Engineering Mechanics : Staticscadcam.gwnu.ac.kr/subject/statics/03/03_Equilibrium_With... · 2016-04-19 · 분리된 물체를 둘러싸고 있는 제거되어질 나 머지 물체와의

Engineering Mechanics : Statics

평형

강릉원주대학교 기계자동차공학부 자동차공학전공 2

평형조건(Equilibrium Conditions) ◦ 평형을 이루기 위한 필요충분조건

◦ 2차원 힘계

◦ 3차원 힘계


않는다이동하지 : 0 F R 않는다회전하지 : 0 M M

역학체계 ◦ 다른 많은 물체로부터 개념적으로 분리될 수 있는 하나의 물체, 또는 물체의 그룹

◦ 다른 모든 환경에서 분리된 단일 물체로 취급

자유물체도(FBD, Free Body Diagram) ◦ 분리된 시스템을 단일물체로 고려하여 도식적으로 나타낸 도표


분리된 물체를 둘러싸고 있는 제거되어질 나머지 물체와의 역학적 접촉에 의해 작용하는 모든 힘을 표현하여야 한다.

비접촉 물체력(body force)을 무시할 수 없다면 이러한 힘들도 자유물체도에 포함시켜야 한다.

힘의 특성을 인식하여 빠짐없이 정확하게 표현한다 ◦ 접촉력, 비접촉력 ◦ 외력, 내력 ◦ 작용, 반작용력 ◦ 힘의 전달원리 이용 (미끄럼벡터)


C

D

P W

물체의 외형 표시 좌표계 표시 외력과 자중 표시 반력 표시


C

D

X

Y

P

15o

[자유물체도 완성]

2차원에서 작용하는 힘의 모델링


유연한 케이블에 의해 가해지는 힘은 항상 케이블 방향으로 물체의 외부를 향한 인장력으로 작용한다.

매끈한 면에서의 접촉력은 접촉면에 수직한 압축력으로 작용한다.

거친면은 접촉력 R의 수직성분 R뿐만 아니라 접선방향의 성분(마찰력) F를 지지할 수 있다.

작용하는 힘의 모델링


롤러, 라커, 볼 형태의 지지는 지지면에 수직한 압축력을 전달한다.

칼러, 매끈한 가이드를 따라 자유롭게 이동하는 슬라이더는 가이드에 수직한 힘만 지지할 수 있다.



자유롭게 돌아갈 수 있는 핀 연결은 축에 수직한 평면에 있는 임의의 방향의 힘을 지지할 수 있으며, 통상적으로 두 성분 Rx, Ry로 나타낸다. 자유롭지 않는 핀 연결은 우력 M도 지지할 수 있다.

붙박이, 고정 지지는 축방향 힘 F, 전단력 V, 우력 M을 지지할 수 있다.



질량 m을 갖는 물체의 모든 요소에 대한 중력의 합은 중량 W=mg이며, 물체의 무게중심 G에서 지구의 중심을 향하여 작용한다.

스프링에 의한 힘은 압축력과 인장력이 될 수 있다. 선형 탄성스프링에서의 탄성계수 k는 스프링을 단위길이만큼 변형시키는데 필요한 힘이다.

지점 종류와 반력


자유물체도의 작성 ◦ 단계1 분리하고자 하는 물체 또는 물체의 결합체를 결정한다. 선택한 물체는

보통 하나 또는 그 이상의 미지수를 갖는다

◦ 단계2 분리하고자 하는 물체에 대하여 외부경계를 완벽하게 표현할 수 있는

도표를 작성한다

◦ 단계3 분리된 계에 대하여 접촉하거나 끌어당기는 물체를 제거함으로써 작용

하는 모든 힘을 도표 상의 적절한 위치에 표시한다.

미지의 힘은 임의의 크기와 방향을 가지는 힘벡터로 표시한다.

미지의 힘은 일관성 있게 표시한다.

◦ 단계4 선정된 좌표축은 도표 위에 직접 표시한다.



