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Electromagnétisme 1
L3 PAPP - Année 2015-2016
Université Paris Sud
Catherine EvenCarole VouilleMatthieu Santin
L3 PAPP - 1er Semestre - Electromagnétisme I 2015/2016
TD 1 : Rappels
I. Un peu de maths
1. Soit x, y, t, α, k et ω des réels. Soit z le nombre complexe z = e−αx+i(ky−ωt). Quel est lemodule, l'argument, la partie réelle et la partie imaginaire de z ?
2. Écrire sous forme réelle le vecteur suivant (A et k´ sont des réels) :−→E (−→r , t) = A(k + ik′)e−αx+i(kz=ωt)−→uy.
3. Écrire sous forme complexe le vecteur suivant :−→E (−→r , t) = A cos(kx−ωt)−→uy+A sin(kx−ωt)−→uz.
4. Calculez le produit vectoriel et scalaire des vecteurs :
−→A =
A0 cos(kx=ωt)A0 sin(kx=ωt)
0
et−→B =
B0 sin(kx=ωt)−B0 cos(kx=ωt)B0 sin(kx=ωt)
.5. Calculer la moyenne temporelle des fonctions suivantes :
-f(t) = A cos(t)
-f(t, x) = A cos(kx− ωt)-f(t, x) = A cos2(x)sin(ωt)
-f(t, x) = Ae−αx cos2(kx− ωt).
6. Résoudre f ′+ αf = 0, avec α 6= 0.
7. Résoudre f ′′+ αf = 0, avec α 6= 0. Discutez le résultat selon le signe de α.
8. Calculez gradient et laplacien de V (−→r , t) = Ae−αx cos(ky − ωt).
9. Soit−→E (−→r , t) = A(k + ik′)e−αx+i(kz=ωt)−→uy. Calculez sa divergence, son rotationnel et son
laplacien.
10. Soit le vecteur−→E (x, y, z) = E0 sin(πxα )−→uz. Calculez le ux de
−→E à travers la surface S, où S
est un rectangle situé dans le plan d'équation z = z0, avec 0 < x < a et 0 < y < b.
II. Un peu d'électrostatique la goute d'huile chargée
On considère une goutte d'huile, de rayon a, ayant une densité volumique de charges ρ. Onveut étudier le champ électrique généré par cette goutte dans le vide. On se place en coordonnéessphériques, la goutte étant placée à l'origine. Vous admettrez que le potentiel s'écrit sous la forme :
V =
ρ
6ε0(a2 − r2) + Q
4πε0apour r ≤ a
Q4πε0r
pour r ≥ a
1. Exprimer le champ électrique−→E en tout point.
2. Calculer div−→E et
‚S
−→E−→.dS, où S représente une sphère centrée de rayon R.
3. Discuter les cas R > a et R < a. Que représente Q ?
III. Un peu de magnétostatique le l rectiligne parcouru par un
courant
On se place en coordonnées cylindriques de vecteurs unitaires −→ur, −→uθ et −→uz. Un l rectiligneinni parallèle à −→uz, de section circulaire de rayon a, est parcouru par un courant constant I ; ladensité volumique de courant −→j y est supposée uniforme sur une section.
1. Après avoir examiné les propriétés de symétrie, donnez l'expression du champ−→B (−→r ). Tracer
la courbe B(r). Le champ est-il continu en r = a ?
2. Calculer B à r = 1cm pour I = 1A et a = 1mm ; comparer cette valeur à celle de lacomposante horizontale du champ magnétique terrestre.
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TD 2 : ondes planes harmoniques
I. Champs électrique et magnétique dans le vide
Soit le champ électrique ~E d'une onde harmonique plane électromagnétique progressive rec-tiligne, orienté selon un vecteur unitaire ~u = (α, β, γ), de vecteur d'onde ~k = (a, b, c) associé, etd'amplitude E0.
1. Dénissez la longueur d'onde λ, la fréquence ν, la pulsation ω, la période T. Dénissez lapolarisation et le sens de propagation de l'onde.
2. Écrivez l'expression de l'onde plane en utilisant la notation complexe.
3. Explicitez les expressions de ~∇. ~E, ~∇∧ ~E, 4 ~E et ∂ ~E∂t .
On montrera qu'on a l'équivalence ~∇ ≡ i~k et ∂∂t ≡ −iω (ou bien ~∇ ≡ −i~k et ∂
∂t ≡ iω ).
4. Écrivez les équations de Maxwell dans le vide.
5. Déduisez que pour un champ ~E d'une onde plane progressive,(~k, ~E, ~B
)forment un trièdre
direct.
6. Représentez ces vecteurs en diérents points de l'espace à un instant donné, puis décrivezcomment ils varient en un point donné au cours du temps.
