Ensembles et cônes minimaux de dimension 2 dans les

No d’ordre: 10060

UNIVERSITÉ PARIS-SUD 11FACULTÉ DES SCIENCES D’ORSAY

THÈSE

Présentée pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR EN SCIENCESDE L’UNIVERSITÉ PARIS-SUD XI

Spécialité: Mathématiques

par

Xiangyu LIANG

Ensembles et cônes minimaux dedimension 2 dans les espaces euclidiens

Soutenue le 7 Décembre 2010 devant la Commission d’examen:M. Guy DAVID (Directeur de thèse)M. Thierry DE PAUW (Rapporteur)

Mme. Françoise DIBOS (Examinatrice)M. Nicola FUSCO (Rapporteur)M. Jean-Pierre KAHANE (Président du jury)M. Filippo SANTAMBROGIO (Examinateur)

Thèse préparée auDépartement de Mathématiques d’OrsayLaboratoire de Mathématiques (UMR 8628), Bât. 425Université Paris-Sud 1191 405 Orsay CEDEX

1

Remerciements

C’est vraiment impossible d’exprimer tout ce que je dois à mon directeur de thèse, Guy David, en

n’importe quelle langue. Avec ses riches expériences, il est toujours volontaire et prêt à m’aider pour

trouver un moyen à moi pour avancer dans le monde mystérieux et joli des maths. Je ne sais pas si je

suis digne de tous ses efforts. Pour sa patience, son soutien constant, pour tout ce qu’il m’appris sur les

mathématiques, sur la langue et la culture française, ainsi que sur la vie, pour tous mes erreurs qu’il a

corrigées, et pour tout ce que j’ai oublié, je voulais lui dire mille fois merci !

Mes plus vifs remerciements s’adressent à Zhiying Wen. C’est la première personne qui m’a montré

la beauté des mathématiques, qui m’a convancu que je suis aussi capable de faire des mathématiques,

et qui m’a soutenue et encouragée tout au long de ces années. Je n’ai jamais trouvé un bon moyen

pendant ces 7 ans pour lui dire merci.

Je tiens à remercier Jean-Pierre Kahane de m’avoir fait l’honneur de présider le jury. Merci à Thierry

De Pauw et Nicola Fusco, qui ont accepté la lourde tâche de rapporter sur cette thèse, à Françoise Dibos

et Filippo Santambrogio pour avoir accepté de faire partie du jury.

Merci à Laurent Siebenmann et Pierre Vogel, pour leurs aides enthousiasts et discussions utiles sur

la topologie algébrique. C’est vraiment gentil de leur part de discuter des problèmes avec une jeune

étudiante avec tant de patience.

Des remerciements spéciaux à Jacques Peyrière, pour m’avoir donné la chance de venir poursuivre

mes études ici, et m’avoir accueilli à l’aéroport à ma première arrivé en France ; à Antoine et Vincent,

anciens étudiants de Guy, pour les discussions utiles avec eux et leur aide enthousiaste.

Des remerciements émus à tous mes amis chinois en France. Vos amitiés et soutien constant sont

vraiment inestimables, sans lesquels je ne serais jamais ce que je suis aujourd’hui.

Enfin, je ne pourrais jamais dire exactement tout ce que je dois à mes parents........

Je suis tellement heureuse d’avoir connu toutes ces personnes, pour les mathématiques, et encore

plus important, pour la vie.

2

Résumé.

On s’intéresse dans cette thèse aux ensembles minimaux.

Dans la première partie on étudie les cônes minimaux au sens d’Almgren de dimension 2 dans R4,

ce qui est une première étape obligée et utile dans l’étude des ensembles minimaux. La minimalité au

sens d’Almgren de l’union de deux plans presque orthogonaux est établie. La méthode est généralisée

pour montrer que l’union presque orthogonale de plusieurs plans ou hyperplans, et l’union presque

orthogonale d’un plan et un Y sont minimales.

Dans la seconde partie on introduit une définition de minimiseur topologique, qui généralise celle

de minimiseur de Mumford-Shah. On montrera des propriétés des minimiseurs topologiques, et fera un

premier pas dans la direction d’une caractérisation des minimiseurs topologiques. On restreindra aussi

la classe potentielle des Almgren-minimiseurs de R3 qui ne seraient pas des cônes.

Abstract.

In the thesis we discuss the theory of minimal sets.

In the first part we study 2-dimensional Almgren minimal cones in R4, which is the first useful and

necessary step to study Almgren minimal sets. We establish the Almgren minimality of the union of a

pair of almost orthogonal planes in R4. The method is also generalized to prove the minimality of the

almost orthogonal union of several planes or hyperplanes, as well as the almost orthogonal union of a

plane and a Y in R5.

In the second part we introduce a definition of topological minimal sets, which is a generalization of

that of Mumford-Shah-minimal sets. We prove some properties of topological minimal sets, and make

a first step towards a characterisation of topological minimal sets. We restrict also the potential class

of those Almgren minimal sets in R3 which are not cones.

TABLE DES MATIÈRES 3

Table des matières

0 Introduction générale 5

I Minimalité d’une union de deux plans 12

1 Introduction de la première partie 14

2 Discussions sur le cas orthogonal et des cas presque orthogonaux 23

2.1 Estimation des projections sur l’union de 2 plans transverses pour tout 2-vecteur simple 24

2.2 Comparaison de la mesure d’un ensemble rectifiable avec la somme de celles de ses

projections sur deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Unicité de P0 31

4 L’existence d’ensembles minimaux 43

5 Rayons critiques 57

6 Propriétés de projection et régularité de Ek 61

7 Argument d’extension harmonique 75

8 Conclusion 82

9 Généralisation aux dimensions plus hautes 89

9.1 Estimations algébriques pour la somme des projecteurs de deux hyperplans (parallèle au

paragraphe 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.2 Unicité de P0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.3 L’argument de l’extension harmonique par les harmoniques sphériques . . . . . . . . . . 98

10 Généralisation au cas de plusieurs plans et hyperplans 104

11 L’union presque orthogonale d’un plan et un Y dans R5 111

11.1 Discussions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4 TABLE DES MATIÈRES

11.2 L’unicité de Z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

11.3 Remarques sur d’autres préparatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

11.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

12 Produit et calibration 133

II Minimiseurs topologiques 140

13 Introduction de la deuxième partie 141

14 Minimiseurs Al dans R3 143

15 Contrôler la topologie par mesure 152

16 Préliminaires sur la topologie 160

16.1 Topologie algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

16.2 Transversalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

17 L’image réciproque d’une chaîne lisse par une application transverse 166

18 Minimiseur topologique 170

19 Une discussion sur T 177

5

0 Introduction générale

L’un des objets d’étude de prédilection de la théorie géométrique de la mesure est la théorie des

ensembles ou des surfaces minimales, qui donna lieu notamment à des progrès importants dans la

compréhension de la régularité des surfaces minimales, et des résultats d’existence pour le problème de

Plateau. Rappelons que dans sa version la plus simple, le problème de Plateau consiste à se donner une

courbe dans l’espace, ou plus généralement un bord, et à chercher une surface s’appuyant sur ce bord

et dont l’aire soit minimale. Voir les travaux de Besicovitch, Federer, Fleming, De Giorgi, etc.

Le sujet principal de cette thèse est l’étude des ensembles minimaux de dimension 2 dans un espace

euclidien. On utilisera plusieurs notions de minimalité, mais la principale est la suivante, qui a été

introduite par F. Almgren [2], et qui donne la meilleure modélisation des films de savon. Nous donnons

directement la définition d’un ensemble minimal de dimension d dans un ouvert U de Rn, qui n’est pas

plus compliquée.

Définition 0.1 (ensembles minimaux (d’Almgren)). Soit 0 < d < n des entiers, U un ouvert

de Rn. L’ensemble E fermé dans U est dit minimal de dimension d dans U si Hd(E ∩ B) <

∞ pour toute boule compacte B ⊂ U et

(0.2) Hd(E\F ) ≤ Hd(F\E)

pour tout ensemble F tel que F = ϕ1(E), où ϕt, 0 ≤ t ≤ 1 est une famille à un paramètre de fonctions

continues ϕt : U → U vérifiant

1) ϕ0(x) = x pour x ∈ U ;

2) l’application (t, x)→ ϕt(x) de [0, 1]× U dans U est continue ;

3) ϕ1 est Lipschitzienne,

et si on pose Wt = x ∈ U ; ϕt(x) 6= x et W =⋃t∈[0.1][Wt ∪ ϕt(Wt)], alors W est relativement

compact dans U .

Une telle ϕ1 sera appelée une déformation de E dans U .

Pour une description d’ensembles un peu plus généraux, comme des bulles de savon (donc, où la

pression est différente dans les différentes composantes connexes du complémentaire), ou en présence

de gravité, on peut utiliser une notion semblable d’ensembles presques minimaux, avec des résultats

souvent identiques de régularité. Voir la remarque 1.29.

La première partie de la thése s’inscrit dans un plan assez large d’étude de la régularité intérieure

des ensembles minimaux au sens d’Almgren.

Rappelons que dans ce cadre, assez peu de résultats de régularité sont connus. Les premiers résultats

ont été donnés par Frederick Almgren [2] (rectifiabilité, Ahlfors régularité en dimension quelconque),


puis généralisés par Guy David et Stephen Semmes [11] (rectifiabilité uniforme, morceaux de graphes

Lipschitziens), Guy David [7] (minimalité d’une limite d’une suite de minimiseurs). Dans [32], Jean

Taylor a donné un théorème essentiel de régularité pour les ensembles minimaux de dimension 2 dans

R3, qui consiste à dire que tous ces ensembles minimaux sont localement C1 équivalents à un cône

minimal (c’est à dire, un ensemble minimal dans Rn, qui est en même temps un cône).

La situation ici est moins bonne que pour la régularité des courants minimiseurs de masse, ou des

surfaces minimales classiques, et d’ailleurs les ensembles minimaux au sens d’Almgren admettent des

singularités dès la dimension 1. Rappelons que pour étudier les surfaces minimales, le point de vue le

plus souvent utilisé consiste à voir les surfaces minimales comme des courants minimisant la masse ou

la taille (voir [29] pour les définitions), sous certains constraintes de bord. Rappelons qu’il existe de

très bons résultats d’existence et de régularité pour les courants minimiseur de masse, mais en fait un

minimiseur de masse est souvent un objet assez loin de décrire une solution du problème de Plateau

pour les films de savon. En gros la masse est un objet plutôt algébrique (ce qui rend aussi le problème

plus facile, on peut bien se servir des méthodes de dualité, calibration et compacité). Par exemple

quand on pince deux morceaux de surface ensemble, on compte toujours deux fois la surface obtenue

par le pincement, ce qui preserve la cohérence algébrique, mais en même temps ne parvient pas à décrire

raisonablement le comportement des films de savons. Parce que déjà aucune des singularités dans les

films de savon observées par Plateau n’est un minimiseur de masse.

Donc le problème de Plateau pour les films de savon est plutôt un problème de minimiseurs de taille,

pour lesquels beaucoup moins de résultats sont connus (voir [28] pour certains résultats d’existence).

Mais le support d’un minimiseur de taille est automatiquement un minimiseur d’Almgren, de sorte que

les résultats de régularité ci-dessous s’appliquent également au support d’un minimiseur de taille.

Revenons à la régularité des ensembles minimaux d’Almgren. D’abord on va faire une petite sim-

plification. On va se restreindre aux ensembles réduits définis comme suit.

Définition 0.3. Soit U ⊂ Rn un ouvert, E un sous ensemble fermé de U . Notons

E∗ = x ∈ E ; Hd(E ∩B(x, r)) > 0 pour tout r > 0

le support fermé (dans U) de la restriction de Hd à E. On dit que E est réduit si E = E∗.

Il est facile à voir que

Hd(E\E∗) = 0.

En effet on peut couvrir E\E∗ par un nombre dénombrable de boules Bj tel que Hd(E ∩Bj) = 0.

Remarque 0.4. Si E est minimal (resp. localement minimal), alors E∗ aussi, car si ϕ est comme

dans la définition 0.1, alors elle est Lipschitzienne, et donc Hd(ϕ(E\E∗)) = Hd(E\E∗) = 0. Donc la

condition (0.2) est la même pour E∗ que pour E. Et à cause de cela, il suffit d’étudier les ensembles

minimaux réduits.

7

Il se trouve qu’à cause de la monotonie du rapport r−dHd(E ∩ B(x, r)), les ensembles minimaux

admettent un ou plusieurs ensembles tangents en chaque point, et ces ensembles tangents sont des cônes

minimaux. Voir la discussion concernant les limites par explosion au paragraphe 1 (autour de (1.28)).

De ce fait, la première étape utile et obligée du programme doit être l’étude des cônes minimaux.

Dans R3, la liste des cônes minimaux est connue. Elle a été donnée par plusieurs mathématiciens

il y a plus d’un siècle. (Voir par exemple [21] ou [19]). Ce sont les plans, les ensembles Y et T. (voir le

dessin ci dessous pour avoir une idée).

Figure 1. Various soap film examples. (Section 2.1)

A. Skew quadrilateral. B. Mobius band.

C. Catenoid. D. Catenoid with disk.

E. Tetrahedral film. F. Trefoil knot film.Dans la première partie de la thèse, nous nous intéresserons essentiellement aux cônes de dimension

2 dans R4. L’idéal serait d’en obtenir une liste complète, mais nous n’en sommes pas encore là.

Bien sûr tous les cônes minimaux de dimension 2 dans R3 deviennent automatiquement des cônes

minimaux dans R4. Après, un argument de projection donne la minimalité de l’union de 2 plans or-

thogonaux. C’est le premier exemple qui n’était pas déjà connu dans R3. On peut se demander si c’est

le seul cône minimal sous forme de l’union de deux plans, ou sinon sous quelle condition d’angle est-il

vrai que l’union de deux plans est minimale.

La même question a aussi été posée pour les courants minimisant la masse et minimisant la taille.

Mais comme avant, ce problème a déjà été resolu pour les minimiseurs de masse. L’union de deux

m−plans dans R2m est un minimiseurs de masse si et seulement si les m angles caractéristiques (voir

l’introduction de la première partie pour la définition précise) α1 ≤ α2 ≤ · · · ≤ αm vérifient

1) αm ≤ α1 + · · ·+ αm−1 ; 2) α1 + · · ·+ αm ≥ π.

La nécessité est donnée par Gary Lawlor [22], et la suffisance par Dana Nance [27]. En particulier en

dimension 2, l’union d’une paire de plans est minimale si et seulement si les deux plans sont orthogonaux.

Par contre du côté de minimiseurs d’Almgren et minimiseurs de taille, en générale, la question

est toujours ouverte (mais en dimension 2, seule l’union de deux plans orthogonaux donne un courant


minimiseur de taille).

Dans [26], Frank Morgan a donné la conjecture suivante, énoncée en termes d’angles entre les plans.

L’union de deux m−plans P1 ∪P2, dont angles caractéristiques α1, · · · , αm, est Almgren-minimale

si et seulement si les 2 conditions ci-dessous sont vérifiées :

1) αm ≤ α1 + · · ·+ αm−1 + π3 ; 2) α1 + · · ·+ αm ≥ 2π

3 .

Elle définit un minimiseur de taille si et seulement si

3) αm ≤ α1 + · · ·+ αm−1 ; 4) α1 + · · ·+ αm ≥ π.

Revenons aux minimiseurs d’Almgren. En fait 2) est une condition nécessaire comme l’a démontré

Gary Lawler [23]. Mais l’autre partie est encore ouverte. Notons que pour notre cas où m = 2, 2)

implique 1), parce que α2 ≤ π2 , et donc 2) implique que α1 ≥ π

6 , auquel cas 1) est automatiquement

vrai. Donc ces conditions se traduisent en

α1 + α2 ≥2π3.

Le résultat principal de la première partie est que si on change un peu l’angle autour de (π2 ,π2 ),

l’union des deux plans est encore un ensemble minimal :

Théorème 0.5 (minimalité de l’union de deux plans presque orthogonaux). Il existe 0 < θ < π2 , tel

que si P 1 et P 2 sont deux plans dans R4 avec des angles caractéristiques (α1, α2) tels que α2 ≥ α1 ≥ θ,alors leur union P 1 ∪ P 2 est un cône minimal.

Autrement dit, on montre qu’il existe a > 0, tel que si pour tout v1 ∈ P 1, v2 ∈ P 2,

(0.6) | < v1, v2 > | ≤ a||v1||||v2||

alors P 1 ∪ P 2 est minimal. Notons que (0.6) est presque équivalent à dire que α1, α2 >π2 − Ca quand

a est petit. On obtient donc une famille de cônes minimaux avec un paramètre continu, et dont les

intersections avec la boule unité sont de mesures égales.

La démonstration du théorème 0.5 utilise des arguments de passage à la limite, un théorème d’exis-

tence de Vincent Feuvrier, des estimations sur les fonctions harmoniques et les techniques générales de

la théorie géométrique de la mesure.

Dans la seconde partie de la thèse, on s’intéressera également à deux autres types d’ensembles

minimaux, les ensembles minimaux de Mumford-Shah et les ensembles minimaux topologiques. Dans

les deux cas, il s’agit encore de minimiser la mesure de Hausdorff, mais c’est la liste des compétiteurs

qui sera différente.

Commençons par définir les ensembles minimaux de Mumford-Shah, mais seulement dans le

contexte plus simple où l’on se place dans l’ouvert U = Rn. Dans ce contexte, on se place en codi-

mension 1 (donc, d = n− 1).

9

Définition 0.7 (ensembles minimaux de Mumford-Shah). L’ensemble E fermé dans Rn est dit minimal

au sens Mumford-Shah (MS) dans Rn si Hn−1(E ∩B) <∞ pour toute boule compacte B ⊂ Rn, et

Hn−1(E\F ) ≤ Hn−1(F\E)

pour tout ensemble F qui vérifie

1) Il existe une boule B telle que F\B = E\B ;

2) Pour tous y, z ∈ Rn\(B ∪ E) qui sont séparés par E, y, z sont aussi séparés par F .

Ici "y, z sont séparés par E" veut dire que y et z appartiennent à deux composantes connexes

différentes de Rn\E.

Le nom de Mumford-Shah vient de ce que la condition de séparation 2) intervient naturellement

dans l’étude des segmentations minimisantes dans la fonctionelle de Mumford-Shah. Rappelons, sans

écrire cette fonctionnelle (voir [8] pour des définitions précises, et tout renseignement utile), qu’elle est a

été introduite par D. Mumford et J. Shah [12] pour proposer une méthode automatique de segmentation

d’image. Dans ce cadre, la fonctionnelle a deux arguments u et K, où K est un fermé du domaine U

considéré, et u est une fonction de classe C1 sur U \K. Et l’un des termes principaux de la fonctionnelle

à minimiser est Hn−1(K).

Dans l’étude de cette fonctionnelle aussi, comme l’a montré A. Bonnet [3], la notion de limite

par explosion est utile et importante, et les limites par explosion de segmentations minimisantes sont

ce qu’on appelle des minimiseurs globaux, qui sont encore des paires (v,K) où K est un fermé de

Rn et v une fonction classe C1 sur Rn \ K. En gros, les minimiseurs globaux jouent dans l’étude de

la fonctionnelle de Mumford-Shah le même rôle que les cônes minimaux dans l’étude des ensembles

minimaux.

La définition de minimiseur global fait intervenir la même condition de séparation que ci-dessus

(également dans la définition des compétiteurs), et par exemple, si v est constante, (v,K) est un

minimiseur global si et seulement si K est un ensemble minimal de Mumford-Shah (d’où le nom). Ainsi,

le théorème ci-dessous donne la liste des minimiseurs globaux de R3 pour lesquels v est constante.

Théorème 0.8 ([9], Thm 1.9). Soit E un ensemble minimal au sens de Mumford-Shah dans R3, alors

il existe un ensemble E∗ ⊂ E, H2(E\E∗) = 0, tel que E∗ est soit l’ensemble vide, soit un plan, soit un

cône de type Y ou T.

Le théorème 0.8 laisse un certain nombre de questions en suspens, que l’on abordera dans la seconde

partie de la thèse.

D’abord, on ne sait pas si son analogue pour les ensembles minimaux au sens d’Almgren est vrai :

est-ce que tout ensemble minimal d’Almgren dans R3 tout entier est un cône ? G. David vérifie dans la

remarque 1.8 de [9] que tout ensemble minimal de Mumford-Shah est ensemble minimal d’Almgren, mais


la réciproque semble difficile à établir autrement qu’en montrant d’abord que tout ensemble minimal

d’Almgren dans R3 est un cône.

La démonstration du théorème 0.8 est basé sur un argument topologique, qui ne marche pas dans

le cas des minimiseurs d’Almgren. G. David propose même un exemple (possiblement déjà utilisé

auparavant par Taylor, Hardt, ou Morgan) d’ensemble E ⊂ R3 qui est topologiquement compatible

avec les propriétés des minimiseurs d’Almgren, et qui est asymptotiquement proche à l’infini d’un cône

T, sans en avoir la topologie.

Au chapitre 14 on vérifiera (par un argument métrique de déformation et comparaison) qu’aucun

ensemble ayant cette topologie ne peut être minimal au sens d’Almgren. On proposera également un

exemple, à la topologie plus compliquée qui pourrait éventuellement l’être, au sens où la même objection

ne s’applique pas.

Il serait sans doute intéressant de disposer d’un analogue de la fonctionnelle de Mumford-Shah,

avec des ensembles singuliers de codimension supérieure à 1, mais il semble que le bon équilibre avec

les singularités de la fonction u est encore à trouver.

Il est cependant plus simple de généraliser la définition 0.7 à des codimensions plus grandes. C’est

ce que nous faisons au paragraphe 18 en remplacant la condition de séparation 2) (de la définition 0.7)

par une condition portant sur l’homologie des sphères euclidiennes de dimension n − d − 1 contenues

dans Rn \ (B ∪ E). On appelle minimiseurs topologiques les ensembles minimaux ainsi définis.

On montre au corollaire 18.17 que tout minimiseur topologique est également Almgren-minimal, ce

qui permet de lui appliquer toute la théorie de régularité connue à ce jour.

Ensuite on essaie de généraliser le théorème 0.8 à des minimiseurs topologiques de dimension 2

dans R4, mais on n’y arrive qu’en ajoutant une condition topologique supplémentaire sur E. Voir le

corollaire 19.20.

On construit également, à l’aide de bouteilles de Klein, un exemple d’ensemble de dimension 2

dans R4 qui est asymptotiquement proche à l’infini d’un cône T, n’en a pas la topologie, mais a les

propriétés que devrait avoir un minimiseur topologique. Voir l’introduction de la deuxième partie pour

plus d’informations.

Quelques notations utiles

[a, b] désigne le segment d’extrémités a et b ;

[a, b) est la demi-droite émise du point a est passant par b ;

B(x, r) désigne la boule ouverte de rayon r et centrée en x ;

B(x, r) la boule fermée de rayon r et centrée en x ;

−→ab le vecteur b− a ;

11

Pour une chaîne singulière γ, notons [γ] l’élément dans le groupe d’homologie représenté par γ ;

Hd : la mesure de Hausdorff de dimension d ;

dH : dH(E,F ) = maxsupd(y, F ) : y ∈ E, supd(y,E) : y ∈ F la distance de Hausdorff entre

deux ensembles E et F .

dx,r : la distance relative par rapport à la boule B(x, r), définie par

dx,r(E,F ) =1r

maxsupd(y, F ) : y ∈ E ∩B(x, r), supd(y,E) : y ∈ F ∩B(x, r).

12

Première partie

Minimalité d’une union de deux plans

Sommaire1 Introduction de la première partie 14

2 Discussions sur le cas orthogonal et des cas presque orthogonaux 23

2.1 Estimation des projections sur l’union de 2 plans transverses pour tout

2-vecteur simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Comparaison de la mesure d’un ensemble rectifiable avec la somme de

celles de ses projections sur deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Unicité de P0 31

4 L’existence d’ensembles minimaux 43

5 Rayons critiques 57

6 Propriétés de projection et régularité de Ek 61

7 Argument d’extension harmonique 75

8 Conclusion 82

9 Généralisation aux dimensions plus hautes 89

9.1 Estimations algébriques pour la somme des projecteurs de deux hy-

perplans (parallèle au paragraphe 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.2 Unicité de P0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.3 L’argument de l’extension harmonique par les harmoniques sphériques 98

10 Généralisation au cas de plusieurs plans et hyperplans 104

11 L’union presque orthogonale d’un plan et un Y dans R5 111

11.1 Discussions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

13

11.2 L’unicité de Z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

11.3 Remarques sur d’autres préparatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

11.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

12 Produit et calibration 133

14 Introduction de la première partie


Dans cette première partie, un ensemble minimal est un fermé dont la mesure de Hausdorff ne

peut être rendue plus petite par aucune déformation Lipschitzienne locale. Plus précisément on a la

définition ci-dessous, où l’on note Hd la mesure de Hausdorff de dimension d.

Définition 1.1 (ensembles minimaux). Soit 0 < d < n des entiers, U un ouvert de Rn. L’ensemble E

fermé dans U est dit minimal de dimension d dans U si

(1.2) Hd(E ∩B) <∞ pour toute boule compacte B ⊂ U

et

(1.3) Hd(E\F ) ≤ Hd(F\E)

pour tout compétiteur d’Almgren F de E dans U .

On pourrait en générale donner plusieurs classes différentes de compétiteurs, qui donnent des dé-

finitions différentes d’ensembles minimaux. Mais dans cette partie, on n’utilisera que les compétiteurs

d’Almgren dont la définition suit.

Définition 1.4 (compétiteurs d’Almgren). Un compétiteur d’Almgren de E dans U est un ensemble

F = ϕ1(E), où ϕt, 0 ≤ t ≤ 1 est une famille à un paramètre de fonctions continues ϕt : U → U

vérifiant

(1.5) ϕ0(x) = x pour x ∈ U,

(1.6) l’application (t, x)→ ϕt(x) de [0, 1]× U dans U est continue,

(1.7) ϕ1 est Lipschitzienne,

et si on pose

(1.8) Wt = x ∈ U ; ϕt(x) 6= x et W =⋃

t∈[0.1]

[Wt ∪ ϕt(Wt)],

alors

(1.9) W est relativement compact dans U.

Une telle ϕ1 sera appelée une déformation de E dans U .

Remarque 1.10. Dans cette partie on appellera un ensemble minimal d’Almgren un ensemble minimal.

15

Définition 1.11 (déformation locale). Une déformation locale de E dans U est un ensemble F = f(E),

où :

(1.12) f = id hors d’une boule B telle que B ⊂ U,

(1.13) f(B) ⊂ B,

et où on demande aussi que f soit Lipschitzienne.

Remarque 1.14. 1) On dit aussi qu’un ensemble F défini comme ci-dessus est une déformation locale

de E dans B. Et dans ce cas (1.3) est équivalent à

(1.15) Hd(E ∩B) ≤ Hd(F ∩B).

Définition 1.16 (ensembles localement minimaux). Un ensemble E défini dans 1.1 en prenant pour

classe de compétiteurs la classe des déformations locales est appelé un ensemble localement minimal

dans U .

Remarque 1.17. La classe des déformations locales de E dans U est contenue dans la classe des

compétiteurs d’Almgren, puisqu’une déformation dans une boule est toujours homotope à l’identité. Par

conséquent un ensemble minimal est toujours un ensemble localement minimal. Par contre en général

un compétiteur d’Almgren n’est pas toujours une déformation locale. En fait cela dépend des propriétés

géométriques de l’ouvert U . Par exemple si U est Rn ou une boule, alors les deux classes sont égales,

et en particulier un ensemble localement minimal dans Rn est un ensemble minimal dans Rn.

En un certain sens, la minimalité d’un ensemble ne dépend pas de la dimension ambiante. Par

exemple, si E ⊂ U(⊂ Rm) est un ensemble minimal dans U ′ := U × Rn, alors on déduit toute de suite

de la définition que E est minimal dans U aussi. La réciproque est aussi vraie, par le lemme suivant.

Lemme 1.18. Si E est un ensemble minimal dans U(⊂ Rm), alors il est aussi minimal dans U × Rn

pour tout n ∈ N.

Démonstration. Soit E un ensemble minimal dans U , F un compétiteur d’Almgren de E dans U ⊃ Rn,

alors par la définition 1.4, il existe une famille de fonctions ϕt : U → U qui vérifie (1.5)-(1.9) dans

U ×Rn et telle que F = ϕ1(E). Notons π la projection orthogonale de U ×Rn sur U , alors gt = π ϕtest une famille de fonctions qui vérifie (1.5)-(1.9) dans U . Notons B′ = B ∩Rn et F ′ = g1(E) ; alors F ′

est un compétiteur d’Almgren E dans U . Par la minimalité de E dans U on sait que

(1.19) Hd(E\F ′) ≤ Hd(F ′\E).

D’un autre côté puisque π est 1-Lipschitzienne, on a

(1.20) Hd(F ′\F ) ≤ Hd(F\F ′),


d’où

(1.21) Hd(E\F ) ≤ Hd(F\E).

Par conséquent E est minimal dans U×Rn, puisque (1.21) est vrai pour tout compétiteur d’Almgren

F de E dans U × Rn.

Fin de la démonstration du lemme.

On utilise ces définitions pour aborder d’un point de vue ensembliste la solution du problème de

Plateau, qui consisterait à montrer, un bord étant donné, l’existence d’une surface minimale s’appuyant

sur le bord. Le concept d’ensemble minimal a été introduit par Frederick J. Almgren, par exemple pour

décrire le comportement des films de savon, qui sont des "surfaces" de dimension 2 dans R3, mais qui

peuvent avoir certains types de singularités. En effet c’est l’existence potentielle des points de singularité,

et donc les types des singularités et de régularité autour de ces points-là, qui nous intéressent le plus,

parce que dans les parties loin des singularités, l’ensemble n’est qu’une vraie surface minimale du point

de vue de la géométrie différentielle.

Soyons plus précis.

D’abord on va faire une petite simplification. On va se restreindre aux ensembles réduits définis

comme suit.

Définition 1.22. Soit U ⊂ Rn un ouvert, E un sous ensemble fermé de U . Notons

(1.23) E∗ = x ∈ E ; Hd(E ∩B(x, r)) > 0 pour tout r > 0

le support fermé (dans U) de la restriction de Hd à E. On dit que E est réduit si E = E∗.

Il est facile à voir que

(1.24) Hd(E\E∗) = 0.

En effet on peut couvrir E\E∗ par un nombre dénombrable de boules Bj tel que Hd(E ∩Bj) = 0.

Remarque 1.25. Si E est minimal (resp. localement minimal), alors E∗ aussi, car si ϕ est comme dans

la définition 1.4 (resp. 1.11), alors elle est Lipschitzienne, et donc Hd(ϕ(E\E∗)) = Hd(E\E∗) = 0.

Donc la condition (1.3) est la même pour E∗ que pour E. Et à cause de cela, il suffit d’étudier les

ensembles minimaux réduits.

Maintenant fixons n’importe quel point x d’un ensemble minimal réduit E, et faisons exploser

localement notre ensemble minimal en ce point, ce qui veut dire que l’on considère, pour r → 0, les

ensembles

(1.26) E(r, x) = [1r

(E − x)].

17

Alors pour toute sous-suite rkk≥1 telle que rk → 0 et E(rk, x) converge pour la distance de Hausdorff

dans tout compact quand k tend vers l’infini (des sous-suites convergentes existent toujours, voir par

exemple [8] paragraphe 34, Proposition 6), sa limite F (appelée une limite d’explosion de E en x) est

aussi minimale, parce que la limite d’une suite d’ensembles minimaux est automatiquement un ensemble

minimal (voir, par exemple, [9] lemme 4.7). D’un autre côté, la fonction de densité de F à l’origine

(1.27) θ(0, r) = r−dHd(F ∩B(0, r))

est une constante qui est égale à la densité de E en x

(1.28) θ(x) = limr→0

r−dHd(E ∩B(x, r)),

ce qui implique que F est un cône (c.f.[9], Thm 6.2) ; bref, F est un cône minimal. Par conséquent

on sait que quand on s’approche de chaque point x et regarde E à une échelle de plus en plus petite,

E ressemble de plus en plus à un cône minimal. Donc chercher tous les cônes minimaux est presque

équivalent à chercher tous les types possibles de singularités.

Remarque 1.29. Tous les arguments ci-dessus marchent pareil pour des ensembles presque minimaux,

qui forment une classe un peu plus grande que la classe des ensembles minimaux. Il y a plusieur

définitions des ensembles presque minimaux, qui sont un peu différentes, sans toutefois changer grand

chose à leurs propriétés. Voir [9] paragraphe 4 pour les définitions et des détails. Ici pour avoir une

idée, disons qu’une des définition demande que

(1.30) Hd(E ∩W1) ≤ Hd(ϕ1(E ∩W1)) + h(δ)δd

pour toute déformation telle que diam(W ) < δ, où ϕt, Wt, W sont définis dans la définition 1.4, et

on demande aussi que la fonction de jauge h tende vers 0 quand δ tend vers 0.

La liste des cônes minimaux de dimension 2 dans R3 a été donnée par plusieurs mathématiciens il

y a plus d’un siècle. (Voir par exemple [21] ou [19]). L’enjeu consiste à trouver des réseaux d’arcs de

grands cercles sur la sphère unité qui vérifient que les bouts de chaque arc sont des points de jonctions

triple avec des angles de 120. Un cône minimal est forcément un cône sur un réseau de cette forme.

On obtient donc une liste finie (en fait, de 10 cônes). Et après, on élimine un par un les cônes qui ne

sont pas minimaux, en trouvant des déformations qui diminuent la mesure. Alors il ne reste que trois

cône qui sont minimaux : un plan, un Y (l’union de 3 demi-plans qui se rencontrent en une droite avec

des angles de 120), et un T (le cône sur l’union des arêtes d’un tétraèdre régulier centré à l’origine).

Voir le dessin 1-1.


Figure 1. Various soap film examples. (Section 2.1)

A. Skew quadrilateral. B. Mobius band.

C. Catenoid. D. Catenoid with disk.

E. Tetrahedral film. F. Trefoil knot film.1-1

Du côté de la régularité, dans son article [32], Jean Taylor a donné un théorème essentiel de

régularité pour les ensembles minimaux de dimension 2 dans R3, qui consiste à dire que tous ces

ensembles minimaux sont localement C1 équivalents à un cône minimal, donc un plan, un Y ou un T.

La notion d’ensemble minimal est définie dans des dimensions et codimensions plus élevées. Par

contre peu de choses aussi précises sont connues en grandes dimensions et codimensions.

Du côté de la régularité, Guy David a généralisé le résultat de Jean Taylor aux ensembles minimaux

de dimension 2 dans Rn, mais avec seulement une équivalence bi-hölderienne (voir, [9]). Il dit aussi

dans son article [10] que la C1 régularité pourrait dépendre du type des cônes minimaux obtenus par

explosion. Si un tel cône vérifie aussi une condition de "full-length", on obtiendra la C1 régularité, sinon

on pourrait la perdre.

La liste des cônes minimaux est toujours loin d’être connue, même pour les cônes minimaux de

dimension 2 dans R4. Bien sûr tous les cônes minimaux de dimension 2 dans R3 deviennent automa-

tiquement des cônes minimaux dans R4. Après, un argument de projection donne la minimalité de

l’union de 2 plans orthogonaux. C’est le premier exemple qui n’était pas déjà connu dans R3. On peut

se demander si c’est le seul cône minimal sous forme de l’union de deux plans, ou sinon sous quelle

condition d’angle est-il vrai que l’union de deux plans est minimale. Dans son article [26], Frank Morgan

a donné la conjecture suivante, énoncée en termes d’angles entre les plans.

Soit S l’union de deux plans P,Q de dimension m dans R2m. On peut décrire leur position géomé-

trique relative par des angles caractéristiques (α1, α2, · · · , αm) avec 0 ≤ α1 ≤ · · · ≤ αm ≤ π2 :

Parmi toutes les paires de vecteurs unité v ∈ P,w ∈ Q, choisissons v1, w1 qui minimisent l’angle

entre eux. Et ensuite on choisit v2 ∈ P,w2 ∈ Q avec v2 ⊥ v1, w2 ⊥ w1, qui minimisent l’angle parmi les

telles paires. On répète ceci m fois. Pour chaque i, notons αi l’angle entre vi et wi. Ce sont les angles

caractéstiques entre P et Q.

19

La conjecture de Morgan dit que S est minimal si et seulement si les 2 conditions ci-dessous sont

vérifiées :

1) αm ≤ α1 + · · ·+ αm−1 + π3 ; 2) α1 + · · ·+ αm ≥ 2π

3 .

En fait 2) est une condition nécessaire comme l’a démontré Gary Lawler [23]. Mais l’autre partie

est encore ouverte. Notons que pour notre cas où m = 2, 2) implique 1), parce que α2 ≤ π2 , et donc 2)

implique que α1 ≥ π6 , auquel cas 1) est automatiquement vrai. Donc ces conditions se traduisent en

(1.31) α1 + α2 ≥2π3.

