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Energie Electrique

L2 EEA Mécanique Génie Civil

[email protected] [email protected]

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Programme

• 9 h Cours, 9 h TD, 6h TP – 3 ECTS • Dipôles linéaires et association de dipôles. • Régime sinusoïdal monophasé : représentation vectorielle

et complexe, amplitude et impédances complexes. • Puissance instantanée, puissance apparente, puissance

active et réactive. • Théorème de Boucherot. • Relèvement du facteur de puissance et influence sur les

pertes en ligne. • Initiation aux grandeurs triphasées et aux réseaux de

distribution de l’énergie électrique. • Transformateur monophasé idéal.

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Cours N°1 :

Chapitre 1 : Energie électrique

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Energie électrique

Production Transport Distribution Conversion Utilisation

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Energie électrique

Production (France) énergie électrique le 8 février 2016 (RTE)

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Energie électrique :

Stockage de l’énergie électrique sous d’autres formes

station de transfert d’énergie par pompage (STEP)

Accumulateur Li-ion 7 kWh

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Energie électrique :

Production Transport Distribution Conversion Utilisation

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Production mondiale d’énergie en 2012

Energies primaires : 155 500 TWh Energie électrique (Energie secondaire) : 10 000 TWh

1 tep= 42 milliards de joules = 42 GJ = 42 109 J = 11700 kWh

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Production Electrique mondiale d’énergie électrique en 2014

10 000 TWh

12%

68% (~40% Charbon)

16%

4%

http://www.cnrs.fr

Nucléaire

Fossile

Hydroélectrique

Géo./Eolien/Solaire/…

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Production d’énergie électrique en France : 550 TWh (2014)

Pertes : 15 TWh (2014)

Consommation d’énergie électrique métropolitaine 460TWh (2014)

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Puissance électrique moyenne

550 (TWh) = 8760 (h/an) x 63 (GW)

Pour information, RTE (Réseau de Transport d’Electricité) propose une application Android et IOS permettant

d’observer la production et la consommation en temps réel d’énergie électrique en France :

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Production d’énergie électrique : turbo-alternateur (turbine à vapeur + alternateur)

Alternateur Transformateur

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Voici par exemple à gauche l’une des salles des machines de la centrale de Flamanville.

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Energies renouvelables ( France 2015)

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Fonctionnement d’une éolienne idéalement positionnée : 2000h par an

Production d’une éolienne moyenne de 2MW : Environ 600KW en moyenne sur une année

= ~ 5000 éoliennes

1 centrale nucléaire

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Energie électrique

Production Transport Distribution Conversion Utilisation

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Réseau électrique

Ensemble des infrastructures (transport, répartition, distribution et protection) visant à acheminer l’énergie électrique des centres de production vers les consommateurs

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Les réseaux électriques

• Réseaux de transport : réseaux HTB (maillés) de transport des gros centres de production vers les régions consommatrices (400KV et 225KV en France) • Réseaux de répartition : réseaux HTB (bouclés) assurant la desserte à l’échelle régionale (90KV et 63KV en France).

• Réseaux de distribution : réseaux HTA et BT inférieurs à 50KW (en arbre), assurant l’alimentation de la clientèle (sauf gros clients)

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Les réseaux de transport et de répartition sont principalement gérés par RTE

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Ces différents réseaux et installations suivant leurs niveaux de tension transportés :

Niveaux de tension normalisés en vigueur en France (ac) (UTE C18-510)

HTB HTA BT TBT

Un > 50KV 1KV < Un ≤ 50KV

50V < Un ≤ 1KV Un ≤ 50V

Anciennes appellations encore couramment rencontrées !

THT HT MT BT

Un > 200KV 35KV < Un ≤ 200KV 1KV < Un ≤ 35KV Un < 1KV

Niveaux les plus couramment rencontrés en France

400KV 225KV 90KV 63KV 20KV 15KV 400V 230V

Réseaux de transport et de répartition

Réseaux de distribution

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Réseau de transport d’électricité français

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Le transport de l’énergie électrique se fait le plus couramment en alternatif. Les tensions imposées sur les réseaux Français sont triphasées sinusoïdales. Quel que soit le réseau électrique, toutes les grandeurs travaillent à 50Hz :

ωt (rad/s)

Ligne moyenne tension

V1(t) V2(t) V3(t)

t (s) 2 π/3 4 π/3

0

T = 20 ms f = 50 Hz F = 1/T

V1(t) V2(t) V3(t)

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Les tensions de production sont différentes des tensions de transport. Sur des distance supérieures à quelques kilomètres, il y a nécessité d’élever les niveaux de tension avant de transporter l’énergie électrique :

• Réduction des chutes de tension en ligne • Limitation des pertes par effet Joule (15 TWh environ par an) • Amélioration de la stabilité des réseaux (plus faible sensibilité aux perturbations)

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Ligne 400 kV du réseau RTE

Câble de garde relié à la terre (paratonnerre)

Faisceau de 3 conducteurs (entre 2 et 4 en général)

Les conducteurs sont nus et de façon général en alliage d’aluminium

(cuivre trop lourd et trop coûteux)

Isolateur (~20KV par assiette)

L’ensemble de 3 phases électriques représente un terme

Pylône relié à la terre

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Transport en continu (HVDC).

• 2 conducteurs au lieu de 3

• Interconnexion entre pays (fréquences et tensions différentes)

• Pas de compensation de puissance réactive

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Energie électrique

Production Transport Distribution Conversion Utilisation

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Réseaux de distribution :

• Structure en arborescence

• 4 niveaux de tension (20KV, 15KV, 400V et 230V – 50Hz) :

•Topologie plus simple et donc moins coûteuse

• Topologie moins robuste

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Poste de transformation 20KV/230V sur poteau (HTA/BT) :

Arrivée HTA aérienne

(20KV)

Isolateurs

Transformateur 20KV/230V

Départ BTA souterrain

(230V)

Protection BT (disjoncteur)

parafoudre

Support Transformateur

Commande Manuelle

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Energie électrique

Production Transport Distribution Conversion Utilisation

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Energie électrique

Production Transport Distribution Conversion Utilisation

Machines électriques

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Le fonctionnement d’une machine électrique tournante est entièrement réversible, moteur ou alternateur/générateur. Applications en forte puissance, deux technologies triphasées alternatives se détachent : • Machines Synchrones (MS) : production électrique, transport …

• Machines Asynchrones (MAS) : industrie, moteur vitesse fixe …

Rotor

Stator

Machine synchrone

Machine asynchrone

Stators identiques (grandeurs triphasées)

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Applications des machines électriques

AGV Alstom (MS à aimants)

Eoliennes 5M RePower (MAS )

A380 Airbus (MS – générateurs à

fréquences variables VFG)

PRIUS Toyota (MS à aimants)

Ligne de montage Peugeot

(MS/MAS)

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Nouvelles rames de métro (MAS )

Chaîne de montage Chrysler Camaro

TGV Duplex (MAS ) Machine à laver

(MAS )

PRIUS (MS à aimants)

Chaîne d’embouteillage Qingdao

Dans la grande majorité des cas, les machines électriques tournantes sont utilisées en fonctionnement moteur.

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Pour la production d’électricité, les machines électriques les plus répandues restent les machines synchrones :

Barrage des trois gorges (alternateurs MS – Alstom et Audritz)

5M RePower (MAS – fonctionnement MADA)

A380 de chez Airbus : MS (générateurs) à fréquences variables VFG 360-800Hz

Frégate furtive Courbet (système hybride pour la propulsion et la génération électrique)

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Energie électrique

Production Transport Distribution Conversion

Utilisation

Transformateurs

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Introduction – Production – Transport – Protection – Conversion – Utilisation

Un transformateur assure une conversion électrique sans modification de la fréquence des grandeurs, Seuls les amplitudes des courants et tensions sont impactées. Un transformateur est réversible. Utilisation principale sur les réseaux électriques pour de l’élévation ou abaissement de niveaux de tension avant transport, répartition ou distribution :

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Transformateurs 400KV Alstom présents sur les réseaux de transport (RTE) :

Noyau magnétique et enroulements

Transformateur en test Transformateur en service

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Structure d’un transformateur

Transformateur monophasé

Transformateur monophasé

Transformateur triphasé

Bobine haute tension

Isolant Galvanique (électrique)

Bobine basse tension

Noyau magnétique (isolation Galvanique)

Bornier primaire/secondaire

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Energie électrique :

Production Transport Distribution Conversion Utilisation

Electronique de puissance

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La structure électronique présentée ci-dessous est universelle et se nomme hacheur quatre quadrants (ou pont en H). En fonction des applications visées, des structures moins riches en transistors existent (buck, boost, flyback, forward …) :

Source

Charge (à alimenter)

Interrupteurs Statiques

(transistors, diodes, thyristors)

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Les structures de l’électronique de puissance sont aptes à réaliser tous types de conversions électriques vers électriques : • Continu vers Alternatif : Onduleurs (structure hacheur) • Alternatif vers Continu : Redresseurs

• Continu vers Continu : Hacheurs

• Alternatif vers Alternatif (fréquence variable) : Redresseurs et

Onduleurs

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Introduction – Production – Transport – Protection – Conversion – Utilisation

Prenons quelques exemples d’applications :

Alimentation d’ordinateur fixe

Alimentation d’ordinateur portable

Alimentation Xbox One

Alimentation terminaux mobiles

Véhicules hybrides et électriques

Ferroviaire

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Energie électrique

Production Transport Distribution Conversion Utilisation

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Usages et applications de l’énergie électrique

• Eclairage : domestique, publique, industrie …

• Chauffage : domestique, publique, industrie …

• Moteurs : industrie , domestique …

• Stockage : électrochimie (batterie, pile …)

• Automatisme : Automatisation de processus (automates programmables) …

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Utilisation de l’énergie électrique par les particuliers

Eclairage

Moteur Compresseur

Chauffage

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Cours N°2 :

Chapitre 2 : Puissances en régime sinusoïdal (1)

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u(t) =U 2 cos wt +qu( )

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Grandeurs Sinusoïdales 1.2 Représent at ion des grandeurs sinusoïdales en fonct ion du t emps

Exemple : deux tensions sinusoïdales de même pulsat ion ω = 100π caractérisées par

leurs valeurs efficaces et leurs phases à l’origine :

U1 = 220V et θu1 =π3rad et U2 = 110V et θu2 = − π

3rad.

Amplitude : valeur maximale posit ive de la tension sinusoïdale Um = U√2

Exemple : Um1 = 311V, Um2 = 155V

u1(t) = 311cos 100πt +π

3V

u2(t) = 155cos 100πt −π

3V

Période : T = 2πω

Exemple : T = 20ms

Fréquence : f = 1T= ω

Exemple : f = 50Hz

1.3 Représent at ion de Fresnel

Vecteur de Fresnel :−→U = U cosθu

−→ex + U sin θu−→ey

3

u(t)¾®¾U

qu

i(t)¾®¾I

qi

En régime sinusoïdal permanent toutes les grandeurs électriques sinusoïdales uk(t) et ik (t) ont la même fréquence f unique des sources

Valeur efficace : U Amplitude : Um= U√2 Phase à t = 0 : θu

Fréquence : f = 2πω

Outil complexe

i(t)= I 2 cos wt +qi( )

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Valeur efficace

u(t) =Um

cos wt +qu( )

U 2 =1

TUm

2 cos2 wt '+qu( )t-T

t

ò dt ' =Um

2

2T1+ cos 2wt '+2qu( )éë ùû

t-T

t

ò dt ' =…

…=Um

2

2Tdt '+ cos 2wt '+2qu( )

t-T

t

ò dt 't-T

t

òé

ëê

ù

ûú=Um

2

2

En régimesinusoidal U =Um

2I =

Im

2

Valeur efficace:U =1

Tu2 (t ')

t-T

t

ò dt '

La valeur efficace de la tension (du courant) est sa valeur équivalente en continu, qui produit la même dissipation de puissance lorsque le signal est appliqué à une résistance R.