7. Retrouvez l'équation de propagation pour ~E et ~B, et en déduire la valeur de k/ω. En déduirele rapport E0/B0 des normes des champs électrique et magnétique.
8. Ces résultats restent-ils valables pour toute onde se propageant dans le vide ?
II. Onde plane émise par un laser
On considère un faisceau laser qui émet une onde plane monochromatique de longueur d'ondeλ = 488nm. Cette onde est polarisée rectilignement selon Oz et se propage selon Ox.
1. Écrivez les composantes de ~k, ~E, ~B et du vecteur de Poynting ~R. Calculez la moyenne tem-
porelle⟨~R⟩. Attention: l'utilisation de la notation complexe aboutit à un résultat faux.
Pourquoi? Pour vous en convaincre, faites le calcul.
2. Donnez l'expression de la densité volumique d'énergie électromagnétique, notée e, puis de sa
moyenne temporelle 〈e〉. En déduire la relation entre⟨~R⟩et 〈e〉. Interpréter.
3. Quelle est la puissance totale que transporte une onde plane? D'où vient le problème?
4. La puissance moyenne du laser est de 1 W. Le faisceau formé a une section de 1mm2. Calculerl'amplitude de ~k, ~E, ~B .
III. Polarisation d'une onde
Soit une onde caractérisée par un champ électrique ~E de la forme (Ex et Ey sont des constantesréelles) :
~E =
Exei(kz−ωt)
Eyei(kz−ωt+ϕ)
0
1. S'agit-il d'une onde plane? Progressive? Monochromatique?
2. A quelle(s) condition(s) cette onde a-t-elle une polarisation rectiligne? Quelle est alors ladirection de polarisation? Faire un schéma.
3. A quelle condition cette onde a-t-elle une polarisation circulaire droite ou gauche? Faire unschéma.
4. Dans le cas le plus général, on parle de polarisation elliptique. Pourquoi? Précisez à quellecondition la polarisation est droite ou gauche.
5. Dans le cas général (elliptique), exprimer la moyenne temporelle du vecteur de Poynting, etla comparer avec celle d'une onde à polarisation rectiligne.
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TD 3 : Réexion d'une onde électromagnétique sur un métal
I. Réexion en incidence normale sur une plaque métallique - pression
de radiation
Une OPPHS incidente de pulsation ω se propage dans le vide selon Ox. Le champ électriqueincident
−→Ei est polarisé rectilignement selon Oy. L'onde est rééchie par une plaque métallique
inniment conductrice située en x = 0 . Dans le vide, le champ électromagnétique total est donc lasomme de l'onde incidente et de l'onde rééchie.
1. Ecrire les composantes des champs incidents−→Ei et
−→Bi.
2. Quelle est la signication physique de l'hypothèse inniment conductrice ? Que valent leschamps
−→E et
−→B à l'intérieur de la plaque ?
3. Ecrire les relations de passage pour les champs−→E et
−→B à la surface de la plaque. En déduire
les champs−→Er et
−→Br de l'onde rééchie.
4. En déduire les champs−→E et
−→B de l'onde résultante dans le vide. De quel type d'onde s'agit-il
? Faire une représentation graphique de−→E ou
−→B .
5. A partir de la relation de passage pour−→B , trouver le courant surfacique −→js engendré par
l'onde à la surface de la plaque. Faire un schéma.
6. Quel type de force s'exerce sur la surface ? Pourquoi parle-t-on de pression électromagnétique? Calculer cette pression en fonction de ε0 et E0 après être repassé en notation réelle.
7. Déterminer sans calcul quelle va être la moyenne temporelle du vecteur de Poynting. Faire lecalcul pour vérier.
8. Prévoir qualitativement ce qui change si le métal n'est plus considéré comme parfaitementconducteur. Quelles seront les conséquences sur
−→E et
−→B dans le vide, dans le métal, et sur la
moyenne du vecteur de Poynting ?
II. Réexion d'une onde polarisée circulairement
Une onde plane électromagnétique, de polarisation circulaire gauche, se propageant dans le videdans le demi-espace x < 0 vers les x croissants, tombe en incidence normale, en x = 0, sur un planmétallique contenu dans le plan yOz. Le métal est supposé parfait.
1. Donner l'expression du champ électrique incident ~Ei d'amplitude notée E0, sachant qu'àl'instant t = 0 il est dirigé suivant l'axe Oy en x = 0.
2. Rappeler les conditions de passage relatives aux champs ~E et ~B et en déduire le champélectrique ~Er de l'onde rééchie.
3. Pour un observateur situé en avant du miroir (x < 0) qui verrait arriver l'onde rééchie, quellepolarisation a cette onde rééchie ? Déterminer la structure de l'onde résultante.
