Économie pour les ingénieurs Chapitre 2 Les formules déquivalence et dintérêt

Économie pour les ingénieurs

Chapitre 2

Les formules d’équivalence et d’intérêt

Plan du chapitre

• L’intérêt : le loyer de l’argent• L’équivalence économique• L’élaboration des formules d’intérêt• Les calculs d’équivalence non classiques• Les calculs par ordinateur

Chapitre 2 : Les formules d'équivalence et d'intérêt

2.1 L’intérêt : le loyer de l’argent

• Les décisions en ingénierie impliquent souvent un arbitrage entre les bénéfices et les coûts qui sont réalisés à des périodes différentes dans le temps.

• Typiquement, on investit aujourd’hui dans un projet pour en tirer des bénéfices dans l’avenir.

• Ce chapitre examine comment on peut faire des comparaisons entre des bénéfices et des coûts qui sont réalisés à différentes périodes dans le temps.

• La clé de ces comparaisons est le taux d’intérêt.



• La valeur temporelle de l’argent

– L’argent possède un potentiel de profit dans le temps.

– Un dollar reçu aujourd’hui a plus de valeur qu’un dollar reçu à une date ultérieure.



• Les éléments des transactions à intérêt– Capital (P)– Taux d’intérêt (i)– Période d’intérêt – Nombre de périodes d’intérêt (N)– Plan des recettes ou des débours

(paiements) (A)– Somme capitalisée (F)


Un diagramme de flux monétaire et la convention de fin de période


Les méthodes de calcul et l’intérêt

• L’intérêt simple

IS = iPN

F = P + I = P + iPN = P(1 + iN)• L’intérêt composé


Les méthodes de calcul et l’intérêt


+ = P(1 + i)2 + P(1 + i)2 i = P(1 + i)3 P(1 + i)2 iP(1 + i)23

+ = P(1 + i) + P(1 + i) i = P(1 + i)2 P(1 + i) iP(1 + i)2

+ = P + P i = P(1 + i)P iP1

Montant de la dette à la fin de la périodeMontant des intérêts

Montant du prêt

Début de période

+ = P(1 + i)N [P(1 + i)N-1] iP(1 + i)N-1N

...

...

...

Exemple

• Prêt de 1000 $ pendant 3 ans à un taux d’intérêt simple de 5 %/an. Combien sera remboursé à la fin de trois ans ?

• Solution– Intérêt par année = 1000(0,05) = 50 $– Intérêt total sur trois ans = 1000(3)(0,05) =

150 $– Montant à rembourser à la fin de trois ans

= 1000 + 150 = 1150 $


Exemple

• Prêt de 1000 $ pendant 3 ans à un taux d’intérêt composé de 5 %/an. Combien sera remboursé à la fin de trois ans ?


Exemple

• Solution– n = 1 : 1000,00(0,05) = 50,00 $– Dette à la fin n = 1 : 1000 + 50 = 1050 $– n = 2 : 1050,00(0,05) = 52,50 $– Dette à la fin n = 2 : 1050 + 52,50 = 1102,50

$– n = 3 : 1102,50(0,05) = 55,13 $– Dette à la fin n = 3 : 1102,50 + 55,13 =

1157,63 $


Exemple

• Solution (méthode plus rapide)– n = 1 : 1000,00(1,05) = 1050,00 $– n = 2 : 1000,00(1,05)2 = 1102,50 $– n = 3 : 1102,50(0,05)3 = 1157,63 $


Commentaires

• La divergence entre l’intérêt simple et l’intérêt composé croît à chaque année.

• Avec les paramètres précédents:– Sur 10 ans la différence est de 128,90 $– Sur 20 ans la différence est de 653,30 $

• Manhattan • Intérêt simple = capital x nombre de périodes x taux

d’intérêt• Intérêt composé = (capital + intérêt couru) x taux

d’intérêt


http://www.karlonia.com/2008/05/26/figuring-compound-interest-why-saving-is-important/

2.2 L’équivalence économique

• Différentes sommes d’argent à différents moments peuvent avoir la même valeur économique.

• Pris ensemble, la valeur temporelle de l’argent et le taux d’intérêt permettent de développer le concept de l’équivalence économique.

• Pour un taux d’intérêt de 6 %/an, 100 $ aujourd’hui et 106 $ dans un an sont équivalents.



• On peut aussi examiner l’équivalence pour les années antérieures en appliquant la même logique.

• La somme de 100 $ aujourd’hui est équivalente à 94,34 $ (100$/1,06) il y a un an pour un taux d’intérêt de 6 % par année.






2.3 L’élaboration des formules d’intérêt




• Les tables d’intérêt

F = 20 000 $(1 + 0,12)15 = 109 472 $

Annexe C

(1,12) 15 = 5,4736

• La notation des facteurs

F = P(1 + i)N = P(F/P, i, N)



• Facteur de capitalisation– Si une somme actualisée, P, est investie

pendant N périodes d’intérêt à un taux, i, quelle somme sera accumulée à la fin de N périodes ?

– F = P(1 + i)N = P(F/P, i, N)


2.3.2 Les formules de flux monétaires uniques

• Facteur d’actualisation– Pour trouver un montant actualisé, P, si un

montant, F, est fourni à un taux, i.