Racine carrée de la Moyenne du Carré de la valeur instantanée

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Représentation des grandeurs sinusoïdales Vectorielle

u(t) =Um

cos wt +qu( )

Représentation de Fresnel (à l’origine des temps : t = 0)

Diagramme vectoriel des tensions, courants

+wt

1.2 Représent at ion des grandeurs sinusoïdales en fonct ion du t emps

Exemple : deux tensions sinusoïdales de même pulsat ion ω = 100π caractérisées par

leurs valeurs efficaces et leurs phases à l’origine :

U1 = 220V et θu1 =π3rad et U2 = 110V et θu2 = − π

3rad.

Amplitude : valeur maximale posit ive de la tension sinusoïdale Um = U√2

Exemple : Um1 = 311V, Um2 = 155V

u1(t) = 311cos 100πt +π

3V

u2(t) = 155cos 100πt −π

3V

Période : T = 2πω

Exemple : T = 20ms

Fréquence : f = 1T= ω

Exemple : f = 50Hz

1.3 Représent at ion de Fresnel

Vecteur de Fresnel :−→U = U cosθu

−→ex + U sinθu−→ey

3

qu U

I qi

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Représentation des grandeurs sinusoïdales Complexe

i(t)¾®¾ I = I exp j qi( )

u(t) =Um

cos wt +qu( ) i(t) = I

mcos wt +q

i( )

u(t) =U 2 exp j wt +qu( )é

ëùû

i(t) = I 2 exp j wt +qi( )é

ëùû

Diagramme complexe des tensions, courants

Représentation complexe (en rotation wt)

Représentation complexe (à t = 0)

u(t)¾®¾U =U exp j qu( )

1.4 Représentat ion par les complexes

Valeur complexe de la grandeur sinusoïdale x(t) = X√2cos(ωt + θ) :

x(t) = X√2exp (j ωt)

X = X exp (j θ)

Il suffit de représenter X pour décrire la grandeur sinusoïdale car la part ie temporelle

exp (j ωt) est commune à toutes les gardeurs sinusoïdales en régime forcé.

Valeur complexe de la tension efficace :

U = U cosθu + j U sinθu = U exp (j θu)

Module : |U| = U

Argument : argU = θu

Exemple :

U1 = 220ej π3 = 220cos

π

3+ j 220sin

π

3= 110+ 191j (V)

U2 = 110e− j π

3 = 110cos−π

3+ j 110sin−

π

3= 55− 95, 3j (V)

1.5 Opérat ions sur les grandeurs sinusoïdales

Addit ion des vect eurs de Fresnel :

−→U =

−→U1 +

−→U2

4

+wt

U

I

jUsinqu

Ucos qu

qu

qi

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52

Lois de Kirchhoff

I eentrant

å = I ssortant

å

Umaille

å = 0

CHAPITRE 6. ASSOCIATIONSD’IMPÉDANCES , THÉORÈMESGÉNÉRAUX 48

Figur e 6.3 – Loi des noeuds appliquée à un noeud d ’un réseau

I 1 + I 2 = I 3 + I 4 + I 5 (6.21)

ou de façon générale la loi des noeuds s’écrit :

k= n

k= 1

I k = 0 (6.22)

e= n1

e= 1

I e =

s= n2

s= 1

I s (6.23)

6.2.2 Lois des mail les

La somme des tensions complexes comptabilisées dans un sens donné le long d’une

maille est nulle.

Figur e 6.4 – Loi des mail les appl iquée à une mail le d’un réseau

UAA = 0 = −I 3j C3ω

+ E 1 − R1I 1 − R2I 1 (6.24)

UBB = 0 = − I 4j L3ω− R7I 4 −I 3j C3ω

− E 2 (6.25)

CHAPITRE 6. ASSOCIATIONS D’IMPÉDANCES , THÉORÈMESGÉNÉRAUX 48

Figur e 6.3 – Loi des noeuds appl iquée à un noeud d ’un réseau

I 1 + I 2 = I 3 + I 4 + I 5 (6.21)

ou de façon générale la loi des noeuds s’écrit :

k= n

k= 1

I k = 0 (6.22)

e= n1

e= 1

I e =

s= n2

s= 1

I s (6.23)

6.2.2 Lois des mail les

La somme des tensions complexes comptabilisées dans un sens donné le long d’une

maille est nulle.

Figur e 6.4 – Loi des mail les appl iquée à une mail le d ’un réseau

UAA = 0 = −I 3j C3ω

+ E 1 − R1I 1 − R2I 1 (6.24)

UBB = 0 = − I 4j L3ω− R7I 4 −I 3j C3ω

− E 2 (6.25)

Loi des nœuds :

Loi des mailles

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jL > 0

53

Impédance complexe

R= Zcosj

X = Zsinj

Z = R2 + X2

tanj =X

Z

O Re(Z)

Im(Z)

Diagramme complexe des impédances

R = 100 W

j XL = j 48,2 W

XL > 0

ZL = ZC = 111 W

ZL

j XC = - j 48,2 W

XC < 0

jC<0

ZC

U = ZI

Loi d’ohm complexe (CSR)

Z =R+ jX = Zexp jj

Impédance complexe

U = Z I

j =qu -qi

Loi d’ohm complexe :

U = (U1 cosθu1 + U2 cosθu2)2+ (Um1 sin θu1 + U2 sinθu2)

2

θu = arctanU1 sinθu1 + U2 sinθu2

U1 cosθu1 + U2 cosθu2

Addit ion des valeurs complexes efficaces :

U = U1 + U2 = U1 cosθu1 + U2 cosθu2 + j (U1 sinθu1 + U2 sinθu2)

U = |U|

θu = argU = arctanIm(U)

Re(U)

Exemple :

U = 165+ 95, 3j V

U = 190, 5V

θu =π

6rad

2 Impédance et admit t ance d’un dipôle

2.1 Convent ion

5

Représentation temporelle

UejqU = Zejj × IejqI = Z × Iej j+qI( )

2 équations réelles

> 0 ou < 0

> 0

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54

Puissance moyenne en régime sinusoïdal

p(t) = u(t) × i(t)

U = (U1 cosθu1 + U2 cosθu2)2+ (Um1 sin θu1 + U2 sinθu2)

2

θu = arctanU1 sinθu1 + U2 sinθu2

U1 cosθu1 + U2 cosθu2

Addit ion des valeurs complexes efficaces :

U = U1 + U2 = U1 cosθu1 + U2 cosθu2 + j (U1 sinθu1 + U2 sinθu2)

U = |U|

θu = argU = arctanIm(U)

Re(U)

Exemple :

U = 165+ 95, 3j V

U = 190, 5V

θu =π

6rad

2 Impédance et admit t ance d’un dipôle

2.1 Convent ion

5

P=1

Tp(t ')dt '

t-T

t

ò =1

Tu(t ') × i(t ')dt '

t-T

t

ò

Pmoyenne = P= PT= P=UI cosj

Puissance instantanée (aucune hypothèse de convention de signe)

Puissance moyenne consommée dans un dipôle

= 2UI cos wt '+qu( )t-T

t

ò ×cos wt '+qi( )dt '

=UI cos qu -qi( )t-T

t

ò dt '+ cos 2wt '+qu +qi( )t-T

t

ò dt 'é

ëê

ù

ûú=…

…=UI cos qu -qi( ) =UI cosj fp = 2 fU

2cosA×cosB= cos A-B( )+cos A+B( )

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55

Puissance active, réactive et apparente

U = (U1 cosθu1 + U2 cosθu2)2+ (Um1 sin θu1 + U2 sinθu2)

2

θu = arctanU1 sinθu1 + U2 sinθu2

U1 cosθu1 + U2 cosθu2

Addit ion des valeurs complexes efficaces :

U = U1 + U2 = U1 cosθu1 + U2 cosθu2 + j (U1 sinθu1 + U2 sinθu2)

U = |U|

θu = argU = arctanIm(U)

Re(U)

Exemple :

U = 165+ 95, 3j V

U = 190, 5V

θu =π

6rad

2 Impédance et admit t ance d’un dipôle

2.1 Convent ion

5

FP=P

S= cosj en sinusoïdal( ) = cos qu -qi( )

P= S×FP

= S×cosj

=UI ×cosj (W)

S=UI (VA)

Q=UI sinj (VAR)

Puissance moyenne consommée ou Puissance active (conservative)

Facteur de puissance

Puissance apparente (NON-conservative)

Puissance réactive (conservative)

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56

Formules de puissance (en régime sinusoïdal)

U = (U1 cosθu1 + U2 cosθu2)2+ (Um1 sin θu1 + U2 sinθu2)

2

θu = arctanU1 sinθu1 + U2 sinθu2

U1 cosθu1 + U2 cosθu2

Addit ion des valeurs complexes efficaces :

U = U1 + U2 = U1 cosθu1 + U2 cosθu2 + j (U1 sinθu1 + U2 sinθu2)

U = |U|

θu = argU = arctanIm(U)

Re(U)

Exemple :

U = 165+ 95, 3j V

U = 190, 5V

θu =π

6rad

2 Impédance et admit t ance d’un dipôle

2.1 Convent ion

5

P = Scosj

Q= Ssinj

S= P2 +Q2

P = RIR2 =U

R

2

R

Q= XI X2 =UX

2

X

S= ZI 2 =U 2

ZZ =R+ jX = Zexp jj

cosj =P

S

sinj =Q

S

tanj =Q

P

Formules Globales : Relations entre puissances

Formules Locales :

Expressions de puissances en fonction des impédances

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Puissance apparente complexe

Dipôle capacitif

Dipôle Inductif

Puissance apparente complexe :

Facteur de puissance

S =Déf

U × I*

=U exp( jqU ) × I exp(- jq I )

=U × I exp j qU -q I( )( )=U × I exp jj( )

=UI cosj + jUI sinj

= P+ j Q= Sexp jj( )

57

Dipôle capacitif : X, j, Q < 0 FP AV : avant

Dipôle inductif : X, j, Q > 0 FP AR : arrière

: X, j, sinj, tanj, Q > 0

: X, j, sinj, tanj, Q < 0

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58

Résistance

j = 0 Û Q= 0

P= S= RI 2 =U 2

R

S= P (numériquement)

ZR =R (purement réelle)

ZR =R jR = 0

I

U

Z

Puissances associées :

Impédance : Résistance pure

CHAPITRE 5. CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOÏDAL PERMANENT 40

5.2.3 Impédance d’une résist ance R

On a aux bornes de R :

uR (t) = Ri (t) = RI√2ej ω t

On en déduit que la tension efficace complexe aux bornes de R est :

UR = UR ej θR = RI

Par analogie avec la loi d’Ohm, on pose UR = ZR I soit ZR = R.