III. Réexion d'une onde sur des plans métalliques en incidence oblique
Une OPPHS incidente se propage selon−→k = k cos θ−→ux+k sin θ−→uy. On note ses champs
−→Ei et
−→Bi.
Le champ−→Ei est polarisé rectilignement selon Oz. L'onde est rééchie par une plaque métallique
inniment conductrice située en x = 0.
1. Rappeler l'équation de propagation et la relation de dispersion de l'onde incidente. Ecrire lescomposantes des champs
−→Ei et
−→Bi.
2. Écrire la relation de passage pour le champs−→E et
−→B à la surface de la plaque.
En supposant une forme générale de l'onde rééchie−→Er =
−→E′0e
i(−→kr.−→r −ωrt), en déduire les
champs−→Er et
−→Br de l'onde rééchie (démontrer au passage la loi de la réexion de Descartes).
3. En déduire les champs−→E et
−→B de l'onde résultante dans le vide. De quel type d'onde s'agit-il
?
4. On rajoute une deuxième plaque métallique inniment conductrice en x = −L. Ecrire lanouvelle condition au limite pour le champ
−→E .
5. Faire une représentation graphique de la condition trouvée (tracer ω en fonction de θ pour lesdiérentes valeurs de n). En déduire que cette ligne de transmission se comporte comme unltre en fréquence. Pour une onde de pulsation ω xée, quels sont les angles d'incidence θnadmis dans la cavité ?
6. A partir de ce qui précède, retrouver l'équation de dispersion des modes d'une onde TE.
7. En utilisant la relation de passage pour le champ−→B à la surface d'une plaque, en déduire le
courant surfacique −→js .
8. Etablir l'expression de la pression électromagnétique exercée sur une plaque en fonction deε0, E0 et θ.
IV. Métal normal : étude de la profondeur de peau
Une onde électromagnétique plane incidente polarisée rectilignement suivant Ox se propagesuivant l'axe Oz dans le vide. Un métal non parfait, de conductivité électrique σ nie, est placédans la partie de l'espace z > 0. On cherche à déterminer la nature de l'onde électromagnétiquequand elle pénètre dans le métal non parfait.
1. Écrire le champ−→Ei incident dans le vide (on notera k le module de son vecteur d'onde, et ω
sa pulsation).
2. Rappeler le cas du métal parfait (champ−→Em dans le métal et relations de passage).
Dans le cas du métal non parfait, on fait les trois hypothèses suivantes :(a) L'équation de Maxwell-Gauss peut s'écrire dans le métal div(
−→Em) = 0.
(b) La loi d'Ohm est valable dans le métal.(c)−→Em s'écrit sous une forme similaire à
−→Ei :
−→Em =
−−→Em0e
i(kmz−ωt), où−−→Em0 est un vecteur réel,
parallèle à Ox, mais où km peut être un nombre complexe. À l'aide des relations de passage, onpeut montrer que Em0 dépend de ω mais ce calcul n'est pas demandé dans cet exercice.
1. On veut justier l'hypothèse (a) div(−→Em) = 0. Pour cela, supposer qu'on crée un supplément
de charge de densité volumique ρ0 à un instant t = 0 et trouver la loi d'évolution de ρ aucours du temps. Exprimer le temps τ au bout duquel la charge initiale ρ0 devient négligeable.
A.N. : Calculer τ pour le cuivre (σ = 6.107Ω−1m−1). L'hypothèse (a) est-elle justiée dansle domaine des radiofréquences ? des hyperfréquences ?
2. Écrire les trois autres équations de Maxwell que satisfont dans le métal−→Em et
−→Bm et mon-
trer que dans l'équation de Maxwell-Ampère, on peut négliger un des termes à fréquencesusamment basse.
3. À partir de ces équations, trouvez l'équation de propagation pour−→Em et en déduire la relation
de dispersion liant km et ω.
4. Exprimer km et montrer que−→Em est atténuée suivant Oz. Dénir la distance caractéristique
δ pour cette atténuation et justier l'appellation épaisseur de peau.
5. Calculer δ pour le cuivre, pour les fréquences υ = 50Hz et υ = 1MHz . Décrire quali-tativement l'onde dans le métal dans ces deux cas (basse fréquence et radio fréquence) ensupposant que le métal a une profondeur de 1 mm selon z. En admettant que Em0 ∝
√ω,
que se passe-t-il si υ → 0 ?
6. Quelle est l'expression de la vitesse de phase vφ dans le métal ? La comparer à vφ dans levide.
7. Calculer le champ magnétique−→Bm associé à
−→Em dans le métal.
En déduire le vecteur de Poynting−→P dans le métal. Calculer sa moyenne temporelle en z =
0 puis en z = a.
