieu 2, même si l’angle d’incidence θι estsupérieur à l’angle critique. Ce phénomène de transmission est mis à profitdans certains dispositifs d’optique intégrée modernes, tels que les coupleursdirectionnels. Notons que ce phénomène s'apparente à l'effet tunnel qui estmis à profit dans certains dispositifs à semi-conducteurs modernes.

2 0

3

E

k11

X

b

Z Énergie transmise

θc

θiθr

Figure 3.6.4 Transmission par onde évanescente

Exemple 3.6.1 Calcul d'une onde évanescente

Supposons une onde plane à 1 GHz dans un diélectrique parfait (milieu 1)

dont l’impédance d’onde est η1 = ηo/2 = 188,5 ohms (ε'1r 4), incidente à

45˚ sur l’interface plan séparant le diélectrique du vide. Le champ électriqueest perpendiculaire au plan d’incidence, avec une intensité de 100 V/m.



Cet angle dépasse l’incidence critique qui est de 30˚ :

sin θc = η1

η2

= ε2

ε2

= n2

n1 = 0,5

Trouvons les caractéristiques de l’onde évanescente dans le milieu 2. Lesfacteurs F et G :

F = 377188,5

2 sin 45˚ – 1 = 1,3522

G = 377188,5

sin 45˚ = 2 = 1,4142

La vitesse de phase dans le deuxième milieu étant c (vitesse dans le vide), laconstante de phase k2 est :

k2 = 2πfc = 20,944 rd/m

Le coefficient α est alors :

α = k2 F = 20,944 × 1,3522 = 28,320 Np/m

Puis, le facteur de phase : k' 2 = k2G = 20,944 × 2 = 29,619 rd/m

Calculons le coefficient de transmission :

T⊥ = 2 × (1/ 2)

(1/ 2) + j(1/2) × 1,3522 = 1,446 ∠-43,72˚ = 1,446 ∠-0,7631 rd

On observe que son module est supérieur à 1 ! Le module du champtransmis est ainsi Eto = 144,6 V/m et sa phase à l’interface φT = -0,7631 rd.Le champ électrique dans le deuxième milieu a donc l’amplitude complexesuivante, en substituant les valeurs numériques :

Eto = -144,6 exp (-28,32z) exp (-j29,619x) y [V/m]

La longueur d’onde dans le deuxième milieu est λ2 = c/f = 0,3 m. À ladistance z = λ2/4 de l’interface, l’amplitude du champ tombe à une faiblefraction (0,1195) de sa valeur en surface :

Et(λ/4) = 144,6 × exp(-28,32 × 0,3/4) = 144,6 × 0,1195 = 17,29 V/m



L’expression numérique du champ magnétique suit :

H to = 144,6377

-j1,3522x – 2z exp (-28,32z) exp (-j29,619x) [A/m]

La distance du plan réflecteur fictif équivalent est alors :

d = – φR

2k1 cos θi

= – φRv1

4πf cos θi

d = 1,526 × 1,5· 108

4π × 109 1/ 2 = 2,58 cm

où φR = 2φT = -1,526 rd.

EXERCICES3.1 Onde oblique

Si l’expression complexe d’une certaine onde électromagnétique dans l’air estla suivante : Ei(x,z) = y 10 exp –j(6x + 8z) [volts/m] et qu’elle est incidentesur une surface parfaitement conductrice en z = 0 :

a) Déterminer sa fréquence et sa longueur d’onde.

b) Écrire l’expression de H i(x,z, t), le champ magnétique en fonction dutemps.

c) Évaluer l’angle d’incidence.

d) Déterminer les ondes réfléchies Er(x,z) et Hr(x,z).

e) Trouver l’expression du vecteur de Poynting complexe de l’ondeincidente.

3.2 Onde oblique

Si l’onde de l’exercice B-1.1 est incidente sur la surface d’un diélectriquesupposé parfait dont la permittivité relative est égale à 4, trouver :

a) Les modules des champs électrique et magnétique transmis et réfléchis.

b) L’expression du champ électrique réfléchi Er(x,z) et celle du champmagnétique transmis H t ( , )x z



c) Évaluer l’angle de transmission ou de réfraction.

d) Dans ce cas, y a-t-il un angle d’incidence tel que la réflexion soit nulle ?

3.3 Onde oblique

a) Écrire l’expression de l’amplitude complexe de la composante électriqued’une onde électromagnétique plane à 100 MHz incidente à 30˚ surl’interface plane entre l’air et un milieu diélectrique de permittivité égaleà 4εo. L’amplitude du champ électrique est de 10 V/m. L’axe 0x pointvers le haut, l’axe 0z vers la droite (direction de l’onde incidente) etl’origine 0 est sur l’interface.

Rép. : H(x,z) = 2,653· 10 5 exp -j 1,047 x + 1,814 z y A m 1

b) Trouver l’expression complexe du champ électrique dans le diélectrique.

3.4 Vecteur de Poynting - Incidence oblique

Le vecteur de Poynting moyen d’une certaine onde plane étant<S> = 4 z W m 2, trouver :

a) L’intensité à travers le plan x = 2 m.

b) La puissance moyenne qui traverse la surface plane de 2 m2 définie parles trois points suivants : O(0,0,0), M(0,4,0), N(3,0,2), les coordonnéesétant en mètres.Rép. : R: P = 166,4 W

3.5 Prisme à réflexion totale

Le type de prisme illustré ci-contre estutilisé dans les instruments d’optiquetels que les jumelles. Si la permittivitérelative du verre pour la lumière visibleest de 4, évaluer la fraction del’intensité incidente qui est perdue dansle faisceau émergent.

Air

Verre



3.6 Fibre optique

La figure ci-contre représente un rayon delumière incident sur la face d'entrée polied'une fibre optique formée d'un coeur enverre d'indice de réfraction n1 = 1,65 et

d'une gaine optique d'indice n2 = 1,45. Lemilieu extérieur est de l'air d'indice n0 = 1.

Évaluer l'angle d'incidence maximal tel quele rayon réfracté soit encore totalementréfléchi par la paroi latérale interne ducoeur de la fibre. On doit faire unedémonstration claire, avec une figure à larègle.

θiCoeur (verre)

Gaine optiquen2 = 1,45

n0

n1 = 1,65

3.7 Angle critique - Angle de Brewster

La permittivité relative de l'eau aux fréquences de la lumière visible estd'environ 1,77, ce qui correspond à un indice de réfraction de 1,33.Supposez que vous êtes au fond d'une piscine d'eau douce avec un laserétanche qui produit un faisceau de lumière polarisée. Si vous dirigez lefaisceau vers la surface avec une polarisation parallèle au plan d'incidence :

a) Pour quel angle d'incidence la réflexion sera-t-elle totale ?Rép. : 48,7˚

b) Quelle valeur doit-on donner à l'angle d'incidence afin que la réflexionsoit nulle ? Comment s'appelle cet angle? Quel est alors le coefficient detransmission ?

3.8 Incidence oblique - Milieu avec pertes

Une onde électromagnétique plane de 10 kHz est incidente dans l'air sur lasurface de la mer calme avec une polarisation parallèle et une incidencerasante de 85˚. On sait que les paramètres électriques de l'eau de mer sont :εr = 81, μr = 1 et σ = 4 S m 1. Évaluer :

a) L'angle de réfraction (ou de transmission).

b) Le coefficient de réflexion R// et le coefficient de transmission T//.

Rép. : R/ / = 0,9939 ∠179,6˚ T / / = 7,436· 10 4∠45˚



c) Le rapport It/Ii de l'intensité transmise et de l'intensité incidente.

Rép. : 1,048· 10 3

d) Trouver les expressions complexe et réelle des champs E et H transmis.

e) S'il faut que le champ électrique sous l'eau soit d'au moins 100 μV/m à10 mètres sous la surface pour servir à la communication par radio avecun sous-marin, quel doit être le champ électrique dans l'air et sonintensité ? Cela démontre la difficulté de ce type de communication, quidoit se faire à très basses fréquences, car l'atténuation dans l'eau de meraugmente rapidement avec la fréquence. Rép. : I1o = 67,9 mW/m2 Question supplémentaire : si l’émetteur se trouve à 1000 km durécepteur, pouvez-vous en déduire la puissance requise de l’émetteur enfaisant l’hypothèse d’une émission isotrope ? La valeur trouvée est-elleréaliste ?


4444Rayonnementélectromagnétique

Dès que la densité de charge ou la densité de courant varie dans un régionde l’espace, on observe l’apparition d’un champ électromagnétique qui sepropage hors de cette région avec une vitesse caractéristique du milieu. C’estle phénomène de rayonnement.

Les antennes d’émission utilisées en radioélectricité sont des dispositifs quiproduisent un champ électromagnétique rayonnant dans tout l’espace dufait qu’elles sont parcourues par des courants oscillants. La figure suivantemontre une antenne simple constituée d’un fil conducteur vertical au-dessusd’un plan conducteur dans lequel on force un courant alternatif à circuler aumoyen d’une ligne électrique reliée à une source ou à un émetteur.Forcément, ce courant s’annule au bout de l’antenne. Le problème qui sepose alors est celui de la détermination du champ électromatique produitpar une certaine distribution de courant dans l’antenne. Nouscommencerons par déterminer le champ produit par un élément de couranttel que Idz. Le champ produit par l’antenne sera alors la somme des champsproduits par tous les éléments de l’antenne, en tenant compte de l’effet duplan conducteur.


I dz

rθAntenne

Surfaceconductrice

P

I

Ligneélectrique

Antenne simple

4.1 Potentiels retardésNous cherchons ici à relier les potentiels V et A à leurs sources, soit ladensité de charge ρ et la densité de courant J. On pourra ensuite calculer leschamps E et B en fonction des potentiels au moyen des expressionsconnues :

E – ∇V – ∂A∂t

B ∇ × A

(4.1.1)

(4.1.2)

Rappelons les équations de Maxwell :

∇ × E ∂B∂t

∇ × H J + ∂D∂t

∇⋅ D ρ

∇⋅ B 0

(4.1.3)

(4.1.4)

(4.1.5)

(4.1.6)



Si on porte (4.1.1) dans (4.1.3), on constate que l’équation est vérifiée. Eneffet :

∇ × E = –∇ × (∇V ) – ∇ × ∂A∂t

= 0 – ∂ ∇×A

∂t = –

∂B∂t

car le rotationnnel d’un gradient est toujours nul. De même, si l’on porte(4.1.2) dans (4.1.6), on constate que cette dernière est vérifiée, car ladivergence d’un rotationnel est toujours nulle. C’est en portant (4.1.1, 4.1.2)dans (4.1.4, 4.1.5) que nous pourrons relier les potentiels aux sources.Supposons que le milieu est linéaire, avec une permittivité ε et uneperméabilité μ :

∇⋅ ∇V = – ρε ∇⋅

∂A∂t

= – ρε

∂ ∇⋅ A∂t

(4.1.7)

et :∇×

∇×Aμ

= J – ∇ × ∂(ε E)

∂t (4.1.8)

∇ × ∇×A = μ J – μ ε ∂E∂t

= μ J – μ ε ∂ ∇V

∂t – μ ε

∂2A

∂t2(4.1.9)

Or,

∇ × ∇×A = ∇ ∇⋅ A – ∇⋅ ∇A = grad (div A) – div (grad A) (4.1.10)

(4.1.9) devient alors :

∇⋅ ∇A = –μ J + μ ε ∇∂V

∂t + μ ε

∂2A

∂t2 + ∇ ∇⋅ A (4.1.11)

Or, toute expression de V ou de A qui donne correctement les champs E et B

est acceptable. Ainsi, la divergence de A, ∇⋅ A, peut être n’importe quelle

fonction. Si on la choisit comme suit,

∇⋅ A μ ε ∂V

∂t (condition de Lorentz) (4.1.12)



l’équation (4.1.11) se simplifie et devient, avec la relation (4.1.7) :

∇⋅ ∇A μ ε ∂2A

∂t2 μ J

∇⋅ ∇V – με ∂2V

∂t2

ρε

(4.1.13)

(4.1.14)

En introduisant le laplacien qui est la divergence du gradient, on peut aussiécrire :

∇2A μ ε

∂2A

∂t2 μ J

∇2V – με

∂2V

∂t2

ρε

(4.1.13)

(4.1.14)

A et V sont des fonctions de la position et du temps : A(r,t) et V(r,t). Dans lecas où il n’y a pas de variation au cours du temps (électrostatique,magnétostatique), ces deux équations se ramènent aux équations bienconnues établies précédemment :

∇2A μ J

∇2V

ρε

qui sont les équations de Poisson du potentiel-vecteur magnétique et dupotentiel électrique.

En coordonnées cartésiennes, l’équation (4.1.13) représente une équationcomme la suivante pour chaque composante :

∇2Ax μ ε

∂2Ax

∂t2 μ Jx (4.1.15)

Si on peut trouver la solution des équations (4.1.14, 4.1.15) pour une chargeponctuelle et un élément de courant variables, on peut ensuite résoudre tousles cas, pour toutes les distributions de charge et de courant. Comme ceséquations sont de même forme, leurs solutions doivent l’être aussi.



Dans le cas d’un élément de charge dq considéré comme une chargeponctuelle, le potentiel dV qu’il produit partout ailleurs en un point N horsde la distribution de charges (Figure. 4.1.1) ne peut dépendre que de r et t :dV = f (r , t). Pour simplifier la notation, appelons-le simplement V. Encoordonnées sphériques, le laplacien s’écrit :

∇2V 1

r 2 ∂

∂r r 2

∂V∂r

∂2V

∂r 2 + 2r

∂V∂r

L’équation (4.1.14) devient alors :

∂2V

∂r 2 + 2r

∂V∂r

– με ∂2V

∂t2 0 (4.1.16)

En faisant le changement devariable V(r,t) = W(r,t)/r, cetteéquation se simplifie :

∂2W

∂r 2 – με

∂2W

∂t2 0 (4.1.17)

Or, cette dernière est une équationd’onde, dont la solution est toutefonction de la variable (t – r/c) ou(t + r/c), où :

dq r

N

dg

Figure 4.1.1

c 1με

(4.1.18)

Dans le vide, cette vitesse est d’environ 300 000 km/s : c’est la vitesse desondes électromagnétiques dans le vide. On peut donc poser :

V (r,t) W(t – r/c)

r (4.1.19)

Considérons un point très près de la charge, de sorte que le retard soitnégligeable. Le potentiel d’une charge dq dans le milieu supposé homogèneest alors donné par :

dV(r,t) dq(t)4πε r

(4.1.20)



En comparant les deux dernières expressions, on constate queW (t r/c) dq(t r/c)/4πε. Par conséquent, le potentiel produit par une

charge ponctuelle dq variable est de la forme :

dV(r,t) dq(t r/c)

4πε r

ρ(t r/c) dg4πε r

(4.1.21)

D’après notre conclusion précédente, le potentiel-vecteur produit par unélément de courant doit avoir la même forme, c’est-à-dire :

dA(r,t) μ

4π dJ(t r/c)

r μ4π

J(t r/c) dg

r (4.1.22)

où ρ est la densité de charge et dg est le volume élémentaire.

Cela signifie que la variation du potentiel à la distance r de la charge dq sefait avec un retard τ = r/c par rapport à la variation de la charge dQ, commel’indique la figure 4.1.2 dans le cas d’une variation quelconque.

Le potentiel produit par un volume g de charges de densité variable ρ estdonc donné par :

V (r,t) 14πε

ρ(t r/c)r dg

g

avec c μ ε 1/2 (4.1.23)

dq

t t

τ

V(r,t)

0

Figure 4.1.2

C’est le potentiel électrique retardé. Or, chaque composante du potentiel-vecteur magnétique est régi par une équation différentielle de même type quecelle du potentiel électrique (Équation 4.1.15). Ainsi, devons-nous avoir :

A(r,t)μ

4πJ(t r/c)

r dgg

avec c μ ε −1/2(4.1.24)

C‘est l’expression du potentiel-vecteur magnétique retardé.



Ce résultat met en évidence le phénomène de propagation du champélectromagnétique : quand une variation de charge ou de courant se produitdans une région de l’espace, les variations du champ en un point éloigné seproduisent avec un retard proportionnel à la distance. Or, dansl’approximation quasistationnaire, on suppose que les dimensions dusystème sont assez petites, de sorte que les temps de propagation sontnégligeables devant la période des variations. Le régime quasistationnaire estdonc un cas limite, une approximation.

Exemple

Si la plus grande dimension d’un circuit électronique est de 30 cm, le tempsde propagation du champ électromagnétique dans l’air sur cette distance est

τ = 0,3 m/3 * 108 m/s = 10-9 s. Si la fréquence la plus élevée des signaux

dans le circuit est de 10 MHz, correspondant à une période de 10-7 s, onpeut alors dire que l’approximation du régime stationnaire s’applique assezexactement, car le temps de propagation à travers le circuit est cent fois pluscourt que la période de variation du signal.

4.2 Régime harmoniqueUn cas particulier très important est celui où les charges et les courantsvarient de façon sinusoïdale, en cos ωt avec des amplitudes ρm et Jm. On

sait que ces grandeurs réelles sont les parties réelles d’exponentiellescomplexes :

ρ(t) ρm ejω t et J(t) Jm ejω t (4.2.1)

De même : V r,t V r ejω t et A r,t A r ejω t (4.2.2)

En remplaçant t par t – r/c on obtient :

ρ(t r/c) ρm ejωte jω r/c et J(t) Jm ejωte jω r/c (4.2.3)

Comme les potentiels varient en ejωt , cette exponentielle disparaît dans lesdeux membres des équations (4.1.23, 4.1.24), et on obtient l’amplitudecomplexe des potentiels pour des distributions continues de charge et decourant :



V (r) 14πε

ρm e jω r/c

r dgg

= 14πε

ρm e jβ r

r dg

g

(4.2.4)

A(r) μo

4π

Jm e jωr/c

r dgg

μo

4π

Jm e jβ r

r dg

g

(4.2.5)

où β = ω/c est la constante de propagation ou constante de phase. On obtientles potentiels réels en prenant les parties réelles de ces expressions. Siωr/c << 1, le retard peut être négligé et ces équations se réduisent à cellesdu régime quasistationnaire :

V (r) ≈ 14πε

ρmr dg

g (4.2.6)

A(r) ≈ μo

4π J

r dgg

(4.2.7)

Si la plus grande dimensions d’un système est d, le critère selon lequel cettesimplification est permise est donc le suivant :

d << cω 1

ω με(4.2.8)

4.3 Rayonnement d’un dipôle oscillantOndes sphériquesNous sommes maintenant en mesure de trouver l’expression du champ élec-tromagnétique produit par la source oscillante la plus simple, le dipôle (oudoublet) électrique oscillant. En (a, b, c) de la figure 4.3.1, une source detension sinusoïdale d’amplitude V et de fréquence f est intercalée au centred’un conducteur rectiligne relié à deux petites sphères, dont la séparationdans le vide a est très inférieure à la longueur d’onde à cette fréquence



(a << λ). À cause de la capacité électrique entre les sphères, celles-ci sechargent avec une valeur qui varie sinusoïdalement au cours du temps. Lecourant alternatif fourni par la source doit varier comme i(t) = I cos ωt, pourune tension v(t) = V cos (ωt, + φ ), où φ est le déphasage de la tension parrapport au courant. Sous forme complexe, on a :

i(t) I ejω t et V (t) Vejφ ejω t V ejω t (4.3.1)

+

I

r

+q

q

a

I

N

V

(a) (b) (c) (d) (e)

θ

I

r1 Z

I

r

+

+

I

I

V

+

+

I

I

V

+ +

r2

+q

q

Figure 4.3.1 Dipôles oscillants

On peut se représenter le système comme en (d) où le courant I alimente desdistributions sphériques de charge +q et -q. Vu que i = dq /dt, on a ennotation exponentielle complexe :

I = jω Q (4.3.3)

Le potentiel produit au point N est la somme des potentiels produits parchaque charge (Figures 4.3.1, d, e) et se déduit des expressions (4.2.1) et(4.3.3) :

V (r) Ijω 4πε

e jβ r1

r1 – e

jβ r2

r2 (4.3.4)

Si r >> a, on a alors r1 ≈ r Δr et r1 ≈ r + Δr avec Δr a cos θ /2

Or, e jβ r1

r1 – e

jβ r2

r2 = F(r – Δr) F(r + Δr) F(r + Δr) F(r – Δr)



et, à partir de la définition de la dérivée :

F(r + Δr) F(r Δr) ≈ 2 dFdr

Δr

Or, dFdr

= – ddr

e-jβ rr

jβr + 1

r 2 e-jβ r

L’expression (4.3.4) devient ainsi :

V (r) I a cos θjω 4πε

jβr + 1

r 2 e-jβ r ( r >> a ) (4.3.5)

Vu la relation entre la charge et le courant, on peut aussi écrire :

V (r) Qa cos θ

4πε

jβr + 1

r 2 e-jβ r

Remarquons que Qa est la valeur maximale du moment dipolaire électriquepm. D’autre part, le courant circule ici dans la direction de l’axe 0-z et

J dg > I dz z. Si r >> a, le terme e-jβ r/r est pratiquement constant. Alors,l’expression (4.2.5) se réduit au potentiel-vecteur d’un dipôle élémentaire :

A Az z μ Ia4π

e-jβ r

r z ( r >> a ) (4.3.6)

Connaissant les expression de V et de A, on peut dès lors trouver celles deschamps E et H = B/μo. Comme nous avons un dipôle supposé ponctuel dans

la direction z, il est naturel d’utiliser un référentiel sphérique dans lequel lescomposantes de A sont :

A r = A z cos θ = μo Ia cos θ

4π e

-jβ r

r (4.3.7)

A θ = – A z sin θ = – μo Ia sin θ

4π e

-jβ r

r (4.3.8)

A φ = 0 (4.3.9)

La figure 4.3.2 montre le référentiel utilisé ; p Qa z représente le momentdipolaire électrique. À partir de l’expression du rotationnel en coordonnées

sphériques, on détermine H ∇×A /μ :



Hr = 0 , Hθ = 0 , Hφ = Ia sin θ4π

jβr + 1

r 2 e jβ r (4.3.10a)

On peut aussi écrire :

Hφ = – Ia β 2 sin θ

4π 1

jβr + 1

jβr 2 e jβ r (4.3.10b)

Le champ magnétique n’a donc qu’une composante azimutale Hφ. Le champ

électrique se trouve à partir de la relation générale E ∇V ∂A/∂t qui

devient, en régime sinusoïdal : E ∇V jωA. Au moyen du gradient en

coordonnées sphériques et des expressions 4.3.5, 4.3.7, 4.3.8, en regroupant

les termes et utilisant la relation β 2π/λ ω/v , on obtient lescomposantes du champ électrique :

Er = Ia cos θ2π

μo

εo 1

r2 –

j

βr3 e jβ r

qu’on peut écrire :

Er = – ηoβ 2Ia cos θ

2π 1

jβr 2 + 1

jβr 3 e jβ r (4.3.11)

De même :

Eθ = – ηoβ 2Ia sin θ

4π 1

jβr + 1

jβr 2 + 1

jβr 3 e jβ r (4.3.12)

Puis,

Eφ 0 (4.3.13)



On sait que ηo μo/εo ≈ 376,7 ohmsest l’impédance d’onde du vide. Lesexpression 4.3.10 à 4.3.13 décrivent lechamp électromagnétique produit parune dipôle supposée ponctuelle.

Si βr >> 1 c’est la zone éloignée, et lestermes du second et du troisième degrésont négligeables devant celui en 1/βr.On peut donc les négliger, comme lacomposante Er devant la composante

Eθ . Alors il ne reste plus que les

composantes suivantes du champélectromagnétique :

p

Z

r

r

θX

φ N

θ

φ

Figure 4.3.2

Eθ jηoβIa

4π e-jβ r

r sin θ [V/m]

(βr >> 1 ; λ >> a) (4.3.14)

Hφ jβIa 4π

e-jβ r

r sin θ [A/m]

(βr >> 1 ; λ >> a) (4.3.15)

Remarquons les particularités du champ en zone éloignée :

– Le champ électrique et le champ magnétique sont à angle droit.

– Ces deux composantes du champ électromagnétique sont en phase.

– Le rapport Hφ/Eθ ηo, l’impédance d’onde du vide, comme pour uneonde plane. C’est normal, car à grande distance du dipôle, l’onde estquasiplane.

– Le champ électromagnétique varie en 1/r, alors que le champélectrostatique d’un dipôle varie en 1/r 3..

On obtient une expression utile de Eθ en observant que

ηo ≈ 376,7 ≈ 120π ohms , avec β = 2π /λ :



Eθ ≈ j60πIa

λ e-jβ r

r sin θ [V/m] (4.3.16)

Le champ électromagnétique à grande distance forme une onde sphérique.

On peut aussi exprimer le champ en fonction du moment dipolaire électriqued’amplitude pm : Ia = jωQa = jωpm. Alors :

Eθ – ηoωβpm

4π e-jβ r

r sin θ [V/m] (4.3.17)

Hφ – ωβpm

4π e-jβ r

r sin θ [A/m] (4.3.18)

La figure 4.3.3 représente uneune surface d’onde sphériquedans le plan du dipôle p àdeux instants successifs. Àl’instant t, elle est en Ω ; unedemi-période plus tard, elles’est propagée jusqu’en Ω’ surune distance égale à une demi-longueur d’onde. Sur cettedernière surface d’onde, ladirection du champ E est doncopposée à celle aux pointscorrespondants sur Ω.

p

E1

E2

P1

P3

P2

N1

N2

P4

E4

P5

E5

Ω

Ω'

E1

E2

E5

θ

N5

Figure 4.3.3 Onde sphérique .

4.4 Vecteur de Poynting, intensité, puissanceEn zone éloignée, le vecteur de Poynting moyen a la forme suivante :

S 12

Ré Eθθ ∧ φHφ*

ηoβ 2I2a2

2 4πr 2 sin 2 θ r [W/m 2] (4.4.1)



Son module est montré dans le diagramme polaire de la figure 4.4.1 : c’est lediagramme de rayonnement. On trouve la puissance totale rayonnée enintégrant le vecteur de Poynting moyen sur une sphère de rayon r (Figure4.4.2) :

P S ⋅ dΣΣ

S dΣΣ

0

πS r 2 sin θ dθ dφ

0

2π (4.4.2)

où dΣ est le vecteur élément de surface qui est parallèle à <S>. Aprèssubstitution :

P ηoβ 2

I2a 2

32π2

0

πsin3 θ dθ dφ

0

2π

ηoβ 2I2a 2

16π sin 3 θ dθ

0

π

Finalement :

P ηoβ 2I2a 2

12π [W] (4.4.3)

Vu que β = ω/c, = 2πf/c : P ηoπf 2I2a 2

3c2 [W] (4.4.4)

Rappelons que I 2 Ieff

θ

<S>

z

0

Figure 4.4.1 Diagramme de rayonnement d’un dipôle oscillant


r

dr

dθθ

zdΣ <S>

r sinθ

0

Figure 4.4.2 Calcul de la puissance rayonnée

Résistance de rayonnementVu qu’il n’y a aucune perte dans le milieu par hypothèse (le vide), lapuissance fournie au dipôle (doublet) est égale à la puissance P qu’on vientde calculer, la puissance traversant une grande sphère concentrique. Onpeut supposer que cette puissance est celle fournie par la source de la figure4.4.1 à une résistance R, soit P = (1/2)RI2. On obtient ainsi :

R 2πηo

3 a

λ2 ≈ 80π2 a

λ2 [Ω]

(4.4.5)

Cette expression est valide seulement si a << λ. Dans le cas où a = 0,01λ,cette résistance n’est que de 0,08 Ω, ce qui indique le très faible rendementd’une telle antenne.


DDDDeeeeuuuuxxxxiiiièèèèmmmmeeee ppppaaaarrrrttttiiiieeeePropagation guidée

INTRODUCTION

Une onde véritablement plane ne peut exister que dans un milieu homogèneinfini. En pratique, la propagation se fait dans des milieux inhomogènes etfinis. D’autre part, les ondes électromagnétiques émises à proximité demilieux conducteurs ou diélectriques étendus ont tendance à se propagerparallèlement aux surfaces de ces milieux. Ceux-ci agissent comme desguides servant à transporter l’énergie électromagnétique d’un point à unautre. Cette propriété est appliquée dans une foule de dispositifs de grandeimportance :

• lignes téléphoniques,

• lignes de transport d’énergie électrique,

• câbles coaxiaux et guides d’onde pour signaux à haute fréquence,

• fibres optiques, etc.

Les cordons d’alimentation des appareils électriques sont des guides oulignes électriques, de même que les interconnexions de circuits électriquesen général. C’est pourquoi leur étude est de première importance, afin de lesutiliser correctement, particulièrement aux fréquences élevées où les tempsde propagation deviennent relativement appréciables comparés à la période.

La figure suivante illustre quelques-uns de ces dispositifs. On peut lesclasser de diverses façons. On distingue :

• les guides ou lignes comportant des conducteurs et des diélectriques(a - d),


• les guides purement diélectriques tels que les fibres optiques (e).

Ces dispositifs trouvent maintenant des applications très importantes dansle domaine des communications. On peut aussi distinguer entre :

• les guides pouvant propager des ondes électromagnétiques transversales(mode TEM, a - c) et

• ceux qui ne le peuvent pas (d - e).

Les premiers sont caractérisés par au moins deux conducteurs isolésgénéralement parallèles, les deuxièmes sont essentiellement en forme detube conducteur ou diélectrique selon le cas. Ceux en forme de tubeconducteur sont communément appelés guides d’onde. On réserve le nom delignes électriques aux dispositifs des types (a) à (c).

V Z

Ligne bifilaire

Câble coaxial

COUPE

ZV

V Z

Microruban

Guide d'onde

Fibre optique

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

VZ

Émetteur Récepteur

Quelques dispositifs de propagation guidée


5555Guides d'ondeconducteurs

5.1 GénéralitésDans ce chapitre, nous traiterons de la propagation des ondesélectromagnétiques dans des tubes conducteurs remplis d’un diélectriquequ’on appelle guides d’onde (Figure 5.1.1). On supposera des conducteursparfaits (σ = ∞). Le diélectrique est le plus souvent de l’air. Ces structuresjouent un rôle de première importance dans la transmission de l’énergieélectromagnétique à des fréquences supérieures à 1 gigahertz (GHz), ledomaine des hyperfréquences ou des micro-ondes, particulièrement pour leradar, les télécommunications et le chauffage diélectrique (fours micro-ondes). Dans la pratique, on utilise surtout des guides d’onde de sectionrectangulaire ou circulaire. Toutefois, en guise d’introduction et pour mieuxcomprendre les principes en jeu, nous commencerons par traiter de lapropagation entre deux plans conducteurs parallèles. Plusieurs des résultatsobtenus ici s’appliquent assez directement aux autres types de guidesd’ondes. Dès le départ, nous pouvons faire les quelques constatationsgénérales qui suivent.


x

y

z

0ε μ

Figure 5.1.1 Guide d'onde cylindrique quelconque

HypothèsesNous savons déjà que :

1. Le champ électromagnétique doit satisfaire partout les équations deMaxwell.

2. La composante tangentielle du champ E à la surface d’un conducteurparfait est nulle, sinon la densité de courant J serait infinie. Le champ Eest partout nul dans le conducteur vu que la conductivité est supposéeinfinie.

3. La composante normale du champ E à la surface est égale à la densitésurfacique de charges ρs divisée par la permittivité ε du milieu.

4. La composante normale de H à la surface est nécessairement nulle, carce champ, comme le champ électrique, est nul dans un conducteurparfait.

5. Le champ magnétique H à la surface n’a qu’une composante tangentielled'intensité égale à celle de la densité surfacique de courant K.

Nous allons voir qu’un guide d’onde formé de conducteurs parallèles où lespertes sont négligeables a diverses propriétés aux conséquences pratiquesimportantes :

- Dans un guide en forme de cylindre (Figure 5.1.1), le champ E et lechamp H ne peuvent être simultanément perpendiculaires à la directionde propagation z en tous points : une onde électromagnétique purementtransversale ne peut s’y propager. Par contre, c’est possible entre desconducteurs isolés l’un de l’autre.



- Il existe différentes modes de propagation où le champ E ou le champ Hpeuvent avoir une composante dans la direction de propagation.

- Dans tous les modes, il existe une fréquence minimale fc sous laquelle la

propagation est impossible : c’est la fréquence de coupure.

- L’amplitude réelle du champ électromagnétique ne dépend pas de z, maisseulement de x et y dans le cas où les pertes sont négligeables.

Équations de baseSupposons qu’il existe une distribution de courant variant sinusoïdalementdans une certaine région du cylindre conducteur de la figure 5.1.1. Cecourant produit nécessairement un champ électromagnétique oscillant dansl’espace adjacent. Il est alors raisonnable d’admettre que ce champ sepropagera dans le cylindre et que, loin de la source, sa structure ne devraitpratiquement pas dépendre de la distance : l’expérience le vérifie bien.D’après ce que nous avons vu précédemment, dans le cas où on néglige lespertes diélectriques dans l’espace et les pertes Joule dans les parois, lechamp électrique devrait avoir une amplitude indépendante de z, et sonexpression complexe dans le guide devrait être de la forme :

E E( , , , ) ( , ) ( )x y z t x y t z= −0 exp j ω β(5.1.1)

où β est la constante de phase : β = ω/vp1, vp étant la vitesse de phase. La

direction du vecteur amplitude complexe E (phaseur) est quelconque à priori.Son amplitude complexe en fonction de z est ainsi :

E E0( , , ) ( , ) )x y z x y z= −exp( jβ (5.1.2)

où le champ complexe Eo(x,y) en z = 0 ne dépend que de x et y. Le champ

doit satisfaire l’équation d’onde dite équation de Helmholtz que nous avonsvue dès le début :

∇2E(x,y,z) + k2E(x,y,z) = 0 (5.1.3)

1 Si on veut tenir compte des pertes, jβ sera remplacé par la fonction de propagation γ = α + jβ.



où k ω εμo sera appelé le nombre d’onde avec ε et μο qui sont

respectivement la permittivité électrique et la perméabilité magnétique dudiélectrique. Or, on sait que la vitesse de propagation en champ libre estdonnée par v o 1/ εμo , Alors k = ω /vo.

