Eléments de Mécanique des

1

Eléments de Mécanique des Fluides

.be

ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)

http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

• Etude de la conservation d’une grandeur sur un volume de contrôle

• Enoncé des deux premiers principes de conservation

Objectifs de la séance

.be

• Enoncé des deux premiers principes de conservation– Conservation de la masse

– Conservation de la quantité de mouvement

• Bernoulli selon une ligne de courant– Etablissement du principe


http://w

ww.hach.ulg.ac. – Exemples d’applications

2

3Notations vectorielles et indicielles

1

2 i

u u

U u v u

x

y

p

xp

py

.be

3u w

y

z

y

p

z

iuu v wU divU


http://w

ww.hach.ulg.ac.

ix y z x

« La divergence est égale au flux net s’écoulant, par unité de temps et de volume, vers l’extérieur d’un élément de volume dont la mesure tend vers zéro » (Analyse mathématique p. 303)

4

Notations vectorielles et indicielles

u u

produit dyadiqu

2

e

2

2

u uv uwu

v u v w uv v vw

w

UU U

u

U

w vw w

.be

w v

i j ky z

u wU U rotU

z x x y z

i j

j

u uU U

xU U U U


http://w

ww.hach.ulg.ac. z x x y z

v u u v wx y

2 2 2 22

2 2 2 2ix y y x

3

5

• Cours d’Algèbre p.140 et suivantes (E. Delhez)

« …on peut définir des objets mathématiques par leurs coordonnées et étudier le comportement de ces objets lorsque l’on modifie le système de coordonnées Certains

Notion de tenseur.be

lorsque l on modifie le système de coordonnées. Certains de ces objets peuvent se révéler avoir une existence propre indépendante de la base qui a servi à les définir, on les appellera des tenseurs, et d’autres pas. Selon cette terminologie, les scalaires, les vecteurs et les applications linéaires sont des tenseurs, respectivement d’ordre zéro, un et deux.


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ww.hach.ulg.ac.

,

Il va de soi que toutes les grandeurs physiques doivent être définies mathématiquement come des tenseurs sans quoi leurs valeurs changeraient selon le repère utilisé.

… »

6

Vitesse Eulérienne

• Vitesse des particules qui

passent au point donné = (x,y,z).

P fi é i

RAPPEL: Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne

z

Particule fluide

X

P0

Px

.be

• Pour t fixé, on associe un

vecteur vitesse en chaque point de l’espace

Vitesse Lagrangienne

• Vitesse d’une particule

z

Particule

P0

x

,U U X t

x

U

0X


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ww.hach.ulg.ac.

V p

donnée le long de sa trajectoire.

• Pour t fixé, on associe un

vecteur vitesse à chaque particule. y

tX

x

fluide 0X

P

U

0

4

7 Trajectoires

RAPPEL: Notions cinématiques; Visions Eulérienne & Lagrangienne

dxu x t y t z t t

, , , , , , , , , , , , , ,U x y z t u x y z t v x y z t w x y z t

.be

Lignes de courant

, , ,

, , ,

, , ,

u x t y t z t tdtdy

v x t y t z t tdtdz

w x t y t z t tdt


http://w

ww.hach.ulg.ac. Lignes de courant

Trajectoires et lignes de courant s’identifient pour un écoulement stationnaire

, , , , , , , , ,fixe fixe fixe

dx dy dz

u x y z t v x y z t w x y z t

8

• Dérivée particulairePour une particule, définie par sa trajectoire x(t), y(t), z(t), la dérivée totale d’une propriété associée à cette particule permet de définir la dérivée particulaire

Notion mathématique

.be

Soit = (x,y,z,t):

D dx dy dzu v w

Dt t x dt y dt z dt t x y z


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ww.hach.ulg.ac.

5

Conservation d’une grandeur

.be

pour un volume particulaire


http://w

ww.hach.ulg.ac.

10

Conservation d’une grandeur pour un volume particulaire

t1

Solide non déformable en

mouvement

.be

t0t2

t0 t1

Fluide en mouvement


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ww.hach.ulg.ac. t0

t2Description en système ouvert

6

11Conservation d’une grandeur pour un volume particulaire

• Les principes fondamentaux de la mécanique des fluides s’appliquent à des particules (Lagrangien).