En déduire la puissance moyenne dissipée dans un métal de longueur a δ et de sectionunité dans le plan xOy. Sous quelle forme cette énergie se dissipe-t-elle ?
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TD 4 : Ligne de transmission et adaptation d'impédance
I. Calcul électrocinétique de la propagation du courant et de la tension
- Adpation d'impédance
Nous étudierons ici le cas d'une ligne de transmission, constituée de deux conducteurs parallèlesde longueur pratiquement innie. La position le long de la ligne est repérée par la cote z mesuréesur un axe Oz parallèle aux conducteurs. Cette ligne peut être aussi bien constituée de 2 lscylindriques parallèles que d'un cable coaxial, ou de 2 rubans plats parallèles, etc...
1. Rappeler les diérents modes de propagation possibles dans la ligne. Dans chaque cas, indiquerla direction des champs électrique et magnétique, ainsi que les éventuels courants surfaciqueset densités surfaciques de charge sur les conducteurs.
Nous nous placerons désormais dans le mode TEM où nous pouvons donner une description élec-trocinétique de la ligne.
L'intensité de courant dans chaque conducteur étant fonction du temps et de la cote, on désignepar i1 l'intensité dans le conducteur 1 et par i2 l'intensité dans le conducteur 2, avec :
i1(z, t) = −i2(z, t) = i(z, t)
De même, on introduit la diérence de potentiel entre les 2 conducteurs :
v(z, t) = v1(z, t)− v2(z, t)
1. Justier qu'un tronçon de ligne de longueur ∆z se comporte comme un condensateur decapacité ∆C = Γ∆z. Expliciter la constante Γ dans le cas particulier de la géométrie plane.
2. Justier que le tronçon de ligne se comporte également comme une boucle d'autoinductance∆L = Λ∆z et expliciter la constante Λ dans le cas de la géométrie plane.
Dans la suite, on admet que la résistance des conducteurs est négligeable (ligne de transmissionsans perte), et on modélise la ligne de transmission par le schéma électrocinétique suivant (valablepour une géométrie quelconque) :
1. En utilisant la loi des mailles, écrire l'expression de la variation de la diérence de potentield'une extrémité à l'autre du tronçon de ligne :
dv = v(z + ∆z, t)− v(z, t)
En déduire une relation entre les dérivés ∂v∂z et ∂i
∂t .
2. De même, en utilisant la loi des noeuds, trouver une relation entre les dérivés ∂i∂z et ∂v
∂t .
3. Déterminer l'équation aux dérivées partielles à laquelle obéit la fonction v(z, t) et vérier quela fonction i(z, t) obéit à la même équation.
4. Vérier que les solutions correspondent à des ondes progressives, dont on exprimera la vitessede propagation v.
5. Montrer que toutes les équations précédentes auraient pu être déduites directement des équa-tions de Maxwell (se placer dans le cas de la géométrie plane pour simplier le raisonnement).
6. Justier qu'en régime forcé à pulsation ω la solution la plus générale peut s'écrire
v(z, t) = V +0 e
j(ωt−ω zc ) + V −0 e
j(ωt+ω zc )
i(z, t) = I+0 ej(ωt−ω z
c ) + I−0 ej(ωt+ω z
c )
Trouver une relation entre I+0 et V +0 , et entre I−0 et V −0 et dénir l'impédance caractéristique
Z0 de la ligne.
On considère maintenant que la ligne de transmission est fermée sur une impédance arbitraireZL placée en z = 0 et on suppose qu'une onde incidente est générée par une source située en z < 0.
1. En tenant compte de la condition en z = 0, justier l'existence d'une onde rééchie, etexprimer le coecient de réexion r.
2. Calculer la puissance moyenne se propageant le long de la ligne à la cote z, dénie comme
Pmoy(z) =< v(z, t)i(z, t) >t
3. Trouver la condition pour qu'il n'y ait pas d'onde rééchie. Montrer alors que l'impédanceeective de la ligne est constante le long de la ligne et que la puissance transmise à la chargeest maximale.
C'est ce qu'on appelle "l'adaptation d'impédance".
II. Impédance ramenée et adaptation par une ligne quart d'onde
On considère deux guides d'onde d'impédances caractéristiques diérentes Zc et Z”c . On veut
les connecter en les "adaptant en impédance", grâce à l'insertion d'une ligne de longueur d etd'impédance caractéristique Z
′
c à déterminer.On introduit la notion d'impédance ramenée, dénie comme l'impédance à une distance d de la nd'une ligne d'impédance caractéristique donnée, fermée sur une charge connue.
1. Exprimer l'impédance ramenée Z′(−d) d'une ligne d'impédance caractéristique Z
′
c et terminéepar une charge Z
′(z = 0) = Z
′
L
2. Donner la valeur de l'impédance ramenée pour d = λ4 .
On insère maintenant une portion de ligne de longueur d = λ4 entre les deux lignes décrites en
introduction.