On a des expressions de forme identique pour le champ magnétique H. Ladernière équation peut se développer ainsi :

∂2

∂x2 +∂2

∂y2E(x,y,z) + ∂2

∂z2E(x,y,z) + k2E(x,y,z) 0

D’après (5.1.2), le deuxième terme de cette dernière est :

∂2

∂z 2 E(x,y,z) β 2E(x,y,z)

Posant ∇xy2

= ∂2

∂x2 +

∂2

∂y2 ,2

on obtient : ∇xy2

E + –β 2 + k 2 E 0 (5.1.4)

Pour simplifier encore, posons

h 2 β 2 + k 2 (5.1.5)

h est le nombre d'onde transverse.

Alors,

∇xy2

E + h 2 E 0 (5.1.6a)

De même :

∇xy2

H + h 2 H 0 (5.1.6b)

Chacune de ces équations vectorielles est en fait la condensation de troiséquations avec les composantes sur x y et z des champs E(x,y,z) et H(x,y,z).

2 Cet opérateur est aussi désigné par ∇t. C'est le laplacien transverse.



De plus, les composantes de ces champs ne sont pas indépendantes. Ellessont reliées par les équations déjà vues :

∇ × H = j ωε E et ∇ × E = –j ωμ H (5.1.7)

Ces dernières constituent un système de six équations entre lescomposantes des champs E et H dont la manipulation permet d’obtenirl’expression des composantes du champ suivant x et y en fonction des seulescomposantes Ez(x,y,z ) et H z(x,y,z). Ces dernières sont des amplitudes

complexes de la forme :

Ez(x,y,z) Ezo(x,y) e jβz Hz(x,y,z) Hzo(x,y) e jβz

Admettons le résultat sans démonstration :

Hx(x,y,z) j

h 2 β

∂Hz∂x

– ωε ∂Ez∂y

(5.1.8a)

Hy(x,y,z) j

h 2 β

∂Hz∂y

+ ωε ∂Ez∂x

(5.1.8b)

Ex(x,y,z) j

h 2 β

∂Ez∂x

+ ωμ ∂Hz∂y

(5.1.8c)

Ey(x,y,z) j

h 2 β

∂Ez∂y

– ωμ ∂Hz∂x

(5.1.8d)

On obtient le champ dans le guide d’onde en résolvant l'équation 5.1.6, enimposant les conditions aux interfaces, ce qui donne Ez(x,y,z) et Hz(x,y,z).

Les autres composantes sont tirées des relations (5.1.8).

5.2 Types d'ondes et modes de propagationIl est pratique de classifier comme suit les types d’ondes qui peuvent sepropager dans un guide d’onde en général :

1. Ondes transversales électromagnétiques ou mode TEM : ondes qui n’ontpas de composantes Ez et Hz (dans la direction de propagation).



2. Ondes transversales magnétiques ou modes TM : ondes dont lacomposante Hz est nulle, mais qui ont une composante E z ; la

composante magnétique est transversale, c’est-à-dire perpendiculaire àla direction de propagation.

3. Ondes transversales électriques ou modes TE : ondes dont la composanteélectrique est transversale, avec une composante Hz non nulle.

5.3 Plans conducteurs parallèles - Mode TEMLe traitement de la propagation des ondes électromagnétiques entre desplans conducteurs parallèles est relativement facile et permet de faireressortir les principes qui s’appliquent dans les guides d’onde rectangulaireset autres. En particulier, les propriétés du mode TM de propagation quenous allons établir ici sont les mêmes dans les guides d’onde rectangulairesutilisés couramment. Nous allons premièrement étudier le mode detransmissions TEM qui est possible entre plans conducteurs parallèles, etentre toute paire de conducteurs isolés parallèles en général.

Type de polarisation permisConsidérons deux plans conducteurs parallèles de grandes dimensionsespacés d’une distance b (Figure 5.3.1). On néglige les effets de bord.Supposons des conducteurs parfaits. Une onde transversaleélectromagnétique (TEM) polarisée selon Oy (onde plane) peut se propagerentre les plans dans la direction de z : Ez et Hz sont alors nuls. En effet, les

deux conditions suivantes sont alors satisfaites : (a) le champ électrique estperpendiculaire aux conducteurs et (b) le champ magnétique est parallèleaux conducteurs. D’après les équations 5.1.8, les composantes Ex, Hx, Ey etHy seront nulles à moins que h soit nul :

h 2 β 2 + k 2 0 (5.3.1)

d’où : β k ω ε μo (5.3.2)


b

zx

y

Figure 5.3.1 Guide d'onde en forme de plans conducteurs parallèles

La fonction d’onde du champ E est alors la même qu’en champ libre :

E(z) Eo e jkz y (5.3.3)

Le champ magnétique suivant l’axe Ox est donné par :

H(z) Eoη e jkz x (5.3.4)

où η = μo/ε est l’impédance d’onde (caractéristique) du diélectrique entre

les plans conducteurs. Le signe (-) découle du fait que l’onde se propage ici

dans le sens positif de z. Selon le théorème de Poynting : S E ∧ H, où le

vecteur de Poynting S indique la direction de propagation. Cela estreprésenté dans la figure 5.3.2 où l’axe 0-z et S pointent hors de la figure : lechamp E est perpendiculaire aux faces conductrices où se trouvent descharges superficielles de densité ρs ; le champ H est parallèle aux faces et

correspond à une densité surfacique de courant K. On sait que :

E ρs/ε et H K (5.3.5)


+ + + + +

EH

x

y

σs

K

S

Eb

a

Kσs

0

Figure 5.3.2 Onde TEM entre deux plans conducteurs parallèles

Par contre, une onde TEM polarisée suivant l’axe 0x ne peut exister. En effet,le champ d’une onde plane doit être le même en tous points d’une surfaced’onde dans le plan x0y. Or, le champ électrique suivant 0x doit être nul à lasurface des conducteurs. Par conséquent, il ne peut qu’être nul partout etune telle onde est impossible.

En pratique, les plans conducteurs ont des dimensions finies, de sorte qu’il ya des effets de bord. La figure 5.3.3 montre l’allure du champélectromagnétique qui se propage alors dans le mode TEM.

+ + + +

– – –H

y

E

E

x0

Figure 5.3.3 Champ TEM entre des plans parallèles de dimensions finies. Effets de bord



Propagation avec atténuationEn pratique, la propagation est accompagnée de deux types de pertes :pertes dans le diélectrique entre les plans et, pertes Joule causées par lecourant électrique à la surface des plans. Le champ électromagnétique subitune diminution d’amplitude qui varie exponentiellement avec la distancedans le cas d’une onde plane. De plus, le champ électrique a alors unecomposante dans la direction de propagation à cause de la conductivité finiedes parois. Dans ce cas, un coefficient d’atténuation α intervient qui dépenddu diélectrique et du conducteur, puis jβ = jk doit être remplacé par lafonction de propagation γ = α + jβ. La solution théorique exacte de ceproblème est assez compliquée, mais si les pertes sont relativement faiblescomme c’est le cas dans les guides d’onde pratiques, la composante axiale Ezdu champ est très inférieure à la composante transversale Ey. On peut donc

considérer le champ électromagnétique comme essentiellement transversal,ce qui simplifie la solution du problème. L’expression du champ électriquesous forme complexe est alors, par exemple :

E(z) ≈ Eo e γz y ≈ Eo e αz e jβz y (5.3.6)

la puissance transportée par unité de surface ou intensité est donnée par lemodule du vecteur de Poynting moyen :

S P1 I = 12 E

2

η = 12 ηH 2 1

2 Eo

2

η e 2αz Io e 2αz (5.3.7)

où η est l’impédance d’onde du diélectrique, qui est pratiquement réelle si lespertes sont faibles 3. Notons que dans le cas présent l’intensité est constante

sur la section. La variation d’intensité ΔIu par unité de distance parcouruepar l’onde est donnée par la dérivée :

dIdz

= αΔIu 2α Io e 2αz 2α I (5.3.8)

On en tire l’expression du coefficient d’atténuation:

α ΔIu2I

ΔIum2I

+ ΔIud2I

ΔPum2P

+ ΔPud2P

αm + αd (5.3.9)

3 D’une façon rigoureuse, la valeur de η introduite ici dépend faiblement de la conductivité des parois. Mais, à toutes fins

pratiques, sa valeur est celle du diélectrique.



où αm est le coefficient relié aux pertes dans les conducteurs et αd est celuirelié aux pertes dans le diélectrique. Or, on connaît déjà l’expression de cedernier4 :

αd ≈ σ'η

2 ≈

ωε'η2

tg δp (5.3.10)

où σ’, η, ε’ et δp sont respectivement la conductivité effective, l’impédance

d’onde, la permittivité électrique (partie réelle) et l’angle de pertes dudiélectrique.

Pour trouver la diminution de puissance par unité de distance parcourueΔPuc causée par les conducteurs considérons, dans la figure 5.3.4, une

surface mesurant a par b traversée par l’onde avec une puissance P = Iab.Au cours d’un court intervalle Δt, cette onde parcourt la distance voΔt. Lespertes se produisent sur les deux surfaces de dimension avoΔt avec une

densité de puissance donnée par l'équation 1.9.32 :

Ps = 12 RsHx

2 = 12 RsK 2 = 1

2 RsEy

2

η2 (5.3.11)

où Rs est la résistance de surface, la résistance entre les bords d’une lame

carrée de surface unité et d’épaisseur δm, δm étant la pénétration du champélectromagnétique dans le métal de conductivité σm et perméabilitémagnétique μm :

δm 2ωσmμm

(5.3.12)

Rs 1σm

1δm × 1

1σm δm

ω μm

2σm (5.3.13)

4 Section 1.7.


yzx

b

a

vo Δt

P

Figure 5.3.4 Calcul des pertes de propagation

Sur la distance voΔt, l’onde de section ab subit une diminution d’énergie

ΔUm 2Psav oΔt qui est égale aux pertes sur les deux surfaces avoΔt. La

puissance perdue par unité de distance parcourue est donc :

ΔPum 2Psav oΔt

v oΔt 2Psa aRsHx

2 (5.3.14)

La puissance de l’onde sur la section ab est donnée par :

P abI 12

ab ηHx2 (5.3.15)

Finalement, d’après (5.3.9), le coefficient relié aux pertes dans le conducteurs’exprime comme suit :

αm ΔPum2P

Rsb η

(5.3.16a)

ou encore :

αm 1ηb

ω μm

2σm 1

ηb

πfμm

σm Np/m (5.3.16b)

Exemple 5.3.1 Coefficients d’atténuation

Suppo so ns un gu ide d’o ndes fo rm é de deu x pla qu es de cuivre parallèlesespacées de 5 cm ent re lesq uelles se propage u ne onde électro ma gnét iqu epla ne en m ode TEM de fréq uence éga le à 500 M Hz . L e milieu int ermédia ire est du po lyéthylène de permit tivité rela t ive 2,2, avec un fa ct eu r de pertes de 0,001à cet te fréq u ence. O n co nna ît la conductivit é du cu ivre : σ = 5,75 · 107 S m 1.



On peut alors calculer la pénétration :

δm = 2ωσμo

= 22π × 5·108 × 5,75·107 × 4π × 10-7

1/2 = 2,97 μm

On en tire la résistance de surface : Rs = 1σδ

= 5,86· 10 3 ohm

L’impédance d’onde :

η μo

ε

4π × 10 7

2,2 × 8,854· 10 12

1/2

= ηo

εr = 254 ohms

Le coefficient d’atténuation associé au conducteur est alors :

αm Rsb η

= 5,86· 10 3

0,05 × 254 = 4,61· 10 4 Np/m

Le coefficient d’atténuation associé au diélectrique est :

αd ≈ ωε' η

2 tg δ =

2π × 500·106 × 2,2 × 8,854· 10 12 × 254 × 0,0012

= 7,77· 10 3 Np/m

On observe que les pertes dans le diélectriques sont dominantes dans le casprésent. Si le diélectrique est simplement de l’air sec6, c’est l’inverse qui seproduit.

5.4 Mode TM

Expression du champDans le mode TM la composante Hz est nulle : le champ magnétique est

purement transversal, d’où le nom du mode. On peut obtenir Ez en résolvant

l’équation d’onde (5.1.6a) qui devient pour cette composante :

∇xy2 Ez + h2 Ez 0

∂2 ∂x2 +

∂2 ∂y2

Ez + h 2 Ez 0 (5.4.1)

6 Les pertes diélectriques augmentent avec le taux d’humidité de l’air.



Mais, vu que les plans sont très grands Ez ne doit pas dépendre de x

(figure 5.3.1) :

Ez(y,z) Ezo(y) e jβz (5.4.2)

L’équation d’onde se simplifie alors :

d2Ezdy2

+ h 2 Ez 0 (5.4.3)

La fonction Ez(y,z) qui est solution de cette équation doit satisfaire la

condition :

Ez 0 en y 0 et y b (5.4.4)

On vérifie facilement par substitution que la fonction qui satisfait cesconditions est de la forme suivante :

Ez(y,z) Eon sin hy e jβz (5.4.5)

avec :

h n π

b n 1, 2, 3, ... (5.4.6)

où n est le numéro du mode. À l’origine (z = 0), on a alors :

Ez(y,0) Ezo y Eon sin hy (5.4.7)

et Eon est une constante, l’amplitude réelle du champ dans le mode n. On

tire les expressions des autres composantes non nulles du champ deséquations 5.1.8 :

Eyo(y) jβh

Eon cos hy (5.4.8)

Hxo(y) jωεh

Eon cos hy (5.4.9)



On observe que les composantes transversales Ey et Hx du champ sont

maximales sur les plans conducteurs en y = 0 et y = b. L’expressioncomplète de la composante du champ en fonction de z et de t est obtenue enmultipliant les termes précédents par exp j(ωt - βz). Par exemple :

Hx(y,z,t) jωεh

Eon cos hy ej(ωt βz) ωεh

Eon cos hy ej(ωt βz + π/2) (5.4.10)

De (5.1.5) on tire l’expression de la constante de phase β :

β k 2 h 2 ω2εμ n πb

2 (5.4.11)

La figure 5.4.1 montre la distribution du champ électromagnétique entre lesplans conducteurs dans le mode n = 1 à un instant donné c’est le mode TM1.On peut voir la distribution du champ dans le mode TM2à la figure 5.4.2.

C’est l’aspect que présente le champ électromagnétique à un instant donnéentre les plans conducteur. Le champ se déplace vers la droite à une vitessequi est la vitesse de phase vp (voir plus loin).

Fréquence de coupureOn définit la fréquence de coupure fc = ωc/2π dans le mode n comme la

fréquence où β = 0. D’après (5.4.11), k = h et :

fc ωc2π

h2π εμo

n2b εμo

nv o2b

(5.4.12)

Aux fréquences inférieures, la constante de phase β devient imaginaire et lapropagation est impossible. Il faut remarquer qu’à la fréquence de coupuredans le mode numéro n, la longueur d’onde en champ libre est :

λc 2bn (5.4.13)

Cette importante relation prendra une signification particulière quand nousconstaterons, un peu plus loin, que le champ entre les plans peut êtreconsidéré comme la superposition d’ondes planes qui font des réflexionsmultiples sur ces plans. Notons aussi que b = n(λc/2) : dans le mode numéro

n, la séparation des plans conducteurs est égale à n demi-longueurs d’ondesde coupure.



Vitesse de phaseLa vitesse de phase vp est toujours donnée par ω/β, de sorte qu’à partir de

l’expression (5.4.11) on obtient :

v p 1εμ n π

ωb2

pour f > fc (5.4.14)

Cette vitesse est toujours supérieure à celle d’une onde plane enpropagation libre vo dans un même milieu . Vu que ω = 2πf et v o 1/ εμ, on

démontre facilement que :

v p v o

1 n v o2bf

2 v o

1 fc/f 2

pour f > fc (5.4.15)

Figure 5.4.1 Champ électromagnétique entre deux plans conducteurs dans le mode TM1


Lignes de champ électrique ELignes de champ magnétique H

βz0 π−π

y

b

Figure 5.4.2 Mode TM2 entre deux plans conducteurs

La figure 5.4.3 montre comment varie la vitesse de phase avec la fréquenceau-delà de la fréquence de coupure fc. On observe que cette vitesse vp esttoujours supérieure à la vitesse vo en champ libre. Cela signifie que si le

diélectrique entre les plans est le vide ou l’air, la vitesse de phase estsupérieure à la vitesse limite c (3 · 108 m/s). Ce résultat surprenant estanalysé dans la section suivante et ne contredit pas la théorie de la Relativitéqui fait intervenir la vitesse c. Par contre, la vitesse de propagation del’énergie électromagnétique qu’on appelle aussi vitesse de groupe esttoujours inférieure ou égale à c, ce qui sera aussi expliqué. La constante dephase est alors :

β ωv p

ωv o

1 fc/f 2 (5.4.16)


1

1.5

2

2.5

3

3.5

0.5

00 1 2 3 4 5 6

f / f coupure

Figure 5.4.3 Variation de la vitesse de phasevp avec la fréquence

Longueur d'onde dans le guide

La longueur d'onde λ dans le guide est la distance parcourue par l'onde aucours d'une période T 1/f à la vitesse de phase vp :

λ v pT v p

fOu encore :

λ f v p (5.4.17)

Exemple 5.4.1 Fréquence de coupure - vitesse de phase

Si deux plans conducteurs parallèles sont espacés de 5 cm dans l’air, lafréquence de coupure du mode TM1 est alors:

fc = n2b εoμo

= 3⋅ 108

2 × 5⋅ 10 2 = 3⋅ 109 Hz = 3 gigahertz (GHz)

Dans le mode TM2 elle est donc de 6 GHz. La vitesse de phase dans le mode

TM1 d’une onde de fréquence égale à 5 GHz est, par exemple, à partir de

(5.4.14) :



vp = 8,854 ⋅ 10 12×4π×10 7 – 1 × π2π × 5⋅ 109× 0,05

2 1/2 = 3,746 ⋅ 108 m/s

On obtient le même résultat, plus simplement avec la relation (5.4.15).

Coefficient d’atténuation en mode TMNous avons vu plus haut l’expression du champ Ez(y,z) en l’absence de

pertes :

Ez(y,z) Eon sin n πy

b e jβz (5.4.18)

On sait que s’il y a des pertes de propagation, jβ doit être remplacé par γ = α+ jβ, où α est le coefficient d’atténuation. Comme dans le cas du mode TEM,l’atténuation a généralement deux causes : les pertes dans le diélectrique etles pertes Joule dans les conducteurs métalliques. Alors, α = αd + αm. Nous

savons que dans un diélectrique avec pertes, la permittivité est complexe :ε = ε ‘ - jε“. Nous supposerons que les pertes sont relativement faibles(ε“ << ε‘ ). Utilisons cette dernière expression dans celle de β(Équation 5.4.11). Alors :

jβ j ω2εμo n πb

2 j ω2 ε' jε" μo n πb

2 1/2

jβ = j ω2μoε' – n πb

2 – jω2μoε"1/2

= j ω2μoε' – n πb

2 1/2 1 – j

ω2μoε"

ω2μoε' – n πb

2

1/2

D’après 5.3.11 et 5.4.12, n πb

ωc μoε' , de sorte que l’équation ci-dessus

peut s’écrire comme suit :

jβ jω μoε' 1 ωcω

2 1/2 1 j ε" /ε'

1 ωcω

2

1/2

Les pertes étant très faibles et ω > ωc, le terme imaginaire entre crochets est

très inférieur à 1. On peut ainsi utiliser la propriété bien connue du binôme

de Newton : 1 x 1/2 ≈ 1 12 x . Alors :


jβ ≈ jω μoε' 1 ωc/ω 2 1 j ε" /ε'2 1 ωc/ω 2

jβ ≈ ω ε"/ε' μoε'

2 1 ωc/ω 2 + jω μoε' 1 ωc/ω 2 αd + jβ' (5.4.19)

Or, on sait que le facteur de perte d’un diélectrique est tg δp ε"/ε' où δp

est l’angle de perte. On sait aussi que v o 1/ μoε' . On obtient le coefficientd’atténuation αd dans le mode TM en fonction de la fréquence f = 2πω :

αd π f tg δp

v o 1 fc/f 2

2πfε" η

2 1 fc/f 2 (5.4.20)

La constante de phase β’ dans le mode TM est ainsi :

β' ωv o

1 ωc/ω 2 ωv p

(5.4.21)

Le coefficient d’atténuation associé aux pertes dans les conducteurs estdéfini de la même façon que pour le mode TEM vu plus haut :

αm ΔPum2P

(5.4.22)

où ΔPum est donné par la même expression que dans le mode TEM :

ΔPum 2Psa aRsHxo2 , (5.4.23)

où Hxo est la valeur du champ magnétique en surface (module). D’après

5.4.9 :

Hxo Hx(0) ωε'2

h Eon

d’où :

ΔPum aRsω2ε'2

h 2 Eon

2 (5.4.24)


134 Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriquesMais la puissance P est différente, vu que la composante Ey dépend de y.

Calculons cette puissance dans le mode TM, c’est-à-dire la puissancetransmise à travers la surface ab (voir la figure 5.3.4). Il faut connaîtrel’intensité I, c’est-à-dire le module S du vecteur de Poynting moyen :

S = S = 12

Ré E∧H* = 12 Ré Eyy∧xHx

* = 12

Ré –EyHx*z = 1

2 Ré –EyHx

* (5.4.25)

Après substitution des expressions de Ey et Hx en remplaçant β par β ’:

S 12 β'ωε' Eon

2

h 2 cos2hy (5.4.26)

La puissance dP transmise à travers une bande de largeur a et hauteur dyétant S a dy (figure 5.3.1),

P S a dy0

b

a S dy0

b

12 aβ'ωε' Eon

2

h 2 cos2hy dy

0

b

P 12

aβ'ωε' Eon

2

h 2 1h

hy2

+ sin 2hy

2h 0

b

D’où :

P 14 abβ'ωε' Eon

2

h 2

À partir de la définition du coefficient d’atténuation lié au conducteur (5.4.22et 5.4.23), de l’expression de la résistance de surface Rs et des expressions

précédantes, on obtient :

αm 2ε' v o

b fc/f 1 fc/f 2

πfcμm

σm (5.4.27a)

ou encore :

αm 2 f/fc

3 πfcμm/σm

bη f/fc2 1

(5.4.27b)



où σ m, μm et η sont respectivement la conductivité, la perméabilité

magnétique des conducteurs et l’impédance d’onde du diélectrique.

5.5 MODE TE

Expression du champDans le mode TE la composante Ez est nulle. Dans ce cas, la dérivation des

composantes du champ se fait de façon semblable à celle du mode TM, maisen résolvant l’équation 5.1.6 b pour Hz. La composante tangentielle Ex doit

s’annuler sur les plans conducteurs. On déduit les expressions suivantesdes composantes du champ électromagnétique :

Hz(y,z) Hon cos n πy

b e-jβz

(5.5.1)

En z = 0, d’après (5.1.8) :

Hy(y) jβh

Hon sin n πy

b

(5.5.2)

Ex(y) jωμo

h Hon sin

n πyb

(5.5.3)

La constante de propagation β est la même que dans le mode TM et

h n πb

. La vitesse de phase a donc la même expression. Comme

précédemment, la fréquence de coupure est celle où β = 0. On pourraitdémontrer que cette fréquence a la même expression dans les modes TM etTE (Équation 5.4.12). La figure 5.5.1 montre le champ électromagnétique àun instant donné entre les plans dans le mode TE1 (n = 1).


Lignes de champ électrique E

Lignes de champ magnétique Hβz0 π−π

y

bvp

Figure 5.5.1 Champ électromagnétique entre deux plans conducteurs dans le mode TE1

Coefficient d’atténuation en mode TENous avons signalé plus haut que la constante de phase en mode TE est lamême qu’en mode TM. Cela entraîne que le coefficient d’atténuation lié audiélectrique αd est aussi le même (Équation 5.4.20).

On trouve le coefficient αm de la même façon qu’en mode TM en utilisant les

expressions appropriées des composantes du champ électromagnétique. Ondémontre ainsi que :

S 12 ωβ'μo Hon

2

h 2 sin 2 nπy/b

On en tire la puissance sur la section ab :

P 14

abωβ'μo Hon

2

h 2

La perte dans les deux plans conducteurs par unité de longueur a la même

expression que plus haut : ΔPcu 2Ps a a RsHon2

Alors :

αcTE ΔPcu2P

2Rsh2

bωβ'μo

Finalement, dans le mode TE1 (n = 1), en introduisant l’impédance d’onde

η μo/ ε' , puis h = π/b, avec β' (ω/v o) 1 fc/f 2 , on obtient :


αm 2 f/fc

πfcμmσm

bη f/fc2 1

(5.5.4)

Exemple 5.5.1 Coefficients d’atténuation

Considérons deux plans conducteurs en cuivre (σm = 5,75 · 107 S m 1)espacés de b = 5 cm qui se trouvent dans l’air sec. Alors, ε’ ≈ εο, vo ≈ c ≈

3 · 108 m/s et η ≈ 377 ohms. Les pertes diélectriques étant négligeables :αd ≈ 0. Dans les modes TM1 et TE1, la fréquence de coupure est donnée par

fc = ωc2π

= nvo2b

= 1 × 3·10

8

2 × 0,05 = 3·10

9 Hz

En mode TM1d’après l’expression (5.4.27b) :

αmTM = 1,523 ·10 3 f/fc

3

f/fc2 1

1/2

1,523 ·10 3 g1 f Np/m

Et, en mode TE1 :

αmTE = 1,523 ·10 3 f/fc

f/fc2 1

1/2 1,523 ·10 3 g2 f Np/m

La figure 5.5.2 montre ces fonctions. On observe que les pertes dans le modeTE sont toujours inférieures à celles dans le mode TM et qu'elles diminuentavec la fréquence. Il s'ensuite qu'il est préférable d'utiliser le mode TE dansla pratique si la distance à parcourir est importante.


1

2

3

4

00 1 2 3 4 5 6 7 8

f / fc

g2(f) modeTE

g1(f) modeTM

g(f)

Figure 5.5.2 Variation de l’atténuation dans les modes TM1 et TE1

Ondes planes composantesLe champ électromagnétique entre deux plans conducteurs parallèles enmode TE peut être reproduit par la superposition de deux ondes planespolarisées selon 0x qui se propagent obliquement par rapport à l’axe 0z, à lavitesse en champ libre vo qui est égale à 1/ εμ : on les appellera ondes

composantes. La figure 5.5.3 montre deux groupes de surfaces d’onde 1 et 2polarisées selon l’axe 0x qui se propagent dans des directions faisant unangle Ω de part et d’autre de l’axe 0z. Les droites marquées «Max»représentent des surfaces d’onde où le champ est maximal (sortant du plande la figure) ; celles marquées «Min» indiquent des surfaces d’onde où lechamp est inversé par rapport aux précédentes. On voit qu’en tout point desplans AA’ et BB’ parallèles à l’axe 0z le champ résultant est nul. Par contre,le champ est maximal (sortant ou entrant) le long de l’axe 0z. Donc, si onplace des plans conducteurs (supposés parfaits) en AA’ et BB’,perpendiculairement à la figure, le champ E ne doit pas être affecté, vu quela composante tangente aux plans est nécessairement nulle. On peut direque les réflexions multiples de l’onde 1 donnent l’onde 2 et vice versa.L’interférence de ces deux ondes produit un champ électromagnétique enmode TE. La figure 5.5.3 montre le phénomène dans le mode TE1 (un seul

maximum entre les plans). On peut faire un raisonnement semblable pourreprésenter un mode TM au moyen de la superposition de deux ondesplanes.


A A'

B B'

vo

Ω

z

E

E

y

1

2

1

2

Max

.

Max

.

Max.

Max.

Min.

Min.

Min

.

Min

.

vo

vo

Figure 5.5.3 Interférence de deux ondes planes obliques donnant un champ nul le long des plans AA’ et

BB’ et maximal le long de l’axe z

Pour un guide d’onde donné, nous savons déjà qu’il existe une fréquencecritique fc sous laquelle la propagation est impossible. À cette fréquence

correspond une longueur d’onde maximale des ondes composantes enchamp libre qu’on appelle longueur d’onde critique λoc. Elle est reliée à lafréquence de coupure et à la vitesse en champ libre vo par la relation :

λoc = v ofc

(5.5.5)

Il existe une relation simple entre la séparation b des plans conducteurs, lenuméro n du mode, l’inclinaison Ω des rayons et la longueur d’onde λo des

composantes. Considérons la figure 5.5.4 où le champ électrique résultantest partout nul sur les surfaces conductrices, en particulier aux points 0 etM. Un point quelconque est repéré par le vecteur r y y + z z . On voit que

les vecteurs d’onde s’expriment comme suit:

ki yk sin Ω + zk cos Ω (5.5.6a)

kr yk sin Ω + zk cos Ω (5.5.6b)


A A'

B B'

vo

Ω

z

1

2E

Conducteur

Conducteur

vo

G

b

E

Min

.

Max

.

Max

.

Max.

Min.

Min.

Figure 5.5.4 Production du mode TE1 par réflexion d’ondes planes entre deux plans conducteurs

Vu que |ki| = |kr| = k = 2π /λ. On a vu précédemment que les champs

incident et réfléchi par une surface conductrice parfaite sont décrits en toutpoint par :

Ei x Eo exp ( j ki⋅ r) Er x Eo exp ( j kr⋅ r) (5.5.7)

Où :

ki·r ky sin Ω + kz cos Ω kr·r ky sin Ω + kz cos Ω

Le champ résultant E = Ei + Er est clairement nul pour r = 0. Son expression

dans le plan z = 0 est la suivante :

Ω z

θi

yy = b

0

θ = θ = θir

ErE i krki

M

rΣ Σ'

Figure 5.5.5

E(y) Eo exp [ j( ky sin Ω)] + Eo exp ( j ky sin Ω)



D’où :

E(y) 2j Eo sin (ky sin Ω) (5.5.8)

Le champ s’annule en y = b dans le plan z = 0 quand la condition suivanteest satisfaite :

kb sin Ω n π (n 1, 2, 3, ... ) (5.5.9)

Alors, k sin Ω = nπ/b. En portant cette dernière dans l’expression du champ(5.5.8) :

E(y) Ex(y) 2j Eo sin nπy

b (5.5.10)

C’est précisément la forme du champ électrique dans le mode TE que nousavons vu plus haut (Équation 5.5.3). On prouve ainsi que le mode TE peutêtre considéré comme le résultat de la superposition de deux ondes planesdans une direction particulière Ω. Vu que k = 2π/λο et λο = vo/f, on obtient :

sin Ω n λo2b

= n v o2bf

fcf

(5.5.11)

Rappelons que λο est la longueur d'onde en champ libre. On voit

immédiatement que la longueur d’onde maximale possible dans le premiermode (n = 1), la longueur d’onde de coupure, est λoc = 2b, ce qui correspond

à Ω = 90˚ : les ondes composantes se propagent alors perpendiculairementaux plans et il n’y a pas de propagation suivant 0z. Dans le mode n = 2,λo = λoc = 2b/2 = b, etc. pour les modes supérieurs. On peut démontrer la

même relation dans le mode TM. En général, pour les modes TE ou TM :

λoc 2bn (5.5.12)

La figure 5.5.6 montre comment on pourrait produire un mode TE entredeux plans conducteurs parallèles à partir d’une onde plane : la propagationentre les plans est possible seulement si l’angle Ω satisfait la condition(5.5.11).


Plans conducteurs parallèles

Ω

Onde planeUne façon de produirele mode TE.

zE

Σ

Figure 5.5.6 Production d’un des modes TE au moyen d’ondes planes

Exemple 5.5.2

Considérons les plans conducteurs de l’exemple 5.3.1 espacés de 5 cm dansl’air. D’après l’équation précédente (5.5.12), la longueur d’onde de coupuredu premier mode transverse électrique (TE1) est :

λoc = 2 × 5

1 = 10 cm

La fréquence de coupure est donc :

fc = 3⋅ 10

8 m/s

0,1 m = 3⋅ 10

9 Hz = 3 GHz

Cette fréquence est bien la même que celle calculée dans l’exemple 5.3.1. Sila fréquence est de 5 GHz, l’inclinaison Ω des ondes composantes dans lemode 1 sera alors :

Ω = arcsin n λo2b

= arcsin n vo2fb

= arcsin 1 × 3⋅ 108

2 × 5⋅ 109× 0,05 = arcsin 0,6

Ω = 36,87˚

À cette fréquence, les modes supérieurs à 1 sont interdits.



5.6 Types de vitesse

Relation géométriqueNous avons vu que la vitesse de phase vp est la vitesse avec laquelle se

propage le champ électromagnétique dans le guide d’onde dans les modes TEou TM (Figures 5.4.1, 5.4.2, 5.4.3). Cette vitesse est toujours supérieure à lavitesse vo des ondes planes composantes en champ libre. La figure 5.6.1

montre la relation qui existe entre ces deux vitesses. Considérons la surfaced’onde composante Σ qui se propagage à la vitesse vo dans la direction

faisant un angle Ω avec la surface conductrice AA’. Dans l’intervalle Δt, lepoint F de Σ passe en G’, et le point de contact G se déplace en G’. Il existedonc la relation suivante entre la vitesse de phase et la vitesse en champlibre :

cos Ω v ov p

(5.6.1)

A A'

F

vo

vp

Ω

G G'

zvg

ΣΩ

Figure 5.6.1 Relation entre vp, vo et vg

Il est alors évident que vp tend vers l’infini quand l’angle Ω tend vers 90˚.

Cette vitesse a un sens purement géométrique. Il en est de même pour unevague Σ qui s’abat sur un rivage AA’ : la vitesse du point de contact Gdevient très grande quand l’incidence est voisine de 90˚, tandis que la vitessevo de la vague est relativement faible.



D’autre part, la vitesse de propagation vg de l’énergie électromagnétique dans

le guide d’onde est inférieure ou égale à vo. C’est la vitesse de groupe égale àla projection de vo sur la direction de propagation qui s’annule à fc :

v g v o cos Ω (5.6.2)

De ces deux dernières, on tire l’importante relation :

v p v g v o2 (5.6.3)

Vitesse de groupe : Expression généraleNous allons démontrer que la vitesse de groupe d’une onde peut s’exprimerd’une façon générale par la relation suivante entre la constante de phase etla pulsation :

v g 1dβ/dω

(5.6.4)

On peut dire que la notion de vitesse de groupe intervient dès que la vitessed’une onde dans un milieu dépend de sa fréquence : un milieu dispersif.Dans ce cas, si une onde est formée de plusieurs composantes de fréquencesdifférentes, ces composantes se propagent à des vitesses plus ou moinsdifférentes, de sorte que l’onde résultante se déforme.

