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EMP (M2S1)
Economie de l’environnement II
Notes de cours de l’enseignant
Annee academique 2012/2013
Table des matieres
1. Interet de la modelisation mathematique1.1 Rappels1.2 Optimisation
2. Le modele de reference2.1 Les fondements du modele2.2 Equilibre decentralise de laissez-faire2.3 Optimum social
3. Regulation de la pollution3.1 La norme3.2 La taxation3.3 Le marche de permis negociables
Exercices
Avertissement
- Les figures relatives a ces notes sont dans un fichier annexe.
- Ces notes sont les notes de cours de l’enseignant. Elles sont susceptibles d’etre revisees regulierement.
- Leur usage par les etudiants du cours est conseille. Il est demande de ne pas les diffuser ni d’y fairereference.
1
1 Interet de la modelisation mathematique
1.1 Rappels de notions fondamentales
1.1.1 Modele
- un modele consiste en une simplification de la realite etudiee permettant d’aller a l’essentiel et permet-tant une analyse plus rigoureuse et plus poussee du probleme
- attention : un modele mathematique n’est qu’un outil. Il peut etre mal utilise !
1.1.2 Variable discrete ou continue
- variable discrete (ex : age en annee)
- variable continue (ex : distance entre 2 points)
- attention : selon le modele, une meme variable peut etre tantot discrete, tantot continue (ex : temps) !
1.1.3 Fonction
- a une variable : relation entre 2 variables y = f(x), ou a une valeur de x correspond 0 ou 1 valeurde y. Exemple : T = f(CCO2), ou T est la temperature atmospherique, et CCO2 est la concentrationatmospherique en CO2.
- a plusieurs variables : y = f(x1, x2, ...xn). Exemple : T = f(CCO2, CCH4, CN2O, CCFCs), ou T est latemperature atmospherique, et CCO2, CCH4, CN2O, CCFC sont respectivement les concentrations atmo-spheriques en CO2, CH4, N2O et CFCs.
1.1.4 Derivee d’une fonction continue
- mesure le taux de variation d’une fonction y = f(x) entre deux points (x, y) et (x+ ∆x, y + ∆y), c-a-dle rapport ∆y/∆x quand ∆x est ”tres petit”
- formellement :
f ′(x) = lim∆x→0
∆y
∆x
- interpretation graphique : pente de la tangente a la courbe
Figure R.a
- exemple : si T = f(CCO2), alors f ′(CCO2) indique la variation de la temperature suite a une variation”tres petite” de la concentration en CO2.
1.1.5 Derivee partielle d’une fonction continue a plusieurs variables
- derivee partielle d’une fonction a plusieurs variables :· si y = f(x1, x2, ...xn), alors la derivee partielle de f par rapport a xi (i = 1, ..., n) s’obtient en
derivant f par rapport a xi, tout en considerant les autres variables xj (j 6= i) comme des constantes· formellement :
∂f
∂xi(x1, x2, ...xn) = lim
∆xi→0
∆y
∆xi, xj constant (∀j 6= i)
- exemple : si T = f(CCO2, CCH4, CN2O, CCFCs), alors ∂f/∂CCO2 indique la variation de la temperaturesuite a une variation ”tres petite” de la concentration en CO2, les concentrations des autres gaz restantconstantes.
2
1.2 Optimisation
- dans ce cours, les problemes d’optimisation sont des problemes de maximisation ou de minimisationd’une fonction continue et derivable
- ces problemes d’optimisation resulteront le plus souvent d’hypotheses de comportement tres courantesen economie (ex : maximisation du profit ou minimisation des couts de la firme, maximisation de l’utilited’une menage)
1.2.1 Probleme d’optimisation a une variable
Enonce type d’un probleme
maxx
f(x) ou minx
f(x)
ou x est la variable de decision et f(x) l’objectif a optimiser
Condition du premier ordre (CPO)
- si l’objectif est une fonction continue et derivable a une variable, alors sa maximisation reponda la condition suivante :
CPO : maxx
f(x)⇒ f ′(x) = 0 (1)
- interpretation graphique : la tangente est horizontale au maximum, sa pente est donc nulle, cequ’exprime la CPO f ′(x) = 0
Figure R.b
- remarques importantes :· la CPO est identique pour un probleme de minimisation !· si l’objectif est une fonction continue et derivable a une variable, (1) est une condition necessaire
pour un maximum, mais non suffisante !· (1) est une condition necessaire pour un maximum local, mais non suffisante pour un optimum
global !· contre-exemples
Figures R.c a g
Conclusion : il est donc important de voir si le probleme d’optimisation est bien pose, p. ex. via uneanalyse graphique ou via l’etude de la derivee deuxieme f ′′(x), qui donne des indications sur la concavitede l’objectif (necessaire pour un max) ou sur la convexite de l’objectif (necessaire pour un min).
1.2.2 Probleme d’optimisation a plusieurs variables
Enonce type d’un probleme
maxx1,x2,...xn
f(x1, x2, ...xn)
ou x1, x2, ...xn sont les variables de decision et f(x1, x2, ...xn) est l’objectif a optimiser.
Conditions du premier ordre (CPO)
- si l’objectif est une fonction a plusieurs variables continue et differentiable, alors sa maximi-sation repond aux conditions suivantes :
∂f
∂xi(x1, x2, ...xn) = 0, ∀i
3
- il y a autant de CPO que de variables de decision
- comme pour les problemes d’optimisation a une variable, il importe de verifier que le probleme est bienpose.
1.2.3 Optimisation sous contrainte
- une contrainte prend la forme d’une egalite ou d’une inegalite
- probleme a une seule variable (cfr. Fig. R.h) :
maxx≤x
f(x)
Figure R.h
- probleme a deux variables :maxx1,x2
f(x1, x2) s.c.q. x2 = g(x)
ou s.c.q. signifie ”sous contrainte que”
1.3 Remarque
La demarche de ce cours repose sur une rigueur mathematique relative. Par la suite, on supposeratoujours que les problemes d’optimisation rencontres sont bien poses (autrement dit, qu’il existe un etun seul max ou min). Et par consequent, on se limitera a l’analyse des CPO.
4
2 Le modele de reference
2.1 Les fondements du modele
2.1.1 Externalite
- Definition : une externalite (ext) existe quand l’action d’un agent economique influence l’utilite, lebien-etre ou le profit d’un autre agent, et que cette influence ne s’exerce pas via le marche.
- remarques :· il n’y a donc pas ext quand cette influence d’un agent sur un autre s’exerce via le marche (p. ex. :
effet d’une ↘ du prix d’un producteur sur le chiffre d’affaire d’un concurrent)· les ext ne se limitent pas a l’environnement (ex : production d’un savoir qui profite a d’autres qu’au
createur)
- exemples d’ext environnementales (Roosen, p.47)1
· Une entreprise A situee en amont d’une riviere y deverse de l’eau polluee. Une firme B en aval decette riviere supporte alors des couts plus eleves car elle doit traiter cette eau pollee avant de l’utiliser.L’entreprise A ne prend pas en compte ces couts imposes a B dus a sa pollution. Il s’agit d’une extnegative entre firmes.· Une centrale electrique au charbon qui pollue l’air au detriment des riverains habitant autour de
celle-ci. Il s’agit d’une ext negative entre firme et riverains.· Les abeilles de l’apiculteur recoltent du pollen et du nectar des arbres fruitiers, propriete d’un
arboriculteur. En meme temps, elles fecondent les fleurs des arbres, ce qui contribue a la production defruits. Il s’agit d’une ext positive entre deux producteurs, l’arboriculteur et l’apiculteur.
