Econométrie des Marchés Financiers

09/12/2016

1

Econométrie

des Marchés Financiers

Master 1 Ingénierie Economique et Statistique

Cours : Ali Skalli

Travaux Dirigés : Okay Gunes

EMF: Ali Skalli 2016-17

Plan du coursChapitre 1 : Préliminaires

Section 1.1 : Composition de taux

Section 1.2 : Hypothèses probabilistes sur les rentabilités financières

Section 1.3 : Estimation des moments et tests de normalité

Section 1.4 : Quelques modélisations simples des rentabilités financières

Chapitre 2 : L’hypothèse d’efficience des marchés financiers

Section 2.1 : Portefeuilles de titres et indices boursiers

Section 2.2 : Choix dans l'incertain et critère Moyenne-Variance

Section 2.3 : Construction de portefeuilles et frontière efficiente de Markowitz

Section 2.4 : Etudes d’évènements

Section 2.5 : L'efficience des marchés financiers

Section 2.6 : Les tests d'efficience : présentation générale

Section 2.7 : Les tests d’efficience : mise en œuvre

Chapitre 3 : Modèles d'Equilibre et Modèles d’Arbitrage

Section 3.1 : Le CAPM et ses applications

Section 3.2 : Tests du CAPM

Section 3.3 : Problèmes empiriques liés au CAPM

Section 3.4 : Extensions du CAPM

Section 3.5 : Le modèle APT

Section 3.6 : Tests du modèle APT

Section 3.7 : Problèmes empiriques liés au modèle APT

Chapitre 4 : Les modèles de volatilité

Section 4.1 : Les spécificités des rentabilités financières

Section 4.2 : Le modèle ARCH univarié

Section 4.3 : Le modèle GARCH univarié

Section 4.4 : Extensions du modèle GARCH univarié

Section 4.5 : Les modèles GARCH multivariés

Section 4.6 : Les modèles de volatilité stochastique


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Bibliographie

� Bourbonnais, R. (2011), Econométrie, Manuel et exercices corrigés, Dunod, 8èmeédition.

� Jacquillat, B. et B. Solnik (2002), Marchés Financiers : Gestion de portefeuille et des risques, Dunod, 4èmeédition.

� Brooks, Ch. (2002), Introductory Econometrics for Finance, Cambridge University Press.

� Campbell, J. Y., A. W. Lo et A. C. MacKinley (1997), The Econometrics of Financial Markets, Princeton University Press, Princeton, New Jersey.


1.1. Composition de taux

.)1.( nn RVFV +=

.1..nm

mn m

RVFV

+=

nRnm

m

cn eV

m

RVFV .

.

.1.lim =

+=∞→

Un montant V est investi pour n années au taux d’intérêt simple annuel R, la composition ne prenant place qu’à la fin de l’année. La valeur future de V après n années est alors :

S’il y a paiement d’intérêt m fois dans l’année, alors la valeur future de V après n années est :

On dit de R / m que c’est le taux d’intérêt périodique.

Au fur et à mesure que m, la fréquence de composition, croît, le taux devient continuellement composé et l’on montre que la valeur future de V après n années est :

Clairement, la relation entre taux d’intérêt simple, R, et letaux d’intérêt périodique est :

pp RmRRm

R ×=⇒=

Le taux continuellement composé, Rc, est donc solution de :

+=⇒

+=

+=m

RmR

m

Rmn

m

RnR c

mn

c 1ln1ln1ln


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1.

1.m

mn m

RVFV

+=

1.

1)1(m

A m

RR

+=+

mR

m

Re c

+= 1

Si le taux d’intérêt simple, annuel, est R et s’il y a paiement d’intérêtsm fois dans l’année, alors la valeur de V à la fin de l’année est :

et le taux effectif annuel est donné par la relation :

Le lien entre le taux continuellement composé et le taux annuel simple avec paiement m fois dans l’année est donné par :

ce qui implique :

+=m

RmRc 1ln

ou encore :

( )1/ −= mRcemR



τP τ

.%1

1t

t

ttt P

P

PPR ∆=−=

−

−

Soit le prix au mois d’un actif ne donnant lieu au paiement d’aucun dividende.

Le rendement net simple, mensuel, d’un investissement dans cet actif entre les mois t - 1 et t est :

En écrivant :

111

1 −=−

−−

−

t

t

t

tt

P

P

P

PP

On peut définir le rendement brut simple:

11

−=+

t

tt P

PR

Le rendement brut simple, mensuel, peut être interprété comme la valeur future d’un euro investi dans l’actif.


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.1)2(22

2 −=−=−−

−

t

t

t

ttt P

P

P

PPR

2

1

12.

−

−

−−=

t

t

t

t

t

t

P

P

P

P

P

P

.1)1)(1(1.)2( 12

1

1−++=−= −

−

−

−tt

t

t

t

tt RR

P

P

P

PR

Le rendement net simple, bi-mensuel, d’un investissement dans cet actif entre les mois t - 2 et t est :

ttttttt RRRRRRR 111 1)1)(1()2(1 −−− +++=++=+

Puisque :

le taux net simple bi-mensuel peut être réécrit :

tandis que le taux brut simple bi-mensuel devient :

De ce fait, le rendement brut bi-mensuel simple est une somme géométrique et non arithmétique des deux rendements mensuels simples.