– P = F(1 + i)-N = F(P/F, i, N)








2.3.3 Les flux monétaires irréguliers

2.3.3 Les flux monétaires irréguliers

• P = 25 000 $(P/F, 10%, 1) + 3 000 $(P/F, 10%, 2) + 5 000 $(P/F, 10%, 4)


2.3.4 Les annuités

• Facteur de capitalisation d’une annuité - Trouver F, étant donné A, i, N.

• Facteur d’amortissement - Trouver A, étant donné F, i, N.

• Facteur de recouvrement du capital - Trouver A, étant donné P, i, N.

• Facteur d’actualisation d’une annuité - Trouver P, étant donné A, i, N.


2.3.4 Les annuités

• Facteur de capitalisation d’une annuité


2.3.4 Les annuités


F = A(1 + i)N-1 + A(1 + i)N-2 + … + A(1 + i) + A

F = A + A(1 + i) + A(1 + i)2 + … + A(1 + i)N-1

(1 + i)F = A(1 + i) + A(1 + i)2 + … + A(1 + i)N

F(1 + i) - F = - A + A(1 + i)N

= A(F/A, i, N)F = (1+i)N - 1

iA

2.3.4 Les annuités


2.3.4 Les annuités

• Facteur d’amortissement


= F(A/F, i, N)F (1 + i)N - 1

iA =

2.3.4 Les annuités

• Facteur de recouvrement du capital


(1 + i)N - 1

iA = PP

(1 + (1 + ii))NN

= P (A/P, i, N)

2.3.4 Les annuités

• Facteur d’actualisation d’une annuité


(1 + i)N - 1P = AA

i (1 + (1 + ii))NN= A (P/A, i, N)

2.3.5 Le flux monétaire d’un gradient linéaire







• Facteur d’actualisation


P =G

(1+ i)N −iN −1i2(1+ i)N

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥=G(P / G, i,N)


• Facteur de conversion du flux monétaire d’un gradient en annuité


A =G(1+ i)N −iN −1

i (1+ i)N −1⎡⎣ ⎤⎦

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥=G(A / G, i,N)


• Facteur de capitalisation


F =

Gi

(1+ i)N −1i

−N⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥=G(F / G, i,N)

2.3.6 Le flux monétaire d’un gradient géométrique



• Facteur d’actualisation



• Facteur de capitalisation





2.4 Les calculs d’équivalence non classiques

• Les flux monétaires composés

• La détermination d’un taux d’intérêt pour établir une équivalence économique



00 11 44 5533 6622

50$50$

100$100$

150$150$200$200$

100$100$ 100$100$

150$150$ 150$150$ 150$150$

77 88 99

543,72$543,72$

Calcul avec la méthode 1 :Calcul avec la méthode 1 : [50$(P/F,15%,1) = 43.48$] + [100$(P/F,15%,2) = 75.61$] + [100$(P/F,15%,3) = 65.75$] + [100$(P/F,15%,4) = 57.18$] + [150$(P/F,15%,5) = 74.58$] + [150$(P/F,15%,6) = 64.85$] + 150$(P/F,15%,7) = 56.39$ + [150$(P/F,15%,8) = 49.04$] + [200$(P/F,15%,9) = 56.85$] = 543.72$543.72$


00 11 44 5533 6622

50$50$

100$100$

150$150$200$200$

100$100$ 100$100$

150$150$ 150$150$ 150$150$

77 88 99

Groupe 1Groupe 1Groupe 2Groupe 2

Groupe 3Groupe 3 Groupe 4Groupe 4

50$(P/F,15%,1) = 43.48$

100$(P/A,15%,3)(P/F, 15%,1) = 198,54$

150$(P/A,15%,4)(P/F,15%,4) = 244.45$

200$(P/F,15%,9) = 56.85$

Calcul avec la méthode 2 :Calcul avec la méthode 2 :



F F 11= ? = ?

1321 30 654 127 1098 11 17161514 18 19 20

Stratégie 1Stratégie 1

100 000$100 000$

F F 22= ? = ?

1321 30 654 127 1098 11 17161514 18 19 20


100 000$100 000$

FF1 1 = 100 000$(F/A,7%,7)(F/P,7%,13) = 2 085 485 $= 100 000$(F/A,7%,7)(F/P,7%,13) = 2 085 485 $

FF2 2 = 100 000$(F/A,7%,13) = 2 014 064 $= 100 000$(F/A,7%,13) = 2 014 064 $



FF11 = ? = ?

1321 30 654 127 1098 11 17161514 18 19 20


100 000$100 000$

FF22 = ? = ?

1321 30 654 127 1098 11 17161514 18 19 20


100 000$100 000$

V7 = 100 000$(F/A, i, 7)

V7 = 100 000$(P/A, i, 13)



Pour assurer l’équivalence : 100 000$(F/A, i, 7) = 100 000$(P/A, i, 13)

Essaie et erreur…

Si i = 6 %… = 0,9482Si i = ? %… = 1Si i = 7 %… = 1.0355

i = 6% + (7% - 6%)

1 - 0,9482

1.0355 - 0,9482

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥= 6,5934%

(F/A, i, 7)

(P/A, i, 13)= 1



i

(F/A, i, 7)/(P/A, i, 13)

6,5934%

1,0000

7%

1,0355

6%

0,9482

Fin du chapitre


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