1. Quelle impédance voit la ligne quart d'onde en sortie ? Que doit valoir son impédance ramenée(en entrée de la ligne quart d'onde) pour réaliser l'adaptation ?
2. Calculer la valeur Z′
c pour Zc = 50 Ω et Z”c = 75 Ω.
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TD 5 : Guide d'onde métallique
On considère un guide d'ondes rectangulaire comme celui représenté sur la gure. Le guided'onde étant en quelque sorte constitué de deux lignes de transmission perpendiculaires, on s'attendà ce que seuls certains modes de propagation soient autorisés. Notre but est de determiner lescaractéristiques de ces modes.
Notons qu'il n'y a pas de raison pour que ces modes soient des OPPHS ; les relations telles queω = kc ne sont donc a priori pas valables.
1. On pose−→E = f(x, y)ei(kmz−ωt)−→ux. Cette onde est-elle progressive ? Stationnaire ? Trans-
verse?
2. A l'aide d'une des equations de Maxwell, montrer que f ne depend que de y. Ecrire l'équationde propagation de
−→E dans le vide à l'intérieur du guide, et en déduire la forme de f selon le
signe de ω2
c2 − k2.
3. En écrivant les conditions aux limites sur les bords du guide, éliminer l'une des deux formestrouvées à la question précédente. Trouver une inégalité sur la longueur d'onde λ de l'onde.Ecrire la relation de dispersion, et nalement exprimer
−→E .
4. Pourquoi dit-on qu'une telle relation de dispersion autorise plusieurs modes?
5. Représenter−→E (les deux premiers modes) dans le guide d'onde à un instant donné.
6. Utiliser l'équation de Maxwell-Faraday pour trouver−→B , puis vérifer que les deux dernières
equations de Maxwell sont bien vérifées.
7. Représenter la relation de dispersion k(ω). Que peut-on dire du nombre de modes autorisésen fonction de ω ?
A.N. : combien de modes sont autorisés pour b = 3 cm et ν = 12 GHz?
8. Calculer le vecteur de Poynting et en déduire dans quelle direction l'énergie se propage.Calculer la puissance moyenne à travers la section du guide d'onde.
9. Exprimer vϕ et vg . Commenter.
10. Les directions x et y sont a priori équivalentes dans notre problème. Quelle inégalité lapulsation doit-elle verier pour être sûr qu'on ne va pas avoir une onde similaire à celle étudiéeci-dessus, mais polarisée selon −→uy ? Cela explique que dans les specications techniques d'unguide d'onde, on precise une plage de fréquence d'utilisation. D'après ce qu'on vient de voir,le guide d'onde sur la photo est-il prévu pour une polarisation selon −→ux ou −→uy ?
L3 PAPP - 1er Semestre - Electromagnétisme I 2015/2016
TD 6 : Réexion à l'interface de milieux diélectriques
I. Réexion totale sur un milieu diélectrique.Une onde plane progressive de vecteur d'onde
−→k1 se propageant dans un diélectrique d'indice n1
(partie z < 0) arrive sur la surface z = 0 la séparant d'un diélectrique d'indice n2 < n1. Le vecteurd'onde
−→k1 fait un angle d'incidence θ1 avec l'axe Oz, et est entièrement contenu dans le plan yOz,
comme représenté ci-dessous.
Une partie de l'onde est transmise dans la partie 2 de l'espace (z > 0) sous forme d'onde planeprogressive de vecteur d'onde
−→k2 également entièrement contenu dans le plan yOz. Par contre, ce
vecteur peut avoir une composante complexe. On le note donc :
−→k2 =
−→k′2 + i
−→k”2
où−→k′2 et
−→k”2 sont deux vecteurs à composantes réelles contenus dans le plan yOz.
1. Exprimez l'angle critique θc de la loi de Descartes en fonction de n1 et n2. Dans la suite,on se placera dans le cas d'une réexion au delà de l'angle limite θc ; il s'agit d'une réexiontotale, ce qui implique que
−→k”2 est non nul.
2. Donnez l'équation de propagation dans le milieu 2. À partir de cette équation, démontrer quela relation de dispersion peut s'écrire sous la forme :
−→k′2.−→k”2 = 0
(k′2)2 − (k”2)
2=(n2ω
c
)23. Écrire les composantes de
−→k1 en fonction de n1, θ1 et ω. Rappeler la condition de passage
pour−→E en z=0. En déduire une condition pour les composantes de
−→k2 en fonction de celles
de−→k1.
