Econométrie M1_Polycomplet

8/13/2019 Econométrie M1_Polycomplet

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UNIVERSITÉ PARIS-SUD 11FA C ULT É J E AN M O NN E T

Droit É conomie Gestion

Enseignement A Distance CANEGE

M1 Master ETT

Econométrie

Enseignant responsable : Anne Plunket



La multicolinearite

Anne Plunket

www.adislab.net

1

1 La multicolinea

1.1 La multicolineari

Y i =

X 1i = 3X 2i o2

0 X 2

X 1

Figure 1: La multicolinearite parfaite

3

Un exemple :

in

• int le taux d’interet

• irt le taux d’inter et

• inf t le taux d’inflat

• α le taux constant d

La question est alo

colinearite parfaite su

des MCO est incapab

de la r egression, et le

sage d’erreur.

β k =

4















22 CHAPITRE 1. LA MULTICOLINÉARITÉ

1.7 Fiche de TD 1.2 : la multicolinéarité

Il s’agit d’un fichier qui donne les performances académique des écoles (api00). On chercheà expliquer ces performances par un certain nombre de variables telles que le nombre moyend’enfants par classe en maternelle (acs_k3), le niveau d’éducation des parents (avg_ed), le pour-centage des parents ayant le niveau lycée (grad_sch), le pourcentage des parents ayant un di-plome universitaire (col_grad), et le pourcentage de parents qui ont été à l’université (some_col).

. use http://www.ats.ucla.edu/stat/stata/webbooks/reg/elemapi2, clear

. describe

Contains data from http://www.ats.ucla.edu/stat/stata/webbooks/reg/elemapi2.dta

obs: 400

vars: 22 9 Feb 2002 01:28

size: 15,200 (98.5% of memory free)

-------------------------------------------------------------------------------

storage display value

variable name type format label variable label

-------------------------------------------------------------------------------

snum int %9.0g school number

dnum int %7.0g dname district number

api00 int %6.0g api 2000

api99 int %6.0g api 1999

growth int %6.0g growth 1999 to 2000

meals byte %4.0f pct free mealsell byte %4.0f english language learners

yr_rnd byte %4.0f yr_rnd year round school

mobility byte %4.0f pct 1st year in school

acs_k3 byte %4.0f avg class size k-3

acs_46 byte %4.0f avg class size 4-6

not_hsg byte %4.0f parent not hsg

hsg byte %4.0f parent hsg

some_col byte %4.0f parent some college

col_grad byte %4.0f parent college grad

grad_sch byte %4.0f parent grad school

avg_ed float %9.0g avg parent ed

full byte %8.2f pct full credential

emer byte %4.0f pct emer credential

enroll int %9.0g number of students

mealcat byte %18.0g mealcat Percentage free meals in 3

categories

collcat float %9.0g

-----------------------------------------------------------------------------

On commence par sortir un tableau de corrélation pour voir quelles sont les relations entreles variables.

. pwcorr api00 acs_k3 avg_ed grad_sch col_grad some_col, star(.05)

| api00 acs_k3 avg_ed grad_sch col_grad some_col

-------------+------------------------------------------------------



1.7. FICHE DE TD 1.2 : LA MULTICOLINÉARITÉ 23

api00 | 1.0000

acs_k3 | 0.1710* 1.0000avg_ed | 0.7930* 0.0794 1.0000

grad_sch | 0.6332* 0.0983* 0.7973* 1.0000

col_grad | 0.5273* -0.0174 0.8089* 0.4439* 1.0000

some_col | 0.2615* 0.0915 0.3031* 0.0718 0.1555* 1.0000

Certaines corrélations sont très fortes, il peut y avoir un problème de multicolinéarité. On

peut déterminer le VIF pour l’ensemble de ces variables. Pour cela on commence par faire une

régression suivit de VIF

. regress api00 acs_k3 avg_ed grad_sch col_grad some_col

Source | SS df MS Number of obs = 379

-------------+------------------------------ F( 5, 373) = 143.79Model | 5056268.54 5 1011253.71 Prob > F = 0.0000

Residual | 2623191.21 373 7032.68421 R-squared = 0.6584

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6538

Total | 7679459.75 378 20316.0311 Root MSE = 83.861

------------------------------------------------------------------------------

api00 | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

acs_k3 | 11.45725 3.275411 3.50 0.001 5.016669 17.89784

avg_ed | 227.2638 37.2196 6.11 0.000 154.0773 300.4504

grad_sch | -2.090898 1.352292 -1.55 0.123 -4.749969 .5681735

col_grad | -2.967831 1.017812 -2.92 0.004 -4.969199 -.9664626

some_col | -.7604543 .8109676 -0.94 0.349 -2.355096 .8341872

_cons | -82.60913 81.84638 -1.01 0.313 -243.5473 78.32904

------------------------------------------------------------------------------

. vif

Variable | VIF 1/VIF

-------------+----------------------

avg_ed | 43.57 0.022951

grad_sch | 14.86 0.067274

col_grad | 14.78 0.067664

some_col | 4.07 0.245993

acs_k3 | 1.03 0.971867

-------------+----------------------

Mean VIF | 15.66

On constate que les valeurs pour avg_ed, grad_sch et col_grad sont élevées et donc plutôt inquiétantes. En fait

toutes ces variables mesurent le niveau d’éducation des parents et le VIF élevé indique que ces variables sont sans

doute redondantes. Par exemple, il suffit de connaître grad_sch et col_grad pour connaître le niveau d’éducation

des parents avg_ed. Dans cet exemple, la multicolinéarité se produit parce que de nombreuses variables mesurent le

même phénomène à savoir le niveau d’éducation des parents. Essayons d’omettre une varible, mettons avg_ed.

. regress api00 acs_k3 grad_sch col_grad some_col


-------------+------------------------------ F( 4, 393) = 107.12

Model | 4180144.34 4 1045036.09 Prob > F = 0.0000



24 CHAPITRE 1. LA MULTICOLINÉARITÉ


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.5167Total | 8014207.14 397 20186.9197 Root MSE = 98.772

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

acs_k3 | 11.7126 3.664872 3.20 0.002 4.507392 18.91781

grad_sch | 5.634762 .4581979 12.30 0.000 4.733936 6.535588

col_grad | 2.479916 .3395548 7.30 0.000 1.812345 3.147487

some_col | 2.158271 .4438822 4.86 0.000 1.28559 3.030952

_cons | 283.7446 70.32475 4.03 0.000 145.4848 422.0044

------------------------------------------------------------------------------

. vif


-------------+----------------------

col_grad | 1.28 0.782726

grad_sch | 1.26 0.792131

some_col | 1.03 0.966696

acs_k3 | 1.02 0.976666

-------------+----------------------

Mean VIF | 1.15

On remarque que les VIF sont bien moins élevées. On peut également remarquer que les

écart-types se sont réduits pour les variables d’éducation des parents grad_sch et col_grad. Ceci

s’explique par le fait que le degré élevé de colinéarité a conduit à une augmentation importante

des écart-types. Par ailleurs, une fois la multicolinéarité éliminée, le coefficient de grad_sch est

devenu significatif alors qu’il ne l’était pas auparavant !



UNIVERSITE DE PARIS 11Fiche de TD 2 : la multicolinéarité

Il s’agit d’un fichier qui donne les performances académique des écoles (api00). On cherche

à expliquer ces performances par un certain nombre de variables telles que le nombre moyen

d’enfants par classe en maternelle (acs_k3), le niveau d’éducation des parents (avg_ed), le pour-

centage des parents ayant le niveau lycée (grad_sch), le pourcentage des parents ayant un di-

plome universitaire (col_grad), et le pourcentage de parents qui ont été à l’université (some_col).

1. Y a t-il de la multicolinéarité dans la première régression ? Par quels biais le remarquez-

vous ?

2. Déterminez la VIF pour avg_ed

3. Quelles solutions peut-on envisager pour résoudre le problème ? Comment justifiez-

vous cette solution ?

. pwcorr api00 acs_k3 avg_ed grad_sch col_grad some_col, star(.05)

| api00 acs_k3 avg_ed grad_sch col_grad some_col

-------------+------------------------------------------------------

api00 | 1.0000

acs_k3 | 0.1710* 1.0000

avg_ed | 0.7930*

0.0794 1.0000

grad_sch | 0.6332* 0.0983* 0.7973* 1.0000

col_grad | 0.5273* -0.0174 0.8089* 0.4439* 1.0000

some_col | 0.2615* 0.0915 0.3031* 0.0718 0.1555* 1.0000

. regress api00 acs_k3 avg_ed grad_sch col_grad some_col


-------------+------------------------------ F( 5, 373) = 143.79

Model | 5056268.54 5 1011253.71 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6538

Total | 7679459.75 378 20316.0311 Root MSE = 83.861

------------------------------------------------------------------------------api00 | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

acs_k3 | 11.45725 3.275411 3.50 0.001 5.016669 17.89784

avg_ed | 227.2638 37.2196 6.11 0.000 154.0773 300.4504

grad_sch | -2.090898 1.352292 -1.55 0.123 -4.749969 .5681735

col_grad | -2.967831 1.017812 -2.92 0.004 -4.969199 -.9664626

some_col | -.7604543 .8109676 -0.94 0.349 -2.355096 .8341872

_cons | -82.60913 81.84638 -1.01 0.313 -243.5473 78.32904

------------------------------------------------------------------------------

1



. regress avg_ed acs_k3 grad_sch col_grad some_col


-------------+------------------------------ F( 4, 374) = 3980.33

Model | 216.114961 4 54.0287402 Prob > F = 0.0000

Residual | 5.07665699 374 .013573949 R-squared = 0.9770

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9768

Total | 221.191618 378 .58516301 Root MSE = .11651

------------------------------------------------------------------------------

avg_ed | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

acs_k3 | .0004584 .0045504 0.10 0.920 -.0084892 .0094061

grad_sch | .0347897 .0005417 64.22 0.000 .0337245 .0358549

col_grad | .0261866 .0004074 64.28 0.000 .0253855 .0269876

some_col | .0188694 .0005634 33.49 0.000 .0177616 .0199771

_cons | 1.412384 .0871539 16.21 0.000 1.241011 1.583757

------------------------------------------------------------------------------

. vif


-------------+----------------------

avg_ed | 43.57 0.022951

grad_sch | 14.86 0.067274

col_grad | 14.78 0.067664

some_col | 4.07 0.245993

acs_k3 | 1.03 0.971867

-------------+----------------------Mean VIF | 15.66

. regress api00 acs_k3 grad_sch col_grad some_col


-------------+------------------------------ F( 4, 393) = 107.12

Model | 4180144.34 4 1045036.09 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.5167

Total | 8014207.14 397 20186.9197 Root MSE = 98.772

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

acs_k3 | 11.7126 3.664872 3.20 0.002 4.507392 18.91781

grad_sch | 5.634762 .4581979 12.30 0.000 4.733936 6.535588

col_grad | 2.479916 .3395548 7.30 0.000 1.812345 3.147487

some_col | 2.158271 .4438822 4.86 0.000 1.28559 3.030952

_cons | 283.7446 70.32475 4.03 0.000 145.4848 422.0044

------------------------------------------------------------------------------

2



L’autocorrelation.

Dans le cas de donnees en coupe transversale, le fait que les er-

reurs ne sont plus independantes peut etre du a des effets de voisi-

nage. Les observations qui sont semblables auront leurs erreurs

corr elees.

Lorsque l’on considere des donnees en series temporelles, une

relation similaire peut etre observee pour les donnees au cours du

temps. Les observations qui sont proches dans le temps seront

correlees, l’importance de la correlation augmente avec leur prox-

imite dans le temps. Bien qu’il n’y ait pas de mesure de proximite

des variables dans le cas des series en coupe, dans le cas des series

temporelles, la proximite est definie naturellement par le temps qui

s’ecoule, on parle d’autocorrelation.

1 Definir l’autoco

Comme dans le cas

s’appuient sur les r

Dans le cas le plu

modele AR(1) : il

egalement qualifie

ut est une variabl

variance constante.

• On impose une restriction |ρ| < 1 pour s’assurer que est sta-

tionnaire et de variance finie, ce qui implique que les effets

d’un choc ut se dissiperont au cours du temps.

• Si ρ = 1, le processus est totalement aleatoire, egalement qual-

ifie de “random walk”, ce qui implique que la variance de est

infinie et qu’ devient non stationnaire, egalement qualifie de

processus integr e d’ordre un et note I (1).• Plus ρ sera grand en valeur absolue et plus les chocs seront

persistants au cours du temps et plus les erreurs t seront au-

tocorr elees. En effet, dans le cas du modele AR(1), la fonction

d’autocorr elation des sera une suite geometrique ρ, ρ2, ρ3, . . . ,

et la corr elation entre erreurs separ ees par τ periodes sera ρτ .

2 Tester l’autocor

Dans Stata, la fonct

peut etre calculee

corrgram repr esent

nostiquer l’autoco

1. on va s’appuyerdes MCO a l’aid

2. on estime ensui

constante puisqu

3. la pente obtenue

ance minimale d

ρ pour la serie,















UNIVERSITE DE PARIS 11

TD d’économétrie Anne PlunketAutocorrélation

1 Problème 1

Vous disposez de données agrégées portant sur l’investissement invest, les taux d’intérêt

interest et le PNB GNP sur 30 années (1960 à 1989).

1. Analysez le tableau de la régression ci-dessous.

2. Proposez un test du Durbin et Watson. Quelles sont vos conclusions ?

. use invest.dta", clear

. tsset year /* cette commande indique qu’il s’agit de variables temporelles*/

time variable: year, 60 to 89

. regdw invest GNP interest


-------------+------------------------------ F( 2, 27) = 59.98

Model | 1329.98699 2 664.993493 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.8027

Total | 1629.32284 29 56.1835462 Root MSE = 3.3296

------------------------------------------------------------------------------

invest | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

GNP | .7699114 .0717905 10.72 0.000 .6226094 .9172134

interest | -.1841962 .1264157 -1.46 0.157 -.4435798 .0751874

_cons | 6.224938 2.510894 2.48 0.020 1.073009 11.37687

------------------------------------------------------------------------------

Durbin-Watson Statistic = .852153

3. On vous propose le graphique suivant. L’aspect des résidus corrobore-t-il vos conclusionspour le test du Durbin et Watson ?

. predict res, resid

. scatter res year, yline(0)

1



− 6

− 4

− 2

0

2

4

R e s i d u a l s

60 70 80 90year

4. Il vous est proposé deux tests de Breusch-Godfrey ? Quelle est la différence entre les deuxtests ? Quelles sont vos conclusions ?

. reg invest GNP interest


-------------+------------------------------ F( 2, 27) = 59.98

Model | 1329.98699 2 664.993493 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.8027Total | 1629.32284 29 56.1835462 Root MSE = 3.3296

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

GNP | .7699114 .0717905 10.72 0.000 .6226094 .9172134

interest | -.1841962 .1264157 -1.46 0.157 -.4435798 .0751874

_cons | 6.224938 2.510894 2.48 0.020 1.073009 11.37687

------------------------------------------------------------------------------

. estat bgodfrey, lags(1)

Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation

---------------------------------------------------------------------------lags(p) | chi2 df Prob > chi2

-------------+-------------------------------------------------------------

1 | 10.025 1 0.0015

---------------------------------------------------------------------------

H0: no serial correlation

. estat bgodfrey, lags(4)

Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation

---------------------------------------------------------------------------

lags(p) | chi2 df Prob > chi2

-------------+-------------------------------------------------------------

4 | 11.918 4 0.0180

2



---------------------------------------------------------------------------

H0: no serial correlation

5. On vous propose la régression suivante. Apporte-t-elle une amélioration ?

. prais invest GNP interest

Iteration 0: rho = 0.0000








Prais-Winsten AR(1) regression -- iterated estimates


-------------+------------------------------ F( 2, 27) = 19.34

Model | 270.876071 2 135.438036 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.5585

Total | 459.915063 29 15.8591401 Root MSE = 2.646

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

GNP | .7337751 .125379 5.85 0.000 .4765187 .9910315

interest | -.2893788 .0766134 -3.78 0.001 -.4465765 -.1321812 _cons | 8.704382 3.110804 2.80 0.009 2.321539 15.08723

-------------+----------------------------------------------------------------

rho | .6275201

------------------------------------------------------------------------------

Durbin-Watson statistic (original) 0.852153

Durbin-Watson statistic (transformed) 1.619036

3



2 Problème 2

1. On vous propose la régression suivante pour des données allant de 1950 à 1999. Yt repré-

sente le PIB agrégé et Ct la consommation en t. Les tableaux de régressions vous donnent

les écart-types entre parenthèse et DW est la statistique du Durbin et Watson. Analysez le

tableau de la régression OLS(1), est-il satisfaisante ?

2. La seconde régression OLS(2) apporte-t-elle une amélioration ?

Dependent variable : Yt National Income

-----------------------------------------

OLS(1) OLS(2)

-----------------------------------------

C(t) 0.800 0.250

(0.004) (0.200)

C(t-1) 0.540

(0.300)

Constant 10.598 10.660

(0.335) (5.500)

R2 0.915 0.995

DW 0.450 1.521

----------------------------------------

4









2. La seconde régression OLS(2) apporte-t-elle une amélioration ?

La seconde régression peut constituer une amélioration car le fait d’introduire des dé-calages dans le temps peut aider à corriger l’autocorrélation. A présent, pour k = 2,

dL = 1, 44 et dU = 1, 63, dL < DW < dU . Dans la mesure où DW se situe entre les

limites inférieures et supérieures des valeurs critiques, il existe un doute quant à l’exis-

tence d’autocorrélation d’ordre 1. Dans ce cas, la prudence s’impose, on penche plutôt

pour l’existence d’autocorrélation.

Dependent variable : Yt National Income

-----------------------------------------

OLS(1) OLS(2)

-----------------------------------------

C(t) 0.800 0.250

(0.004) (0.200)C(t-1) 0.540

(0.300)

Constant 10.598 10.660

(0.335) (5.500)

R2 0.915 0.995

DW 0.450 1.521

----------------------------------------

4



L’heteroscedasticite.

La methode des moindres carr es ordinaires suppose que les er-

reurs sont independantes et distribuees de maniere identique

(- i.i.d.).

Cette hypothese est violee lorsque :

• la variance des erreurs, conditionnelle aux variables explica-

tives (ou r egresseurs) varie avec les observations. A ce moment

la, l’hypothese de distribution identique est violee. Ce probleme

est connu sous le terme d’h´ et erosc´ edasticit e des erreurs par op-

position a l’homosc´ edasticit e ou variance commune.

Lorsque les erreurs sont i.i.d., on suppose qu’elles sont condi-tionnellement homosc´ edastiques : les r egresseurs n’apportent

pas d’information concernant la variance des erreurs.

• Lorsque les erreurs sont correlees les unes aux autres, elles ne

sont plus distribuees de maniere ind ependante; on parle alors

d’autocorr elation des erreurs - chapitre suivant.

1 Qu’est-ce que l’heteroscedasticite

• Dans les series en coupe transversale repr esentant des indi-

vidus, des menages ou des entreprises, la variance des erreurs

est souvent dependante d’une certaine taille ou echelle de grandeur;

• Il peut y avoir homoscedasticite au sein de groupes d’individus

similaires mais heteroscedasticite entre les groupes (ex: tra-

vailleurs a la commission et travailleurs salaries).

La methode des moindres carr es quasi generalises qui tient compte



de cette particularite attribuera des valeur diff erentes pour σ2 ;

elles seront similaires pour les individus du meme groupe mais

diff erentes entre les groupes.

• L’heteroscedasticite se rencontre lorsque les donnees sont agregees,

c’est-a-dire lorsque chaque observation est la moyenne de donnees

microeconomiques telles que pour une r egion ou un Etat.

1.1 L’heteroscedasticite liee a une echelle de grandeur.

La variance des erreurs depend d’une certaine echelle de grandeur

(ex: dispersion dans la consommation des menages ou des in-

vestissements pour les entreprises) :

σ2i ∝ z αi

z αi est une variable repr esentant l’echelle de grandeur de la ieme

unite

il ne faut estimer que Σ2 en fonction d’un facteur de proportion-

nalite z .

Quelle est nature de la proportionnalite?

1. si α = 2, on sait que l’ ecart-type de l’erreur sera proportionnelle

a z i (par exemple, le revenu du menage ou les actifs ou l’emploi

de l’entreprise)

2. si α = 1, on sait que la variance de l’erreur est proportionnelle

a z i, de sorte que l’ecart-type est proportionnelle a√

z i

le choix de z i et α permettra de definir l’estimateur des moin-

dres carr es quasi generalises a utiliser.



1.1.1 Test de l’heteroscedasticite liee a l’echelle de grandeur

Apres avoir fait la regression des moindres carres ordinaires, on

peut faire un test d’heteroscedasticite en prenant les residus dela r egression.

H 0 : V ar[|X ] = σ2 (1)

Sous l’hypothese nulle, la variance conditionnelle des erreurs ne

depend pas des variables explicatives.

Etant donne que

E [] = 0

cette hypothese nulle est equivalente a

E [2|X ] = σ2

L’esperance des r esidus au carr e conditionnelle a n’importe quelle

source d’information zi ne devrait pas avoir d’impact sur son pou-

voir explicatif ( zi doit etre une fonction du regresseur).

•Le test le plus courant qui decoule de ce type de raisonnement

est celui de Breusch-Pagan (BP). Le test de BP est un testdu multiplicateur de Lagrange qui implique que l’on fasse une

r egression du carr e des r esidus sur un ensemble de variables :

2 = d0 + d1z i1 + d2z i2 + . . . + dlz il + vi (2)

a partir de la r egression de l’equation auxiliaire ci-dessus, sous

l’hypothese nulle,

LM = n × R22 ∼ χ2

l

l repr esente le nombre de r egresseur de la r egression auxiliaire.

Dans Stata, on peut obtenir le test de BP a l’aide de la com-



mande estat hettest apres la commande regress. Si aucune

liste de r egresseur (z ) n’est fournie, le test hettest s’appuie sur

les valeurs de la r egression pr ecedente (les yi).

• test de White : Le test de BP avec z = x est un cas particulier

du test de White : il repose sur une regression auxiliaire de

2i sur les variables explicatives, leurs carr es et leurs produits

croises.

Si on ne parvient pas a rejeter l’hypothese nulle d’homoscedasticite,

ca ne signifie pas une absence d’heteroscedasticite mais plutot

que l’heteroscedasticite (si elle existe) n’est pas de la forme

specifiee..

1.1.2 Application

Considerons un exemple d’heteroscedasticite liee a l’echelle de

mesure dans le cas des prix medians du logement. La taille peut

etre comprise ici comme la taille du logement dans chaque quartier,

mesur ee par le nombre de pieces.

. use http://www.stata-press.com/data/imeus/hprice2a, clear(Housing price data for Boston-area communities)

. regress lprice rooms crime ldist

Source | SS df MS Number of obs = 506-----------+------------------------------ F( 3, 502) = 219.03

Model | 47.9496883 3 15.9832294 Prob > F = 0.0000Residual | 36.6325827 502 .072973272 R-squared = 0.5669

-----------+------------------------------ Adj R-squared = 0.5643

Total | 84.5822709 505 .167489645 Root MSE = .27014



----------------------------------------------------------------------------lprice | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-----------+----------------------------------------------------------------

rooms | .3072343 .0178231 17.24 0.000 .2722172 .3422514crime | -.0174486 .001591 -10.97 0.000 -.0205744 -.0143228ldist | .074858 .0255746 2.93 0.004 .0246115 .1251045_cons | 7.984449 .1128067 70.78 0.000 7.762817 8.20608

----------------------------------------------------------------------------

. estat hettest

Breusch-Pagan / Cook-Weisberg test for heteroskedasticity

Ho: Constant varianceVariables: fitted values of lprice

chi2(1) = 140.84Prob > chi2 = 0.0000

. estat hettest rooms crime ldist

Breusch-Pagan / Cook-Weisberg test for heteroskedasticityHo: Constant varianceVariables: rooms crime ldist

chi2(3) = 252.60Prob > chi2 = 0.0000

. whitetst

White’s general test statistic : 144.0052 Chi-sq( 9) P-value = 1.5e-26

Chacun de ces tests indique qu’il y a de l’heteroscedasticite et de

maniere significative puisque par exemple, P rob > chi2 = 0.0000.



1.2 L’heteroscedasticite entre des groupes d’observations

L’heteroscedasticite entre des groupes d’observations est souvent

associee au fait de regrouper des donnees qui peuvent etre des en-sembles d’observations distribuees de maniere non identique (Ex.

Expliquer la depense de consommation a l’aide d’une etude menee

dans diff erentes r egions).

Le modele est-il structurellement stable : les deux populations

peuvent avoir les memes coefficients β mais des variances differentes.

Cette situation peut se retrouver dans diff erents cas, tels que celui

du revenu d’un salarie par rapport a celui d’un travailleur independant

ou a la commission. C’est egalement le cas pour les profits des

entreprises (ou chiffres d’affaires ou l’investissement en capital)

qui sont plus variables dans certaines industries que d’autres; les

marches qui vendent des produits financiers sont, par exemple,

plus soumis a une demande cyclique que les producteurs/vendeurs

d’electricite.

1.2.1 le test de l’heteroscedasticite entre groupes

• Pour deux groupes, on peut construire un test du Fisher qui est

le rapport des variances des r esidus, avec la variance la plus

grande au denominateur; les degres de liberte sont constitues

par les degres de liberte des residus de chaque groupe. Ce test

peut se r ealiser a l’aide de la commande sdtest en specifiant

une option by groupvar , l’option indiquant les groupes (l’Etat



ou l’industrie, etc).

• S’il y a plus de deux groupes, par exemple, un ensemble de

10 industries, cette procedure n’est pas possible. On peut alorsutiliser la commande robvar . L’option by groupvar est ici aussi

specifiee1.

1D’apr es l’aide dans Stata : robvar reports Levene’s statistic (W 0)

and two statistics proposed by Brown and Forsythe that replace the

mean in Levene’s formula with alternative location estimators. The

first alternative (W 50) replaces the mean with the median. The

second alternative replaces the mean with the 10 percent trimmed

mean (W 10).

1.2.2 Application

Prenons comme exemple, les donnees portant sur six Etats americains

de la Nouvelle Angleterre entre 1981 et 1990. Les statistiques de-

scriptives sont obtenues a l’aide de la commande summarize pour

la variable dpipc - state disposable personal income per capita, a

savoir le revenu disponible par habitant.

. use http://www.stata-press.com/data/imeus/NEdata, clear

. summarize dpipc

Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max-------------+--------------------------------------------------------

dpipc | 120 18.15802 5.662848 8.153382 33.38758

La regression de dpipc sur l’annee (\textsfyear) nous donne une tendance durevenu au cours du temps.



. regress dpipc year


----------+------------------------------ F( 1, 118) = 440.17Model | 3009.33617 1 3009.33617 Prob > F = 0.0000

Residual | 806.737449 118 6.83675804 R-squared = 0.7886----------+------------------------------ Adj R-squared = 0.7868

Total | 3816.07362 119 32.0678456 Root MSE = 2.6147

---------------------------------------------------------------------------dpipc | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

----------+----------------------------------------------------------------

year | .8684582 .0413941 20.98 0.000 .7864865 .9504298_cons | -1710.508 82.39534 -20.76 0.000 -1873.673 -1547.343

---------------------------------------------------------------------------

. predict double eps, residual

. robvar eps, by(state)

| Summary of Residualsstate | Mean Std. Dev. Freq.

------------+------------------------------------CT | 4.167853 1.3596266 20MA | 1.618796 .86550138 20ME | -2.9841056 .93797625 20NH | .51033312 .61139299 20RI | -.8927223 .63408722 20VT | -2.4201543 .71470977 20

------------+------------------------------------Total | -6.063e-14 2.6037101 120

W0 = 4.3882072 df(5, 114) Pr > F = .00108562

W50 = 3.2989849 df(5, 114) Pr > F = .00806752



W10 = 4.2536245 df(5, 114) Pr > F = .00139064

Dans cet exemple, on voit que l’hypothese nulle d’egalite desvariances est rejetee par les trois statistiques (W0, W50, W10) du

test robvar . On peut voir que les residus pour le Connecticut (CT)

ont un ecart-type plus eleve (Std. Dev. = 1,359) que pour les autres

Etats.

1.3 L’heteroscedasticite au sein des groupes d’observations

Le troisieme cas d’heteroscedasticite se produit pour les donnees

en coupe, lorsque les observations sont regroupees ou agregees.

Cette situation se produit lorsque les variables de la base de donnees

sont des moyennes ou des ecart-types de groupes d’observations,

comme par exemple, un ensemble d’observations pour les 50 Etats

des Etats-Unis. Nous savons que les observations pour la Cali-

fornie seront plus pr ecises (fondees sur 30 millions d’individus)

que celles du Vermont (quelques millions d’habitants).



2 Le modele lineaire generalise

Si l’hypothese d’esperance conditionnelle egale a zero est vraie,

la methode des MCO produira des estimations des coefficients β avariance minimale (consistent estimates en anglais).

y = Xβ +

E [|X] = 0

E [|X] = Σ

avec Σ = σ2IN

En revanche, la m ´ ethode des moindres carr es g en´ eralis´ es (MCGou GLRM - generalized linear regression model ) permet de pren-

dre en compte les consequences des erreurs non i.i.d sur l’estimation

de la matrice de covariance des coefficients β .Lorsque Σ = σ2IN , l’estimateur des MCO de β est sans biais,

de variance minimale et distribue selon une loi normale lorsque les

echantillons sont grands, mais ils ne sont plus efficaces :

β = (XX)−1Xy= (XX)−1X(Xβ + )

= β + (XX)−1XE [β − β ] = 0

etant donne l’hypothese d’esperance conditionnelle nulle des er-

reurs, la variance de l’estimateur (conditionnel a X) s’ecrit :

V ar[β

|X] = E [(XX)−1XX(XX)−1] (3)

= (XX)−1(XΣX)(XX)−1 (4)



La matrice des variances-covariances des estimateurs dans le cas

des MCO est egale a σ2 (X X )−1 avec σ2

remplace par son estima-

tion s2.

Lorsque Σ = σ2I N , cet estimateur de la matrice des variances-

covariances des estimateurs n’est pas de variance minimale et

la procedure d’estimation habituelle n’est plus appropriee. On ne

peut plus utiliser les tests d’hypotheses et les intervals de confiance

donnes par les MCO avec la commande regress dans Stata.

2.1 Les types de violation de l’hypothese i.i.d.

La methode des moindres carr es generalises - MCG - permet de

considerer des modeles pour lesquels Σ = σ2IN . Trois cas partic-

uliers peuvent etre consider es comme pr ecedemment :

1. Pure h´ et erosc´ edasticit e

Lorsqu’il y a h ´ et erosc´ edasticit e pure, Σ est une matrice diago-

nale et cela viole l’hypothese de distribution identique. Lorsque

les elements de la diagonale diff erent, la variance de , condi-

tionnelle a X, varie selon les observations.

Σ = E (N ) =

σ21 0 . . . 0

0 σ22 . . . 0

... ... . . . ...

0 0 . . . σ2N

Exemple : lorsque l’on utilise des donnees sur les menages, la

variance des erreurs pour les individus a revenu eleve est plus

grande que la variance des erreurs pour les bas revenus.



2. Le regroupement d’observations

Les observations peuvent etre regroupees en plusieurs groupes

separ es, aussi appeles clusters au sein desquels les erreurs sont

corr elees. Le regroupement a pour consequence de rendre la

matrice Σ bloc-diagonale parce que les erreurs des diff erents

groupes sont independantes. Ce cas viole l’hypothese de distri-

bution ind ependante d’une maniere particuliere puisque chaque

groupe peut avoir sa propre variance des erreurs.

Exemple : dans le cas des depenses des menages, il peut y

avoir une corr elation des erreurs pour les menages habitants

dans le meme voisinage. En effet, habituellement le voisinage

regroupera des menages ayant des caracteristiques socioprofes-sionnelles et de revenu similaires.

Σ =

Σ1 0 . . . 00 Σm . . . 0... ... . . . ...

0 0 . . . ΣM

Σm represente une matrice de covariance intra-cluster. Pour

chaque groupe (ou cluster) m constitue de τ m observations, Σm

sera de taille τ m × τ m. La covariance nulle entre les observa-

tions des M differents clusters donne a la matrice de covariance

Σ une forme bloc-diagonale.

3. L’autocorrelation Les erreurs dans les series temporelles (voir

chapitre suivant) peuvent se caracteriser par de l’autocorr elation,

c’est-a-dire une corr elation entre les erreurs a travers le temps.



La matrice de covariance des erreurs peut s’ecrire alors :

Σ = σ2

1 ρ1 . . . ρ2N −1

ρ1 1 . . . ρ2N −3... ... . . . ...

ρN −1 ρ2N −3 . . . 1

ρ1, ρ2, . . . , ρ[N (N −1)]/2 repr esentent les corr elations entre les elements

successifs des erreurs. Ce cas viole egalement l’hypothese de

distribution ind ependante des erreurs .

2.2 Un estimateur robust de la matrice des variance-covariances

des estimateurs

L’estimateur de Huber-White-sandwich de la variance permet

d’appliquer une approche robuste aux erreurs qui sont condition-

nellement heteroscedastiques.

Il nous faut estimer le terme (X E [|X ]X ) de la variance qui

est pris en sandwich entre les termes (X X )−1.

V ar[β

|X] = (XX)−1(XΣX)(XX)−1] (5)

= (XX)−1(XE[|X]X)(XX)−1 (6)

Hubert (1967) et White (1980) ont montr e que

S 0 = 1

N

N

i=12ix

ixi (7)

permet d’estimer (X E [|X ]X ) lorsque i est conditionnellement

heteroscedastique.

Si l’on substitue l’estimateur (7) a son equivalent pour la popu-

lation a partir de (5), on obtient un estimateur de la matrice de



variance covariance des erreurs robuste.

V ar[β |X] = N

N −

k(XX)−1

N

i=12iX

iXi

(XX)−1 (8)

L’option robust dans stata applique l’estimateur sandwich. Lorsque

l’on calcule des ecart-types robustes cela affecte les ecart-types

des coefficients mais pas leur estimation β .