Figur e 5.4 – Représent at ion de Fresnel de la t ension efficace aux bornes d’une

resisat ance pure

ZR est l’impédance complexe de la résistanceR en régime sinusoïdale. Son module est

|ZR | = R et son argument est 0.

5.2.4 Résumé

Dipôle Z |Z | θ = arg(Z )

Résistance R R R 0

Inductance L j Lω Lω π2

CapacitéC 1j Cω

1Cω

− π2

5.3 Circuit RLC en régime sinusoïdal permanent

5.3.1 Circuit s éléct r ique

Un générateur detension idéal délivrant unetension sinusoïdalee(t) = EM cos(ωt + θE )

alimenteun circuit RLC série. E est la valeur efficacedela tension e(t). EM est l’amplitude

posit ive de la tension.

On cherche à déterminer les expressions des tensions uC (t), uL (t) et uR (t) aux bornes

des trois dipôles, et l’expression du courant i (t) dans le circuit .

5.3.2 Et ude du régime permanent

La loi des mailles donne en notat ion complexe :

e(t) = uC (t) + uL (t) + uR (t)

+wt

Diagramme complexe des tensions, courants

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59

Résistance

p(t) ≥ 0 : toujours reçue

P > 0 (en moyenne)

Q = 0

CHAPITRE 5. CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOÏDAL PERMANENT 40

5.2.3 Impédance d’une résist ance R

On a aux bornes de R :

uR (t) = Ri (t) = RI√2ej ω t

On en déduit que la tension efficace complexe aux bornes de R est :

UR = UR ej θR = RI

Par analogie avec la loi d’Ohm, on pose UR = ZR I soit ZR = R.

Figur e 5.4 – Représent at ion de Fresnel de la t ension efficace aux bornes d’une

resisat ance pure

ZR est l’impédance complexe de la résistanceR en régime sinusoïdale. Son module est

|ZR | = R et son argument est 0.

5.2.4 Résumé

Dipôle Z |Z | θ = arg(Z )

Résistance R R R 0

Inductance L j Lω Lω π2

CapacitéC 1j Cω

1Cω

− π2

5.3 Circuit RLC en régime sinusoïdal permanent

5.3.1 Circuit s éléct r ique

Un générateur detension idéal délivrant unetension sinusoïdalee(t) = EM cos(ωt + θE )

alimenteun circuit RLC série. E est la valeur efficacedela tension e(t). EM est l’amplitude

posit ive de la tension.

On cherche à déterminer les expressions des tensions uC (t), uL (t) et uR (t) aux bornes

des trois dipôles, et l’expression du courant i (t) dans le circuit .

5.3.2 Et ude du régime permanent

La loi des mailles donne en notat ion complexe :

e(t) = uC (t) + uL (t) + uR (t)

+wt

Diagramme complexe des U, I

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60

Inductance pure

P= 0

Q= S= XLI2 =U 2

XL> 0

Q= I X ×VX > 0

S=Q (numériquement)

ZL = jLw = jXL (purement imaginaire, X > 0)

ZL = Lw XL = Lw > 0

jL = +p

2> 0

I

U

jLw

Puissances associées :

Impédance : Inductance pure

CHAPITRE 5. CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOÏDAL PERMANENT 39

Figur e 5.2 – Représent at ion de Fresnel de la t ension efficace aux bornes d’une

induct ance pure

5.2.2 Impédance d’une induct ance C

On a le courant t raversant le condensateur de capacitéC :

i (t) = CduC (t)

dt= j CωuC (t)

soit :

uC (t) =1

j Cωi (t) =

1

j CωI√2ej ωt

On en déduit que la tension efficace complexe aux bornes de C est :

UC = UC ej θC =

1

j CωI

Par analogie avec la loi d’Ohm, on pose UC = ZC I soit ZC =1j Cω

= 1Cωe− j

π2

Figur e 5.3 – Représent at ion de Fresnel de la t ension efficace aux bornes d’une

capacité pure

ZC est l’impédance complexe de la capacitéC en régime sinusoïdale. Son module est

|ZC | =1Cωet son argument est − π

2.

+wt

Diagramme complexe des tensions, courants

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61

Inductance pure

p(t) > 0 : reçue ou

p(t) < 0 : fournie

P = 0 (en moyenne)

Q > 0 (car X ou j > 0)

Diagramme complexe des U, I

CHAPITRE 5. CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOÏDAL PERMANENT 39

Figur e 5.2 – Représent at ion de Fresnel de la t ension efficace aux bornes d’une

induct ance pure

5.2.2 Impédance d’une induct ance C

On a le courant t raversant le condensateur de capacitéC :

i (t) = CduC (t)

dt= j CωuC (t)

soit :

uC (t) =1

j Cωi (t) =

1

j CωI√2ej ωt

On en déduit que la tension efficace complexe aux bornes de C est :

UC = UC ej θC =

1

j CωI

Par analogie avec la loi d’Ohm, on pose UC = ZC I soit ZC =1j Cω

= 1Cωe− j

π2

Figur e 5.3 – Représent at ion de Fresnel de la t ension efficace aux bornes d’une

capacité pure

ZC est l’impédance complexe de la capacitéC en régime sinusoïdale. Son module est

|ZC | =1Cωet son argument est − π

2.

+wt

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62

Condensateur pur, capacité

P= 0

Q= S= XCI2 =U 2

XC< 0

Q= -I X ×VX < 0

S= Q (numériquement)

ZC =1

jCw

ZC =1

CwXC = -

1

Cw< 0

jC = -p

2< 0

I

U

jCw 1

Puissances associées :

Impédance : Condensateur pur

CHAPITRE 5. CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOÏDAL PERMANENT 39

Figur e 5.2 – Représent at ion de Fresnel de la t ension efficace aux bornes d ’une

induct ance pure

5.2.2 Impédance d’une induct ance C

On a le courant t raversant le condensateur de capacitéC :

i (t) = CduC (t)

dt= j CωuC (t)

soit :

uC (t) =1

j Cωi (t) =

1

j CωI√2ej ωt

On en déduit que la tension efficace complexe aux bornes de C est :

UC = UC ej θC =

1

j CωI

Par analogie avec la loi d’Ohm, on pose UC = ZC I soit ZC =1j Cω

= 1Cωe− j

π2

Figur e 5.3 – Représent at ion de Fresnel de la t ension efficace aux bornes d ’une

capacité pure

ZC est l’impédance complexe de la capacitéC en régime sinusoïdale. Son module est

|ZC | =1Cωet son argument est − π

2.

+wt

Diagramme complexe des tensions, courants

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63

Condensateur pur, capacité

p(t) > 0 : reçue ou

p(t) < 0 : fournie

P = 0 (en moyenne)

Q < 0 (car X ou j < 0)

CHAPITRE 5. CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOÏDAL PERMANENT 39

Figur e 5.2 – Représent at ion de Fresnel de la t ension efficace aux bornes d ’une

induct ance pure

5.2.2 Impédance d’une induct ance C

On a le courant t raversant le condensateur de capacitéC :

i (t) = CduC (t)

dt= j CωuC (t)

soit :

uC (t) =1

j Cωi (t) =

1

j CωI√2ej ωt

On en déduit que la tension efficace complexe aux bornes de C est :

UC = UC ej θC =

1

j CωI

Par analogie avec la loi d’Ohm, on pose UC = ZC I soit ZC =1j Cω

= 1Cωe− j

π2

Figur e 5.3 – Représent at ion de Fresnel de la t ension efficace aux bornes d ’une

capacité pure

ZC est l’impédance complexe de la capacitéC en régime sinusoïdale. Son module est

|ZC | =1Cωet son argument est − π

2.

Diagramme complexe des U, I

+wt

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64

Dipôle inductif : Z = R + j Lw

j > 0

O Re

Im

U

I

+wt

P > 0 (en moyenne)

Q > 0 (car X ou j > 0)

p(t) > 0 : reçue ou

p(t) < 0 : fournie

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65

Dipôle capacitif : Z = R + jCw 1

P > 0 (en moyenne)

Q < 0 (car X ou j < 0)

p(t) > 0 : reçue ou

p(t) < 0 : fournie

j < 0

O Re

Im

Diagramme complexe des I, U

I

U

+wt

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66

Cours N°3 :

Chapitre 2 : Puissances en régime sinusoïdal (2)

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67

Relations simples pour un dipôle R-X

U

I

B

A

R

jX

UR

UX

Dipôle R-X série : Z = R + j X

U = Z I = Z I

U = (R + j X) I

U = R I + j X I = U cosj + j U sinj

U = U cosj + j U sinj = UR + j UX

U cosj = R I

U sinj = X I

D’où

j > 0

O Re

Im

Diagramme complexe des I, U

U

I = I

+wt

UR= R I

UX = j X I

I : origine des phases :

u(t)=U 2 cos wt +j( )i(t)= I 2 cos wt( )

I = I

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68

Relations simples pour un dipôle R-X

Dipôle R-X parallèle : Y = 1/R + 1/(j X)

I = Y U = Y U

I = (1/R + 1/(j X)) U

I = U/R – jU/X = I cosj - j I sinj

I = I cosj - j I sinj = IR + j IX

IX < 0 quand j > 0

I cosj = U / R

I sinj = U / X

D’où

U : origine des phases :

i(t)= i 2 cos wt -j( )

u(t)=U 2 cos wt( )

U = U

j > 0

O Re

Im

Diagramme complexe des I, U

U = U

+wt IR = U/R

IX = j U/X

U

B

A

R jX

I IR IX

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69

Nature des dipôles (CSR) : Z = R + j X

Partie réelle (R > 0) : Seulement P j = 0 rad cos j = 1 X = 0 W Q = 0 Var i(t) et u(t) en phase

Partie imaginaire (X) : Seulement Q X > 0 X < 0 Inductif Capacitif j > 0 rad j < 0 rad X > 0 W X < 0 W sin j > 0 sin j < 0 tan j > 0 tan j < 0 Q > 0 VAr Q < 0 VAr i(t) en AR sur u(t) i(t) en AV sur u(t) cos j AR > 0 cos j AV > 0

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70

Puissances conservatives

La puissance instantanée est conservative : La puissance électrique instantanée p(t) en amont d'un

réseau électrique, est la somme algébrique de toutes les puissances électriques instantanées se trouvant en aval

ce de même réseau électrique.

SEULES, la puissance active P,

la puissance réactive Q et la puissance apparente complexe S

SONT CONSERVATIVES

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71

Théorème de Boucherot : énoncé

La puissance apparente complexe S est conservative.

Ceci constitue le théorème de Boucherot qui est un bilan de puissance :

"La puissance apparente complexe S (donc, la puissance active P et la puissance réactive Q)

mise en jeu en amont d'un réseau électrique quelconque

est la somme algébrique

de toutes les puissances apparentes complexes Si (donc les puissances actives Pi et les puissances réactives Qi)

de chaque dipôle i se situant en aval du réseau »

S= Sii

å Q = Qii

åP = Pii

å

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72

Théorème de Boucherot : démonstration

Considérons un dipôle D constitué de N dipôles élémentaires Di mis en série. Parcouru par un courant i(t), D présente une tension u(t) à ses bornes.