• On peut formuler une relation entre les équations appliquées à un système de

.be

particules (Lagrange) et les équations appliquées à un volume de contrôle quelconque (Euler) :

z


http://w

ww.hach.ulg.ac.

xy

temps t

Ligne continue : systèmeLigne pointillée : volume de contrôle

12


Soit V un volume quelconque enserrant un ensemble bien identifié de particules fluides

et une grandeur quelconque

V

ddV

dt

.be

z

I III

IV

Vdt


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ww.hach.ulg.ac.

Que devient l’ensemble de ces particules au cours du temps?

xy

temps ttemps t+t

II

7

13

• 1ère approche


zIV

.be

x

z

y

temps ttemps t+t

I

II

III


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ww.hach.ulg.ac.

14


syst ,t t syst ,tV t 0 t 0III IV I tt t

d 1 1dV lim lim dV dV dV

dt t t

.be

z

I III

IV


http://w

ww.hach.ulg.ac.

xy

temps ttemps t+t

II

8


syst ,t t syst ,t

III IV I tt t

dV dV dV

.be x

z

y

temps t

I

II

III

IV


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ww.hach.ulg.ac.

syst ,t t syst ,t

III IV I II IIt t t t tt t

dV dV dV dV dV

temps ttemps t+t

16


syst ,t t syst ,t

III IV I tt t

dV dV dV

IV

.be

x

z

y

temps t

I

temps t+t

II

III

IV


http://w

ww.hach.ulg.ac.

IVIII II I IIsyst ,t t syst ,t t t t t t t t

dVdV dV dV dV

t t t t

temps t+t

9


IVIII II I IIsyst ,t t syst,t t t t t t t t

dVdV dV dV dV

t t t t

.be

syst,t t syst ,t

t 0

dlim

t dt

Or

dV dV dV


http://w

ww.hach.ulg.ac.

III II It t t

t 0volume de contrôle figé

dV dV dVd

lim dVt dt

18


dV

IVIII II I IIsyst ,t t syst,t t t t t t t t

dVdV dV dV dV

t t t t

.be

Or

IV t tsortantt 0

Surface sortante

surface de contrôle du volume figé

II t tentrant

t 0Surface entrante

dV

lim Fluxt

U ndS

dV

lim Fluxt

dSFlux U n dS


http://w

ww.hach.ulg.ac.

UFlux sortant

in

n

dS

U

Flux entrantin

n

dS

III

II

dSFlux U n dS

10

19Principe de conservation d’une grandeur pour un volume particulaire

volume de contrôle figé surface d'échange

d ddV U ndS

dt dt

.be

z

I III

IV


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ww.hach.ulg.ac.

xy

temps ttemps t+t

II

20


• Le volume étant figé, l’évaluation de la dérivée totale sur une intégrale – dont le volume d’intégration est indépendant de t

– et dont l’intégrant ne dépend que de t

i i

d ddV U n dS dV U n dS

dt dt t

.be

i i

volume de contrôle figé surface d'échange V Adu volume figé

dt dt t

Théorème de la divergence de Green

avec la normale à Ski i

kV A

dV n dSx

n


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ww.hach.ulg.ac.

V figé

dU dV

dt t

Théorème de transport de Reynolds

11

21

• 2ème approche

Principe de conservation d’une grandeur pour un volume particulaire

Le volume se modifiant dans le temps et l’espace :

( )D D DdV

dV dV

.be

En supposant de manière « peu rigoureuse » l’intégrale comme une somme determes, il faut ainsi :

1. détailler la dérivée particulaire spécifique à l’intérieur d’un volumequelconque d’intégration avant d’intégrer

( )V V

dV dVDt Dt Dt


http://w

ww.hach.ulg.ac. quelconque d intégration avant d intégrer

2. apporter une correction tenant compte des modifications particulaires de cevolume

22

Dérivée particulaire d’un volume élémentaire (vision Lagrangienne)

A l’instant t, le volume V est lié au volume initial V0 occupé par les mêmes particules dans la configuration de référence :

où J désigne le Jacobien de la transformation faisant passer de la configuration de

0dV JdV

.be

Dès lors, la dérivée particulaire du volume dV devient :

g p gréférence à la configuration actuelle

0 0

,DJ

DJ X tD DJ DtdV dV dV dVDt Dt Dt J


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Le coefficient de proportionnalité entre dV et ne dépend pas de sa forme

mais seulement des coordonnées du point de calcul

DdV

Dt

12

23Dérivée particulaire d’un volume élémentaire (vision Eulerienne)

Considérons le volume unitaire formé des trois vecteurs directeurs e1,e2,e3 d’un trièdre cartésien

dV est donc égal au produit mixte (déterminant) de ces vecteurs :