4. À partir de cette relation, en déduire que :
−→k′2 =
(n1ωcsinθ1
)−→uy
−→k”2 =
(±ωc
√n21sin
2θ1 − n22)−→uz
5. Sachant que le champ électrique est une onde plane polarisée suivant −→ux dans le milieu 2,exprimer
−→E2 en fonction de son amplitude E0 en z = 0, de sa pulsation ω, du vecteur position
−→r et de−→k2, puis en fonction de y, z, k′2 et k”2 , ω.
Cette onde est-elle homogène ? Est-elle progressive ? Si oui, dans quelle direction ? S'atténue-t-elle ? Si oui, dans quelle direction ?
(Choisir le signe de la composante de−→k”2 selon Oz pour avoir une situation physique quand
z tend vers l'inni.)
6. Dénir à partir de l'expression de−→E2 une profondeur de pénétration δ en fonction de n1,
n2,θ1, ω et c. Représenter graphiquement δ quand θ1appartient à ]θc;π2 ].
Quelle est la situation analogue dans un métal ?
A.N. : calculer δ dans le cas d'une réexion verreair, pour θ1 = 45° une longueur d'ondeincidente λ1 = 0, 6µm (on exprimera θ1 en fonction de n1,ω et c.) ; nverre = 1, 5.
7. Déterminer le champ magnétique dans le milieu 2 noté−→B2 .
8. Calculer le vecteur de Poynting−→R2 associé à l'onde transmise. (On gardera k′2 et k”2 dans les
expressions de−→R2 sans les développer).
Exprimer la moyenne temporelle de chaque composante de ce vecteur.
En déduire le sens de propagation de l'énergie moyenne associée à l'onde transmise.
Que vaut la puissance moyenne incidente traversant la surface qui sépare les deux milieux parunité de surface ? Y a-t-il dissipation d'énergie dans le diélectrique ?
Comparer avec un métal non parfait.
II. Réexion et transmission à la surface de séparation entre deux mi-
lieux diélectriques.
Deux milieux, d'indices n1 et n2 sont séparés par une surface plane (S) de normale (Ox). Onconsidère une OPPHS de pulsation ω se propageant dans le milieu d'indice n1, incidente avec l'angled'incidence θ1 dans le plan d'incidence (Oxy).
1. Rappeler la relation de dispersion et la relation entre les champs−→E et
−→B pour une OPPHS
se propageant dans un milieu d'indice n.
2. Rappeler les conditions de passage à l'interface (supposée non chargée, et sans courant super-ciel).
3. De la condition de passage sur le champ−→E , déduire les lois de Snell-Descartes.
Dans la suite, on suppose que les ondes incidentes, rééchies et transmises sont polariséesrectilignement, perpendiculairement au plan d'incidence (donc parallèlement la direction Oz).
4. De la condition de passage sur le champ−→B , déduire les coecients de réexion et de trans-
mission en amplitude, notés r =Er,0
Ei,0et t =
Et,0
Ei,0. On les exprimera en fonction des indices
n1, n2 et de cosθ1 et cosθ2.
5. En déduire les rapports R et T des puissances rééchies et transmises par rapport à la puis-sance incidente, par unité de surface de l'interface. Que deviennent ces expressions dans lecas particulier de la réexion totale ?
L3 PAPP - 1er Semestre - Electromagnétisme I 2015/2016
TD 7 : Fibres optiques
I- La bre optique - approche géométrique
On considère une bre constituée d'un coeur de rayon a d'indice n0 entouré d'une gaine d'indicen1 plus faible.
Fibre optique à saut d'indice
1. Un rayon lumineux est envoyé dans la bre avec un angle θ0. A quelle condition sur θ0 lerayon se propage-t-il dans la bre par réexions successives ? On appelle ouverture numériquede la bre optique ON la valeur sinθmax, qui dénit l'ouverture maximale du cône de lumièrepouvant être propagé par la bre. Que vaut ON en fonction de n0 et n1?
2. Quel est le retard de ce rayon par rapport à un rayon qui se propage suivant l'axe z pour unemême distance d parcourue le long de l'axe Oz ? Quelles déductions pour le débit possibled'impulsions lumineuses (et donc d'information) qu'on peut faire passer dans cette bre ?
A.N. : n0 = 1, 5 n1 = 1, 49 d = 1km
Fibre optique à gradient d'indice
On considère la même bre, mais l'indice dans le coeur n'est plus constant. Il suit la loi :
n (r) = n0
(1−∆
r2
a2
)1. Déterminer ∆ grâce au raccordement avec la gaine en r = a.
2. Qualitativement, le retard calculé pour la bre à saut d'indice va-t-il être plus grand ou pluspetit ? Le débit sera-t-il plus élevé ?