2.1.2 Les firmes
- description schematique d’une firme :· cfr. Fig. 1· a cote des flux entrants et sortants qui resultent des echanges de la firme avec d’autres agents
economiques, (production, travail, biens intermediaires, investissement), le schema fait ressortir d’autresflux faisant intervenir l’environnement : matieres premieres, energies, pollution de l’air et/ou de l’eau,production de dechets.
Figure 1
- hypotheses :· on considere un modele a n firmes indicees par i (i = 1, ..., n)· le but de chaque firme est de maximiser son profit· les firmes produisent le meme bien au moyen du meme facteur de production (ex : production de
plastique a partir de petrole)· les firmes emettent le meme polluant (ex : CO2)· les firmes sont differentes au niveau technologique· les firmes sont supposees price-taker tant sur le marche du bien produit que sur le marche du facteur
de production· les prix sont exogenes
- fonction de production de la firme i (cfr. Fig. 2.a) :
yi = fi(xi)
· yi : quantite du bien produit par la firme i· xi : quantite du facteur consomme par la firme i
1Roosen Jutta (2001) : ”Economie des ressources naturelles et de l’environnement”, notes de cours, Universite deLouvain.
5
· fi continue et derivable· fi est monotone croissante (xi ↗⇒ yi ↗)· fi est concave (les rendements d’echelle sont decroissants)· xi = 0⇒ yi = 0· la fonction de production depend de l’indice i, ce qui traduit le fait que les firmes sont differentes
sur le plan technologique
Figure 2.a- les couts de production (CP ) regroupent les couts subis par la firme pour produire (ex : achats depetrole pour produire le plastique). On suppose ici que ces couts sont lineairement proportionnels a laquantite de facteur utilisee :
CP (xi) = qxi
ou q est le prix du facteur (ex : prix du petrole). Mais d’autres modelisations sont possibles (cfr.exercices).
- le profit est defini comme la difference entre recettes (valeur des ventes) et couts de production (cfr.Fig 2.b) :
πi = pyi − CP (xi) = pfi(xi)− qxi (2)
ou p : prix du bien produit.
Figure 2.b
2.1.3 Cout externe et bien-etre
- le cout externe (CE) est le cout de l’externalite lie a la production et resulte de la sequence suivante :
production → pollution → nuisances (dommages) → cout externe (evaluation monetaire des dommages)
- dans les modeles, les emissions polluantes peuvent etre decrites comme une fonction de la production(output), ou de l’utilisation d’un facteur de production (input). Ici, on choisit la 2eme hypothese; lesemissions de la firme i s’ecrivent comme une fonction lineaire de la quantite d’input utilisee :
zi = hixi
ou hi est un parametre donne, constant et positif, propre a la firme i.
- la pollution totale est la somme des emissions de toutes les firmes
z = z1 + z2 + ...+ zn =
n∑i=1
zi =
n∑i=1
hixi
- le cout externe est suppose une fonction croissante de la pollution :
CE(z) = CE (z)
Ce cout est qualifie d’externe parce qu’il n’est que partiellement subi ou pas du tout par les firmes. Dansce cours, on supposera pour simplifier qu’il n’est pas du tout subi par les firmes. En revanche, ce coutest subi par d’autres membres de la societe (ex : menages).
- le bien-etre economique (BE) est suppose correspondre a l’utilite generee par l’activite de productionde la firme pour la societe. Dans ce cours, on le definit comme la difference entre la somme des profitsdes entreprises Π et le cout externe :
BE = Π− CE(z) =
n∑i=1
πi − CE(z)
BE ne se reduit pas a la somme des profits ! En consequence, maximiser BE n’est pas equivalent amaximiser Π !
6
2.2 Equilibre decentralise de laissez-faire
La situation de laissez-faire (LF) est caracterisee par l’absence de regulation environnementale.
2.2.1 Optimum prive de laissez-faire
- Dans ce contexte, chaque firme est supposee maximiser son profit sans tenir compte des effets negatifs dela pollution. Vu (2), cela revient a choisir la quantite optimale de facteur solution du probleme suivant :
maxxi
πi = pfi(xi)− qxi (3)
- le probleme d’optimisation etant bien pose, il existe un seul max ou la derivee de l’objectif est nulle :
π′i(xi◦) = pf ′i(xi
◦)− q = 0 (4)
⇒ pf ′i(x◦) = q (5)
⇒ xi◦ = gi(q/p) (6)
ou par definition : gi = (f ′i)−1 (gi est la fonction inverse de f ′i).
- La firme i choisissant la quantite d’input x◦, la production, la pollution et le profit qui en resultent sontdonnes par :
yi◦ = fi(xi
◦) (7)
zi◦ = hixi
◦ (8)
πi◦ = pifi(xi
◦)− qxi◦ (9)
ou xi◦ est defini par (6).
- remarques :· π′i(xi) est le profit marginal de la firme i. C’est la variation de profit resultant de l’utilisation
d’une unite supplementaire du facteur (ex : d’une tonne supplementaire de petrole). La 1ere egalite de(4) montre que le profit marginal est egal a la difference entre recette marginale (pf ′i(xi
◦)) et cout deproduction marginal (q). Avec (5), on retrouve a l’OP l’egalite (familiere en microeconomie) entre revenumarginal et cout marginal. La firme n’a pas interet a utiliser plus ou moins que x◦ ou a vendre plus oumoins que y◦.
Figure 2.c
· la quantite de facteur xi◦, la production yi
◦, le niveau d’emissions zi◦ et le profit (πi
◦) determinentconjointement l’optimum prive de la firme i en situation de LF.
- exemple : soit yi = fi(xi) = ai√xi, ou ai est une constante positive. Alors f ′i(xi) = ai/(2
√xi) = vi ⇒
√xi = ai/2vi ⇒ xi =
(ai2vi
)2
= gi(v). Alors, (5) ⇒ f ′i(xi◦) = ai/(2
√xi◦) = q/p et (6) ⇒ xi
◦ =[aip2q
]2.
2.2.2 Equilibre decentralise de LF
- Au niveau global, on observe les valeurs suivantes :· la pollution totale est la somme des emissions polluantes des firmes :
z◦ =
n∑i=1
zi◦ =
n∑i=1
hixi◦ =
n∑i=1
higi
(q
p
)(10)
· le cout externe resultant de la pollution globale :
CE(z◦) = CE
(n∑i=1
hixi◦
)(11)
7
· le niveau de bien-etre :
BE◦ = Π◦ − CE(z◦) =
n∑i=1
πi◦ − CE(z◦) (12)
- Les quantites de facteur xi◦, productions yi
◦, emissions zi◦, profits πi
◦ (ou i = 1, ..., n), ainsi que lapollution globale z◦, le cout externe CE(z◦) et le niveau de bien-etre BE◦ determinent conjointementl’equilibre decentralise de LF, c-a-d l’etat de l’economie obtenu en l’abence de regulation de lapollution.
2.3 Optimum social (OS)
L’OS correspond a la situation ideale (le plus souvent hors d’atteinte par manque d’information surle CE), reposant sur l’hypothese qu’il y a internalisation de l’ext, c-a-d que les consequences de l’extsont prises en compte dans le calcul economique.