Considérons deux ondes de même amplitude Eo avec des pulsations ω1 = ωo– Δω et ω2 = ωo + Δω, et des constantes de phase β1 = βo – Δβ et β2 = βo + Δβ.

Elles sont superposées et se propagent dans la même direction 0Z. Lesvitesses de phase de chacune sont vp1 = vpo – Δvp et vp2 = vpo + Δvp.

Alors les valeurs moyennes sont : ωo = (ω1 + ω2)/2 , βo = (β1 + β2)/2

vpo = (vp1 + vp2)/2 et Δω = (ω2 – ω1)/2

Le champ résultant est, sous forme complexe :

E(z,t) Eo exp j ωo – Δω t – βo – Δβ z + Eo exp j ωo + Δω t – βo + Δβ z



En développant et regroupant, on obtient:

E(z,t) 2Eo exp ωot βoz exp j Δω t Δβ z + exp +j Δω t Δβ z

2

Donc : E(z,t) 2Eo cos Δω t Δβ z exp ωot βoz

Le champ réel est ainsi:

E(z,t) 2Eo cos Δω t Δβ z cos ωot βoz (5.6.5)

On voit que c’est une onde d’amplitude 2Eo cos Δω t Δβ z et pulsation ωo

qui se propage avec une vitesse de phase :

v po ωo

βo

(5.6.6)

On constate que l’amplitude est aussi de la forme d’une onde, mais depulsation Δω et constante de phase Δβ. Sa vitesse de propagation est définie

comme la vitesse de groupe :

v g ΔωΔβ

1Δβ/Δω

(5.6.7)

En faisant tendre Δω vers zéro, on a finalement :

v g 1dβ/dω

2πdβ/df

(5.6.8)

vu que dω 2π df . Sachant que β ω/v p de façon générale, on obtient

aussi :

dβdω

d ω/v p

dω 1

v p ω

v p2 dv p

dω

En portant dans (5.6.7), on obtient une autre relation utile :

v g v p

1 ω/v p dv p

dω

v p

1 f/v p dv p

df (5.6.9)



On voit ainsi que si la vitesse de phase augmente avec la fréquence (dvp/df >

0), la vitesse de groupe est alors supérieure à la vitesse de phase, etinversement.

Exemple 5.6.1 Vitesse de phase et vitesse de groupe

Considérons le guide d'onde de l'exemple 5.5.2 où la séparation des plansconducteurs dans l'air est de 5 cm, ce qui donne une fréquence de coupuredu premier mode de 3 GHz. Trouvons l'expression de la vitesse de groupedans ce guide (modes TM ou TE) au moyen de l'expression 5.6.9. On sait quela vitesse de phase est donnée par la relation 5.4.14 :

vp = vo

1 – fc/f2

Sa dérivée est :dvp

df =

–vofc2/f

3

1 – fc/f2 3/2

Puis, fvp

dvp

df =

– fc/f2

1 – fc/f2

On en tire finalement : vg = vo 1 – fc/f2

Ainsi, à 6 GHz, la vitesse de phase est vp = 1,1547 vo ≈ 3,464 ⋅ 108 m/s. La

vitesse de groupe est vg = 0,8660 vo ≈ 2,498 ⋅ 108 m/s

Supposons maintenant qu'il se propage dans le guide deux ondesd'amplitude réelle Eo dans le mode TE dont les fréquences sont de 5,9 GHz

et 6,1 GHz. Déterminons l'aspect du champ électrique résultant au centre duguide (Figure 5.5.1) en fonction de z à deux instants consécutifs. On sait quel'intensité du champ est maximale au centre du guide (y = b/2).

En z = 0, d'après (5.5.3) : Ex 0 = jωμoHo1

h = Eo

L'amplitude complexe des ondes 1 et 2 en fonction de z est donc :

Ex1 0, z = Eo e jβ1z et Ex2 0, z = Eo e jβ2z



Comme on l'a vu plus haut, l'onde résultante sous forme complexe est alors :

Exr 0, z = 2Eo cos Δωt – Δβz ej ωot βoz

Puis, sous forme réelle :

Exr 0, z = 2Eo cos Δωt – Δβz cos ωot – βoz

La fréquence moyenne fo est donc de 6 GHz, Δf = 0,1 GHz,

Δω 2π Δ f = 6,283· 108 rd/s, βo ωo/vpo 108,8 rd/m,

Δβ ≈ Δω/vg ≈ 2,515 rd/m

La figure 5.6.2 montre l'intensité du champ électrique au centre du guide(y = b/2) en fonction de z à deux instants consécutifs espacés d'une demi-période. Le déplacement du point A et de l'enveloppe se fait à la vitesse degroupe, tandis que celui du champ dans l'enveloppe (point B) se fait à la

vitesse de phase. On peut voir que le déplacement Δz2 de B est supérieur à

Δz1, celui de A. On calcule une longueur d'onde moyenne dans le guide de5,773 cm.

0

0 02 0,4 06 08 1 1,2 14

t = 0

t = 0,0833 ns

A'

A

0

2Eo

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4z [mètres]

2Eo

2Eo

2Eo

B'

B

Δz1

Δz2

Figure 5.6.2 Intensité du champ E au centre du guide à deux instants successifs



EXERCICES5.1 Propagation entre des lames parallèles

Considérez un ensemble de grandes feuilles de cuivre minces tenduesparallèlement l'une à l'autre dans le plan y-0-z, avec une séparationa = 50 cm. Au moyen d'une antenne très éloignée sur l'axe 0z àgauche, vous produisez dans l'air une onde électromagnétique quasiplane à l’entrée de l’ensemble, avec la polarisation indiquée dont lafréquence est de 100 MHz.

a) Discutez de la pénétration et de la propagation du champélectromagnétique entre les lames dans ces conditions.

b) Que se passe-t-il si vous augmentez progressivement la fréquencede l'onde jusqu'à quelques centaines de MHz ?

c) Que se passe-t-il si, à 100 MHz, vous changez la polarisation de 0yen 0x ?

z

yE

x

v

Lames conductrices

0

5.2 Communication dans un édifice

h z

La figure ci-dessus représente un grand hangar d’avions de quelquescentaines de mètres de profondeur dont le plafond et le plancherpeuvent être considérés comme d’assez bons conducteurs électriques.La hauteur h du plafond est de 6 mètres. Vous désirez utiliser unsystème de communication dans la direction z utilisant unepolarisation parallèle au plancher.



a) Déterminez la fréquence de transmission minimale fmin qui sera

utilisée si elle doit être le double de la fréquence de coupure.

Rép. : 25 MHz

b) Comment s’appelle alors le mode de propagation, loin de l’émetteurdans le plan de la figure ?

c) Si vous choisissez une polarisation perpendiculaire au plancher, ya-t-il une limite inférieure à la fréquence que vous pouvez utiliser ?


6666Lignes électriques

6.1 GénéralitésLes lignes électriques servent essentiellement à transmettre de l’énergieélectrique d’une source à un récepteur. Cette énergie peut être très faibledans certains systèmes électroniques comme les ordinateurs, ouextrêmement grande dans les réseaux de distribution électrique. De même,la fréquence peut être nulle dans le cas des lignes à courant continu, ou trèsélevée dans les systèmes micro-ondes ou les systèmes de télévision parcâble.

Si les fibres optiques doivent graduellement remplacer les liaisons detélécommunication locales, interurbaines et transcontinentales par lignesélectriques, ces dernières doivent continuer de servir dans divers domaines,particulièrement ceux des circuits électroniques, des communicationslocales et de la transmission de l’énergie électrique.

Une solide connaissance de la théorie des lignes électriques est, et restera,d’une grande importance pour l’ingénieur électricien. Le texte qui suit vise àdonner au futur ingénieur une connaissance assez complète et rigoureuse decette théorie qui lui permettra de résoudre la plupart des problèmes qui seposent en pratique. Il doit permettre de répondre à de nombreuses questionsqui se posent dans le domaine. Voici quelques-unes de ces questions :

* Comment les caractéristiques d’une ligne sont-elles reliées à sesparamètres physiques : dimensions, résistance, capacité, inductance,etc. ?

* Comment varient la vitesse de propagation et le coefficient d’atténuationd’un signal sur une ligne avec la fréquence ?

* Comment s’expriment la tension et le courant électriques sur une ligne etquelle relation y a-t-il entre eux ?

* Qu’est-ce que l’impédance caractéristique d’une ligne électrique ?

* Comment varie l’impédance d’entrée d’une ligne en fonction de sescaractéristiques et de l’impédance de la charge ?



* Comment réaliser le transfert du maximum d’énergie d’une source à unrécepteur ?

* Quelles sont les causes de la perte d’énergie sur une ligne électrique ?

* Pourquoi l’atténuation du signal transmis par une ligne augmente-t-ellerapidement avec la fréquence ? Comment trouver la loi de variation decette atténuation ?

* Quelle est la relation générale entre la tension d’entrée et la tension desortie d’une ligne en fonction des paramètres de la ligne, ainsi que desimpédances de source et de récepteur ?

* Comment adapter le mieux possible une source à un récepteur au moyend’une ligne électrique ?

* Comment choisir la ligne optimale pour un usage donné ?

* Etc.

Lignes électriques : Quelques dates…1729 Découverte par Stephen Gray en Grande-Bretagne de la transmission

du “fluide électrique” le long d’un fil.

1730 Découverte par Charles DuFay en France de l’existence de deuxsortes d’électricité (résineuse et vitreuse) et de la distinction entreconducteurs et isolants. Plus tard, Benjamin Franklin (États-Unis)parlera d’électricité positive et négative.

1753 Premières propositions de systèmes de communication électriques(France et Suisse).

1800 - 1830 Invention de la pile électrique par Volta ; travaux d’Oersted,Ampère, Laplace, Gauss etc.

1839 Premier télégraphe électrique commercial par Wheatstone (Grande-Bretagne) ; invention parallèle par Morse en 1844 (États-Unis).

1841 Invention de la bobine d’induction, ancêtre du transformateur, parBréguet et Masson (France) ; perfectionnements par Ruhmkorff(Allemagne).



1851 Premier câble télégraphique sous-marin entre la France etl’Angleterre ; travaux théoriques de William Thomson (Lord Kelvin)sur la propagation.

1857 Première tentative de pose d’un câble transatlantique : il se brisa.

1858 Premier câble transatlantique mis en fonction entre l’Irlande et Terre-Neuve (3 700 km); fonctionna pendant quatre semaines; quatre centsmessages envoyés avant la panne.

1865 Nouvelle tentative infructueuse de dérouler un câble entre l’Irlande etTerre-Neuve; il était enroulé dans les cales d’un seul navire, le GreatEastern. La masse du câble était de 5 000 tonnes.

Publication de la théorie électromagnétique de J.C. Maxwell (Écosse).

1866 Réussite de la pose d’un nouveau câble transatlantique quifonctionna pendant plusieurs années entre l’Europe et l’Amérique duNord.

1870 Invention de la dynamo, la première génératrice de courant, parZénobe Gramme (Belgique).

1876 Invention du téléphone par Alexander Graham Bell (États-Unis),précédée des travaux du Français Bourseul.

1877 Premiers tramways électriques mis en fonction.

1880 Publication d’une théorie des lignes électriques par Oliver Heaviside(Grande-Bretagne).

1882 Premiers brevets de transformateurs appliqués à l’éclairage parGaulard, Zipernowsky, Dhéry et Blathy (France).

1882 Réalisations de Marcel Deprez en transmission du courant continu àdistance sous haute tension, 6 000 volts (France).

1888 Découverte des ondes électromagnétiques par Heinrich Hertz(Allemagne).

1890 Première communication par ondes hertziennes par Édouard Branlyaprès son invention du cohéreur (France).

1891 Premier transport d’énergie électrique en courant triphasé sur unedistance de 175 km, réalisé par Nicolas Tesla, ingénieur d’originecroate (États-Unis). Travaux de Steinmetz sur le même sujet.



1895 Première transmission d’un message en code morse au moyend’ondes électromagnétiques par Aleksander Popov (Russie) : latélégraphie sans fil (TSF).

1899 Première communication par ondes électromagnétiques entre laFrance et l’Angleterre par Guglielmo Marconi (Italie).

1907 Invention de la triode à vide par Lee DeForest (États-Unis).

1911 Brève liaison téléphonique à grande distance entre New-York etDenver (3200 km) sans amplificateur : conclusions pessimistes.

1912 Réalisation du premier amplificateur par DeForest.

1915 Première liaison téléphonique intercontinentale entre l’Amérique etl’Europe.

1919 Première transmission de conversations simultanées sur une seulepaire de fils par translation de fréquence (multiplexage).

1920 Débuts de la radiodiffusion ; fréquences d’environ 1 MHz.

1925 Premiers systèmes de télévision imaginés ; radiodiffusiontranscontinentale et intercontinentale sur ondes courtes.

1940 Premières utilisations des micro-ondes ou hyperfréquences : radar,communication.

1948 Invention du transistor par Bardeen, Shockley et Brattain (É.U.A.).

1950 Premiers réseaux de télévision et de télécommunications utilisant leshyperfréquences.

1960 Communications par satellites et faisceaux laser ; développement descircuits intégrés et des micro-ordinateurs, etc.

1980 Essor des communications par fibre optique et de l’optique intégrée.

1988 décembre : Mise en service du nouveau câble optique transatlantiqueTAT-8, une coopération de AT & T, British Telecom et France Télécom.Longueur : 6 750 km ; 4 fibres actives, 2 de réserve ; 109 répétitricesespacées de 70 km ; téléphonie (40 000 conversation simultanées),données, vidéo.

1991 octobre : Mise en service d’un câble optique de 175 km sansrépétitrice dans le détroit de Cabot; le plus long de ce type au monde.

1999 L’utilisation des câbles optiques est en progression fulgurante.



Dans ce chapitre, nous ferons l’étude des lignes électriques à partir du

concept de paramètres répartis et des méthodes des circuits électriques.Cette étude sera relativement approfondie ce qui permettra de considérer desapplications variées dans divers domaines. Nous aurons l'occasion de mettre

en évidence certains phénomènes inattendus propres à la propagation desondes sur une ligne.

Définitions

Une ligne électrique est un dispositif généralement formé d'au moins deuxconducteurs parallèles destiné à transmettre ou à guider l'énergie

électromagnétique d'un point à un autre. Les lignes électriques servent dansdeux domaines essentiellement, couvrant des gammes de fréquences et depuissances très étendues (voir le tableau 6.1.1) :

• La transmission d'énergie électrique pour l’éclairage et l’alimentation desmachines et autres dispositifs en général.

• La transmission d'information sous forme de signaux électriques de

faible puissance, basse tension à des fréquences couvrant un largespectre, dans le domaine des communicationsde l’électronique, etc.

Comme les lignes électriques continuent de jouer un rôle capital dansl’électrotechnique et l’électronique modernes, il importe d’en développer une

théorie rigoureuse et pratique. La figure 6.1.0 est la représentation généraled'une ligne et de sa fonction, qui est de relier une source d'énergie électriqueà un récepteur. Or, la forme du signal transmis au récepteur et sa puissance

dépendent de plusieurs facteurs dont la fréquence, les paramètres physiquesde la ligne et l’impédance du récepteur. Dans ce qui suit, nous verrons



comment interviennent ces facteurs et nous développerons un ensemble derelations permettant de résoudre divers problèmes pratiques d’une façonexacte. On comprendra finalement pourquoi les fibres optiques sont appeléesà remplacer les lignes électriques dans plusieurs applications en démontrantla cause de l’atténuation relativement élevée de la puissance transportée parles lignes.

Source RécepteurÉnergie

LIGNE

Figure 6.1.1

Représentation d'une ligne électrique transportant de l'énergie d'une source à un récepteur

Tableau 6.1.1 Domaines d’utilisation des lignes électriques

Transmission et distributiond'énergie

Puissance : du kilowatt au gigawatt

Tension : du volt au mégavolt

Fréquence : 50 ou 60 Hz généralement

Transmission d'informationTéléphonie

Distribution vidéo, etc.

Puissance : du microwatt au watt

Tension : quelques volts

Fréquence : du hertz au gigahertz

Types de lignesLes lignes sont le plus souvent formées de conducteurs parallèles ayantdiverses formes. La figure 6.1.1 en montre quatre formes courantes :



a) La ligne bifilaire formée de deux fils parallèles, avec ou sansdiélectrique solide autour. Une variante est la ligne bifilaire tortillée, trèsutilisée comme ligne téléphonique.

b) La ligne coaxial formée d'un conducteur central concentrique à undeuxième, l'espace intermédiaire étant généralement rempli d'undiélectrique solide. Le conducteur extérieur souvent appelé blindageconstitue un écran pour le conducteur intérieur: les signaux transmissont relativement à l’abri des champs électromagnétiques extérieurs(voir aussi la figure 6.1.2).

c) La microruban constituée de deux bandes conductrices appliquées surune plaquette isolante. Elle sert dans les circuits à très haute fréquence.

d) La ligne triphasée à trois conducteurs pour la transmission à hautetension.

II

21

I

I1 2

(a) (b)

I

I

P1

2(c)

(d)

I I

1 2

3 I

Figure 6.1.2 a) Ligne bifilaire b) Ligne coaxialec) Microruban d) Ligne triphasée

a) b) c)

Figure 6.1.3 Câbles divers



a) Coaxial pour la transmission de grande puissance sous terre à 50 ou60 Hz (document Alcatel).

b) Coaxiaux pour les signaux de haute fréquence et puissances modérées(document Alpha).

c) Paire de fils avec écran (paire de fils blindée) (document Belden).

La propagation guidéeLes lignes électriques servent essentiellement de support ou de guide pourl’énergie électromagnétique qui se propage sous forme d’ondes.

Par exemple, deux plans conducteurs parallèles espacés de d constituentune ligne électrique. La figure 6.1.4(a) représente une portion de tels plansdont les bords MM' et NN' sont reliés à des sources de même tension variableV en parallèle, dont une seule est montrée : les lignes MM' et NN' sont ainsides équipotentielles. Des courants de densité surfaciques K vont circuler surla surface interne des plans, tel qu'indiqué. Or, comme les perturbationsélectriques se propagent à vitesse finie, une onde de courant doit donc sepropager dans le sens positif de z, accompagnée d'une onde de tensionélectrique entre les plans. Une onde électromagnétique se propage dansl'espace entre les plans, comme le montre la figure 6.1.4(b). Loin des bords,cette onde doit être une onde électromagnétique plane transversale telle queH = K, et E = V/d = σ/ε, où σ est la densité surfacique de chargesélectriques, avec ε la permittivité du milieu.


E

V

1

2

K

K(b)

H

z

K

KV

1

2

M

M'N

N'(a)

Figure 6.1.4

a) Ligne électrique en forme de plans parallèles avec source de tension entre les bords MM' et NN'.

b) Champ électromagnétique E-H entre les plans. Relation avec la différence de potentiel V et la densité

surfacique de courant K sur les faces internes des plans.

H

E– +

E

H

H

E

EI

E

I

(a) (b)H

E

(c)

E EH

Figure 6.1.5

a) Champ électromagnétique autour d'une ligne bifilaire.

b) Champ électromagnétique d'une ligne coaxiale.

c) Champ électrique d’une ligne microruban : symétrique et asymétrique.



Il s’agit d’une propagation électromagnétique guidée par les plansconducteurs. Dans le cas d'une ligne bifilaire, le champ guidé est représentéà la figure 6.1.5(a), et dans celui d'une ligne coaxiale à la figure 6.1.5(b).Cette approche permet d’arriver aux équations de propagation de la tensionet du courant, à partir de celles du champ électrique et du champmagnétique, comme nous l’avons fait précédemment. Mais, il est plus simpleet efficace de faire plutôt appel à la théorie des réseaux électriques à cettefin, comme nous le ferons plus loin.

6.2 Bases du modèle

HypothèsesL'analyse des lignes électriques peut se faire en appliquant les lois desréseaux électriques, en admettant les hypothèses ou postulats suivants :

1. Les lignes sont homogènes. Une ligne homogèneest constituée d'aumoins deux conducteurs parallèles dont les paramètresgéométriques etphysiques sont constants le long de la ligne : dimensions constantes,milieu homogène autour, etc.

2. Les courants circulent dans la direction de la ligne : on n'admet pas decourants dans le plan d'une section droite, tel que le plan P de lafigure 1. Une telle section est donc équipotentielle.

3. À l'intersection d'une ligne par un plan transversal, la somme algébriquedes courants instantanés dans les conducteurs est nulle (Figure 6.2.1) :

ij∑j = 1

N

= 0

4. La séparation des conducteurs et leurs dimensions sont faibles parrapport à la longueur d'onde, ou par rapport à la distance parcourue parl’onde au cours d’une période caractéristique.



5. Le comportement d'une ligne estcomplètement décrit au moyen dequatre paramètres de réseauélectrique répartis et uniformes lelong de la ligne. Ces paramètresne dépendent que des dimen-sions, de la nature, desconducteurs, du milieu ambiantet de la fréquence.

1

Π

2

i2

i1

Figure 6.2.1

Paramètres répartis ou linéiquesLe comportement d’une ligne électrique conforme aux hypothèsesprécédentes est décrit au moyen des paramètres répartis ou linéiques. Voicileur définition :

Résistance linéique : C'est la résistance totale de la ligne par unité delongueur. Pour une ligne bifilaire c'est, en principe, la résistance mesurée àl'entrée d'une ligne de longueur unité quand l'autre extrémité est terminéepar un court-circuit parfait.

Symbole : R. Unité : l'ohm/mètre (Ω/m).

Inductance linéique : L'inductance linéique est l'inductance propre de laligne par unité de longueur. C’est, en principe, l’inductance mesurée àl’entrée d’une ligne court-circuitée à l’autre extrémité quand sa longueurtend vers zéro ou, d'une façon plus pratique, quand la fréquence du signalde mesure tend vers zéro.

Symbole : L. Unité : le henry/mètre (H/m).

Capacité linéique : La capacité électrique de la ligne par unité de longueur.

Symbole : C. Unité: le farad/mètre.

Conductance linéique : C'est la conductance entre les conducteurs, ouconductance transversale par unité de longueur. Elle résulte de l'imperfec-tion du diélectrique.

Symbole : G. Unité : le siemens/mètre (S/m).



On étudiera ces paramètres plus loin en fonction de la géométrie et de lafréquence.

Courant et tensionLe courant et la tension sur une ligne sont fonctions de la position que nousdésignerons par x et du temps t. Donc :

i = I (x,t) v = v (x,t)

En régime harmonique, on utilise les amplitudes complexes ou phaseurs I(x)et V(x).

Cela est représenté dans la figure 6.2.2 où l'origine 0 est à l'entrée de la lignede longueur a, du côté de la source ; la position est indiquée par x. Onutilisera aussi l'origine 0' placée au récepteur en repérant une positionpar h : On a donc h = a – x

Source Récepteur

i (x,t )

i

v (x,t )

0x

0'h

a

Figure 6.2.2 Notation utilisée

6.3 Équation et fonction d'onde

Équation d'ondeOn peut assimiler un élément de longueur dx d'une ligne à deuxconducteurs à un quadripôle constitué d'éléments dérivés des paramètreslocalisés comme dans la figure 6.3.1a, si les conducteurs sont identiques.C'est une représentation symétrique. On peut faire de même si lesconducteurs sont différents en ayant des éléments de valeurs différentes.Mais, la forme de la figure 6.3.1b est équivalente et simplifie la dérivationdes équations de propagation. Appliquons maintenant les lois des réseauxélectriques à l'élément (b). On voit que :



dv R i dx L ∂i∂t

dx (6.3.1)

et : di Gv dx C ∂v∂t

dx (6.3.2)

Le signe négatif des seconds membres vient de la convention adoptée : latension de sortie (à droite) est v + dv et non pas v - dv, etc.

Divisant les deux membres par dx, et considérant que la tension et lecourant sont fonctions de deux variables, v (x,t) et I (x,t), on obtient les deuxéquations suivantes :

∂v∂x

R i L ∂i∂t

(6.3.3)

∂i∂x

Gv C ∂v∂t

(6.3.4)

C'est un système de deux équations linéaires aux dérivées partielles dont lessolutions sont le courant et la tension sur la ligne en tous points et en touttemps. Utilisons une méthode de substitution pour les résoudre. Dérivonsles deux membres de la première par rapport à x :

∂2v∂x2

R ∂i∂x

L ∂∂t

∂i∂x

Portons maintenant (6.3.4) dans cette dernière et regroupons les termes :

∂2v∂x2

R G v + (RC + L G) ∂v∂t

+ LC ∂2v

∂t2

(6.3.5)

R dx /2

R dx /2

L dx /2

L dx /2

C dx G dxv

i

v + dv

i + di

(a) (b)

R dx L dx

C dx G dx

i

v

i + di

v + dv

Figure 6.3.1 Modèles d'une portion de ligne de longueur dx



De la même façon, on obtiendrait pour le courant :

∂2i∂x2

R G i + (RC + L G) ∂i∂t

+ LC ∂2i

∂t2 (6.3.6)

Ce sont deux équations différentielles linéaires du deuxième ordre auxdérivées partielles1. On les appelle équations d'onde. Leur forme étant lamême pour le courant et la tension, il s'ensuit que leurs solutions sontnécessairement de la même forme. Du point de vue physique, c'est logiquecar le courant est proportionnel à la tension sur la ligne. Dans le cas général,il y a une infinité de solutions possibles à ces équations. Nous allonsmaintenant examiner le cas particulier des lignes où l'on peut considérercomme négligeables la résistance et la conductance linéiques. On les appellelignes sans pertes.

Fonction d'ondeDans le cas d'une ligne où R et G seraient nuls, les pertes Joule le seraientégalement. Il s'ensuit qu'une onde doit se propager sur une telle ligne sanschangement d'amplitude. Précisons que de telles lignes n'existent pas enpratique, mais que dans plusieurs cas on peut négliger les pertes, ce quisimplifie passablement les solutions. Dans ce cas, l'équation (6.3.5) devient :

∂2v∂x2

LC ∂2v

∂t2

Posons :

LC 1u 2

(6.3.7)

Alors : ∂

2v

∂x2 1

u 2

∂2v

∂t2

(6.3.8)

Cette dernière est une équation d'onde qui décrit la propagation d'une ondede tension électrique le long de la ligne. Cette équation est de formeidentique à celle associée à une onde électromagnétique plane, comme vuprécédemment. Elle admet des solutions de la forme :

1 Cette équation est dite équation des télégraphistes pour des raisons historiques.



v (x,t) f(x ± ut) ou g(t ± x/u ) (6.3.9)

Une solution possible est la suivante :

v (x,t) f1(x ut) + f2(x + ut) (6.3.10a)

ou : v (x,t) g1(t x/u ) + g2(t + x/u ) (6.3.10b)

Cela se vérifie simplement par substitution. Chaque fonction du membre dedroite est individuellement une solution. Toute fonction de cette forme estune fonction d’onde, c’est-à-dire une fonction qui satisfait l’équation d’onde(6.3.8). Nous savons déjà que f1(x ut) ou g1(t x/u ) décrit une onde quise propage dans le sens positif de X, et f2(x + ut) et g2(t + x/u ) une onde

dans le sens négatif à la vitesse u. Vu que l’équation de propagation ducourant est de la même forme, la solution est nécessairement :

i(x,t) p1(x ut) + p2(x + ut) (6.3.11a)

i(x,t) q1(t x/u ) + q2(t + x/u ) (6.3.11b)

Sur une ligne sans perte, il peut donc se propager des ondes de tension et decourant électriques à une vitesse u qui ne dépend que des paramètreslinéiques L et C :

u 1LC

(6.3.12)

Ondes en échelonUn premier cas simple à étudier est celui des ondes produites par unesource de tension ou de courant en échelon raccordée à l’entrée d’une lignesemi-infinie sans perte. La situation n'est pas aussi simple sur une ligne derésistance et conductance linéiques finies. Supposons que la tensionélectrique appliquée à la ligne de la figure 6.3.2 soit un échelon de la forme :

v(t) = Vo U(t) volts (6.3.13)

Ce signal est représenté à la figure 6.3.3. À l’instant t = 0, une tension Vo



apparaît à l’entrée de la ligne et un front d’onde part sur la ligne avec unevitesse u. À l’instant particulier t, il a franchi une distance x1 = ut et la

tension Vo apparaît en ce point. Ceci est représenté à la figure 6.3.4 : la

tension est Vo de l’origine jusqu’à cette valeur particulière de x.

En x1, le même signal qu’à l’entrée apparaît donc avec un retard τ = x1/u, de

sorte que son expression s’écrit comme suit à partir de (6.3.13) :

v (x1,t) Vo U(t τ) Vo U(t x1/u ) volts

C’est ce que représente la figure 6.3.5. En un point d’abscisse quelconque x,à l’instant quelconque t, l’expression de la tension est donc :

v (x,t) Vo U(t x/u ) volts (6.3.14)

0v (t)

x1

+ ∞

t0

Vo

v(0,t)

Figure 6.3.2 Ligne semi-infinie Figure 6.3.3 Signal en échelon àl’entrée

Vo

0

v(x,τ)

x

u

x1

Vo

v(x1,t)

tτ0

Figure 6.3.4 Tension sur la ligne à l’instant τ. Figure 6.3.5 Tension en x1 en fonction de t

C’est effectivement la fonction d’onde qui est de la forme vue plus haut(premier terme de l’équation 6.3.10b). Il s’agit ici d’une onde qui se propagedans le sens positif de x, d’où le signe –. Le signe + est associé à une ondedans le sens négatif de x. En factorisant -1/u, on obtient la forme (6.3.10a) :

v (x,t) Vo U[ 1u (x ut)] volts (6.3.15)



On tire une importante conclusion en examinant l’expression (6.3.14) :

Dans le cas d’une ligne semi-infinie sans pertes, quand on connaîtl’expression f(t) de la tension appliquée à l’entrée, on obtient latension en tout point d’abcisse x et en tout temps t en remplaçant f(t)par f(t - x/u), où x/u = τ est le temps que met l’onde à franchir ladistance x à partir de l’entrée.

Exemple 6.3.1 Propagation d'une impulsion

On applique à l'entrée d'une ligne représentée dans la figure 6.3.2 unetension v(0, t) en forme d'impulsion comme celle de la figure 6.3.6a. Cettetension peut se représenter comme la somme de deux échelons montrésdans la figure 6.3.6b :

v(0, t) = v1(t) + v2(t) = V U(t) - V U(t - to)

Cette impulsion met un temps τ à parvenir au point d'abcisse x1 : x1 = uτ. La

figure 6.3.6c montre la tension en ce point. D'après ce que nous venons devoir, la fonction d'onde sur la ligne s'exprime comme suit :

v(x,t) = V U(t - x/u) – V U(t - x/u - to)

À l'instant t = 3to, elle est:

v(x,t) = V U(3to - x/u) – V U(2to - x/u)

La figure 6.3.7(a) montre ces fonctions et la figure 6.3.7(b) représente leursuperposition, c'est-à-dire la tension sur la ligne à cet instant. Noter que lafonction U(a) est nulle pour a < 0, où a est l'argument de la fonction.

V

0 to t

v(0,t)

0

V

-V

v(0,t)

v1(t)

t

(a)(b)

V

0 t

v(x1 ,t)

(c)τ = x1/u

to

v2(t)

to

Figure 6.3.6


v(x, 3t0)

V

-V

0

u

x

u

3ut0

2ut0

a) b)

v(x, 3t0)

V

0

u

x3ut0

ut0

Figure 6.3.7

Exemple 6.3.2 Fonction d'onde sinusoïdale

Considérons une ligne très longue (semi-infinie) supposée sans pertes, àl’entrée de laquelle est raccordée une source de tension décrite par :

vs(t) = 10 sin(108t) U(t) volts

où U(t) est la fonction échelon unité. À t = 0, une onde de tension sinusoïdalecommence donc à se propager sur la ligne avec une vitesse u qu’onsupposera égale à 2·108 m/s. L’onde partie à t = 0 de l’origine atteindra donc

un point d’abscisse x à l’instant x/u, sans se déformer car la ligne est sanspertes. Les vibrations qui atteignent x ont donc la même forme qu’à l’origine,mais avec un retard τ = x/u. La fonction d’onde s’écrit donc comme suit :

v+(x, t) = 10 sin 108(t - x/u) U(t - x/u) volts

avec u = 2 · 108 m/s. La figure ci-dessous montre la tension électrique sur laligne à l’instant t, alors que le front d’onde A a parcouru la distance ut àpartir de la source en 0.


X

λ

ut

0

u

A

V10

-10

Figure 6.3.8

La longueur d’onde λ = u/f = 2πu/ ω = 12,57 m. Sur la figure, la distance utest à peu près égale à 2,25 longueurs d’ondes, soit environ 28,3 mètres.Cette distance est franchie dans un temps t ≈ 141 nanosecondes.

Impulsions sur une ligne avec pertesNous verrons plus loin que l'affaiblissement ou l'atténuation d'une ondesinusoïdale qui se propage sur une ligne réelle augmente avec sa fréquence.Dans le cas de signaux impulsifs, c'est-à-dire à montée et à descenterapides, l'atténuation augmente avec la rapidité de variation.

Il s'ensuit que le traitement rigoureux de la propagation des impulsions surune ligne réelle est assez difficile. Mais, heureusement, une descriptionqualitative du phénomène suffit le plus souvent pour comprendre lesobservations. La figure 6.3.9(a) montre une impulsion rectangulaireappliquée à l’entrée d’une ligne, d’une durée to de quelques dizaines denanosecondes. Après un parcours x1 d'une centaine de mètres sur une ligne

coaxiale typique, l’impulsion s’est déformée comme on peut le voirapproximativement en (b)3.

V

0 t

(a) (b)

V

0 t

v(x1,t)

τ = x1/u

v(0, t)

toto

Figure 6.3.9 Déformation d’une impulsion sur une ligne réelle

3 Le logiciel “RÉFLEX” de Rémy Simard (UQTR, Génie électrique, 1993) permet de simuler très correctement la propagation

d'impulsions sur une ligne avec pertes.



6.4 Impédance caractéristiqueL'impédance caractéristique d'une ligne détermine essentiellement la relationentre la tension et le courant électriques qui se propagent sur la ligne. Nousallons ici trouver son expression pour une ligne sans perte.