Notons toutefois que, si tR et1−tR sont petits, alors 01 ≈− tt RR

En général, le rendement brut k-mensuel est la moyenne géométrique des k rendements bruts mensuels successifs :

∏−

=−+−− +=+++=+

1

011 ).1()1()1)(1()(1

k

jjtktttt RRRRkR L



tR

.ln)1ln(1

=+=

−t

ttt P

PRr

11

−=+=

t

tt

r

P

PRe t

,1tr

tt ePP −=

tr

tR

.)ln()ln(ln 111

−−−

−=−=

= tttt

t

tt ppPP

P

Pr

Si désigne le rendement mensuel simple d’un investissement, alors le rendement, mensuel,continuellement composé est défini par :

En prenant les exponentielles, il vient :

ce qui implique que :

Taux de croissance continuellement composé des prix entre t - 1 et t.

Taux de croissance simple des prix entre t - 1 et t, sans composition aucune.


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.1−= trt eR

.ln))(1ln()( kttkt

ttt pp

P

PkRkr −

−−=

=+=

.lnlnln1

0

1

0 1

1

0 1∑∑∏−

=−

−

= −−

−−

= −−

−

−=

=

=

k

jjt

k

j jt

jtk

j jt

jt

kt

t rP

P

P

P

P

P

1. Rien n’est perdu lorsque l’on considère les rendements continuellement composés en lieu et place des rendements simples puisqu’il est toujours possible de retrouver ces derniers à partir des premiers

2. Les rendements continuellement composés sont en général d’autant plus proches des rendements simples que ces derniers sont petits, ce qui est généralement le cas lorsque l’on traite de rentabilités mensuelles, hebdomadaires ou journalières.

3. Pour les besoins de la modélisation statistique, il est nettement plus pratique de considérer des rendements continuellement composés.

Sauf mention contraire, il ne sera fait appel dans ce cours qu’à des rendements continuellement composés.

.)(1

0∑−

=−=

k

jjtt rkr

Le rendement continuellement composék-mensuel est défini par :

A noter que :

Le rendement continuellement composé k-mensuel n’est donc autre que la somme des k rendements continuellement composés mensuels



∑=

−−− =+++==11

0111 .)12(

jjtttttA rrrrrr L

∑=

−=11

012

1

jjtm rr

,.1211

0∑=

−=j

jtm rr

La propriété d’additivité des rendements continuellement composés est ce qui justifie leur emploi en économétrie de la finance.

..12 mA rr =

Si l’horizon d’investissement est l’année, alors le rendement continuellement composé annuel n’est autre que la somme des 12 rendements continuellement composés mensuels de l’année :

Définissons le rendement continuellement composé mensuelmoyen :

et remarquons que :

autrement dit :


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Ajustement pour versements de dividendes

Si l’actif donne lieu à un paiement de dividende quelque partentre les moist – 1 et t, le calcul durendement correspondant devient :

11

1

1

1

−−

−

−

− +−=−+=t

t

t

tt

t

tttt P

D

P

PP

P

PDPR

Gain en capital

Rendement en dividende

Il existe dans les banques de données (ex. Datastream) un indice de rentabilité (Return Index) pourchaque titre, notéπt :

donné. ,et 1 entre est versén' dividendeaucun si 01

1 πππ ttP

P

t

ttt −

×=

−−

donné. ,et 1 entre est versé dividende le si 01

1 πππ ttDP

DPt

t

tttt −

+×=−

−

Le taux de rentabilité correspondant est alors :

( ) ( )11

1 lnln encoreou −−

− −=−= tttt

ttt rR ππ

πππ

Cet indice représente l’évolution d’un titre dont les dividendes seraient réinvestis pour acheter desparts supplémentaires du titre en question.


1.2. Hypothèses Probabilistes

Fréquence des données :Journalière : En général, le cours de clôtureHebdomadaire : moyenne arithmétique (de la semaine) des cours journaliersMensuelle : moyenne arithmétique (du mois) des cours journaliersLes rentabilités CC sont déduites par différence des logarithmes népériens des cours.On peut aussi calculer la rentabilité CC hebdomadaire (resp. mensuelle) comme la somme desrentabilités journalières de la semaine (resp. du mois).

Définitions :Un processus stochastique discret est une suite de variables aléatoires réelles :

( ) ( )NtXZtX tt ∈∈ ,ou ,

Un processus stochastique discret souvent utile est lamarche aléatoire(random walk) :

donné. ,0 , 001 xXtaXX ttt =>++= − εoùa est un scalaire réel appelédérive (drift).

est un bruit blanc que, dans un premier temps, nous définirons comme une suite de VAtεindépendantes de même loi : en général :

( ) i.i.d. ,0 2σε Nt →


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Le processus de marche aléatoire peut aussi s’écrire :

Remarques :1. Le processus de marche aléatoire est un ARIMA(0,1,0)2. Le processus de marche aléatoire est aux processus discrets ce que le mouvement Brownien, utilisé

en calcul stochastique, est aux processus en temps continu.3. En finance, on suppose très souvent que le processusp = ln(P) est une marche aléatoire.

Quelques propriétés de la marche aléatoire :Par itérations successives, il vient :

Il vient (sous l’hypothèse de bruit blanc i.i.d.) :

Les moments d’ordre 1 et 2 de la VAX dépendent du temps.Le processusX n’est donc passtationnaire.