2.3.1 Objectif et solution
- L’OS est obtenu quand le BE est maximum. Autrement dit , il correspond a la solution du problemesuivant :
maxx1...xn,z
BE = Π− CE(z) =
n∑i=1
πi − CE(z)
s.c.q. z =
n∑i=1
hixi
Contrairement au probleme de la firme (3), le probleme qui caracterise l’OS impliquent plusieurs vari-ables de decision et possede une contrainte. L’OS est donc determine par un decideur unique, ”le planifi-cateur”, omniscient et eclaire, qui decide du niveau d’activite de chaque firme (un peu comme dans uneeconomie planifiee ideale).
- On peut simplifier le probleme en substituant la contrainte dans l’objectif, ce qui donne :
maxx1...xn
BE =
n∑i=1
[pfi(xi)− qxi]− CE
(n∑i=1
hixi
)
- Solution : BE etant une fonction a n variables x1, ..., xn, les CPO associees au probleme s’ecrivent :· cas general :
∂BE
∂xi= pf ′i(x
∗i )− q − CE′
n∑j=1
hjx∗j
hi = 0, i = 1, 2, ...n (13)
Les equations (13) constituent un systeme de n equations a n inconnues x∗1, ..., x∗n.
· par la suite, on considerera le cas particulier suivant : on suppose que les couts externes sont unefonction lineaire de la pollution : CE(z) = cz. Dans ce cas, les CPO deviennent :
∂BE
∂xi= pf ′i(x
∗i )− q − chi = 0 (14)
⇒ pf ′i(x∗i ) = q + chi (15)
⇒ x∗i = gi([q + chi]/p) (16)
ou par def. gi = (f ′i)−1 et i = 1, 2, ..., n.
- Analyse de 15) : si la firme i consomme une unite de facteur de plus, la societe :(i) beneficie d’une production de bien i supplementaire egale en valeur a pf ′i(x
∗i );
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(ii) subit un cout social supplementaire egal a q + chi; celui-ci correspond a la somme du cout deproduction marginal q et du cout externe induit par les emissions supplementaires chiLa Figure 2.c illustre graphiquement l’egalite precedente et permet de la comparer avec celle obtenue al’equilibre de LF.
- La production, les emissions et le profit de chaque firme i qui en resultent sont donnes par :
y∗i = f(x∗i )
z∗i = hix∗i
π∗i = pif(x∗i )− qx∗i
ou i = 1, 2, ...n.
- Au niveau global, on observe les valeurs suivantes :· la pollution totale :
z∗ =
n∑i=1
z∗i =
n∑i=1
hix∗i
· le cout externe resultant de la pollution globale :
CE(z∗) = CE
(n∑i=1
hix∗i
)= c
n∑i=1
hix∗i
· le niveau de bien-etre :
BE∗ =
n∑i=1
π∗i − CE(z∗) =
n∑i=1
π∗i − cn∑i=1
hix∗i
- Les quantites de facteur x∗i , productions y∗i , emissions z∗i , profits π∗i (ou i = 1, ..., n), ainsi que lapollution globale z∗, le cout externe CE(z∗) et le niveau de bien-etre BE∗ determinent conjointementl’optimum social, c-a-d l’etat de l’economie ou le niveau de bien-etre est maximal.
2.3.2 Comparaison entre OS et equilibre de LF
- Dans le cas particulier ou CE(z) = cz, on a les resultats importants suivants :
Proposition : L’internalisation de l’ext se traduit par :· au niveau de chaque firme : la quantite du facteur, la production, le profit, les emissions ↘· au niveau global : la pollution globale et le cout externe ↘ et le niveau de BE ↗ .
Demonstration :
a) De la comparaison de (5) et (15) et du fait que q/p < [q+chi]/p, il resulte que f ′i(xi◦) < f ′i(x
∗i ). Or, les
fonctions fi ayant l’allure de la Fig. 2.a, les fonctions f ′i sont monotones decroissantes. En consequence :
x∗i < xi◦
b) Chaque firme i produit moins a l’OS : en effet, vu que fi est une fonction croissante de xi, x∗i < xi
◦ ⇒
fi(x∗i ) < fi(xi
◦)
c) Il decoule aussi immediatement que la pollution de la firme i est plus faible a l’OS :
zi◦ > z∗i
d) Par ailleurs, il se verifie necessairement que
πi◦ > π∗i
9
En effet, s’il en etait autrement (πi◦ < π∗i ), la firme i choisirait a son OP la quantite x∗i (et non xi
◦) defacon a obtenir un profit superieur.e) Chaque firme polluant moins, la pollution globale est necessairement plus faible a l’OS :
z◦ =
n∑i=1
zi◦ >
n∑i=1
z∗i = z∗
f) Comme les couts externes sont par hypothese une fonction croissante de la pollution globale, z◦ > z∗ ⇒
CE(z◦) > CE(z∗)
g) Enfin, vu qu’il est maximal a l’OS, le BE y est necessairement superieur qu’en toute autre situation,en particulier celle de LF :
BE◦ < BE∗
CQFD
- Reduction de pollution de la firme i par rapport a la situation de LF : l’OS suppose par rapport a l’OPde LF une reduction de la pollution de la firme i egale a :
zi◦ − z∗i = hi [xi
◦ − x∗i ]
= hi
[gi
(q
p
)− gi
(q + chip
)]En termes relatifs, le taux de reduction des emissions de la firme i par rapport a l’equilibre de LFs’ecrit :
r∗i =zi◦ − z∗izi◦
(17)
=xi◦ − x∗ixi◦
=gi
(qp
)− gi
(q+chi
p
)gi
(qp
) (18)
Cette derniere expression montre que la reduction de pollution depend de i. En consequence, il varieentre firmes. Si celles-ci sont differentes, le passage de l’equilibre de LF a l’OS n’implique pas un tauxde reduction identique pour toutes les firmes ! (18) montre que le taux de reduction r∗i est d’autant pluseleve que· le rapport mesurant les emissions par unite de facteur hi est eleve2;· la ↘ de production necessaire pour obtenir une reduction donnee des emissions est faible.
L’intuition est simple : l’OS suppose non seulement de reduire la pollution globale a z∗i , mais aussique les couts induits par la reduction soient minimises. Dans cette optique, il est logique queles firmes qui peuvent depolluer a un faible cout (mesure en termes de reduction de profit) depolluentrelativement plus !
- Remarque importante : vu que πi◦ > π∗i (∀i), les firmes n’ont aucun interet a reduire par elles-memes
leurs emissions polluantes. Il en decoule la necessite d’une regulation publique, c-a-d d’une interventiond’une autorite publique qui conduise les firmes a tenir compte des effets negatifs de leur pollution.
2En effet, gi etant une fonction de son argument, plus hi est eleve, plus gi
(q+chi
p
)est faible, plus le numerateur de
(18) est eleve.
10
3 Regulation de la pollution
L’autorite, par exemple une administration en charge de l’environnement (AE), dispose de differentsmoyens de regulation. Dans cette section, on envisagera trois instruments :· la norme· la taxation de la pollution· le marche de permis de polluer.
Par ces moyens, sans devoir prendre le controle des firmes, l’AE peut les amener a tenir compte, en toutou en partie, des effets negatifs dus a leurs emissions.
3.1 La norme
- La norme consiste en un plafond zni sur les emissions polluantes. La norme peut aussi etre exprimeecomme un % de reduction p/r a la situation de LF. C’est ce cas de figure qui est choisi par la suite. End’autres termes, on suppose que la norme s’appliquant aux firmes s’ecrit :
zni = (1− rn)zi◦, i = 1, ..., n (19)
ou 0 < rn < 1 (par ex. rn = 20%). rn ne depend pas de i, donc toutes les firmes doivent respecter lameme norme de reduction.
