Electromagn´etisme classique du vide Le ”who’s who” de et ... · condensateur. • Pavel Cherenkov (1904 - 1990), physicien russe, prix Nobel de physique en 1958.Il d´ecrouvre

Electromagnetisme classique du vide

et des milieux continus

Ce cours est divise en neuf chapitres, couvrant respectivement :

1. Equations de Maxwell dans le vide - Electromagnetisme

2. Electrostatique

3. Milieux dielectriques

4. Magnetostatique

5. Milieux magnetiques

6. Induction electromagnetique

7. Propagation dans le vide et les milieux dielectriques

8. Systemes rayonnants

9. Electromagnetisme et relativite restreinte

Ces notes de cours sont volontairement extremement succinctes, en particulier sur le plandes explications qui seront principalement donnees en amphi. De meme, certains calculs sontdetailles dans le polycopie, tandis que d’autres le seront en amphi. Ces notes completentdonc ce qui est dit en cours mais ne saurait dispenser d’une assiduite reguliere.

Certains chapitres sont moins developpes que d’autres. C’est notamment le cas des chapitreconcernant l’electrostatique et la magnetostatique.

Dans le texte, les noms propres en gras correspondent a des physiciens dont les principalescontributions a l’electromagnetisme ou a la relativite sont detaillees page 2 du preambule,meme si c’etait par le biais des mathematiques !

Ce polycopie doit beaucoup a ceux realises par les enseignants qui m’ont precede (E. Auge,H. Doubre et J. Perez-Y-Jorba). Qu’ils en soient remercies.

Patrick Puzo

Notes de cours d’electromagnetisme classique,Licence 3 et Magistere de Physique Fondamentale, P. Puzo (2010 - 2011)

i

Le ”who’s who” de

l’electromagnetisme

• Andre Marie Ampere (1775 - 1836), mathematicien et physicien francais. Il donne lespremieres formulations mathematiques de l’electromagnetisme. On lui doit egalement lestermes de courant et tension et l’invention du galvanometre et du solenoıde. Il supposeegalement que les proprietes des aimants sont dues a des courants microscopiques dans lamatiere (hypothese d’Ampere).

• Peter Barlow (1776 - 1862), mathematicien et physicien anglais. Il publie en 1820 sonEssai sur le magnetisme et invente en 1828 la roue de Barlow dont on peut considererqu’elle est le 1er convertisseur electromecanique.

• Jean-Baptiste Biot (1774 - 1862), astronome et physicien francais. Il enonce avec Savarten 1820 la loi donnant le champ !B cree par un courant continu.

• Henry Cavendish (1731 - 1810), physicien et chimiste britannique. Il determine la densitemoyenne du globe a l’aide de sa balance de torsion, qui sert en outre a mesurer la force entredeux charges ponctuelles. Il en deduit que le champ electrostatique est nul a l’interieurd’une sphere creuse chargee. Il introduit le potentiel electrostatique et la capacite d’uncondensateur.

• Pavel Cherenkov (1904 - 1990), physicien russe, prix Nobel de physique en 1958. Ildecrouvre l’e!et qui porte son nom en 1934 en observant la teinte bleutee d’une bouteilled’eau soumise a des irradiations.

• Rudolf Clausius (1822 - 1888), physicien allemand. Il demontre en 1879 la relation deClausius-Mossotti entre la polarisabilite microscopique d’un milieu et sa permittivite ma-croscopique.

• Charles Augustin de Coulomb (1736 - 1806), physicien francais. Il etudie les aiguillesaimantees et introduit en 1777 la notion de moment magnetique. Il montre experimentale-ment en 1785 a l’aide d’une balance de torsion tres sensible que la force entre deux chargeselectriques est en 1/r2 et que les charges d’un conducteur en equilibre se repartissent sursa surface.

• Peter Debye (1884 - 1966), physicien et chimiste neerlandais, prix Nobel de chimie en1936. Il montre en 1920 que l’induction dipolaire entre molecules genere une force de typeVan der Waals.

• Paul Dirac (1902 - 1984), physicien britannique, prix Nobel de physique en 1933.

• Peter-Gustav Lejeune-Dirichlet (1805 - 1859), mathematicien allemand.


ii

• PaulDrude (1863 - 1906), physicien allemand. Il introduit en 1900 le modele de la conduc-tivite electrique dans les metaux en appliquant la theorie cinetique des gaz aux electronsdes metaux.

• Michael Faraday (1791 - 1867), physicien et chimiste anglais. Il invente le disque deFaraday en 1821. Experimentateur de genie, il decouvre le phenomene d’induction en 1831et enonce la loi correspondante en 1854. Il introduit les termes de champ et de ligne dechamp.

• Hippolyte Fizeau (1819 - 1896), physicien francais. Il e!ectue la premiere mesure precisede la vitesse de la lumiere en 1851.

• Leon Foucault (1819 - 1868), physicien francais. Il decouvre les courants induits dans lamatiere qui portent desormais son nom.

• Benjamin Franklin (1706 - 1790), homme politique et physicien americain. Il decouvrela nature electrique des eclairs et invente le paratonnerre en 1852. Il a"rme l’existence dedeux sortes d’electricite (positive et negative) et enonce une premiere forme qualitative duprincipe de conservation de la charge.

• Lucien Gaulard (1850 - 1888), ingenieur francais. Ses travaux ont permis la distributiona distance du courant electrique (transport a haute tension et abaisseur de tension sur lesite d’utilisation) par l’invention du transformateur. En 1884, il acheminait du courant sur80 km.

• Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), mathematicien et physicien allemand. Il e!ectue en1832 les premieres mesures du champ magnetique terrestre et montre qu’il a la structuredu champ d’un dipole magnetique. En electrostatique, il donne sa forme definitive autheoreme de Gauss en 1839.

• William Gilbert (1544 - 1603), physicien anglais. Il etudie qualitativement le magnetismeterrestre et introduit la notion de pole d’un aimant. Il enonce en 1600 qu’il n’existe pas decharge magnetique. En electrostatique, il introduit les concepts de conducteur et d’isolant.

• Stephen Gray (1670 - 1736), physicien anglais. Il decouvre en 1729 que les phenomenesd’electrisation peuvent etre transmis a grande distance par des fils metalliques.

• George Green (1793 - 1841), mathematicien et physicien anglais. Il enonce une premiereforme du theoreme de Gauss en 1828.

• Edwin Herbert Hall (1855 - 1938), physicien americain. Il decouvre l’e!et qui porte sonnom en 1879.

• Joseph Henry (1797 - 1878), physicien americain. Il decouvre l’auto-induction en 1832.

• Hermann Ludwig von Helmholtz (1821 - 1894), physicien et physiologiste allemand. Ilintroduit en 1847 le concept d’energie electrostatique.

• Heinrich Hertz (1857 - 1894), physicien allemand. Il demontre en 1888 l’existence des


iii

ondes electromagnetiques predites par Maxwell en 1873.

• Willem Hendrik Keesom (1876 - 1956), physicien neerlandais, collegue puis successeur deKamerlingh Onnes a la tete du laboratoire de Leyde. Il montre en 1921 que l’interactiondipole-dipole entre molecules polaires genere une force de type Van der Waals.

• Paul Langevin (1872 - 1946), physicien francais. Il introduit en 1905 la fonction qui porteson nom lors de son etude sur le paramagnetisme.

• Pierre Simon Laplace (1749 - 827), physicien francais. Il est a l’origine de la notion depotentiel par l’introduction de l’equation qui porte son nom.

• Pyotr Lebedev (1866 - 1912), physicien russe. Il prouve experimentalement l’existence dela pression de radiation en 1900.

• Heinrich Lenz (1804 - 1865), physicien russo-allemand. Son nom est reste attache a la loide moderation reliant la force electromotrice induite dans un circuit a la variation du fluxdu champ magnetique a travers ce circuit.

• Fritz London (1900 - 1954), physicien germano-americain. Il montre en 1390 que l’inte-raction instantanee dipole-dipole entre molecules non polaires genere une force de typeVan der Waals.

• Ludwig Lorenz (1829 - 1891), physicien danois. Il introduit la jauge qui porte desor-mais son nom et les potentiels retardes en 1867. A ne pas confondre avec Lorentz. Ilsentretenaient d’ailleurs des relations execrables...

• Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928), physicien neerlandais, prix Nobel de physique en1902 pour sa theorie electronique de la matiere. Il est egalement connu pour la transfor-mation et la force qui portent son nom. A ne pas confondre avec Lorenz. Ils entretenaientd’ailleurs des relations execrables...

• James Clerk Maxwell (1831 - 1879), physicien britannique. Il rassemble l’electricite et lemagnetisme sous une seule theorie (l’electromagnetisme) a partir de 1855. Il introduit lecourant de deplacement en 1862 et predit la pression de radiation en 1871.

• Roberts Millikan (1868 - 1953), physicien americain, prix Nobel de physique en 1923. Ilmontre vers 1912 que la charge electrique est quantifiee.

• Hermann Minkowski (1864 - 1909), mathematicien et physicien allemand. Il developpele formalisme quadridimensionnel en 1907.

• Ottaviano-Fabrizio Mossotti (1791 - 1863), physicien italien. Il a introduit en 1850 larelation entre les constantes dielectriques de deux milieux di!erents.

• Carl Neumann (1832 - 1925), mathematicien allemand.

• Franz Ernst Neumann (1798 - 1895), physicien allemand. Il publie une theorie mathe-matique de l’induction en 1845.


iv

• Hans Christian Oersted (1777 - 1851), physicien danois. Il decouvre en juillet 1820 l’in-fluence d’un courant electrique sur le comportement de l’aiguille d’une boussole.

• Georg Simon Ohm (1789 - 1854), physicien allemand. Il enonce la loi qui porte son nomen 1827.

• VassilievitchOstrogradski (1813 - 1885), (1801 - 1861), mathematicien et physicien russe.

• Simeon Denis Poisson (1781 - 1840), physicien francais (eleve de Laplace). Il etend al’electrostatique en 1811 la theorie du potentiel developpee par Laplace pour la gravitation.

• John Henry Poynting (1852 - 1914), physicien anglais. Il enonce le theoreme sur l’energieelectromagnetique et introduit la pression de radiation.

• Ernest Rutherford (1871 - 1937), physicien britannique, prix Nobel de chimie en 1908.

• Felix Savart (1791 - 1841), physicien francais. Il enonce avec Biot en 1820 la loi donnantle champ !B cree par un courant continu.

• Sir George Gabriel Stokes (1819 - 1903), mathematicien et physicien irlandais.

• John William Strutt (1842 - 1919), physicien anglais (plus connu sous son titre de LordRayleigh), prix Nobel de physique en 1904 pour la decouverte de l’argon. Specialiste desphenomenes ondulatoires, il relie en 1871 la couleur du ciel a la di!usion de la lumiere parles molecules de l’atmosphere. Il succede a Maxwell au Cavendish Laboratory en 1879.

• Joseph John Thomson (1856 - 1940), physicien anglais. Il decouvre l’electron en 1877.

• Alessandro Volta (1745 - 1827), physicien italien. Il observe que les charges se condensentsur les faces en regard de deux conducteurs lorsqu’on les rapproche et introduit le terme decondensateur. Il invente en 1800 la pile premiere pile electrique, constituee d’un empilementde disques de cuivre et de zinc plonges dans une solution sulfurique.

• Hermann Weyl (1885 - 1955), mathematicien allemand. Il est a l’origine des theories dejauge.


v

Bibliographie ”electromagnetique”: livres conseilles pourl’annee du L3

Quelques ouvrages de reference disponibles actuellement dans toutes les bonnes librairies oubibliotheques (choix personnel) :

1. E. Purcell, Electricite et magnetisme - Cours de Physique de Berkeley, volume 2 (ver-sion francaise), Armand Colin, Paris, 1973

2. R. Feynman, R. Leighton et M. Sands, Cours de Physique - Electromagnetisme (versionfrancaise), InterEditions, Paris, 1979

3. J.D. Jackson, Electrodynamique classique (version francaise), 3eme edition, Dunod, Pa-ris, 2001

Parmi les collections modernes de CPGE, les livres les plus complets traitant l’electroma-gnetisme sont sans doute (choix personnel) :

1. J.P. Faroux et J. Renault, Electromagnetisme 1 - Cours et exercices corriges, Dunod,Paris, 1996

2. J.P. Faroux et J. Renault, Electromagnetisme 2 - Cours et exercices corriges, Dunod,Paris, 1998

3. J.P. Perez, R. Carles et R. Fleckinger, Electromagnetisme, 3eme edition, Masson, 1997


vi

Bibliographie

[1] W. Panofsky et W. Phillips, Classical Electricity and Magnetism, 2e edition, Addison-Wesley, 1962

[2] J.P. Barrat, Electromagnetisme et Relativite Restreinte, Ediscience, Paris, 1972

[3] E. Purcell, Electricite et magnetisme - Cours de Physique de Berkeley, volume 2 (versionfrancaise), Armand Colin, Paris, 1973

[4] R. Feynman, R. Leighton et M. Sands, Cours de Physique - Electromagnetisme (versionfrancaise), InterEditions, Paris, 1979

[5] R. Feynman, R. Leighton et M. Sands, Cours de Physique - Mecanique (version francaise),InterEditions, Paris, 1979

[6] D.K. Cheng, Field and Wave - Electromagnetics, Addison-Wesley, 1983

[7] H. Gie et J.P. Sarmant., Electromagnetisme, Tec et Doc, Paris, 1985

[8] L. Landau et E. Lifchitz, Physique Theorique Tome II, Theorie des champs, 4e edition,Mir, Moscou, 1989

[9] J.P. Faroux et J. Renault, Electromagnetisme 1 - Cours et exercices corriges, Dunod,Paris, 1996

[10] J.P. Perez, R. Carles et R. Fleckinger, Electromagnetisme, 3eme edition, Masson, 1997

[11] J.P. Faroux et J. Renault, Electromagnetisme 2 - Cours et exercices corriges, Dunod,Paris, 1998

[12] J.P. Perez, Relativite, Dunod, Paris, 1999

[13] M. Lambert, Relativite restreinte et electromagnetisme, Ellipses, Paris, 2000

[14] J.D. Jackson, Electrodynamique classique (version francaise), 3eme edition, Dunod, Paris,2001

[15] D. Halliday, R. Resnick et J. Walker, Physique, 6eme edition, McGraw-Hill, Montreal,2003


vii

Notations

Dans tout le polycopie on notera (V ) un volume et (S) la surface fermee qui s’appuie sur cevolume. La normale sortante du volume (V ) sera notee !n.

On notera !n1!2 le vecteur unitaire porte par la surface de separation entre deux milieux (1)et (2) et oriente du milieu (1) vers le milieu (2).

Champ electrique V/m !EPotentiel scalaire V #Champ magnetique T !BPotentiel vecteur Tm !A

Polarisation C/m2 !PVecteur !D C/m2 !DAimantation A/m !MVecteur !H A/m !H

Vecteur de Poynting !RDensite volumique d’energie electromagnetique J/m3 u

Densite volumique de charges C/m3 "Densite volumique de courants A/m2 !JDensite superficielle de charge C/m2 #Densite superficielle de courant A/m !K

Intensite d’un courant permanent A IIntensite d’un courant variable A i


viii

Annexe A

Rappels mathematiques

Sommaire

A.1 Formes di!erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

A.2 Outils mathematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

A.3 Systemes de coordonnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

A.4 Resolution de l’equation de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

A.5 Quelques notions sur l’analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . 12

Introduction

Les notations utilisees dans ce chapitre seront utilisees tout au long du polycopie.


1

A.1 Formes di!erentielles

En notant !r le rayon vecteur, on pourrait montrer que l’on a :

!! . (!r) = 3 (A.1)!!"!r = !0 (A.2)

!!(!r) =!r

r(A.3)

!!!

1

r

"

= # !r

r3(A.4)

!! .

!

!r

r3

"

= #$

!

1

r

"

= 0 si r $= 0 (A.5)

On note !A, !B et !C trois vecteurs quelconques et $ et % des fonctions scalaires arbitraires.On pourrait montrer les relations suivantes :

!!($%) = $ !!(%) + % !!($) (A.6)!!( !A . !B) = !A"(!!" !B) + !B"(!!" !A) + ( !A . !!) !B + ( !B . !!) !A (A.7)

!! . ($ !A) = $ !! . !A + !A . !!($) (A.8)!! . ( !A" !B) = !B . (!!" !A) # !A . (!!" !B) (A.9)

!!"($ !A) = $ !!" !A # !A" !!($) (A.10)!!"( !A" !B) = !A(!! . !B) # !B(!! . !A) + ( !B . !!) !A # ( !A . !!) !B (A.11)

$($%) = $$% + %$$ + 2 !!($) . !!(%) (A.12)

!A " ( !B " !C) = ( !A . !C) !B # ( !A . !B) !C (A.13)

Enfin, en combinant les operateurs di!erentiels du 1er ordre, on peut montrer que l’on a :

!! . (!!" !A) = 0 (A.14)!!"(!!$) = !0 (A.15)!! . (!!$) = !2($) = $$ (A.16)

!! "#

!!" !A$

= !!(!! . !A) # $ !A (A.17)


2

A.2 Outils mathematiques

A.2.1 Interpretation physique des operateurs di!erentiels

Interpretation physique du gradient

Pour donner une interpretation intuitive au gradient d’une fonction f , il faut se souvenir dela propriete fondamentale suivante :

df = !!(f) . d##%OM (A.18)

qui vient directement de la definition du gradient. L’equation f(x, y, z) = &, definit des

surfaces de niveau pour chaque valeur de la constante &. Pour tout deplacement d##%OM s’ef-

fectuant sur la surface f(x, y, z) = &, la propriete fondamentale du gradient rapportee

ci-dessus s’ecrit !!(f) . d##%OM = 0, ce qui montre que !!(f) est normal a tout deplacement

d##%OM se faisant sur la surface f(x, y, z) = & au voisinage de M .

De plus, lorsqu’on passe d’une surface de niveau a une surface voisine correspondant a unevaleur superieure de f , la relation (A.18) montre que le !!(f) est dirige suivant les valeurscroissantes de f .

En resume, on retiendra que !!(f) est normal aux surfaces f = Cste et dirige vers lesvaleurs croissantes de f .

Interpretation physique de la divergence

On considere un champ de vecteur !a, defini par !a = & !r ou & est une constante reelle. Leslignes de champ sont radiales. Suivant que & est positif ou negatif, le champ diverge depuisl’origine O ou converge vers O (figure A.1). Comme de plus ax = &x, ay = & y et az = & z,on a !! .!a = 3&, c’est a dire que !! .!a a le signe de &.

MOO

M! < 0! > 0

Figure A.1 – Interpretation physique de la divergence.

En resume, on retiendra que le signe de !! .!a est lie au caractere convergent oudivergent des lignes du champ !a a partir de l’origine.

Interpretation physique du rotationnel

On considere un contour de surface donnee. On peut montrer que le rotationnel d’un champde vecteurs est la limite du rapport :

Integrale curviligne autour du contour

Aire du contour


3

lorsque la surface du contour tend vers zero. Considerons par exemple un champ de vecteurvitesse dont le rotationnel est non nul. On peut alors representer les vitesses de ce champpar les schemas de la figure A.2, auxquels on superpose une derive d’ensemble.

ou

Figure A.2 – Le rotationnel d’un champ de vecteur.

Interpretation physique du laplacien scalaire

On considere un champ scalaire quelconque V (M) autour d’un point M . On note V (M0) lavaleur du champ en un point M0 et ' le rayon d’une petite sphere centree sur M0. On appellevaleur moyenne de V sur le domaine (D) la grandeur < V > telle que :

< V > =1

4 ('2

%%

(D)

V (M) dS

On peut montrer que :

< V > = V (M0) +'2

6$V (M0) + O('2)

ou le laplacien $V (M0) est evalue en M0. Ce laplacien permet donc de comparer V (M0) a lavaleur moyenne du champ au voisinage deM0. En particulier, siM0 est un minimum local, ona necessairement $V (M0) > 0. De meme, si M0 est un maximum local, on a necessairement$V (M0) < 0.

A.2.2 Transformation des domaines d’integration

Certaines relations mathematiques ont une importance particuliere dans tous les domainesde la physique, et principalement en electromagnetisme. On peut citer principalement, ennotant !A un champ vectoriel a derivees partielles bornees et $ et % des fonctions scalaires :

1. la relation reliant le flux d’un champ de vecteurs !A a travers une surface fermee (S) al’integrale de sa divergence dans le volume (V ) delimite par cette surface, connue sousle nom de theoreme d’Ostrogradsky ou theoreme de la divergence :

&%%

(S)

!A .!n dS = &%%

(S)

!A . d !S '%%%

(V )

!! . !AdV (A.19)

La normale !n a la surface est orientee sortante du volume.

2. la relation reliant la circulation d’un champ de vecteurs !A le long d’une courbe fermee(C) au flux de son rotationnel a travers une surface ouverte quelconque (S) qui s’appuiesur (C), connue sous le nom de theoreme de Stokes :

&

(C)

!A . d!l '%%

(S)

(!!" !A) . d !S (A.20)


4

3. la relation reliant le flux du produit vectoriel de la normale !n a une surface fermee (S)avec un champ de vecteurs !A a travers cette surface, a l’integrale de son rotationneldans le volume (V ) delimite par cette surface, connue sous le nom de formule durotationnel :

&%%

(S)

(!n" !A) dS '%%%

(V )

(!!" !A) dV (A.21)

4. la relation reliant le flux d’une fonction scalaire $ a travers une surface fermee (S) al’integrale de son gradient dans le volume (V ) delimite par cette surface, connue sousle nom de formule du gradient :

&%%

(S)

$ d!S '%%%

(V )

!!($) dV (A.22)

5. la relation reliant la circulation d’une fonction scalaire $ le long d’une courbe fermee(C) au flux du produit vectoriel de la normale !n a une surface (S) s’appuyant surce contour par le gradient de la fonction scalaire, connue sous le nom de formule deKelvin :

&

(C)

$ d!l =

%%

(S)

!n" !!($) dS (A.23)

6. La formule suivante s’appliquant a une surface fermee (S) est connue sous le nom deformule de Green :

%%%

(V )

[$$(%)# %$($)] dV = &%%

(S)

'

$ !!(%)# % !!($)(

. d!S (A.24)

En se souvenant des proprietes des operateurs di!erentiels (A.14) a (A.17), les formulesde changement de domaine d’integration ci-dessus permettent de passer de la formulationintegrale d’une loi a sa formulation locale, et vice versa (voir table A.1).

