Émergence du calcul des probabilités (II)

De l’espérance pascalienneà la théorie laplacienne

3 - Fondateurs et développeurs

Jacques Bernoulli : l’approche fréquentiste

Abraham de Moivre : la doctrine des chances

Georges Louis Leclerc, comte de Buffon : probabilités géométriques

Jean Le Rond D’Alembert : probabilités, mathématiques et réalité ?

Marie-Jean Antoine Caritat, marquis de Condorcet : didactique et vulgarisation

Jacques Bernoulli (1654-1705)

Ars Conjectandi, 1713

Jean Bernoulli1667-1748

Daniel Bernoulli1700-1782

La famille Bernoulli

Jacques Bernoulli déterministe:

“ Tout ce qui bénéficie sous le soleil de l'être ou du devenir, passé, présent ou futur, possède toujours en soi et objectivement une certitude totale. C'est évident du présent et du passé, ce qui est ou a été ne peut pas ne pas être ou avoir été. Sur le futur il n'y a pas à discuter ; cependant ce n'est pas par la nécessité de quelque destin qu'il ne peut pas ne pas advenir, mais en raison soit de la prescience soit de la prédétermination divine ; car si n’arrivait pas avec certitude tout ce qui est futur, on ne voit pas comment le Créateur suprême pourrait conserver entière la gloire de son omniscience et de son omnipotence. Quant à dire comment cette certitude de l'avenir peut subsister avec la contingence ou la liberté des causes secondes, que d'autres en disputent ; pour nous, nous ne voulons pas toucher aux points étrangers au but que nous visons. ”

Ars Conjectandi, quatrième partie, chapitre I

Quatrième partie (1689): De l’usage et l’application de la doctrine précédente aux affaires civiles, morales et économiques

Chapitre I : Préliminaires : la certitude, la probabilité, la nécessité, la contingence.

« la probabilité est un degré de la certitude et en diffère comme la partie diffère du tout ».

Chapitre II : Science et conjecture. L’art de conjecturer. Les arguments des conjectures. Axiomes généraux touchant ces points.

« Conjecturer quelque chose, c’est mesurer sa probabilité : ainsi l’art de conjecturer ou la stochastique se définit pour nous comme l’art de mesurer aussi exactement que possible les probabilités des choses… ».

Chapitre III : Les divers espèces d’arguments, et comment estimer leur poids pour supputer les probabilités.

« Posons que le nombre des cas, dans lesquels un argument quelconque peut exister est b ; le nombre de ceux dans lesquels il peut arriver qu’il n’existe pas est c, (…). Or je pose que tous les cas sont également possibles, ou qu’ils peuvent survenir avec une

égale facilité ; (…) en sorte qu’un tel argument prouve de la chose ou de la certitude de la chose ».

Chapitre IV : La double manière de chercher les nombres de cas. Ce qu’il faut penser de celui qui est établi par des expériences.

« On en est ainsi venu à ce point que pour former selon les règles des conjectures sur n’importe quelle chose, il est seulement requis d’une part que les nombres de cas soient soigneusement déterminés, et d’autre part que soit défini combien les uns peuvent arriver plus facilement que les autres ». « Mais c’est ici enfin que surgit une difficulté, nous semble-t-il : cela peut se voir à peine dans quelques très rares cas et ne se produit presque pas en dehors des jeux de hasard que leurs premiers inventeurs ont pris soin d’organiser en vue de se ménager l’équité.(…) Mais qui donc parmi les mortels définira par exemple le nombre de maladies, (…) qui encore recensera les cas innombrables des changements auxquels l’air est soumis chaque jour. (…) Il serait donc absolument d’un insensé de vouloir connaître quelque chose de cette matière ».

€

bb + c

Réponse : l’approche fréquentiste

(…) « Mais à la vérité ici s’offre à nous un autre chemin pour obtenir ce que nous cherchons. »

« Ce qu’il n’est pas donné d’obtenir a priori l’est du moins a posteriori, c’est-à-dire qu’il sera possible de l’extraire en observant l’issue de nombreux exemples semblables, car on doit présumer que, par la suite, chaque fait peut arriver et ne pas arriver dans le même nombre de cas qu'il avait été constaté auparavant, dans un état de choses semblables, qu'il arrivait ou n'arrivait pas ».

Mais il reste à démontrer que la fréquence observée d’un événement « issu de nombreux exemples semblables » est aussi proche que l’on veut de la probabilité de cet événement, supposé réalisé par une multitude de cas équiprobables inaccessibles.

Théorème de Bernoulli :D’une urne de Bernoulli contenant t boules dont r blanches (fertiles) et s noires (stériles), on tire nt boules avec remises et on compte les boules blanches obtenues (schéma binomial). Bernoulli formule ainsi son théorème:« On peut concevoir des expériences en un nombre tel qu’il soit plus vraisemblable d’autant de fois que l’on veut que le nombre des observations fertiles soit au nombre de toutes les observations dans un rapport ni plus grand que , ni plus petit que  ».

€

r +1t

€

r −1t

Traduction moderne : Une même expérience aléatoire est répétée un nombre n de fois suffisamment grand. On s’intéresse à la fréquence F des issues qui réalisent un événement de probabilité p. On représente cette situation par un schéma binomial où l’on pose  = 1/t et p = r/t (il y a donc une hypothèse d’équiprobabilité quelque part).