Le résultat principal de cette thèse est que si on change un peu l’angle autour de (π2 ,π2 ), l’union

des deux plans est encore un ensemble minimal :

Théorème 1.32 (minimalité de l’union de deux plans presque orthogonaux). Il existe 0 < θ < π2 , tel

que si P 1 et P 2 sont deux plans dans R4 avec des angles caractéristiques (α1, α2) tels que α2 ≥ α1 ≥ θ,alors leur union P 1 ∪ P 2 est un cône minimal.

Autrement dit, on montre qu’il existe a > 0, tel que si pour tout v1 ∈ P 1, v2 ∈ P 2,

(1.33) | < v1, v2 > | ≤ a||v1||||v2||

alors P 1 ∪P 2 est minimal. Notons que (1.33) est presque équivalent à dire que α1, α2 >π2 −Ca quand

a est petit. On obtient donc une famille de cônes minimaux avec un paramètre continu, et dont les

intersections avec la boule unité sont de mesures égales.

La stratégie de la démonstration du théorème 1.32 est la suivante :

Puisque nos objets sont des cônes centrés à l’origine, on peut se satisfaire de regarder seulement

des déformations dans la boule unité, et donc on se place dans la boule unité fermée B(0, 1). Notons

d’abord Pθ avec θ = (θ1, θ2) l’union des 2 plans avec angles caractéristiques θ. On commencera par

vérifier que P(π2 ,π2 ) est minimal, et de plus est l’unique minimiseur local parmi tous les ensemble avec le

même bord et les projections surjectives sur les deux plans. Ici le bord d’un ensemble fermé E ⊂ B(0, 1)

désigne seulement E ∩ ∂B(0, 1).

Donc raisonnons par l’absurde et supposons que l’énoncé du théorème n’est pas vrai. Alors il existe

une suite θk qui converge vers θ0 := (π2 ,π2 ) telle que Pθk n’est pas minimal. Notons Pk = Pθk . Notons

aussi P0 = P 10 ∪θ0 P 2

0 = P 10 ∪⊥ P 2

0 . Et donc on sait que

(1.34) infH2(F ) : F ⊂ B(0, 1) est une déformation de Pk dans B(0, 1) < H2(Pk) = 2π.

L’étape suivante serait plus facile si on pouvait trouver, pour chaque k, une déformation Ek de

Pk qui minimise H2(E ∩B(0, 1)) parmi les déformations de Pk dans B(0, 1). Malheureusement, on ne

connait pas de théorème d’existence qui donne un tel Ek.


En revanche, Vincent Feuvrier a obtenu un résultat partiel dans sa thèse de 2008 (voir [15]), qui

dit qu’étant donné un ensemble initial E dans B(0, 1), il existe un certain ensemble F qui est minimal

dans B(0, 1), et qui est la limite d’une suite minimisante de déformations de l’ensemble initial E dans

B(0, 1), et tel que

(1.35) H2(F ) ≤ infH2(E′) : E′ ⊂ B(0, 1) est une déformation de E dans B(0, 1).

Ici on risque d’avoir un problème au bord, en considérant que personne ne peut empêcher la

suite minimisante d’avoir d’autres points adhérents sur ∂B(0, 1) que ceux de E ∩ ∂B(0, 1). Donc un

nouveau bord peut se produire, et alors le bord de notre ensemble F ∩∂B(0, 1) n’est plus le bord initial

E ∩ ∂B(0, 1), et par conséquent il n’est pas forcément un compétiteur d’Almgren de E. Par ailleurs,

même sans le problème au bord, on ne peut pas non plus dire que l’ensemble minimal F obtenu ainsi

est une déformation de l’ensemble initial E, parce que la limite d’une suite de déformations n’est pas

forcément une déformation.

Mais heureusement dans notre cas, on peut se débrouiller pour éviter les deux obstacles. On peut

montrer que le Ek obtenu comme ci-dessus à partir de Pk a le même bord que Pk. D’un autre côté,

bien qu’on ne puisse pas dire que Ek est une déformation de Pk, on peut collecter assez d’informations

sur Ek, surtout la propriété de projection, pour qu’on puisse enfin faire marcher notre démonstration

sans savoir que Ek est une déformation de Pk.

Donc une fois qu’on a obtenu notre suite Ek, dont les bords Ek ∩ ∂B(0, 1) tendent vers le bord

P0 ∩ ∂B(0, 1) de P0 (rappelons que P0 = P 10 ∪⊥ P 2

0 ), on peut extraire une sous-suite qui converge

par rapport à la distance de Hausdorff, sous-suite que nous notons encore Ek. Alors puisque les Eksont localement minimaux, leur limite, notons-la E∞, est automatiquement localement minimale. Mais

puisque son bord E∞ ∩ ∂B(0, 1) = P0 ∩ ∂B(0, 1), par l’unicité de P0, E∞ n’est autre que P0 lui même.

De plus la distance de Hausdorff entre chaque Ek et Pk tend vers 0 aussi, puisque Pk tend vers P0. Voir

les détails dans le paragraphe 4.

Maintenant on va faire une ε−décomposition de chaque Ek. On va trouver un rayon rk = rk(ε) pour

chaque k, tel que Ek est ε proche de Pk hors d’une boule B(ok, rk) avec ok assez proche de l’origine.

Et de plus dans B(ok, rk), Ek commence à s’éloigner un peu de Pk. Autrement dit, rk est l’échelle où

Ek commence à s’éloigner de Pk, bien qu’on ne sache pas exactement comment.

On montre qu’un tel rk existe.

Pourtant on n’arrive pas encore à notre décomposition. Il faut travailler encore un peu plus. On sait

que hors de la boule B(ok, rk), Ek est assez proche d’un plan localement. Alors quand ε est suffisamment

petit, par la régularité des ensembles minimaux, on arrive à montrer qu’autour de chaque tel point,

Ek est localement un graphe de classe C1 sur P 1k ou P 2

k , où les P ik sont les plans qui font partie de

Pk. On montre même que hors de la boule B(ok, rk), Ek est l’union de deux graphes de classe C1

respectivement sur P 1k et P 2

k . De plus, puisque rk est le premier rayon où Ek n’est pas εrk proche de

21

Pk, on sait encore qu’à l’échelle 2rk l’ensemble Ek est 2εrk proche de Pk. Alors la régularité se prolonge

encore un peu dans la boule B(ok, rk) quand ε est assez petit : on arrive à montrer que hors la boule

B(ok, 14rk), Ek est l’union de 2 graphes de classe C1. En particulier pour chaque 1

4rk < t < rk et

i = 1, 2, Γit := pik−1(P ik ∩ ∂B(pik(ok), t)) est une courbe de classe C1, qui est de plus le graphe d’une

fonction de classe C1 du cercle P ik ∩ ∂B(pik(ok), t) vers P ik⊥.

D’un autre côté, on peut montrer par un argument de compacité que, pour chaque ε, il existe

un δ (qui pourrait être beaucoup plus petit que ε) tel que pour k assez grand, si Ek est δrk proche

d’une translation de Pk dans B(ok, rk)\B(ok, 14rk), alors il est εrk proche d’une translation de Pk dans

B(ok, rk). Mais on sait que Ek n’est εrk proche d’aucune translation de Pk dans B(ok, rk), et donc

n’est δrk proche d’aucune translation de Pk dans B(ok, rk)\B(ok, 14rk). Il existe alors i ∈ 1, 2 tel qu’il

existe

soit un rayon 14rk < tk < rk, tel que Γtk lui même est assez différent d’un cercle horizontal ;

soit deux rayons 14rk < tk < t′k < rk tels que les deux courbes Γtk et Γt′k sont très plates elles-mêmes,

mais à des hauteurs différentes.

Dans les deux cas, on décompose notre Ek en deux morceaux : Ek ∩ B(ok, tk) et Ek ∩(B(0, 1)\B(ok, tk)). C’est notre ε-décomposition.

Alors pour la partie extérieure, par un argument d’extension harmonique, on peut montrer que

(1.36) H2(Ek ∩B(0, 1)\B(ok, tk)) ≥ H2(Pk ∩ (B(0, 1)\B(ok, tk))) + C(δ)t2k

où C(δ) ne dépend que de δ et donc de ε. Et pour la partie intérieure, par un argument de projection

on peut montrer que

H2(Ek ∩B(ok, tk)) ≥ (1− C × (π

2− θk))H2(Pk ∩B(ok, tk))

= H2(Pk ∩B(ok, tk))− C × (π

2− θk)t2k

(1.37)

où π2 − θk → 0 quand k →∞.

En sommant les deux estimations on obtient

(1.38) H2(Ek) ≥ H2(Pk ∩B(0, 1)) + [C(δ)− C × (π

2− θk)]t2k

pour tout ε assez petit tel que toutes les propriétés de régularités ci-dessus sont vraies. Alors fixons un tel

ε, et donc le C(δ) qui ne dépend de ε et aussi fixé. On fait tendre k vers l’infini, alors [C(δ)−C(π2−θk)]→C(δ) > 0, et donc on gagne une mesure positive 1

2C(δ)t2k de Ek sur Pk, quand k est assez grand.

On obtient donc une contradiction, puisqu’on a supposé que Ek est de mesure strictement plus

petite que Pk.

Cette sorte d’argument peut se généraliser un peu, soit à l’union presque orthogonaux de deux

plans de dimension plus élevée, soit à l’union presque orthogonale dans R5 d’un plan et un Y. Et aussi,


un autre corollaire facile est que l’union presque orthogonale de m plans de dimension n dans Rnm est

minimale. On discutera de ces généralisations aux paragraphes 9 à 11.

Par contre, cet argument utilise plusieurs fois des arguments de compacité. La première fois est au

début de la preuve, où on suppose que l’énoncé du théorème n’est pas vrai, et en déduit qu’il existe la

suite Ek qui tend vers P0. Mais on ne peut rien dire sur la vitesse de cette convergence. L’autre endroit

est quand on démontre que si Ek est δrk proche de Pk dans B(ok, rk)\B(ok, 14rk), alors il doit être εrk

proche de Pk dans B(ok, rk). Ici pour estimer δ à partir de ε, il faudrait peut-être mieux comprendre

l’unicité de P0. Mais en fait bien que l’unicité de P0 a l’air plus ou moins crédible, sa démonstration

est loin d’être simple.

Le plan de la première partie de cette thèse est le suivant.

Dans le paragraphe 2 on va d’abord faire une première estimation entre la mesure d’un ensemble

rectifiable quelconque et celles de ses projections sur deux plans, qui dépend bien sûr des angles carac-

téristiques des deux plans. Cette estimation est plutôt algébrique, si bien qu’on peut la faire sans savoir

la structure précise de l’ensemble. On établit aussi la minimalité de P0.

Dans le paragraphe 3 on établit l’unicité de P0.

A partir du paragraphe 4 on va commencer à démontrer le théorème par l’absurde. On établit

l’existence des ensembles localement minimaux Ek, ainsi que quelques propriétés dont on a besoin.

Le paragraphe 5 consiste à trouver le rayon critique rk, et établir quelques propriétés des Ek hors

de la boule D(ok, 14rk).

Dans le paragraphe 6 on montre que les projections orthogonales de Ek sur P 1k et P 2

k sont surjectives,

dans B(0, 1) et dans D(ok, t) pour tout t ∈ [ 14rk, rk]. On donne aussi la C1-régularité de Ek hors de la

boule D(ok, 14rk).

Le paragraphe 7 donne un argument d’extension harmonique, qui donne une borne inférieure pour

la mesure du graphe d’une fonction (définie sur un anneau) en fonction de la taille de ses oscillations

près du bord.

Et on arrive à notre conclusion au paragraphe 8, en sommant tous les informations qu’on a collecté

pendant les paragraphes précédents.

Dans les trois paragraphes qui suivent, on utilise le même genre d’idées pour obtenir quelques résul-

tats semblables. On montre la minimalité de l’union presque orthogonale de deux plans de dimension

plus élevée au paragraphe 9, la minimalité de l’union presque orthogonale de m plans de dimension n

(n ≥ 2) dans Rmn dans le paragraphe 10, et finalement dans le paragraphe 11 la minimalité de l’union

presque orthogonale d’un plan de dimension 2 et un Y de dimension 2 dans R5.

Dans le paragraphe 12 on montre deux petits résultats. 1) on montre par calibration que le produit

de deux Y de dimension 1 est minimal si la classe des compétiteurs est restreint à des déformations

23

injectives. 2) On montre que si le produit de deux ensembles est minimal dans Rn, alors chacun est

minimal aussi.

2 Discussions sur le cas orthogonal et des cas presque

orthogonaux

Dans ce paragraphe, on va faire quelques premières estimations pour l’union de deux plans trans-

verses. Ces estimations sont plutôt algébriques, et n’utilisent que l’estimation des projections des 2-

vecteurs simples dans R4. Donc dans ce paragraphe on va exprimer des plans de dimension 2 par des

2-vecteurs. Mais ici les 2-vecteurs sont seulement utilisés pour exprimer les positions relatives entre

des plans, ou traités comme des élément de surface ou la dérivée d’une applications différentiable entre

deux ensembles rectifiables quand on essaye de faire une intégration. Donc dans notre démonstrations

l’orientation des 2-vecteurs ne compte jamais, autrement dit on n’aura pas besoin de distinguer x ∧ yet y ∧ x.

Donc soit x, y deux vecteurs dans R4, on note x∧y leur produit extérieur, qui appartient à ∧2(R4),

l’espace des 2-vecteurs dans R4. Et si ei1≤i≤4 est une base orthonormée de R4, alors ei∧ ej1≤i<j≤4

forme une base de ∧2(R4). On dit qu’un élément v ∈ ∧2(R4) est simple si on peut l’écrire comme le

produit extérieur de deux vecteurs : v = x ∧ y, x, y ∈ R4.

La norme sur l’espace ∧2(R4), notée | · |, est simplement définie par

(2.1) |∑i<j

λijei ∧ ej | =∑i<j

|λij |2.

Alors ∧2(R4) est un espace hilbertien sous cette norme, et ei∧ej1≤i<j≤4 en est une base orthonormée.

Et pour tout 2-vecteur simple x ∧ y, sa norme est

(2.2) |x ∧ y| = ||x||||y|| sin < x, y >,

où < x, y >∈ [0, π] est l’angle entre les vecteurs x et y, et || · || désigne la norme Euclidienne sur

R4. Un 2-vecteur simple unitaire est un 2-vecteur simple dont la norme est 1. Notons que | · | estengendrée par le produit scalaire <,> défini sur ∧2(R4) comme suit : pour ξ =

∑1≤i<j≤4 aijei∧ej , ζ =∑

1≤i<j≤4 bijei ∧ ej ,

(2.3) < ξ, ζ >=∑

1≤i<j≤4

aijbij .

On peut vérifier que si les sous-espaces (de dimension 2) engendrés par les 2 paires de vecteurs x, y

et x′, y′ respectivement sont égaux, alors il existe r ∈ R\0 tel que x ∧ y = rx′ ∧ y′.

24 Discussions sur le cas orthogonal et des cas presque orthogonaux

Maintenant étant donné un 2-vecteur unitaire simple ξ, on peut l’associer à un sous-espace P (ξ) ∈G(4, 2) de dimension 2 de R4, où G(4, 2) est l’ensemble des sous-espaces de dimension 2 dans R4 (ou

l’ensemble des 2-plans dans R4 passant par l’origine),

(2.4) P (ξ) = v ∈ R4, v ∧ ξ = 0.

Autrement dit P (x ∧ y) est le sous-espace engendré par x et y.

On écrit aussi, quand il n’y a pas d’ambiguïté, P = x ∧ y, où P ∈ G(4, 2) et x, y ∈ R4 lorsque

P = P (x∧y) et x∧y est unitaire. Mais notons que quand on écrit P = x∧y et P = x′∧y′ où x∧y, x′∧y′

sont deux 2-vecteur simple unitaire, cela ne veut pas dire du tout que x ∧ y = x′ ∧ y′ ∈ ∧2(R4). (Par

contre il existe ε ∈ −1, 1 tel que x ∧ y = εx′ ∧ y′.)

Au niveau des applications linéaires, si f est une application linéaire de R4 dans R4, alors on note

∧2f (et aussi f s’il n’y a pas d’ambiguïté) l’application linéaire de ∧2(R4) dans ∧2(R4) telle que

(2.5) ∧2f(x ∧ y) = f(x) ∧ f(y).

Et au niveau de G(4, 2) (l’ensembles des plans non-orientés), pour ξ ∈ ∧2R4 qui est simple unitaire,

on a P (ξ) = P (−ξ), de sorte qu’on peut définir |f(·)| : G(4, 2)→ R+ ∪ 0 par

(2.6) |f(P (ξ))| = | ∧2 f(ξ)|.

On peut vérifier facilement que la valeur de |f(P (ξ))| ne dépend pas du choix de ξ qui engendre P .

Donc |f(·)| est bien définie.

2.1 Estimation des projections sur l’union de 2 plans transverses

pour tout 2-vecteur simple

Rappelons la définition des angles caractéristiques entre 2 plans. Soit P,Q deux plans de dimension

2 dans R4. Parmi les paires de vecteurs unitaires (v, w), v ∈ P,w ∈ Q, on choisit v1, w1 qui minimise

l’angle entre eux. Et on note α1 cet angle minimal. Ensuite on regarde les paires de vecteurs unitaires

(v′, w′) : v′ ∈ P,w′ ∈ Q, v′ ⊥ v1, w′ ⊥ w1, et on choisit (v2, w2) qui minimise l’angle parmi toutes les

telles paires (et en fait ici puisque P et Q sont de dimension 2, quand w1, v1 sont fixé, en général il ne

reste que 4 telle paires : (±v2,±w2)). Notons α2 l’angle entre v2 et w2. Alors (α1, α2) (où α1 ≤ α2) et

le couple des angles caractéristiques entre P et Q.

Les angles caractéristiques caractérisent absolument la position relative entre les 2 plans de la façon

suivante. On peut trouver une base orthonormée ei1≤i≤4, telle que

(2.7) P = e1 ∧ e2 et Q = (cosα1e1 + sinα1e3) ∧ (cosα2e2 + sinα2e4).

Notons que deux plans P et Q sont orthogonaux si leur couple d’angles caractéristiques est (π2 ,π2 ).

2.1 - Estimation des projections sur l’union de 2 plans transverses pour tout 2-vecteur simple 25

Maintenant étant donné une paire de plans P 1, P 2 avec le couple des angles caractéristiques (α1, α2),

on veut estimer la somme des projections sur eux d’un 2-vecteur simple unitaire. On prend ei1≤i≤4

une base orthonormée telle que

(2.8) P 1 = e1 ∧ e2 et P 2 = (cosα1e1 + sinα1e3) ∧ (cosα2e2 + sinα2e4).

Notons également pi la projection orthogonale sur P i, i = 1, 2. Alors les pj sont des applications linéaires.

Notons pj l’application linéaire ∧2pj de ∧2(R4) dans lui-même définie par (2.5).

Maintenant soit ξ un 2-vecteur unitaire simple, alors il existe deux vecteurs unitaires x, y tels que

ξ = x ∧ y et x ⊥ y. Ecrivons x, y dans la base :

(2.9) x = ae1 + be2 + ce3 + de4, y = a′e1 + b′e2 + c′e3 + d′e4

avec

(2.10) a2 + b2 + c2 + d2 = a′2 + b′2 + c′2 + d′2 = 1

et

(2.11) aa′ + bb′ + cc′ + dd′ = 0.

On calcule ensuite les projections |pj(ξ)|.

(2.12) |p1(ξ)| = | < e1 ∧ e2, ξ > | = |ab′ − a′b|,

et

|p2(ξ)| =| < (cosα1e1 + sinα1e3) ∧ (cosα2e2 + sinα2e4), ξ > |

=|(ab′ − a′b) cosα1 cosα2 + (ad′ − a′d) cosα1 sinα2

+ (cb′ − c′b) sinα1 cosα2 + (cd′ − c′d) sinα1 sinα2|.

(2.13)

Alors quand α1 = α2 = π2 , on a

|p1(ξ)|+ |p2(ξ)| = |ab′ − a′b|+ |cd′ − c′d|

≤ 12

(a2 + b′2 + a′2 + b2) +12

(c2 + d′2 + c′2 + d2) = 1(2.14)

à cause de (2.10).

On a donc le lemme suivant.

Lemme 2.15. Soit P 1, P 2 deux plans orthogonaux, alors pour chaque 2-vecteur unitaire simple ξ ∈∧2R4 on a

(2.16) |p1(ξ)|+ |p2(ξ)| ≤ 1.


Mais on aura encore besoin de savoir quel est l’ensemble des vecteurs tels que l’inégalité dans (2.16)

est une égalité.

Notons Ξ l’ensemble des 2-vecteurs simples unitaire ξ ∈∧

2 R4 qui vérifient

(2.17) |p1(ξ)|+ |p2(ξ)| = 1.

Alors P (Ξ) = P (ξ), ξ ∈ Ξ est un compact dans l’ensemble G(4, 2) de tous les 2-vecteurs simples

unitaires, où la topologie est la topologie engendrée par la distance classique sur notre Grassmannien

G(4, 2) (c.f. [14],1.6.2) . Alors on a, par un calcul élémentaire, le lemme suivant :

Lemme 2.18.

(2.19)Ξ = (cosαv1 + sinαu1) ∧ (cosαv2 + sinαu2) : α ∈ [0, π2 ],

vi, ui des vecteurs unitaires , vi ∈ P 1, ui ∈ P 2, i = 1, 2, et v1 ⊥ v2, u1 ⊥ u2.

Démonstration. Prenons un ξ ∈ Ξ, puis écrivons-le sous la forme x ∧ y avec x ⊥ y qui vérifient (2.9)-

(2.11). Alors ξ ∈ Ξ si et seulement si (2.14) est une égalité, ce qui veut dire

(2.20) |ab′ − a′b| = 12

(a2 + b′2 + a′2 + b2), |cd′ − c′d| = 12

(c2 + d′2 + c′2 + d2).

Par la première égalité on a

(2.21) |ab′| = 12

(a2 + b′2), |a′b| = 12

(a′2 + b2)

et

(2.22) |ab′ − a′b| = |ab′|+ |a′b|.

Puis (2.21) donne

(2.23) |a| = |b′|, |a′| = |b|,

ce qui implique

(2.24) a = ±b′, a′ = ±b.

En combinant avec (2.22) on obtient

(2.25) a = b′, a′ = −b ou a = −b′, a′ = b.

Un argument semblable donne

(2.26) c = d′, c′ = −d ou c = −d′, c′ = d.

Donc

(2.27) a2 + b2 = a′2 + b′2, c2 + d2 = c′2 + d′2 et aa′ + bb′ = 0, cc′ + dd′ = 0.

2.1 - Estimation des projections sur l’union de 2 plans transverses pour tout 2-vecteur simple 27

Alors si a2 + b2 = 0 (resp. c2 + d2 = 0), l’énoncé est automatiquement vrai, en posant directement

α = π2 (resp. α = 0) et v1 = e1, v2 = e2 ou −e2 ,u1 = e3, u2 = e4 ou −e4.

Si a2 + b2 6= 0, c2 + d2 6= 0, on pose

(2.28) v1 =ae1 + be2

a2 + b2, v2 =

a′e1 + b′e2

a′2 + b′2, u1 =

ce3 + de4

c2 + d2, u2 =

c′e3 + d′e4

c′2 + d′2,

et

(2.29) α = arccosa2 + b2

a2 + b2 + c2 + d2= arccos(a2 + b2),

alors cosα = a2 + b2, sinα = c2 + d2 et vi, ui sont des vecteurs unitaires, vi ∈ P 1, ui ∈ P 2, i =

1, 2, et v1 ⊥ v2, u1 ⊥ u2. Par conséquent

(2.30) x = cosαv1 + sinαu1 et y = cosαv2 + sinαu2

et ξ peut être écrit sous la forme

(2.31) ξ = (cosαv1 + sinαu1) ∧ (cosαv2 + sinαu2)

avec α ∈ [0, π2 ], vi, ui des vecteurs unitaires, vi ∈ P 1, ui ∈ P 2, i = 1, 2, et v1 ⊥ v2, u1 ⊥ u2.

La réciproque est triviale. En effet, on a P (v1∧v2) = P 1, P (u1∧u2) = P 2, p1(ui∧vj) = p2(ui∧vj) =

p1(u1 ∧ u2) = p2(v1 ∧ v2) = 0, et donc

(2.32) |p1(ξ)| = cos2 α, |p2(ξ)| = sin2 α.

Par conséquent

(2.33) |p1(ξ)|+ |p2(ξ)| = 1,

d’où ξ ∈ Ξ.


Maintenant on regarde des plans dont les angles caractéristiques sont presque orthogonaux. On va

démontrer la proposition suivante.

Proposition 2.34. Soit 0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ π2 , et soit P 1, P 2 ⊂ R4 deux plans qui font des angles

caractéristiques α1 ≤ α2. Si on note pi la projection orthogonale sur P i, alors pour tout vecteur simple

unitaire ζ ∈∧

2 R4, la somme des projections vers ces 2 plans satisfait à :

(2.35) |p1ζ|+ |p2ζ| ≤ 1 + 2 cosα1.

Remarque 2.36. Notons que quand α1 → π2 , on a que cosα1 → 0. Donc le lemme implique que pour

tout ε petit, il existe un θ = θ(ε) ∈]0, π2 [ tel que si α2 ≥ α1 ≥ θ alors pour tout vecteur simple unitaire

ζ ∈∧

2 R4,

(2.37) |p1ζ|+ |p2ζ| ≤ 1 + ε.


Démonstration.

Soit 0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ π2 fixés quelconques, et soit P 1 et P 2 une paire de plans avec les angles

caractéristiques α1, α2. Alors il existe une base orthonormée de R4 ei1≤i≤4 telle que P 1 = e1∧e2, P2 =

(cosα1e1 + sinα1e3) ∧ (cosα2e2 + sinα2e4) .

Notons p la projection orthogonale vers le plan P (e3 ∧ e4).

Pour tout ζ ∈∧2(R4) simple unitaire, on a

(2.38) |p1ζ|+ |p2ζ| = |p1ζ|+ |pζ|+ (|p2ζ| − |pζ|) ≤ |p1ζ|+ |pζ|+ |p2ζ − pζ|.

Par le lemme 2.15, on sait déjà que

(2.39) |p1ζ|+ |pζ| ≤ 1.

Il ne reste donc qu’à regarder |(p2 − p)ζ|.

Mais

(p2 − p)(ζ) = < (cosα1e1 + sinα1e3) ∧ (cosα2e2 + sinα2e4)− e3 ∧ e4, ζ >

= < cosα1 cosα2e1 ∧ e2 + cosα1 sinα2e1 ∧ e4 + sinα1 cosα2e3 ∧ e2

+ (sinα1 sinα2 − 1)e3 ∧ e4), ζ > .

(2.40)

Notons que ζ est un 2-vecteur unitaire, donc

(2.41) ζ =∑

1≤i<j≤4

aijei ∧ ej

et

(2.42)∑

1≤i<j≤4

a2ij = 1.

Alors

(p2 − p)(ζ) =a12 cosα1 cosα2 + a14 cosα1 sinα2

− a23 sinα1 cosα2 + a34(sinα1 sinα2 − 1).(2.43)

Maintenant on sait que a212 + a2

14 + a223 + a2

34 ≤ 1, donc par Cauchy-Schwarz et α1 ≤ α2,

|(p2 − p)(ζ)|

≤[cos2 α1 cos2 α2 + cos2 α1 sin2 α2 + sin2 α2 cos2 α2 + (sinα1 sinα2 − 1)2]12

≤[cos2 α1 + cos2 α1 + cos2 α2 + (1− sin2 α1)2]12

≤[3 cos2 α1 + cos4 α1]12 ≤ [4 cos2 α1]

12 = 2 cosα1.

(2.44)

Alors en sommant avec (2.38) et (2.39) on obtient la conclusion. 2

2.2 - Comparaison de la mesure d’un ensemble rectifiable avec la somme de celles de ses projectionssur deux plans 29

2.2 Comparaison de la mesure d’un ensemble rectifiable avec la

somme de celles de ses projections sur deux plans

On va appliquer les estimations sur les 2-vecteurs qu’on vient d’obtenir à des ensembles rectifiables.

Soit F un ensemble 2-rectifiable, alors pour presque tout x ∈ F le plan tangent approximatif de F en

x existe (c.f.[24] Thm 15.11), notons le TxF . Alors TxF ∈ G(4, 2), et pour chaque application linéaire

f : R4 → R4, |f(TxF )| est définit comme dans (2.6).

Lemme 2.45. Soit P 1, P 2 deux plans dans R4, F ⊂ R4 un ensemble 2-rectifiable. Notons pi la projec-

tion orthogonale sur P i. Soit λ tel que pour presque tout x ∈ F , le plan tangent TxF ∈ G(4, 2) de F en

x vérifie

(2.46) |p1(TxF )|+ |p2(TxF )| ≤ λ,

alors on a

(2.47) H2(p1(F )) +H2(p2(F )) ≤ λH2(F ).

Démonstration.

Notons f la restriction de p1 à F , alors f est une fonction Lipschitzienne d’un ensemble 2-rectifiable

vers un sous-ensemble d’un 2-plan P 1. Puisque F est 2-rectifiable, pour H2− presque tout x ∈ F , f a

une différentielle approximative

(2.48) apDf(x) : TxF → P 1

(c.f.[14], Thm 3.2.19). De plus cette différentielle est telle que ||∧

2 apDf(x)|| ≤ 1 presque partout,

parce que f est 1−Lipschitzienne.

Maintenant on peut appliquer la formule de l’aire à f , (c.f. [14] Cor 3.2.20). Pour toute fonction

g : F → R qui est intégrable pour H2|F on a :

(2.49)∫F

(g f) · || ∧2 apDf(x)||dH2 =∫P 1g(z)N(f, z)dH2z,

où

(2.50) N(f, z) = ]f−1(z),

et pour z ∈ p1(F ) on a N(f, z) ≥ 1. On prend g ≡ 1 et on obtient

(2.51)∫F

|| ∧2 apDf(x)||dH2 =∫P 1N(f, z)dH2z ≥

∫p1(F )

dH2 = H2(p1(F )).

On rappelle que p1 est linéaire, et donc sa différentielle est elle-même. Donc apDf(x) est la restric-

tion de p1 au 2-sous-espace TxF , de sorte que si u, v est une base orthonormée de TxF , alors

(2.52) || ∧2 apDf(x)|| = | ∧2 p1(u ∧ v)| = |p1(TxF )|


par (2.6). On a donc par (2.51)

(2.53)∫F

|p1(TxF )|dH2(x) ≥ H2(p1(F )).

Par un argument semblable on a aussi :

(2.54)∫F

|p2(TxF )|dH2(x) ≥ H2(p2(F )).

En sommant sur i=1,2 on obtient

(2.55)H2(p1F ) +H2(p2F ) ≤

∫F|p1TxF |+ |p2TxF |dH2(x)

≤∫Fλ dH2(x) = λH2(F )

puisque |p1TxF |+ |p2TxF | ≤ λ.


Voici 2 corollaires du lemme.

Corollaire 2.56. L’ensemble P0 = P 10 ∪⊥ P 2

0 ⊂ R4 est minimal.

Démonstration.

Soit F un compétiteur de P0 dans B(0, 1), alors par la remarque 1.17, ceci signifie qu’il existe une

déformation Lipschitzienne ϕ dans R4, avec

(2.57) ϕ|B(0,1)C = Id; ϕ(B(0, 1)) ⊂ B(0, 1)

et

(2.58) ϕ(P0) ∩B(0, 1) = F.

On va comparer la surface de F avec celle de P0 ∩B(0, 1).

Notons pi0, i = 1, 2 les projections orthogonales de R4 sur P i0. Puisque F est un ensemble 2-

rectifiable, le 2-plan tangent TxF ∈ G(4, 2) existe pour presque tout x ∈ F . En représentant les

plans sous la forme de 2-vecteurs simples, et par le lemme 2.15,

(2.59) |p10(TxF )|+ |p2

0(TxF )| ≤ 1.

D’après le lemme 2.45 on a

(2.60) H2(p10(F )) +H2(p2

0(F )) ≤ H2(F ).

On note F i = pi0 ϕ(P i0 ∩B(0, 1)), i = 1, 2, alors F i est une déformation de P i0 ∩B(0, 1), et par la

minimalité des plans (dans n’importe quelle dimension ambiante) on a

(2.61) H2(F i) ≥ H2(P i0 ∩B(0, 1)).

31

Maintenant puisque

(2.62) pi0(F ) = pi0 ϕ(P0 ∩B(0, 1)) ⊃ pi0 ϕ(P i0 ∩B(0, 1)) = F i

on a

(2.63) H2(pi0(F )) ≥ H2(F i) ≥ H2(P i0 ∩B(0, 1)).

En sommant sur i on obtient :

(2.64)H2(F ) ≥ H2(p1

0F ) +H2(p20F )

≥ H2(P 10 ∩B(0, 1)) +H2(P 2

0 ∩B(0, 1)) = H2(P0 ∩B(0, 1)).

C’est à dire que P0 est minimal. 2

Corollaire 2.65. Soit ε > 0 tel que arccos(ε/2) ≤ α1 ≤ α2, P 1, P 2 deux plans d’angles caractéristiques

(α1, α2), pi leurs projecteurs respectifs, et E un ensemble fermé, 2- rectifiable, tel que pi(E) ⊃ B(0, 1)∩P i. Alors on a

(2.66) H2(E) ≥ 2π1 + ε

.

Démonstration. D’après la proposition 2.34, on a qu’en presque tout point x ∈ E, le plan tangent TxE

de E en x vérifie

(2.67) |p1(TxE)|+ |p2(TxE)| ≤ 1 + ε.

On applique le lemme 2.45, et on obtient notre conclusion. 2

3 Unicité de P0

Dans ce paragraphe, on va préciser le corollaire 2.56.

Théorème 3.1. [unicité de P0] Soit P0 = P 10 ∪⊥ P 2

0 , comme dans le paragraphe précédent, et pi0 la

projection orthogonale sur P i0, i = 1, 2. Soit E ⊂ B(0, 1) un ensemble de dimension 2 fermé réduit qui

est minimal dans B(0, 1) ⊂ R4, et qui vérifie :

(3.2) pi0(E ∩B(0, 1)) ⊃ P i0 ∩B(0, 1) ;

(3.3) E ∩ ∂B(0, 1) = P0 ∩ ∂B(0, 1) ;

(3.4) H2(E ∩B(0, 1)) = 2π.

Alors E = P0 ∩B(0, 1).

32 Unicité de P0

Démonstration. D’abord observons que pi0(E) = P i0 ∩ B(0, 1), puisque E ⊂ B(0, 1) et pi0(E) ⊃ P i0 ∩B(0, 1). Et on a donc

(3.5)H2(E) = H2(E ∩B(0, 1)) = 2π

= H2(P 10 ∩B(0, 1)) +H2(P 2

0 ∩B(0, 1)) = H2(p10(E)) +H2(p2

0(E)).

Comparé avec (2.55), sachant qu’ici on peut prendre λ = 1 à cause du lemme 2.15, on a que toutes

les inégalités dans (2.55), et donc aussi dans (2.51), sont en fait des égalités. On verra bientôt que cela

exige qu’en presque tout point x ∈ E,

(3.6) |p10(TxE)|+ |p2

0(TxE)| = 1

et pour i = 1, 2, pour presque tout z ∈ pi0(E),

(3.7) N(pi0, z) = ]pi0−1

(z) ∩ E = 1.

Plus précisément on a le lemme suivant :

Lemme 3.8. 1) Pour presque tout x ∈ E, TxE ∈ P (Ξ).

2) Pour chaque i = 1, 2, pour presque tout z ∈ P i0 ∩B(0, 1) = pi0(E), (3.7) est vrai.

Démonstration. 1) On a

(3.9) E\x ∈ E : TxE ∈ P (Ξ) = x ∈ E : |p10TxE|+ |p2

0TxE| < 1 = ∪∞n=1Tn

où Tn = x ∈ E : |p10TxE| + |p2

0TxE| < 1 − 1n. Les Tn sont mesurables. Donc il suffit de montrer que

H2(Tn) = 0 pour tout n.

Supposons que ce n’est pas vrai. Il existe donc un n ∈ N tel que H2(Tn) = β > 0. Alors en

appliquant encore une fois le lemme 2.45 on a

(3.10) H2(p10(Tn)) +H2(p2

0(Tn)) ≤ (1− 1n

)H2(Tn).