1 2 1 2 3 3 1 2 2 3 13, , . . 1.dV e e e e e e e e e e e e

.be

Dès lors, la dérivée particulaire du volume dV devient :

Compte-tenu que :

1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , ,D D D D

dV e e e e e e e e eDt Dt Dt Dt

D D D

i i iie X d X X

avec , ,iX x y z


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Différentiation des 3 composantes de vitesse selon ie

, ,i i i i i iiD D D

e X d X X U X d X t U X tDt Dt Dt

i

i

D Ue

Dt x

24

Dérivée particulaire d’un volume élémentaire (vision Eulerienne)

11 1

31 2

2 2 2

1 00 0 1 0

1 0 0 0 0 1

UU U

xx x

U U UDdV U

.be

Pour un volume quelconque, nous avons donc :

pour un volume unitaire

1 2 3

3 3 3

1 2 3

1 0 0 0 0 1

0 1 0 1 0 0

dV UDt x x x

U U U

x x x

DdV UdV

Dt


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ww.hach.ulg.ac.

Principe de conservation d’une grandeur pour un volume particulaire

V V

D DdV U dV

Dt Dt

13

25Dérivée particulaire d’un volume élémentaire

Or : = (x,y,z,t)

Pour une particule, définie par sa trajectoire x(t), y(t), z(t), la dérivée totale de cette propriété associée à cette particule permet de définir la dérivée particulaire :

.be

D dx dy dzu v w

Dt t x dt y dt z dt t x y z

T

V V V

DU dV U U dV U dV

Dt t t


http://w

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Identique au bilan à l’intérieur d’un volume V figé avec prise en compte supplémentaire des échanges aux bornes (vue Eulérienne)

Echanges de aux bornes d’un volume de contrôle fixe = flux de

26

Passage Lagrange – Euler; volume de contrôle

Ainsi , en appliquant la méthode 1 ou 2, on a :

.be

V figé

dU dV

dt t


http://w

ww.hach.ulg.ac.

26

Théorème de transport de Reynolds

14

Principes de conservation

.be

Principes de conservation


http://w

ww.hach.ulg.ac.

28

• Enoncé des deux premiers principes de conservation

– Conservation de la masse

Conservation de la quantité de mouvement

Objectifs

.be

– Conservation de la quantité de mouvement

• Simplification des équations aux écoulements incompressibles

• Introduction de la loi de Bernoulli


http://w

ww.hach.ulg.ac.

15

29

• Principe de « continuité » ou « conservation de la masse »

« Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme. »

Premier principe fondamental.be

« … car rien ne se crée, ni dans les opérations de l'art, ni dans celles de la nature, et l'on peut poser en principe que, danstoute opération, il y a une égale quantité de matière avant et après l'opération ; que la qualité et la quantité desprincipes est la même, et qu'il n'y a que des changements, des modifications. »

LAVOISIER, Traité élémentaire de chimie (1789), p. 101


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0V V figé

u v wdm ddV dV

dt dt t x y z

0V figé

div U dVt

30

Principe de conservation de la masse

Soit V un volume quelconque enserrant un ensemble bien identifié de particules fluides

En l’absence de création ou de destruction de matière, la variation temporelle de masse de ce volume est nulle :

.be

masse de ce volume est nulle :

0V

ddV

dt

d


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0V V

u v wddV dV

dt t x y z

16

31

• Principe de « conservation de la quantité de mouvement »

Quantité de mouvement = masse . vitesse

Deuxième principe fondamental.be

« Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se

trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d'état. »

NEWTON, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687)


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Cette loi définit un repère inertiel (ou galiléen)

32

• Principe de « conservation de la quantité de mouvement » dans un repère inertiel (ou galiléen)

« Soit un corps de masse m (constante) : l'accélération subie

Deuxième principe fondamental

.be

« Soit un corps de masse m (constante) : l'accélération subie par un corps dans un référentiel galiléen est

proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse m. »

NEWTON, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687)


http://w

ww.hach.ulg.ac.

i

i

dUF ma m

dt

à masse constante

17

33

• Principe de « conservation de la quantité de mouvement » dans un repère inertiel (ou galiléen) pour un volume particulaire

Deuxième principe fondamental.be

V V A

dUdV FdV TdA

dt


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ww.hach.ulg.ac.

forces de volume

Tenseur des forces de surface

F

T

34

• Principe de « conservation de la quantité de mouvement »

