Equations de Maxwell.ribiere.regit.org/maxwell.pdf · 2014. 11. 5. · 1 Conservation de la charge. 2 Equations de Maxwell et Force de Lorentz. 3 Etude energ etique des champs electromagn

Equations de Maxwell.

P. Ribiere

Collège Stannislas

Année Scolaire 2014/2015

P. Ribiere (Collège Stannislas) Equations de Maxwell. Année Scolaire 2014/2015 1 / 36

1 Conservation de la charge.

2 Equations de Maxwell et Force de Lorentz.

3 Etude énergétique des champs électromagnétiques.

4 Potentiel et potentiel vecteur des champs électromagnétiques.


L’électromagnétisme repose sur plusieurs postulats que nous allons donner dans cette partie :

1 l’équation de conservation de la charge.

2 les quatre équations de Maxwell.

3 la force exercée par le champ électromagnétique sur une charge ponctuelle en mouvement.


Conservation de la charge. Le courant électrique.

Plan

1 Conservation de la charge.Le courant électrique.Etude des conducteurs ohmiques.Equation de conservation de la charge.






Dans un conducteur, en l’abscence de champ électrique extérieur, les électrons libres ( du gazd’électrons qui assure la liaison métallique) possèdent un mouvement désordonné.Un champ électrique extérieur ordonne ce mouvement. Le mouvement d’ensemble résultant estappelé courant électrique.

Vecteur densité de courant.

La charge δ2Q échangée à travers une section d~S = dS~n pendant dt est :

δ2Q =~j .d~Sdt

~j désigne le vecteur densité de courant (ou densité du flux de charge).La charge δQ échangées à travers une section S orientée pendant dt est :

δQ = (

∫∫~j .d~S)dt = i .dt

Le courant électrique est le flux de charges qui traversent une surface S orientée pendant dtalors :

i =δQ

dt=

∫∫~j .d~S

L’intensité du courant i est homogène à A.



Il est possible de trouver une expression de ~j le vecteur densité de courant en fonction dumouvement des charges (le flux de charges).

La charge δQ échangées à travers une section S orientée pendant dt est :

δQ = (


δQ =∑

i chargées

ρi .~vi .dt.d~S

où ρi = qi .ni désigne la quantité de charge i par unité de volume (en C .m−3) et ni le nombre de

charges par unité de volume (en m−3).

Expression du vecteur densité de courant.

~j =∑

i chargées

ρi .~vi =∑

i chargées

qi .ni .~vi

Exemple :

Pour les conducteurs : ~j = ρe− .~ve− = −e.ne− .~ve−(ne− se calcule à l’aide de la connaissance des atomes.)

Pour les électrolytes, type NaCl : ~j = ρNa+ .~vNa+ + ρCl− .~vCl−



Il est possible de trouver une expression de ~j le vecteur densité de courant en fonction dumouvement des charges (le flux de charges).

La charge δQ échangées à travers une section S orientée pendant dt est :

δQ = (


δQ =∑

i chargées

ρi .~vi .dt.d~S

où ρi = qi .ni désigne la quantité de charge i par unité de volume (en C .m−3) et ni le nombre de

charges par unité de volume (en m−3).

Expression du vecteur densité de courant.

~j =∑

i chargées

ρi .~vi =∑

i chargées

qi .ni .~vi

Exemple :Pour les conducteurs : ~j = ρe− .~ve− = −e.ne− .~ve−(ne− se calcule à l’aide de la connaissance des atomes.)

Pour les électrolytes, type NaCl : ~j = ρNa+ .~vNa+ + ρCl− .~vCl−


Conservation de la charge. Etude des conducteurs ohmiques.

Plan







Pour les conducteurs, il est enfin possible de relier la cause : le champ électrique ~E , à laconséquence, l’apparition du courant électrique.

Loi d’Ohm locale.

Les conducteurs sont caractérisés par une conductivité σ (ou γ) et obéissent à la loi d’Ohm locale

~j = σ~E



Pour les conducteurs, il est aussi possible de réaliser un modèle simplifié de la conduction : lemodèle de Drude.Considérons un électron du métal soumis à un champ extérieur ~E .Cet électron est soumis à la force de coulomb −e.~ENéanmoins pour qu’il existe un régime permanent, il faut prendre en compte l’existence d’uneforce type frottement fluide (appelée force de Drude) −α.~ve− .Cette force modélise les ”chocs” entre les électrons de conduction et les défauts du cristal.(Un cristal parfait donc à 0◦K a une conductivité infinie.)Le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel galiléen donne en régime permanent :

md~v

e−dt

= ~0 = −e.~E − α.~ve−d’où l’électon du métal en régime permanent a une vitesse ~ve− = −

eα.~E

Finalement ~j = ρe− .~ve− = −e.ne− .~ve− = ne−e2

α.~E

En identifiant avec la loi d’Ohm locale ~j = σ~E .

la conductivité σ = ne−e2

αInterprétation :La conductivité est essentiellement lié aux défauts du cristal.Toutes les charges contribuent au passage du courant dans le même sens.