Propriete Formulation Formulation Formulationdu champ integrale di!erentielle di!erentielle

en champ avec potentiels

Circulation)

(C)!h . d!r = 0 !!"!h = !0 !h = !!(f)

conservative (C) fermeequelconque

Flux)

(S) !g . d!S = 0 !! .!g = 0 !g = !!"!a

conservatif (S) fermeequelconque

Table A.1 – Formulations mathematiques des principales proprietes des champs


5

A.2.3 Unicite de la definition d’un champ par des equations lo-cales

Cas d’un champ scalaire

On considere une fonction scalaire f satisfaisant en tout point d’un volume (V ) limite parune surface (S) l’equation :

$f = $(!r)

ou $(!r) est une fonction definie en tout point du volume (V ), sans singularite. On peut alorsmontrer que la solution est unique si une des trois conditions suivantes est remplie :

1. La valeur de f est connue en chaque point de la surface (S) (condition dite de Diri-chlet).

2. La valeur de !n . !!(f) est connue en chaque point de la surface (S), ou !n est un vecteurunitaire normal a (S) au point considere (condition dite de Neumann).

3. La valeur de f est connue sur une partie de (S), et la valeur de !n . !!(f) est connuesur la partie complementaire de (S).

Remarque : Ceci est egalement valable si le volume (V ) est l’espace entier a condition quela fonction f s’annule en dehors d’une portion finie de l’espace et que $(!r) tende vers zero al’infini au moins comme 1/r.

Cas d’un champ vectoriel

On considere un champ vectoriel !A dans un volume (V ) limite par une surface (S). Onsuppose que !!" !A et !! . !A sont definis en chaque point, sans singularite. La connaissanceen chaque point de la surface (S) de !n . !A (ou !n est un vecteur unitaire normal a la surface(S) en chaque point) assure l’unicite du champ vectoriel !A.

Remarque 1 : Ceci est egalement valable si le volume (V ) est l’espace entier a condition

que !!" !A = !0 et !! . !A = !0 en dehors d’une portion finie de l’espace et que !A(!r) tende verszero a l’infini au moins comme 1/r2.

Remarque 2 : Ceci est une consequence du theoreme d’Helmholtz qui dit que tout vecteur!A est parfaitement connu a une constante additive pres si on connait en tout point sadivergence et son rotationnel.

A.2.4 Derivation d’une integrale

On considere une fonction de la forme I(x) =) b

a f(x, t) dt. Si les bornes a et b dependent dex, on aura :

dI(x)

dx=

d

dx

*% b

a

f(x, t) dt

+

= f(x, b)db(x)

dx# f(x, a)

da(x)

dx+

% b

a

)f(x, t)

)xdt (A.25)

Si au contraire les bornes a et b ne dependent pas de x, alors on aura simplement :

dI(x)

dx=

d

dx

*% b

a

f(x, t) dt

+

=

% b

a

)f(x, t)

)xdt (A.26)


6

De plus, I sera continument derivable si f admet des derivees partielles continues.

Exercice 1.1 : Calcul symbolique

On donne !F = (3 y# c1 z) !ux+(c2 x# 2 z) !uy #(c3 y+ z) !uz. En supposant que !F est irrotationnel,

determiner les constantes ci puis la fonction ! telle que !F = # !!(!).

A.3 Systemes de coordonnees

On donne ici quelques resultats importants. Les calculs, sans di"cultes particulieres, sontdetailles dans de nombreux ouvrages, par exemple dans [10, page 609 et suivantes]. On vousdemandera de connaıtre les resultats en coordonnees cartesiennes (§ A.3.1). Les expressionsdans les autres systemes de coordonnees ne sont pas a retenir.

A.3.1 Coordonnees cartesiennes (x, y, z)

y

z

x

M dy

Odx

dz

d* = dx dy dz

• Divergence :

#%! .#%A =

)Ax

)x+

)Ay

)y+

)Az

)z(A.27)

• Gradient :

(#%!f)x =

)f

)x(#%!f)y =

)f

)y(#%!f)z =

)f

)z(A.28)

• Rotationnel :

!!" !A =

,

-

-

-

-

-

-

-

.

-

-

-

-

-

-

-

/

(#%! "#%

A )x = )Az)y # )Ay

)z

(#%! "#%

A )y = )Ax)z # )Az

)x

(#%! "#%

A )z =)Ay

)x # )Ax)y

(A.29)


7

• Laplacien scalaire :

$f =)2f

)x2 +)2f

)y2+

)2f

)z2(A.30)

• Laplacien vectoriel :

$ !A = ($Ax) !ux + ($Ay) !uy + ($Az) !uz (A.31)

A.3.2 Coordonnees cylindriques (r, +, z)

y

z

x

M dr

dz

r d

" m

r

"

O

d* = r dr d+ dz

,

.

/

x = r cos (+)

y = r sin (+)

• Divergence :

#%! .#%A =

1

r

)

)r(rAr) +

1

r

)A!

)++

)Az

)z(A.32)

• Gradient :

(#%!f)r =

)f

)r(#%!f)! =

1

r

)f

)+(#%!f)z =

)f

)z(A.33)

• Rotationnel :

!!" !A =

,

-

-

-

-

-

-

.

-

-

-

-

-

-

/

(#%! "#%

A )r = 1r

)Az)+ # )A!

)z

(#%! "#%

A )! = )Ar)z # )Az

)r

(#%! "#%

A )z = 1r

'

))r (rA!)# )Ar

)+

(

(A.34)


$f =)2f

)r2+

1

r

)f

)r+

1

r2)2f

)+2+

)2f

)z2(A.35)


$ !A =

*

$Ar #1

r2

!

Ar + 2)A!

)+

"+

!ur +

*

$A! #1

r2

!

A! # 2)Ar

)+

"+

!u! + ($Az) !uz


8

A.3.3 Coordonnees spheriques (r, +, $)

DD

y

z

Mdr

r dr sin

x

"

# m

"" #

O

d

d* = r2 sin (+) dr d+ d$

,

-

-

-

-

.

-

-

-

-

/

x = r sin (+) cos ($)

y = r sin (+) sin ($)

z = r cos (+)

• Divergence :

#%! .#%A =

1

r2)

)r(r2Ar) +

1

r sin(+)

*

)

)+[sin(+)A!]

+

+1

r sin(+)

)A"

)$(A.36)

• Gradient :

(#%!f)r =

)f

)r(#%!f)! =

1

r

)f

)+(#%!f)" =

1

r sin(+)

)f

)$(A.37)

• Rotationnel :

!!" !A =

,

-

-

-

-

-

-

-

-

.

-

-

-

-

-

-

-

-

/

(#%! "#%

A )r = 1r sin(+)

'

))+ [sin(+)A"]# )A!

)$

(

(#%! "#%

A )! = 1r

*

1sin(+)

)Ar)$ # )

)r (rA")

+

(#%! "#%

A )" = 1r

'

))r (rA!)# )Ar

)+

(

(A.38)


$f = 1r2

))r (r

2)f)r ) + 1

r sin(+)

*

))+

!

sin(+)r

)f)+

"

+ ))$

!

1r sin(+)

)f)$

"+

= 1r)2

)r2(rf) + 1

r2 sin(+)))+

#

sin(+) )f)+

$

+ 1r2 sin2(+)

)2f)$2

(A.39)


9


$ !A =

*

$Ar # 2r2 sin(+)

!

Ar sin(+) +)(sin(+)A!)

)+ +)A"

)$

"+

!ur +

*

$A! # 2r2 sin(+)

!

A!2 # sin2(+) )Ar

)+ + cos(+))A"

)$

"+

!u! +

*

$A" # 2r2 sin(+)

!

A"

2 # sin(+) )Ar)$ # cos(+) )A!

)$

"+

!u"

(A.40)

Exercice 1.2 : Calcul symbolique

1. Calculer le gradient et le laplacien du champ scalaire U = !A .!r, ou !A represente un champvectoriel uniforme

2. Calculer la divergence, le rotationnel et le laplacien du champ vectoriel !a = !r

A.4 Resolution de l’equation de Bessel

A.4.1 Equation de Bessel

La resolution de l’equation de Laplace en coordonnees cylindriques (r, +, z) :

$V =)2V

)r2+

1

r

)V

)r+

1

r2)2V

)+2+

)2V

)z2= 0

peut se faire en cherchant une solution de la forme V = R(r)%(+)Z(z). En multipliantensuite le resultat par r2/(%Z), on obtient l’equation decrivant l’evolution de R sous laforme :

r2d2R

dr2+ r

dR

dr+ (k2 r2 # ,2)R = 0

En substituant x = k r, on obtient l’equation de Bessel d’ordre , :

x2 d2R

dx2+ x

dR

dx+ (x2 # ,2)R = 0 (A.41)

A.4.2 Fonctions de Bessel et fonctions de Neumann

Une solution de (A.41) est la fonction de Bessel de 1re espece J#(x) definie par :

J#(x) =+"0

k=0

(# 1)k

&(k + 1)&(, + k + 1)

#x

2

$#+2 k(A.42)


10

ou &(x) est la fonction definie par :

&(x) =

% +"

0

e# t tx#1 dt (A.43)

Les variations des premieres fonctions de Bessel sont donnees sur la figure A.3. Une autresolution de l’equation de Bessel (A.41) est J# #(x). Lorsque , n’est pas un entier, J#(x) etJ# #(x) sont lineairement independants. Si , = n est entier, on peut montrer que :

Jn(x) = (# 1)n Jn(# x) (A.44)

La fonction de Bessel de 2e espece ou fonction de Neumann N#(x) est definie par :

N#(x) = limm!#

!

cos(m () Jm(x)# J#m(x)

sin(mx)

"

(A.45)

Les variations des premieres fonctions de Neumann sont donnees sur la figure A.4. On peutmontrer que :

N#(x) #%x!0

x# # et N#(x) #%x!+"

ln(x)

Figure A.3 – Les trois premieres fonctionsde Bessel Jn(x).

Figure A.4 – Les trois premieres fonctions deNeumann Nn(x).

Pour resoudre l’equation de Bessel (A.41), on doit considerer deux cas :

1. Si , n’est pas entier, la solution R#(x) est une combinaison lineaire de J#(x) et J# #(x) :

R#(x) = C1 J#(x) + C2 J# #(x)

2. Si , = n est entier, Jn(x) et Jn(# x) ne sont pas lineairement independants d’apres(A.44). On peut montrer que la solution Rn(x) est alors une combinaison lineaire deJn(x) et Nn(x) :

Rn(x) = C1 Jn(x) + C2 Nn(x)


11

A.5 Quelques notions sur l’analyse de Fourier

Ce paragraphe est uniquement qualitatif et ne pretend pas a la moindre rigueur mathe-matique. Se reporter a un cours specialise pour des demonstrations rigoureuses (voir parexemple [7, Tome 2 - Annexe B]).

A.5.1 Coe"cients de Fourier

On considere une fonction f(t) periodique de periode T . On pose -1 = 2 (/T . Sous certainesconditions mathematiques assez peu restrictives en physique, f peut s’ecrire, avec n entier :

f(t) =+"0

n=#"

cn exp(i-n t) avec -n = n-1 (A.46)

L’equation (A.46) definit une serie de Fournier dont les coe"cients cn se calculent selon :

cn =1

T

% T

0

f(t) exp(# i-n t) dt (A.47)

L’ensemble des modules des coe"cients cn est appele le spectre de Fourier de f (figure A.5).

Figure A.5 – Exemple de spectre de Fou-rier.

Figure A.6 – Superposition des harmoniques dela fonction creneau jusqu’a N = 3 (trait epais) etN = 21 (trait fin). Le fondamental est representeen pointilles.

Si la fonction f est reelle, les coe"cients cn verifient c#n = c$n. On peut alors reecrire (A.46)sous la forme :

f(t) = an=1 ++"0

0

an cos(-n t) + bn sin(-nt ) avec a0 =1

T

% T

0

f(t) dt (A.48)

a0 represente simplement la moyenne de la fonction f . Pour n ( 1, les coe"cients an et bnsont donnes par :

an =2

T

% T

0

f(t) cos(-n t) dt et bn =2

T

% T

0

f(t) sin(-n t) dt (A.49)


12

Ces relations montrent que le spectre d’un signal periodique est un spectre de raie : a chaquevaleur de n correspond une harmonique (de rang n). L’harmonique de rang 1 est le modefondamental. La figure A.6 represente la superposition de divers harmoniques d’une fonctionen creneaux. Au fur et a mesure que le nombre d’harmoniques utilisees croıt, la fonction serapproche de plus en plus de la fonction originelle.

A.5.2 Transformations de Fourier

On considere une fonction s(t) qui n’est pas forcement periodique. Sous certaines conditionsmathematiques peut restrictives en physique, on montre que s(t) peut s’exprimer sous formed’une integrale de Fourier :

s(t) =1)2 (

% +"

#"

S(-) exp(i- t) dt avec S(-) =1)2 (

% +"

#"

s(t) exp(# i- t) dt

(A.50)Les fonctions s(t) et S(-) sont les transformees de Fourier l’une de l’autre. Ces relationsmontrent que le spectre d’un signal continu est en general continu.

L’integrale de Fourier (A.50) est l’homologue, pour une fonction quelconque, du developpe-ment en serie de Fourier donne par (A.46) pour une fonction periodique. La fonction S(-)ne fait que traduire le poids relatif des diverses pulsations.

Exemple d’une fonction creneau

On considere la fonction creneau definie par s(t) = 1 pour #* < t < * , 0 sinon. Sa transfor-mee de Fourier vaut :

S(-) =1)2 (

% + $

# $

s(t) exp(# i- t) dt =2 *)2 (

sin(X)

Xavec X = - * (A.51)

et est representee sur la figure A.7. On appelle sinus cardinal la fonction sin(x)/x dont laforme caracteristique est a retenir.

Figure A.7 – Fonction creneau (a gauche) et sa transformee de Fourier normalisee (a droite).


13

Exemple d’une fonction sinusoıdale limitee

On considere la fonction definie par s(t) = cos(-0 t) pour #* < t < * , 0 sinon. Sa transformeede Fourier vaut :

S(-) =2 *)2 (

!

sin [(- + -0) * ]

(- + -0) *+

sin [(- # -0) * ]

(- # -0) *

"

(A.52)

et est representee sur la figure A.8. Dans un large domaine de pulsation, elle peut etreconsideree comme la somme de deux sinus cardinaux centres sur ±-0.

Figure A.8 – Fonction sinusoıdale limitee (a gauche) et sa transformee de Fourier (a droite).

A.5.3 Extention du signal et largeur de son spectre

On considere la fonction creneau. Il est ”naturel” au vu de la figure A.7 de definir sonextension temporelle par $t = 2 * et l’extension spectrale de sa transformee de Fourier par$- * (/* . On a alors :

$-$t * 2 ( ou $,$t * 1 (A.53)

en introduisant le spectre en frequence , = -/(2 (). On admettra que (A.53) est generalisablepour un signal quelconque.


14

Chapitre 1

Equations de Maxwell dans le vide -Electromagnetisme

Sommaire

1.1 Distributions de charges et de courants . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Equations de Maxwell dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Champ electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Quelques regimes particuliers de l’electromagnetisme . . . . . . 23

1.5 Invariances et symetries du champ electromagnetique . . . . . 24

1.6 Conditions aux limites du champ electromagnetique . . . . . . 29

Introduction

Ce chapitre fondamental part des equations de Maxwell pour etudier le champ electromagne-tique dans toute sa generalite. Il s’acheve par des rappels sur les symetries et les conditionsaux limites auquelles est soumis le champ electromagnetique.


15

1.1 Distributions de charges et de courants

1.1.1 La charge electrique

Diverses experiences ont montre que la charge n’etait pas uniformement repartie dans toutl’espace mais localisee en quelques sites (par exemple l’experience de di!usion deRutherforddecrite dans [14, page 654]), tandis que d’autres ont montre que la charge electrique detout systeme a l’etat libre etait quantifiee (par exemple l’experience de Millikan decritedans [10, page 26]).

On montre ainsi qu’il existe deux types de charges : les charges positives et les chargesnegatives.

1.1.2 Choix de l’element de volume - Grandeurs nivelees

Pour avoir un sens, la densite volumique de charge " = $Q/$V ne doit pas dependrede la forme exacte du volume $V et doit etre raisonnablement constante si on deplace”legerement” le volume d’integration. Pour des raisons de commodite, on prend souvent unesphere de centre M et de rayon R pour evaluer la densite volumique " en M . D’un cote,le rayon R doit etre grand a l’echelle atomique pour pouvoir contenir un grand nombre decharges, ce qui implique R + 0, 1 A. De l’autre, il doit etre petit a l’echelle microscopique.Comme le meilleur etat de surface actuellement realisable est de l’ordre du micron, on doitavoir R , 1 µm. Finalement, R doit valoir approximativement 100 a 1000 A.

Or le champ a la surface d’une sphere de rayon 100 A contenant une unique charge elemen-taire en son centre vaut 1,5 107 V/m. C’est a dire que l’existence d’une charge en plus ouen moins dans la sphere de rayon R modifie considerablement le champ electrique, ce quiest incompatible avec l’hypothese du debut de ce paragraphe de constance du resultat endeplacant ”legerement” la sphere.

Ceci montre qu’on ne doit pas proceder ainsi mais niveler la densite volumique de charges enremplacant la ”vraie” variation "vrai par une grandeur debarrassee de toutes les fluctuationsspatiales. On remplace donc une charge quasi ponctuelle centree sur M (figure 1.1) par unedistribution continue "niv centree sur M mais s’etalant sur 100 a 1000 A. La forme de lafonction de distribution "niv n’a pas d’importance, il su"t qu’elle soit continue et etalee sur(100 A)3 a (1000 A)3.

L’utilisation d’une sphere pour moyenner les grandeurs microscopiques n’est pas entierementsatisfaisante. On pourrait montrer qu’il est preferable d’utiliser une fonction de nivellementcontinue, centree en !r et a symetrie spherique. La distance caracteristique sur laquelle cettefonction est non nulle est une distance mesoscopique de 0,3 a 1 A. La fonction f doit verifier :

%%%

Espace

f(!r) dV = 1 (1.1)

Par exemple, une charge ponctuelle qi en un point !ri est remplacee par la fonction continue"i = qi f(!r#!ri) et la densite volumique de charge " nivellee est donnee par :

" =0

i

qi f(!r#!ri) (1.2)


16

R

$vrai

$niv

$

Distance0

Figure 1.1 – On remplace une densite volumique "vrai assimilable a une fonction de Dirac par unefonction nivelee "niv de meme integrale dont l’extension spatiale est de l’ordre de 100 a 1000 A (voirtexte).

ou la sommation s’e!ectue sur toutes les charges du systeme. La forme de la fonction f faitque dans la pratique, seules les charges qui se trouvent proche de !r apportent une contributione!ective a ".

On procede de meme pour les autres grandeurs que l’on souhaite niveler : #, !J , !E, !B, ...

1.1.3 Equation de continuite

En regime variable, la conservation de la charge totale impose que la densite volumique " entout point de l’espace soit liee a la densite de courant au voisinage de ce point par l’equationde continuite ou equation de conservation de la charge :

)"

)t+ !! . !J = 0 (1.3)

Cette relation signifie simplement qu’une diminution au cours du temps de la charge totalecontenue dans un petit volume correspond a un flux de charge sortant a travers la surfacedelimitant ce volume.

Dans le cas particulier ou les charges sont mobiles mais ou leur densite volumique " resteconstante au cours du temps, l’equation de continuite est simplement :

!! . !J = 0 (1.4)

On dit alors qu’il s’agit d’un regime permanent ou stationnaire. La densite de courant !J estalors a flux conservatif. Si en plus !J est constant, on aura un courant continu.

1.1.4 Changement de referentiel

On note " et !J les densites volumiques de charges et de courants dans un referentiel galileen(R). Dans un autre referentiel (R’) en mouvement rectiligne uniforme a la vitesse !u par

rapport a (R), ces distributions sont respectivement "% et !J%.

On verra au § 9 qu’un traitement relativiste est necessaire pour une reponse exacte. Nean-moins, dans le cadre de l’approximation galileenne, on montre que :

"% = " et !J%= !J #" !u (1.5)


17

1.2 Equations de Maxwell dans le vide

1.2.1 Equations de Maxwell

En notant "(!r, t) et !J(!r, t) les densites respectives de charges et de courants volumiques, laforme locale des equations de Maxwell dans le vide s’ecrit en fonction des champs !E(!r, t) et!B(!r, t) :

,

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

.

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

/

!! . !E = "'0 Maxwell#Gauss ou (MG)

!! . !B = 0 Conservation du flux magnetique ou (M#)

!! " !E = # ) !B)t Maxwell# Faraday ou (MF)

!! " !B = µ0!J + 1

c2) !E)t Maxwell# Ampere ou (MA)

(1.6)

en fonction des deux constantes universelles '0 = 8, 854 10#12 F/m (permittivite dielectriquedu vide) et µ0 = 4( 10#7 H/m (permeabilite magnetique du vide).

1.2.2 Invariances de jauge

Il est parfois plus simple d’introduire les potentiels que de resoudre directement les equationsde Maxwell, qui sont des equations couplees du 1er ordre. On obtient alors moins d’equations,mais d’un ordre plus eleve.