Le F de la table de l’ANOVA sera supprimee de meme que le

R2 ajuste parce qu’aucun des deux n’est plus valide apr es cette

procedure. Si l’hypothese d’homoscedasticite est valide, le simple

estimateur de la matrice de variance et covariance est plus efficace

que celui de la version robuste.1. Pour un echantillon de taille modeste avec homoscedasticite,

on a plutot inter et a utiliser la procedure simple et voir dans

quelle mesure les estimations sont fragiles ou non.

2. Pour de grands echantillons, il est devenu courant d’utiliser

systematiquement des estimateurs robustes pour la matrice de

variance-covariance.

2.2.1 Application

Soit des observations d’une base de donnees (fertil2) qui contient

des donnees pour 4.361 femmes vivant dans des pays en voie de

developpement. Nous souhaitons modeliser le nombre d’enfants

qu’elles ont mis au monde ceb pour chaque femme en fonction de

leur age age, leur age lors de la premiere naissance (agefbrth),

d’un indicateur d’usage d’un moyen contraceptif (usemeth)2.2Dans la mesure ou la variable dependante est un entier, il faudrait appliquer une procedure de Poisson, mais dans ce cas, nous utiliseront une regression lineaire



. use http://www.stata-press.com/data/imeus/fertil2, clear

. regress ceb age agefbrth usemeth


----------+------------------------------ F( 3, 3209) = 1433.16Model | 9202.53439 3 3067.51146 Prob > F = 0.0000


Total | 16071.0277 3212 5.00343328 Root MSE = 1.463

---------------------------------------------------------------------------ceb | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

----------+----------------------------------------------------------------

age | .2237368 .003448 64.89 0.000 .2169763 .2304974agefbrth | -.2606634 .0087954 -29.64 0.000 -.2779085 -.2434184

usemeth | .1873702 .0554298 3.38 0.001 .0786888 .2960516

_cons | 1.358134 .1737828 7.82 0.000 1.017397 1.69887---------------------------------------------------------------------------

. estimates store nonRobust

. summarize ceb age agefbrth usemeth children if e(sample)


ceb | 3213 3.230003 2.236836 1 13

age | 3213 29.93931 7.920432 15 49agefbrth | 3213 19.00498 3.098121 10 38

usemeth | 3213 .6791161 .4668889 0 1children | 3213 2.999378 2.055579 0 13

On apprend que les femmes ont en moyenne 30 ans, qu’elles ont

eu leur premier enfant a 19 ans et qu’elles ont donne naissance a

3,2 enfants en moyenne et qu’un peu moins de 3 enfants vivent

dans le menage.



L’usage de la contraception est suppose r eduire le nombre d’enfants

mis au monde par une femme.

On procede a l’estimation du modele par la methode robuste et

on sauvegarde les resultats XE[|X]X.

. regress ceb age agefbrth usemeth, robust

Linear regression Number of obs = 3213F( 3, 3209) = 874.06Prob > F = 0.0000R-squared = 0.5726

Root MSE = 1.463

----------------------------------------------------------------------------| Robust

ceb | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]----------+----------------------------------------------------------------

age | .2237368 .0046619 47.99 0.000 .2145962 .2328775agefbrth | -.2606634 .0095616 -27.26 0.000 -.2794109 -.2419159

usemeth | .1873702 .0606446 3.09 0.002 .0684642 .3062762_cons | 1.358134 .1675624 8.11 0.000 1.029593 1.686674

----------------------------------------------------------------------------

. estimates store Robust



. estimates table nonRobust Robust, se t style(oneline) title(Estimatesof CEB with OLS and Robust standard errors)

Estimates of CEB with OLS and Robust standard errors

----------------------------------------Variable | nonRobust Robust

-------------+--------------------------age | .22373685 .22373685

| .00344802 .00466191| 64.89 47.99

agefbrth | -.26066343 -.26066343

| .00879535 .00956162| -29.64 -27.26

usemeth | .18737022 .18737022

| .0554298 .06064456| 3.38 3.09

_cons | 1.3581336 1.3581336

| .17378284 .16756239| 7.82 8.11

----------------------------------------legend: b/se/t

Contrairement a nos attentes, l’usage d’un contraceptif ne sem-

ble pas avoir d’effet negatif sur le nombre d’enfants nes alors meme

que la variable apparaıt significative. Par ailleurs, il ne semble pas

y avoir de difference notable entre la regression robuste et la simple

r egression indiquant qu’il n’y a pas d’heteroscedasticite condition-

nelle.



3 L’estimateur des matrices de variances-covariances pour les

regroupements

Stata propose un estimateur robuste de la matrice des variances-covariances des coefficients lorsque les erreurs sont correlees au

sein des groupes et non distribuees de maniere independante.

Cet estimateur est qualifie de cluster-robust-VCE estimator.

La corr elation au sein des groupes produit une matrice Σ qui

est diagonale par blocs avec des elements diff erents de zero au

sein de chaque bloc sur la diagonale. Cette construction permet

l’autocorr elation au sein des groupes mais les erreurs des diff erentsgroupes ne sont pas corr elees.

Lorsque l’on ignore les corr elations au sein des groupes, les es-

timations produisent des estimateurs des variance-covariances non

convergents. Dans la mesure ou l’estimation robust de la matrice

des variance-covariances suppose que les erreurs sont distribuees

de maniere independante, son estimation (X E [|X ]X ) n’est par consequent pas convergente.

L’application de la commande cluster n’affecte pas l’estimation

du coefficient3 mais simplement l’estimation de la matrice des vari-

ances et covariances du coefficient. L’option cluster () suppose que

l’on specifie une variable d’appartenance a un groupe qui indique

comment les observations sont regroupees.

3 a l’instar de la commande robust



L’estimateur robuste s’ecrit :

V ar[β |X] = N −

1

N − k

M

M − 1(XX)−1

M

j=1 j j

(XX)−1

(9)

ou M repr esente le nombre de clusters, j = N ki=1 ixi, N j repr esente

le nombre d’observations du jeme cluster, i est alors le ieme r esidu

du jeme cluster, et xi un vecteur de regresseurs de taille 1× k de la

ieme observation du jeme cluster.

3.0.2 Application

La variable de cluster children, indique le nombre d’enfants quivivent dans le menage. On suppose que les erreurs des menages

de taille similaire seront corr elees entre elles, mais qu’elles seront

independantes pour des menages de taille diff erente.

. regress ceb age agefbrth usemeth, cluster(children)Linear regression Number of obs = 3213

F( 3, 13) = 20.91Prob > F = 0.0000

R-squared = 0.5726Number of clusters (children) = 14 Root MSE = 1.463---------------------------------------------------------------------------

| Robustceb | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

----------+----------------------------------------------------------------age | .2237368 .0315086 7.10 0.000 .1556665 .2918071

agefbrth | -.2606634 .0354296 -7.36 0.000 -.3372045 -.1841224usemeth | .1873702 .0943553 1.99 0.069 -.016472 .3912125

_cons | 1.358134 .4248589 3.20 0.007 .4402818 2.275985

L’estimateur qui permet la correlation des erreurs au sein des

clusters conduit a des ecart-types plus larges (et des t plus petits)



que dans le cas pr ecedent.

3.1

L’estimateur Newey-West de la matrice de variance-convarianceEn pr esence d’heteroscedasticite et d’autocorrelation, il est pos-

sible d’utiliser l’estimateur Newey-West (1987). Cet estimateur a

la meme forme que l’estimateur robuste pour les clusters, mais il

utilise un estimateur diff erent pour (XE [|X]X). Plutot que de

specifier une variable de cluster, l’estimateur Newey-West requiert

que l’on specifie l’ordre maximal d’autocorrelation des erreurs -

connu comme le decalage maximal, note L.

En plus du terme qui ajuste l’estimateur pour l’heteroscedasticite,

l’estimateur utilise des produits croises ponder es des r esidus pour

tenir compte de l’autocorr elation :

Q = S 0 + 1

T

l

l=1

T

t=l+1ωltt−1(xtxt−l + xt+xt)

ou S 0 est l’estimateur robust de la matrice de variances-covariances,

t est le teme r esidu et xt est la teme ligne de la matrice des re-

gresseurs. La forme de Newey-West prend un nombre specifique

L pour engendrer les poids :

ωl = 1 − l

L + 1

La regle est de choisir L = 4√

N .Cet estimateur HAC (-heteroskedastic and autocorrelation con-

sistent ) est disponible dans Stata a l’aide de la commande newey.



3.1.1 Application

Prenon l’exemple d’une base de donnees mensuelle portant sur les

taux d’interet a court et long terme, allant de 1952, 3eme mois a1995, 12eme mois.

. use http://www.stata-press.com/data/imeus/ukrates, clear

. summarize rs r20


rs | 526 7.651513 3.553109 1.561667 16.18r20 | 526 8.863726 3.224372 3.35 17.18

Le modele exprime la variation du taux d’inter et a court terme

rs, qui est ici l’instrument de politique monetaire de la Banque

d’Angleterre, comme une fonction de la variation mensuelle du

taux d’inter et de long terme r20. Les variables sont obtenues a

l’aide des operateurs D. et L.

Le tableau ci-dessous donne un exemple pour la variable r20.. list r20 l20 d20 ld20

+---------------------------------------+| r20 lr20 dr20 ldr20 ||---------------------------------------|

1. | 4.33 . . . |2. | 4.23 4.33 -.0999999 . |3. | 4.36 4.23 .1300001 -.0999999 |4. | 4.57 4.36 .21 .1300001 |5. | 4.36 4.57 -.21 .21 |

|---------------------------------------|

6. | 4.11 4.36 -.25 -.21 |



7. | 4.2 4.11 .0899997 -.25 |8. | 4.19 4.2 -.0099998 .0899997 |9. | 4.15 4.19 -.04 -.0099998 |

10. | 4.22 4.15 .0699997 -.04 |

|---------------------------------------|11. | 4.13 4.22 -.0899997 .0699997 |12. | 4.1 4.13 -.0300002 -.0899997 |

On estime le modele avec la methode des MCO et avec la methode

Newey-West. Comme il y a 524 observations, la r egle pour determiner

les decalages recommande de prendre 5 ( L = 4√

524) decalages.

. regress D.rs LD.r20

Source | SS df MS Number of obs = 524----------+------------------------------ F( 1, 522) = 52.88


----------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0902Total | 150.865445 523 .288461654 Root MSE = .51228

---------------------------------------------------------------------------D.rs | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

----------+----------------------------------------------------------------r20 |LD. | .4882883 .0671484 7.27 0.000 .356374 .6202027

_cons | .0040183 .022384 0.18 0.858 -.0399555 .0479921---------------------------------------------------------------------------



. estimates store nonHAC

. newey D.rs LD.r20, lag(5)

Regression with Newey-West standard errors Number of obs = 524maximum lag: 5 F( 1, 522) = 36.00

Prob > F = 0.0000

---------------------------------------------------------------------------| Newey-West

D.rs | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]----------+----------------------------------------------------------------

r20 |

LD. | .4882883 .0813867 6.00 0.000 .3284026 .648174_cons | .0040183 .0254102 0.16 0.874 -.0459004 .0539371

---------------------------------------------------------------------------

. estimates store NeweyWest

. estimates table nonHAC NeweyWest, b(%9.4f) se(%5.3f) t(%5.2f) title(Estimation de D.rs avec les ecart-types MCO et Newey-West)

Estimation de D.rs avec les ecart-types MCO et Newey-West

--------------------------------------

Variable | nonHAC NeweyWest-------------+------------------------

LD.r20 | 0.4883 0.4883| 0.067 0.081| 7.27 6.00

_cons | 0.0040 0.0040| 0.022 0.025| 0.18 0.16

--------------------------------------legend: b/se/t

Les ecart-types sont plus grands dans le cas Newey-West que pour la methodedes MCO, les coefficients restent neanmoins significatifs.



4 L’estimateur des moindres carres generalises

Alors que l’estimateur robuste utilise le coefficient des MCO et

calcule un estimateur pour la matrice des variance-covariances,l’estimateur des moindres carr es quasi generalises permet en plus

de determiner une estimation du coefficient plus efficace.

y = Xβ +

E [|X] = Σ

Σ est defini symetrique et positif, ce qui implique que son inverse

Σ−1

= P

P ou P est une matrice triangulaire. Lorsque l’on pr e-

multiplie le modele par P on obtient,

Py = PXβ + P (10)

y∗ = X∗β + ∗ (11)

avec V ar[∗] = E [∗∗] = PΣP = I N

A partir d’une matrice Σ connue, la regression de y∗ sur X∗ est

asymptotiquement efficace suivant le theoreme de Gauss-Markov.

Cet estimateur est simplement une regression lineaire stan-

dard sur les donnees transformees :

β GLS = (X∗X∗)−1(X

∗y∗)



La matrice de variances-covariances de l’estimateur des moindres

carres generalises β GLS s’ecrit :

V ar[ˆβ GLS|X] = (XΣ−

1

X)−1

4.1 L’estimation dans le cas de l’heteroscedasticite liee a l’echelle

de grandeur

Il faut estimer la matrice Σ en fonction d’un facteur de proportion-

nalite.

On applique la methode des moindres carres quasi generalises en

transformant les variables et en estimant a nouveau l’equation

sur les variables transformees. Les transformations doivent etre

telles qu’elle purge les r esidus de l’heteroscedasticite et rendent

les erreurs i.i.d.

Supposons que la variance de l’erreur pour la ieme entreprise

est proportionnelle a z 2i sachant que z est une mesure de l’echelle



de grandeur en relation avec les variables. On suppose que z i est

strictement positif ou qu’il a ete transforme pour etre positif.

La transformation appropriee pour rendre les erreurs homoscedastiques

serait de diviser chaque variable de y,X (y compris la constante ι,

la premiere colonne de X) par z i. L’equation aura un residu i/z iet comme z i est une constante :

V ar[i/z i] = (1/z 2i )V ar[i]

yi = β 0 + β 1xi1 + . . . + β kxik + i (12)

en specifiant l’equation transformeeyi

z i=

β 0z i

+ β 1xi1

z i+ . . . +

β kxik

z i+

i

z i(13)

y∗i = β 0ι∗ + β 1x∗i1 + . . . + β kx∗ik + ∗i (14)

ou ı∗ = 1/z i.

• La signification economique des coefficients dans l’equation

transformee n’a pas change; β 2 et son estimation β 2 repr esentent

toujours ∂y/∂x2.

• Dans la mesure ou la variable dependante a ete transformee,

les mesures telles que le R2 ne sont plus comparables a ceux

d’origine. En particulier, l’equation transformee n’a pas de con-

stante.

Dans ce context, les moindres carres quasi generalises peuvent

etre estimes a l’aide des moindres carres ponderes. La trans-

formation consiste a pond erer chaque observation (dans ce cas, il

s’agit d’uns ponderation analytique -analytical weights (aw) 1/z 2i ).



4.1.1 Application

On reprend l’exemple de l’estimation de la valeur mediane d’un

logement dans l’agglomeration de Boston.. generate rooms2 = roomsˆ2

. regress lprice rooms crime ldist [aweight = 1/ rooms2](sum of wgt is 1.3317e+01)

Source | SS df MS Number of obs = 506----------+------------------------------ F( 3, 502) = 159.98


----------+------------------------------ Adj R-squared = 0.4857Total | 81.0318042 505 .160459018 Root MSE = .28727

---------------------------------------------------------------------------lprice | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

----------+----------------------------------------------------------------rooms | .2345368 .0194432 12.06 0.000 .1963367 .272737crime | -.0175759 .0016248 -10.82 0.000 -.0207682 -.0143837ldist | .0650916 .027514 2.37 0.018 .0110349 .1191483_cons | 8.450081 .1172977 72.04 0.000 8.219626 8.680536

------------------------------------------------------------------------------

On precise dans cette regression la ponderation a adopter, ici il

s’agit d’une ponderation 1/rooms2. Ces estimations sont qualita-

tivement similaires a celles qui utilisent l’option robust, avec des

mesures de signification globale legerement plus faibles.

Les series que l’on specifie comme ponderation analytique (aw)

doivent etre l’inverse de la variance de l’observation, et non son

ecart-type, et les donnees originales sont multipliees par la ponderation

analytique et non divisees.



Dans les travaux econometriques, il est courant d’estimer les

equations sous la forme de ratios. Ainsi, pour les donnees de pays

ou de r egion, on utilise les variables dependantes et independantes par tete (par habitants ou travailleurs), de meme que l’on utilise

des ratios financiers pour les entreprises ou les industries. Il n’en

reste pas moins que meme pour ces modeles il faudrait considerer

l’existence d’heteroscedasticite.

4.2 L’estimation dans le cas de l’heteroscedasticite entre groupes

d’observations

Si differents groupes d’observations ont des erreurs avec des vari-

ances diff erentes, il est possible d’appliquer la methode des moin-

dres carr es generalises avec une ponderation analytique.

Dans le cadre des groupes, on definit la ponderation analytique

comme une valeur constante pour chaque observation dans un groupe.

Cette valeur est calculee comme la variance estimee des r esidus

MCO de ce groupe. A l’aide de la serie des residus ainsi obtenus,

on peut construire une estimation de la variance pour chaque groupe,

chaque Etat ou r egion par exemple, avec la commande egen et en-

gendrer ainsi une serie de poids analytique.





. regress dpipc year [aw=gw_wt](sum of wgt is 2.0265e+02)


----------+------------------------------ F( 1, 118) = 698.19Model | 2845.55409 1 2845.55409 Prob > F = 0.0000


Total | 3326.47537 119 27.9535745 Root MSE = 2.0188

---------------------------------------------------------------------------dpipc | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

----------+----------------------------------------------------------------

year | .8444948 .0319602 26.42 0.000 .7812049 .9077847_cons | -1663.26 63.61705 -26.14 0.000 -1789.239 -1537.281

---------------------------------------------------------------------------

Si on compare ces r esultats avec ceux obtenus plus haut sur une

simple r egression sans ponderation en utilisant la commande regress,

Root MSE est bien plus petite que dans le cas precedent.

4.3 L’estimation dans le cas des donnees groupees

On peut considerer dans ce cas que la pr ecision de la moyenne

(c’est-a-dire l’ecart-type) pour chaque groupe depend de la taille

du groupe a partir duquel la moyenne est calculee.

La ponderation analytique, proportionnelle a l’inverse de la vari-

ance de l’observation doit prendre en compte la taille du groupe.

Par exemple, si on a des donnees par tete (epargne ou revenu par

tete) pour une r egion, on pourra estimer :

regress saving income [aw=pop]



pour laquelle on specifie la ponderation analytique pop. Les

grandes r egions auront des ponderations plus importantes, refletant

ainsi la plus grande pr ecision de la moyenne du groupe.

4.3.1 Application

On peut illustrer ce dernier cas a l’aide de donnees portant sur les

caracteristiques de 420 quartiers comportant des ecoles publiques.

La moyenne du score pour le test de lecture par eleve (read scr )

est modelisee comme une fonction des depenses par eleve (expn stu),

le nombre d’ordinateurs par eleve (comp stu), et le pourcentage

d’eleves recevant des repas gratuits (meal pct, il s’agit d’un in-

dicateur de pauvrete du quartier). Nous connaissons egalement le

nombre d’inscriptions a l’ecole par quartier (enrl tot).

. use http://www.stata-press.com/data/imeus/pubschl, clear

. summarize read_scr expn_stu comp_stu meal_pct enrl_tot


read_scr | 420 654.9705 20.10798 604.5 704expn_stu | 420 5312.408 633.9371 3926.07 7711.507comp_stu | 420 .1359266 .0649558 0 .4208333meal_pct | 420 44.70524 27.12338 0 100enrl_tot | 420 2628.793 3913.105 81 27176

Nous commencons par estimer le modele sans tenir compte du

nombre d’inscrits qui varie considerablement d’un quartier a l’autre.

On s’attend a ce que les scores des tests de lecture soient plus

eleves (relation positive) lorsque les depenses par eleve et le nom-

bre d’ordinateurs par eleve sont plus importants et on s’attent a une

relation negative avec la pauvrete (scores moins bons).








TD d’économétrie Anne PlunketHeteroscédasticité

1 Problème 1

Pour ce problème, il vous ait demandé de travailler à partir du fichier hetdat2.dta"

Cette base de données comprend des informations sur les niveaux de PIB (GDP) et les

population de 40 pays de l’OCDE :

1. Ouvrez le fichier hetdat2.dta dans Stata et faîtes un graphique de la production manufactu-

rière (manuf) en fonction du PIB - GDP -. Pour obtenir le nom des pays sur le graphique,

utilisez la commande suivante :

twoway (scatter manuf gdp, mlabel(country)), ytitle(manuf) xtitle(gdp)

2. Faîtes la régression de la production manufacturière sur le PIB, sauvegardez les résidus et

proposez un graphique des résidus en fonction du PIB

3. Que vous apprend l’aspect des résidus ?

4. On vous propose le test de Breush et Pagan suivant qu’en déduisez-vous ?

. estat hettest


Ho: Constant variance

Variables: fitted values of manuf

chi2(1) = 12.77

5. Supposons que l’on ne sache pas s’il y a de l’hétéroscédasticité. Appliquez une procédure

robuste aux erreurs de la régression. Y a t-il une différence avec la régression des MCO

précédente et y a t-il un risque à appliquer une procédure robuste dans ce cas.

2 Problème 2

Le fichier CRIME.dta contient des données sur les arrestations de l’années 1986 ainsi que

d’autres informations sur 2725 hommes nés en 1960 ou 1961 en Californie. Chaque homme de

l’échantillon a été arrêté au moins une fois avant l’année 1986.

les variables sont les suivantes :

– narr86 "# times arrested, 1986"

– nfarr86 "# felony arrests, 1986"

– nparr86 "# property crme arr., 1986"

– pcnv "proportion of prior convictions"

– avgsen "avg sentence length, mos."

1





Model | 66368437 1 66368437 Prob > F = 0.0124

Residual | 1.0019e+09 98 10223460.8 R-squared = 0.0621-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0526

Total | 1.0683e+09 99 10790581.8 Root MSE = 3197.4

------------------------------------------------------------------------------

sav | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

inc | .1466283 .0575488 2.55 0.012 .0324247 .260832

_cons | 124.8424 655.3931 0.19 0.849 -1175.764 1425.449

------------------------------------------------------------------------------

. estat hettest inc educ



Variables: inc educ

chi2(2) = 68.82

Prob > chi2 = 0.0000

4. Proposez une régression des Moindres Carrés Quasi Généralisés. Expliquez

3




TD d’économétrie Anne PlunketHeteroscédasticité

1 Problème 1

Pour ce problème, il vous ait demandé de travailler à partir du fichier hetdat2.dta"

Cette base de données comprend des informations sur les niveaux de PIB (GDP) et les

population de 40 pays de l’OCDE :

1. Ouvrez le fichier hetdat2.dta dans Stata et faîtes un graphique de la production manufactu-

rière (manuf) en fonction du PIB - GDP -. Pour obtenir le nom des pays sur le graphique,

utilisez la commande suivante :

twoway (scatter manuf gdp, mlabel(country)), ytitle(manuf) xtitle(gdp)

2. Faîtes la régression de la production manufacturière sur le PIB, sauvegardez les résidus etproposez un graphique des résidus en fonction du PIB

. regress manuf gdp


-------------+------------------------------ F( 1, 26) = 210.73

Model | 1.1600e+11 1 1.1600e+11 Prob > F = 0.0000

Residual | 1.4312e+10 26 550464875 R-squared = 0.8902

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.8859

Total | 1.3031e+11 27 4.8264e+09 Root MSE = 23462

------------------------------------------------------------------------------

manuf | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

gdp | .1936932 .0133428 14.52 0.000 .1662666 .2211197

_cons | 603.8754 5699.688 0.11 0.916 -11112 12319.75

------------------------------------------------------------------------------


. scatter res gdp

. twoway (scatter res gdp, mlabel(country)), yline(0) ytitle(residuals) xtitle (gdp)

3. Que vous apprend l’aspect des résidus ?

On constate que les résidus augmentent avec la valeur du PIB, avec une exc eption qui est

la France. Le résultat est donc quelque peu ambigu quant à l’existence ou non d’hétéros-

cédasticité

4. On vous propose le test de Breush et Pagan suivant qu’en déduisez-vous ?

1



. estat hettest



Variables: fitted values of manuf

chi2(1) = 12.77

Prob > chi2 = 0.0004

Le test de Breusch et Pagan rejette très largement l’hypothèse d’homoscédasticité avec

une pvaleur inférieure à 1%

5. Supposons que l’on ne sache pas s’il y a hétéroscédasticité. Appliquez une procédurerobuste aux erreurs de la régression. Y a t-il une différence avec la régression des MCO

précédente et y a t-il un risque à appliquer une procédure robuste dans ce cas.. quietly regress manuf gdp

. estimates store model1sansrobuste

. regress manuf gdp, robust

Linear regression Number of obs = 28

F( 1, 26) = 116.39

Prob > F = 0.0000

R-squared = 0.8902

Root MSE = 23462

------------------------------------------------------------------------------| Robust

manuf | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

gdp | .1936932 .0179542 10.79 0.000 .1567879 .2305985

_cons | 603.8754 3542.399 0.17 0.866 -6677.629 7885.38

------------------------------------------------------------------------------

. estimates store model1robust

. estimates table model1sansrobuste model1robust, star(.05 .01 .001) style(oneline)

----------------------------------------------

Variable | model1sansr~e model1robust

-------------+--------------------------------gdp | .19369316*** .19369316***

_cons | 603.87543 603.87543

----------------------------------------------

legend: * p<.05; ** p<.01; *** p<.001

. estimates table model1sansrobuste model1robust, se style(oneline)

----------------------------------------

Variable | model1sa~e model1ro~t

-------------+--------------------------

gdp | .19369316 .19369316

| .0133428 .01795416

_cons | 603.87543 603.87543

2



| 5699.688 3542.3987

----------------------------------------legend: b/se

Il ne semble pas y avoir de différences importantes. En revanche, il peut être risqué d’uti-

liser une procédure robuste pour un si petit échantillon On constate malgré tout que les

écart-types sont un peu plus grands et par conséquent les tsont plus faibles et les intervals

de confiance plus larges. La procédure robuste n’est valable que de manière asymptotique

donc pour de grands échantillons, il se peut que les écart-types ajustés soient tout aussi

faux que ceux de la procédure par les MCO.

2 Problème 2

Le fichier CRIME.dta contient des données sur les arrestations de l’années 1986 ainsi que

d’autres informations sur 2725 hommes nés en 1960 ou 1961 en Californie. Chaque homme de

l’échantillon a été arrêté au moins une fois avant l’année 1986.

les variables sont les suivantes :

– narr86 "# times arrested, 1986"

– nfarr86 "# felony arrests, 1986"

– nparr86 "# property crme arr., 1986"

– pcnv "proportion of prior convictions"

– avgsen "avg sentence length, mos."

– tottime "time in prison since 18 (mos.)"– ptime86 "mos. in prison during 1986"

– qemp86 "# quarters employed, 1986"

– inc86 "legal income, 1986, $100s"

– durat "recent unemp duration"

– black "=1 if black"

– hispan "=1 if Hispanic"

– born60 "=1 if born in 1960"

– pcnvsq "pcnv2"

– pt86sq "ptime862"

– inc86sq "inc862"

1. Lire le fichier CRIME1.dta

2. Pour chacune des variables, tentez de donner l’impact attendu (positif ou négatif) sur la

variable narr86

3. Proposez une régression des MCO et une régression robuste de l’équation suivante :

narr86 = f( narr86 pcnv avgsen avgsen2 ptime86 qemp86 inc86 black hispan).

. gen avgsen2 = avgsen*avgsen

. reg narr86 pcnv avgsen avgsen2 ptime86 qemp86 inc86 black hispan


-------------+------------------------------ F( 8, 2716) = 26.66

3



Model | 146.349121 8 18.2936401 Prob > F = 0.0000

Residual | 1863.99804 2716 .686302664 R-squared = 0.0728-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0701

Total | 2010.34716 2724 .738012906 Root MSE = .82843

------------------------------------------------------------------------------

narr86 | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

pcnv | -.1355954 .0403699 -3.36 0.001 -.2147542 -.0564366

avgsen | .0178411 .009696 1.84 0.066 -.0011713 .0368534

avgsen2 | - .0005163 .000297 -1.74 0.082 -.0010987 .0000661

ptime86 | -.03936 .0086935 -4.53 0.000 -.0564065 -.0223134

qemp86 | -.0505072 .0144345 -3.50 0.000 -.0788109 -.0222034

inc86 | -.0014797 .0003405 -4.35 0.000 -.0021474 -.0008119

black | .3246024 .0454188 7.15 0.000 .2355435 .4136614

hispan | .19338 .0397035 4.87 0.000 .115528 .2712321

_cons | .5670128 .0360573 15.73 0.000 .4963102 .6377154

------------------------------------------------------------------------------

. estimates store MCO

. reg narr86 pcnv avgsen avgsen2 ptime86 qemp86 inc86 black hispan, robust

Linear regression Number of obs = 2725

F( 8, 2716) = 29.84

Prob > F = 0.0000

R-squared = 0.0728

Root MSE = .82843

------------------------------------------------------------------------------

| Robust


-------------+----------------------------------------------------------------

pcnv | -.1355954 .0336218 -4.03 0.000 -.2015223 -.0696685

avgsen | .0178411 .0101233 1.76 0.078 -.0020091 .0376913

avgsen2 | -.0005163 .0002077 -2.49 0.013 -.0009236 -.0001091

ptime86 | -.03936 .0062236 -6.32 0.000 -.0515634 -.0271566

qemp86 | -.0505072 .0142015 -3.56 0.000 -.078354 -.0226603

inc86 | -.0014797 .0002295 -6.45 0.000 -.0019297 -.0010296

black | .3246024 .0585135 5.55 0.000 .2098669 .439338

hispan | .19338 .0402983 4.80 0.000 .1143616 .2723985

_cons | .5670128 .0402756 14.08 0.000 .4880389 .6459867

------------------------------------------------------------------------------

. estimates store robust

. estimates table MCO robust, se style(oneline)

----------------------------------------

Variable | MCO robust

-------------+--------------------------

pcnv | -.13559539 -.13559539

| .04036988 .03362179

avgsen | .01784106 .01784106

| .00969602 .01012332

4



avgsen2 | -.00051633 -.00051633

| .00029702 .00020769ptime86 | -.03935998 -.03935998

| .0086935 .00622356

qemp86 | -.05050717 -.05050717

| .01443452 .01420152

inc86 | -.00147966 -.00147966

| .00034053 .00022951

black | .32460243 .32460243

| .04541881 .05851354

hispan | .19338004 .19338004

| .03970348 .0402983

_cons | .56701278 .56701278

| .03605733 .04027557

----------------------------------------

4. Commentez vos résultats (signes attendus, écart-types...)

Les grandes différences proviennent de avgsen et avgsen2 qui ont des écart-types robustes

plus faibles et donc des t plus élevés, les coefficients sont plus significatifs. Dans la mesure

où l’impact de la variable avgsen sur narr86 est quadratique, il importe de comprendre à

partir de quel point la relation se retourne. La durée de la sentence a un impact positif sur

le nombre de fois que l’individu a été arrêté mais au delà d’une certaine durée l’impact

devient négatif. Quelle est ce point ? Pour calculer le point, il faut diviser le coefficient de

avgen par 2 fois la valeur du coefficient au carré

. di _b[avgsen]/(2* _b[avgsen2])

-17.276862

Le point de retournement est donc .0178/[2*0,00052] soit 17,12 ; cela signifie que le

nombre d’arrestations est relié de manière positive à la durée moyenne de la sentence

lorsque cette durée est inférieure à 17 mois ; au delà, la durée moyenne de la sentence a

bien un effet négatif sur le nombre d’arrestations.

5. Faîtes le tes de Breusch et Pagan d’existence d’hétéroscédasticité à partir du carré desrésidus. Quelle statistique utilisez-vous ? Qu’en déduisez-vous ?

. reg narr86 pcnv avgsen avgsen2 ptime86 qemp86 inc86 black hispan


-------------+------------------------------ F( 8, 2716) = 26.66


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0701

Total | 2010.34716 2724 .738012906 Root MSE = .82843

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

pcnv | -.1355954 .0403699 -3.36 0.001 -.2147542 -.0564366

avgsen | .0178411 .009696 1.84 0.066 -.0011713 .0368534

avgsen2 | - .0005163 .000297 -1.74 0.082 -.0010987 .0000661

ptime86 | -.03936 .0086935 -4.53 0.000 -.0564065 -.0223134

qemp86 | -.0505072 .0144345 -3.50 0.000 -.0788109 -.0222034

inc86 | -.0014797 .0003405 -4.35 0.000 -.0021474 -.0008119

5



black | .3246024 .0454188 7.15 0.000 .2355435 .4136614

hispan | .19338 .0397035 4.87 0.000 .115528 .2712321 _cons | .5670128 .0360573 15.73 0.000 .4963102 .6377154

------------------------------------------------------------------------------


. gen res2 = res*res

. reg res2 pcnv avgsen avgsen2 ptime86 qemp86 inc86 black hispan


-------------+------------------------------ F( 8, 2716) = 6.17

Model | 738.907487 8 92.3634359 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0149

Total | 41425.0553 2724 15.2074359 Root MSE = 3.8704

------------------------------------------------------------------------------

res2 | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

pcnv | .0172283 .1886071 0.09 0.927 -.3525997 .3870562

avgsen | .000862 .0452996 0.02 0.985 -.0879631 .0896871

avgsen2 | - .0002494 .0013877 -0.18 0.857 -.0029704 .0024716

ptime86 | -.0797674 .0406158 -1.96 0.050 -.1594084 -.0001264

qemp86 | -.2254136 .0674377 -3.34 0.001 -.357648 -.0931792

inc86 | -.001374 .001591 -0.86 0.388 -.0044936 .0017456

black | .7024677 .2121956 3.31 0.001 .2863865 1.118549

hispan | .344285 .1854937 1.86 0.064 -.019438 .708008 _cons | 1.119298 .168459 6.64 0.000 .7889776 1.449619

------------------------------------------------------------------------------

* PB LM statisti

. display 2725*0.0178

48.505

ou

. display e(N)*e(r2)

et la pvaleur est

display chi2tail(8,48.505)

7.563e-08

. display invchi2(8, 0.95)

15.507313

On rejette l’hypothèse nulle, il y a de l’hétéroscédasticité

6



3 Problème 3.

Pour ce dernier problème, nous allons étudier le comportement des épargnants. Nous dispo-

sons du fichier SAVING.RAW qui contient des données sur 100 personnes pour l’année 1970.