D’un autre côté, pour presque tout x ∈ E\Tn on a |p10Tx(E\Tn)|+ |p2

0Tx(E\Tn)| ≤ 1, donc (toujours à

cause du lemme 2.45)

(3.11) H2(p10(E\Tn)) +H2(p2

0(E\Tn)) ≤ H2(E\Tn)

et par conséquent

H2(E) = H2(Tn) +H2(E\Tn) = (1− 1n

)H2(Tn) +H2(E\Tn) +1nH2(Tn)

≥ H2(p10(Tn)) +H2(p2

0(Tn)) +H2(p10(E\Tn)) +H2(p2

0(E\Tn)) +1nβ

= [H2(p10(Tn)) +H2(p1

0(E\Tn))] + [H2(p20(Tn)) +H2(p2

0(E\Tn))] +1nβ

≥ H2(p10(Tn) ∪ p1

0(E\Tn)) +H2(p20(Tn) ∪ p2

0(E\Tn)) +1nβ

= H2(p10(Tn ∪ (E\Tn)) +H2(p2

0(Tn ∪ (E\Tn)) +1nβ

= H2(p10(E)) +H2(p2

0(E)) +1nβ.

(3.12)

33

On sait déjà que pi0(E) = P i0 ∩ B(0, 1), i = 1, 2, donc H2(pi0(E)) = H2(P i0 ∩ B(0, 1)) = π, et par

conséquent

(3.13) H2(E) ≥ H2(p10(E)) +H2(p2

0(E)) +1nβ ≥ 2π +

1nβ > 2π

en contradiction avec (3.4).

2) Montrons-le par l’absurde. Prenons i = 1 par exemple. Notons B = z ∈ p10(E) : ]pi0

−1(z)∩E ≥2. Alors B est mesurable. Notons aussi p1

0−1(B) ∩ E = A.

Supposons que H2(B) > 0. Alors A est aussi de mesure non nulle. Par (2.51)

(3.14)∫A

|| ∧2 apDp10(x)||dH2(x) =

∫B

](p10−1y ∩ E)dH2(y) ≥ 2H2(B),

et donc par (2.52)

(3.15)∫A

|p10(TxA)|dH2(x) ≥ 2H2(B).

Par conséquent

H2(A) ≥∫A

|p10TxA|+ |p2

0TxA|dH2(x)

≥ 2H2(p10(A)) +H2(p2

0(A)) = 2H2(B) +H2(p20(A)).

(3.16)

D’un autre côté, on a par les lemmes 2.45 et 2.15

H2(E\A) ≥ H2(p10(E\A)) +H2(p2

0(E\A))

≥ H2(P 10 ∩B(0, 1)\B) +H2(p2

0(E\A)).(3.17)

Par conséquent

H2(E) = H2(A) +H2(E\A)

≥ 2H2(B) +H2(p20(A)) +H2(P 1

0 ∩B(0, 1)\B) +H2(p20(E\A))

≥ H2(p10(E)) +H2(p2

0(E)) +H2(B)

= H2(P 10 ∩B(0, 1)) +H2(P 2

0 ∩B(0, 1)) +H2(B)

≥ 2π +H2(B) > 2π

(3.18)

en contradiction avec (3.4).


Nous allons maintenant utiliser ce résultat et le lemme 2.18 pour obtenir des propriétés locales de

l’ensemble E du théorèm 3.1. D’abord puisque E∩B(0, 1) est un ensemble minimal réduit de dimension

2 dans B(0, 1), on sait que pour tout x ∈ E ∩ B(0, 1), il existe r = rx > 0 tel que dans B(x, r), E est

bi-Höldériennement équivalent à un cône minimal Cx (c.f.[9], Thm 16.1). On appelle une telle boule

B(x, r) une boule bi-Höldérienne de x. Un tel Cx est obtenu comme limite d’une suite d’ensembles

34 Unicité de P0

E(r, x) définis dans (1.26), ce qui est appelé une limite d’explosion de E en x. Il peut y avoir plusieurs

limites d’explosions en un point, mais toute ces limites sont bi-Höldériennement équivalentes, d’après

le théorème qu’on vient de citer. Et on appelle x un point de type Cx. De plus si Cx admet la propriété

de "full length" (voir [10] Définition 2.10), alors il est effectivement l’unique limite d’explosion, et

l’équivalence entre E et Cx est en fait de classe C1 dans une boule B(x, r) (c.f.[10] Thm 1.15).

La propriété "full-length" est vérifiée par tous les cônes minimaux qu’on connait. Par exemple, les

plans ([10], Lemme 14.4) ; et ce qu’on appelle un Y, qui est l’union de trois demi-plan qui se rencontrent

le long d’une droite en faisant des angles de 120 degrés ([10], Lemme 14.6). En fait ils vérifient aussi la

propriété “full-length à cause des angles”, qui est un peu plus forte que “full-length” (c.f. [10], (14.2)). De

plus si C1, C2 sont des cônes minimaux "full-length à cause des angles" qui ne se croisent qu’à l’origine,

et C1 ∪ C2 est un cône minimal, alors C1 ∪ C2 vérifie la propriété de "full-length à cause des angles"

aussi (c.f.[10], Remarque 14.40).

D’un autre côté, ce qu’on sait en général pour un cône minimal, est que son intersection S avec la

sphère unité est une union finie de cercles et d’arcs de cercles. Chaque cercle est disjoint du reste de

S. Près de chaque extrémité x d’un arc de cercle, S est composé de 3 arcs qui font des angles de 120

en x (c.f.[9], Proposition 14.1). Alors si un cône minimal n’est pas une union des plans transverses,

son intersection avec la sphère contient au moins un point qui est à la jonction de 3 arcs de cercle. En

particulier il existe des points de type Y arbitrairement proches de l’origine.

On peut déduire

Lemme 3.19. Il n’y a pas de point de type Y dans E ∩B(0, 1).

Démonstration. Soit x ∈ E un point de type Y. Cela signifie que le cône tangent Cx est composé de

3 demi-plans fermés Pi1≤i≤3 qui se rencontrent le long d’une droite D passant par l’origine. Notons

Qi, 1 ≤ i ≤ 3 le plan qui contient Pi. On affirme que

(3.20) au moins un des Qi n’appartient pas à P (Ξ).

En effet si on note v le vecteur unitaire qui engendreD, alors il existe trois vecteurs unitaire wi, 1 ≤ i ≤ 3

tels que wi ⊥ v et Qi = P (v ∧wi), et que les angles entre les wi sont tous de 120 degré. Si Q1 6∈ P (Ξ),

notre affirmation (3.20) est automatiquement vraie. Sinon, Q1 ∈ P (Ξ), est donc v ∧ w1 ∈ Ξ. D’après

la démonstration du lemme 2.18 (qui démontre en fait que pour chaque paire de vecteurs unitaires

perpendiculaires x, y tel que x ∧ y ∈ Ξ, (2.30) est vrai) , il existe vj , uj , j = 1, 2 des vecteurs unitaires

tels que, vj ∈ P 10 , uj ∈ P 2

0 , v1 ⊥ v2, u1 ⊥ u2, et α ∈ [0, π2 ] tel que

(3.21) v = cosαv1 + sinαu1, w1 = cosαv2 + sinαu2.

Maintenant puisque les uj , vj engendrent R4, il existe a, b, c, d ∈ R avec a2 + b2 + c2 + d2 = 1 tel que

35

w2 = av1 + bv2 + cu1 + du2. Alors

|p10(Q2)|+ |p2

0(Q2)| = | ∧2 p10(v ∧ w2)|+ | ∧2 p

20(v ∧ w2)|

= |b cosα|+ |d sinα| ≤ (b2 + d2)12 (cos2 α+ sin2 α)

12

= (b2 + d2)12 ≤ 1.

(3.22)

Donc pour que Q2 ∈ P (Ξ), il faut que toutes les inégalités dans (3.22) soient des égalités, et donc

b2 + d2 = 1, et b : d = ± cosα : sinα. Par conséquent on a (b, d) = (± cosα,± sinα), a2 + c2 = 0, et

donc w2 = ±w1 ou ±(cosαv2 − sinαu2).

Pour que l’angle entre w1 et w2 soit de 120 degré, il ne reste que deux possibilités pour α, à savoirπ3 ou π

6 .

Si α = π3 , alors on a que w1 = 1

2v2 +√

32 u2 et w2 = 1

2v2 −√

32 u2. Mais l’argument ci-dessus est

identique pour w3 si on veut que l’angle entre w1 et w3 soit de 120 degré. On a donc w3 = w2, ce qui

contredit le fait que l’angle entre w2 et w3 est de 120 aussi.

Le cas où α = π6 est semblable.

On a donc prouvé notre affirmation (3.20).

Maintenant supposons par exemple que Q1 6∈ P (Ξ). Alors puisque P (Ξ) est fermé dans G(4, 2), il

existe un ouvert U ⊂ G(4, 2) contenant Q1, tel que U ∩ P (Ξ) = ∅.

On sait que Y est un cône de “full length” comme on l’a dit avant, donc, par le théorème de

C1+α régularité des ensembles minimaux de dimension 2(c.f. [10], Thm 1.15), il existe r > 0 tel que

dans B(x, r), E est C1 équivalent à Cx + x (rappelons que Cx = ∪3i=1Pi). Notons ϕ cette application

d’équivalence, qui est définie sur B(x, r), et R = ϕ(Q1). Alors l’application T : R→ G(4, 2), T (x) = TxR

est continue. En effet, pour chaque x ∈ R, puisque R est une surface de classe C1 dans un voisinage de

x, donc le plan tangent T (y) = TyR pour y proche de x est une fonction continue de y.

Par conséquent T−1(U) est un ouvert. Notons R+ = ϕ(P1). Alors T−1(U) ∩ ϕ−1(R+) 6= ∅ puisquex est dedans. Donc T−1(U) est relativement ouvert dans R+. Mais R+ est une C1 variété à bord (avec

ϕ(D) son bord). Par conséquent un ouvert de R+ est de mesure non nulle. Donc T−1(U) ∩ R+ est de

mesure non nulle. Mais ϕ(D) est de mesure nulle, donc T−1(U) ∩ R+\ϕ(D) est de mesure non nulle.

Maintenant pour tout y ∈ R+\ϕ(D) on a que TyR = TyE, on obtient que dans E, l’ensemble de

point y tel que TyE ∈ U , et donc n’appartient pas à P (Ξ), est de mesure non nulle, puisqu’il contient

T−1(U) ∩R+\ϕ(D). Cela contredit le lemme 3.8(1).


Maintenant on peut arriver à décrire la structure locale en chaque point x de E, puisque E est

réduit.

Lemme 3.23. Pour chaque x ∈ E, chaque limite d’explosion de E en x est soit un plan appartenant

à P (Ξ), soit P0.

36 Unicité de P0

Démonstration. Soit X une limite d’explosion de E en x, on suppose aussi que x = 0 pour abréger. On

affirme d’abord que

(3.24) X ne contient pas de point de type Y.

Supposons que non, il existe alors p ∈ X tel que p est de type Y. Alors p n’est pas l’origine, parce

que sinon X est de type Y et donc 0 est de type Y, ce qui contredit le lemme 3.19.

Mais X est un cône, donc pour tout r > 0, rp ∈ X est un point de type Y. On peut donc supposer

que ||p|| = 1. Il existe alors 0 < r < 12 tel que dans B(p, r), X coïncide avec un cône Y de type Y centré

en p.

MaintenantX est une limite d’explosion de E en 0, il existe donc s > 0 (grand) tel que d0,2(X, sE) <rε2100 , où ε2 est comme dans [9] proposition 16.24. Par conséquent, dp, r2 (sE,X) < ε2

50 .

On veut montrer que

(3.25) dp, r2 (sE,X) = dp, r2 (sE, Y ).

Une fois qu’on a cela, on prend un point z ∈ sE tel que d(z, p) < r2×

ε250 , alors on a dz, r4 (sE, Y +z−p) <

ε210 . Ici Y + z − p et un cône de type Y centré en z. Mais sE est minimal puisque E l’est, donc par la

proposition 16.24 de [9], on obtient que sE contient un point de type Y, ce qui contredit le lemme 3.19.

On a donc notre affirmation (3.24).

Il faut encore monter (3.25). Par définition

(3.26) dp, r2 (sE,X) =2r

max supx∈sE∩B(p, r2 )

d(x,X), supx∈X∩B(p, r2 )

d(x, sE).

Pour le deuxième terme, on a que X ∩B(p, r2 ) = Y ∩B(p, r2 ), et donc

(3.27) supx∈X∩B(p, r2 )

d(x, sE) = supx∈Y ∩B(p, r2 )

d(x, sE).

Pour le premier, on a que

(3.28) d(x,X) = d(x,X ∩B(p, r)) pour tout x ∈ sE ∩B(p,r

2).

En effet, puisque dp, r2 (sE,X) < ε250 , pour chaque x ∈ sE ∩ B(p, r2 ), d(x,X) < ε2

50 ×2r , donc d(x,X) =

d(x,X∩B(x, ε250×2r )) ≤ d(x,X∩B(p, r)) puisque B(x, ε250×

2r ) ⊂ B(p, r). D’un autre côté, X∩B(p, r) ⊂

X, donc d(x,X) ≥ d(x,X ∩B(p, r)). On a donc (3.28), et donc

supx∈sE∩B(p, r2 )

d(x,X) = supx∈sE∩B(p, r2 )

d(x,X ∩B(p, r))

= supx∈sE∩B(p, r2 )

d(x, Y ∩B(p, r)) ≥ supx∈sE∩B(p, r2 )

d(x, Y ).(3.29)


(3.30) dp, r2 (sE,X) ≤ dp, r2 (sE, Y ).

37

Mais un argument semblable donne aussi

(3.31) dp, r2 (sE, Y ) ≤ dp, r2 (sE,X).

On a donc (3.25), d’où (3.24).

Mais X est un cône minimal, donc X ∩ ∂B(0, 1) est l’union finie de cercles et d’arcs de cercles, qui

ne se rencontrent qu’à leur extrémités, et toute extrémité est une extrémité commune de trois arcs qui

recontrent avec angles 120 degré. Alors (3.24) implique qu’il n’y a pas de tels arcs, puisque X n’a pas

de point de type Y. Par conséquent X est une union de plans qui ne se rencontrent qu’à l’origine.

Alors par la remarque 14.40 dans [10], X est un cône de "full length", et donc par la régularité C1,

chaque plan de X doit être contenu dans P (Ξ), juste comme on a dit pour Y dans la démonstration du

lemme 3.19, puisque P (Ξ) est un fermé.

Maintenant si X n’est pas un plan, alors X = ∪ni=1Qn avec Qn ∈ Ξ et n ≥ 2.

Par (2.19), pour tout Q ∈ Ξ tel que Q 6= P 20 , il existe un s = sQ > 0 tel que p1

0(Q ∩ B(0, 1)) ⊃P 1

0 ∩ B(0, sQ). S’il existe 2 plans Q1, Q2 ⊂ X tels que Qi 6= P 20 , alors il existe un s > 0 tel que

p10(Q1 ∩B(0, 1)) ∩ p1

0(Q2 ∩B(0, 1)) ⊃ B(0, s) ∩ P 10 , ce qui implique que

(3.32) (B(0, s)\0) ∩ P 10 ⊂ z ∈ P 1

0 , ]p10−1z ∩X ≥ 2.

Maintenant par la régularité C1, il existe un voisinage U de p10(x) tel que

(3.33) (U\p10(x)) ∩ P 1

0 ⊂ z ∈ P 10 , ]p1

0−1z ∩ E ≥ 2.

Mais U est ouvert, donc U ∩ P 10 est de mesure non-nulle, ce qui contredit le lemme 3.8(2).

Donc dans X, on a au plus un plan qui n’est pas P 20 . Un argument semblable donne aussi qu’on a

au plus un plan qui n’est pas P 10 . Mais X contient au moins deux plans, donc X = P 1

0 ∪ P 20 = P0.


Par le lemme, on sait qu’il n’existe dans E que deux types de limites d’explosion, qui admettent tous

les deux la propriété de "full-length". Par conséquent autour de chaque point x ∈ E, E est localement

C1 équivalent à un plan ou à P0.

On va regarder plus précisément dans les deux lemmes suivants ce qui se passe localement autour

de chaque type de singularité.

Lemme 3.34. Soit e1, e2 = ie1, e3, e4 = ie3 une base orthonormée fixée de R4, avec P 10 = e1 ∧ e2

et P 20 = e3 ∧ e4. Et soit x ∈ E un point de type P tel que TxE 6= P 2

0 . Alors il existe r = r(x) > 0 tel

que dans B(x, r), E est (dans la base donnée) le graphe d’une fonction analytique ou anti-analytique

complexe ϕ = ϕx : P 10 → P 2

0 . Plus précisément,

(3.35) E ∩B(x, r) = graphe(ϕ) ∩B(x, r).

38 Unicité de P0

On a aussi une conclusion semblable pour x tel que TxE 6= P 10 , c’est à dire qu’autour de x, E est le

graphe d’une fonction analytique ou anti-analytique de P 20 → P 1

0 .

Démonstration. On va juste le montrer lorsque TxE 6= P 20 . L’autre cas est pareil.

Puisque x est un point de type P, il existe r1 > 0 tel que dans B(x, r1), E est le graphe d’une

fonction ϕ1 : TxE + x → TxE⊥ de classe C1. Si on note π la projection orthogonale de R4 sur TxE,

et on définit F : R4 = P 10 × P 2

0 → R2 par F (y) = y − ϕ1(π(y)) pour y = (y1, y2) ∈ P 10 × P 2

0 ∩B(x, r1),

alors F est de classe C1 et E ∩ B(x, r1) = y ∈ B(x, r1) : F (y) = (0, 0). Par conséquent, DF (x) est

une application linéaire surjective qui envoie R4 dans R2 et telle que TxE = KerDF (x).

Par hypothèse, TxE 6= P 20 , et donc par les lemmes 3.23 et 2.18, on sait que TxE est de forme

P ((cosαv1 + sinαu1) ∧ (cosαv2 + sinαu2)) avec α ∈ [0, π2 ), vi, ui, i = 1, 2 des vecteurs unitaires,

vi ∈ P 10 , ui ∈ P 2

0 et v1 ⊥ v2, u1 ⊥ u2. En particulier, P 20 ∩ KerDF (x) = P 2

0 ∩ TxE = 0. Celaimplique que DF (x)|P 2

0est inversible. Alors par le théorème des fonctions implicites, il existe r2 > 0 et

ϕ : P 10 → P 2

0 de classe C1 telle que pour chaque y = (y1, y2) ∈ B(x, r2), F (y) = 0 ⇔ y2 = ϕ(y1). Par

conséquent, dans B(x, r2), E est le graphe de ϕ : P 10 → P 2

0 .

On va montrer que ϕ est analytique ou anti-analytique en utilisant le fait que TyE ∈ P (Ξ) pour

tout y ∈ E ∩B(x, r).

Plus précisément, revenons à notre base orthonormée fixée : e1, e2 = ie1, e3, e4 = ie3 avec P 10 =

e1 ∧ e2 et P 20 = e3 ∧ e4. Alors (2.25) et (2.26) impliquent que

Ξ = ±[ae1 + be2 + ce3 + de4] ∧ [−be1 + ae2 ± (−de3 + ce4)],

a, b, c, d ∈ R, a2 + b2 + c2 + d2 = 1,(3.36)

et donc

P (Ξ) = P ([ae1 + be2 + ce3 + de4] ∧ [−be1 + ae2 ± (−de3 + ce4)]),

a, b, c, d ∈ R, a2 + b2 + c2 + d2 = 1.(3.37)

Supposons que TyE = [ae1 + be2 + ce3 + de4] ∧ [−be1 + ae2 + (−de3 + ce4)], celà veut dire que

dϕ(y)(a + bi) = c + di, dϕ(y)(−b + ai) = −d + ci. Mais dϕ(y) est linéaire (réel), et a2 + b2 6= 0, donc

a + bi,−b + ai est une base, et dϕ(y) est déterminé par ses valeurs en a + bi,−b + ai. Notons quec+dia+bi = −d+ci

−b+ai , et notons le A ∈ C, alors on a dϕ(y)(z) = Az, qui est analytique, autrement dit

(3.38)dϕ

dz(y) = 0.

Et si TyE = [ae1 + be2 + ce3 + de4] ∧ [−be1 + ae2 − (−de3 + ce4)], un argument semblable donne

dϕ(y)(z) = Bz, et donc

(3.39)dϕ

dz(y) = 0.

Donc ϕ est une fonction telle que en chaque point elle est soit analytique, soit anti-analytique.

39

Notons B = B(p1(x), r)∩P 10 , B1 = y ∈ B, dϕdz (y) 6= 0. Alors B1 est ouvert puisque ϕ est de classe

C1. Si B1 = ∅, alors ϕ est anti analytique. Sinon, supposons que B1 6= ∅. Notons g = ∂ϕ∂z , alors g est

continue sur B, et B1 = y ∈ B : g(y) 6= 0. De plus, puisque dϕdz (y) 6= 0 sur B1, alors dϕ

dz (y) = 0 sur

B1, et donc ϕ est holomorphe sur l’ouvert B1, et donc sa dérivée g l’est aussi. Alors la conclusion suit

du théorème suivant (c.f.[30] Thm 12.14) :

Théorème 3.40 (Théorème de Radó). Soit U ⊂ C un domain ouvert, et f une fonction continue sur

U . Soit Ω = z ∈ U : f(z) 6= 0, et supposons que f est holomorphe sur Ω. Alors f est holomorphe sur

U .

En effet, en appliquant le théorème à g, on obtient que g est holomorphe sur B. Mais on a supposé

que B1 6= ∅, donc g 6≡ 0, et donc BC1 ne contient pas de point d’accumulation. Mais BC1 ⊃ B2 := y ∈B, dϕdz (y) 6= 0, et B2 est ouvert, donc il est un ouvert qui ne contient pas de point d’accumulation. Par

conséquent B2 = ∅, ce qui implique que ϕ est holomorphique sur B.

On a donc que ϕ est analytique ou anti-analytique sur B = B(p1(x), r) ∩ P 10 .


Lemme 3.41. Si x ∈ E est de type P0, alors il existe r = r(x) > 0 tel que

(3.42) E ∩B(x, r) = (P0 + x) ∩B(x, r).

Démonstration. Soit B(x, r′) une boule C1 pour le point x, dans laquelle E coïncide avec l’image de

P0+x par une fonction ϕ de classe C1 : E∩B(x, r′) = ϕ((P0+x)∩B(x, r′)), où ϕ est un difféomorphisme

et ϕ(x) = x, Dϕ(x) = Id. Notons Ai = ϕ(P i0 + x) ∩ B(x, r′). Alors les Ai sont des variétés C1 et

A1 ∩ A2 = x. Puisque Dϕ(x) = Id, il existe 0 < r1 < r′ tel que pour tout y ∈ B(x, r1) ∩ (P 10 + x),

|Dϕ(y)− Id| < 12 . Cela implique que

(3.43) |p10(ϕ(y)− ϕ(z))| > 1

2|y − z| pour tout y.z ∈ B(x, r1),

et par conséquent p10 ϕ est un difféomorphisme entre B(x, r1) ∩ (x+ P 1

0 ) et son image Ω.

Notons Γ = p10 ϕ(∂B(x, r1) ∩ (P 1

0 + x)), alors Γ est un courbe C1 diffémorphe à un cercle. Et

(3.43) donne que pour tout z ∈ Γ, |z − x| > 12r1. Donc si on note Ω′ ⊂ P 1

0 la région dans P 10 bornée

telle que ∂Ω′ = Γ, alors Ω′ ⊃ B(p10(x), 1

2r1) ∩ (P 10 + x).

D’autre part on sait que Γ ⊂ Ω, et Ω est difféomorphe à un disque, on a donc Ω′ ⊂ Ω, et en

particulier

(3.44) p10[ϕ(B(x, r1) ∩ (P 1

0 + x))] ⊃ B(p10(x),

12r1) ∩ P 1

0 .

Par conséquent,

(3.45) p10[ϕ((P 2

0 + x) ∩B(x,r1

2))] est de mesure nulle,

40 Unicité de P0

à cause de 3.8(2).

Alors regardons A2. Par un argument semblable au lemme 3.34, il existe r2 < r12 tel que dans

B(x, r2), A2 est le graphe analytique ou anti-analytique de ψ : P 20 + x → P 1

0 , où ψ = p10 ϕ sur

P 20 + x ∩B(x, r2)). Sans perdre de généralité, supposons qu’il est analytique.

On affirme que

(3.46) pour tout y ∈ B(x, r2) ∩ (P 20 + x), ψ(y) = p1

0(x).

D’abord p10(x) ∈ ψ((P 2

0 + x) ∩ B(x, r2)) puisque p10(x) = ψ(x) et x ∈ (P 2

0 + x) ∩ B(x, r2). Alors

si ψ n’est pas constant, elle est une application ouverte, puisqu’elle est analytique. Et donc p10(A2 ∩

B(x, r2)) = ψ((P 20 )+x∩B(x, r2)) est un ouvert dans P 1

0 qui contient p10(x), et donc p1

0(A2∩B(x, r12 )) ⊃P 1

0 (A2 ∩B(x, r2)) est de mesure non-nulle, ce qui contredit (3.45).

Donc on a (3.46), qui implique que ϕ((P 20 + x) ∩B(x, r2)) est en fait P 2

0 ∩B(x, r2).

On peut faire le même argument pour ϕ(P 10 + x), et on obtient qu’il existe r < r2 tel que dans

B(x, r), ϕ(P 10 + x) est P 1

0 + x lui-même. Et on obtient ainsi la conclusion.


Vérifions maintenant que

(3.47) il existe au moins un point de type P0.

Supposons que non, alors pour tout x ∈ E ∩ B(0, 1), x est de type P. Et donc E ∩ B(0, 1) est

composé de variétés C1 disjointes S1, · · · , Sl, · · · (possiblement une infinité dénombrable).

Par le lemme 3.8(2), on sait que pour presque tout z ∈ p10(E), on a (3.7). On va regarder maintenant

les points dans E où la projection p10 n’est pas injective.

Lemme 3.48. Soit y1, y2 ∈ E tels que p10(y1) = p1

0(y2). Alors au moins un des yi est tel que E est un

disque parallèle à P 20 dans un voisinage de yi.

Démonstration. Par l’argument autour de (3.32), on sait qu’au moins un des plans tangents Ty1E, Ty2E

est P 20 . Supposons par exemple que Ty1E = P 2

0 . Alors il existe un s1 > 0 tel que dans B(y1, s1), E

est le graphe d’une fonction analytique ou anti-analytique dans la base usuelle ϕ1 : P 20 → P 1

0 , avec

ϕ1(0) = p10(y1), Dϕ1 = 0.

Supposons d’abord que le plan tangent de E en y2 n’est pas P 20 . Alors toujours à cause de l’argument

autour de (3.32), il existe s2 > 0 tel que B(y1, s1)∩B(y2, s2) = ∅ et B(p10(y2), s1)∩P 1

0 ⊂ p10(B(y2, s2)∩

E), et donc p10(B(y1, s1)∩E) est de mesure nulle, puisque p1

0(y1) = p10(y2) et à cause de 3.8(2). Et donc ϕ1

doit être constante, puisque sinon, elle serait une application ouverte, qui implique que p10(B(y1, s1)∩E)

41

contient un ouvert dans P 10 , ce qui entraine une contradiction. Donc dans B(y1, s1), E est un disque

parallèle à P 20 . (dessin 3-1, les deux points à gauche)

3-1

Si le plan tangent de E en y2 est aussi P 20 , alors dans B(y2, s2), E est le graphe d’un fonction

analytique ou anti-analytique ϕ2 : P 20 → P 1

0 . Alors au moins l’une des deux fonctions ϕ1, ϕ2 est

constante, parce que sinon, tous les deux sont des applications ouverte, et donc p10(B(y1, s1) ∩ E)) ∩

p10(B(y2, s2) ∩ E)) contient un ouvert dans P 1

0 , ce qui contredit le lemme 3.8(2).


Lemme 3.49. S’il existe un point dans P 10 ∩B(0, 1) dont l’image réciproque par p1

0 contient plus qu’un

point dans E, alors P 20 ∩B(0, 1) ⊂ E.

Démonstration. Le lemme 3.48 dit que s’il existe un point dans P 10 ∩ B(0, 1) dont l’image réciproque

par p10 contient plus qu’un point dans E, alors il existe un morceau de P 2

0 au dessus de lui, et notons le

(P 20 + x) ∩B(x, r). Mais on sait que E ∩B(0, 1) est composé des variétés C1 disjointes S1, · · · , Sl, · · · ,

donc il existe un i tel que (P 20 + x) ∩B(x, r) ⊂ Si.

On affirme que Si n’est rien d’autre que (P 20 + x) ∩ B(0, 1). Posons A = y ∈ Si : il existe r =

ry > 0 tel que Si ∩ B(y, r) = (P 20 + y) ∩ B(y, r). Alors A est un ouvert dans Si. D’un autre côté,

soit y ∈ A ∩ Si, alors il existe une suite yn ∈ A telle que yn → y. Par la C1 régularité on sait que

TyE = limn→∞ TynE = P 20 , et il existe donc r > 0 tel que dans B(y, r), Si est le graphe d’une

fonction analytique (le cas antianalytique se traiterait pareillement) ψ : P 20 → P 1

0 . Mais ψ′ = 0 sur

p20(yn) ∪ p2

0(y) qui est un ensemble qui admet un point limite. Donc ψ′ ≡ 0 dans p20(B(y, r)), et

donc ψ est constante, ce qui implique que y ∈ A. Donc A est fermé dans Si. Alors A = Si puisqu’il

n’est pas vide. Mais Si est une variété de classe C1, donc la seule possibilité est que Si est un morceau

de (P 20 + x)∩B(0, 1). Or Si est à la fois fermé et ouvert dans (P 2

0 + x)∩B(0, 1). En effet, A est ouvert

42 Unicité de P0

dans (P 20 + x)∩B(0, 1) par la définition, et Si = A, donc Si est ouvert dans (P 2

0 + x)∩B(0, 1) ; et par

la démonstration ci-dessus, pour tout y ∈ Si ∩ (P 20 + x)∩B(0, 1) = A∩ (P 2

0 + x)∩B(0, 1), on a y ∈ Si,et donc Si est fermé dans (P 2

0 + x) ∩B(0, 1). Par conséquent, Si = (P 20 + x) ∩B(0, 1).

Notons que par (3.3), Si ∩ ∂B(0, 1) ⊂ E ∩ ∂B(0, 1) ⊂ P0 ∩ ∂B(0, 1) puisque E est fermé, ce qui

implique que Si = P 20 ∩B(0, 1).


Par un argument semblable, si p20 n’est pas injective dans E, alors P 1

0 ∩B(0, 1) ⊂ E. Par conséquent,

si ni p10 ni p2

0 ne sont injectives, alors P0 ⊂ E, de sorte qu’il existe un point de type P0, ce qui

contredit notre hypothèse. Donc au moins une des pi0, i = 1, 2 est injective. Supposons par exemple

que p10 est injective sur E. Alors (3.7) est vrai pour tout z ∈ P 1

0 ∩ B(0, 1) = p10(E). Donc il existe

ψ : P 10 ∩B(0, 1)→ P 2

0 tel que E ∩B(0, 1) est son graphe. Alors sur les point y ∈ E tel que TyE 6= P 20 ,

ψ est localement une fonction analytique ou anti analytique, et donc harmonique.

On affirme qu’il n’existe pas de point critique y tel que TyE = P 20 . En effet, si y est un tel point,

dans un voisinage B(y, r), E est le graphe d’une function analytique ou anti-analytique g de P 20 → P 1

0

sous la base usuelle. Supposons que p20(y) = 0 pour simplifier, et donc g′(0) = 0. Alors 0 est un zéro

de g d’ordre ≥ 2, et dans un voisinage pointé O de g(0) ∈ C, chaque point admet au moins 2 images

réciproques. Donc O ⊂ z ∈ P 10 : ]p1

0−1z ∩ E ≥ 2. Mais O est ouvert donc il est de mesure non

nulle. Cela contredit le lemme 3.8(2).

Donc il n’existe pas de point critique pour ψ, de sorte que ψ est une fonction C1 sur P 10 ∩B(0, 1),

et E est son graphe. Et on sait ainsi que E ∩ B(0, 1) = P 10 ∩ B(0, 1), car ψ est harmonique avec

ψ|∂B(0,1) = 0, ce qui implique que ψ est constante. Cela contredit notre hypothèse(3.3).

Ainsi on obtient l’existence d’un point de type P0 dans E.

Lemme 3.50. Soit x ∈ E un point de type P0, alors E contient (P0 + x) ∩B(0, 1).

Démonstration. On affirme que (P 10 + x)∩E est relativement ouvert dans (P 1

0 + x)∩B(0, 1). En effet,

en appliquant le lemme 3.48 pour p20, on a que pour tout y ∈ (P 1

0 + x)∩E\x, p20(y) = p2

0(x), et donc

au moins un des x et y est tel que E est un disque parallèle à P 10 dans un voisinage. Mais on sait déjà

que x ne le vérifie pas, en tant que point de type P0. Il existe donc une boule By centrée en y telle que

E∩By = (P 10 +x)∩By. Mais pour x, il existe une bouleBx telle queBx∩E = Bx∩(P0+x) ⊃ Bx∩(P 1

0 +x).

Donc E est relativement ouvert dans P 10 + x.

Par contre E est lui même un fermé dans B(0, 1), donc est relativement fermé dans P 10 + x. Alors

la seule possibilité est que

(3.51) E ∩ (P 10 + x) ∩B(0, 1) = (P 1

0 + x) ∩B(0, 1)

puisque E ∩ (P 10 + x) est non vide.

43

Un argument semblable donne aussi

(3.52) E ∩ (P 20 + x) ∩B(0, 1) = (P 2

0 + x) ∩B(0, 1),

et on obtient ainsi notre conclusion.


On peut arriver maintenant à la conclusion du théorèm 3.1.

On sait par (3.47) que E contient un point x de type P0. Et par le lemme 3.50, (P0 +x)∩∂B(0, 1) ⊂E. Mais par (3.3) on a E ∩ ∂B(0, 1) = P0 ∩ ∂B(0, 1), ce qui implique que x est forcément l’origine,

et E ⊃ P0 ∩ B(0, 1). Mais H2(E) = H2(P0 ∩ B(0, 1)) et E ∩ B(0, 1) est réduit. Donc E ∩ B(0, 1) =

P0 ∩B(0, 1).

2

4 L’existence d’ensembles minimaux

On commence maintenant à démontrer le théorème 1.32. On va le faire par l’absurde.

Supposons que la conclusion du théorème 1.32 n’est pas vraie. Il existe alors une suite d’unions de

2 plans Pk = P 1k ∪θk P 2

k ⊂ R4 qui ne sont pas minimaux, avec θk ≥ π2 −

1k . De plus, on peut supposer

que tous les P 1k = P 1

0 sont les mêmes.

La stratégie serait de trouver une suite de minimiseurs Ek telle que pour chaque k, Ek minimise la

mesure parmi toutes les déformations de Pk dans B(0, 1). (On l’appelle aussi une solution du problème

de Plateau). Quitte à extraire une sous-suite, on peut supposer que Ek tend vers un ensemble E∞ pour

la distance de Hausdorff. Alors puisque Pk∩∂B(0, 1)→ P0∩∂B(0, 1), on montre ensuite que le bord de

E∞ est P0∩∂B(0, 1). De plus, puisque chaque Ek est minimal dans B(0, 1), E∞ doit être minimal dans

B(0, 1) aussi. Alors en notant que (3.2) est vrai puisque E∞ est la limite d’une suite de déformations,

on en déduit que E∞ = P0 par l’unicité qu’on a démontrée dans le théorèm 3.1. Et on en déduit une

contradition par les arguments de projection et d’extension harmonique.

Mais malheureusement on n’a pas encore un théorème qui garantit l’existence d’une solution du

problème de Plateau. En revanche, on a le théorème plus faible ci-dessous :

Théorème 4.1 (Existence d’ensembles minimaux ; c.f. [15], Thm 6.1.7). Soit U ⊂ Rn un domaine

ouvert, 0 < d < n, F une famille non vide d’ensembles relativement fermés dans U et vérifiant (1.2),

stable par les déformations dans U . Supposons que

(4.2) infF∈F

Hd(F ) <∞.


Il existe alors M > 0 (ne dépendant que de d et n), une suite (Fk) d’éléments de F et un ensemble E

de dimension d relativement fermé dans U qui vérifie (1.2), tels que :

(1) pour une exhaustion Kmm∈N de U par des compacts inclus dans U ordonnés de manière

croissante pour l’inclusion, on a

(4.3) limk→∞

dH(Fk ∩Km, E ∩Km) = 0 pour tout m ∈ N ;

(2) pour tout ouvert V tel que V est relativement compact dans U , à partir d’un certain rang :

(4.4) Fk est (M,+∞)-quasi minimal dans V ;

(voir la définition 4.5 ci-dessous)

(3) Hd(E) ≤ infF∈FHd(F ) ;

(4) E est minimal dans U .

