Tome 2

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Table des matières

Les mathématiques sur le terrain 4

Préface de Arvind Gupta 5

Avant-propos de Jean-Marie De Koninck 7

Chapitre 1

Pi, ou la vie d’artiste 9 Petite histoire du roi des nombres

Chapitre 2

Les maths dans les arts 31 Avoir l’oreille musicale, c’est aussi avoir l’oreille mathématicienne

Chapitre 3

Des arts dans les maths 53 Incursion dans le monde des fractales

Références bibliographiques 80

Les mathématiques sur le terrain

Show MathShow Math est un spectacle destiné aux jeunes et moins jeunes, où

l’humour, les mathématiques et le multimédia sont au rendez-vous. Animé par des professeurs de mathématiques de l’Université Laval et appuyé par des vidéos ainsi que des sketches humoristiques, le spectacle aborde d’une manière simple et amusante une foule de sujets touchant les mathématiques. Depuis l’hiver 2010, Show Math 2 est aussi offert dans les écoles.

Saviez-vous que c’est grâce aux mathématiques si un appareil MP3 peut contenir autant d’information? Comment savoir si quelqu’un a triché en tirant à pile ou face? Saviez-vous que dans toute salle où il y a au moins 23 personnes, il y a 50 % de chances qu’au moins deux d’entre elles aient la

même date d’anniversaire? Comment les mathématiques ont-ils aidé les Alliés à remporter la deuxième guerre mondiale? Quelles sont les mathématiques derrière le fonctionnement des GPS? Voilà quelques-uns des thèmes abordés dans Show Math 1 et Show Math 2 et qui vous convaincront que les mathématiques sont bel et bien présentes dans notre vie de tous les jours.

Math en jeuPeut-on s’amuser en faisant des maths? L’équipe de Sciences et

mathématiques en action (SMAC) vous dit « oui »! Math en jeu est un jeu multimédia interactif développé par SMAC et accessible gratuitement sur Internet. L’objectif, en ligne avec la mission de SMAC, consiste à exposer les jeunes aux mathématiques par le jeu, tout en invitant le grand public à renouer avec les mathématiques.

Math en jeu est essentiellement un jeu de société à saveur mathématique. Jusqu’à quatre joueurs s’affrontent dans une même partie en se déplaçant sur un échiquier créé de façon aléatoire. Tous tentent d’amasser le plus de jetons possible avant que le temps ne soit écoulé. Pour pouvoir avancer et gagner

des jetons, chacun doit répondre à des questions mathématiques : plus le déplacement souhaité est grand, plus la question posée est difficile, et plus elle rapporte!

Dans le cas où le joueur n’obtient pas la bonne réponse, une rétroaction unique à chaque question est affichée, expliquant au joueur la raison de son erreur et la façon d’obtenir la bonne réponse. De manière à rendre le jeu plus dynamique, tous les joueurs d’une même partie peuvent se déplacer simultanément, à leur rythme, et indépendamment des autres. On peut aussi jouer seul en demandant à l’ordinateur de fournir trois opposants virtuels.

Math en jeu est développé en collaboration avec MITACS et conjointement avec des étudiants et des enseignants et alimente sa banque de questions en fonction des programmes du ministère de l’Éducation, du Loisir et du Sport.

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http://mathenjeu.mat.ulaval.ca

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Préface

Dans cet excitant tome 2 de En chair et en maths, le pro-fesseur Jean-Marie De Koninck, homme dynamique et aux multiples talents, nous présente trois domaines des mathé-matiques particulièrement intrigants. En nous expliquant leurs implications dans notre quotidien, il nous présente le nombre π (pi), la relation entre les mathématiques et les arts et enfin les fractales. Chacun de ces concepts est décrit de manière accessible et compréhensible pour un public de tous horizons… incluant les étudiants du secondaire allergiques aux maths!