Les variables du modèle sont les suivantes :

– sav annual savings, $ (1970)

– inc annual income, $ (1970)

– size family size

– educ years education, household head

– age age of household head

– black =1 if household head is black

– cons annual consumption, $ (1970)

1. A partir du fichier saving.raw et des noms de variables données ci-dessous, entrez les

données, associez leur une définition à l’aide de la commande variable label

. infile sav inc size educ age black cons using "C:\SAVING.RAW"

(100 observations read)

2. Compte tenu des variables du modèles, pensez vous qu’elles peuvent créer de l’hétéros-

cédasticité, expliquez pourquoi ?

3. On vous propose la régression et le test suivants ? Qu’en déduisez-vous quant à l’hétéros-

cédasticité ?

. reg sav inc


-------------+------------------------------ F( 1, 98) = 6.49

Model | 66368437 1 66368437 Prob > F = 0.0124

Residual | 1.0019e+09 98 10223460.8 R-squared = 0.0621

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0526

Total | 1.0683e+09 99 10790581.8 Root MSE = 3197.4

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

inc | .1466283 .0575488 2.55 0.012 .0324247 .260832

_cons | 124.8424 655.3931 0.19 0.849 -1175.764 1425.449

------------------------------------------------------------------------------

. estat hettest



Variables: fitted values of sav

chi2(1) = 14.22

Le tes de Breusch et Pagan montre qu’il y a de l’hétéroscédasticité. Il n’est pas possible

d’accepter l’hypothèse nulle. La valeur critique du chi2(1) = 3,84

. display invchi2(1,.95) 3.8414588

7



4. Proposez une régression des Moindres Carrés Quasi Généralisés. Expliquez

. reg sav inc [aw = 1/inc]

(sum of wgt is 1.3877e-02)


-------------+------------------------------ F( 1, 98) = 9.14

Model | 58142339.8 1 58142339.8 Prob > F = 0.0032

Residual | 623432468 98 6361555.8 R-squared = 0.0853

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0760

Total | 681574808 99 6884594.02 Root MSE = 2522.2

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------inc | .1717555 .0568128 3.02 0.003 .0590124 .2844986

_cons | -124.9528 480.8606 -0.26 0.796 -1079.205 829.2994

------------------------------------------------------------------------------

8



Chapitre 4. Les variables indicatrices

Les variables indicatrices sont parmi les concepts les plus utilises

en economie appliquee dans la mesure ou elles signalent la pr esence

ou l’absence de certaines caracteristiques. Les variables indicatri-

ces sont egalement connues sous le nom de variables binaires ou

booleennes et se retrouvent en econometrie sous le nom de vari-

able dummy. Nous allons considerer comment utiliser les variablesindicatrices

• pour evaluer les effets de facteurs qualitatifs

• dans des modeles qui melangent variables qualitatives et quan-

titatives

• pour les ajustements saisonniers

1

• pour evaluer la sta

structurels

1 Tester la significat

Les variables econom

• quantitatif (ou cardqui peuvent concep

• ordinal (ou ordonn

elements et non un

emple de l’echelle

evaluer les r esultat

correct, 2 = mauvai

2

sous la forme d’un classement ordonne. On sait que 5 est plus

eleve que 4 qui est lui meme plus eleve que 3. Mais celui-ci ne

nous permet pas de dire que celui qui a r epondu 5 est cinq fois

plus susceptible de soutenir le president que celui qui a repondu

1 ou 25% plus enclin a soutenir le Pr esident, ...

• qualitatif : Si les variables sont codees comme des caracteres M

et F pour le genre du r epondant au questionnaire, on ne risque pas de les confondre avec des variables quantitatives.

En revanche, les variables purement qualitatives, sans ordre parti-

culier, sont tr es largement utilisees dans les donnees economiques.

3

2 La regression avec

Supposons que l’on di

Etats de la Nouvelle A

La question que l’on s

plique une proportion

les diff erentes anneesdollars) sur deux dece

. use http://www.stat

. mean dpipc, over(stMean estimation

CT: state MA: state ME: state NH: state

4

























Chapitre 4. Les modeles a variables categorielles

Les modeles de r egression pour variables binaires constituent le

fondement a partir duquel on construit des modeles plus complexes

pour les variables categorielles ordinales, nominales et les count

models ou modeles de comptages.

Les variables dependantes binaires prennent deux valeurs codees0 (pour une occurence negative, c’est-a-dire, l’evenement ne s’est

pas produit) et 1 (pour une occurence positive, c’est-a-dire, l’evenement

s’est produit) : exemple : la personne a t-elle votee? La personne

est-elle feministe? Cinq annees apres le diagnostic d’un cancer,

la personne est-elle toujours en vie? L’article achete a t-il ete re-

tourne?

1

1 Interpretation des

Les modeles pour les

non lineaires. Il est im

non linearite pour bien

1.1 Les modeles linea

La figure suivante pr e

variable dependante et

d est une variable inde

est le suivant :

Pour la simplicite, on

2

xx1 x2

β

β

β

β

y

α + δ

α

d = 0

d = 1

Un modele lineaire simple

∂y

∂x = ∂ (α + βx + δd)

∂x = β

3

Dans un modele line

autrement dit elle est l

de x et d.

∆y

∆d = (α +

Lorsque d varie de 0

x. C’est ce que r epr essepare les deux droite

4
































TD d’économétrie Anne PlunketFiche de TD : Le modèle à variables binaires - Logit / Probit

Dans cet exemple, on tente d’expliquer les causes du petit poids des bébés. On a établi uncertain nombre de facteurs pouvant intervenir dans le faible poids du bébé. Les données dont ondispose sont décrites dans le tableau suivant :

. describe

Contains data from http://www.stata-press.com/data/r8/lbw.dta

obs: 189 Hosmer & Lemeshow data

vars: 11 18 Jul 2002 17:27


-------------------------------------------------------------------------------



-------------------------------------------------------------------------------

low byte %8.0g poids à la naissance <2500g

age byte %8.0g age de la mère

lwt int %8.0g le poids le mois précédent

race byte %8.0g race origine raciale

smoke byte %8.0g tabagisme durant la grocesse

ht byte %8.0g hypertension

ui byte %8.0g Problèmes utérinsftv byte %8.0g Nombre de visite chez un medecin

durant le premier trimestre

bwt int %8.0g poids à la naissance (grammes)

-------------------------------------------------------------------------------

L’origine raciale est codées 1, 2, 3 selon que les mères sont respectivement

de race blanche, noire ou autre.

1. Dans un premier temps on cherche à savoir si les variables sont individuellement explica-

tives. Pour ce faire, expliquez quel test est employé. Les variables sont elles explicatives ?

2. Quel est le signe attendu pour les variables age et smoke. Faites un test unilatéral pour les

deux variables en vous appuyant sur la p valeur. Proposez une représentation graphique.

On vous propose la régression logit suivante. Afin de faire apparaître les catégories ra-ciales, on a utilisé la fonction xi qui permet d’obtenir automatiquement à partir de la

variable race, trois variables binaires I race1 pour les femmes de races blanches, I race2

pour les femmes de races noires et I race3 pour les femmes d’une autres races. Pour éviter

les problèmes de multicolinéarité, seules les deux dernières variables sont retenues. Les

résultats de la régression sont les suivants :

1



. xi:logit low age lwt i.race smoke ht ui ftv i.race

_Irace_1-3 (naturally coded; _Irace_1 omitted)

Logit estimates Number of obs = 189

LR chi2(8) = 30.82

Prob > chi2 = 0.0002

Log likelihood = -101.92618 Pseudo R2 = 0.1313

------------------------------------------------------------------------------

low | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

age | - .0205412 .0359508 -0.57 0.568 -.0910035 .049921

lwt | -.0164966 .0068585 -2.41 0.016 -.0299389 -.0030542

_Irace_2 | 1.289233 .5275696 2.44 0.015 .2552155 2.32325

_Irace_3 | .9195141 .4362519 2.11 0.035 .064476 1.774552

smoke | 1.041578 .3954429 2.63 0.008 .2665247 1.816632

ht | 1.88408 .6947192 2.71 0.007 .5224555 3.245705

ui | .9041143 .448583 2.02 0.044 .0249078 1.783321

ftv | .0592989 .171987 0.34 0.730 -.2777895 .3963873

_cons | .4521566 1.185346 0.38 0.703 -1.871079 2.775392

------------------------------------------------------------------------------

3. On cherche à savoir si les variables lwt I race2 I race3 sont conjointement explicatives.Quelles hypothèses nulle et alternative faut-il spécifier ? Quels tests et statistiques uti-lise t-on ? Expliquez le principe du lrtest en utilisant la démarche modèle contraint noncontraint. Faîtes le test.

. logit low age lwt _Irace_2 _Irace_3 smoke ht ui ftv, nolog

Logit estimates Number of obs = 189LR chi2(8) = 30.82

Prob > chi2 = 0.0002


(résultats supprimés)

. est store model1

. logit low age smoke ht ui ftv, nolog


LR chi2(5) = 16.66

Prob > chi2 = 0.0052


(résultats supprimés). est store model2

. lrtest model1

likelihood-ratio test LR chi2(3) = 14.15

(Assumption: model2 nested in model1) Prob > chi2 = 0.0027

4. A l’aide de la commande fitstat, on reprend les deux modèles précédents. Lequel des deuxmodèles est préféré. Expliquez.

2



. fitstat, using(mod1)

Measures of Fit for logit of low

Current Saved Difference

Model: logit logit

N: 189 189 0

Log-Lik Intercept Only: -117.336 -117.336 0.000

Log-Lik Full Model: -109.004 -101.926 -7.077

D: 218.007(183) 203.852(180) 14.155(3)

LR: 16.665(5) 30.820(8) 14.155(3)

Prob > LR: 0.005 0.000 0.003

McFadden’s R2: 0.071 0.131 -0.060

McFadden’s Adj R2: 0.020 0.055 -0.035

Maximum Likelihood R2: 0.084 0.150 -0.066

Cragg & Uhler’s R2: 0.119 0.212 -0.093

McKelvey and Zavoina’s R2: 0.114 0.234 -0.120

Efron’s R2: 0.084 0.152 -0.068

Variance of y*: 3.714 4.296 -0.582

Variance of error: 3.290 3.290 0.000

Count R2: 0.704 0.730 -0.026

Adj Count R2: 0.051 0.136 -0.085

AIC: 1.217 1.174 0.043

AIC*n: 230.007 221.852 8.155

BIC: -741.233 -739.662 -1.571

BIC’: 9.544 11.114 -1.571

Difference of 1.571 in BIC’ provides weak support for current model.

Note: p-value for difference in LR is only valid if models are nested.

5. Comment analysez vous la 3ème ligne (I race2)du tableau suivant ?

listcoef

logit (N=189): Factor Change in Odds

Odds of: 1 vs 0

----------------------------------------------------------------------

low | b z P>|z| e^b e^bStdX SDofX

-------------+--------------------------------------------------------

age | -0.02054 -0.571 0.568 0.9797 0.8969 5.2987lwt | -0.01650 -2.405 0.016 0.9836 0.6039 30.5752

_Irace_2 | 1.28923 2.444 0.015 3.6300 1.5609 0.3454

_Irace_3 | 0.91951 2.108 0.035 2.5081 1.5543 0.4796

smoke | 1.04158 2.634 0.008 2.8337 1.6649 0.4894

ht | 1.88408 2.712 0.007 6.5803 1.5851 0.2445

ui | 0.90411 2.015 0.044 2.4697 1.3799 0.3562

ftv | 0.05930 0.345 0.730 1.0611 1.0648 1.0593

----------------------------------------------------------------------

6. Vous disposez des résultats suivants qui donnent des probabilités selon les caractéristiques

des individus. Analysez et comparez les résultats ? Qu’en déduisez-vous ?

. prvalue

3





UNIVERSITE DE PARIS 11TD d’économétrie Anne Plunket

Fiche de TD : Le modèle à variables binaires - Logit / Probit

Dans cet exemple, on tente d’expliquer les causes du petit poids des bébés. On a établi uncertain nombre de facteurs pouvant intervenir dans le faible poids du bébé. Les données dont ondispose sont décrites dans le tableau suivant :

. describe

Contains data from http://www.stata-press.com/data/r8/lbw.dta

obs: 189 Hosmer & Lemeshow data

vars: 11 18 Jul 2002 17:27


-------------------------------------------------------------------------------



-------------------------------------------------------------------------------

low byte %8.0g poids à la naissance <2500g

age byte %8.0g age de la mère

lwt int %8.0g le poids le mois précédent

race byte %8.0g race origine raciale

smoke byte %8.0g tabagisme durant la grocesse

ht byte %8.0g hypertension

ui byte %8.0g Problèmes utérinsftv byte %8.0g Nombre de visite chez un medecin

durant le premier trimestre

bwt int %8.0g poids à la naissance (grammes)

-------------------------------------------------------------------------------

L’origine raciale est codées 1, 2, 3 selon que les mères sont respectivement

de race blanche, noire ou autre.

1. Dans un premier temps on cherche à savoir si les variables sont individuellement

explicatives. Pour ce faire, expliquez quel test est employé. Les variables sont elles

explicatives ?

Il convient de faire un test du chi2 à un degré de liberté (cf le poly). On peut faire un test

du chi2 à 5% et on peut regarder si la p valeur P > |z| est inférieure ou égale à 5%. Si

c’est le cas, cela signifie que la variable est explicative. Ici lwt, I race2, I race3, smoke,

ht, ui sont explicatifs. Le χ2(1)5% = 3, 84, donc si le z2 > 3, 84 on rejette H0. Ou si on

utilise la loi centrée réduite, la valeur de la centrée réduite à 5% est z = 1, 96.

2. Quel est le signe attendu pour les variables age et smoke. Faites un test unilatéral

pour les deux variables en vous appuyant sur la p valeur. Proposez une représenta-

tion graphique.

Pour déterminer le signe, on se demande si la variable va avoir un impact positif ou néga-

tif sur la probabilité d’avoir un enfant de faible poids.

la variable age va avoir un impact positif sur la variable, puisqu’on suppose que plus la

maman est agée et plus elle risque d’avoir un bébé de faible poids. H 0 : β 1 ≤ 0 contre

β 1 > 0

1



z = −0, 57 ; on veut la probabilité unilatérale donc on lit dans la table à 10% et non pas

à 5%. z10% = 1, 6449. Or z = −0, 57, en valeur absolue, z < 1, 6449, on accepte doncl’hypothèse nulle.

la variable smoke aura un impact positif sur la variable, puisqu’elle va accroître la proba-

bilité d’avoir un enfant de faible poids.

H 0 : β 5 ≤ 0 contre β 5 > 0z = 2, 63 > z10%, par conséquent, on rejette l’hypothèse nulle.

Le fait de fumer a un impact très significatif sur la probabilité d’avoir un bébé de faible

poids.

. xi:logit low age lwt i.race smoke ht ui ftv

i.race _Irace_1-3 (naturally coded; _Irace_1 omitted)


LR chi2(8) = 30.82

Prob > chi2 = 0.0002


------------------------------------------------------------------------------

low | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

age | - .0205412 .0359508 -0.57 0.568 -.0910035 .049921

lwt | -.0164966 .0068585 -2.41 0.016 -.0299389 -.0030542

_Irace_2 | 1.289233 .5275696 2.44 0.015 .2552155 2.32325

_Irace_3 | .9195141 .4362519 2.11 0.035 .064476 1.774552

smoke | 1.041578 .3954429 2.63 0.008 .2665247 1.816632ht | 1.88408 .6947192 2.71 0.007 .5224555 3.245705

ui | .9041143 .448583 2.02 0.044 .0249078 1.783321

ftv | .0592989 .171987 0.34 0.730 -.2777895 .3963873

_cons | .4521566 1.185346 0.38 0.703 -1.871079 2.775392

------------------------------------------------------------------------------

3. On cherche à savoir si les variables lwt I race2 I race3 sont conjointement explica-tives. Quelles hypothèses nulle et alternative faut-il spécifier ? Quels tests et statis-tiques utilise t-on ? Expliquez le principe du lrtest en utilisant la démarche modèlecontraint non contraint. Faîtes le test.G2(M |M c) = 2ln(M ) − 2ln(M c)G2 suit un chi2 à J=3 degrés de liberté.H 0 : β lwt = β irace2 = β irace3 = 0 et H 1 : au moins une des trois variables à un coefficient

différent de 0pour le modèle complet, lnL(M)=-101,92pour le modèle contrait, sous H0, lnL(Mc)=-109,003

G2 = 14, 15 > χ23 = 7, 81 donc on rejette l’hypothèse nulle. AU moins une des trois

variables est explicative.

. logit low age lwt _Irace_2 _Irace_3 smoke ht ui ftv, nolog


LR chi2(8) = 30.82

Prob > chi2 = 0.0002



2



. est store model1

. logit low age smoke ht ui ftv, nolog


LR chi2(5) = 16.66

Prob > chi2 = 0.0052



. est store model2

. lrtest model1

likelihood-ratio test LR chi2(3) = 14.15

(Assumption: model2 nested in model1) Prob > chi2 = 0.0027

4. A l’aide de la commande fitstat, on reprend les deux modèles précédents. Lequel desdeux modèles est préféré. Expliquez. cf cours il faut regarder les pseudo R2 et c’est

le plus élevé qui sera le modèle préféré. Mc Fadden, maximum likelihood R2. C’est le

modèle saved, donc complet qui est préféré.

. fitstat, using(mod1)

Measures of Fit for logit of low


Model: logit logit

N: 189 189 0

Log-Lik Intercept Only: -117.336 -117.336 0.000

Log-Lik Full Model: -109.004 -101.926 -7.077D: 218.007(183) 203.852(180) 14.155(3)

LR: 16.665(5) 30.820(8) 14.155(3)

Prob > LR: 0.005 0.000 0.003

McFadden’s R2: 0.071 0.131 -0.060

McFadden’s Adj R2: 0.020 0.055 -0.035

Maximum Likelihood R2: 0.084 0.150 -0.066

Cragg & Uhler’s R2: 0.119 0.212 -0.093

McKelvey and Zavoina’s R2: 0.114 0.234 -0.120

Efron’s R2: 0.084 0.152 -0.068

Variance of y*: 3.714 4.296 -0.582

Variance of error: 3.290 3.290 0.000

Count R2: 0.704 0.730 -0.026

Adj Count R2: 0.051 0.136 -0.085

AIC: 1.217 1.174 0.043

AIC*n: 230.007 221.852 8.155

BIC: -741.233 -739.662 -1.571

BIC’: 9.544 11.114 -1.571



5. Comment analysez vous la 3ème ligne (I race2)du tableau suivant ?

cf cours ici b est le coefficient, eb est la variation du ratio odds, ∆Ω = Ω(X + 1)/Ω(X )Ici, le fait d’être noire va affecter le ratio Ω d’un facteur 3,63, ce qui est énorme.

listcoef

3




Odds of: 1 vs 0

----------------------------------------------------------------------

low | b z P>|z| e^b e^bStdX SDofX

-------------+--------------------------------------------------------

age | -0.02054 -0.571 0.568 0.9797 0.8969 5.2987

lwt | -0.01650 -2.405 0.016 0.9836 0.6039 30.5752

_Irace_2 | 1.28923 2.444 0.015 3.6300 1.5609 0.3454

_Irace_3 | 0.91951 2.108 0.035 2.5081 1.5543 0.4796

smoke | 1.04158 2.634 0.008 2.8337 1.6649 0.4894

ht | 1.88408 2.712 0.007 6.5803 1.5851 0.2445

ui | 0.90411 2.015 0.044 2.4697 1.3799 0.3562

ftv | 0.05930 0.345 0.730 1.0611 1.0648 1.0593

----------------------------------------------------------------------

6. Vous disposez des résultats suivants qui donnent des probabilités selon les caracté-

ristiques des individus. Analysez et comparez les résultats ? Qu’en déduisez-vous ?

La probabilité d’avoir un bébé de faible poids est de 27,85% pour la population en géné-

ral.

Elle est de 13% (donc plus faible) lorsque la maman est de race blanche et qu’elle ne fume

pas.

Elle est augmente à 30,5% lorsque la maman est de race blanche et qu’elle fume pas.

Elle est augmente à 58,23% lorsque la maman est d’origine noire ou hispanique ou autre

et qu’elle ne fume pas.Elle est de 79,57% lorsque la maman est d’origine noire ou hispanique ou autre et qu’elle

fume. On a donc deux facteurs aggravant à savoir l’origine raciale, qui n’est autre que la

traduction de conditions sociales défavorables et qu’elle a un facteur aggravant à savoir le

fait de fumer.

. prvalue

logit: Predictions for low

Pr(y=1|x): 0.2785 95% ci: (0.2129,0.3552)

Pr(y=0|x): 0.7215 95% ci: (0.6448,0.7871)

age lwt _Irace_2 _Irace_3 smoke ht ui

x= 23.238095 129.82011 .13756614 .35449735 .39153439 .06349206 .14814815

. prvalue, x( _Irace_2=0 _Irace_3=0 smoke=0) rest(mean)


Pr(y=1|x): 0.1358 95% ci: (0.0690,0.2499)

Pr(y=0|x): 0.8642 95% ci: (0.7501,0.9310)


x= 23.238095 129.82011 0 0 0 .06349206 .14814815

4





Pr(y=1|x): 0.3052 95% ci: (0.2003,0.4350)

Pr(y=0|x): 0.6948 95% ci: (0.5650,0.7997)


x= 23.238095 129.82011 0 0 1 .06349206 .14814815



Pr(y=1|x): 0.5823 95% ci: (0.3107,0.8116)

Pr(y=0|x): 0.4177 95% ci: (0.1884,0.6893)


x= 23.238095 129.82011 1 1 0 .06349206 .14814815



Pr(y=1|x): 0.7957 95% ci: (0.4850,0.9415)

Pr(y=0|x): 0.2043 95% ci: (0.0585,0.5150)


x= 23.238095 129.82011 1 1 1 .06349206 .14814815

5



7.4 Fiche de TD 4. La régression multiple et les tests d’hypothèses

L’objectif de ce TD est d’analyser la significativité d’un modèle économétrique. Ceci se faitpar la pratique des tests. Il s’agit de tests de significativité globale et de tests sur les coefficientsestimés.

Problème 1

En 1986, Frederick Schut et Peter VanBergeijk ont publié un article dans lequel ils ont tenté devoir si l’industrie pharmaceutique avait adopté une stratégie de discrimination des prix au niveauinternational. Pour ce faire, ils ont estimé un modèle de détermination des prix de médicamentsen coupe instantanée dans 32 pays. Les données utilisées datent de 1975.

Pour spécifier leur modèle de régression, les auteurs ont fait les hypothèses suivantes :– s’il y a discrimination des prix, alors le coefficient du PNB par habitant doit être po-sitif dans une équation bien spécifiée. Le coefficient du PNB par habitant peut en effetconstituer un indicateur de la discrimination des prix parce que si les habitants ont uneforte capacité à payer alors l’élasticité-prix de la demande pour les médicaments sera plusfaible et par conséquent le prix fixé par l’industriel sera plus élevé.

– les prix sont plus élevés lorsque les brevets sont autorisés– les prix sont plus faibles lorsqu’ils sont contrôlés– les prix sont plus faibles si la concurrence est forte– les prix sont plus faibles si le marché du médicament est de grande taille.

L’équation estimée par les auteurs est la suivante :

P i = β 0 + β 1GDPN i + β 2CV N i + β 3P P i + β 4DP C i + β 5IP C i + β 6P OP i + i

avec

– P i : Le prix des médicaments dans le pays i divisé par le prix des médicaments aux Etats-Unis

– GDPN i : le PNB par habitant dans le pays i divisé par celui des Etats-Unis– CV N i : le volume de consommation de médicaments par habitant divisé par celui des

Etats-Unis– P P i : une variable dummy égale à 1 lorsque le brevet pour les produits pharmaceutiques

est reconnu par le pays i, égale à 0 sinon.

– DP C i : une variable dummy égale à 1 lorsque le pays i pratique un contrôle des prix, 0sinon.

– IP C i : une variable dummy égale à 1 lorsque le pays i encourage la concurrence auniveau des prix et 0 sinon.

– P OP i : la population de chaque pays i divisée par celle des Etats-Unis.

104



1. En adoptant un niveau de significativité de 5%n construire les tests pour juger si les va-riables explicatives sont significatives. Dans chaque cas, indiquez clairement :

(a) Quelle est l’hypothèse nulle et alternative

(b) Quelle statistique utilisez-vous pour faire le test

(c) Indiquez la forme de la région critique. Représentez sur un graphique la distribu-tion de la statistique sous l’hypothèse nulle. Indiquez l’origine, la signification desaxes, l’emplacement de la zone de rejet, la valeur de la statistique calculée. Enoncezclairement vos conclusions en vous référant au problème économique considéré.

(d) Indiquez ce que signifie la p-valeur, P[|T|>t].

2. En adoptant un niveau de significativité de 5%, construire les tests pour juger si le signedes variables que vous aurez jugés significatives est appropriée. Dans chaque cas indiquezclairement

(a) Quelle est l’hypothèse nulle et alternative

(b) Quelle statistique utilisez-vous pour faire le test

(c) Représentez sur un graphique la distribution de la statistique sous l’hypothèse nulle.Indiquez l’origine, la signification des axes, l’emplacement de la zone de rejet, la va-leur de la statistique calculée. Enoncez clairement vos conclusions en vous référantau problème économique considéré.

3. Etablir un tableau d’analyse de la variance pour le modèle ci-dessus.

4. Construisez un test de significativité globale du modèle à 5%. Quelle statistique utilisez-vous, précisez son calcul et quelle hypothèse testez-vous ? Faîtes cela de deux manièresdifférentes. Qu’en déduisez-vous ?

5. Calculez le R2 ? Qu’en déduisez-vous ? Etes-vous surpris de vos résultats compte tenudes résultats de la question précédente. Comment peut-on relier ces deux indicateurs de

significativité.6. Construisez un intervalle de confiance à 10% pour le coefficient du PNB par habitant et

pour le volume de consommation de médicaments chacun des coefficients estimés.

7. Faîtes un test de significativité global pour GDPN , C V N et DP C . Quel test utilisez-vous ? Comment procédez-vous ?

8. Pensez-vous que Schut et VanBergeijk ont conclu à l’existence d’une discrimination desprix. Pourquoi ou pourquoi pas ?

Les résultats de la régression obtenus avec Limdep sont les suivants :+-----------------------------------------------------------------------+| Ordinary least squares regression Weighting variable = none |

| Dep. var. = P Mean= 41.48696970 , S.D.= 189.8914093 || Model size: Observations = 33, Parameters = 7, Deg.Fr.= 26 || Residuals: Sum of squares= 7939.073822 , Std.Dev.= 17.47424 || Fit: R-squared= .993120, Adjusted R-squared = .99153 || Model test: F[ 6, 26] = 625.48, Prob value = .00000 || Diagnostic: Log-L = -137.2952, Restricted(b=0) Log-L = -219.4502 |

105



| LogAmemiyaPrCrt.= 5.914, Akaike Info. Crt.= 8.745 || Autocorrel: Durbin-Watson Statistic = 2.42015, Rho = -.21008 |+-----------------------------------------------------------------------++---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+|Variable | Coefficient | Standard Error |t-ratio |P[|T|>t] | Mean of X|

+---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+Constant 31.64980645 6.0767585 5.208 .0000GDPN 1.464277192 .22878429 6.400 .0000 11.240909CVN -.6740935338 .23393986 -2.881 .0078 2.6454545POP .5477959030E-02 .65222950E-01 .084 .9337 -5.2718182PP 15.03789484 4.7588778 3.160 .0040 -29.787879IPC -4.670269469 6.5233638 -.716 .4804 -30.000000DPC -10.13164942 6.7702104 -1.497 .1466 -29.909091(Note: E+nn or E-nn means multiply by 10 to + or -nn power.)

106



7.5 Correction de la fiche de TD 4

Problème 1

Il y a 33 données et chaque ligne correspond à un pays. La 33e ligne, c’est les Etats-Unispour cette raison les chiffres correspondant à P, GDPN, CV, CVN, POP sont éaux à 100. Il s’agiten fait de sorte d’indices. Pour les états Unis (EU), il s’agit de P EU /P EU pour les autres c’estpar exemple, P F /P EU . Prix de la France / prix des EU.

1. Les tests de signification des coefficients de la régression.

On ne peut pas calculer le risque de deuxième espèce et la puissance du test parce quepour cela il nous faudrait calculer la probabilité exacte à partir de la loi du student ce

qu’on ne peut pas faire en tout cas sans ordinateur donc on laisse tomber.En revanche, la p-valeur nous donne le risque de première espèce autrement dit la proba-bilité de rejeter H 0 à tort.

Il s’agit de faire des tests du student bilatéraux.

(a) GDPN :H 0 : β 1 = 0 contre H 1 : β 1 = 0Sous l’hypothèse nulle :

β 1 − β 1H 0

sβ 1∼ Stn−k−1

β 1sβ 1

∼ St33−6−1

La valeur du student calculé est :

tc =β 1sβ 1

= 1, 462

0, 2287 = 6, 400

Il s’agit d’un test bilatéral à 95%,α/2 = 5/2 = 0, 025%,la lecture de la table se fait donc à :

P/2 = 0, 025 ⇒ P = 0, 05, on lit à 5% dans la table et on trouve qu’à 26 degrés deliberté, tα/2 = 2, 056La règle de décision est la suivante : si la valeur du t calculée en valeur absolue estsupérieure au t de la table, dans ce cas on rejette l’hypothèse nulle.Il faut représenter la courbe en cloche de la student (comme dans le poly de cours)et indiquer la région critique et les seuils critiques −2, 056 et +2, 056, indiquer lazone de rejet de H 0 et montrer graphiquement que le tc = 6, 687 est à droite du seuil

107





(d) DPC :H 0 : β 4 = 0 contre H 1 : β 4 = 0Sous l’hypothèse nulle : La valeur du student calculé est :

tc =β 4

sβ 4= −10.131

6.77 = −1.497

| tc |=| −1.497 |< tα/2 = 2, 056Les résultats nous conduisent à accepter l’hypothèse nulle. Autrement dit, la pratiquedu contrôle des prix ne permet pas d’expliquer la discrimination des prix. Et eneffet, la P-valeur nous confirme ce résultat puisque P [| T |> t] = 0.1466 dans letableau de résultat. La probabilité d’avoir un student d’une valeur supérieure au tcalculé est de 14.66 %. Habituellement une p-valeur faible conduit au rejet de H 0 etindique à quel point il est peu probable d’obtenir le t calculé à partir des données sil’hypothèse nulle est vraie. Or ici,on fait un test à 5% d’erreur et on a une probabilitéde 14.66% p-valeur. Autrement dit, le risque de rejeter H 0 à tort est fort. On vadonc accepter H 0. Autrement dit, la p-valeur nous donne la probabilité du risque depremière espèce.

(e) IPC :H 0 : β 5 = 0 contre H 1 : β 5 = 0Sous l’hypothèse nulle : La valeur du student calculé est :

tc =β 5sβ 5

= −4.67

6.52 = −0.716

| tc |=| −0.716 |< tα/2 = 2, 056Les résultats nous conduisent à accepter l’hypothèse nulle. Autrement dit, la concur-rence au niveau des prix ne permet pas d’expliquer la discrimination des prix. Cette

conclusion ne peut pas nous surprendre compte tenu de la P-value qui est de 0,4804.Autrement dit, la probabilité d’obtenir le tc par hasard est très forte. On ne peut doncpas rejeter l’hypothèse nulle.

(f) POP :H 0 : β 6 = 0 contre H 1 : β 6 = 0Sous l’hypothèse nulle : La valeur du student calculé est :

tc =β 6sβ 6

= 0.0054

0.06522 = 0.084

| tc |=| 0.084 |< t

α/2 = 2, 056

Les résultats nous conduisent à accepter l’hypothèse nulle. Autrement dit, la taillede la population ne permet pas d’expliquer la discrimination des prix. Cette conclu-sion ne peut pas nous surprendre compte tenu de la P-value qui est de 0,9337. On nepeut donc pas rejeter l’hypothèse nulle.

109



2. Le test pour juger du signe :

(a) Pour GDPN : H 0 : β 1 ≤ 0 contre H 1 : β 1 > 0Sous l’hypothèse nulle :

La valeur du student calculé est :

tc =β 1sβ 1

= 1.4642

0, 2287 = 6.4

Il s’agit d’un test unilatéral à 95%,α = 5 = 0, 05%,la lecture de la table se fait donc à :P/2 = 0, 05 ⇒ P = 0, 1, on lit à 10% dans la table et on trouve qu’à 26 degrés deliberté, tα = 1, 706La règle de décision est la suivante : si la valeur du t calculée en valeur absolue estsupérieure au t de la table, dans ce cas on rejette l’hypothèse nulle.tc = 6.4 > tα = 1.706, on rejette l’hypothèse nulle. Il faut représenter la courbe

en cloche de la student (comme dans le poly de cours) et indiquer la région critiqueà droite avec le seuil critique à +1.706, indiquer la zone de rejet de H 0 et montrergraphiquement que le tc = 6, 4 est à droite du seuil critique et qu’il se trouve doncdans la région critique.Ainsi on peut confirmer que la variable GDPN a un impact positif sur les prix,autrement dit, si le revenu par tête augmente les prix augmentent également.

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1tc = 6, 40

α

RC

t

1− α

H 0Zone d’acceptation de H 0 Zone de Rejet de H 0

tα = 1, 706

FIG. 7.5 – Représentation graphique des zones d’acceptation et de rejet.