( )1,0 avec donné, ,0 , 001 NexXteaXX tttt →=>++= − σ

110 εεε +++++= − Lttt atxX

( ) ( ) ( ) ( ) 21111 ,, στεεεεεεε τττ −=++=+++++= −−−− tVCovXXCov tttttt LLL

( ) atxXE t += 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21111 σεεεεεε tVVVVXV ttttt =+++=+++= −− LL



Qu’en est-il en revanche du processus∆X ?

Le processus∆X est doncstationnaire, ses moments d’ordre 1 et 2 étant indépendants du temps.

En conclusion, avec l’hypothèse de bruit blanc gaussien :

tt aX ε+=∆( ) aXE t =∆

( ) ( ) 2σε ==∆ tt VXV

( ) ( ) 0 ,0,, >==∆∆ −− τεε ττ tttt CovXXCov

( ) ( )220 ,et , σσ aN∆XtatxNX tt →+→

En finance, on suppose que les processuspt sont des marches aléatoires :

ttt pp εµ ++= −1

Les cours boursiers réagissent donc aux annonces économiques non anticipées, aux résultatscomptables non anticipés et, de manière générale, aux chocsimprévisibles, représentés par letermeε.

Etudions ce processus pourt > 0 en partant ent = 0 du coursp0 donné. Il vient :

( ) ( )110110

εεεµεεεµ ++++− −=⇒+++++= L

L ttttttt ePPtpp


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Si εt est un bruit blanc gaussien :

Il s’en suit que :

A noter que :

( ) ( ) ( )211

2 ,0,0 σεεεσε tNN ttt →+++⇒→ − L

( ) ( )20

20 , ,conséquentpar et, , σµσµ tptLNPtptNp tt +→+→

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ).1,0 normale loi la de densité ,

ln1: Densité

21

exp: Propriété

,ln si ,: Définition

22

22

Nfmx

fx

xp

kkmXE

mNXmLNX

k

⋅

−=

+=

→→

θθ

θ

θθ

ttttt rpp εµεµ +=⇒++= −1

Il s’en suit que : ( ) ( )22 ,,0 σµσε NrN tt →⇒→

( )( )( )2

20

20

,normale loi même de tesindépendanVA de suite uneest

,normales lois deVA de suite uneest

,normales -log lois deVA de suite uneest

σµσµ

σµ

Nr

tptNp

tptLNP

t

t

t

++



SoitRt , la VA rentabilité journalière continuellement composée d’un titre.

Les VA Rt (t = 1,…,T) sont supposées indépendantes et de même loi, la loi normale, laquelle estindépendante du temps.

On dispose d’un échantillon d’observations (r1, …, r t, …, rT), réalisations de ces VA.

Notons l’espérance et la variance deRcomme suit :

En finance, l’espérance est interprétée comme le rendementanticipé (ici, journalier) tandis quel’écart-type est un indicateur du risque (ici, journalier)associé à la détention de l’actif considéré :on l’appelle aussivolatilité du titre.

Quel est alors le rendement espéré et le risque pour une détention deT jours de cotation ?

( ) ( ) 2 , RRVRE σµ ==

( )( ) ( )

( ) ( )

===

===

⇒=

∑∑

∑∑∑

==

==

=T

tRt

T

tt

T

tt

T

ttT

tt

TRTVRVRV

TRTERERE

RTR

1

2

1

11

1 σ

µ


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Le coefficient de variation de la rentabilité d’un titre estdéfini comme suit :

Il mesure laperformancedu titre : sarentabilité espérée par unité de risque.

Si r f est la rentabilité continuellement composée d’un actif nonrisqué, cette performance peutaussi être mesurée par l’indice de Sharpe:

( )R

RCVσµ=

( )R

frRS

σµ −

=

Plus longtemps, on détient un titre, plus il est performant.Pour une détention deT jours, lapropriété d’additivité des rentabilités continuellementcomposées implique que :

( )( ) ( )( ) ( ) ( )R

f

R

f

RR

rT

T

rTTRST

T

TTRCV

σµ

σµ

σµ

σµ −

=−

=== et

Remarque : L’hypothèse de stationnarité admise jusqu’ici devient d’autant plus irréaliste que lapériode considérée est longue. Pour des périodes assez courtes pour que les moments d’ordre 1 et 2apparaissent stables, on peut admettre l’hypothèse d’une stationnarité locale, concept introduit parStarica et Granger (2005), « Nonstationarities in Stock Returns »,The Review of Economics andStatistics, August, pp. 503-22.



Que la distribution des rentabilités soit normale ou non, ilpeut être utile de considérer les momentsd’ordre supérieur à 2. En particulier, les coefficients d’asymétrie (skewness) et d’aplatissement(kurtosis) sont d’une importance particulière :

Notonsn le nombre de titresi, i = 1,…,n,en circulation dans l’économie. Notons leurs rentabilitésespérées et leurs variances respectives :

Les cours de ces divers actifs, et donc leurs rentabilités, sont interdépendants ne serait-ce que parcequ’ils réagissent simultanément aux annonces macroéconomiques non anticipées. Les VARi (i =1,…,n) sont donc interdépendantes et on note leurs covariances etleurs coefficients de corrélation :

−=Γ

−=Γ4

2

3

1 et RR

RE

RE

σµ

σµ

( ) ( ) .,,1 ,et 2 niRVREiRiii L=== σµ

( ) njiRRCovji

ijijjiij ,,1, et , L===

σσσ

ρσ

Remarque :1et 2 == iiiii ρσσ


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1.3. Estimation des moments et tests de normalité

Pour chaque titrei (i = 1,…,n), on dispose d’un historique (court) deT observations (r i1, …, r iT) destaux de rentabilitésRi.