Représentation complexe :

U =U exp jqU( ) I = I exp jqI( )

U

I

B

A

U1

U2

Ui

UN

u(t)

i(t)

B

A

u1(t)

u2(t)

ui(t)

uN(t)

Représentation temporelle :

U i =Ui exp jqUi( )

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73

Théorème de Boucherot : suite

S =Déf

U × I*=U exp( jqU ) × I exp(- jq I )

=U × I exp j qU -q I( )( )=UI cosj + jUI sinj

= Sexp jj( )

= P+ jQ

Pour le dipôle global :

U

I

B

A

R

jX

UR

UX

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74

Théorème de Boucherot : démo (suite)

Tous des dipôles Di sont parcourus par le même courant I.

Chaque dipôle Di a une tension Ui à ses bornes :

Pour chaque dipôle : ji = qUi – qI

Loi des mailles :

U = U i

i=1

N

å = Ui

i=1

N

å ejqUi

Pour chaque dipôle Di :

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75

Théorème de Boucherot : démo (suite & fin)

S=U × I*= I

*×U = I

*× U i

i=1

N

å = U i × I*

i=1

N

å

= Sii=1

N

å = UiejqUi × Ie- jq I

i=1

N

å = Ui × Iej qUi -q I( )

i=1

N

å

= Ui × Iejji

i=1

N

å = Ui × I cos ji( )+ jUi × I sin j i( )

i=1

N

å

= Pi + j Qii=1

N

å = P + j Q

Qamont =Q = Qii

å =QavalPamont = P = Pii

å = Paval

On a alors :

U

I

B

A

U1

U2

Ui

UN

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76

Illustration du théorème de Boucherot

S = S1 + S2 + S3

S ≠ S1 + S2 + S3

j ≠ j1 + j2 + j3

L’axe Imaginaire

S2

P2

Q2

j

Q = Qii

å

Q = Q1 + Q2 + Q3

P = Pii

åP = P1 + P2 + P3

Q1

j P1

S1

Q3

j

P3

S3

L’axe Réelle O

Diagramme Complexe des PUISSANCES

j

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Puissances : Relations (globales)

S2 = P2 +Q2S= P2 +Q2 > 0 S=

Q

sinjS=

P

cosj

P=U I cosjP= ± S2 -Q2

= + S2 -Q2 (en L2)

P=Scosj P=Q

tanj

Q=U I sinj

Q= ± S2 -P2

+ : pour dipôleinductif

- : pour dipôlecapacitif

Q=Ssinj Q=P tanj

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78

Dipôle série élémentaire : Formules pratiques Dipôle série élémentaire : Z = R + j X (notation complexe)

U

I

B

A

R

jX

UR = RIR

UX = XIX

Dipôle série : Le courant I est la grandeur commune à tous les dipôles Z, R et X. I = IR = IX

Z =R+ jX

U = Z × I = R+ jX( ) × I

S=U × I*= R+ jX( ) × I × I

*= R+ jX( ) × I 2

S=R× I 2 + jX × I 2 =P+ jQ

P= R× I 2 = R× IR2 =UR

2

R

Q= X × I 2 = R× I X2 =UX

2

X

> 0 (inductif ) < 0 (capacitif )

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79

Dipôle parallèle élémentaire : Formules pratiques Dipôle parallèle élémentaire : Y = G + j B G = 1/R B = -1/X

Dipôle parallèle : La tension U est la grandeur commune à tous les dipôles Z, R et X. U = UR = UX

1

Z=

1

R+

1

j X

I =U

Z=

1

R+

1

j X

æ

èç

ö

ø÷×U

S=U × I*=U ×

1

R+j

X

æ

èç

ö

ø÷×U

*=

1

R+j

X

æ

èç

ö

ø÷×U

2

S=U 2

R+ j

U 2

X= P+ jQ

P=U 2

R= R× IR

2 =UR

2

RQ=

U 2

X= R× I X

2 =UX

2

X

> 0 (inductif ) < 0 (capacitif )

U

B

A

R jX

IX = UX

X IR =

UR

R

I

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80

Dipôles équivalents

Dipôle équivalent série : Dipôle équivalent parallèle :

U

I

B

A

RS

jXS

U

B

A

RP jXp

I

Point de départ : On connaît les valeurs des puissances P et Q.

On doit aussi connaître la valeur de : I (en série) ou U (en parallèle)

P= RS × I2 Û RS =

P

I 2

Q= XS × I2 Û XS =

Q

I 2

P=U 2

RPÛ R

P=U 2

P

Q=U 2

XPÛ X

P=U 2

Q

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81

Méthode de Boucherot :

Amélioration du facteur de puissance Un atelier électrique (charge) est modélisé par la mise en parallèle d’une résistance RCH = 0.4 W

et d’une inductance LCH = 637 mH. En régime sinusoïdal permanent, la charge est alimentée par une

source idéale de tension sinusoïdale vSO(t) à la fréquence f = 50 Hz. En CSR, le courant traversant la

charge est i(t). La tension efficace VCH aux bornes de l’atelier est maintenue à VCH = 200 V.

La distribution est réalisée au moyen d’une ligne inductive : r = 0.3 W et l =1.27 m H.

Dans un premier temps, on souhaite déterminer :

1 PCH la puissance active reçue par l'atelier. 2 QCH la puissance réactive reçue par l'atelier. 3 SCH la puissance apparente de l'atelier. 4 I le courant (efficace) qui traverse l'atelier. 5 FPCH le facteur de puissance de l'atelier. 6 Le coût de consommation électrique payé par l’exploitant sur un an, sachant que le prix du kWh est 0,08 € et l’atelier fonctionne en moyenne 4 heures par jour.

vSO(t)=VSO 2 cos wt +qVSO( ) i(t)= I 2 cos wt +qI( )

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82

Méthode de Boucherot :

Amélioration du facteur de puissance

4 Intérêt de Boucherot : I = SCH / VCH = 1120 A.

Préliminaires : a) Faire un schéma avec les grandeurs électriques en complexe.

Calculs par le bilan de puissances (Boucherot) :

Dipôle P (kW) Q (kVAR) Formules et explications

RCH

LCH

ZCH

1 2 3

PRCH =VCH

2

RCH=

2002

0.4=100 000WPRCH = 100 QRCH = 0

QLCH =VCH

2

XCH=

2002

0.2= 200 000VARPLCH = 0 QLCH = 200

Piå Qiå PCH2 +QCH

2

5 FPCH = PCH / SCH = 0.446 AR car QCH > 0.

6 Energie1_An = PCH (kW)* 4 (h/j) * 365 j = 146 103 kWh. Coût1_An = 8.76 k€/an.

QCH = = 200 PCH = =100 SCH = = 224 kVA

b) Calculer XCH = LCHw = 0.200 W > 0, à trois chiffres significatifs près. c) Calculer x = lw = 0.0400 W > 0, à trois chiffres significatifs près.

Formule locale

Formule locale

Bilan de puissances

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83

Méthode de Boucherot :

Amélioration du facteur de puissance (suite)

La distribution est réalisée au moyen d’une ligne inductive : r = 0.3 W et l =1.27 mH.

Dans un deuxième temps, on souhaite déterminer :

7 PSO la puissance active fournie par la source. 8 QSO la puissance réactive fournie par la source. 9 SS0 la puissance apparente de la source. 10 VS0 la tension (efficace) de la source. 11 FPSO le facteur de puissance de la source.

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84

Méthode de Boucherot :

Amélioration du facteur de puissance (suite)

10 Intérêt de Boucherot : VSO = SSO/ I = 757 V. (trop élevée par rapport à VCH)

Calculs par le bilan de puissances (Boucherot) :

Dipôle P (kW) Q (kVAR) Formules et explications

CH

LI

S0

7 8 9

PCH = 100 QCH = 200 I = 1120 A

QLI = xI2 = 501 760VARPLI = 376 QLI = 502

Piå Qiå PSO2 +QSO

2

11 FPSO = PSO / SSO = 0.561 AR car QSO > 0.

QSO = = 702 PSO = = 476 SSO = = 848 kVA

PLI = r I2 = 376 320W

(On reporte les résultats précédents)

Formules locales

Bilan de puissances

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85

Méthode de Boucherot :

Amélioration du facteur de puissance

On rajoute un condensateur pur de capacité C en parallèle aux bornes de l’atelier

afin de ramener la facteur de puissance de l’atelier à FP’CH = 1 (unité).

Dans un troisième temps, on souhaite déterminer :

12 La valeur de la capacité C. 13 I’ le nouveau courant de ligne. 14 V’SO la nouvelle tension (efficace) de la source. 15 FP’SO le nouveau facteur de puissance de la source. 16 Le nouveau coût de consommation électrique payé par l’exploitant sur un an. 17 Quel est l’intérêt de relever le facteur de puissance à l’unité. 18 Que faut-il faire pour améliorer la distribution de cette énergie électrique.

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86

Méthode de Boucherot :

Amélioration du facteur de puissance (fin)

Calculs par le bilan de puissances (Boucherot) :

Dipôle P (kW) Q (kVAR) Formules et explications

CH

Cpur

CH’

PCH = 100 QCH = 200 VCH = 200 V

QC_ pur = -Cw ×VCH2 =Q'CH-QCH =-QCHPC_pur = 0 QC_pur = ?

Qiå Q’CH = = 0 P’CH = PCH =100 I’ = PCH /VCH = 500 A

12 C=

QCHw ×VCH

2=15.9mF

13

Q'LI = xI '2 =100 000VAR

P’LI = 75.0 QLI = 100 P'LI = r I '2 = 75 000W

LI’

S0 QSO = = 100 PSO = = 175 SSO = = 202 kVA

14 Intérêt de Boucherot : V’SO = S’SO/ I’ = 404 V. (toujours trop élevée par rapport VCH)

15 FP’SO = P’SO / S’SO = 0.866 AR car QSO > 0. (mieux, mais pas assez proche de 1)

Piå Qiå PSO2 +QSO

2

(On reporte les résultats du début)

Formule locale

et Bilan de puissances

Bilan de puissances

Formules locales

Intérêt de Boucherot

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87

Méthode de Boucherot :

Amélioration du facteur de puissance (fin)

16 PCH ne change pas. Le coût reste de même : Coût1_An = 8.76 k€/an

17 Pour la même puissance PCH, en diminuant QCH, on diminue SCH et par conséquent on diminue le courant I (dans la ligne). On diminue la chute de tension dans la ligne (r, l) et les pertes en ligne (PLI), pour le même coût électrique.

18 Pour diminuer d’avantage les pertes, on réalise la distribution à HT. Exemple, pour la même PCH, on prend VCH = 200 kV (1000 fois plus grand).

Toutefois, il faut tenir compte du rendement des transformateurs élévateur (coté source) puis abaisseur (côté utilisateur), qui doivent des rendements très élevés.

Pour le cas où la puissance réactive de l’atelier est compensée avec C = 15.9 nF, I’ = 100 kW / 200 kV = 0.5 A (1000 fois plus petit).

P’LI = 75 mW au lieu de 75 kW (10002 = 106 fois plus petit). Q’LI = 100 mVAR au lieu de 100 kVAR (10002 = 106 fois plus petit).

La chute de tension en ligne aussi est très faible, donc VSO = VCH = 200 kV.