Définition 4.5 (Ensembles quasi minimaux). Soit 0 < d < n des entiers, M > 0, δ > 0, U un ouvert

de Rn. L’ensemble E dans U est dit (M, δ)−quasi minimal dans U (E ⊂ QM(U,M, δ) en abrégé) si E

est fermé dans U , (1.2) est vrai, et pour tout boule B ⊂ U dont le diamètre est plus petit que δ, on a

(4.6) Hd(E ∩B) ≤MHd(F ∩B)

pour toute déformation F de E dans B.

Remarque 4.7. Dans le théorème 4.1, on peut demander aussi que la suite Fk soit une suite minimi-

sante. C’est à dire que limk→∞H2(Fk) = infF∈FH

d(F ).

Le théorème 4.1 est un résultat plus faible, qui donne l’existence d’une certaine sorte de minimiseur,

sans garantir la condition au bord, et la solution n’est pas forcément contenue dans la classe F non

plus. Mais pour notre cas, on n’a pas besoin de toutes ces propriétés, on peut s’en sortir avec quelques

propriétés plus faibles, qui nous suffiront déjà.

Rappelons que Pk = P 1k ∪θk P 2

k est une suite d’unions de deux plans qui ne sont pas minimaux,

avec θk > π2 −

1k . Et de plus supposons aussi que tous les P 1

k sont égaux. Notons P 10 = P 1

k , et P20 le

plan orthogonal à P 10 , P0 = P 1

0 ∪⊥ P 20 . Alors Pk ∩ B(0, 1) tend vers P0 ∩ B(0, 1) pour la distance de

Hausdorff.

Proposition 4.8. Pour chaque k, il existe un ensemble Ek ⊂ B(0, 1) fermé tel que

(1) Ek est minimal dans R4\[Pk\B(0, 1)] ;

(2) ∂B(0, 1) ∩ Ek = ∂B(0, 1) ∩ Pk ;

(3) pik(Ek) ⊃ P ik ∩B(0, 1), où pik désigne la projection orthogonale sur P ik, i = 1, 2 ;

(4) H2(Ek) < H2(Pk ∩B(0, 1)) = 2π.

(5) Ek est contenu dans l’enveloppe convexe de Pk ∩B(0, 1).

45

Démonstration. Fixons d’abord n’importe quel k.

Prenons U = R4\[Pk\B(0, 1)], et F la classe de toutes les déformations de Pk dans U . Alors par

le théorème 4.1 et la remarque 4.7, pour d = 2 il existe une suite minimisante d’ensembles Fl ∈ F qui

sont en même temps uniformément quasi-minimaux dans U , avec une constante uniforme M . De plus

la suite converge par rapport à la distance de Hausdorff. Notons Ek la limite. Alors par les conclusions

du théorème 4.1, les conclusions (1) et (4) sont automatiquement vraies. Dans (4) on a une inégalité

stricte parce qu’on a supposé que Pk n’est pas minimal.

Pour montrer (3), on va commencer par le lemme suivant.

Lemme 4.9. Soit P un plan dans R4, et p son projecteur. Soit ϕ une déformation Lipschitzienne de

R4 dans R4, telle que ϕ|P∩B(0,1)C = id. Alors

(4.10) p[ϕ(P ∩B(0, 1))] ⊃ P ∩B(0, 1).

Démonstration. Raisonnons par l’absurde.

Supposons qu’il existe x ∈ P ∩B(0, 1) tel que x 6∈ p[ϕ(P ∩B(0, 1))]. Alors x ∈ P ∩B(0, 1), puisque

P ∩∂B(0, 1) = ϕ(P ∩∂B(0, 1)) ⊂ p[ϕ(P ∩B(0, 1))] par hypothèse. Il existe alors r > 0 tel que B(x, r) ⊂B(0, 1). D’un autre côté, P∩B(0, 1) est un compact, et donc son image p[ϕ(P∩B(0, 1))] par l’application

continue p ϕ l’est aussi, de sorte que p[ϕ(P ∩ B(0, 1))]C est un ouvert. Par conséquent, il existe

r′ < r tel que B(x, r′) ∩ p[ϕ(P ∩B(0, 1))] = ∅. Autrement dit, ϕ(P ∩B(0, 1)) ⊂ R4\p−1[B(x, r′) ∩ P ].

Posons g : R4\p−1[B(x, r′) ∩ P ] → p−1[∂B(0, 1) ∩ P ], g|R4\p−1[B(0,1) est la projection de R4 sur

p−1[B(0, 1)∩P ], et pour y ∈ [p−1[(B(0, 1)\B(x, r′))∩P ],G(y) et le point d’intersection de p−1[∂B(0, 1)∩P ] avec la demi-droite [x, y) issue de x et passant par y. Alors g est continue.

Notons que ϕ(P ∩B(0, 1)) ⊂ R4\p−1[B(x, r′)∩P ], si bien que pgϕ est Lipschitzienne, qui envoie

P ∩B(0, 1) continuement dans P ∩ ∂B(0, 1) en fixant les points de P ∩ ∂B(0, 1). C’est impossible.


On obtient (3) d’après ce lemme. En effet, Ek est la limite d’une suite de déformations Fl = ϕl(Pk)

de Pk. Alors pour chaque l, on a, par le lemme,

(4.11) pik(Fl) ⊃ pik[ϕl(P ik ∩B(0, 1))] ⊃ P ik ∩B(0, 1), i = 1, 2.

Par conséquent

(4.12) pik(Ek) ⊃ P ik ∩B(0, 1), i = 1, 2.

Il nous reste à montrer (2) et (5).

Vérifions que Ek ⊂ B(0, 1). D’abord on affirme que pour chaque ε > 0, il existe N = N(ε) > 0 tel

que pour tout l > N ,

(4.13) Fl ⊂ B(B(0, 1) ∪ Pk, ε),


c’est à dire que Fl est contenu dans un ε-voisinage de l’union de la boule unité et du bord de U .

En fait, les Fl sont uniformément quasi-minimaux, et donc sont localement uniformément Ahlfors

réguliers dans U (c.f. [11] Proposition 4.1). C’est à dire qu’il existe une constante C > 1 telle que pour

tout l, pour tout x ∈ Fl et tout r > 0 tel que B(x, 2r) ⊂ U , on a

(4.14) C−1r2 ≤ H2(Fl ∩B(x, r)) ≤ Cr2.

Alors s’il existe x ∈ Fl tel que d(x,B(0, 1) ∪ Pk) > ε, alors on a B(x, ε) ⊂ U , et par la régularité

d’Ahlfors,

(4.15) H2(Fl ∩B(x,12ε)) ≥ (4C)−1ε2.

Maintenant déformons Fl dans B(0, 1) par la projection radiale π sur B(0, 1). Ici pour chaque l, Flest une déformation de Ek dans U , c’est à dire qu’il existe K ⊂ U compact, tel que Fl\K = Ek\K.

La compacité de K implique que 0 < d = d(K, ∂U) = d(K,Pk\B(0, 1)), et qu’il existe R > 0 tel que

K ⊂ B(0, R). Notons V = B(0, R)\B(Pk\B(0, 1), d). Alors dans V , π est homotope à l’identité. Posons

maintenant π′ : U → B(0, 1)∩U, π′(x) = t(x)x+ (1− t(x))π(x), où t(x) = min2d(x, V )/d, 1. Alors π′

est une déformation sur U , et π′|V = π|V , ce qui donne π′(Fl) = π(Fl). Donc π(Fl) est une déformation

de Ek dans U . Autrement dit, π(Fl) ∈ F.

Lemme 4.16. Soit E rectifiable tel que E ∩B(0, 1 + ε) = ∅. Alors

(4.17) H2(π(E)) ≤ 1(1 + ε)2

H2(E).

Démonstration. On veut montrer que π est 11+ε -Lipschitzienne sur E, d’où (4.17).

Posons πε la projection sur la boule B(0, 1+ε). Alors πε est 1-Lipschitzienne, et πε(R4\B(0, 1+ε)) ⊂∂B(0, 1 + ε). D’un autre côté. π est 1

1+ε -Lipschitzienne sur ∂B(0, 1 + ε). Donc si E ⊂ R4\B(0, 1 + ε),

alors π = π πε est 11+ε -Lipschitzienne sur E.


Revenons à la démonstration de la proposition 4.8. On a B(x, 12ε) ∩ B(0, 1 + 1

2ε) = ∅ puisque

x 6∈ B(0, 1 + ε), et donc

H2(π(Fl)) ≤ H2(π(Fl\B(x,12ε))) +H2(π(Fl ∩B(x,

12ε)))

≤ H2(Fl\B(x,12ε)) +

1(1 + 1

2ε)2H2(Fl ∩B(x,

12ε))

≤ H2(Fl)−4ε+ ε2

4 + 4ε+ ε2H2(Fl ∩B(x,

12ε))

≤ H2(Fl)−4ε+ ε2

4 + 4ε+ ε2ε2

4C

= H2(Fl)− C(ε),

(4.18)

47

où C(ε) > 0 pour tout ε > 0 et C(ε) ne dépend pas de l pour l assez grand.

On sait que Fl est une suite minimisante, donc pour tout ε > 0, il existe un N > 0 tel que pour

tout l > N , on a

(4.19) H2(Fl) ≤ infE∈F

H2(E) +12C(ε) < H2(π(Fl)) + C(ε).

Donc (4.18) n’est pas vérifie, de sorte que Fl ⊂ B(B(0, 1)∪Pk, ε)∩U , d’où notre affirmation concernant

(4.13).

Par conséquent, puisque Ek est la limite de Fl,

(4.20) Ek ⊂ ∩εB(B(0, 1) ∪ Pk, ε) ∩ U ⊂ B(0, 1).

On peut vérifier (2) maintenant. On va même montrer (5), qui dit que Ek est contenu dans l’enve-

loppe convexe C de Pk ∩B(0, 1), ce qui implique (2).

Première démonstration de (5).

Lemme 4.21. Soit C ⊂ Rn un fermé convexe symétrique (par rapport à l’origine) à l’interieur non-

vide. Alors pour tout ε > 0, il existe δ > 0 et une rétraction 1-Lipschitzienne f de Rn dans C tell que

f est 1− δ-Lipschitzienne sur Rn\B(C, ε).

Démonstration. Notons || · ||C la norme sur Rn dont la boule unité fermée est C. Il existe alors A > 1

tel que

(4.22) A−1|| · ||C ≤ || · ||2 ≤ A|| · ||C ,

où || · ||2 désigne la norme euclidienne.

Alors pour tout a ≥ 0, posons || · ||a = || · ||C + a|| · ||2 et Ca,b la boule fermée de rayon b sous la

norme || · ||a. Alors C0,1 = C. Notons que ||x||a est une fonction continue strictement croissante de a

pour tout x ∈ Rn\0, || · ||0 = || · ||C , et que Ca,b est continu, décroissant par rapport à a et croissant

par rapport à b, c’est à dire,

(4.23) Ca,b ⊃ Ca′,b, Ca,b ⊂ Ca,b′ pour tout a < a′, b < b′,

et

(4.24)⋂

an→a−Can,b =

⋂bn→b+

Ca,bn = Ca,b;⋃

an→a+

Can,b =⋃

bn→b−

Ca,bn = Ca,b.

On va montrer maintenant que

pour tous a, b > 0, pour tous x, y ∈ ∂Ca,b tels que αx,y <π

2,

||x+ y

2||a ≤ b−D(a, b, A)||x− y||22,

(4.25)


avec D(a, b, A) > 0, où αx,y < π désigne l’angle entre ~Ox et ~Oy pour x, y 6= 0.

Prenons x, y ∈ ∂Ca,b quelconques tels que αx,y < π2 , par (4.22)

(4.26)b

A+ a≤ ||x||2, ||y||2 ≤

b

A−1 + a.

Alors par la définition de || · ||a,

||x+ y

2||a = ||x+ y

2||C + a||x+ y

2||2 ≤ ||

x

2||C + ||y

2||C + a||x+ y

2||2

=12

(||x||C + ||y||C) + a||x+ y

2||2.

(4.27)

Pour le dernier terme, en notant || · || la norme euclidienne || · ||2 pour abréger, on a

||x+ y

2||2 =<

x+ y

2,x+ y

2>

12 = [||x||2

4+||y||2

4+< x, y >

2]12

= [(||x||

2+||y||

2)2 − ||x||||y||

2(1− < x, y >

||x||||y||)]

12

.(4.28)

Mais

(4.29) 1− < x, y >

||x||||y||= 1− cosαx,y = 2 sin2(

12αx,y),

et donc par (4.28) et (4.26)

||x+ y

2||2 ≤ [(

||x||2

+||y||

2)2 − ||x||||y||

2× 2 sin2(

12αx,y)]

12

≤ [(||x||

2+||y||

2)2 − (

b

A+ a)2 sin2(

12αx,y)]

12

= (||x||

2+||y||

2)[1− (

||x||2

+||y||

2)−2(

b

A+ a)2 sin2(

12αx,y)]

12

≤ (||x||

2+||y||

2)[1− 1

2(||x||

2+||y||

2)−2(

b

A+ a)2 sin2(

12αx,y)]

=||x||

2+||y||

2− 1

2(||x||

2+||y||

2)−1(

b

A+ a)2 sin2(

12αx,y)

≤ ||x||2

+||y||

2− b(A−1 + a)

2(A+ a)2sin2(

12αx,y).

(4.30)


||x+ y

2||a ≤

12

(||x||C + ||y||C) + a[||x||

2+||y||

2− b(A−1 + a)

2(A+ a)2sin2(

12αx,y)]

≤ ||x2||a + ||y

2||a −

ab(A−1 + a)2(A+ a)2

sin2(12αx,y)

= b− ab(A−1 + a)2(A+ a)2

sin2(12αx,y).

(4.31)

Il faut donc estimer 12αx,y pour montrer (4.25).

Par (4.22), on a

(4.32) B(0,b

A+ a) ⊂ Ca,b ⊂ B(0,

b

A−1 + a).

49

Notons r = bA+a , R = b

A−1+a pour l’instant. Alors B(0, r) ⊂ Ca,b ⊂ B(0, R). Notons alors que

∂Ca,b ∩B(0, r) = ∅. Prenons x, y ∈ ∂Ca,b. Notons L la droite passant par x et y. On a alors 2 cas.

1er cas : L ∩ B(0, r) 6= ∅. On affirme alors que dans L, le segment non-dégénéré I = L ∩ B(0, r)

sépare x et y, autrement dit, x et y se situent de deux côtés différents de I. En effet sinon, notons z

l’extrémité de I le plus proche de x et y. Supposons par exemple que ||z− x|| > ||z− y|| (il est possibleque z = y, mais ce n’est pas grave). Prenons Ly la droite tangente à B(0, r) passant par y telle que

L, Ly et l’origine appartiennent à un même plan, et w ∈ ∂B(0, r) le point tangent. Alors par (4.32),

w ∈ Ca,b, et donc Ca,b contient le segment fermé [xw], en tant que convexe. La demi droite [Oy) issue

par O est passant par y rencontre le segment ouvert (xw) en un point u. Alors u ∈ [x,w] ⊂ Ca,b. De

plus u = αy, avec α > 1, ce qui contredit le fait que y ∈ ∂Ca,b.

Donc x et y se situent de deux côtés différents de I. Notons v ∈ L le point tel que [Ou] ⊥ L. Alors||u|| < r, et

αx,y > maxαx,v, αy,v = maxarctan||x− v||||u||

, arctan||y − v||||u||

≥ arctan12 ||x− y||||u||

≥ arctan||x− y||

2r.

(4.33)

Par l’hypothèse, 0 ≤ αx,y < π2 , donc par (4.33), tanαx,y >

||x−y||2r . Notons que

(4.34) tan2 αx,y =sin2 αx,ycos2 αx,y

=sin2 αx,y

1− sin2 αx,y,

par conséquent

(4.35) sin2 αx,y >||x− y||2

4r2/(1 +

||x− y||2

4r2) =

||x− y||2

4r2 + ||x− y||2.

Mais x, y ∈ ∂Ca,b ⊂ B(0, R), donc ||x− y|| ≤ 2R, on a donc

(4.36) sin2 αx,y >||x− y||2

4(r2 +R2).

Par conséquent

(4.37) αx,y > sinαx,y >||x− y||

2√r2 +R2

,

et donc

(4.38) sin2 αx,y2

> (2π

αx,y2

)2 >||x− y||2

4π2(r2 +R2).

2ème cas : L ∩ B(0, r) = ∅. Alors la distance entre L et l’origine est supérieure à r. Notons w ∈ Ltel que ~Ow ⊥ L, alors ||w|| > r. Supposons par exemple que ||x− w|| ≥ ||y − w||. Alors

1 si w sépare x et y sur L, on a alors

(4.39) αx,y ≥ ∠xOw et||x− w|| ≥ 12||x− y||,


de sorte que

(4.40) tanαx,y ≥ tan ∠xOw =||x− w||||w||

≥ 12||x− y||/R,

et donc

(4.41) αx,y ≥ arctan1

2R||x− y||.

Un argument semblable à celui après (4.33) donne

(4.42) sin2 αx,y2

>||x− y||2

8π2R2;

2 si w ne sépare pas x et y sur L, on a

(4.43) αx,y = ∠xOy ≥ ∠xOw − ∠yOw,

et donc

tanαx,y ≥ tan(∠xOw − ∠yOw) = tan(arctan||x− w||||w||

− arctan||y − w||||w||

)

= (||x− w||||w||

− ||y − w||||w||

)/(1 +||x− w||||w||

||y − w||||w||

)

≥ ||x− y||R

/(1 +R2 − r2

r2) = ||x− y|| r

2

R3,

(4.44)

où la dernière inégalité est parce que

(4.45) ||x− w|| =√||x||2 − ||w||2 ≤

√R2 − r2

et pareil pour y. On a donc

(4.46) αx,y ≥ arctanr2

R3||x− y||.

On fait exactement comme après (4.33), et on obtient

(4.47) sin2 αx,y2

>r4

π2(R6 + 4R2r4)||x− y||2.

En combinant avec (4.31), on obtient

(4.48) ||x+ y

2||a ≤ b−D(a, b, A)||x− y||2,

où

(4.49) D(a, b, A) =ab(A−1 + a)2(A+ a)2

min 14π2(r2 +R2)

,1

8π2R2,

r4

π2(R6 + 4R2r4) > 0,

avec r = bA+a , R = b

A−1+a .

On a donc l’affirmation (4.25).

51

Maintenant par (4.26), on a que

(4.50)1

A+ a|| · ||a ≤ || · ||2 ≤

1A−1 + a

|| · ||a,

donc pour chaque z ∈ ∂Ca,b,

||z − x+ y

2||2 ≥

1A+ a

||z − x+ y

2||a ≥

1A+ a

(||z||a − ||x+ y

2||a)

≥ 1A+ a

D(a, b, A)||x− y||22 = M(a, b, A)||x− y||22,(4.51)

où M(a, b, A) = 1A+aD(a, b, A) > 0.

Par conséquent, pour chaque x, y ∈ ∂Ca,b tel que αx,y < π2 , B(x+y

2 ,M(a, b, A)) ⊂ Ca,b.

Maintenant pour tout ε > 0, soit w, v ∈ Rn\B(Ca,b, ε) tels que πa,b(w) = x, πa,b(v) = y, où πa,b

désigne la projection de plus courte distance sur Ca,b. On affirme que l’angle β1 ∈ [0, π2 ] entre ~xw et ~yx

est plus petit que arctan 12M(a,b,A)||x−y|| . En effet, notons P le plan contenant x, y et w, z ∈ P le point

tel que [z, x+y2 ] ⊥ [x, y] et ||z − x+y

2 || = M(a, b, A)||x− y||2. Alors z ∈ Ca,b, [x, z] ∈ Ca,b, et

(4.52) tan ∠zxy = 2M(a, b, A)||x− y||.

Alors si β1 > arctan 12M(a,b,A)||x−y|| , on a ∠wxz < π

2 . Notons s la projection de w sur L′, la droite

passant par x et z. Alors s est entre x et z, ou z est entre x et s. Dans les deux cas (x, z) ∩ (x, s) 6= ∅.Prenons x′ ∈ (x, z) ∩ (x, s) ⊂ Ca,b, alors x′ ∈ Ca,b, et ∠wxz < ∠wx′z,. Par conséquent

(4.53) ||w − x|| = ||w − s||/ sin ∠wxz > ||w − s||/ sin ∠wx′z = ||w − x′||,

ce qui contredit le fait que x est la projection de plus courte distance de w sur Ca,b.

On montre pareillement que si β2 désigne l’angle entre ~yv et ~xy, alors β2 ≤ arctan 12M(a,b,A)||x−y|| .

Notons L la droite passant par x et y, Q l’hyperplan perpendiculaire à L, pl et pQ leurs projecteurs

respectivement. Alors

(4.54) ||w − v|| ≥ ||pL(w)− pL(v)|| = ||w − x|| cosβ1 + ||x− y||+ ||v − y|| cosβ2.

Mais w, v ∈ Rn\B(Ca,b, ε), on a donc ||w − x|| > ε, ||v − y|| > ε, donc

||w − v|| ≥ ||x− y||+ 2ε cos arctan1

2M(a, b, A)||x− y||

= ||x− y||+ 2ε(4M2||x− y||2

1 + 4M(a, b, A)2||x− y||2)

12

≥ ||x− y||+ 2ε2M(a, b, A)||x− y||

(1 + 4M(a, b, A)24R2)

= (1 + εC(a, b, A))||x− y||,

(4.55)

où R = bA−1+a est comme dans (4.32), et donc C(a, b, A) > 0.

Notons que (4.55) est vrai pour les x, y tel que αx,y < π2 . Donc πa,b est localement 1

1+εC(a,b,A)) -

Lipschitzienne sur Rn\B(Ca,b, ε).


Revenons à la démonstration du lemme. Fixons ε > 0 quelconque. Alors par (4.23) et (4.24), il

existe a, b > 0 tel que

(4.56) C ⊂ Ca,b ⊂ B(Ca,b,ε

2) ⊂ B(C, ε).

Maintenant notons πC la projection de plus courte distance sur C. Notons f = πC πa,b pour unepaire de a, b qui satisfie (4.56). Alors pour montrer le lemme, il suffit de montrer que πa,b est localement

1 − δ-Lipschitzienne sur Rn\B(Ca,b, ε2 ). Alors par (4.55), on prend δ tel que 1 − δ = 11+ 1

2 εC(a,b,A)), et

on obtient la conclusion.


Corollaire 4.57. Soit E ⊂ Rn\B(C, ε) rectifiable, alors

(4.58) Hd(f(E)) ≤ (1− δ)dHd(E).

Revenons maintenant à la démonstration de la proposition 4.8. Rappelons qu’ici C est l’enveloppe

convexe de Pk ∩B(0, 1).

On va montrer que

(4.59) pour tout ε > 0, Ek ⊂ B(C, 2ε).

Sinon, Ek\B(C, 2ε) 6= ∅, alors par la régularité d’Ahlfors, H2(Ek\B(C, 2ε)) > 0. On applique le corol-

laire 4.57 à Ek\B(C, 2ε) et le convexe B(C, ε), on obtient qu’il existe une appliction Lipschitzienne fεde Rn dans B(C, ε) telle que

(4.60) H2(fε(Ek)) < H2(Ek),

où fε est comme dans le lemme 4.21. Alors on aurait (4.59) si on savait que πε(Ek) est une déformation

de Ek dans U .

Mais on sait déjà que Ek ⊂ B(0, 1). Donc l’ensemble Wε := x ∈ Ek, πε(x) 6= x ⊂ B(0, 1)\B(C, ε),

qui est compact et loin du bord de U . Notons d(Wε, ∂U) = d, et posons

(4.61) g : Rn → B(C, ε), f(x) = t(x)x+ (1− t(x))fε(x), t(x) = min2d(x,Wε)/d, 1,

alors g est une déformation dans U , et

(4.62) g(Ek) = fε(Ek).

Donc si Ek\B(C, 2ε) 6= ∅, alors g diminue strictement la mesure de Ek, et ceci contredit le fait que

Ek est minimal. On a donc (4.59). Mais (4.59) est vrai pour tout ε > 0, on a donc

(4.63) Ek ⊂ C,

53

d’où (5).

Seconde démonstration de (5).

On va raisonner par l’absurde. Soit x ∈ Ek qui n’appartient pas à C, alors puisque C est convexe,

il existe un plan Q de dimension 3 qui sépare x et C. Notons R le demi espace fermé bordé par Q et

contenant x. Alors x ∈ intR, de sorte qu’il existe r > 0 tel que B(x, r) ⊂ R. Mais par la régularité

d’Ahlfors, la mesure de Ek dans B(x, r) est non nulle, donc en particulier, la mesure de ER = Ek ∩ Rest non nulle.

Notons πQ la projection orthogonale de B(0, 1) sur B(0, 1)\intR, qui envoie R ∩ B(0, 1) sur Q ∩B(0, 1). Alors πQ(Ek) est une déformation de Ek dans U . En effet, notons CR l’enveloppe convexe de

ER∪πQ(ER), alors CR ⊂ B(0, 1)∩R et est compact. Il existe alors s > 0 tel que B(CR, 2s)∩(C∪Pk) = ∅.Posons f(x) = t(x)x+ (1− t(x))πQ(x), où t(x) = maxd(x,B(CR, s))/s, 1. Alors f envoie U dans U ,

est Lipschitzienne, et ne change que les point dans B(CR, 2s)∩R. En particulier, ft(x) = (1−t)x+tf(x)

est une homotopie entre id et f , de U dans U . De plus, f(Ek) = πQ(Ek).

On veut montrer que

(4.64) f diminue strictement la mesure de Ek.

Autrement dit, H2(πQ(Ek)) < H2(Ek). Notons que πQ(Ek) = (Ek\ER) ∪ πQ(ER) et que Ek =

(Ek\ER) ∪ ER. Donc il faut montrer que

(4.65) H2(πQ(ER)) < H2(ER).

Notons L l’espace (de dimension 1) orthogonal à Q. Et πL la projection orthogonale de R4 sur L.

Posons a = πL(Q), et b ∈ L le point plus loin de a dans l’ensemble πL(ER). Alors le segment [a, b]

contient πL(ER).

Lemme 4.66. [a, b] ⊂ πL(ER).

Démonstration. Par l’absurde. On sait déjà que b ∈ πL(ER). Soit x ⊂ [a, b) tel que x 6∈ πL(ER). Notons

Qx le sous-espace parallèle à Q est passant par x. Alors Qx∩Ek = ∅. Mais le point b et C vivent dans les

deux côtés différents de Qx. C’est à dire, si on prend y ∈ Ek tel que πL(y) = b, alors Qx sépare y et C.

Il existe alors ry > 0 tel que Qx sépare B(y, 2ry) et C. Par la régularité d’Ahlfors de Ek, B(y, ry)∩Ekest de mesure non nulle.

Notons Rx le demi espace bordé par Qx qui contient y. Alors Ek∩Rx est un compact, qui ne touche

pas Qx. On peut donc contracter Rx ∩Ek en un point dans Rx, en laissant fixé la partie Ek\Rx. Mais

H2(Rx ∩Ek) > H2(B(y, ry) ∩Ek) > 0. C’est à dire, on peut diminue strictement la mesure de Ek par

une déformation, ce qui contredit le fait que Ek est minimal.

Donc [a, b] ⊂ πL(ER).



Maintenant notons EP l’ensembles des points de type P dans ER, EY l’ensemble des points de type

Y dans ER, et ET l’ensemble des points dans ER qui ne sont pas de type Y ou P.

Lemme 4.67. H1([a, b]\πL(EP )) = 0.

Pour chaque x ∈ ET , notons Tx une limite d’explosion de Ek en x ; il existe rx > 0 tel que dans

B(x, rx), Ek est bi-Höldériennement équivalent à Tx (c.f.[9].Thm 16.1). Mais Tx est un cône minimal,

ce qui implique que tout point dans Tx est de type Y ou P, sauf l’origine (c.f.[9] Théorème 14.1). Par

conséquent dans B(x, rx), ET ne contient qu’un point. Autrement dit, ET est un ensemble composé de

points isolés. Mais ER est compact, donc

(4.68) ET est un ensemble fini.

En suite on va montrer que l’ensemble

(4.69) H1[πL(EY ∪ EP )\πL(EP )] = 0.

Soit x ∈ EY . C’est à dire que toute limite d’explosion Tx de ER en x est un Y, qui est un cône

minimal de "full length" (c.f.[10] Définition 2.10). Alors par la régularité C1 (c.f.[10] 1.15), Tx est unique

et ER coïncide, dans une boule B(x, rx), avec l’image par un C1 difféomorphisme ϕx de Tx.

Notons Lx l’épine de Tx. Alors dans B(x, rx), ϕ(Lx) est une courbe C1. Alors si la direction de Lxn’est pas orthogonal à celle de L, il existe un r′x < rx tel que dans B(x, r′x), aucune droite tangente de

la courbe ϕx(Lx) n’est orthogonale à L. Par conséquent, pour chaque y ∈ L ∩ B(πl(x), r′x), le tranche

π−1L (y) contient au plus un point de type Y localement, puisque la tranche est orthogonale à L. Mais

ER ∩B(x, r′x) est de mesure de dimension 2 non nulle, et même pour presque tout y ∈ L∩B(π(x), r′x)

la tranche est de mesure de dimension 1 non nulle. Et donc la tranche contient un point de type P.

Par conséquent, pour tout x ∈ EY tel que Lx n’est pas orthogonale à L, il existe r′x > 0 tel que

pour presque tout y ∈ L ∩ B(π(x), r′x), y ∈ πL(EP ). Donc si on note EY Q = x ∈ EY : Lx ⊥ L =

x ∈ EY : Lx est parallèle à Q, alors

(4.70) πL(EP ) ⊃ πL(EY \EY Q),

et par conséquent

(4.71) H1(πL(EP )) = H1(πL(EP ) ∪ πL(EY \EY Q)).

D’un autre côté, on affirme que

(4.72) H1(πL(EY Q)) = 0.

55

En effet, par la formule de l’aire (c.f.[14] Cor 3.3.20),

(4.73)∫EYQ

| < ~L, TxEY Q > |dH1(x) ≥ H1(πL(EY Q)),

où TxEY Q désigne la droite tangente à EY Q en x, et ~L un vecteur unitaire parallèle à L.

Mais pour chaque x ∈ EY Q, TxEY Q = Lx est orthogonale à L, ce qui implique que < ~L, TxEY Q >=

0. Alors le terme de gauche de (4.73) est nul. Par conséquent H1(πL(EY Q)) = 0, d’où (4.72).

En sommant (4.71) et (4.72) on obtient (4.69). Et par (4.68),

[a, b]\πL(EP ) = πL(ER)\πL(EP ) = πL(EP ∪ EY ∪ ET )\πL(EP )

⊂ πL(ET ) ∪ [πL(EY ∪ EP )\πL(EP )],(4.74)

de sorte que

(4.75) H1([a, b]\πL(EP )) ≤ H1(πL(EP )) +H1[πL(EY ∪ EP )\πL(EP )] = 0.


D’après le lemme on sait que H1(πL(EP )) = b − a. On note EPQ = x ∈ EP : TxEk ∈ ~Q. Alorspar la formule de la coaire (c.f.[14] Cor 3.3.22),

(4.76)∫EPQ

|| ∧1 πL(x)||dH2(x) =∫πL(EPQ)

dH1(z)H1[π−1L z ∩ EPQ].

Mais pour tout x ∈ EPQ,

(4.77) || ∧1 πL(x)|| = |πTxEk(~L)| ≤ |πQ(~L)| = 0,

où TxEk désigne le plan tangent de Ek en x. Par conséquent le terme de gauche de (4.76) est nul, ce

qui implique que pour presque tout z ∈ πL(EPQ), H1[π−1L z ∩ EPQ] = 0.

Alors il y a deux cas.

1er cas. Si H1(πL(EPQ)) > 0, il existe alors z ∈ πL(EPQ) tel que H1[π−1L z ∩EPQ] = 0. Prenons

w ∈ EPQ tel que πL(w) = z. Alors w est de type P, et par la régularité C1 de E près des points de

type P, il existe r > 0 tel que Ek coïncide dans B(w, r) avec le graphe d’une fonction ϕ de classe C1 de

TwEk vers TwE⊥k . Alors tous les points dans B(w, r) ∩Ek sont de type P. La proposition 11.17 de [17]

donne que ϕ est une fonction harmonique. Alors la fonction ϕ′ = πL ϕ est une fonction harmonique

de (w + TwEk) ∩ B(w, r) dans L, avec ϕ′(w) = 0. Cela implique que, soit ϕ′ est constante et donc

Ek ∩ B(w, r) ⊂ Q + w = π−1L (z), soit Ek ∩ B(w, r) ∩ π−1

L (z) est une courbe lisse. Alors le premier cas

est impossible, par définition de z. Dans le deuxième cas, la courbe est de mesure H1 positive, est tout

point dans ce courbe est de type P, alors puisque H1[π−1L z ∩ EPQ] = 0, il existe x ∈ π−1

L z ∩ EPdont le plan tangent n’est pas contenu dans ~Q.


2ème cas. Si H1(πL(EPQ)) = 0. Alors H1(πL(EP \EPQ)) est de mesure pleine dans [a, b], d’après

le lemme 4.67. En particulier, il existe x ∈ EP ⊂ ER tel que TxEk est un plan qui n’est pas contenu

dans Q, et que πL(x) ∈ (a, b).

Dans les deux cas, il existe un point x de type P dont le plan tangent n’est pas contenu dans Q.

Par la C1 régularité de EK en x, il existe r > 0 tel que B(x, r) ⊂ Q et que Ek ∩B(x, r) est l’image

d’une application ϕ de classe C1 de TxEk. Notons que TxEk 6∈ Q implique que |πQ(TxEk)| < 1 (voir

(2.6) pour la définition). Posons β = 1− |πQ(TxEk)|. Alors puisque ϕ est de classe C1, il existe r′ < r

tel que pour tout y ∈ B(x, r′) ∩ Ek, |πQ(TyEk)| < 1− β2 .

Alors par la formule de l’aire,

H2(πQ(Ek ∩B(x, r′))) =∫Ek∩B(x,r′)

|πQ(TyEk)|dH2(y)

≤ (1− β

2)H2(Ek ∩B(x, r′)).

(4.78)

Par conséquent

H2(πQ(ER)) = H2[πQ(ER\B(x, r′)) ∪ (ER ∩B(x, r′))]

≤ H2[πQ(ER\B(x, r′))] +H2[πQ(ER ∩B(x, r′))]

≤ H2(ER\B(x, r′)) + (1− β

2)H2(Ek ∩B(x, r′))

≤ H2(ER\B(x, r′)) +H2(Ek ∩B(x, r′))− β

2H2(Ek ∩B(x, r′))

≤ H2(ER)− β

2H2(Ek ∩B(x, r′)).

(4.79)

Mais par la régularité d’Ahlfors on a que H2(Ek ∩B(x, r′)) est strictement positive, on a donc

(4.80) H2(πQ(ER)) < H2(ER),

d’où (4.65).

On obtient donc (4.65), ce qui contredit le fait que Ek est minimal. 2

Corollaire 4.81. Pour toute sous suite nk telle que Enk converge dans B(0, 1), la limite est P0∩B(0, 1).

Démonstration. Prenons une telle suite nk. Notons E∞ la limite de Enk . On veut appliquer le théorèm

3.1, donc on va vérifier les conditions sur E∞.

D’abord par [9] lemme 3.3, on sait que E∞ est aussi minimal dans B(0, 1), car chaque Enk l’est.

Ensuite, (3.2) vient de la proposition 4.8(3) et du fait que E∞ est la limite de Enk .

Pour vérifier (3.3), si on note Ck l’enveloppe convexe de Pk ∩ B(0, 1) (et C0 l’enveloppe convexe

de P0 ∩ B(0, 1)), alors par la proposition 4.8, Enk ⊂ Cnk . Puisque E∞ est la limite de Enk , pour

57

chaque m > 0, il existe K(m) > 0 tel que pour tout k > K(m), E∞ ⊂ B(Enk ,1m ) ⊂ B(Cnk ,

1m ) ⊂

∪∞k=K(m)B(Cnk ,1m ). On peut demander aussi que K(m) > k(l) si m > l. Par conséquent on a

(4.82) E∞ ⊂ ∩∞m=1 ∪∞k=K(m) B(Cnk ,1m

) = C0,

et donc

(4.83) E∞ ∩ ∂B(0, 1) ⊂ C0 ∩ ∂B(0, 1) = P0 ∩ ∂B(0, 1).

D’autre part, puisque E∞ est la limite de Enk , il contient limk→∞Enk ∩ ∂B(0, 1) = P0 ∩ ∂B(0, 1).

Donc

(4.84) E∞ ∩ ∂B(0, 1) = P0 ∩ ∂B(0, 1).

d’où (3.3).

Pour (3.4), on sait par la proposition 4.8 (4) que H2(Enk) < 2π. Mais les Enk et E∞ sont des

ensembles minimaux, donc le lemme 3.3 de [9] donne

(4.85) H2(E∞ ∩B(0, 1)) ≤ lim infk

H2(Enk ∩B(0, 1)) ≤ 2π.