Ce livre traite de remarquables formes et modèles propres aux mathématiques qui nous permettent d’expliquer la struc-ture de l’univers qui nous entoure. Le professeur De Koninck donne vie au nombre π en réconciliant ses facettes géomé-trique et analytique et nous raconte habilement la conquête fascinante du développement de ses décimales. Il nous rap-pelle que les mathématiques et la musique sont toutes deux des langages et il nous montre que la belle musique plaît à l’oreille précisément parce que les notes ont une structure mathématique. À la lecture du livre, nous apprenons égale-ment que les caractéristiques fondamentales de la nature peu-vent s’expliquer par les processus itératifs que l’on retrouve dans les fractales, et que la beauté des mathématiques et celle de la nature sont intimement liées. Le livre est amusant et foi-sonne d’informations et d’anecdotes qui piquent la curiosité; en ce sens, il amène les jeunes et les moins jeunes à découvrir le caractère emballant des mathématiques tout en les inci-tant à cultiver leur intérêt pour les mathématiques au-delà de la salle de classe.

En tant que directeur scientifique de MITACS, le seul réseau national de centres d’excellence en sciences mathématiques

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au Canada (en anglais MITACS, pour Mathematics of Information Technology and Complex System), je me sens privilégié de pouvoir explorer les applications aussi variées que remarquables des mathématiques dans notre vie quo-tidienne. De la propagation des maladies infectieuses à la lutte aux feux de forêts, les mathématiques sont à la base de tous les domaines de l’activité humaine. Chez MITACS, nous savons que les possibilités de découvertes et d’innovations reliées aux mathématiques sont illimitées. C’est pourquoi je suis emballé par le potentiel qu’aura ce livre à intéresser les jeunes à une discipline que j’adore. Attirer les étudiants vers les études supérieures en mathématiques est une tâche éton-namment difficile. En effet, au moment même où ils arrivent à maîtriser les raisonnements complexes propres aux mathé-matiques avancées, plusieurs étudiants abandonnent les mathématiques pour toujours. L’écart entre les attitudes et les idées auxquelles les étudiants sont exposés à l’école et leur réelle capacité à apprécier la beauté et le pouvoir des mathé-matiques est immense. Les élèves du primaire sont naturel-lement curieux à l’égard des mathématiques, voire fascinés par la résolution de problèmes . Ce livre a non seulement le potentiel de raviver l’enthousiasme du lecteur, mais aussi de faire naître un intérêt soutenu pour les mathématiques. La passion du professeur De Koninck pour les mathématiques transparaît à chaque page et une fois la lecture amorcée, vous serez surpris de constater que En chair et en maths 2 est doté d’un contagieux pouvoir d’attraction!

Arvind GuptaDirecteur scientifique de MITACS

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Avant-propos

Démystifier les mathématiques auprès des jeunes, montrer qu’elles sont accessibles, voire amusantes, est-ce possible? C’est le défi que nous avons relevé en publiant, en 2008, le tome 1 de En chair et en maths. Cet ouvrage se voulait le pen-dant du spectacle multimédia Show Math, offert depuis 2005 dans les écoles secondaires du Québec et plus récemment au Nouveau-Brunswick, en Ontario et en Colombie-Britannique.

Forts des commentaires positifs qui ont suivi la publica-tion du tome 1 et pour donner suite au nouveau spectacle Show Math 2, nous avons décidé de publier un tome 2 et d’y présenter trois sujets fascinants. D’abord, le nombre π (pi) : qui aurait cru que le rapport de la circonférence d’un cercle sur son diamètre aurait pu susciter et maintenir l’intérêt d’autant de mathématiciens pendant des millénaires? Même si on connaît aujourd’hui quelques milliards de ses déci-males, ce nombre demeure entouré de mystères, et c’est ce qui le rend d’autant plus attrayant. Ensuite, nous abordons les arts, en montrant, entre autres, que les mathématiques ont accompagné la musique depuis qu’on la joue et qu’elles lui sont encore tout aussi utiles aujourd’hui. Par exemple, les mathématiques sont essentielles au bon fonctionnement des appareils MP3. Le troisième sujet est consacré aux fractales, ces objets géométriques que l’on prend plaisir à construire à l’aide d’un ordinateur et qui nous offrent des images aussi spectacu laires que surprenantes.

Tout comme pour le premier tome, le talent et l’imagina-tion du journaliste Jean-François Cliche ont été mis à profit pour m’aider à réaliser le tome 2. Mes remerciements vont également aux professeurs Thomas Ransford, Chantal Buteau et Frédéric Gourdeau qui ont accepté de lire et de corriger une version préliminaire de cet ouvrage.