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88

Méthode de Boucherot :

Quelques astuces

(i) Il s’agit de faire un bilan de puissances (l’utilisation d’un tableau est très pratique) en utilisant souvent (pas toujours) les formules locales pour Pi (RI2 ou U2/R) et Qi (XI2 ou U2/X).

(ii) Chaque triplet (Pi, Qi et Si) se calcule entre DEUX BORNES d’un circuit. On calcule Si seulement quand c’est nécessaire. ATTENTION, S n’est pas conservative.

(iii) Entre deux bornes, à chaque fois que l’on ne connaisse pas soit Ii (ou bien Ui), on essaie de déterminer cette grandeur inconnue avec la formule Si = Ui*Ii (appelée pour cette raison : formule de dimensionnement), à condition que l’autre grandeur est connue.

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89

Cours N°4 :

Chapitre 2 : Puissances en régime sinusoïdal (fin)

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90

Mesures de puissances : Analogique

Appareils analogigues : Seule la puissance active (ou moyenne) P d’un dipôle (u(t) et i(t)) est directement mesurable avec un WATTMETRE analogique, (ayant deux bobinages : 1 pour la tension et 1 pour le courant), qui mesure en réalité la valeur moyenne de p(t)=u(t)*i(t).

Q= ± S2 -P2

+ : pour dipôleinductif

- : pour dipôlecapacitif

Cette mesure nécessite quelques précautions d’utilisation (voir en L3 EEA) : Incorporation d’un ampèremètre (I) et d’un voltmètre (U) ferromagnétiques.

S = U*I (mesure indirecte à l’aide de l’ampèremètre et du voltmètre).

Mesure indirecte qui suppose que l’on connaisse la nature du dipôle.

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91

Principe de mesure au Wattmètre

En respectant les étoiles,

le Wattmètre voit la charge est en CSR :

P = U I cos (qU % I) = U I cos j

SOURCE

U I

CHARGE

* * BOB_I BOB-U

Wattmètre

j > 0

O Re

Im

Diagramme complexe des I, U Exemple pour un dipôle inductif (j > 0)

U

I

+wt

la charge est en CSR

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92

Mesures de puissances : Numérique

Appareils numériques : Avec un appareil numérique, toutes les puissances sont mesurées indirectement après échantillonnage

(N points de mesure) de u(t) et i(t) : uk et ik.

u(t)

uI

u2

u3

uk

uN

i(t)

iI i2

i3

ik

iN

p2 = u2*i2

p3 = u3*i3

pk = uk*ik

p(t)

pI = uI*iI

pN = uN*iN

k

1

2

3

k

N

Le dispositif calcule pk = uk . Ik pour chaque échantillon k.

Par des calculs semblables à vos programmes en INFO (langage C), on obtient de manière indirecte :

I = 1

NiK

2

k=1

N

åU = 1

NuK

2

k=1

N

å S=U × I

Q= ± S2 -P2

+ : pour dipôleinductif

- : pour dipôlecapacitif

P=1

NpK

k=1

N

å

FP=P

S AV ou AR

ATTENTION : Pour le wattmètre numérique, il faut respecter : - les bornes et pour u(t) - d’un sens (flèche) pour i(t) pour que la charge soit en CSR.

+ -

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jmes= j-p

Branchement du wattmètre

1 : Etoiles des bobinages u(t) et i(t) respectées --- Charge en CSR

j > 0

O Re

Im

Diagramme complexe des I, U

Umes=U

Imes=I

+wt

P = U I cos j > 0 et Q = U I sin j > 0

2 : Seul i(t) inversé

P = U I cos (j-p) = -P < 0

j > 0

O Re

Im Umes=U

I

+wt

Q = U I sin (j-p) = - Q < 0

Imes= -I

jmes= j-p

3 : Seule u(t) inversée

P = U I cos (j-p) = -P < 0

j > 0

O Re

Im Umes=U

Imes=I

+wt

Q = U I sin (j-p) = - Q < 0

Umes= -U jmes= j

4 : i(t) ET u(t) inversés

P = U I cos (j) > 0

j > 0

O Re

Im Umes=U

Imes=I

+wt

Q = U I sin (j) > 0

Umes= -U

Imes= -I

CSG

CSG CSR

CSR

93

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94

Chapitre 4 :

Bobines en régime sinusoïdal

Magnétisme Ferromagnétisme

Bobine à air Bobine à noyau de fer

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95

Grandeurs magnétique

Champ d’excitation magnétique ou champ d’excitation H

A.tr.m-1 ou A.m-1

B

Tesla : T ou Wb.m-2 Champ d’induction magnétique ou

champ d’induction

µ H.m-1 Perméabilité magnétique d’un matériau

7

0104

pµ H.m-1 Perméabilité du vide et des

matériaux non-magnétiques

µµ

r= Sans unité Perméabilité relative

=

S

Sd.B

Weber :Wb Flux du champ d’induction

Force magnéto-motrice (bobinage) x = NI A.tr ou A

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96

Champ magnétique

Aimants permanents

Le champ magnétique sort par le pôle Nord et rentre par le pôle Sud.

Les lignes de champ magnétiques sont fermées.

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97

Champ magnétique

Courants électriques (continu ou variable)

I

Une boucle de courant

Le sens du champ magnétique est fonction du sens du courant : Règle de la main droite, du tire-bouchon, …

Boucle de courant Solénoïde

I

ou un ensemble de boucles de courants (solénoïde)

se comporte comme un aimant.

Ceci explique la règle des étoiles du Wattmètre

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98

Champs magnétiques

Solénoïde (bobinage : N spires) infini (une longueur L très grand) à air parcouru par un courant continu I est le siège d’une force magnéto-motrice NI

Un champ d’excitation uniforme est crée à l’intérieur :

Sa direction (l’axe Oz du solénoïde) et son sens (selon les z > 0) sont donnés par la règle de la main droite

Equivalent à une induction magnétique :

H

H

B

B

I I

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99

Flux du champ magnétique

Cas d’une bobine en présence d’un champ uniforme :

I

SLe flux à travers une spire de surface S :

F= N ×B×S

À travers toutes les spires de surface S

F= B×S

La section est perpendiculaire aux champs magnétiques :

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100

Flux du champ magnétique

Exemple de calcul pour une bobine à air :

Flux total : FTot =N ×B×S

NI =1000´10 =10000 A× tr

FTot =1000 ×25,1×10-3 ×10 ×10-4 = 25,1 mWb

B= 47 ×10-6 T

I

I

Champ magnétique terrestre :

Aimants permanents : 0,1 à 1 T

B= m0H =4p

107´20000 = 25,1 mT

H =NI

L=

10000

0, 5=20000 A× tr

Calculs :

N = 1000 spires S = 10 cm2

L = 50 cm I = 10 A

Ordre de grandeurs :

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101

Ferromagnétisme

Les matériaux qui acquièrent une forte aimantation (alignement de la réponse B avec H) sous l’action d’un champ magnétique extérieur H sont dits ferromagnétiques.

A température ambiante, seuls le Fer, le Nickel, le Cobalt

et des alliages réalisés à partir de ces éléments (dans des proportions différentes

et avec parfois des ajouts de Si, Mn, Cu, Al, …) sont ferromagnétiques.

Les matériaux ferromagnétiques sont utilisés dans de nombreuses applications en électrotechnique (moteurs, alternateurs, transformateurs, électro-aimants, actionneurs, …)

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102

Ferromagnétisme

Les différents domaines possèdent une aimantation aléatoire, spontanée permanente.

Ces domaines (par milliards) ont chacune une taille de l’ordre de 10 à 100 µm.

Ils sont séparés entre eux par des parois d’une épaisseur de l’ordre de 0.1µm dans lesquels l’orientation des moments magnétiques changent brutalement.

parois

domaines

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Ferromagnétisme

Sous l’action d’un champ d’excitation mag. H

Les domaines s’agrandissent et s’orientent dans la direction de H

H H H

Alignement des domaines : B Alignement maximal : Saturation 103

B est une mesure de l’alignement des domaines dans la direction de H

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Ferromagnétisme

Matériaux µr

Co 250

Alliage Fe Ni Mo 150 000

Fe 10 000

Ni 600

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

H [A.m-1]

B [T] Saturation Saturation :

Alignement maximal

B est une mesure de l’alignement des domaines dans la direction de H

BSAT ≤ 2,2 T Linéaire

Coude

Pente = m

104

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Ferromagnétisme

(les chemins aller/retour ne sont pas identiques)

Supposons que le matériau ferromagnétique initialement non- aimanté soit soumis à une

excitation H alternative sinusoïdale noté H~.

H~

B~

BR

-HC Hmax

Bmax La courbe B(H) présente alors un Cycle d’hystérésis

Courbe de première aimantation

105

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Ferromagnétisme

Action d’un champ magnétique d’excitation dans un solénoïde à noyau de fer : Echauffement du matériau et des pertes d’énergie modélisée par une résistance fer RF.

H (t) =N

ℓi(t) =

N

ℓI 2 cos wt +q

i( )

106

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Induction

Observations

107

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Induction

Observations

108

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Induction

Le flux varie parce que : • L’amplitude du champ d’induction varie • La taille du circuit varie • L’orientation du champ par rapport à l’orientation de la

surface varie

e(t) = -dF

dt

Loi de Lenz Une force électromotrice d’induction est créée lors que le

flux du champ magnétique varie au cours du temps :

109

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Auto-induction

L =mN2S

Or, H =N

ℓi(t) Þ B= m

N

ℓi(t)

F(t)= N ×mN

ℓi(t) ×S e(t)= -

dF

dtÞ e(t)= -

mN2S

ℓ×di(t)

dt

uL(t) = -e(t) =

mN2S

ℓ×di(t)

dt= L

di(t)

dt

Loi de Lenz : Dans une bobine : F= N ×B×S

e(t) = -dF

dt

110

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Bobine à air en régime sinusoïdal permanent

111

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Bobine à noyau de fer en régime sinusoïdal permanent

Hypothèses : Bobinage (cuivre) : Parfait (résistance : r = 0 W)

Noyau : Matériau ferromagnétique linéaire : m = cte Matériau ferromagnétique isolant : pas de courants induits

( Pas de pertes Fer- : RF ∞) Canalisation parfaite des lignes de champ : pas d’inductance de fuite : l = 0 H

H B F

N

i(t)

H =N

ℓi(t)

B= mH = mN

ℓi(t)

F=B

S= m

N

Sℓi(t)

FTot = NF= mN2

Sℓi(t)

L =FTot

i(t)= m

N2

Sℓ= m0mr

N2

Sℓ112

S

Modélisation : (Inductance parfaite)

i (t) A

rlf

A

B

RF

LP

r

A

B

RF

Lm

rlf

A

B

Lm

AB

RF

Lm

rAB

Lm

rAB

L

u (t)

B

Lm

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Bobine à noyau de fer : défauts

Hypothèses : Bobinage (cuivre) : Non-Parfait (résistance : r ≠ 0 W)

Noyau : Matériau ferromagnétique avec hystérésis Matériau ferromagnétique Non-isolant : courants induits

( Pas de pertes Fer- : RF) (RF existe seulement en régime variable) Fuites des lignes de champ magnétique dabs l’air : inductance de fuite : l f ≠ 0 H

H B F

N

i(t)

u(t) = ri(t)+ l fdi

dt+u'(t)

H =N

ℓim (t)

F=B

S= m

N

Sℓim (t)

L =FTot

im (t)= m0mr

N2

Sℓ

113

S

r lf

A

B

RF LP

r

A

B

RF Lm

r lf

A

B

Lm

A

B

RF Lm

rA

B

Lm

rA

B

L

C

u’ (t) Lm u (t)

i (t)

Modélisation :

i m(t)

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114

Cours N° 5

Le transformateur monophasé

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Utilisation du transformateur

Les transformateurs sont largement utilisés pour :

115

• La distribution de l’énergie électrique (en diminuant le courant de ligne, à Haute tension)

• Adapter des niveaux de tensions (abaisseur ou élévateur) • L’isolation galvanique de circuits (en principe sans modifier la tension) • Mesurer des fortes intensités

(de moins en moins car Les sondes à effet Hall sont plus performants)

• Adapter les impédances (essentiellement en électronique et pour la sonorisation) • En électronique de puissance - Dans les alimentations à découpages (Forward, Flyback, Onduleurs) - En tête de redresseurs

Un transformateur est : un convertisseur statique assimilé à un quadripôle qui permet de transférer l’énergie électrique en adaptant (transformant) les niveaux de tension entrée/sortie sans en modifier la fréquence, en conservant la puissance instantanée.