L’égalité vient de (3.2), et les lemmes 2.45 et 2.15.

Donc par le théorèm 3.1, E∞ = P0 ∩B(0, 1). 2

Notons que B(0, 1) est compact, quitte à extraire une sous suite, on peut supposer que la suite Ekconverge. Alors par le corollaire, la limite est P0∩B(0, 1). Donc à partir de maintenant, on va travailler

sur cette suite Ekk>0 qui converge vers P0 ∩B(0, 1).

5 Rayons critiques

Pour notre Ek, encore une fois s’il est une déformation, alors il doit être obtenu en pinçant Pk au

milieu, parce que sinon, notre fonction de déformation est injective, et Ek est l’union essentiellement

disjointes des images de P 1k et P 2

k respectivement. Mais puisque P ik est minimal, chaque image est de

mesure plus grande, et par conséquent Ek n’est pas un meilleur compétiteur.

Puisqu’on pince, on sait que Ek doit commencer à s’éloigner de P 1k ou P 2

k quelque part, et du coup

on va payer un prix pour ça. Et en effet l’enjeu de la démonstration est de comprendre pourquoi pincer

coûte encore plus cher que ce qu’il permet de gagner.

Pourtant Ek n’est pas forcément une déformation, donc ce qu’on vient de dire est juste pour justifier

ce qu’on va faire. On va trouver l’endroit où Ek commence à s’éloigner de Pk.

58 Rayons critiques

Donc pour un ε suffisamment petit, on veut trouver, un centre o qui n’est pas loin de l’origine,

et une échelle r, tels que Ek est 2εr proche de Pk dans B(o, 2r), mais n’est plus εr proche d’aucune

translation de Pk dans B(o, r). C’est l’endroit qu’on cherche, et r est notre rayon “critique”. Et alors

hors de la petite boule B(o, 14r) notre Ek est près des plans, donc est très “plat”. Par contre dans la

petite boule où se produit vraisemblablement le pincement, on ne voit pas bien ce qui se passe, donc

on va contrôler la mesure de Ek par un argument de projections en utilisant le corollaire 2.65. Par

contre, on pourra traiter plus précisément la partie plate hors de B(o, 14r) puisqu’elle est régulière (si

ε est petit). On montrera finalement qu’on perd plus de mesure sur la partie plate que ce qu’on peut

espérer gagner dans la partie intérieure.

Dans ce paragraphe on va utiliser un processus de récurrence pour trouver le rayon critique.

On note, pour chaque k et i = 1, 2 :

(5.1) Cik(x, r) = (pik)−1(B(0, r) ∩ P ik) + x,

et

(5.2) Dk(x, r) = C1k(x, r) ∩ C2

k(x, r).

Donc ici Cik(x, r) est un “cylindre” et Dk(x, r) est l’intersection de deux “cylindres”. On peut noter aussi

que Dk(x, r) ⊃ B(x, r) et Dk(0, 1) ∩ Pk = B(0, 1) ∩ Pk.

On dit que deux ensembles E,F sont εr proches dans un ouvert U si

(5.3) dr,U (E,F ) < ε

où

(5.4) dr,U (E,F ) =1r

maxsupd(y, F ) : y ∈ E ∩ U, supd(y,E) : y ∈ F ∩ U.

On note aussi

dkx,r(E,F ) = dr,Dk(x,r)(E,F )

=1r

maxsupd(y, F ) : y ∈ E ∩Dk(x, r), supd(y,E) : y ∈ F ∩Dk(x, r).(5.5)

Remarque 5.6. Observons que

(5.7) dr,U (E,F ) 6= 1rdH(E ∩ U,F ∩ U).

Pour voir cela, on peut prendre U = Dk(x, r), et poser En = ∂Dk(x, r + 1n ) et Fn = ∂Dk(x, r − 1

n ),

alors on a

(5.8) dkx,r(En, Fn)→ 0

et

(5.9)1rdH(En ∩Dk(x, r), Fn ∩Dk(x, r)) =

1rdH(En ∩Dk(x, r), ∅) =∞.

59

Donc dr,U mesure plutôt comment la partie d’un ensemble dans l’ouvert U peut être approximée par un

autre ensemble entier, et réciproquement. Mais on a toujours

(5.10) dr,U (E,F ) ≤ 1rdH(E ∩ U,F ∩ U).

Rappelons maintenant que Ek est une suite d’ensembles comme dans la proposition 4.8, avec

θk >π2 −

1k , et qui converge vers P0 ∩B(0, 1).

Proposition 5.11. Il existe ε0 > 0, tel que si ε < ε0, alors pour tout k assez grand, il existe rk ∈]0, 12 [

et ok ∈ B(0, 12ε) tels que Ek est 2εrk proche de Pk + ok dans Dk(ok, 2rk(1− 12ε)), mais par contre il

n’est εrk proche de Pk + q dans Dk(ok, rk) pour aucun q ∈ R4.

Remarque 5.12. On utilisera d’ailleurs la construction aussi pour les échelles intermédiaires.

Démonstration.

On fixe un ε et un k, et on pose si = 2−i pour i ≥ 0. On note D(x, r) = Dk(x, r), dx,r = dkx,r pour

abréger. Et on procède de la manière suivante.

Etape 1 : Notons q0 = q1 = O (et rappelons que s0 = 1), on a donc dans D(q0, s0) que Ek est εs0

proche de Pk + q1 si k est grand, car Ek → P0, Pk → P0 implique que d0,1(Ek, Pk)→ 0.

Etape 2 : Si dans D(q1, s1) Ek n’est εs1 proche d’aucun Pk + q on s’arrête ; sinon, il existe un

q2 tel que Ek est εs1 proche de Pk + q2 dans D(q1, s1). Ici on demande que ε soit assez petit (disons

ε < 1100 ) pour que q2 ∈ D(q1,

12s1) à cause de la conclusion de l’étape 1. Alors dans D(q1, s1) on a

simultanément :

(5.13) dq1,s1(Ek, Pk + q1) ≤ s−11 dq0,s0(Ek, Pk + q1) ≤ 2ε ; dq1,s1(Ek, Pk + q2) ≤ ε.

Vérifions que ceci implique que dq1, 12 s1(Pk + q1, Pk + q2) ≤ 12ε quand ε est petit, disons ε < 1100 . En

effet pour chaque z ∈ D(q1,12s1) ∩ (Pk + q1) on a d(z, Ek) ≤ dq0,s0(Ek, Pk + q1) ≤ ε. Il existe donc un

y ∈ Ek tel que d(z, y) ≤ ε. Mais puisque z ∈ D(q1,12s1), on a y ∈ D(q1,

12s1 + ε) ⊂ D(q1, s1), et donc

d(y, Pk + q2) ≤ s−11 dq1,s1(Ek, Pk + q2) ≤ 2ε, donc d(z, Pk + q2) ≤ d(z, y) + d(y, Pk + q2) ≤ 3ε.

D’un autre côté, soit z ∈ D(q1,12s1)∩ (Pk + q2), on a alors d(z, Ek) ≤ s−1

1 dq1,s1(Pk + q2, Ek) ≤ 2ε, il

existe donc un y ∈ Ek tel que d(z, y) ≤ 2ε. Mais puisque z ∈ D(q1,12s1), on a donc y ∈ D(q1,

12s1 +2ε) ⊂

D(q0, s0), de sorte que d(y, Pk+q1) ≤ dq0,s0(Ek, Pk+q1) ≤ ε, et donc d(z, Pk+q1) ≤ d(z, y)+d(y, Pk+

q1) ≤ 3ε.

On a donc

(5.14) dq1, 12 s1(Pk + q1, Pk + q2) ≤ (12s1)−1 × 3ε = 12ε,

et par conséquent dq1, 12 s1(q1, q2) ≤ 24ε, et donc d(q1, q2) ≤ 6ε = 12εs1.

60 Rayons critiques

Maintenant on définit notre processus d’itération (notons qu’il dépend de ε, on l’appelle aussi un

ε−processus).

Supposons que les qii≤n sont déjà définis, avec

(5.15) d(qi, qi+1) ≤ 12siε = 12× 2−iε

pour 0 ≤ i ≤ n− 1, et donc

(5.16) d(qi, qj) ≤ 24εsmin(i,j) = 2−min(i,j) × 24ε

pour 0 ≤ i, j ≤ n, et que de plus pour tout i ≤ n− 1, Ek est εsi proche de Pk + qi+1 dans D(qi, si). On

dit que le processus ne s’arrête pas à l’étape n. Alors

Etape n+1 : On regarde alors dans D(qn, sn).

Si Ek n’est ε proche d’aucun Pk + q dans cette boule de rayon sn, on s’arrête et on trouve notre

ok = qn, rk = sn comme désiré. En effet, puique d(qn−1, qn) ≤ 12εsn−1, on a D(qn, 2sn(1 − 12ε)) =

D(qn, sn−1(1− 12ε)) ⊂ D(qn−1, sn−1), et donc

dqn,2sn(1−12ε)(Pk + qn, Ek) ≤ (1− 12ε)−1dqn−1,sn−1(Pk + qn, Ek)

≤ ε

1− 12ε.

(5.17)

De plus

(5.18) d(ok, O) = d(qn, q1) ≤ 2−min(1,n) × 24ε = 12ε.

Sinon, on peut trouver un qn+1 ∈ R4 tel que Ek est encore εsn proche de Pk + qn+1 dans D(qn, sn),

alors puisque ε est petit, qn+1 ∈ D(qn, 12sn). De plus on a comme avant d(qn+1, qn) ≤ 12εsn et pour

i ≤ n− 1,

(5.19) d(qi, qn+1) ≤n∑j=i

d(qj , qj+1) ≤n∑j=i

12× 2−jε ≤ 2−j × 24ε = 2−min(i,n+1) × 24ε.

On obtient donc notre qn+1.

Maintenant il ne reste plus qu’à montrer que ce processus doit s’arrêter à une étape finie pour

chaque ε suffisamment petit. Et pour montrer cela, on va estimer la mesure de notre ensemble Ek. On

a donc besoin du lemme suivant.

Lemme 5.20. Il existe ε0 > 0, tel que pour tout ε < ε0, k assez grand, et pour tout n tel que le

ε−processus ne s’arrête pas avant n (ce qui implique en particulier qu’il existe qn ∈ B(qn−1,12sn−1) tel

que Ek est εsn−1 proche de Pk + qn dans D(qn−1, sn−1)),

(5.21) Ek ∩ (D(0, 1)\D(qn, sn)) = F 1n ∪ F 2

n

où F 1n , F

2n ne se rencontrent pas. De plus

(5.22) P ik ∩ (D(0, 1)\D(qn, sn)) ⊂ pik(F in)

où pik est la projection orthogonale sur P ik, i = 1, 2.

61

On va montrer ce lemme dans le paragraphe suivante. Donc admettons ce lemme pour l’instant.

Puisque H2(Ek) < 2π, il existe nk > 0 tel que

(5.23) infq∈R4

H2(Pk\D(q, snk)) > H2(Ek)

Alors notre processus doit s’arrêter avant ce nk, parce que sinon on aurait, par le lemme précédent,

la décomposition disjointe

(5.24) Ek = [Ek ∩D(qnk , snk)] ] F 1nk] F 2

nk,

et donc

H2(Ek) ≥ H2(F 1nk

) +H2(F 2nk

) ≥ H2[p1k(F 1

nk)] +H2[p2

k(F 2nk

)]

≥ H2(Pk\D(qnk , snk) > H2(Ek),(5.25)

une contradiction. 2

6 Propriétés de projection et régularité de Ek

La prochaine étape, comme on a dit au début de la section précédente, est de donner des propriétés

utiles pour notre estimation, dont la régularité pour la partie plate hors d’une petite boule, et la

surjectivité des projections à l’intérieur de la boule, auxquelles va contribuer cette section. Elle donne

aussi le lemme 5.20.

Proposition 6.1. Il existe ε0 > 0, tel que pour ε < ε0 fixé et k grand, si notre ε−processus ne s’arrête

pas avant l’étape n, alors

(1) Ek ∩ (Dk(0, 3940 )\Dk(qn, 1

10sn)) est composé de deux morceaux disjoints Gi, i = 1, 2, tels que :

(6.2) Gi est le graphe d’une application C1 gi : Dk(0,3940

)\Dk(qn,110sn) ∩ P ik → P ik

⊥

avec

(6.3) ||∇gi||∞ < 1 ;

(2)(lemme 5.20) pour chaque 110sn ≤ t ≤ sn

(6.4) Ek ∩ (Dk(0, 1)\Dk(qn, t)) = G1t ∪G2

t

où G1t , G

2t ne se rencontrent pas. De plus

(6.5) P ik ∩ (Dk(0, 1)\Cik(qn, t)) ⊂ pik(Git)

où pik est la projection orthogonale sur P ik, i = 1, 2 ;


(3) Pour chaque 110sn < t < sn, il existe une suite Fnl (t) = fnl (t)((Pk + qn)∩Dk(qn, sn + 1

l ))l≥1

de déformations de (Pk + qn) ∩Dk(qn, t+ 1l ) dans Dk(qn, t+ 1

l ), avec

(6.6) fnl (t)((Pk + qn) ∩ ∂Cik(qn, t+1l)) ⊂ ∂Cik(qn, t+

1l)

qui tend vers Ek ∩Dk(qn, t) dans Dk(0, 1) ;

(4) les projections orthogonales pik : Ek ∩Dk(qn, t)→ P ik ∩Cik(qn, t), i = 1, 2 sont surjectives, pour

tout 110sn ≤ t ≤ sn.

Démonstration. Pour montrer (1) on va se servir d’un théorème de régularité sur les varifolds. On

utilisera les notations suivantes.

G(n, d) est la variété Grassmann G(Rn, d) ;

Pour chaque T ∈ G(n, d), on note aussi πT la projection orthogonale vers le d-plan representé par

T ;

Pour chaque mesure ν sur Rn, θd(ν, x) = limr→0νB(a,r)α(d)rd

(si la limite existe) est la densité de ν en

x, où α(d) désigne le volume de la d−boule unité ;

Vd(Rn) désigne l’ensemble de tout les d−varifold dans Rn, i.e. toutes les mesure Radon sur

Gd(Rn) = Rn ×G(n, d) ;

Pour chaque V ∈ Vd(Rn), ||V || est la mesure Radon sur Rn telle que pour chaque A ⊂ Rn,

||V ||(A) = V (Gd(Rn) ∩ (x, S) : x ∈ A) ;

δ(V ) désigne la première variation de V , qui est l’application linéaire de X(Rn)→ R, définie par

(6.7) δV (g) =∫Dg(x) · πSdV (x, S)

pour g ∈ X(Rn). Ici X(Rn) est l’espace vectoriel de toutes les application C∞ de Rn → Rn à support

compact.

Dans notre cas, on ne s’intéresse qu’aux varifolds rectifiables. En effet, à chaque ensemble

d−rectifiable E on associe un d−varifold, noté VE , au sens suivant : pour chaque B ⊂ Rn×G(n, d), on

a

(6.8) VE(B) = Hdx : (x, TxE) ∈ B.

Rappelons que TxE est le d plan tangent de E à x, il existe en presque tout point x ∈ E, puisque E

est d−rectifiable. Alors ||VE || = Hd|E . De plus, la densité θd(||VE ||, x) existe pour presque tout x ∈ E.

Théorème 6.9 (c.f.[1] Théorème de régularité au début du paragraphe 8). Soit 2 ≤ d < p < ∞,q = p

p−1 . Alors à chaque ε avec 0 < ε < 1 correspond un η > 0 avec les propriétés suivantes :

Soit 0 < R <∞, 0 < µ <∞, V ∈ Vd(Rn), a ∈ spt||V || tels que

63

1) θd(||V ||, x) ≥ µ pour ||V || presque tout x ∈ B(a,R) ;

2) ||V ||B(a,R) ≤ (1 + η)µα(d)Rd;

3) δV (g) ≤ ηµ1pR

dp−1 (

∫|g|qµ||V ||)

1q pour tout g ∈ X(Rn) and spt g ⊂ B(a,R).

Alors il existe T ∈ G(n, d) et une fonction C1 F : T → Rn, tels que πT F = 1T ,

(6.10) ||DF (y)−DF (z)|| ≤ ε(|y − z|/R)1− dp pour tous y, z ∈ T,

et

(6.11) B(a, (1− ε)R) ∩ spt||V || = B(a, (1− ε)R) ∩ image F.

Remarque 6.12. 1) Dans le théorème, comme πT F = 1T , on voit que F est en effet le graphe de la

fonction C1 f, définie par f(t) = πT⊥F (t), avec t ∈ T , πT⊥ la projection orthogonale vers T⊥, l’espace

orthogonal de T . De plus ||Df(t)|| ≤ ||DF (t)|| pour tout t ∈ T .

2) Si E est un ensemble localement minimal, VE est stationnaire, i.e. δVE = 0. Donc la condition

3) s’établit automatiquement. En effet si on pose gt(x) = (1− t)x+ tg(x), alors

(6.13) δVE(g) =d

dtHd(gt(E ∩ sptg)),

ce qui se voit par le formule de l’aire. Et donc si E est minimal, δVE = 0.

Proposition 6.14. Pour chaque n > d > 0, il existe ε1 = ε1(n, d) > 0 tel que ce qui suit est vrai. Soit

E un ensemble localement minimal de dimension d dans un ouvert U ⊂ Rn, avec U ⊃ B(0, 2) et 0 ∈ E.Alors si E est ε1 proche d’un d−plan P dans B(0, 1), alors E coïncide avec le graphe d’une application

C1 f : P → P⊥ dans B(0, 34 ). De plus ||∇f ||∞ < 1.

Démonstration. On le montrera seulement pour d = 2. La démonstration pour les autre dimensions est

semblable.

D’abord vérifions les condition dans le théorème 6.9, avec a = 0, R = 1, µ = 1, η < 110 , et ε petit, à

choisir plus tard.

1) Puisque E est minimal, pour tout x ∈ E, la densité de E en x est au moins 1, donc 1) est vrai.

2) On sait que E est ε1 proche d’un 2−plan affine P dans B(0, 1), et H2(P ∩B(0, 1)) ≤ α(2) = π,

alors par le lemme 16.43 de [9], on peut choisir ε1 (qui dépend de ε, puisque η dépend de ε) tel que 2)

est vrai. En particulier

(6.15) H2(B(0, 1) ∩ E) ≤ 1110.

3) Vient de la minimalité de E, par remarque 6.12 2), avec n’importe quel p > 2.

Alors quand p est assez grand, par le théorème, il existe un plan T et une fonction F de classe C1

T → R4 tels que dans B(0, 1− ε), E coïncide avec l’image de F , et que

(6.16) ||DF (y)−DF (z)|| ≤ ε(|y − z|/R)1− 2p ≤ (

74

)1− 2p ε ≤ 2ε


pour tous y, z ∈ F−1(E ∩B(0, 1− ε)).

Notons que pour chaque y ∈ F−1(E ∩ B(0, 1 − ε)) ⊂ T , DF (y)(T ) est le plan tangent de E en

F (y). Donc (6.16) veut dire que les plans tangents de E ne varient pas beaucoup dans B(0, 1− ε).

Maintenant notons Q le plan parallèle à P (le plan dans l’énoncé) et passant par l’origine, π le

projecteur de Q, et π′ le projecteur de Q⊥. On affirme que pour chaque y ∈ T tel que F (y) ∈ B(0, 1−ε)et chaque u ∈ TyE = DF (y)(T ),

(6.17) ||π(u)|| ≥ 34||u||.

En effet, si (6.17) n’est pas vrai, alors il existe y ∈ F−1(E ∩ B(0, 1 − ε)) et u ∈ TyE tel que

||π(u)|| < 34 ||u||. Notons t = DF (y)−1(u) ∈ T , alors

(6.18) ||π(DF (y)(t))|| ≤ 34||DF (y)(t)||.

Par (6.16), pour tout z ∈ F−1(E ∩B(0, 1− ε)),

||π(DF (z)(t)|| ≤ ||π (DF (z)−DF (y))(t)||+ ||π DF (y)(t)||

≤ 2ε||t||+ 34||DF (y)(t)||

≤ 2ε||t||+ 34||DF (y)(t)−DF (z)(t)||+ 3

4||DF (z)(t)||

≤ 2ε||t||+ 32ε||t||+ 3

4||DF (z)(t)||

=72ε||t||+ 3

4||DF (z)(t)||.

(6.19)

Mais πT F = 1T entraîne que pour tout t ∈ T,

(6.20) ||DF (z)(t)|| ≥ ||πT DF (z)(t)|| = ||t||,

de sorte que

(6.21) ||π(DF (z)(t)|| ≤ (72ε+

34

)||DF (z)(t)||.

Donc quand ε est suffisamment petit, on a

(6.22) ||π′ DF (z)(t)|| ≥ 12||DF (z)(t)||

pour tout z ∈ F−1(E ∩B(0, 1− ε)).

Notons e1 = π′ DF (0)(t)/||π′ DF (0)(t)|| un vecteur unitaire dans Q. On a donc

(6.23) < e1, DF (0)(t) >>12||DF (0)(t)||.

65

Alors pour tout z ∈ F−1(E ∩B(0, 1− ε)), encore une fois par (6.16) et (6.20),

< e1, DF (z)(t) > =< e1, (DF (z)−DF (0))(t) > + < e1, DF (0)(t) >

≥< e1, DF (0)(t) > −|| < e1, (DF (z)−DF (0))(t) > ||

≥ 12||DF (0)(t)|| − 2ε||t||

≥ 12

[||DF (z)(t)|| − ||(DF (0)−DF (z))(t)||]− 2ε||t||

≥ 12

[||DF (z)(t)|| − 2ε||t||]− 2ε||t|| ≥ 12||DF (z)(t)|| − 3ε||DF (z)(t)||

≥ 13||DF (z)(t)||.

(6.24)

Par conséquent, si on prend z ∈ F−1(E ∩ ∂B(0, 1− ε)), tel que ~z = λt avec λ > 0, on a

< e1, F (z)− F (0) > =< e1,

∫ 1

0

DF (sz)(t)ds >=∫ 1

0

< e1, DF (sz)(t) > ds

≥∫ 1

0

13||DF (sz)(t)||ds =

13

∫ 1

0

||DF (sz)(t)||ds

≥ 13||F (z)− F (0)|| = 1

3||F (z)|| = 1

3(1− ε),

(6.25)

ce qui implique que quand ε1, ε sont suffisamment petits, il n’existe aucune translation Q+ x de Q (y

compris P ) telle que B0,1(Q+ x,E) < ε1. Contradiction.

On a donc (6.17). Autrement dit, Dπ est toujours injective en des points de E ∩B(0, 1− ε). Alorspar le théorème des fonctions implicites, pour tout x ∈ E ∩B(0, 1− ε), il existe rx > 0 et gx : Q→ Q⊥

tels que E coïncide dans π−1[B(π(x), rx)∩Q]∩B(x, 2rx) avec le graphe de gx sur B(π(x), rx). De plus

par (6.17)

(6.26) ||∇gx(x)|| ≤ 1.

On va montrer que

(6.27) π(E ∩B(0, 1− ε)) ⊃ Q ∩B(0,34

).

Rappelons que E est ε1 proche d’un plan P parallèle à Q dans B(0, 1), donc E∩B(0, 1) ⊂ B(P, ε1) et

d(0, P ) ≤ ε1, de sorte que d(Q,P ) ≤ ε1. Donc E∩B(0, 1−ε) ⊂ B(Q, 2ε1), de sorte que E∩∂B(0, 1−ε)) ⊂B(Q, 2ε), et donc

(6.28) pour chaque x ∈ E ∩ ∂B(0, 1− ε)), ||π(x)|| ≥√

(1− ε)2 − (2ε)2 ≥ 34.

Mais par le théorème 6.9, E∩B(0, 1−ε) est un disque topologique, donc par un argument semblable

à celui autour de (3.44), (6.28) donne π(E ∩B(0, 1− ε)) ⊃ B(0, 34 ) ∩Q. On a donc (6.27).

Maintenant soit Γ une composante connexe de F := E∩B(0, 1−ε)∩π−1(B(0, 34 )∩Q). Il est à la fois

ouvert et fermé dans F . Mais on sait queDπ(x) est injective pour tout x ∈ F , donc π est une application


ouverte, de sorte que π(Γ) est ouvert dans B(0, 34 ) ∩Q. D’un autre côté, on affirme que π(Γ) est aussi

fermé dans B(0, 34 ) ∩ Q. En effet, soit xn ⊂ π(Γ) une suite de points qui converge vers un point

x∞ ∈ B(0, 34 )∩Q. Pour chaque n, prenons yn ∈ Γ tel que π(yn) = xn. Alors yn ⊂ Γ, qui est compact,

de sorte qu’elle admet un point d’accumulation y∞ ⊂ Γ. Alors on a π(y∞) = x∞. On veut montrer que

y∞ ∈ Γ, on regarde donc Γ\Γ. Alors puisque Γ est fermé dans F = E ∩B(0, 1− ε)∩ π−1(B(0, 34 )∩Q),

donc

Γ\Γ ⊂ E ∩ ∂[B(0, 1− ε) ∩ π−1(B(0,34

) ∩Q)]

= [∂B(0, 1− ε) ∩ π−1(B(0,34

) ∩Q)] ∪ [∂(π−1(B(0,34

) ∩Q)) ∩B(0, 1− ε)].(6.29)

On sait que la distance d(∂B(0, 1 − ε) ∩ π−1(B(0, 34 ) ∩ Q), Q) >

√(1− ε)2 − ( 3

4 )2 >√

716 − 2ε, et

d(P,Q) ≤ d(0, P ) < ε1, puisque 0 ∈ Q et 0 ∈ E. Par conséquent,

(6.30) d(∂B(0, 1− ε) ∩ π−1(B(0,34

) ∩Q), P ) >

√716− 2ε− ε1 > ε1

quand ε et ε1 sont tous les deux petits. Alors l’hypothèse dit que pour chaque y ∈ E∩B(0, 1), d(y, P ) <

ε1, de sorte que [E ∩ B(0, 1)] ∩ ∂B(0, 1 − ε) ∩ π−1(B(0, 34 ) ∩Q) = ∅. Par conséquent, Γ ⊂ E ∩ B(0, 1)

ne s’intersecte pas avec ∂B(0, 1− ε) ∩ π−1(B(0, 34 ) ∩Q). Donc en combinant avec (6.29),

(6.31) Γ\Γ ⊂ ∂(π−1(B(0,34

) ∩Q)) ∩B(0, 1− ε).

Mais par hypothèse, π(y∞) = x∞ ∈ B(0, 34 )∩Q, donc y∞ 6∈ ∂(π−1(B(0, 3

4 )∩Q)). Donc, y∞ 6∈ Γ\Γ.Donc y∞ ∈ Γ, de sorte que x∞ ∈ π(Γ).

Donc π(Γ) est aussi fermé dans B(0, 34 ) ∩Q. Et par conséquent, π(Γ) = B(0, 3

4 ) ∩Q.

On affirme que

(6.32) π : Γ→ B(0,34

) ∩Q est un revêtement sur Q ∩B(0,34

).

En effet, puisque E est compact, l’application continue π : E → Q est propre, de sorte que pour

chaque x ∈ Q ∩ B(0, 34 ), π−1(x) ∩ Γ est un ensemble fini. Notons cet ensemble y1, · · · , yN. Alors

par la conclusion avant (6.26), pour chaque 1 ≤ j ≤ N , il existe rj > 0 tel que Γ coïncide dans

π−1[B(x, rj) ∩ Q] ∩ B(yj , 2rj) avec le graphe d’une fonction gj : Q → Q⊥ sur B(x, rj) ∩ Q. Notons

r = minj rj , alors π−1[B(x, r) ∩ Q] contient l’union finie disjointes des gj(B(x, r) ∩ Q). D’autre part,

pour chaque y ∈ π−1(B(x, r) ∩ Q), prenons γ une composante connexe de π−1(B(x, r) ∩ Q) telle que

y ∈ γ, alors par le même argument que celui pour Γ sur B(0, 34 ) ∩ Q ci-dessus, π(γ) ⊃ B(x, r) ∩ Q,

en particulier, il existe 1 ≤ j ≤ N tel que yj ∈ γ. Mais dans ce cas on a γ = gj(B(x, r) ∩ Q), de

sorte que y ∈ gj(B(x, r) ∩ Q). Par conséquent, π−1[B(x, r) ∩ Q] est juste l’union finie disjointes des

gj(B(x, r) ∩Q), dont sur chacun π est un homéomorphisme de B(x, r), d’où (6.32).

Mais Q∩B(0, 34 ) est simplement connexe, Γ est son revêtement connexe par π, donc π est forcément

un homémorphisme. Alors par la conclusion autour de (6.26), Γ est le graphe d’une fonction C1 de

Q→ Q⊥ dont le gradient est de norme inférieure à 1.

67

Maintenant soit Γ1, · · · ,Γn, · · · les composantes connexes de E. Alors s’il existe plus d’un Γi, on a

(6.33) H2(E ∩B(0, 1) > H2(E ∩B(0, 1− ε) ∩ π−1(B(0,34

) ∩Q)) ≥ 2× 916π =

98π,

ce qui contredit (6.15).

Donc E ∩ B(0, 1 − ε) ∩ π−1(B(0, 34 ) ∩ Q) est un revêtement simple de Q ∩ B(0, 3

4 ). En combinant

avec (6.27), π−1 : B(0, 34 ) ∩ Q → E ∩ B(0, 1 − ε) ∩ π−1(B(0, 3

4 )) est une fonction de classe C1, qui

coïncide avec gx autour de π(x) pour chaque x ∈ E ∩B(0, 1− ε) ∩ π−1(B(0, 34 )), et donc ||∇g||∞ < 1.

Maintenant posons f = g π : P ∩ π−1(B(0, 34 ) → E ∩ B(0, 1 − ε) ∩ π−1(B(0, 3

4 )), notons que P est

parallèle à Q, nous arrivons ainsi à la conclusion désirée. 2

Remarque 6.34. Pour d = 2, n = 4, on peut obtenir le même resultat par le théorème 1.15 de [10],

sans discuter de choses compliquées comme les varifolds, etc. Mais comme on va généraliser plus tard

(dans le paragraphe 9,etc.) le résultat aux dimensions plus grandes, il est peut être mieux d’utiliser la

démonstration ci-dessus, pour gagner de l’espace.

Corollaire 6.35. Il existe ε1 > 0 tel que si k est assez grand, E est un ensemble localement minimal

dans un domaine U ⊂ R4, Dk(0, 1) ⊂ U , et E est ε1 proche d’un plan P dans Dk(0, 1), alors E coïncide

avec le graphe d’une application C1 f : P → P⊥ dans Dk(0, 12 ). De plus ||∇f ||∞ < 1.

Démonstration. Quand k est assez grand, on a Dk(0, 12 ) ⊂ B(0, 3

4 ) ⊂ B(0, 1) ⊂ Dk(0, 1). Alors si E est

ε1 proche d’un plan P dans Dk(0, 1), ce qui entraîne qu’il est ε1 proche de P dans B(0, 1), il est donc

dans B(0, 34 ) le graphe d’une fonction de classe C1 f : P → P⊥, avec ||f ||∞ < 1. Donc dans Dk(0, 1

2 )

aussi.

2

Maintenant pour k assez grand fixé, notons encore D(x, r) = Dk(x, r), Ci(x, r) = Cik(x, r) pour

i = 1, 2, et dx,r = dkx,r.

On va obtenir (1) grace au corollaire 6.35.

Pour k grand, Pk est très proche de P0, il existe donc un 0 < ε3 < 1100 (qui ne dépend pas de

k pour k assez grand), tel que pour tout ε < ε3, si x ∈ R4 et E est n’importe quel ensemble tel que

dx,r(E,Pk + q) < ε avec q ∈ R4 et d(x, q) < 20εr, alors dans D(x, r)\D(q, 1100r), E est l’union disjointes

de deux morceaux E1, E2, tels que dans D(x, r) moins un petit trou, E1 est proche de P 1k + q , mais

loin de P 2k + q, et de même pour E2. Plus précisément,

(6.36) Ei ⊂ B((P ik + q) ∩D(x, r)\D(q,1

100r), εr)

et

(6.37)d(B(P 1

k ∩D(x, r)\D(q, 1100r), εr), B(P 2

k ∩D(x, r), εr)) > 180r ;

d(B(P 2k ∩D(x, r)\D(q, 1

100r), εr), B(P 1k ∩D(x, r), εr)) > 1

80r.


En particulier,

(6.38) d(E1, E2) ≥ 180r.

Maintenant, prenons ε0 = min 12ε3,

140ε1, 10−5, alors pour chaque ε < ε0, si notre ε-processus ne

s’arrête pas à l’étape n, Ek est εsn−1 proche de Pk + qn dans D(qn−1, sn−1). Notons pour l’instant

q = qn, x = qn−1, r = sn−1. Alors, puisque ε < ε3,

(6.39) Ek ∩D(x, r)\D(q,1

100r) est l’union disjointe de E1, E2 tel que (6.36)-(6.38) sont vrais.

Pour chaque y ∈ E1 ∩D(x, r − 140r)\D(q, 1

20r) = E1 ∩D(qn−1,3940sn−1)\D(qn, 1

10sn),

(6.40) dy, 140 r

(Ek, Pk + q) < 40ε < ε1,

où par définition,

(6.41)dy, 1

40 r(Ek, Pk + q) = 1

140 r

maxsup d (z, Pk + q) : z ∈ Ek ∩D(y, 140r),

supd(z, Ek) : z ∈ Pk + q ∩D(y, 140r).

Pour le second terme,

(6.42) supd(z, Ek) : z ∈ (Pk + q) ∩D(y,140r) ≥ supd(z, Ek) : z ∈ (P 1

k + q) ∩D(y,140r)

puisque P 1k ⊂ Pk ; pour le premier, notons d’abord que

(6.43)supd(z, Pk + q) : z ∈ Ek ∩D(y, 1

40r)= supd(z, (Pk + q) ∩D(y, 1

40r + εr)) : z ∈ Ek ∩D(y, 140r)

puisqu’on sait déjà que dy, 140 r

(Ek, Pk + q) < 40ε, qui implique pour chaque z ∈ Ek ∩D(y, 140r), il existe

un w ∈ Pk + q tel que d(z, w) < εr. Notons W = w ∈ Pk + q, d(z, w) < εr. Alors

(6.44) d(z, Pk + q) = d(z,W ).

Maintenant pour tout w ∈W ,

(6.45)

w ∈ (Pk + q) ∩D(y, 140r + εr) ⊂ (Pk + q) ∩D(y, 1

40r + 1100r)

⊂ (Pk + q) ∩D(x, r)\D(q, 1100r)

= [(P 1k + q) ∩D(x, r)\D(q, 1

100r)] ∪ (P 2k + q) ∩D(x, r)\D(q, 1

100r).

Alors w doit appartenir à (P 1k + q) ∩D(x, r)\D(q, 1

100r), parce que sinon

(6.46) z ∈ B(w, εr) ∩ Ek ⊂ B((P 2k + q) ∩D(x, r)\D(q,

1100

r), εr) ∩ Ek = E2

à cause de (6.36) et (6.37), ce qui contredit le fait que z ∈ E1. Donc

(6.47) d(z, Pk + q) = d(z,W ) ≥ d(z, P 1k + q) pour z ∈ Ek ∩D(y,

140r),

69

de sorte que

(6.48) supd(z, Pk + q) : z ∈ Ek ∩D(y,140r) ≥ supd(z, P 1

k + q) : z ∈ Ek ∩D(y,140r).

En sommant (6.42) et (6.48) on obtient

(6.49) dy, 140 r

(E1, P 1k + q) ≤ dy, 1

40 r(E1, Pk + q) < 40ε < ε1.

Maintenant P 1k + q est un plan, et on peut se servir du corollaire 6.35 ; on obtient que

(6.50)pour chaque y ∈ E1 ∩D(x, 39

40r)\D(q, 120r), dans D(y, 1

80r),

Ek est le graphe d’une application C1 fy : P 1k → P 1

k⊥ avec ||∇fy|| < 1.

Mais Ek ∩ D(y, 180r) = E1 ∩ D(y, 1

80r), ce qui veut dire qu’autour de chaque point y ∈ E1 ∩D(x, 39

40r)\D(q, 120r), E

1 est localement un graphe C1 sur P 1k .

Vérifions que dans D(x, 3940r)\D(q, 1

20r), E1 coïncide avec le graphe d’une fonction de classe C1

sur P 1k tout entier, avec la norme du gradient inférieure à 1. Or on a déjà notre petit graphe local

près de chaque point, avec petit gradient. Il nous reste donc à montrer que la projection p1k : E1 →

P 1k ∩ C1(x, 39

40r)\C1(q, 1

20r) est bijective sur E1 ∩D(x, 3940r)\D(q, 1

20r).