Alors, il y a une probabilité aussi voisine de 1 que l’on veut (niveau de confiance 1–) que la fréquence F des issues réalisant un événement donné soit plus proche que tout (précision de l’approximation) de la probabilité p de cet événement.

Cette fréquence observée F peut donc être prise pour estimer cette probabilité p et cett énoncé explicite la condition de confiance :

P(F –   < p < F + ) > 1– 

Abraham de Moivre (1667-1754)

The doctrine of chances, 1718

1. La Probabilité d’un Événement est plus ou moins grande suivant le nombre de Chances par lesquelles il peut arriver, rapporté au nombre total des Chances par lesquelles il peut ou ne peut pas arriver.

2. Ainsi, si on forme une Fraction dont le Numérateur est le nombre de Chances par lesquelles un Événement peut arriver, et le Dénominateur le nombre de toutes les Chances par lesquelles il peut arriver ou ne pas arriver, cette Fraction sera une véritable définition de la probabilité que se produise cet Événement.

De Moivre reprend le problème sur lequel Bernoulli avait désespérément « séché » de 1689 à 1705: d’une urne de Bernoulli contenant t boules dont a blanches et b noires, on tire n boules avec remises. La fréquence Fn des boules blanches extraites « tend »

vers la probabilité p = (théorème de Bernoulli, loi faible des grands nombres). L’énoncé précis qui découle directement de la formulation de Bernoulli est le suivant:

pour tout  > 0, P(|Fn–p| <  )  1 quand n tend vers l’infini.

Mais comment contrôler l’écart |Fn–p| en fonction de n ? Autrement dit, Peut-on limiter raisonnablement ce nombre n tout en minimisant à la fois cet écart et le risque de se tromper en affirmant que |Fn–p| <  ? Pour cela il faut évaluer la probabilité P(|

Fn–p| <  ) , donc connaître la loi de |Fn–p|!

En approximant les coefficients binomiaux par la formule de Stirling :

de Moivre arrive à la courbe que l’on appellera « normale », mais considère son résultat (qui prendra le nom de théorème de Moivre-Laplace, précurseur du théorème limite-central) comme une approximation et non comme la densité d’une loi continue.

Il l’insère dans les 2ème et 3ème éditions (1756) de la Doctrine des chances qui resta Le Traité de calcul des probabilités jusqu’à la parution de la Théorie Analytique de Laplace en 1812.

€

n ! ≈ ne ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟n

2πn

€

aa+b

Soit X le nombre de boules blanches obtenues en n tirages de l’urne de Bernoulli. X ~ B(n, p), E(X) = np et Var(X) = np(1–p). Soit Fn = X/n, E(Fn) = p et Var(Fn) = pq.

Les probabilités binomiales pk = P(X = k) proviennent du développement du binôme:

, pk =  =

Comparons les résultats de Bernoulli et de de Moivre.Bernoulli pose n = m(a+b) (sans inconvénient quand n est grand). On a np = ma.

Lemme 3 de Bernoulli: Quand k va de 0 à n, A(k) croit, passe par un maximum

M =  de rang np, puis décroît.

Lemme 5 de Bernoulli: , ce qui s’interprète par: les probabilités

P[(ma–m) ≤ X ≤ (ma+m)] = P[( – ) ≤ X– np ≤ ( ) ] = P(|Fn–p| ≤ )

tendent vers 1 quand n tend vers l’infini.

€

(a+b)n= nk ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟akbn−k= A(k)k=0n∑

k=0n∑

€

nk ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟pkqn−k

€

A(k)(a+b)n

€

nnp ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟anpbnq

€

A(k)k=ma−mma+m∑(a+b)n n→∞ ⏐ → ⏐ ⏐ 1

€

na+b

€

na+b

€

1a+b

Résultats de Moivre, précurseur du théorème-limite central :Corollaire 8.

“Le rapport que, dans une puissance infinie d'une binomiale, dénotée par n, le plus grand terme porte à la somme de tout le reste, sera justement exprimé par la fraction “.

Ce qui peut s’écrire : quand n tend vers l’infini, ce qui

entraîne que la probabilité binomiale maximale est équivalente à

“Corollaire 9.Si, dans une puissance infinie, quelque terme est distant du plus grand par l'intervalle l, alors le logarithme hyperbolique du rapport que ce terme porte au plus grand sera exprimé

par la fraction , pourvu que le rapport de l à n ne soit pas un rapport fini,

mais soit tel qu'il puisse être conçu [comme un rapport] entre tout nombre donné p et de sorte que l soit exprimable par p ”.

En reprenant les notations précédentes, le corollaire 9 indique que si l’indice k vérifie

|k–np| = l, alors ,à condition que l/n tende vers 0, et soit identifiable

à un rapport p/ , de sorte que l ~ p : P(X = k) ~ si < B.

€

M(a+b)n−M≈ a+b

2πnab

€

12πnpq €

a+b2πabn

€

−(a+b)22abn×l2

€

ln(A(k)M

) ≈ −(a + b)2l2

2nab

€

n

€

n

€

n

€

n

€

12πnpq

e−

12

(k−np )2

npq

€

| k − np |npq