Remarque : Le transformateur : - permet une isolation galvanique (électrique) entre l’entrée (primaire) et la sortie (secondaire), et - ne fonctionne pas en régime continu.

Pour comprendre le principe et le modèle du transformateur il est indispensable de comprendre la bobine à noyau.

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Rappel : Constitution d’une Bobine à noyau

Un bobinage en cuivre comportant N spires jointives, parcouru par un courant i(t) Rôle : Siège de la force magnétomotrice N i(t). • Hypothèse 1 Conséquence Hypothèse 1 Conducteur parfait => Résistance linéaire : r = 0 W

116

Un noyau ferromagnétique fermé (circuit magnétique) Rôle : Canaliser le flux magnétique F(t). • Hypothèse 2 Conséquence Hypothèse 2 Matériau magnétique linéaire => m est constante

Inductance magnétisante Lm linéaire

=> pas de cycle hystérésis

Pas de pertes hystérésis : (RF)Hyst ∞

• Hypothèse 3 Conséquence Hypothèse 3 (Canalisation du flux) Pas de fuites de lignes de champ

magnétique se refermant dans l’air => Inductance de fuite linéaire lf = 0 H

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Bobine à noyau de fer : Notion de reluctance

or, FTot = NF= i(t)

Û i(t) =NF(t)

Lm

Û Ni(t) =N2F(t)

Lm=R F(t)

D 'où, Lm =N2

R= m

N2

Sℓ moy= m0mr

N2

Sℓ moy=

N2

R 117

S

Modèle électrique :

i (t) A

rlf

A

B

RF

LP

r

A

B

RF

Lm

rlf

A

B

Lm

AB

RF

Lm

rAB

Lm

rAB

L

u (t)

B

Lm

H B F i(t)

N

S

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Bobine à noyau de fer : défauts (r, lf, RF)

Hypothèses : Bobinage (cuivre) : Non-Parfait (résistance : r ≠ 0 W)

Fuites des lignes de champ magnétique dans l’air : inductance de fuite : l f ≠ 0 H Noyau : Matériau ferromagnétique avec hystérésis Matériau ferromagnétique Non-isolant : courants induits

( Pertes Fer- : RF ) (RF existe seulement en régime variable)

H’ B’ F

N

i(t)

Lm =F'Tot

im (t)= m0mr

N2

Sℓ moy

118

S

r lf

A

B

RF LP

r

A

B

RF Lm

r lf

A

B

Lm

A

B

RF Lm

rA

B

Lm

rA

B

L

C

Lm u (t) u’ (t)

i (t) Modélisation électrique

i m(t)

l f r RF Lm

r =ℓ Cu

sCuSCu

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Bobine à noyau : signification du modèle

119

r : Résistance réelle du bobinage et modélise les pertes Joule ou pertes cuivre

lf : Inductance de fuite des lignes de champ magnétiques qui se referment dans l’air. Ceci ne correspond en aucun cas à une pertes de puissance. C’est une mauvaise canalisation des lignes de champ.

Lm : Inductance magnétisante associée au flux magnétisant qui se referme dans le matériau ferromagnétique et au courant magnétisant im.

RF : Résistance fictive qui modélise les pertes dans le matériau ferromagnétique par effet hystéréris et la circulation de courants induits de Foucault. Existe seulement en régime variable

r lf

A

B

RF LP

r

A

B

RF Lm

r lf

A

B

Lm

A

B

RF Lm

rA

B

Lm

rA

B

L

C

Lm u (t) u’ (t)

i (t) Modélisation électrique complet

i m(t) l f r

RF Lm

DEFAUTS

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Transformateur monophasé : constitution

DEUX bobinages en cuivre (notés Primaire et Secondaire) comportant respectivement N1 et N2 spires jointives, parcourus respectivement par le courant i1(t) et i2(t).

120

Un noyau ferromagnétique fermé qui constitue un circuit magnétique de couplage. Rôle : Permet le couplage primaire/secondaire sans contact galvanique (électrqiue)

Circuits extérieurs :

- Une source idéale de tension idéale (ici sinusoïdale) est connectée au 1° :

tension primaire = tension d’alimentation : v1(t)

- Une charge est connectée au secondaire (2° vu comme une source de tension) :

ici, la charge est une impédance Z2

tension secondaire = tension de la charge : v2(t)

Conventions de signe : (pratique pour l’ingénieur) - Le primaire du transformateur {i1(t) et v1(t)} est considéré en CSR (l’alimentation en CSG).

- Le secondaire du transformateur {i2(t) et v2(t)} est considéré en CSG (la charge en CSR).

- Au secondaire, ce n’est pas la convention des quadripôles (électronique).

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Effet transformateur

121

i2(t)

v2(t) v1(t)

H(t),

B(t)

N1 N2

Couplage

:lmoy, mr, S

F(t)

e1(t) e2(t)

i1(t)

Primaire en CSR

Secondaire en CSG

Hypothèses : 1/ Bobinages parfaitement conducteurs 2/ Noyau linéaire et isolant 3/ Couplage parfait (pas de fuites)

Condition de fonctionnement : 1/ Alimentation sinusoïdale 2/ Secondaire à vide : i2 = 0 A

Effet transformateur :

R =ℓ moy

m0mrS

v1(t)=V1 2 cos(wt)= e1(t)

F(t)=e1(t) dtòN1

dF

dt=e1(t)

N1

Alimentation :

Flux établi dans le noyau :

Flux forcé par la source :

A vide : v1 = v10, i1 = i10, v2 = v20

Loi de Lenz : e2 s’oppose au phénomène lui donnant naissance.

Règle de la main droite : e2(t) orientée vers le haut

Effet transformateur :

e1 = v1 = v10 e2 = v2 = v20

e2 = N2

dF

dt

e1 = v1 e2 = v2

Le flux est commun aux deux bobinages 1° et 2°

e2 (t)

N2

=e1(t)

N1

=dF

dt

e2 (t)

e1(t)=N2

N1

=m> 0

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Transformateur : règles des points

122

Signification physique de m : Rapport des nombres de spires secondaire par rapport au primaire. Aussi appelé rapport de transformation. Attention : m n’est pas le rapport des tensions secondaire / primaire

Utilisation des points en tête de bobinages : Afin de simplifier les schémas, on associe à chaque bobinage un () permettant l’écriture des tensions et courants

± Nkå × ik =R F

Règle N° 1 des points : (Tensions) Cette règle s’applique en considérant les bobinages 2 à 2.

Les tensions dirigées vers les () sont comptées positives, sinon négatives : v2 = ± m v1

Règle N° 2 des points : (Courants) Cette règle s’applique en considérant tous les bobinages à la fois.

Tout courant entrant par le () est compté positif, sinon négatif :

Ici : e2 = + m e1

N1 × i1 - N2 × i2 =R F

i2(t)

v2(t) v1(t)

N1 N2

e1(t) e2(t)

i1(t)

Loi d’Hopkinson

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Transformateur à vide : modèle

123

i20 = 0 A

v20 v10

N1 N2

e1 e2

i10

Loi d’Hopkinson :

On a : • A vide : i20 = 0 A

• e1 = v10 e2 = v20

• Loi de Lenz-Faraday : e2 = m e1

N1 × i10 - N2 × i20 =R F(t)

F(t) : fonction dev1(t)

N1 × i10 =N1

2

Lm1

F(t)

N1

di10

dt=N1

2

Lm1

dF

dt

N1

di10

dt=N1

Lm1

d NF( )dt

=N1

Lm1

v1

di10

dt=

1

Lm1

v1 Þ v1 = Lm1

di10

dt

Conclusion 1 : • i1 = i10

• e1 = v10

• e2 = m e1

• v2 = v20 = e2

Conclusion 2 : • Lm1 est une inductance associée au bobinage 1

• Lm1 est parcourue par i1(t) est soumise à v1(t)

Transformons ces équations en circuit (modèle) :

?

v10 Lm1

i1 = i10

i10

e1

i’1 = 0

m

e2 = m e1 v20 = e2

i20 = 0

Transformateur idéal : p1(t) = e1(t)i’1(t) = p2(t) = e2(t)i2(t)

m

e2 = m e1 e1

i’1 = m i2 i2

Quadripôle

Modèle mathématique

e1 i’1 = e2 i2

e1 i’1 = m e1 i2

i’1 = m i2

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Transformateur : modèle de base

124

Modèle comportemental le plus simple à Basses Fréquences (BF) à 2 éléments : m, Lm

v1

i1

i10

e1

i’1 = m i2

m

v2 = e2

= m e1

i20

Lm1

Une inductance Lm1 : Couplage physique (1

/2

) par le noyau et le flux établi dans ce noyau

Un transformateur idéal (mathématique dépourvu de sens physique) : Couplage mathématique

Ce modèle comprend :

Ce modèle simplifié est utilisé pour étudier certains circuits

traités en électronique de puissance

en L3 EEA comme en M1 EEA

Ce modèle reste valable en régime non-sinusoïdal, mais à basses fréquences seulement

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Transfo idéal : transfert d’impédance 2°/1°

125

Transfert d’impédance du 2° vers le 1° : Calcul deZEQ

ZEQ =V1

I'

1

=E1

mI 2

=E2

m

1

mI 2

=1

m2

E2

I 2

=Z2

m2

ZEQ =Z2

m2

A

B

ZEQ = ? m

E2=mE1 E1

I’1 = m I2 I2 C

D

A

B

Z2 Eg Û

Transfert d’impédance du 1° vers le 2° : Calcul ducircuit équivalent vudu2°

V2 = E2 =mE1 =m Eg -mI 1

'×Zg( )

V2 =mEg -m2 I 1

'×Zg =mEg -m

2Zg × I 2

Interprétons cette formule

m

E2=mE1 E1

I’1 = m I2 I2

V2

C

D

A

B

Eg

Zg

ZEQ =m2Zg

m

E2=mEg E1

I’1 = m I2 I2

V2

C

D

A

B

Eg

ZEQ=?