Etant donnée l’hypothèse de stationnarité locale des rentabilités, on peut estimer les momentsthéoriques (espérance, variance, covariances, corrélations, coefficients d’asymétrie et coefficientsd’aplatissement) discutés ci-dessus par leurs contreparties empiriques (moyenne de la série, variance dela série, covariances observées, corrélations observées,skewnesset kurtosis). Il vient :

∑=

=T

titi r

Tr

1

1

( ) ( )( )∑=

−−=T

tjjtiitji rrrr

TrrCov

1

1, ( )

( )( )

( ) ( )∑∑

∑

==

=

−−

−−=

T

tjjt

T

tiit

T

tjjtiit

ji

rrT

rrT

rrrrT

rrCorr

1

2

1

2

1

11

1

,

( )( )

( )23

1

2

1

3

1

1

−

−=

∑

∑

=

=T

tiit

T

tiit

i

rrT

rrT

rSk ( )( )

( )2

1

2

1

4

1

1

−

−=

∑

∑

=

=T

tiit

T

tiit

i

rrT

rrT

rKu



( ) ( ) cte.et var cte. , 2 ====∀ σµ tt RREt

( ) [ ]

[ ]( )3

22 3

0it ii

it i

E Rskew R

E R

µ

µ

−= =

−

( ) [ ][ ]( )

4

223it i

i

it i

E Rkurt R

E R

µ

µ

−= =

−

� Quelques résultats asymptotiques :

TNRskew i

6,0~)(

TNRkurt i

24,3~)(

( ) ( )( )2 22

3

6 24ii kurt Rskew R

Tλ χ − = +

�


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( )RFn

( )RF

( ) ( )( ) ( ) ( )max : n nD F R F R F R F R+ = − >

( ) ( )( ) ( ) ( )max : n nD F R F R F R F R− = − ≤

( )max ,D D D+ −=

( ) ( )sup nD F R F R= −

: Fonction de répartition empirique

: Fonction de répartition théorique


1.2. Distribution des rentabilités financières

( ) ( )( ) ( ) ( )max : n nD F R F R F R F R+ = − >

( ) ( )( ) ( ) ( )max : n nD F R F R F R F R− = − ≤

( )RFn

x

F

0

1( )RF

( ) −−+ == DDDD ,max


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1.4. Quelques modélisations simples des rentabilités financières

itR

( ) ijjtit RR σ=,cov

On note : itR le rendement continuellement composé d’un actif i à l’instant tQuelles hypothèses quant à la distribution de probabilité de pour les actifs i = 1, …,N

sur l’horizon temporelle t = 1, …, T ?

1. Normalité des rendements),(~ 2

iiit NR σµ pour i = 1, …,N et t = 1, …, T.A tout instant, les rendements des actifs sont normalement distribués et la moyenne et la variance de chaque rendement sont constantes dans le temps. En particulier, pour chaque actif i, nous avons :

[ ] iitRE µ=( ) 2var iitR σ=

pour toute valeur de t

pour toute valeur de t

� Le modèle à rendements anticipés constants (Constant Expected Returns Model)

� Les hypothèses :

2. Constance des covariances instantanées

( ) ijjtit RRcorr ρ=,

pour i = 1, …,N et t = 1, …, T.

Etant donnée l’hypothèse 1, l’hypothèse 2 implique que les covariances instantanées entre actifssont également constantes dans le temps. Autrement dit, pour tous les actifs, nous avons :

pour t = 1, …, T.



st ≠

st ≠

3. Indépendance temporelle0),( =jsit RRcorr pour tout st ≠ et i, j = 1, …,N.

Tous les rendements sont temporellement indépendants. En particulier, pour un actif i donné, les rendements de cet actif ne sont pas auto-corrélés, ce qui implique que :

0),cov( =isit RR pour tout

En outre, les rendements de toute paire d’actifsi et j ne sont pas sériellement corrélés, ce qui implique :

0),cov( =jsit RR pour tout et ji ≠

� Représentation statistique :

Pour tout actif i = 1, …, N et pour tout instant t = 1, …, T, nous avons :

ijjtit

iit

itiit

N

R

σεεσεεµ

=

+=

),cov(

),0(~ 2 i.i.d


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Les propriétés suivantes peuvent être déduites :

[ ] [ ] [ ] .iitiitiit EERE µεµεµ =+=+=

( ) ( ) ( ) .varvarvar 2iititiitR σεεµ ==+=

( ) ( ) ( ) .,0,cov,cov,cov stRR jsitjsjitijsit ≠==++= εεεµεµ

( ) ( )( ) ( ) .

.var.var

,cov, ij

ji

ij

jtit

jtitjtit RR

RRRRcorr ρ

σσσ

===

( ) ( )( ) ( ) .,0

.0

var.var

,cov, st

RR

RRRRcorr

jijsit

jsitjsit ≠===

σσ

),(~ 2iiit NR σµ i.i.d.



iµ

itεjtε

La variable aléatoire [ ]ititiitit RERR −=−= µεpeut être interprétée comme représentative des informations non anticipées arrivant à l’instant t et relatives à l’actif i.

Si les nouvelles sont bonnes (mauvaises), elle est positive (négative) et le rendement anticipé est au dessus (en desous) de sa valeur anticipée

L’hypothèse [ ] 0=itE ε signifie qu’en moyenne, les nouvelles sont neutres; ni bonnes ni mauvaises.