(b) Pour CVN : H 0 : β 1 ≥ 0 contre H 1 : β 1 < 0Sous l’hypothèse nulle :La valeur du student calculé est :

tc = −2.881

| tc = −2.881 |> tα = 1.706, on rejette l’hypothèse nulle. La consommation partête a donc un impact négatif sur les prix. Il s’agit d’un effet volume.Ici la région critique est à gauche et le t calculé s’y trouve.

110



(c) Pour PP : H 0 : β 3 ≤ 0 contre H 1 : β 3 > 0Sous l’hypothèse nulle :La valeur du student calculé est :

tc = 3.160

| tc = 3.16 |> tα = 1.706, on rejette l’hypothèse nulle. La protection par les bre-vets a un impact positif sur les prix.

La région critique est à droite, et le t calculé s’y trouve.

(d) Pour DPC : H 0 : β 4 ≥ 0 contre H 1 : β 4 < 0Sous l’hypothèse nulle :La valeur du student calculé est :

tc = −1.497

| tc = −1.497 |< tα = 1.706, on accepte l’hypothèse nulle.

Néanmoins, dans la mesure où DPC n’est pas explicatif il n’est pas nécessaire de sepréoccuper du signe.

(e) Pour DPC : H 0 : β 5 ≥ 0 contre H 1 : β 5 < 0Sous l’hypothèse nulle :La valeur du student calculé est :

tc = −0.716

| tc = −0.716 |< tα = 1.706, on accepte l’hypothèse nulle.Néanmoins, dans la mesure où DPC n’est pas explicatif il n’est pas nécessaire de sepréoccuper du signe.

(f) Pour POP : H 0 : β 6 ≥ 0 contre H 1 : β 5 < 0

Sous l’hypothèse nulle :La valeur du student calculé est :

tc = 0.084

| tc = 0.084 |< tα = 1.706, on accepte l’hypothèse nulle.Néanmoins, dans la mesure où DPC n’est pas explicatif il n’est pas nécessaire de sepréoccuper du signe.

Graphiquement c’est intéressant, car on a la région critique à gauche, et en plus le tcalculé et positif et même pas négatif comme on pourrait s’y attendre, il est donc trèsproche du centre la distribution mais néanmoins à droite du centre de la distribution.

3. Etablir un tableau d’analyse de la variance :

variables SC ddl SCM Fishervar. expl. SCE =1.145.923,713 k=6 190.987,28 F=(SCE/k)/(SCR/n-k-1)=625,47résidus SCR = 7939.073 n-k-1 = 26 305.348

P SCT=1.153.862 n-1 = 32 36058.18

111



SC = somme des carrésSCM = somme des carrés moyensddl = degrés de liberté.

La somme des carrés totaux est obtenu à partir de l’écart-type de P qui se trouve dans letableau des résultats à la ligne :

Dep.var. = P Mean= 41.48696970 , S.D.= 189.8914093

SC T = (n− 1)× S.D2 = 32× 189.892 = 1.153.862La somme des carrés résiduels est donnée dans le tableau :

Residuals: Sum ofsquares= 7939,073822 , Std.Dev.= 17.47424

SC R = 7939.0SC E = SCT − SC R = 1.145.923, 713Pour la somme des carrés moyens on divise par le nombre de degrés de liberté.

Le tableau de l’anova permet de déterminer le fisher. On peut retrouver ces résultats dansle tableau de la régression à la ligne :

Model test: F[ 6, 26] = 625.48, Prob value = .00000

On retrouve bien le fisher à 6 et 26 degrés de liberté et la p-valeur qui est de 0 ce quisignifie qu’il a peu de chance de rejeter l’hypothèse nulle à tort si on fait un test de signi-ficativité global. voir question suivante :

4. Test de significativité globale :

H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = β 4 = β 5 = β 6 = 0

H 1 : au moins un des coefficients est différent de zéro.

Sous l’hypothèse nulle :

SCE/k

SCR/n − k − 1 ∼ F [k, n− k − 1]

On peut faire le test de deux manières différentes : soit on calcule les carrés moyens et onfait le test, soit on regarde directement dans le tableau des résultats de la régression.

Le fisher calculé est F c = 625 > F α[6, 26] = 2.47On rejette l’hypothèse nulle. Le modèle est globalement significatif.

5. Calcul du R2

R2 = SCE SCT = 1− SCR

SCT = 1− 7939,07382

1153862 = 1− 0.00688 = 0.99312

Confirmé par le tableau de la régression :R2 = 1− (1− R2) × n−1

n−k−1 = 1− (1− 0.99312) × 32

26 = 0.99153

112



Confirmé la encore par le tableau de la régression.

Le R2 est très élevé ce qui n’est pas surprenant puisque on a montré à la question précé-dente que le modèle est globalement très explicatif.

On sait par ailleurs que le fisher calculé est :

F = SCE/k

SCR/T − k − 1

R2 = SC E

SC T ⇒ SC E = R2SC T

SC R = SC T − SC E ⇒ SC R = SCT (1− R2)

F = R2/k

(1− R2)/(T − k − 1)

R2 = F

F + T −k−1k

6. L’intervalle de confiance pour le coefficient de GDPN et CVN :Pour GDPN :IC 90% = [ β 1 ± tα/2sβ 1 ] = [1, 4642 ± 1, 706 × 0, 2287] = [1, 074;1, 854]Pour CVN :IC 90% = [ β 2 ± tα/2sβ 2 ] = [−0, 67409 ± 1, 706× 0, 2339] = [−1, 0731;−0, 27505]

7. Faîtes un test de significativité global pour GDPN, CVN et DPC.H 0 : β 1 = β 2 = β 4 = 0H 1 : au moins un des coefficients est nul.Il s’agit d’un Fisher :

Il faut faire deux régressions, l’une avec le modèle d’origine et l’autre avec un modèlecontraint sous l’hypothèse nulle. Ensuite on compare la somme des carrés résiduels.– Modèle non contraint.

P i = β 0 + β 1GDPN i + β 2CV N i + β 3P P i + β 4DP C i + β 5IP C i + β 6P OP i + i

– Sous H 0,le modèle contraint est :

P i = β 0 + β 3P P i + β 5IP C i + β 6P OP i + i

(SC Rc − SC R)/3

SCR/n− k − 1 ∼ F (3, n − k − 1)

8. Pensez-vous que Schut et VanBergeijk ont conclu à lŠexistence dŠune discrimination desprix. Pourquoi ou pourquoi pas ?Bien que ce ne soit pas le cas pour tous les effets envisagés, plusieurs des effets qu’onassocie généralement avec la discrimation des prix au niveau international sont présentsdans cet échantillon de données. En addition, l’ajustement général du modèle est trèssatisfaisant (R2 = 0.99).

113



Modeles a variables instrumentales - I

L’hypothese de la moyenne-conditionnelle nulle

pour pouvoir appliquer la methode des moindres car

Il existe trois situations assez courantes qui vio

pothese dans les recherches en economie :

1. l’endogeneite, a savoir la determination simultaable dependante et des variables explicatives

2. le biais de la variable omise

3. les erreurs dans les variables, telles que des erre

ou d’encodage des variables explicatives.



Bien que ces problemes aient des origines tres dpeuvent etre traites a l’aide d’un meme outil, les var

mentales - IV the instrumental-variables.

Une variable est endogene si elle est correlee au te

y = β 1x1 + β 2x2 + . . . + β kxk + ǫ

• x j est endogene si C ov[x j, ǫ] = 0

• x j est exogene si Cov[x j, ǫ] = 0

Les estimateurs des MCO sont a variance minima

ment si

Cov[x j, ǫ] = 0



Cette hypothese d’une covariance nulle implique quE [ǫ] = 0

L’hypothese d’esperance conditionnelle egale a ze

E [ǫ|X] = 0

est suffisante pour que la variance conditionnelle eg

vraie.



1 L’endogeneite dans les relations economiques

Les economistes modelisent souvent les comporteme

comme des systemes d’equations simultanees da

variables endogenes sont determinees par d’autres

dogenes et des variables exogenes.

Prenon l’exemple bien connu de l’offre et de la ecrit habituellement :

q d = β 0 + β 1 p + β 2inc

pour indiquer que la quantite demandee d’un bien

son prix (p) et du revenu de l’acheteur (inc). Lor

β 1

< 0 et

β 2

> 0, la courbe de demande dans l’

une pente negative, et etant donne le prix, la quantit



s’accroıtre avec le revenu de l’acheteur.

Si nous ajoutons un terme d’erreur ǫ a l’equatio

estime l’equation par les MCO a l’aide des pairs

timations ne seront pas de variance minimale c

independante est endogene : dans l’equation ci-d

sur la courbe de demande va modifier l’equilibre, aet la quantite sur le marche. Par definition, le choc ǫprix p.

Il nous manque souvent les donn´ ees micro´ econom

donnees de menages qui nous permettraient d’estim

pour un bien donne. Habituellement, on dispose plu

de march´ e. Les observations de p et q sont des prd’equilibre a des periodes diff erentes.



• Comment utiliser les donnees de marche pocourbe de demande d’un bien?

Pour ce faire, il faut specifier des instruments

sont pas correles a ǫ mais neanmoins fortemen

Cette procedure est qualifiee de probleme d’iden

• Qu’est-ce qui va nous permettre d’identifier o u

la courbe de demande?Considerons l’autre partie du marche, a savoir l’

teur intervenant dans la fonction d’offre qui n’app

la fonction de demande constituera un instrume

on modelise la demande pour un bien agricole, d

que les precipitations ou le climat pourront etre u





En revanche, on peut facilement tester la seconde

regressant p sur l’instrument z a l’aide de regress

suivante :

pi = π0 + pi1z i + ζ i

Si on ne parvient pas a rejeter l’hypothese nulle

H 0 : pi1 = 0

on conclut que z ne constitue pas un bon instrument

le non rejet de l’hypothese nulle ne suffit pas a as

s’agit pas d’un “faible” instrument.

Si l’on decide que l’on a un instrument valide, co



y = Xβ + ǫ

On definitZ d e l a meme dimension queX dans laque

endogene - p de notre exemple est remplace par z

Z′y = Z′Xβ + Z′ǫ

L’hypothese que Z est non correlee a ǫ implique tend vers zero en probabilite alors que N devient

on definit l’estimateur β IV a partir de :

Z′y = Z′Xβ IV

β IV = (Z′X)−1Z′y



On peut aussi utiliser l’hypothese d’esperance matha zero pour definir l’estimateur de la m´ ethode des m

modele IV. On definit une matriceZ comme plus hau

chaque regresseur endogene sera remplace par so

conduisant ainsi a l’estimateur de la methode des mo

Z′ǫ = 0

Z′(y −Xβ ) = 0

On peut alors substituer les moments calcules a p

echantillon dans l’expression et remplacer les coef

nus β avec les valeurs estimees β .

Z′y − Z′Xβ IV = 0

β IV = (Z′

X)−1

Z′

yL’estimateur IV a un cas particulier interessant : S



d’esperance conditionnelle nulle se tient, chaquplicative peut etre utilisee comme son propre instr

et l’estimateur IV se reduit alors a un estimateur de

l’estimateur des MCO apparaıt comme un cas part

qui est approprie lorsque l’hypothese d’esperance

nulle est satisfaite.





On peut donc etendre le modele, pi = π0 + π1z i1 + π2z 2i + ωi

et obtenir un instrument qui est en fait la valeur es

tir de l’equation ; etant donne les MCO, ˆ p est une

lineaire optimale de l’information donnee par z 1 e

alors estimer les parametres de (3) en utilisant l’estimˆ p comme une colonne de Z.

La methode des doubles moindres carres est don

IV avec une regle de decision qui reduit le nombre

au necessaire pour estimer l’equation et determine

matrice d’instruments de dimension N × l, l ≥ k.

X = Z(Z′Z)−1Z′X



Soit la matrice de projection PZ = Z(Z′

Z)−1

Z′

, aloβ 2SLS = (X′X)−1X′y

= [X′Z(Z′Z)−1Z′X]−1[X′Z(Z′Z)−

= (X′PzX)−1X′PZy

ou l’estimateur en deux etapes (des doubles moindr

etre calcule en une fois en utilisant les donnees sur X

Lorsque l = k, les DMC se reduisent aux IV, et par

formule des DMC donnee ci-dessous couvre egaleme

IV.



Supposons des erreurs independantes et de distrtiques i.i.d, un estimateur de variance minimale d’

des DMC s’ecrit :

Var[β 2SLS] = σ2[X′Z(Z′Z)−1Z′X]−1 = σ2(X′P

ou

σ

2

=

ǫ′ǫ

N

calcule a partir de

ǫ = y −Xβ 2SLSBien que l’on parle des doubles moindres carre

processus en deux etapes (pour des raisons pedago

procederait jamais a l’estimation en deux etapes a

sinon on obtiendrait des resultats biaises. Si on le faca reviendrait a estimer X a partir d’une premiere



variables endogenes sur les instruments et a utiliser dans une seconde regression des MCO. En faisant c

regression genererait des residus incorrects

ǫ = y − Xβ 2SLS

au lieu des residus corrects

ǫ = y −Xˆβ 2SLS

En utilisant la commande ivreg pour les DMC

evite ces problemes. La formulation dans Stata

ivreg q inc (p = rainfall temperature)

permet d’indiquer que q doit etre estime a l’aide drainfall et temperature comme instruments. Co



MCO et la commande regress, une constante est incimplicitement dans la liste des instruments utilises po

la matrice des instruments utilises lors de la premier

ivreg y x2 (x3 x4 = za zb zc zd )

Il n’est pas necessaire d’indiquer a Stata questruments a utiliser pour chaque variable endo

la methode des DMC, tous les instruments sont u

regresseurs dans la premiere etape. Dans notre ex

sont estimes a l’aide de z.



3 Tests d’identification

Les parametres (coefficients) d’une equation sont

lorsqu’il y a suffisamment d’instruments valides de s

des DMC en determine une estimation unique.

montre que β 2SLS est unique si et seulement si Z′Z e

l × l non singuliere de rang k. Si les instruments sonindependants, Z′Z sera non singuliere. Le fait que Z

k est connu comme la condition de rang. Le fait

soit l ≥ k est la condition d’ordre.

1. si le rang est Z′X < k, l’equation est dite sous-id

2. si le rang estZ′X = k, l’equation est dite exactem

3. si le rang est Z′X > k, l’equation est dite sur-ide





Sous H 0 : tous les instruments sont non correles a ǫ

la statistique du multiplicateur de lagrange LM

suit une distribution χ2(r), avec r le nombre de re

identifiees, c’est-a-dire le nombre d’instruments en p

est rejetee, on peut alors douter que l’ensemble des i

approprie. Ce test de Sargan (1958) ou de Basmapropose dans Stata a l’aide de la commande overid.

3.0.1 Application

Prenons un exemple classique qui porte sur l’etude

partir d’un echantillon de 758 jeunes hommes. La baamericaine NLS - National Longitudinal Survey - e



car elle combine des informations sur les revenus, leainsi que des mesures de l’aptitude des individus. L

deux mesures des aptitudes, un score du QI -quotien

et un test sur la connaissance du monde du travail - ”

the wordld of work” (kww)-.

Les modeles de Griliches permettent d’expliquer

fonction d’un certain nombre de facteurs tels que le nd’ecole s, le nombre d’annees d’experience expr,

d’annees passees dans la meme entreprise tenureindicatrice indiquant si la personne reside dans le

Unis rns; un indicateur pour la residence urbaine pl

smsa; et un ensemble de variables indicatrices p

dans la mesure ou les donnees sont des donnees annutelles que le QI iq, le niveau d’etude de la mere me



test kww, l’age du travailleur; le statut marital mrt.. use http://www.stata-press.com/data/imeus/grilic

. summarize lw s expr tenure rns smsa iq med kww

Variable | Obs Mean Std. Dev.

-------------+------------------------------------

lw | 758 5.686739 .4289494

s | 758 13.40501 2.231828

expr | 758 1.735429 2.105542 tenure | 758 1.831135 1.67363

rns | 758 .2691293 .4438001

-------------+------------------------------------

smsa | 758 .7044855 .456575

iq | 758 103.8562 13.61867

med | 758 10.91029 2.74112

kww | 758 36.57388 7.302247

age | 758 21.83509 2.981756 -------------+------------------------------------

mrt | 758 .5145119 .5001194



On utilise l’option first pour la commande ivregle degre de correlation entre les quatre facteurs et

dogene iq.

I ∗ est une commande qui permet d’introduire l

pour les annees (l’annee 66 est exclue pour eviter

parfaite).

. ivreg lw s expr tenure rns smsa _I* (iq = med kw

First-stage regressions

-----------------------

Source | SS df MS

----------+------------------------------

Model | 47176.4676 15 3145.09784



Residual | 93222.8583 742 125.637275

----------+------------------------------

Total | 140399.326 757 185.468066

--------------------------------------------------

iq | Coef. Std. Err. t P>|t

----------+---------------------------------------

s | 2.497742 .2858159 8.74 0.000

expr | -.033548 .2534458 -0.13 0.895

tenure | .6158215 .2731146 2.25 0.024

rns | -2.610221 .9499731 -2.75 0.006

smsa | .0260481 .9222585 0.03 0.977

_Iyear_67 | .9254935 1.655969 0.56 0.576

_Iyear_68 | .4706951 1.574561 0.30 0.765

_Iyear_69 | 2.164635 1.521387 1.42 0.155

_Iyear_70 | 5.734786 1.696033 3.38 0.001

_Iyear_71 | 5.180639 1.562156 3.32 0.001

_Iyear_73 | 4.526686 1.48294 3.05 0.002med | .2877745 .1622338 1.77 0.077





s | .0691759 .013049 5.30 0.000

expr | .029866 .006697 4.46 0.000

tenure | .0432738 .0076934 5.62 0.000

rns | -.1035897 .0297371 -3.48 0.001

smsa | .1351148 .0268889 5.02 0.000

_Iyear_67 | -.052598 .0481067 -1.09 0.275

_Iyear_68 | .0794686 .0451078 1.76 0.079

_Iyear_69 | .2108962 .0443153 4.76 0.000

_Iyear_70 | .2386338 .0514161 4.64 0.000

_Iyear_71 | .2284609 .0441236 5.18 0.000

_Iyear_73 | .3258944 .0410718 7.93 0.000

_cons | 4.39955 .2708771 16.24 0.000

--------------------------------------------------

Instrumented: iq

Instruments: s expr tenure rns smsa _Iyear_67 _I

_Iyear_70 _Iyear_71 _Iyear_73 med k

--------------------------------------------------



Les resultats de la premiere etape - first-stage regreque trois des quatres instruments sont fortement cor

l’exception de mrt.

Neanmoins la variable endogene iq a un coefficie

pas diff erent de zero (p-valeur est de 0,965).

Etant donne les autres variables incluses dans la re

semble pas jouer un role important comme determin

Les autres coefficients semblent etre en accord avec

des theories du travail et les resultats empiriques hab





4 L’estimateur GMM

Jusqu’a present, nous avons fait l’hypothese que les

i.i.d. pour deriver les estimateurs IV et des DMC

teurs IV et DMC produisent des estimateurs non b

tent ) mais a variance non minimale (inefficient ) ce

que l’on applique une methode robuste pour les esti

L’estimateur des moments generalises (GMM - Gen

ods of Moments) produira des estimateurs non biai

minimale en presence d’erreurs non i.i.d.

L’equation qui nous interesse s’ecrit :y = Xβ + ǫ E[ǫǫ′|X] = Ω



Le terme d’erreur ǫ suit une distribution d’esperaest sa matrice de covariance. Quatre cas doivent etre

1. l’homoscedasticite

2. l’heteroscedasticite conditionnelle

3. le regroupement clustering

4. la presence d’heteroscedasticite et d’autocorrelatCertains regresseurs sont endogenes de sorte que

separe les regresseurs en deux groupes x1 x2 av

les regresseurs x1 consideres comme endogenes e

supposes exogenes.

La matrice des variables instrumentales Z est N ables sont supposees exogenes : E [zǫ]. On partitio





correles, c’est pourquoi elles sont souvent qualifieed’orthogonalit e.

On obtient ainsi un ensemble de l moments :

g(β ) = 1

N

N

i=1gi(β ) =

1

N

N

i=1z′i(yi − xiβ ) =

1

NL’intuition du GMM est de choisir un estimate

resoud g(

ˆβ GMM ) = 0

• Si l’equation a estimer est exactement identifi

a autant de conditions pour les moments que d’

peut alors resoudre les l conditions pour les k co

β GMM . Il y a donc un unique β GMM qui resoud Cet estimateur de GMM est identique a l’estimate

de (4).• Si l’equation est suridentifiee, l > k, on a donc p



que d’inconnus. On risque de ne pas trouver un k -qui permette de resoudre les l conditions de mome

0. Par consequent, il nous faut choisir β GMM d

elements de g(β GMM ) soient le plus proche de z

ble.On pourrait obtenir cela en minimisant g(β GM

mais cette methode ne permet pas a la methode

duire des estimateurs a variance minimale lorsqusont pas i.i.d.

Pour cette raison, l’estimateur de GMM choisit le βimise :

J (β GMM ) = N g(β GMM )′Wg(β GMM )

pour lequel W est une matrice pond er ee de taille compte des correlations entre les g(β GMM ) lorsque l



non i.i.d.Un estimateur GMM pour β est le β qui minim

Lorsque l’on derive et que l’on resoud les condition

∂J (β GMM )

∂ β = 0

on obtient l’estimateur GMM pour l’equation sur-idβ GMM = (X′ZWZ′X)−1(X′ZWZ′y

Il y a autant d’estimateurs GMM que de matrices

La matrice de poids ne joue qu’en presence de sur

Lorsque l’equation est parfaitement identifiee alors

La matrice de poids optimal est telle que W = s−

matrice de covariance des conditions de moments g



S = E [Z ′ǫǫ′Z ] = E [Z ′ΩZ ]

ou S est une matrice l× l. Si on substitue cette mat

on obtient un estimateur GMM efficace :

β EGMM = (X′ZS−1Z′X)−1(X′ZS−1Z′

On peut noter la generalite de cette approche. Enhypothese n’a ete faite sur Ω, la matrice des covar

reurs. Mais l’estimateur GMM ne peut pas etre es

inconnu. Il nous faut donc estimer S, ce qui impliq

hypotheses a propos d’ Ω.

Supposons que l’on ait un estimateur de variance S note S. On peut utiliser l’estimateur pour definir



GMM en deux etapes quasi generalises (a feasiblestep GMM estimator (FEGMM)) estime par la com

lorsque l’option gmm est appliquee. Dans la prem

utilise une estimation standard des DMC pour enge

mations des coefficients et des residus. Dans la sec

fait une hypothese sur la structure de Ω pour prod

des residus, definissant ainsi l’estimateur FEGMM:

β FEGMM = (X′ZS−1Z′X)−1(X′ZS−1Z

4.2 GMM dans un context homoscedastique

Si on suppose que Ω = σ2I N , la matrice de poids

proportionnelle a la matrice identite. L’estimateur Gplement l’estimateur IV standard.







--------------------------------------------------

| Robust

lw | Coef. Std. Err. z P>|z

----------+---------------------------------------

iq | -.0014014 .0041131 -0.34 0.733

s | .0768355 .0131859 5.83 0.000

expr | .0312339 .0066931 4.67 0.000

tenure | .0489998 .0073437 6.67 0.000

rns | -.1006811 .0295887 -3.40 0.001

smsa | .1335973 .0263245 5.08 0.000

_Iyear_67 | -.0210135 .0455433 -0.46 0.645

_Iyear_68 | .0890993 .042702 2.09 0.037

_Iyear_69 | .2072484 .0407995 5.08 0.000

_Iyear_70 | .2338308 .0528512 4.42 0.000

_Iyear_71 | .2345525 .0425661 5.51 0.000

_Iyear_73 | .3360267 .0404103 8.32 0.000

_cons | 4.436784 .2899504 15.30 0.000

--------------------------------------------------Hansen J statistic (overidentification test of all



Ch

--------------------------------------------------

Instrumented: iq

Instruments: med kww age mrt s expr tenure rns s

_Iyear_69 _Iyear_70 _Iyear_71 _Iyea

--------------------------------------------------

On constate que le regresseur endogene iq ne joue

role dans l’equation.La statistique Hansen donnee avec les resultats ivrepour la methode GMM du test de Sargan que l’on

overid. L’independance des instruments et des erre

en question ici par le fort rejet de l’hypothese null d



4.4 GMM et les ecart-types HAC

Lorsque les erreurs sont conditionnellement heteros

autocorrelees (HAC), on peut determiner une estim

S pour determiner des estimations des parametres a

routine ivreg2 determinera l’estimation Newey-Wes

des variance-covariances des estimateurs a l’aide de

Bartlett-Kernel lorsque les options robust et bw() s

4.4.1 Application

Pour illustrer, on estime une courbe de Phillips a l

temporelles annuelles pour les Etats-Unis de 1948-19

tiques descriptives pour l’inflation liee aux prix a la c



(cinf) et le taux de chomage (unem) sont donnes dci-dessous :. use http://www.stata-press.com/data/imeus/philli

. summarize cinf unem if cinf<.

Variable | Obs Mean Std. Dev.

-------------+------------------------------------

cinf | 48 -.10625 2.566926

unem | 48 5.78125 1.553261

Une relation de Phillips est une relation entre l’in

prix ou les salaires et le taux de chomage. Dans ce m

able devraient avoir une relation negative, un chom

conduisant a une pression a la hausse des salaires et

donne que chaque variable est determinee est determl’environnement macroeconomique, on ne peut pas



comme exogenes.

Lorsque l’on utilise les donnees, on regresse l’infla

de chomage. Afin de traiter la question de la simultan

comme instrument le taux de chomage avec un dec

ou trois periodes. Lorsque l’on specifie bw(3), gm

ivreg2 va produire une estimation GMM efficace.. ivreg2 cinf (unem = l(2/3).unem), bw(3) gmm rob

GMM estimation

--------------

Heteroskedasticity and autocorrelation-consistent

kernel=Bartlett; bandwidth=3

time variable (t): year



Total (centered) SS = 217.4271745

Total (uncentered) SS = 217.4900005

Residual SS = 244.9459113

--------------------------------------------------

| Robust

cinf | Coef. Std. Err. z P>|z

----------+---------------------------------------

unem | .1949334 .3064662 0.64 0.525

_cons | -1.144072 1.686995 -0.68 0.498

--------------------------------------------------

Hansen J statistic (overidentification test of all

Chi

--------------------------------------------------

Instrumented: unem

Instruments: L2.unem L3.unem--------------------------------------------------



La relation telle que nous l’avions anticipee n’estpar les estimations, comme de nombreux cherche

faire l’experience. La relation originale qui etait

valide, a cesse de fonctionner dans les annees 197

de chocs d’offres (chocs petroliers) et de forte inflat

Pour ce qui est de la technique IV, on peut constatetique J du test Hansen indique que les instruments so

avec les erreurs. Si en revanche, on utilisait les pre

decalages du chomage, le test J rejetterai l’hypoth

une p-valeur de 0,02. Le premier decalage de unepas un instrument approprie pour cette specification



5 Test pour la sur-identification pour la methode

De meme que pour les DMC, on peut tester la vali

identification dans le cas de la methode GMM. On u

tique J Hansen :

J (β EGMM ) = N g(β EGMM )′S−1g(β EGMM ) ∼

Le test Hansen-Sargan pour la sur-identification ev

des restrictions. Dans un modele qui contient un

d’instruments, le test de C qualifie de difference-in

est plus approprie. Il permet de tester un sous ensem

tions d’orthogonalite d’origine. La statistique est ca

la diff erence entre les deux statistiques J. C est distun χ2 au nombre de degres egale a la perte des res



nombre d’instrument suspects testes.

Un exemple de C est donne ci-dessous pour sav

instrument valide.

. ivreg2 lw s expr tenure rns smsa _I* (iq = med k

GMM estimation

--------------




--------------------------------------------------





-orthog- option:

Hansen J statistic for unrestricted equation:

Ch

C statistic (exogeneity/orthogonality of specified

Ch

Instruments tested: s

--------------------------------------------------

Instrumented: iq



--------------------------------------------------

Le test C rejette l’hypothese nulle indiquant que l’i

pect s echoue au test de suridentification. La stati

ficative de 15,997 pour l’equation qui exclut les in

pects the suspect implique que le fait de traiter s co

debouche sur une equation non satisfaisante. Les insne semblent pas etre independants des erreurs.



L’option orthog() permet de tester si un sous-ensem

exclus est effectivement exogene. On inclut l’age

du statut marital dans la liste des variables en option

. ivreg2 lw s expr tenure rns smsa _I* (iq = med k

age mrt)

GMM estimation--------------




--------------------------------------------------



| Robust


----------+---------------------------------------

iq | -.0014014 .0041131 -0.34 0.733

s | .0768355 .0131859 5.83 0.000

expr | .0312339 .0066931 4.67 0.000

tenure | .0489998 .0073437 6.67 0.000

rns | -.1006811 .0295887 -3.40 0.001

smsa | .1335973 .0263245 5.08 0.000

_Iyear_67 | -.0210135 .0455433 -0.46 0.645

_Iyear_68 | .0890993 .042702 2.09 0.037

_Iyear_69 | .2072484 .0407995 5.08 0.000

_Iyear_70 | .2338308 .0528512 4.42 0.000

_Iyear_71 | .2345525 .0425661 5.51 0.000

_Iyear_73 | .3360267 .0404103 8.32 0.000

_cons | 4.436784 .2899504 15.30 0.000

--------------------------------------------------

Hansen J statistic (overidentification test of allCh



-orthog- option:

Hansen J statistic for unrestricted equation:

Ch

C statistic (exogeneity/orthogonality of specified

Ch

Instruments tested: age mrt

--------------------------------------------------

Instrumented: iq



--------------------------------------------------

L’equation estimee sans les instruments suscepts, e

ditions d’orthogonalite age et mrt, a un J significat

pour les deux instruments est fortemenet significatif

on a obtenu une specification plus appropriee, on ree

avec la liste reduite d’instruments.



. ivreg2 lw s expr tenure rns smsa _I*

(iq = med k

GMM estimation

--------------




--------------------------------------------------

| Robust


----------+---------------------------------------

iq | .0240417 .0060961 3.94 0.000

s | .0009181 .0194208 0.05 0.962

expr | .0393333 .0088012 4.47 0.000tenure | .0324916 .0091223 3.56 0.000



rns | -.0326157 .0376679 -0.87 0.387

smsa | .114463 .0330718 3.46 0.001

_Iyear_67 | -.0694178 .0568781 -1.22 0.222

_Iyear_68 | .0891834 .0585629 1.52 0.128

_Iyear_69 | .1780712 .0532308 3.35 0.001

_Iyear_70 | .139594 .0677261 2.06 0.039

_Iyear_71 | .1730151 .0521623 3.32 0.001

_Iyear_73 | .300759 .0490919 6.13 0.000

_cons | 2.859113 .4083706 7.00 0.000

--------------------------------------------------

Hansen J statistic (overidentification test of all

Ch

--------------------------------------------------

Instrumented: iq

Instruments: med kww s expr tenure rns smsa _Iye

_Iyear_70 _Iyear_71 _Iyear_73

--------------------------------------------------



En accord avec la therie, iq apparaıt comme un rnificatif pour la premiere fois et la statistique J de

satisfaisante. Le regresseur s, qui est apparu comm

precedemment ne joue pas de role dans l’estimation




TD d’économétrie Anne PlunketLes variables instrumentales

Soit le modèle macroéconomique Keynésien suivant :

Y t = C 0t + I t +Gt +NX t (1)

COt = β 0 + β 1Y Dt + β 2COt−1 + ǫ1t (2)

Y Dt = Y t − T t (3)

I t = β 3 + β 4Y t + β 5rt−1 + ǫ2t (4)

rt = β 6 + β 7Y t + β 8M t + ǫ3t (5)

– Y t : PIB à l’année t

– COt : Consommation en t

– I t : Investissement brut en t

– Gt : Dépenses gouvernementales en t

– NX t : Exportations nettes de biens et services en t (exportations moins importations)

– T t : Impôts en t

– rt : le taux d’intérêt en t

– M t : l’offre de monnaie en t

– Y Dt : revenu disponible en t

Les données nécessaires se trouvent dans le fichier macro14.xls

Toutes les variables sont en termes réels sauf les taux d’intérêt qui sont en pourcentage

nominaux. Les données vont de l’année 1964 à l’année 1994.

1. Quelle distinction faites-vous entre les équations stochastiques et les équations comp-

tables. Indiquez pour chacune des équations si elle est comptable ou stochastique.

2. On cherche à estimer l’équation de consommation (2). Cette équation souffre-t-elle d’un

problème d’endogénéité ? Pourquoi ?

3. Quels instruments pourriez-vous proposer pour estimer cette équation ?

4. Qu’est-ce qu’une forme réduite ? Quelle distinction faîtes-vous avec la forme structu-

relle ? Soit la forme réduite suivante :

COt = π0 + π1COt−1 + π2Gt + π3NX t + π4T t + π5rlag + vt

On vous propose la régression suivante après création des variables manquantes. Com-mentez le principe de la méthode des doubles moindres carrés ainsi que les résultats.

. generate t= y- yd

. generate nx=y- co- i- g

. tsset years

. generate colag=L.co

. generate rlag=L.r

1





bin et watson de Durbin-Watson Statistic = .8926652. Faîtes le test ? Quelles sont vos

conclusions ?

8. On vous propose une régression par la méthode des moments généralisés. Cette estimationapporte t-elle une amélioration ?