V2 = mEg – ZEQ I2

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Le transformateur réel : modèle

126

Modèle comportemental BF du transformateur réel (7 éléments) :

Hypothèses :

v1

i1

i10

e1≠v1

i’1=m i2

m

v20 = e2

= m e1

v2

i2

Lm1

r1

r2

l1

l2

i2

v2 v1

N1 N2

Couplage

F

i1

Noyau : Canalisation des lignes de champ (Lm )

RF

Couplage pas parfait : Fuites des lignes de champ magnétique dans l’air : les inductances de fuite : l1, l2 ≠ 0 H

Bobinages 1° et 2° : Pas parfaits (r1, r2 ≠ 0 W)

Matériau ferromagnétique avec hystérésis (RF )

Il n’est pas facile d’exploiter

ce modèle, qui sera traité en M2 EEA.

Nécessité absolue de simplification.

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Le transformateur réel : modèle pratique

127

Modèle comportemental BF du transformateur réel (5 éléments : m, r, l, RF, Lm) :

Ce modèle, certes moins rigoureux,

est très utilisé pour étudier les

transformateurs (L3, M1 EEA)

v1

i1

i10

e1≠v1

i’1=m i2

m

v20 = e2

= m e1

v2

i2

Lm1

r1

r2

l1

l2

RF

APPROX

Si z1 = r1 + j l1w très faible,

vz1 << V1

v1

i1

i10

e1≠v1

i’1=m i2

m

v20 = e2

= m e1

v2

i2

Lm1

r1

r2

l1

l2

RF

v1

i1

i10

e1=v1

i’1=m i2

m

v20 = e2 = m v1 v2

i2

Lm1

m2r1 r2

m2l1

l2

RF

Transfert d’impédances

RIGOUREUX

v1

i1 i10

v1

i’1=m i2

m

v20 = m v1 v2

i2

Lm1

r

l

RF

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Signification physique du modèle

128

r : Résistance totale des bobinages 1° et 2°, ramenée au 2°, et caractérisant les pertes Joule (r = r2 + m2r1).

l : Inductance totale de fuite des lignes de champ magnétiques qui se referment dans l’air au 1° et au 2°, ramenée au 2°. Ceci ne correspond en aucun cas à une pertes de puissance. C’est tout simplement une mauvaise canalisation des lignes de champ (l = l2 + m2l1).

Lm : Inductance magnétisante associée au flux magnétisant qui se referme dans le matériau ferromagnétique (couplage) et au courant magnétisant im fictif.

RF : Résistance fictive qui modélise les pertes fer dans la matériau ferromagnétique qui s’échauffe en régime variable par : (1)l’effet hystéréris (non-linéaire) (2) la circulation de courants induits de Foucault (linéaire) due à la propriété conductrice du noyau. Ce phénomène n’existe pas en régime continu.

DEFAUTS

v1

i1 i10

v1

i’1=m i2

m

v20 = m v1 v2

i2

Lm1

r

l

RF

m : Rapport des nombres de spires secondaire au primaire.

Lm = Lm1 =N

1

2

R

m=N2

N1

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Notations des courants et tensions

129

v1

i1 i10

v1

i’1=m i2

m

v20 = m v1 v2

i2

Lm1

r

l

RF

Tensions : v1(t) : Tension appliquée aux bornes du 1° du transformateur réel (tension d’alimentation) v10(t) : Tension appliquée aux bornes du 1° du transformateur réel, lorsque le 2° est à vide v1cc(t) : Tension appliquée aux bornes du 1° du transformateur réel, lorsque le 2° est en court-circuit v2(t) : Tension disponible aux bornes du 2° du transformateur réel (tension aux bornes de la charge)

v20(t) : Tension disponible aux bornes du 2° du transformateur réel, à vide. C’est aussi la tension aux bornes du 2° du transformateur idéal du modèle, quelque soit la charge. v2cc(t) : Tension disponible aux bornes du 2° du transformateur réel en court-circuit : v2cc(t) = 0 V

Courants : i1(t) : Courant au 1° du transformateur réel (courant de l’alimentation) i10(t) : Courant au 1° du transformateur réel, lorsque le 2° est à vide i1cc(t) : Courant au 1° du transformateur réel, lorsque le 2° est en court-circuit (CC)

i2(t) : Courant délivré par le 2° du transformateur réel i20(t) : Courant délivré par la 2° du transformateur réel, à vide : i20(t) = 0 A i2cc(t) : Courant délivré par le 2° du transformateur réel en CC

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Notations des puissances

130

v1

i1 i10

v1

i’1=m i2

m

v20 = m v1 v2

i2

Lm1

r

l

RF

Puissance réactive : Il suffit de changer P en Q.

Puissance active : P1 : Puissance active reçue par le 1° de la source. Cette puissance transite par le transformateur en subissant des pertes. P10 : P1 lorsque le 2° du transformateur est à vide. P1cc : P1 lorsque le 2° du transformateur est en CC

Puissance apparente : Il suffit de changer P en S.

P2 : Puissance active fournie par le 2° à la charge. P20 : P2 lorsque le 2° du transformateur est à vide. P2cc : P2 lorsque le 2° du transformateur est en CC

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Bilan de puissances (P et Q) : Boucherot

131

v1

i1 i10

v1

i’1=m i2

m

v20 = m v1 v2

i2

Lm1

r

l

RF

Puissance active : Diagramme de bilan de puissances

- Le transfert de puissance est représenté par un tube dont le diamètre est proportionnel à P. - Le sens du transfert est représenté par une flèche dans le sens horizontal, par exemple. - Les pertes sont représentées par des flèches incurvées vers le bas, ou le haut.

P1 = V1 I1 cos j1

Q1 = V1 I1 sin j1 S1 = V1 I1

FP1 = P1/S1

P2 = V2 I2 cos j2

Q2 = V2 I2 sin j2 S2 = V2 I2

FP2 = P2/S2

P1

Pr = r I 2

2PRF =

V1

2

RF

P2

P1 =V1

2

RF+ r I 2

2 +P2Q1 =

V1

2

Lmw+ lw I 2

2 +Q2h =

P2

P1

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Plaque signalétique

132

Via la plaque signalétique, le constructeur donne quelques grandeurs nominales indispensables (puissances, tensions, fréquence, facteur de puissance). L’utilisateur peut déterminer des valeurs approchées d’autres grandeurs nominales comme les courants et des puissances ainsi que mconstr.

Valeurs nominales

Valeurs préconisées par le constructeur pour que le transformateur fonctionne de manière optimale, suivant un cahier des charges. Très souvent, ce sont des puissances à ne pas dépasser, ou les tensions/courants efficaces à ne pas dépasser.

Plaque signalétique du transformateur réel

V1n : Tension (eff) nominale au 1° du transformateur réel V20_n : Tension (eff) 2° au du transformateur idéal, avec V1 = V1n

S20_n : Puissance apparente au 2° du transformateur idéal en charge, avec V1 = V1n et I2 = I2n

v1

i1

i10

v1

i’1=m i2

m

v20 = m v1 v2

i2

Lm1

r

l

RF

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Exploitation de la plaque signalétique

133

Plaque signalétique

230 V / 110 V

500 VA 50 Hz

0.8 AR

Avant d’utiliser un transformateur, l’utilisateur doit connaître toutes les grandeurs électriques nominales afin d’assurer le bon fonctionnement du dispositif. A ce niveau, nous ne connaissons pas les valeurs numériques des paramètres du modèle. Nous devons faire des approximations.

Lecture plaque : La tension nominale au 1° : V1n = 230 V

v1

i1

v1

i’1=m i2

m

v20 = m v1 v2

i2 r

l

Exploitation de la plaque:

Lecture plaque : La tension nominale au 2°, du TR idéal : V20_n = 115 V Calcul rigoureux : On en déduit : mconstr = V20_n / V1n = 0.5 (Par définition)

Lecture plaque : La puissance apparente nominale = S20_n = 500 VA Calcul rigoureux : On peut alors calculer : I2n = S20_n / V20_n = 2 A (Par définition) (Ce calcul rigoureux ne nécessite pas la connaissance des valeurs du modèle).

Calcul approximatif : Pour calculer I1n, nous supposons le 1° comme étant idéal. On obtient alors une valeur légèrement sous-estimée : I1n ≈ S20_n / V1n = 4 A (approx) (On remarque que I1n ≈ mconstr x I2n)

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Détermination expérimentale du modèle 1 : Essai à vide

134

Les dispositifs à caractériser en Génie Electrique mettent en jeu des fortes puissances (via soit la tension, ou le courant ou les deux). Pour la détermination expérimentale de leurs modèles, on procède alors par des essais à puissances réduites, la sortie ouvetre ou en court-circuit. La puissance utile est nulle. Ainsi, la puissance absorbée correspondent aux pertes.

Transformateur à vide (P20 Q20 nulles) :

v10

i10

i10 i’1=m i2 = 0

Lm1 RF

Condition de mesures : 1/ Secondaire à vide (I20 = 0 A), 2/V10 = V1n (Plaque signalétique)

Mesures : Connaissant la fréquence, on mesure V10, I10, P10, et V20

Exploitation (voir le modèle simplifié ci-contre) :

m=V20

V10

P10 =V10

2

RFÞ RF =

V10

2

P10

S10 = I10 ×V10 Q10 = + S10

2 -P10

2 (car inductif )

Q10 =V10

2

LmwÞ Lmw =

V10

2

Q10

Þ Lm =Lmw

2p f

Hypothèses simplificatrices :

On considère la chute de tension aux bornes de (r1, l1) << V10.

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Détermination expérimentale du modèle 2 : Essai en court-circuit

135

Transformateur en court-circuit (P2CC, Q2CC nulles) :

Condition de mesures : 1/ Secondaire en CC (V2CC = 0 V), 2/ I2CC = I2n (Plaque signalétique)

Mesures : Connaissant la fréquence, on mesure V1CC, I2CC et P1CC,

Exploitation (voir le modèle simplifié ci-contre) :

Hypothèses simplificatrices :

On considère le courant traversant (RF, L) << I1CC.

i1CC= i’1CC=m i2CC

v1CC

m

V20_CC = m v1CC v2CC=0

i2CC

r

l

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Détermination de pt de fonctionnement Essai en charge résistive

136

Conditions de calculs : 1/ Secondaire en charge résistive (Q2 = 0) 2/ V1 = V1n (Plaque signalétique)

Partant de la charge, on souhaite calculer I1.

On pourra alors déterminer toutes les grandeurs électriques.

Calculs par la méthode de Boucherot :

On suppose que l’on connaisse les valeurs numériques des 5 paramètres du modèle

P2 = V2 I2 cos j2 = V2 I2

Q2 = V2 I2 sin j2 = 0 VAR

P1 =V1

2

RF+ r I 2

2 +P2

Q1 =V1

2

Lmw+ lw I 2

2

Il faut calculer I2 et P2 pour remonter avec les déterminations au 1° En effet, si I2 et P2 sont connus, on applique la méthode de Boucherot :

S1 = P1

2 +Q1

2

I1 =S1

V1

(V1 est connue)

FP1 =P1

S1

h =P2

P1

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137

Cours N° 6

Initiation aux grandeurs triphasées Système équilibré en tension et en courant

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Distribution triphasé : Intérêt principal

139

d

r =d

sS

V1 = V2 = V3 = V (sources sont identiques)

I1 = I2 = I3 = I (Les charges sont identiques)

PLI _Mono_1 = 2 r I 2

Monophasé

PLI _Mono_3 = 6 r I 2

v1(t)

i1(t) Ph

N

v2(t)

i2(t) Ph

N

v3(t)

i3(t) Ph

N

v1(t)

i1(t) v2(t)

i2(t)

v3(t)

i3(t)

Ph3

Ph2

Ph1

N N’

Triphasé équilibré

PLI _TRI = 3 r I 2

IN = 0 => pas de retour

Diminution des pertes : 50 %

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Distribution triphasé : Autres intérêts

140

Monophasé (6 câbles) Triphasé (3 câbles) - Réduction des pertes en ligne de 50% - Coût plus faible (Conducteur Al, Cu, isolateurs, supports, maintenance) Alternateur de production (Grandes Puissances) entraînée par des turbines - Seulement 1/3 du volume est nécessaire pour le maximum d’efficacité de production de v1(t)

- L’utilisation d’un autre TIERS conduit à une tension v2(t) déphasée de 2p/3.

