Electro Cine Tique

Pascal LOOS Chapitre 1 : Les bases de l'lectrocintique Page 1

Chapitre 1 LES BASES DE L'ELECTROCINETIQUE

Notations utilises dans le cours : Sauf prcisions, on utilise les notations conventionnel-les suivantes : "minuscules" : u, i, p, : grandeurs fonctions du temps, en remplacement de u(t), i(t), p(t), "MAJUSCULES" : U, I, Umoy, : grandeurs indpen-dantes du temps. "Caractres gras" : E, B, F, : grandeurs vectoriel-les, en remplacement de ... , , , FBE

rrr

"Caractres souligns" : U, I, Z, : grandeurs com-plexes associes des grandeurs sinusodales.

I. DEFINITIONS.

I.1. Courant I.1.a. Dfinition.

Un courant lectrique est une circulation de porteurs de charges lectriques. L'intensit du courant lectrique est la grandeur qui quantifie le dbit de charge en un point du circuit.

t

qidd

= (I-1)

L'orientation du circuit en ce point fait que l'intensit est une grandeur algbrique (avec un signe). C'est une variable de flux.

I.1.b. Loi des intensits (loi des nuds). La somme de toutes les intensits des courants entrant dans une portion de circuit est nulle.

I.1.c. A.R.Q.S. : La loi qui prcde ne peut tre considre comme exacte que dans le cadre de l'approximation des rgi-mes quasi stationnaires (ARQS) : c'est dire dans les cas o le produit de la dimension du circuit par la fr-quence des intensits considres est trs infrieur la clrit (vitesse) de la lumire. Par exemple, pour des frquences de l'ordre de 1 MHz, la dimension du circuit doit tre trs infrieure 300 m.

I.2. Tension ou d.d.p. I.2.a. Dfinition

C'est une variable d'effort. Pour obtenir une circulation de courant dans un circuit, il faut qu'au moins deux points de ce circuit soient un instant donn des potentiels diffrents. C'est une grandeur algbrique. Conventionnellement, on reprsente la tension BAAB vvu = entre les points

A et B du circuit par une flche dirige vers le point A (la premire des deux lettres A et B).

BA

uAB

I.2.b. Loi des tensions (loi des mailles). La somme des tensions effectue en parcourant une maille est nulle.

BA uAB

CuBCuCA

En effet 0AA = vv

00

CABCAB

ACCBBA

=++

=++

uuu

vvvvvv

I.3. Diple I.3.a. Dfinition.

Elment d'un circuit lectrique comportant deux bor-nes. Il impose une relation entre la tension u ses bor-nes et l'intensit du courant i qui le traverse. La fonction f liant u i : u = f(i) impose par le diple est appele caractristique du diple. Par extension ce terme dsigne aussi la reprsentation graphique de cette fonction.

I.3.b. Convention de flchage. - Convention rcepteur :

BA

uAB

iAB

Le courant et la tension sont flchs en sens inverse. Cela permet d'obtenir deux grandeurs positives pour des diples s'opposant la circulation du courant.

- Convention gnrateur : BA

uABiBA

Le courant et la tension sont flchs dans le mme sens. Cela permet d'obtenir deux grandeurs positives pour des diples favorisant la circulation du courant.

Ces deux conventions existent du fait de la rpugnance de nos anciens utiliser les nombres ngatifs.


I.3.c. Puissance lectrique La puissance instantane mise en jeu par un diple est :

iup = (I-2) Cette puissance correspond la puissance consomme lorsque u et i sont flchs selon la convention rcepteur et la puissance fournie lorsqu'ils sont flchs avec la convention gnrateur.

I.4. Vocabulaire - Conducteur : partie du circuit - Nuds : connexion de plusieurs conducteurs Les dfinitions suivantes sont extraites du dcret du 14 novembre 1988 (88-1056), section I article 2, disponi-ble sur le site http://www.legifrance.gouv.fr - Circuit : ensemble de conducteurs et de matriels

aliments partir de la mme origine et protgs contre les surintensits par le ou les mmes dispo-sitifs de protection.

