C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Sbrie II b, p. 41-46, 2000 Mkanique des fluideslfluid mechanics

electrophorbe d’une particule allongee sous I’action d’un champ Clectrostatique axisymktrique Antoine SELLIER

kcole polytechnique Ladhyx, 911128 Palaiseau cedex France

Courriel : ladhyx@ladhyx.polytechnique.fr

(ReGu le 13 juillet 1999, accept6 le 2 novembre 1999)

R&urn& On approxime asymptotiquement (en fonction de son petit parambtre d’klancement) le mouvement d’une particule allongCe, de potentiel << zeta >> arbitraire, sous l’action d’un champ Clectrique axisymktrique (par rapport & la direction principale de la particule) quelconque. Contrairement k la littkrature existante, 1’Ctude n’est pas restreinte au cas d’une particule k sections circulaires de potentiels Q zeta D constants. 0 2000 AcadCmie des science&ditions scientifiques et mCdicales Elsevier SAS

Particule elan&e / Clectrophorese / &coulement de Stokes

Electrophoretic motion of a slender particle embedded in an

axisymmetric electric field

Abstract. We consider a slender particle of straight centre-line (the line to which it collapses as its slenderness ratio E vanishes) and of possibly non-uniform zeta potential. The body, not necessarily of circular cross-section, is embedded in a given electric field of revolution about the centre-line. Under those assumptions, this work asymptotically approximates, with respect to E, the electrophoretic motion of the particle. 0 2000 Acade’mie des sciences/l?ditions scientifiques et midicales Elsevier SAS

Slender particle / Electrophoresis /Stokes flow

Abridged English Version

We consider a straight and slender particle 9 whose smooth boundary S admits ends 0 and E with OE = L.e3 (see figure I). If r’ denotes the distance to the ( 0, e3) axis, the small slenderness ratio E obeys LE = e := Max, E S [r’] and, in dimensionless cylindrical coordinates ( r, 0, x3 ) such that r’ = er and OM.e3 = Lx3, the equation of S reads r = f( 0, x3 ) where the smooth enough function f2 vanishes for x3( 1 - x3 ) = 0 and atfz= 13flav for v E { 0, x3}. The solid 9, of zeta potential c, is embedded in an unbounded electrolyte of viscosity ~1 and constant permittivity E,. Hence, under the action of an external electric field E,, it experiences a rigid-body motion described by the velocity

Note prbsent6e par Paul GERMAIN.

1287-4620/00/0328041 0 2000 Acad&mie des scienceskditions scientifiques et mkdicales Elsevier SAS. Tous droits r&erv& 41

A. Sellier

U of 0 and the angular velocity w. If E, and c are uniform, the Smoluchowski’s formula ( U, w ) = ( E, I-EN /,u, 0) holds [l-3]. This Note approximates, with respect to E, the solution ( U, w ) for the more tricky case of non-uniform zeta potential { and axisymmetric field E,. Contrary to available results 143, the particle does not need to be of circular cross-section.

Henceforth, indices i or j belong to f I, 23 1 while I E f 1,2) and the usual summation convention is used. ff S is nonconducting and admits a typical radius of curvature R, very large compared to the Debye-Htickel screening length K- ’ 15-61, the fluid velocity u, the fluid pressure p and the perturbation electrostatic potential r$ satisfy (2.1)-(2.2), where n denotes the outer unit normal vector, and the boundary condition (2.3) (see [7]). By virtue of the reciprocal theorem [S], the requirement of zero net hy~ody~amic force and torque on B yields therefore the governing system f2.4)-(2.6) for U = Ii;- ej and o = e+ ej if og’ .n or o$‘-n denote the hy~~yn~ic surface stresses acting on S for fluid motions obeying (2.1) with ud = e, or ud = ej /2 0Ril respectively. The solution (U, o) of (2.4)(2.5) . is unique [9] and (see (2.6)) its approximation rests on the asymptotic expansion of vectors E, - V$, ap).nand oci) R .n on S. For E, axisymmetric and of typical magnitude E near 9, one obtains E, = EL V[ w( l * ?, x3 )] with a smooth enough function yr (see [lo]). Accordingly [ll], the term V#.e, is small on S as compared to E,.e, and equalities (3.1) hold with I!!:~ p = ~~~~~~. With de~nitions (2.7), f3.2), t8-f” = tg>.ej and tgj = tg).ej it follows [12] that fso tSk(Tk3) = U( E/log E ) fsa tylJ = O( e/log f ) fs() tp2 = O( E ), fS[, 4fjk) = 0’ l/lo