. ivreg2 co colag (yd = g nx t rlag), gmm bw(2)

2-Step GMM estimation

---------------------

Estimates efficient for arbitrary autocorrelation

Statistics robust to autocorrelation

kernel=Bartlett; bandwidth= 2

time variable (t): years

Number of obs = 31

F( 2, 28) = 4678.52

Prob > F = 0.0000Total (centered) SS = 12374912.58 Centered R2 = 0.9979

Total (uncentered) SS = 197725473.9 Uncentered R2 = 0.9999

Residual SS = 25991.24935 Root MSE = 28.96

------------------------------------------------------------------------------

co | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

yd | .4556004 .1720822 2.65 0.008 .1183255 .7928754

colag | .5261765 .1823187 2.89 0.004 .1688383 .8835146

_cons | -28.36601 39.24406 -0.72 0.470 -105.2829 48.55093

------------------------------------------------------------------------------

Hansen J statistic (overidentification test of all instruments): 16.926

Chi-sq(3) P-val = 0.0007

------------------------------------------------------------------------------Instrumented: yd

Included instruments: colag

Excluded instruments: g nx t rlag

------------------------------------------------------------------------------

9. On vous propose un test pour savoir si nx et rlag sont des instruments appropriés. Qu’enpensez vous ?

. ivreg2 co colag (yd = g t nx rlag), gmm bw(2) orthog(nx rlag)


---------------------

résultats de la régression omises

------------------------------------------------------------------------------


Chi-sq(3) P-val = 0.0007

-orthog- option:

Hansen J statistic (eqn. excluding suspect orthogonality conditions): 0.595

Chi-sq(1) P-val = 0.4407

C statistic (exogeneity/orthogonality of suspect instruments): 16.331

Chi-sq(2) P-val = 0.0003

Instruments tested: nx rlag

------------------------------------------------------------------------------

Instrumented: yd


Excluded instruments: g t nx rlag

------------------------------------------------------------------------------

3



10. La régression à la suite de l’exclusion des instruments vous paraît-elle satisfaisante ?

. ivreg2 co colag (yd = g t), gmm2s bw(2)


---------------------

Estimates efficient for arbitrary autocorrelation

Statistics robust to autocorrelation

kernel=Bartlett; bandwidth= 2

time variable (t): years

Number of obs = 31

F( 2, 28) = 2006.73

Prob > F = 0.0000

Total (centered) SS = 12374912.58 Centered R2 = 0.9945

Total (uncentered) SS = 197725473.9 Uncentered R2 = 0.9997Residual SS = 67501.31687 Root MSE = 46.66

------------------------------------------------------------------------------

co | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

yd | - .2669334 .3834833 -0.70 0.486 -1.018547 .4846801

colag | 1.290077 .405872 3.18 0.001 .4945823 2.085571

_cons | 101.7307 78.17731 1.30 0.193 -51.49404 254.9554

------------------------------------------------------------------------------


Chi-sq(1) P-val = 0.6175

------------------------------------------------------------------------------

Instrumented: yd


Excluded instruments: g t

------------------------------------------------------------------------------

4




























TD d’économétrie Anne PlunketLes modèles de sélection

Vous disposez de données (heckman1.dta) extraites du U.S. Current Population Survey

(CPS). Il s’agit d’un échantillon (de 800 femmes âgées de 25 à 65 ans pour l’année 2003)

non représentatif de la population entière.

Les variables suivantes sont incluses dans les données :

– age : âge en années

– black : 1 si la personne est noire– othrac : 1 si la personne est ni blache ni noire.

– ihgrdc : nombre d’années d’école

– earnwkef : salaire hebdomadaire de la semaine précédente

– emplw : 1 si la personne était employée la semaine précédente

– ch02 : 1 si la personne a un enfant de 0 à 2 ans



– ch1417 : 1 si la personne a un enfant âgé de 14 à 17 ans

1. Vous disposez d’observations du salaire hebdomadaire de la semaine précédente ; cettevaleur est supérieure ou égale à zéro pour les personnes qui déclarent travailler et man-

quante pour les autres (earnwke == .) ; en revanche, on dispose de leurs caractéristiques ycompris lorsqu’elles ne travaillent pas. On vous propose la régression suivante du salairehebdomadaire pour les femmes qui travaillent (emplw == 1) ;S’agit-il d’un cas de troncature ou de censure, expliquez ?On vous propose une régression par les MCO, analysez les résultats. Cette méthode d’es-timation vous paraît_elle appropriée ?

use "C:\heckman1.dta", clear

. gen earnwkef = earnwke if emplw == 1

. replace earnwkef = 0 if emplw == 0 // on met la valeur de earnwke = 0

pour les personnes qui ne travaillent pas

. gen age2 = age * age

. summarize

Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max

-------------+--------------------------------------------------------

age | 800 44.38625 10.87543 25 65

hourslw | 516 36.31395 11.99572 1 96

earnwke | 509 574.6483 398.5622 0 2884

ch02 | 765 .103268 .3045076 0 1

ch35 | 765 .1111111 .3144753 0 1

-------------+--------------------------------------------------------

ch613 | 765 .2522876 .4346096 0 1

ch1417 | 765 .1660131 .3723358 0 1

ihigrdc | 800 13.4075 2.905188 0 18

black | 800 .0975 .296823 0 1

othrac | 800 .0725 .2594762 0 1

1



-------------+--------------------------------------------------------

emplw | 799 .6908636 .462427 0 1earnwkef | 756 386.8995 423.8151 0 2884

age2 | 800 2088.266 980.2236 625 4225

. regress earnwkef black othrac age age2 ihigrdc if ch02!=.


-------------+------------------------------ F( 5, 716) = 23.14

Model | 18384108.9 5 3676821.77 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1331

Total | 132177075 721 183324.653 Root MSE = 398.66

------------------------------------------------------------------------------

earnwkef | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

black | -27.87674 51.14381 -0.55 0.586 -128.2865 72.53302

othrac | 29.85007 57.68221 0.52 0.605 -83.39641 143.0966

age | 26.30842 11.28381 2.33 0.020 4.155107 48.46174

age2 | -.3033743 .1254136 -2.42 0.016 -.5495967 -.0571519

ihigrdc | 53.17958 5.243977 10.14 0.000 42.88417 63.47499

_cons | -854.1964 252.5549 -3.38 0.001 -1350.033 -358.3598

------------------------------------------------------------------------------

note : la condition ch02 !=. nous assure simplement qu’on ne prend pas encore

les observations pour lesquelles les observations de la variable ch02 ne sont

pas manquantes

2. Peut-on s’appuyer sur cette régression pour faire des inférences sur la population des

femmes qui travaillent ? Expliquez. aleur du salaire pour ceux qui travaillent de toute

manière.

3. On vous propose la régression suivante : en quoi cette régression est-elle une améliorationpar rapport à la méthode des MCO. Est-elle totalement satisfaisante ?

. tobit earnwkef black othrac age age2 ihigrdc if ch02!=., ll(0)

Tobit regression Number of obs = 722

LR chi2(5) = 100.38

Prob > chi2 = 0.0000


------------------------------------------------------------------------------earnwkef | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

black | -22.65272 72.77186 -0.31 0.756 -165.5241 120.2187

othrac | 67.8211 80.33858 0.84 0.399 -89.90588 225.5481

age | 44.37442 16.2132 2.74 0.006 12.54341 76.20544

age2 | -.5171235 .1812881 -2.85 0.004 -.8730424 -.1612045

ihigrdc | 73.67987 7.890169 9.34 0.000 58.18927 89.17046

_cons | -1607.653 365.2817 -4.40 0.000 -2324.803 -890.5035

-------------+----------------------------------------------------------------

/sigma | 535.4785 18.33199 499.4877 571.4693

------------------------------------------------------------------------------

Obs. summary: 233 left-censored observations at earnwkef<=0

489 uncensored observations

2



0 right-censored observations

. mfx compute, predict(pr(0,.))

Marginal effects after tobit

y = Pr(earnwkef>0) (predict, pr(0,.))

= .69412557

------------------------------------------------------------------------------

variable | dy/dx Std. Err. z P>|z| [ 95% C.I. ] X

---------+--------------------------------------------------------------------

black*| - .0149637 .04847 -0.31 0.758 - .109967 .08004 .094183

othrac*| .0431323 .0495 0.87 0.384 -.05389 .140155 .072022

age | .029064 .01064 2.73 0.006 .008207 .049921 44.241

age2 | -.0003387 .00012 -2.85 0.004 -.000572 -.000105 2076.39

ihigrdc | .0482583 .00533 9.05 0.000 .037803 .058714 13.3996

------------------------------------------------------------------------------

(*) dy/dx is for discrete change of dummy variable from 0 to 1

. mfx compute, predict(e(0,.))


y = E(earnwkef|earnwkef>0) (predict, e(0,.))

= 542.36086

------------------------------------------------------------------------------


---------+--------------------------------------------------------------------

black*| - 10.95457 34.857 -0.31 0.753 - 79.2733 5 7.3641 .094183

othrac*| 34.12324 41.624 0.82 0.412 -47.4587 115.705 .072022

age | 21.665 7.91048 2.74 0.006 6.16074 37.1693 44.241age2 | -.2524761 .08844 -2.85 0.004 -.425815 -.079138 2076.39

ihigrdc | 35.97285 3.87786 9.28 0.000 28.3724 4 3.5733 13.3996

------------------------------------------------------------------------------


4. Expliquez et analysez les effets marginaux

5. On vous demande à présent d’estimer un modèle probit pour tenter de comprendre quelssont les déterminants de la décision de travailler (emplw == 1 ). La régression est réaliséepour celles qui déclarent ne pas travailler (emplw==0) et pour celles qui déclarent tra-vailler (emplw == 1) et n’ont pas d’observatiosn manquantes pour le montant du salairehebdomadaire (earnwke !=.).Analysez les résultats de la régression. En quoi cette régression pourrait-elle être utile ?On vous propose de tester l’hypothèse nulle que les coefficients des variables indicatricessont égales à zéro. De quel test s’agit-il ? Y a t-il un problème d’instrument faibles ? Expli-quez si les variables indicatrices du nombre d’enfants dans le ménage sont des restrictionsvalides ?

. probit emplw black othrac age age2 ihigrdc ch02 ch35 ch613 ch1417 ch1417

if earnwkef!=.

note: ch1417 dropped because of collinearity

Iteration 0: log likelihood = -453.32044

...


Probit regression Number of obs = 722

3



LR chi2(9) = 60.03

Prob > chi2 = 0.0000Log likelihood = -423.30789 Pseudo R2 = 0.0662

------------------------------------------------------------------------------

emplw | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

black | -.0014557 .1713513 -0.01 0.993 -.3372981 .3343868

othrac | .1918463 .2016849 0.95 0.341 -.2034488 .5871415

age | .0312355 .041705 0.75 0.454 -.0505048 .1129758

age2 | -.0005947 .0004543 -1.31 0.191 -.0014852 .0002958

ihigrdc | .0776969 .0179726 4.32 0.000 .0424712 .1129226

ch02 | -.5777895 .1796234 -3.22 0.001 -.929845 -.225734

ch35 | -.3235616 .1657756 -1.95 0.051 -.6484758 .0013526

ch613 | -.3672208 .125268 -2.93 0.003 -.6127415 -.1217001

ch1417 | .2476143 .1483912 1.67 0.095 -.0432271 .5384558

_cons | -.5547977 .9435299 -0.59 0.557 -2.404082 1.294487

------------------------------------------------------------------------------

. testparm ch02 ch35 ch613 ch1417

( 1) ch02 = 0

( 2) ch35 = 0

( 3) ch613 = 0

( 4 ) ch1417 = 0

chi2( 4) = 26.24

Prob > chi2 = 0.0000

6. En utilisant le probit de la question 3, on estime le terme du mills ratio, et on l’intègre àla régression de l’équation du salaire hebdomadaire par les MCO. Est-ce une solution ?

. predict zgamma, xb

// il s’agit ici d’une estimation de la relation linéaire

(35 missing values generated)

gen invmill = normalden(zgamma)/normal(zgamma)

// on détermine l’inverse du ratio de Mills en déterminant le rapport entre

la fonction de densité normale et la fonction de densité cumulative de la loi

normale pour les prédictions du modèle linéaire


. regress earnwkef black othrac age age2 ihigrdc invmill if earnwke!=.


-------------+------------------------------ F( 6, 483) = 20.65

Model | 16263033.2 6 2710505.53 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1942

Total | 79674543.4 489 162933.627 Root MSE = 362.34

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

black | -52.79758 57.14804 -0.92 0.356 -165.0871 59.4919

4



othrac | -15.55447 62.65035 -0.25 0.804 -138.6554 107.5464

age | 4.265233 14.2866 0.30 0.765 -23.80634 32.33681age2 | -.0087184 .1652137 -0.05 0.958 -.3333449 .315908

ihigrdc | 63.01018 8.37043 7.53 0.000 46.56323 79.45714

invmill | -191.354 127.9787 -1.50 0.136 -442.8178 60.10989

_cons | -356.8735 376.8102 -0.95 0.344 -1097.263 383.5162

------------------------------------------------------------------------------

7. On vous propose une estimation par la méthode de heckman avec l’option twostep et onestime la même équation que précédemment. Comparer les coefficients obtenus à ceuxde la question précédente et à ceux ignorant la correction. Comparer les écart-types avecceux obtenus à la question précédente. Sont-elles très différentes ? Pourquoi ?

. heckman earnwkef black othrac age age2 ihigrdc, select( emplw = black othrac

age age2 ihigrdc ch02 ch35 ch613 ch1417) twostep

Heckman selection model -- two-step estimates Number of obs = 722

(regression model with sample selection) Censored obs = 232

Uncensored obs = 490

Wald chi2(5) = 66.22

Prob > chi2 = 0.0000

------------------------------------------------------------------------------

| Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

earnwkef |

black | -52.79758 58.97689 -0.90 0.371 -168.3902 62.795

othrac | -15.55447 64.95989 -0.24 0.811 -142.8735 111.7646

age | 4.265233 14.72002 0.29 0.772 -24.58549 33.11595

age2 | -.0087184 .1698654 -0.05 0.959 -.3416485 .3242116ihigrdc | 63.01018 8.566486 7.36 0.000 46.22018 79.80018

_cons | -356.8735 388.7785 -0.92 0.359 -1118.865 405.1183

-------------+----------------------------------------------------------------

emplw |

black | -.0014557 .1713513 -0.01 0.993 -.3372981 .3343868

othrac | .1918463 .2016849 0.95 0.341 -.2034488 .5871415

age | .0312355 .041705 0.75 0.454 -.0505048 .1129758

age2 | -.0005947 .0004543 -1.31 0.191 -.0014852 .0002958

ihigrdc | .0776969 .0179726 4.32 0.000 .0424712 .1129226

ch02 | -.5777895 .1796234 -3.22 0.001 -.929845 -.225734

ch35 | -.3235616 .1657756 -1.95 0.051 -.6484758 .0013526

ch613 | -.3672208 .125268 -2.93 0.003 -.6127415 -.1217001

ch1417 | .2476143 .1483912 1.67 0.095 -.0432271 .5384558

_cons | -.5547977 .9435299 -0.59 0.557 -2.404082 1.294487

-------------+----------------------------------------------------------------

mills |

lambda | -191.354 131.3091 -1.46 0.145 -448.715 66.00705

-------------+----------------------------------------------------------------

rho | -0.49860

sigma | 383.78392

lambda | -191.35396 131.3091

------------------------------------------------------------------------------

8. A l’aide de la commande predict avec l’option mills arpès une régression heckman,on obtient une estimation de l’inverse du ratio de Mills. On calcule la corrélation avecl’inverse de Mills obtenu précédemment à la suite de la régression du probit. Sont-ilssimilaires ?

5



. predict invmill2, mills

(35 missing values generated). corr invmill invmill2

(obs=765)

| invmill invmill2

-------------+------------------

invmill | 1.0000

invmill2 | 1.0000 1.0000

9. Interprétez l’estimation du ρ de la régression suivante


age age2 ihigrdc ch02 ch35 ch613 ch1417)


....


Heckman selection model Number of obs = 722



Wald chi2(5) = 99.94

Log likelihood = -4002.845 Prob > chi2 = 0.0000

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

earnwkef |

black | -51.17895 57.22987 -0.89 0.371 -163.3474 60.98954

othrac | -3.067862 61.42984 -0.05 0.960 -123.4681 117.3324

age | 8.944075 13.41368 0.67 0.505 -17.34626 35.23441age2 | -.0679089 .1529727 -0.44 0.657 -.3677298 .231912

ihigrdc | 67.54608 6.867649 9.84 0.000 54.08574 81.00643

_cons | -559.3134 310.4226 -1.80 0.072 -1167.731 49.10374

-------------+----------------------------------------------------------------

emplw |

black | -.0063431 .1713199 -0.04 0.970 -.3421239 .3294377

othrac | .1903743 .2016914 0.94 0.345 -.2049335 .585682

age | .0281355 .0417927 0.67 0.501 -.0537767 .1100477

age2 | -.0005654 .0004547 -1.24 0.214 -.0014566 .0003258

ihigrdc | .0787945 .0180116 4.37 0.000 .0434924 .1140967

ch02 | -.5682552 .1791912 -3.17 0.002 -.9194636 -.2170468

ch35 | -.3317107 .1647425 -2.01 0.044 -.6546001 -.0088213

ch613 | -.3934671 .1253686 -3.14 0.002 -.6391849 -.1477492

ch1417 | .2658026 .1475914 1.80 0.072 -.0234713 .5550765

_cons | -.4886907 .9447972 -0.52 0.605 -2.340459 1.363078

-------------+----------------------------------------------------------------

/athrho | -.227185 .1523527 -1.49 0.136 -.5257908 .0714208

/lnsigma | 5.899569 .0362051 162.95 0.000 5.828608 5.97053

-------------+----------------------------------------------------------------

rho | -.2233555 .1447522 -.482157 .0712996

sigma | 364.8802 13.21052 339.8854 391.7131

lambda | -81.498 54.27316 -187.8714 24.87544

------------------------------------------------------------------------------

LR test of indep. eqns. (rho = 0): chi2(1) = 1.42 Prob > chi2 = 0.2339

------------------------------------------------------------------------------

6




Les modèles de sélection

Vous disposez de données (heckman1.dta) extraites du U.S. Current Population Survey

(CPS). Il s’agit d’un échantillon (de 800 femmes âgées de 25 à 65 ans pour l’année 2003)

non représentatif de la population entière.

Les variables suivantes sont incluses dans les données :

– age : âge en années

– black : 1 si la personne est noire– othrac : 1 si la personne est ni blache ni noire.

– ihgrdc : nombre d’années d’école

– earnwkef : salaire hebdomadaire de la semaine précédente

– emplw : 1 si la personne était employée la semaine précédente




– ch1417 : 1 si la personne a un enfant âgé de 14 à 17 ans

1. Vous disposez d’observations du salaire hebdomadaire de la semaine précédente ;cette valeur est supérieure ou égale à zéro pour les personnes qui déclarent travailler

et manquante pour les autres (earnwke == .) ; en revanche, on dispose de leurs carac-téristiques y compris lorsqu’elles ne travaillent pas. On vous propose la régressionsuivante du salaire hebdomadaire pour les femmes qui travaillent (emplw == 1) ;S’agit-il d’un cas de troncature ou de censure, expliquez ?On vous propose une régression par les MCO, analysez les résultats. Cette méthoded’estimation vous paraît_elle appropriée ?Il s’agit ici d’une variable censurée ou plus précisément d’une variable dont les carac-téristiques s’apparentent à une solution en coin, dans le sens où cette variable prend lavaleur zéro pour une partie non négligeable de la population alors qu’elle est distribuéede manière continue pour les valeurs positives.La régression par les MCO estime le salaire pour 722 femmes en fonction d’un certainnombre de facteurs tels que l’origine raciale, toutefois la variable n’est pas significative,l’âge et le nombre d’années d’école. Le fait d’être noire semble avoir une impact négatif sur le revenu par rapport à une personne blanche (la constante), l’âge connait un impactpositif mais décroissant, enfin le nombre d’années d’étude semble avoir un impact positif sur le revenu salarié.La méthode des MCO ne serait pas adaptée dans ce cas, car elle risquerait de prédire desvariables négatives pour y ce n’est pas possible. Le modèle que l’on cherche à estimer estle suivant :y = max(0, y∗) ; y prend la valeur 0 ou une valeur y∗ continue qui peut s’écrire de lamanière suivante (variable latente) :y∗ = β 0 + xβ + ǫ

use "C:\heckman1.dta", clear

. gen earnwkef = earnwke if emplw == 1

. replace earnwkef = 0 if emplw == 0 // on met la valeur de earnwke = 0

pour les personnes qui ne travaillent pas

. gen age2 = age * age

1



. summarize


-------------+--------------------------------------------------------

age | 800 44.38625 10.87543 25 65

hourslw | 516 36.31395 11.99572 1 96

earnwke | 509 574.6483 398.5622 0 2884

ch02 | 765 .103268 .3045076 0 1

ch35 | 765 .1111111 .3144753 0 1

-------------+--------------------------------------------------------

ch613 | 765 .2522876 .4346096 0 1

ch1417 | 765 .1660131 .3723358 0 1

ihigrdc | 800 13.4075 2.905188 0 18

black | 800 .0975 .296823 0 1

othrac | 800 .0725 .2594762 0 1

-------------+--------------------------------------------------------

emplw | 799 .6908636 .462427 0 1

earnwkef | 756 386.8995 423.8151 0 2884

age2 | 800 2088.266 980.2236 625 4225

. regress earnwkef black othrac age age2 ihigrdc if ch02!=.


-------------+------------------------------ F( 5, 716) = 23.14

Model | 18384108.9 5 3676821.77 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1331

Total | 132177075 721 183324.653 Root MSE = 398.66

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

black | -27.87674 51.14381 -0.55 0.586 -128.2865 72.53302

othrac | 29.85007 57.68221 0.52 0.605 -83.39641 143.0966

age | 26.30842 11.28381 2.33 0.020 4.155107 48.46174

age2 | -.3033743 .1254136 -2.42 0.016 -.5495967 -.0571519

ihigrdc | 53.17958 5.243977 10.14 0.000 42.88417 63.47499

_cons | -854.1964 252.5549 -3.38 0.001 -1350.033 -358.3598

------------------------------------------------------------------------------

note : la condition ch02 !=. nous assure simplement qu’on ne prend pas encore les observat

2. Peut-on s’appuyer sur cette régression pour faire des inférences sur la population

des femmes qui travaillent ? Expliquez.

La méthode des MCO ne permet pas de faire une inférence sur la population totale. Il

est nécessaire de combiner un modèle probit sur l’occurrence de la variable y positive et

ensuite une estimation par le maximum de vraissemblance pour tenir compte de la valeur

de la variable y. En effet, les variables explicatives auront un impact sur

– le fait (la probabilité) que l’individu est cesuré (y = 0)

– sur la valeur de y pour un individu non censuré (E [y|y > 0])

Dans notre cas, la valeur des variables explicatives auront un impact sur la probabilité de

travailler d’une part et sur la valeur du salaire pour ceux qui travaillent de toute manière.

3. On vous propose la régression suivante : en quoi cette régression est-elle une amélio-

2



ration par rapport à la méthode des MCO. Est-elle totalement satisfaisante ?

. tobit earnwkef black othrac age age2 ihigrdc if ch02!=., ll(0)

Tobit regression Number of obs = 722

LR chi2(5) = 100.38

Prob > chi2 = 0.0000


------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

black | -22.65272 72.77186 -0.31 0.756 -165.5241 120.2187

othrac | 67.8211 80.33858 0.84 0.399 -89.90588 225.5481

age | 44.37442 16.2132 2.74 0.006 12.54341 76.20544

age2 | -.5171235 .1812881 -2.85 0.004 -.8730424 -.1612045ihigrdc | 73.67987 7.890169 9.34 0.000 58.18927 89.17046

_cons | -1607.653 365.2817 -4.40 0.000 -2324.803 -890.5035

-------------+----------------------------------------------------------------

/sigma | 535.4785 18.33199 499.4877 571.4693

------------------------------------------------------------------------------

Obs. summary: 233 left-censored observations at earnwkef<=0

489 uncensored observations

0 right-censored observations

. mfx compute, predict(pr(0,.))


y = Pr(earnwkef>0) (predict, pr(0,.))

= .69412557

------------------------------------------------------------------------------


---------+--------------------------------------------------------------------

black*| - .0149637 .04847 -0.31 0.758 - .109967 .08004 .094183

othrac*| .0431323 .0495 0.87 0.384 -.05389 .140155 .072022

age | .029064 .01064 2.73 0.006 .008207 .049921 44.241

age2 | -.0003387 .00012 -2.85 0.004 -.000572 -.000105 2076.39

ihigrdc | .0482583 .00533 9.05 0.000 .037803 .058714 13.3996

------------------------------------------------------------------------------


. mfx compute, predict(e(0,.))


y = E(earnwkef|earnwkef>0) (predict, e(0,.))

= 542.36086

------------------------------------------------------------------------------


---------+--------------------------------------------------------------------

black*| - 10.95457 34.857 -0.31 0.753 - 79.2733 5 7.3641 .094183

othrac*| 34.12324 41.624 0.82 0.412 -47.4587 115.705 .072022

age | 21.665 7.91048 2.74 0.006 6.16074 37.1693 44.241

age2 | -.2524761 .08844 -2.85 0.004 -.425815 -.079138 2076.39

ihigrdc | 35.97285 3.87786 9.28 0.000 28.3724 4 3.5733 13.3996

------------------------------------------------------------------------------


3



Dans la mesure où il importe d’expliquer à la fois la probabilité que l’événement se pro-

duise et la valeur de y lorsque cet événement se produit, l’expression à estimer s’écrit :

E (y|y > 0, x) = xβ + σλ(α)

avec

α = xβ/σ

λ est l’inverse du ratio de Mills ; ainsi, l’espérance de y conditionnel à y > 0 est fonction

des variables explicatives et du produit de l’écart-type des erreurs par le ratio de Mills

évalué pour xβ/σ . Cette équation montre également pourquoi l’utilisation des MCO pour

les seules valeurs positives de y ne serait pas approprié puisqu’en fait l’équation souffriraitd’une variable omise (le ratio de Mills).

Le probit permet de tenir compte du fait que les obsevations sont censurées à gauche à la

valeur 0.

4. Expliquez et analysez les effets marginaux

Dans le premier cas, mfx compute, predict(pr(0,.)) rend compte de l’effet marginal de

chaque variable sur la probabilité de participation

Dans le second cas, mfx compute, predict(e(0,.)) rend compte de l’effet marginal de

chaque variable sur le montant du salaire

Ces effets marginaux, contrairement à ceux obtenus par les MCO, tiennent compte compte

correctement du fait que la variable expliquée est censurée.

L’effet marginal implique que une année d’étude de plus par rapport à la moyenne (13,39)entraînera une augmentation de la participation de 4,8%

L’effet marginal du fait d’être noire réduit la participation de 1,5% mais ce n’est pas si-

gnificatif.

L’effet marginal d’une année d’étude de plus par rapport au niveau d’étude moyen va

avoir un impact de 350% sur le salaire.

5. On vous demande à présent d’estimer un modèle probit pour tenter de comprendre

quels sont les déterminants de la décision de travailler (emplw == 1 ). La régression

est réalisée pour celles qui déclarent ne pas travailler (emplw==0) et pour celles qui

déclarent travailler (emplw == 1) et n’ont pas d’observatiosn manquantes pour le

montant du salaire hebdomadaire (earnwke !=.).

Analysez les résultats de la régression. En quoi cette régression pourrait-elle être

utile ?

On vous propose de tester l’hypothèse nulle que les coefficients des variables indi-

catrices sont égales à zéro. De quel test s’agit-il ? Y a t-il un problème d’instrument

faibles ? Expliquez si les variables indicatrices du nombre d’enfants dans le ménage

sont des restrictions valides ? Le probit permet de déterminer quelles sont les variables

qui influencent la censure, c’est-à-dire la décision pour une femme de travailler ou non.

On constate que les variables qui sont significatives et négatives ici correspondent à l’âge

des enfants. La femme décidera de travailler ou non en fonction de l’âge de ses enfants

de moins de 13 ans. De même que le nombre d’années d’étude, autrement dit le niveau

d’éducation va avoir un impact positif et significatif sur la probabilité de travailler.

4



Ces variables peuvent constituer des restrictions valides pour une procédure de heckman

par exemple si on suppose que les enfants ont un impact sur l’équation de participationet non pas sur le montant du salaire. En revanche, elles ne constitueraient pas des restric-

tions valides si on supposait que les femmes qui anticipent d’avoir des enfants pourraient

en ternir compte pour décider du type d’étude et de la qualité des études qu’elles entre-

prennent. Ce choix n’est pas pris en compte par la variable nombre d’années d’études

et par conséquent, les variables enfants sont corrélés au terme d’erreur de l’équation de

salaire.

Quant aux tests sur les enfants, il s’agit d’un test de Wald qui testent plusieurs coefficients

en même temps. Il s’agit donc d’un chi2 à 4 degrés de liberté. Celui-ci montre que les

quatre variables sont conjointement significatives.

. probit emplw black othrac age age2 ihigrdc ch02 ch35 ch613 ch1417 ch1417

if earnwkef!=.

note: ch1417 dropped because of collinearity





Probit regression Number of obs = 722

LR chi2(9) = 60.03

Prob > chi2 = 0.0000


------------------------------------------------------------------------------emplw | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

black | -.0014557 .1713513 -0.01 0.993 -.3372981 .3343868

othrac | .1918463 .2016849 0.95 0.341 -.2034488 .5871415

age | .0312355 .041705 0.75 0.454 -.0505048 .1129758

age2 | -.0005947 .0004543 -1.31 0.191 -.0014852 .0002958

ihigrdc | .0776969 .0179726 4.32 0.000 .0424712 .1129226

ch02 | -.5777895 .1796234 -3.22 0.001 -.929845 -.225734

ch35 | -.3235616 .1657756 -1.95 0.051 -.6484758 .0013526

ch613 | -.3672208 .125268 -2.93 0.003 -.6127415 -.1217001

ch1417 | .2476143 .1483912 1.67 0.095 -.0432271 .5384558

_cons | -.5547977 .9435299 -0.59 0.557 -2.404082 1.294487

------------------------------------------------------------------------------

. testparm ch02 ch35 ch613 ch1417

( 1) ch02 = 0

( 2) ch35 = 0

( 3) ch613 = 0

( 4 ) ch1417 = 0

chi2( 4) = 26.24

Prob > chi2 = 0.0000

6. En utilisant le probit de la question 3, on estime le terme du mills ratio, et on l’in-

tègre à la régression de l’équation du salaire hebdomadaire par les MCO. Est-ce une

5



solution ?

A partir du moment où l’on détermine une estimation de l’inverse du ratio de Mills, il est

possible de l’intégrer dans la régression linéaire afin d’éliminer le biais engendré par la

variable omise (ratio de mills). On peut ainsi corriger le biais de sélection.

E (y|y > 0, x) = xβ + σλ(α)

avec

α = xβ/σ

. predict zgamma, xb

// il s’agit ici d’une estimation de la relation linéaire(35 missing values generated)

gen invmill = normalden(zgamma)/normal(zgamma)

// on détermine l’inverse du ratio de Mills en déterminant le rapport entre

la fonction de densité normale et la fonction de densité cumulative de la loi

normale pour les prédictions du modèle linéaire


. regress earnwkef black othrac age age2 ihigrdc invmill if earnwke!=.


-------------+------------------------------ F( 6, 483) = 20.65

Model | 16263033.2 6 2710505.53 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1942

Total | 79674543.4 489 162933.627 Root MSE = 362.34

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

black | -52.79758 57.14804 -0.92 0.356 -165.0871 59.4919

othrac | -15.55447 62.65035 -0.25 0.804 -138.6554 107.5464

age | 4.265233 14.2866 0.30 0.765 -23.80634 32.33681

age2 | -.0087184 .1652137 -0.05 0.958 -.3333449 .315908

ihigrdc | 63.01018 8.37043 7.53 0.000 46.56323 79.45714

invmill | -191.354 127.9787 -1.50 0.136 -442.8178 60.10989 _cons | -356.8735 376.8102 -0.95 0.344 -1097.263 383.5162

------------------------------------------------------------------------------

Il s’agit d’une solution tout à fait acceptable qui permet de corriger le biais de sélection.

On peut comparer ce résultat à un heckman à deux étapes.

7. On vous propose une estimation par la méthode de heckman avec l’option twostep

et on estime la même équation que précédemment. Comparer les coefficients obte-

nus à ceux de la question précédente et à ceux ignorant la correction. Comparer les

écart-types avec ceux obtenus à la question précédente. Sont-elles très différentes ?

Pourquoi ?

Les deux résultats sont exactement identiques puisqu’ils s’appuient sur un même calcule

6





. corr invmill invmill2(obs=765)

| invmill invmill2

-------------+------------------

invmill | 1.0000

invmill2 | 1.0000 1.0000

9. Interprétez l’estimation du ρ de la régression suivante

Cette dernière application du modèle de Heckman sans l’option twostep donne des résul-

tats différents aux estimations précédentes. Elle est obtenue à partir de l’équation

E [y|z, s = 1] = xβ + ρλ(zγ ) + ǫ


age age2 ihigrdc ch02 ch35 ch613 ch1417)






Heckman selection model Number of obs = 722



Wald chi2(5) = 99.94

Log likelihood = -4002.845 Prob > chi2 = 0.0000

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

earnwkef |

black | -51.17895 57.22987 -0.89 0.371 -163.3474 60.98954

othrac | -3.067862 61.42984 -0.05 0.960 -123.4681 117.3324

age | 8.944075 13.41368 0.67 0.505 -17.34626 35.23441

age2 | -.0679089 .1529727 -0.44 0.657 -.3677298 .231912

ihigrdc | 67.54608 6.867649 9.84 0.000 54.08574 81.00643

_cons | -559.3134 310.4226 -1.80 0.072 -1167.731 49.10374

-------------+----------------------------------------------------------------emplw |

black | -.0063431 .1713199 -0.04 0.970 -.3421239 .3294377

othrac | .1903743 .2016914 0.94 0.345 -.2049335 .585682

age | .0281355 .0417927 0.67 0.501 -.0537767 .1100477

age2 | -.0005654 .0004547 -1.24 0.214 -.0014566 .0003258

ihigrdc | .0787945 .0180116 4.37 0.000 .0434924 .1140967

ch02 | -.5682552 .1791912 -3.17 0.002 -.9194636 -.2170468

ch35 | -.3317107 .1647425 -2.01 0.044 -.6546001 -.0088213

ch613 | -.3934671 .1253686 -3.14 0.002 -.6391849 -.1477492

ch1417 | .2658026 .1475914 1.80 0.072 -.0234713 .5550765

_cons | -.4886907 .9447972 -0.52 0.605 -2.340459 1.363078

-------------+----------------------------------------------------------------

/athrho | -.227185 .1523527 -1.49 0.136 -.5257908 .0714208

8



/lnsigma | 5.899569 .0362051 162.95 0.000 5.828608 5.97053

-------------+----------------------------------------------------------------rho | -.2233555 .1447522 -.482157 .0712996

sigma | 364.8802 13.21052 339.8854 391.7131

lambda | -81.498 54.27316 -187.8714 24.87544

------------------------------------------------------------------------------

LR test of indep. eqns. (rho = 0): chi2(1) = 1.42 Prob > chi2 = 0.2339

------------------------------------------------------------------------------

On rejette l’hypothèse nulle que ρ = 0, les deux équations ne sont donc pas indépendantes

et il est nécessaire de corriger le biais de sélection.

le ρ = −.22, ce qui indique que les termes d’erreur de l’équation de participation et de

l’équation de salaire sont corrélées négativement. Ceci signifie que si les variables non

observées ont un impact négatif sur l’équation de salaire, ils auront un impact positif des

variables non observées sur la probabilité de participation. Ce qui n’est pas vraiment ce à

quoi on pourrait s’attendre si les variables non observées représentent la motivation ; des

individus plus motivés sont plus susceptibles de travailler et de gagner des salaires plus

élevés.