Jauge de Lorentz

Il est trivial de montrer que les definitions des potentiels vecteurs et potentiels scalaires par :

!B = !!" !A et !E = # !!($) # ) !A

)t(1.7)

satisfont les equations (M#) et de (MF). Il est evident que (MG) entraıne alors :

$$ +)

)t

#

!! . !A$

= # "

'0(1.8)

tandis que (MA) permet d’ecrire :

$ !A # 1

c2)2 !A

)t2# !!

!

!! . !A+1

c2)$

)t

"

= #µ0!J (1.9)

Le champ !B reste inchange par la transformation :

!A % !A % = !A+ !!(') (1.10)


18

ou ' est une fonction scalaire quelconque. Pour que !E donne par (1.7) reste inchange, il fautque $ se transforme simultanement en :

$% = $ # )'

)t(1.11)

On admettra que la liberte de choix o!erte par !A % !A % = !A+ !!(') et (1.11) permet dechoisir !A et $ tels que :

!! . !A+1

c2)$

)t= 0 (1.12)

et que l’on peut toujours trouver des potentiels !A et $ qui satisfont cette condition. Larelation (1.12) permettant de fixer de maniere univoque les potentiels est connue sous lenom de condition de Lorentz. En combinant cette relation avec (1.8) et (1.9), on obtientainsi deux equations decouplees qui sont equivalentes aux equations de Maxwell :

,

-

-

-

.

-

-

-

/

$$ # 1c2

)2$)t2

= # "'0

$ !A # 1c2

)2 !A)t2

= #µ0!J

(1.13)

L’ensemble des deux transformations (1.10) et (1.11) s’appelle une transformation de jauge,tandis que l’invariance des champs sous une telle transformation s’appelle une invariance dejauge. Si !A et $ verifient la condition de Lorentz, alors la transformation de jauge restreinte( !A % !A % et $ % $ %) verifie la condition de Lorentz si :

$' # 1

c2)2'

)t2= 0 (1.14)

Les potentiels de cette classe restreinte constituent la jauge de Lorentz. Cette jauge estcouramment utilisee en electromagnetisme car elle conduit a un traitement identique pourle potentiel scalaire V et le potentiel vecteur !A (1.13).

Jauge de Coulomb

Il existe une autre jauge couramment utilisee pour les phenomenes statiques :

!! . !A = 0 (1.15)

C’est la jauge de Coulomb. En l’utilisant, la relation tres generale (1.8) peut s’ecrire :

$$ = # "

'0

Cette relation montre que dans cette jauge, le potentiel scalaire verifie l’equation de Poisson(d’ou son nom de jauge de Coulomb). La solution de cette equation est simplement le potentielde Coulomb instantane du a " :

$(M) =1

4('0

%%%

Espace

"(P )

PMd3P (1.16)


19

Remarque sur la causalite

La relation (1.16) indique que $ se propage instantanement, alors que les relations (1.13)indiquent que !A et $ se propagent a la vitesse c. Les domaines d’application de ces relationsseront donc di!erents.

1.3 Champ electromagnetique

1.3.1 Energie du champ

Localisation de l’energie

Les deux experiences schematisees sur la figure 1.2 permettent de mettre en evidence le faitque l’energie se propage dans le vide, ce qui implique la necessite de pouvoir faire un bilanlocal de l’energie.

(1) (2)Filament Train d’ondes

Laser

Thermopile

Figure 1.2 – Ces deux experiences mettent en evidence la propagation de l’energie dans le vide,en l’absence de support materiel.

Puissance cedee par le champ a des charges

L’energie fournie par le champ electromagnetique pendant dt aux charges contenues dans levolume dV se met sous la forme :

.2W

dV=

d!F

dV. d!/ =

d!F

dV.!v dt (1.17)

ou !v est la vitesse moyenne des particules et d!F/dV la densite volumique de force. Commed!F/dV = " !E et !v = !J/", on a finalement :

.2W

dV= !J . !E dt

dont on deduit que la puissance volumique cedee par le champ aux charges vaut :

dP

dV= !J . !E (1.18)

Relation locale de conservation de l’energie

On note u la densite volumique d’energie electromagnetique, !R son flux par unite de surfaceet # la densite volumique d’energie perdue par le champ electromagnetique. La variation dE


20

de l’energie electromagnetique pendant dt peut se mettre sous la forme :

dE =

%%

(S)

(#!Rdt) . d!S #!%%%

(V )

# dV

"

dt

soit :dEdt

+

%%

(S)

!R . d!S +

%%%

(V )

# dV = 0 (1.19)

Le 1er terme de cette relation peut s’ecrire d’apres (A.26) :

dEdt

=d

dt

!%%%

(V )

u dV

"

=

%%%

(V )

)u

)tdV

tandis que le 2e devient en utilisant le theoreme d’Ostrogradski :%%

(S)

!R . d!S =

%%%

(V )

(!! . !R) dV

Finalement, on peut reecrire (1.19) sous la forme :%%%

(V )

!

)u

)t+ !! . !R + #

"

dV = 0

Comme ceci est valable pour tout volume de controle V , on en deduit l’equation locale deconservation de l’energie :

)u

)t+ !! . !R + # = 0 (1.20)

Identite de Poynting

On part des formes suivantes de (MF) et (MA) :

!!" !E +) !B

)t= !0 et !!" !B # 1

c2) !E

)t= µ0

!J

En multipliant scalairement la 1re equation par !B et en lui soustrayant la 2e multipliee par!E puis en divisant l’ensemble par µ0, on obtient :

1

µ0

#

!B . (!!" !E)# !E . ( !B" !B)$

+1

µ0

!B .) !B

)t+

1

µ0 c2!E .

) !E

)t= # !J . !E

D’apres (A.9), on reconnait !! . ( !E" !B) dans le 1er terme, tandis que !B . ) !B/)t et !E . ) !E/)ts’ecrivent respectivement :

)

)t

!

B2

2

"

et)

)t

!

E2

2

"

Finalement, on obtient l’identite de Poynting :

!! .

1

!E " !B

µ0

2

+)

)t

!

1

2'0 E

2 +B2

2µ0

"

= # !J . !E (1.21)


21

En identifiant avec (1.20), il semble naturel de poser :

u =1

2'0 E

2 +B2

2µ0# = !J . !E !R =

!E " !B

µ0(1.22)

!R est appele le vecteur de Poynting.

1.3.2 Impulsion du champ

On peut voir sur l’exemple de la figure 1.3 que la force exercee par la particule (1) sur laparticule (2) n’est pas l’opposee de la force exercee par la particule (2) sur la particule (1).Cela signifie que la somme des deux impulsions !p1 + !p2 n’est pas constante. On peut montrerque la loi de conservation de la quantite de mouvement s’applique a !p1 + !p2 + !pchamp ou !pchamp

est la quantite de mouvement associee au champ electromagnetique.

2

2(% )1

(% )

q 2 BA

q 1

v 1

v

Figure 1.3 – Dans cette configuration, la force exercee par la particule (2) sur la particule (1)n’est pas l’opposee de celle exercee par la particule (1) sur la particule (2) - voir texte.

On montre qu’a tout champ electromagnetique, on associe une densite volumique d’impulsion!g telle que :

!g = '0 !E " !B =!R

c2(1.23)

1.3.3 Moment cinetique du champ

De la meme maniere qu’on associe de l’energie et de la quantite de mouvement au champelectromagnetique, on peut lui associer un moment cinetique. On pourrait montrer que laquantite de mouvement contenue dans le volume dV entourant un point M correspond a unmoment cinetique de densite volumique :

d!#

dV= !d" !g avec !d =

##%OM (1.24)

La loi de conservation du moment cinetique doit prendre en compte le moment cinetique duchamp, en sus de celui des particules chargees contenues dans le champ.

1.3.4 Conclusion sur le champ electromagnetisme

En electromagnetisme, on ne doit pas parler de la force que deux charges exercent l’une surl’autre, mais de la force qu’une charge subit dans le champ cree par l’autre.


22

1.4 Quelques regimes particuliers de l’electromagne-tisme

1.4.1 Regime permanent

On appelle regime permanent le regime pour lequel les variations temporelles des termessources du champ sont nulles. Le couplage entre !E et !B disparaıt alors et les equations deMaxwell (1.6) s’ecrivent :

,

-

-

-

-

-

-

-

-

-

.

-

-

-

-

-

-

-

-

-

/



!! " !E = !0 Maxwell# Faraday ou (MF)

!! " !B = µ0!J Maxwell# Ampere ou (MA)

(1.25)

Dans ce cas, il est possible de separer l’electromagnetisme en deux branches :

1. l’etude du champ electrique permanent !E(!r) ayant pour source "(!r)

2. l’etude du champ magnetique permanent !B(!r) ayant pour source !J(!r)

Remarque : On peut noter que l’etude des champs magnetiques permanent est la magne-tostatique, tandis que l’etude des champs electriques permanent n’est pas l’electrostatique.

1.4.2 Approximation des regimes quasi stationnaires

En negligeant l’influence de la propagation, on retombre sur l’approximation des RegimesQuasi Stationnaires (ARQS ou AEQS pour certains auteurs) qui s’ecrit :

,

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

.

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

/



!! " !E = # ) !B)t Maxwell# Faraday ou (MF)

!! " !B = µ0!J Maxwell# Ampere ou (MA)

(1.26)

On remarque en particulier que l’intensite est conservative dans l’ARQS. C’est une proprietede base de l’electrocinetique.


23

1.5 Invariances et symetries du champ electromagne-tique

Les proprietes d’invariance et de symetrie du champ electromagnetique sont basees sur leprincipe de Curie (1894) qui reste valable tant que la solution du probleme est unique :

Si une cause presente une certaine symetrie (ou invariance), alors sone!et aura la meme symetrie (ou la meme invariance), ou une symetriesuperieure

Applique a l’electromagnetisme, ceci implique que les elements de symetrie ou d’antisyme-trie des distributions de charge et de courant doivent se retrouver dans les champs et lespotentiels. Le principe de Curie permet de dire que si un systeme possede un certain degrede symetrie, on peut deduire les e!ets crees par ce systeme en un point a partir des e!etscrees en un autre point a l’aide de six proprietes, valables aussi bien en regime statique qu’enregime variable tant qu’on neglige le temps de propagation.

1.5.1 Invariances du champ electromagnetique

Invariance par translation

Si un systeme est invariant dans toute translation parallele a un axe, les e!ets sont indepen-dants des coordonnees de cet axe (propriete #1)

Symetrie axiale

Si un systeme est invariant dans toute rotation autour d’un axe donne, alors ses e!ets nedependent pas de l’angle qui definit la rotation (propriete #2)

Par exemple, l’invariance d’une densite volumique de charge " par rapport a un axe Ozpermet d’ecrire en tout point M :

V (M) = V (r, z) et !E(M) = Er(r, z) !ur + E!(r, z) !u! + Ez(r, z) !uz

Symetrie cylindrique

Si un systeme est invariant par translation et rotation, ses e!ets ne dependent que de ladistance a l’axe de rotation (propriete #3)

Symetrie spherique

Si un systeme est invariant dans toute rotation autour d’un point fixe, ses e!ets ne dependentque de la distance a ce point (propriete #4)


24

1.5.2 Symetries du champ electromagnetique

Qu’est-ce que le champ magnetique ?

Experimentalement, on montre que dans toute region de l’espace subissant l’influence decourants ou d’aimants permanents, la force d!F a laquelle est soumise un element d!/ decircuit parcouru par un courant I depend lineairement de I d!/. On peut mathematiquementtraduire ceci par :

3

4

4

4

4

5

dFx

dFy

dFz

6

7

7

7

7

8

= (B)

3

4

4

4

4

5

I d/x

I d/y

I d/z

6

7

7

7

7

8

avec (B) =

3

4

4

4

4

5

Bxx Bxy Bxz

Byx Byy Byz

Bzx Bzy Bzz

6

7

7

7

7

8

(1.27)

On observe egalement que d!F et I d!/ sont perpendiculaires, ce qui se traduit par dFx I d/x+dFy I d/y + dFz I d/z = 0. Comme ceci est valable pour toute longueur d/, on en deduitfinalement que :

Bxx = Byy = Bzz = 0 Byx = #Bxy Bxz = #Bzx Bzy = #Byz

La matrice des coe"cients de (B) definie par (1.27) est donc antisymetrique. Il su"t de troisquantites pour decrire l’action, sur l’element de longueur d!/, du champ magnetique. On posedonc Bx = Byz, By = Bzx et Bz = Bxy, soit :

(B) =

3

4

4

4

4

5

0 Bz #By

#Bz 0 Bx

By #Bx 0

6

7

7

7

7

8

(1.28)

On voit donc que meme si la necessite de le visualiser pousse a representer le champ ma-gnetique !B sous forme vectorielle ( !B = Bx !ux +By !uy +Bz !uz), les trois coordonnees Bx,By et Bz du champ magnetique sont en realite les composantes d’un tenseur antisymetriqued’ordre deux 1.

Une autre facon de voir les choses

On peut introduire le champ magnetique d’une facon di!erente, a partir de l’action qu’ilexerce sur une particule de charge q, c’est a dire a partir de la force de Lorentz :

!F = q ( !E+!v" !B) (1.29)

On voit sur cette relation que, pour que la force !F soit une observable physique (puisqu’elleest liee a l’energie !), le champ !B, au contraire du champ !E, doit dependre de la conventiond’orientation de l’espace.

1. On appelera tenseur un tableau de coe"cients traduisant des proprietes physiques, au contraire d’unematrice qui traduit simplement une variation lineaire entre diverses quantites. L’ordre d’un tenseur est lenombre d’indices matriciels necessaires pour le decrire. Par exemple, la masse et toute autre quantite scalaireest un tenseur d’ordre 0, mais une force ou toute autre quantite vectorielle est un tenseur d’ordre 1.


25

Representation vectorielle de !E et !B

On represente donc !E et !B par des vecteurs dans l’espace a trois dimensions, meme si commeon vient de le voir, cette schematisation peut amener des confusions pour !B.

On appelera parite l’operation de symetrie par rapport a une origine O. Cette definitionpermet d’introduire deux types de ”vecteurs” :

1. un vecteur sera dit polaire ou vrai vecteur si Parite (!V ) = # !V . Le champ electrique!E, le potentiel vecteur !A, la densite volumique de courant !J , le vecteur position !r, lavitesse !v, la force de Lorentz !F , etc .. sont des vecteurs polaires.

2. un vecteur sera dit axial ou pseudo-vecteur si Parite (!V ) = !V . Comme le produitvectoriel de deux vecteurs polaires est un vecteur axial, le champ magnetique !B est unvecteur axial car la force magnetique q !v " !B s’ecrit alors comme le produit de deuxvecteurs polaires.

Le principe de Curie permet de dire que si un systeme admet un plan de symetrie, alors entout point de ce plan, un e!et vectoriel est contenu dans ce plan tandis qu’un e!et axial estperpendiculaire a ce plan (propriete #5).

De maniere equivalente, si un systeme admet un plan d’antisymetrie, alors en tout point dece plan, un e!et vectoriel est perpendiculaire a ce plan tandis qu’un e!et axial est contenudans ce plan (propriete #6).

Symetrie par rapport a un point

Si une distribution de charge possede un centre de symetrie, !E est nul en ce point.

Si une distribution de courants possede un centre de symetrie, !B est nul en ce point.

Symetrie par rapport a un axe

Si une distribution de charge possede un axe de symetrie, !E est porte par cet axe.

Si une distribution de courants possede un axe de symetrie, !B est nul en tout point decelui-ci.

Symetrie par rapport a un plan

On dira d’une distribution de charge qu’elle possede un plan de symetrie (() si deux elementsde volume symetriques par rapport a ce plan contiennent la meme charge. On notera M % lesymetrique de M par rapport au plan (() dans tout ce paragraphe. On peut montrer quel’on a (figure 1.4) :

,

.

/

!E//(M %) = !E//(M)

!E&(M %) = # !E&(M)et V (M %) = V (M) (1.30)

En particulier, si un point M appartient a un plan de symetrie de la distribution de charge,le champ electrique en M est contenu dans ce plan.


26

E E

E //E //E (M)

(&)

M’M

E (M’)

(&)

M

E (M)

Figure 1.4 – Distribution de charge ayant un plan (#) de symetrie : cas d’un point M situe endehors du plan (a gauche) et d’un point M situe sur le plan (a droite).

De meme, on dira d’une distribution de courant qu’elle possede un plan de symetrie (() siles courants volumiques !J en deux points P et P % symetriques par rapport a ce plan sonteux-memes symetriques :

!J&(P%) = # !J&(P ) et !J//(P

%) = !J//(P )

On peut montrer que l’on a (figure 1.5) :

,

.

/

!B//(M %) = # !B//(M)

!A//(M %) = !A//(M)et

,

.

/

!B&(M %) = !B&(M)

!A&(M %) = # !A&(M)(1.31)

En particulier, si un point M appartient a un plan de symetrie de la distribution de courant,le champ magnetique en M est normal au plan tandis que le potentiel vecteur est contenudans le plan.

B (M)

M

(&)

M’

B (M’)

B //

B

B

B //

(&)

M’M

A (M’)

A

A //A //

A

A (M)

B (M)

A (M)

(&)

M

Figure 1.5 – Distribution de courant ayant un plan (#) de symetrie : cas d’un point M situe endehors du plan (a gauche et au centre) et d’un point M situe sur le plan (a droite).

Cas des antisymetries

On peut aisement deduire du paragraphe precedent les proprietes de !E et !B dans une anti-symetrie par rapport a un point, a un axe ou a un plan.


27

Par exemple, on dira d’une distribution de charge qu’elle possede un plan d’antisymetrie(() si deux elements de volume symetriques par rapport a ce plan contiennent des chargesopposees. Dans ce cas, on a (figure 1.6) :

,

.

/

!E//(M %) = # !E//(M)

!E&(M %) = !E&(M)et V (M %) = #V (M) (1.32)

En particulier, si un pointM appartient a un plan d’antisymetrie de la distribution de charge,le champ electrique en M est normal a ce plan.

E

E //

E

E //

E (M)

M

(&)

M’

E (M’)

(&)

ME (M)

Figure 1.6 – Distribution de charge ayant un plan (#) d’antisymetrie : cas d’un point M situeen dehors du plan (a gauche) et d’un point M situe sur le plan (a droite).

De meme, on dira d’une distribution de courant qu’elle possede un plan d’antisymetrie (()si les courants volumiques !J en deux points P et P % symetriques par rapport a ce plan sonteux-memes antisymetriques, c’est a dire opposes a leur symetrique :

!J&(P%) = !J&(P ) et !J//(P

%) = # !J//(P )

On peut montrer que l’on a (figure 1.7) :

,

.

/

!B//(M %) = !B//(M)

!A//(M %) = # !A//(M)et

,

.

/

!B&(M %) = # !B&(M)

!A&(M %) = !A&(M)(1.33)

En particulier, si un point M appartient a un plan de d’antisymetrie de la distribution decourant, le champ magnetique en M est contenu dans ce plan tandis que le potentiel vecteurest normal au plan.

Si une distribution de charge possede un axe d’antisymetrie, !E est perpendiculaire a cet axe.

Si une distribution de courants possede un axe d’antisymetrie, !B est porte par cet axe.


28

(&)

M’M

B (M’)

B

B //B //

B

B (M)

A (M)

M

(&)

M’

A (M’)

A //

A

A

A //

(&)

B (M)

A (M)M

Figure 1.7 – Distribution de courant ayant un plan (#) d’antisymetrie : cas d’un point M situeen dehors du plan (a gauche et au centre) et d’un point M situe sur le plan (a droite).

Exercice 1.1 : Theoreme de Gauss et champ coulombien

Montrer en electrostatique que si le champ !E satisfait au theoreme de Gauss, c’est un champcoulombien (radial et variant en 1/r2). Comment se fait-il que le champ d’une charge en mouvementpuisse satisfaire au theoreme de Gauss sans etre forcement coulombien ?

1.6 Conditions aux limites du champ electromagne-tique

Les proprietes de continuite/discontinuite du champ electromagnetique dependent de la na-ture des distributions et donc du modele utilise. Dans ce paragraphe, on suppose des milieuxcaracterises par '0 et µ0.

1.6.1 Densites ponctuelles, lineiques et volumiques

Pour une densite de charges ponctuelles, on deduit des expressions du potentiel #ponct et duchamp !Eponct :

#ponct(M) =1

4 ( '0

0

i

qiri

et !Eponct =1

4 ( '0

0

i

qir2i

!ui (1.34)

qu’il existe des singularites au voisinage des charges. On observe le meme phenomene pourun modele lineique :

#lin(M) =&

2 ( '0ln

!

r

r0

"

et !Elin =&

2 ( '0

1

r!ur (1.35)


29

Par contre, dans le cas d’un modele volumique, les equations de definition de #vol et duchamp !Evol s’ecrivent :

$#vol = # "

'0!!" !Evol = !0 !! . !Evol =

"

'0(1.36)

Elles indiquent que #vol et !Evol sont definis (pas de singularite) et continus en tout point(car leurs derivees partielles sont bornees).

1.6.2 Densites surfaciques

Le cas des densites surfaciques est plus complexe.

Discontinuite en physique et en mathematiques

On considere deux milieux (1) et (2) separes par une surface (S). Avec les notations de lafigure 1.8, une fonction F (x, y, z, t) est discontinue en z au point M si F1 $= F2 avec :

Fi = limMi!M

(F (x, y, z, t))

La discontinuite est mesuree par F2 # F1. Mathematiquement, la valeur de )F/)z n’est pasdefinie en M . En fait, en physique, il n’existe pas de discontinuite si brutale qu’on ne puissela voir. La variation de F est simplement tellement rapide sur [M1, M2] (figure 1.8) que)F/)z est tres elevee, mais reste finie, de meme que :

F2 # F1 =

% M2

M1

)F

)zdz

puisque )F/)z a une valeur tres elevee mais finie (figure 1.9). Dans le cas d’une discontinuiteen z, on supposera toujours que dans les autres dimensions (x, y et t), la fonction F estcontinue. Par exemple :

limM1#!M2

!% M2

M1

)F

)xdx

"

= 0

On supposera toujours la meme chose pour )F/)y et )F/)t.