fs t (k = 0( l/log E) and also that fiO ti’i = 0( E ), ) ( g e ).Moreovery ii’the operator K”J and the function u. obey (3.3) in

any dimensionless cross-section C( x, ) = { P( r, B, x, ) ; T- = f( 0, x3 )} with dl, =fi, de, and rpM = P~/e, then (3.4)-(3.6) hold @ indicating the Hadamard’s finite-part [13]). Provided that 5, iJ;, I&+ and ewg are made dimensionless by the average f of [ on S and &he velocity E, <E/p, it is possible to cast (2.4)-(2.5) into the form (3.7) with 8nLa = Ks, log E, 8nL2 EC = C,, log E, 8ntEb = T (3) < [(Eos - V@) > log E and (3.8)-(3.9). Cramer’s rule yields the asymptotic solution (3.10) with E, := E: log E for c # 0, else E , := E (for instance c vanishes as soon as .P admits a plane of symmetry [9]).

For i and E, = es uniform, (3.10) reads Us = 1 i- O( E ) and this agrees with the Smoluchowski’s velocity U,, = 1, For other cases, Vs - tjsS may be large. Indeed, (3.5) shows that (4.1) holds and for

s

1

(’ ~3: <(x3 ) the term Us, becomes c( x3 ) a:,~( 0, us ) dx, and may vanish (for instance, take for

[(lys ) a&v/( 0, xj ) an odd function if x3 - l/2). In the case of a particle of elliptical cross sections (such that (4.2) holds on S) with [ = c( pa, X, ), if 9 denotes the elliptical angle ( tan B = q tan p ), then cs and ~4s obey (4.3) and, therefore Us0 is given by (4.4). Finalfy? one can easily derive the improved estimate (4.5) for a slender ellipsoid (take A’(+ ) = 4n3( 1 - x3 )),

L’electrophorese (voir la rubrique suivante) &die le mouvement ( U, o ) dune particule solide, de potentiel << zeta )> c, sous l’action d’un champ Blcctrique imposd E,. Pour [ et E, uniformes, la solution de Smoluchowski ( U, o ) = ( E, m, /,u, 0 ) s’applique [l-3]. Pour certaines applications oh la particule est allongee (argile par exemple) et EW ou [ ne sont pas a priori uniformes, estimer asymptotiquement ( U, a ) rev& un reel inter& 141. Cette note presente, dans le cas simplifie de E, axisymetrique (voir ci-apres) et c quefconques, une methode g&r&ale approximant ( U, o ) pour une particule allongee arbitraire (pas necessairement a sections circulaires oti [ est uniforme, comme suppose dans [4]).

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flectrophorbe d’une particule allongCe sous I’action d’un champ electrostatique axisymetrique

2. Le systkme A rksoudre et les hypothbes de travail

Soit une particule solide (ouvert connexe 9 de frontibre S ; voir Jigure I) plongee dans un electrolyte, de viscosite p et de permittivite dielectrique E,, occupant le domaine infini Q = lw3 W. Par interaction avec l’electrolyte, S acquiert une distribution de charges et de <( z&a >> potentiel 5 et une pellicule d’ions, d’epaisseur d’ordre de la longueur K-I de Debye-HSckel, enveloppe 9 [5]. Sous l’action d’un champ Clectrostatique E,, la particule admet un mouvement d&it par la vitesse U de l’un de ses points 0 et sa vitesse de rotation o. Pour S non conductrice et de rayon de courbure typique R + K- ’ [6], le potentiel Clectrostatique de perturbation @, la vitesse u et la pression p de l’electrolyte Newtonien verifient