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L’intérêt pour les mathématiques n’est pas seule-ment l’apanage des jeunes. En effet, l’accueil favo-

rable de la population en général à l’égard du tome 1 démontre bien qu’en ce début de XXIe siècle, les mathématiques ont de plus en

plus la cote et que tout le monde peut savourer à la fois leur côté ludique et leurs applications dans la vie de tous les jours. C’est pourquoi nous croyons que ce tome 2 plaira à un public de tous les âges et qu’il incitera les jeunes comme les moins jeunes à explorer davantage l’univers

fascinant des mathématiques.

Jean-Marie De Koninck

Professeur titulaireDépartement de mathématiques et de statistique

Université Laval, Québecjmdk@mat.ulaval.ca

Pi, ou la vie d’artiste 1

Le célèbre nombre pi fascine les mathématiciens (et bien d’autres gens)

depuis la nuit des temps. mais bien qu’on l’appelle parfois le « roi des nombres », sa majesté a dû se

contenter d’un humble rôle d’auxiliaire de la géométrie

pendant des millénaires avant que l’on découvre sa vraie

nature. son règne déjà centenaire n’est pas près

de se terminer…

En chair et en mAThs 10

Rock’n’roll!Imaginez, même si cela peut faire mal, la dégaine que vous

auriez dans un pantalon de cuir noir. Bien serré, cela va de soi. Ensuite, figurez-vous quelle serait votre allure si l’on y ajou-tait un t-shirt sans manches, un anneau dans le nez, des bra-celets cloutés et une guitare électrique au cou – une bonne vieille Jackson King V, pour les initiés.

Bref, mettez-vous un instant dans les grosses espadrilles blanches d’un guitariste de speed métal…

Vous avez tout pour réussir. Du talent. Du rythme. Des doigts inhumainement rapides. De bons musiciens

pour vous accompagner. Et le meil leur nom de groupe métal jamais inventé : Arithmetica.

11Pi, ou la vie d’artiste

Mais malgré tous ces atouts, pas moyen de trouver une maison de disque qui accepte d’enregistrer vos chefs- d’œuvre. Pas même un disquaire pour mettre vos démos sur ses tablet-tes. Vous avez tout essayé, il n’y a rien à faire. Votre mu sique doit être trop en avance sur son temps, ou trop sophistiquée pour ces barbares qui ne comprennent rien à l’art. Et pour couronner le tout, voilà que vos musiciens commencent à se décourager, même à parler de tout abandonner.

Il faut vous rendre à l’évidence : la situation est désespérée, vous ne pouvez plus espérer vous en sortir seul. Mais qui pourrait (ou même voudrait) bien vous venir en aide en ce bas monde où personne ne sait apprécier votre génie?

En désespoir de cause, vous vous résignez à faire ce que n’importe quel métalliste ferait en pareilles circonstances : vous tracez un pentacle sur le sol et invoquez le concours d’esprits maléfiques. Ou d’une fée des ténèbres. Ou du diable en personne. Enfin, dans votre position, le premier farfadet du bord fera l’affaire. De toute façon, les musiciens heavy métal sont toujours soupçonnés de satanisme, et cer-tains puristes croient même que les seuls vrais « métal-leux » sont ceux qui ont vendu leur âme. Alors vous n’avez pas grand-chose à perdre.

Avec l’aide de la chanteuse d’Arithmetica, Lita Forgues, qui aime bien les histoires occultes, vous entamez la cérémonie. Or, à votre grande surprise, un abominable lutin bossu, édenté et cornu, apparaît sou-dain parmi les lampions, se frotte les mains dès qu’il vous aperçoit en vous jetant un sourire déviant.

– Salut, moi, c’est Eddie, dit-il. Besoin d’un coup de main, à ce que je vois.

– Ben... Nous sommes de bons musiciens, mais il n’y a pas moyen de...

– Je sais, je sais, vous interrompt-il. Vous n’êtes pas les premiers à me demander ce genre de chose. Alors on va faire un marché. C’est à prendre ou à laisser. Au 666e sous-sol de l’enfer, où j’habite, le prof de maths de ma fille – d’ailleurs, voici sa photo, elle est

12 En chair et en mAThs

mignonne hein? – a donné un devoir particulièrement retors à sa classe. Les élèves doivent calculer la 5 142 058 935 068e décimale du nombre π (pi). Je veux bien tricher et aider ma fille à trouver la réponse, puisque tous les parents trichent en enfer, mais j’ignore totalement comment m’y prendre. Alors vous me dégotez cette décimale, et je vous rends célèbre. Voilà mon offre. Non négociable. Allez hop!