Surjectivité : Posons A = p1k(E1)∩C1(x, 39

40r)\C1(q, 1

20r). Alors A est non vide. On va montrer que

A = P 1k ∩ C1(x, 39

40r)\C1(q, 1

20r).

D’abord A est fermé dans P 1k ∩ C1(x, 39

40r)\C1(q, 1

20r), puisque E1 est compact dans

D(x, 3940r)\D(q, 1

20r).

Mais A est aussi ouvert, parce que si z ∈ A alors il existe y ∈ E1 ∩ D(x, 3940r)\D(q, 1

20r) tel que

p1k(y) = z. Alors par (6.50), on sait que B(z, 1

80r) ∩ P1k ⊂ A. Donc A est ouvert.

Maintenant on sait que P 1k ∩ C1(x, 39

40r)\C1(q, 1

20r) est connexe, donc A = P 1k ∩

C1(x, 3940r)\C

1(q, 120r), ce qui donne la surjectivité.

Injectivité : Supposons que non. Alors il existe y1, y2 ∈ E1 ∩D(x, 3940r)\D(q, 1

20r) tel que p1k(y1) =

p1k(y2). Alors

(6.51) y1 − y2 ∈ P 1k⊥.

On sait que dans D(y1,180r), E

1 est un graphe, donc y2 6∈ D(y1,180r). Autrement dit, |y1 − y2| > 1

80r.

Donc il existe au moins un point parmi y1, y2 dont la distance à P 1k + q est plus grande que 1

160r > εr.

C’est une contradiction avec (6.48) et le fait que d(z, Pk + q) ≤ rdx,r(Ek, Pk + q) < εr.

Donc pik(q) est injective. On note f1 la fonction définie sur P 1k ∩ C1(x, 39r

40 + r80 )\C1(q, r20 −

r80 )

et qui coïncide avec fy sur chaque B(p1k(y), 1

80r) ∩ P1k ; alors dans E

1 ∩D(x, 3940r)\D(q, 1

20r), E1 est le

graphe de f1 avec ||∇f1||∞ < 1.

Par un argument semblable on obtient aussi que E2 ∩ D(x, 3940r)\D(q, 1

20r) est le graphe d’une

application f2 de classe C1, qui va de P 2k ∩C2(x, 39

40r)\C2(q, 1

20r) dans P 2k⊥. Rappelons que D(x, r) =


D(qn−1, sn−1), et en remplacant Ei par Ei(n), f i par f i(n), et on peut obtenir notre graphe Ei(n) =

f i(n)(P iki ∩ Ci(qn−1,3940sn−1)\Ci(qn, 1

10sn) à condition que notre ε processus ne s’arrête pas à l’étape

n. Mais s’il ne s’arrête pas à n, bien sûr il ne s’arrête pas à toutes les étapes précédentes. On a donc

pour tout j ≤ n, les décompositions

(6.52) Ek ∩D(qj−1,3940sj−1)\D(qj ,

110sj) = E1(j) ∪ E2(j),

union disjointe, et

(6.53) Ei(j) est le graphe de gi(j) sur P ik ∩ Ci(qj−1,3940sj−1)\Ci(qj ,

110sj).

On peut vérifier facilement que si j, l sont tels que x ∈ P ik ∩ [Ci(qj−1,3940sj−1)\Ci(qj , 1

10sj)] ∩[Ci(ql−1,

3940sl−1)\Ci(ql, 1

10sl)] alors gi(j)(x) = gi(l)(x) ∈ Ei(j) ∩ Ei(l). On pose donc

gi : P ik ∩D(0,3940

)\D(pik(qn),110sn)→ P ik

⊥;

gi(x) = gi(j)(x) sur P ik ∩D(pik(qj−1),3940sj−1)\D(pik(qj),

110sj), 1 ≤ j ≤ n ;

(6.54)

alors ||∇gi||∞ < 1, et son graphe est Gi = [∪nj=0Ei(j)] ∩D(0, 39

40 )\D(qn, 110sn).

Il nous reste à montrer que G1, G2 sont disjoints. C’est équivalent à dire que pour 0 ≤ j, l ≤ n,

E1(j)∩E2(l) = ∅. On le sait pour j = l, donc supposons que j < l. Alors pour les points x ∈ E1(j) il y a 2

cas : soit x ∈ D(ql−1,3940sl−1)\D(ql, 1

10sl), soit non. Dans le 2ème cas, x 6∈ E2(l) automatiquement parce

que E2(l) ⊂ D(ql−1,3940sl−1)\D(ql, 1

10sl) ; dans le premier cas, x ∈ Ek ∩D(ql−1,3940sl−1)\D(ql, 1

10sl) =

E1(l) ∪ E2(l). Mais dans ce cas, D(ql−1, sl−1)\D(qj−1,110sj−1) 6= ∅ implique que l − j ≤ 4.

Mais x ∈ E1(j) implique que d(x, P 2k + qj) > 1

80sj−1 à cause de (6.37). On en déduit que

(6.55) d(x, P 2k + ql) >

180sj−1 − d(qj , ql).

Mais d’après (5.16) on a d(qj , ql) ≤ 24ε× 2−min(l,j) = 24ε0 × 2−j ≤ 48105 sj−1, et donc

(6.56) d(x, P 2k + ql) >

3400

sj−1 ≥ 24 3400

sl−1 > εsl−1,

donc x 6∈ E2(l), à cause de (6.36).

On obtient donc que pour tout 0 ≤ j, l ≤ n, E1(j)∩E2(l) = ∅, d’où G1∩G2 = ∅. On a donc montré

(1).

Pour montrer (2), puisque Ek est ε proche de Pk dansD(0, 1), on note que Ek∩D(0, 1)\D(0, 1100 ) est

l’union disjointe de 2 morceaux E1, E2 avec (6.36)-(6.38). Par (1), on a que dans D(0, 3940 )\D(qn, 1

10sn)

Ek est composé de deux graphes disjoints G1, G2 sur P 1k ∩ C1(0, 39

40 )\C1(qn, 110sn) et P 2

k ∩C2(0, 39

40 )\C2(qn, 110sn) respectivement. Alors pour 1

10sn < t < sn, Git = Ei ∪ Gi\D(qn, t), donc (6.4)

est vrai. De plus, puisque les Gi sont des graphes, on a

(6.57) pik(Gi\D(qn, t)) ⊃ P ik ∩D(0,3940

)\Cik(qn, t),

71

donc (6.5) est aussi vrai si on remplace D(0, 1) par D(0, 3940 ), puisque Gi\D(qn, t) ⊂ Git.

Il ne nous reste donc qu’à montrer que

(6.58) P ik ∩D(0, 1)\D(0,3940

) ⊂ pik(Git)

Montrons-le par exemple pour i = 1. On sait que Ek est ε proche de Pk dans D(0, 1). Alors par

(6.36),

(6.59) E2 ⊂ B(P 2k ∩D(0, 1)\D(0,

1100

), ε) ⊂ B(P 2k ,

1100

)

Mais quand k est grand, on a p1k(P 2

k ∩D(0, 1)) ⊂ P 1k ∩D(0, 1

5 ), et par conséquent

(6.60) p1k(E2) ⊂ P 1

k ∩D(0,14

).

D’un autre côté, on sait que

(6.61) p1k(Ek ∩D(0,

1100

)) ⊂ P 1k ∩D(0,

1100

)

donc on a

(6.62) p1k(Ek\E1) = p1

k[E2 ∪ (Ek ∩D(0,1

100))] ⊂ D(0,

14

) ∩ P 1k .

Mais d’après la proposition 4.8, p1k(Ek) ⊃ P 1

k ∩D(0, 1), on obtient donc

(6.63) p1k(E1) ⊃ P 1

k ∩D(0, 1)\D(0,14

).

Et par conséquent

(6.64)p1k(G1

t ) = p1k(G1\D(qn, t)) ∪ p1

k(E1)

⊃ [P 1k ∩D(0, 39

40 )\D(qn, t)] ∪ [P 1k ∩D(0, 1)\D(0, 1

4 )] = p1k ∩D(0, 1)\D(qn, t),

d’où on déduit (6.5) pour i = 1. La démonstration pour i = 2 est semblable.

Traitons maintenant (3) et (4). Ici on donne une petite remarque. En fait ce dont on a besoin est

le 4), i.e. la surjectivité des projections, pour estimer la mesure de Ek a l’endroit où on ne connait pas

très bien la structure. Notons que par la démonstration du théorème 4.1, on sait que Ek est la limite

d’une suite Hl de déformation de Pk dans U = R4\[Pk\B(0, 1)]. Et donc dans D les projections pikde Ek sont automatiquement surjectives sur D(0, 1)∩P ik. Mais quand on regarde dans D(0, 1

2 ), puisque

Ek est assez proche de Pk, la partie de Ek\D(0, 12 ) qui est proche de P 1

k n’a pas de projection dans

D(0, 12 )∩P 1

k , et la partie de Ek\D(0, 12 ) qui est proche de P 2

k a une tout petite projection sur P 1k qui est

très proche de l’origine, donc on peut dire que hors d’une petite boule, disons D(0, 1100 ), la projection

p1k de Ek ∩ D(0, 1

2 ) à P 1k est surjective sur P 1

k ∩ D(0, 12 )\D(0, 1

100 ). Par contre dans D(0, 1100 ), on ne

peut pas dire directement que la projection de Ek vient de Ek ∩D(0, 12 ). (voir le dessin ci-dessous pour

une idée.)


Alors l’idée est encore de montrer que Ek ∩ D(0, 12 ) est la limite d’une suite de déformation de

Pk ∩ D(0, 12 ). Autrement dit, on peut contracter la partie hors de D(0, 1

2 ) dans D(0, 12 ). Cette partie

est très plate et régulière, donc du coup elle ne change pas grand-chose sur la structure de Ek dans

D(0, 12 ). Donc encore une fois si Ek est lui-même une déformation de Pk qui est très près de Pk, on

peut bien faire contracter la partie Ek\D(0, 12 ) vers Ek ∩ ∂D(0, 1

2 ), a peu près comme on contracte un

anneaux sur le cercle interieur, parce que Ek\D(0, 12 ) est carrément composé de deux graphes de classe

C1 sur P ik\D(0, 12 ), par (6.2). Alors l’étape prochain peut se continuer pareillement si dans D(0, 1

2 ) Ek

est encore proche d’une translation de Pk. On peut donc arriver jusqu’à l’échelle où le ε−processuss’arrête. Donc on peut dire que Ek ∩ D(qn, t) est une déformation de Pk aussi, parce qu’il est une

déformation de Ek.

Mais maintenant Ek n’est pas forcément une déformation de Pk. On va donc utiliser le fait que

Ek est la limite d’une suite de déformations Hl, et on voudrais appliquer l’argument ci-dessus pour

montrer que Hl ∩ D(0, 12 ) est une déformation de Pk ∩ D(0, 1

2 ). Mais cette fois les Hl ne sont pas

minimaux, et donc on ne peut pas appliquer (6.2) pour dire que Hl ∩ ∂D(0, 12 ) est une courbe très

régulière, et donc ce n’est pas assez facile de contracter directement Hl sur Hl ∩ ∂D(0, 12 ). Alors ce

qu’on va faire et juste de projeter Hl sur D(0, 12 ), dont le projecteur est noté π. Alors les points de

Hl\D(0, 12 ) sont projetés sur ∂D(0, 1

2 ), mais leur image ne sont plus Hl∩∂D(0, 12 ). Alors pour continuer

à contracter π(Hl)\D(q2,14 ) dans D(q2,

14 ), on utilisera le fait que π(Hl)\D(q2,

14 ) peut être déomposé

en deux parties qui sont proches des P ik + q2. Pour garantir cela, par l’argument avant (6.36), il faut

que π(Hl) soit 12ε proche de Pk + q2. Alors pour la partie dans D(0, 1

2 ) il n’y a pas de soucis, parce que

le ε−processus ne s’arrête pas là. Pour la partie sur le bord ∂D(0, 12 ), ce n’est plus garanti parce que

une partie de π(Hl) ∩ ∂D(0, 12 ) vient de Hl\D(0, 1

2 ). Mais heureusement on peut se débrouiller pour

contracter d’abord la partie sur le bord de manière qu’elle soit plus proche de Pk + q2, sans bouger

73

l’intérieur. Donc comme ça on se complique un peu la vie pour contracter Hl dans D(qn, t), mais on y

arrive comme même.

Après, on peut montrer la surjectivité des projections de Ek ∩D(qn, t), puisqu’il est la limite d’une

suite de déformations.

Maintenant on va réaliser l’idée en détail. Donc fixons 110sn ≤ t ≤ sn.

Soit l grand, tel que dans chaque D(qj−1, sj−1), Hl est 2εsj−1 proche de Pk + qj , pour tout

j ≤ n. Par définition de ε0 on a 2ε < 2ε0 < ε3, donc on déduit de (6.36) et (6.37) que dans

D(qj−1, sj−1)\D(qj , 1100sj−1), Hl est l’union disjointe de deux morceau H1

l , H2l avec

(6.65) Hil ⊂ B(P ik + qj ∩D(qj−1, sj−1)\D(qj ,

1100

sj−1), 2εr).

On va construire notre déformation Fnl par récurrence sur j < n.

D’abord pour j = 1, on définit π1 : Hl → D(q1, s1), la projection de plus courte distance de R4 sur

D(q1, s1). Notons que bien que Hl∩D(q1, s1) est 2εs1 proche de P 1k +q2 dans D(q1, s1), π1(Hl\D(q1, s1))

n’est pas forcément 2εs1 proche de P 1k + q2 dans D(q1, s1), donc on va le modifier un peu pour pouvoir

continuer à le couper en deux morceaux qui satisfont à des conditions semblables à (6.36)-(6.38).

Par (6.37), dans D(0, 1)\D(q1, s1) Hl est l’union de 2 morceau disjoints H1l , H

2l où Hi

l est très

proche de P ik, donc on a

(6.66) π1(Hil ) ∩D(0, 1)\D(q1, s1)) ⊂ ∂Ci(q1, s1) ∩B(P ik, 2ε).

donc l’image de chaque Hil hors D(q1, s1) se trouve sur le bord du cylindre Ci(q1, s1), et est contenue

dans un très petit voisinage du plan P ik, donc est contenu dans une bande mince de dimension 3 autour

de P ik ∩∂Ci(q1, s1), et en particulier est loin du bord ∂Cj(q1, s1) pour i 6= j. Notons que l’on peut donc

définir g1 sur π1(Hl) par

(6.67) g1(x) =

x ; x ∈ D(q1, s1) ;

gi1(x) ; x ∈ ∂Ci(q1, s1).

où gi1 est la projection orthogonale sur B(P ik+q2, 2εs1). Notons que pour tout point x ∈ Hl∩D(q1, s1) ⊂π1(Hl), ni π1 ni gi1 ne le bouge, puisque dans D(q1, s1) Hl est 2εs1 proche de P 1

k + q2. Donc l’action

de gi1 est juste d’applatir des points sur le bord ∂Cik(q1, s1) dans un 2s1ε voisinage de P ik sans partir

du bord. Observons que g1 est 2-Lipschitzienne (localement 1-Lipschitzienne). En effet, pour deux

points x, y ∈ D(q1, s1), g1 est identité, donc |g1(x) − g1(y)| = |x − y| ; pour x, y ∈ ∂D(q1, s1), si x, y

appartiennent au même ∂Ci(q1, s1), g1 est juste une projection orthogonale, donc |g1(x) − g1(y)| ≤|x − y| ; si x ∈ ∂C1(q1, s1), y ∈ ∂C2(q1, s1), alors |x − y| > 2ε, et par définition de g1, |g1(x) − x| et|g1(y)− y| sont inférieurs à εs1 = 1

2ε, de sorte que |g1(x)− g1(y)| ≤ |g1(x)− x|+ |x− y|+ |g1(y)− y| ≤ε+ |x− y| ≤ 1

2 |x− y|+ |x− y| ≤ 2|x− y|.

Donc si on pose h1 = g1 π1, alors h1 est 2-Lipschitzienne, et de plus h1(Hl) ⊂ D(q1, s1) est 2εs1

proche de Pk.


Maintenant on a notre h1 dans D(0, 1) = D(q0, s0), qui déforme Hl dans D(q1, s1) et garde l’image ε

proche de Pk+q2. Mais h1 est 2-Lipschitizienne et définie sur un compact Hl, donc on peut la prolonger

sur R4 entier, en une fonction notée h1, et qui est encore 2-Lipschitizienne.

Maintenant supposons que pour j, on a construit une déformation 2-Lipschitzienne hj qui déforme

Hl dans D(qj , sj) et que son image est 2εsj proche de Pk + qj+1 dans D(qj , sj). Si j < n− 1, alors on

peut définir πj+1 la projection sur D(qj+1, sj+1), et puis on projeter les point du bord de Ci(qj+1, sj+1)

vers le 2εsj+1 voisinage de P ik + qj+2. On peut le définir sans ambiguïté car hj(Hl) est 2εsj proche de

Pk + qj+1, de sorte que hj(Hl)\D(qj+1, sj+1) se décompose en 2 parties “plates” ((6.36)-(6.38)).

On note cette projection gj+1, et on pose hj+1 = gj+1 πj+1 hj . Celle ci est une déformation

2-Lipschitzienne qui déforme Hl dans D(qj+1, sj+1) et son image est εsj+1 proche de Pk + qj+2 dans

D(qj+1, sj+1). Et on obtient ainsi notre hj+1.

Donc par récurrence, on peut le faire jusqu’à hn−1.

On construit pour chaque l, une déformation hn(l) maintenant. On note pn(l) la projection de plus

courte distance surD(qn, t+ 1l ), et pour x ∈ C

i(qn, t+ 1

l )\Ci(qn, t), on pose gin(l)(x) = (id, gi)pikpn(l),

où gi est comme dans (6.2). Et on définit la déformation hn(l) de Pk ∩ D(0, 1) comme ceci. Pour

x ∈ Pk ∩D(0, 1) :

(6.68) hn(l)(x) =

hn−1(x), hn−1(x) ∈ D(qn, t) ;

sgin(l) hn−1(x) + (1− s)hn−1(x), hn−1(x) ∈ ∂Ci(qn, t+ 1l s).

Alors on voit que hn(l)(Pk)∩D(qn, t) = Hl∩D(qn, t), et hn(l)(Pk)∩∂D(qn, t+ 1l ) = Ek∩∂D(qn, t+

1l ). Et entre D(qn, t) et ∂D(qn, t + 1

l ) l’image de hn(l) est l’image d’une homotopie entre Hl et Ek.

Alors puisque Hl tend vers Ek, on a que Fnl (t) = hn(l)(Pk) tend vers Ek ∩ (qn, t) quand l tend vers

l’infini.

On note al(t) la déformation affine qui envoie Pk ∩B(0, 1) à (Pk + qn) ∩D(qn, t+ 1l ), et on pose

(6.69) fnl (t) = hn(l) al(t).

Alors Fnl (t) = fnl (t)((Pk + qn) ∩D(qn, t+ 1l )) satisfait à toutes les condition dans (3).

(4) est une conséquence directe de (3). En effet on sait que Fnl (t) est une déformation de (Pk +

qn) ∩D(qn, t+ 1l ) qui envoie ∂Ci(qn, t) dans ∂Ci(qn, t), donc

(6.70) pik(Fnl (t)) ⊃ P ik ∩ Cik(qn, t+1l).

Alors puisque Ek∩D(qn, t) est la limite de Fnl (t), les projections pik sont surjectives de Ek∩D(qn, t)

sur P ik ∩ Cik(qn, t). 2

75

7 Argument d’extension harmonique

Dans cette section on va faire quelques estimations fontamentales pour la mesure du graphe d’une

fonction C1 sur un anneau presque concentrique. Mais on peut facilement sauter cette section, en

admettant ses estimations, et continuer la démonstration du théorème 1.32 dans la section suivante.

Proposition 7.1. Soit 0 < r0 <12 et u0 ∈ C1(∂B(0, r0) ∩ R2,R). On note m(u0) = 1

2πr0

∫∂B(0,r0)

u0

sa moyenne.

Alors pour toute u ∈ C1((B(0, 1)\B(0, r0)) ∩ R2,R) qui satisfait à

(7.2) u|∂B(0,r0) = u0

on a

(7.3)∫B(0,1)\B(0,r0)

|∇u|2 ≥ 14r−10

∫∂B(0,r0)

|u0 −m(u0)|2.

Démonstration.

Supposons que u est une fonction C1 comme dans l’énoncé de la proposition. Alors on définit

u ∈ C((B(0, 1r0

)\B(0, r0)) ∩ R2,R) qui est aussi C1 sauf sur ∂B(0, 1), par

(7.4) u(x) =

u(x), x ∈ B(0, 1)\B(0, r0) ;

u( x|x|2 ), x ∈ B(0, 1

r0)\B(0, 1).

Alors dans B(0, 1r0

)\B(0, 1),

|∇u(r, θ)|2 = |∂u∂r

(r, θ)|2 + |1r

∂u

∂θ(r, θ)|2 = | ∂

∂ru(

1r, θ)|2 + |1

r

∂

∂θu(

1r, θ)|2

= | − 1r2

∂u

∂r(1r, θ)|2 + |1

r

∂u

∂θ(1r, θ)|2.

(7.5)

On pose s = 1r , alors

|∇u(r, θ)|2 = s4|∂u∂r

(s, θ)|2 + s4|1s

∂u

∂θ(s, θ)|2

= s4|∇u(s, θ)|2 =1r4|∇u(

1r, θ)|2,

(7.6)

et donc ∫B(0, 1

r0)\B(0,1)

|∇u|2 =∫ 1

r0

1

rdr

∫ 2π

0

dθ|∇u(r, θ)|2

=∫ 1

r0

1

rdr

∫ 2π

0

dθ1r4|∇u(

1r, θ)|2

=∫ r0

1

ds

∫ 2π

0

dθ(−s)|∇u(s, θ)|2

=∫ 1

r0

sds

∫ 2π

0

dθ|∇u(s, θ)|2

=∫B(0,1)\B(0,r0)

|∇u|2.

(7.7)


On a donc

(7.8)∫B(0, 1

r0)\B(0,r0)

|∇u|2 = 2∫B(0,1)\B(0,r0)

|∇u|2.

Puisque u satisfait à la condition au bord

(7.9) u(x)|∂B(0,r0) = u0(x), u(x)|∂B(0, 1r0

) = u0(x

|x|2),

son énergie de Dirichlet∫B(0, 1

r0)\B(0,r0)

|∇u|2 est plus grande que celle de la fonction harmonique v avec

la même condition au bord. On va donc calculer∫B(0, 1

r0)\B(0,r0)

|∇v|2.

Ecrivons

(7.10) u(r0, θ) = u0(θ) = m(u0) +∞∑n=1

(An cosnθ +Bn sinnθ),

et posons

v : B(0,1r0

)\B(0, r0)→ R,

v(r, θ) = m(u0) +∞∑n=1

an(rn + r−n) cosnθ +∞∑n=1

bn(rn + r−n) sinnθ.(7.11)

Alors v est harmonique.

La condition au bord

(7.12) v(x)|∂B(0,r0) = u0(x), v(x)|∂B(0, 1r0

) = u0(x

|x|2)

veut dire que

(7.13) an(rn0 + r−n0 ) = An, bn(rn0 + r−n0 ) = Bn.

Pour estimer ∇v on écrit

v(r, θ) = m(u0) +∞∑1

an(rn + r−n) cosnθ +∞∑1

bn(rn + r−n) sinnθ

= m(u0) +∞∑1

rn + r−n

rn0 + r−n0

(An cosnθ +Bn sinnθ)

=: m(u0) +∞∑1

vn(r, θ).

(7.14)

Vérifions qu’on peut différencier v terme à terme.

Pour r0 < r < 1r0

fixé, on a

(7.15)∂vn∂θ

=rn + r−n

rn0 − r−n0

(−nAn sinnθ + nBn cosnθ)

77

et

(7.16)rn + r−n

rn0 + r−n0

=rn

rn0 + r−n0

+r−n

rn0 + r−n0

≤ rn

r−n0

+r−n

r−n0

= (rr0)n + (r0

r)n.

Puisque des suites Ann≥1, Bnn≥1 sont bornées,

(7.17)∑n

|∂vn∂θ| ≤

∑n

Cn[(rr0)n + (r0

r)n] <∞

puisque rr0 < 1 et r0r < 1 pour tout r0 < r < 1r0. Par conséquent la série

∑n∂vn∂θ converge normalement

sur [0, 2π].

D’autre part, pour θ fixé, et r0 < r < 1r0, on a sur (r − r−r0

2 , r +1r0−r2 ) = (r1, r2) :

|∂vn∂r| = |An cosnθ +Bn sinnθ

rn0 + r−n0

(nrn−1 − nr−n−1)|

≤ Cnr−10 [(rr0)n−1 + (

r0

r)n+1]

(7.18)

et donc la série converge absolument uniformément sur [r1, r2].

Par conséquent on peut la différencier terme à terme et on trouve que

(7.19)∂v

∂θ=∞∑n=1

n(rn + r−n)(−an sinnθ + bn cosnθ)

et

(7.20)∂v

∂r=∞∑n=1

n(rn−1 − r−n−1)(an cosnθ + bn sinnθ).

On a donc


|∇v|2 = |∂v∂r|2 + |1

r

∂v

∂θ|2

= [∑n

n2(rn−1 − r−n−1)2(an cosnθ + bn sinnθ)2

+ 2∑n<m

nm(rn−1 − r−n−1)(rm−1 − r−m−1)(an cosnθ + bn sinnθ)(am cosmθ + bm sinmθ)]

+1r2

[∑n

n2(rn + r−n)2(−an sinnθ + bn cosnθ)2

+ 2∑n<m

nm(rn + r−n)(rm + r−m)(−an sinnθ + bn cosnθ)(−am sinmθ + bm cosmθ)]

=∑n

n2(r2n−2 + r−2n−2)[(an cosnθ + bn sinnθ)2 + (−an sinnθ + bn cosnθ)2]

− 2r2

[(an cosnθ + bn sinnθ)2 − (−an sinnθ + bn cosnθ)2]

+ 2∑n<m

nm(rn−1rm−1 + r−n−1r−m−1)[(an cosnθ + bn sinnθ)(am cosmθ + bm sinmθ)

+ (−an sinnθ + bn cosnθ)(−am sinmθ + bm cosmθ)]

− (rn−1r−m−1 + r−n−1rm−1)[(an cosnθ + bn sinnθ)(am cosmθ + bm sinmθ)

− (−an sinnθ + bn cosnθ)(−am sinmθ + bm cosmθ)]

=∑n

n2(r2n−2 + r−2n−2)(a2n + b2n)− 2

r2

∑n

n2(a2n cos 2nθ − b2n cos 2nθ + 2anbn sin 2nθ)

+ 2∑n<m

nm(rn−1rm−1 + r−n−1r−m−1)

anam cos(n−m)θ + anbm sin(m− n)θ + ambn sin(n−m)θ − bnbm cos(n−m)θ

− 2∑n<m

nm(rn−1r−m−1 + r−n−1rm−1)

anam cos(n+m)θ − bnbm cos(n+m)θ + anbm sin(n+m)θ + bnam sin(n+m)θ.

(7.21)

Mais pour n 6= m et m,n ≥ 1,

∫ 2π

0

cos(n−m)θdθ =∫ 2π

0

sin(n−m)θdθ =∫ 2π

0

cos(n+m)θdθ

=∫ 2π

0

sin(n+m)θdθ =∫ 2π

0

cos 2nθdθ =∫ 2π

0

sin 2nθdθ = 0,(7.22)

donc

∫ 2π

0

|∇v|2dθ = 2π∑n

n2(r2n−2 + r−2n−2)(a2n + b2n),(7.23)

79

de sorte que ∫B(0, 1

r0)\B(0,r0)

|∇v|2 =∫ 1

r0

r0

rdr

∫ 2π

0

|∇v|2dθ

=∫ 1

r0

r0

rdr · 2π∑n

n2(r2n−2 + r−2n−2)(a2n + b2n)

= 2π∑n

n2(a2n + b2n)

∫ 1r0

r0

(r2n−1 + r−2n−1)dr

= 2π∑n

n2(a2n + b2n)(

r2n

2n+r−2n

−2n)|

1r0r0

= 2π∑n

n2(a2n + b2n)

1n

(r−2n0 − r2n

0 )

= 2π∑n

n(a2n + b2n)(r−2n

0 − r2n0 )

= 2π∑n

n(a2n + b2n)(r−n0 − rn0 )(rn0 + r−n0 ).

(7.24)

Alors pour r0 <12 et n ≥ 1, on a

(7.25) r−n0 − rn0 ≥12

(rn0 + r−n0 )

et donc ∫B(0, 1

r0)\B(0,r0)

|∇v|2 ≥ 2π∑n

n(a2n + b2n)

12

(rn0 + r−n0 )2

= π∑n

n(A2n +B2

n) ≥ π∑n

(A2n +B2

n).(7.26)

Mais

(7.27) π

∞∑n=1

(A2n +B2

n) =12

∫ 2π

0

|u0(θ)−m(u0)|2dθ =12r−10

∫∂B(0,r0)

|u0(s)−m(u0)|2ds.

On a donc

(7.28)∫B(0, 1

r0)\B(0,r0)

|∇v|2 ≥ 12r−10

∫∂B(0,r0)

|u0(s)−m(u0)|2ds.

Maintenant retournons à notre fonction u. On a∫B(0,1)\B(0,r0)

|∇u|2 =12

∫B(0, 1

r0)\B(0,r0)

|∇u|2

≥ 12

∫B(0, 1

r0)\B(0,r0)

|∇v|2 ≥ 14r−10

∫∂B(0,r0)

|u0(s)−m(u0)|2ds,(7.29)

d’où la conclusion. 2

Corollaire 7.30. Soit r0 > 0, q ∈ R2 tel que r0 < 12d(q, ∂B(0, 1)), u0 ∈ C1(∂B(q, r0) ∩ R2,R), et

m(u0) = 12πr0

∫∂B(q,r0)

u0 sa moyenne.


Alors pour toute u ∈ C1((B(0, 1)\B(q, r0)) ∩ R2,R) qui satisfait à

(7.31) u|∂B(q,r0) = u0

on a

(7.32)∫B(0,1)\B(q,r0)

|∇u|2 ≥ 14r−10

∫∂B(q,r0)

|u0 −m(u0)|2.

Démonstration.

On note R = d(q, ∂B(0, 1)) < 1, alors on a r0 <12R et B(q,R) ⊂ B(0, 1). On peut donc se servir de

la proposition prédédente avec B(q,R)\B(q, r0) et on obtient, par le changement de variable y = x−qR∫

B(q,R)\B(q,r0)

|∇xu|2dx =∫B(0,1)\B(0,

r0R )

| 1R∇yu|2R2dy

=∫B(0,1)\B(0,

r0R )

|∇yu|2dy

≥ 14

(R

r0)∫∂B(0,

r0R )

|u−m(u0)|2dy

(7.33)

puisque r0R < 1

2 . Mais

(7.34)∫∂B(0,

r0R )

|u−m(uo)|2dy =∫∂B(q,r0)

|u−m(u0)|2(1R

)dx,

donc

(7.35)∫B(q,R)\B(q,r0)

|∇xu|2dx ≥14r−10

∫∂B(q,r0)

|u−m(u0)|2dx.

Puisque B(q,R) ⊂ B(0, 1), on a aussi

(7.36)∫B(0,1)\B(q,r0)

|∇u|2 ≥ 14r−10

∫∂B(q,r0)

|u−m(u0)|2dx.

2

Remarque 7.37. On peut obtenir (7.8) et (7.33) en utilisant le fait qu’une transformation conforme

ne change pas l’énergie de Dirichlet.

Lemme 7.38. Soit 0 < r0 < 1, u ∈ C1( B(0, 1)\B(0, r0),R), telle que u|∂B(0,r0) = δr0 et u|∂B(0,1) = 0 ;

alors on a

(7.39)∫B(0,1)\B(0,r0)

|∇u|2 ≥ 2πδ2r20

| log r0|.

Démonstration.

Prenons f(r, θ) = A log r avec A = δr0log r0

. Alors f est l’extension harmonique avec les valeurs au

bord données. Or

(7.40)∂f

∂r=A

r,∂f

∂θ= 0

81

d’où

(7.41) |∇f |2 = |∂f∂r|2 + |1

r

∂f

∂θ|2 =

A2

r2.

Par conséquent ∫B(0,1)\B(0,r0)

|∇f |2 =∫ 2π

0

dθ

∫ 1

r0

rdr|∇f |2 = 2π∫ 1

r0

rdrA2

r2

= 2πA2| log r0| =2πδ2r2

0

| log r0|

(7.42)

et on a donc

(7.43)∫B(0,1)\B(0,r0)

|∇u|2 ≥ 2πδ2r20

| log r0|

puisque f est harmonique. 2

Corollaire 7.44. Pour tout 0 < ε < 1, il existe C = C(ε) > 100 telle que si 0 < r0 < 1, u ∈C1( B(0, 1)\B(0, r0),R) et

(7.45) u|∂B(0,r0) > δr0 −δr0

Cet u|∂B(0,1) <

δr0

C

alors

(7.46)∫B(0,1)\B(0,r0)

|∇u|2 ≥ ε 2πδ2r20

| log r0|.

Démonstration. On va appliquer le lemme ci-dessous :

Lemme 7.47. Soit 0 < r < 1, f, g deux fonctions C1 et harmoniques sur B(0, 1))\B(0, r), avec

g|∂B(0,1) = a < b = g|∂B(0,r), et f ≤ g sur ∂B(0, 1), f ≥ g sur ∂B(0, r). Alors

(7.48)∫B(0,1)\B(0,r)

|∇f |2 ≥∫B(0,1)\B(0,r)

|∇g|2.

Admettons ce lemme pour un moment, pour démontrer le corollaire. Pour chaque C, on prend

r = r0, f = u, et g la fonction harmonique telle que g|∂B(0,1) = δC r0, g|∂B(0,r) = (1 − 1

C )δr0. Alors on

obtient

(7.49)∫B(0,1)\B(0,r0)

|∇u|2 ≥∫B(0,1)\B(0,r0)

|∇g|2 = (1− 2C

)2 2πδ2r20

| log r0|,

et pour chaque ε < 1 on peut toujours trouver C assez grand tel que (1− 2C )2 ≥ ε.

Maintenant on démontre le lemme. On pose h = (f − g)∇(f + g) ; alors

(7.50) divh = |∇f |2 − |∇g|2

puisque ∆f = ∆g = 0. Notons U = B(0, 1)\B(0, r), alors par la formule de Stokes :

82 Conclusion

∫U

|∇f |2 − |∇g|2 =∫U

divh =∫∂U

h · ~n =∫∂U

(f − g)∂

∂~n(f + g)

=∫∂U

(f − g)∂

∂~n(f − g) + 2

∫∂U

(f − g)∂

∂~ng,

(7.51)

où ~n est le vecteur normal exterieur.

Pour le premier terme, puisque k = f − g est harmonique, la formule de Green donne

(7.52)∫∂U

k∂

∂~nk =

∫U

(∇k · ∇k) +∫U

(k∆k) =∫U

|∇k|2 ≥ 0.

Pour le second terme, d’après les condition au bord, sur ∂B(0, 1), f − g ≤ 0 et ∂∂~ng < 0, donc

(f − g) ∂∂~ng ≥ 0 ; pareil pour ∂B(0, r), ce qui donne

(7.53)∫∂U

(f − g)∂

∂~ng ≥ 0.

On obtient donc

(7.54)∫U

|∇f |2 − |∇g|2 ≥ 0.

2

8 Conclusion

Après les préparatifs des sections précédents, on va conclure dans cette section.

Donc fixons un ε < ε0. On va estimer la mesure de Hausdorff de Ek pour k assez grand. Pour

chaque k fixé, on a choisi ok et rk comme dans la proposition 5.11. Alors par la proposition 6.1 (1),

Ek ∩Dk(0, 3940 )\Dk(ok, 1

10rk) est composé de deux morceaux disjoints Gk, i = 1, 2 tels que (6.2) et (6.3)

sont vrais, en remplaçant qn, sn par ok, rk. De plus on peut supposer aussi que rk < 2−5 puisque k est

grand.

Proposition 8.1. Pour tout ε > 0, il existe 0 < δ = δ(ε) < ε et θ0 = θ0(ε) < π2 , qui ne dépendent que

de ε avec les propriétés suivantes. Si π2 > θ > θ0 (ça veut dire que θ = (θ1, θ2) avec θ0 < θ1 ≤ θ2 <

π2 , i = 1, 2) et E est un ensemble localement minimal dans B(0, 1) qui est δ proche de Pθ = P 1

θ ∪θ P 2θ

dans B(0, 1)\B(0, 12 ), et si de plus

(8.2) pi0(E) ⊃ P i0 ∩B(0,34

)

où pi0 désigne la projection orthogonale sur P i0, i = 1, 2, alors E est ε proche de Pθ dans B(0, 1).

83

Démonstration.

