UPJV, Département EEA

M1 EEAII Parcours ViRob

Fabio MORBIDI

Laboratoire MIS Équipe Perception Robotique

E-mail: fabio.morbidi@u-picardie.fr

Année Universitaire 2017/2018

Mardi 9h30-12h00, Mercredi 13h30-16h00, Salle 8

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Plan du cours Chapitre 1 : Introduction

1.1 Définitions

1.2 Constituants d’un robot

1.3 Classification des robots

1.4 Caractéristiques d’un robot

1.5 Générations de robots

1.6 Programmation des robots

1.7 Utilisation des robots

Chapitre 2 : Fondements Théoriques

2.1 Positionnement

•  Matrices de rotation et autres représentations de l’orientation •  Matrices homogènes

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Plan du cours

Chapitre 3 : Modélisation d’un Robot

2.2 Cinématique •  Vitesse d’un solide •  Vecteur vitesse de rotation •  Mouvement rigide •  Torseur cinématique

3.1 Modèle géométrique •  Convention de Denavit-Hartenberg •  Modèle géométrique direct •  Modèle géométrique inverse

3.2 Modèle cinématique

•  Modèle cinématique direct •  Modèle cinématique inverse

3.3 Modèle dynamique •  Formulation de Lagrange

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•  Le modèle dynamique d’un manipulateur est important pour: •  La simulation de mouvement •  L’analyse de la structure d’un robot (conception mécanique) •  La synthèse d’algorithmes de commande

Modèle dynamique d’un robot

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•  Le modèle dynamique d’un manipulateur est important pour: •  La simulation de mouvement •  L’analyse de la structure d’un robot (conception mécanique) •  La synthèse d’algorithmes de commande

•  Il y a deux méthodes pour déterminer les équations du mouvement d’un manipulateur dans l’espace articulaire:

1.  La méthode basée sur la formulation de Lagrange •  Conceptuellement simple et systématique

2.  La méthode basée sur la formulation de Newton-Euler (on trouve la résultante des forces qui s'exercent sur un segment générique du manipulateur)

•  Elle produit un modèle de façon récursive •  Plus avantageuse d'un point de vue computationnel que la formulation de Lagrange car elle profite de la structure ouverte de la chaîne cinématique du robot

Modèle dynamique d’un robot

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•  Le modèle dynamique d’un manipulateur est important pour: •  La simulation de mouvement •  L’analyse de la structure d’un robot (conception mécanique) •  La synthèse d’algorithmes de commande

•  Il y a deux méthodes pour déterminer les équations du mouvement d’un manipulateur dans l’espace articulaire:

1.  La méthode basée sur la formulation de Lagrange •  Conceptuellement simple et systématique

2.  La méthode basée sur la formulation de Newton-Euler (on trouve la résultante des forces qui s'exercent sur un segment générique du manipulateur)

•  Elle produit un modèle de façon récursive •  Plus avantageuse d'un point de vue computationnel que la formulation de Lagrange car elle profite de la structure ouverte de la chaîne cinématique du robot

•  Comme pour la modélisation géométrique et cinématique, on peut définir un: o  Problème dynamique direct o  Problème dynamique inverse

Modèle dynamique d’un robot

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Le modèle dynamique d’un manipulateur fournit une description de la relation entre les couples* exercés par les actionneurs sur les articulations du robot et le mouvement de la structure

•  Lorsque les variables

•  Avec la formulation de Lagrange, les équations du mouvement peuvent être déterminées d’une façon systématique et indépendamment du référentiel que on a choisi

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

ont été fixées (elles décrivent la position des segments d’un manipulateur à DDL), le lagrangien du système peut être défini en fonction des coordonnées généralisées de la manière suivante:

qi, i ∈ {1, . . . , n} : “coordonnées généralisées”

Énergie potentielle totale Énergie cinétique totale

L

L = T − U

n

*Couples (ou moments) = forces généralisées

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•  Les équations de Lagrange (ou d’Euler-Lagrange) sont exprimées par:

•  Sous une forme compacte, nous pouvons réécrire les équations de Lagrange comme:

•  Les contributions aux forces généralisées sont données par les forces non-conservatives dans le système:

•  Les couples des actionneurs sur les articulations •  Les couples de frottement sur les articulations •  Les couples sur les articulations générés par les forces de contact de l’effecteur avec l’environnement

d

dt

∂ L∂ q̇i

− ∂ L∂ qi

= ξi, i ∈ {1, . . . , n}

ξi qioù est la force généralisée associée à la coordonnée généralisée

où, pour un manipulateur sériel (à chaîne ouverte), les coordonnées généralisées sont réunies dans le vecteur des variables articulaires

d

dt

(∂ L∂ q̇

)T

−(∂ L∂ q

)T

= ξ

n

q ∈ Rn

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

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•  Les équations de Lagrange:

•  Ces équations différentielles ordinaires du second ordre nous permettent de déterminer le modèle dynamique d’un robot à partir de l’énergie cinétique et potentielle du système

nous fournissent une relation entre les forces généralisées appliquées au manipulateur et les positions, vitesses et accelerations des variables articulaires, c’est-à-dire

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

qi, q̇i, q̈i, i ∈ {1, . . . , n}

ξi

Mécanique Analytique, vol. I et II, 1811-15

•  La paire (q, q̇)

n

est appelée état du système

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

Remarque: Nous avons supposé que le système soit complètement actionné, à savoir où est le nombe de DDL du robot et le nombre d’actionneurs linéairement indépendants du robot (en fait, )

n = m nm

q, ξ ∈ Rn

d

dt

∂ L∂ q̇i

− ∂ L∂ qi

= ξi, i ∈ {1, . . . , n}

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•  L’action d’un système est le fonctionnel:

L'action a la dimension d'une énergie multipliée par un temps ([Js] en SI): elle est une grandeur physique qui ne se mesure pas

où les points extrêmes de la trajectoire sont donnés et définis par:

S(q(t)) =

∫ t2

t1

L(q(t), q̇(t), t) dt

q1 = q(t1), q2 = q(t2).

Principe de moindre action (ou principe de Hamilton): le trajet effectivement suivi par un système entre deux points donnés est celui qui conduit à une valeur stationnaire (un minimum, un maximum, un point-selle) de l’action. Lorsque la trajectoire reliant les deux points est suffisamment petite, cet extremum de l'action est un minimum, d'où le nom donné au principe

q2, t2

q∗(t)

q(t)

•  Le principe de moindre action permet de déterminer en chaque point de la trajectoire l'équation du mouvement gouvernant le futur du système •  L’action fait donc partie d’une approche alternative pour déterminer les equations du mouvement d’un système

q1, t1

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

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θmmoteur

: longueur de la tige [m]

: moment d'inertie du servomoteur autour de l’axe de rotation [kgm2] et son coefficient de frottement visqueux [kgm2/s]

: moment d'inertie de la tige [kgm2] et son coefficient de frottement visqueux [kgm2/s]

r

rm

: rayon des engrenages côté tige et côté moteur [m]

: position angulaire de l’axe du moteur et de l’axe de la tige (si , la tige pointe vers le bas)

: couple engendré par le moteur [Nm]

: masse de la tige [kg] et accélération de la pesanteur ( = 9.81 m/s2)

�

Im, Fm

I, F

r, rm

θ, θm

m, g

cm

kr = r/rm : rapport de transmission des engrenages

θ = 0

Exemple [Pendule inversé rigide actionné par un moteur électrique]

F

g

Fm

θ, τ

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

mg

cm

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θmmoteur

Si on choisit comme coordonnée généralisée, l’énergie cinétique du système est ( ):

r

rm

θ

L’énergie potentielle du système (définie à une constante près) est:

U = mg � (1− cos θ)

F

θ̇m = kr θ̇

θ, τ

Exemple [Pendule inversé rigide actionné par un moteur électrique]

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

Fm

T =1

2I θ̇2 +

1

2Im θ̇2m =

1

2I θ̇2 +

1

2Im k2r θ̇

2

cm

mg

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Le lagrangien du système est donc:

Si on utilise cette expression dans l’equation de Lagrange (nous avons une seule coordonnée généralisée, l’angle ):

d

dt

∂ L∂ θ̇

− ∂ L∂ θ

= ξ

on trouve:

θ

(I + Im k2r) θ̈ + mg � sin θ = ξ

La force généralisée est donnée par plusieurs contributions: le couple d’actionnement au côté tige et les couples de frottement visqueux , (noter que le 2e couple a été reporté au côté tige)

ξ−F θ̇τ

Donc, au final:

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

L = T − U =1

2θ̇2 (I + k2r Im) − mg (1− cos θ)

−Fm kr θ̇

ξ = τ − F θ̇ − Fm kr θ̇

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Conclusion: Nous avons ainsi trouvé le modèle dynamique complet du pendule inversé, sous forme d’une équation différentielle ordinaire non-linéaire du second ordre:

Prochaine séance:

Calcul de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle d’un manipulateur générique à segments rigides et détermination du modèle dynamique grâce à la formulation de Lagrange

Segment i du robot

n

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

(I + Im k2r) θ̈ + (F + Fm kr) θ̇ + mg � sin θ = τ