II- La bre optique - approche électromagnétique
Pour faciliter les calculs, on considère un modèle de bre optique non cylindrique, c'est-à-direun couche innie de diélectrique d'indice n coincée entre deux couches d'indice n′, d'équationsx = ±a. Cette géométrie planaire est aussi utilisée dans certains composants optiques. On chercheà caractériser la forme de l'onde électromagnétique correspondant à un champ électrique
−→E se
propageant dans la bre.
1. Ecrire l'équation de propagation satisfaite par−→E dans les deux milieux d'indices n et n′ .
2. On suppose que le champ est progressif selon z, de vecteur d'onde k dans cette direction, etpolarisé selon y. Par contre, on ne sait rien sur sa dépendance en x, qu'on notera f (x). Ecrirel'équation diérentielle satisfaite par la fonction f .
3. Quels types de fonctions f peuvent satisfaire cette équation ? Qu'attend-on comme solutionpour f dans le milieu n et dans le milieu n′ respectivement ? On utilisera les variables
intermédiaires β et β′ dénies par les relations suivantes : β2 =(nωc
)2−k2 et β′2 = k2−(n′ωc
)24. Pour des raisons de symétrie, f doit être soit une fonction paire, soit une fonction impaire.
Expliquer en quoi cela simplie l'expression de f dans le coeur et dans la gaine.
5. On ne s'intéresse désormais qu'aux solutions paires. En utilisant les conditions de passagepour le champ électrique au niveau des interfaces, exprimer f en fonction de k, β, β′, ω, a etd'une amplitude E0, dans les deux milieux. Dessiner l'allure du champ électrique dans unesection de la bre. Les fabriquants de bres optiques fournissent un diamètre eectif demode, qui varie avec la longueur d'onde. A quoi correspond cette notion ?
6. En déduire le champ−→B . Déduire une deuxième relation entre β et β′ à partir des relations
de passage sur−→B .
7. Montrer graphiquement que les solutions pour (β, β′) sont discrètes. On les notera (βm, β′m).
Discuter le nombre de modes de progagation possibles pour une pulsation donnée. Dénir lespulsations de coupure.
8. Exprimer le vecteur de Poynting−→R puis sa moyenne temporelle. En déduire de quelle façon
l'énergie se propage dans la bre. Donner l'expression permettant le calcul de la puissancemoyenne à travers une section de la bre.
9. Donner la signication physique des paramètres β et β′ en considérant la réexion totale d'uneonde plane de pulsation ω, en incidence oblique sur les parois de la gaine (angle d'incidence θ),et polarisée perpendiculairement au plan d'incidence.(On utilisera les résultats établis dans leTD précédent concernant la réexion totale sur un milieu diélectrique).
L3 PAPP - 1er Semestre - Electromagnétisme I 2015/2016
TD 8 : Onde électromagnétique non plane dans le viderayonnée par une antenne
Une antenne placée suivant un axe Oz rayonne dans le vide une onde électromagnétique defréquence υ = 87.8 MHz, dont le champ électrique a pour composantes dans la base sphérique:
Er = 2E0 cos θ
(1
r3− ik
r2
)ei(kr−ωt)
Eθ = E0 sin θ
(1
r3− ik
r2− k2
r
)ei(kr−ωt)
Eφ = 0
où l'exponentielle complexe a pour argument le produit kr et non pas le produit scalaire−→k .−→r .
1. Précisez la dimension de la constante E0 et vérier l'équation de Maxwell-Gauss pour−→E .
2. En utilisant l'équation de Maxwell-Faraday, calculez le champ magnétique−→B correspondant.
3. Facultatif : Vériez les autres équations de Maxwell pour−→E et
−→B .
4. À quoi comparer r pour savoir si on se trouve à une petite ou une grande distance de l'antenne?
Quelle est l'expression du champ électrique à petite distance ? Commenter.
Dans toute la suite, on se place à une distance r très grande de l'antenne.
5. Que deviennent−→E et
−→B au premier ordre non nul en 1/r ?
Dans quelle direction de θ le champ est-il maximum ?
6. Calculez le vecteur de Poynting−→R . Déduisez-en la puissance électromagnétique moyenne Pm
sortant d'une sphère de rayon r0 autour de l'antenne. On utilisera :´ π0
sin3 θdθ = 43 .
7. Pm dépend-il de r0 ? Est-ce normal ?
8. On dénit la directivité D d'une antenne dans une direction quelconque de l'espace −→u commeétant le rapport de la puissance moyenne rayonnée par l'antenne par unité d'angle solide dansla direction −→u et de la puissance qui serait rayonnée par unité d'angle solide par une antenneisotrope ayant la même puissance totale Pm.
a) Exprimer D en fonction de ‖ < −→R > ‖,Pm et r0.
b) Tracer la directivité de cette antenne dans le plan horizontal. Pourquoi parle-t-on alorsd'antenne omnidirectionnelle ?
c) Tracer la directivité de cette antenne dans le plan vertical. Dans quelle direction D est laplus forte ? Que vaut D dans la direction de l'axe z ? Calculer l'angle d'ouverture vertical,c'est-à-dire l'angle qui intercepte les directions où la directivité vaut Dmax/2.