Expression • Lignes sans perteSupposons que sur une ligne sans perte se propage une onde de tensiondans le sens positif de X. Nous la désignerons par :

v +(x,t) f1(x ut) (6.4.1)

Nous avons vu que l'équation de propagation du courant est de la mêmeforme que celle de la tension. Il s'ensuit que l'onde de courant correspondantà la précédente est nécessairement de la forme :

i+(x,t) g1(x ut) (6.4.2)

Nous cherchons une relation entre la tension et le courant. Nous avons vuplus haut les équations différentielles (6.3.3, 6.3.4) reliant les deux. Vu queR = 0, l'équation (6.3.3) se réduit à :

∂v +

∂x L

∂i+

∂t (6.4.3)

En posant w = (x - ut), on obtient :

∂v +

∂x df

dw ∂w∂x

dfdw

· 1 (6.4.4)

et : ∂i+

∂t

dg1

dw ∂w∂t

dg1

dw u (6.4.5)

Puis on porte le résultat dans (6.4.3) :

df1dw

· 1 L dg1

dw · ( u) Lu

dg1

dw (6.4.6)

d'où : df1 Lu dg1 (6.4.7)

En intégrant, on obtient f1 x,t Lu g1 x,t + constante

ou encore : v +(x,t) Lu i+(x,t) + constante (6.4.8)



La constante correspond à une tension constante partout sur la ligne, ce quiest possible en pratique. On peut donc arbitrairement annuler cetteconstante. On observe que Lu est une constante qui a les dimensions d'unerésistance. On convient d'appeler cette constante l'i m p é d a n c ecaractéristique Zo de la ligne :

v +(x,t) Z o i+(x,t) (6.4.9)

et, vu l'expression (6.3.12) de la vitesse :

Zo Lu LC

(6.4.10)

Donc, l’impédance caractéristique d’une ligne est une grandeur qui relie lesvaleurs du courant et de la tension électriques qui se propagent sur uneligne.

Dans le cas d’une onde qui se propage dans le sens négatif de x, on vérifie dela même façon que :

v -(x,t) Zo i -(x,t) (6.4.11)

Exemple 6.4.1 Impédance caractéristique et courant

Un câble coaxial de type RG-58C/U a une capacité linéique de 101 pF/m et

la vitesse de propagation des ondes y est de 2,10·108 m/s (voir le tableau6.4.1 et l'annexe). Ces deux grandeurs permettent de calculer l’inductancelinéique L à partir de l’équation 6.3.12 :

L = 1

u2C = 224,5 nH/m

On obtient Zo à partir de (6.4.10) : Zo = 2,245· 10

7

1,01· 1010

= 47,1 ohms

ce qui est près de la valeur nominale de 50 ohms donnée par le fabricant.

Si la ligne de l’exemple 6.3.2 est un tel câble, l’onde de courant sera doncdécrite par :

i+(x, t) = 1047,1

sin(108t - x/u) U(t - x/u) ampères



Valeur des paramètres • Lignes coaxialesLa figure 6.4.1 montre la structure d’une ligne coaxiale typique (voir aussifigure 6.1.4). Le conducteur central est ici formé de brins tressés, mais c’estsouvent un fil solide. Le diélectrique est généralement du polyéthylène solide,mais c’est parfois un fil de polyéthylène enroulé autour du conducteurcentral avec un grand pas d’hélice, ou encore une mousse de polyéthylènepour réaliser une permittivité plus faible (capacité linéique plus faible) et uneplus grande vitesse de propagation. Le blindage représenté est fait de fils finstressés, mais on utilise souvent une feuille d’aluminium enroulée autour dudiélectrique. L’enveloppe ou gaine est aussi faite d’une variété de matériauxplus ou moins résistants aux conditions ambiantes, polyéthylène, chlorurede polyvinyl, etc. On trouvera plus de détails à l’annexe A.

Gaine ouenveloppe

Écran oublindage Diélectrique Conducteur

central

Figure 6.4.1 Structure d’un câble coaxial typique (multibrins)

Tableau 6.4.1 Caractéristiques diverses de lignes coaxiales

No

RG/U

Diamètre

gaine

[mm]

Conducteur

central, diam.

[μm]

Impédance

caractérist.

[ohms]

Capacité

linéique

[pF/m]

Vitesse

propag.

[km/s]

Tension

maximale

[Veff]

Atténuation

à 1 MHz

(dB/km)

6/U

8/U

58/U

58C/U

59B/U

62A/U

178B/U

6,86

10,3

4,95

4,78

5,46

5,72

2,54

1022

7 x 73 (*)

814

19 x 180 (*)

575

638

7 x 160

75

52

53

50

75

93

50

56,8

96,8

92,4

101

68,9

44,3

98,4

234 000

198 000

198 000

210 000

210 000

252 000

197 700

2 500

5 000

1 600

1 600

2 100

1 500

1 500

6,2

5,2

9,5

9,5

8,9

8,0

75

(*) Formé de 7 ou 19 brins cylindriques de 73 μm, etc.



6.5 Source avec résistance interneConsidérons une source de tension Vs de résistance interne Rs = RTh(résistance de Thévenin), Vs étant la tension en circuit ouvert. Raccordons-la

à l’entrée d’une ligne semi-infinie d’impédance caractéristique Zo. (Figure

6.5.1). Vu que la ligne est très longue, une seule onde se propage dans lesens positif de x. L’impédance “vue” à l’entrée de la ligne est donc égale àl’impédance caractéristique Zo. Le système équivalent est tel que représenté

à la figure 6.5.2. La tension à l’entrée de la ligne est donc :

V tZ

R ZV te ( ) ( )=

+0

0S

S(6.5.1)

Ainsi, d’après la règle énoncée plus haut, on obtient la fonction d’ondesimplement en remplaçant t par t – x/u :

v +(x,t) ZoRs + Zo

v s(t x/u ) (6.5.2)

Cela est exact pour une ligne considérée comme sans perte avec desimpédances réelles. En réalité, la situation est plus complexe, mais ce quiprécède est une bonne approximation.

0

+

Rs

x

∞u

1

2

0v(t)

+

1

2

vs ve

Zove Zo

Rs

Figure 6.5.1 Figure 6.5.2 Système équivalent

6.6 RéflexionEn pratique, une ligne électrique est nécessairement finie. Il peut aussi yavoir un élément quelconque ou une autre ligne raccordée en un point. Onconsidère maintenant ce qui se passe quand une onde rencontre une tellediscontinuité.



Coefficient de réflexionLa figure 6.6.1 montre une source de résistance interne Rs raccordée à une

ligne sans pertes de longueur a, d’impédance caractéristique Zo avec une

vitesse de propagation v, laquelle est terminée par un récepteurde résistanceRr. Dans ce cas, il faut admettre que des ondes se propagent dans les deux

sens : v+ et v-, car la tension qui apparaît aux bornes du récepteur constitue

une source d’ondes vers la gauche. En général, il y a réflexion de l’énergieondulatoire sur le récepteur.

Nous cherchons ici la relation entre l’onde de tension incidente et l’onderéfléchie. La tension électrique sur la ligne peut donc s’écrire comme suit :

v (x,t) v +(x,t) + v -(x,t) (6.6.1)

et le courant : i (x,t) i+(x,t) + i-(x,t) (6.6.2)

Or, on sait que: v + +Zo i+ et v - Zo i- (6.6.3)

0

+

x

u

1

2

v+

v-Rr

x = a

Rs

vs(t) veZo

Figure 6.6.1 Ligne terminée par un récepteur de résistance Rr

On porte ces dernières dans (6.6.2) :

i x tV

Z

V

Z( , ) = −+ −

0 0

(6.6.4)

Au récepteur (x = a), la loi d’Ohm s’applique : v (a,t) Rr i (a,t) . Au moyen

de (6.6.1) et (6.6.4), cette dernière relation devient :

v +(a,t) + v -(a,t) Rr v +(a,t)

Zo

v -(a,t)Zo

On en tire le rapport de la tension réfléchie et de la tension incidente qui estle coefficient de réflexion ρvr, par définition :


ρvr v -(a,t)v +(a,t)

Rr ZoRr + Zo

(6.6.5)

Le tableau 6.6.1 donne les limites de variations du coefficient de réflexion dela tension en fonction de la résistance du récepteur.

On vérifie facilement que le coefficient de réflexion du courant au récepteurs’exprime comme suit :

ρir i-(a,t)i+(a,t)

ρvr (6.6.6)

En général, on n’utilisera que le coefficient de réflexion de la tension.Dorénavant, ρr désignera ce coefficient.

Tableau 6.6.1

Rr 0 Zo ∞ρr 1 0 1

Fonction d’onde réfléchieOn vient de voir que la tension réfléchie au récepteur est de la forme :

v -(a,t) ρr v +(a,t)

où on sait comment la tension v +(a,t) en x = a est reliée à la tension àl’entrée v e(t) :

v +(a,t) v e(t a/u )

L’onde qui part du récepteur vers l’entrée de la ligne (sens négatif) parvientau point d’abcisse x avec un retard (a - x)/u (Figure 6.6.1). Son expressionest donc :

v -(x,t) ρr v e t au a xu ρr v e t + xu 2a

u (6.6.7)

Or, a/u = τ , le temps que met l’onde pour aller d’un bout à l’autre de laligne. On peut donc écrire :

v -(x,t) ρr v e t + x/u 2τ (6.6.8)



Ce qui est bien la forme d’une onde dans le sens négatif. À son tour, cettedernière onde se réfléchit sur la source. En appliquant le mêmeraisonnement qu’au récepteur, considérant que la source présente unerésistance Rs pour l’onde v -(x,t) , le coefficient de réflexion à la source

s'exprime comme :

ρs Rs ZoRs + Zo

(6.6.9)

Donc, de façon générale, une autre onde partira vers la droite qui seréfléchira au récepteur, etc. En principe, cela se répète à l’infini et la tensionrésultante sur la ligne est la somme de toutes ces ondes.

Exemple 6.6.1 Réflexions multiples lignes sans perte

Supposons que la source du système de la figure 6.6.1 donne une tension encircuit ouvert qui a la forme d’un échelon : vs(t) = Vo U(t) . La tensioninitiale à l’entrée est alors donnée par :

ve(t) = ZoZo + Rs

Vo U(t) = Ve U(t)

Supposons de plus que Zo = 50 ohms, Rs = Zo/6, Rr = 7Zo , u = 2·108 m/s eta = 5 mètres. On en tire :

Ve = ZoZo + Zo/6

Vo = 67

Vo = V+1

La première onde v+1 qui part sur la ligne est représentée dans la figure ci-

dessous à l’instant t1 < τ. Son expression est :

v+1(x, t1) = 67

Vo U(t - x/u) = Ve U(t - x/u) = V+1 U(t - x/u)

Les coefficients de réflexion au récepteur et à la source sont respectivement :

ρr = 7Zo - Zo7Zo + Zo

= + 34

et : ρs = Zo/6 - ZoZo/6 + Zo

= – 57

Le temps de propagation d’une onde d’un bout à l’autre de la ligne est :

τ = au = 52⋅ 108

= 25⋅ 10 9 = 25 ns


xa

u

v(x,t1)

Ve

0ut1

t1 < τ

v+1

Figure 6.6.2

L a prem ière o nde réfléchie au récept eur est V - 1 ( x ,t ) = V 1 U(t + x/u - 2τ) , o ù :

V 1 = ρrV+1 = 34

Ve = 34

67

Vo = 914

Vo

Cette onde est représentée dans la figure ci-dessous à l’instant t2 compris

entre τ et 2τ. On voit la tension v (x,t2) résultant de la superposition de

v+1 et de v 1 . À cet instant, le front A de l’onde v+1(x,t) se trouve

virtuellement au-delà de x = a. Le front A’ de l’onde réfléchie se trouve alors àla même distance de x = a.

À son tour, l’onde v-1(x,t) se réfléchit sur la source et produit :

v+2(x, t) = V+2 U(t - x/u - 2τ) ,

car le front d’onde A’ parvient en x = 0 à l’instant 2τ. Puis,

V+2 = ρsV 1 = – 57

34

V+1 = – 1528

67

Vo = – 4598

Vo

Et ainsi de suite. On voit que ces réflexions multiples doivent créer enpratique une situation relativement complexe sur la ligne si les coefficientsde réflexion diffèrent de 0.

En pratique, on s’intéresse surtout à l’effet produit sur la tension àl’émetteur ou au récepteur.

Pour réduire l’importance de ce phénomène qui affecte la qualité des signauxtransmis sur une ligne, il importe donc de rendre les coefficients de réflexionaussi près de 0 que possible. C’est particulièrement important dans lessystèmes de communication par impulsions codées, les ordinateurs, etc.Cela se fait en adaptant la source et le récepteur à la ligne ou vice versa,c’est-à-dire en égalisant autant que possible les impédances de source, derécepteur et de ligne.



t < t2 < 2τ

xa

uu

u

AA'

V+1

0

v(x,t1)

v+1

v 1

Vo

Figure 6.6.3

Diagramme en zigzagIl existe une façon simple de déterminer la tension (ou le courant) sur laligne sans pertes par suite des réflexions multiples d’une onde en échelon. Ils’agit du graphique qu’on peut désigner comme le diagramme en zigzag,représenté dans la figure 6.6.4. Ce diagramme représente simplement laposition du front d’onde au cours du temps. Il a été tracé au moyen desdonnées de l’exemple précédent. On s’en sert pour déterminer la tension surla ligne en tous points et en tout temps dans le cas d’ondes en échelon.

Voyons, par exemple, comment varie la tension au récepteur, en x = a. Lefront d’onde initial part de l’entrée de la ligne à t = 0 avec une amplitude V+1.

Sa réflexion au récepteur à l’instant τ donne le front d’onde d’amplitudeV 1 = ρrV+1. La tension en ce point devient alors (à τ +) la somme des deux

ondes :

v (a,τ+) = V+1 + V 1 = V+1 + ρrV +1 = 74

V+1

v (a,τ+) = 74

67

Vo = 32

Vo = 1,5 Vo

Cette situation est aussi représentée dans la figure 6.6.3. Le front d’onde V 1va se réfléchir à la source où il devient V+2 = ρsV 1. Ce dernier parvient au

récepteur à l’instant 3τ et se réfléchit pour donner V 2 = ρrV+2. Juste après

la réflexion, à l’instant 3τ +, la tension électrique est la somme des quatre

ondes successives :

v (a,3τ+) = V+1 + V 1 + V+2 + V 2

v (a,3τ+) = = V+1 + ρrV +1 + ρsρrV +1 + ρsρr2V +1 (6.6.10)



v (a,3τ+) = 1 + 34

- 57

34

- 57

34

2 V+1

= 13

16V+1 = 39

56 Vo = 0,6964 Vo

À l’instant 5τ, deux termes s’ajoutent :

V +3 = ρs2ρr

2V +1 et V -3 ρs2ρr

3 V+1 . On calcule

v (a,5τ+) 37593136

V+1 1127710976

Vo 1,0274 Vo .

De même, à l’instant 7τ , s’ajoutent les termes V +4 ρs3ρr

3 V+1 et

V -4 ρs3ρr

4 V+1, de sorte que :

v (a,7τ+) 8162787808

V+1 0,7968 Vo

Les termes qui s’ajoutent sont de plus en plus faibles. La figure 6.6.5 montrecomment varie la tension au récepteur v(a,t). À la fin de ce régime transitoire,la ligne étant supposée sans perte, la situation est essentiellement cellereprésentée à la figure 6.6.6. La tension à l’entrée et partout sur la ligne estalors v e (42/43) Vo , la valeur donnée par la théorie élémentaire qui ne

tient pas compte des phénomènes de propagation et de réflexions multiples.

τ

2τ

3τ

4τ

5τ

a x0

V = ρ V-1+1r

V = ρ V+2

-1s

V = ρ V-2+2r

V = ρ V+3

-2s

t

3τ

5τ

τ

x 1

A

B

C

D

E

V = (6/7)V+1

o

Figure 6.6.4 Diagramme en zigzag

τ 3τ 5τ t

1,5V o

7τ

V o

0

v(a,t)

Figure 6.6.5

0

v (t)+

7Z ov e

1

2

Z /6o

Figure 6.6.6



Coefficient de transmissionConsidérons deux lignes d’impédances caractéristiques différentes Zo1 et Zo2raccordées en série et une onde en échelon V1+(x,t) qui se propage vers la

jonction AB à la vitesse u1. ( En arrivant à la jonction, l’onde se réfléchit

partiellement pour donner l’onde V1–(x,t) vers la gauche, et se transmet

partiellement sur la deuxième ligne sous la forme d’une onde V2+(x,t) à la

vitesse u2. On définit le coefficient de réflexion sur la ligne 1 à la jonction

comme :

ρ11 V 1

V 1+

Zo2 Zo1

Zo2 + Zo1 (6.6.11)

Le coefficient de transmission est défini comme le rapport de la tensiontransmise et de la tension incidente à la jonction:

ρ12 V2+(0,t)V1+(0,t)

(6.6.12)

Or, la tension de l’onde transmise est celle qui existe à la jonction, laquelleest la somme V1+(0,t) + V1–(0,t). Alors :

V 2+(0,t) V1+(0,t) + V1 (0,t) (1 + ρ11) V1+(0,t)

A

B

ρ11

V1+

V1-

V2+

Zo1 ρ12 Zo2

Figure 6.6.7 Réflexion et transmission à une jonction

Ici, Zo2 < Zo1 (figure 6.6.7).

On a donc : ρ12 1 + ρ11 (6.6.13)



Avec l’origine en AB, les fonctions d’onde réfléchie et transmise sont lessuivantes dans le cas présent où les pertes sont supposées nulles :

V 1 (x,t) V(0,t) U(x + vt ) ρ11 V1+(0,t) U(x + vt ) (6.6.14)

V 2+(x,t) V(0,t) U(x vt ) ρ12 V1+(0,t) U(x vt ) (6.6.15)

6.7 Théorème des interrupteursVoyons maintenant deux théorèmes simples qui permettent de résoudrefacilement certains problèmes où les lignes ont une tension initiale ou uncourant initial non nuls sur toute leur longueur.

Interrupteur initialement ouvertLa figure 6.7.1(a) représente un réseau électrique H et deux bornes A, B denuméro j entre lesquelles existe une tension constante Vj, avec un

interrupteur K. Il est évident que rien n’est changé entre les bornes si unesource de tension de valeur Vj remplace K comme en (b).

Si, à l’instant t = 0, l’interrupteur est fermé comme en (c), la tensions’annule. On constate alors que cette situation peut être simulée en ajoutanten série avec la source Vj, la figure (b) une source de tension en échelon

–VjU(t) comme dans la figure (d). Le premier théorème des interrupteurs est

simplement l’énoncé de cette évidence.


Vj

A

B

KH

A

B

H

0

A

B

KH

+

A

B

H

+

+-VjU(t)

0

(a) (b)

(c) (d)

Vj

Vj

Figure 6.7.1

Théorème des interrupteurs. Sources de tension équivalentes.

Interrupteur initialement ouvert.

Interrupteur initialement ferméDans la figure 6.7.2(a), l’interrupteur entre les bornes A, B du réseau H estfermé et un courant continu Ij circule. Sans rien changer, on peut donc

remplacer l’interrupteur fermé K par une source de courant Ij.

Si l’interrupteur est ouvert à t = 0, le courant s’annule (fig. c). On peutconstater à la figure (d) que cette situation peut être simulée en ajoutant enparallèle avec la source de la figure (b) une source de courant en échelon –IjU(t). Cet énoncé traduit le deuxième théorème des interrupteurs, celui desinterrupteurs initialement fermés.


HIj

A

B

K

A

B

A

B

K

A

B

(a) (b)

(c) (d)

t = 0

H

HH

Ij

Ij = 0 -IjU(t) Ij

Figure 6.7.2

Théorème des interrupteurs. Sources de courant équivalentes : interrupteur initialement fermé.

Applications

Ligne initialement chargée

Considérons une ligne sans perte qui a été chargée au potentiel Vo et qu’on

relie à une résistance R1 à l’instant t = 0 en fermant l’interrupteur K

(fig. 6.7.3a). Comment évoluera la tension sur la ligne? On peut répondrefacilement à cette question en appliquant le théorème des interrupteursinitialement ouverts.



En effet, comme la tension Vo qui existe entre les bornes de K s’annule à

t = 0, on peut remplacer ce dernier par une source de tension constante Voen série avec une source de tension en échelon -VoU(t) comme dans la figure

6.7.3b. À t = 0, cette dernière produit à l’entrée de la ligne une tension:

V e Zo

R1 + Zo V o

et une première onde v+1(x,t) part sur la ligne dont l’amplitude V+1 = Ve :

v +1 Ve U(t x/u )

Le front d’onde atteint l’autre extrémité à l’instant τ = a/u. Vu que la ligneest ouverte, le coefficient de réflexion ρr y est égal à +1. L’onde réfléchie est

ainsi:

v 1 +V e U(t + x/u 2τ)

Kt = 0

Vo u

+ + ++

u+

(a) (b)

R1 Zo R1 Vo

-VoU(t)Vo

Zo

Figure 6.7.3 a) Ligne initialement chargéeau potentiel Vo

b) Système équivalent

Considérons le cas où R1 Zo (ligne adaptée), alors V e V o/2 , Àl’instant t1 compris entre τ et 2τ, la situation sur la ligne est représentée

dans la figure 6.7.4. Le front d’onde v+1 est rendu virtuellement en A’ et le

front d’onde v 1 est en A, à égale distance de l’extrémité de la ligne. La

tension résultante est la somme:

v (x,t1) Vo + v +1(x,t1) + v 1(x,t1)

Elle est représentée en trait gras dans la figure. On observe que l’onderéfléchie efface en quelque sorte, à la vitesse u, la tension sur la ligne.Comme la résistance R1 est adaptée à la ligne, l’onde v 1 est complètement

absorbée et la tension devient nulle partout sur la ligne à l’instant 2τ.


a

0

X

uu

A A'

-Vo/2

Vo

Vo/2

V 1(x,t 1) V+1(x,t 1)

Figure 6.7.4 Tension sur la ligne

xa

τ

2τ2τ

τ

0

t

-Vo/2

-Vo/2

Vo

Figure 6.7.5 à l’instant t1 : τ < t1 < 2τ

Le diagramme en zigzag permet de déterminer simplement la tension sur laligne, particulièrement à l’entrée. Dans le cas présent, il se réduit à celui dela figure 6.7.5. On note la tension constante Vo sur le graphique afin de ne

pas l’oublier dans l’addition.

Si la résistance n’était pas adaptée à la ligne, il y aurait une infinité deréflexions d’amplitude décroissante aux deux extrémités. Le diagramme enzigzag permettrait de déterminer l’évolution de la tension sur la ligne.

Ligne avec courant initialDans la figure 6.7.6, l’interrupteur K est fermé depuis longtemps, de sortequ’un courant continu Io s’est établi dans la ligne supposée sans pertes

court-circuitée à son extrémité de droite. Le courant dans la résistance R1est alors nul, car elle est en parallèle avec le court-circuit. Alors, Io = Vo/R2.

Comme l’interrupteur s’ouvre à t = 0, on sait que le deuxième théorème desinterrupteurs s’applique et qu’on peut le remplacer par deux sources de



courant en parallèle, l’une constante de valeur Io, l’autre fournissant un

échelon de valeur -Io U (t), comme illustré dans la figure 6.7.7. Mais, par

définition d’une source de courant, ces sources imposent un courant dansla branche formée de la source de tension et de R2. On peut donc les

remplacer par un court-circuit, comme dans la figure 6.7.8, où les sourcesde courant sont simplement déplacées. Notons que la tension initiale sur laligne est nulle.

K t = 0

Z o uVo

+

R2 Io

IoR1

Figure 6.7.6

u

Io

Io

IoU(t)

R1

+Zo Io

Vo

R2

Figure 6.7.7 Sources équivalentes

u

Io

Io

-IoU(t)

R1 Zo Io

Figure 6.7.8 Système équivalent

À t = 0, l’échelon de courant –Io apparaît et ce courant se répartit entre la

résistance R1 et l’impédance d’entrée Zo de la ligne qui est résistive (R1 ||

Zo). Le courant qui part sur la ligne a donc une amplitude I+1 :

I+1 1/Zo1/Zo + 1/R1

Io



Cette onde de courant i+1(x,t) = I+1U(t - x/u) commence à se réfléchir sur le

court-circuit à l’instant τ. Le coefficient de réflexion pour le courant est designe opposé à celui de la tension: ρi = –ρv = +1.

L’onde réfléchie est donc i–1(x,t) = I+1U(t + x/u – 2τ). Si R1 = Zo, il n’y aura

pas d’autres réflexions, sinon il y aura réflexions multiples d’amplitudesdécroissantes. Comme dans le cas précédent, un diagramme en zigzagfacilitera le calcul de la variation du courant en un point donné au cours dutemps

EXERCICESQuestions de revue

1. Donner la définition d'une ligne électrique.

2. Quelles sont les hypothèses qui permettent de dériver les équations depropagation du courant et de la tension sur les lignes électriques à partirde la théorie des réseaux électriques ?

3. À partir du modèle quadripolaire d'un élément de ligne électrique delongueur dx, trouver l'équation générale de propagation de la tensionélectrique sur la ligne.

4. Démontrer que l'équation de propagation de la tension sur une lignesans perte est satisfaite par toute fonction de la formev(x,t) = f(x ± vt) , une fonction d'onde, où v est la vitesse de

propagation. Quelle est l'expression de cette dernière ? Quelle est lalimite physique de v ? Dans quel cas est-elle atteinte ?

5. Trouver l'expression de l'impédance caractéristique d'une ligne sansperte en fonction des paramètres distribués.

6. Trouver l'expression de l'impédance caractéristique d'une ligne coaxialesupposée sans perte où le conducteur interne a un rayon a , et leconducteur externe un rayon interne b.

7. Trouver l'expression du coefficient de réflexion de la tension électrique àl'extrémité d'une ligne d'impédance caractéristique Zo terminée par une

impédance Z1, les deux impédances étant réelles.



8. Démontrer que l'expression du coefficient de transmission de tensionélectrique à la jonction de deux lignes d'impédances caractéristiques Zo1

et Zo2, pour des ondes allant de 1 vers 2 est: T = 2 Zo2 Zo2 + Zo1

9. Démontrer que la relation entre les ondes de courant et de tension qui sepropagent dans le sens négatif de x sur une ligne électrique sans perte

est : v(x,t) = –Zo i(x, t) .

6.1 Fonctions d'onde

Lesquelles parmi les fonctions suivantes peuvent décrire une onde detension électrique v(x,t) se propageant sur une ligne ? A et B sont desconstantes, x une coordonnée, u une vitesse et t un temps. Justifier sesréponses.

a) v = A/ (x - ut) b) v = A/ (x – ut)2

c) v = A sinh B(t – x/u) d) v = A cos2B(x + ut)

e) v = A ln B(x + ut) f) v = A exp jB (x - ut)2

g) v = A f(x2 – ut)

6.2 Fonctions d'onde

Si on applique à l'entrée d'une ligne électrique semi-infinie une tension de laforme :

v(t) = v(0, t) = 1002 + 1016t2

,

déterminer la fonction qui décrit l'onde de tension qui se propage (la fonction

d'onde), sachant que sa vitesse est de 2,5·108 m/s. Faire un graphique de lafonction d'onde en fonction de l'abscisse x aux instants t1 = 10 ns et t2 =

20 ns.

Rép.: v(x,t) = 1002 + 1016(t – 4·10 9x)2



6.3 Fonction d'onde

On a une ligne sur laquelle les ondes de tension ou de courant se propagent

à la vitesse u = 2,5·108 m/s. Si l'on applique à l'entrée une tension telle que

dans le référentiel (0'x') lié à l'onde on ait: v(x' ) = 50

1 + 0.2x'2 volts ,

déterminer la fonction d'onde. On considère la ligne comme semi-infinie.Représenter cette fonction à l'instant t = 40 ns.

Rép.: v(x,t) = 50

1 + 0,2(x - 2,5· 108t)

2 volts

6.4 Onde en échelon

La source de tension électrique dans le système ci-contre est décrite parl'échelon vs t = 2 U t volts. Trouver l'expression de l'onde de courant quipart sur la ligne et celle de l'onde de tension réfléchie.

+

50 Ω

vs(t)Zo = 50 Ω

u = c

0 x = 30 m

Rt =

25 Ω

6.5 Onde sinusoïdale

On applique à l'entrée d'une ligne bifilaire semi-infinie dans l'air, une tensionde la forme

v(t) = 100 cos (4π·108t) volts .

a) Évaluer la pulsation, la fréquence et la période de l'excitation.Rép.: f = 200 MHz

b) Déterminer la fonction d'onde.

Rép.: v(x,t) = 100 cos (4π·108t – 4.19x) volts



c) Calculer la longueur d'onde.

Rép.: 1.5 mètre

6.6 Calcul de paramètres linéiques

Calculer les paramètres linéiques d'une ligne aux pertes négligeables dontl'impédance caractéristique est de 50 ohms, avec une vitesse de propagationdes ondes de 200 000 km/s.

Rép.: 100 pF/m, 250 nH/m...

6.7 Fonctions d'onde. Énergie

On applique à l'entrée d'une ligne semi-infinie un échelon de tension v(t) =v(0,t) = 10 U(t) volts. Si l'impédance caractéristique est 50 ohms et la vitessede propagation 200 000 km/s,

a) Déterminer la fonction d'onde de tension électrique. Faire un graphiquede la tension sur la ligne à t = 1 et 2 μ s. Dans une autre figure,représenter la tension en x = 2 et 5 mètres en fonction du temps.

Rép.: v (x, t) = 10 U(t – 5·10 9x) volts

b) Trouver la fonction d'onde de courant.

c) Écrire l'expression de la puissance P (x,t), et décrire la distributiond'énergie sur la ligne à t = 1 μs.

Rép.: P (x, t) = 2 U(t – 5·10 9x) watts . Distr ibution uniformed'énergie sur 200 m de ligne, avec une densité de 10 nJ/m.

d) Démontrer que la densité d'énergie électrique sur la ligne est égale à ladensité d'énergie magnétique. La densité d'énergie est l'énergie par unitéde longueur de la ligne.

6.8 Onde de courant et onde de tension

Considérer une ligne coaxiale RG-58C/U (Zo = 50 ohms, u = 2c/3) très

longue à l’entrée de laquelle on applique une tension décrite par

v(0, t) = 1012 2t volts . Si on suppose les pertes négligeables, déterminer lafonction décrivant l’onde de courant sur la ligne, et faire le graphique de cettefonction à l’instant t = 1 μs.



6.9 Fonctions d'onde. Puissance

À l'extrémité x = 0 d'une ligne semi-infinie sans perte, d'impédancecaractéristique Zo = 50 ohms, on applique une tension

v (t) = 5 U(t ) – 5 U(t – 10 8) volts , où t est en secondes.

a) Représenter cette fonction. La vitesse de propagation u = c, celle dans levide.

b) Déterminer la fonction d'onde de tension sur la ligne. Faire une figure.

c) Écrire la fonction d'onde de courant.

Rép.: i (x,t) = 0.1 U(t – 3.33· 10 9x) – 0.1 U(t – 3.33· 10 9x – 10 8) A

d) Établir l'expression de la puissance fournie par la source et celle de lapuissance sur la ligne.

Rép.: PS = 0.5 U(t) – 0.5 U(t – 10 8) W

P (x, t) = 0.5 U(t – x/v) – 0.5 U(t – x/v – 10 8) W

6.10 Décharge d’un condensateur dans une ligne

La figure ci-contre représente un condensateur C chargé initialement à latension Vo qui est relié à l’entrée d’une ligne RG-58C/U très longue par

l’intermédiaire d’un interrupteur analogique K dont la résistance interne estnégligeable à l’état «fermé», et extrêmement élevée à l’état «ouvert».

K

C Zo u

x = 0

RG-58C/U+Vo

a) Si l’interrupteur est fermé à l’instant t = 0, trouver l’expression complètede la tension sur la ligne en tout temps, c’est-à-dire la fonction d’onde.Exposer clairement la méthode et les hypothèses utilisées.

b) Faire le graphique de la tension à l’entrée de la ligne en fonction dutemps, ainsi que celui de la tension sur la ligne à l’instant 2τ, où τ est laconstante de temps du système. Vous exprimerez celle-ci en fonction desparamètres donnés.

c) Quelle est l'expression de l'onde de courant ?



6.11 Onde de courant et onde de tension

Le système représenté ci-contre est formé d'une bobine d'inductance L sansrésistance, parcourue par un courant initial Io et placée à l'entrée d'une ligneélectrique très longue d'impédance caractéristique Zo. Le courant est fournipar une source de courant en parallèle avec une résistance R non nulle. Sil'interrupteur K s'ouvre à l'instant t = 0, décrire l'onde

R LIo

K

t = 0

Zo

u

A

B

de courant qui se propage sur la ligne.

Application numérique: Zo = 50 ohms, u = 2c/3, Io = 1 A, R = 10 ohms,L = 1 μH

6.12 Réflexions multiples

Considérer la ligne sans pertes représentée ci-contre qui est initialement nonchargée.

a) Évaluer les coefficients de réflexion de tension et de courant aux deuxextrémités.

R: ρsv = –ρsi = –0,667

b) Écrire la fonction décrivant la première onde de tension partant del'origine et celle de la première onde réfléchie au récepteur.

Rép.: V 1 x, t = 0,833 U t + 3,33· 109x – 2·10

6 V

c) Quelle est l'expression générale de la ne onde de tension partant de lasource?

+

15 Ω

2 VZ = 75 Ω

v = 3·10 m/s8

0 d = 300 m

R = r225 Ω

o



Rép.: Vn+(x,t) = ρsn 1

ρrn 1

U [t – x/v – 2(n – 1)τ ] V où τ est le temps

que met une onde à parcourir la ligne.

d) Faire le graphique en zigzag de la tension sur la ligne jusqu'au tempst = 8t .

e) Faire le graphique de v(0,t) et de v(300,t) de t = 0 à t = 8τ.

6.13 Réflexions multiples. Lignes raccordées

+

0

A

B

2Z o1 t = 0

3Z o1Vo Z o1 Z o2 = 2Z o1

La ligne de transmission ci-dessus est formée de deux lignes sans perted'égale longueur et d'impédances caractéristiques différentes raccordées ensérie. Le temps de propagation sur chaque section est le même.

a) Évaluer les coefficients de réflexion de tension et de courant à chaqueextrémité.

b) Trouver les coefficients de réflexion et de transmission à la jonction desdeux lignes pour les ondes :

1. allant de gauche à droite

2. allant de droite à gauche.