지지대로부터 전체 트러스를 분리하여 단일 강체로 취급

단면 A의 오른 쪽 일부분을 분리








T

N F

mg

Ax

Ay

Bx

By L

평형 ◦ 물체에 작용하는 모든 힘의 합력이 0

물체에 작용하는 모든 힘과 모멘트가 균형(blalance)을 이루는 상태

◦ 평형조건(방정식)

◦ 각 평형조건은 서로 독립적


000 M F F oyx

a F 00 , MFy 00 , yx FF

평형의 종류


힘 방향 평형조건식만 필요

모멘트가 발생하지 않으므로 두 개의 평형조건식 필요

힘방향 평형조건식과 작용면에 수직인 모멘트식 필요

평면에 작용하는 힘에 대한 두 개의 평형조건식과 그 면에 수직인 모멘트식 필요

작용선 일치

한 점에 집중

평행

일반형태

두힘 부재 ◦ 동일한 작용선 상에서 동일한 크기의 힘이 반대방향으로 작용하면 평형이다.

◦ 부재의 형상은 평형조건에 영향을 주지 않는다

세힘 부재 ◦ 세 힘의 작용선이 동일점에 모여야 한다

◦ 힘의 다각형이 폐합인 경우에는 합력이 0이다.

◦ 예외 : 세 힘이 평행할 경우


F1+F2

0 M 0, F o

0 M 0, F o

F3

다른 형태의 평형식


000 BAx MMF

000 CBA MMM

구속(constraint)과 정적 정정 ◦ 물체의 가능한 운동에 대한 제한

정적 부정정(statically indeterminate)

◦ 과잉구속(redundant constraints)

◦ 강체가 평형위치를 유지하는 데 필요한 것보다 더 많은 외부지지 또는 구속이 있을 때

◦ 강체의 해석만으로는 모든 해를 구할 수 없고, 부재의 강성에 의한 변형을 고려하여 해를 구한다.


Bx 0

0

0

A

yyyy

xxxx

M

BAPF

BAPF

정적 정정(statically determinate) ◦ 적절한 구속(adequate constraints)

◦ 평형상태를 유지하기 위하여 필요한 최소의 구속에 의해 지지되는 물체

◦ 평형방정식은 미지의 외력을 결정하는 데 충분한 정보를 제공


0

0

0

o

y

xxx

M

F

APF


기지와 미지의 항을 명확히 확인

분리하려는 물체를 명확히 선택한 후, 자유물체도를 정확히 작성

오른손 좌표계를 사용하여 기준좌표계를 설정

계산을 간단히 할 수 있는 관점에서 모멘트 중심을 선택

평형조건을 지배하는 적용 가능한 힘 및 모멘트 원리 또는 방정식을 기술하고 확인

각 문제에서 독립된 방정식의 수와 미지수의 수를 일치

해를 구한 후 검토



A

B

m

l1

l2

그림과 같은 부재가 A점에서 힌지로 고정되어 매끈한 면의 B점에 지지되어 있을 때, 부재의 A점과 B점에 가해지는 힘을 구하시오.


A

B

m

l1

l2

W=mg

l1 l2

0211 lWBlM yA

Ay

Ax

By

0 xx AF

0 yyy BWAF

1) 문제 분석 • 해결하고자 하는 것을 파악한다 x

y

2) 자유물체도 • 관심 대상 물체를 따로 떼어낸다 • 알고 있는 조건을 모두 표시한다 • 연결부위 및 접촉 부위의 반력을 표시한다

3) 평형 방정식 적용


A

B

m

l1

l2

W=mg

l1 l2

0211 lWBlM yA

02 121 yxB AlAllWM

Ay

Ax

By

Tip. 모멘트 중심점 선정 -많은 힘이 교차하는 점으로 선정하면 미지수를 줄일 수 있다.

세 가지 다른 힘이 작용하고 있는 교량트러스 접합부에 작용하는 C와 T를 구하여라 ◦ 좌표축의 선택



40sinT

20cosC

40cosT

20sinC

20

40

C

T


50

40

50 20

70

40


질량 500kg인 도르래를 지지하는 케이블에서 장력T를 구하여라. 도르래는 각 베어링에 대해 자유롭게 회전할 수 있으며, 각 부분의 무게는 부하의 하중에 비해 작다. 또한 도르래 C의 베어링에 작용하는 전체 힘의 크기를 구하여라.