Conservation de la charge. Equation de conservation de la charge.

Plan







Conservation de la charge.

L’équation de conservation de la charge est

div(~j) +∂ρ

∂t= 0

Démonstration unidimensionnelle :

Considérons un tube unidimensionnel d’axe Ox, de section S.Isolons une tranche dx de ce tube et appliquons la conservation de la charge pendant une duréedt.

d2Q = δ2Qéchangées(+δ2Qcréées)

d2Q = dV (ρ(t + dt)− ρ(t)) = dSdx∂ρ

∂tdt

δ2Qéchangées = δ2Qentrant − δ2Qsortant = jx (x).dS .dt − jx (x + dx).dS .dt

∂jx

∂x+∂ρ

∂t= 0





div(~j) +∂ρ

∂t= 0

Démonstration unidimensionnelle :Considérons un tube unidimensionnel d’axe Ox, de section S.Isolons une tranche dx de ce tube et appliquons la conservation de la charge pendant une duréedt.

d2Q = δ2Qéchangées(+δ2Qcréées)

d2Q = dV (ρ(t + dt)− ρ(t)) = dSdx∂ρ

∂tdt

δ2Qéchangées = δ2Qentrant − δ2Qsortant = jx (x).dS .dt − jx (x + dx).dS .dt

∂jx

∂x+∂ρ

∂t= 0





div(~j) +∂ρ

∂t= 0

Démonstration tridimensionnelle générale :

Considérons un volume V délimité par une surface S.La surface est orientée par la normale sortante.Apliquons la conservation de la matière pendant une durée dt

dQ = δQéchangées(+δQcréées)

dQ =

∫∫∫V∈S

(ρ(t + dt)− ρ(t))dV =∫∫∫

V∈SdV

∂ρ

∂tdt

δQ = −∫∫

S fermée

~j .d~S .dt = −∫∫∫

V∈Sdiv(~j).dVdt

(Le signe ”-” vient que le flux est positif s’il est sortant car la normale est sortante.)Puis en prenant pour volume V, un volume infinitésimal :

div(~j) +∂ρ

∂t= 0





div(~j) +∂ρ

∂t= 0

Démonstration tridimensionnelle générale :Considérons un volume V délimité par une surface S.La surface est orientée par la normale sortante.Apliquons la conservation de la matière pendant une durée dt

dQ = δQéchangées(+δQcréées)

dQ =

∫∫∫V∈S

(ρ(t + dt)− ρ(t))dV =∫∫∫

V∈SdV

∂ρ

∂tdt

δQ = −∫∫

S fermée

~j .d~S .dt = −∫∫∫

V∈Sdiv(~j).dVdt

(Le signe ”-” vient que le flux est positif s’il est sortant car la normale est sortante.)Puis en prenant pour volume V, un volume infinitésimal :

div(~j) +∂ρ

∂t= 0


Equations de Maxwell et Force de Lorentz. Les postulats de Maxwell et de Lorentz.

Plan


2 Equations de Maxwell et Force de Lorentz.Les postulats de Maxwell et de Lorentz.Forme intégrale des 4 équations de Maxwell.Electrostatique et magnétostatique.Conditions aux limites.





Les équations de Maxwell.

Une distribution volumique D de charge ρ(P, t) et de courant ~j(P, t) (P ∈ D) créent un champélectromagnétique (~E(M, t); ~B(M, t)) données par les équations de Maxwell :

div−→E =

ρ

�0

−→rot−→E = −

∂−→B

∂t

div−→B = 0

−→rot−→B = µ0

−→j + µ0�0

∂−→E

∂t

Force de Lorentz.

Ce champ électromagnétique (~E(M, t); ~B(M, t)) exerce sur une particule en M0, de charge qanimée d’une vitesse ~v une force appelé force de Lorentz

−→F = q

−→E (M0, t) + q

−→v ∧−→B (M0, t)



1 La donnée des équations de Maxwell et des conditions initiales et aux limites permettent dedéterminer de manière univoque le champ électromagnétique.

2 Les équations de Maxwell sont compatibles entre entre elles.

3 Les équations de Maxwell sont compatibles avec l’équation de conservation de la charge


Equations de Maxwell et Force de Lorentz. Forme intégrale des 4 équations de Maxwell.

Plan







L’équation de Maxwell Gauss :

div−→E =

ρ

�0

donne avec le théorème de Stokes Ostrogradski∮∮Σ

−→E .d−→S =

Qint

�0

Théorème de Gauss.