L’hypothèse ( ) 2var iit σε = signifie que le flux de nouvelles a une volatilité constante dans le temps.

jtε

itR

.29

0,∑

=−=

k

dktiit RR

L’hypothèse selon laquelle la variable aléatoire “nouvelles” affectant l’actif i,

peut être corrélée à tout instant avec les nouvelles aléatoires affectant l’actif j,

signifie que les nouvelles relatives à un actif pourraient affecter l’autre (effet de spill-over)

L’interprétation des en termes de nouvelles révèle une propriété importante du CER

avec rendements continuellement composés :

Supposons que est un rendement mensuel continuellement composé.

La propriété d’additivité implique que c’est aussi la somme des 30 rendements continuellement composés journaliers du mois :


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Si l’on suppose que les rendements journaliers sont descriptibles par le CER, alors :

( )dij

djt

dit

di

dit

dit

di

dit

N

R

σεεσε

εµ

=

+=

),cov(

),0(~2

i.i.d

et le rendement mensuel peut s’écrire :

( )

,

.3029

0,

29

0,

iti

k

dkti

di

k

dkti

diitR

εµ

εµ

εµ

+=

+=

+=

∑

∑

=−

=−

∑=

−=

=29

0, .

,.30

k

dktiit

dii

εε

µµavec :

Ainsi, dans le CER, le rendement mensuel anticipé, correspond à 30 fois le rendement journalieranticipé et les termes d’erreur, comme reflétant l’accumulation de nouvelles dans le temps (ici, lemois).



iTi rr ,,1 L

iTi RR ,,1 L

Au début de chaque mois t, itR est une variable aléatoire qui représente le rendementqui “se réalisera” à la fin du mois.

( )2,~ iiit NR σµ

[ ] iitRE µ=)var( iti R=σ

itR jtR ),cov( jtitij RR=σ

Le CER stipule que

• La meilleure prévision du rendement à la fin du mois est

et

i.i.d.

• La mesure de l’incertitude de la meilleure prévision est

• La mesure de l’association linéaire entre est

Le CER suppose en effet que l’environnement économique est invariant dans le temps.

Le but ici est d’estimer ces 3 paramètres constants dans le temps.

� Estimation :

Supposons que nous observions l’historique des T derniers mois des rendements de N actifs.

Pour chaque actif i = 1, …,N, notons l’historique observé

Supposons que ces observations sont les réalisations des variables aléatoires

LesRit étant justement décrits par le CER

iTi RR ,,1 L

est-ce qu’on appelle un échantillon aléatoire du CER


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( )∑∑==

−==T

tiit

T

titi rSSR

1

2

1

2 ˆˆ)ˆ( µεµ

( )[ ]iSSRArg µ̂min

( ) ( )∑ ∑∑= ==

+−=−−=−==T

ti

T

titiit

T

tiit

ii

i Trrrd

d

d

dSSR

1 11

2 .ˆ22ˆ2ˆˆˆ

)ˆ(0 µµµ

µµµ

Estimation par MCO

iµ̂Soit une estimation de iµL’erreur de prévision, ou encore résidu, en t associé à cette estimation est

iitit r µε ˆˆ −= Tt ,,1L=Le carré de l’erreur de prévision, ou encore carré du résidu, en t est

22 )ˆ(ˆ iitit r µε −= Tt ,,1L=

,

∑=

=T

titi r

T 1

1µ̂

La somme des carrés des résidus (SSR) est :

Le but est de déterminer

La condition de 1er ordre est

Il vient :

Dans le CER, l’estimation des MCO du rendement anticipé n’est autre que

la moyenne arithmétique des rendements de l’actif i jusqu’ici observés.



iµ̂

iTi RR ,,1 L

iµ

Etant donnée l’estimation MCO du rendement anticipé, l’estimation de la variance du rendement espéré est :

Dans le CER, l’estimation des MCO de la variance du rendement

anticipé n’est autre que la variance empirique des rendements

de l’actif i jusqu’ici observés.

∑=

−−

=T

tiiti r

T 1

22 )ˆ(1

1ˆ µσ

Etant données les estimations MCO des rendements anticipés de 2 actifs i et j, l’estimation de la covariance de ces 2 rendements espérés est :

∑=

−−−

=T

tjjtiitij rr

T 1

)ˆ)(ˆ(1

1ˆ µµσ Dans le CER, l’estimation des MCO de la covariance des

rendements anticipés de 2 actifs i et j n’est autre que la

covariance empirique des rendements des actifs i et j

jusqu’ici observés.

Propriétés statistiques de l’estimateur MCO du rendement anticipé

∑=

==T

titiTiii R

TRR

11

1),,(ˆˆ LµµiTi RR ,,1L

)ˆ( ip µ

est traité comme une fonction de l’échantillon aléatoire

Le CER stipule que les sont normalement distribués

est une densité normale


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16


[ ]

[ ]

.