Rép.: ρ11 = –ρ22 = 1/3 ρ21 = 2/3

6.14 Mesure d’impulsions au laboratoire

On réalise au laboratoire le dispositif illustré ci-dessous pour étudier lapropagation des impulsions sur les lignes électriques; la deuxième ligne estouverte en C. La tension vo(t) illustrée est mesurée à la sortie du générateur

G avant de le raccorder à la ligne. La période de répétition T des impulsionsrectangulaires est très supérieure aux temps de propagation sur les lignes.L’oscilloscope permet de voir et de mesurer la tension électrique ve(t) à

l’entrée A de la première ligne, et l’impédance d’entrée de l’oscilloscope est del’ordre de 10 MΩ.



Déterminer la tension qu’on doit voir et mesurer à l’oscilloscope dans unintervalle d’environ 500 ns. Décrire clairement les étapes du raisonnement etles calculs. Faire un graphique à l’échelle.

GRG-58C/U RG-59/U

Oscilloscope

u 1 = 2c/3a1 = 10 m

A B C

vo(t)

0

20 ns

T

4

(volts)

t

Zo1 = 50 ohms Zo2 = 75 ohmsu 2 = 2c/3a2 = 15 m

Rg = 50 ohms

6.15 Trois lignes raccordées - Réflexions multiples

Une ligne téléphonique en deux parties 1 et 2 de même longueur a, est reliéeà une source de tension en échelon vs(t) = VoU(t). Une ligne 3 de mêmelongueur a, mais d’impédance caractéristique double (2Zo) est branchée au

point milieu B. La ligne 3 étant terminée par une résistance de valeur Zo,

déterminer la tension en C en fonction du temps (graphique) jusqu’à l’arrivéedu premier écho (t = 5τ+), utilisant particulièrement un diagramme en zigzag.

Bien décrire les différentes étapes de la solution.

vs(t)

Zo

1 2

3

A

B CZs= Zo

u a

u

u a

a

Zo

2Zo

Zo

Zr = Zo



6.16 Adaptation d'impédances

On raccorde une première ligne de transmission sans perte, d'impédancecaractéristique Zo1 à une deuxième d'impédance Zo2 par l'intermédiaire d'unadaptateur d'impédance formé de deux résistances R1 et R2 comme illustré.Notons que R1 se place du côté de la ligne d'impédance la plus élevée.L'excitation vs appliquée à l'origine est de la forme: vs(t) = Vs U(t) volts ,où U(t) est la fonction échelon unité.

a) Évaluer les résistances R1 et R2 qui réalisent l'adaptation des deuxlignes.

Rép.: 86,60 et 43,30 ohms.

b) Démontrer que l'adaptateur produit une atténuation de 5,71 décibels(dB) de la puissance d'une onde incidente d'un côté ou de l'autre.

c) Faire le graphique en zigzag de la tension sur les lignes.

d) Faire le graphique de la tension aux bornes AB de la source en fonctiondu temps, ainsi que celui de la tension à l'extrémité ouverte, directementsous le premier.

x = 0x = d1

+

A

B

Zo1

u1 u2

Zo2 < Zo1R1

R2

Rs

vs

x = d2

Rs = Zo1 = 75 ohms u1 = 2·108 m/s d1 = 80 m d2 = 125 mètres u2 = 1.25 u1 Zo2 = 50 ohms

6.17 Lignes multiples

La ligne sans perte 1 est raccordée de la façon illustrée à deux autres lignesd'inégale longueur et de même impédance caractéristique. Déterminer latension à l'entrée AB dans l'intervalle 0 < t < 6 τ.



Suggestion :

Considérer trois diagrammes en zigzag côte à côte.

Zo = 50 Ω

u

x = 0

+

A

B

u

u

1

2

3τ1 = τ2 = 0.75τ3

200 Ω

100 Ω

Zo

Zo

Zo/2

vs

6.18 Récepteurs réactifs

Décrire de façon qualitative, avec des figures, la réflexion d'une onde detension électrique sur une ligne, une impulsion par exemple, par :

a) Un récepteur purement capacitif de capacité électrique C.

b) Un récepteur purement inductif d’inductance L.

c) Un récepteur formé d'un condensateur C en parallèle avec une résistanceR.

d) Un récepteur formé d'une condensateur C en série avec une résistance R.

e) Un récepteur formé d'une inductance L en série avec une résistance R.

f) Discuter de la technique appelée réflectométrie à partir des analysesprécédentes.



6.19 Ligne avec condensateur

Un condensateur initialement déchargé de capacité C se trouve en parallèlesur une ligne comme illustré ci-dessous qui relie deux appareils: v(0,0) = 0.Si une onde de tension en échelon v(x,t) = VoU(t - x/u) venant de la gauchearrive en 0 à t = 0, décrire qualitativement et graphiquement la tension surla ligne au voisinage du condensateur à t > 0.

Zo

0

Cu u

u

Zo

Vo

6.20 Ligne avec courant initial

L'interrupteur K à l'entrée de la ligne illustrée ci-dessous est fermé depuislongtemps, de sorte qu'un courant continu a pu s'établir. Si la ligne estsupposée sans pertes :

a) Décrire ce qui se passe après l'ouverture de K à t = 0 .

b) Faire un graphique de la tension en fonction du temps en x = 0.

c) Faire un graphique du courant en fonction du temps en x = 200 km.

50 Ωu = c

t = 0

+100 kV

K

x = 200 km

Zo = 300 Ω

Cette analyse illustre le phénomène important qui se produit à l’ouverturedu disjoncteur d’une ligne à haute tension.



6.21 Ligne initialement chargée • Générateur d'impulsions

Analysez le générateur d'impulsions courtes représenté dans la figure ci-contre. Il représente une ligne de longueur a qui est continuellement chargéepar une source de tension Vs à travers une résistance R2 qui est très grandepar rapport à la résistance de charge R1 et à l'impédance caractéristique Zo.

K est un interrupteur électronique (analogique) qui présente une résistancenégligeable quand il est fermé et une résistance quasi-infinie à l'état ouvert.

R1 =

50 ΩZo = 50 Ωu = 2c/3

a = 2 m

KA

B

Vs = +10 VR2 = 100 kΩ

Les temps de fermeture et d'ouverture de K sont égaux et sa période cycliqueest T. La capacité linéique de la ligne est C = 100 pF/m. Discutez desavantages et des inconvénients d'un tel générateur d'impulsions courtes.Proposez des améliorations si vous en voyez.

6.22 Ligne avec courant initial • Générateur d'impulsions

Le système illustré ci-dessous est formé d'une ligne électrique terminée àchaque extrémité par une résistance égale au double de son impédancecaractéristique. Une source de tension de résistance interne égale à Zo est

reliée depuis longtemps à la ligne. L'interrupteur K est ouvert à t = 0.

Vs

KZo2Zo

Zo

u

x = 0 x = a

2Zo+ α ≈ 0

a) Trouver l'expression du courant initial fourni par la source Iso et celle ducourant initial circulant sur la ligne Io.

b) Faire un diagramme en zigzag de la tension sur la ligne en y inscrivantles valeurs en fonction de Vs. On aura évalué les coefficients de réflexion.

c) Faire la graphique de la tension à l'entrée dans un intervalle de 6T.


7777Lignes semi-infinies avec pertesRégime harmonique

Nous considérons ici les lignes de longueur infinie avec une entrée où seraccorde une source : on les appelle lignes semi-infinies pour cette raison.L’étude est faite en régime harmonique pour des lignes ayant des pertes,c'est-à-dire dont la résistance linéique et la conductance linéique ne sont pasnulles.

7.1 Équation d'onde - Amplitude complexeNous avons vu plus haut que l'équation générale décrivant la tension surune ligne était de la forme suivante :

∂2v∂x2

R G v + (RC + L G) ∂v∂t

+ LC ∂2v

∂t2 (7.1.1)

Or, nous savons qu'en régime harmonique, à la fréquence f = ω /2π, latension v peut être considérée comme la partie réelle d'une fonctionexponentielle complexe, en vertu du théorème d'Euler :

v (x,t) Ré v (x,t) Ré V (x) ejω t Ré V (x) ej(ω t + φ) (7.1.2)

où V(x) est l’amplitude complexe de l’onde en fonction de x. Remplaçons v (x,t)dans (7.1.1) par la fonction complexe v (x,t) V (x) ejω t . Alors :

d2V

dx2 ejω t = R G V ejω t + j ω RC + L G V ejω t – ω2LC V ejw t (7.1.3)

divisant les deux membres par ejω t et regroupant :


d2Vdx2

R G ω2LC + j ω RC + L G V (7.1.4)

Ou encore :

d2V

dx2 R + j ω L G + j ω C V (7.1.5)

Pour simplifier, posons γ R + j ω L G + j ω C (7.1.6)

C'est la fonction de propagation complexe. On voit qu’elle dépend de lafréquence.

Définissons :

Z R + j ω L, l'impédance linéique de la ligne. (7.1.7)

et Y G + jω C, l'admittance linéique de la ligne. (7.1.8)

Alors :

γ Z Y (7.1.9)

Puis :

d2V

dx2 γ2 V 0 (7.1.10)

C'est l'équation de propagation de l'amplitude complexe de la tensionélectrique.

Autre approcheEn régime harmonique, un élément de ligne peut se représenter comme dansla figure 7.1.1(a) ou (b). Il est alors facile d'en tirer cette dernière équation depropagation. En effet, d'après cette figure,

dV = – Z I dx (7.1.11)

dI = – Y V dx (7.1.12)


R dx jωL dx

jωC dx G dx

I I + dI

V V + dV V + dVY dx

Z dx

V

I I + dI

-dI

(a) (b)

Figure 7.1.1 Élément de ligne en régime harmonique

D'où :

dVdx

Z I (7.1.13)

dIdx

Y V (7.1.14)

Dérivons (7.1.13) par rapport à x :

d2Vdx2

Z dIdx

En portant (7.1.14) dans cette dernière, on obtient :

d2Vdx2

Z Y V γ2 V (7.1.15)

7.2 Fonctions d'onde - AtténuationCette dernière équation est de la forme rencontrée précédemment dans le casdes ondes planes sauf pour le signe. Elle peut donc avoir une solution de lamême forme :

V (x) V+ e γ x + V - e+γ x (7.2.1)

ce qui se vérifie facilement par substitution. Cette fonction décrit lesamplitudes complexes de deux ondes : une dans le sens positif de x, l’autredans le sens négatif. Les constantes V+ et V- sont des grandeurs complexes

de façon générale, les amplitudes complexes à l’origine (phaseurs) :

V + V+ ejφ+ et V - V -ejφ– .


7 Lignes semi-infinies avec pertes 201

Comme γ est complexe, on peut poser :

γ = α + j k 1 (7.2.2)

où α est le coefficient d’atténuation de la ligne ; k est la constante dephase . Notons que γ est une grandeur semblable à la fonction depropagation complexe k vue dans le cas des ondes planes se propageantdans un milieu avec pertes2. L'expression (7.2.1) devient alors :

V (x) V+ e α x ej( kx + φ+) + V - e+α xej(kx + φ ) (7.2.3)

Chaque terme du second membre représente une amplitude complexefonction de x. Les constantes V+ et V – sont les amplitudes complexes àl’origine (x = 0) : on écrit également V+(0) et V (0), ou encore Vo+ et Vo– pour

éviter toute confusion. On obtient l'expression de la fonction d'onde complexe,une fonction de x et t, en multipliant cette dernière par ejω t , d’après larelation (7.1.4) :

v (x,t) Vo+ e α x ej(ω t kx + φ+) + V o e+α xej(ω t + kx + φ ) (7.2.4)

Puis, sous forme réelle :

v (x,t) = V o+ e α x cos (ω t – kx + φ+) + Vo e+α x cos (ω t + kx + φ ) (7.2.5)

Nous reconnaissons la somme ou la superposition d'une onde qui se propagedans le sens positif de X et d'une autre dans le sens négatif (2e terme). Lesphases initiales à l’origine φ+ et φ− dépendent du choix du référentiel et des

conditions particulières du problème à traiter.

Vitesse de phaseO n sa it déjà qu e la vitesse de pro pa gat io n o u vit esse de phase de cett e o nde u

(ou up) est donnée par :

u ωk

(7.2.6)

1 Au lieu du symbole k, on utilise aussi souvent la lettre grecque β.

2 On peut vérifier facilement que jk = γ.



Onde dans le sens positifExaminons l’amplitude complexe d’une onde sinusoïdale qui se propagedans le sens positif. C’est le premier terme de l’expression (7.2.3) :

V+(x) V+(0) e α x ej( kx + φ+) (7.2.7)

On voit que son module diminue exponentiellement avec x : V +(0) e αx . On

sait déjà que k = 2π /λ. Donc, à chaque fois que x augmente d’une longueurd’onde λ, le phaseur tourne de 2π radians dans le plan complexe et dans lesens négatif. Son module diminue à cause de l’atténuation. La figure 7.2.1illustre ce fait à l’instant t = 0, montrant que φ+ est la phase initiale de la

vibration : c’est la représentation du phaseur V à un instant donné endifférents points de l’axe X espacés d’un quart de longueur d’onde. Lapulsation ω est la vitesse de rotation du vecteur de Fresnel ou phaseur en unpoint donné. Rappelons que :

k 2π/λ λf u f 1/T ω 2πf k ω/u (7.2.8)

où u est la vitesse de phase de l’onde, T est la période de la vibration.

0 λ/4 λ/2 3λ/4 λ 5λ/4

ω ω ω

− kz + φ+

PLAN COMPLEXE

φ+φ

1− kz X

V (x)+

V (x)+

Figure 7.2.1 Variation de l’amplitude complexe de la tension avec x

La tension électrique réelle sur la ligne à l’instant t est donnée par lafonction d’onde

v + (x,t) V+(0) e α x cos (ω t kx + φ+) (7.2.9)



laquelle est représentée à la figure 7.2.2 pour des valeurs quelconques de t,α, ω, k et φ+.

Népers et décibelsIl est pratique de mesurer le rapport de deux grandeurs au moyen dulogarithme de ce rapport. On obtient alors des nombres moins élevés d’unepart, et cela simplifie certaines opérations comme le calcul du gain d’unechaîne d’appareils.

Considérons deux valeurs A1 et A 2 d’une certaine grandeur A. Cela peut

être, par exemple, l’amplitude d’une onde de tension électrique en deuxpoints d’une ligne. Le rapport en népers (Np)3 de A2 à A1 est défini comme :

rNp ln A2A1

(7.2.10)

de sorte que :

A 2 A1 erNp ou A 1 A2 e-rNp (7.2.11)

Si A2 < A1, rNp est négatif.

t

t + Δt

Enveloppe supérieure

Enveloppe inférieure

1

1

0

v

x

v(x,t)

Am

plit

ude

de

la te

nsio

n

(uni

tés

arbi

trai

re)

λ

Figure 7.2.2 Onde atténuée dans le sens positif de x

3 D’après John NAPIER ou NEPER, mathématicien écossais (1550 - 1617) qui inventa les logarithmes dits népériens qui

trouvèrent une application immédiate dans divers calculs, particulièrement en astronomie.



Nous avons vu plus haut que l’amplitude d’une onde qui se propage dans unmilieu avec pertes décroît exponentiellement : V (x) Vo e-αx . On voitainsi que -αx est le rapport en népers de V(x)/Vo , x étant la distance entre

l’origine et un certain point sur la ligne. C’est pourquoi le coefficientd’atténuation α se mesure en Np/m. D’autre part le rapport A2/A1 de deux

tensions ou de deux courant électriques (ou de deux valeurs de champélectrique, etc.) en décibel (dB)4, est défini au moyen du logarithmedécimal :

rdB 20 log10 A 2A 1

(7.2.12)

d’où : A 2 A 1 10rdB/20 Le rapport de deux puissances P2/P1 en décibels est alors défini comme

suit : rdB 10 log10 P2P1

(7.2.13)

On obtient facilement la correspondance entre décibels et népers en portantla relation (7.2.11) dans (7.2.12) :

rdB 20 log10 erNp 20rNp log10e

rdB 8,686 rNp (7.2.14)

7.3 Analyse de la fonction γ

Ligne sans perteDans ce cas, R = 0, G = 0, et γ (R + j ω L) (G + j ω C) (Équation

7.1.6) se réduit à :

γ jω LC j ωu j k (7.3.1)

4 1 décibel (dB) = 0,1 bel (B), cette dernière unité, le bel, qui n’est pas utilisée, est nommée d’après Alexander Graham BELL

(1847 - 1922), l’inventeur du téléphone.



Mais une ligne vraiment sans perte n’existe pas. Toutefois, dans le cas delignes relativement courtes, on peut souvent faire cette approximation.

Ligne avec pertesEn général, on calcule la fonction de propagation γ à partir de son expressionexacte (7.1.6) :

γ (R + j ω L) (G + j ω C) (7.1.6)

Sa partie réelle est le coefficient d'atténuation α et sa partie imaginairedonne la constante de phase k. C'est un calcul facile à faire avec toutecalculatrice scientifique ou ordinateur.

Fréquence de transitionLa fréquence de transition f t est celle à laquelle R = ω tL : ft = ωt/2π. D’autre

part, en pratique, la conductance linéique G est généralement négligeabledevant jωC, sauf aux très hautes fréquences. Pour une ligne donnée, on peutdire que le domaine des «hautes fréquences» commence vers 10ft.

Exemple 7.3.1 Fonction γ et vitesse de phase

Considérons un câble coaxial RG-58C/U (voir tableau 6.4.1 et annexe)utilisé dans l’intervalle de fréquence allant de 100 Hz à 100 kHz. Enpratique, la résistance linéique change sensiblement dans cet intervalle,mais nous supposerons pour le moment une valeur constante de 0,04ohms/m. On connaît la capacité linéique : C = 92,4 pF/m. La conductancelinéique est essentiellement nulle. On tire l’inductance linéique del’expression de l’impédance caractéristique à haute fréquence, Zo = L/C :

L = Zo2C = 53 2 × 92,4· 10 12 = 260 nH/m

On porte ces valeurs de paramètres dans l’expression de γ (7.1.6) pourl’évaluer. On peut calculer la fréquence de transition :

ft = ωt2π

= R2πL

= 24,5 kHz



On remarque la variation considérable de la vitesse de phase dans cetintervalle : c’est un milieu dispersif. Les conséquences sont importantes entéléphonie : distorsion de phase.



d)

0

1

2

102

Vitesse de phase

Fréquence [Hz]103 104 105

10-8

u [

m/s

]

Figure 7.3.1 Fonction de propagation et vitesse de phase

Approximations

Approximations utiles en hautes fréquencesLes pertes en cours de propagation le long d’une ligne sont causés par lesparamètres linéiques R et G . Or ceux-ci dépendent de la fréquence enpratique : on ne peut généralement pas les considérer comme constants,sauf dans un intervalle de fréquence limité. Il importe d’examiner commentvarient les paramètres linéiques avec la fréquence. Trouvons premièrementquelques approximations utiles de γ en fonction des paramètres R, L, G et C.

Vu que γ = α + jk, il s’ensuit que α et k sont fonctions de la fréquence et des

paramètres répartis. Pour obtenir ces deux grandeurs, on doit calculer γ eten tirer ses parties réelle et imaginaire. Il est intéressant de considérer uneapproximation qu’on peut faire quand f > 2ft. Dans l’expression (7.1.6), après

avoir mis en facteurs jωL et jωC sous le radical, on obtient :

γ = jω LC 1 + Rjω L

1 + Gjω C

1/2 = jω LC 1 + R

jω L + G

jω C – RG

ω2LC

1/2 (7.3.2)

D’après la formule du binôme de Newton :

(1 ± x)n = 1 ± nx + n(n - 1)

2! x 2 ± ... ,



en posant x = 1jω

RL

+ GC

– RGω2LC

qui est << 1, et en conservant les

termes d’ordre 2 et moins, on obtient, après avoir regroupé :

γ ≈ LC2

RL

+ GC

1 + 12

RGω2LC

+ jω LC 1 + 18ω2

RL

– GC

2 (ω >> ωt)

D’où on tire des expressions approximatives de α et k . La précision estsupérieure à 0,5 % en négligeant les termes d’ordre supérieur à 2, pour

f ≥ 2f t :

α ≈ LC2

RL

+ GC

1 + 12

RGω 2LC

k ≈ ω LC 1 + 18ω2

RL

– GC

2 (ω ≥ 2ωt)

(7.3.3)

(7.3.4)

Cette dernière expression montre particulièrement qu’à haute fréquence, laconstante de phase k tend vers sa valeur sur une ligne sans perte ω LC . Àhaute fréquence (2ft < f ), le coefficient d’atténuation tend vers la valeur :

α ≈ LC2

RL

+ GC

(ω >> ωt) (7.3.5)

Or, on vérifie qu’en pratique R/L >> G/C dans une gamme étendue defréquences comprises approximativement entre 2ft et 10 000ft, dans le cas

de bons diélectriques comme le polyéthylène, de sorte que :

α ≈ R2

CL

≈ R2 L/C

≈ R2Zo

2ft < f < 10 000ft (7.3.6)

On peut souligner l’analogie entre cette expression et celle du coefficientd’atténuation d’une onde plane dans un diélectrique à faibles pertes vue

précédemment : α = σ' η

2 , où σ' et η sont respectivement la conductivité

effective et l’impédance caractéristique du diélectrique.

Comme k = ω /u , on obtient une expression approximative de la vitesse dephase u en haute fréquence à partir de l’équation 7.9.4 :



u ≈ 1

LC 1 + 18ω2

RL

GC

2 (ω > 2ωt) (7.3.7)

En pratique, pour les lignes courantes, G/C << R/L. Vu que ωt = R/L, on a

donc :

u ≈ 1

LC 1 + 18

ωtω

2 (ω > 2ωt) (7.3.8)

Ce résultat est comparé celui de la formule exacte (supposant R, L, G et Cconstants) dans la figure 7.3.2, avec les données de l’exemple précédent. Àdes fréquences relativement élevées, la vitesse de phase tend vers une limiteessentiellement déterminée par la capacité et l’inductance distribuées,indépendante des pertes :

u ≈ 1LC

ω ≥ 2ωt (7.3.9)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

102 103 104 105

Vitesse de phase

Fréquence [Hz]

Exact

Approximatif

108

u [m

/s]

Figure 7.3.2 Comparaison des calculs exact et approximatif de u. (voir exemple 7.3.1)



Approximations utiles en basses fréquencesMettons en facteurs R et G dans l’expression γ = (R + jω L) (G + jω C) :

γ = RG 1 + jω L

R

1/21 +

jω CG

1/2

En développant par le binôme de Newton et en retenant seulement lestermes d’ordre 1 et 2, on obtient l’approximation suivante :

γ ≈ RG 1 + ω2

8 LR

– CG

2 + j ω

2 LR

+ CG

1 + ω2

8 LCRG

(7.3.10)

D’où les expressions approximatives du coefficient d’atténuation et de lavitesse de phase :

α ≈ RG 1 + ω2

8 L

R – C

G2

ω < ωt/5 (7.3.11)

u ≈ 2

RG LR

+ CG

1 + ω2

8 LCRG

ω < ωt/5 (7.3.12)

Quand la fréquence tend vers zéro, considérant qu’en pratique C/G >> L/R,les limites sont :

α ≈ RG (7.3.13)

u ≈ 2C

GR

(7.3.14)

C’est un résultat remarquable en ce sens que l’atténuation et la vitesse dephase tendent vers zéro quand la conductance linéique G s’annule ! Mais ilfaut remarquer que la conductance linéique G est une grandeur qui fluctuebeaucoup en pratique, car elle dépend particulièrement de la température etde l’humidité ambiante. L’atténuation et la vitesse de phase aux très bassesfréquences sont donc mal définies. Mais cela n’a pas d’importance enpratique dans les systèmes de communication modernes où on utilise dessignaux à hautes fréquences.



7.4 Paramètres linéiquesEffet de la fréquence

Résistance linéique

Conducteur cylindriqueLa résistance linéique dépend de la fréquence à cause de l’effetpelliculaire : le courant est repoussé vers la surface des conducteurs àmesure que la fréquence augmente. Donc, la section de passage du courantdiminue, d’où l’augmentation de la résistance.

La figure 7.4.1 ci-contre représente une portion de conducteur cylindriquede rayon a parcouru par un courant alternatif de fréquence f perpendiculaireau plan de la figure. L’étude de l’effet pelliculaire a permis de démontrer quela pénétration du courant et du champ électromagnétique à la surface d’unconducteur est la grandeur δ définie comme :

δ = 2ωσμ (7.4.1)

où σ et μ sont respectivement laconductivité électrique et la perméabi-lité magnétique du conducteur. Dansle cas où le rayon de courbure a duconducteur est grand devant δ, ondémontre que la densité de courant Jvarie exponentiellement avec laprofondeur p à partir de la surface :

pδ

Figure 7.4.1

J(p) JS e-p/δ (7.4.2)



À la profondeur p = δ, J(δ) JS e-1 ≈ 0,368 JS . Rappelons que les modules du

champ électrique E et du champ magnétique H varient de la même façonavec la profondeur p. On démontre également que si δ << a , à hautefréquence, la résistance d’une longueur h de ce conducteur est égale à celled’une coquille cylindrique d’épaisseur δ , rayon a et longueur h :

Rh 1σ hS

≈ 1σ h2πaδ

La résistance de l’unité de longueur est alors :

R ≈ 12πσ aδ

(7.4.3)

Ligne coaxialeEn haute fréquence, le courant circule comme illustré dans la fig. 7.4.2 : à lasurface des conducteurs qui sont en regard l’une de l’autre. La résistancelinéique est donc la somme des résistance des coquilles de longueur unité,d’épaisseur δ et de rayons a et b :

R ≈ 12πσ aδ

+ 12πσ bδ

≈ 12πσ aδ

(1 + ab

) (7.4.4)

ou encore :

R ≈ 1 + a/b2πa

πfμ

σ (7.4.5)

La résistance en courant continu est donnée par :

Ro 1πσ a 2

+ 1πσ (c2 b 2)

(7.4.6)

Donc, de façon générale en haute fréquence, la résistance linéique augmentecomme la racine carrée de la fréquence, quand la pénétration δ est trèsinférieure à la plus petite dimension du conducteur.



Ligne bifilaireCe dernier raisonnement s’applique en haute fréquence à une ligne bifilaire(fig. 7.4.3) dont les conducteurs sont de faible diamètre 2a devant leurséparation 2d. Autour de chaque conducteur, le champ électrique estpratiquement radial, et la pénétration δ du courant pratiquement uniformesur la circonférence5. La résistance linéique d’une telle ligne s’exprime alorscomme :

R ≈ 1πσ aδ

≈ 1πa

ωμ2σ

≈ 1πa

πfμ

σ (7.4.7)

Ce qui montre que la résistance linéique de la ligne augmente comme laracine carrée de la fréquence f de l’onde qui se propage. À très bassefréquence, la résistance se réduit à celle en courant continu :

Ro 12πa 2σ

(7.4.8)

D’où le rapport :

RRo

≈ 2aδ

(7.4.9)

a

bc δ

με

aaμ

εδ δ

2d

Figure 7.4.2 Ligne coaxiale Figure 7.4.3 Ligne bifilaire

5 Dans la figure, les conducteurs sont relativement près l’un de l’autre : dans ce cas, il y a un effet de proximité qui cause une plus

grande densité de courant sur les surfaces adjacentes, tel qu’illustré. Cet effet est causé par une plus grande intensité du champ

électromagnétique au voisinage des surfaces adjacentes.



Exemple 7.4.1 Résistance linéique

VARIATION AVEC LA FRÉQUENCE.

La conductivité du cuivre est de 5,7·107 S/m et sa perméabilité magnétique

μ ≈μο = 4π·107 H/m. À 1 MHz, la pénétration du courant est donc :

δ = 22π × 106 × 5,7 ⋅ 107 × 4π⋅ 10 7

1/2 = 6,67 ⋅ 10 5 m = 66,7 μm

ce qui est moins du sixième du rayon du conducteur central ou del’épaisseur d’écran de la plupart des câbles coaxiaux, de sorte quel’approximation précédente s’applique. Par exemple, pour le câble RG-58/U,a = 0,407 mm, b = 1,475 mm. Au moyen de l’expression (7.4.4), on obtientsa résistance linéique :

R = (1 + 0,407/1.475)

2π × 5,7 ⋅ 107 × 0,407 ⋅ 10 3 × 66,7 ⋅ 10 6 ≈ 0,131 ohms/m

Vu la loi en f , cette résistance sera, par exemple, 4 fois plus grande à 16MHz, 10 fois plus grande à 100 MHz, etc. Les conséquences pratiques de cephénomènes posent un des problèmes les plus importants dans le domainede la transmission des signaux par lignes électriques, celui de leuratténuation considérable aux fréquences élevées.

La résistance linéique à très basse fréquence ou en courant continu peutêtre calculée connaissant le rayon a du conducteur central, le rayon interneb de l’écran (conducteur externe) et son épaisseur. En supposant cettedernière égale à 0,3 mm, ce qui est près de la réalité, avec l’expression(7.4.5) :

Ro = 1

π × 5,7 ⋅ 107 × 4,07 ⋅ 10 4 2 + 1

π × 5,7 ⋅ 107 × 1,775 ⋅ 10 3 2 – 1,475 ⋅ 10 3 2

Ro = 3,944 ⋅ 10 2 ohm/m

On notera que cette valeur est environ 3 fois plus faible que celle calculée à1 MHz, ce qui démontre bien l’importance de l’effet pelliculaire.



Inductance linéique

Ligne coaxialeL’inductance linéique est formée de deux termes, l’inductance interne etl’inductance externe :

L Lint + Lext (7.4.10)

Le premier terme est associé au flux magnétique dans les conducteurs, et ledeuxième est associé au flux entre les conducteurs, hors des conducteurs.Pour un câble coaxial (fig 7.4.2), à une fréquence qui tend vers zéro, ondémontre que :

L μ

2π 1

4 + c4

(c2 b 2)2 ln ( c

b) 3c2 b 2

4(c2 b 2) +

μo

2π ln b

a (7.4.11)

où μ est la perméabilité magnétique du conducteur. Si, par exemple, μ = μo,

avec b/a = 2,71818 = e, et b ≈ c, on a Lext ≈ 4Lint.

Quand l’effet pelliculaire augmente avec la fréquence, le courant estrepoussé vers les surfaces des conducteurs qui se font face et le fluxmagnétique interne diminue. Donc, l’inductance interne diminue avec lafréquence. L’inductance externe reste constante. À très haute fréquence,quand la pellicule δ est très inférieure aux rayons et aux épaisseurs desconducteurs, l’inductance linéique devient pratiquement égale à l’inductancelinéique externe :

L ≈ Lext ≈ μο

2π ln (ba ) [H/m] (7.4.12)

Ligne bifilaireDans le cas où les deux fils sont relativement éloignés (d >> a, voir fig. 7.4.3),l'inductance interne linéique à très basses fréquences est donnée par :

Li = μ

8π [H m -1] (7.4.13)



On démontre aussi que l'inductance linéique externe est donnée par :

Le μπ

cosh-1da ≈

μπ

ln 2da [H/m] si d >> a

À hautes fréquences, l'inductance interne devient négligeable devant Le, desorte que l'inductance linéique se réduit à :

L ≈ μπ

ln 2da [H/m] si d >> a (7.4.14a)

On démontre aussi que :

cosh-1da ln K avec K da 1 (a/d)

On en tire une expression valide pour tout rapport de d/a à hautesfréquences :

L μπ

ln K [H/m] exactement (7.4.14b)

Capacité linéique

Ligne coaxialeConsidérons le cas de la ligne coaxiale (fig. 7.4.2). La capacité linéique àhaute fréquence est donnée par la même expression qu’en courant continu :

C 2πε'ln (b/a)

F/m (7.4.15)

où la permittivité ε ' du diélectrique est pratiquement indépendante de lafréquence pour les diélectriques utilisés couramment.



Ligne bifilairePour une ligne bifilaire (fig. 7.4.3), la capacité linéique est celle démontrée enélectrostatique :

C πε'

cosh-1

(d/a) πε'

ln K ≈ πε'

ln(2 d/a) [F/m] (7.4.16)

L’approximation est valide si d >> a.

Conductance linéiqueEn régime sinusoïdal, le diélectrique est caractérisé par sa conductivitéeffective :

σe = σ + ω ε" (7.4.17)

où ε” est la partie imaginaire de la permittivité complexe : ε = ε’ - jε”. Elle estreliée aux pertes par hystérésis dans le diélectrique. En pratique, laconductivité σ du diélectrique est négligeable devant ω ε" , de sorte queσe ≈ ω ε" . Dans ce cas, le facteur de pertes FP ≈ tg δ p = σe/ω ε' ≈ ε”/ε’ 7. δpest l’angle de pertes ici. Il s’ensuit que la conductivité effective peut s’écrirecomme suit :

σe ≈ ω ε' tg δp

Or, on sait qu’il existe la relation fondamentale suivante entre la capacitéd’un système de deux conducteurs et la conductance entre ces deux mêmesconducteurs quand le diélectrique de permittivité ε’ est remplacé par unmilieu conducteur de conductivité σe :

G/C = σe/ε’

6 Ne pas confondre ici la pénétration du courant δ avec l’angle de pertes δp.



Pour une ligne coaxiale, on a par conséquent :

G 2πσe

ln (b/a) =

2πωε' tg δp

ln (b/a) (7.4.18)

Mais, vu que la capacité a comme expression C 2πε' ln ( b/a)

, on a

finalement :

G ω C tg δp (7.4.19)

Atténuation en fonction de la fréquenceÀ la section 7.3, on a vu que le coefficient d’atténuation des ondes sur uneligne électrique avait une expression particulièrement simple en pratiquequand la fréquence est très supérieure à la fréquence de transition ft(équation 7.3.6) :

α ≈ R2Zo (7.4.20)

Dans la section suivante, il est démontré que l’impédance caractéristique Zose réduit à celle d’une ligne sans pertes dans ce cas : elle est résistive etconstante. D’autre part, la résistance linéique R à haute fréquence (faiblepénétration ) est donnée par les expressions 7.4.5 et 7.4.7 pour une lignecoaxiale et une ligne bifilaire respectivement. Dans ces expressions, seule lafréquence f est variable. On peut donc écrire :

R ≈ 1 + a/b2πa

πμσ f ≈ A f

(cable coaxial) (7.4.21)

etR ≈ 1

πa πμσ f ≈ B f

(ligne bifilaire) (7.4.22)

Le coefficient d’atténuation d’une ligne coaxiale peut donc s’écrire commesuit :

α ≈ A2Zo

f ≈ A' f (7.4.23)

Et celui d’une ligne bifilaire :

α ≈ B2Zo

f ≈ B' f (7.4.24)



Cette loi simple permet de calculer l’atténuation à toute fréquence élevéeconnaissant sa valeur α o à une fréquence de référence fo. En effet, pour le

câble coaxial à cette dernière fréquence :

αo ≈ A' fo

Divisons l’expression 7.4.23 par cette dernière :

ααo

≈ A' fA' fo

= ffo

D’où, finalement la loi très simple :

α ≈ αo f/fo (7.4.25)

De même pour la ligne bifilaire ou toute autre ligne électrique.