Deuxième principe fondamental

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Pendule de Newton

18

35

Quantité de mouvement = masse . vitesse

Principe de « conservation de la quantité de mouvement ».be


http://w

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36

Principe de conservation de la quantité de mouvement

Forces vectorielles de volume

• forces de gravité

• forces centrifuges

.be Forces de surface

• forces de Coriolis

• forces électromagnétiques


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• pression

• tensions visqueuses

19

37Tenseur et forces de surface

• Tenseur général :

xx xy xz xx xy xz

yx yy yz yx yy yz

zx zy zz zx zy zz

T

.be

• Il est symétrique (démontrable par le théorème des moments cinétiques)

• Vu que la pression est identique dans toutes les directions, il est noté habituellement par :

zx zy zz zx zy zz

T pI


http://w

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Où est appelé le tenseur « déviateur » (effets uniquement dus aux tensions internes et/ou à la viscosité)

i ij ij jT p n

38

Principe de conservation de la quantité de mouvement

i i ij ij jV V A

du dV F dV p n dA

dt

pour i de 1 à 3

.be

Théorème de la divergence de Greenpour i de 1 à 3

ji i

jV S

dV n dAx

avec la normale à A,n

i i ij ijd

u dV F dV p dV


http://w

ww.hach.ulg.ac. i i ij ij

V V V j

u dV F dV p dVdt x

i ij ijV

iiV figé figé f éV

jig

udiv F dV p dVu U V

xd

t

20

39Deux premiers principes – formes intégralesformes différentielles

0i ij ijj

iiV figé

F dVu

div u U dVt

px

0V figé

div U dVt

continuité

Quant. mvt

.be

• Etant donné que V est arbitraire, les intégrants doivent vérifier les relations :

j

0div Ut


http://w

ww.hach.ulg.ac.

0i iji

ijj

i

tu

div u U F pxt

40

• Vision « indicielle »

Système d’équations de base

0i

i

u

t x

.be

• Vision « vectorielle »

i j ijii

j i j

u uu pF

t x x x

0U


http://w

ww.hach.ulg.ac.

0Ut

UUU F p

t

21

41

• Etant donné que

Formulation alternative de la continuité

aB a B B a

.be

0

0

0

Ut

U Ut

DU

Dt


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Dérivée particulaire

42

• Incompressibilité ≡ la densité de chaque particule ne change pas durant son mouvement

Fluide incompressible

0D

Dt

.be

• Il n'est pas nécessaire que toutes les particules aient la même densité

• Si le fluide est homogène et incompressible :

Cste


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Si le fluide est homogène (respectivement hétérogène) à un instant initial il restera homogène (respectivement hétérogène)

• Un champ de vitesse incompressible, donc à divergence nulle, est dit solénoïdal

22

43Equations de base, fluide incompressible

0 0j

j

udiv U U

x

.be

1 1 ijii j i

j i jforces volumiquesdérivée temporelle

pressiondérivée spatiale tensions de surfaceterme convectif

forces

u pu u F

t x x x


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Le système formé par les 4 équations en les 4 inconnues ui et p est un système FERME.à condition de disposer d’une relation constitutive pour

Ecriture conservative

44

Transformation des équations de base, fluide incompressible

j ii j i j

u uu u u u

x x x

Développement du terme convectif :

.be

0

j j jx x x

0

1 1

i

i

ij

u

x

u u p

A particulariser, selon le fluide


http://w

ww.hach.ulg.ac. 1 1 iji i

j ij i j

u u pu F

t x x x

Ecriture non conservative

23

45

• Méthodologie– Considérer comme seule force extérieure la gravité

– Multiplier chaque équation de conservation de quantité de mouvement selon xi par la composante de vitesse correspondante ui

Principe DEDUIT: loi de Bernoulli le long d’une ligne de courant.be

i i

– Sommer les 3 équations, (notation : sommation implicite sur les indices répétés)

– Utiliser la définition de la norme de la vitesse pour en tirer une expression le long d’une ligne de courant

– Intégrer l’expression ainsi simplifiée le long de cette ligne de courant


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ww.hach.ulg.ac.

