Eléments de géométrieEléments de géométrieTracé de la médiatrice

1. Tracer un cercle de centre A et de rayon R quelconque tel que R >

2. Tracer le cercle de centre B et même rayon R. Il coupe le cercle précédent en deux points M et N qui appartiennent à la

médiatrice de [AB] car ils sont équidistants de A et B.

En effet, on a bien AM = AN = BM = BN = R

Tracé de la bissectrice de l'angle xOy

1. Tracer un cercle de centre O et de rayon quelconque R. Il coupe les demi-droites [Ox) et [Oy) respectivement en M et N

2. Tracer des cercles de centre M et N de même rayon. Ils se coupent au point I.

3. La droite (OI) est la bissectrice de l'angle rentrant xOy ou de l'angle saillant xOy.

Tracé de la parallèle à une droite donnée passant par un point donné

1. Placer sur la droite D deux points distincts M et N

2. Tracer le cercle de centre N et de rayon [AM]

3. Tracer le centre de centre A et de rayon [MN]

4. Les deux cercles se coupent en P. On a alors AM = NP et MN = AP

5. Comme le quadrilatère AMNP a des côtés égaux deux à deux, c'est donc un parallélogramme. La droite (AP) est parallèle à la

droite (MN)

Tracé de la perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné, A appartenant ou pas à la droite (d)

1. Placer un point M sur (d)

2. Tracer le cercle de centre A et de rayon [AM]. Il coupe la droite (d) au point N

Comme AM = AN, alors le point A appartient à la médiatrice du segment [MN]

3. Tracer la médiatrice de [MN]

Pour cela, tracer un cercle de centre M et de rayon quelconque R (R > ) et un cercle de centre N et de même rayon R.

Ces deux cercles se coupent en I et en J. La droite (IJ) est la médiatrice de [MN]

4. (IJ) est la perpendiculaire à la droite (d) passant par A

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AB2

MN2

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Tracé de la tangente à un cercle en un point du cercle

1. Tracer le cercle de centre A et de rayon [OA]

Il coupe la droite (OA) en B

2. Tracer la médiatrice du segment [OB]

Cette médiatrice n'est autre que la tangente (T) en A du cercle

3. (T) perpendiculaire à (OA) et (T) passe par le point A, milieu de [OB]

Tracé de la tangente à un cercle passant par un point donné n'appartenant pas au cercle

1. Tracer le cercle de diamètre [OA]

Il coupe le cercle de centre O en deux points B et C

2. Tracer les tangentes (AB) et (AC)

Tracé d'un cercle de centre O tangent à une droite (d)

1. Placer un point M sur (d) puis tracer le cercle de centre O et de rayon [OM]

Il coupe la droite (d) en M'

2. Tracer la médiatrice de [MM']. Elle passe par le point O car OM = OM'

La médiatrice de [MM'] coupe la droite (d) en A, point de tangence.

3. Tracer le cercle de centre O et de rayon [OA]

Cercle de Thalès

On appelle cercle de Thalès, le cercle dont le diamètre est l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Méthode du cercle pour t racer un segment de longueur √ 15 cm

1. Exprimer 15 comme la différence de deux carrés parfaits :

15 = 16 – 1 16 = 15 + 1 4² = (√15)² + 1²

2. La dernière relation est une relation de Pythagore. En utilisant la propriété du cercle de Thalès, construire le cercle de

Thalès de diamètre 4 cm puis le triangle rectangle.

3. L'hypoténuse mesure 4 cm et les deux autres côtés mesurent 1 et √15 cm respectivement.

L'escargot de Pythagore

1. Tracer deux segments perpendiculaires de longueur 1 cm

2. D'après le théorème de Pythagore on a : 1² + 1² = 2 = (√2)²

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Théorème de la droite des milieux

Si ABC est un triangle

M est le milieu de [AB]

N est le milieu de [AC]

Alors (MN) et (BC) sont parallèles et MN =

Réciproque du théorème de la droite des milieux

Si ABC est un triangle

M est le milieu de [AB]

N є [AC] et (MN) et (BC) sont parallèles

Alors N est le milieu de [AC]

Théorème de Thalès

Si ABC et ADE sont des triangles

Les points A,D,B et A,E,C sont alignés dans le même ordre et distincts

(ou Les points D,A,B et E,A,C sont alignés dans le même ordre et distincts)

Les droites (DE) et (BC) sont parallèles

Alors on a : = =

Réciproque du théorème de Thalès

Si les points A,D,B et A,E,C sont alignés dans le même ordre et distincts

(ou si les points D,A,B et E,A,C sont alignés dans le même ordre et distincts)

et si =

Alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles

Théorème de Pythagore

Si ABC est un triangle rectangle en A

Alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés

Réciproque du théorème de Pythagore

Si les longueurs des côtés d'un triangle ABC vérifient l'égalité

BC² = AB² + AC

Alors ABC est un triangle rectangle en A

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BC2

ADAB

AEAC

DEBC

ADAB

AEAC

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