En général, l’effet de la conductance linéique est faible devant celui de larésistance linéique, de sorte qu’il est négligé le plus souvent.

Exemple 7.4.2 Calcul d'atténuation

Si le fabricant du câble RG-58/U donne la valeur de 92,4 pF/m pour lacapacité linéique (annexe A), on peut déduire la permittivité relativeε' r = ε'/εo du diélectrique :

ε' r = C ln (b/a)

2πεo =

92,4 ⋅ 10 12 × ln (1,475/0,407)

2π × 8,854 ⋅ 10 12 = 2,139

ce qui correspond bien à la valeur connue pour le diélectrique utilisé, lepolyéthylène.

On sait que le facteur de pertes du polyéthylène est d’environ 0,0005 surune très grande étendue de fréquence jusqu’aux gigahertz. L’expression(7.4.19) nous fournit une valeur de la conductance linéique à 1 MHz :

G = ω C tg δp = 2π × 106 × 92,4 ⋅ 10 12 × 0,0005 = 2,903 ⋅ 10 7 S/m

On a calculé plus haut qu’à 1 MHz, R = 0,131 ohm/m, L = 260 nH/m etC = 92,4 pF/m. Calculons le coefficient d’atténuation au moyen del’expression 7.3.3. Auparavant, évaluons R/L et G/C :

RL

= 5,038 ⋅ 105 GC

= 3,142 ⋅ 103



Alors, α = 2,60 ⋅ 10 7 × 92,4 ⋅ 10 12

2 × 5,038 ⋅ 105 + 3,142 ⋅ 103

α = 1,242 ⋅ 10 3 Np/m

si on néglige G/C devant R/L, on calcule α = 1,235 ⋅ 10 3 Np/m , soit une

différence d’environ 0,6% seulement. L’expression approximative (7.3.6) peutdonc s’appliquer dans le cas présent

7.5 Impédance caractéristiqueD’après l’équation (7.2.16), l’amplitude complexe de l’onde de tension dans lesens positif de z est V +(x) V + e γ x . On obtient l’expression de

l’amplitude complexe du courant en portant cette dernière expression dansl’équation 7.1.13 qui relie la tension et le courant :

I+(x) 1Z

dV+dx

γZ

V+ e γ x YZ

V+ e γ x I+ e γ x (7.5.1)

Ou encore :

I+(x) YZ

V +(x) (7.5.2)

En inversant :

V +(x) ZY

I+(x) Zo I+(x) (7.5.3)

Ceci définit l’impédance caractéristique Zo de la ligne :

Zo ZY

R + jωLG + jωC

(7.5.4)

On voit que cette grandeur complexe dépend des paramètres linéiques ainsique de la pulsation de l’onde. Elle varie de façon importante au voisinage dela fréquence de transition ft. C’est le cas des lignes téléphoniques

fonctionnant aux fréquences inférieures à 20 kHz, ce qui pose des problèmesimportants sur de grandes distances.



Cas des hautes fréquencesÀ des fréquences très supérieures à la fréquence de transition ft (celle à

laquelle R = ωtL), l’impédance caractéristique devient indépendante de la

fréquence. Dans ces conditions, elle tend vers la valeur des lignes sanspertes :

Zo ≈ LC

(f >> ft) (7.5.5)

Cas des basses fréquencesQuand la fréquence est très inférieure à la fréquence de transitions :

Zo ≈ RG

(f << ft) (7.5.6)

Exemple 7.5.1 Variation de l'impédence caractéristique

L'impédance caractéristique d'une ligne varie de façon importante auxfréquences allant de zéro à la fréquence de transition ft. La ligne RG-58/U de

l'exemple précédent a une résistance en courant continu Ro de 3,94·10 2

Ω /m, puis L = 260 nH/m, C = 92,4 pF/m et G ≈ 0. Or, l'effet pelliculaire estfaible aux fréquences inférieures à ft. Si l'on considère R, L, C et G commeconstants dans l'intervalle de 0 à quelques fois ft, on calcule facilement Zo :

Zo = 3,94·10 2 + j2πf · 2,60·10 7

0+ j2πf · 9,24·10 11

1/2

On constate que l'impédance caractéristique varie considérablement dans ledomaine audio, celui des fréquences audibles utilisées dans les systèmestéléphoniques locaux. Cela entraîne en pratique une distorsion de la voix etautre quand la longueur des lignes dépasse quelques dizaines de kilomètres.


0

200

400

600

800

1000

101 102 103 104 105 106

Module de Zo [ohms]

Fréquence [Hz]

Zo

50

40

30

20

10

0Argument de Zo

Fréquence [Hz]

Arg

(Zo)

[dg]

101 102 103 104 105 106

Figure7.5.1 Variation de Zo du coaxial RG-58/U avec la fréquence

7.6 Impédance caractéristique etparamètres géométriquesVoyons comment l'impédance caractéristique d'une ligne aux pertesnégligeables ou d’une ligne à haute fréquence dépend des paramètresgéométriques, c'est-à-dire des dimensions, dans le cas de la ligne coaxiale etdans celui de la ligne bifilaire (fig. 7.6.1, 7.6.2). Pour le câble coaxial, lerayon externe c de l’écran est sans importance, vu que le courant circule surla surface interne.



Ligne coaxialeOn sait que, à ces conditions, l'impédance caractéristique d'une telle ligne(fig. 7.6.1) est donnée par l’expression précédente (7.5.5), où L et C sontrespectivement l'inductance et la capacité linéiques. Or, on connaît lesexpressions de ces dernières vues plus haut (éq. 7.4.12, 7.4.15) :

L μ2π

ln ba C 2πεln ( b/a)

(7.6.1)

Par substitution dans l’expression (7.5.5), on obtient :

Zo 12π

με ln b

a (7.6.2)

εμ

a

b

a a

2d

εμ

Figure 7.6.1 Ligne coaxiale Figure 7.6.2 Ligne bifilaire

Ligne bifilaireÀ partir des expressions HF de C et L vues plus haut, on obtient :

Zo 1π

με cosh-1 d

a [Ω] (7.6.3)

ou

Zo ≈ 1π

με ln 2d

a si d >> a (7.6.4)



Exemple 7.6.1 Calcul de paramètres divers

Soit une ligne coaxiale de type RG-58/U comme dans l’exemple précédent.D’après la fiche technique d’un fabricant (Amphenol), a = 0,406 mm,b = 1,505 mm (fig. 7.6.1), εr = 2,20 (polyéthylène). Au moyen de l’expression

(7.6.2), on peut vérifier que son impédance caractéristique à haute fréquence(f >> ft) est bien voisine de 53 ohms :

Zo = 12π

4π⋅ 10 7

2,2 × 8,854⋅ 10 12 ln (1,505/0,406) = 53,0 ohms

Le fabricant donne la capacité linéique C = 93,5 pF/m et précise que lavitesse de propagation des ondes sur ce câble est de 65,9 % de celle de lalumière dans le vide (≈ 3·108 m/s). Donc, u = 1,977·108 m/s. Au moyen dela relation (6.4.10), on peut calculer l’inductance linéique :

L = Zou =

53,0

1,977⋅ 108 = 268,1 nH/m

À partir de l’expression (7.6.1), on doit donc trouver une valeur voisine,sinon exactement égale :

L ≈ Lext ≈ 4π⋅ 10 7

2π ln

1,5050,406

= 262,0 nH/m

La fréquence de transition est une fréquence relativement basse. Pour lacalculer, il nous faut trouver une valeur approximative de la résistancelinéique : on prendra la valeur en courant continu calculée dans l’exemple

7.4.1 : Ro = 3,944 ⋅ 102 ohm/m . Alors :

ft = ωt2π

= R2πL

= 3,944⋅10 2

2π × 268,1⋅10 9 ≈ 23 kHz

On calcule aussi qu’à cette fréquence, la valeur de δ est d’environ 0,43 mm,soit comparable au rayon du conducteur central. L’effet pelliculaire est alorseffectivement peu important dans un câble ayant ces dimensions.



Exemple 7.6.2 Détermination de fonctions d'ondes

Considérons une ligne semi-infinie (figure ci-dessous) supposée sans perte, àl’entrée de laquelle est raccordée une source de tension décrite par :

vs(t) = 10 sin(108t) U(t) volts

où U(t) est la fonction échelon unité. À t = 0, une onde de tension sinusoïdalecommence donc à se propager sur la ligne avec une vitesse u qu’onsupposera égale à 2 ·108 m/s. Dans la figure ci-dessous, on voit la tensionsur la ligne quand le front d’onde A a franchi la distance ut.

v(t)

0 x

L = Zou =

53,0

1,977⋅ 108 = 268,1 nH/m


X

λ

ut

0

u

A

V10

-10

Figure 7.6.3

Supposons qu’il s’agisse d’un câble RG-58C/U. Son impédancecaractéristique étant de 50 ohms, l’amplitude de l’onde de courant seraIm = Vm/Zo = 10/50 = 0,2 ampères. Faisant l’hypothèse que les pertes sont

négligeables, la fonction d’onde du courant est donc :

i+(x, t) = 0,2 sin 108(t - x/u) U(t - x/u) ampères

C’est une onde qui est de forme identique à celle de la tension et en phaseavec celle-ci, car l’impédance caractéristique est réelle ici.

Exemple 7.6.3 Calculs à la fréquence de transition

Calculons l’impédance caractéristique du câble RG-58/U à la fréquence detransitionft = 23,45 kHz (exemple 7.6.1) au moyen de l’expression (7.5.4). On utilisera

R ≈ Ro = 3,95 ⋅ 10 2 ohm/m , L = 268,1 nH/m, C = 93,5 pF/m et la valeur

de G calculée à cette fréquence avec un facteur de pertes de 0,005 :

G = 2π × 23,45 103× 93,5 ⋅ 10 12 × 0,005 = 6,89 ⋅ 10 8 S/m

Zo = R + jωLG + jωC

= 3,95 ⋅ 10 2 + j2π × 23,45 ⋅ 103 × 268,1 ⋅ 10 9

6,89 ⋅ 10 8 + j2π × 23,45 ⋅ 103 × 93,5 ⋅ 10 12

1/2

Zo = 3,95 ⋅ 10 2 + j3,95⋅ 10 2

6,89 ⋅ 10 8 + j1,378 ⋅ 10 5

1/2

= 5,586 ⋅ 10 2∠45°

1,378 ⋅ 10 5∠89,71 °

1/2

Zo = 63,7∠-22,36° = 58,9 – j24,2 ohms



On voit que l’impédance caractéristique a un module supérieur à 53 ohms etqu’elle est capacitive. En fait, celle-ci est toujours capacitive pour les lignescourantes. On constate aussi que la conductance linéique joue un rôlenégligeable, particulièrement à haute fréquence : c’est pratiquement toujoursle cas.

Si l’impédance caract éristique est complexe, il s’ensuit que les ondes de courant et de tension q ui se propagent su r une ligne semi-infinie (sans réflexion) sontdéphasées. Rema rquons aussi que l’impédance d’entrée d’une telle ligne infinieest égale à Zo. Si la source à l’entrée impose une tension alternative de 10 voltsd’a mplitu de à 23,45 kHz, alors Vo + = 10 volts, et :

Io+ = Vo+Zo

= 1063,7∠-22,36o

= 157,0∠+22,36° mA

L’onde de courant est donc en avance de phase de 22,36° sur celle detension en tout point de la ligne. D’après ce que nous avons vu plus haut, vuque ω = 2π f = 1,473 ·105 rd/s (ωt), si les pertes étaient négligeables, la

fonction d’onde réelle de tension s’écrirait comme suit en régime permanent :

v+(x, t) = 10 sin(1,473 ⋅ 105t - kx ) volts

ou encore : v+(x, t) = 10 cos(1,473 ⋅ 105t - kx - π/2) volts

Mais, en réalité, il y a atténuation de l’onde en cours de propagation, desorte que cette dernière expression n’est approximativement valide qu’àcourte distance de la source. Il faut plus exactement utiliser une expressionde la forme vue plus haut (éq. 7.2.6) :

v+ (x,t) = V+(0) e αx cos (ω t – kx + φ+) .

Dans le cas présent : v+(x, t) = 10 e αx cos(1,473 ⋅ 105t - kx - π/2) volts

Il reste à trouver les valeurs de α et de k. On doit donc évaluer la fonction depropagation γ. Utilisant les mêmes paramètres que précédemment :

γ = (R + jωL) (G + jωC)

γ = [(3,951 ⋅ 10-2 + j1,473 ⋅ 105 × 2,681 ⋅ 10-7) × (6,89 ⋅ 10-8 + j1,473 ⋅ 105 × 93,5 ⋅ 10-12)]1/2 γ = [(5,586⋅ 10-2∠45,0°) × (1,378 ⋅ 10-5∠89,71°)]1/2

= 8,774 ⋅ 10-4∠67,36°

γ = 3,377 ⋅ 10 4 + j8,097 ⋅ 10 4 m 1



D’où : α = 3,377 ⋅ 10 4 Np/m et k = 8,097 ⋅ 10 4 rd m 1

Ceci montre que l’atténuation atteint 1 néper (Np) après un parcours de2,96 km, ce qui est relativement faible. De k, on tire la vitesse de phase :

u = ωk

= 338301,853 ⋅ 10 4

= 1,826 ⋅ 108 m/s

Remarquons que cette vitesse, la vitesse de phase, est inférieure à celle àhaute fréquence (1,98 ·108 m/s) : elle l’est de 7,6 %. On a vu plus haut quela vitesse de phase diminue régulièrement avec la fréquence.

Cette variation de vitesse avec la fréquence, cause un problème trèsimportant dans la transmission à grande distance de signaux dans la bandeaudio (20 Hz à 20 kHz environ). Comme les composantes de différentesfréquences d’un signal complexe se propagent à des vitesses différentes, cesignal est plus ou moins déformé à la réception : c’est la distorsion dephase. Ce problème est réglé par la translation de fréquence qui porte toutesces composantes à des fréquences très supérieures à la fréquence detransition.

Exemple 7.6.4 Variation de l'atténuation avec la fréquence

À 1 MHz, c’est le domaine des hautes fréquences. Par conséquent, pour lecâble RG-58/U, la vitesse de phase est 1,98 ·108 m/s. L’impédancecaractéristique est alors réelle et égale à 53 ohms environ. Le coefficientd’atténuation est donné approximativement par l’expression (7.3.6) :

α = R2Zo

= 0,1311

2 × 53 = 1,237 ⋅ 10 3 Np/m

Notons que cette valeur est près de 4 fois supérieure à celle à la fréquence detransition (24,5 kHz). D’après la fiche technique d’un fabricant, le coefficient

de cette ligne à 1 MHz devrait être d’environ 1,24 ·10-3 Np/m. Le résultat dece calcul est donc remarquable.

En supposant une conductivité linéique G de 10- 7 S/m aux basses

fréquences, on trouve une atténuation de 0,125 ·10-4 Np/m quand f –> 0.Aux fréquences élevées, on vérifiera que le coefficient d’atténuation est donné

par α = 1,237 ⋅ 10 6 f Np/m. Le graphique qui suit montre la variationapproximative de α sur une étendue de fréquence de sept décades.



Avec les méthodes de calcul modernes, il est facile de calculer α et u à partirde l’expression exacte de γ en séparant les parties réelle et imaginaire. Lesformules que nous venons de voir permettent une évaluation approximativerapidement.

100

100

10

1

0,1

104 α

[N

p/m

]

Coefficient d'atténuationcâble RG-58/U

Fréquence (Hz)

Variationen f

106102 104

Figure 7.6.4

Variation approximative du coefficient d’atténuation avec la fréquence pour le câble RG-58/U dans

l’hypothèse où G = 10-7 S/m

EXERCICES

Questions diverses

a) Qu'y a-t-il de particulier à la fréquence de transition d'une ligneélectrique ?

b) Quelle est la règle pour établir l’expression de la tension en tout pointd'une ligne infinie et en tout temps connaissant la tension à l'entrée ?



c) À quelle condition le coefficient de réflexion sur le récepteur au boutd'une ligne RG-58C/U (Zo = 50 ohms) est-il négatif et réel ?

d) Comment l'impédance caractéristique d'une ligne est-elle reliée à sonimpédance linéique et à son admittance linéique ?

e) Comment évolue la vitesse de phase d'une onde sur une ligne quand lafréquence augmente ?

7.1 Fonction d’onde - Équation d’onde

Démontrer qu'en régime harmonique l'amplitude complexe de la tensionélectrique sur une ligne avec pertes satisfait l'équation de propagationsuivante :

d2Vdx 2

– γ2 V = 0 avec γ 2 =ZY Z = R + jωL Y = G + jωC

7.2 Ligne téléphonique

Les paires de fils dans un câble téléphonique ont les caractéristiquessuivantes à 10 kHz : Zo = 600 ohms u = 2,0 · 108 m/s α = 1 dB/km

Vous raccordez à l'entrée d'une de ces paires un générateur de signauxayant une impédance interne de 600 ohms donnant une tension de 1 voltd'amplitude en circuit ouvert (Vo) à 10 kHz. L'autre extrémité qui se trouve à

5 km est raccordée à une autre paire de fils dans le même câble, et vous laterminez où vous êtes par une charge adaptée Rc. Il s'agit donc d'une

longueur totale de 10 km. Vous savez que 1 néper (Np) = 8,686 décibels (dB).

a) Si vous regardez simultanément à l'oscilloscope le signal d'entrée et celuide sortie (en Rc), quel est l'amplitude de ce dernier et quel déphasage

entre les deux pourrez-vous observer et mesurer, en degrés ? Faites uncroquis représentant correctement ces signaux.

b) Établir une expression réelle exacte du courant sur la ligne en fonctionde la position et du temps à partir de l'entrée. Note : Utiliser la variable spour indiquer la position sur la ligne.

7.3 Onde sinusoïdale sur une ligne

Une ligne téléphonique de 50 km terminée par son impédancecaractéristique égale à 600 ohms a une vitesse de phase de 2c/3 et uneatténuation de 0,5 dB/km a 1 kHz. Si on raccorde à l’entrée un générateurd’impédance interne égale à 600 ohms dont la tension en circuit ouvert estdonnée par : vs(t) = 2 cos (2000πt) volts :



a) Déterminer et représenter dans une figure à l’échelle l’amplitudecomplexe de la tension à tous les 10 kilomètres sur une distance de 50km, ainsi que l’expression de la tension réelle au récepteur.

b) Évaluer la puissance fournie à l’entrée de la ligne et celle qui estabsorbée par le récepteur. Établir l’expression générale de la puissanceen fonction de la position sur la ligne.

R : Pe = Po = 833 μW Pr = 2,63 μW

7.4 Paramètres d’un ligne coaxiale

Une ligne coaxiale est constituée d'un conducteur central de rayon a = 2 mmet d'un écran de rayon interne b = 6 mm espacés par un diélectrique solidede permittivité relative égale à 2,2. Considérant les pertes commenégligeables, évaluer son impédance caractéristique et la vitesse depropagation. Rép. : Zo = 44,4 ohms u = 2,02 · 108 m/s

7.5 Ligne à haute tension

Une ligne à haute tension est faite d'une paire de câbles d'aluminium de1 cm de diamètre dont les centres sont espacés de 50 cm.

a) Évaluer son impédance caractéristique.

Rép. : 552 ohms

b) Déterminer la tension maximale de fonctionnement si le champélectrique autour des câbles ne doit pas dépasser 106 V/m.

Rép. : 78,2 kV

7.6 Liaison par ligne adaptée avec pertes

Deux stations répétitrices d'un réseau de communication sont reliées par uncâble coaxial RG-8/U (Alpha 9008). Leur séparation est de 1 km. Le câble estterminé par un récepteur présentant une impédance d'entrée égale àl'impédance caractéristique Zo de la ligne. Pour faire des essais, on utilise

comme source un générateur de tension sinusoïdale à 50 MHz etd'impédance interne égale à Zo donnant une tension de 2 V d'amplitude en

circuit ouvert.



a) Déterminer la fonction d'onde décrivant la tension sur la ligne en touspoints et en tout temps.

b) Évaluer la puissance injectée dans la ligne et celle au récepteur.

7.7 Variation des paramètres - Ligne téléphonique

Une paire de fils dans un câble téléphonique est constituée de conducteurB&S # 20. On suppose que dans la gamme de fréquences allant de 200 à30 000 Hz, ses paramètres distribués sont approximativement constants :R = 35 Ω / km, L = 530 μH/km, C = 35 nF/km, G = 500 nS/km.Sa longueur est de 3 km et on la suppose terminée par une impédance égaleà son impédance caractéristique à toute fréquence.

a) Faire le graphique en fonction du logarithme de la fréquence desgrandeurs suivantes :

– La vitesse de phase.

– Le coefficient d'atténuation.

– La partie réelle Ro et la partie imaginaire Xo de l'impédance

caractéristique.

b) Évaluer la fréquence de transition de cette ligne.

Rép. : ft = 10,5 kHz

c) À partir de quelle fréquence l'erreur faite en utilisant la formule HF de lavitesse de phase est-elle inférieure à 2 % ?

Rép. : ≈ 26 kHz

d) À 5 kHz, évaluer le rapport de la tension de sortie à la tension d'entrée endécibels.

Rép. : 2,87 dB

e) À 5 kHz, évaluer le déphasage entre le courant et la tension sur la ligne.

Rép. : 32,3° (I en avance)

7.8 Paramètres HF

Démontrer qu'aux fréquences très supérieures à la fréquence de transitionft, la vitesse de phase, le coefficient d'atténuation et l'impédance

caractéristique d'une ligne électrique sont donnés par les expressions

suivantes : u = 1LC

, α = R2Zo

, Zo = LC



7.9 Paramètres BF

Démontrer que, dans le cas où la fréquence du signal tend vers zéro, lavitesse de phase, le coefficient d'atténuation et l'impédance caractéristiqued'une ligne électrique sont donnés par les expressions suivantes :

u = 2/[L CR

+ C RG

] , α = RG , Zo = RG

7.10 Népers et décibels

Démontrer que 1 néper (Np) ≈ 8,686 décibels (dB).

7.11 Effet pelliculaire et résistance linéique

Démontrer que, à cause de l'effet pelliculaire, la résistance linéique d'uneligne électrique coaxiale à hautes fréquences est donnée par l'expression

R = Rs2bσ (1 + ba ) où Rs =

μω2σ

1/2 la résistance de surface.

a est le rayon du conducteur interne, b est le rayon interne du conducteurexterne et σ est la conductivité du conducteur. Cela s'applique seulementdans le cas où le rayon ou l'épaisseur des conducteurs est très supérieur àla pénétration du champ électromagnétique.

7.12 Paramètres HF d’une ligne coaxiale

Une ligne coaxiale est faite d'un conducteur central ayant un rayon de0,5 mm et d'un écran de rayon interne égal à 3 mm, avec un rayon externeégal à 3,15 mm. Le conducteur est en cuivre dont la conductivité est5,7 · 107 S/m. L'espace entre les conducteurs est plein de polyéthylèneayant une permittivité relative de 2,2 et un facteur de pertes de 0,0005 à 100MHz. Évaluer les paramètres linéiques de cette ligne à cette fréquence, sonimpédance caractéristique et la vitesse de propagation des ondes.

Rép. : R = 0,977 Ω /m ; C = 68,31 pF/m ; L = 358,3 nH/m ;G = 21,46 μS/m ; Zo = 72,4 Ω

7.13 Variation des paramètres avec la fréquence

Élaborer un logiciel pour l'ordinateur personnel de votre choix permettant decalculer et mettre en graphique (échelle logarithmique de fréquence) lescaractéristiques suivantes d'une ligne coaxiale en fonction de la fréquence, àpartir des paramètres linéiques. Le faire aussi au moyen du logicielMathLab.



a) La fréquence de transition (pas de graphique).

b) Les parties réelle et imaginaire de l'impédance caractéristique, ou lemodule et l'argument.

c) La vitesse de phase.

d) Le coefficient d'atténuation tenant compte de l'effet pelliculaire auxfréquences telles que la pénétration est faible par rapport au rayon ou àl'épaisseur des conducteurs.

Note : Imaginer une transition logique entre les caractéristiques à bassefréquence et celles à haute fréquence.

7.14 Variation des paramètres avec la fréquence

Une ligne coaxiale a un conducteur central de rayon a = 0,5 mm et un écrande rayon interne b = 2 mm, rayon externe c = 2,5 mm, tous deux en cuivrede conductivité avec un diélectrique solide de permittivité relative égale à2,25 (polyéthylène), avec un angle de pertes constant et égal à 0,002 rd. Les

conducteurs sont en cuivre de conductivité σ = 5,7· 107 S m 1.

a) Évaluer son impédance caractéristique et la vitesse de phase à hautefréquence.

R. : u = 200 000 km/s Zo = 55,4 ohms

b) Calculer les paramètres linéiques à basse fréquence et la fréquence detransition.

R. : R = 24,4 milliohms/m ; L = 344 nH/m ; C = 90,3 pF/m ; G ≈ 0 S/m ;ft = 11,3 kHz

c) Évaluer la résistance et la conductance linéiques à 10 MHz et à 50 MHz.R. : 10 MHz : R = 328 mΩ /m ; G = 11,35 μS/m

50 MHz : R = 734 mΩ /m ; G = 56,7 μS/m

c) Calculer le coefficient d'atténuation de la ligne à 10 et à 50 MHz. Est-ceque la perditance (conductance linéique) a un effet appréciable ?

R. : 28,4 et 71,2 dB/km


8888Lignes finies avec pertes

8.1 Fonctions d'ondeConsidérons une source S de tension sinusoïdale Vs (valeur en circuit

ouvert) et d’impédance interne Zs reliée à un récepteur d’impédance Zr par

une ligne électrique de longueur a. (fig. 8.1.1). Cette ligne est caractériséepar une impédance caractéristique Zo, une vitesse de phase u et une

fonction de propagation γ. La source est en action depuis longtemps, de sortequ’un régime stationnaire s’est établi. Au départ, l’onde sinusoïdale partie dela source a subi des réflexions multiples aux deux extrémités. Mais, toutesles ondes dans une direction donnée ayant la même fréquence, leursuperposition est forcément une onde sinusoïdale. Appelons V+(x)

l’amplitude complexe de l’onde qui se propage dans le sens positif de x etV (x) celle de l’onde dans le sens négatif. On sait que :

V +(x) V+o e-γ x et V -(x) V-o e+γ x (8.1.1)

où V+o et V o sont les amplitudes complexes à l’origine. Pour simplifier la

notation, on ne les soulignera pas comme auparavant, sauf si le contextel’exige. La tension sur la ligne est donc donnée par la somme de ces deuxphaseurs :

V (x) V+o e-γ x + V -o e+γ x (8.1.2)

Mais, on peut affirmer que l’onde V (x) résulte de la réflexion de V+(x) au

récepteur. La relation sera établie un peu plus loin. À cet effet, il convient deplacer l’origine 0’ d’un nouveau référentiel au récepteur et de mesurer par lavariable h la distance à ce point (fig.8.1.1).


Vs S γ u0

x h

x = a

Z0'

V+ = VdZs

Zo

V = Vg

Figure 8.1.1 Ligne électrique reliant une source à un

récepteur dans le cas général

8.2 Changement de coordonnéesVu que x = a - h, la fonction d’onde vers la droite peut s’écrire comme suit :

V +(h ) V d(h ) V +o e-γ (a - h) V+o e-γ a e+γ h

Mais, V+o e γ a est l’amplitude en 0’ (x = a). Convenons de la désigner parVdo, l’indice d indiquant qu’il s’agit d’une onde vers la droite. Appliquant le

même raisonnement à l’onde vers la gauche (avec l’indice g), ces ondess’expriment alors ainsi :

Vd(h) = Vdo e+γ h et Vg(h) = Vgo e γ h (8.2.1)

où Vgo = V o e+γ a . Pour les ondes de courant, on a de même :

Id(h ) Ido e+γ h et Ig(h ) Igo e-γ h (8.2.2)

On pourra vérifier que :

V d(h ) +Zo Id(h ) et Vg(h ) Zo Ig(h ) (8.2.3)

8.3 Coefficient de réflexion

DéfinitionOn définit le coefficient de réflexion ρr de la tension électrique au récepteurcomme le rapport de la tension réfléchie à la tension incidente en ce point :

ρr V go

V do (8.3.1)


8 Lignes finies avec pertes 237

Au récepteur, la tension et le courant sont donnés par la superpositiondes ondes incidentes et réfléchies :

V (0) V d(0) + Vg(0) Vdo + V go (8.3.2)

I(0) Id(0) + Ig(0) Ido + Igo (8.3.3)

D’après (8.2.3), cette dernière relation peut s’écrire :

I(0) V doZo

Vgo

Zo (8.3.4)

Or, la tension et le courant au récepteur sont reliés par la loi d’Ohm :V (0) Zr I(0) . Combinant les dernières équations, on obtient :

V do + V go Zr I(0) Zr VdoZo

V go

Zo

d’où on tire finalement

ρr V go

V do

Zr Zo

Zr + Zo (8.3.5)

On note que cette expression est identique à celle vue plus haut pour leslignes sans pertes avec des impédances réelles. Ici, le régime est sinusoïdalet les impédances généralement sont complexes. Donc, ce coefficient deréflexion est aussi généralement complexe.

Inversement, on peut exprimer Zr en fonction de ρr :

Zr 1 + ρr

1 ρr Zo (8.3..6)

Ces relations montrent que l’impédance sur la ligne et le coefficient deréflexion sont intimement liées. Elles seront très utiles plus loin.

Coefficient de réflexion généraliséLe coefficient de réflexion qu’on vient de définir l’a été pour un pointparticulier, le récepteur. Or, il s’avère pratique de le définir d’une façongénérale comme ρ(h) le rapport du phaseur de l’onde réfléchie et du phaseurde l’onde incidente au point d’abscisse h :


ρ(h ) V g(h )Vd(h )

V go e-γ h

V do e+γ h (8.3.7)

d’où :

ρ(h ) V go

V do e-2γ h ρr e-2γ h ρr ejφr e-2γ h (8.3.8)

De cette façon, le coefficient de réflexion ρr au récepteur est une valeur

particulière de ρ(h) en h = 0. On obtient le coefficient en h simplement enmultipliant ρr par l’exponentielle e 2γ h . Or, on sait que γ = α + jk, de sorte

qu’on obtient l’expression suivante :

ρ(h ) ρr e-2α h ej(φr - 2k h) (8.3.9)

C’est le coefficient de réflexion généralisé sur une ligne.

A. Analyse de ρ(h) : cas où α = 0

Si l’on peut négliger le coefficient d’atténuation sur la ligne, l’expressionprécédente devient :

ρ(h) = ρr ej(φr 2k h ) = ρr ejφr e j2k h (8.3.10)

La figure 8.3.1 montre les coefficients ρr et ρ(h) dans le plan complexe où l’on

voit bien que le phaseur tourne d’un angle θ = –2kh à partir du récepteur.Or, on sait que k = 2π / λ , où λ est la longueur d’onde. Donc,

θ 2kh 4πhλ

d’où :

ρ h = ρr ejφr e-j4πh/λ (8.3.11)

Alors, quand on s’éloigne du récepteur d’une distance h = λ/2, le phaseurtourne de -2π radians, il fait un tour complet dans le sens négatif : lecoefficient de réflexion reprend la même valeur à tous les points espacés l’unde l’autre de λ/2. Dans ce cas, le lieu de la pointe du phaseur (vecteur deFresnel) est un cercle de rayon |ρr| dans le plan complexe.


–2kh

φr

Ré

Im

ρ(h)

ρr

–2kh1

φr

Ré

Im

ρ(h)

ρr = 0,4472 ∠–26,57°

= -26,57°

Figure 8.3.1 Coefficient de réflexion dans le Figure 8.3.2 Exemple 8.3.1

plan complexe ; ligne sans perte

Exemple 8.3.1 Coefficient de réflexion

Soit une ligne d’impédance caractéristique Zo = 50 ohms terminée par une

impédance Zr = 100 – j50 ohms à une fréquence où la longueur d’onde est de

1 mètre. Le coefficient de réflexion au récepteur est :

ρr = 100 – j50 – 50100 – j50 + 50

= 70,71∠–45°

158,1∠–18,43° = 0,4472∠–26,57°

Il est représenté dans la figure 8.4.2. En s’éloignant du récepteur d’unecertaine distance h1, le vecteur ρr tourne d’un angle -2kh1 et devient réel et

égal à -0,4472. Évaluons cette distance. Or, ρ(h1) = ρr exp j(φr - 2k h1) ,

où k = 2π/λ = 6,283 rd/m. On voit que (φr - 2k h1) = –π rd.

On en tire :

h1 = π + φr

2k =

π – 0,4637rd

2 × 6,283 = 0,2131 m

On peut déjà affirmer que l’impédance “vue” de la gauche par l’ondeincidente en ce point est réelle et inférieure à Zo, vu que le coefficient de

réflexion est réel et négatif.



B. Analyse de ρ(h) : cas où α ≠ 0

Dans ce cas, l’expression (8.3.9) s’applique et l’on voit que le module de ρ(h)diminue exponentiellement avec la distance h, comme le montre la figure8.3.3 pour une valeur arbitraire du coefficient d’affaiblissement α :

ρ(h ) ρr e-2α h (8.3.12)

Le coefficient de réflexion doit donc tendre vers 0 quand le point considéréest très loin du récepteur, vers l'entrée de la ligne. En ce point, l’amplitudede l’onde réfléchie est négligeable et il y a une seule onde dans le sens positifde x. L’impédance sur la ligne est alors égale à l’impédance caractéristiqueZo.

Le vecteur ρ fait toujours un tour complet dans le plan complexe quand haugmente d’une demi-longueur d’onde.

ρ(h)

Ré

Im

ρr

φr

Figure 8.3.3 Coefficient de réflexion, Ligne avec pertes

8.4 Ondes stationnairesConsidérons la ligne de la figure 8.1.1 où l’onde vers la droite estV d(h ) V do e+γ h et celle vers la gauche V g(h ) Vgo e-γ h .L’amplitude résultante est la somme de ces deux expressions :

V (h ) V do e+γ h + V go e-γ h Vd(h ) + V g(h ) Mais, d’après (8.3.7), V g(h ) ρ(h ) Vd(h ).