1

1

11

)(1

1ˆ

1

1 1

1

1

i

i

T

ti

T

t

T

titi

T

titi

T

titi

TT

T

ETT

TE

RT

EE

µµ

µ

εµ

εµ

µ

=

=

=

+=

+=

=

∑

∑ ∑

∑

∑

=

= =

=

=

iµ̂ est un estimateur sans biais de iµ



( )

( )

( )

T

TT

T

T

T

T

RT

i

i

T

ti

T

tit

T

tit

T

titi

T

titi

2

22

1

22

12

1

1

1

1

1

var1

1var

1var

1varˆvar

σ

σ

σ

ε

ε

εµ

µ

=

=

=

=

=

+=

=

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=


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Remarques :

1. La variance de iµ̂ est égale à la variance deitR divisée par la taille de l’échantillon

itRElle est donc nettement plus petite que la variance de

2. Des résultats précédents, nous déduisons que :

.,~ˆ2

TN i

iiσµµ

3. La variance de iµ̂ est inversement proportionnelle àT. Si ∞→T

( )iµ̂var sera approximativement nulle.

iµ̂ est un estimateur convergent deiµ


1.4. Quelques modélisations simples des rentabilités financières� Le modèle de marché (The Market Model)

� Le modèle de marché (MM) est un modèle purement statistique, utilisé pour expliquer l’évolution des rentabilités financières. Il est aussi connu sous le nom de modèle de Sharpe ou encore de modèle mono-facteur.

� C’est une généralisation du modèle CER, le but étant de tenir compte de facteurs systématiques susceptibles d’influencer les rentabilités financières.

� Le MM a la forme d’un modèle linéaire de régression simple :

mesure la contribution de l’actifi à la variance (risque) lié à l’indice de marché.

.,,1 ,,,2,1 ,, TtNiRR itMtMiiit LL ==++= εβαRit est le rendement continuellement composé de l’actif i (i = 1,2, …, N) entre les dates

t – 1 et t.

RMt est le rendement continuellement composé d’un indice de marché (en général, un portefeuille bien diversifié tel que le S&P 500, le SBF 250 ou le CAC40) entre les dates

t – 1 et t.

Mi ,β

: inclure l’actif dans le portefeuille de marché ne modifie pas la variabilité de ce dernier1, =Miβ

L’indice de marché,RMt , capte les effets de facteurs de marché (effets macro) sur toutes les rentabilités. Ce type de risque, également appelé, risque de covariance, ne peut pas être éliminé par diversification.


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18


� Le terme d’erreur εit capte les effets micro, c-à-d. les facteurs spécifiques à la firme et qui peuvent influencer une rentabilité, sans être liés à des évènements macro. Ce type de risque, également appelé, risque résiduel, peut être éliminé dans un portefeuille bien diversifié.

� MM peut être étendu pour tenir compte de facteurs multiples : il prend alors la forme d’un modèle de régression à plusieurs variables :

� Sous cette forme, le modèle est censé capter les effets de caractéristiques de l’économie, susceptibles d’influencer toute rentabilité (taux de croissance, inflation non anticipée, etc.) ou encore des caractéristiques de la firme ou de son secteur d’activité et qui sont susceptibles d’influencer la rentabilité de l’actif i (fusions-acquisitions, annonces de bénéfices, etc.). Mesurer de tels effets est utile dans ce qu’on appelle, les études d’évènements (event studies).

� Propriétés statistiques des rentabilités dans le MM.

(Rit, RMt) ont une distribution jointe normale pour i =1, …,N et t = 1, …, T.

E(εit) = 0.

var(εit) = σ2ε,i (homoscédasticité)

εit → N (0, σ2ε,i) i.i.d.

.,,1 ,,,2,1 ,1

, TtNiFRR it

k

jjtijMtMiiit LL ==+++= ∑

=

εγβα

( ) 0=Mtit RE ε


1.4. Quelques modélisations simples des rentabilités financières� Propriétés non conditionnelles des rentabilités dans le MM.

Par propriétés non conditionnelles, on entend les propriétés fondées sur la distribution marginale des rentabilités, sans référence aucune à quelque information quant à l’indice de marché.

Le rendement espéré non conditionnel de l’actif i, µi, est constant et consiste en un terme constant,αi, et un terme qui est fonction de βi,M et de la moyenne non conditionnelle de l’indice de marché, µM. A noter que :

( ) ( ) MMiiMtMiiiit RERE µβαβαµ ,, +=+==

MMiii µβµα ,−=Par ailleurs,

( ) ( ) ( ) 2,

22,

2,

2 varvarvar iMMiitMtMiiit RR εσσβεβσ +=+==

La variance non conditionnelle de la rentabilité de l’actif i, σi2, est constante et se compose de la variabilité due à l’indice de marché et la variabilité due au risque résiduel.

Sous l’hypothèse d’une distribution jointe, normale, on peut montrer que :( )

( )Mt

MtitMi R

RR

var

,cov, =β

Souvent, on est intéressés par la proportion de la variabilité de la rentabilité de l’actif i, σi2,qui est due à la variabilité de l’indice de marché et celle qui ne lui est pas due :


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19


Nous pouvons donc définir une mesure de la variabilité de Rit qui est due à la variabilité de l’indice de marché (proportion non diversifiable dans un portefeuille) :

Il ne faut surtout pas confondre Ri2, le coefficient de détermination, et βi,M. Le premier mesure la part du risque non diversifiable dans le risque total tandis que le second mesure la part du risque de marché liée au risque inhérent à l’actif i.

� Propriétés conditionnelles des rentabilités dans le MM.