(S)M2

z

(2)

(1)M

M 1

Figure 1.8 – La discontinuite d’unequantite F s’exprime par la di#erenceF2#F1 dans les deux milieux (1) et (2)

(2)(1)

F(z)

z

(1) (2)

F(z)

z

Figure 1.9 – Une variation rapide de $F/$z (agauche) est souvent assimilee a une discontinuite (adroite).


30

Composante normale de !E

On considere une surface chargee (() de forme quelconque, de densite surfacique #, separantdeux milieux (1) et (2) de densites volumiques respectives "1 et "2 (figures 1.10 et 1.11). Leschamps electrostatiques !E1 et !E2 sont des fonctions de classe C1 mais ne sont pas definis surla surface (().

Si le volume (V ) de la figure 1.10 est su"sament petit, c’est a dire si la surface laterale ducylindre est negligeable, on peut ecrire, en notant (S) la surface parallele a (() :

%%

Cylindre

!E . d !S * ( !E2 # !E1) .$S !n1!2 (1.37)

ou !n1!2 est un vecteur unitaire normal a la surface oriente du milieu (1) au milieu (2).

De plus, on a dans le volume (V ) :%%%

(V )

"

'0dV =

#

'0$S (1.38)

En combinant (1.37) et (1.38), le theoreme de Gauss (2.17) permet d’ecrire :

( !E2 # !E1) . !n1!2 =#

'0(1.39)

Il est important de souligner qu’en realite (c’est-a-dire dans un modele volumique), le champelectrique !E est continu de classe C1. La discontinuite donnee par (1.39) est due a l’approxi-mation faite en negligeant l’epaisseur de la nappe chargee.

1

2

1!>2n

Volume (V)

1E

2E

'

Figure 1.10 – Volume de controle qui amenela discontinuite de la composante normale de!E.

1

2

1!>2n

t

Contour (C)

1E

2E

'

Figure 1.11 – Surface de controle qui amenela continuite de la composante tangentielle de!E.

Composante tangentielle de !E

Le theoreme de Stokes (A.20) applique a l’equation de Maxwell-Faraday entraıne que :

&

(C)

!E . d!/ = #%%

(S)

) !B

)t.!t dS (1.40)


31

En notant $/ la grande longueur du contour ferme (C) de la figure 1.11, on peut ecrire :&

(C)

!E . d!/ = (!t" !n1!2) . ( !E2 # !E1)$/ (1.41)

ou !t represente un vecteur unitaire tangent a la surface et orthogonal au contour (C). Enappelant (S) une surface ouverte delimitee par (C), on a :

%%

(S)

) !B

)t.!t dS * 0 (1.42)

car ) !B/)t a une valeur finie sur la surface et S tend vers zero lorsqu’on fait tendre l’epaisseurdu contour vers zero. Finalement, (1.40) peut s’ecrire :

(!t" !n1!2) . ( !E2 # !E1) = 0

dont on deduit que :!n1!2 "( !E2 # !E1) = !0 (1.43)

qui montre que la composante tangentielle de !E est continue au passage de la surface chargee(().

On peut regrouper (1.39) et (1.43) sous la forme :

!E2 # !E1 =#

'0!n1!2 (1.44)

Composante normale de !B

On considere une nappe de courant (() de forme quelconque, de densite surfacique de courant!K, separant deux milieux (1) et (2) de densites volumiques de courant respectives !j1 et !j2(figures 1.12 et 1.13). Les champs magnetiques !B1 et !B2 sont des fonctions de classe C1 maisne sont pas definis sur la nappe de courant (().

En utilisant le meme raisonnement que celui applique au paragraphe precedent pour lacomposante normale de !E, on peut montrer que la composante normale de !B est continue :

( !B2 # !B1) . !n1!2 = 0 (1.45)

Composante tangentielle de !B

Le theoreme de Stokes (A.20) applique a l’equation de Maxwell-Ampere entraıne que :

&

(C)

!B . d!/ =

%%

(S)

9

µ0!J + '0 µ0

) !E

)t

:

.!t dS (1.46)

Le meme raisonnement que precedemment permet d’annuler a la limite le terme en ) !E/)tdans l’integrale de droite. Le terme de gauche de cette meme integrale s’ecrit µ0

!K .!t$/.


32

1

2

1!>2n

Volume (V)

1B

2B

K

Figure 1.12 – Volume de controle qui amenela continuite de la composante normale de !B.

1

2

1!>2n

t

Contour (C)

1B

2B

K

Figure 1.13 – Surface de controle qui amenela discontinuite de la composante tangentiellede !B.

Le terme de gauche de (1.46) s’ecrit a la limite des faibles epaisseurs :&

!B . d!/ = (!t" !n1!2) . ( !B2 # !B1)$/ (1.47)

Finalement, (1.46) peut s’ecrire :

(!t" !n1!2) . ( !B2 # !B1) = µ0!K .!t

dont on deduit que :!n1!2 "( !B2 # !B1) = µ0

!K (1.48)

qui montre que la composante tangentielle de !E est discontinue au passage de la nappe decourant.

Avec les memes arguments que pour le champ !E, la discontinuite donnee par (1.48) est enfait due a l’approximation faite en negligeant l’epaisseur de la nappe de courant.

On peut regrouper (1.45) et (1.48) sous la forme :

!B2 # !B1 = µ0!K " !n1!2 (1.49)

Exercice 1.2 : Potentiel et champ d’une plaque uniformement chargee

Calculer le potentiel ! et le champ !E en tout pointde l’espace lorsque la source est une plaque uniforme-ment chargee en volume de densite "0. Que se passe-t-il lorsque l’epaisseur e de la plaque tend vers zero ?

e

z

y$ O0


33 Notes de cours d’electromagnetisme classique,Licence 3 et Magistere de Physique Fondamentale, P. Puzo (2010 - 2011)

34

Chapitre 2

Electrostatique

Sommaire

2.1 Electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2 Aspects energetiques lies a l’electrostatique . . . . . . . . . . . 43

2.3 Conducteurs en electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4 Dipole electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.5 Le probleme du ”zero” des potentiels . . . . . . . . . . . . . . . 62

Introduction

Pour les phenomenes ne dependant pas du temps, la conservation de la charge totale (1.3)implique que !! . !J = 0, mais n’interdit pas !J = Cste $= !0. L’electrostatique (ou electrosta-tique du vide) correspond a l’etude des charges immobiles ( !J = !0) dans le vide. Le cas ou!J $= !0 correspond a l’electrocinetique.


35

2.1 Electrostatique

On appelle electrostatique l’etude du champ electrique produit par des charges immobiles.On supposera donc que la densite volumique de charge " est independante du temps. D’apres(1.3), ceci n’implique pas que la densite volumique de courant !J soit nulle. On fera cependantdans ce chapitre l’hypothese supplementaire que !J = !0. Le cas ou !J $= !0 sera traite au § 2.3.Les observables physiques traitees dans ce chapitre sont donc independantes du temps.

Remarque : Le domaine de validite de l’electrostatique s’etend jusqu’a l’infini pour lesgrandes dimensions. Dans le domaine microscopique, cette theorie cesse de s’appliquer desqu’il faut prendre en compte les e!ets quantiques. On aborde alors l’electrodynamique quan-tique (QED).

2.1.1 Loi de Coulomb

La force d’interaction creee par une charge q1 (fixe) et s’exercant sur une charge q2 (fixe) estdonnee par la loi de Coulomb :

!F1!2 =1

4('0

q1 q2r21!2

!u1!2 (2.1)

ou r1!2 est la distance entre les deux charges et !u1!2 un vecteur unitaire oriente de lacharge (1) vers la charge (2). La constante '0 est la permittivite dielectrique du vide et vaut8, 854 10#12 F/m dans le systeme international 1. Cette loi experimentale est a la base detout l’electrostatique.

2.1.2 Principe de superposition

Pour une distribution de charges discretes, le principe de superposition stipule que la force!Fi s’exercant sur une charge i peut s’ecrire comme la somme des forces !Fj!i que chacunedes charges j (autres que la charge i) exerce sur la charge i :

!Fi =0

j '=i

!Fj!i

Ceci permet de ramener l’etude des interactions electrostatiques au cas de deux chargesponctuelles et revient a dire que les equations de l’electrostatique doivent etre lineaires.

2.1.3 Champ electrique

Le champ electrique !E1 cree par la charge q1 sur la charge q2 est par definition :

!F1!2 = q2 !E1 soit !E1 =1

4('0

q1r2

!u1!2 (2.2)

ou !F1!2 est la force de Coulomb. Cette definition n’est donc valable que pour des charges q1et q2 fixes (puisque la loi de Coulomb ne s’applique que pour des charges fixes).

1. On pourra retenir que 1/(4# %0) * 9" 109 SI.


36

1(q )

M1 u M2

2(q ) E1

1!>2

Figure 2.1 – Champ electrique !E1 exerce par une charge q1 > 0. La force qui s’exerce sur lacharge q2 est orientee selon !E1 si q2 > 0.

Dans le cas d’une distribution de charges discretes, le champ electrique s’exprimera selon :

!E(M) =1

4('0

0

i

qir2i

!ui (2.3)

Dans le cas d’une distribution continue de charges, on considere le volume mesoscopique d3Pqui entoure le point P et qui contient la charge totale .q. On attribue par definition a cevolume la densite volumique de charge "(P ) telle que :

.q = "(P ) d3P

En considerant (2.3) comme une somme de Riemann 2, on obtient finalement l’expression duchamp electrique :

!E(M) =1

4('0

%%%

(D)

"(P )

##%PM

PM3 d3P (2.4)

ou "(P ) est la densite volumique de charge (exprimee en C/m3) au point P et ou l’integraleest e!ectuee sur la distribution volumique de charge (D) decrite par le point courant P .

qi

q1q

2

3q

ui M

Distribution de charge discrète

ir

(d

D D

Distribution de charge continue

uMrP

Figure 2.2 – Distribution de charge discrete (gauche) ou continue (droite).

La table 2.1 donne quelques ordres de grandeur de champs electriques.

2. A toute fonction f definie sur l’intervalle [a, b], on associe la somme de Riemann :

S =i=n0

i=1

f(&i) (xi # xi!1) avec -i % [1, n] xi!1 . &i . xi

ou (x0 = a < x1 < . . . < xi < . . . < xn = b) est une subdivision de l’intervalle [a, b]. Si la fonction f estcontinue par morceaux sur [a, b], alors les sommes de Riemann sont d’autant plus proches de l’integrale quel’ecart maximal entre deux points consecutifs de la subdivision est proche de zero. On utilise allegrement ceresultat en physique pour faire un passage a l’integrale ou passage a la limite continue, sans toujours avoiren tete les hypotheses sous-jacentes ...


37

Dans un laser de puissance 1-2 1010 V/mLors d’un claquage dans l’air 106 V/mDans la basse atmosphere 102 V/mA l’interieur d’un conducteur en cuivre a l’equilibre 10# 2 V/m

Table 2.1 – Quelques valeurs typiques de champs electriques

2.1.4 Circulation du champ d’une charge ponctuelle - Potentielelectrique

On considere une charge ponctuelle q situee a l’origine du repere Oxyz. Le champ !E quecette charge cree en un point M(x, y, z) est donc :

!E =1

4 ( '0

q

r2!u avec r2 = x2 + y2 + z2 et !u =

##%OM

r(2.5)

La circulation elementaire dC de !E correspondant a un deplacement elementaire d##%OM est

donc :

dC = !E . d##%OM =

q

4 ( '0

!u . d##%OM

r2=

q

4 ( '0

dr

r2= # q

4 ( '0d

!

1

r

"

car !u . d##%OM n’est autre que la projection de d

##%OM sur !u, c’est a dire dr (voir figure 2.3) !

On peut donc finalement introduire une fonction # telle que :

dC = # d# avec # =q

4 ( '0

1

r+ Cste (2.6)

y

z

x

q

O

dOM

Mdr

Figure 2.3 – La circulation du champ !E d’une charge ponctuelle fait apparaıtre une fonctionscalaire ! (voir texte).

La relation (2.6) montre que la circulation elementaire dC du champ electrostatique d’unecharge ponctuelle est une di!erentielle totale (puisque

;

dC ' 0). Or un champ possedantcette propriete est un champ de gradient (voir par exemple [9, page 27]). La fonction #,appelee potentiel scalaire et definie a une constante additive pres, verifie donc :

!E = # !!(#) (2.7)

ou encore de maniere equivalente par :

#(A) # #(B) =

% B

A

!E . d!/ (2.8)


38

D’apres (2.6), le potentiel electrique de la charge ponctuelle a pour expression :

# =q

4 ( '0

1

r+ Cste (2.9)

La relation (2.8) montre que la circulation du champ electrostatique entre deux points nedepend que de la valeur du potentiel en ces deux points. En particulier, sa circulation le longd’un contour ferme (C) est nulle :

&

(C)

!E . d!/ = 0 (2.10)

En fixant la constante arbitraire par la convention #(/) = 0, le potentiel d’un systeme decharges s’ecrit :

,

-

-

-

-

.

-

-

-

-

/

#(M) = 14('0

0

i

qiri

pour une distribution de charges discretes

#(M) = 14('0

%%%

(D)

"(P )

PMd3P pour une distribution continue de charges

(2.11)ou l’integrale est e!ectuee sur la distribution volumique de charge (D) decrite par le pointcourant P .

D’apres (A.15), on deduit immediatement de (2.7) que :

!!" !E = !0 (2.12)

Remarque 1 : Les expressions du potentiel donnees par (2.11) supposent que pour chaquecharge qi, la constante dans l’expression du potentiel est nulle. Ceci n’est possible pourl’ensemble des charges que si celles-ci sont reparties dans un volume fini de l’espace. Cesexpressions ne sont donc correctes que s’il n’y a pas de charges a l’infini. S’il y a des chargesa l’infini, les expressions (2.11) ne sont plus correctes. Cela ne veut pas dire pour autant quele potentiel electrostatique n’est pas defini. Il faut alors le calculer en utilisant la circulationdu champ electrique entre deux points A et B donnee par (2.8).

Remarque 2 : Dans le cas d’une repartition surfacique de charges caracterisee localementpar la densite surfacique # = dq/dS en chaque point d’une surface ((), on aura :

!E =1

4 ( '0

%%

(!)

# dS

r2!u et # =

1

4 ( '0

%%

(!)

# dS

r(2.13)

De meme, on aura pour une distribution lineique de charges caracterisee localement par ladensite lineique & = dQ/d/ en chaque point d’une courbe (&) :

!E =1

4 ( '0

%

(")

& d/

r2!u et # =

1

4 ( '0

%

(")

& d/

r(2.14)


39

2.1.5 Surfaces equipotentielles et lignes de champ

Les surfaces equipotentielles sont par definition les surfaces pour lesquelles # = cste. Onen deduit d’apres (2.8) que le champ !E est normal aux equipotentielles en tout point del’espace.

Les lignes de champ 3 sont par definition les courbes tangentes en chaque point au champ !E.Elles verifient donc, en notant k un scalaire arbitraire :

d##%OM = k !E ou encore !E" d

##%OM = !0

Les lignes de champ sont donc normales aux surfaces equipotentielles. Les equations di!e-rentielles qui decrivent les lignes de champ sont :

,

-

-

-

-

-

-

-

.

-

-

-

-

-

-

-

/

dxEx

= dyEy

= dzEz

en coordonnees cartesiennes

drEr

= r d+E!

= dzEz

en coordonnees cylindriques

drEr

= r d+E!

= r sin(+) d$E"en coordonnees spheriques

(2.15)

Les lignes de champ sont orientees dans le sens de !E, c’est a dire dans le sens des potentielsdecroissants. Ce sont des courbes ouvertes qui ne peuvent etre fermees car le potentiel necesse de decroıtre tout au long de la ligne de champ.

Les tubes de champ sont par definition les surfaces fermees constituees par l’ensemble deslignes de champ qui s’appuient sur un contour ferme (figure 2.4).

Figure 2.4 – Tube de champ

q q

(S)

dS = dS n

(S)

dS = dS n

Figure 2.5 – Le theoreme de Gauss relie la chargeinterne a un volume a l’integrale du champ electriquesur la surface qui delimite le volume.

2.1.6 Relations avec les charges

Theoreme de Gauss

On considere une surface fermee (S) telle que celle de la figure 2.5. On note comme d’habitude!n le vecteur unitaire orthogonal a la surface en un point et dirige vers l’exterieur. D’apres la

3. La notion de ligne de champ a ete introduite par Faraday pour representer les lignes de force qui,dans la description de l’epoque, entouraient chaque corps soumis a des forces. Le concept de lignes de forcea disparu depuis, mais les lignes de champ sont restees !


40

definition du champ electrique (2.2), la composante normale de !E en tout point de la surfacepeut s’ecrire :

!E . !n dS = !E . d !S =q

4('0

cos(+)

r2dS

or cos(+) dS = r2 d) ou d) est l’angle solide sous lequel on voit dS depuis la charge q. Enintegrant la composante normale de !E sur toute la surface fermee (S), on voit que :

&%%

(S)

!E . d !S =

,

.

/

q'0 si q se trouve a l%interieur de S

0 si q se trouve a l%exterieur de S(2.16)

Cette relation constitue le theoreme de Gauss pour une charge ponctuelle. Pour une densitede charge "(!r) continue, le theoreme de Gauss devient :

&%%

(S)

!E . d !S =1

'0

%%%

(V )

"(!r) dV (2.17)

En utilisant le theoreme d’Ostrogradsky (A.19), cette derniere relation permet d’ecrire :%%%

(V )

!

!! . !E # "

'0

"

dV = 0

Comme le volume d’integration (V ) est arbitraire, on en deduit la forme locale du theoremede Gauss :

!! . !E ="

'0(2.18)

Remarque : Le theoreme de Gauss permet de calculer le champ electrostatique dans des

problemes ou la symetrie des sources est su"sante pour que le calcul du flux $ =))

!E .d!Ssortant d’une surface convenablement choisie soit simple. La surface (S) a travers laquelleon calcule le flux $ est appelee surface de Gauss.

Equation de Poisson

En combinant (A.16) et (2.7), on obtient :

!! .#

# !!(#)$

= # $# ="

'0

Le potentiel scalaire verifie donc l’equation de Poisson :

$# +"

'0= 0 (2.19)

qui donne l’equation de Laplace en l’absence de charge :

$# = 0 (2.20)

Le § A.2.3 traitait de l’unicite de la solution de cette equation. Les surfaces fermees conside-rees y sont les surfaces exterieures des conducteurs en equilibre electrostatique. La solutionde (2.19) et (2.20) est donc unique si :


41

1. le potentiel des conducteurs (donc de leur surface) est connu (condition deDirichlet)

2. le champ est connu sur la surface des conducteurs (condition de Neumann)

3. Le potentiel est connu sur certains conducteurs, alors que le champ l’est sur les autres

Ce resultat est parfois connu sous le nom de theoreme d’unicite.

2.1.7 Methodes de calcul du champ !E

Il existe trois methodes pour calculer le champ electrique, connaissant la distribution decharges :

1. calcul direct par l’integrale vectorielle :

!E =1

4 ( '0

%%%

(V )

" !u

r2dV

2. calcul indirect a l’aide du potentiel scalaire :

# =1

4 ( '0

%%%

(V )

"

rdV suivi de !E = # !!(#)

3. calcul direct a l’aide du theoreme de Gauss :

Dans ce cas, la distribution de charges doit presenter un degre su"sant de symetriepour que le calcul du flux a travers la surface de Gauss soit facile et/ou faisable.

Exercice 2.1 : Quelques calculs classiques en electrostatique

Calculer le champ et le potentiel crees par :

1. Un fil infini de charge lineique uniforme '

2. Un plan infini de charge surfacique uniforme (

3. Une sphere de rayon R uniformement chargee en surface (charge totale Q)

4. Une sphere de rayon R uniformement chargee en volume (charge volumique ")

Exercice 2.2 : Etude naıve d’une distribution spherique

Une distribution a symetrie spherique autour d’un point O cree le potentiel electrostatique ! telque :

!(r) =q

4# %0

exp(#' r)

ravec ' > 0 et q > 0

1. Calculer la densite de charge "(r) et preciser son signe

2. En applicant le theoreme de Gauss, determiner la charge Q(r) situee a l’interieur d’une spherede centre O et de rayon r. Comment peut-on comparer ce resultat avec celui de la questionprecedente ?


42

Exercice 2.3 : Distribution de Dirac et charges ponctuelles

On considere un point M de coordonnees r !ur et une distribution de charge (D) constituee d’uneunique charge q situee a l’origine O du referentiel.

1. Quel est le gradient de U = 1/r ? Montrer que $U est nul en tout point di#erent de l’origine

2. Calculer)))

$U dV ou l’integration est etendue a tout l’espace

3. En deduire que U s’exprime simplement a l’aide de la fonction de Dirac a trois dimensions)(!r)

4. Montrer que (D) peut etre assimilee a une densite volumique de charges "

5. En deduire l’expression de $! ou ! est le potentiel electrostatique cree par la charge q

2.2 Aspects energetiques lies a l’electrostatique

2.2.1 Rappels sur l’energie potentielle en mecanique

On considere un point materiel plonge dans un champ de force !f . On montre en mecaniqueque si !f peut se mettre sous la forme :

!f = # !! (Ep(!r)) (2.21)

alors le travail de la force !f lors d’un deplacement du point materiel ne depend pas du cheminsuivi mais uniquement des positions initiales et finales. La fonction Ep(!r) est appelee energiepotentielle du point materiel dans le champ de force.

