E L A R G I S S E M E N T D U A U B R U I T D t l S P E C T R E D ' U N O S C I L L A T E U R

par Julien LOEB I n g 6 n i e u r en Chef de s T 6 1 6 c o m m u n i c a t i o n s .

SOMMAIRE. - - Le bruit, de nature aldatoire, produit un glargissement de la raie spectrale produite. Si le bruit ther mique est seul present, on arri~,e 5 la /ormule

8c%1c% = nlk IT[coo/8rqlW~ [Q~, oh les symboles ont le sens su&ant : - - ( O o : pulsat ion de l ' o s c i U a t e u r . - 8COo: largeur du s p e c t r e . - k : cons- tante de Bol t zmann (1.38 J0 -z~ foule). - - T : temp&atures en degrds Kelv in . - - W.~ : puissance 3, l'entrde de l 'am- plificateur. - - Q : surtension du circuit osciIIant (unique). - - n : [acteur de bruit de l 'unvplificateur (exprimd en

rapport de puissances).

PLAN. - - J . I n t r o d u c t i o n . - - 2. M o d U l e n o n l i n d a i r e p o u r o s c i l l a t e u r . - - 3. E n t r a i n e m e n t d e s o s c i i l a - t e n t s . ~ 4. E f [ e t d u b r u i t . - - 5. C o n c l u s i o n s .

I N T R O D U C T I O N .

A proprement parler, il n'existe rien duns la nature qui ressemble hun oscillateur monochroma- tique ; on sait bien que le bruit, de nature al6atoire, est finalement responsable de l'61argissement des tales spectrales 6mises. Une fois que tousles signaux parasites tels que l'effet microphonique, etc.., ont 6t6 61imin6s, il reste le bruit thermique dont le spectre de puissance est donn6 par la formule de Nyquist. Aussi peut-il ~tre int6ressant de calculer la largeur uhime de la raie spectrale 6raise, li6e au bruit thermique. L'objet de cette note est d'ana- lyser I'effet du bruit thermiquc sur un osciltateur 61cctronique classique.

2. M O D U L E N O N L I N 2 A I R E P O U R U N O S C I L L A T E U R .

La m6thode dire de la ~ fonction de description ~ est devenue un moyen classique pour analyser des syst6mes non lin6aires tels que des amplificateurs.

x cos urt x Y(x) cos cot x C(x)A(~cos[ to t§

FIG. 1. - - O s c i l l a t c u r n o n l i n 6 a i r e .

Comme on le voit sur la figure 1, la boucle compl6te comporte deux 616ments en cascade. Le premier (l'amplificateur) donne ua courant de sortie limit6 et d6form6 par la saturation. On suppose que cet 616ment change une tension d'entr6e sinusoidale x cos cot en un autre signal dont on ne consid6re que le I er harmonique. Bien entendu, la tension de sortie contient des harmoniques sup6rieurs, mais nous supposons essentiellement que ces harmoniques sont tihrds par le r6seau lin6aire qui suit.

Donc, pour le pr6sent calcul, nous 6crirons sim- plement la fonction de sortie :

xf(x) cos cot

off f(x) repr6sente Faction de l'amplificateur d6nu6e de route caract6ristique temporelle telle qu'un d6phasage. Le second 616ment sera un r6seau lin6aire d6fini par la fonetion de transfert classique C(p).

L'oscillation s'6tablit pour toutes les paires de valeurs de x et co telles que

(1) f(x) (:(col) = J, 1.5 : - ~.

La simple 6quation (l) rend compte de certaines causes d'instabilit6 du fonctionnement de l'oscil- lateur, ind6pendamment de changements survenus dans le r6seau lin6aire.

Si f(x) n'introduit pus de d6phasages, la fr6quence effective 6) o est dorm6e par la relation n6cessaire et suffisante :

(2) Phase de C(j(o) = r:.

L'amplitude s'ajuste automatiquemcnt h une valeur x o telle que

(3) f(x0)[C(j@l : 1.

Dans ce cas nous devons remarquer qu'aucune d6rive du gain de l'amplificateur ne peut produire de d6rive de fr6quence.

Dans les cas pratiques, f(x) n 'es t pas compl6te- ment exempte de caract6ristiques temporelles (par exemple, dans les oscillateurs h haute fr6quence la vitesse finie des 61ectrons donne un retard de phase 6troitement li6 h l'amplitude du signal). Mais duns cette note, nous nous int6ressons h la limitation / o n d a m e n t a l e due au bruit de ta pr6cision d'un oscil- lateur ot nous n'avons pas besoin de consid6rer des effets d'amplitude qui peuvent ~tre 61imin6s (du moins th6oriquemeat).