Et le lutin disparaît aussitôt dans une gerbe de flammes.

«Ventre Saint-Gris! vous exclamez-vous, comme le font généralement les amateurs de métal quand ils sont vraiment très contrariés, 5 100 milliards de décimales!»

À l’évidence, ce sombre nabot n’est pas venu pour vous faire de cadeau. Le calcul qu’il exige, en effet, est environ 2 fois plus précis que le record de près de 2 600 milliards de décimales (2,57698 x 1012, pour être exact) établi en 2009 par l'équipe du mathématicien japonais Daisuke Takahashi.

Mais bon, qu’est-ce qu’on ne ferait pas pour devenir célèbre. Et puis, vous et Lita Forgues êtes les matheux du groupe – qui ne s’appelle pas Arithmetica pour rien, après tout.

Il ne vous reste plus qu’à vous retrousser les manches...

{π est un nombre dit « irrationnel ». Cela signifie qu’il ne peut pas s’écrire

comme le rapport de deux entiers, tels 1/2, 4/10 ou 71/453, par exemple.

En outre, contrairement à ces fractions, qui ont toutes une « période »

– soit une séquence de chiffres qui se répète indéfiniment, comme

1/2 = 0,500 000... ou 1/7 = 0,142 857 142 857... –, le développement

décimal des nombres irrationnels s’étend jusqu’à l’infini sans jamais

se répéter.

Ces interminables suites de chiffres n’ont jamais intéressé grand-monde,

mais π fait figure d’exception. Son développement décimal, comme on le

verra plus loin, exerce depuis des siècles une véritable fascination sur de

nombreux mathématiciens (et autres esprits curieux), qu’ils aient été à la

recherche d’un pattern gouvernant la succession des décimales de π, ou

tout simplement d’un record…}

13Pi, ou la vie d’artiste

Une constante géométriqueQu’est-ce qu’on apprend à l’école à propos du nombre π,

vous demandez-vous? Généralement, qu’il est le rapport de la circonférence C d’un cercle sur son diamètre D (ou de deux fois son rayon r), soit π = C/D = C/2r = 3,141 592... Cette pro-portionnalité découle d’un des théorèmes les plus anciens et les plus fondamentaux de la géométrie, le théorème de Thalès, du nom du mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet, qui vécut en Anatolie, dans la Turquie actuelle, entre environ 625 et 547 avant notre ère. Son théorème affirme que deux droites parallèles croisant des droites concourantes (ou « non parallèles », si l’on préfère) divi sent des segments dont les rapports de longueur sont tous égaux.

Comme le montre la figure ci-contre, si l’on applique ce théorème à deux cercles concentriques à l’intérieur desquels on a dessiné des polygones réguliers, le théo-rème de Thalès implique que le rapport du périmètre d’un polygone à son rayon est toujours le même, peu importe la taille que l’on donne au polygone. Et le même prin-cipe prévaut pour les cercles, puisque ce sont en quelque sorte des « polygones avec un nombre infini de côtés ».

Évidemment, il est impensable de tracer un cercle, si grand soit-il, et d’en prendre des mesures suffisamment précises pour calculer 5 100 milliards de décimales de π. Mais ce théorème de Thalès vous donne tout de même une petite idée : en imaginant des polygones dans et autour d’un cercle, on peut obtenir une fourchette à l’intérieur de laquelle se trouve la valeur de π, car le périmètre de ces polygones peut être cal-culé très exactement sans que l’on ait à les

Pi dans quelques formules bien connues

•Lacirconférenced’uncercle:C=2πr•L’aired’uncercle:A=πr2

•Levolumed’unesphère:V=(4πr3)/3

a1 = b1 =

c1

a2 b2 c2

a1

a2

b1b2

c1

c2

a1 = b1 =

P1

a2 b2 P2

b2b1

a1

a2

périmètre P2

périmètre P1

Thalès et les cercles

14 En chair et en mAThs

dessiner. Par exemple, avec deux carrés et un cercle de rayon 1(voir la fi gure), on obtiendrait ceci :

•D’unepart,danslepluspetitdesdeuxcarrés,ladistanceentre le centre et les coins serait égale au rayon, soit 1. La longueur des côtés serait donc de √2, ou 1,414..., puisqu’un autre théorème, « de Pythagore » celui-là, nous dit que dans un triangle rectangle, a2 + b2 = c2 – donc 12 + 12 = c2, et c = √2. Le périmètre de ce carré serait donc égal à 4 x 1,414… = 5,656… Ici, le rapport de la circonférence sur le diamètre est donc environ 5,656 / 2 = 2,828 – qui est la borne inférieure de la valeur de π.