Dans le cas d’un ensemble de n points materiels, on montre que si la force !fk traduisantl’interaction des autres points materiel avec le point k peut se mettre sous la forme :

!fk = # !!%rk (UI(!r1, . . . , !rk#1, !rk+1, . . . , !rn)) (2.22)

alors le travail des forces internes et externes est donne par :

dWint = # dUI et dWext = d(Ec + UI) (2.23)

La fonction UI est alors appelee energie potentielle d’interaction des n points materiels.

2.2.2 Cas de charges ponctuelles dans le vide

On supposera dans tout ce paragraphe que le champ electrostatique !E est constant.


43

Cas d’une seule charge

Si une charge q se trouve en un point M ou le potentiel electrostatique est #(M) et le champelectrostatique !E(M), elle subit une force !F telle que :

!F = q !E avec !E = # !!(#)

ou encore :!F = # !!(UI) avec UI = q#

Par definition, on dira que UI est l’energie potentielle de la charge q dans le champ !E, oude maniere equivalente l’energie d’interaction de la charge ponctuelle q avec la distribution(D) qui engendre !E et #. Cette definition de UI en donne l’origine : elle est nulle lorsquela charge se trouve a une distance infinie de la distribution (D) qui engendre le potentiel #,c’est a dire lorsque # est nul.

Le travail elementaire dw de la force electrostatique lors d’un deplacement elementaire d!rde la charge q vaut :

dw = !F . d!r = # !!(q#) . d!r = # q d# = # dUI

Si l’on suppose qu’un operateur va fournir le travail externe dW pour e!ectuer ce deplace-ment, le theoreme de l’energie cinetique 4 applique a la charge s’ecrit :

dW + dw = dEc soit dW = d(Ec + UI) (2.24)

On se place ici dans le cas de charges fixes. Cela signifie que si les charges sont amenees ase deplacer, on se limitera a des situations ou dans les etats initiaux et finaux les particulesont une vitesse nulle. Dans notre cas particulier d’une charge plongee dans le potentiel #, larelation (2.24) s’ecrit :

dW = dUI (2.25)

car la charge est immobile dans les etats initiaux et finaux.

Cas de deux charges

On considere cette fois que le potentiel est cree par une charge ponctuelle q1. Une deuxiemecharge q2 est soumise au potentiel #1 tel que :

#1 =1

4 ( '0

q1r12

4. Le theoreme de l’energie cinetique enonce que :

Dans un referentiel galileen, la variation de l’energie cinetique Ec d’un point ma-teriel soumis a une force !f pendant l’intervalle de temps dt est egale au travailelementaire de cette force pendant dt, soit :

dEc = )W = !f . d!r


44

L’energie potentielle d’interaction des deux charges s’ecrit :

UI = q2 #1 =1

4 ( '0

q1 q2r12

(2.26)

et est ainsi entierement determinee (elle est nulle lorsque les deux charges sont infinimenteloignees l’une de l’autre). Cette energie potentielle represente le travail qu’un operateur doitfournir pour amener depuis l’infini la charge q2 a la distance r12 de la charge q1, la charge q2etant immobile dans ses positions initiales et finales.

Comme on peut egalement ecrire UI = q1 #2 (obtenu en rapprochant cette fois q1 dans lechamp cree par q2), on peut ecrire :

UI =1

2(q1#2 + q2 #1) (2.27)

Remarque : D’apres (2.26), l’energie d’interaction UI est positive si les charges sont dememe signe et negative si elles sont de signe contraire.

Cas de n charges

En reprenant les notations du § 2.2.1, la force !Fk representant l’action des n# 1 charges surla charge k (par l’intermediaire de la loi de Coulomb) s’ecrit :

!Fk = # qk !E(!rk) avec !E(!rk) = # !!%rk(#) et # =0

i '=k

1

4 ( '0

qirik

soit :

!Fk = # !!%rk

9

0

i '=k

1

4 ( '0

qi qkrik

:

(2.28)

Il est facile de verifier que la fonction UI donnee par :

UI =1

2

0

i

0

j '=i

1

4 ( '0

qi qjrij

(2.29)

rempli les conditions requises pour pouvoir etre appelee energie potentielle d’interaction desn charges ponctuelles, c’est a dire que !Fk = # !!%rk(UI).

Remarque : L’energie d’interaction UI peut encore se mettre sous la forme :

UI =1

2

0

i

qi #i (2.30)

ou #i est le potentiel cree au point ou se trouve la charge qi par l’ensemble des autres n# 1charges.


45

Travail d’un operateur construisant le systeme

On suppose que l’operateur construit la distribution precedente en apportant depuis l’infinitoutes les charges une a une a leur position finale. Les charges etant supposees immobilesaux instants initiaux et finaux, on deduit de (2.23) donnant dWext que le travail W del’operateur est W = UI (on utilise egalement le fait que UI = 0 lorsque les charges sontinifiniment eloignees les unes des autres).

En decomposant le travail necessaire pour construire cette distribution, on obtient :

4 ( '0 "W =q1 q2r12

+ q3

*

q1r13

+q2r23

+

+ . . .

+ qi

9

0

j<i

qjrij

:

+ . . .+ qn

9

0

j<n

qjrnj

:

soit :

W =0

i

0

j<i

1

4 ( '0

qi qjrij

=1

2

0

i

0

j '=i

1

4 ( '0

qi qjrij

(2.31)

L’energie d’interaction UI est parfois appelee energie de constitution.

2.2.3 Cas d’une distribution continue de charges dans le vide

On considere une distribution continue de charges dans le vide, occupant un volume (D),caracterisee en chaque point de ce volume par une densite volumique "(!r) creant le potentielelectrostatique #(!r).

Le passage d’une distribution de charges ponctuelles a une distribution continue s’e!ectuesans probleme pour le calcul du champ electrique !E et du potentiel electrostatique #. Cen’est pas le cas pour l’energie d’interaction UI . En e!et, on peut considerer la distributioncontinue (D) comme la moyenne geometrique d’une distribution de charges ponctuelles maisl’expression de l’energie d’interaction de n charges ponctuelles n’etant pas lineaire, il n’estpas evident que l’energie de la distribution continue soit donnee par la moyenne de (2.29).En particulier, si on remplace les qi par q%i = 0 qi, l’energie d’interaction devient U %

I = 02 UI .

Remarque : L’habitude fait qu’on parle plutot d’energie d’interaction UI pour une dis-tribution de charges discretes et d’energie electrostatique Ue dans le cas d’une distributioncontinue. Fondamentalement, rien ne nous oblige a parler ici de Ue en lieu et place de UI ,mais on fera comme tout le monde ...

Energie electrostatique ou energie de constitution

D’apres le § 2.2.1, l’existence de Ue est assuree par le fait que la force d!F qui s’exerce surchaque element de volume dV portant la charge dq = " dV s’ecrit :

d!F = dq !E = # !! [dq#(!r)]

On introduit la distribution "%(!r) = & "(!r) ou & est un parametre (independant de !r) variantde 0 a 1. On retrouve la distribution originelle si & = 1, alors que l’espace est vide de charge


46

si & = 0. A la nouvelle distribution de charge "%(!r) correspond en chaque point de l’espacele potentiel electrostatique #%(!r) = &#(!r). On va construire la repartition "(!r) en faisantvarier & de 0 a 1.

Lorsque & varie de d&, on doit apporter de l’infini dans le volume dV la charge supplemen-taire :

d2q = d& "(!r) dV

En supposant une transformation reversible, le travail .2W de l’operateur qui amene cettecharge de l’infini est :

.2W = &#(!r) d2q = & d&#(!r) "(!r) dV (2.32)

En sommant les contributions de tous les elements de volume dV de la distribution (D), onobtient :

.W = & d&

%%%

(D)

"(!r)#(!r) dV

Pour obtenir le travail total de l’operateur pour construire la distribution "(!r), on integre enfaisant varier & de 0 a 1 :

W =

!% 1

0

& d&

"%%%

(D)

"(!r)#(!r) dV =1

2

%%%

(D)

"(!r)#(!r) dV

D’apres (2.25), l’energie electrostatique de la distribution de charges est donc :

Ue =1

2

%%%

(D)

"(P )#(P ) dV (2.33)

Cette energie est parfois appelee energie de constitution et suppose #(/) ' 0 car (2.32)le supposait implicitement. L’energie de constitution Ue est l’energie necessaire pour creerle systeme en l’absence de tout champ exterieur de maniere quasi-statique. Cette energiecorrespond au travail qu’un operateur doit fournir pour amener les charges une a unes del’infini (ou on suppose le champ nul) jusqu’a leur position finale.

Remarque : On verra plus tard (§ 2.2.4) que l’energie electrostatique de la distribution decharges Ue est toujours positive.

Energie d’interaction de deux distributions

On considere deux distributions de charges, de densites respectives "1 et "2, creant les po-tentiels #1 et #2. La densite totale est " = "1 + "2 et le potentiel total est # = #1 + #2

(d’apres la linearite des equations de l’electrostatique). A la distribution " et au potentiel #on associe d’apres le paragraphe precedent l’energie electrostatique Ue :

Ue =1

2

%%%

(D)

("1 + "2) (#1 + #2) dV

=1

2

%%%

(D)

"1 #1 dV +1

2

%%%

(D)

"2 #2 dV +1

2

%%%

(D)

("1#2 + "2 #1) dV


47

Les deux premiers termes sont les energies electrostatiques de chacune des distributionsprises separement. Le troisieme terme represente l’energie potentielle d’interaction Ue(1, 2)des deux distributions qu’on peut ecrire :

Ue(1, 2) =1

2

%%%

(D)

("1 #2 + "2 #1) dV =

%%%

(D)

"1 #2 dV =

%%%

(D)

"2 #1 dV

On veut verifier par le calcul que ces trois expressions sont bien egales. On en deduit doncque l’energie potentielle de la distribution de charges "1 dans le champ cree par "2 est egalea l’energie potentielle de la distribution de charges "2 dans le champ cree par "1. Cetterelation est connue sous le nom d’identite de Gauss. L’energie d’interaction peut etre designe quelconque.

Remarque : Energie electrostatique et charges ponctuelles

Les expressions de l’energie electrostatique ci-dessus ont ete etablies pour des distributions decharges continues. En les appliquant a des charges ponctuelles, on tombe sur une des limitesde l’electrostatique. En e!et, l’energie electrostatique d’une sphere de rayon R portant lacharge Q uniformement repartie en surface s’ecrit :

Ue =Q2

8 ( '0 R

Pour considerer l’energie d’une charge ponctuelle, on peut etre tente de faire tendre R verszero dans l’expression ci-dessus. Or cette expression diverge ! Pour evaluer la distance en des-sous de laquelle cette expression n’a plus de sens, on procede generalement ainsi : on attribuea l’electron un rayon fini qui delimite le volume a la surface duquel est uniformement repar-tie la charge elementaire e. L’ordre de grandeur en dessous duquel la theorie electrostatiquen’a plus de sens est donne par la distance r0 a laquelle l’energie electrostatique est egale al’energie de masse me c2. On en deduit que le rayon classique de l’electron r0 doit valoir :

r0 =e2

4 ( '0 me c2* 2, 818 10# 15 m

Mais avant d’atteindre cette distance, il existe une autre limite, quantique, puisque la lon-gueur d’onde Compton de l’electron vaut &e = h/mec * 2, 4 10# 12 m, ce qui veut dire quela notion de rayon classique de l’electron n’a aucun sens physique !

2.2.4 Aspect local de l’energie electrostatique

Les equations locales de l’electrostatique permettent de donner une expression de l’energieelectrostatique di!erente de (2.33). On considere pour cela un volume (V ) englobant ladistribution de charges (D) dont tous les points sont supposes a distance finie (figure 2.6).On exclu donc le cas de charges a l’infini. On note (S) la surface englobant le volume (V ).

En utilisant l’equation locale !! . !E = "/'0 (valable en tout point du volume (V ) englobantla distribution (D)), on pourra ecrire

Ue =1

2

%%%

(V )

'0 !! . ( !E)# dV (2.34)


48

(S)

(D)

(V)

Figure 2.6 – Le calcul de la forme locale de l’energie electrostatique repose sur un volume (V )englobant la distribution (D) dans son ensemble (voir texte).

ou l’integrale est prise sur le volume (V ). En utilisant (A.8) qui s’ecrit ici :

!! . (# !E) = # !! . !E + !E . !!(#) soit # !! . !E = !! . (# !E) + E2

on obtient une nouvelle expression de l’energie electrostatique :

Ue =1

2

%%%

(V )

'0 !! . (# !E) dV +1

2

%%%

(V )

'0 E2 dV

En utilisant le theoreme d’Ostrogradsky (A.19), on obtient :

Ue =1

2&%%

(S)

'0 # !E . d !S +1

2

%%%

(V )

'0 E2 dV (2.35)

Cette relation est valable quelle que soit la surface (S), tant que le volume (V ) qu’elle delimiteenglobe la distribution D. En prenant comme surface (S) une sphere de tres grand rayon R,le potentiel # decroit sur la sphere au moins comme 1/R et le champ electrique au moinscomme 1/R2. Pour un angle solide d) donne, dS tend vers l’infini comme R2 d). L’elementd’integration dans le 1er terme de (2.35) varie donc avec R comme :

1

R" 1

R2"R2 d) =

1

R" d)

qui tend vers 0 quand R % /. On en deduit donc que l’energie electrostatique se met sousla forme :

Ue =1

2

%%%

Espace

'0 E2 dV (2.36)

ou l’integrale est desormais prise sur l’espace entier. Tout se passe comme si l’energie elec-trostatique etait repartie dans l’espace entier avec la densite volumique :

u ='0 E2

2(2.37)

Remarque : La relation (2.36) montre que Ue est toujours positive. Ceci demontre le resultatannonce au § 2.2.3.


49

2.2.5 Energie electrostatique d’un condensateur

Definition de l’energie electrostatique

On considere un condensateur dont les armatures rigides, portees aux potentiels #1 et #2,portent les chargesQ1 etQ2 = #Q1. La capacite C du condensateur verifieQ1 = C (#1##2).On ne peut pas appliquer brutalement (2.30) pour obtenir l’energie potentielle de ces charges,car cette relation a ete obtenue pour des charges dans le vide alors que dans un condensateur,les charges se situent dans les armatures, c’est a dire ”dans de la matiere”.

On procede donc di!eremment. En apportant 5 depuis l’infini deux petites charges dQ1 etdQ2 = # dQ1, le travail de l’operateur exterieur sera :

dW = #1 dQ1 + #2 dQ2 =Q1

CdQ1 = d

!

Q21

2C

"

Le travail dW de l’operateur exterieur est donc la di!erentielle d’une fonction qui ne dependque du condensateur. Par definition, on posera que cette fonction est l’energie electrostatiqueUe du condensateur :

Ue =1

2

Q2

C=

1

2C V 2

0 (2.38)

ou Q est la charge du condensateur et V0 = $# la di!erence de potentiel entre ses deuxarmatures.

Remarque 1 : On peut remarquer que cette expression a ete obtenue sans aucune hypothesesur la geometrie du condensateur.

Remarque 2 : On a calcule l’energie electrostatique du condensateur en calculant le travailqu’un operateur doit fournir au cours d’une transformation reversible. Il est important desouligner que le travail exterieur n’est egal a la variation de l’energie electrostatique que parceque la transformation est supposee reversible, au sens de la thermodynamique (successiond’etats d’equilibre infiniment proches). Si la transformation n’est pas reversible, l’energieemmagasinee sera inferieure au travail fourni par l’operateur. On considere par exempleun condensateur relie a un generateur de force electromotrice e constante. L’energie ducondensateur est Ce2/2 a l’equilibre. Le generateur ayant fourni la charge Q = Ce, l’energieelectrocinetique qu’il a delivre est Ce2. La di!erence (Ce2/2) a ete dissipee par e!et Jouledans le circuit.

Cas d’un condensateur deformable

On considere desormais un condensateur dont une seule armature reste fixe. La distance xentre les deux armatures n’est donc pas constante. Neanmoins, a x donne, l’energie electro-statique du condensateur relie a une source de tension constante est :

Ue =1

2C(x)V 2

0

Si la capacite varie de dC suite a une variation dx de x, l’energie electrostatique varie de :

dUe =1

2V 20 dC (2.39)

5. Il est equivalent de faire ceci avec des generateurs ou avec un transport physique des charges.


50

Il faut noter que cette energie electrostatique est di!erente du travail fourni par l’operateur.En e!et, le deplacement de l’armature implique un travail mecanique. Le bilan energetiques’ecrit alors :

dUe = dWElec + dWMeca (2.40)

On suppose une transformation su"sament lente pour que le condensateur passe par unesuccession d’etats d’equilibre infiniment proches, c’est a dire que la transformation est re-versible au sens de la thermodynamique. Dans ce cas, la tension V0 du condensateur resteconstante. Sa charge Q varie de :

dQ = V0 dC

Le travail fourni par la source de tension est donc :

dWElec = V0 dQ = V 20 dC (2.41)

La di!erence entre (2.39) et (2.41) correspond au travail mecanique que l’operateur doitfournir pour deplacer l’armature de dx.

2.3 Conducteurs en electrostatique

2.4 Dipole electrostatique

Un dipole electrostatique (figure 2.7) est constitue de deux charges opposees separees parune distance d tres faible devant la distance d’observation. Leur importance vient du fait quesous l’action d’un champ applique, certains corps, globalement neutres, peuvent se comportercomme des ensembles de dipoles. Par exemple, les molecules peuvent souvent etre considereescomme des dipoles electrostatiques, d’ou l’importance de cette notion en chimie. De plus, ledipole apparaıt quasiment automatiquement lorsque l’on cherche a calculer le champ et lepotentiel d’une distribution de charges a grande distance.

y

z

O

M

r

r 1

2

"

xN (! q)

P (+ q) r

Figure 2.7 – Un dipole electrostatique estl’ensemble de deux charges opposees, separeespar une distance tres faible devant la distanced’observation.

p

E

M

E

"

rE

O

u"

u r

Figure 2.8 – Par raison de symetrie, lechamp du dipole est contenu dans le plancontenant l’axe du dipole et le point M d’ober-vation.


51

En utilisant les notations de la figure 2.7, on introduit le moment dipolaire electrique !p =q##%NP , ou moment du dipole dont l’unite est le Coulomb.metre (Cm). On supposera dans

toute la suite que q > 0. On appellera dipole rigide un dipole dont le moment dipolaire!p n’est pas modifie par un champ externe applique. Ce type de dipole modelise bien lesmolecules polaires (HCl par exemple).

Remarque : On peut egalement dire qu’un dipole electrostatique est la limite d’un ensemblede deux charges opposees + q et # q, placees en deux points N et P , lorsque NP % 0 tandisque p = q NP reste constant.

2.4.1 Potentiel et champ du dipole electrostatique

Potentiel cree par un dipole

Le potentiel est simplement la somme des potentiels crees par les deux charges. Un calculclassique fournit :

#(r) * 1

4 ( '0

p cos(+)

r2=

1

4 ( '0

!p . !ur

r2avec !ur =

!r

r(2.42)

Un dipole est uniquement caracterise par son moment dipolaire electrique !p. Son potentieldecroıt comme 1/r2, les termes en 1/r s’annulant a cause de la neutralite electrique del’ensemble.

Champ cree par un dipole

Le champ cree par le dipole est simplement la somme des champs crees par les deux chargesaux extremites du dipole. Il est neanmoins evident que par raison de symetrie, le champ estcontenu dans le plan NPM . Un calcul (tout aussi classique que celui du potentiel) fournit :

!E * 1

4 ( '0

3 (!p . !ur) !ur # !p

r3(2.43)

En coordonnees spheriques, on obtient :

Er =1

4 ( '0

2 p cos +

r3E! =

1

4 ( '0

p sin +

r3E" = 0 (2.44)

Remarque 1 : On remarque egalement que les termes en 1/r2 s’annulent a cause de laneutralite globale de l’ensemble et que le terme dominant est en 1/r3. Le champ decroıtdonc plus rapidement que pour une charge ponctuelle.

Remarque 2 : Du point de vue de l’homogeneite des formules, la presence de 1/r3 dans(2.43) ou (2.44) n’est pas surprenante car le moment dipolaire p ”contient” une longueur.

Equipotentielles et lignes de champ du dipole electrostatique

D’apres (2.42), les equipotentielles sont definies par :

r2 = A cos(+) (2.45)


52

ou A est une constante. L’equation di!erentielle des lignes de champ s’obtient quant a elleen ecrivant que !E"d!r = !0, c’est a dire que localement, !E est parallele aux lignes de champ.On obtient :

r = B " sin2(+) (2.46)

ou B est une constante positive. La figure 2.9 represente les lignes de champ et les equipo-tentielles. En chaque point di!erent de l’origine, ne passent qu’une surface equipotentielle etune ligne de champ.

Figure 2.9 – Lignes de champ et equipotentielles du dipole electrostatique. La zone centrale de lafigure de gauche a ete exclue car cette region ne respecte plus la condition d , r (figures extraitesde [10, page 72] a gauche et [9, page 92] a droite).

Remarque : Les lignes de champ semblent revenir sur elles-memes au voisinage de l’origineO, ce qui peut sembler absurde car le champ etant dirige vers les potentiels decroissants, uneligne de champ ne peut etre fermee. L’incoherence est levee si l’on se souvient que pres del’origine, l’approximation r + d n’est plus valable. La zone centrale de la partie droite de lafigure 2.9 est donc contestable.

2.4.2 Action mecanique d’un champ !E sur un dipole rigide

Cas d’un champ uniforme

On considere le dipole rigide precedent plonge dans un champ uniforme !Ea. On prend lesnotations de la figure 2.10.

Pour determiner l’action mecanique du champ sur le dipole (resultante !F et moment !&), onne doit tenir compte ni de l’action de N sur P ni de l’action de P sur N . On a :

!F = q !Ea # q !Ea = !0 (2.47)

et!& =

#%OP " q !Ea # ##%

ON " q !Ea = q##%NP " !Ea = !p" !Ea (2.48)


53

O

P

N

q E

! q E a

a

Figure 2.10 – Action d’un champ uniforme !Ea sur un dipole rigide.