9



L’econometrie des panels

1 Introduction

Les donnees de panel sont des observations qui porte

economique (un individu, une entreprise, une industau cours du temps. Ces donnees de panel ou longi

interessantes pour traiter un certain nombre de ques

Par exemple, on peut se demander ce que signifie u

de chomage de 10%; cela signifie t-il que les mem

population sont au chomage de maniere continue au

(chomage de longue duree) ou que de maniere aleatpopulation est au chomage.



Autre exemple, la croissance des entreprises est-economies d’echelle (c’est-a-dire une variation en co

des inputs) ou un changement technique (c’est-a-dir

au cours du temps a inputs fixes)?

Il n’est possible de repondre a ces questions qu’e

memes agents a travers le temps.

Jusqu’a present, deux types de modeles ont ete renY i = β 0 + β 1X 1i + β 2X 2i + ǫi pour les individus i

pour les donnees en coupe

Y t = β 0 + β 1X 1t + β 2X 2t + ǫt pour les periodes i =

pour les donnees en series temporelles.

Les donnees en panel permettent de combiner d



coupe et temporelles :Y it = β 0 + β 1X 1it + β 2X 2it + ǫit

Plus generalement, le modele peut s’ecrire :

yit = xit + ziδ + ui + ǫit

ou xit est un vecteur 1 × k de variables qui varient e

individus et du temps, zi est un vecteur 1 × p de vaantes avec le temps qui varient uniquement avec les i

un vecteur p × 1 de coefficients,ui est un effet indi

terme d’erreur.

Les ui sont correles ou non aux regresseurs xit et z

en revanche que les ui ne sont jamais correles aux ǫ

• si les ui sont correles aux regresseurs, ils sont qufixes. Dans ce cas, la strategie est de traiter les



parametres ou des effets fixes. Toutefois commed’introduire un parametre par individu surtout lor

est grand, la solution consiste a retirer les ui de l’

une transformation. La consequence est que c

ne permet pas l’estimation des parametres δ des

stantes dans le temps.

• si les ui sont non correles aux regresseurs, ilsd’effets aleatoires. Dans ce cas, les effets in

simplement parametres comme des erreurs addi

somme ui + ǫi est qualifiee d’erreur composee.



2 Les effets fixes

Les donnees de panel permettent egalement de cont

individuels non observes qui peuvent biaiser les re

sont pas pris en compte. En effet, les variables o

observees sont souvent responsables des questions

et conduisent a des estimations qui ne sont plus a male. Les donnees de panel permettent de retirer l

effets non observes des regressions et de produire d

a variance minimale.

Supposons que X 2 soit non observe dans le model

Y it = β 0 + β 1X 1it + β 2X 2it + ǫit



Nous savons que les variables omises biaises les resuSupposons que l’on regroupe la variable non observe

d’erreur

Y it = β 0 + β 1X 1it + β 2X 2it + ǫit

On peut alors diviser les elements non observes

posantes, une partie qui varie entre les individus ma

stante au cours du temps φi et une partie qui varie dl’autre et d’une periode a l’autre ǫit.

Y it = β 0 + β 1X 1it + ui + ǫit

Si on pouvait ecarter le terme ui, il ne resterai

aleatoire et cela reviendrait aux moindres carrees ord

Il n’est pas possible de supprimer ce terme dans le cen coupe, par consequent la presence des effets no



implique que :Cov(X, u) = Cov(X, ui + ǫit) = Cov(X 1it, β 2X 2

Si ui est constant au cours du temps (si c’est un effe

supprimer l’effet en diff erenciant l’equation de la re

2.1 Effets fixes et diff erences premieres

Si


En periode t = 1

Y i1 = α1 + β 1X i1 + ui + ǫi1

En periode t = 2Y i2 = α2 + β 1X i2 + ui + ǫi2



Ainsi la diff erence premiere est :[Y i2 − Y i1] = (α2 + β 1X i2 + ui + ǫi2) − (α1 + β 1X

= (α2 − α1) + β 1(X i2 − X i1) + (ui − u

ou

∆Y = δ + β 1∆X + ∆ǫ avec (δ = α2 −

L’effet fixe ui est supprime par ce modele de premieLa regression par les MCO ne sera pas influencee pa

observables et les estimations seront exemptes de bia

(contrairement a l’estimation β 1 de l’equation Y it = βsi l’on ne tient pas compte du biais induit par la vari

Cette methode ne fonctionne que si les effets non

fixes au cours du temps (et si le coefficient de X 1 e



cours du temps).∆Y = δ + β 1∆X + ∆ǫ

Il est egalement important de remarquer que cette m

effet de supprimer toutes les variables constante

temps, par consequent les coefficients de la regres

des effets des variables non observees et des variabl

2.1.1 Exemple

Les donnees portent sur des entreprises sur une pe

annees. Elles contiennent des informations sur les ve

la reconnaissance des syndicats.



On commence par creer les variables dX = X t −ventes et l’existence des syndicats (variable indicat

l’entreprise (le l place devant la variable signifie q

logarithme neperien de la variable sale, lsale).

use "C:\panel2.dta", clear

. sort fcode year

. gen dlsales=lsales-lsales[_n-1] if fcode==fcode[_n-1](119 missing values generated)

. * la commande if permet de s’assurer que les soustractions

> chaque entreprise

. gen dunion=union-union[_n-1] if fcode==fcode[_n-1]




. list year fcode sales dsales union dunion in 91/111

+------------------------------------------------------

| year fcode sales dsales union dunion

|------------------------------------------------------

91. | 1987 410609 1650831 . 0 .

92. | 1988 410609 1817961 167130 0 0

93. | 1989 410609 1642441 -175520 0 0

94. | 1987 410612 7000000 . 0 .

95. | 1988 410612 8500000 1500000 0 0

|------------------------------------------------------

96. | 1989 410612 1.10e+07 2500000 0 097. | 1987 410626 4600000 . 1 .

98. | 1988 410626 4900000 300000 1 0

99. | 1989 410626 5600000 700000 1 0

100. | 1987 410627 2900000 . 1 .

|------------------------------------------------------

101. | 1988 410627 2800000 -100000 1 0

102. | 1989 410627 2900000 100000 1 0

103. | 1987 410629 1100000 . 0 .

104. | 1988 410629 2050000 950000 0 0

105. | 1989 410629 2260000 210000 0 0

|------------------------------------------------------106. | 1987 410635 2.00e+07 . 1 .



107. | 1988 410635 1.80e+07 -2000000 1 0

108. | 1989 410635 1.60e+07 -2000000 1 0

109. | 1987 410636 386807 . 0 .

110. | 1988 410636 734613 347806 0 0

|------------------------------------------------------

111. | 1989 410636 518842 -215771 0 0

+------------------------------------------------------

On cherche ensuite a comprendre la relation en

l’emploi et l’existence de syndicats dans l’entreprisepar deux regressions des MCO en coupe, respective

annees 1988 et 1989.



. reg lsales lempl union if year==1988

Source | SS df MS Numbe

-------------+------------------------------ F( 2

Model | 92.2537446 2 46.1268723 Prob

Residual | 50.224002 112 .448428589 R-squ

-------------+------------------------------ Adj R

Total | 142.477747 114 1.2498048 Root

------------------------------------------------------------

lsales | Coef. Std. Err. t P>|t| [9-------------+----------------------------------------------

lemploy | .8379075 .0645985 12.97 0.000 .7

union | .2754602 .1595039 1.73 0.087 -.0

_cons | 12.03388 .2276874 52.85 0.000 11

------------------------------------------------------------





de 10%) alors qu’il ne l’est pas pour 1989. Par ade la taille de l’entreprise (l’emploi) est plus impor

que pour 1988. Toutefois, on ne peut pas controler

regressions subissent un biais de variables omises.

Pour corriger ce biais, on peut donc refaire la re

cette fois avec les diff erences premieres des variable

une constante (bien que les differences premieres aietoutes les constantes). La constante introduite peut e

comme la variation de valeur de la constante au c

β 1 = β 2. Par ailleurs, l’absence de la constante pos

dans la regression car elle n’impose pas que le Rentre 0 et 1.



. reg dlsales dlemp dunion if year==1989


-------------+------------------------------ F( 1

Model | .901279503 1 .901279503 Prob

Residual | 17.4758117 109 .160328548 R-squ

-------------+------------------------------ Adj R

Total | 18.3770912 110 .167064466 Root

------------------------------------------------------------

dlsales | Coef. Std. Err. t P>|t| [9

-------------+----------------------------------------------dlemp | .0614058 .0258991 2.37 0.019 .0

dunion | (dropped)

_cons | .1041567 .0380128 2.74 0.007 .0

------------------------------------------------------------

Le coefficient pour l’emploi est plus faible que dan

precedentes suggerant que les regressions preceden

aisees en surevaluant l’importance de la variable du fde variables omises.



Il n’est pas possible d’estimer l’effet des syndiccette variables est constante au cours du temps et la

donc gommee lorsque l’on calcule la diff erence prem

L’interet des donnees de panel est la possibilite d’e

des politiques publiques. En effet, si les memes age

apparaissent avant et apres la mise en place d’une p

ce cas les variations dans les estimations des differeauront pour consequences de gommer les effets fixes

influencer les resultats.

Supposons que l’on ait l’equation suivante (W repr

:

ln W 1 = α1+β 1Variable indicatrice pour l’effet+ui+



ln W 2 = α2+β 2Variable indicatrice pour l’effet2+ui

Les coefficients β 1 et β 2 donnent le diff erenciel d’im

ayant ete affecte par la politique sur les salaires a ch

Ainsi la variation de salaire pour le groupe affec

la variable indicatrice = 1) est la diff erence des coef

a-dire l’effet a la periode Apres - l’effet a la periode

(α2 + β 2 + ui) − (α1 + β 1 + ui) = α2 − α1 +

et la variation de salaire pour le groupe de controle

variable indicatrice = 0) est la diff erence des effets

periodes, soit

(α2 + ui) − (α1 + ui) = α2 − α1

et par consequent l’estimateur de la difference des d= Variation des salaires pour le groupe affecte - varia



pour le groupe de controle := (α2 − α1 + β 2 − β 1) − (α2 − α1)= β 2 − β 1et les effets fixes disparaissent.

2.2 Autres techniques

Il existe au moins deux autres techniques qui perme

des estimations de type effets fixes.

La premiere consiste a regrouper les donnees - po

- pour toutes les annees et d’estimer le modele de pa


en incluant directement une variable indicatriceindividu (ou entreprise, region) dans les donnees p



effets fixes. Il s’agit alors d’une estimation par le ables muettes des moindres carres ou least squares d

model LSDV .

Y it = αt + β 1X it + g1D1 + g2D2 + ... + gn−1Dn −

ou Di = 1 pour l’individu i (ou firme ou region) les autres. Le coefficient pour chaque variable indic

valeur moyenne de la variable dependante pour l’indulier net des effets de toutes les autres variables expl



. xi:reg sales i.fcode if fcode<410521

i.fcode _Ifcode_410032-419486(naturally coded; _If

> )


-------------+------------------------------ F( 6

Model | 5.2274e+15 6 8.7123e+14 Prob

Residual | 4.8607e+13 14 3.4719e+12 R-squ

-------------+------------------------------ Adj R

Total | 5.2760e+15 20 2.6380e+14 Root

------------------------------------------------------------sales | Coef. Std. Err. t P>|t| [9

-------------+----------------------------------------------

_Ifco˜410440 | -4.44e+07 1521379 -29.17 0.000 -4

_Ifco˜410495 | -4.57e+07 1521379 -30.06 0.000 -4

_Ifco˜410500 | -2.32e+07 1521379 -15.25 0.000 -2

_Ifco˜410501 | -3.83e+07 1521379 -25.20 0.000 -4

_Ifco˜410513 | -4.46e+07 1521379 -29.33 0.000 -4

_Ifco˜410518 | -4.37e+07 1521379 -28.71 0.000 -4

_Ifco˜410521 | (dropped)


_Ifco˜410529 | (dropped) _Ifco˜410531 | (dropped)



.....



_cons | 4.63e+07 1075778 43.07 0.000 4

------------------------------------------------------------

Ce type de regression est tres couteux en termes de

erte puisqu’il introduit une variable indicatrice par iproduira habituellement des estimations (pour les va

trices, c’est-a-dire les effets fixes) pour lesquelles la

pas minimale si la dimension temporelle du panel es

est souvent le cas).

Pour cette raison, on pref ere a cette methode la reg

groupe - Within-group qui permet d’obtenir des estimance minimale des effets fixes et qui consiste a cal





mean.

Y i = Y i1 + T i2 + . . . + Y iT

T Si on applique le meme principe a toutes les variable

on obtient :

Y i = αi + β 1 X i + ui + ǫi

On peut noter que l’effet fixe n’a pas d’effet moyen. P

Y it − Y i = β 1(X it − X i) + (ǫit − ǫit)

Cette methode d’estimation intra-groupe permet

supprimer les effets fixes (parce que la moyenne de

identique a la valeur de l’effet fixe individuel), et

estimations non biaisees du coefficient β 1.



Neanmoins, cette methode peut poser probleme s’iation pour les variables X entre les individus, et moi

au cours du temps. Meme si les variables ne varie

cours du temps, l’introduction d’effets fixes produi

tions qui sont proches de zero. Les effets fixes sont s

capter le reel impact des variables qui ne varient qu

du temps.Plus generalement, le modele peut s’ecrire :

Si yi = (1/T ) T t=1, etc, et si zi et ui sont des moye

on peut ecrire :

yit − yi = (xit − xi)β + (zi − zi)δ + ui − ui +

ce qui implique queyit = (xit)β + ǫit





que deux periodes.Un des problemes que peut poser la methode d

premiere est qu’elle est susceptible d’engendrer de l’

dans l’erreur de premiere diff erence : si

∆ǫt = ǫt − ǫt−1

alorsCov(∆ǫt, ∆ǫt−1) = Cov(ǫt − ǫt−1, ǫt−1 − ǫt−2)

= Cov(ǫtǫt−1) + Cov(ǫt−1ǫt−2) +

+ Cov(ǫt−1ǫt−1) = 0

Une solution consiste a inclure plus de variables n

dans le temps qui pourraientt etre source d’autocorresont manquantes).



Les estimations intra-groupes peuvent aussi introduAlors le choix entre les deux methodes depend d’ava

bre de periodes de temps disponibles.

Les donnees de panel peuvent egalement entraıner

dans les erreurs. Dans le cas de l’estimation de prem

on peut tester la presence d’heteroscedasticite a l’

de White ou de Breusch-Godfrey sur les residus dpremiere.

3 Les effets aleatoires

L’autre maniere de traiter les effets non observes e

qu’ils sont une partie des residus, alors que les effent les composants fixes non observes comme des v



quantes et non des residus.Y it = αt + β 1X it + ui + ǫit

Y it = αt + β 1X it + ui + ǫit

Y it = αt + β 1X it + ηit avec ηit = ui + ǫ

Plus generalement, on peut ecrire que :

yit = xitβ + ziδ + (ui + ǫit)

ou (ui + ǫit) represente l’erreur composee et ui rep

fets individuels. L’hypothese fondamentale est qu

dividuels ui sont non correles aux regresseurs xit

Le modele aux effets aleatoires utilise cette hypothpour reduire le nombre de parametres a estimer.



echantillon avec des miliers d’individus, un modele aa k+ p coefficients et deux parametres pour la varian

modele a effets fixes a k−1+N coefficients et un par

variance. Les coefficients pour les variables invar

temps sont identifies dans l’estimation a effets al

cette raison, le modele a effets aleatoire identifie

de la population qui decrivent l’heterogeneite au nivPour cette raison les effets aleatoires sont plus effica

fets fixes.

Pour l’estimation du modele a effets aleatoires, o

u et ǫ ont une esperance nulle et :

• qu’ils sont non correles aux regresseurs



• qu’ils sont homoscedastiques• qu’ils sont non correles l’un a l’autre

• qu’il n’y a pas de correlation entre les individ

periodes

L’erreur composee s’ecrit :

ηit = ui + ǫit

L’erreur ηi est constituee d’une partie qui est specifiq

et qui ne varie pas avec le temps ui et une partie

individu et d’une periode a l’autre ǫit.

E [η2it | x∗] = σ2

u + σ2

ǫ

et la covariance conditionnelleE [ηitηis | x

∗] = σ2

u, t = s



La matrice de covariance des T erreurs peut s’ecrireΣ = σ2

ǫ I T + σ2

uιT ι′T

L’estimation des Moindres Carres Generalises s’ecr

β RE = (X∗′Ω−1X∗)−1(X∗′Ω−1y)

=

i

X∗′

i

Σ−1X∗

i

−1

i

X∗′Σ−1yi

Pour obtenir l’estimateur des moindres carres genera

aleatoires, il nous faut definir la matrice de poids

deux parametres θ et λ. De meme que pour les moin

groupes pooled OLS , l’estimateur des moindres car

est une moyenne ponderee des estimateurs within

procedure between consiste a faire la moyenne devidus pour chaque periode par opposition a la proced



plus haut qui fait la moyenne des periodes pour chaqLes poids optimaux s’ecrivent :

λ = σ2

ǫ

σ2ǫ + T σ2

u

= (1 − θ)2

avec

θ = 1 − σǫ

σ2

ǫ + T σ2

uou λ est le poids de la matrice de covariance des e

tween).

• Si λ = 1, une regression regroupee ne sera pas e

donnera trop de poids a la variation between

• Si λ = 1(θ = 0), σ2u = 0 ; autrement dit, s’il n’yaleatoires alors la regression regroupee des MCO



• Si λ = 0, θ = 1, l’estimateur des effets fixes est a• Si λ = 0, l’estimateur des effets fixes ne sera pa

la mesure ou il ne donne aucun poids a l’estimate

La commande xtreg avec l’option re estime le m

des moindres carres generalises et donne une estim

de σ2

u

ainsi que de rho, la fraction de la variance tot

L’avantage des effets aleatoires est qu’ils permet

l’effet des variables qui sont constantes a travers le tEn reprenant l’exemple precedent, on fait une reg

fets aleatoires a l’aide de l’option re. On note que lploi est plus significative que dans l’estimation des eailleurs, on peut noter qu’il n’y a pas d’estimation p



. xtreg lsales lemp, re

Random-effects GLS regression Number of ob

Group variable (i): fcode Number of gr

R-sq: within = 0.3029 Obs per grou

between = 0.7162

overall = 0.6901

Random effects u_i ˜ Gaussian Wald chi2(1)

corr(u_i, X) = 0 (assumed) Prob > chi2

------------------------------------------------------------

lsales | Coef. Std. Err. z P>|z| [9

-------------+----------------------------------------------

lemploy | .8750523 .0446621 19.59 0.000 .7

_cons | 11.96331 .1657475 72.18 0.000 11

-------------+----------------------------------------------

sigma_u | .55482492

sigma_e | .28530622

rho | .79087026 (fraction of variance due to u_i

------------------------------------------------------------



4 Effets fixes ou effets aleatoires

Le choix des effets fixes par rapport aux effets ale

du fait que l’on pense que les variables non obser

ceptibles d’ etre correlees avec les variables explic

pense qu’elles le sont alors il faut utiliser des estim

fixes, sinon on utilise les effets aleatoires.Si les variables non observees sont correlees aux

que l’on utilise les effets aleatoires au lieu des effets

mations seront biaisees car

Cov(X, u) = Cov(X it, ui + ǫit) = 0

ce qui induit un biais d’endogeneite.





Le test de Hausman s’appuie donc sur une comparistions, permettant ainsi les variations d’echantillon.

tions sont suffisamment diff erentes, on conclut que l

effets aleatoires n’est pas tenable.



. xtreg lsale lemp union, fe

Fixed-effects (within) regression Number of ob



between = 0.7162

overall = 0.6901

F(1,229)

corr(u_i, Xb) = 0.1611 Prob > F

------------------------------------------------------------

lsales | Coef. Std. Err. t P>|t| [9

-------------+----------------------------------------------

lemploy | .8092035 .0811145 9.98 0.000 .6

union | (dropped)

_cons | 12.19437 .2850389 42.78 0.000 11

-------------+----------------------------------------------

sigma_u | .58411543

sigma_e | .28530622


------------------------------------------------------------F test that all u_i=0: F(114, 229) = 11.97



. est store fixed



. xtreg lsale lemp union

Random-effects GLS regression Number of ob



between = 0.7226

overall = 0.6962

Random effects u_i ˜ Gaussian Wald chi2(2)

corr(u_i, X) = 0 (assumed) Prob > chi2

------------------------------------------------------------

lsales | Coef. Std. Err. z P>|z| [9

-------------+----------------------------------------------

lemploy | .8529599 .046184 18.47 0.000

union | .2383114 .1350074 1.77 0.078 -.0

_cons | 11.98902 .1654712 72.45 0.000 1

-------------+----------------------------------------------

sigma_u | .55061581

sigma_e | .28530622


------------------------------------------------------------



Les effets fixes permettent la correlation avec les veffets aleatoires ne le permettent pas.



. hausman fixed

---- Coefficients ----

| (b) (B) (b-B) sq

| fixed . Difference

-------------+----------------------------------------------

lemploy | .8092035 .8529599 -.0437564

------------------------------------------------------------

b = consistent under Ho and Ha; o

B = inconsistent under Ha, efficient under Ho; o

Test: Ho: difference in coefficients not systematic

chi2(1) = (b-B)’[(V_b-V_B)ˆ(-1)](b-B)

= 0.43

Prob>chi2 = 0.5117

Dans notre cas, il n’est pas possible de rejeter l’h

les deux estimations produisent des resultats diff erenque les effets aleatoires sont plus appropries.




Les modèles de panel

Vous disposez d’un échantillon de 545 hommes sur une durée allant de 1980 à 1987. Les

variables sont les suivantes :

use "wagepan.dta"

. describe lwage exper union married hisp black educ expersq

storage display valuevariable name type format label variable label

-------------------------------------------------------------------------------

lwage float %9.0g log(wage)

exper byte %9.0g labor mkt experience

union byte %9.0g =1 if in union

married byte %9.0g =1 if married

hisp byte %9.0g =1 if Hispanic

black byte %9.0g =1 if black

educ byte %9.0g years of schooling

expersq int %9.0g exper^2

. summarize lwage exper union married hisp black educ expersq


-------------+--------------------------------------------------------

lwage | 4360 1.649147 .5326094 -3.579079 4.05186

exper | 4360 6.514679 2.825873 0 18

union | 4360 .2440367 .4295639 0 1

married | 4360 .4389908 .4963208 0 1

hisp | 4360 .1559633 .3628622 0 1

-------------+--------------------------------------------------------

black | 4360 .1155963 .3197769 0 1

educ | 4360 11.76697 1.746181 3 16

expersq | 4360 50.42477 40.78199 0 324

1. On vous propose une régression des MCO pour les deux premières années. Quel problème

est engendré lorsque l’on utilise l’on regroupe - pooled -des données de panel et qu’on lesestime par la méthodes des moindres carrés ordinaires ? Quelles solutions peuvent êtreenvisagées.

. reg lwage exper expersq year married black hisp if year<1982


-------------+------------------------------ F( 6, 1083) = 6.77

Model | 11.7925648 6 1.96542747 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0308

Total | 326.183921 1089 .299526098 Root MSE = .53879

------------------------------------------------------------------------------

lwage | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

1



-------------+----------------------------------------------------------------

exper | .0965928 .0326945 2.95 0.003 .032441 .1607446expersq | -.009292 .0032182 -2.89 0.004 -.0156067 -.0029773

year | .0729724 .0351822 2.07 0.038 .0039394 .1420053

married | .1473654 .0397022 3.71 0.000 .0694633 .2252674

black | -.0556556 .0521995 -1.07 0.287 -.1580792 .046768

hisp | -.0475284 .046154 -1.03 0.303 -.1380898 .0430331

_cons | -143.2867 69.65456 -2.06 0.040 -279.9598 -6.613502

------------------------------------------------------------------------------

2. Soit une régression par la méthode des moindres carrés ordinaires avec introduction de

variables indicatrices pour chaque individu -least squares dummy variable LSDV- pour

les deux premières années. Comparez cette régression avec la précédente. Expliquez pour-

quoi black et hisp sont éliminés de la régression. En quoi consiste le test du Fisher en bas

du tableau ?

. areg lwage exper expersq year married black hisp if year<1982, absorb(id)

Linear regression, absorbing indicators Number of obs = 1090

F( 3, 542) = 9.15

Prob > F = 0.0000

R-squared = 0.7316

Adj R-squared = 0.4606

Root MSE = .40194

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

exper | .2133325 .0575233 3.71 0.000 .1003365 .3263285

expersq | - .0135697 .0073653 -1.84 0.066 -.0280377 .0008982

year | (dropped)

married | .0140556 .0709368 0.20 0.843 -.1252891 .1534004

black | (dropped)

hisp | (dropped)

_cons | .9081648 .110831 8.19 0.000 .6904539 1.125876

-------------+----------------------------------------------------------------

id | F(544, 542) = 2.581 0.000 (545 categories)

. list id year id1 id2 lwage exper black hisp

+-------------------------------------------------------------+

| id year id1 id2 lwage exper black hisp |

|-------------------------------------------------------------|

1. | 13 1980 1 0 1.19754 1 0 0 |

2. | 13 1981 1 0 1.85306 2 0 0 |

3. | 13 1982 1 0 1.344462 3 0 0 |

4. | 13 1983 1 0 1.433213 4 0 0 |

5. | 13 1984 1 0 1.568125 5 0 0 |

|-------------------------------------------------------------|

6. | 13 1985 1 0 1.699891 6 0 0 |

7. | 13 1986 1 0 -.7202626 7 0 0 |

8. | 13 1987 1 0 1.669188 8 0 0 |

9. | 17 1980 0 1 1.675962 4 0 0 |

10. | 17 1981 0 1 1.518398 5 0 0 |

|-------------------------------------------------------------|

11. | 17 1982 0 1 1.559191 6 0 0 |

2



12. | 17 1983 0 1 1.72541 7 0 0 |

13. | 17 1984 0 1 1.622022 8 0 0 |14. | 17 1985 0 1 1.608588 9 0 0 |

15. | 17 1986 0 1 1.572385 10 0 0 |

|-------------------------------------------------------------|

16. | 17 1987 0 1 1.820334 11 0 0 |

3. Soit la régression par les effets fixes (la méthode within). Y a t-il une différence avec larégression précédente ?

. xtreg lwage exper expersq year married black hisp if year<1982, fe i(id)

warning: existing panel variable is not id

Fixed-effects (within) regression Number of obs = 1090

Group variable: id Number of groups = 545

R-sq: within = 0.0482 Obs per group: min = 2

between = 0.0075 avg = 2.0

overall = 0.0127 max = 2

F(3,542) = 9.15

corr(u_i, Xb) = -0.2177 Prob > F = 0.0000

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

exper | .2133325 .0575233 3.71 0.000 .1003365 .3263285

expersq | - .0135697 .0073653 -1.84 0.066 -.0280377 .0008982

year | (dropped)

married | .0140556 .0709368 0.20 0.843 -.1252891 .1534004black | (dropped)

hisp | (dropped)

_cons | .9081648 .110831 8.19 0.000 .6904539 1.125876

-------------+----------------------------------------------------------------

sigma_u | .47563131

sigma_e | .40194096

rho | .58338275 (fraction of variance due to u_i)

------------------------------------------------------------------------------

F test that all u_i=0: F(544, 542) = 2.58 Prob > F = 0.0000

xtset id year

panel variable: id (strongly balanced)

time variable: year, 1980 to 1987

delta: 1 unit

. gen dexp = d.exper

. gen dexp2 = d.expersq

. gen dyear = d.year

. gen dmarr = d.married

. gen dblack = d.black

. gen dhisp = d.hisp

. gen dlwage = d.lwage

. list id dlwage exper dexp dexp2 dyear dmarr dblack, nol noo nod

+-------------------------------------------------------------------+

| id dlwage exper dexp dexp2 dyear dmarr dblack |

3



|-------------------------------------------------------------------|

| 13 . 1 . . . . . || 13 .6555198 2 1 3 1 0 0 |

| 13 -.5085983 3 1 5 1 0 0 |

| 13 .0887517 4 1 7 1 0 0 |

| 13 .1349118 5 1 9 1 0 0 |

|-------------------------------------------------------------------|

| 13 .1317658 6 1 11 1 0 0 |

| 13 -2.420154 7 1 13 1 0 0 |

| 13 2.389451 8 1 15 1 0 0 |

| 17 . 4 . . . . . |

| 17 -.1575643 5 1 9 1 0 0 |

|-------------------------------------------------------------------|

| 17 .0407923 6 1 11 1 0 0 |

. reg dlwage dexp dexp2 dyear dmarr dblack dhisp if year< 1982


-------------+------------------------------ F( 2, 542) = 1.71

Model | 1.10459105 2 .552295523 Prob > F = 0.1820


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0026

Total | 176.23188 544 .323955662 Root MSE = .56843

------------------------------------------------------------------------------

dlwage | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

dexp | (dropped)dexp2 | -.0135697 .0073653 -1.84 0.066 -.0280377 .0008982

dyear | (dropped)

dmarr | .0140556 .0709368 0.20 0.843 -.1252891 .1534004

dblack | (dropped)

dhisp | (dropped)

_cons | .2133325 .0575233 3.71 0.000 .1003365 .3263285

------------------------------------------------------------------------------



-------------+------------------------------ F( 2, 1087) = 3.51

Model | 1.85609505 2 .928047523 Prob > F = 0.0303


Total | 289.537845 1089 .265874973 Root MSE = .51445

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

dexp | (dropped)

dexp2 | -.0108202 .0045143 -2.40 0.017 -.0196779 -.0019625

dyear | (dropped)

dmarr | .0490769 .0478281 1.03 0.305 -.0447689 .1429228

dblack | (dropped)

dhisp | (dropped)

_cons | .1717418 .0398248 4.31 0.000 .0935996 .2498839

4



------------------------------------------------------------------------------

. xtreg lwage exper expersq year married black hisp if year<1983, fe i(id)




between = 0.0011 avg = 3.0


F(3,1087) = 24.05

corr(u_i, Xb) = -0.3164 Prob > F = 0.0000

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

exper | (dropped)

expersq | -.0096686 .0033856 -2.86 0.004 -.0163116 -.0030256

year | .1612026 .0298573 5.40 0.000 .1026182 .2197871

married | .0640683 .0446676 1.43 0.152 -.0235763 .1517129

black | (dropped)

hisp | (dropped)

_cons | -317.6788 59.08473 -5.38 0.000 -433.6118 -201.7458

-------------+----------------------------------------------------------------

sigma_u | .45922815

sigma_e | .37488352


------------------------------------------------------------------------------F test that all u_i=0: F(544, 1087) = 3.80 Prob > F = 0.0000

. reg lwage exper expersq year married black hisp if year<1983


-------------+------------------------------ F( 6, 1628) = 13.84

Model | 22.6120652 6 3.76867753 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0450

Total | 465.896202 1634 .285126194 Root MSE = .52181

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------exper | .0851297 .0262017 3.25 0.001 .0337371 .1365223

expersq | -.0080752 .0023391 -3.45 0.001 -.0126632 -.0034873

year | .0548031 .0186986 2.93 0.003 .0181273 .0914789

married | .1623551 .0299007 5.43 0.000 .1037072 .2210029

black | -.0867096 .04137 -2.10 0.036 -.1678536 -.0055657

hisp | -.0323874 .0364623 -0.89 0.375 -.1039053 .0391306

_cons | -107.2864 37.01138 -2.90 0.004 -179.8813 -34.69145

------------------------------------------------------------------------------

. predict resid if e(sample), resid

. gen resid1 =l.resid

. reg resid resid1 if e(sample)

5




-------------+------------------------------ F( 1, 1088) = 391.01Model | 73.883776 1 73.883776 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.2637

Total | 279.466265 1089 .256626506 Root MSE = .43469

------------------------------------------------------------------------------

resid | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

resid1 | .4844822 .0245009 19.77 0.000 .4364079 .5325566

_cons | .0016788 .0131666 0.13 0.899 -.024156 .0275136

------------------------------------------------------------------------------

4. En quoi consiste la régression des panels à effets aléatoires. Quelle différence faites-vous

avec les effets fixes ?