3.1.1 Comportement de la firme
- Le probleme de la firme i devient :
maxx
πi = pfi(xi)− qxis.c.q. zi = hixi ≤ zni (20)
Les couts de production demeurent les memes qu’en situation de LF, mais a la difference de la situationde LF (cfr. (3)), la firme est confrontee dans ses choix a la contrainte (20).
- Solution : pour satisfaire la norme, la firme ne peut que reduire la quantite du facteur x utilisee. Vula norme (20), le profit est maximal quand la pollution coincide avec la norme (cfr. Fig 3). Remarqueimportante : le maximum de π etant contraint par la norme, la CPO π′(x) = 0 n’est donc pas d’applicationici !
Figure 3
La solution s’ecrit :
xni = zni /hi
= (1− rn)zi◦/hi (vu (19))
= (1− rn)xi◦ (vu (8))
La norme sur les emissions se traduit par un taux de reduction de la quantite de facteur consommee parla firme i egal a rn. Avec la norme, la production et le profit de la firme i deviennent :
yni = f(xni )
πni = pf(xni )− qxni
Ces niveaux de quantite de facteur xni , production yni , emissions zni et profit πni determinent l’optimumprive avec norme de la firme i.
11
3.1.2 Equilibre decentralise avec norme
- Au niveau global, on observe les valeurs suivantes :· la pollution totale :
zn =
n∑i=1
zni
=
n∑i=1
(1− rn)zi◦
= (1− rn)z◦
Comme la norme se traduit par un taux de reduction des emissions identique pour toutes les firmes, lapollution globale est reduite du meme taux par rapport a l’equilibre decentralise de LF.· le cout externe resultant de la pollution globale :
CE (zn) = czn
· le niveau de bien-etre :
BE∗ = Πn − CE(z∗) =
n∑i=1
πni − czn
Le niveau de bien-etre ↘ suite a la ↘ des profits et ↗ suite a la ↘ de la pollution. En toute generalite,l’effet global est indecidable.
- Les quantites de facteur xni , productions yni , emissions zni , profits πni (ou i = 1, ..., n), ainsi que lapollution globale zn, le cout externe CE(zn) et le niveau de bien-etre BEn determinent conjointementl’equilibre decentralise avec norme, c-a-d l’etat de l’economie obtenu quand l’AE obligent les firmesa reduire leurs emissions d’un certain taux rn.
- Comme r ne depend par de i, la norme se traduit par une reduction uniforme des quantites de facteurconsommees par les firmes par rapport a l’equilibre de LF. Il en va de meme des emissions; en effet, (19)implique :
zi◦ − znizi◦
= rn
Or, on a vu a la sous-section 2.3 que si les firmes sont differentes, le passage de l’equilibre de LF a l’OSn’implique pas un taux de reduction identique pour toutes les firmes. En consequence, la norme definiepar (19) et telle que
∑ni=1 z
ni = z∗ conduit au niveau de pollution optimal mais pas a l’OS, car les couts
de depollution (mesures comme la perte de profit∑i [πi
◦ − πni ]) ne sont pas minimises (sauf exception).
3.2 La taxation
Il existe differentes possibilites : la taxation peut se faire sur· la production· le facteur polluant (ex : carburant)· les emissions polluantes (le cas qu’on considerera ici)
3.2.1 Comportement de la firme
- Contrairement a la norme, la firme n’est pas obligee de reduire ses emissions. Elle peut choisir de payerla taxe !
- Soit la taxe sur les emissions :T (zi) = tzi (21)
12
ou t est le taux de taxation (ex : 10 euros/tCO2) a ne pas confondre avec le montant de la taxe a payertzi.
- Le cout de production de la firme i est la somme de sa consommation du facteur et de la taxe :
CPT (xi, zi) = qxi + tzi
- Le probleme de la firme devient :
maxxi,zi
πi = pfi(xi)− CPT (xi, zi)
s.c.q. zi = hixi
ou πi est le profit apres (paiement de la) taxe. Apres substitution des contraintes dans l’objectif, on a :
maxxi
πi = pfi(xi)− qxi − thixi
- Solution : la CPO s’ecrit :
π′i(xi) = pf ′i(xi)− q − thi = 0 (22)
⇒ pf ′i(xi) = qi + thi (23)
⇒ xi = gi([qi + thi] /pi) (24)
(23) montre que la firme i choisit sa quantite de facteur de facon a egaliser son revenu marginal pf ′i(xi)et son cout marginal taxe comprise q + thi.
Figure 4
Plus precisement :· en reduisant xi d’une unite, la firme i perd d’un cote (ses recettes baissent de pf ′i(xi)) et gagne de
l’autre (le cout du facteur ↘ de q et la taxe a payer baisse de thi).· partant de son OP a l’equilibre de LF, la firme va reduire xi tant que ce qu’elle perd d’un cote
est inferieur a ce qu’elle gagne de l’autre, c-a-d tant que : pf ′i(xi) < q + thi. Or les pertes de recettessont de plus en plus fortes au fur et a mesure que xi baisse, alors que les economies de cout q + thi sontconstantes. Il arrive donc un moment ou pf ′i(xi) = q + thi.· a ce niveau de quantite de facteur, la firme ne reduit plus.
- En outre, la production, les emissions et le profit de la firme i s’ecrivent :
yi = fi(xi)
zi = hixi
πi = pfi(xi)− qxi − thixi
ou xi est defini par (24). Les niveaux de quantite de facteur xi, production yi, emissions zi, profit πi,determinent l’optimum prive avec taxation (OPT) de la firme i.
- Comparaison graphique de l’OP et de l’OPT en termes de production et de profit total
Figures 5.a et b
13
3.2.2 Equilibre decentralise avec taxation
- Au niveau global, on observe les valeurs suivantes :· la pollution totale :
z =
n∑i=1
zi =
n∑i=1
hixi
· le cout externe resultant de la pollution globale :
CE(z) = CE
(n∑i=1
hixi
)= c
n∑i=1
hixi
Comme les emissions de toutes les firmes ont ↘ suite a la taxation, il en va necessairement de meme dela pollution globale et du cout externe.· le montant total de la taxe payee par les firmes a l’AE :
T = tz = t
n∑i=1
hixi
· le niveau de bien-etre :
BE = Π + T − CE(z) =
n∑i=1
[pfi(xi)− qxi]− cn∑i=1
hixi
La montant de la taxe intervient positivement dans le calcul du bien-etre car si elle est payee par lesfirmes, elle n’est pas perdue par l’economie puisque recuperee par l’AE.
- Les quantites de facteur xi, productions yi, emissions zi, profits πi (ou i = 1, ..., n), ainsi que la pollution
globale z, le cout externe CE(z) et le niveau de bien-etre BE determinent conjointement l’equilibredecentralise avec taxation, c-a-d l’etat de l’economie avec un taux de taxation sur les emissions t.
- Reduction de pollution de la firme i par rapport a l’equilibre de LF : la taxation induit une reductionde la pollution de la firme i egale a :
zi◦ − zi = hi [xi
◦ − xi]
= hi
[gi
(q
p
)− gi
(q + thip
)]ce qui donne un taux de reduction egal a
rti =zi◦ − zizi◦
=gi
(qp
)− gi
(q+thi
p
)gi
(qp
) (25)
Le taux de reduction est d’autant plus eleve que t est eleve.
3.2.3 Taxation optimale
- Si l’AE est capable de calculer l’OS (ce qui est rarement le cas en pratique), elle peut fixer le taux detaxation de facon a l’atteindre.