L’action mecanique d’un champ uniforme sur un dipole rigide se reduit donc au couple !&.En prenant les notations de la figure 2.11, on obtient :

!& = pEa sin(+) !k

ou !k est un vecteur unitaire perpendiculaire au plan contenant !p et !Ea. L’equilibre est atteintpour !& = !0 si le dipole n’est pas soumis a d’autres contraintes. Il existe donc deux positionsd’equilibre : + = 0 et + = ( pour lesquelles !p et !Ea sont respectivement paralleles et anti-paralleles (figure 2.11). Un champ uniforme tend donc a orienter un dipole suivantles lignes de champ.

Remarque : A l’echelle d’un dipole, tout champ est quasiment uniforme. Au 1er ordre, l’e!etprincipal d’un champ electrique quelconque sur un dipole sera d’orienter ce dipole dans lesens du champ.

O

"

N

P

O

P

N

"

a! q E

q Ea

a! q E

q Ea

Figure 2.11 – Positions d’equilibre du dipole electrostatique dans un champ constant !Ea.

Cas general

Dans le cas general d’un champ electrostatique quelconque, on peut montrer (voir parexemple [9, page 94]) que la resultante !F s’ecrit cette fois :

!F = (!p . !!) !Ea (2.49)

ou (!p . !!) est un operateur qui a pour expression en coordonnees cartesiennes :

px)

)x+ py

)

)y+ pz

)

)z

Le calcul du moment montre qu’on a toujours au 1er ordre :

!& = !p" !Ea (2.50)


54

Pour un champ inhomogene, il existe donc une force en plus du couple qui tenda orienter le dipole suivant une ligne de champ.

Remarque 1 : Dans le cas particulier ou le dipole est parallele au champ, la force tend a

attirer le dipole vers les champs intenses (si !p et !Ea sont orientes dans le meme sens) ou versles champs faibles (si !p et !Ea sont orientes dans des sens opposes). Il faut bien remarquerque ceci n’est qu’un cas particulier et que dans le cas general, la force subie par le dipolen’est pas parallele au champ !Ea.

Remarque 2 : L’expression (2.49) est valable dans tous les cas, que le dipole soit rigide ounon.

Remarque 3 : On peut exprimer l’operateur (!p . !!) dans tous les systemes de coordonnees.

Remarque 4 : En conclusion, on peut remarquer qu’un dipole est entierement caracterisepar son moment dipolaire p, aussi bien du point de vue du champ qu’il cree que des actionsmecaniques auxquelles il est soumis.

2.4.3 Energie potentielle d’interaction d’un dipole dans un champ

Expression de l’energie

On considere l’interaction entre un dipole rigide et un champ externe applique !Ea. D’apresce qui a ete dit precedemment, l’energie d’interaction du dipole avec le champ exterieur estegale au travail necessaire pour amener le dipole depuis l’infini jusqu’a sa position finale. Lesforces que les deux charges du dipole exercent entre elles ne travaillent pas car la distanceentre les deux charges reste fixe. On ne doit donc considerer que le travail des deux forcesque le champ applique exerce sur les deux charges en N et P .

D’apres l’etude faite precedemment pour des charges ponctuelles dans un champ externe(2.31), le travail de l’operateur apportant les charges depuis l’infini est :

W = q#a(P ) # q#a(N)

et est par definition l’energie potentielle d’interaction UI du dipole rigide dans le champexterne applique !Ea. Comme les point N et P sont voisins par hypothese, on aura :

#a(P ) # #a(N) *#

!!(#a)$

.##%NP = # !Ea .

##%NP

d’ou finalement en reprenant les notations de la figure 2.11 :

UI = # !p . !Ea = # pEa cos + (2.51)

Application de l’interaction ion-dipole : solvatation ou hydratation d’un ion

Dans un solvant constitue de molecules polaires, les ions d’un electrolyte en solution ont unetendance naturelle a s’entourer de ces molecules a cause de l’interaction charge-dipole. Cephenomene est appele hydratation de l’ion si le solvant est de l’eau ou solvatation dans le casgeneral.


55

Par exemple, le sulfate de cuivre CuSO4 en solution dans l’eau est constitue d’ions Cu2+

qui attirent chacun quatre molecules d’eau et d’ions SO2#4 qui en attirent chacun une (fi-

gure 2.12).

De meme, l’ion Zn2+ est solvate par quatre molecules d’ammoniac NH3 (figure 2.12).

Figure 2.12 – L’ion Cu2+ est hydrate en solution aqueuse par quatre molecules d’eau et l’ionZn2+ est solvate par quatre molecules d’ammoniac (figure extraite de [10, page 81]).

Physiquement, la solvatation joue egalement un role primordial dans l’explication de la so-lubilite de NaCl dans l’eau 6.

Application : action mecanique d’un champ !E sur un dipole rigide

On considere un solide rigide subissant un ensemble de forces de resultante !R et de momentresultant !&O calcule en un point O. On montre en mecanique que le travail dW de ces forces,associe a un deplacement elementaire d!r et a une rotation elementaire d+ autour d’un axe($) de vecteur unitaire !u se met sous la forme :

dW = !R . d!r + !&O . !u d+

et qu’un vecteur !A quelconque est modifie dans la rotation elementaire de :

d !A = !u" !Ad+

Dans le cas present, on considere un dipole e!ectuant un deplacement elementaire. D’apres(2.25), le travail des actions mecaniques qui s’exercent sur le dipole s’ecrit :

dW = # dUI soit encore d(!p . !E) = !R . d!r + !&O . !u d+ (2.52)

6. Qualitativement, on peut dire que l’interaction ion-dipole joue principalement sur les ions des faces ducristal, qui subissent l’influence des molecules d’eau (dont le moment dipolaire est tres eleve). La variationd’enthalpie lors de la dissolution du cristal s’ecrit :

$H = $Hion + $Hsolv

Dans le cas particulier de NaCl, on a meme $Hsolv + $Hion.


56

Pour en deduire la resultante !R et le moment !&O calcule par rapport au centre du dipole, onprocede en deux etapes. On imagine tout d’abord une translation du dipole. On aura doncd+ = 0 tandis que !p reste constant. On deduit de (2.52) que :

!R = !!(!p . !E) avec !p = Cste

On pourrait montrer que cette relation est equivalente a (2.49).

On imagine ensuite dans une 2e etape une rotation elementaire d+ !u du dipole, le point moyenO restant fixe. D’apres ce qu’on a vu precedemment, le moment dipolaire !p tourne de :

d!p = !u" !p d+

Le bilan (2.52) s’ecrit alors :

!&O . !u d+ = (!p" !E) . !u d+

On en deduit que :!&O = !p" !E

On a donc retrouve les expressions (2.49) et (2.50) traduisant l’action d’un champ sur undipole rigide.

2.4.4 Action mecanique d’une charge sur un dipole

On considere un dipole de moment !p situe en un point M et une charge q situee en O(figure 2.13). On peut montrer (voir par exemple [9, page 95]) que la force !F s’exercant surle dipole s’ecrit :

!F =1

4 ( '0

q p

r3[# 2 cos($) !ur +sin($) !u!]

u ru"

O

p #

"

M

Figure 2.13 – Action d’une charge sur un dipole electrostatique.

2.4.5 Approximation dipolaire

Potentiel cree par une distribution de charge ponctuelles

On considere le potentiel cree par une distribution de charges ponctuelles. D’apres (2.11) :

#(M) =1

4('0

0

i

qiri


57

En utilisant les notations de la figure 2.7, on peut ecrire :

1

r1=

1

r

*

1 +d

2 rcos(+) + . . .+

!

d

2 r

"n

Pn(cos(+)) + . . .

+

ou Pn(x) est le polynome de Legendre de 1ere espece 7 de degre n. Un calcul classique montrealors que #(r) se met sous la forme d’une somme de plusieurs contributions :

#(r) = #0(r) + #1(r) + #2(r) + . . .

ou :,

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

.

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

/

#0(r) =1

4 ( '0

1

r

0

i

qi est la contribution unipolaire

#1(r) =1

4 ( '0

1

r2

0

i

qi !ri . !ur est la contribution dipolaire

#2(r) =1

4 ( '0

1

r3

0

i

qi

*

3

2(!ri . !ur)

2 # r2i2

+

est la contribution quadrupolaire

(2.53)Remarque : Ce developpement multipolaire est analogue a celui fait en mecanique dansl’etude du champ de gravitation : les charges sont remplacees par les masses mi et 1/(4 ( '0)par l’oppose de la constante de gravitation G.

Distribution unipolaire

La distribution sera dite unipolaire lorsque la charge totale de la distribution Q =<

i qiest non nulle. En placant l’origine au barycentre electrique des points Pi (a!ectes de leurscharges qi), on montre qu’au 3e ordre pres, la distribution se comporte comme une chargeponctuelle puisqu’alors :

#(r) * #0(r) =1

4 ( '0

Q

r

Remarque : En mecanique, le barycentre mecanique n’est jamais nul car<

i mi $= 0. Leterme unipolaire est alors toujours preponderant.

7. Le polynome de Legendre de 1ere espece de degre n est donne par la serie :

Pn(x) =1

2n

Int(n/2)0

k=0

(# 1)k(2n# 2 k)!

k! (n# k)! (n# 2 k)!xn!2 k

ou le symbole Int signifie la partie entiere. Les premiers polynomes de Legendre sont :

P0(x) = 1 P1(x) = x P2(x) =3x2 # 1

2P3(x) =

5x3 # 3x

2P4(x) =

35x4 # 30x2 + 3

8


58

Distribution dipolaire

Dans le cas ou la charge totale est nulle (le barycentre des charges n’est alors plus defini !),le 1er terme du developpement du potentiel permet d’ecrire :

#(r) * #1(r) =1

4 ( '0

1

r2

0

i

qi !ri . !ur = # 1

4 ( '0!P . !!

!

1

r

"

avec !P =0

i

qi !ri

ou !P (qui ne depend pas du choix de l’origine) est le moment dipolaire de la distribution 8.Si !P est non nul, la distribution est dite dipolaire.

Remarque : La force exercee par une distribution dipolaire sur une charge eloignee n’esten general pas radiale.

Distribution quadrupolaire

Si la charge totale Q et le moment dipolaire P sont nuls (P peut par exemple etre nul dansle cas d’une symetrie spherique), le terme suivant dans le developpement limite est le termequadrupolaire caracterise dans une base orthonormee par neuf termes de la forme :

D&' =0

i

qi xi& xi'

ou xi& et xi' sont les composantes de !ri suivant les vecteurs de base !u& et !u'.

Remarque : Le terme unipolaire est caracterise par un tenseur d’ordre 0 (la charge totaleQ), le terme dipolaire est caracterise par un tenseur d’ordre 1 (le moment dipolaire P), leterme quadrupolaire est caracterise par un tenseur d’ordre 2 (dont les composantes sont lesD&'), ...

2.4.6 Illustration : le moment dipolaire des molecules

On distingue deux types de molecules : les molecules, dites polaires, qui possedent un momentdipolaire electrique permanent (par exemple HCl, H2O, NH3) et les molecules apolaires quine possedent pas de moment dipolaire electrique permanent (par exemple H2 ou les moleculesdes gaz rares comme Ar, Kr et Xe).

8. Pour des distributions de charge volumique, surfacique ou lineique, le moment dipolaire s’ecrit avecdes notations evidentes :

P '%%%

(V )"(!r) . !r dV P '

%%

(S)((!r) . !r dS P '

%

(C)'(!r) . !r d*


59

2.4.7 Illustration : force a grande distance dans un gaz

On regroupe sous le terme de forces de van der Waals les forces intermoleculaires attractivesqui s’exercent sur les molecules d’un gaz 9. La loi regissant ces forces n’est evidemment pasla loi de Coulomb puisque la charge electrique totale d’une molecule est nulle. Ces forcessont de trois types di!erents et correspondent toutes a des interactions electrostatiques entredipoles. Ces dipoles peuvent etre permanents ou induits.

E!et d’orientation - Force de Keesom

Cet e!et resulte de l’interaction entre dipoles permanents des molecules polaires telles queHCl, NH3 et H20. L’energie d’interaction entre deux dipoles est fonction de leur orientationrelative. A cause de l’agitation thermique, toutes les orientations sont possibles, mais ellesne sont pas equiprobables. Keesom a calcule en 1920 l’energie moyenne d’interaction EK ala temperature T dont on deduit la force de Keesom fK :

fK = CKp4

T

1

r7(2.54)

ou p est le moment dipolaire permanent des molecules, r la distance entre les molecules etCK une constante.

E!et d’induction - Force de Debye

Cet e!et, calcule par Debye en 1920, resulte de l’interaction entre des dipoles permanentset des dipoles induits. On considere une molecule A de moment dipolaire permanent !pA etune molecule B placee dans le champ electrique !E cree par la molecule A. La molecule Bacquiert le moment induit !pB = 0 !E, ou 0 represente la polarisabilite de la molecule B.L’interaction entre !pA et !pB se traduit par une energie ED dont on derive la force de DebyefD :

fD = CD 0 p2A1

r7(2.55)

ou CD est une constante caracteristique de l’interaction.

E!et de dispersion - Force de London

Cet e!et (decouvert par London en 1930) concerne toutes les molecules, polaires ou non. Aun instant donne, toute molecule A peut avoir une repartition dissymetrique de son nuageelectronique. Chaque molecule possede donc un moment dipolaire instantane qui va provo-quer par influence la polarisation d’une molecule voisine A%. Le moment dipolaire de chaque

9. On peut representer en premiere approximation le comportement d’un gaz reel par une equation em-pirique, l’equation de van der Waals :

!

p+n2 a

V 2

"

(V # n b) = nRT

On montre en thermodynamique que le terme en a/V 2 traduit l’interaction moyenne a grande distance entretoutes les molecules.


60

molecule est proportionnel a la polarisabilite de la molecule, de sorte que l’energie d’in-teraction EL est proportionnelle au produit des polarisabilites 10. On en deduit la force deLondon :

fL = CL00%

r7(2.56)

ou CL est une constante caracteristique de l’interaction.

E!et global - Force de van der Waals

L’e!et global de ces trois forces (dont la dependance avec la distance intermoleculaire estidentique) est la force de van der Waals dont on peut dire qu’elle derive d’un potentiel en# 1/r6. Ceci explique pourquoi la force de van der Waals est a tres courte portee et qu’elleest negligeable dans les milieux dilues. L’energie de van der Waals est simplement la sommedes energie de Keesom, Debye et London. La table 2.2 donne quelques valeurs numeriquestypiques d’energies d’interaction. On y observe, et ceci peut etre generalise, que l’e!et de laforce de Debye est toujours negligeable et que l’e!et de la force de London est preponderantdans le cas des molecules non polaires ou faiblement polaires.

EK ED EL Evdw

Ar 0 0 0,486 0,486CO * 0 * 0 0,5 0,5HCl 0,189 0,057 0,962 1,208NH3 0,761 0,089 0,842 1,691H2O 2,079 0,110 0,514 2,703

Table 2.2 – Energies de Keesom, Debye, London et van der Waals pour quelques molecules enJ/mol (valeurs extraites de G. Devore, Cours de Chimie, Vuibert, Paris, 1984)

Exercice 2.4 : Forces de Keesom

Calculer l’energie d’interaction EK entre deux dipoles rigides de moments dipolaires !p1 et !p2, mo-delisant l’interaction a grande distance entre deux molecules polaires de meme type. En deduirel’expression de la force de Keesom.

10. On peut noter qu’intrinsequement, cette notion d’influence instantanee est incorrecte. Il faudrait faireapparaıtre une influence retardee, prenant en compte la distance entre les molecules. Voir a ce sujet pour(beaucoup) plus de details le probleme de physique de l’Agregation de 2005.


61

2.5 Le probleme du ”zero” des potentiels

On assimile la Terre a une sphere conductrice de rayon R = 6400 km. On intercale unesource de tension e entre la Terre et un conducteur spherique de rayon a situe a une hauteurh + a. On suppose la neutralite du systeme, c’est a dire que la Terre porte la charge #Q etla sphere la charge +Q (figure 2.14).

h

Charge !Q

Charge +Q

e

O

C

Terre

Figure 2.14 – Modelisation d’un conducteur au voisinage de la Terre.

En prenant la convention #(/) = 0, le potentiel de la Terre, calcule au centre O, vaut, ensupposant que la charge +Q est situee en C :

#(O) * #Q

4 ( '0 R+

Q

4 ( '0 (R + h)* #Qh

4 ( '0 R2

Le potentiel de la sphere (calcule en C) vaut quant a lui :

#(C) * Q

4 ( '0 a+

1

4 ( '0

%%%

Terre

dq

ravec

%%%

Terre

dq = #Q

Or on peut ecrire :=

=

=

=

%%%

Terre

dq

r

=

=

=

=

<1

h

=

=

=

=

%%%

Terre

dq

=

=

=

=

=Q

h

D’ou simplement :

#(C) * Q

4 ( '0 a

En ecrivant que e = #(C)# #(O), on obtient :

#(O) * # e

1 +R2

a h

et #(C) * e

1 +a h

R2

(2.57)

Il est donc equivalent de prendre le potentiel nul sur la Terre ou a l’infini tant que a h , R2.


62

Chapitre 3

Milieux dielectriques

Sommaire

3.1 Sources microscopiques de la polarisation en regime statique . 64

3.2 Etude macroscopique de la polarisation en regime statique . . 68

3.3 Susceptibilite electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.4 Polarisation en regime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.5 Aspects energetiques des milieux dielectriques . . . . . . . . . . 87

Introduction

On n’a considere jusqu’a present que le vide et des conducteurs. On va maintenant considererdes isolants, dans lesquels un courant macroscopique de charges ne peut exister. On verraque le champ electrique dans de tels milieux n’est pas obligatoirement nul. L’experiencefondatrice de l’etude des dielectriques est attribuee a Faraday qui a observe que l’introductiond’un isolant entre les armatures d’un condensateur modifiait sa capacite (figure ci-dessous),c’est a dire que pour maintenir le potentiel # constant, il faut fournir une charge Q% > Q.

Q

)

Q’ > Q

)

Figure 3.1 – La capacite d’un condensateur est modifiee par l’introduction d’un isolant entre sesarmatures.

Dans un milieu a structure moleculaire, chaque molecule peut etre assimilee, a grande dis-tance, a un doublet de charges. D’un point de vue macroscopique, on caracterisera le milieupar sa polarisation !P , ou densite volumique de moments dipolaires :

!P =d !p

dV(3.1)


63

3.1 Sources microscopiques de la polarisation en re-gime statique

La polarisation peut etre spontanee ou induite. La polarisation spontanee est tres rare et seraabordee aux § 3.3.4 et 3.3.5. On etudie dans ce paragraphe les mecanismes de polarisationinduits par un champ electrique exterieur, en commencant par decrire le moment dipolairedes atomes et des molecules.

3.1.1 Moments dipolaires des atomes et des molecules

On ne presentera ici les choses que de maniere qualitative car a l’echelle atomique, l’etudede la structure de la matiere doit se faire a l’aide de la mecanique quantique.

Atomes

Un atome isole dans l’etat fondamental a un moment dipolaire nul. Un champ electriqueva distordre la distribution electronique dont le barycentre ne coıncide plus avec celui descharges positives : on concoit donc intuitivement que l’application d’un champ electriqueinduise un moment dipolaire electrique sur un atome.

p

E = 0 E = 0

Figure 3.2 – Un champ !E va provoquer l’apparition d’un moment dipolaire electrique !p sur unatome.

En notant !E( le champ electrique e!ectivement subit par l’atome, le moment dipolaire !p vas’ecrire :

!p = '0 0e!E( (3.2)

ou 0e est la polarisabilite electronique. Noter que les moments dipolaires s’expriment en SIen Cm et usuellement en Debye 1.

Le modele de Mossotti

On assimile un atome a un noyau de charge Z e et a une distribution de charge electroniqueuniforme de rayon a. L’application d’un champ exterieur deplace le nuage electronique en

1. Par definition, 1 D correspond a 10! 18 unite CGS de moment dipolaire (ie 10! 3/c), soit finalement :

1 D = 0, 33356 10! 29 Cm * 1

310! 29 Cm


64

bloc (figure 3.3). On peut montrer que dans le cadre de ce modele, la polarisabilite 0 s’ecrit :

0 = 4 ( a3 (3.3)

Cette relation montre que la polarisabilite a les dimensions d’un volume 2.

r

NoyauNuage

Figure 3.3 – Dans le modele de Mossotti de la polarisation electronique, on considere que lenoyau s’ecarte de !r du centre du nuage electronique sous l’action d’un champ electrique.

Molecules polaires

Les molecules ne possedant pas de moment dipolaire electrique permaent sont dites apolaires.C’est le cas des molecules possedant un cendre de symetrie, c’est a dire des molecules diato-miques (H2, N2, O2), des molecules a symetrie tetragonale (CH4, CCl4), ou meme benzemique(C6H6), ou des molecules lineaires (CO2).

Un champ electrique !E( au niveau de la molecule provoque une polarisation qui, moyenneea l’echelle macroscopique, donne un moment dipolaire moyen par molecule de la forme :

!p = '0 0 !E( (3.4)

Molecules polaires

Les molecules possedant un moment dipolaire electrique permanent sont dites polaires. C’estpar exemple le cas des molecules diatomiques constituees de deux atomes di!erents (parexemple HCl) ou des molecules qui ne sont pas lineaires (H2O).

p

ClH

p

O

H H

Figure 3.4 – Moment dipolaire de molecules polaires (HCl et H2O).

Un champ electrique !E( au niveau de la molecule provoque une polarisation suplementaire .!pqui, moyennee a l’echelle macroscopique, donne un moment dipolaire supplementaire moyenpar molecule de la forme :

. !p = '0 0 !E( (3.5)

2. Attention, les chimistes utilisent generalement une susceptibilite +chimie exprimee dans le systemeCGS. On a alors +physique = 4# +chimie.