- Masse :) est la suivante" partie conductrice d'un matriel lectrique susceptible d'tre touche par une personne, qui pas normalement sous tension mais peut le devenir en cas de dfaut d'isolement des parties actives de ce matriel"

- Point froid ou potentiel de rfrence : potentiel par rapport auquel on va mesurer les diverses tensions du circuit.

- Terre : le dcret du 14 novembre 1988 indique :" Masse conductrice de la terre, dont le potentiel lectrique en chaque point est considr comme gal zro.

Remarque : frquemment les GBF qui alimentent les montages ont leur point froid reli la masse elle-mme relie la terre, do les confusions faites sur ces diffrents termes.

II. DIPOLES LINEAIRES Ce sont des diples pour lesquels la fonction f, telle que u = f(i), est une fonction diffrentielle coeffi-cients constants. Exemples :

t

iBiAu

iAuAu

dd

+=

=

=

II.1. Rsistances. II.1.a. Equation caractristique

Pour une rsistance on a : R

u

i

iRu = (I-3)

au cours du temps, tension et courant sont homothti-ques (de mme forme).

II.1.b. Puissance consomme

RuiRp

22

== (I-4)

On constate que cette puissance est chaque instant positive : la rsistance est un lment dissipatif.

II.1.c. Prcaution d'emploi En rgime tabli, la rsistance ne doit pas dissiper une puissance suprieure Pmax dont la valeur est en gn-ral prescrite par le constructeur. On en dduit les va-leurs maximales du courant et de la tension ne pas dpasser l'aide de la formule (I-4). La puissance dissipe l'est sous forme de chaleur, et c'est souvent l'augmentation de temprature qui est responsable de la destruction du composant. Pour des dures limites, il est parfois possible de dpasser Pmax, mais cela dpend de l'inertie thermique de la rsistance. En l'absence d'indication du constructeur, il est hasar-deux de tenter sa chance !

II.1.d. Lois d'association - En srie : 21eq RRR += (I-5)

- En parallle: 21

21eq RR

RRR

+

= (I-6)

Remarques : - La conductance d'une "rsistance" est la grandeur

G telle que : R

G 1= (I-7)

La relation (I-6) peut alors scrire : 21eq GGG +=

- Un conducteur idal sera suppos avoir une rsis-tance nulle : R = 0.

- La rsistance d'un conducteur homogne non idal

de section s et de longueur l est : s

lR = (I-8)

II.2. Condensateurs II.2.a. Equation caractristique

Pour un condensateur on a : C

u

i+q

-q

t

uCt

quCq

dd

dd

== (I-9)

t

uCidd

= (I-10)


l'quation (I-10) montre que la tension aux bornes du condensateur ne peut pas subir de discontinuit, cela correspondrait en effet un courant d'intensit infinie, donc une puissance infinie.

II.2.b. Puissance consomme L'quation (I-10) conduit :

t

uuCiup

dd

==

En utilisant la relation mathmatique suivante : ( )

t

uuu

t

u

t

uu

t

u

dd2

dd

dd

dd

2

=+= (I-11)

on obtient la relation (I-12) ( )

t

u

dd

C21p

2

= (I-12)

la puissance instantane consomme par un condensa-teur est lie la variation du carr de la tension ses bornes : si celui ci augmente, le condensateur consom-me de la puissance. Mais si le carr de la tension ses bornes diminue alors le condensateur fourni de la puis-sance au reste du circuit. L'nergie change entre 2 instants ti et tf vaut :

( )2221

CiCf uuCW = (I-13)

II.2.c. Prcaution d'emploi Il ne faut pas dpasser en valeur instantane la valeur maximale de la tension prescrite par le constructeur. En cas de dpassement, mme trs bref, on risque de pro-voquer un claquage entranant la destruction du com-posant. D'autre part les condensateurs lectrochimiques sont polariss : une tension inverse leurs bornes provoque un dgagement gazeux qui peut conduire une explo-sion.

II.2.d. Lois d'association - En parallle : 21eq CCC += (I-14)

- En srie: 21

21eq CC

CCC

+

= (I-15)

II.3. Inductances. II.3.a. Equation caractristique

Une inductance L est un diple tel que : L

ui

t

iLudd

= (I-16)

Cette relation vient de l'expression du flux du champ magntique et de la loi de Faraday qui seront vues en magntostatique :

t

iLt

ueiLdd

dd

t =

== (I-17)

L'quation (I-16) montre que l'intensit du courant traversant une inductance ne peut pas subir de dis-continuit, cela correspondrait en effet une tension infinie ses bornes, donc une puissance infinie.