- pour qu’il en soit ainsi, les choix des firmes a l’OPT doivent coincider avec ceux caracterisant l’OS :
xi = x∗i , ∀i = 1, 2, ..., n
14
Or les CPO qui caracterisent le comportement de la firme i a l’OS et a l’OPT s’ecrivent respectivement :
OS : pif′i(x∗i )− qi − CE′ (z∗)hi = 0
OPT : pif′i(xi)− qi − thi = 0
Ces conditions coincident si :t∗ = CE′ (z∗) (26)
Donc le taux de taxation optimal est egal au cout externe marginal a l’OS.
- propriete : le taux de taxation optimal implique a la fois l’efficacite environnementale (z = z∗) etl’efficacite economique (la perte de profit
∑i [πi
◦ − π∗i ] due a la ↘ des xi est minimisee).
3.3 Le marche de permis negociables (MPN)
- Permis d’emission :· il s’agit d’une autorisation d’emettre une certaine quantite de polluant· un permis peut etre negociable (le cas envisage ici) ou non negociable· les permis peuvent etre vendus aux encheres ou distribues gratuitement aux pollueurs (le cas envisage
ici)· dans ce dernier cas, il existe differentes regles d’allocation (ex : regle du ”grand-fathering” ⇒
allocation de permis porportionnelle au niveau des emissions passees)
- L’AE· determine un objectif de pollution globale z· alloue gratuitement a chaque firme i une quantite de permis zi (i = 1, ..., n)· la distribution verifie que
z = z1 + z2 + ...+ zn =
n∑i=1
zi (27)
3.3.1 Comportement de la firme
- Les firmes sont supposees price-taker sur le marche des permis (comme sur les autres marches). Le prixdes permis peut donc etre considere comme exogene au niveau de la firme. Pour l’instant, on le supposeconnu et egal a τ. Il sera calcule a la sous-section suivante.
- La firme i recoit une dotation gratuite de permis qui lui permet de polluer la quantite zi. Le problemede la firme i s’ecrit :
maxxi,zi
πi = pfi(xi)− qxi − τ [zi − zi]
s.c.q. zi = hixi
ou τ est le prix des permis (donne pour la firme). zi−zi mesure la quantite achetee (si positif) ou vendue(si negatif) de permis par la firme. Le probleme peut se reecrire :
maxxi
πi = pfi(xi)− qxi − τ [hixi − zi]
- La CPO associee s’ecrit :
π′i(xi) = pf ′i(xi)− q − τhi = 0 (28)
⇒ pf ′i(xi) = q + τhi (29)
⇒ xi = gi([q + τhi] /p) (30)
Ces expressions sont tres similaires a (22), (23) et (24), le prix des permis τ remplacant le taux de taxationt. La firme i choisit sa quantite de facteur de facon a egaliser son revenu marginal pf ′i(xi) et son coutmarginal prix des permis compris q + τhi.
15
- Remarque importante : la formules (24) etablit la dependance de la consommation de facteur xi enfonction du prix des permis τ, mais ne permet pas encore de calculer xi. En effet, τ est a ce stade inconnu.C’est l’objet de la sous-section suivante.
3.3.2 Equilibre sur le marche des permis
- Les firmes etant supposees price-taker sur tous les marches (et donc aussi sur le marche des permis),on a pu considerer τ comme une exogene dans l’analyse de leur comportement. Cela n’est plus vrai auniveau agrege ! En effet, contrairement au taux de taxation, le prix des permis n’est pas fixe par l’AE,mais resulte de la loi de l’offre et de la demande sur le MPN.
- De la quantite de facteur consommee (30), on deduit :· emissions de la firme i :
zi = hixi = higi([q + τhi] /p) (31)
· demande nette de permis par la firme i :
di = zi − zi = higi([q + τhi] /p)− zi
di est une fonction decroissante de τ (⇐ g′i < 0). La Fig 6.a decrit la demande de deux firmes differentes(i = 1, 2). Si pour un certain τ, di < 0, alors la firme est en position d’offre.
Figure 6.a
- La demande agregee nette (D) est la somme des demandes individuelles nettes :
D(τ) =
n∑i=1
di(τ) =
n∑i=1
[zi(τ)− zi] (32)
- Le prix d’equilibre τ verifie la condition D(τ) = 0, obtenue quand l’offre cumulee des firmes en situationd’exces (zi(τ)− zi < 0) est egale a la demande cumulee des firmes en situation de besoin (zi(τ)− zi > 0).Vu (27), (31) et (32), D(τ) = 0⇒
z =
n∑i=1
higi
(q + τhi
p
)(33)
- (33) est illustree par la Fig 6.b. Le membre de gauche (z) est une fonction constante par rapporta τ , tandis que le membre de droite est decroissant en fonction de z. L’intersection determine le prixd’equilibre.
Figure 6.b
- Connaissant τ , on peut calculer la demande nette de permis par la firme i a l’equilibre : di(τ) =zi(τ) − zi = higi([q + τhi] /p) − zi ≷ 0. Cette quantite est positive pour les firmes qui achetent au prixτ , et negative pour les firmes qui vendent au prix τ .
- On peut aussi calculer la consommation de facteur xi, la production yi, les emissions zi et le profit πide chaque firme i :
xi = gi([q + τhi] /p)
yi = fi(xi)
zi = hixi
πi = pfi(xi)− qxi − τ [hixi − zi]
Ces valeurs determinent l’optimum prive avec permis (OPP) de la firme i.
16
- Reduction de pollution de la firme i p/r a l’equilibre de LF : la regulation induit une reduction de lapollution de la firme i egale a :
zi◦ − zi = hi [xi
◦ − xi]
= hi
[gi
(q
p
)− gi
(q + τhi
p
)]ce qui donne un taux de reduction egal a :
rpi =zi◦ − zizi◦
=gi
(qp
)− gi
(q+τhi
p
)gi
(qp
) (34)
Cette expression est tres similaire a (25), le prix des permis τ remplacant le taux de taxation t.
3.3.3 Quota optimal de permis
- Si l’AE est capable de calculer l’OS, elle peut fixer le quota total de permis de facon a l’atteindre. Lequota optimal de permis est determine par le niveau de pollution globale qui caracterise l’OS :
z∗ = z∗
- Le prix d’equilibre des permis τ∗ est solution de :
z∗ =
n∑i=1
zi(τ∗) =
n∑i=1
higi
(q + τ∗hi
p
)- Comparaison des CPO a l’OS et a l’OPP :
OS : pf ′i(x∗i )− q − CE′ (z∗)hi = 0
OPP : pf ′i(xi)− q − τhi = 0
OS et OPP coincident si :τ∗ = CE′ (z∗) (35)
Donc le prix d’equilibre est egal au cout externe marginal a l’OS.
- Comparaison avec la taxe optimale :· (26) et (35) ⇒
τ∗ = t∗
· sous les hypotheses du modele (information complete, absence d’incertitude, MPN parfaitementconcurrentiel,...), taxation et MPN sont equivalents pour atteindre l’OS. Dans ce cas, le MPN con-duit egalement a l’efficacite environnementale (z = z∗) et a l’efficacite economique (la perte de profit∑i [πi
◦ − π∗i ] due a la ↘ des xi est minimisee).· Attention : il n’y a pas d’equivalence entre les 2 instruments au niveau des profits. En effet, avec
le MPN, la firme recoit un ”subside” egal a τ∗zi :
taxation : π∗i = pifi(x∗i )− qix∗i − t∗hix∗i
MPN : π∗i = pifi(x∗i )− qix∗i − τ∗ [hix
∗i − zi]
Si les permis sont vendus aux encheres (⇒ zi = 0), alors l’equivalence s’etend aussi aux profits. L’equivalencepourrait aussi etre restauree si l’AE redistribuait les recettes de la taxation aux firmes.