65

3.1.2 Polarisation electronique

La polarisation electronique concerne tous les milieux et resulte du deplacement des nuageselectroniques autour des atomes sous l’action d’un champ electrique exterieur.

Pour une molecule apolaire, on observe experimentalement que le moment electrique induit!p est colineaire et de meme sens que le champ agissant sur la molecule !E(. On definit lapolarisabilite 0 d’une molecule par :

!p = 0 '0 !E( (3.6)

ou 0 est une grandeur scalaire positive caracteristique du milieu.

Sous l’action d’un champ electrique local !E(, un milieu contenant n molecules par unite devolume de polarisabilite 0 acquierera la polarisation !P telle que :

!P = n !p = n0 '0 !E( (3.7)

3.1.3 Polarisation ionique

Un cristal ionique ne possedant pas de polarisation spontanee verra sa structure modifieesous l’action d’un champ electrique applique : les ions positifs et negatifs seront deplacesdans des directions opposees, faisant apparaıtre une polarisation !P .

Pour un cristal cubique tel que NaCl, on constate l’apparition d’une polarisation proportion-nelle au champ local qui est donnee par :

!P = n0 '0 !E( (3.8)

ou n represente la densite volumique des ions. L’analogie avec (3.7) fait que cette polarisationest appelee polarisation ionique.

On peut noter que le champ electrique a egalement pour e!et de deplacer les nuages electro-niques des ions, ce qui fait en plus apparaıtre une polarisation electronique 3.

3.1.4 Polarisation dipolaire

La polarisation dipolaire (ou polarisation d’orientation) resulte de la tendance qu’ont les mo-lecules polaires a s’orienter dans le sens d’un champ electrique applique. En e!et, l’agitationthermique oriente les moments dans toutes les directions en l’absence de champ applique,ce qui conduit a une polarisation nulle. En presence d’un champ electrique, chaque moleculeaura tendance a s’orienter dans le sens du champ (figure 3.5).

Modele de Langevin

On peut faire en physique statistique un calcul de la polarisation, en remarquant que lenombre dn de dipoles orientes dans un angle solide d) doit etre independant de ). En

3. On regroupe parfois les polarisations electronique et ionique sous la meme appellation de polarisationpar deformation, puisqu’elles resultent d’une deformation locale due au champ electrique applique.


66

E

ESans champ EAvec champ

Figure 3.5 – La polarisation dipolaire resulte de l’orientation des molecules polaires dans unchamp !E.

presence d’un champ !E( applique, dn est regit par la distribution de Boltzmann :

dn = Const" exp

!

# U

kB T

"

d) (3.9)

ou U = # !p0 . !E( est l’energie d’interaction du dipole rigide !p0 dans le champ. En notantx = p0E(/kBT , on montre que la polarisation se met sous la forme :

P = n p0 L(x) ou L(x) =exp(x) + exp(# x)

exp(x)# exp(# x)# 1

x= coth(x)# 1

x(3.10)

La fonction L(x) est la fonction de Langevin (figure 3.6).

TB / kl

x = p E0 2 4 6 8 10 12 140.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figure 3.6 – La fonction de Langevin a pour asymptotes y = x/3 aux basses valeurs de x ety = 1 pour les valeurs elevees.

Au voisinage de la temperature ambiante, on aura toujours x , 1. En e!et, a T = 300 Ket pour p = 10#29 Cm, le parametre x n’atteint que 2.5 10# 2 pour un champ de 107 V/m.Un developpement limite permet alors d’ecrire L(x , 1) * x/3 dont on deduit que lapolarisation dipolaire est alors proportionnelle au champ applique. On obtient alors unepolarisabilite 0or dite polarisabilite d’orientation telle que :

0or * p203 '0 kB T

(3.11)


67

Au contraire, a tres basse temperature et pour un champ tres intense, x + 1. On a alorsL(x + 1) * 1 : les dipoles sont alignes dans le sens du champ.

On retiendra que la polarisation dipolaire varie fortement avec la temperature, contrairementa la polarisation electronique qui ne depend que de la nature des molecules et a la polarisationionique qui ne depend que de la structure du cristal.

3.2 Etude macroscopique de la polarisation en regimestatique

Comme on l’a deja vu (figure 3.1), Faraday a observe que la capacite augmentait lorsqu’onintroduisait un dielectrique entre les armatures d’un condensateur. Comme Q = C #, celasignifie que le champ !E doit diminuer et donc que des charges opposees aux charges desarmatures doivent apparaıtre en regard, dans le dielectrique.

Qualitativement, un champ !E applique distord la distribution de charges du milieu et modifiedonc ses moments multipolaires. A cause de la dependance du champ avec la distance quidecroıt avec l’ordre multipolaire (2.53), on considerera que le milieu est uniquement constituede moments dipolaires. On n’abordera le cas des moments d’ordre superieur qu’au § 3.2.9.

3.2.1 Approche intuitive des charges de polarisation

On considere tout d’abord une plaque dielectrique de polarisation uniforme normale a sesfaces (figure 3.7). On peut remplacer par la pensee la plaque par un empilement de dipolesdans tout le volume. On voit sur ce modele simpliste que la charge volumique correspondantaux charges des dipoles sera nulle partout, sauf sur les bords ou on observera une accumu-lation locale de charges de meme polarite. On appelera charges de polarisation les excedentslocaux de charges engendres par la polarisation.

!

!+

!+

!+

!+

P

+++ + + + + + + +

!! ! ! ! ! ! ! !

P! ! ! !

!

! !

!!!

+

+ +

+++

+ + + +! !!!! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! !

+ + + ++

Figure 3.7 – Une polarisation uniforme engendre en surface des charges de polarisation (a gauche),tandis qu’une polarisation dependant de la position peut egalement engendrer des charges en volume(a droite).

Si on considere desormais une polarisation dont la valeur augmente d’une face a l’autre, onaura par exemple )P/)z > 0. On imagine alors que la charge negative du ”bas” du dipole necompensera que partiellement la charge positive du ”haut”, et qu’il va apparaıtre un excedentde charges de polarisation dans le volume du dielectrique.


68

3.2.2 Densites de charges equivalentes

On considere un dielectrique initialement neutre de volume (V) et on appelle (S) la surfacede separation entre le dielectrique et le monde exterieur (figure 3.8).

r

Q

P

(S)

O M

QM

Figure 3.8 – Calcul du potentiel !cree par un dielectrique a l’exterieurde celui-ci.

(S)

$P

Normalesortante

P

(S)

nP'

Figure 3.9 – Le potentiel cree par le dielectrique estequivalent au potentiel qui serait cree par la densitevolumique "P = # !! . !P et par la densite surfacique(P = !P .!n.

Le potentiel electrostatique cree par un dipole !p place a l’origine s’ecrit en un point reperepar !r :

1

4 ( '0

!p .!r

r3

On en deduit le potentiel #(M) cree en M par le dielectrique :

#(M) =1

4 ( '0

%%%

Dielectrique

!P .##%QM

QM3dV (3.12)

Comme##%QM/QM3 = !!Q(1/QM), (A.8) permet d’ecrire que (avec $ ' 1/r et !A ' !P ) :

!!Q .

1

!P

QM

2

=!!Q . !P

QM+ !P . !!Q

!

1

QM

"

=!!Q . !P

QM+ !P .

##%QM

QM3

A l’aide de cette relation (3.12) devient :

#(M) =1

4 ( '0

%%%

Dielectrique

9

!!Q .

1

!P

QM

2

#!!Q . !P

QM

:

dV (3.13)

En utilisant le theoreme d’Ostrogradsky (A.19), on a finalement :

#(M) =1

4 ( '0

%%

S

!P . !n

QMdS +

1

4 ( '0

%%%

Dielectrique

# !!Q . !P

QMdV (3.14)

Le potentiel cree par la distribution volumique de dipoles a l’origine de la polarisation estequivalent au potentiel qui serait cree par une densite macroscopique de charges caracteriseepar une densite surfacique #P et une densite volumique "P et telles que :

#P = !P .!n et "P = # !! . !P (3.15)


69

D’un point de vue macroscopique, la polarisation du dielectrique est equivalente pour lepotentiel electrostatique # (et donc pour le champ !E) a une distribution macroscopique decharges de polarisation (figure 3.9).

Charge totale portee par le dielectrique

La presence des charges liees ne modifie pas la charge totale. En e!et, la charge de polarisationtotale Qp portee par le dielectrique est :

Qp =

%%%

(V )

"p d* +

%%

(S)

#p dS = #%%%

(V )

!! . !p d* +

%%

(S)

!p .!n dS

= #%%

(S)

!p .!n dS +

%%

(S)

!p .!n dS = 0

(3.16)

3.2.3 Vecteur !D

Definition

Dans un corps dielectrique, (MG) s’ecrit, en distinguant les charges libres des charges liees :

!! . !E ="libre + "lie

'0=

"libre # !! . !P

'0(3.17)

On introduit naturellement le vecteur !D defini par :

!D = '0 !E+ !P (3.18)

Cette definition permet de reecrire (MG) en fonction des seules charges libres :

!! . !D = "libre (3.19)

Sous sa forme integrale, il est evident que cette relation donne le theoreme de Gauss dansun milieu dielectrique :

%%

(S)

!D . d !S = Qlibre (3.20)

ou Qlibre represente la charge libre totale presente dans le dielectrique.

Cas particulier des milieux lhi

Dans le cas d’un milieu lhi, on ecrira :

!D = '0 !E + !p = '0 (1 + 1) !E = '0 'r !E = ' !E (3.21)

en appelant 'r = (1 + 1) la permittivite relative du milieu (nombre reel sans dimension) et' = '0 'r la permittivite absolue.

Les relations de Maxwell-Gauss locale (3.19) et integrale (3.20) deviennent pour un milieulhi :

!! . !E ="('

et

%%

(S)

!E . d !S =Qlibre

'(3.22)


70

3.2.4 Relations constitutives

Un milieu sera lineaire si les composantes de sa polarisation !P sont des fonctions lineairesdes composantes du champ !E, c’est a dire si !P se met sous la forme :

!P = '0 [1e] !E (3.23)

Dans cette relation, [1e] est le tenseur des susceptibilites dielectriques dont on peut montrerqu’il existe une base sur laquelle il se met sous la forme :

[1e] =

3

4

4

4

4

4

4

5

11 0 0

0 12 0

0 0 13

6

7

7

7

7

7

7

8

(3.24)

ou les elements diagonaux 1i sont les susceptibilites dielectriques principales.

Un milieu sera homogene si [1e] est independant du point de l’espace considere. Enfin, unmilieu sera isotrope si aucune direction n’est privilegiee, ce qui entraıne que !P est dans lameme direction que !E :

!P = '0 1e(M, !E) !E (3.25)

En combinant ce qui vient d’etre dit, un milieu sera lineaire, homogene et isotrope (lhi) si lesvaleurs propres de [1e] sont egales et independantes de l’espace et du champ. On aura alors :

!P = '0 1e!E (3.26)

ou 1e est un nombre reel positif sans dimension, la susceptibilite ou susceptibilite dielectrique.

Pour un milieu lhi, on aura :

!D = '0 'r !E = ' !E avec 'r = 1 + 1e (3.27)

ou ' et 'r sont respectivement les permittivite absolue et permittivite relative du dielectrique.La table 3.1 donne les permittivites relatives de quelques corps.

Gaz Liquide Solide(20 (C, 1 atm) (20 (C)

Air 1,00059 Eau * 80 Polyethylene 2,3Helium 1,00006 Benzene 2,3 Verre * 4 - 7Argon 1,00052 Glycerol * 43 Titanate de Baryum * 1700

Table 3.1 – Permittivites dielectriques relatives statiques de divers materiaux


71

3.2.5 Milieu lhi plonge dans un champ constant

On sait que le champ electrostatique !E0 d’un systemes de conducteurs dans le vide verifieles deux equations suivantes :

!!" !E0 = !0 (MF ) et !! . !E0 ="libre'0

(MG) (3.28)

ou la densite "libre est portee par les conducteurs. Par la pensee, on peut remplacer toutl’espace entre les conducteurs par un dielectrique lhi. Le champ !E verifie alors :

!!" !E = !0 (MF ) et !! . ('0 'r !E) = "libre (MG)

que l’on peut reecrire sous la forme :

!!"('r !E) = !0 (MF ) et !! . ('r !E) ="libre'0

(MG) (3.29)

En comparant (3.28) et (3.29), on voit immediatement que le champ !E dans le dielectriqueverifie :

!E =!E0

'r(3.30)

qui montre que le champ dans le dielectrique est toujours plus faible que dans le vide (puisque'r > 1).

3.2.6 Exemple du condensateur a lame dielectrique - Notion dechamp depolarisant

On considere une plaque de dielectrique lhi plongee dans un champ electrique cree par lescharges libres des armatures d’un condensateur (figure 3.10).

+ + + + + + + + + + + + + +

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

!

P

!

* 'libre

' libre

'P

* ' P

P E0

E

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

+ + + + + + + + + ++ + ++

Figure 3.10 – Les charges liees d’un dielectrique creent un champ electrique au sein du dielec-trique.

Les charges libres portees par les armatures creent un champ !E0 = #libre/'0 !uz. Ce champinduit dans le dieletrique une polarisation !P de meme sens que !E0. Il apparaıt donc sur lesfaces du dielectrique des charges de polarisation de densite #P = ±P . La presence de cescharges fait que le dielectrique est alors le siege d’un nouveau champ :

!EP = # |#P |'0

!uz = #!P

'0(3.31)


72

Le champ !EP est de sens oppose au champ !E0 qui lui a donne naissance.

Le champ electrique total dans la plaque est donc simplement :

!E = !E0 + !EP = !E0#!P

'0(3.32)

On peut montrer que champ cree dans un dielectrique par la polarisation est toujours de sensoppose au champ qui a donne naissance a la polarisation. C’est pourquoi on l’appelle champdepolarisant, meme s’il n’est pas associe a un quelconque mecanisme de depolarisation.

3.2.7 Separation de deux milieux lhi

Dans le cas d’une polarisation statique, les equations de Maxwell dans un milieu dielectriqueprennent la forme suivante :

,

-

-

.

-

-

/

!! . !D = "libre (MG)

!!" !B = µ0!J +

1

c2) !E

)t(MA)

,

-

-

.

-

-

/

!!" !E = # ) !B

)t(MF)

!! . !B = 0 (M#)

(3.33)

Dans un modele surfacique, on en deduit les relations de passage entre les valeurs des champsdans les regions (1) et (2) separees par une surface (S). Par analogie avec le § 1.6, on obtientimmediatement :• la continuite de la composante tangentielle de !E• la continuite de la composante normale de !B• la discontinuite de la composante normale de !D• la discontinuite de la composante tangentielle de !B en presence de courants superficielsOn peut resumer ceci sous la forme :

!ET1= !ET2

!BN1= !BN2

!DN2# !DN1

= #libre !n1!2!BN2

# !BN1= µ0 ilibre"!n1!2

2+1

E 1

E 2(2)

(1)

n1!>2 +

Figure 3.11 – Le champ electrique se refracte a la traversee entre deux dielectriques lhi.

Si de plus la surface de separation entre les deux milieux ne comporte pas de charges libres(#libre = 0), les deux conditions sur ET et DN peuvent s’ecrire, avec les notations de lafigure 3.11 :

E1 sin(01) = E2 sin(02) et '1 E1 cos(01) = '2 E2 cos(02)

dont on deduit :tan(01)

'1=

tan(02)

'2(3.34)

Cette relation caracterise la refraction des lignes du champ !E a la traversee de la surface (S).


73

3.2.8 Force electromagnetique s’exercant sur un milieu dielectrique

Somme des forces

Un dipole electrostatique !p place dans un champ statique inhomogene !E est soumis a uneforce !F donnee par :

!F = !!#

!p . !E$

La determination d’une expression equivalente qui pendrait en compte les forces internesau dielectrique serait tres compliquee. En se limitant a la force externe au dielectrique, onmontre que celui-ci subit une force de densite :

d!F

dV=

#

!P . !!$

!E0 = !!#

!P . !E0

$

(3.35)

ou !E0 represente le champ auquel est soumis chaque dipole du dielectrique (ce champ est avariations spatiales lentes a l’echelle atomique).

Moment des forces

Le moment des forces electromagnetiques en un point O s’ecrit :

&O(!r) =

%%%

!r " d!F

dVdV

ou la densite volumique de force est donnee par (3.35). On montre que dans le cas d’unchamp uniforme, on a :

&O = P " !E0 (3.36)

ou P est le moment dipolaire du systeme dont on suppose qu’il se comporte comme un dipolerigide.

3.2.9 Complement sur les densites de charges equivalentes

Un dielectrique peut etre decompose a l’echelle microscopique en groupes de particules dontla charge totale est nulle. On note !rN la position du centre de masse du groupe N et !rNk

les positions relatives par rapport au centre de masse des k charges qNk qui composent legroupe.

En utilisant (1.2) a la fois pour les charges libres et les charges liees, la densite volumique decharges nivellee du milieu s’ecrit :

"(!r) =0

N

0

k

qNk f(!r#!rN #!rNk)

puisque la charge qk est situee en !r+!rNk. Comme la fonction f a par construction desvariations faibles a l’echelle atomique, on peut e!ectuer un developpement au 1er ordre parrapport a !rNk :

f(!r#!rN #!rNk) * f(!r#!rN)# !rNk . !! [f(!r#!rN)]


74

d’ou :

"(!r) *0

N

1

0

k

qNk

2

f(!r#!rN)#0

N

1

0

k

qNk !rNk

2

. !! [f(!r#!rN)]

Le 1er terme est nul puisque la charge totale de chaque groupe est nulle. Dans le 2e, on voitapparaıtre le moment dipolaire electrique !pN =

<

k qNk !rNk du groupe N . Finalement :

"(!r) * #0

N

!pN . !! [f(!r#!rN)] (3.37)

De la meme maniere que pour ", on peut utiliser la fonction de nivellement f pour ecrire lapolarisation nivellee !P a partir des moments !pN (situes en !rN) :

!P (!r) =0

N

!pN f(!r#!rN) (3.38)

En utilisant (A.8) et en ecrivant !! . !P =<

N !pN !! [f(!r#!rN)] puisque seule f depend de !ret en comparant avec (3.37), on obtient finalement :

"(!r) * # !! . !P (!r) (3.39)

On retiendra que (3.39) ne conserve que l’aspect dipolaire des distributions de charges.

Exercice 3.1 : Champ electrique d’une sphere uniformement polarisee

On considere une sphere uniformement polarisee. Montrer que les lignes du champ !E qu’elle creedans tout l’espace sont telles que sur la figure 3.12 si la sphere est seule dans l’espace ou qu’ellessont representees par la figure 3.13 si la sphere est plongee dans un champ uniforme !E0.

Figure 3.12 – Lignes du champ !E cree danstout l’espace par une sphere uniformement po-larisee.

Figure 3.13 – Lignes du champ !E cree danstout l’espace par une sphere uniformement po-larisee placee dans un champ externe !E0.


75

3.3 Susceptibilite electrique

3.3.1 Champ local !E*

On considere une plaque de dielectrique soumis a un champ uniforme !E0 cree par les chargeslibres des armatures d’un condensateur (figure 3.14). Le champ macroscopique dans la plaqueest !E = !E0 + !EP ou !EP = # !P /'0 est le champ depolarisant associe a la plaque.

+ + + + + + + + + + + + + +

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

!

M

!

* 'libre

' libre

'P

* ' P

P E0

!!!

!!!!

!!!

n

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

+ + + +

+

++

+++

+ + + + + + + + +

+ + ++

+

Figure 3.14 – Le champ que subit la molecule en M n’est pas le champ macroscopique !E dansla plaque mais le champ local !E(.

On considere une molecule du dielectrique situee en M . Le champ que voit la molecule estle champ cree en M par toutes les molecules autres que la molecule situee en M . Ce champest di!erent du champ !E est est appele le champ local !E(.

Si les distances entre molecules sont telles que le champ cree en M par les molecules les plusproches puisse encore etre assimile a celui d’un dipole, on montre que le champ local se metsous la forme :

!E( = !E+!P

3 '0(3.40)

Cette expression de Lorentz du champ local est valable pour un milieu assimilable a unerepartition aleatoire de dipoles (un gaz par exemple) ou pour un cristal cubique. Elle n’estgeneralement pas valable pour les milieux denses (liquides et solides) et est completementfausse pour les cristaux non cubiques.

3.3.2 Formule de Clausius-Mossotti

On a vu au § 3.1 qu’on pouvait parfois relier la polarisation et le champ local par !P =n0 '0 !E(. Si de plus les conditions d’application de (3.40) sont remplies, on obtient unesusceptibilite 1 de la forme :

1 =n0

1# n0/3(3.41)

En introduisant la masse volumique µ et la masse molaireM , on obtient finalement la formulede Clausius-Mossotti :

M

µ

'r # 1

'r + 2=

NA 0

3(3.42)

ou NA represente le nombre d’Avogadro. L’interet de cette formule est de permettre unemesure du parametre microscopique 0 a l’aide de donnees purement macroscopiques.


76

Pour un milieu peu dense, 1e , 1. On peut donc remplacer (3.41) et (3.42) par :

1e * n0 etM

µ('r # 1) * NA 0 (3.43)

3.3.3 Variations de la susceptibilite

La figure 3.15 represente la variation de M/µ " ('r # 1)/('r + 2) pour CH4 (molecule nonpolaire) et pour deux gaz polaires (HCl et HI).

Figure 3.15 – Validite de la formule de Clausius-Mossotti pour trois gaz.

3.3.4 Pyroelectricite

La pyroelectricite et la ferroelectricite qui sera vue au § suivant sont les seuls cas connus depolarisation spontanee.