II.3.b. Puissance consomme L'quation (I-16) conduit :

t

iiLiupdd

==

En utilisant la mme transformation mathmatique que pour le condensateur, on obtient la relation (I-18)

( )t

id

d L

21p

2

= (I-18)

la puissance instantane consomme par une inductan-ce est lie la variation du carr de l'intensit qui la traverse : si celui ci augmente, l'inductance consomme de la puissance. Elle en fourni dans le cas contraire.

L'nergie change entre 2 instants ti et tf vaut :

( )2221

LiLf iiLW = (I-19)

II.3.c. Prcaution d'emploi Il ne faut pas dpasser en valeur instantane la valeur maximale de l'intensit prescrite par le constructeur. En cas de dpassement, mme trs bref, on risque de "satu-rer" le circuit magntique, ce qui provoque une diminu-tion brutale de la valeur de l'inductance pouvant entra-ner une surintensit.

II.3.d. Lois d'association - En srie : 21eq LLL += (I-20)

- En parallle: 21

21eq LL

LLL

+

= (I-21)

Remarques : - Les lois prcdentes ne sont valables que pour des

inductances non couples magntiquement. - Les bobines utilises comme inductances sont

ralises l'aide de bobinage de fil de cuivre. La rsistance de ces bobines n'est pas toujours ngli-geable ce qui conduit modliser une bobine rel-le par l'association en srie d'une inductance idale L et d'une rsistance r.

L

ui

r

avec : irt

iLu +=dd

(I-22)

II.4. Source de tension II.4.a. Symbole et quation caractristique

Une source idale de tension est un diple tel que :


u

i

THeu = quelque soit i (I-23) Nous ne considrerons dans ce chapitre que des sour-ces de tensions continues, eTH sera donc constant et not ETH

II.4.b. Puissance et prcautions On utilise en gnral pour ces diples la convention gnrateur, la grandeur p reprsente alors la puissance fournie :

ETH

i

iEiup == TH

Cette puissance doit rester infrieure une valeur maximale impose par le constructeur, il s'ensuit qu'il existe une valeur maximale du courant que peut dbiter cette source de tension.

II.4.c. Associations - En srie : 21eq EEE += (I-24) - En parallle : il est interdit de placer en parallle

deux sources de tensions dlivrant des tensions diffrentes. Le courant de circulation serait en ef-fet infini.

Remarques : - Un conducteur parfait doit tre considr comme

une source de tension nulle c'est dire imposant : U = 0 quelque soit i.

- Rendre passive une source de tension consiste poser ETH = 0 c'est dire que l'on transforme la source de tension en fil (conducteur parfait). Sur le schma cela consiste supprimer le cercle :

0i

II.5. Sources de courant II.5.a. Symbole et quation caractristique

Une source idale de courant est un diple tel que :

u

i

Nii = quelque soit u (I-25) Nous ne considrerons dans ce chapitre que des sour-ces de courants continus, iN sera donc constant et not IN

II.5.b. Puissance maximale

Ces sources de courant sont en gnral ralises l'aide de systmes lectroniques et la tension leurs bornes est limite une valeur maximale Umax La puissance que peut alors dlivrer la source de cou-rant est donc infrieure :

Nmax IUiup ==

II.5.c. Associations et prcautions - En parallle : 21eq III += (I-26) - En srie : il est interdit de placer en srie deux

sources de courant dlivrant des courants d'in-tensits diffrentes.

- Une coupure du circuit doit tre considre comme une source de courant nul c'est dire imposant :

I = 0 quelque soit u. - Il peut tre dangereux d'ouvrir une branche conte-

nant un gnrateur de courant car cela revient placer en srie avec elle une source de courant nul.

- Rendre passive une source de courant consiste poser IN = 0 c'est dire consiste transformer la source de courant en coupure du circuit Sur le schma cela consiste supprimer le cercle :

u

0

II.6. sources lies (ou sources commandes) Il existe des sources de tension ou de courant dont la caractristique est impose par une autre tension ou un autre courant du circuit.