On le démontrera par l’absurde. Donc on suppose qu’il existe ε > 0, deux suites δl → 0 et θl →(π2 ,

π2 ), et une suite d’ensembles localement minimaux El dans B(0, 1) tels que El est δl proche de

Pl = Pθl dans B(0, 1)\B(0, 12 ), et

(8.3) pi0(El) ⊃ P i0 ∩B(0,34

)

mais El n’est pas ε proche de Pl dans B(0, 1).

Puisque Pl tend vers P0 = P 10 ∪⊥ P 2

0 , δl → 0 et ε est fixé, on sait qu’il existe une suite al qui

tend vers 0, telle que El est al proche de P0 dans B(0, 1)\B(0, 12 ), mais n’est pas ε

2 proche de P0 dans

B(0, 1) (puisque El n’est pas ε proche de Pl, et Pl est ε2 proche de P0 quand l est grand.)

Maintenent on extrait une sous suite de El, notées encore El, qui converge vers une limite E∞.

Alors E∞ ∩B(0, 1)\B(0, 12 ) = P0 ∩B(0, 1)\B(0, 1

2 ).

On veut démontrer que

(8.4) H2(El ∩D(0,34

)) <98π + bl, avec bl → 0 quand l→∞,

où D(x, r) désigne D0(x, r) pour abréger.

En effet, puisque El est très proche de P0 dans B(0, 1)\B(0, 12 ) quand l est grand, par la C1

régularité des ensembles minimaux (c.f.[10] Thm 1.15), on sait que El ∩ ∂D(0, 34 ) = Γ1

l ∪ Γ2l , l’union

disjointe de deux courbes, où Γil est le graphe d’une certaine fonction C1, hil : P i0 ∩ ∂D(0, 34 )→ P i0

⊥,

avec

(8.5) ||hil||∞ → 0, k →∞ et || ddxhil||∞ ≤ 1, ∀l.

Maintenant, on prend Dil = (P i0∩D(0, 3

4 ))∪Ail, où Ail = (x, y) : x ∈ P i0∩∂D(0, 34 ), y ∈ [0, hil(x)],

qui est simplement une 2-surface mince entre P i0 ∩ ∂D(0, 34 ) et Γil, le graphe de hil. (on note [a, b] la

segment d’extrémités a et b). Ou on peut aussi écrire

(8.6) Ail = (x, thil(x)) : x ∈ P i0 ∩ ∂D(0,34

), t ∈ [0, 1].

On peut noter que Dil est une surface dont le bord est Γil, et que Dl = D1

l ∪ D2l contient une

déformation de El dans D(0, 34 ).

Vérifions que

(8.7) H2(Ail) ≤3√

2π2||hil||∞.

Comme hil est à valeurs dans R2, le plus simple est d’utiliser un paramétrage. En effet, si on prend

gil(x, t) : ∂D(0, 34 ) × [0, 1] → R4 ; gil(x, t) = (x, thil(x)), alors Ail est son image. Donc pour calculer sa

surface, on a

(8.8)∂

∂xgil = (1, t

d

dxhil(x)) ;

∂

∂tgil = (0, hil(x))

84 Conclusion

et donc

(8.9) |−−−→∂

∂xgil ×

−−→∂

∂tgil | =

√(1 + t2| ∂

∂xhil|2)(|hil|2)− (t

−−−→∂

∂xhil ·−→hil )

2

puisque on a | ∂∂xhil| ≤ 1, on a

(8.10) |−−−→∂

∂xgil ×

−−→∂

∂tgil | ≤

√(1 + t2)|hil|2 ≤

√2|hil|

et donc

H2(Ail) =∫∂D(0, 34 )×[0,1]

|−−−→∂

∂xgil ×

−−→∂

∂tgil |dtdx

≤√

2∫∂D(0, 34 )

|hil| ≤3√

22π||hil||∞.

(8.11)

On obtient donc

(8.12) H2(Dil) ≤

916π +

3√

22π||hil||∞

et

(8.13) H2(Dl) ≤98π +

3√

22π(||h1

l ||∞ + ||h2l ||∞).

Mais El est un ensemble localement minimal, donc on a

(8.14) H2(El ∩D(0,12

)) ≤ H2(Dl) =98π +

3√

22π(||h1

l ||∞ + ||h2l ||∞).

On prend bl = 3√

22 π(||h1

l ||∞+ ||h2l ||∞) et obtient (8.4), puisque ||h1

l ||∞+ ||h2l ||∞ tends vers 0 quand

l→∞.

Puisque El tend vers P0 dans B(0, 1)\B(0, 12 ),

(8.15) El ∩ (B(0, 1)\B(0,12

))→ P0 ∩ (B(0, 1)\B(0,12

)) = E∞ ∩ (B(0, 1)\B(0,12

)).

Et par [9] lemme 3.3, (rappelons que E∞ est la limite des El)

(8.16) H2(E∞ ∩D(0,34

)) ≤ lim infk→∞

H2(El ∩D(0,34

)).

On a donc

H2(E∞) = H2(E∞ ∩ (B(0, 1)\D(0,34

)) +H2(E∞ ∩D(0,34

))

≤ H2(P0 ∩ (B(0, 1)\D(0,34

))) + lim infk→∞

H2(El ∩D(0,34

))

= 2π + lim infk→∞

bl = 2π.

(8.17)

D’un autre côté, par (8.3) et le fait que E∞ est la limite de El, on sait que

(8.18) pi0(E∞) ⊃ P i0 ∩B(0,34

).

85

Et par hypothèse, El tends vers P0 dans B(0, 1)\B(0, 12 ), donc E∞ ∩ B(0, 1)\B(0, 1

2 ) = P0 ∩B(0, 1)\B(0, 1

2 ), et par conséquent

(8.19) pi0(E∞) ⊃ pi0(E∞ ∩B(0, 1)\B(0,12

)) = P i0 ∩B(0, 1)\B(0,12

).

On a donc

(8.20) pi0(E∞) ⊃ P i0 ∩B(0, 1),

et

(8.21) E∞ ∩ ∂B(0, 1) = P0 ∩ ∂B(0, 1)

puisque El tends vers P0 dans B(0, 1)\B(0, 12 ). Alors par le théorèm 3.1, (8.17),(8.20) et (8.21) disent

que

(8.22) E∞ = P0

C’est impossible, parce que chaque El est ε2 loin de P0. 2

Maintenant pour 0 < θ = (θ1, θ2) avec 0 < θ1 ≤ θ2 <π2 , notons, pour x ∈ R4, r > 0,

(8.23) Dθ(x, r) = x+ p1θ−1

[B(0, r) ∩ P 1θ ] ∩ p2

θ−1

[B(0, r) ∩ P 2θ ]

où Pθ = P 1θ ∪ P 2

θ est l’union de deux plans avec des angles caractéristiques θ1 ≤ θ2, et piθ le projecteur

orthogonal vers P iθ , i = 1, 2. On a alors

Corollaire 8.24. Pour tout ε > 0, il existe 0 < δ < ε et 0 < θ0 <π2 , qui ne dépendent que de ε, avec

les propriétés suivantes. Si θ0 < θ < π2 , et si E est un ensemble localement minimal dans Dθ(0, 1) qui

est δ proche de Pθ dans Dθ(0, 1)\Dθ(0, 14 ), et si de plus

(8.25) piθ(E) ⊃ P iθ ∩B(0,34

),

alors E est ε proche de Pθ dans Dθ(0, 1).

Démonstration. Observons d’abord qu’il existe 0 < φ < π2 tel que pour tout 0 < θ < φ on a

(8.26) B(x, r) ⊂ Dθ(x, r) ⊂ B(x, 2r).

Alors pour ε > 0 on prend δ = δ(ε) et θ0 = maxφ, θ0(ε), où θ0(ε) et δ(ε) sont comme dans la

proposition 8.1. Alors si E est δ proche de Pθ dans Dθ(0, 1)\Dθ(0. 14 ), alors E est δ proche de Pθ dans

B(0, 1)\B(0, 12 ). Par la proposition 8.1, E est ε proche de Pθ dans B(0, 1). Donc E est ε = maxδ, ε

proche de Pθ dans B(0, 1) ∪ [Dθ(0, 1)\Dθ(0, 14 )] = Dθ(0, 1). 2

Revenons à la démonstration du théorème 1.32. On fixe encore un k grand, et on note D(x, r) =

Dk(x, r), Ci(x, r) = Cik(x, r) pour i = 1, 2, et dx,r = dkx,r.

86 Conclusion

On sait que dans D(ok, rk), Ek n’est εrk proche d’aucune translation de Pk, donc par le corollaire

8.24, Ek n’est δrk proche d’aucune translation de Pk dans D(ok, rk)\D(ok, 14rk). Mais par (6.2), on

sait que Ek ∩ D(ok, rk)\D(ok, 14rk) = [G1 ∪ G2] ∩ [D(ok, rk)\D(ok, 1

4rk)], où Gi est un graphe C1 de

P ik ∩D(0, 3940 )\D(ok, 1

10rk). Donc il existe un i ∈ 1, 2 tel que dans D(ok, rk)\D(ok, 14rk) Gi n’est δrk

proche d’aucune translation de P ik. Supposons par exemple que c’est la cas pour i = 1.

Alors notons P = P 1k , et soit g1 comme dans (6.2) ; alors g1 est une fonction de P dans P⊥, et

donc de R2 dans R2. Ecrivons g1 = (ϕ1, ϕ2) où ϕi : R2 → R. Alors puisque le graphe de g1 est δrk loin

de toute les translation de P , il existe j ∈ 1, 2 tel que

(8.27) supx,y∈P∩D(ok,rk)\D(ok,

14 rk)

|ϕj(x)− ϕj(y)| ≥ 12rkδ.

Supposons par exemple que c’est vrai pour j = 1. Et si on note

(8.28) K = (z, ϕ1(z)) : z ∈ (D(0,34

)\D(ok,14rk)) ∩ P,

alors

K est la projection orthogonale de G1 ∩D(0,34

)

sur un sous-espace de dimension 3 de R4.

(8.29)

On définit, pour 14rk ≤ s ≤ rk :

(8.30) Γs = K ∩ p−1(∂D(ok, s) ∩ P ) = (x, ϕ1(x))|x ∈ ∂D(ok, s) ∩ P

le graphe de ϕ1 sur ∂D(ok, s) ∩ P .

On sait que le graphe de ϕ1 est 12δk loin de P dans D(ok, rk)\D(ok, 1

4rk) ; alors il y a deux cas :

1er cas : il existe t ∈ [ 14rk, rk] tel que

(8.31) supx,y∈Γt

|ϕ1(x)− ϕ1(y)| ≥ δ

Crk

où C = 4C( 12 ) est la constante de la corollaire 7.44.

Alors il existe a, b ∈ Γt tels que |ϕ1(a)− ϕ1(b)| > δC rk ≥

δC t. Puisque ||∇ϕ1||∞ ≤ ||∇ϕ||∞ < 1, on

a

(8.32)∫

Γt

|ϕ1 −m(ϕ1)|2 ≥ t3δ3

4C3= (

43tδ)3(

2744C3

).

Maintenant dans D(0, 34 ) on a d(0, ok) < 6ε ≤ 10ε · 3

4 , et s < rk <18 <

12 ×

34 , on peut donc appliquer

le corollaire 7.30 et on obtient

(8.33)∫

(D(0, 34 )\D(ok,t))∩P|∇ϕ1|2 ≥ C1(δ)t2.

87

2ème cas : pour tous les 14rk ≤ s ≤ rk,

(8.34) supx,y∈Γs

|ϕ1(x)− ϕ1(y)| ≤ δ

Crk.

Mais puisque on a déjà

12rkδ ≤ sup|ϕ1(x)− ϕ2(y)| : x, y ∈ P ∩D(ok, rk)\D(ok,

14rk)

= sup|ϕ1(x)− ϕ2(y)| : s, s′ ∈ [14rk, rk], x ∈ Γs, y ∈ Γs′,

(8.35)

il existe 14rk ≤ t < t′ ≤ rk tel que

(8.36) supx∈Γt,y∈Γt′

|ϕ1(x)− ϕ1(y)| ≥ 12rkδ.

Fixons t et t′, et sans perdre de généralité, supposons que

(8.37) supx∈Γt,y∈Γt′

ϕ1(x)− ϕ1(y) ≥ 12rkδ.

Alors

(8.38) infx∈Γt

ϕ1(x)− supx∈Γt′

ϕ1(x) ≥ 12rkδ − 2

δ

Crk = (1− 2

C( 12 )

)δ

2rk ≥ (1− 2

C( 12 )

)δ

2t′

puisque C = 4C( 12 ).

Maintenant regardons dans notre boule D(ok, t′)∩P . En appliquant le corollaire 7.44 à l’échelle t′,

on obtient

(8.39)∫

(D(ok,t′)\D(ok,t))∩P|∇ϕ1|2 ≥ C(δ,

12

)π( δ2 )2t′2

log t′

t

.

Et puisque t′

t ≤ 4, t′ > t, on a

(8.40)∫

((D(ok,t′)\D(ok,t))∩P|∇ϕ1|2 ≥ C2(δ)t2.

Dans les deux cas, il existe un constante C = C0(δ) = minC1(δ), C2(δ), qui ne dépend que de δ,

telle que

(8.41)∫

(D(0, 34 )\D(ok,tk))∩P|∇ϕ1|2 ≥ C0(δ)t2k.

D’un autre côté, puisque |∇ϕ1| ≤ |∇g1| < 1,

(8.42)√

1 + |∇ϕ1|2 >√

1 +12|∇ϕ1|2 +

116|∇ϕ1|4 = 1 +

14|∇ϕ1|2.

Donc

H2(K\C1k(ok, tk)) =

∫D(0, 34 )\C1

k(ok,tk)∩P

√1 + |∇ϕ1|2 ≥

∫D(0, 34 )\C1

k(ok,tk)∩P1 +

14|∇ϕ1|2

≥ H2((D(0,34

)\C1k(ok, tk)) ∩ P )) +

14

∫D(0, 34 )\C1

k(ok,tk)∩P|∇ϕ1|2

= H2((D(0,34

)\C1k(ok, tk)) ∩ P 1

k )) + C(δ)t2k.

(8.43)

88 Conclusion

Alors à cause de (8.29) on obtient que

H2(G1 ∩D(0,34

)\D(ok, tk)) ≥ H2(K\D(ok, tk))

≥ H2((P 1k + ok) ∩D(0,

34

)\D(ok, tk)) + C(δ)t2k

= H2(P 1k ∩D(0,

34

)\D(0, tk)) + C(δ)t2k.

(8.44)

On a donc obtenu une estimation pour la partie régulière (mais un peu oscillante) de Ek. Et pour

toutes les autre parties de Ek on va estimer la mesure par projections.

Faisons notre décomposition. Notons F1 = Ek ∩ D(ok, tk), F2 = G2tk, F3 = G1

tk\D(0, 3

4 ), et F4 =

G1tk∩D(0, 3

4 ), où Git est défini comme dans la proposition 6.1(2). Alors les Fi sont disjoints.

Pour F1, par la proposition 2.34 et le lemme 2.45

(8.45) (1 + 2 cos θk(1))H2(F1) ≥ H2(p1k(F1)) +H2(p2

k(F1)),

où θk = (θk(1), θk(2)) avec θk(1) ≤ θk(2). (Rappelons que Ek a le même bord que Pk = P 1 ∪θk P 2 avec

θk ≥ π2 −

1k ). Mais puisque θk ≥ π

2 −1k , alors

(8.46) H2(F1) ≥ (1− 3k

)[H2(p1k(F1)) +H2(p2

k(F1))]

quand k est grand. D’un autre côté, par la proposition 6.1(4),

(8.47) pik(F1) ⊃ P ik ∩ Cik(ok, tk).

Par conséquent

H2(F1) ≥ (1− 3k

)H2((Pk + ok) ∩D(ok, tk))

≥ H2((Pk + ok) ∩D(ok, tk))− C

kt2k = H2(Pk ∩D(0, tk))− C

kt2k.

(8.48)

Pour F2, par la proposition 6.1(2), on a

(8.49) p2k(F2) = p2

k(G2tk

) ⊃ P ik ∩D(0, 1)\C2k(ok, tk),

et donc

(8.50) H2(F2) ≥ H2[P 2k ∩D(0, 1)\C2

k(ok, tk)] = H2[P 2k ∩D(0, 1)\D(0, tk)].

Pour F3, encore à cause de la proposition 6.1(2), et par définition de F3 on a

(8.51) p1k(F3) ⊃ p1

k(G1tk

)\p1k(D(0,

34

) ⊃ P 1k ∩D(0, 1)\D(0,

34

),

et donc

(8.52) H2(F3) ≥ H2(P 1k ∩D(0, 1)\D(0,

34

).

9.1 - Estimations algébriques pour la somme des projecteurs de deux hyperplans (parallèle auparagraphe 2) 89

Pour la dernière partie, la définition de F4 donne

(8.53) H2(F4) = H2(G1\D(ok, tk)) ≥ H2(P 1k ∩D(0,

34

)\D(0, tk)) + C(δ)t2k.

Et maintenant on calcule la mesure de Ek en sommant les 4 morceaux :

H2(Ek) = H2(F1) +H2(F2) +H2(F3) +H2(F4)

≥ H2(Pk ∩D(0, 1)) + t2k(C(δ)− C

k).

(8.54)

Alors quand k est tel que C(δ) > Ck , on a que

(8.55) H2(Ek) > H2(Pk ∩D(0, 1)),

ce qui contredit la proposition 4.8(4). 2

9 Généralisation aux dimensions plus hautes

Pour le cas où P 1 et P 2 sont des hyperplans de dimension m dans R2m, on peut énoncer un

théorème semblable au théorème 1.32 :

Théorème 9.1 (minimalité de l’union de deux hyperplans presque orthogonaux). Pour chaque m > 1,

il existe un 0 < θ < π2 , tel que, si P

1 et P 2 sont deux hyperplans de dimension m dans R2m avec

des angles caractéristiques α = (α1, α2, · · · , αm), où θ < α1 ≤ α2 ≤ · · · ≤ αm ≤ π2 , alors leur union

P 1 ∪ P 2 est un cône minimal.

On peut obtenir le résultat par un argument semblable à celui utilisé pour la dimension 2. Une

bonne partie de la démonstration est exactement la même. Donc on va traiter ici seulement les parties

un peu différentes, dans l’ordre d’entrée en scène.

9.1 Estimations algébriques pour la somme des projecteurs de

deux hyperplans (parallèle au paragraphe 2)

Dans ce paragraphe on va discuter les projections d’un m−vecteur sur deux m−plans. D’abord on

donne des définitions et des notations générales.

∧m(R2m) désigne l’espace de m−vecteurs dans R2m, et si ei1≤i≤2m forme une base orthonormée

de R2m, alors on prend ei(1) ∧ ei(2) ∧ · · · ∧ ei(m), 1 ≤ i(1) < i(2) < · · · < i(m) ≤ 2m comme une base

orthonormée de ∧mR2m, ce qui donne une structure hilbertienne ; <,> désigne le produit scalaire pour

cette structure, et | · | la norme induite.


Pour un m−vecteur simple unitaire ξ, P (ξ) = v ∈ R2m, v ∧ ξ = 0 ∈ G(2m,m) est le sous-espace

de dimension m associé à ξ, où G(2m,m) est l’ensemble des sous-espace de dimension m dans R2m. Et

si on a ξ = x1 ∧ x2 ∧ · · ·xm, alors P (ξ) est juste le sous-espace engendré par xi1≤i≤m.

Si f est une application linéaire de R2m → R2m, alors on note ∧mf l’application linéaire de

∧m(R2m)→ ∧m(R2m) telle que

(9.2) ∧mf(x1 ∧ x2 ∧ · · · ∧ xm) = f(x1) ∧ f(x2) ∧ · · · ∧ f(xm).

Et pour P ∈ G(2m,m), prenons ξ ∈ ∧k(R2m) simples unitaires tels que P = P (ξ), alors on définit

|f(·)| : G(2m,m)→ R+ ∪ 0 par

(9.3) |f(P )| = | ∧m f(ξ)|.

La valeur de |f(P )| ne dépend pas du choix de ξ.

Pour les prochaines estimations, on pourrait faire des calculs semblables à ceux de la dimension 2,

en faisant des calculs des matrices et leurs determinants, etc. Mais ça serait plus compliqué pour les

dimensions générales, donc on ne va pas donner ici des détails précis. En revanche, on cite le lemme

suivant.

Lemme 9.4. (c.f. [25] Lemme 5.2)

Soit P 1, P 2 deux sous-espaces de Rn avec

(9.5) dim(P 1 ∩ P 2⊥) ≥ dim P 1 −m+ 2

Soit ξ un vecteur simple unitaire dans∧m Rn. Notons pi le projecteur de P i, i = 1, 2. Alors les

projections de ξ vérifie

(9.6) |p1ξ|+ |p2ξ| ≤ 1.

Si en plus,

(9.7) dim(P 1 ∩ P 2) < m− 2,

alors

(9.8) |p1ξ|+ |p2ξ| = 1 si et seulement si ξ appartient à P 1 ou P 2.

Notons qu’on peut se servir de ce lemme pour la dimension 2 aussi, mais pas totalement. En effet

(9.6) est toujours vrai. Par contre (9.8) n’est pas vrai en dimension 2, parce que la condition (9.7) n’est

pas vérifiée pour m = 2. Pour m > 2, on vérifie (9.7) facilement car dim(P 10 ∩ P 2

0 ) = 0 < 1 ≤ m − 2,

où P0 = P 10 ∪⊥ P 2

0 est l’union de deux hyperplans de dimension m orthogonales (c’est à dire les angles

9.1 - Estimations algébriques pour la somme des projecteurs de deux hyperplans (parallèle auparagraphe 2) 91

caractéristiques de P 10 et P 2

0 sont tous π2 ). On a donc (9.8), et si on désigne encore par Ξ l’ensemble

des m−vecteurs simples unitaires ξ ∈ ∧mR2m, qui vérifient

(9.9) |p10(ξ)|+ |(p2

0(ξ)| = 1,

alors P (Ξ) ne contient que deux éléments P 10 et P 2

0 . Cela simplifie beaucoup la démonstration de

l’unicité de P0, qu’on va voir tout à l’heure.

Maintenant on va regarder le cas de deux hyperplans transverses quelconques. (généralisation de la

proposition 2.34).

Proposition 9.10. Soit 0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ · · · ≤ αm ≤ π2 , et soit P

1, P 2 ⊂ R2m deux m−plans qui font

des angles caractéristiques (α1, α2 · · · , αm). Si on note pi la projection orthogonale sur P i, alors pour

tout m−vecteur simple unitaire ζ ∈∧m R2m, la somme des projections vers les 2 plans satisfait à :

(9.11) |p1ζ|+ |p2ζ| ≤ 1 + (m+ 1) cosα1.

Démonstration. La démonstration marche comme dans 2.34 jusqu’à (2.40). Donc en bref on choisit une

base orthonormée ei1≤i≤2m de R2m, avec P 1 = P (∧mi=1ei) et P 2 = P (∧mi=1(cosαiei + sinαiei+m)).

Notons p le projecteur de P 1⊥ = P (∧2mi=m+1ei). Alors

(9.12) |p1(ζ)|+ |p2(ζ)| ≤ |p1(ζ)|+ |p(ζ)|+ |(p2 − p)(ζ)| ≤ 1 + |(p2 − p)(ζ)|.

Pour estimer le dernier terme,

|(p2 − p)(ζ)| =| < ∧mi=1(cosαiei + sinαiei+m)− ∧2mi=m+1ei, ζ > |

=| <m+1∑i=1

(∧j<i sinαjej) ∧ cosαiei ∧ (∧j>i(cosαjej + sinαjej+m)− ∧2mi=m+1ei, ζ > |

≤m∑i=1

| < (∧j<i sinαjej) ∧ cosαiei ∧ (∧j>i(cosαjej + sinαjej+m), ζ > |

+ | < ∧mi=1 sinαiej+m − ∧2mi=m+1ei, ζ > |

≤m∑i=1

| cosαi|+ |1−Πmi=1 sinαi| ≤ m cosα1 + (1− sin2 α1)

≤m cosα1 + cos2 α1 ≤ (m+ 1) cosα1.

(9.13)

Et par conséquent

(9.14) |p1(ζ)|+ |p2(ζ)| ≤ 1 + (m+ 1) cosα1.


On va maintenant énoncer un lemme semblable au lemme 2.45 (pour le citer plus facilement après),

sans le démontrer, parce que la démonstration est la même.


Lemme 9.15. Soit n > d ≥ 2, P,Q deux sous-espaces dans Rn, F ⊂ Rn un ensemble d−rectifiable.Notons p le projecteur de P et q celui de Q. Soit λ ≥ 0 tel que pour presque tout x ∈ F , le plan tangent

TxF ∈ G(n, d) de F vérifie

(9.16) |p(TxF )|+ |q(TxF )| ≤ λ.

Alors

(9.17) Hd(p(F )) +Hd(q(F )) ≤ λHd(F ).

Ensuite, tout marche exactement comme dans §2.2, et on ne va pas refaire ici.

9.2 Unicité de P0

On va montrer l’unicité de P0. Ici on est en dimension plus grande que 2, et donc il n’y a plus

de résultat de régularité locale pour des ensembles minimaux, ni bi-Hölderienne, ni C1, sauf pour des

points de type P. Mais pour des points qui admettent un hyperplan comme une limite d’explosion, on

a encore la régularité C1.

Proposition 9.18. Pour 2 ≤ m < n <∞, Il existe un ε1 > 0 tel que si E est un ensemble localement

minimal de dimension m dans un ouvert U ⊂ Rn, avec B(0, 2) ⊂ U et 0 ∈ E. Alors si E est ε1 proche

d’un m−plan P dans B(0, 1), alors E coïncide avec le graphe d’une application C1 f : P → P⊥ dans

B(0, 34 ). De plus ||∇f ||∞ < 1.

Démonstration. c.f. Proposition 6.14. 2

Par contre, l’avantage ici est que l’ensemble Ξ (l’ensemble des m−vecteurs simples unitaires qui vé-

rifiant (9.9)) est beaucoup plus simple. Donc on va démontrer l’unicité d’une manière un peu différente,

mais sans doute plus simple.

Proposition 9.19 (unicité de P0). Soit P0 = P 10 ∪⊥P 2

0 , et pi0 la projection orthogonale sur P i0, i = 1, 2.

Soit E ⊂ B(0, 1) un ensemble de dimension m fermé réduit qui est minimal dans B(0, 1) ⊂ R2m, et

qui vérifie :

(9.20) pi0(E ∩B(0, 1)) ⊃ P i0 ∩B(0, 1) ;

(9.21) E ∩ ∂B(0, 1) = P0 ∩ ∂B(0, 1) ;

(9.22) Hm(E ∩B(0, 1)) = 2v(m),

où v(m) = Hm(Rm ∩B(0, 1)).

Alors E = P0 ∩B(0, 1).

9.2 - Unicité de P0 93

Démonstration.

Lemme 9.23. 1) Pour presque tout x ∈ E, TxE ∈ P (Ξ) = P 10 , P

20 .

2) Pour chaque i = 1, 2, pour presque tout z ∈ P i0 ∩B(0, 1) = pi0(E),

(9.24) N(pi0, z) = ]pi0−1

(z) ∩ E = 1.

Démonstration. c.f. lemme 3.8.

Corollaire 9.25. Pour chaque i = 1, 2, si x est tel que son plan tangent vaut P i0, alors il existe

r = r(x) > 0 tel que E ∩B(x, r) est un disque de dimension m de rayon r, parallèle à P i0.

Démonstration. Prenons i = 1 par exemple. Par la régularité C1, on sait qu’il existe r′ > 0 tel que

dans B(x, r′), E est le graphe d’une application ϕ de classe C1 de P 10 vers P 1

0⊥. Alors dans B(x, r′),

chaque point y a un plan tangent TxY , et l’application T : E → G(2m,m), T (y) = TyE est continue. Il

existe donc r > 0 tel que pour tout y ∈ E ∩B(x, r), TyE n’est pas P 20 . Mais on sait que pour presque

tout y ∈ E ∩ B(x, r), TyE est soit P 10 soit P 2

0 , donc pour tout y ∈ E ∩ B(x, r), TyE = P 10 , et donc

E ∩B(x, r) = (P 10 + x) ∩B(x, r).


Maintenant regardons les point qui n’ont pas de plan tangent. Soit y ∈ E un tel point. Notons K

une limite d’explosion de E en y. On veut montrer que K = P0.

Lemme 9.26. Pour tout x ∈ K tel que le plan tangent de K à x TxK existe, alors TxK = P 10 ou P 2

0 .

Démonstration. Puisque K est un cône, on peut supposer que |x| = 1.

K est une limite d’explosion de E en y, c’est à dire, il existe une suite rk telle que limk→∞ rk = 0

et

(9.27) r−1k (E − y) ∩B(0, 2) dH−→ K ∩B(0, 2).

Donc

(9.28) r−1k (E − y) ∩B(x, r) dH−→ K ∩B(x, r)

uniformément en r ∈ (0, 12 ).

Mais TxK existe, donc TxK est une limte d’explosion de K en x, de sorte qu’il existe un 0 < r < 12

tel que dH(K∩B(x, r), P ∩B(x, r)) < 12rε1, où P = TxE+x, et on choisit ε1 comme dans la proposition

9.18.

Fixons cet r, et il existe N > 0 tel que pour tout k > N, on a dH(r−1k (E−y)∩B(x, r),K∩B(x, r)) <

12rε1, d’après (9.28). Et donc

(9.29) dH(r−1k (E − y) ∩B(x, r), P ∩B(x, r)) < ε1r.


Notons Ek = r−1k (E − y), alors Ek est un ensemble minimal aussi. Et de plus

(9.30) dH(Ek ∩B(x, r), P ∩B(x, r)) < ε1r.

Maintenant on peut se servir de la proposition 9.18, et on obtient que pour k assez grand, Ek est

le graphe d’une C1 application fk de P à P⊥ dans B(x, 34r).

On note xk = rkx+ y, alors r−1k (xk − y) = x. Et donc

(9.31) Ek ∩B(x, r) = r−1k ((B(xk, rkr) ∩ E)− y)

pour k > N . C’est à dire que dans B(xk, 34rkr), E est un graphe C1 sur un plan Qk parallèle à TxK.

Mais, comme pour presque tout z ∈ B(xk, 34rkr)∩E, le plan tangent de E à z existe et vaut P 1

0 ou P 20 , et

l’application z → TzE est continue sur le graphe C1, donc E coïncide avec P 10 ou P 2

0 dans B(xk, 34rkr).

Autrement dit, Ek ∩ B(x, 34r) = (P 1

0 + x) ∩ B(x, 34r) ou Ek ∩ B(x, 3

4r) = (P 20 + x) ∩ B(x, 3

4r). Alors

par (9.30), dans B(x, 34r), P est la limite d’une suite de plans, qui sont soit P 1

0 + x, soit P 20 + x. Donc

P = P 10 + x ou P 2

0 + x, de sorte que TxK = P 10 ou P 2

0 .


Lemme 9.32. K = P0.

Démonstration. On note Ki = x ∈ K : TxK = P i0, alors on affirme que

(9.33) Ki ⊂ P i0.

En effet, si x ∈ K1, x 6= 0, alors, puisque K est un cône, on a [0, x] ∈ K, où [x, y] désigne le segment

qui connecte 2 points x, y ∈ R2m. Mais puisque TxK = P 10 , et presque tout z ∈ K a un plan tangent

P 10 ou P 2

0 , par un argument semblable à celui du lemme 9.26, on obtient un rayon r = r(x) > 0 tel

que K ∩ B(x, r) est un plan parallèle à P 10 . Mais [0, x] ∩ B(x, r) ⊂ K ∩ B(x, r), donc [0, x] ⊂ P 1

0 . En

particulier, x ∈ P 10 . On obtient donc

(9.34) K1 ⊂ P 10 .

Un argument semblable donne aussi

(9.35) K2 ⊂ P 20 .

Mais K est minimal, donc il est rectifiable puisqu’il est minimal, de sorte que presque tout point de K

admet un plan tangent. Alors par le lemme 9.23, on a

(9.36) Hm(K\(K1 ∪K2)) = 0,

et donc

(9.37) Hm(K\(P 10 ∪ P 2

0 )) = 0,


de sorte que

(9.38) K ⊂ P0,

puisqu’il est un ensemble fermé reduit.

Maintenant si K 6= P0, il existe alors x ∈ P0 ∩ ∂B(0, 1) tel que (0, x] 6⊂ K, puisque K est un cône.

Supposons par exemple x ∈ P 10 .

Mais K est aussi fermé, il existe donc r > 0 tel que B( 12x, r)∩K = ∅. Autrement dit, K a un trou

dans l’hyperplan P 10 . Alors on peut déformer P 1

0 ∩ B(0, 1)\B( 12x, r) dans B(0, 1) en un ensemble de

mesure arbitrairement petite, en fixant à la fois ∂B(0, 1) et P 20 . Ceci implique que Hm(K ∩ P 1

0 ) = 0,

puisque K est minimal. Et donc K = P 20 , ce qui contredit le fait que K n’est pas un plan.

Par conséquent, K = P0.


Maintenant on va donner la régularité autour d’un point x qui admet une limite d’explosion P0.

Lemme 9.39. Soit x ∈ E tel qu’une limite d’explosion de E en x est P0. Alors il existe r > 0 tel que

E ∩B(x, r) = (P0 + x) ∩B(x, r).

Démonstration. Par la démonstration des lemmes 9.26 et 9.32, P0 est la seule limite d’explosion de E

en x, parce qu’on part d’une limite d’explosions quelconque K, et on arrive toujours à P0. Il existe donc

r0 > 0 tel que pour tout r < r0,

(9.40) dx,r(E,P0 + x) < min 1100

,110ε1

où ε1 est celui dans la proposition 9.18.

Notons Ci(x, s) = pi0−1(B(0, s) ∩ P i0) + x (qui est un “cylindre”).

Pour tout y ∈ E ∩B(x, 45r)\C

1(x, 15r), on a

(9.41) dy, 110 r

(E,P 10 + x) < ε1.

En effet, on sait par (9.40) que (9.41) est vrai si on remplace P 10 par P0. Mais on sait que

d(B(y, 110r), P

20 ) > 1

10r puisque y 6∈ C1(x, 15r), et donc on doit avoir (9.41).

Alors par la proposition 9.18, on a que pour chaque y ∈ E ∩B(x, 45r)\C

1(x, 15r), dans B(y, 3

40r) E

est un graphe C1 de P 10 , et en particulier TyE 6= P 2

0 . Par conséquent TyE = P 10 . Par le corollaire 9.25,

(9.42) il existe r′y > 0 tel que E ∩B(y, r′y) = (P 10 + y) ∩B(y, r′y).

Maintenant fixons un yr ∈ E∩B(x, 45r)\C

1(x, 15r). Notons A = E∩(P 1

0 +yr)∩B(x, 45r)\C

1(x, 15r).

Alors A est relativement fermé dans (P 10 + yr)∩B(x, 4

5r)\C1(x, 1

5r), puisque E l’est. Et A est non vide


parce que yr ∈ A. Mais A est aussi ouvert dans (P 10 + yr)∩B(x, 4

5r)\C1(x, 1

5r), parce que pour chaque

y ∈ A, (9.42) est vrai.

Par conséquent A = (P 10 + yr) ∩B(x, 4

5r)\C1(x, 1

5r) puisque le dernier est connexe. On a donc

(9.43) (P 10 + yr) ∩B(x,

45r)\C1(x,

15r) ⊂ E ∩B(x,

45r)\C1(x,

15r).

Mais par (9.42), pour chaque y ∈ (P 10 + yr) ∩B(x, 4

5r)\C1(x, 1

5r),

(9.44) E coïncide avec P 10 + y dans B(y,

340r),

et donc

(9.45) P 10 + y = P 1

0 + yr

et

(9.46) E coïncide avec P 10 + yr dans B((P 1

0 + yr) ∩B(x,45r)\C1(x,

15r),

340r).

Mais on sait que

(9.47) dB(x,r)\C1(x, 110 r),r

(E,P 10 + x) <

1100

,

et que

(9.48) d(yr, P 10 + x) <

1100

r,

de sorte que

(9.49) dB(x,r)\C1(x, 110 r),r

(E,P 10 + yr) <

120,

ce qui implique que

E ∩B(x,45r)\C1(x,

15r) ⊂ B((P 1

0 + yr),340r) ∩B(x,

45r)\C1(x,

15r)

⊂ B((P 10 + yr) ∩B(x,

45r)\C1(x,

15r),

340r).

(9.50)

Par conséquent, (9.46) implique que

(9.51) E ∩B(x,45r)\C1(x,

15r) = (P 1

0 + yr) ∩B(x,45r)\C1(x,

15r).

Notons que (9.51) est vrai pour tout r < r0. Par conséquent pour tout r < r0, les p20(yr) sont égaux,

et égaux à p20(x), parce que (9.40) est vrai pour tout r suffisamment petit. Et donc on a

(9.52) (P 10 + x) ∩B(x,

45r0) ⊂ E ∩B(x,

45r0).