Alors :

V (h ) Vd(h ) 1 + ρ(h ) Vdoe+γ h 1 + ρr e-2γ h (8.4.1)

La partie réelle de cette expression de l’amplitude complexe sur la lignedonne l’amplitude réelle de la tension. Examinons le cas particulier oùl’affaiblissement α est supposé négligeable :

V (h ) V doe+jk h 1 + ρr e-j(2k h φr) (8.4.2)

V (h ) Vdoe+jk h 1 + ρr cos (2kh φr) j sin (2 kh φr)

Le module de V(h) est alors :

V (h ) Vdo 1 + ρrcos (2kh φr)2 + ρr sin (2 kh φr)

2 1/2 (8.4.3)

Pour la mise en graphique, il est utile de remplacer k par 2π / λ et de mesurerh en unités de λ :

V (h ) Vdo 1 + ρrcos (4πh /λ φr)2 + ρrsin (4 πh /λ φr)

2 1/2 (8.4.4)

La figure 8.4.1 montre quelques cas d’ondes stationnaires pour diversesvaleurs de ρr et du coefficient d'atténuation, en posant Vdo = 1 volt :

(a) ρr = +1 Ligne ouverte

(b) ρr = +0,6 Zr = Rr > Zo : Rr = 1 + ρr

1 – ρr Zo = 4Zo

(c) ρr = –0,6 = 0,6ejπ Zr = Rr < Zo : Rr = 1 + ρr

1 – ρr Zo = 0,25Zo

(d) ρr = 0,6e+jπ/4 Zr = 1 + ρr

1 – ρr Zo = 2.078∠52,97° Zo

(récepteur inductif)

On observe que les valeurs maximales et minimales de |V(h)| ne dépendentque du module de ρ r. L’argument de ρr détermine leurs positions. Cette

observation est à la base d’une méthode relativement simple pour évaluerune impédance inconnue au moyen d’une ligne à fente1.

1 Ligne coaxiale courte et rigide, avec une fente longitudinale dans l'écran. Une courte sonde mobile peut être insérée dans cette

fente permettant de mesurer l'intensité du champ électrique et de la tension électrique dans l'espace entre l'écran et le conducteurcentral. La ligne à fente sert particulièrement à la mesure de la longueur d'onde dans l'air et de l'impédance des récepteurs oucharges.



La figure 8.4.2 montre, à un instant quelconque, les phaseurs de l’ondeincidente (a), de l’onde réfléchie (b) et de l’onde stationnaire résultante (c),dans le cas où le coefficient de réflexion est égal à –1 (réflexion sur un court-circuit). On observe particulièrement que la phase de la tension résultantechange brusquement de 180° à h = λ / 2, λ, 3 λ /2 ... Au cours du temps, tousces vecteurs tournent à la vitesse ω dans le sens positif (sens inverse d’unehorloge).

Taux d’ondes stationnairesLe taux d’ondes stationnaires mesure l’importance des variations de tensionou de courant le long d’une ligne en présence d’ondes stationnaires. Il estdéfini comme le rapport du maximum au minimum de tension ou de courantélectrique :

T.O.S. VmaxVmin

ImaxImin

(8.4.5)


Figure 8.4.1 Amplitude d’une onde stationnaire pour diverses valeurs du coefficient de réflexion au récepteur

Paramètres : v = 2 · 108 m/s f = 10 MHz a = 1,8 = 36 mètres

|V+| à l’entrée (h = 36 m) = 1 volt Zo = 50 ohms

Courbe A : α = 0 Courbe B : α = 20 dB/km


-λ

3 λ/4

0

φ r

V = 0o–π/2

λ/4λ/2–3π/2

V

V

Superposition des deux

V = 0

h

λ

φ rπ/2

π

λ/2

3λ/43π/2

λ/4

Vdo

VV

VV

dd

dd

0

Onde incidente

2π

h

-λ

3λ/4

0

Onde réfléchie

φr

−πV go

–π/2

λ/4λ/2π/2

+π

Vg

Vg

Vg

h

(a)

(b)

(c)

V = 0

Figure 8.4.2 Réflexion sur un court-circuit

(a) Phaseur de l’onde incidente, (b) Phaseur de l’onde réfléchie, c) Phaseur de l’onde stationnaire résultante.



8.5 Impédance sur la ligne

Cas généralNous allons maintenant trouver une expression très importante en pratique,celle de l’impédance sur la ligne (fig. 8.5.1), particulièrement à l’entrée (x = 0,h = a). L’impédance électrique en tout point d’abscisse h est définie comme lerapport de l’amplitude complexe de la tension et de celle du courant :

Z(h ) V(h )I(h )

(8.5.1)

Cette impédance dépend de tous les paramètres de la ligne (longueur a, Zo,

vitesse de phase u, etc.) et de l’impédance Zr, du récepteur. Or, comme nous

l’avons vu plus haut, l’impédance en un point est étroitement reliée aucoefficient de réflexion au même point :

Zr 1 + ρr

1 ρr Zo (8.5.2)

Zs

S γ u0

x h

x = a

0'

V+ = Vd

Zr

V = Vg

ZoVs

Figure 8.5.1 Ligne électrique reliant une source à un récepteur dans le cas général

Il en est de même en tout autre point de la ligne d’abscisse h, où l’impédanceest Z(h) et le coefficient de réflexion ρ(h ) :

Z(h ) 1 + ρ(h )1 ρ(h )

Zo (8.5.3)

Remplaçons ρ(h ) par son expression en fonction de ρr (8.3.8) :



Z(h ) 1 + ρr e-2γ h

1 ρr e-2γ h Zo

e+γ h + ρr e γ h

e+γ h ρr e γ h Zo (8.5.4a)

Or, on sait que ρr Zr Zo

Zr + Zo

d’où :

Z(h ) Zr + Zo e+γ h + Zr Zo e γ h

Zr + Zo e+γ h Zr Zo e γ h Zo (8.5.4b)

On peut réarranger comme suit :

Z(h ) Zr e+γ h + e γ h + Zo e+γ h e γ h Zr e+γ h e γ h + Zo e+γ h + e γ h

Zo (8.5.5)

Les relations cosh A = (eΑ + e–Α)/2 et sinh A = (eΑ – e–Α)/2 permettentd’écrire la dernière expression sous une forme plus compacte :

Z(h ) Zr cosh γ h + Zo sinh γ h Zocosh γ h + Zr sinh γ h

Zo (8.5.6)

L’impédance d’entrée est simplement une valeur particulière del’impédance sur la ligne, pour h = a.

Exemple 8.5.1 Variation de l'impédance d'entrée avec la fréquence

La figure 8.5.2 montre comment varient la partie réelle et la partieimaginaire de l'impédance d'entrée d'une ligne avec la fréquence dansl'intervalle de 2 à 30 MHz. Les paramètres de la ligne sont les suivants :

Longueur a = 30 mètres Vitesse de propagation u = 2 ·108 m/s = 2c/3

Impédance caractéristique Zo = 50 Ω

Impédance du récepteur Zr = 200 Ω (résistive)

Courbe A : atténuation nulle

Courbe B : α1 = 15 dB/km à 1 MHz

On suppose une variation en f1/2 : α α1 ff1

1/2



La figure 8.5.3 montre plus de détails dans l'intervalle de 50 à 64 MHz.Observons que la réactance (partie imaginaire) s'annule aux minimums etaux maximums de la partie réelle. La ligne est résonante à ces dernierspoints et son impédance d'entrée est purement résistive.

Les calculs ont été faits avec le logiciel MatLabmd et les résultats mis engraphique avec le logiciel SigmaPlotmd. Une version simplifiée du programmeMatLab suit : elle permet de calculer l'impédance d'entrée connaissant lesdivers paramètres de la ligne, l'impédance du récepteur et la fréquence.

% Calcul de l'impédance d'entrée d'une ligne

% en fonction de la fréquence.% Programme MatLab

% Ce programme calcule l’impédance d’entrée d’une ligne connaissant

% ses paramètres, la fréquence et l’impédance du récepteur.

clearformat compact

clc

hold off

clg

disp('')disp('')

disp(' Calcul de l*impédance d*entrée d*une ligne')

disp('')

v=input('Vitesse de phase [m/s]: ');h=input('Longueur [m]: ');

Zo=input('Impédance caractéristique [ohms]: ');

f=input('Fréquence [Hz]: ');

Attr=input('Atténuation [dB/m] à f réf., 1 MHz: ');

Rr=input('Impédance du récepteur, partie réelle [ohms]: ');Xr=input('Impédance du récepteur, partie imaginaire: ');

Zr = Rr + j*Xr; % Impédance du récepteur

Att=Attr*(f*1E-6).̂ 0.5/8.686; % Atténuation [Np/m] à la fréquence f.

B=2*pi/v;

k=B*f;g= Att + j*k; % Fonction de propagation.

th = tanh(g*h);

NumZ = Zr + Zo*th;

DenZ = Zo + Zr*th;Ze = NumZ*Zo/DenZ;

MZ=abs(Ze)


248 Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriquesdisp('Phase en degrés')PZ=angle(Ze)*180/pi

%

RZ=MZ.*cos(angle(Ze))

IZ=MZ.*sin(angle(Ze))

Figure 8.5.2

Impédance d'entrée d'une ligne en fonction de la fréquence pour deux valeurs du coefficient d'atténuation

A : sans atténuation ; B : α1 = 15 dB/km à 1 MHz (Exemple 8.5.1)


Figure 8.5.3

Impédance d'entrée d'une ligne en fonction de la fréquence pour deux valeurs du coefficient d'atténuation

A : sans atténuation ; B : α1 = 15 dB/km à 1 MHz (Exemple 8.5.1)



Impédance normaliséeOn définit l’impédance normalisée comme le rapport de l’impédance en unpoint et de l’impédance caractéristique :

z(h ) Z(h )

Zo , zr Zr

Zo(8.5.7)

L’expression (8.5.6) devient alors :

z(h ) zr cosh γ h + sinh γ h cosh γ h + zr sinh γ h

(8.5.8)

On obtient une autre forme en divisant numérateur et dénominateur parcosh γ h, ce qui donne une expression facile à mémoriser :

z(h ) zr + tgh γ h

1 + zr tgh γ h (8.5.9)

Toutefois, si on ne dispose pas des outils permettant de calculer cesfonctions de variables complexes, on peut utiliser la forme précédente(8.5.5), où

eγ h eα hejkh eα h cos kh + j sin kh

et

e-γ h e-α he-jkh e α h cos kh j sin kh

De préférence, on peut encore utiliser l’expression (8.5.8), sachant que :

cosh γ h cosh α h cos k h + j sinh α h sin k h (8.5.10a)

sinh γ h sinh α h cos k h + j cosh α h sin k h (8.5.10b)

On sait d’autre part que :

cosh α h eα h + e α h

2 sinh α h

eα h e α h

2 (8.5.11)



Lignes avec pertes négligeablesSi α = 0, γ = jk , et alors :

sinh jkh = j sin kh cosh j kh = cos kh tgh jkh = j tg kh (8.5.12)

Ce qui se démontre facilement, considérant que :

cos kh ejkh + e jkh

2 sin kh

ejkh e jkh

2j (8.5.13)

Par conséquent l’expression de l’impédance normalisée sur la ligne devient :

z(h ) zr + j tg kh

1 + j zr tg kh

(8.5.14)

On obtient l’impédance en multipliant par l’impédance caractéristique :

Z(h ) z(h ) Zo

Impédance d'entréeCas particuliers divers

A. Ligne avec pertes1- Ligne court-circuitée

Ici, zr = 0, et (8.5.9) devient :

z(a) tgh γ a (8.5.15)

Exemple 8.5.2 Impédance d'entrée en fonction de la fréquenceLigne court-circuité

Considérons une ligne ayant les caractéristiques suivantes :

u = 2·108 m/s a = 30 m Zo = 50 ohms

Zr = 0 (ligne court-circuitée) α = 15 dB/km à 1 MHz.



En supposant que l’atténuation varie en f , la figure 8.5.4 (a) montre lavariation du module |Ze| de l’impédance d’entrée dans l’intervalle defréquence allant de 3 à 13 MHz. La variation de l’argument de Ze est montrée

dans la figure 8.5.4 (b).

2- Ligne ouverte

C’est le cas où zr = ∞, avec h = a. L’expression (2-16.9) devient alors :

z(a) 1tgh γ a

(8.5.16)

Exemple 8.5.3 Impédance d'entrée en fonction de la longueurLigne ouverte

La figure 8.5.5 montre la variation du module |Ze| de l'impédance d'entréed'une ligne de Zo = 50 ohms en fonction de sa longueur à 10 MHz.

Courbe A : α = 20 dB/km à 1 MHz; 63,2 dB/km à 10 MHz

Courbe B : α = 60 dB/km à 1 MHz; 190 dB/km à 10 MHz

Remarquer que la mise en graphique utilisant comme unité de longueur lalongueur d'onde simplifie la présente et démontre bien les particularités del'impédance quand la longueur est un multiple entier de λ /4. À mesure quela longueur de la ligne augmente, son impédance d’entrée tend vers la valeurde l’impédance caractéristique, 50 ohms, du fait que l’amplitude de l’onderéfléchie tend vers zéro.

B. Ligne sans perte1- Ligne ouverte

Vu que γ = jk, on a alors :

z(a) 1j tg ka

j cotg ka j X (8.5.17)

L’impédance d’entrée est alors purement réactive. Vu que k = 2π / λ., cetteréactance peut s’exprimer comme :

X cotg 2πaλ

(8.5.18)


4 6 8 10 12Fréquence [ MHz ]

4 6 8 10 12Fréquence [ MHz ]

100

200

300

400

0

|Ze|

[ o

hms

]A

rgum

ent d

e |Z

e| [

dg

]

0

40

80

-40

-80

(a)

(b)

Figure 8.5.4 Impédance d'entrée, d'une ligne court-circuitée (exemple (8.5.2))



La courbe en traits hachurés de la figure 8.5.6 (B) montre le graphique decette réactance. On voit qu’elle est alternativement positive ou négative selonla longueur de la ligne : une ligne de longueur inférieure à λ /4 est capacitive(X < 0). Mais elle est inductive (X > 0) si sa longueur est comprise entre λ /4et λ/2. On retrouve les mêmes valeurs à chaque fois que la longueuraugmente d’une demi-longueur d’onde. Quand la ligne est quart d’onde et,de façon générale, de longueur égale à un multiple impair de λ/4,l’impédance est théoriquement nulle. En pratique, à cause des pertes, celle-ci est très faible et donnée par l’équation (8.5.16).

2- Ligne court-circuitée

Vu que les pertes sont nulles, l’expression (8.5.15) devient :

z(a) j tg ka j tg 2πaλ

(8.5.19)

On observe dans ce cas (fig. 8.5.6) qu’une ligne quart d’onde court-circuitéeprésente une impédance théoriquement infinie.

Dans ces divers cas, quand la longueur de la ligne est un multiple impair deλ/4,a = (2n + 1)λ /4, avec n = 1, 2, 3, ..., on dit que la ligne est résonante.


Figure 8.5.5

Variation du module de l'impédance d'entrée d'une ligne ouverte en fonction de sa longueur

(Exemple 8.5.3)

Figure 8.5.6 Réactance d’entrée d’une ligne sans pertes en fonction de sa longueur

Courbe A : ligne court-circuitée

Courbe B : ligne ouverte



Propriété d'un tronçon court

A. Tronçon court-circuitéOn sait que l'impédance d'entrée d'une ligne de longueur a court-circuitée àl'autre extrémité (fig. 8.5.4) est donnée par :

Ze Zo tgh γ a (8.5.20)

Or, si a << λ/4, il s'ensuit que |γ a| << 1. Dans ce cas :

Ze ≈ Zo γ a ≈ Zoα a + jZo ka (8.5.21)

Donc, l'impédance d'entrée de ce tronçon est équivalente à une résistanceRe ≈ Zoα a en série avec une réactance Xe ≈ Zo ka .

Leγ

ReZe

Ze Zo

Ligne court circuitée Réseau équivalent

Figure 8.5.4

Cette dernière étant positive, l'inductance équivalente est tirée de ladéfinition :

Xe ωLéq :

Alors,

Léq ≈ Zokaω ≈ Zo a

u ≈ L u au ≈ L a (8.5.22)

comme on pouvait s'y attendre.

Par définition du facteur de qualité Q

d'une inductance, on a :

Q XeRe

kα (8.5.23)



B. Tronçon ouvertDans ce cas,

Ze Zotgh γ a

1Ye

(8.5.24)

L'admittance d'entrée est donc :

Ye tgh γ a

Zo ≈ α a

Zo + j ka

Zo (8.5.25)

D'où la conductance équivalente :

Ge ≈ α aZo

(8.5.26)

et la susceptance équivalente :

Be ≈ kaZo

≈ ω Ce (8.5.27)

d'où :

Ce ≈ aZou

≈ aL u 2

≈ a C (8.5.28)

8.6 Mesures d'une ligneOn obtient assez facilement les divers paramètres secondaires d'une ligneélectrique tels que la vitesse de phase, l'impédance caractéristique,l'atténuation, par des mesures aux fréquences de résonance de la ligne. Onpeut ensuite en déduire les paramètres linéiques ou les paramètresprimaires.

Mesure de la vitesse de phaseOn peut faire la mesure simplement avec un générateur de signaux, unfréquencemètre et un voltmètre pour l'alternatif à haute fréquence. En effet,il suffit de détecter les minimums de tension à l'entrée, car ils correspondentaux minimums d'impédance quand la ligne est ouverte à l’autre extrémité :c'est une condition de résonance. La longueur a de la ligne est alors unmultiple impair de λ/4 à cette fréquence :



a 2n 1 λ4

2n 1 u4fn

(n 1, 2, ... ) (8.6.1)

Alors :

u 4fn a (2n 1)

n 1, 2, 3, ... (8.6.2)

On peut ainsi trouver la vitesse de phase à diverses fréquences, avec uneprécision qui est essentiellement limitée en pratique par celle de la mesurede longueur, car la fréquence peut facilement être connue avec une précision

supérieure à 1 partie sur 106 au moyen d'un fréquencemètre de laboratoire.

On peut aussi mesurer la fréquence des minimums d’impédance d’une lignecourt-circuitée : sa longueur est alors un multiple entier d’une demi-longueur d’onde :

a n λ2

n u2fn

(n 1, 2, ... )

u 2fnan n 1, 2, 3, ... (8.6.3)

Mesure de l'impédance caractéristiqueDeux mesures de l'impédance d'entrée d'une ligne suffisent pour déterminerson impédance caractéristique Zo : une première mesure Zlo avec l'autre

extrémité ouverte et une deuxième Zcc quand cette dernière est court-

circuitée (figure 8.6.1). Soit a la longueur de la ligne. On sait quel'impédance d'entrée de la ligne ouverte est :

Zlo ≈ Zotgh γ a

(8.6.4)

Celle de la ligne court-circuitée :

Zcc ≈ Zo tgh γ a (8.6.5)

En multipliant ces deux expressions l'une par l'autre et extrayant la racinecarrée on obtient finalement :

Zo ≈ Zlo Zcc (8.6.6)

Les impédances Zlo et Zcc peuvent être mesurées avec un impédancemètre.


Zo γZcc γZoZlo

Figure 8.6.1 Mesure de l’impédance caractéristique

On vérifie que la précision de la mesure est maximale quand la fréquencechoisie est telle que la longueur a de la ligne est égale à un multiple impair deλ/8 :

a 2n 1 λ8

2n 1 u8f

n 1, 2, 3, ...

À cette condition, les modules de Zlo et Zcc doivent être égaux. En pratique,

cette condition est réalisée aux fréquences qui se trouvent à mi-chemin entreun minimum et un maximum d’impédance adjacents.

Mesure de coefficient d'atténuationLe coefficient d'atténuation α d'une ligne électrique se détermine facilementpar la mesure d'impédance d'entrée quand la ligne est ouverte ou court-circuitée, aux fréquences de résonance. On peut distinguer quatre cas :

1- Ligne quart d'onde, ouverte ou court-circuitée.2- Ligne demi-onde, ouverte ou court-circuitée.

Examinons le premier cas, celui d'une ligne quart d'onde ouverte.L'impédance d'entrée est alors :

Zlo Zotgh γ a

eγa + e γa

eγa e γa Zo e2γa + 1

e2γa 1 Zo (8.6.7)

or, e2γa e2αa ej2ka e2αa ej4πa /λ . Mais si a = (2n - 1)λ/4 :

e2γa e2αa ej(2n - 1)π e2αa : l'impédance est réelle et minimale, comme

on le sait déjà, de sorte que :

Zlo e2α a 1e2α a + 1

Zo (8.6.8)



On en tire :

e2α a Zo + ZloZo Zlo

D'où finalement :

α 12a

ln Zo + ZloZo Zlo

(Ligne ouverte λ/4) (8.6.9)

Si la ligne est demi-onde et ouverte, l'impédance d'entrée est maximale etréelle. Dans ce cas, on obtient :

α 12a

ln Zlo + ZoZlo Zo

(ligne ouverte λ/2) (8.6.10)

8.7 Relations entrée/sortieConsidérons la ligne quelconque de longueur a terminée par l'impédance Zrreprésentée dans la figure (8.7.1) ci-dessous, dont la tension et le courant àl'entrée sont respectivement Ve et Ie. Il est intéressant de connaître les

relations entre ces grandeurs à celles qu'on trouve au récepteur, Vr et Ir ou

celles en tous points d’abscisse x.

V+(x)

γ

Ie

hx 0'0

Ve Vr

Ir

Zr

V (x)

Zo

Figure 8.7.1

On sait que la tension en x résulte de la superposition d'une onde V+(x) dans

le sens positif de x et d'une onde V–(x) dans le sens négatif :

V (x) V+(x) + V (x) Vo+e γx + Vo e+γx (8.7.1)

De même, pour le courant :

I(x) I+(x) + I (x) Io+e γx + Io e+γx (8.7.2)



Vu les relations entre les ondes de courant et de tension, cette dernièreéquation peut s'écrire :

I(x) Vo+Zo

e γx V o

Zo e+γx (8.7.3)

À l'entrée, x = 0, et ces grandeurs deviennent :

V e Vo+ + Vo (8.7.4)

Ie Vo+Zo

V o

Zo

(8.7.5)

En résolvant ces dernières équations pour les inconnues Vo+ et V o–, on

obtient :

V o+ 12

V e + ZoIe (8.7.6)

et

V o 12

V e ZoIe (8.7.7)

ou encore :

V o+ 12

1 + ZoZe

Ve (8.7.9)

et

V o 12

1 ZoZe

Ve (8.7.10)

Portant ces dernières dans (8.7.1) :

V (x) 12

1 + Zo/Ze e γx + 1 Zo/Ze e+γx Ve (8.7.11)

ou

V (x) 12Ze

Ze + Zo e γx + Ze Zo e+γx Ve

ou

V (x) 12Ze

Ze e+γx + e γx + Zo e+γx e γx Ve (8.7.12)



Donc : V(x) Ze cosh γ x Zo sinh γ x VeZe

(8.7.13)

En particulier, la tension au récepteur (x = a) est donnée par :

V r V(a) Ze cosh γ a Zo sinh γ a V eZe

(8.7.14)

On peut faire intervenir l'impédance du récepteur Zr plutôt que l'impédanced'entrée Ze. En effet, on sait que :

Ze Zr cosh γ a + Zo sinh γ a Zo cosh γ a + Zr sinh γ a

Zo (8.7.15)

En portant cette dernière relation dans la précédente et utilisant la propriété

cosh2 γ a sinh 2 γ a 1, on obtient :

Ve Zr cosh γ a + Zo sinh γ a VrZr

(8.7.16)

On obtient une expression de V(x) en fonction de Zr en portant l’expression

de Ze dans (8.7.13) et en utilisant les relations connues entre les fonctions

hyperboliques2 :

V(x) Zr cosh γ (a x) + Zo sinh γ (a x)

Zr cosh γ a + Zo sinh γ a V e (8.7.17)

Si les pertes sur la ligne peuvent être négligées (α = 0), cette expression sesimplifie :

V(x) Zr cos k (a – x) + j Zo sin k (a – x)

Zr cos ka + jZo sin ka V e (si α 0) (8.7.18)

2 sinh u cosh v = 12 sinh u + v + 1

2 sinh u – v

cosh u sinh v = 12 sinh u + v – 1

2 sinh u – v

cosh u cosh v = 12 cosh u + v + 1

2 cosh u – v

sinh u sinh v = 12 cosh u + v – 1

2 cosh u – v



Au récepteur, x = a et on en tire :

Ve Zr cos ka + jZo sin ka VrZr

si α 0 (8.7.19)

En factorisant Zo, on obtient l’expression suivante en fonction de

l’impédance normalisée du récepteur :

Ve zr cos ka + j sin ka Vrzr

(si α 0) (8.7.20)

De la même façon, on peut établir la relation entre le courant à l'entrée Ie et

celui au récepteur Ir :

Ie cosh γ a + zr sinh γ a Ir (8.7.21)

et, si α = 0 :

Ie cos ka + jzr sin ka Ir (8.7.22)

Exemple 8.7.1 Tension d'entrée et tension de sortieVariation avec la fréquence

Considérons une ligne ayant les paramètres suivants : Zo = 50 ohms, u = 2

·108 m/s a = 30 m. On prendra une atténuation α nulle (courbes A, fig.

8.7.2 et 8.7.3) ou égale à 40 dB/km à 1 MHz et variant en f (courbes B).

Nous supposons à l'entrée une source qui donne en circuit ouvert unetension d'amplitude Vso = 1 volt. Examinons comment varient les tensions àl'entrée et à la sortie avec la fréquence selon la résistance interne Rs de lasource et la résistance Rr du récepteur.

Figure 8.7.2 Rs = 10 ohms ; Rr = 200 ohms

La source et le récepteur ne sont pas adaptés à la ligne.

Les courbes du haut montrent le module et la phase de la tension à l'entréeVe. Celles du bas montrent ces grandeurs à la sortie (Vr). On observe des

variations avec la fréquence à l'entrée et à la sortie. L'atténuation sur la lignea pour effet de réduire les variations.

NOTE : Il n'y a pas de discontinuité de la phase de la tension au récepteur Vr

en réalité quand la fréquence varie : le retard de phase augmentecontinuellement avec la fréquence.



Figure 8.7.3 Rs = Zo = 50 ohms (source adaptée à la ligne) ; Rr = 200 ohms

Dans ce cas, on observe que la tension et la phase à l'entrée subissent desvariations importantes avec la fréquence : entre 0,2 et 0,8 volt. Par contre, sil'atténuation est supposée nulle (courbe A), la tension à la sortie resteconstante et égale à 0,8 V, ce qui est bien près de la tension de source encircuit ouvert (1 volt). Si on tient compte de l'atténuation qui augmente avecla fréquence, la tension de sortie diminue graduellement avec la fréquence àcause des pertes sur la ligne.

Ces constations inattendues illustrent un principe d'une grande importancepratique :

“ Pour éviter toute variation indésirable de l'amplitude du signal de sortied'une ligne en fonction de sa fréquence, quelle que soit l'impédance durécepteur, il est essentiel que la source soit adaptée à la ligne : l'impédanceinterne (résistive) de la source doit être égale à l'impédance caractéristique dela ligne. ”

D’une façon générale, le récepteur doit aussi être adapté à la ligne afin que letransfert de puissance soit maximal entre le générateur et le récepteur.

Figure 8.7.4 Rs = 1 ohms ; Rr = 5 000 ohms

C'est un cas de résonance assez forte de la ligne. Dans le cas où les pertessont négligeables, les tensions d'entrée et de sortie subissent des variationsconsidérables aux résonances. On pourra vérifier que ces résonances seproduisent quand la longueur de la ligne est un multiple impair de λ /4. Onobserve que la tension de sortie devient près de 40 fois plus grande que latension de source en circuit ouvert. On note également que l'atténuation surla ligne a pour effet de réduire considérablement les variations à larésonance : A, atténuation nulle ; B, 40 dB/km.

LOGICIEL MatLab CALCULANT LES TENSION D’ENTRÉE ET DE SORTIE D’UNE LIGNE

% Calcul de la tension à l'entrée et à la sortie

% d'une ligne en fonction de la fréquence.% Avec le logiciel EduMatLab pour Macintosh

clg

clear

clcN=input('Nombre de points = ');

v=input('Vitesse de propagation [m/s] = ');

a=input('Longueur de la ligne [m] = ');

Zo=input('Impédance caractéristique de la ligne [ohms] = ');


8 Lignes finies avec pertes 265Rs=input('Résistance interne de la source [ohms] = ');Zr=input('Impédance du récepteur [ohms] = ');

FI=input('Fréquence inférieure [MHz] = ');

FS=input('Fréquence supérieure [MHz] = ');

FI = FI*1e6;

FS = FS*1e6;Attr=input('Atténuation [dB/m] à la fréquence de référence, 1 MHz = ');

%

f=linspace(FI,FS,N)'; % Vecteur colonne des fréquences.

Att=Attr*(f*1E-6).̂ 0.5/8.686; % Atténuation [Np/m] à la fréquence f.B=2*pi/v;

k=B*f; % Constante de phase.

g= Att + j*k; % Fonction de propagation.

th = tanh(g*a);

NumZ = Zr + Zo*th;DenZ = Zo + Zr*th;

Ze = NumZ*Zo./DenZ; % Impédance d'entrée.

U1=ones(N,1);

Ve=Ze./(Rs*U1 + Ze); % Tension à l'entrée.MVe=abs(Ve);

maxe=max(MVe); % Valeur maximale du module de Ve.

PHVe=angle(Ve)*180/pi; % Phase de Ve en degrés.

axis([FI FS 0 maxe*1.05]); % Étendue des axes du graphique.

plot(f,MVe) % Tracé du module de Ve en fonction de f.pause

axis([FI FS -200 200]); % Étendue des axes du graphique.

plot(f,PHVe) % Tracé de la phase de Ve en fonction de f.

pause

DVr = Zr*U1.*cosh(g*a) + Zo*U1.*sinh(g*a);Vr = (Zr*U1.*Ve)./DVr; % Tension Vr au récepteur.

MVr=abs(Vr); % Module de Vr.

maxs = max(MVr); % Valeur maximale du module de Vr.

axis([FI FS 0 maxs*1.05]);plot(f,MVr) % Tracé du module de Vr en fonction de f.

pause

axis([FI FS -200 200]);

PHVr = angle(Vr)*180/pi;

plot(f,PHVr)G = [f*1e-6 MVe PHVe MVr PHVr]; % Matrice des résultats pour

% la mise en graphique avec un

% autre logiciel.


Figure 8.7.2 Tension à l'entrée et à la sortie d'une ligne. Source et récepteur inadaptés à la ligne


Figure 8.7.3 Tension à l'entrée et à la sortie d'une ligne

Récepteur adapté à la ligne


Figure 8.7.4 Tension à l'entrée et à la sortie d'une ligne

Source et récepteur inadaptés à la ligne



8.8 Propriété des lignes avec charge capacitiveL’impédance d’entrée d’une ligne relativement courte par rapport à lalongueur d’onde a un comportement assez inattendu quand le récepteur estcapacitif : elle devient inductive à une fréquence relativement basse.

Considérons, par exemple, le système illustré ci-dessous où Rr = 100 ohms,

Cr = 50 nF. Le câble coaxial n’a que 1,5 m de longueur et sa capacité totaleest d’environ 150 pF seulement : elle est 333 fois plus faible que Cr. Si l’on

se demande, par exemple, quelle est l’impédance vue par la source à unefréquence de 2 MHz, un raisonnement élémentaire nous ferait conclure quel’impédance d’entrée Ze doit être pratiquement égale à celle de Cr en parallèleavec Rr, vu que la longueur de la ligne est très inférieure à λ/4 et sa capacité

électrique très inférieure à celle de la charge. En effet, λ = 100 m à 2 MHz : lalongueur de la ligne n’est que de 0,015λ Or, un tel raisonnement nousinduirait sérieusement en erreur dans ce cas particulier : l’impédanced’entrée est en réalité fortement inductive à cette fréquence comme lemontre la figure 8.8.2 !

Source

RrCr

a = 1,5 m

α a ≈ 0

Zo = 50 ΩRG-58C/U

Figure 8.8.1 Ligne courte avec charge capacitive

On vérifie facilement que l’admittance d’entrée a la même forme quel’impédance en fonction de l’admittance au récepteur Yr :

Ye Yr + j Yo tg kaYo + j Yr tg ka

Yo

où Yr 1/Rr + jω Cr. L’impédance d’entrée est l’inverse de Ye :



Ze 1/Zo + j Yr tg ka

Yr + j 1/Zo tg ka Zo

Le calcul de cette dernière fonction permet de faire le graphique de lafigure 8.8.2 qui montre clairement que le module de Ze passe par un

minimum résistif de 0,1679 ohms à 1,1611 MHz et que l’impédancedevient inductive aux fréquences supérieures à cette dernière (argumentθ positif). On observe qu’aux fréquences inférieures à environ 200 kHz,l’impédance d’entrée est essentiellement égale à l’impédance de la charge,conformément à la théorie élémentaire des circuits où l’on ne tient pascompte des phénomènes de propagation.

Si le coaxial est remplacé par une ligne bifilaire de 300 ohms, cettesingularité se produit à plus basse fréquence encore, comme on peut le voirà la figure 8.8.3.

10 1

100

101

102

103 104 105 106 107

|Ze|

[ohms]

Fréquence [hertz]

Ze Zo RrCr|Zr|

|Ze|


-100

-50

0

50

100

103 104 105 106 107

Fréquence [hertz]

θ[dg]

θ de Ze

θ de Zr

Figure 8.8.2 Comparaison de l’impédance d’entrée et de l’impédance du récepteur

Cet exemple assez spécial et peu connu démontre l’importance que peuventprendre les phénomènes de propagation en pratique. Leur méconnaissancepar l’ingénieur peut entraîner des erreurs et des coûts dans certainescirconstances.