9. Les diagrammes de rayonnement d'une antenne Wi murale, de la société RadioLabs, sontdonnées ci-dessus. Déterminer les angles d'ouverture de cette antenne. S'agit-il d'une antenneomnidirectionnelle ? Quelle précaution faut-il prendre au moment de l'installation ? Quelleest l'avantage de ce type d'antenne par rapport à une antenne omnidirectionnelle ?
10. On considère deux antennes dont le diagramme de rayonnement est celui de la question 8. Lesdeux antennes sont situées au même point O. La première est orientée verticalement selonl'axe Oz. La deuxième est orientée suivant l'axe Ox et est déphasée de π/2 par rapport à lapremière antenne.
Dessinez le champ créé par chaque antenne pour les cas suivants et indiquez pour chaque cas,la polarisation de l'onde résultante :
(i) θ = 0(ii) ϕ = 0 θ = π/4(iii) ϕ = 0 θ = π/2(iv) ϕ = π/2 θ = π/2
Physique des ondes – premier semestre
Formulaire
Calcul vectoriel# »
rot# »
grad V = ~0# »
grad(V1V2) = V1# »
grad V2 + V2# »
grad V1
div# »
rot#»
A = 0# »
rot(V#»
A) = V# »
rot#»
A +# »
grad V ∧#»
A
div# »
grad V = ∆V div(V#»
A) = V div#»
A +# »
grad V ·#»
A# »
rot# »
rot#»
A =# »
grad div#»
A −∆#»
A div(#»
A1 ∧#»
A2) =#»
A2 ·# »
rot#»
A1 −#»
A1 ·# »
rot#»
A2
Coordonnées cartésiennes
x
z
M
m
y
# »
grad V =∂V
∂x#»u x +
∂V
∂y#»u y +
∂V
∂z#»u z
div#»
A =∂Ax
∂x+
∂Ay
∂y+
∂Az
∂z
# »
rot#»
A =
(
∂Az
∂y−
∂Ay
∂z
)
#»u x +
(
∂Ax
∂z−
∂Az
∂x
)
#»u y +
(
∂Ay
∂x−
∂Ax
∂y
)
#»u z
∆V =∂2V
∂x2+
∂2V
∂y2+
∂2V
∂z2
Coordonnées cylindriques
θx
y
z
M
m
r
u
r
u
r
uθ
uθ
u
z
# »
grad V =∂V
∂r#»u r +
1
r
∂V
∂θ#»u θ +
∂V
∂z#»u z
div#»
A =1
r
∂rAr
∂r+
1
r
∂Aθ
∂θ+
∂Az
∂z
# »
rot#»
A =
(
1
r
∂Az
∂θ−
∂Aθ
∂z
)
#»u r +
(
∂Ar
∂z−
∂Az
∂r
)
#»u θ +1
r
(
∂rAθ
∂r−
∂Ar
∂θ
)
#»u z
∆V =1
r
∂
∂r
(
r∂V
∂r
)
+1
r2
∂2V
∂θ2+
∂2V
∂z2
Coordonnées sphériques
φx
z
M
m
r
uφ
uφ
uθ
u
r
θ
y
# »
grad V =∂V
∂r#»u r +
1
r
∂V
∂θ#»u θ +
1
r sin θ
∂V
∂φ#»uφ
div#»
A =1
r2
∂r2Ar
∂r+
1
r sin θ
∂ sin θAθ
∂θ+
1
r sin θ
∂Aφ
∂φ
# »
rot#»
A =1
r sin θ
(
∂ sin θAφ
∂θ−
∂Aθ
∂φ
)
#»u r + . . .
. . . +1
r
(
1
sin θ
∂Ar
∂φ−
∂rAφ
∂r
)
#»u θ +1
r
(
∂rAθ
∂r−
∂Ar
∂θ
)
#»uφ
∆V =1
r
∂2rV
∂r2+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ∂V
∂θ
)
+1
r2 sin2 θ
∂2V
∂φ2
Théorèmes
Théorème d’Ostrogradsky–Green :
S étant une surface fermée, τ le volume intérieur à S,
ˆ
(S)
#»
A · ~dS =
ˆ
(τ)(div
#»
A)dτ
Théorème de Stokes–Ampère :
C étant une courbe fermée bordant une surface S,
˛
(C)
#»
A · ~dl =
ˆ
(S)(
# »
rot#»
A) · ~dS