Le flux du champ électrique à travers une surface fermé est égal à la charge intérieure à cettesurface divisée par la permittivité du vide �0∮∮

Σ

−→E .d−→S =

Qint

�0



L’équation de Maxwell Flux

div−→B = 0

donne avec le théorème de Stokes Ostrogradski∮∮Σ

−→B .d−→S = 0

Conservation du flux magnétique.

Le flux du champ magnétique se conserve sur un tube de champ.

Conséquence :Le champ magnétique est plus intense dans les zones où les lignes de champs sont plus resserrés.



L’équation de Maxwell Farafay

−→rot−→E = −

∂−→B

∂t

donne avec le théorème de Stokes

e = −dΦB

dtavec la force électromotrice e =

∮C

−→E .d−→l et le flux de

−→E ΦE =

∫∫S∈C

−→B .d−→S

La loi de Faraday et loi de Lenz.

La force électromotrice est l’opposée de la variation temporelle du flux de du champ magnétique.

e = −dΦB

dtavec la force électromotrice e =

∮C

−→E .d−→l et le flux de

−→E ΦE =

∫∫S∈C

−→B .d−→S

Le signe négatif traduit la loi de modération de Lenz :Le phénomène tend par ses conséquences à s’opposer à la cause qui lui donne naissance.



L’équation de Maxwell Ampère

−→rot−→B = µ0

−→j + µ0�0

∂−→E

∂t

donne avec le théorème de Stokes∮C

−→B .d−→l = µ0iC + µ0

∫∫S∈C (�0

d~Edt

).d−→S = µ0iC + µ0�0

dΦEdt

Théorème d’ampère généralisé.

La circulation du champ magnétique le long d’un contour fermé est égale au courant enlacé par le

contour multiplié par la perméabilité du vide µ0 plus le courant de déplacement �0d~Edt

multipliépar la perméabilité du vide µ0∮C

−→B .d−→l = µ0iC + µ0

∫∫S∈C (�0

d~Edt

).d−→S



div−→E =

ρ

�0⇒

∮∮Σ

−→E .d−→S =

Qint

�0

−→rot−→E = −

∂−→B

∂t⇒

∮C

−→E .d−→l = −

d

dt

∫∫Sc

−→B .d−→S

div−→B = 0⇒

∮∮Σ

−→B .d−→S = 0

−→rot−→B = µ0

−→j + µ0�0

∂−→E

∂t⇒

∮C

−→B .d−→l = µ0iC + µ0�0

d

dt

∫∫Sc

−→E .d−→S


Equations de Maxwell et Force de Lorentz. Electrostatique et magnétostatique.

Plan






Equations de Maxwell et Force de Lorentz. Electrostatique et magnétostatique.

Dans le cas d’un régime stationnaire (indépendant du temps), les équations de Maxwelldeviennent

div−→E =

ρ

�0

−→rot−→E = 0

div−→B = 0

−→rot−→B = µ0

−→j

En régime stationnaire, les équations de Maxwell ne sont plus couplées.Un champ électrique ne crée plus de champ magnétique et réciproquement.Il est donc possible d’étudier séparément les deux champs, nommés alors électrostatique etmagnétostatique. Cf. chapitre suivant.


Equations de Maxwell et Force de Lorentz. Conditions aux limites.

Plan






Equations de Maxwell et Force de Lorentz. Conditions aux limites.

Intéressons nous à l’interface entre deux milieux 1 et 2. Cette interface est susceptible de porterune charge surfacique σ ainsi qu’un courant surfacique ~jS .

L’intégration des équations de Maxwell entre deux points très proches de l’interface, un point M1du milieu 1 et un point M2 du milieu 2, conduit aux relations suivantes :

div~E = ρ�0

donne ~E2n − ~E1n = σ�0~n1→2div~B = 0 donne ~B2n − ~B1n = ~0−→rot ~E = − ∂~B

∂tdonne ~E2t − ~E1t = ~0

−→rot ~B = µ0~j + µ0�0

∂~E∂t

donne ~B2t − ~B1t = µ0~jS ∧ ~n1→2

Ces équations se résument en deux équations, qui pour un point M1 du milieu 1 et un point M2du milieu 2, voisins de l’interface :

Relations de passage pour les Conditions aux Limites.

~E2 − ~E1 =σ

�0~n1→2 (1)

~B2 − ~B1 = µ0~jS ∧ ~n1→2 (2)


Etude énergétique des champs électromagnétiques. Puissance fournie par le champ à des porteurs de charges.

Plan



3 Etude énergétique des champs électromagnétiques.Puissance fournie par le champ à des porteurs de charges.Equation de conservation de l’énergie.



Etude énergétique des champs électromagnétiques. Puissance fournie par le champ à des porteurs de charges.