10 1

100

101

102

103 104 105 106 107

|Ze|

[ohms]

Fréquence [hertz]

Ze Zo RrCr

|Zr|

|Ze|

Figure 8.8.3 Impédance d’entrée quand Zo = 300 ohms



8.9 L'abaque de SmithNous venons de voir diverses formules reliant les impédances d’entrée et desortie d’une ligne, particulièrement celles reliant le coefficient de réflexion àl’impédance. Rappelons cette dernière sous sa forme générale :

ρ h V g hV d h

Z h Zo

Z h + Zo (8.9.1)

où h est la distance mesurée à partir du récepteur. Avec l’impédancenormalisée :

ρ h z h 1z h + 1

(8.8.2)

Ainsi, à chaque valeur du coefficient de réflexion corrrespond une seulevaleur de l’impédance. Le coefficient de réflexion ρ h est relié à celui aurécepteur ρr par l’expression suivante :

ρ(h ) Vgo

V do e-2γ h ρr e-2γ h ρr ejφr e-2γ h (8.8.3)

Nous avons constaté que les calculs associés sont ardus à moins de disposerd’un ordinateur ou d’une calculette programmable. Avant l’invention de cesderniers, on s’est ingénié à trouver des méthodes graphiques de calculpermettant de simplifier considérablement l’analyse des systèmescomportant des lignes et des guides d’ondes. L’abaque de Smith3 est un desinstruments conçus à cette fin. C’est le seul qui est encore utilisécouramment, car il permet de visualiser simplement la variation del’impédance le long d’une ligne électrique.

La figure 8.9.1 montre cette abaque. Essentiellement, c’est unereprésentation du plan complexe sur lequel est plaqué un système decoordonnées curvilignes des parties réelles et imaginaires de l’impédancenormalisée ou de l’admittance normalisée sur une ligne électrique. L’originedu plan complexe est au centre. Le contour porte diverses graduations quipermettent de tracer facilement les vecteurs coefficient de réflexion. Les deux

3 « Smith chart » en anglais.



échelles circulaires extérieures portent des graduations en unités delongueur d’onde : un tour complet dans un sens ou dans l’autre correspondà un déplacement de λ/2 le long de la ligne. Une troisième est graduée endegrés : l’argument des coefficients de réflexion. Les échelles horizontales dubas servent particulièrement à relier le module du coefficient de réflexion autaux d’onde stationnaire (T.O.S.).

Utilisons l’abaque simplifiée de la figure 8.9.2 pour détailler le principed’utilisation.

L’origine du plan complexe est en C. Les cercles dont le centre se trouve surl’axe réel sont des lieux de résistance (ou de conductance) normalisée r (ou g)(partie réelle de z ou de y) constante. En tout point du cercle 1 qui passe parC, la partie réelle de l’impédance (ou l’admittance) normalisée est égale à 1,et ainsi de suite. Le grand cercle extérieur est le lieu de résistance (ou deconductance) nulle. Le point à l’extrême droite est l’infini ; celui de gaucheest le zéro. Les cercles dont le centre se trouve sur la droite MN sont deslieux de réactance (ou de susceptance) normalisée x (ou y) constante. Alors,par exemple, si l’impédance normalisée au récepteur z(0) = zr = 2 - j2, elle est

représentée par le point A à l’intersection du cercle de résistance 2 et ducercle de réactance -2. La droite CA représente alors le coefficient deréflexion au récepteur ρr ρ 0 . Si on prolonge ce vecteur, l’intercept sur le

cercle extérieur gradué en degrés nous donne l’argument du coefficient deréflexion. Par calcul :

ρr = zr 1zr + 1

1 j23 j2

0,6202∠ 29,74˚

Si la ligne est sans perte (α = 0), un déplacement h vers la source fait tournerle vecteur coefficient de réflexion d’un angle -2kh en radians, dans le sensdes aiguilles d’une montre («sens horaire»). La rotation en degrés se lit sur lecercle extérieur de la figure 8.9.1. Sa pointe se retrouve alors au point B, parexemple. Ce point est à l’intersection de deux cercles de coordonnéesorthogonaux non représentés qui permettent de lire la valeur de l’impédancez(h) en ce point.


Figure 8.9.1 Abaque de Smith


2

1

-1

0,3

-0,3

2

-2

C0

2

2

1

1

1

0,3

-2ρr

ρ(h)

φr

-2kh

φ(h)0,3

M

N

z(h)

A

B

∞

0,3

z(0)

Figure 8.9.2 Principes de l’abaque de Smith

Exemple 8.9.1 Utilisation de l’abaque de Smith

Supposons qu’une ligne coaxiale RG-8U (Zo = 50 Ω) de 13 m de longueur se

termine par une impédance Zr = 120 - j200 ohms à 10 MHz. On négligera lespertes (α = 0). Évaluons l’impédance d’entrée. On calcule premièrementl’impédance normalisée du récepteur, zr = 2,4 - j4, qu’on porte sur l’abaque(point A, figure 8.9.3). On prolonge cette droite jusqu’en B sur le contour. Ontrace le cercle de rayon 0A. Le module de ρr est mesurée par la longueur 0A

qu’on porte sur l’échelle du bas à droite («coeff. vol.»), 0A’. On lit ρr ≈ 0,81 .

Sur le contour (point B), on lit φr ≈ -21˚. Sur l’échelle extérieure graduée en

longueurs d’onde, on lit environ 0,279λ. La vitesse de phase sur cette ligne

étant de 2 · 108 m/s, on calcule une longueur d’onde λ de 20 m. La longueur

de la ligne en unités de longueur d’onde est ainsi a = 13/20 λ = 0,65 λ.



Donc, en allant du récepteur à l’entrée de la ligne, on doit partir du point Bet tourner sur l’abaque d’une distance correspondante dans le sens horaire.Or, on sait qu’un déplacement de 0,5λ sur la ligne correspond à un tourcomplet sur l’abaque. La longueur de la ligne étant : 0,5λ + 0,15λ. Il suffitd’ajouter 0,15λ à la position initiale, 0,279λ, pour obtenir la positioncorrespondant à l’entrée : 0,429λ, point C. On relie ce dernier au centre 0par une droite qui intercepte alors le cercle du coefficient de réflexion aupoint D où on lit l’impédance normalisée à l’entrée de la ligne : ze = 0,130 -

j0,475. Le coefficient de réflexion y est égal à 0,81 ∠-129˚. Finalement,l’impédance d’entrée est Ze = 6,5 - j23,75 ohms. On peut lire le taux d’onde

stationnaire sur l’échelle du bas à gauche en y portant la longueur OA quidétermine le point E : T.O.S. ≈ 9,4.

Le calcul exact de l’impédance d’entrée au moyen de la formule vue plushaut donne, à quatre chiffres significatifs :

Ze = 6,525 – j23,48 ohms

On calcule la valeur suivante du coefficient de réflexion au récepteur :

ρr = zr – 1zr + 1

= 0,807 ∠-21,1˚

On peut aussi calculer le coefficient de réflexion à l’entrée à partir del’expression connue :

ρe = ρr ej 2ka + φr

Ici, ρe = ρr car α = 0. La constante de phase est : k = 2πλ

= 0,31416 rd/m.

Alors :

2ka + φr = 8,1682 + 21,1˚ × π/180˚ = 8,5365 rd = 2π 2,2533 rd = 360˚ 129,1˚

On retrouve bien l’argument du coefficient de réflexion à l’entrée : -129,1˚.On peut en déduire la valeur de l’impédance d’entrée :

Ze = 1 + ρe

1 – ρe Zo =

1 + -0,5089 - j0,62631 – -0,5089 - j0,6263

× 50 = 6,53 - j23,46 ohms

On retrouve bien la valeur calculée autrement.


A

0

zr = 2,4 j4

ze = 0,130 j0,475

CALCUL D'IMPÉDANCEMars 1996

J.L. Dion

A'

ET.O.S. = 9,36

|ρr| = 0,807

C

D

B

Figure 8.9.3 Calculs avec l’abaque de Smith



8.10 Adaptation d'impédancesUn problème qui se pose souvent en pratique des hautes fréquences est celuide la transmission d’énergie par une ligne d’impédance caractéristiquedonnée Zo à un récepteur ou charge d’impédance différente Zr. Si la ligne est

simplement raccordée au récepteur, le taux d’ondes stationnaires est plus oumoins élevé selon le cas. Cela peut entraîner des surtensions qui causent leclaquage de la ligne et des courants excessifs qui produisent la surchauffeen certains points de la ligne. Il s’impose par conséquent d’utiliser unetechnique permettant d’adapter la ligne à la charge, c’est-à-dire faire en sorteque celle-ci présente une impédance assez exactement égale à l’impédancecaractéristique de la ligne.

Adaptation par tronçon en parallèleUne technique simple en principe est celle de l’adaptation par tronçon enparallèle sur la ligne, près du récepteur. Considérons la ligne de la figure7.4.1 d’admittance caractéristique Yo = 1/Zo terminée par une admittancenormalisée yr = Yr/Yo. = 2,4 + j1,6 [Yr = 0,048 + j0,032 siemens ; Zr =

14,42 - j9,615 ohms]. L’admittance normalisée sur la ligne est donnée parl’expression suivante, de même forme que celle de l’impédance normalisée,

dans le cas où les pertes sont négligeables, avec k = 2π/λ :

y h yr + j tg 2πh /λ

1 + jyr tg 2πh /λ (8.10.1)

La figure 8.10.1b montre la variation des parties réelle et imaginaire avec h,en mètres et en unités de λ. On constate qu’à la distance h 1 du récepteur lapartie réelle de l’admittance devient égale à 1 :

y h 1 1 + jb1

Alors, si on place en parallèle sur le ligne à cette position M-N uneadmittance -jb1, l’admittance normalisée résultante devient égale à 1.L’admittance vue en M-N devient ainsi égale à Yo et il n’y a plus deréflexion : la ligne est donc adaptée au récepteur. En pratique, on réalisecette admittance -jb1 au moyen d’un bout de ligne ou tronçon pouvant être

ouvert ou court-circuité de longueur appropriée qu’on raccorde en M-N(fig. 8.10.1d,e).



L’abaque de Smith (figure 2.10.3) permet de faire ces calculs facilement. Onporte l’admittance normalisée du récepteur en A et on trace le cercle derayon 0A. En se déplaçant sur le cercle à partir de A vers la source (senshoraire), on intercepte le cercle de conductance normalisée 1 en C oùyC y h 1 1 j1,38. Ce déplacement est :

y1 0,3270λ 0,2175λ 0,1095λ 0,219 mètre

Il suffira de placer en parallèle sur la ligne en cette position une admittancenormalisée égale à +j1,38 pour réaliser l’adaptation. Cette admittance setrouve au point E de l’abaque. C’est l’admittance à l’entrée du tronçon. Entournant dans le sens antihoraire (vers l’autre extrémité du tronçon) d’unedistance de 0,1502λ, on rencontre le point d’admittance 0 qui correspond àune ligne ouverte. Par conséquent, ce tronçon doit avoir une longueur de0,1502λ = 30,0 cm. En l’allongeant de 0,25λ, on arrive au point d’admittance∞. En pratique on choisira le tronçon le plus court, soit le tronçon ouvert.


yr = 2,4 + j1,6

h1

( e) Yo y(h1) = 1

M

N

0

yr = 2,4 + j1,6

( d) Yo y(h1) = 1

-0,02

0

0,02

0,04

0,06

00,250,7511.2

Y

G

B

h [m] 0,5

[S]y

0

1

2

3

-1

0λ/8λ/43λ/8λ/25λ/8

Ad

mit

tanc

e no

rmal

isée

Ad

mit

tanc

e

h1

B1

M

N

M'

h2

g

b

h [λ]

Gr

Br

P

yr = 2,4 + j1,6

Y(h)(a) Yo

h1

yr = 2,4 + j1,6

y(h1) = 1 +jb1( c) Yo

(b)

M

N

Figure 8.10.1 Principe de l’adaptation d’impédances par tronçon en parallèle


A

B

C

0

0,2175λ

0,3270λ

yC = 1 j1,38

zr = 0,2885 j0,1923

23,6˚

yr = 2,4 + j1,6

D

E

E0,1502λ

ADAPTATION D'IMPÉDANCEMars 1996

J.L. Dion

G

H

T.O.S. = 3,801

|ρr| 0,566

Figure 8.10.2 Adaptation d’impédances par tronçon en parallèle



EXERCICESQuestion

Quelle est la définition du taux d'ondes stationnaires sur une ligneélectrique ?

8.1 Mesures en régime harmonique

On réalise au laboratoire le système illustré ci-dessous où G est ungénérateur de tension sinusoïdale à fréquence variable qui donne unetension de sortie en circuit ouvert d'amplitude Vm = 1 volt indépendante dela fréquence. L'oscilloscope permet de lire la tension à l'entrée de la lignesans charger celle-ci : il a une très grande impédance d'entrée (typiquement10 MΩ en parallèle avec 10 pF).

a) Faire le graphique de la tension lue à l'oscilloscope quand la fréquencevarie de 1 MHz à 20 MHz.

b) Si l'on fixe ensuite la fréquence à 12,4 MHz et si l'on termine la lignepar une impédance Zr = 50 - j50 ohms à cette fréquence, évaluerl'amplitude de tension qu'on doit mesurer à l'oscilloscope.

Rép. : Ve = 315 mV

B

GRG 58C/U

Oscilloscope

u 1 = 2c/3a1 = 10 m

A

Zo1 = 50 ohmsRg = 50 ohms

Ligneouverte

8.2 Ondes sur une ligne

Vous raccordez un émetteur à une antenne par un câble RG8/U (Zo =

50 ohms) de 100 m de longueur. On sait que la longueur d'onde du signalest de 20 m et que l'atténuation correspondante est de 20 dB/km. On saitaussi que l'antenne présente une impédance égale à 100 - j20 ohms.Sachant que la tension à l'entrée du câble a une amplitude de 30 volts,



a) Trouvez l'amplitude complexe en ce point des ondes qui se propagentdans les deux sens sur la ligne. Faire une figure montrant les différentsphaseurs à l'échelle.

Rép. : V+o = 24,61 ∠2,6˚ volts V o = 5,55 ∠-11,5˚ volts

b) À partir de ces tensions, trouvez l'expression des courants et celle del'impédance d'entrée de la ligne.

8.3 Ligne avec charge réactive - diagrammes vectoriels

Une ligne de 100 m de longueur a et d'impédance caractéristique Zo = 50∠0°

ohms supposée sans pertes est terminée par une impédance égale à 100 -j20 ohms. On raccorde à l'entrée une source qui maintient une tensionsinusoïdale de 30 volts d'amplitude. Sachant que la longueur d’onde sur laligne est de 382,2 m :

a) Déterminer l'amplitude complexe à l'entrée des deux ondes qu'on peutimaginer se propageant sur la ligne (sens + et –) Faire le diagrammevectoriel de ces tensions à l'échelle. Rép. : V+(0) = 43,783∠11,51° volts ; V–(0) = 15,581∠−214,09° volts

b) Évaluer le courant aux deux extrémités de la ligne. Porter ces courantssur le diagramme précédent.

Rép. : I(0) = 1,169∠-17,4° A ; I(a) = 0,5786∠−98,1° A

c) Calculer l'impédance d'entrée de la ligne à partir des réponsesprécédentes.

Rép. : Ze = 24,48 + j7,662 ohms

d) Vérifier que dans l’hypothèse où la ligne est un câble RG-58U, lafréquence de fonctionnement est de 523 kHz environ.

8.4 Ligne avec charge capacitive

Un câble coaxial de type RG-58C/U (Zo = 50 ohms) est terminé par un

condensateur de 200 pF, en parallèle avec une résistance de 100 ohms. Salongueur est de 10 mètres.

a) Évaluer le coefficient de réflexion sur cette terminaison à 30 MHz.

Rép. : ρt = 0,809∠ −127,7°

b) Calculer l'impédance d'entrée. Utiliser le logiciel MatLab de préférence.



c) Évaluer la fréquence à laquelle l’impédance d’entrée devient purementrésistive et la valeur de cette impédance.

8.5 Système de communication

Supposons que l'antenne de votre émetteur de SRG (service de radio général,f = 28 MHz) soit considérée comme équivalente à une résistance de 100ohms en parallèle avec un condensateur de 200 pF, reliée à l'émetteur parun câble coaxial RG-58C/U (Zo = 50 ohms) de 12,50 mètres de longueur.

NOTE : On fera les calculs par ordinateur. Ce programme doitparticulièrement pouvoir calculer l'impédance d'entrée de la ligne dans tousles cas :

a) Vérifier que la longueur de la ligne est ici un multiple impair de quartsde longueur d'onde et calculer son impédance d'entrée.

Rép. : 91,39 ∠ 74,13° ohms

b) Supposant celui-ci sans pertes, quelle puissance est rayonnée parl'antenne quand la tension mesurée à la sortie de l'émetteur est de50 Veff ? Cette puissance est-elle différente de celle injectée à l'entrée ?

Rép. : 7,480 watts

c) 1° Quelle valeur de réactance ou susceptance devriez-vous ajouter enbout de ligne pour annuler la partie réactive de l'impédance del'antenne, et quelle est alors la puissance émise pour la même tension àl'entrée ? L'impédance d'entrée est-elle purement résistive ?

Rép. : P = 100 watts

2° Si l'émetteur peut être considéré comme une source de résistanceinterne égale à 50 ohms donnant 80 Veff en circuit ouvert, quelle

puissance est envoyée sur la ligne et à l'antenne dans le cas initial ?

Rép. : 11,98 W

d) Si, dans les conditions premières en (b), vous allongez la ligne de 1,76mètre, que devient la puissance rayonnée ? Vous allez ainsi constaterun effet important de la longueur dans le cas où le récepteur n'est pasadapté.

Rép. : 24,97 W




Le système illustré est formé d'unémetteur dans le poste E relié à uneantenne dipolaire A par une lignebifilaire L de longueur a = 30 m. Onsait que l'émetteur fournit une tensionen circuit ouvert décrite par

vs t( ) = 200cos 3 ⋅108 t( )volts.

L’impédance caractéristique de la lignequi est adaptée à l’impédance de sortiede l’émetteur est de 150 ohms et sespertes sont supposées négligeables. Lavitesse de phase sur la ligne est voisinede 3·108 m/s.

A

E L

D'autres mesures ont permis de déterminer que l'antenne est assimilable àune résistance de 75 ohms en parallèle avec un condensateur de 50 pF.Déterminer par calcul en décrivant les étapes :

a) Le coefficient de réflexion à l'antenne. Représenter dans le plancomplexe.

Rép. : ρa 0,657∠-150,8˚

b) La position près de l'antenne où le coefficient de réflexion devient réel etla valeur de l’admittance et de l'impédance en ce point.

Rép. : h1 0,254 m, Zh1 31,09 ohms

c) Le taux d'onde stationnaire sur la ligne.

Rép. : T.O.S. = 2,494

d) L'impédance d'entrée de la ligne (à l'émetteur).

Rép. : Ze 651,9 24,56˚ ohms

e) La puissance efficace rayonnée par l'antenne.

Rép. : Pa 20,78 W

f) En vous aidant de l'abaque de Smith, faites la conception du tronçonmis en parallèle sur la ligne, près de l'antenne, qui réaliseral'adaptation. Justifier clairement les étapes.

Rép. : had 685 mm Longueur : 1,045 m




Vous devez, comme ingénieur, relier rapidement un émetteur radiofonctionnant à 20 MHz dont l'impédance de sortie est de 50 ohms à uneantenne qui se trouve à 27 mètres de l'émetteur. Vous savez que l'impédanced'entrée de l'antenne est également de 50 ohms. Or vous ne disposez qued'une grande longueur de câble coaxial de type RG-6/U dont vousconnaissez les caractéristiques suivantes : Zo = 75 ohms, u = 2c/3.

a) Décrire clairement votre solution au problème en la justifiant, afind'adapter l'émetteur à l'antenne et ainsi maximiser la puissancetransmise.

b) Vous savez que la tension de sortie de l'émetteur a une amplitude de50 V quand il est terminé dans une impédance de 50 Ω. Calculer lapuissance approximative transmise à l'antenne dans ces conditions :précisez l'hypothèse que vous devez faire.

c) Si vous reliez l'émetteur à l'antenne par une longueur de 27 m de RG-6/U, quelle sera alors la puissance effective reçue par l'antenne. Est-cemieux ou moins bien que dans le cas précédent ?

d) Dans un cas comme dans l'autre, quelle est la valeur du coefficient deréflexion à l'antenne et à 27 m de celle-ci sur un câble RG-6/U

8.8 Ligne avec pertes - Calcul du coefficient d’atténuation

On détermine que l'impédance d'entrée d'un câble de 91,44 m ouvert àl'autre bout est de 96,8 + j0 ohms à 17,4 MHz et que sa longueur est égale à8 longueurs d'onde exactement. Si l'impédance caractéristique de cette ligneest 50∠0° ohms, évaluer son coefficient d'atténuation.

Rép. : 54,3 dB/km

8.9 Tensions d’entrée et de sortie d’une ligne

Un câble coaxial RG-8 de 5 m est terminé par un impédance égale à25 + j100 Ω à 21 MHz. Si la tension à l'entrée a une amplitude de 2 volts,quelle est sont amplitude et sa phase au récepteur ?

Rép. : 1,87∠178,8° V

8.10 Radio amateur

Comme radio amateur utilisant la bande des 21 mètres à 14,2 MHz, vousavez un émetteur dont l’impédance de sortie est de 50 ohms que vous devezrelier à votre antenne dont l’impédance d’entrée est de 50 ohms également



qui se trouve à 23 m de l’émetteur par le plus court chemin. Or, vous nedisposez que d’une grande longueur de câble coaxial RG59B/U.

a) Quelle est votre solution au problème de raccordement pour que letransfert de puissance soit maximal ?

b) Dans ce cas, faire un graphique de l’amplitude de la tension sur la ligne.Est-elle constante ? Sinon, quelle est la valeur du taux d’ondesstationnaires (T.O.S.) ?

Rép. : TOS = 1,5

8.11 Admittance

Démontrer que l'admittance d'entrée normalisée d'une ligne de longueur a ala même forme que celle de l'impédance normalisée, c'est-à-dire :

ye = yr + tgh γa

1 + yr tgh γa

8.12 Communications

Une ligne d'impédance caractéristique Zo = 50 ohms étant terminée par uneimpédance Zr = 25 + j100 ohms, évaluer le coefficient de réflexion à cette

extrémité au moyen de l'abaque de Smith. Décrire les étapes de la méthode.Si la longueur de la ligne est de 5λ /8, évaluer l'impédance d'entrée.

8.13 Communications

Une ligne RG-58C/U (Zo = 50 ohms, u = 2c/3, α ≈ 0) de 8,7 m de longueur

relie un générateur adapté à un récepteur d'impédance 10 - j100 ohms à50 MHz. Le générateur fournit une tension efficace de 10 volts en circuitouvert.

a) Évaluer la longueur de la ligne en unités de longueur d'onde.

Rép. : 2,175λ

b) Porter l'impédance normalisée du récepteur sur une abaque de Smith.En déduire le coefficient de réflexion en ce point et le vérifier par calcul.Bien décrire les diverses étapes.

R : 0,923∠ -53˚

c) Calculer l'impédance d'entrée de la ligne et vérifier avec l'abaque endécrivant la méthode.

Rép. : 1,986 - j0,536 ohms



d) Évaluer la puissance efficace fournie au récepteur.

Rép. : 73,45 mW

e) Calculer le taux d'onde stationnaire (T.O.S.) et vérifier avec l'abaque endécrivant la méthode.

f) À quelle fréquence la ligne serait-elle quart d'onde ? À cette fréquence, sil'impédance du récepteur était la même, quelle serait l'impédanced'entrée ?

Rép. : 5,7471 MHz, 24,88∠84,3˚ ohms

8.14 Abaque de Smith

Le coefficient de réflexion au récepteur sur une ligne aux pertes négligeablesétant 0,3 - j0,55 (mesure faite au réflectomètre), calculer le taux d'ondestationnaire (T.O.S.) sur la ligne et la position du premier noeud de tensiondu côté du récepteur. Décrire les étapes du calcul à l'abaque de Smith.

8.15 Abaque de Smith

Une ligne coaxiale à fente pleine d'air de Zo = 50 ohms à 700 MHz, est reliée

à une récepteur et on mesure un T.O.S. de 2,50. On trouve aussi un noeudde tension à 10,0 cm du récepteur. Évaluer l'impédance du récepteur aumoyen de l'abaque de Smith. Décrire la méthode utilisée.

8.16 Ligne à fente

Une ligne à fente de Zo = 75 ohms est reliée à une ligne aux caractéristiques

identiques, longue de 3,75 m et terminée par une antenne. Sur la ligne àfente on mesure un T.O.S. de 2,0 et on trouve deux noeuds de tensionsuccessivement à 0,180 m et 0,530 m du raccord des lignes. On considèrel'atténuation comme négligeable dans l'ensemble. Évaluer l'impédance del'antenne à la fréquence de mesure au moyen de l'abaque de Smith. Quelleest la fréquence ?

8.17 Communications

On désire raccorder à une antenne par une ligne coaxiale RG-8 un émetteurà 50 MHz dont l'impédance interne est adaptée à la ligne. Celle-ci a unelongueur de 10 mètres. On a déterminé un T.O.S. de 3 près de l'antennequand la ligne est directement raccordée l'antenne.

a) Calculer l'impédance de l'antenne.

b) Calculer le puissance fournie par l'émetteur dans ces conditions, si onmesure une tension efficace de 70 volts à la sortie de l'émetteur.



c) Adapter la ligne à l'antenne au moyen d'un tronçon parallèle près del'antenne.

d) Calculer la puissance fournie par l'émetteur dans ces nouvellesconditions.

8.18 Mesure des paramètres d’une ligne

Vous devez comme ingénieur mettre au point la liaison temporaire entredivers appareils à haute fréquence. Mais vous ne disposez que d’un câblebifilaire aux caractéristiques inconnues qu’il vous faut mesurer avec lesdifférents appareils de base disponibles (générateur de signaux, oscilloscope,fréquencemètre). Comme vous avez bien profité de votre cours sur les lignesélectriques, vous montez une «boîte de mesure» M d’impédance de sortieégale à 50 ohms que vous intégrez au système illustré ci-dessous.L’oscilloscope sert à mesurer les tensions à l’entrée et à la sortie de la boîteM. Ve est la tension à l’entrée de la ligne (sortie de la boîte).

S

Oscilloscope

VMo = 1 volt (amplitude à la sortie de M en circuit ouvert)RM = 50 ohms (résistance interne de la boite M)

Zo = inconnue

Source:

RécepteurMa = 5,0 m

Puis, vous faites une série de mesures afin d’évaluer les caractéristiquessecondaires essentielles de cette ligne. Vous avez inscrit les résultats dans letableau ci-dessous.



f

MHz

Ve

Volts

|Ze|

Ohms

θ

Observations

11,50 ~ 0 ~ 0 Première fréquence de résonance de la ligne ouverte (R ∞).

57,50 ~ 0 ~ 0 Troisième résonance de la ligne ouverte (R ∞).

6,50 ~ 0,947 147,5 ~ +90˚ Ligne court circuitée (R 0).

6,50 ~ 0,890 97,63 ~ 90˚ Ligne ouverte (R ∞).

6,50 68,63 44,14˚ Impédance inconnue Zr du récepteur.

a) Évaluez la vitesse de phase sur cette ligne en exposant clairement laméthode utilisée.

Rép. : 2,23 · 108 m/s

b) Calculez son impédance caractéristique en justifiant clairement laméthode.

Rép. : 120 Ω

c) Quel est à peu près |Ze| à 11,50 MHz ? À 57,5 MHz ? Justifiez.

d) Cette ligne a-t-elle des pertes appréciables ? Justifiez votre réponse.

e) Évaluez par calcul l'impédance inconnue dans le dernier cas et reprenezle même calcul au moyen de l’abaque de Smith.

Rép. : Zr = 50 - j50 Ω

f) Quelle devra être la résistance de sortie des appareils sources utilisésavec ce type de ligne afin que la transmission soit indépendante de lafréquence, quelle que soit la longueur de la ligne utilisée ? Discutez.


Annexe

Tir

é d

u ca

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les

de

don

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», A

LPH

A



Tiré du catalogue «Câbles de données», ALPHA


Annexe 293

Tiré du catalogue «Câbles de données», ALPHA


Bibliographie

CHENG, D.K., Field and Wave Electromagnetics, Addison-Wesley, 1993.

CHIPMAN, R.A., Transmission Lines, Schaum, McGraw-Hill.

CROZE, Raymond, Simon, L et Caire, J.P, Transmission téléphonique :théorie des lignes, Eyrolles, 1968.

DUBOST, Gérard , Propagation libre et guidée des ondes électromagnétiques:application aux guides et fibres optiques, Masson, Paris, 1995.

DWORSKY, Lawrence N., Modern Transmission Line Theory and Applications,Wiley, 1979.

FRÜHLING, A., Cours d'électricité, tomes 1 et 2, Dunod, Paris.

GRIVET, Pierre, Physique des lignes de haute fréquence et d'ultra-hautefréquence, Masson, 1969.

HAUS, H.A. et MELCHER, J.R., Electromagnetic Fields and Energy, Prentice-Hall, 1989.

HAYT, William H. Jr., Engineering Electromagnetics, McGraw-Hill.

LECERF, André, Physique des ondes et des vibrations, Technique etdocumentation - Lavoisier, Paris, 1993.

LORRAIN, Paul et CORSON, D.R., Champs et ondes électromagnétiques,Armand Colin, Paris, 1979.

PÉREZ, J.P., CARLES, R. et FLECKINGER, R., Électromagnétisme ; Vide etmilieux matériels, Masson, Paris, 1991.

ROUAULT, M., collab. de P. MERGAULT, Électricité, fascicules 1 et 2,Masson, Paris, 1967.

SESHADRI, S.R., Fundamentals of Transmission Lines and ElectromagneticFields, Addison-Wesley, 1971.


INDEXA

Abaque de Smith 272 Adaptation d'impédances

278Adaptation par tronçon en

parallèle 278 Amplitude complexe 14 Analyse de la fonction

204Analyse de la fonction ,

ligne avec perte 205 ligne sans perte 204

Angle de Brewster 84 Angle d'incidence critique

84Atténuation en fonction de

la fréquence 218

C

Capacité linéique 160, 216 Champ électrique 57 Champ électromagnétique 4

origine d'un 3 Champ électromagnétique

transversal 14, 25 Champ magnétique 34 Champ magnétique H,

expression du 24 Champ réel 16, 29 Champ réflechi 89 Champ transmis 88 Coefficient

d'affaiblissement 27 d'atténuation 27 d'atténuation en mode

TE 136 d'atténuation en mode

TM 132 de réflexion 53, 54, 77,

83, 173 de réflexion de

l'intensité 57 de transmission 53, 54,

77, 83 de transmission de

l'intensité 57

Composantes du champ 72 Composantes du champ

électromagnétique 76, 82

Concept de propagation 3 Conductance linéique 160,

217Conducteur 56 Conducteur cylindrique 211 Conductivité complexe

effective 27 Conductivité effective 27 Constante de phase 9, 58 Constante de propagation 9 Constante de propagation

complexe 26 Courant 161

D

Décibels 204 Déphasage 15 Diagramme en zigzag 177

E

Effet pelliculaire 34 Équation de Helmholtz 14 Équation d'onde 161

amplitude complexe 198

F

Fibre optique 91 Flux d'énergie

électromagnétique 35 Fonction d'onde 9, 24, 34,

52, 161, 163 atténuation 200 changement de

coordonnées 236 réfléchie 174 vitesse de phase 201

Forme complexe de l'onde stationnaire 63

Forme réelle de l'onde stationnaire 64

Fréquence de coupure 128 Fréquence de transition 205

I

Impédance caractéristique 169, 170, 220 du milieu 25 du vide 26

Impédance d'entrée 246 Impédance d'onde 25, 26 Impédance normalisée 250 Impédance sur la ligne 245 Impulsions sur une ligne

avec pertes 168 Incidence surcritique 87 Indice de réfraction 74 Inductance linéique 160,

216Intensité 110 Intensité de l'onde 41 Intensité transmise 90 Interface de deux

diélectriques parfaits 52

Interface diélectrique 56 Interrupteur initialement

fermé 181 Interrupteur initialement

ouvert 180

L

Ligne bifilaire 156 Ligne coaxiale 156, 171 Ligne triphasée 156 Lois de Descartes et Snell

73Longueur d'onde 5, 15, 17

dans le guide 131

M

Mesure de coefficient d'atténuation 259

Mesure de la vitesse de phase 257

Mesure de l'impédance caractéristique 258

Mesure d'une ligne 257 Microruban 156 Milieu dispersif 29


Modes de propagation 119 Mode TE 120, 135 Mode TEM 119, 120 Mode TM 120, 126

N

Népers 203

O

Onde dans le sens positif 202

Ondeévanescente 81, 87 incidente 52 plane 9

Onde plane direction quelconque

69fonction d'onde 69 composantes 138

Onde réfléchie 52 Onde transmise 52 Ondes en échelon 164 Ondes hertziennes 5 Ondes sphériques 105 Ondes stationnaires 59, 240 Ondes transversales

électriques 120 électromagnétiques

119magnétiques 120

Orthogonalité des champs 24

P

Pénétration 34 Permittivité complexe 26

effective 27 Phase 16

vitesse de 16, 17 Plan(s)

nodal 60 ventral 60 conducteurs parallèles

120Polarisation circulaire 20

droite 22 gauche 22

Polarisation dans le plan 19 Polarisation d'une onde 19 Polarisation elliptique 20

Polarisation parallèle 82 Polarisation rectiligne 19 Potentiels retardés 6, 7, 99 Propagation avec

atténuation 123 Propagation dans un

conducteur 32 Propagation dans un

diélectrique avec perte 26

Propagation guidée 91, 157 Propriété des lignes avec

charge capacitive 269 Propriété d'un tronçon court

256Puissance 110

instantanée 35 moyenne 41 transmise 58

R

Rayonnement 9 d'un dipôle oscillant

105Réflexion 172

en polarisation perpendiculaire76

oblique 72 sur un conducteur

parfait 59 sur un diélectrique 63 totale 79

Régime harmonique 104 Relations entrée / sortie 260 Résistance de surface 43 Résistance du rayonnement

112Résistance linéique 160,

211

S

Source avec résistance interne 172

Spectre électromagnétique 5

T

Taux d'onde stationnaire 64 Tension 161 Théorème de Poynting 35

Théorème des interrupteurs 180

Transmission d'énergie 3 Transmission par onde

évanescente 92 Tronçon court circuité 256 Tronçon ouvert 257 Type de polarisation permis

120Types de lignes 155 Types de vitesse 143 Types de vitesse, relation

géométrique 143 Types d'ondes 119

V

Valeur des paramètres 171 Vecteur de Poynting 38,

110en régime harmonique

39Vecteur d'onde 71 Vitesse

de groupe 144 de phase 129 de propagation de

l'énergie 42



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