V2@=OdansQ; V@+OsiOM+=; Vc$.n=E,.nsurS (2.1)

pV2u=Vp,V.u=OdansD; (u,p) + (O,O)siOM+m; u = ud sur s

oti n designe la normale sortante a S et ud est lice a (U, CD) et (E,, V@ ) par [7] :

(2.2)

&i(M) = u + 0 A OM - E, C(M) [E, - V@] (M)/p (2.3)

Le couple ( U, w ) est alors obtenu en exigeant la nullite du torseur des efforts hydrodynamiques exerces par l’ecoulement ( u, p ) sur 9. En notant, pour i E { 1,2,3}, ap’ et og’ les tenseurs des contmintes associes aux six ecoulements particuliers regis par (2.1) respectivement pour ud = e, et ud = ei A OM, l’usage du thCor&me de reciprocite mene au systeme [8]

ou la convention de sommation d’Einstein est adoptee (U = Vj ej, o = Wj ej) et :

g(i) <a>:=- s

a.op).n dS ; ,uR(‘) < a > := - s

a.ap).n dS (2.6) s S

Ici, nous cherchons l’unique solution IIS] de (2.4)-(2.5) pour une particule allongee (voir jigure 1) d’extr&nitCs 0 et E telle que si L = OE, e3 = OEIL et r’ est la distance de M 8 l’axe ( 0, e3 ) alors e:=Max,.,[r’]=ELotiO<~d 1.

Figure 1. La particule allongte et nos notations.

Figure 1. The slender particle and our notations.

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A. Sellier

Four f = re et QM.e, = I&, nous supposons aussi que S admet en coordonnkes cylindriques adimensionnCes ( r, 8, x3 ) 1’6quatian I- =f( 0, xJ ) oh f” est diff&entiable et s’annule awe x3( 1 - x3 ). Si aif= dflav pour v E { 8, x3} et a est reel, notons enfin que

Selon (2.4)-(2.7), X’approximation du couple ( U, o) en fonction du petit param&e E passe par celle des vecteurs E, - V@,, op).n et @g’ .n sur S. La rubrique suivante dhtaille ce travail.

Si E, = -Vt$, d e norme typique E est B sym&rie de r&olution autour de ( 0, e3 > alors [lo], au voisinage de 9, $I=( M) = - ELyx( e2 3, x3 ) oti la fonction diffhentiable v/ et ses d6rivCes sont de I’ordre de l’unit6 au voisinage de [ 0, E] x [ 0, 13. Si ai3v/ := &,u/&x,, nous pouvons n6gliger V$.e, devant E,.e, sur S [ I1 f et nous obtenons les estimations

E,.ej=E(8i3 ~(O,X~)+~(E~)}; (E,-V@).el=EO(e)siIE {X,2} (3.1)

D’aprks (2.6)-(2.7), il reste B estimer asymptotiquement les vecteurs t, fi) = &j ej et tf) = tg) ej &finis , sur S par les relations fvoir (2.7))

87~p&, t$!) = efs, op).n ; 87c,uLfi, ty) = efs, crk).n (3.2)

Pour k et I appartenant B { 1,2j, 1 es r&ultats Ctablis dam [ 121 foumissent d’une part f% t&f4 = 0( dog E )- fso tS;“i = c>( E/log E ), d’autre $30 t);“j = U(E)

fso c$:/ = U( l/log E f, part fsO tkf$ = O( E ), I fsn tR f - ‘f’-U(lilog~). Enfin, si C(x3)=(P(r,8,x3);f.=f(0,~~)) dksigne Ie

contour (ad~mensionn~ par e) de la section de B d’ordon&e I+ et l’opkrateu RX? et fa fonction a0 obkissent aux dkfinition et Cquation intkgrales suivantes

klr3ftt] = 9; u(P) dl,; # t&P)log frPM] dl,=-l surS %) ctx,i

et avec dl, = fso d0, et r,, = PM/e nous obtenons &galement les camportements

(3.3)