- Remarque finale : il n’y a pas non plus equivalence dans un monde caracterise par une informationincomplete, ce qui est le cas en pratique (ex : les couts externes sont le plus souvent tres difficiles a
17
evaluer avec precision). Dans un monde incertain, les 2 instruments de regulation taxation et permis ontdes consequences differentes en termes de prix et quantite sur le marche de la pollution :· avec la taxe, le prix de la pollution est certain (c’est la taxe), mais la quantite totale de polluants
qui sera emise ne peut etre prevue exactement puisque les efforts de depollution des firmes ne peuventetre anticipes avec certitude· avec un marche de permis, la quantite totale de pollution est certaine (c’est le quota total de permis),
mais le prix des permis ne peut etre prevu exactement puisque les couts de depollution des firmes ne sontpas connus avec certitude.
18
4 Exercices
1) La fonction de production d’une firme est y = f(x) = x1/2. Le prix de la production (y) est p = 12,et celui du facteur de production (x) est q = 1. La firme produit aussi un polluant (z), en proportion desa production : z = y2/100. Le polluant se traduit par des dommages pour les habitants riverains de lafirme, dont le cout est proportionnel aux emissions : CE(z) = 50z.
(a) Calculez la production et la quantite du facteur optimales pour la firme sans prendre en comptel’externalite (optimum prive en situation de laissez-faire (LF)). Donnez aussi les niveaux correspondantsdu profit de la firme, de la pollution, du cout des dommages.
(b) Faites deux graphiques, le premier avec le chiffre d’affaire, le cout prive, le cout externe et lecout social en fonction de x, le second avec le profit en fonction de x. Verifiez que le solution graphiquecorrespond bien avec celle obtenue par calcul.
Correction
On peut d’abord tout reecrire en fonction de x : y = x1/2 et z = y2/100 ⇒ z = x/100 ⇒ CE(z) =50z = x/2.
a) En situation de LF, l’OP de la firme est la solution de :
maxx,y
π = py − qx
s.c.q. y = x1/2
ce qui peut se reecrire :maxx
π = 12x1/2 − x
La CPO conduit a :
121
2x−1/2 − 1 = 0
dont la solution s’ecrit :
x◦ = 36
⇒ y◦ = (x◦)1/2 = 6
⇒ π◦ = 12(x◦)1/2 − 1x◦ = 36
⇒ z◦ = x◦/100 = 0.36
⇒ CE(z◦) = 50z◦ = 18
b) Indications :- exprimer le chiffre d’affaire (py), le cout prive (CP = qx), le cout externe (CE), le cout social
(CS = CP + CE) et le profit (π) en fonction de x- prendre un echantillon de valeurs de x et porter les valeurs correspondantes des variables dependantes
sur le graphique- verifier que le maximum de π sur le graphique est obtenu en x = x◦
19
2) Une entreprise produit des produits en plastique (y) a partir de petrole (x) selon la fonction deproduction y = 3 ln(1 + x). Le prix de vente est p = 1, et celui du facteur de production est q = 0.5.L’entreprise produit des dechets (d) selon la relation d = x/2.
(a) Calculez la production et la quantite du facteur caracterisant l’optimum prive de laissez-faire (LF).Donnez aussi les niveaux correspondants du profit de la firme et de la quantite de dechets produits.
(b) L’autorite environnementale decide de taxer la production de dechets, en appliquant un tauxde taxation t = 1.2. Calculez la production, la quantite du facteur, le profit et la quantite de dechetscaracterisant l’optimum prive avec taxe.
Correction
a) En situation de LF, l’OP de la firme est la solution de :
maxx,y
π = py − qx
s.c.q. y = 3 ln(1 + x)
ce qui peut se reecrire :maxx
π = 3 ln(1 + x)− 0.5x
La CPO conduit a :3
1 + x− 0.5 = 0
dont la solution s’ecrit :
x◦ = 5
⇒ y◦ = 3 ln(1 + x◦) = 5.36
⇒ π◦ = 3 ln(1 + x◦)− 0.5x◦ = 2.86
⇒ d◦ = x◦/2 = 2.5
b) Avec un taux de taxation sur les dechets egal a t = 1.2, l’optimum prive avec taxe (OPT) est lasolution de
maxx,y,z
π = py − qx− td
s.c.q. y = 3 ln(1 + x) et d = x/2
ce qui peut se reecrire :maxx
π = 3 ln(1 + x)− 1.1x
La CPO conduit a :3
1 + x− 1.1 = 0
ce qui implique une consommation optimale de facteur de production egale a :
x = 1.73
⇒ y = 3 ln(1 + x) = 3.01
⇒ π = 3 ln(1 + x)− 1.1x = 1.11
⇒ d = x/2 = 0.86
La comparaison avec l’OP de laissez-faire montre que la taxe au taux t = 1.2 reduit la pollution maisne la fait pas disparaıtre.
20
3) Considerez un aeroport dont le bruit incommode les habitants riverains. Les dommages (B) lies aubruit sont une fonction inverse de la distance mesuree en km (d) : B(d) = 1/d2. Le cout de ces dommages(CB) est estime a 10B(d) (en euros).Francois travaille a l’aeroport. Son cout de transport (CTr) augmente avec la distance : CTr = 10d. Ildecide de s’installer dans les environs de l’aeroport. La distance minimale a respecter de l’aeroport a samaison est de 0, 1 km.
(a) Exprimez les couts totaux subis par Francois.(b) A quelle distance de l’aeroport Francois devrait-il s’installer ? A combien s’elevent les couts totaux
resultants ?(c) Supposez que Francois soit completement dedommage par les autorites de l’aeroport pour le
bruit subi. A quelle distance de l’aeroport choisira-t-il de s’etablir ? Quelle compensation recevra-t-il ?Comparer les couts dus au bruit avec ceux obtenus dans le cas (b).
Correction
a) Les couts totaux sont la somme des couts des dommages et des couts de transport (aller et retour !) :
CT (d) = CB(d) + 2CTr(d)
=10
d2+ 20d
b) Francois choisit la distance de facon a minimer ses couts totaux :
mind
CT (d) =10
d2+ 20d
s.c.q. d ≥ d
ou d est la distance minimale de l’aeroport a la maison (d = 0, 1 km). La CPO s’ecrit (on ignoreprovisoirement la contrainte) :
CT ′(d) = −210
d3+ 20 = 0
dont la solution est :d∗ = 1 km
Cette solution est acceptable puisque d∗ > d. Les couts totaux resultants sont :
CT (d∗) =10
(d∗)2+ 20d∗ = 30 euros
c) S’il est entierement compense pour le bruit, les couts totaux de Francois se limitent aux couts detransport. Pour minimiser ceux-ci, il doit evidemment se rapprocher le plus possible de l’aeroport, etdonc :
d∗ = d = 0.1 km
Le dedommagement compense les couts lies aux bruits et se monte par consequent a :
CB(d) =10
(d)2= 1000 euros
Dans le cas (b), les couts lies au bruit valent CB(1) = 10/12 = 10 euros. Le mecanisme de compensationa pour effet de faire exploser les couts lies aux bruits, couts que devra subir l’aeroport !