Par propriétés conditionnelles, on entend les propriétés des rentabilités, conditionnelles à l’observation d’une valeur donnée de la variable aléatoire, indice de marché. Supposons que nous sachions que RMt = rMt. Il vient :

2

2,

2

22,

2

2,

22,

2

2

1i

i

i

MMi

i

iMMi

i

i

σσ

σσβ

σσσβ

σσ εε +=

+==

2

2,

2

22,2 1

i

i

i

MMiiR

σσ

σσβ ε−==

ainsi qu’une mesure de la proportion du risque total qui est due aux seuls facteurs spécifiques à la firme :

2

2,21

i

iiR

σσ ε=−

[ ] MtMiiMiMtMtit rRrRRE ,βαµ +===



Le rendement anticipé de l’actif i, conditionnel à RMt = rMt, varie avec la valeur rMt de la rentabilité de l’indice de marché. En revanche, la variance conditionnelle est, elle, constante :

Générons les T erreurs observées, les résidus :

� Estimation par MCO du MM :

Considérons un échantillon de taille T d’observations relatives à Rit et RMt. Notons r it et rMt, ces valeurs observées. La méthode des MCO détermine la droite de régression qui représente le mieux le nuage de points observés :

[ ] ( ) 2,varvar iitMtMtit rRR εσε ===

.,,1 ,ˆˆˆ , Ttrr MtMiiit L=+= βα

Ttrrrr MtMiiitititit ,,1 ,ˆˆˆˆ , L=−−=−= βαεLa droite de régression des MCO minimise la somme des carrés des résidus (SCR) :

( ) ( )∑∑==

−−==T

tMtMiiit

T

titMii rr

1

2

,1

2,

ˆˆˆˆ,ˆSCR βαεβα

Les conditions du 1er ordre pour un minimum sont :

( ) 0ˆ2ˆˆ2 0ˆ

SCR

11, =−=−−−⇔=

∂∂

∑∑==

T

tit

T

tMtMiiit

i

rr εβαα


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20


Il vient :

Ces 2 équations peuvent être réécrites comme deux équations linéaires à 2 inconnues :

( ) 0ˆ2ˆˆ2 0ˆ

SCR

11,

,

=−=−−−⇔=∂∂

∑∑==

T

tMtit

T

tMtMtMiiit

Mi

rrrr εβαβ

∑ ∑= =

+=T

t

T

tMtMiiit rTr

1 1,

ˆˆ βα

∑ ∑∑= ==

+=T

t

T

tMtMi

T

tMtiMtit rrrr

1 1

2,

1

ˆˆ βα

MMiii rr ,ˆˆ βα −=

( )( )

( )∑

∑

=

=

−

−−= T

tMMt

T

tMMtiit

Mi

rr

rrrr

1

2

1,β̂

∑=

=T

titi r

Tr

1

1∑

=

=T

tMtM r

Tr

1

1



Nous avons aussi :

( )∑∑==

−−−

=−

=T

tMtMiiit

T

titi rr

TT 1

2

,1

22,

ˆˆ2

1ˆ

21

ˆ βαεσ ε

2

2,

2

22,2

ˆ

ˆ1

ˆ

ˆˆ

i

i

i

MMiiR

σσ

σσβ ε−==

avec :

( ) ( )∑=

−−

==T

tiititi rr

TR

1

22

11

varσ̂


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21


{ }tx{ }tx

� Modèles de séries temporelles :

Série temporelle = ensemble d’observations répétées d’une variable :

Exemple :

{ }Txxx ,,, 21 L { }tx Tt ,,2,1 L=

ttx ε= ( )2,0~ εσε Nt

ou

est alors traitée comme une variable aléatoire.

Le terme ST est indifféremment utilisé pour désigner :

• Un échantillon

• Un modèle probabiliste : ensemble d’hypothèses quant à la distribution jointe des

{ }tx

i.i.d.

i.i.d. ?? Le cours d’aujourd’hui est-il indépendant de celui de la veille ?

L’ingrédient de base d’1 ARMA est le bruit blanc. Par ex.

( )2,0~ εσε Nt i.i.d.

3 implications :

( ) ( ) 0,, 21 == −− Ltttt EE εεεε( ) ( ) 0,cov == −− jttjtt E εεεε( ) ( ) 2

21 ,,varvar εσεεεε == −− Ltttt

1.

2.

3.


1.4. Quelques modélisations simples des rentabilités financières1 + 2 = absence de toute corrélation sérielleou prédictibilité,

3 = homoscédasticité conditionnelle,

Le bruit blanc est inintéressant en soi ; d’où le recours à des combinaisons linéaires :

ttt xx εφ += −1

1−+= tttx θεεtptpttt xxxx εφφφ ++++= −−− L2211

qtqtttx −− +++= εθεθε L11

qtqttptpttt xxxx −−−−− +++++++= εθεθεφφφ LL 112211Les ARMAs sont des processus générateurs de données, générant une suite {xt} étant données une suite de réalisations du bruit blanc et une valeur de départ de x.( ) ttxL εφ =−1

( ) tt Lx εθ+= 1

( ) ttp

p xLLL εφφφ =++++ L2

211

( ) tq

qt LLx εθθ +++= L11

( ) ( ) tq

qtp

p LLxLLL εθθφφφ +++=−−−− LL 12

21 11


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1.4. Quelques modélisations simples des rentabilités financièresDe manière plus générale, un AR, un MA et un ARMA peuvent respectivement s’écrire :

Exemple : un AR(1) est un ARMA(k,k – 1)

( ) ttxLa ε=( ) tt Lbx ε=

( ) ( ) tt LbxLa ε=

tttktk

ktk

tttt xxxx εφεεφεφφεφ +++++=⇔+= −−+−−

−− 122

11

1 L

0lim1 =⇒< −∞→ ktk

k xφφ

( )∞⇒= ∑∞

=− MA

0jjt

jtx εφ

Avec l’opérateur L,

( ) ( ) .11 1tttt LxxL εφεφ −−=⇔=−

11 Si <⇒< Lφφ

( ) ( ) ∑∞

=−

− =+++=−=0

221 11j

jtj

ttt LLLx εφεφφεφ L


1.4. Quelques modélisations simples des rentabilités financièresDans les 2 cas, nous avons requis :

Or, tous les ARMAs ne sont pas inversibles : on ne peut pas toujours exprimer xt en fonction des seules valeurs présente et passées de εt.