Puissance fournie par le champ électromagnétique aux porteurs de charges.

dP

dτ=−→j .−→E

application au cas des conducteurs ohmiques :

−→j = σ

−→E

dP

dτ= σE2 =

1

σj2 = ρj2

Le champ cède toujours de l’énergie aux porteurs de charge dans les conducteurs ohmiques. Cetteénergie est par la suite transformé en chaleur : effet Joule.


Etude énergétique des champs électromagnétiques. Equation de conservation de l’énergie.

Plan







Vecteur de Poynting

Le vecteur de Poynting du champ électromagnétique ou vecteur densité de flux d’énergieélectromagnétique est :

~Π =~E ∧ ~Bµ0

La puissance électromagnétique transportée à travers une surface S est le flux du vecteur dePoynting à travers cette surface :

P(S) =

∫∫S

~Π.d~S

Energie électromagnétique

L’énergie volumique ou densité volumique d’énergie associée au champ électromagnétique est :

ue m =�0E2

2+

B2

2µ0

L’énergie électromagnétique dans le volume V est :

Ue m(t) =

∫∫∫P∈V

ue m(P, t)dτ(P)



Equation locale de conservation de l’énergie électromagnétique.

L’équation énergétique locale en électromagnétisme s’écrit :

div(~Π) +∂ue m

∂t= −~j .~E

Ce qui s’interprète en disant que les variations d’énergie électromagnétiques sont dues :

1 soit à la propagation de l’onde électromagnétique, donc aux flux du vecteur de Poynting

2 soit à l’absorption par les porteurs de charge du milieu.

(Cette équation se démontre à partir des équations de Maxwell et l’analyse vectorielle mais l’idéesous jacante de conservation de l’energie est elle très naturelle).

Equation globale de conservation de l’énergie électromagnétique.

La forme intégrée de ce bilan énergétique est (avec le théorème d’Ostrogradski) :∫∫S

~Π.d~S +d

dtUe m = −

∫∫∫~j .~Edτ


Potentiel et potentiel vecteur des champs électromagnétiques. Définition des potentiels.

Plan




4 Potentiel et potentiel vecteur des champs électromagnétiques.Définition des potentiels.Application : retour sur la loi d’Ohm.



Potentiel vecteur associé au champ magnétique.

div~B = 0

donc il existe un potentiel vecteur−→A tel que

−→B =

−→rot−→A

Dans l’équation de Maxwell Faraday :

−→rot (−→E +

∂−→A

∂t) =−→0

Potentiel associé au champ électrique.

il existe un potentiel V tel que−→E = −

−→grad V − ∂

−→A∂t



Potentielq associéq au champ électromagnétique.

il existe un potentiel vecteur−→A tel que

−→B =

−→rot−→A

il existe un potentiel V tel que−→E = −

−→grad V − ∂

−→A∂t

Remarque :Les potentiels ainsi déterminés ne sont pas uniques. Il faut imposer ”arbitrairement” une relationsupplémentaire entre les potentiels pour les déterminer de manière unique : cette relation est

appelée condition de Jauge.−→A ∗ =

−→A+

−→grad f et V ∗ = V − ∂f

∂tdétermine le même champ

électrique que−→A et V

Exemple de condition de Jauge :

div~A + µ0�0∂V

∂t= 0

Remarque 2 :Les potentiels sont continus à la traversée d’une interface portant des charges surfaciques et descourants surfaciques.


Potentiel et potentiel vecteur des champs électromagnétiques. Application : retour sur la loi d’Ohm.

Plan







Prenons le cas d’un conducteur ohmique en régime stationnaire.Faisons le lien entre la loi d’Ohm locale et la loi d’Ohm générale.

Prenons un conducteur filiforme, de longueur L et de section S, parcourue par un courant ~j = j~uxuniforme.i =

∫∫~j .d~S = j .S

∆V = V1 − V2 = −∫ 2

1

−→grad V .d~l =

∫ 21~E .d~l = E .L

Puis en utilisant la loi d’Ohm locale j = σE∆V = 1

σLSi = ρ L

Si = R.i

Loi d’Ohm.

La loi d’Ohm locale ~j = σ.~E et la loi d’Ohm globale U = R.i sont donc deux formulations, l’unelocale l’autre globale d’un même principe physique.

U = ∆V =1

σ

L

Si = ρ

L

Si = R.i








Conservation de la charge.Le courant électrique.Etude des conducteurs ohmiques.Equation de conservation de la charge.

Equations de Maxwell et Force de Lorentz.Les postulats de Maxwell et de Lorentz.Forme intégrale des 4 équations de Maxwell.Electrostatique et magnétostatique.Conditions aux limites.

Etude énergétique des champs électromagnétiques.Puissance fournie par le champ à des porteurs de charges.Equation de conservation de l'énergie.

Potentiel et potentiel vecteur des champs électromagnétiques.Définition des potentiels.Application: retour sur la loi d'Ohm.

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