21
4) Soit deux firmes differentes decrites par le tableau suivant :
Firme Chiffre d’affaire Cout de production1 y1 = 2x1 CP (x1) = x2
1
2 y2 = 3x2 CP (x2) = x22
Les emissions polluantes des deux firmes sont respectivement x1 et x2. La pollution totale resultantde l’activite des 2 firmes s’ecrit : z = x1 + x2. Le cout des dommages dus a cette pollution vaut :CE(z) = z + 1.
(a) Calculez l’optimum prive de chaque firme a l’equilibre de laissez-faire (LF), c-a-d les emissionspolluantes, les profits, ainsi que le cout externe et le bien-etre qui en resulte.
(b) Calculez l’optimum social (emissions polluantes, profits, cout externe et bien-etre).(c) Calculez le taux de taxation sur les emissions polluantes conduisant a l’optimum social, le montant
des taxes payees par les firmes, ainsi que leurs profits apres taxation.(d) L’autorite environnementale impose une norme destinee a reduire la pollution a son niveau de
l’optimum social et se traduisant par un taux de reduction identique pour les 2 entreprises. Calculezl’equilibre obtenu avec norme (emissions polluantes, profits, cout externe et bien-etre) et comparez avecle cas (c).
Correction
a) - Firme 1 : a l’OP de LF, le probleme de la firme 1 s’ecrit :
maxx1
π1 = 2x1 − x21
La CPO s’ecrit :π′1(x1) = 2− 2x1 = 0
dont la solution est :x1◦ = 1
ce qui implique un profit egal a :π1◦ = 2x1
◦ − (x1◦)2 = 1
- Firme 2 : a l’OP de LF, le probleme de la firme 2 s’ecrit :
maxx2
π2 = 3x2 − x22
La CPO s’ecrit :π′2(x2) = 3− 2x2 = 0
dont la solution est :x2◦ = 1, 5
ce qui implique un profit egal a :π2◦ = 3x2
◦ − (x2◦)2 = 2.25
- A l’equilibre de LF, la pollution totale vaut :
z◦ = x1◦ + x2
◦ = 2.5
d’ou un cout externe egal a :CE(z◦) = z◦ + 1 = 3.5
et un bien-etre egal a :BE◦ = π1
◦ + π2◦ − CE(z◦) = −0.25
22
b) L’optimum social (OS) se caracterise par la maximisation du bien-etre :
maxx1,x2,z
BE = π1 + π2 − CE(z)
s.c.q. z = x1 + x2
Etant donne les definitions des profits et du cout externe donnees ci-dessus, ce probleme peut se reecrire :
maxx1,x2
BE = 2x1 − x21 + 3x2 − x2
2 − [x1 + x2 + 1]
Les CPO s’ecrivent :
∂BE
∂x1= 2− 2x1 − 1 = 0
∂BE
∂x1= 3− 2x2 − 1 = 0
dont les solutions sont :
x∗1 = 0.5
x∗2 = 1
ce qui implique des profits respectifs egaux a :
π∗1 = 2x∗1 − (x∗1)2 = 0.75
π∗2 = 3x∗2 − (x∗2)2 = 2
A l’OS, la pollution totale vaut :z∗ = x∗1 + x∗2 = 1.5
d’ou un cout externe egal a :CE(z∗) = z∗ + 1 = 2.5
et un bien-etre egal a :BE∗ = π∗1 + π∗2 − CE(z∗) = 0.25
c) Soit le taux de taxation t.
- Firme 1 : a l’optimum prive avec taxation (OPT), le probleme de la firme 1 s’ecrit :
maxx1
π1 = 2x1 − x21 − tx1
La CPO s’ecrit :π′1(x1) = 2− 2x1 − t = 0
dont la solution est :
x1(t) =2− t
2
Cette expression exprime la pollution de la firme 1 en fonction du taux de taxation t.
- Firme 2 : a l’optimum prive avec taxation (OPT), le probleme de la firme 2 s’ecrit :
maxx2
π2 = 3x2 − x22 − tx2
La CPO s’ecrit :π′2(x2) = 3− 2x2 − t = 0
dont la solution est :
x2(t) =3− t
2
23
Cette expression exprime la pollution de la firme 2 en fonction du taux de taxation t.
- Le taux de taxation (t∗) est optimal si la pollution obtenue avec cette taxe correspond a celle de l’OS,ce qui implique que
z∗ = x1(t∗) + x2(t∗)
ou, etant donne ce qui precede, que
1.5 =2− t∗
2+
3− t∗
2
dont la solution estt∗ = 1
On constate que le taux de taxation conduisant a l’OS est egal au prix d’equilibre d’un marche de permisnegociables conduisant a l’OS.
- Les profits apres taxation sont :
π1 = 2x1(t∗)− x21(t∗)− t∗x1(t∗) = 0.25
π2 = 3x2(t∗)− x22(t∗)− t∗x2(t∗) = 1
d) La norme est fixee de facon que zn = z∗ = 1.5. Comme z◦ = 2.5, le taux de reduction des emissionsidentique impose aux 2 firmes vaut :
rn =z◦ − z∗
z◦= .4
- Firme 1 : les emissions s’ajustent au maximum permis par la norme :
xn1 = [1− rn]x1◦ = .6
d’ou un profit egal aπn1 = 2xn1 − (xn1 )2 = .84
- Firme 2 : les emissions s’ajustent au maximum permis par la norme :
xn2 = [1− rn]x2◦ = .9
d’ou un profit egal aπn1 = 3xn1 − (xn1 )2 = 1.89
- Comme zn = z∗, le cout externe est le meme qu’a l’OS :
CE(zn) = CE(z∗) = 2.5
d’ou un bien-etre egal a :BEn = πn1 + πn2 − CE(zn) = .23
- Compare avec la taxation, le bien-etre est moins eleve. Si le cout externe est le meme (puisque lapollution globale est identique), les profits avant taxe sont plus eleves avec la taxation, car la perte deprofit induite par la reduction de la pollution est moindre avec la taxe qu’avec la norme. En d’autrestermes, contrairement a la taxe, la norme n’est pas efficace sur le plan economique.
24
5) Dans une ville, 2 firmes (indicees 1 et 2) produisent du caoutchouc synthetique. Les quantitesproduites sont respectivement y1 et y2. Celui-ci est vendu 60 euros/tonne. Les fonctions de cout et lapollution par unite produite des 2 firmes sont decrites par le tableau suivant :
Firme Pollution par unite produite Cout de production1 z1/y1 = 1 CP (y1) = 300 + 2y2
1
2 z2/y2 = 1 CP (y2) = 500 + y22
Le cout externe de la pollution est estime a 12 euros par tonne de polluant.(a) Calculez l’optimum prive de chaque firme en situation de laissez-faire (LF), c-a-d les emissions
polluantes, les profits, ainsi que le cout externe et le bien-etre qui en resulte.(b) Calculez l’optimum social (emissions polluantes, profits, cout externe et bien-etre).(c) La ville impose un systeme de permis de pollution negociables de facon a atteindre l’optimum
social. Les permis sont vendus aux encheres. Il faut un permis par tonne de polluant. Calculez le prixd’equilibre des permis, la demande de permis par chacune des firmes, ainsi que le profit des firmes.
(d) Calculez le taux de taxation sur les emissions polluantes conduisant a l’optimum social, le montantdes taxes payees par les firmes, ainsi que leurs profits apres taxation. Comparez avec le point (c).