•D’autre part, le grand carré aurait un côté de 2 fois lerayon, soit 2 x 1 = 2, et donc un périmètre de 8. Notre borne supérieure est de C/D = 8 / 2 = 4.

•Lavaleurdeπ se situe donc entre 2,828 et 4.

Bien sûr, bien sûr, c’est là une bien large fourchette, mais on n’a fait cet exercice qu’avec des carrés. En imagi-nant des polygones ayant beaucoup, beaucoup plus de côtés, on pourrait atteindre une précision infi nie, non?

Théoriquement, oui. Mais en pratique, c’est une autre histoire. Avec des polygones à 96 côtés, le grand Archimède a obtenu 3,1408 < π < 3,1429, soit seulement deux déci -males. Plus d’un millénaire et demi plus tard, le mathéma-ticien perse Al-Kashi (~1380 - 1429) a calculé 14 dé ci males en reprenant les polygones d’Archimède, mais ses poly-gones avaient 3 x 228 côtés

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(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( P pour périmètreAu XVIIe siècle, les mathématiciens anglais

William Oughtred (1574-1660) et Isaac Barrow (1630-1677; il fut le maître de l’illustre Isaac Newton) ont commencé à utiliser la lettre grecque π, l’équivalent de notre « p », pour désigner la circonférence d’un cercle. Ils fi rent ce choix parce que les traités de géométrie grecque de l’Antiquité étaient encore en usage et que le mot grec perimetron signifi e, comme on s’en doute, « périmètre ». Au siècle suivant, leur collègue gallois William Jones (1675-1749) fi t un pas de plus dans son livre A New Introduction to Mathematics, où la lettre π référait au rapport de la circonférence sur le diamètre. Cette notation fut ensuite reprise par le grand Leonhard Euler (1707-1783), surnommé « prince des mathématiques », ce qui universalisa cet usage.

15Pi, ou la vie d’artiste

(soit plus de 800 millions de côtés!) et il dut recourir à des maths plus élaborées. De plus, cette méthode prend de toute façon un temps fou : un des derniers à l’utiliser fut l’Allemand Ludolph von Ceulen (1540-1610), qui mit pas moins de 20 ans à pondre 32 déci-males.

Non, vraiment, si vous voulez endisquer avant la fi n du mil lénaire, il vous faut autre chose que des polygones, quelque chose d’un peu plus avancé…

(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( Archimède de syracuseLe célèbre Archimède de Syracuse (~287-~212 av. J.-C.) fut sans contredit l’un des plus

brillants esprits de l’Antiquité. En plus de ses travaux en géométrie, on lui doit des découvertes fondamentales en physique, notamment la « poussée d’Archimède », qui dit que tout corps plongé dans un liquide reçoit une poussée ascendante égale au poids du volume de liquide déplacé. Archimède inventa également la « méthode d’exhaustion » pour calculer l’aire sous une courbe (ou des encadrements de π comme on vient de faire), ce en quoi il touchait presque au calcul intégral, mis au point 2000 ans plus tard, au XVIIIe siècle. La petite histoire veut que ce soit lui qui ait rendu célèbre l’expression Eurêka! (« j’ai trouvé » en grec). Après avoir dé couvert la poussée d’Archimède en obser vant son savon remonter à la surface de sa baignoire, dit la légende, il se serait précipité hors de chez lui complètement nu en s’écriant Eurêka! dans les rues... Archimède fut tué par un soldat romain lors de l’invasion de Syracuse par Rome.

Quelques valeurs approximatives de π au cours de l’histoire

Source Formule ValeurBible π=3 3,0Égypteancienne π=(4/3)4 3,1605...Archimède π=22/7 3,1428...Ptolémée π=3+1/8+1/60 3,14166...Inde(versl’an500) π=3,1416 3,1416