. xtreg lwage exper expersq year married black hisp if year<1982, re

Random-effects GLS regression Number of obs = 1090



between = 0.0327 avg = 2.0


Random effects u_i ~ Gaussian Wald chi2(6) = 43.04

corr(u_i, X) = 0 (assumed) Prob > chi2 = 0.0000

------------------------------------------------------------------------------

lwage | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

exper | .1051732 .0366117 2.87 0.004 .0334156 .1769308

expersq | -.0100233 .0035787 -2.80 0.005 -.0170374 -.0030093

year | .0725566 .0287777 2.52 0.012 .0161535 .1289598

married | .1179335 .042232 2.79 0.005 .0351603 .2007067

black | -.0597944 .0627198 -0.95 0.340 -.1827229 .0631342

hisp | -.0458667 .0554806 -0.83 0.408 -.1546067 .0628732

_cons | -142.475 56.95574 -2.50 0.012 -254.1062 -30.84384

-------------+----------------------------------------------------------------

sigma_u | .35906291

sigma_e | .40194096

rho | .44383424 (fraction of variance due to u_i)------------------------------------------------------------------------------

5. On vous propose un test de Hausman pour la régression sur les deux premières années.Analysez le résultat ?

. quietly xtreg lwage exper expersq year married black hisp if year<1982, fe

. est store fixed

. quietly xtreg lwage exper expersq year married black hisp if year<1982, re

. hausman fixed


6



| (b) (B) (b-B) sqrt(diag(V_b-V_B))

| fixed . Difference S.E.-------------+----------------------------------------------------------------

exper | .2133325 .1051732 .1081593 .044368

expersq | -.0135697 -.0100233 -.0035464 .0064374

married | .0140556 .1179335 -.1038778 .0569955

------------------------------------------------------------------------------

b = consistent under Ho and Ha; obtained from xtreg

B = inconsistent under Ha, efficient under Ho; obtained from xtreg


chi2(3) = (b-B)’[(V_b-V_B) (-1)](b-B)

= 19.93

Prob>chi2 = 0.0002

6. En quoi consiste le test de Breusch et Pagan dans le cas des données de panel ?


. xttest0

Breusch and Pagan Lagrangian multiplier test for random effects

lwage[id,t] = Xb + u[id] + e[id,t]

Estimated results:

| Var sd = sqrt(Var)

---------+-----------------------------

lwage | .2995261 .5472898e | .1615565 .401941

u | .1289262 .3590629

Test: Var(u) = 0

chi2(1) = 105.00

Prob > chi2 = 0.0000

7. Que se passe-t-il pour les coefficients lorsque les périodes de temps augmentent ?

. xtreg lwage exper expersq year married black hisp, fe




between = 0.0014 avg = 8.0


F(3,3812) = 267.93

corr(u_i, Xb) = -0.1289 Prob > F = 0.0000

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

exper | .1169371 .0084385 13.86 0.000 .1003926 .1334815

expersq | -.0043329 .0006066 -7.14 0.000 -.0055222 -.0031436

year | (dropped)

married | .0473384 .0183445 2.58 0.010 .0113725 .0833043

7



black | (dropped)

hisp | (dropped) _cons | 1.085044 .026295 41.26 0.000 1.033491 1.136598

-------------+----------------------------------------------------------------

sigma_u | .40387668

sigma_e | .35204264


------------------------------------------------------------------------------

F test that all u_i=0: F(544, 3812) = 9.33 Prob > F = 0.0000

. xtreg lwage exper expersq year married black hisp, re




between = 0.0482 avg = 8.0




------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

exper | .0439292 .0137259 3.20 0.001 .017027 .0708315

expersq | -.0042308 .0005974 -7.08 0.000 -.0054017 -.0030599

year | .0703197 .0103635 6.79 0.000 .0500075 .0906319

married | .0699282 .0169834 4.12 0.000 .0366413 .1032152black | -.1293855 .0520067 -2.49 0.013 -.2313167 -.0274542

hisp | -.0333494 .0459016 -0.73 0.468 -.123315 .0566161

_cons | -137.9134 20.49045 -6.73 0.000 -178.074 -97.75286

-------------+----------------------------------------------------------------

sigma_u | .35927864

sigma_e | .35204264


------------------------------------------------------------------------------

8




Les modèles de panel

Vous disposez d’un échantillon de 545 hommes sur une durée allant de 1980 à 1987. Les

variables sont les suivantes :

use "wagepan.dta"

. describe lwage exper union married hisp black educ expersq

storage display valuevariable name type format label variable label

-------------------------------------------------------------------------------

lwage float %9.0g log(wage)

exper byte %9.0g labor mkt experience

union byte %9.0g =1 if in union

married byte %9.0g =1 if married

hisp byte %9.0g =1 if Hispanic

black byte %9.0g =1 if black

educ byte %9.0g years of schooling

expersq int %9.0g exper^2

. summarize lwage exper union married hisp black educ expersq


-------------+--------------------------------------------------------

lwage | 4360 1.649147 .5326094 -3.579079 4.05186

exper | 4360 6.514679 2.825873 0 18

union | 4360 .2440367 .4295639 0 1

married | 4360 .4389908 .4963208 0 1

hisp | 4360 .1559633 .3628622 0 1

-------------+--------------------------------------------------------

black | 4360 .1155963 .3197769 0 1

educ | 4360 11.76697 1.746181 3 16

expersq | 4360 50.42477 40.78199 0 324

– On vous propose une régression des MCO pour les deux premières années. Quel pro-

blème est engendré lorsque l’on utilise l’on regroupe - pooled -des données de panel etqu’on les estime par la méthodes des moindres carrés ordinaires ? Quelles solutionspeuvent être envisagées.. reg lwage exper expersq year married black hisp if year<1982


-------------+------------------------------ F( 6, 1083) = 6.77

Model | 11.7925648 6 1.96542747 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0308

Total | 326.183921 1089 .299526098 Root MSE = .53879

------------------------------------------------------------------------------


1



-------------+----------------------------------------------------------------

exper | .0965928 .0326945 2.95 0.003 .032441 .1607446expersq | -.009292 .0032182 -2.89 0.004 -.0156067 -.0029773

year | .0729724 .0351822 2.07 0.038 .0039394 .1420053

married | .1473654 .0397022 3.71 0.000 .0694633 .2252674

black | -.0556556 .0521995 -1.07 0.287 -.1580792 .046768

hisp | -.0475284 .046154 -1.03 0.303 -.1380898 .0430331

_cons | -143.2867 69.65456 -2.06 0.040 -279.9598 -6.613502

------------------------------------------------------------------------------

Lorsque l’on utilise les moindres carrés ordinaires pour estimer des panels, on ne peut pas

contrôler l’hétérogénéité non observée. Par conséquent, les résultats sont biaisés. Trois

méthodes permettent de contrôler l’hétérogénéité non observées :

– LSDV : Si on introduit une variable indicatrice par individu, il est possible de contrôler

l’hétérogénéité non observée. Chaque variable indicatrice est une proxi pour les effetsnon observés et invariants avec le temps.

– Within : Une autre manière d’obtenir des effets fixes est de procéder à une régression

within. Il s’agit alors d’une régression des MCO de l’écart pour chaque individu de

y à sa moyenne intra-groupe sur l’écart de chaque variable pour chaque individu à sa

moyenne (cf cours).

– Différence : Enfin, on peut utiliser la méthode de la différence première pour éliminer

l’effet de l’hétérogénéité individuelle non observée

– Soit une régression par la méthode des moindres carrés ordinaires avec introduc-

tion de variables indicatrices pour chaque individu -least squares dummy variable

LSDV- pour les deux premières années. Comparez cette régression avec la précé-

dente. Expliquez pourquoi black et hisp sont éliminés de la régression. En quoiconsiste le test du Fisher en bas du tableau ?. areg lwage exper expersq year married black hisp if year<1982, absorb(id)

Linear regression, absorbing indicators Number of obs = 1090

F( 3, 542) = 9.15

Prob > F = 0.0000

R-squared = 0.7316

Adj R-squared = 0.4606

Root MSE = .40194

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

exper | .2133325 .0575233 3.71 0.000 .1003365 .3263285

expersq | - .0135697 .0073653 -1.84 0.066 -.0280377 .0008982

year | (dropped)

married | .0140556 .0709368 0.20 0.843 -.1252891 .1534004

black | (dropped)

hisp | (dropped)

_cons | .9081648 .110831 8.19 0.000 .6904539 1.125876

-------------+----------------------------------------------------------------

id | F(544, 542) = 2.581 0.000 (545 categories)

Les variables qui sont constantes à travers le temps sont totalement colinéaires avec lesvariables indicatrices spécifiques aux individus et ne peuvent donc pas être estimées. Lavariable married n’est plus significative. Ceci s’explique par le fait que seule une petitepartie des individus ont changé de statut marital par conséquent, la variable n’est pas

2



éliminée comme pour les variables qui ne varient pas dans le temps mais sa variation

concerne si peu de personnes qu’elle ne ressort pas comme significative (l’écart-type estbeaucoup plus élevé).. list id year id1 id2 lwage exper black hisp

+-------------------------------------------------------------+

| id year id1 id2 lwage exper black hisp |

|-------------------------------------------------------------|

1. | 13 1980 1 0 1.19754 1 0 0 |

2. | 13 1981 1 0 1.85306 2 0 0 |

3. | 13 1982 1 0 1.344462 3 0 0 |

4. | 13 1983 1 0 1.433213 4 0 0 |

5. | 13 1984 1 0 1.568125 5 0 0 |

|-------------------------------------------------------------|

6. | 13 1985 1 0 1.699891 6 0 0 |

7. | 13 1986 1 0 -.7202626 7 0 0 |

8. | 13 1987 1 0 1.669188 8 0 0 |

9. | 17 1980 0 1 1.675962 4 0 0 |

10. | 17 1981 0 1 1.518398 5 0 0 |

|-------------------------------------------------------------|

11. | 17 1982 0 1 1.559191 6 0 0 |

12. | 17 1983 0 1 1.72541 7 0 0 |

13. | 17 1984 0 1 1.622022 8 0 0 |

14. | 17 1985 0 1 1.608588 9 0 0 |

15. | 17 1986 0 1 1.572385 10 0 0 |

|-------------------------------------------------------------|

16. | 17 1987 0 1 1.820334 11 0 0 |

Le test du Fisher en bas du tableau permet de tester la significativité globale des effets

fixes individuels (il y a q = 544 contraintes).

H 0 : β id1 = β id2 = ... = β id544

car id545 devient la constante.

F (q, n − k − 1) = (SC Rc − SC R)/q

SCR/n− k

– Soit la régression par les effets fixes (la méthode within) et la régression à différencepremière pour deux années (< 1982) et trois années (< 1983). Y a t-il une différenceavec la régression précédente ?. xtreg lwage exper expersq year married black hisp if year<1982, fe i(id)

warning: existing panel variable is not id




between = 0.0075 avg = 2.0


F(3,542) = 9.15

corr(u_i, Xb) = -0.2177 Prob > F = 0.0000

------------------------------------------------------------------------------


3





------------------------------------------------------------------------------dlwage | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

dexp | (dropped)

dexp2 | -.0135697 .0073653 -1.84 0.066 -.0280377 .0008982

dyear | (dropped)

dmarr | .0140556 .0709368 0.20 0.843 -.1252891 .1534004

dblack | (dropped)

dhisp | (dropped)

_cons | .2133325 .0575233 3.71 0.000 .1003365 .3263285

------------------------------------------------------------------------------

On constate que les coefficients pour la méthode des effets fixes (within) et la méthode

des différences premières sont strictement identiques. Les deux méthodes sont donc iden-

tiques sur deux périodes.. xtreg lwage exper expersq year married black hisp if year<1983, fe i(id)




between = 0.0011 avg = 3.0


F(3,1087) = 24.05

corr(u_i, Xb) = -0.3164 Prob > F = 0.0000

------------------------------------------------------------------------------lwage | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

exper | (dropped)

expersq | -.0096686 .0033856 -2.86 0.004 -.0163116 -.0030256

year | .1612026 .0298573 5.40 0.000 .1026182 .2197871

married | .0640683 .0446676 1.43 0.152 -.0235763 .1517129

black | (dropped)

hisp | (dropped)

_cons | -317.6788 59.08473 -5.38 0.000 -433.6118 -201.7458

-------------+----------------------------------------------------------------

sigma_u | .45922815

sigma_e | .37488352


------------------------------------------------------------------------------F test that all u_i=0: F(544, 1087) = 3.80 Prob > F = 0.0000



-------------+------------------------------ F( 2, 1087) = 3.51

Model | 1.85609505 2 .928047523 Prob > F = 0.0303


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0046

Total | 289.537845 1089 .265874973 Root MSE = .51445

------------------------------------------------------------------------------


5



-------------+----------------------------------------------------------------

dexp | (dropped)dexp2 | -.0108202 .0045143 -2.40 0.017 -.0196779 -.0019625

dyear | (dropped)

dmarr | .0490769 .0478281 1.03 0.305 -.0447689 .1429228

dblack | (dropped)

dhisp | (dropped)

_cons | .1717418 .0398248 4.31 0.000 .0935996 .2498839

------------------------------------------------------------------------------

Lorsque l’on compare la méthode par les effets fixes et par les différences premières pour

trois périodes, les coefficients ne sont plus identiques. Autrement dit, lorsque les périodes

sont supérieures à deux T > 2, les deux méthodes ne donnent plus des résultats similaires.. reg lwage exper expersq year married black hisp if year<1983


-------------+------------------------------ F( 6, 1628) = 13.84

Model | 22.6120652 6 3.76867753 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0450

Total | 465.896202 1634 .285126194 Root MSE = .52181

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

exper | .0851297 .0262017 3.25 0.001 .0337371 .1365223

expersq | -.0080752 .0023391 -3.45 0.001 -.0126632 -.0034873

year | .0548031 .0186986 2.93 0.003 .0181273 .0914789married | .1623551 .0299007 5.43 0.000 .1037072 .2210029

black | -.0867096 .04137 -2.10 0.036 -.1678536 -.0055657

hisp | -.0323874 .0364623 -0.89 0.375 -.1039053 .0391306

_cons | -107.2864 37.01138 -2.90 0.004 -179.8813 -34.69145

------------------------------------------------------------------------------

. predict resid if e(sample), resid // résidu à la période t

. gen resid1 =l.resid // rédidus à la période t-1

. reg resid resid1 if e(sample)


-------------+------------------------------ F( 1, 1088) = 391.01


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.2637

Total | 279.466265 1089 .256626506 Root MSE = .43469

------------------------------------------------------------------------------

resid | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

resid1 | .4844822 .0245009 19.77 0.000 .4364079 .5325566

_cons | .0016788 .0131666 0.13 0.899 -.024156 .0275136

------------------------------------------------------------------------------

On constate que l’on peut mettre en évidence de l’autocorrélation entre les résidus pour

les données de panel. De même on pourrait mettre en évidence de l’hétéroscédasticité.

6



Ceci indique que les simples modèles de panels ne sont pas suffisants et qu’il faudrait

utiliser des méthodes qui permettent de corriger l’autocorrélation et l’hétéroscédasticité,ce qui dépasse le cadre de ce cours.

– En quoi consiste la régression des panels à effets aléatoires. Quelle différence faites-

vous avec les effets fixes ?

La méthode d’estimation des panels à effets fixes suppose que l’hétérogénéité non ob-

servées ui est corrélée à une ou plusieurs variables explicatives du modèle. Les effets

aléatoires supposent que les effets non observés ne sont pas corrélés aux variables du mo-

dèle mais qu’ils varient de manière aléatoire d’un individu à l’autre et que par conséquent

ils peuvent être considérés comme des résidus.

eit = ui + vit

Un des avantages des effets aléatoires est qu’ils permettent d’estimer l’impact des va-riables qui sont constantes dans le temps.La méthode d’estimation est de type des moindres carrés généralisés (GLS - Generalized

Least Squares. On peut noter que les coefficients sont plus proches de ceux obtenus parles MCO (regroupement des données - pooled -).. xtreg lwage exper expersq year married black hisp if year<1982, re




between = 0.0327 avg = 2.0




------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

exper | .1051732 .0366117 2.87 0.004 .0334156 .1769308

expersq | -.0100233 .0035787 -2.80 0.005 -.0170374 -.0030093

year | .0725566 .0287777 2.52 0.012 .0161535 .1289598

married | .1179335 .042232 2.79 0.005 .0351603 .2007067

black | -.0597944 .0627198 -0.95 0.340 -.1827229 .0631342

hisp | -.0458667 .0554806 -0.83 0.408 -.1546067 .0628732

_cons | -142.475 56.95574 -2.50 0.012 -254.1062 -30.84384

-------------+----------------------------------------------------------------sigma_u | .35906291

sigma_e | .40194096


------------------------------------------------------------------------------

– On vous propose un test de Hausman pour la régression sur les deux premières an-nées. Analysez le résultat ?Sous l’hypothèse nulle que les erreurs sont non corrélées aux variables explicatives, lesestimateurs des effets fixes et des effets aléatoires sont tous deux convergents (consistent estimator mais les effets aléatoires sont plus efficaces (à variance minimale) dans la me-sure où ils tiennent compte de la structure des erreurs.Si l’hypothèse nulle est rejetée alors seuls les effets fixes sont convergents.Par conséquent, le test consiste à comparer les estimations. Si les estimations sont suffi-

samment différentes, on en conclut que les effets aléatoires ne sont pas tenables.

7



Le test ne porte que sur la comparaison des estimations pour les variables qui varient à

travers le temps. Dans notre cas, il y en a trois, par conséquent, le test suit un chi2 à 3degrés de liberté.Dans notre cas, on rejette l’hypothèse nulle de non corrélation entre x et le terme d’erreur.Par conséquent, les effets fixes sont la technique d’estimation préférée ici.. quietly xtreg lwage exper expersq year married black hisp if year<1982, fe

. est store fixed


. hausman fixed


| (b) (B) (b-B) sqrt(diag(V_b-V_B))

| fixed . Difference S.E.

-------------+----------------------------------------------------------------

exper | .2133325 .1051732 .1081593 .044368

expersq | -.0135697 -.0100233 -.0035464 .0064374

married | .0140556 .1179335 -.1038778 .0569955

------------------------------------------------------------------------------

b = consistent under Ho and Ha; obtained from xtreg

B = inconsistent under Ha, efficient under Ho; obtained from xtreg


chi2(3) = (b-B)’[(V_b-V_B)^(-1)](b-B)

= 19.93

Prob>chi2 = 0.0002– En quoi consiste le test de Breusch et Pagan dans le cas des données de panel ?

Ce test permet de tester s’il y a une composante spécifique à l’individu dans le termed’erreur des MCO. Selon l’hypothèse nulle H 0 : V ar(u) = 0, il n’y a pas de composantespécifique à l’individu dans le terme d’erreur. Si on rejette cette hypothèse, ça impliqueque l’on utilise une régression par les effets aléatoires.. quietly xtreg lwage exper expersq year married black hisp if year<1982, re

. xttest0

Breusch and Pagan Lagrangian multiplier test for random effects

lwage[id,t] = Xb + u[id] + e[id,t]

Estimated results:

| Var sd = sqrt(Var)

---------+-----------------------------

lwage | .2995261 .5472898

e | .1615565 .401941

u | .1289262 .3590629

Test: Var(u) = 0

chi2(1) = 105.00

Prob > chi2 = 0.0000

– Que se passe-t-il pour les coefficients lorsque les périodes de temps augmentent ?Lorsque T ⇒ ∞, les coefficients des effets fixes et des effets aléatoires convergent. Lecomposant spécifique à l’individu de l’erreur composé devient plus grand et θ ⇒ 0. On

8








Exam d’Econométrie M1 Session 1 Janvier 2007 A. Plunket

Correction

Les équations simultanées

exemple pris du WOOLDRIDGE p.537

On souhaite étudier l’offre de travail des femmes mariées de la population activive. Afin de

modéliser la fonction de d’offre, on écrit l’offre de salaire en fonction des heures de travail etdes variables de productivité habituelle. Avec la condition d’équilibre imposée, les équations

structurelles s’écrivent :

hours = β 0 + β 1 log(wage) + β 2educ + β 3age + β 4kids6 + β 5nwife + u1 (1)

log(wage) = β 6 + β 7hours + β 8educ + β 9exper + β 10exper2 + u2 (2)

La première equation est une équation d’offre Les variables sont les suivantes :

• hours : nombre d’heures de travail

• educ : nombre d’années de scolarité

• exper : nombre d’années de travail

• age : age de la femme en années

• kidslt6 : nombre d’enfants de moins de 6 ans

• nwifeinc : est le revenu hors travaille de la femme (inclus les revenus du mari)

• wage : revenu du travail

1. Expliquez pourquoi dans le cas des équations simultanées, il n’est pas possible d’utiliser

la méthode des moindres carrés ordinaires. à cause du biais de simultanéité, cf trans-parents du cours

2. Les équations 1 et 2 sont elles identifiées? Justifiez votre réponse.

Les équations sont identifiées parce qu’elles respectent la condition de rang: il y a 7

variables exogènes et 5 coeff à estimer dans l’équation 1 et 5 dans l’équation 2.

3. Expliquez ce qu’est une équation structurelle et à quoi elle sert pour l’estimation d’un

système d’équation? cf cours

4. Quelles sont les variables endogènes et quelles sont les variables prédéterminées du sys-

tème? hours et log(wage) sont les variables endogènes, toutes les autres sont les vari-

ables prédéterminées

1



5. Vous disposez d’un certain nombre de régression ci-après. Compte tenu de votre réponse

à la question précédente, indiquez quelle est la régression qui convient entre REGRES-SION 1 REGRESSION 2. Justifiez votre réponse. Il s’agit de la régression 2 car entre

parenthèse, il doit y avoir les variables instrumentales de la première équation hours

qui n’est pas estimée ici

6. Analysez les résultats. Expliquez si les variables ont les signes attendus, s’ils sont ex-

plicatifs ou non, si le modèle est globalement explicatif et à quel seuil de significativité.

Seules deux variables sont significatives, educ au seuil de 1% et expr au seuil de 10%.

Les signes attendus sont bons puisque educ et expr sont supposés avoir un impact

positif sur le salaire. Le modèle est globalement significatif au seuil de 1%.

-----> REGRESSION 1

. ivreg lwage (hours = age kidslt6) educ exper expersq nwifeinc

Instrumental variables (2SLS) regression


-------------+------------------------------ F( 5, 422) = 15.52

Model | 24.9437217 5 4.98874434 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1012

Total | 223.327451 427 .523015108 Root MSE = .68564

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------hours | .0001728 .0002584 0.67 0.504 -.0003352 .0006808

educ | .104068 .0161015 6.46 0.000 .072419 .1357171

exper | .0329624 .0196933 1.67 0.095 -.0057469 .0716716

expersq | -.000661 .000459 -1.44 0.151 -.0015633 .0002412

nwifeinc | .0056115 .0033317 1.68 0.093 -.0009373 .0121603

_cons | -.7332055 .3439679 -2.13 0.034 -1.409309 -.0571018

------------------------------------------------------------------------------

Instrumented: hours

Instruments: educ exper expersq nwifeinc age kidslt6

------------------------------------------------------------------------------

-----> REGRESSION 2

. ivreg lwage (hours = age kidslt6 nwifeinc) educ exper expersq

Instrumental variables (2SLS) regression


-------------+------------------------------ F( 4, 423) = 19.03

Model | 28.0618854 4 7.01547135 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1174

Total | 223.327451 427 .523015108 Root MSE = .67943

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

hours | .0001259 .0002546 0.49 0.621 -.0003746 .0006264

2



educ | .11033 .0155244 7.11 0.000 .0798155 .1408445

exper | .0345824 .0194916 1.77 0.077 -.00373 .0728947expersq | - .0007058 .0004541 -1.55 0.121 -.0015983 .0001868

_cons | -.6557256 .3377883 -1.94 0.053 -1.319678 .008227

------------------------------------------------------------------------------

Instrumented: hours

Instruments: educ exper expersq age kidslt6 nwifeinc

------------------------------------------------------------------------------

3



Modèles logit

1. Indiquez en quoi consiste une régression logit par rapport à une régression linéaire. Qu’explique

le modèle 1... Il s’agit d’un modèle non linéaire cf cours... il explique la probabilité

qu’un événement se produise. gpa et psi sont respectivement significative au seuil de

5%.

2. Proposez un test de significativité globale du modèle 1 en vous aidant de tous les tableaux

à votre disposition. Précisez quelle est la statistique que vous utilisez pour faire ce test.

Proposez un test à 5%.

l’hypothèse est que H 0:β 1 = β 2 = β 3 = 0 contre hypothèse alternative “au moins un

des béta est différent de zéro”.Pour un test multiple : H 0 : β k = ... = β J = 0

W =J

k=1

β k

sβ k

=J

k=1

z2β k

∼ χ2J

W c = 15, 40 ∼ χ23 A 5%, 7,81.

3. Proposez un LR test pour les deux modèles proposez. Indiquez quel est le modèle qui est

imbriqué? Faites le test à 1% de significativité? Qu’en déduisez-vous?

G2(M c | M ) = 2lnL(M ) − 2 lnL(M c)

Si H 0 est vrai, alors G2 ∼ χ2J il s’agit d’un chi2 à 2 degré de liberté à 1% ça donne 9,21

4. Analysez la ligne “tuce” du tableau listcoef

Pour une variation de une unité de tuce, la probabilité que l’étudiant ait un meilleur

niveau rapporté à la probabilité inverse est augmenté d’un facteur 1,09 soit de (1,09-

1)x100%, 9%. Si tuce augmente d’un écart type ce rapport de probabilité sera aug-

menté d’un facteur 1,44, soit de 44%. On peut remarquer que l’écart-type de tuce

est de 3,9 soit beaucoup plus élevé que la variation de 1 de X donc la variation du

rapport de probabilité est beaucoup plus élevé.

5. Analysez la ligne “gpa” et “psi” du tableau prchange. Il s’agit ici d’une variation de

la probabilité que l’événement se poursuive. Pour gpa, lorsque la note moyenne

de l’étudiant passe de la valeur minimal à la valeur maximal, la probabilité que

l’étudiant ait un meilleur niveau varie de 78%; Si la note varie de un, la proabilité

varie de 50% et si la note varie d’un écart-type, elle varie de 24%. Pour psi, la

variation de 1 qui indique le passage d’un étudiant qui n’a pas les connaissances

de base (psi=0) par rapport à un étudiant qui aurait les connaissances de base, la

probabilité d’avoir un meilleur niveau varie de 45%

-----> MODELE 1

logit grade gpa tuce psi

4



(itérations non présentées)

Logistic regression Number of obs = 32LR chi2(3) = 15.40

Prob > chi2 = 0.0015


------------------------------------------------------------------------------

grade | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

gpa | 2.826113 1.262941 2.24 0.025 .3507938 5.301432

tuce | .0951577 .1415542 0.67 0.501 -.1822835 .3725988

psi | 2.378688 1.064564 2.23 0.025 .29218 4.465195

cons | -13.02135 4.931325 -2.64 0.008 -22.68657 -3.35613

------------------------------------------------------------------------------

----> MODELE 2

. logit grade gpa

(itérations non présentées)

Logistic regression Number of obs = 32

LR chi2(1) = 8.77

Prob > chi2 = 0.0031


------------------------------------------------------------------------------

grade | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

gpa | 2.84006 1.126979 2.52 0.012 .6312229 5.048898cons | -9.703194 3.671103 -2.64 0.008 -16.89842 -2.507965

------------------------------------------------------------------------------

----> fitstat, using(mod1)

Measures of Fit for logit of grade


Model: logit logit

N: 32 32 0

Log-Lik Intercept Only -20.592 -20.592 0.000

Log-Lik Full Model -16.209 -12.890 -3.319

D 32.418(30) 25.779(28) 6.639(2)

LR 8.766(1) 15.404(3) 6.639(2)

Prob > LR 0.003 0.002 0.036

McFadden’s R2 0.213 0.374 -0.161

McFadden’s Adj R2 0.116 0.180 -0.064

ML (Cox-Snell) R2 0.240 0.382 -0.142

Cragg-Uhler(Nagelkerke) R2 0.331 0.528 -0.197

McKelvey & Zavoina’s R2 0.348 0.544 -0.196

Efron’s R2 0.294 0.426 -0.131

Variance of y* 5.047 7.210 -2.163

Variance of error 3.290 3.290 0.000

Count R2 0.750 0.813 -0.063

Adj Count R2 0.273 0.455 -0.182

AIC 1.138 1.056 0.082

5



AIC*n 36.418 33.779 2.639

BIC -71.554 -71.261 -0.293BIC’ -5.300 -5.007 -0.293

BIC used by Stata 39.349 39.642 -0.293

AIC used by Stata 36.418 33.779 2.639



----> listcoef, help


Odds of: 1 vs 0

----------------------------------------------------------------------

grade | b z P>|z| e^b e^bStdX SDofX

-------------+--------------------------------------------------------

gpa | 2.82611 2.238 0.025 1 6.8797 3.7396 0.4667

tuce | 0.09516 0.672 0.501 1.0998 1.4496 3.9015

psi | 2.37869 2.234 0.025 1 0.7907 3.3165 0.5040

----------------------------------------------------------------------

b = raw coefficient

z = z-score for test of b=0

P>|z| = p-value for z-test

e^b = exp(b) = factor change in odds for unit increase in X

e^bStdX = exp(b*SD of X) = change in odds for SD increase in X

SDofX = standard deviation of X

----> prchange, help

logit: Changes in Probabilities for grade

min->max 0->1 -+1/2 -+sd/2 MargEfct

gpa 0.7872 0.0008 0.5055 0.2466 0.5339

tuce 0.2824 0.0038 0.0180 0.0701 0.0180

psi 0.4565 0.4565 0.4330 0.2246 0.4493

0 1

Pr(y|x) 0.7472 0.2528

gpa tuce psi

x= 3.11719 21.9375 .4375

sd(x)= .466713 3.90151 .504016

Pr(y|x): probability of observing each y for specified x values

Avg|Chg|: average of absolute value of the change across categories

Min->Max: change in predicted probability as x changes from its minimum to

its maximum

0->1: change in predicted probability as x changes from 0 to 1

-+1/2: change in predicted probability as x changes from 1/2 unit below

base value to 1/2 unit above

-+sd/2: change in predicted probability as x changes from 1/2 standard

6






Interro de TD 1 Anne PlunketMaster 1 - ETT et EI

On vous demande d’estimer l’équation suivante :

log(rent) = β 0 + β 1 log( pop) + β 2 log(avginc) + β 3 pctstu + β 4log(enroll) + ǫ

Les variables sont les suivantes :

– rent, le loyer moyen pour un logement dans une ville universitaire,

– pop, la population de la ville,

– avginc, le revenu moyen de la ville,

– pctstu, le pourcentage des étudiants dans la population de la ville,

– enroll, le nombre d’étudiants de la ville.

1. On cherche à comprendre l’impact de la présence d’étudiants dans une ville universitaire

sur les loyer de cette ville. Quels sont les signes attendus pour β 1, β 2, β 3 et β 4, expliquez.

2. Proposez un test pour le signe de β 2. Explicitez l’hypothèse nulle et alternative ainsi que

la statistique utilisée pour faire le test.

3. En vous aidant des tableaux donnés ci-dessous, proposez un test β 3 = β 4 = 0

4. On cherche à savoir si l’équation ci-dessus souffre de multicolinéarité.(a) Les résultats de la régression donnent-ils des indications de multicolinéarité ? Le(s)quel(s) ?

A l’aide des tableaux mis à votre disposition, proposez un test. Quelle est votre

conclusion ? Quelle solution proposez-vous ?

5. On vous propose un test de Breusch et Pagan.

(a) Quel est le principe de ce test aussi appelé test du multiplicateur de Lagrange. Quelle

forme d’hétéroscédasticité ce test permet -t-il de considérer ?

(b) Quelles sont les conclusions du test ?

6. On dispose de données agrégées pour 64 villes universitaires.

(a) Ce type de données engendre un certain type d’hétéroscédasticité, lequel ? Quelle

solution peut-on proposer ? (cf les tableaux ci-dessous).

(b) Votre solution est-elle efficace ? (cf tableaux ci-dessous).

use "/Users/RENTAL.dta"

reg lrent lpop lavginc pctstu lenroll


-------------+------------------------------ F( 4, 59) = 12.65

Model | 1.16836407 4 .292091018 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.4251

Total | 2.53099934 63 .040174593 Root MSE = .15197

1



------------------------------------------------------------------------------

lrent | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]-------------+----------------------------------------------------------------

lpop | .1752641 .175792 1.00 0.323 -.1764948 .527023

lavginc | .5139219 .0819555 6.27 0.000 .3499294 .6779143

pctstu | .0093131 .0060311 1.54 0.128 -.002755 .0213813

lenroll | - .1215012 .1903735 -0.64 0.526 -.5024376 .2594352

_cons | -.1622075 .9068567 -0.18 0.859 -1.976824 1.652409

------------------------------------------------------------------------------

. estat hettest


Variables: fitted values of lrent

chi2(1) = 0.12

Prob > chi2 = 0.7340

. reg lrent lpop lavginc


-------------+------------------------------ F( 2, 61) = 17.42

Model | .920144167 2 .460072083 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.3427

Total | 2.53099934 63 .040174593 Root MSE = .1625

------------------------------------------------------------------------------

lrent | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]-------------+----------------------------------------------------------------

lpop | -.0011434 .0352743 -0.03 0.974 -.0716786 .0693919

lavginc | .4736686 .0861569 5.50 0.000 .3013872 .64595

_cons | 1.282824 .8076707 1.59 0.117 -.3322131 2.897862

------------------------------------------------------------------------------

. reg lrent pctstu lenroll


-------------+------------------------------ F( 2, 61) = 3.40

Model | .253850382 2 .126925191 Prob > F = 0.0398


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0708

Total | 2.53099934 63 .040174593 Root MSE = .19321

------------------------------------------------------------------------------

lrent | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

pctstu | .0001169 .001812 0.06 0.949 -.0035066 .0037403

lenroll | .1327148 .0518252 2.56 0.013 .0290839 .2363457

_cons | 4.724284 .5018249 9.41 0.000 3.720823 5.727745

------------------------------------------------------------------------------

reg lenroll lpop lavginc pctstu

2





11.3. QUANTILES DE LA LOI DU χ2 151

11.3 Quantiles de la loi du χ2

Soit X n ∼ χ2(n). On pose

∞x

12n/2Γ(n/2)

yn

2−1 e−y/2 dy = P(X n ≥ x) = α.

La table donne les valeurs de x en fonction de

n et α. Par exemple P(X 8 ≥ 20.09) 0.01.