- L’utilisation du dernier TIERS conduit à une tension v3(t) déphasée de 4p/3.

- Puissance fluctuante nulle

- A forte puissance l’arbre de liaison mécanique de l’alternateur monophasé serait détruit.

- Pas de vibrations.

Câble de garde relié à la terre

(paratonnerre)

Faisceau de 3 conducteurs

(entre 2 et 4 en général)

Isolateur (~20KV par

assiette)

Pylône relié à la terre

v1(t) v2(t) v3(t)

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141

Grandeurs de lignes : Tensions simples Système DIRECT : Evolutions temporelles des tensions

V1 = V2 = V3 = V = 220 V U1 = U2 = U3 = U = 400 V

v1(t) = V1M cos(wt) v2(t) en AR de 120

sur v1(t) v3(t) en AV de 120

sur v1(t)

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142

Tensions simples de ligne :

V1 =V1

V 2 =V1e- j

2p

3

V 3 =V1e+ j

2p

3

ì

í

ïï

î

ïï

==>

V1 =V1

V 2 = a2

V1

V 3 = aV1

ì

í

ïï

î

ïï

V1 = V2 = V3 =V

V1 +V2 +V3 =V 1+a2+a( ) = 0

v1(t) = 2 V

1 cos wt( ) = 2 V cos wt( )

v2(t) = 2 V

2 cos wt-

2p

3

æ

èç

ö

ø÷ = 2 V cos wt-

2p

3

æ

èç

ö

ø÷

v3(t) = 2 V

3 cos wt-

4p

3

æ

èç

ö

ø÷ = 2 V cos wt+

2p

3

æ

èç

ö

ø÷

ì

í

ïïïï

î

ïïïï

On pose: a = ej2p

3 = cos2p

3+ j sin

2p

3= -

1

2+ j

3

2 et a =1

Système équilibré de 3 tensions ayant :

Mêmes fréquences : w = 2 p f

Mêmes valeurs efficaces :

Des déphasages deux à deux valant : 2 p / 3

Système DIRECT : Tensions simples : Expressions temporelles et complexes

Grandeurs de lignes : Tensions simples (suite)

Propriété remarquable :

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143

Système DIRECT : Tensions simples : Représentation complexe

Grandeurs de lignes : Tensions simples (fin)

+ 2p/3

- 2p/3

+wt

Réel

Imaginaire

V2

V3

V1

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144

Système DIRECT : Tensions composées : Expressions temporelles et complexes

Tensions composées de ligne :

u12 (t) = v1(t)-v2 (t)

u23(t) = v2(t)-v3(t)

u31(t) = v3(t)- v1(t)

ì

íï

îïï

U12 =V1 -V 2 =V1 1-a2( ) = 3e

jp

6V1 =U12

U 23 =V2 -V3 =V1 a2-a( ) = 3e

- jp

2V1 =U12e- j

2p

3 = a2U12

U 31 =V3 -V1 =V1 a-1( ) = 3ej5p

6 V1 =U12e- j

4p

3 = aU12

ì

í

ïïï

î

ïïï

U12 = U23 = U31=U = 3V

Grandeurs de lignes : Tensions composées

U12, U23 et U31 forment un système triphasé équilibré direct.

Tension composée efficace :

Propriété remarquable : U12 +U23 +U31 =U 1+a2+a( ) = 0

a = -1

2+ j

3

2 a

2= -

1

2- j

3

2

1- a2

= 1 - -1

2- j

3

2

æ

èç

ö

ø÷ =

3

2+ j

3

2= 3 e

jp

6

U12 est en AV sur V1 de p/6 U23 est en AR sur V1 de p/2

a2- a = -

1

2- j

3

2

æ

èç

ö

ø÷ - -

1

2+ j

3

2

æ

èç

ö

ø÷ = - j 3

a-1 = -1

2+ j

3

2

æ

èç

ö

ø÷ - 1 = -

3

2+ j

3

2

æ

èç

ö

ø÷ = 3 e

j5p

6

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145

Système DIRECT : Tensions composées : Représentation complexes

Grandeurs de lignes : Tensions composées

p/3

+wt

Réel

Imaginaire

V2

V3

V1

+ p/6

U12

U23

p/6

p/6

U31

p/6

p/6

U = 3V

Ujk AV +p/6 sur Vj

Ujk AR +p/2 sur Vindice manquante

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146

Courants de ligne (avec v1(t) comme référence de phase) :

I 1 = I1e- jj

I 2 = I 1e- j

2p

3

I 3 = I 1e- j

4p

3

ì

í

ïïï

î

ïïï

==>

I 1 = I 1

I 2 = a2I 1

I 3 = aI 1

ì

í

ïï

î

ïï

I 1 = I 2 = I 3 = I

I 1 + I 2 + I 3 = I 1+a2+a( ) = 0

i1(t) = 2 I

1 cos wt -j( ) = 2 I cos wt -j( )

i2(t) = 2 I

2 cos wt -j -

2p

3

æ

èç

ö

ø÷ = 2 I cos wt -j -

2p

3

æ

èç

ö

ø÷

i3(t) = 2 I

3 cos wt -j -

4p

3

æ

èç

ö

ø÷ = 2 I cos wt -j -

4p

3

æ

èç

ö

ø÷

ì

í

ïïïï

î

ïïïï

Système équilibré de 3 courants ayant :

Mêmes fréquences : w = 2 p f

Mêmes valeurs efficaces :

Des déphasages deux à deux valant : 2 p / 3

Système DIRECT : Tensions simples : Expressions temporelles et complexes

Grandeurs de lignes : Courants de ligne

Propriété remarquable :

Il n’y a pas de courants composés : les courants ne peuvent pas sauter de ligne

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147

Système DIRECT : Courants de ligne : Représentation complexe

Grandeurs de lignes : Courants de ligne (suite)

+wt

Réel

Imaginaire

V2

V3

V1

I1

j

I2

j

I3

j

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Grandeurs de lignes : Courant de neutre

On suppose que les trois charges sont identiques : Z1 = Z2 = Z3 = Z

N’

v2(t)

i2(t)

Ph2

Z

i1(t)

Z v1(t)

Ph1

N

i1(t)

i1(t) + i2(t) i1(t) + i2(t) + i3(t) =

0

v3(t)

i3(t)

Ph3

Z

- p/3

+wt

Re

Im

I1

I3

I2

I1+I2

I2

Triangle équilatéral : | I1+I2 | = | I1| = | I2 | = I

Ici la charge est dite en "Etoile" : 3 Phases +

1 Pt Commun (N ou N’)

148

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Charge triphasé équilibrée : Couplage ETOILE

On suppose que les trois charges sont identiques : Z1 = Z2 = Z3 = Z

N’

V2

I2

Ph2

Z VC2 VC3

i1(t)

Z V1

Ph1

VC1

N

I1

i1(t) + i2(t) IN = JC1 + JC2 + JC3

= 0

V3

I3

Ph3

Z

JC1 JC2 JC3

Charge en "Etoile" : 3 Phases + 1 Pt Commun (N ou N’)

149

JC1 + JC2 + JC3 = 0

I1 = JC1

I2 = JC2

I3 = JC3

VC1 = V1

VC2 = V2

VC3 = V3

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150

Système DIRECT : Courants dans la charge : Représentation complexe

Charge triphasée équilibrée : Couplage étoile

+wt

Réel

Imaginaire

VC2=V2

VC3=V3

VC1=V1

JC1= I1

j

JC2=I2

j

JC3 = I3

j

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Charge triphasé équilibrée : Couplage Triangle

On suppose que les trois charges sont identiques : Z1 = Z2 = Z3 = Z

Charge en "Triangle" : 3 Phases seulement --- Pas de neutre

151

Pas de neutre

JC1 + JC2 + JC3 = 0

Z U31

Ph3

VC2=U31

I3

JC2

U23

I2

Ph2

Z VC1=U23

JC1

U12 I1

Ph1

Z

JC3

VC3=U12

I1 = JC3 – JC2

I2 = JC1 – JC3

I3 = JC2 – JC1

VC1 = U23 = V2 – V3

VC2 = U31 = V3 – V1

VC3 = U12 = V1 – V2

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152

Charge triphasée équilibrée : Triangle

+wt

Réel

Imaginaire

V2

V3

V1

U12 = VC3

U = 3V

Système DIRECT : Courants dans la charge : Représentation complexe

JC1

JC2

U23 = VC1

p/6

j

I1 = JC3 - JC2

U31 = VC2

JC3 j

JC2

I2 = JC1 – JC3

I3 = JC2 – JC1

I = 3 J

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153

Puissance en triphasé équilibré

i1(t) = 2 I cos wt -j( )

i2(t) = 2 I cos wt -j -

2p

3

æ

èç

ö

ø÷

i3(t) = 2 I cos wt -j -

4p

3

æ

èç

ö

ø÷

ì

í

ïïïï

î

ïïïï

v1(t) = 2 V cos wt( )

v2(t) = 2 V cos wt-

2p

3

æ

èç

ö

ø÷

v3(t) = 2 V cos wt-

4p

3

æ

èç

ö

ø÷

ì

í

ïïïï

î

ïïïï

p1(t) = v1(t)´ i1(t)

p2 (t) = v2 (t)´ i2 (t)

p3(t) = v3(t)´ i3(t)

ì

íï

îïï

p1(t) = 2 V cos wt( )´ 2 I cos wt -j( ) = 2VIcos wt( )cos wt -j( ) = VI cosj - cos 2wt -j( )

p2(t) = 2 V cos wt-

2p

3

æ

èç

ö

ø÷´ 2 I cos wt -j-

2p

3

æ

èç

ö

ø÷ = 2VIcos wt-

2p

3

æ

èç

ö

ø÷cos wt -

2p

3-j

æ

èç

ö

ø÷ =VI cosj - cos 2wt -

2p

3-j

æ

èç

ö

ø÷

æ

èç

ö

ø÷

p3(t) = 2 V cos wt+

2p

3

æ

èç

ö

ø÷´ 2 I cos wt -j +

2p

3

æ

èç

ö

ø÷ = 2VIcos wt +

2p

3

æ

èç

ö

ø÷cos wt +

2p

3-j

æ

èç

ö

ø÷ =VI cosj - cos 2wt +

2p

3-j

æ

èç

ö

ø÷

æ

èç

ö

ø÷

ì

í

ïïïï

î

ïïïï

La puissance instantanée est constante : P = 3VI cos ϕ