3.3.5 Ferroelectricite

D’apres (3.41), on a 1e % 0 quand n0/3 % 1. En fait, la densite n est alors trop impor-tante pour que (3.41) puisse s’appliquer. Mais qualitativement, on observe la catastrophe depolarisation pour les materiaux ferroelectriques, comme par exemple le titanate de baryumBaTiO3 (figure 3.16) qui peut voir dans certaines conditions sa susceptibilite 1e atteindreplusieurs milliers dans l’etat ferroelectrique. On observe alors une polarisation spontanee enl’absence de champ applique.

On peut egalement montrer que la susceptibilite d’un corps ferroelectrique suit, au dessusd’une temperature TC dite temperature de Curie, une loi du type :

1e =Cste

T # TC

On peut noter que la polarisation d’un corps ferroelectrique depend de l’histoire du cristal. Enfaisant varier lentement !E entre deux valeurs opposees (figure 3.17), on obtient une courbecaracteristique, dite d’hysteresis.


77

Figure 3.16 – Maille du titanate de baryumBaTiO3.

cEO

!Ec

r

E

!P

P

Pr

Figure 3.17 – Courbe d’hysteresis decritepar ( !E, !P ) pour un corps ferroelectrique - Ec

represente le champ cœrcitif et Pr la polarisa-tion remanente.

3.3.6 Piezoelectricite

Dans certains cristaux depourvus de centre de symetrie (par exemple le quartz), une contraintemecanique peut engendrer un deplacement relatif de certains ions, et donc engendrer unepolarisation. Le cristal est alors dit piezoelectrique.

La reciproque est egalement vraie : un cristal piezoelectrique se deforme sous l’action d’unchamp !E.

3.4 Polarisation en regime variable

La description d’un dielectrique en termes de charges de polarisation faite precedemmentn’est pas limitee aux regimes statiques mais convient egalement aux regimes variables dansle temps, a condition de considerer des volumes mesoscopiques 4 pour definir la polarisation!P (t).

4. Pour que tout ceci ait un sens (et que le modele soit applicable), il faut que toute dependance temporelleait un temps caracteristique plus court que le temps de parcours d’une onde electromagnetique sur le volume.En prenant des volumes mesoscopiques de 5 nm3, la frequence limite acceptable est de 1016 Hz, ce qui sesitue dans l’ultraviolet. On pourra donc utiliser une description continue et moyennee de la matiere pourdes frequence allant jusqu’a 1015-1016 Hz (ce qui correspond a des longueurs d’onde de 100 nm, largementsuperieures aux dimensions inter-atomiques).Par contre, pour des rayons X, la structure discontinue de la matiere devient apparente. Ceci explique ladi#usion des rayons X sur un reseau cristallin, mais depasse le cadre de ce cours qui ne s’interesse qu’auxmilieux continus.


78

3.4.1 Analyse intuitive

Cas d’une excitation sinusoıdale

On place un dielectrique lhi maintenu a temperature constante dans un champ !E de la forme!E = !E0 cos(- t) et on s’interesse au regime permanent.

Il est intuitif que si les variations de !E sont rapides, la polarisation induite ne suivra ces va-riations qu’avec un certain retard, puisque la polarisation necessite un deplacement d’atomesa l’echelle microscopique. La polarisation !P (t) aura donc un dephasage $(-) avec le champelectrique !E(t) et dependra de la frequence, soit :

!P (t) = '0 1 !E0 cos(- t# $)

En developpant le cosinus, on voit qu’il doit exister deux coe"cients 1%(-) et 1%%(-) tels que :

!P (t) = '0 [1%(-) cos(- t) + 1%%(-) sin(- t)] !E0 (3.44)

La polarisation comporte donc un terme en phase avec !E (proportionnel a 1%(-)) et un termeen quadrature avec !E (proportionnel a 1%%(-)). En poursuivant le raisonnement, on montrequ’il existe egalement des coe"cients '%(-) et '%%(-) pour decrire !D = '0 !E+ !P selon :

!D(t) = ['%(-) cos(- t) + '%%(-) sin(- t)] !E0

avec '%(-) = '0 [1 + 1(-)] et '%%(-) = '0 1%%(-). Le dephasage .(-) entre !D et !E verifie :

tan[.(-)] ='%%(-)

'%(-)(3.45)

On peut donc decrire la reponse de la matiere a un champ variable a l’aide des deux fonctions'%(-) et '%%(-).

On sait que tout systeme lineaire excite a l’aide d’une frequence sinusoıdale peut etre repre-sente en notation complexe. On peut alors ecrire :

,

-

-

.

-

-

/

!E(t) = Re#

!E)(t)$

avec !E)(t) = !E0 exp(# i- t)

!P (t) = Re#

!P)(t)$

avec !P)(t) = !P0 exp(# i- t)

(3.46)

Les indices a !E)(t) et !P)(t) rappellent que 1(-) ne peut s’utiliser qu’avec une excitationsinusoıdale. Ceci n’est pas restrictif car on peut exprimer tout signal !E(t) sous forme d’unecombinaison lineaire des !E)(t) a l’aide d’une transformation de Fourier. Avec ces notations,on a bien une relation de la forme :

!P)(t) = '0 1(-) !E)(t) (3.47)

en posant :1(-) = 1%(-) + i1%%(-) (3.48)

Il su"t de prendre la partie reelle de (3.47) pour retrouver (3.44). On introduit donc natu-rellement la susceptibilite dielectrique complexe 1(-).


79

Cas general

On peut generaliser ce qui precede a des champs variables mais non sinusoıdaux. En suppo-sant que le lien entre la polarisation et le champ reste lineaire, un retard de la polarisation!P par rapport au champ !E s’ecrira :

!P (t) = '0

% "

0

F (+) !E(t# +) d+ (3.49)

Cete relation exprime le fait que la contribution a !P a l’instant t du champ !E a l’instant t#+est ponderee par la fonction de retard F (+). La forme de F (+) est une fonction du milieu.Avec l’aide de (3.46) et en reportant !E)(t # +) = !E)(t) exp(i- +) dans (3.49), on retrouve(3.47) avec :

1(-) =

% "

0

F (+) exp(i- +) d+ (3.50)

soit :

1%(-) =

% "

0

F (+) cos(- +) d+ et 1%%(-) =

% "

0

F (+) sin(- +) d+ (3.51)

Ces deux relations nous permettent d’envisager un lien en 1%(-) et 1%%(-).

3.4.2 Modele de Drude-Lorentz

L’interaction d’un porteur de charge de masse m avec un milieu materiel est tres bien decritea l’aide du modele de Drude-Lorentz qui introduit, en plus de la force de Lorentz :• une force d’amortissement visqueux !fv = #m !v /* ou * est un temps caracteristique• une force de rappel !fr = #m-2

0 !r ou -0 est la pulsation de l’oscillateur que forme lacharge en mouvement autour de sa position d’equilibre et !r le vecteur position par rapporta la position d’equilibre

A l’aide de cette description, on peut a la fois modeliser les charges libres (-0 = 0) et lescharges liees (-0 $= 0).

En notant q la charge de la particule, on montre que l’equation di!erentielle qui regit lemouvement de l’electron est :

md2!r

dt2= q !E(#

m

*

d!r

dt#m-2

0 !r (3.52)

ou !E( represente le champ local e!ectivement applique au porteur de charge etudie.

3.4.3 Susceptibilites et permittivites complexes

En adoptant une representation complexe en !r = !r0 exp(# i- t), le regime force du mouve-ment de l’electron s’ecrit :

!r0 =q

m

!E(

-20 # -2 # i-/*

(3.53)


80

Ce deplacement entraıne l’apparition d’un moment dipolaire electrique complexe !p0 = q !r0.En supposant que !E * !E(, on en deduit l’expression d’une susceptibilite electrique complexe1(-) :

1(-) = 1(0)-20

-20 # -2 # i-/*

avec 1(0) =n q2

m '0 -20

(3.54)

ou 1(0) represente la susceptibilite statique. On peut noter qu’il est equivalent pour un milieulhi de parler de susceptibilite complexe 1(-) ou de polarisabilite complexe 0(-) puisque,comme pour (3.43) :

1(-) = n0(-) (3.55)

Pour un milieu dense pour lequel on peut utiliser l’expression de Lorentz du champ local(3.40), on montre qu’on obtient les memes expressions a condition de remplacer -0 par -%

0

telle que :

-%0 = -0 #

n q2

3m '0(3.56)

Dephasage

Le caractere complexe de 1(-) dans (3.54) traduit le dephasage entre le champ et la po-larisation, c’est-a-dire entre la cause et sa consequence. On peut distinguer trois domainesparticuliers :

1. Les basses frequences (- , -0), pour lesquelles 1(-) * 1(0) : on retrouve le cas desregimes stationnaires pours lesquels 1 est une constante reelle positive (§ 3.2.4)

2. Les frequences intermediaires (- * -0), pour lesquelles 1(-) * 1(0)-0 * exp(i(/2) :!P et !E sont en quadrature

3. Les hautes frequences (- + -0), pour lesquelles 1(-) * #1(0)" -20/-

2 : !P et !E sonten opposition de phase, et 1(-) tend vers zero a tres haute frequence

En separant les parties imaginaires de 1(-) selon 1(-) = 1%(-) + i1%%(-), on obtient :

1%(-) = 1(0)(-2

0 # -2)-20

(-20 # -2)2 + -2/* 2

et 1%%(-) = 1(0)- -2

0/*

(-20 # -2)2 + -2/* 2

(3.57)

Etude de 1%(-)

La partie reelle 1%(-) s’annule pour - = -0 et sa derivee vaut :

d1%(-)

d-= # 2- -0 1(0)

#(-20 # -2)2 + -2

0/*2

((-20 # -2)2 + -2/* 2)2

(3.58)

Cette derivee s’annule pour -1 et -2 telles que :

-1 * -0 #1

2 *et -2 * -0 +

1

2 *(3.59)

Dans le cas d’un amortissement faible (1/* , -0), la largeur caracteristique $- de l’inter-valle sur lequel 1%(-) change de signe est (figure 3.18) :

$- * -2 # -1 =1

*(3.60)


81

Figure 3.18 – Variations des parties reelles et imaginaires de la susceptibilite complexe au voisi-nage de ,0 dans le cas d’un amortisement faible (1/- , ,0).

Etude de 1%%(-)

Au contraire, la partie imaginaire 1%%(-) est maximale pour - = -0 avec 1%%(-0) = -0 * 1(0)et decroıt rapidement des qu’on s’ecarte de -0. Au voisinage du maximum, on peut ecrire :

-20 # -2 = (-0 + -) (-0 # -) * 2-0 (-0 # -) (3.61)

ce qui permet de mettre 1%%(-) sous la forme :

1%%(-) * 1%%(0)1

1 + 4 * 2 (- # -0)2(3.62)

Cette courbe a la forme caracteristique d’une lorentzienne.

3.4.4 Qu’est-ce qu’une resonance optique ?

On peut montrer qu’un faisceau de lumiere interagit avec une vapeur de sodium (figure 3.19)de la maniere suivante : la puissance est integralement transmise, sauf autour d’une frequenceparticuliere -0 pour laquelle le rayonnement est reemis dans toutes les directions avec lescaracteristiques du rayonnement emis par un dipole oscillant 5.

On interprete ceci en disant que le dipole atomique se met a vibrer intensement pour - * -0

et qu’il y a resonance optique.

Il est important de noter que le spectre de rayonnement est tres vaste (figures 3.20 et 3.21)et qu’il recouvre des domaines de frequence tres di!erents.

3.4.5 Polarisation electronique

Les electrons ayant une tres faible masse, tout e!et d’inertie les concernant ne se manifesteraqu’a haute frequence (-0, e * 1016 rad/s). La condition -0, e * + 1 sera toujours verifiee.

En appliquant les resultats du § 3.4.3, on voit qu’il existe deux zones interessantes :

5. La theorie du dipole oscillant sera vue au § 8.1.


82

diffusée

, 0, 0

Intensité transmise Intensité réfléchie

transmiseLumière

Lumière

Faisceauincident

Vapeur desodium

Figure 3.19 – Dans une resonance optique, les dipoles atomiques se mettent a vibrer pour , * ,0.

! (m)

- (Hz)

102

10!2

1 10 10 10 10 10!4 !6 !8 !10 !12

106

10 10 10 10 10 10 108 10 12 14 16 18 20

Ondes radio IR Rayons .

Rayons XVisibleMicro!ondes

UV

Figure 3.20 – Spectre du rayonnement.

1. Dans le visible (- , -0, e), la susceptibilite est reelle et positive :

1e(-) * 1e(0)-20, e

-20, e # -2

(3.63)

2. Dans le cas ou au contraire - + -0, e, la susceptibilite est egalement reelle mais nega-tive :

1e(-) * #1e(0)-20, e

-2(3.64)

La reponse d’un milieu presentant une ou deux frequences de resonance electronique estrepresentee sur les figures 3.22 et 3.23.

3.4.6 Polarisation ionique

On a cette fois -0, i * 1012 rad/s, c’est-a-dire que les pulsations propres se situent dansl’infrarouge lointain, tout en conservant la condition -0, i * + 1. Tout comme precedemment,


83

400 500 600 700

Bleu Vert Jaune Rouge

! (nm)

Figure 3.21 – Partie visible du spectre du rayonnement.

Figure 3.22 – Variation de %%r et %%%r en fonc-tion de la pulsation (pour m,0/- = 0, 2).

Figure 3.23 – Variation de %%r et %%%r pour undielectrique presentant deux bandes d’absorp-tion a ,1A et ,1B.

il existe deux zones notables :

1. Dans le domaine des micro-ondes et en deca (- , -0, i), la susceptibilite est reelle estvaut :

1i(-) * #1e(0)-20, i

-20, i # -2

(3.65)

2. Au contraire, pour -0, i + - (domaine visible et au dela), la susceptibilite reste reellemais tres faible :

1i(-) * #1e(0)-20, i

-2* 0 (3.66)

Schematiquement, la reponse d’un milieu est la meme que pour la polarisation electronique.

3.4.7 Polarisation dipolaire

La situation est di!erente pour la polarisation dipolaire puisqu’elle ne peut pas etre instan-tanee car elle implique une rotation des molecules qui est de fait perturbee par les chocsintermoleculaires. Debye a montre que la plupart du temps, il convient de prendre un retard


84

exponentiel :

F (+) =1or(0)

*exp(# +/*) (3.67)

ou * est un temps caracteristique du milieu et 1or(0) la susceptibilitee statique. De maniereequivalente, la polarisation suit l’equation de Debye :

*d!P (t)

dt+ !P (t) = '0 1or(0) !E(t) (3.68)

En utilisant (3.50) ou la methode traditionnelle consistant a ecrire le lien entre le champ etla polarisation, on obtient :

1or(-) = 1or(0)1

1# i- *Davec *D =

1

-20 *

(3.69)

Les parties reelles et imaginaires de 1or(-) forment les equations de Debye :

1%or(-) = 1or(0)

1

1 + -2 * 2Det 1%%

or(-) = 1or(0)- *D

1 + -2 * 2D(3.70)

Ici aussi, on peut distinguer deux domaines (figure 3.24) :

1. Si - *D , 1, on obtient :

1%or(-) * 1or(0) et 1%%

or(-) * 0 (3.71)

2. Si - *D + 1, on obtient :

1%or(-) * 0 et 1%%

or(-) * 0 (3.72)

D( ,0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(0)/) / ,’(/(0)/) / ,’’(/

Figure 3.24 – Variations des parties reelleset imaginaires de la susceptibilite d’orientationdans le modele de Debye.

Frequence (GHz)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0

20

40

60

80

100

Figure 3.25 – Variation de la partie reelle(cercles) et de la partie imaginaire (triangles)de la permittivite dielectrique de l’eau a25 (C en fonction de la pulsation.

Par exemple, l’eau suit le modele ci-dessus (figure 3.25 6) avec 1/*D = 1011 rad/s.

6. D’apres J. Barthel et al., A Computer-controlled System of Transmission Lines for the Determinationof the Complex Permittivity of Lossy Liquids between 8.5 and 90 GHz, Ber. Bunsenges. Phys. Chem., 1991.95(8), 853 - 859


85

3.4.8 Polarisation totale

On peut resumer les resulats precedents sur la figure 3.26 qui represente l’allure de 0% et0%% pour un systeme dilue de molecules polaires n’ayant qu’une seule frequence propre devibration et une seule frequence propre electronique.

Figure 3.26 – Les variations de +% et +%% en fonction de la frequence permettent de distinguer lesdivers types de polarisation.

3.4.9 Courant de polarisation - Equations de Maxwell dans undielectrique

Lorsqu’un dielectrique est soumis a un champ !E variable, les dipoles qui le constituentpeuvent se mettre a vibrer et engendrent donc un courant. On montre que ce courant se metsous la forme :

!JP =) !P

)t(3.73)

La densite volumique qu’il faut prendre en compte pour les equations de Maxwell est alorsla somme des densites associees aux courants libres et aux courants lies, soit :

!J tot = !J libre+ !JP (3.74)


86

Les equations de Maxwell dans un milieu dielectrique s’ecrivent finalement :,

-

-

-

.

-

-

-

/

!! . !D = "libre (MG)

!!" !B = µ0

1

!J tot+) !D

)t

2

(MA)

,

-

-

.

-

-

/

!!" !E = # ) !B

)t(MF)

!! . !B = 0 (M#)

(3.75)

Vu la modelisation utilisee, il est logique de constater que la conservation de la charges’applique aux charges de polarisation :

!! . !JP +)"P)t

= = !! .

1

) !P

)t

2

+)

)t

#

# !! . !P$

= 0 (3.76)

3.5 Aspects energetiques des milieux dielectriques

3.5.1 Energie dissipee dans un dielectrique

La puissance fournie par le champ EM a un dielectrique est donnee par dP/dV = !J . !E. Sion suppose que le seul courant volumique a considerer est le courant de polarisation !JP , onmontre que la puissance volumique recue par le dielectrique a pour valeur moyenne :

>

dPdV

?

= '%%r -'0 E2

0

2(3.77)

ou E0 est l’amplitude du champ electrique.

3.5.2 Energie electrostatique dans un milieu dielectrique

Expression generale

On considere une densite volumique de charges " contenue a l’interieur d’un volume V desurface (. L’energie .W associee a une variation ." de la densite volumique de charge est :

.W =

%%%

."(!r)#(!r) dV =

%%%

!! . (. !D)#(!r) dV (3.78)

puisque ." = .(!! . !D) = !! . . !D pour une densite de charges libres. Comme !! .(# . !D) =# !! .(. !D) + . !D . !!(#), on a finalement en utilisant le theoreme d’Ostrogradsky :

.W =

%%

# . !D . d!S #%%%

. !D . !!# dV (3.79)

La contribution de la 1re integrale peut etre annulee en repoussant la surface ( a l’infinipuisque sur cette surface !D et # varient respectivement au moins en 1/r2 et 1/r alors quela surface ne croıt que comme r2. Il reste alors, en utilisant la relation entre !E et # :

.W =

%%%

Espace

!E . . !DdV (3.80)


87

Insertion d’un dielectrique dans un champ

On considere un dielectrique lineaire (en particulier, les ferroelectriques du § 3.3.5 sont exclus)qu’on introduit dans un champ !E dont les sources sont maintenues constantes.

Pour un milieu lineaire de permittivite relative 'r, on aura :

!E . . !D = '0 'r !E . . !E =1

2'0 'r . !E2 =

1

2.{ !E . !D) (3.81)

On en deduit que l’energie initiale de la configuration, avant l’introduction du dielectrique,est :

U1 =1

2

%%%

!E1 . !D1 dV avec !D1 = ' !E1

en notant !E1 le champ cree par la distribution de charges et ' la permittivite du milieu.

En introduisant le dielectrique de permittivite '%, le champ passe a une nouvelle valeur !E2.L’energie de la nouvelle configuration est :

U2 =1

2

%%%

!E2 . !D2 dV

dont on deduit la variation d’energie entre les deux configurations :

$U =1

2

%%%

#

!E2 . !D2 # !E1 . !D1

$

dV (3.82)

ou encore :

$U =1

2

%%%

#

!E2 . !D1 # !E1 . !D2

$

dV +1

2

%%%

#

!E1 + !E2

$

.#

!D2 # !D1

$

dV (3.83)

Comme !E1 et !E2 sont des champs electrostatiques, on a !!" !E1 + !!" !E2 = !!"( !E1 + !E2) =!0. On peut donc poser l’existence d’une fonction ) verifiant :

!E1 + !E2 = # !!)

Le 2e terme de (3.83) devient :

# 1

2

%%%

!!) .#

!D2 # !D1

$

dV

On utilise le fait que !!) . (!! . !A) = !! . () !A)#) !! . !A avec !A = !D2 # !D1. On se debarrassede l’integrale de surface issue du terme en !! . () !A) de la meme maniere que precedemmenten repoussant la surface d’integration a l’infini. Le 2e terme de (3.83) peut finalement s’ecrire :

1

2

%%%

) !! .#

!D2 # !D1

$

dV

Mais comme on n’a pas modifie la densite volumique de charges libres en intoduisant ledielectrique, on a !! . !D1 = !! . !D2. Cette derniere integrale est donc nulle. Finalement, ilreste :

$U =1

2

%%%

#

!E2 . !D1 # !E1 . !D2

$

dV (3.84)


88

Exercice 3.2 : Etude d’un milieu a polarisation dipolaire en regime sinusoıdal force

On considere un milieu dielectrique lhi pour lequel le mecanisme preponderant est la polarisationd’orientation. En regime sinusoıdal, on suppose que la polarisation suit la loi de Debye.

1. Determiner l’expression de la susceptibilite complexe .(,). Pour resoudre l’equation di#e-rentielle, on ne tiendra compte que de sa solution stationnaire (pourquoi ?).

2. En deduire la permittivite relative complexe %r(,).

3. Tracer les graphes representant les parties reelles et imaginaires de %r(,). Commenter.


89

Documents

Electromagn´etisme classique du vide Le ”who’s who” de et ... · condensateur. • Pavel Cherenkov (1904 - 1990), physicien russe, prix Nobel de physique en 1958.Il d´ecrouvre