7/25/2019 Ecricome 2014 e

1/5

Ecricome 2014

Les candidats sont invits soigner la prsentation de leur copie, mettre

en vidence les principaux rsultats, respecter les notations de lnonc, et donner des dmonstrations compltes - mais brves - de leurs affirmations.

Si, au cours de lpreuve, un candidat repre ce qui lui semble tre uneerreur dnonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition enexpliquant les raisons des initiatives quil est amen prendre.

Aucun document nest autoris. Aucun instrument de calcul nest autoris.

Exercice 1

Soit flendomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique de R3 est :

A=

1 0 01 2 12 2 1

On considre les vecteurs u et v de R3 dfinis par :

u= (0, 1,2) et v= (0, 1,1)

On note Ker(f) le noyau de fet Im(f) son image. Si est une valeur propre de f,on dsigne par E(f) lespace propre de fassoci la valeur propre .

Partie I : Rduction de lendomorphisme f

1. Dterminer une base de Ker(f) et une base de Im(f).

2. Justifier que fnest pas bijectif. En dduire,sans le moindre calcul, une valeurpropre de f.

3. Prouver que uet v sont deux vecteurs propres de f.Prciser la valeur propre (respectivement ) associe u(respectivement v).Donner la dimension de lespace propre E(f) (respectivement E(f)).

4. Lendomorphisme fest-il diagonalisable ?5. Rechercher tous les vecteurs t= (x,y,z) de R3 vrifiant lquation :

f(t) = t + v

6. Dterminer un vecteur w de R3, dont la troisime coordonne (dans la basecanonique de R3) est nulle, telle que la famille C= (u , v, w) soit une base deR3 et que la matrice de fdans la base Csoit la matrice

T=

0 0 00 1 10 0 1

1

7/25/2019 Ecricome 2014 e

2/5

Partie II : Rsolution dune quation

Dans les questions 1,2 et 3 de cette partie, on suppose quil existe un endomor-phisme gde R3 vrifiant :

g g= f

1. Montrer que :f g= g f

En dduire que :f(g(u)) = 0 et f(g(v)) = g(v)

2. Justifier quil existe deux rels a et btels que g(u) = au et g(v) = bv.

3. On note Nla matrice de g dans la base C= (u , v, w) dfinie la question I.6.Justifier que :

N=

a 0 c0 b d0 0 e

o a et b sont les deux rels dfinis la question prcdente (II.2) et c, d, edesrels.

4. Existe-t-il des endomorphismes gde R3 tels que g g= f?Indication : Utiliser les matrices def etg dans la baseC= (u , v, w) dfinie la question I.6.

Exercice 2

On considre la fonction fdfinie sur [0;+[ par :

f(x) =

1 si x= 0

x

ln(1 + x) si x ]0; +[

ainsi que la suite (un)nNdfinie par :

u0= e et n N, un+1= f(un)

1. Dterminer le signe de f sur lintervalle [0; +[. En dduire que, pour tout

entier naturel n, un existe.2. crire un programme en Turbo-Pascal qui, pour une valeur N fournie par

lutilisateur, calcule et affiche uN.

3. Montrer que fest continue sur [0; +[.

4. tablir que fest de classe C1 sur ]0;+[.

5. Donner le dveloppement limit lordre 2 au voisinage de 0 de

ln(1 + x) x

1 + x

puis dterminer un quivalent de f(x) lorsque xtend vers 0.

2

7/25/2019 Ecricome 2014 e

3/5

6. Prouver que fest de classe C1 sur [0;+[.

7. tablir que :

x e 1, f(x) x et (x + 1)ln(x + 1) (x + 1)

En dduire que :x e 1, f(x) 0

8. Dmontrer que :n N, e 1 un

9. tablir que la suite (un)nNconverge et prciser la valeur de sa limite L.

Exercice 3

Soit p un rel appartenant lintervalle ouvert ]0; 1[. On noteq= 1 p.

On dispose dans tout lexercice dune mme pice dont la probabilit dobtenir PILEvaut p.

Partie I : tude dune premire exprience

On procde lexprience suivante E : On effectue une succession illimite delancers de la pice.

On note : pour tout entier naturel non nul n, Xn la variable alatoire gale au nombre

de PILE obtenus lors des npremiers lancers de la pice ; pour tout entier naturel non nul j, Fj lvnement : La pice donne FACE

lors du j -ime lancer ; Yla variable alatoire gale au nombre de FACE obtenus avant lapparition

du second PILE.

Par exemple, si les lancers ont donn dans cet ordre :

FACE, PILE, FACE, FACE, FACE, PILE

alors Y = 4.

On admet que les variables alatoires Xn (n N) et Ysont dfinies sur un mmeespace probabilis modlisant lexprience E.

1. Simulation informatique.

(a) crire une fonction en Turbo-Pascal den-tte :

function LANCER(p : real) : integer ;

qui cre un nombre alatoire dans lintervalle [0;1] et renvoie 1 si cenombre alatoire est strictement infrieur pet 0 sinon.

(b) crire une fonction en Turbo-Pascal den-tte :

3

7/25/2019 Ecricome 2014 e

4/5

function PREMIER_PILE(p : real) : integer ;

qui simule autant de lancers de la pice que ncessaire jusqu lobtentiondu premier PILE et renvoie le nombre de lancers effectus.Indication : si on le souhaite, on pourra utiliser la fonction LANCER en la

rptant convenablement.(c) crire un programme en Turbo-Pascal qui demande un rel p lutilisa-

teur, puis qui simule autant de lancers de la pice que ncessaire jusqulobtention du second PILE, et affiche le nombre de FACE obtenus entout.Indication : on pourra utiliser la fonction PREMIER_PILE en la rptantconvenablement.

2. Soitn un entier naturel non nul. Donner la loi de Xn. Prciser la valeur de sonesprance E(Xn) et de sa variance V(Xn).

3. Dterminer les valeurs prises par la variable alatoire Y.

4. Donner les valeurs des probabilits :P(Y = 0), P(Y = 1) et P(Y = 2)

5. Soit nun entier naturel. Justifier que les vnements :

(Y =n) et (Xn+1= 1) Fn+2

sont gaux.

6. Prouver que :n N, P(Y =n) = (n + 1)p2qn

7. Vrifier par le calcul que :

+n=0

P(Y =n) = 1

8. Dmontrer que la variable alatoire Ypossde une esprance E(Y) et donnersa valeur.

9. Soitk N. On noteYkla variable alatoire gale au nombre de FACE obtenusavant lapparition du k-ime PILE. En particulier, on a Y2= Y.En gnralisant la mthode utilise dans les questions prcdentes, dterminerla loi de Yk.

Partie I : tude dune seconde exprience

On procde lexprience suivante :F : Deux joueurs se relaient pour effectuer des lancers successifs de la pice

pendant la pause djeuner.Le joueur 1 arrive 12h (considr comme linstant 0) et joue jusqu larrive du

joueur 2.Le joueur 2 arrive au hasard entre 12h et 13h puis joue jusqu 13h (considr commelinstant 1).

On note :

4

7/25/2019 Ecricome 2014 e

5/5