U = k.i' ou kv'I = k.i' ou kv'

Exemple :

iB

IN =. iB

La valeur de l'intensit dbite par la source de courant est impose par la valeur de iB circulant dans une autre branche. Il s'agit alors d'une source de courant com-mande en courant.

III. METHODE D'ETUDE DES CIRCUITS

III.1. Diviseur de tension, diviseur de cou-rant.

III.1.a. Diviseur de tension.


R1

u1

R2 R3

uT

Lorsque plusieurs rsistances sont en srie, la tension aux bornes de l'une d'entre elle peut tre dtermine par la relation :

=

++=

ii

TT RR

uRRR

Ruu 1

321

11 (I-27)

III.1.b. Diviseur de courant. R1i1

R2

R3iT

Lorsque plusieurs rsistances sont en parallle, le cou-rant qui traverse l'une d'entre elle peut tre calcul par la relation :

==

++=

i i

T

ii

TT

R

Ri

GG

iGGG

Gii

1

111

321

11 (I-28)

III.2. Gnrateurs rels III.2.a. Modle de Thvenin et modle de

Norton d'un gnrateur rel Beaucoup de gnrateurs ne peuvent pas tre consid-rs comme des sources idales. Ils sont alors modliss (dans un certain domaine de fonctionnement et au prix de quelques approximations) par l'association d'une source idale et d'un diple linaire.

Le modle quivalent de Thvenin (ou M.E.T.) d'un gnrateur rel comporte une source de tension en srie avec un diple linaire :

eTH

Dipolelinaire

En continu la source de tension est une source de ten-sion continue et le diple linaire une rsistance.

ETHr

Le modle quivalent de Norton (ou M.E.N) d'un gnrateur rel comporte une source de courant en parallle avec un diple linaire. En continu c'est l'as-sociation en parallle d'une source de courant et d'une rsistance :

r

IN

Equivalence des deux modles : Les rsistances r des deux modles sont les mmes. Les trois paramtres ETH, IN et r sont lis par la relation :

NTH IrE = (I-29)

III.2.b. Lois d'associations des gnrateurs rels.

- En srie : On transforme chaque gnrateur en M.E.T., puis on associe les sources de tensions en-tre elles, et les diples linaires entre eux :

E1r1 E2

r2

quivaut

E1 + E2r1 + r2

- En parallle : On transforme chaque gnrateur en M.E.N., puis on associe les sources de courant entre elles, et les diples linaires entre eux :

r1 I1

r2 I2

quivaut :

I1 + I2

21

21

rr

rr

+

III.3. Thorme de Thvenin et de Norton. Toute portion de circuit comprise entre 2 bornes A et B et qui ne contient que des lments linaires peut tre modlise par un unique gnrateur quivalent de Th-venin ou de Norton.

Exemple :

ER1

R2

A

B

III.3.a. Valeur donner ETH C'est la mme que la valeur de la tension existant " vide" entre A et B, c'est dire celle que relverait un voltmtre idal plac entre les bornes A et B. Pour l'exemple prcdent on a :


ERR

RE

+=

21

1TH : diviseur de tension.

III.3.b. Valeur donner IN C'est celle de l'intensit qui circulerait travers un fil reliant les bornes A et B c'est dire celle mesure par un ampremtre idal plac entre A et B. Dans notre exemple on obtient :

ER1

R2

A

B

IN

soit : 1

N REI = ; R2 tant court-circuite.

III.3.c. Valeur donner r C'est la rsistance quivalente celle du diple AB rendu passif , soit pour l'exemple celui de la figure ci-dessous :

R1R2

A

B

21

21eq RR

RRRr

+

== , Cf. (I-6)

Remarques : - La relation (I-29) liant ces trois valeurs, la dter-

mination de deux d'entre elles est suffisante pour raliser la modlisation.

- On aurait pu utiliser les lois d'association des gn-rateurs pour trouver le rsultat : Dans l'exemple prcdent on peut considrer qu'il s'agit de 2 gn-rateurs en parallles :

E

R1 R2A

B0

que l'on transforme en modles de Norton quivalents :

R1 R2

A

B

1RE

Ce qui conduit :

21

21 RR

RE

+

21

21

RRRR

+

A

B

L'intrt est que l'on peut remplacer ensuite cette portion de circuit par le diple quivalent trouv, ce qui peut faciliter la rsolution d'un problme.