46

Principe DEDUIT: loi de Bernoulli le long d’une ligne de courant

Multiplication de chaque composante i de la conservation de

QM par ui dans le cas du seul champ de force gravitationnel

F g

.be

Par définition de la norme de la vitesse :

1 1 iji ij i i i

j i j

u u pu u g u

t x x x

2 2 2U u v w

2 2

1 1 ijU U p


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Si le fluide est homogène :

1 1

2 2ij

j i i i ij i j

pu g u u u

t x x x

1 1 et ij ij

i i j j

p p

x x x x

24

47

On obtient :


2 2

ijU U p

.be

2 2ij

j i i i ij i j

pu g u u u

t x x x

2

2ij

i i i i i

U U pU u g u u u

t x x x


http://w

ww.hach.ulg.ac. 2i i jt x x x

48


On note sx, sy et sz les composantes du vecteur unitaire tangent

au vecteur vitesse instantané :

ius

.be

On divise par :

2

2ij

i i i i ii i j

U U ps g s s s

t x x x

iis

U

U


http://w

ww.hach.ulg.ac.

i i j

iji i i

i i j

z pg s s s

x x x

25

49Principe DEDUIT: loi de Bernoulli le long d’une ligne de courant

2

2ij

i ii j

U Ups gz s

x t x

.be

L’intégration de la relation précédente entre deux points A et B

le long d’une ligne de courant s’écrit :

2 2

2 2

Bij

ijA

U U Up pgz gz s ds

t x


http://w

ww.hach.ulg.ac. 2 2 jA

B A

t x

s : coordonnée curviligne le long de la ligne de courant

50


2 2

2 2

Bij

ijA

B A

U U Up pgz gz s ds

t x

.be

ij ij ij

j j j

V FV

x x V x m M

B B F

Signification physique du terme de tension


http://w

ww.hach.ulg.ac. ij

ijA A

Fs ds ds

x M

Travail sur la ligne de courant → Pertes…

26

51Principe DEDUIT: loi de Bernoulli – Conservation de l’énergie spécifique

Si l’écoulement est stationnaire, sans perte, nous avons donc

2 2

2 2

U Up pgz gz

.be

2

stU p

gz C

Autrement dit, le long d’une ligne de courant

2 2B A


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2gz C

~ Loi de Bernoulli

Valable pour un fluide incompressible homogène

52

Principe DEDUIT: loi de Bernoulli – Interprétation graphique

p2U

2

2

U

g

.be

h

h

h

g

p

g

2

2

U

g

2

U

gp

g


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Plan de référenceh

27

53

• En négligeant les variations d’altitude, si v alors p et inversément

Effet Venturi.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

54

Effet Venturi

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

28

55

« Lorsqu’un fluide (air ou liquide) quitte un orifice circulaire ou rectangulaire, tout ou partie de ce fluide suit le contour du profil qui prolongerait l’orifice, même si ce profil présente un angle très éloigné de la trajectoire de sortie. »

Effet Coanda (Roumanie 1885‐1972).be


http://w

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56

• Si la balle se déplace dans une direction horizontale

• La zone B a une vitesse plus lente que la zone APression en B > Pression en A

Force de « rappel » de la balle vers le centre

Effet de traînée et suspension

.be

• Le flux d’air est dévié par effet Coanda

force de rappel par conservation de la quantité de mouvement


http://w

ww.hach.ulg.ac.

29

57

• Le jet de fluide sortant à haute vitesse du cône génère une zone de faible pression à l’intérieur

• Le différentiel avec la pression atmosphérique extérieure engendre un écoulement en vortex permettant à la balle

« Lévitation » d’une balle dans un cône.be

de rester dans le cône


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58

Portance d’une voiture

Vsup>Vinf

psup<pinf

.be

psup pinf portance


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Bouche d’extraction et diffuseur arrière pour évacuer au mieux l’air sous la voiture, … vitesse augmente et portance diminue

30

59Effet de sol – mis en place pour les F1 Lotus en 78‐79

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Augmentation de la vitesse jusqu’à créer un effet de dépression

60

Perte de l’effet de sol

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

31

61Aviation

• Présence de tourbillons de bout d’aile dus à la différence de pression intrados-extrados

.be


http://w

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• La dissipation de ces tourbillons limite la cadence des décollages ou atterrissages des aéroports (plusieurs minutes au sol ou plusieurs km en vol)

62

Principe du siphon

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

32

63Principe du siphon

A

.be

B


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Une fois le siphon amorcé, le débit ne dépend que du différentiel de charge entre A et B et non de l’altitude locale du parcours

64

Principe du pont‐siphon

• Principe déjà appliqué du temps des Romains

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

33

65

• Lorsque la pression remonte, les bulles implosent et peuvent provoquer des dégâts aux structures

Cavitation

Implosion d’une bulle – au centre, jet de fluide à haute vitesse impactant la structure

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Roues de pompe après cavitation

Documents

Eléments de Mécanique des