C& les fonctions $ satisfont fsO tn = 0( 1) et, pour m 2 1,

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klectrophor&se d’une particule allong6e sous I’action d’un champ Clectrostatique axisymktrique

sifp designe la partie finie au sens d’Hadamard [ 131, c3 = id et enfin TE = Tz --’ oTx3 si m 2 1. En adimensionnant [ par sa moyenne 4 sur S et les vitesses Ui, em3 et IQ par E, [E/p les comporte- ments et definitions precedents permettent alors de t-C&ire le systeme (2.4)-(2.5) sous la forme

‘O(1) O(1) O(E) O(1) O(1) o(l)-- u, - -O(E)-

O(l) O(l) O(E) O(l) O(l) O(l) u, O(E)

O(E) O(E) a O(E) O(E) c u3 b

O(1) O(1) O(E) O(1) O(1) O(1) ZkIr = O(E) (3.7)

O(1) O(l) O(E) O(l) O(l) O(1) Lo2 O(E)

-O(l) O(l) c O(1) O(1) O(1) em3 O(E)-

oti 87~L.42 = K33 log E, 8nL2 EC = C3, log E et 8nzEb = Tc3) < [(E, - V@ ) > loge, a savoir

1

a=??loga+O(e); b=Tloge+O(e); c=&loge+O(e), := s

K”3[4,] dx3 (3.8) 0

Une application soignee de la regle de Ckarner foumit alors la solution asymptotique cherchee

-- U,=T/K+O(c); ew3=O(El); Lq=O(q); U,=O(E~); 1~ {1,2}

ou l 1 = doge si 2 f 0 et e1 = E sinon (par exemple, d&s que 9 admet un plan de symetrie C,, et done c sont nuls [9]). Ainsi, l’approximation de (U, o) requiert seulement la trace de E,.e, sur le segment O’E’ et l’obtention, dans toute section C( x3 ), de u. via (3.3).

4. Commentaires immbdiats et applications

Pour < et E, = e3 uniformes, la solution U3 = 1 + O(E) predite par (3.8)-(3.10) est compatible avec le resultat U3, = 1 de Smoluchowski [l]. Pour [ ou une trace de E,.e, sur O’E’ non unifor- me(s), l’ecart a la solution U,, peut toutefois Ctre considerable. En effet, (3.5) montre que KX3[tl] = l/4 et l’approximation (3.10) de U3 s’bcrit aussi

U3=U3,+0(1n0gE); ho= s

' ai v(O,n,) Kx3[~~01~co(~3) h3 (4.1) 0

1

Ainsi, pour c = [(x3 ) le terme dominant U,, = s

[(x3 ) LJ~~I,.Y( 0, x3 ) dx3 ne depend pas de la forme

de la particule et peut m6me s’annuler (par exemple, pour une fonction [(x3 ) ai3w( 0, x3 ) impaire

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A. Seilier

de x3 - 112). Si c = [( 8, x3 ) il faut determiner la solution ZQ de (3.3) dans toute section C( X, ). A titre d’exemple, considtrons une particule allot&e 9 de sections elliptiques homothetiques telle que, pour M E S,

xy+.+q2=h2(x3); ex, = OM.ez, t E { 1,2) (4.2)

ou 0 < q = 0( 1) et la fonction h2, reguliere, s’annule avec xg( 1 - x3). Dans un tel cas [ 121

(4.3)

et, en designant par q l’angle elliptique (tel que tan 0 = v tan v),

Ainsi, si <(~+PT,x,)=-[(0,x,) p our x3 E IO, 1 [ alors Us = O( l/log E) pour tout champ E, axisymetique.

Enfin, notons que pour un ellipsoide allonge (choisir h*( x, ) = 4x3( 1 - x3 )) les r&mats (3.5)-(3.6) et (3.9)-(3.10) conduisent a une extension de (4.1). En effet, dans ce cas (4.3) montre que

T$J =-$-log [VI, u,=u,,+O(E) (4.5)

oti U,, conserve sa definition (4.1). La for-me (4.5) de U, reste en fait valable pour toute particule allongee & sections homoth~tiqu~s telle que f( 8, x3 ) = h( x3 ) g( 8 ) avec h”( x3 ) = 4x3( 1 - x3 ) (settle la valeur, constante, de TX3 [ 1 ] changeant dans (4.5)).

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