Le bruit thermique n'est pus seulement carac- t6ris6 par son amplitude: il a une distribution spectrale, donn6e par l'6quation de Nyquist

(4) w s = kTB ,

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J , LOEB

oft W~ est la puissance engendr6e dans un dip61e r6sistant h la temp6rature absolue T dans la bande de fr6quence B (k est la constante de Boltzmann : k = 1,38 10 --28 joule). Le calcul qui suit donne l'effet du bruit (dont le spectre est connu) sur la largeur de la raie spectrale 6mise.

3. E N T B ~ I N E M E N T D E S O S C I L L A T I O N S .

Le ph6nom~ne de l'entralnement de fr6quence a 6t6 souvent d6crit. Nous utiliserons la m6tbode de Cahen et Loeb (i952).

Fxa. 2. - - Oscillateur entrain6.

Sur la figure 2, la repr6sentation classique de l'oscillateur comporte deux entr6es, h l'616ment soustracteur D. Supposons que, h ces bornes d'en- tr6e, on applique la tension

z = a cos (o~o + ~o~) t.

oft co0 est la pulsation de l'oscillation et x 0 son amplitude quand a = 0. Quand l'6cart 8o~ est tr~s grand, il y a battement ~ la fr6quence 8co mais quand il diminue la synchronisation se produit.

Le plus grand ~cart 8~ qui permette la synchro- nisation est 8c% donn6 par

(5) 8COo- & I ~(O~o). - x o ] ~r "

Dans cette 6quation ~ est ]e d6phasage du r6seau lin~aire. On dolt supposer alors que ~ ne d~pend pas de z.

La formule g6n~rale est quelque peu plus compli- qu6e. Quand le circuit lin6alre est un r6sonateur dont la fr6quence naturelle est (oo et la surtension Q~ o n a

(6) 8~o1~o = ,qXo 2Q.

Maintenant, nous allons calculer ce qui se produit lorsque, au lieu d'une tension d'entr6e sinusoidale z -~ a cos (o} o + ~ ) t nous avons un bruit ther- mique.

[ANNALE~ DES. TI~LI~COMMUNIC~TION$

4. E F F E T D U B B U I T .

Le point d61icat de la th6orie est celui-ci : nous consid6rons une largeur de bande 8co0 de la raie spectrale encore inconnue. La puissance du bruit aux bornes d'entr~e de l'amplificateur est

(7) W = nkTStoo[2~,

oh n e s t le facteur de bruit, exprim6 cn rapport de puissances. Si c'est 6 dB, on a n ~ 6. Nous avons 6crit 2~ au d6nominateur, en supposant que la puissance de bruit est 6galement r6partie entre la source et l'amplificateur. Si maintenant R e s t la r6sistance d'entr6e de l'amplificateur, nous pouvons calculer la moyenne quadratique b ~ de la tension de bruit

(8) be= nkT.R86%]27z.

Cette tension moyenne quadratique peut gtre consid6r6e comme r6sultant du processus al6atoire suivant : une tension sinusoidale a cos 6)' tes t appli- qu6e h l'entr6e de l'amplificateur, oft ~ ' est une fr6quence al6atoire comprise entre oo et ~o + 8~o, avee une probabilit6 uniforme. La puissance dans ce processus al6atoire est 6gale h W de la formule (7) si

(9) x 2 = 2 b 2,

d' ofi

(10) a = v/ nkTB$cooln.

La largeur 860 o de la raie spectrale sera eonnue en portant dans (6) la valeur de x tir6e de (tO).

(ti) ~,oolo~o = nkTRool~x~ 4Q ~.

Or, ~ I 2 R est la puissance W~ "~ l'entr6e de l'am- plificateur. Finalement on a :

(12) ~r162 = nkTcoolS=W~ q2.

5. C O N C L U S I O N S .

Premi~rement, l'6quation (12) montre comment la pr6cision d'un oscillateur est augment6e lorsque Q est accrue, mais il n 'y a aucune relation 6troite entre 8coo et la largeur de la courbe de r6sonancc too/Q. En fait, le niveau de puissance W~ aux bornes d'en~r6e de l'amplifieateur joue un r61e tr~s impor- tant. Le second point est que, mgme si la pattie non lin6aire de la boucle est parfaite, c'est-h-dire ne cause aucun d6phasage, le bruit produit un 61arglssement de la raie spectrale 6raise.

Manuscrit re~u le t3 mai 1959.

Le Gdrant : A. DUTILLEUL.

Imprimerie TAFFIN-LEFoRT, ~. Lille (France). - - Published in France.

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