Correction
a) - Firme 1 : a l’OP de LF, le probleme de la firme 1 s’ecrit :
maxy1
π1 = py1 − CP (y1) = 60y1 − 300− 2y21
La CPO s’ecrit :π′1(y1) = 60− 4y1 = 0
dont la solution est :y1◦ = 15 tc (tonnes de caoutchouc)
ce qui implique des emissions polluantes egales a
z1◦ = y1
◦ = 15 tp (tonnes de polluant)
et un profit egal a :π1◦ = 60y1
◦ − 300− 2(y1◦)2 = 150 eu (euros)
- Firme 2 : a l’OP de LF, le probleme de la firme 2 s’ecrit :
maxy2
π2 = py2 − CP (y2) = 60y2 − 500− y22
La CPO s’ecrit :π′2(y2) = 60− 2y2 = 0
dont la solution est :y2◦ = 30 tc
ce qui implique des emissions polluantes egales a
z2◦ = y2
◦ = 30 tp
et un profit egal a :π2◦ = 60y2
◦ − 500− (y2◦)2 = 400 eu
- A l’equilibre de LF, la pollution totale vaut :
z◦ = z1◦ + z2
◦ = 45 tp
d’ou un cout externe egal a :CE(z◦) = 12z◦ = 540 eu
25
et un bien-etre egal a :BE◦ = π1
◦ + π2◦ − CE(z◦) = 10 eu
b) L’optimum social (OS) se caracterise par la maximisation du bien-etre :
maxy1,y2,z
BE = π1 + π2 − CE(z)
s.c.q. z = y1 + y2
Etant donne les definitions des profits et du cout externe donnees ci-dessus, ce probleme peut se reecrire :
maxy1,y2
BE = 60 [y1 + y2]− 300− 2y21 − 500− y2
2 − 12 [y1 + y2]
Les CPO s’ecrivent :
∂BE
∂x1= 60− 4y1 − 12 = 0
∂BE
∂x1= 60− 2y2 − 12 = 0
dont les solutions sont :
y∗1 = 12 tc
y∗2 = 24 tc
ce qui implique des profits respectifs egaux a :
π∗1 = 60y∗1 − 300− 2(y∗1)2 = 132 eu
π∗2 = 60y∗2 − 500− (y∗2)2 = 364 eu
A l’OS, la pollution totale vaut :z∗ = y∗1 + y∗2 = 36 tp
d’ou un cout externe egal a :CE(z∗) = 12z∗ = 432 eu
et un bien-etre egal a :BE∗ = π∗1 + π∗2 − CE(z∗) = 64 eu
c) Puisque la ville souhaite atteindre l’OS, elle doit vendre une quantite totale de permis z = z∗ = 36permis (l’enonce stipule qu’un firme doit detenir 1 permis par tonne de polluant emise). Les permis sontvendus aux encheres, donc les dotations de permis donnees aux firmes sont nulles
z1 = z2 = 0
- Firme 1 : a l’optimum prive avec permis negociables (OPN), le probleme de la firme 1 s’ecrit :
maxy1
π1 = py1 − CP (y1)− τy1 = 60y1 − 300− 2y21 − τy1
ou τ est le prix des permis (exogene pour les firmes et qui est determine ci-dessous). y1 represente a lafois la production, la pollution de la firme 1 (puisque y1 = z1) et la quantite de permis dont elle a besoin(egale a z1 puisque elle doit detenir autant de permis qu’elle ne pollue). Etant donne que z1 = 0, elledoit acheter tous les permis dont elle a besoin aux encheres. La CPO s’ecrit :
π′1(y1) = 60− 4y1 − τ = 0
dont la solution est :
y1(τ) =60− τ
4= z1(τ) (tc ou tp)
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La 2eme egalite exprime la pollution de la firme 1 en fonction de τ, ou de facon equivalente la quantitede permis dont elle aura besoin en fonction de τ .
- Firme 2 : a l’optimum prive avec permis negociables (OPN), le probleme de la firme 2 s’ecrit :
maxy2
π2 = py2 − CP (y2)− τy2 = 60y2 − 500− y22 − τy2
Les considerations ci-dessus pour la firme 1 s’etendent a la firme 2. Etant donne que z2 = 0, la firme doitacheter tous les permis dont elle a besoin aux encheres. La CPO s’ecrit :
π′2(x2) = 60y2 − 2y2 − τ = 0
dont la solution est :
y2(τ) =60− τ
2= z2(τ) (tc ou tp)
Cette expression exprime la pollution de la firme 2 en fonction de τ, ou de facon equivalente la quantitede permis dont elle aura besoin en fonction de τ .
- Equilibre du marche de permis : le prix d’equilibre (τ∗) resulte de l’egalite entre l’offre et la demande :
z = z1(τ∗) + z2(τ∗) (tp ou permis)
ou, etant donne ce qui precede, de l’equation
36 =60− τ∗
4+
60− τ∗
2
dont la solution estτ∗ = 12 eu
Il en resulte les emissions (et donc les achats de permis) :
z1(τ∗) =60− 12
4= 12 (tp ou permis)
z2(τ∗) =60− 12
2= 24 (tp ou permis)
Les firmes 1 et 2 achetent respectivement 12 et 24 permis a la ville.
- Les profits apres echanges de permis sont :
π1 = py∗1 − CP (y∗1)− τy∗1 = 60y∗1 − 300− 2(y∗1)2 − 12y∗1 = −12 eu
π2 = py∗2 − CP (y∗2)− τy∗2 = 60y∗2 − 500− (y∗2)2 − 12y∗2 = 76 eu
d) Soit le taux de taxation t.
- Firme 1 : a l’optimum prive avec taxation (OPT), le probleme de la firme 1 s’ecrit :
maxy1
π1 = py1 − CP (y1)− ty1 = 60y1 − 300− 2y21 − ty1
La CPO s’ecrit :π′1(y1) = 60− 4y1 − t = 0
dont la solution est :
y1(t) =60− t
4= z1(t) (tc ou tp)
Cette expression exprime la pollution de la firme 1 en fonction du taux de taxation t.
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- Firme 2 : a l’optimum prive avec taxation (OPT), le probleme de la firme 2 s’ecrit :
maxy2
π2 = py2 − CP (y2)− ty2 = 60y2 − 500− y22 − ty2
La CPO s’ecrit :π′2(y2) = 60− 2y2 − t = 0
dont la solution est :
y2(t) =60− t
2= z2(t) (tc ou tp)
Cette expression exprime la pollution de la firme 2 en fonction du taux de taxation t.
- Le taux de taxation (t∗) est optimal si la pollution obtenue avec cette taxe correspond a celle del’OS, ce qui implique que
z∗ = z1(t∗) + z2(t∗)
ou, etant donne ce qui precede, que
36 =60− t∗
4+
60− t∗
2
dont la solution estt∗ = 12 eu/tp
Il en resulte les emissions :
z1(t∗) =60− 12
4= 12 tp
z2(t∗) =60− 12
2= 24 tp
On constate que le taux de taxation conduisant a l’OS est egal au prix d’equilibre d’un marche de permisnegociables conduisant a l’OS.
- Les profits apres taxation sont :
π1 = py∗1 − CP (y∗1)− t∗y∗1 = 60y∗1 − 300− 2(y∗1)2 − 12y∗1 = −12 eu
π2 = py∗2 − CP (y∗2)− t∗y∗2 = 60y∗2 − 500− (y∗2)2 − 12y∗2 = 76 eu
La comparaison avec les profits obtenus au point (c) montre que les profits apres achats de permis sontidentiques aux profits apres taxation :
π1 = π1
π2 = π2
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