III.3.d. Bon savoir ! Lorsqu'on cherche le modle quivalent d'un circuit on doit aussi appliquer les 2 rgles suivantes : Tous les diples en parallle avec une source de ten-sion idale peuvent tre enlevs : En effet le gnrateur idal de tension impose la tension ses bornes quels que soient les diples relis ces mmes bornes. Si ce n'tait pas le cas, ce ne serait pas un gnrateur idal de tension. Tous les diples en srie avec une source de courant idale peuvent tre enlevs : le gnrateur idal de courant impose le courant qui le traverse quels que soient les diples en srie avec lui..

E X

A

B E

A

B

X

IN IN

A B B A

III.4. Thorme de Millman. Il permet de trouver le potentiel d'un point du circuit lorsqu'on connat les autres.

R1

R2

X R3V1 V3

V2

321

3

3

2

2

1

1

X 111RRR

RV

RV

RV

V++

++

= (I-30)

La dmonstration est immdiate l'aide de la modlisa-tion par un ensemble de 3 gnrateurs en parallle :

V1

R1 R2X

MasseV2 V3

R3

En remplaant par les modles de Norton quivalent on obtient :

r1I1 r2I2 I3 r3

I1+ I2+ I3


Puis on applique la loi d'Ohm.

III.5. Thorme de superposition. Dans un circuit ne comportant que des lments linai-res et plusieurs sources, on peut calculer le potentiel d'un nud du circuit (ou le courant dans une branche) en faisant la somme des potentiels (ou des courants) obtenus lorsqu'on rend passif toutes les sources ind-pendantes sauf une. (Il est en revanche ncessaire de laisser les sources lies).

III.6. Dualit. III.6.a. Dfinition

Soit un diple D imposant entre u et i la relation : )(f A iu =

Le diple Dd est le dual du diple D si il impose l'qua-tion :

)(f A ui = ; c'est dire : )(f -1A iu =

III.6.b. Exemples

Nud : ( 0= i ) Maille : ( 0=u ) Source de courant Source de tension Circuit ouvert Court circuit Interrupteur ouvert Interrupteur ferm Inductance Condensateur Rsistance Conductance M.E.N. M.E.T. Diples en srie : Traverss par le mme courant

Diples en parallle : Soumis la mme tension

III.6.c. Circuit dual Le dual d'un circuit est un autre circuit dans lequel toutes les tensions auront chaque instant la valeur des courants du circuit d'origine et rciproquement. Pour dterminer le dual d'un circuit on utilise la mtho-de suivante : - On place un point dans chaque maille du circuit.

Chaque point correspondra un nud dual de cet-te maille dans le circuit dual.

- On place un point l'extrieur du rseau. - On relie ensuite ces points en passant sur les dip-

les existants.

A

BC

1

2

3

4

- Le circuit dual est constitu en plaant l'lment dual de l'lment qui apparat entre deux points du circuit source, entre les deux nuds correspon-dants du circuit dual :

A

B

CD1 D2

D4

D3

- L'orientation du circuit dual est obtenue en cri-vant les quations de nuds de ce circuit qui sont duales des quations de mailles du circuit source.

III.6.d. Intrt. Toutes les lois reliant les intensits dans un circuit sont applicables aux tensions dans le circuit dual et rcipro-quement.

Par exemples la formule du diviseur de courant peut tre dduite par dualit de la formule du diviseur de tension.

III.7. Conseils pour la rsolution des pro-blmes.

- Compter le nombre de nuds dans le circuit. Par exemple le circuit ci dessous ne comporte que 2 nuds donc une seule tension, les 3 diples sont donc en parallle :

- Affecter le potentiel 0 la masse du montage ou, dfaut de prcision la borne () du gnrateur d-livrant la tension la plus leve.

- Utiliser les lois permettant de rduire au maximum le circuit avec le minimum de calcul

- Vrifier que l'on utilise le diviseur de tension pour des rsistances effectivement en srie c'est dire traverse par le mme courant et le diviseur de courant pour des rsistances effectivement en pa-rallle c'est dire places entre les mmes nuds.

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