α

x0

n\α 0.990 0.975 0.950 0.900 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001

1 0.0002 0.0010 0.0039 0.0158 2.71 3.84 5.02 6.63 10.832 0.02 0.05 0.10 0.21 4.61 5.99 7.38 9.21 13.823 0.11 0.22 0.35 0.58 6.25 7.81 9.35 11.34 16.274 0.30 0.48 0.71 1.06 7.78 9.49 11.14 13.28 18.475 0.55 0.83 1.15 1.61 9.24 11.07 12.83 15.09 20.526 0.87 1.24 1.64 2.20 10.64 12.59 14.45 16.81 22.467 1.24 1.69 2.17 2.83 12.02 14.07 16.01 18.48 24.32

8 1.65 2.18 2.73 3.49 13.36 15.51 17.53 20.09 26.129 2.09 2.70 3.33 4.17 14.68 16.92 19.02 21.67 27.88

10 2.56 3.25 3.94 4.87 15.99 18.31 20.48 23.21 29.59

11 3.05 3.82 4.57 5.58 17.28 19.68 21.92 24.72 31.2612 3.57 4.40 5.23 6.30 18.55 21.03 23.34 26.22 32.91

13 4.11 5.01 5.89 7.04 19.81 22.36 24.74 27.69 34.5314 4.66 5.63 6.57 7.79 21.06 23.68 26.12 29.14 36.1215 5.23 6.26 7.26 8.55 22.31 25.00 27.49 30.58 37.7016 5.81 6.91 7.96 9.31 23.54 26.30 28.85 32.00 39.2517 6.41 7.56 8.67 10.09 24.77 27.59 30.19 33.41 40.7918 7.01 8.23 9.39 10.86 25.99 28.87 31.53 34.81 42.3119 7.63 8.91 10.12 11.65 27.20 30.14 32.85 36.19 43.8220 8.26 9.59 10.85 12.44 28.41 31.41 34.17 37.57 45.31

21 8.90 10.28 11.59 13.24 29.62 32.67 35.48 38.93 46.8022 9.54 10.98 12.34 14.04 30.81 33.92 36.78 40.29 48.2723 10.20 11.69 13.09 14.85 32.01 35.17 38.08 41.64 49.73

24 10.86 12.40 13.85 15.66 33.20 36.42 39.36 42.98 51.1825 11.52 13.12 14.61 16.47 34.38 37.65 40.65 44.31 52.6226 12.20 13.84 15.38 17.29 35.56 38.89 41.92 45.64 54.0527 12.88 14.57 16.15 18.11 36.74 40.11 43.19 46.96 55.4828 13.56 15.31 16.93 18.94 37.92 41.34 44.46 48.28 56.8929 14.26 16.05 17.71 19.77 39.09 42.56 45.72 49.59 58.3030 14.95 16.79 18.49 20.60 40.26 43.77 46.98 50.89 59.70

Lorsque n > 30, on peut utiliser l’approximation√

2X n −√

2n− 1 L G ∼ N 1(0, 1) (voir

l’exercice 5.5.11) qui assure que pour x ≥ 0,

P(X n ≥ x) = P(

2X n −√ 2n− 1 ≥ √ 2x −√ 2n − 1) P(G ≥ √ 2x−√ 2n − 1).





11.5. QUANTILES DE LA LOI DE FISHER (OU FISHER-SNEDECOR) 153

11.5 Quantiles de la loi de Fisher (ou Fisher-Snedecor)

Soit X n,m une v.a. de loi de Fisher de pa-rametre (n, m). On pose

P(X n,m ≥ f ) = α.

La table donne les valeurs de t en fonctionde n, m et α ∈ 0, 05;0, 01. Par exempleP(X 4,20 ≥ 4.43) 0.01.

α

t0

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5

m α =0.05 α =0.01 α =0.05 α =0.01 α =0.05 α =0.01 α =0.05 α =0.01 α =0.05 α =0.01

1 161.45 4052.18 199.50 4999.50 215.71 5403.35 224.58 5624.58 230.16 5763.652 18.51 98.50 19.00 99.00 19.16 99.17 19.25 99.25 19.30 99.303 10.13 34.12 9.55 30.82 9.28 29.46 9.12 28.71 9.01 28.244 7.71 21.20 6.94 18.00 6.59 16.69 6.39 15.98 6.26 15.525 6.61 16.26 5.79 13.27 5.41 12.06 5.19 11.39 5.05 10.976 5.99 13.75 5.14 10.92 4.76 9.78 4.53 9.15 4.39 8.757 5.59 12.25 4.74 9.55 4.35 8.45 4.12 7.85 3.97 7.468 5.32 11.26 4.46 8.65 4.07 7.59 3.84 7.01 3.69 6.639 5.12 10.56 4.26 8.02 3.86 6.99 3.63 6.42 3.48 6.06

10 4.96 10.04 4.10 7.56 3.71 6.55 3.48 5.99 3.33 5.64

11 4.84 9.65 3.98 7.21 3.59 6.22 3.36 5.67 3.20 5.32

12 4.75 9.33 3.89 6.93 3.49 5.95 3.26 5.41 3.11 5.0613 4.67 9.07 3.81 6.70 3.41 5.74 3.18 5.21 3.03 4.8614 4.60 8.86 3.74 6.51 3.34 5.56 3.11 5.04 2.96 4.6915 4.54 8.68 3.68 6.36 3.29 5.42 3.06 4.89 2.90 4.5616 4.49 8.53 3.63 6.23 3.24 5.29 3.01 4.77 2.85 4.4417 4.45 8.40 3.59 6.11 3.20 5.18 2.96 4.67 2.81 4.3418 4.41 8.29 3.55 6.01 3.16 5.09 2.93 4.58 2.77 4.2519 4.38 8.18 3.52 5.93 3.13 5.01 2.90 4.50 2.74 4.17

20 4.35 8.10 3.49 5.85 3.10 4.94 2.87 4.43 2.71 4.10

21 4.32 8.02 3.47 5.78 3.07 4.87 2.84 4.37 2.68 4.0422 4.30 7.95 3.44 5.72 3.05 4.82 2.82 4.31 2.66 3.99

23 4.28 7.88 3.42 5.66 3.03 4.76 2.80 4.26 2.64 3.9424 4.26 7.82 3.40 5.61 3.01 4.72 2.78 4.22 2.62 3.9025 4.24 7.77 3.39 5.57 2.99 4.68 2.76 4.18 2.60 3.8526 4.23 7.72 3.37 5.53 2.98 4.64 2.74 4.14 2.59 3.8227 4.21 7.68 3.35 5.49 2.96 4.60 2.73 4.11 2.57 3.7828 4.20 7.64 3.34 5.45 2.95 4.57 2.71 4.07 2.56 3.7529 4.18 7.60 3.33 5.42 2.93 4.54 2.70 4.04 2.55 3.7330 4.17 7.56 3.32 5.39 2.92 4.51 2.69 4.02 2.53 3.70

40 4.08 7.31 3.23 5.18 2.84 4.31 2.61 3.83 2.45 3.5180 3.96 6.96 3.11 4.88 2.72 4.04 2.49 3.56 2.33 3.26

120 3.92 6.85 3.07 4.79 2.68 3.95 2.45 3.48 2.29 3.17

∞ 3.84 6.63 3.00 4.61 2.60 3.78 2.37 3.32 2.21 3.02



UNIVERSITE DE PARIS 11Interro de TD 1 Anne Plunket

Master 1 - ETT et EI

On vous demande d’estimer l’équation suivante :

log(rent) = β 0 + β 1 log( pop) + β 2 log(avginc) + β 3 pctstu + β 4log(enroll) + ǫ

Les variables sont les suivantes :

– rent, le loyer moyen pour un logement dans une ville universitaire,– pop, la population de la ville,

– avginc, le revenu moyen de la ville,

– pctstu, le pourcentage des étudiants dans la population de la ville,

– enroll, le nombre d’étudiants de la ville.

1. On cherche à comprendre l’impact de la présence d’étudiants dans une ville univer-

sitaire sur les loyer de cette ville. Quels sont les signes attendus pour β 1, β 2, β 3 et β 4,

expliquez.

On s’attend à ce que chacune des variables du modèle ait un impact positif sur le niveau

moyen des loyers. Plus la population, le nombre d’étudiant ou le pourcentage d’étudiants

dans la population sont élevés et plus il y aura de pression à la hausse sur les loyers. Le

niveau moyen de revenu aura un impact à la hausse sur les loyers. Plus la population estriche et plus les habitations auront une qualité et un prix élevé.

2. Proposez un test pour le signe de β 2. Explicitez l’hypothèse nulle et alternative ainsi

que la statistique utilisée pour faire le test .

On cherche à faire un test pour le coefficient de la variable lavginc. Pour faire on pose les

hypothèses du test : H 0 ≤ 0 et H 1 > 0Pour tester le signe, on fait un test du student :

tc = β 2sβ 2

= .5139219

.0819555 = 6.27 ∼ tn−k−1/64−5/59

Pour un test à 5%, t5%,40 = 1.684 ou t5%

,80 = 1.664 ; On en déduit que la valeur du

student est largement supérieure au t calculé, par conséquent la variable est bien de signe

positif. On rejette l’hypothèse nulle.

3. En vous aidant des tableaux donnés ci-dessous, proposez un test β 3 = β 4 = 0Il s’agit ici d’un test du Fisher avec modèle non contraint par rapport à modèle contraint,

la contrainte est égale à β 3 = β 4 = 0.

Le modèle non contraint s’écrit : reg lrent lpop lavginc pctstu lenroll

Le modèle contraint s’écrit : reg lrent lpop lavginc

Le test s’écrit :

F c = (SC Rc − SCR/q

SCR/n−

k−

1

= (1.61085517 − 1.36263527)/2

1.36263527/59

= 5.3737689 ∼ F (2, 59)

1



F 5%,40 = 3.23 ou F 5%,80 = 3.11

F 1%,40 = 5.18 ou F 1%,80 = 4.88Dans les deux cas de figure 1% ou 5%, on rejette l’hypothèse nulle, l’ajout des deux

variables pctstu et log(enroll) ajoute à l’explication de la variable dépendante.

4. On cherche à savoir si l’équation ci-dessus souffre de multicolinéarité.

(a) Les résultats de la régression donnent-ils des indications de multicolinéarité ?

Le(s)quel(s) ? A l’aide des tableaux mis à votre disposition, proposez un test.

Quelle est votre conclusion ? Quelle solution proposez-vous ?

On peut supposer qu’il y a de la multicolinéarité car la variable enroll devrait avoir

un signe positif or son signe est négatif et la variable n’est pas significative alors

qu’elle devrait l’être.

On peut faire un test de la vif, qui s’appuie sur une régression d’une variable dépen-dante sur les autre variables dépendantes du modèle permettant ainsi de mettre en

évidence une colinéarité entre les variables dépendantes.

V IF = 1

1 − R2k

= 1

1 − 0.9554 = 22, 42

La VIF est très élevée ce qui indique la présence de multicolinéarité. On pourrait

pour résoudre le problème supprimer une variable redondante. Le nombre d’étu-

diants de la ville est une information redondante par rapport à la population, de

même que pourcentage d’étudiants par rapport à la population semble redondant

pourrait être redondante avec la population. On a trois variables qui rendent compte

d’effets de tailles.

5. On vous propose un test de Breusch et Pagan.

(a) Quel est le principe de ce test aussi appelé test du multiplicateur de Lagrange.

Quelle forme d’hétéroscédasticité ce test permet -t-il de considérer ?

Le test de BP est un test du multiplicateur de Lagrange, il s’appuie sur une régression

auxiliaire du carré des résidus sur les variables indépendantes du modèle. Il s’agit

d’un test du chi2. Il teste un effet de taille.

(b) Quelles sont les conclusions du test ?

Le test ne nous permet pas de rejeter l’hypothèse nulle de variance égale entre les

résidus de la régression. La valeur critique du chi2 est Chi2(1,5%) = 3,84, il est

largement supérieur au chi2 calculé qui est de 0.12.6. On dispose de données agrégées pour 64 villes universitaires.

(a) Ce type de données engendre un certain type d’hétéroscédasticité, lequel ? Quelle

solution peut-on proposer ? (cf les tableaux ci-dessous).

(b) Votre solution est-elle efficace ? (cf tableaux ci-dessous).

use "/Users/RENTAL.dta"

reg lrent lpop lavginc pctstu lenroll


-------------+------------------------------ F( 4, 59) = 12.65

2



Model | 1.16836407 4 .292091018 Prob > F = 0.0000


Total | 2.53099934 63 .040174593 Root MSE = .15197

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

lpop | .1752641 .175792 1.00 0.323 -.1764948 .527023

lavginc | .5139219 .0819555 6.27 0.000 .3499294 .6779143

pctstu | .0093131 .0060311 1.54 0.128 -.002755 .0213813

lenroll | - .1215012 .1903735 -0.64 0.526 -.5024376 .2594352

_cons | -.1622075 .9068567 -0.18 0.859 -1.976824 1.652409

------------------------------------------------------------------------------

. estat hettest


Variables: fitted values of lrent

chi2(1) = 0.12

Prob > chi2 = 0.7340

. reg lrent lpop lavginc


-------------+------------------------------ F( 2, 61) = 17.42

Model | .920144167 2 .460072083 Prob > F = 0.0000


Total | 2.53099934 63 .040174593 Root MSE = .1625

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

lpop | -.0011434 .0352743 -0.03 0.974 -.0716786 .0693919

lavginc | .4736686 .0861569 5.50 0.000 .3013872 .64595

_cons | 1.282824 .8076707 1.59 0.117 -.3322131 2.897862

------------------------------------------------------------------------------

. reg lrent pctstu lenroll


-------------+------------------------------ F( 2, 61) = 3.40

Model | .253850382 2 .126925191 Prob > F = 0.0398


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0708

Total | 2.53099934 63 .040174593 Root MSE = .19321

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

pctstu | .0001169 .001812 0.06 0.949 -.0035066 .0037403

lenroll | .1327148 .0518252 2.56 0.013 .0290839 .2363457

_cons | 4.724284 .5018249 9.41 0.000 3.720823 5.727745

3



------------------------------------------------------------------------------

reg lenroll lpop lavginc pctstu


-------------+------------------------------ F( 3, 60) = 428.33

Model | 13.6478645 3 4.54928816 Prob > F = 0.0000

Residual | .637257238 60 .010620954 R-squared = 0.9554

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9532

Total | 14.2851217 63 .226747964 Root MSE = .10306

------------------------------------------------------------------------------

lenroll | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lpop | .9003717 .0264604 34.03 0.000 .847443 .9533003

lavginc | .0568458 .0550904 1.03 0.306 -.0533515 .167043

pctstu | .0303161 .0011872 25.53 0.000 .0279413 .0326909

_cons | -1.687126 .5751112 -2.93 0.005 -2.837519 -.5367318

------------------------------------------------------------------------------

. reg lrent lpop lavginc pctstu


-------------+------------------------------ F( 3, 60) = 16.89

Model | 1.15895654 3 .386318847 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.4308

Total | 2.53099934 63 .040174593 Root MSE = .15122

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

lpop | .0658678 .038826 1.70 0.095 -.0117957 .1435314

lavginc | .507015 .0808356 6.27 0.000 .3453198 .6687103

pctstu | .0056297 .0017421 3.23 0.002 .002145 .0091143

_cons | .0427803 .8438753 0.05 0.960 -1.645222 1.730782

------------------------------------------------------------------------------

. reg lrent lpop lavginc pctstu [ ???? ]


-------------+------------------------------ F( 3, 60) = 15.56

Model | .972470742 3 .324156914 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.4094

Total | 2.2227837 63 .035282281 Root MSE = .14436

------------------------------------------------------------------------------


-------------+----------------------------------------------------------------

lpop | .0330849 .0330518 1.00 0.321 -.0330285 .0991982

lavginc | .4874827 .0751816 6.48 0.000 .3370971 .6378683

pctstu | .0051889 .001674 3.10 0.003 .0018404 .0085374

_cons | .6196268 .8128841 0.76 0.449 -1.006384 2.245637

4



------------------------------------------------------------------------------

5



UNIVERSITE DE PARIS 11Interro de TD 2 Anne Plunket

Master 1 - ETT et EI

1. Il vous est proposé une régression de la consommation en fonction du revenu et du temps(la tendance).

. regdw cons income trend


-------------+------------------------------ F( 2, 42) = 2919.99

Model | 4.7072e+11 2 2.3536e+11 Prob > F = 0.0000Residual | 3.3853e+09 42 80603294.8 R-squared = 0.9929

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9925

Total | 4.7411e+11 44 1.0775e+10 Root MSE = 8977.9

------------------------------------------------------------------------------

cons | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

income | .9333721 .0644142 14.49 0.000 .8033789 1.063365

trend | -140.4874 553.0085 -0.25 0.801 -1256.504 975.5288

_cons | 11579.25 8573.289 1.35 0.184 -5722.351 28880.84

------------------------------------------------------------------------------

Durbin-Watson Statistic = .4633078

(a) Expliquez ce qu’est l’autocorrélation et quels problèmes elle pose pour l’esti-

mation par la méthode des Moindres carrés ordinaires

L’autocorrélation rend compte du fait que les résidus sont corrélés entre eux au cours

du temps. Autrement dit, les résidus ne sont pas distribués de manière indépendants,

ils ne sont pas i.i.d. A ce moment là, la variance des résidu n’est pas minimale et on

risque de rejeter l’hypothèse nulle à tort.

(b) Quel est le type d’autocorrélation que le test de Durbin et Watson permet de

tester ?

Le DW ne teste que l’autocorrélation d’ordre 1 du type :

ǫt = ρǫt−1 + ut

Il s’agit d’un processus de Markov d’ordre 1.

(c) Faîtes le test de Durbin et Watson ; indiquez clairement quelle est l’hypothèse

nulle et alternative. Quelles sont vos conclusions.

H 0 : ρ = 0 contre H 1 : ρ = 0 La règle de décision est la suivante :

– si d < dL on rejette l’hypothèse null ;

– si d > dU on ne la rejette pas ;

– si dL < d < dU il y a un doute

Ici, DW = 0,46, k=2 et n=45, dL = 1.43 et dU = 1.62

D W < dL(1.43), par conséquent, on en déduit qu’il y a de l’autocorrélation à

l’ordre 1 au moins.

1



2. Vous disposez de deux régressions du revenu en fonction d’un certain nombre d’indica-

teurs et de variables où hwage indique le salaire horaire en cents, urban est une indica-trice égale à un si la personne vit en ville par opposition à la campagne, age représentel’âge de la personne, ethnic est égale à 1 si la personne n’est pas d’origine blanche, southest égale à 1 si la personne habitude dans le sud des Etats-Unis

. mean hwage, over(urban)

Mean estimation Number of obs = 1900

0: urban = 0

1: urban = 1

--------------------------------------------------------------

Over | Mean Std. Err. [95% Conf. Interval]

-------------+------------------------------------------------hwage |

0 | 496.7519 9.091503 478.9216 514.5823

1 | 622.3078 7.321256 607.9493 636.6664

--------------------------------------------------------------

. reg hwage educ age ethnic urban south


-------------+------------------------------ F( 5, 1894) = 120.82

Model | 31555417.8 5 6311083.57 Prob > F = 0.0000


-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.2398

Total | 130485879 1899 68712.9429 Root MSE = 228.55

------------------------------------------------------------------------------

hwage | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

educ | 19.52263 2.101356 9.29 0.000 15.40141 23.64384

age | 26.63248 1.703658 15.63 0.000 23.29124 29.97372

ethnic | -83.06785 15.34264 -5.41 0.000 -113.1581 -52.97761

urban | 95.69047 12.08005 7.92 0.000 71.99886 119.3821

south | -61.58681 11.53298 -5.34 0.000 -84.20549 -38.96813

_cons | 454.6921 55.89884 8.13 0.000 564.3219 345.0623

------------------------------------------------------------------------------

(a) Commentez le tableau obtenu avec la commande mean hwage, over(urban)

Le table nous donne le salaire horaire moyen pour les personnes vivants en ville(622,30) et celles vivants à la campagne (496,75). On constate que les personnes qui

vivent en ville ont un revenu bien plus elevés que ceux qui vivent à la campagne.

Vous disposez de la régression reg hwage educ age ethnic urban south.

(b) Que représente la constante ?

La constante représente le revenu horaire pour le groupe de référence à savoir, ceux

qui sont blancs, qui vivent à la campagne et dans le nord. Ce revenu moyen est de

454,69 cents.

(c) Que vous apprend le tableau sur le salaire d’une personne noire vivant dans le

sud?

Le tableau nous apprend que la différence de salaire pour ceux qui sont noirs et qui

2



habitent dans le sud est de β south + β ethnic = −83, 06 − 61, 58 = −144, 64.

3. On vous propose d’étudier les déterminants d’avoir un salaire horaire supérieur à 700cents. Vous disposez des tableaux suivants :

. logit highwage educ age fatheduc motheduc ethnic urban south, nolog


LR chi2(7) = 313.50

Prob > chi2 = 0.0000


------------------------------------------------------------------------------

highwage | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

educ | .1246213 .0256527 4.86 0.000 .074343 .1748995

age | .2012003 .0184215 10.92 0.000 .1650949 .2373057

fatheduc | .0101726 .021478 0.47 0.636 -.0319236 .0522687

motheduc | .0694325 .0257211 2.70 0.007 .0190201 .1198449

ethnic | -.8283974 .2134957 -3.88 0.000 -1.246841 -.4099534

urban | .8551816 .1462779 5.85 0.000 .5684822 1.141881

south | -.3091703 .1261468 -2.45 0.014 -.5564136 -.061927

_cons | -9.74939 .6661931 -14.63 0.000 -11.0551 -8.443676

------------------------------------------------------------------------------

. logit highwage educ age fatheduc south, nolog


LR chi2(4) = 255.43

Prob > chi2 = 0.0000Log likelihood = -982.45933 Pseudo R2 = 0.1150

------------------------------------------------------------------------------

highwage | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

educ | .1512071 .0248181 6.09 0.000 .1025645 .1998496

age | .200255 .0180981 11.06 0.000 .1647833 .2357267

fatheduc | .0612833 .0178013 3.44 0.001 .0263933 .0961733

south | -.5051628 .1211115 -4.17 0.000 -.742537 -.2677886

_cons | -9.230539 .62938 -14.67 0.000 -10.4641 -7.996977

------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------

. prvalue, x(motheduc = 12) rest(mean)

logit: Predictions for highwage

Confidence intervals by delta method

95% Conf. Interval

Pr(y=1|x): 0.2879 [ 0.2635, 0.3123]

Pr(y=0|x): 0.7121 [ 0.6877, 0.7365]

educ age fatheduc motheduc ethnic urban south

x= 14.166223 27.869681 11.210106 12 .05585106 .76861702 .28191489

3



. prvalue, x(motheduc = 12 urban =1) rest(mean)



95% Conf. Interval

Pr(y=1|x): 0.3367 [ 0.3081, 0.3653]

Pr(y=0|x): 0.6633 [ 0.6347, 0.6919]


x= 14.268166 27.942907 11.351211 12 .06401384 1 .25778547

. prvalue, x(motheduc = 12 south = 1 ethnic = 1) rest(mean)



95% Conf. Interval

Pr(y=1|x): 0.1116 [ 0.0710, 0.1523]

Pr(y=0|x): 0.8884 [ 0.8477, 0.9290]


x= 13.923077 27.115385 9.6538462 12 1 .80769231 1

(a) Testez l’hypothèse nulle suivante : H 0 : β motheduc = β ethnic = β urban = 0

G2(M c | M ) = 2ln L(M ) − 2 ln L(M c)

Si H 0 est vrai, alors G2 ∼ χ2J

J étant le nombre de contraintes.

G2(M c | M ) = 2∗(−953.42719)−2∗(−982.45933) = −1906, 84+1964, 9 = 58, 06

Il s’agit d’un chi2(3)5% = 7.81 et chi2(3)1% = 11.34.

On rejette l’hypothèse nulle à 5% et même à 1%, puisque dans chaque cas, la valeur

calculée 58,06 est supérieure à la valeur critique.

Par conséquent, le modèle complet est préféré car les trois variables sont globale-

ment explicatives.(b) Commentez les résultats suivants :

prvalue, x(motheduc = 12) rest(mean)

prvalue, x(motheduc = 12 urban =1) rest(mean)

prvalue, x(motheduc = 12 south = 1 ethnic = 1) rest(mean)

Les tableaux indiquent qu’une personne dont la mère a un niveau d’éducation de 12

années, aura une probabilité de 28,79

4



23/09/08 13:56

! Présentation des fenêtres Stata

" fenêtre command : pour entrer les commandes

" fenêtre stata results : liste les résultats

" fenêtre variables : liste toutes le variables de la base de données

" fenêtre review : liste toutes les commandes entrées

! Entrer des commandes :

" Soit en entrant les commandes dans la fenêtre command (ou en

utilisant le menu)

" Soit en utilisant un fichier .do ; on peut créer un fichier où l’on met

l’ensemble des commandes et ensuite il suffit de faire tourner le

fichier .do

! Avant de commencer, il faut ouvrir un fichier .log pour garder en

mémoire tout ce qu’on a fait" File/Log/Begin/ td1_découverte de Stata

! Il faut entrer les données

" File/ Import / Unformatted ASCII format

" Nom des variables : year infmort afdcprt popul pcinc

physic afdcper d90 lpcinc lphysic DC lpopul

! Il faut sauvegarder les données ; on obtient un fichier .dta

! Pour voir les variables

" list in 1/10 mais illisible il vaut mieux

" list year infmort afdcprt pcinc physic in 1/10

" On dispose des données pour les années 1987 et 1990 ; On dispose

de données pour les 51 Etats des Etats-Unis mais seule le district de

Columbia est identifiée par une variable indicatrice DC==0/1

" La variable infmort donne le nombre de décès pour les enfants de

moins d’un an pour 1000 naissances, pcinc donne le niveau de

revenu par tête, physic est le nombre de médecins pour 100 000

personnes et popul est la population en milliers.

# year 1987 or 1990

# infmort infant mortality rate # of deaths within the

first year par 1,000 live births

# afdcprt AFDC participation, 1000s /welfare program

Aid to Families with Dependent Children (AFDC) program

# popul population in 1000s (thousands)

# pcinc per capita income

# physic Doctors per 100,000 civilian population

# afdcper percent on AFDC

# d90 =1 if year == 1990



# lpcinc log(pcinc)

# lphysic log(physic)

# DC =1 for Washington DC

# lpopul log(popul)

! Supprimer et créer des variables

" drop pour supprimer

# drop afdcper d90 lpcinc lpopul

" generate avec une abréviation g ou gen pour créer une variable

# gen afdcper = afdcprt/popul

# gen lpcinc = ln(pcinc)

# gen lphysic = ln(physic)

# gen d90 = 1 if year == 1990 & year<. Mais problème plutôt

# gen d90 = (year==1990) if year<.# gen lpopul = log(popul)

! Donner une explication aux variables

" On peut créer un .do file pour faire ça

# ***********************************

# Nommer les variables

# ***********************************

# label variable infmort "infant mortality rate"

# label variable

! Obtenir une description numérique statistiques des variables

" Describe

" Summarize

" sum infmort pcinc physic popul

! Quelles sont les relations attendues entre les variables et

infmort ?

# On s’attend à une relation négative entre le revenu par tête et la

mortalité (si les individus sont plus « riches », ils ont davantage

les moyens d’être suivis par leur médecin ce qui réduit la

mortalité infantile;

# On s’attend également à une relation négative entre le nombre

de médecins et le taux de mortalité

# On s’attend à une relation positive entre la population et le

nombre de décès par mortalité infantile

! Corrélations entre les variables

# pwcorr infmort lpcinc lphysic lpopul if d90==0, star(.05)



# On remarque une relation positive entre le taux de mortalité et le

nombre de médecin ce qui suppose que plus de médecin

implique un taux de mortalité plus élevé ce qui est contre intuitif.

! Representation graphique des relations

" Plot

# scatter infmort popul

# scatter infmort physic

# Mais il y a un problème car on voudrait le graphique que

pour l’année 1990

• scatter infmort physic if year == 1987

• scatter infmort physic if d90 == 0

# Chaque point du graphique représente un des 51 Etats

américains. On constate qu’il y a une relation négative entre letaux de mortalité et le nombre de médecin, autrement dit moins

il y a de médecin et plus le taux de mortalité est élevé.

# Il y a un point (un Etat) pour lequel le taux de mortalité est

beaucoup plus élevé (en haut à droite). En fait les graphiques de

ce type permettent de mettre en évidence les observations

atypiques qualifiées d’outliers

# On peut également les mettre en évidence en étudiant en détail

les observations dont on dispose pour les deux variables• sum infmort if d90==0, détail

# donne les centiles, les 4 valeurs les plus petites et les

plus grandes

! Régression

" reg regress infmort lpcinc lphysic lpopul if d90==0

! Traitement des observations très influentes :

" pwcorr infmort lpcinc lphysic lpopul if d90==0 & DC==0, star(.05)

# la corrélation n’est plus positive mais négative

" reg regress infmort lpcinc lphysic lpopul if d90 & DC==0

• graphics/ overlaid twoway graphs

• twoway (lfit infmort physic if d90==0) (lfit infmort physic

if d90==0 & DC==0, atobs) (scatter infmort physic)

" Les régressions avec et sans DC (le district de Columbia) montrent

que cette observation est très influente et





150 CHAPITRE 11. TABLES STATISTIQUES

11.2 Fonction de repartition de la loi N 1(0, 1)

Soit X ∼ N 1(0, 1). On pose

x−∞

e−y2/2 dy√ 2π

= P(X ≤ x) = α.

La table donne les valeurs de α en fonction de

x. Par exemple P(X ≤ 1.96) 0.97500.

α

x0

La table suivante donne les valeurs de 1 − α pour les grandes valeurs de x.

x 2 3 4 5 6 7 8 9 101− α 2.28e-02 1.35e-03 3.17e-05 2.87e-07 9.87e-10 1.28e-12 6.22e-16 1.13e-19 7.62e-24











318

Table de distribution de d .Loi de Durbin-Watson

1 Percent Significance Points of d L and d u

k=1 k=2 k=3 k=4 k=5

n d L d u d L d u d L d u d L d u d L d u

15 0.81 1.07 0.70 1.25 0.59 1.46 0.49 1.70 0.39 1.96

16 0.84 1.09 0.74 1.25 0.63 1.44 0.53 1.66 0.44 1.90

17 0.87 1.10 0.77 1.25 0.67 1.43 0.57 1.63 0.48 1.85

18 0.90 1.12 0.80 1.26 0.71 1.42 0.61 1.60 0.52 1.80

19 0.93 1.13 0.83 1.26 0.74 1.41 0.65 1.58 0.56 1.77

20 0.95 1.15 0.86 1.27 0.77 1.41 0.68 1.57 0.60 1.74

21 0.97 1.16 0.89 1.27 0.80 1.41 0.72 1.55 0.63 1.71

22 1.00 1.17 0.91 1.28 0.83 1.40 0.75 1.54 0.66 1.69

23 1.02 1.19 0.94 1.29 0.86 1.40 0.77 1.53 0.70 1.67

24 1.04 1.20 0.96 1.30 0.88 1.41 0.80 1.53 0.72 1.66

25 1.05 1.21 0.98 1.30 0.90 1.41 0.83 1.52 0.75 1.6526 1.07 1.22 1.00 1.31 0.93 1.41 0.85 1.52 0.78 1.64

27 1.09 1.23 1.02 1.32 0.95 1.41 0.88 1.51 0.81 1.63

28 1.10 1.24 1.04 1.32 0.97 1.41 0.90 1.51 0.83 1.62

29 1.12 1.25 1.05 1.33 0.99 1.42 0.92 1.51 0.85 1.61

30 1.13 1.26 1.07 1.34 1.01 1.42 0.94 1.51 0.88 1.61

31 1.15 1.27 1.08 1.34 1.02 1.42 0.96 1.51 0.90 1.60

32 1.16 1.28 1.10 1.35 1.04 1.43 0.98 1.51 0.92 1.60

33 1.17 1.29 1.11 1.36 1.05 1.43 1.00 1.51 0.94 1.59

34 1.18 1.30 1.13 1.36 1.07 1.43 1.01 1.51 0.95 1.59

35 1.19 1.31 1.14 1.37 1.08 1.44 1.03 1.51 0.97 1.59

36 1.21 1.32 1.15 1.38 1.10 1.44 1.04 1.51 0.99 1.59

37 1.22 1.32 1.16 1.38 1.11 1.45 1.06 1.51 1.00 1.59

38 1.23 1.33 1.18 1.39 1.12 1.45 1.07 1.52 1.02 1.58

39 1.24 1.34 1.19 1.39 1.14 1.45 1.09 1.52 1.03 1.58

40 1.25 1.34 1.20 1.40 1.15 1.46 1.10 1.52 1.05 1.58

45 1.29 1.38 1.24 1.42 1.20 1.48 1.16 1.53 1.11 1.58

50 1.32 1.40 1.28 1.45 1.24 1.49 1.20 1.54 1.16 1.59

55 1.36 1.43 1.32 1.47 1.28 1.51 1.25 1.55 1.21 1.59

60 1.38 1.45 1.35 1.48 1.32 1.52 1.28 1.56 1.25 1.60

65 1.41 1.47 1.38 1.50 1.35 1.53 1.31 1.57 1.28 1.61

70 1.43 1.49 1.40 1.52 1.37 1.55 1.34 1.58 1.31 1.61

75 1.45 1.50 1.42 1.53 1.39 1.56 1.37 1.59 1.34 1.62

80 1.47 1.52 1.44 1.54 1.42 1.57 1.39 1.60 1.36 1.62

85 1.48 1.53 1.46 1.55 1.43 1.58 1.41 1.60 1.39 1.63

90 1.50 1.54 1.47 1.56 1.45 1.59 1.43 1.61 1.41 1.6495 1.51 1.55 1.49 1.57 1.47 1.60 1.45 1.62 1.42 1.64

100 1.52 1.56 1.50 1.58 1.48 1.60 1.46 1.63 1.44 1.65



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Econométrie M1_Polycomplet