2/)81.9(500

0

0)81.9(500

21

12

21

TT

rTrTM

TTF

o

y

= 500(9.81)/2


4/)81.9(5002/

0

0

243

34

243

TTT

rTrTM

TTTF

o

y

500(9.81)/4 =

= 500(9.81)/2


[N] 1226

4/)81.9(5002/

0

23

30

T

TTT

rTrTM c

T3=500(9.81)/4

= 500(9.81)/2

[N] 613

613}4/)81.9(500{

0

[N] 1062

0

61330sin4

)81.9(50030sin

106230cos4

)81.9(50030cos

3

3

y

yy

yyRy

xx

xxRx

y

x

F

TTF

TFTF

TF

FTF

TT

TT


1) 자유물체도(FBD)

길이당 95kg 무게중심에 작용하는 전체 무게

W = 95kg/m x 5m x 9.81m/s2

= 4.66 kg·m/s2 = 4.66 kN


Tx

Ty


xx

xxx

TA

TAF

0

yy

yyy

TA

TAF

66.14

01066.4

0)38.3(10)38.2(66.4)88.4()25.0( yxA TTM

----------------(1)

-----------(2)

-(3)

[kN] 61.19

61.19)88.4(25sin)25.0(25cos

)38.3(10)38.2(66.4

0)12.05.3(10)12.05.2(66.4

)12.05(25sin)25.0(25cos

(3), from

25sin ,25cos

T

T

TT

TTTT yx 이므로

[kN] 77.17

)25cos(61.1925cos

(1), from

x

xx

A

TTA

[kN] 37.6

25sin61.1966.14

25sin66.1466.14

(2), from

x

yy

A

TTA

Tx(0.25)

Ty(4.88)

4.66(2.38)

10(3.38)


Nf


차체의 중량은 좌, 우 두 개의 프레임이 균일하게 나누어 지탱하므로, 좌측의 앞, 뒤 타이어가 지탱하여야 하는 무게는 총 중량의 ½ 이다.


Nr Nf

W=700(9.81) N

1386 mm 964 mm



0 xF

0)81.9(700 rfy NNF

[N] 4050

405035.2

)386.1)(81.9(700

0)386.1()35.2(

r

r

rA

N

N

WNM

---(1)

[N] 2820

28174050)81.9(700

)81.9(700

(1), From

f

rf

N

NN

+

-


1.2 m

W=6(9.81)

NA

0.6 m

NB



1.2 m

W=6(9.81) N

NA

0.6 m

NB



0 xF

0)81.9(6 BAy NNF

[N] 7.117

72.1176.0

)2.1)(81.9(6

0)2.1()6.0(

B

B

BA

N

N

WNM

---(1)

[N] 8.58

84.58)81.9(67.117

)81.9(6

(1), From

A

BA

N

NN

+

-


Ax

Ay By


A B

W=450(9.81)

5.6m 2.4m

P=220(9.81)

4m




0 0 xxx AAF

0 PWBAF yyy

[N] 3720

99.3717

8

)4)(81.9(450)6.5)(81.9(220

0)4()6.5()0.8(

y

y

yA

B

B

WPBM

[N] 52850

7.285237207.6572

)81.9(450)81.9(220

(1), From

y

yy

A

BA

Ax

Ay By

A B

W=450(9.81)

5.6m 2.4m

P=220(9.81)

4m

T


저울의 눈금이 2000N을 가리키게 하기 위해 케이블을 당겨야 하는 힘 T의 크기를 구하여라.

W

R=W R=W-T

W


W=500(9.81) N

T T

T

2000 N

T T T

[N] 581

0)81.9(50020005

T

TFy가정 : 수직이 아닌 일부 케이블을 수직으로 가정한다.


Ay

By

[N] 1250

12501.0

)25.0(500

0)25.0()1.0(

y

y

yB

A

A

WAM

A B

W=500 N

150 mm 100 mm

평형조건


0

0

0

0

0

0

z

y

x

z

y

x

M

M

M

F

F

F

or 0 M

or 0 F

0 M M

0 F R


, ,

0 k j i F

000

zyx

zyx

FFF

FFF

, ,

0 k j i M

000

zyx

zyx

MMM

MMM






0

196200

5.131

0

362

kjikji

yx BB

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