L’ auto-covarianced’une série xt est :

1<φ

( ) ( )( ) ( )( )jtjtttjttj xExxExExx −−− −−== ,covγ

Avec E(xt) = 0, il vient : ( )jttj xxE −= ,γA noter aussi que : ( )txvar0 =γLa corrélation entre xt et xt-j est donnée par l’auto-corrélation :

( ) 0var γγγρ jtjj x ==

La covariance entre xt et xt-j est la même que la covariance entre xt et xt-j-1, etc. c-à-d. la covariance dépend de la séparation j entre les x et non de t. C’est la condition de stationnarité.

On montre que tout modèle inversible présente cette propriété.

Auto-covariance et auto-corrélation sont des caractéristiques importantes d’une série.

La corrélation entre xt et xt+1 est une mesure de persistance : tendance d’une observation haute (basse) d’être suivie d’une observation haute (basse).


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23

1.4. Quelques modélisations simples des rentabilités financièresEquations de Yule-Walker (exemple d’un AR(3)) :

Multiplions les 2 membres par xt-j , prenons l’espérance, puis, divisons par

On obtient :

( )txvar0 =γttttt xxxx εφφφ +++= −−− 332211

jρ L,1,0=j

02

332211 /1 γσρφρφρφ ε+++=

231211 ρφρφφρ ++=

132112 ρφφρφρ ++=

312213 φρφρφρ ++=

332211 −−− ++= kkkk ρφρφρφρ

( )332211

2

02

1 ρφρφρφσγσ ε

++−==x



Prévision : E(xt+j | toute information disponible jusqu’en t).

La précision de la prévision est mesurée par :

( ) ( )LL ,,,,, 11 −−++ ≡ ttttjtjtt xxxExE εε

( ) ( )LL ,,,,,varvar 11 −−++ ≡ ttttjtjtt xxxx εε

Exemple : AR(1) : 11 ++ += ttt xx εφ

( ) ( )( ) ( )( ) t

kktt

ttttttt

tttttt

xxE

xxExE

xxExE

φφεφεφφεφ

===++==+=

+

+++

++2

212

2

11

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 2)1(242

2221

22

211

1var

1varvar

varvar

ε

ε

ε

σφφφσφεφεφ

σεφ

−+

+++

++

++++==+=++=

=+=

kktt

tttttt

ttttt

x

xx

xx

L


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24

1.4. Quelques modélisations simples des rentabilités financièresA remarquer que :

( ) ( )tkttk

xExE ==+∞→

0lim

( ) ( )∑∞

=+

∞→=

−==

0

22

22 var1

1varlim

jt

jktt

kxx εε σ

φσφ

Les moments non conditionnels sont les limites des moments conditionnels

La prévision consiste donc à exploiter, pour j > 0, le fait que :

( ) 0=+ jttE ε ( ) 2var εσε =+ jtt

et exprimer :

( ) ( )1111 ,,, defn ,,,,, defn +−−+−−+ += tjtjtttttjt xxx εεεεε LLL

Les deux termes définissent respectivement la moyenne conditionnelle ou prévision et la variance conditionnelle ou erreur de prévision.

Pour calculer les moments, on a exploité leur non dépendance du temps :

( ) ( ) stxExE st et tout pour tout =

( ) ( ) stxxExxE jssjtt et tout pour tout −− =


1.4. Quelques modélisations simples des rentabilités financièresTout ARMA inversible présente ces propriétés, lesquelles reflètent toutefois une propriété encore plus importante.

Un processus { xt} est strictement stationnaire si la distribution de probabilité jointe de

{ xt-s, …, xt, …, xt+s} est indépendante de t pour tout s.

Un processus { xt} est faiblement stationnaire ou stationnaire en covariance si E(xt) et E(xt2) sont finis et E(xtxt-j) ne dépend que de j, pas de t.

La stationnarité stricte n’implique pas la stationnarité faible : il faut en outre que E(xt2) soit finie.

Stationnarité stricte+ E(xt) et E(xt2) finis => stationnarité faible.

La stationnarité faible n’implique pas la stationnarité forte : si le processus n’est pas normal, d’autres moments peuvent dépendre du temps.

Faible stationnarité + normalité => stationnarité stricte.

Une fonction non linéaire d’une variable strictement stationnaire est strictement stationnaire

Si les variances conditionnelles varient dans le temps, la série peut quand même être stationnaire : la définition requiert seulement que les covariances non conditionnelles ne soient pas fonctions du temps.

Non stationnarité � racine unitaire ? Non, la présence d’une racine unitaire est une forme spécifique de non stationnarité : il y en a tant d’autres.


Documents

Econométrie des Marchés Financiers