Un argument semblable donne

(9.53) (P 20 + x) ∩B(x,

45r0) ⊂ E ∩B(x,

45r0),


et donc

(9.54) (P0 + x) ∩B(x,45r0) ⊂ E ∩B(x,

45r0).

On affirme alors que

(9.55) (P0 + x) ∩B(x,12r0) = E ∩B(x,

12r0).

En effet, soit y ∈ E ∩B(x, 12r0). Prenons r = 2|y−x| < r0, et supposons par exemple que |p1

0(y−x)| ≥|p2

0(y − x)|. Alors y ∈ B(x, 45r)\C

1(x, 15r), ce qui implique que y ∈ P 1

0 + x par (9.51).


Maintenant on peut arriver à la conclusion de la proposition 9.19.

Notons Ei = x ∈ E ∩B(0, 1);TxE existe et vaut P i0. Alors pour i = 1, 2, Ei est ouvert dans E, à

cause du corollaire 9.25. De plus, au moins un des Ei est non vide, grâce au lemme 9.23(1). Supposons

par exemple que E1 6= ∅. Notons aussi E0 l’ensemble des points de type P0. Alors E est l’union disjointe

de E1, E2 et E0. Par conséquent E0 ∪ E1 = E\E2 est fermé.

Alors soit x ∈ E1. On affirme que

(9.56) (P 10 + x) ∩B(0, 1) ⊂ E1 ∪ E0.

Notons A = (P 10 + x)∩B(0, 1)∩ (E1 ∪E0). Alors A est non vide puisque x ∈ A. A est aussi fermé

dans (P 10 + x) ∩ B(0, 1) puisque E1 ∪ E0 est fermé. Mais par le corollaire 9.25 et le lemme 9.39, A

est aussi ouvert dans (P 10 + x) ∩B(0, 1). Maintenant puisque (P 1

0 + x) ∩B(0, 1) est connexe, on a que

A = (P 10 + x) ∩B(0, 1), de sorte que (9.56) est vrai.

Par conséquent,

(9.57) (P 10 + x) ∩ ∂B(0, 1) ⊂ E ∩ ∂B(0, 1).

Alors par (9.21), p20(x) = 0.

On obtient donc

(9.58) E1 ⊂ P 10 ⊂ E1 ∪ E0 ⊂ E,

si bien que Hm(E1) ≤ Hm(P 10 ∩ B(0, 1)) = v(m). Mais Hm(E0) = 0. Donc par (9.22), Hm(E2) > 0.

En particulier E2 est non vide.

Alors un argument semblable donne

(9.59) E2 ⊂ P 20 ⊂ E,

Et donc

(9.60) P0 ⊂ E.


En utilisant encore une fois (9.22), on obtient que E = P0. 2

9.3 L’argument de l’extension harmonique par les harmoniques

sphériques

Les étapes après la démonstration de l’unicité de P0 marchent complètement pareil jusqu’à l’ex-

tension harmonique. Donc on ne va pas les répéter. Dans cette section, on va traiter l’argument de

l’extension harmonique en dimension plus grande.

On va d’abord parler des harmoniques sphériques (c.f. [31] Chpt 4.2).

Pour une dimension k fixée, notons

Pn : l’espace de tous les polynômes homogènes de degré n dans Rk, c’est à dire, pour chaque

polynôme p(x) ∈Pn, p(λx) = λnp(x) ;

An : l’ensemble de tous les polynômes harmoniques dans Pn ;

Hn : Hn = p|Sk−1 : p ∈ An, ou Sk−1 est la sphère unité dans Rk. Donc Hn coïncide avec

l’ensemble de toutes les restrictions à Sk−1 des membres de An.

Donc, pour chaque f ∈Hn, la fonction

(9.61) p(r, θ) : R× Sk−1 → R, p(r, θ) = rnf(θ)

appartient à An. Et donc

(9.62) ∆p = 0.

Si on note ∆Sk−1 l’operateur de Laplace-Beltrami on Sk−1, la partie angulaire du Laplacian, on a

la décomposition suivante :

(9.63) ∆ =∂2

∂r2+k − 1r

∂

∂r+

1r2

∆Sk−1 .

Donc pour p = rnf(θ),

0 = ∆p = (∂2

∂r2+k − 1r

∂

∂r+

1r2

∆Sk−1)p

= n(n− 1)rn−2f(θ) + n(k − 1)rn−2f(θ) + rn−2∆Sk−1f(θ),(9.64)

et on obtient

(9.65) ∆Sk−1f = −n(n+ k − 2)f.

Donc chaque f ∈Hn est une fonction propre de ∆Sk−1 associée à la valeur propre λn = −n(n+ k− 2).

9.3 - L’argument de l’extension harmonique par les harmoniques sphériques 99

Remarque 9.66. Par (9.65), si f ∈Hn, alors r2−k−nf(θ) est aussi une fonction harmonique.

On va maintenant citer quelques résultats sans les démontrer (voir [31] pour plus de détails) :

Proposition 9.67. On a les propriétés suivantes :

1 dimHn = dimAn =

n+ k − 1

n

− n+ k − 3

n− 2

;

2 La collection de toutes les combinations linéaires finies d’éléments de ∪∞n=0Hn est dense dans

L2(Sn−1) ;

3 Soit Y (n) et Y (m) des harmoniques sphériques de degré n et m, et n 6= m, alors

(9.68)∫Sn−1

Y (n)(θ)Y (m)(θ)dθ = 0.

Maintenant, considérons Hn comme un sous-espace de L2(Sk−1) avec le produit scalaire (f, g) =∫Sk−1 f(θ)g(θ)dθ.

Corollaire 9.69. Notons an = dimHn =

n+ k − 1

n

− n+ k − 3

n− 2

, et soit Y (n)1 , · · · , Y (n)

an

une base orthonormée de Hn, alors ∪∞n=0Y(n)1 , · · · , Y (n)

an est une base orthonormale de L2(Sk−1). De

plus, pour chaque f ∈ L2(Sk−1), il existe une representation unique :

(9.70) f =∞∑n=0

an∑i=1

b(n)i Y

(n)i ,

où la série converge vers f sous la norme L2. Et on a donc

(9.71) ||f ||2L2(Sk−1) =∞∑n=0

an∑i=1

|b(n)i |

2.

On peut maintenant démontrer la proposition suivante.

Proposition 9.72. Soit 0 < r0 < 12 et u0 ∈ C1(∂B(0, r0) ∩ Rk,R). On note m(u0) =

(rk−10 sk−1)−1

∫∂B(0,r0)

u0 sa moyenne, où sk−1 = Hk−1(Sk−1) l’aire de la sphère unité de Rk. Alors

pour toute u ∈ C1((B(0, 1)\B(0, r0)) ∩ Rk,R) qui satisfait à

(9.73) u|∂B(0,r0) = u0

on a

(9.74)∫B(0,1)\B(0,r0)

|∇u|2 ≥ 13r−10

∫∂B(0,r0)

|u0 −m(u0)|2.


Démonstration.

Supposons que u est une fonction C1 comme dans l’énoncé de la proposition. Si v est une solution

de l’équation

(9.75)

∆v = 0;

v|∂B(0,r0) = u0;∂u∂~n = 0 sur ∂B(0, 1)

où ~n est le vecteur normal unitaire extérieur sur ∂B(0, 1), alors v minimise l’énergie de Dirichlet parmi

toutes les fonctions u de classe C1 sur B(0, 1)\B(0, r0) avec u|∂B(0,r0) = u0.

Donc on va juste chercher une solution v de l’équation (9.75), et puis démontrer (9.74) pour v.

Ecrivons

(9.76) u(r0, θ) = u0(θ) = m(u0) +∞∑n=1

an∑i=1

B(n)i Y

(n)i

avec Y (n)1 , · · · , Y (n)

an une base orthonormée de Hn. Posons

v : B(0, 1)\B(0, r0)→ R,

v(r, θ) = m(u0) +∞∑n=1

(Anrn +Bnr2−k−n)

an∑i=1

B(n)i Y

(n)i .

(9.77)

Alors par la remarque 9.66, v est harmonique. On veut que v vérifie (9.75). Alors

v|∂B(0,r0) = u0 ⇔

(Anrn0 +Bnr2−k−n0 ) = 1, pour chaque n et 1 ≤ i ≤ an,

(9.78)

et

∂v

∂~n=∞∑n=1

(Annrn−1 +Bn(2− k − n)r1−k−n)an∑i=1

b(n)i Y

(n)i = 0

sur ∂B(0, 1) = (r, θ) : r = 1.

(9.79)

Donc on demande

(9.80)

rn0 r2−k−n0

n 2− k − n

An

Bn

=

1

0

.

Notons que le déterminant de la matrice des coefficients est (2 − k − n)rn0 − nr2−k−n0 , avec n >

0, r2−k−n0 > rn0 > 0, 2 − k − n < 0, donc il est toujours strictement négatif, de sorte que (9.80) admet

toujours une solution

(9.81) An =n+ k − 2

(n+ k − 2)rn0 + nr2−k−n0

, Bn =n

(n+ k − 2)rn0 + nr2−k−n0

.

On va maintenant calculer∫B(0,1)\B(0,r0)

|∇v|2. Pour estimer ∇v on écrit

(9.82) ∇Sk−1v(r, θ) =∞∑n=1

(Anrn +Bnr2−k−n)

an∑i=1

B(n)i ∇Sk−1Y

(n)i ,


(9.83)∂v

∂r=∞∑n=1

(nAnrn−1 + (2− k − n)Bnr1−k−n)an∑i=1

B(n)i Y

(n)i .

et

(9.84)∫Sk−1

|∇v|2dθ =∫Sk−1

|∂v∂r|2 + |1

r∇Sk−1v|2dθ.

Notons que

(9.85) < Y(n)i , Y

(m)j >L2(Sk−1)= δ(i,n)(j,m) pour 1 ≤ n et 1 ≤ i ≤ an,

où δ est le symbole de Kronecker, et donc

< ∇Sk−1Y(n)i ,∇Sk−1Y

(m)j >L2(Sk−1)= − < ∆Sk−1Y

(n)i , Y

(m)j >L2(Sk−1)

= −n(2− k − n) < Y(n)i , Y

(m)j >L2(Sk−1)= n(n+ k − 2)δ(i,n)(j,m)

(9.86)

pour 1 ≤ n et 1 ≤ i ≤ an. On a donc∫Sk−1

|1r∇Sk−1v|2dθ =

∫Sk−1

|∞∑n=1

(Anrn−1 +Bnr1−k−n)

an∑i=1

B(n)i ∇Sk−1Y

(n)i |2

=∞∑n=1

n(n+ k − 2)(Anrn−1 +Bnr1−k−n)2

an∑i=1

(B(n)i )2,

(9.87)

et ∫Sk−1

|∂v∂r|2dθ =

∫Sk−1

|∞∑n=1

(nAnrn−1 + (2− k − n)Bnr1−k−n)an∑i=1

B(n)i Y

(n)i |2

=∞∑n=1

(nAnrn−1 + (2− k − n)Bnr1−k−n)2an∑i=1

(B(n)i )2.

(9.88)

Par conséquent∫Sk−1

|∇v|2dθ =

∞∑n=1

[(nAnrn−1 + (2− k − n)Bnr1−k−n)2 + n(n+ k − 2)(Anrn−1 +Bnr1−k−n)2]

an∑i=1

(B(n)i )2.

(9.89)

Ensuite ∫ 1

r=r0

[(nAnrn−1 + (2− k − n)Bnr1−k−n)2 + n(n+ k − 2)(Anrn−1 +Bnr1−k−n)2]rk−1dr

=∫ 1

r=r0

[(2n2 + nk − 2n)A2nr

2n−2 + (2n+ k − 2)(n+ k − 2)B2nr

2−2k−2n]rk−1dr

=∫ 1

r=r0

(2n2 + nk − 2n)A2nr

2n+k−3 + (2n+ k − 2)(n+ k − 2)B2nr

1−k−2ndr

=nA2n(1− r2n+k−2

0 ) + (n+ k − 2)B2n(r2−k−2n

0 − 1).

(9.90)

Alors par (9.81), on a

nA2n(1− r2n+k−2

0 ) + (n+ k − 2)B2n(r2−k−2n

0 − 1)

=n(n+ k − 2)[r2−k−2n

0 − 1][n+ (n+ k − 2)r2n+k−20 ]

((n+ k − 2)rn0 + nr2−k−n0 )2

.(9.91)


Mais on a r0 <12 , et donc pour tout n ≥ 1,

(9.92)r2−k−n0 − 1r2−k−n0 + 1

≥ r−10 − 1r−10 + 1

≥( 1

2 )−1 − 1( 1

2 )−1 + 1=

13,

et donc

nA2n(1− r2n+k−2

0 ) + (n+ k − 2)B2n(r2−k−2n

0 − 1)

≥n(n+ k − 2)[r2−k−2n0 + 1][n+ (n+ k − 2)r2n+k−2

0 ]3((n+ k − 2)rn0 + nr2−k−n

0 )2

≥ n[nr2−k−2n0 + n+ k − 2][n+ (n+ k − 2)r2n+k−2

0 ]3((n+ k − 2)rn0 + nr2−k−n

0 )((n+ k − 2)rn0 + nr2−k−n0 )

=n

3[nr2−k−2n

0 + n+ k − 2(n+ k − 2)rn0 + nr2−k−n

0

][n+ (n+ k − 2)r2n+k−2

0

(n+ k − 2)rn0 + nr2−k−n0

]

=n

3rk−20 .

(9.93)

Par conséquent∫B(0,1)\B(0,r0)

|∇v|2dθ ≥∞∑n=1

n

3rk−20

an∑i=1

(B(n)i )2

≥ 13rk−20

∞∑n=1

an∑i=1

(B(n)i )2 =

13rk−20 ||u0(θ)−m(u0)||2L2(Sk−1)

=13r−10

∫∂B(0,r0)

|u0 −m(u0)|2.

(9.94)

2

Corollaire 9.95. Soit r0 > 0, q ∈ Rk tel que r0 < 12d(q, ∂B(0, 1)), u0 ∈ C1(∂B(q, r0) ∩ Rk,R) et

m(u0) = (sk−1rk−10 )−1

∫∂B(q,r0)

u0 sa moyenne.

Alors pour toute u ∈ C1((B(0, 1)\B(q, r0)) ∩ R2,R) qui satisfait à

(9.96) u|∂B(q,r0) = u0

on a

(9.97)∫B(0,1)\B(q,r0)

|∇u|2 ≥ 13r−10

∫∂B(q,r0)

|u0 −m(u0)|2.

Démonstration. Voir le corollaire 7.30. 2

Lemme 9.98. Soit 0 < r0 < 1, u ∈ C1(B(0, 1)\B(0, r0),R), telle que u|∂B(0,r0) = δr0, u|∂B(0,1) = 0 ;

alors

(9.99)∫B(0,1)\B(0,r0)

|∇u|2 ≥ C(k)δ2rk0

où c(k) = (k − 2)Hk−1(Sk−1).


Démonstration.

Prenons f(r, θ) = Ar−k+2 − A avec A = δr0r−k+20 −1

. Alors f est l’extension harmonique avec les

valeurs au bord données. On a

(9.100)∂f

∂r= (2− k)Ar1−k, ∇Sk−1f = 0,

et donc

(9.101) |∇f |2 = A2(2− k)2r2−2k.

Notons sk−1 = Hk−1(Sk−1), alors∫B(0,1)\B(0,r0)

|∇f |2 =∫Sk−1

dθ

∫ 1

r0

rk−1dr|∇f |2

= sk−1

∫ 1

r0

rk−1drA2(2− k)2r2−2k

= sk−1A2(2− k)2 1− r2−k

0

2− k=sk−1(k − 2)δ2

(r2−k0 − 1)

r20

= C(k)δ2r2

0

r2−k0 − 1

=r2−k0

r2−k0 − 1

C(k)δ2rk0 ≥ C(k)δ2rk0 .

(9.102)

On a donc

(9.103)∫B(0,1)\B(0,r0)

|∇u|2 ≥ C(k)δ2rk0

puisque f est harmonique. 2

Corollaire 9.104. Pour tout 0 < ε < 1, il existe C = C(ε) > 100 telle que si 0 < r0 < 1, u ∈C1( B(0, 1)\B(0, r0),R) et

(9.105) ||u|∂B(0,r0) − δ||∞ <δr0

Cet || u|∂B(0,1)||∞ <

δr0

C

alors

(9.106)∫B(0,1)\B(0,r0)

|∇u|2 ≥ εC(k)δ2rk0 .

Démonstration. Appliquons encore une fois le lemme 7.47 ; pour chaque C, on prend r = r0, f = u, et

g la fonction harmique telle que g|∂B(0,1) = δC r0, g|∂B(0,r) = (1− 1

C )r0δ, et on obtient

(9.107)∫B(0,1)\B(0,r0)

|∇u|2 ≥∫B(0,1)\B(0,r0)

|∇g|2 = (1− 2C

)2C(k)δ2rk0 .

Par conséquent, pour chaque ε < 1 on peut toujours trouver un C assez grand tel que (1− 2C )2 ≥ ε. 2

Le paragraphe 8 pour la dimension 2 marche de la même manière pour les dimensions plus hautes.

Donc on ne répète pas ici. On a donc fini la démonstration du théorème 9.1.

104 Généralisation au cas de plusieurs plans et hyperplans

10 Généralisation au cas de plusieurs plans et hyper-

plans

Dans ce paragraphe on va généraliser le théorème 1.32 à des unions de n hyperplans transverses de

dimension m dans Rmn.

Théorème 10.1 (minimalité de l’union de n hyperplans presque orthogonaux). Pour chaque m ≥ 2 et

n ≥ 2, il existe un 0 < θ < π2 , tel que, si P

1, P 2, · · · , Pn sont n hyperplans de dimension m dans Rnm

avec des angles caractéristiques αij = (αij1 , αij2 , · · · , αijm) entre P i et P j , 1 ≤ i < j ≤ n, qui vérifient

θ < αij1 ≤ αij2 ≤ · · · ≤ αijm ≤ π

2 pour tout 1 ≤ i < j ≤ n, alors leur union ∪ni=1Pi est un cône minimal.

Démonstration.

Notons encore P0 = ∪⊥P i0,

Comme dans le paragraphe précédent, l’idée de la démonstration est la même, et on va suivre

les mêmes étapes que pour m = 2, n = 2. Donc ici on donnera seulement des preuves à l’endroit où

la démonstration n’est pas complètement identique. En fait, tout marche bien sauf le théorème sur

l’unicité de P0, dont on va donner les détail plus tard.

Un autre endroit un peu différent que précédemment est le minimalité de P0 et le contrôle pour la

somme des projections d’unm−vecteur unitaire simple sur n hyperplans avec des angles caractéristiques

αij1≤i<j≤n.

Lemme 10.2. P0 est minimal.

Démonstration. Par récurrence en n, en utilisant le lemme 9.4. Voir la proposition 11.1 pour plus de

détails. 2

Lemme 10.3. Soit P i, 1 ≤ i ≤ n, n hyperplans de dimension m dans Rmn et αij1≤i<j≤n les angles

caractéristiques entre P i et P j. Si on note pi la projection orthogonale sur P i, alors il existe Cn,m(α),

avec limα→π2Cn,m(α) = 0, tel que pour tout m−vecteur simple unitaire ζ ∈ ∧mRmn, la somme des

projections vers ces n hyperplans satifait à

(10.4)n∑i=1

|pi(ζ)| ≤ 1 + Cm,n(α),

où α = min1≤i<j≤n αij1 .

Démonstration.

Par récurrence en n. Pour n = 2 on l’a déjà, par la proposition 9.10.

105

Suppsons que (10.4) est vrai pour n − 1. Maintenant notons P = (⊕1≤i≤n−1Pi)⊥ qui est un m−

hyperplan, et p son projecteur, q le projecteur de (⊕1≤i≤n−1Pi). On a alors par le lemme 9.4

(10.5) |p(ζ)|+ |q(ζ)| ≤ 1,

et donc

n∑i=1

|pj(ζ)| =n−1∑i=1

|pj q(ζ)|+ |pn(ζ)|

≤n−1∑i=1

|pj q(ζ)|+ |p(ζ)|+ |(p− pn)(ζ)|.

(10.6)

Par l’hypothèse de récurrence,

(10.7)n−1∑i=1

|pj q(ζ)| ≤ (1 + Cn−1,m(α))|q(ζ)|

avec limα→π2Cn−1,m(α) = 0, et donc

n∑i=1

|pj(ζ)| ≤ (1 + Cn−1,m(α))|q(ζ)|+ |p(ζ)|+ |(p− pn)(ζ)|

≤ 1 + Cn−1,m(α)|q(ζ)|+ |(p− pn)(ζ)|

≤ 1 + Cn−1,m(α) + |(p− pn)(ζ)|.

(10.8)

Maintenant quand α tend vers π2 , l’angle entre P et Pn tend vers 0. Donc |(p− pn)(ζ)| ≤ C ′n,m(α)

avec limα→π2C ′n,m(α) = 0 (par la démonstration de la proposition 9.10), et on obtient donc la conclusion.


Il nous reste à montrer l’unicité de P0.

Proposition 10.9 (unicité de P0). Soit P0 = ∪ni=1Pi0, et pi0 la projection orthogonale sur P i0, 1 ≤ i ≤ n.

Soit E ⊂ B(0, 1) un ensemble de dimension m fermé réduit qui est minimal dans B(0, 1) ⊂ Rnm, et

qui vérifie pour 1 ≤ i ≤ n,

(10.10) pi0(E ∩B(0, 1)) ⊃ P i0 ∩B(0, 1) ;

(10.11) E ∩ ∂B(0, 1) = P0 ∩ ∂B(0, 1) ;

(10.12) Hm(E ∩B(0, 1)) = nv(m),

où v(m) = Hm(Rm ∩B(0, 1)).

Alors E = P0 ∩B(0, 1).


Démonstration.

D’abord notons encore Ξ := ξ ∈ ∧mRnm unitaire simple ,∑ni=1 |pi(ξ)| = 1. Alors un lemme vient

des hypothèses de la proposition.

Lemme 10.13. 1) Pour presque tout x ∈ E, TxE ∈ P (Ξ).

2) Pour chaque 1 ≤ i ≤ n, pour presque tout z ∈ P i0 ∩B(0, 1) = pi0(E),

(10.14) N(pi0, z) = ]pi0−1

(z) ∩ E = 1.

Cas 1. Pour m > 2, en utilisant le lemme 9.4, on peut montrer par récurrence que

(10.15) Ξ = P i0, 1 ≤ i ≤ n,

et par la C1 régularité (prop 9.18) on obtient que

1) autour de chaque x ∈ E tel que TxE existe, il existe rx > 0 et 1 ≤ i ≤ n tel que E ∩B(x, rx) =

(P i0 + x) ∩B(x, rx) ;

2) tout les autres points in E sont de type PI := ∪i∈IP i, I ⊂ 1, 2, · · · , n (voir la démonstration

pour le lemme 9.32). Et si x ∈ E, I ⊂ 1, 2, · · · , n sont tels que Cx = PI , où Cx est l’unique limite

d’explosion de E en x, alors il existe r > 0 tel que E∩B(x, r) = (PI+x)∩B(x, r). (voir la démonstration

pour le lemme 9.39).

Alors notons Ei = x ∈ E, TxE = P i0, E0 = E\ ∪i Ei, et notons E0i = x ∈ E0, P i0 ⊂ Cx, où Cxest la limite d’explosion de E en x, qui vérifie 2) ci-dessus. Alors E0 = ∪iE0i est discret, et donc fini.

Chaque Ei est ouvert dans E. Ensuite on peut montrer que Ei ∪ E0i = P i0, et tout est fini.

Cas 2. Pour m = 2. C’est plus compliqué, puisque l’ensemble Ξ est beaucoup plus grand.

Lemme 10.16. Si x ∧ y ∈ Ξ avec x, y unitaires, x ⊥ y, il existe alors vi, ui ∈ P i0 unitaires, vi ⊥ ui,

ai > 0,∑i a

2i = 1 tels que

(10.17) (n∑i=1

aiui) ∧ (n∑i=1

aivi).

Démonstration. Par récurrence en n. Supposons que c’est vrai pour n− 1.

Notons Q = ∪n−1i=1 P

i0, q son projecteur. Si x ∧ y ∈ Ξ avec x ⊥ y, x, y unitaires, alors il existe

θ1, θ2 ∈ [0, π2 ] tels que

(10.18) x = cos θ1pn0 (x) + sin θ1q(x), y = cos θ2p

n0 (y) + sin θ2q(y).

Donc∑ni=1 |pi0(x∧ y)| = 1 implique |q(x∧ y)|+ |pn0 (x∧ y)| = 1. Par la même démonstration du cas

où n = 2, on obtient que

(10.19) θ1 = θ2, pn0 (x) ⊥ pn0 (y), q(x) ⊥ q(y), |q(x) ∧ q(y)| =

n−1∑i=1

|pi0 q(x)|+ |pi0 q(y)|.

107

Par l’hypothèse de récurrence on obtient la conclusion.


Corollaire 10.20. Pour chaque 1 ≤ j ≤ n, pour chaque x ∈ E tel que TxE existe et n’est pas P i0 pour

tout i 6= j (ou de manière équivalente, |pj0(TxE)| > 0), il existe rx > 0 tel que dans B(x, rx) E coïncide

avec le graphe d’une fonction ϕx : P j0 → P j0⊥

= ⊕i 6=jP i0, où chaque fonction ϕi = pi0 ϕx : P j0 → P i0

est soit analytique, soit anti analytique.

Démonstration. Par le lemme 10.16, on sait que Dϕi(Pj0 ) = pi0 TxE = (aiui +ajuj)∧ (aivi +ajvj), où

ui, vi ∈ P i0, uj , vj ∈ Pj0 , a

2i + a2

j 6= 0, parce que TxE 6= P i0. Le reste de la démonstration est semblable

comme celui du lemme 3.34. 2

Lemme 10.21. Il n’y a pas de point de type Y dans E.

Démonstration.

Comme dans la démonstration du lemme 3.19, soit x ∈ E qui est de type Y, soit Cx = ∪3i=1Pi

désigne le cône tangent qui est un Y, avec Pi des demi plans fermés qui se rencontrent le long d’une

droite D qui est engendrée par un vecteur unitaire v, soit Qi le plan contenant Pi. On va montrer que

(10.22) au moins un des Qi n’appartient pas à P (Ξ).

On procède comme dans 3.19, et il existe wi ∈ Qi, unitaire, wi ⊥ v, et les angles entre les trois

wi, 1 ≤ i ≤ 3 sont tous de 120. Alors si P1 6∈ P (Ξ) tout est bon. Sinon, puisque P1 = P (v ∧ w1),

par le lemme 10.16, il existe une base orthonormé ej1≤j≤2n de R2n avec P i0 = P (ei ∧ en+i), et

ai > 0,∑ni=1 a

2i =

∑ni=1 a

2n+i = 1, tels que

(10.23) v =n∑i=1

aiei, w1 =2n∑

i=n+1

aiei.

Alors, pour que Q2 ∈ P (Ξ) aussi, il faut qu’il existe εin+1≤i≤2n, chaque εi vaut 1 ou -1, tel que

(10.24) w2 =2n∑

i=n+1

εiaiei.

Notons I = n + 1 ≤ i ≤ 2n, εi = 1, et J = n + 1 ≤ i ≤ 2n, εi = −1. Posons

aI = (∑i∈I a

2i )

12 , aJ = (

∑i∈J a

2i )

12 , fI = 1

aI

∑i∈I aiei, fJ = 1

aJ

∑i∈J aiei. Alors fI , fJ sont unitaire

perpendiculaires, a2I + a2

J = 1, et

(10.25) w1 = aIfI + aJfj , w2 = aIfI − aJfJ .


Si l’angle entre w1 et w2 est 120, alors aI , aJ sont non nuls, de sorte que w1, w2 engendrent un

plan de dimension 2.

Maintenant on sait que les angles entre w1, w3 et w2, w3 sont aussi de 120, ce qui implique que

les trois wi appartiennent à un plan. Par conséquent, w3 ∈ P (fI ∧ fJ), et la seule possibilité est que

aI = 12 , aJ =

√3

2 , et w3 = −fI . Mais dans ce cas, pour que P (v ∧ w3) ∈ P (Ξ), on a que pour tout

j ∈ J, aj = 0, ce qui implique que fJ = 0, et donc w1 = w2, une contradiction.

Donc on a notre affirmation (10.22). Et le reste de la démonstration est exactement le même que

celle du lemme 3.19.


Corollaire 10.26. Pour chaque x ∈ E tel que le plan tangent de E en x n’existe pas, il existe au plus

n plans Q1, Q2, · · · , Ql ∈ P (Ξ), avec Qi ⊥ Qj pour i 6= j, tels que la limite d’explosion Cx de E en x

est unique et est égale à ∪li=1Qi.

Démonstration.

Voir le lemme 3.23 pour le fait que Cx est une union de plans transverses qui appartiennent à P (Ξ).

Et en particulier, Cx vérifie la propriété de "full-length à cause des angles" (c.f.[10], Remarque 14.40),

donc par le théorème 1.15 de [10], on a la régularité de classe C1 autour de x.

Pour montrer que Qi ⊥ Qj pour i 6= j, On le montre pour Q1, Q2 par exemple.

Par le lemme 10.16, il existe v1l , u

1l , v

2l , u

2l ∈ P l0 unitaires, v1

l ⊥ u1l , v

2l ⊥ u2

l , et a1l , a

2l > 0, 1 ≤ l ≤ n,

tels que∑nl=1 a

1l2 =

∑Nl=1 a

2l2 = 1, et

(10.27) Q1 = (n∑l=1

a1l v

1l ) ∧ (

n∑l=1

a1l u

1l ), Q2 = (

n∑l=1

a2l v

2l ) ∧ (

n∑l=1

a2l u

2l ).

Donc si l est tel que a1l 6= 0, alors pl0(Q1) = a1

l2> 0, alors par la C1 régularité de E autour de

x, si on note ϕ la C1 correspondance locale entre E et Cx dans une boule B(x, r), il existe s > 0 tel

que B(pl0(x), s) ∩ P l0 ⊂ pl0(ϕ(Q1 + x)). (Voir autour de (3.32) pour plus de détails). Cela implique que

a2l = 0, parce que sinon, il existe s′ > 0 tel que B(pl0(x), s′) ∩ P l0 ⊂ pl0(ϕ(Q2 + x)), et donc

(10.28) (B(pl0(x),minx, s′)\x) ∩ P l0 ⊂ z ∈ P l0, ]pl0−1z ∩ E ≥ 2,

ce qui contredit le lemme 10.13(2).


On sait ainsi qu’autour de chaque point x ∈ E, on a la régularité de classe C1, parce que une union

des plans transverses vérifie aussi la propriété de “full-length”. On a alors le lemme suivant.

109

Lemme 10.29. Pour chaque x ∈ E, notons Cx une limite d’explosion de E en x, alors il existe rx > 0

et ϕx : R2n → R2n de classe C1 avec ϕx(x) = x, dϕ(x) = Id, et E coïncide avec le graphe de ϕx de

Cx + x dans B(x, rx).

Corollaire 10.30. Soit x ∈ E, Cx la limite d’explosion de E en x (on sait qu’il est unique à cause de la

régularité de classe C1). Supposons que Q ⊂ Cx est un plan, et i ∈ 1, · · · , n est tel que H2(pi0(Q)) > 0.

Soit ϕx comme ci-dessus. Alors ϕx(Q + x) est le graphe d’une fonction C1 ψx de P i0 → ⊕j 6=iP i0, oùpour tout j, pj0 ψx est analytique ou anti analytique de P i0 → P j0 .

Démonstration. On applique le théorème des fonctions implicites et le lemme 10.16 pour chaque ψi.

Voir le lemme 3.34 pour les détails. 2

Par les corollaires 10.20,10.26 et 10.30, on sait qu’il existe un nombre dénombrable de variétés de

dimension 2 S1, S2 · · ·Sn · · · de classe C1, localement analytiques, tel que E ∩B(0, 1) = ∪iSi, et les Sis’intersectent transversement. Alors par la C1 régularité, on sait que

(10.31) Sl\Sl ⊂ ∂B(0, 1).

En effet si x ∈ Sl∩B(0, 1), alors il existe une boule C1 B(x, rx) de E en x, avec ϕx la correspondance de

classe C1 entre Cx et E. Il existe donc un plan Q ⊂ Cx tel que Q = TxSl, et donc ϕ(B(x, rx)∩(x+Q) ⊂Sl, et donc x est un point intérieur de Sl, de sorte que x ∈ Sl.

Lemme 10.32. S’il existe x ∈ S1 tel que le plan tangent TxS1 de S1 en x vérifie TxS1 ⊥ P 10 , alors

p10(S1) est un point. Autrement dit, il existe y ∈ P 1

0 ∩B(0, 1) tel que S1 ⊂ (y + P 10⊥).

Démonstration.

Soit x ∈ S1 tel que TxS1 ⊥ P 10 . Il existe i tel que |pi0(TxS1)| > 0, et donc par le corollaire 10.20 ou

10.30, il existe rx > 0 tel que dans B(x, rx), E coïncide avec le graphe d’un fonction ϕx : P i0 → ⊕j 6=iPj0 ,

et la fonction ϕ1 = p10 ϕx est analytique ou antianalytique, avec Dϕ1 = 0, c’est à dire, de degré d ≥ 2.

Si ϕ1 n’est pas constant, alors il existe 0 < r < rx tel que U = ϕ1(B(x, r)∩P i0) est un ouvert dans P 10 , tel

que chaque point dans U\x a précisément d images réciproques. Et donc z ∈ P 10 , ]p1

0−1(z)∩E ≥ 2

est de mesure non nulle, puisqu’il contient un ouvert U . Cela contredit le lemme 10.13(2).

Donc ϕ1 est constant dans B(x, rx). Autrement dit, p10(S1 ∩B(x, rx)) = p1

0(x).

Maintenant notons

(10.33) A = y ∈ S1, il existe ry > 0 tel que p10(S1 ∩B(y, ry)) = p1

0(y).

Alors A est ouvert dans S1 et non vide. De plus, pour chaque y ∈ A, TyS1 ⊥ P 10 . On va montrer

que A est fermé dans S1. Donc prenons une suite yll∈N ⊂ A qui converge vers un point y0 ∈ S1. Alors

par la régularité de C1 on a que Ty0S1 ⊥ P 10 aussi. Alors par l’argument ci-dessus, il existe r > 0 tel


que p10(S1 ∩B(y0, r)) = p1

0(y). Mais p10(y) = liml→∞ p1

0(yl) = p10(x), donc y0 ∈ A. Par conséquent, A

est fermé dans S1. Alors puisque S1 est connexe, on a que A = S1, ce qui donne l’enoncé du lemme.


Corollaire 10.34. S’il existe x ∈ S1 tel que TxS1 n’est pas perpendiculaire à P 10 , alors pour tout

y ∈ S1, TyS1 n’est pas perpendiculaire à P 10 .

Par (10.10), on sait qu’il existe x ∈ E tel que |p10(Cx)| > 0. Par conséquent, il existe l ∈ N tel que

x ∈ Sl et TxSl n’est pas perpendiculaire à P 10 . Alors par le corollaire 10.34,

(10.35) pour tout y ∈ Sl, TySl n’est pas perpendiculaire à P 10 .

On affirme que

(10.36) p10(Sl) ⊃ P 1

0 ∩B(0, 1).

En effet, pour chaque z ∈ P 10 ∩B(0, 1)∩p1

0(Sl), par définition, il existe y ∈ Sl tel que p10(x) = z. Alors

(10.34), (10.20) et (10.30) impliquent qu’il existe rx > 0 tel que B(z, rx) ∩ P 10 ⊂ p1

0(Sl), et donc p10(Sl)

est ouvert dans P 10 ∩B(0, 1). D’autre part on va montrer que p1

0(Sl) est aussi fermé dans P 10 ∩B(0, 1).

Pour ça, soit znn∈N ⊂ p10(Sl) ∩ P 1

0 ∩ B(0, 1), qui convergent vers un point z0 ∈ P 10 ∩ B(0, 1). Soit

xn ∈ Sl tel que p10(xn) = zn. Alors puisque Sl est compact, il existe une sous suite xnkk∈N qui

converge vers un point x0 ∈ Sl. Alors p10(x0) = z0. Si z0 6∈ Sl, par (10.31) on a que z0 ∈ ∂B(0, 1), ce

qui contredit le fait que z0 ∈ B(0, 1).

Donc p10(Sl) est à la fois ouvert et fermé dans P 1

0 ∩B(0, 1), et non vide évidemment. Alors puisque

P 10 ∩B(0, 1) est connexe, on obtient notre affirmation (10.36).

Mais Sl ⊂ B(0, 1), et donc p10(Sl) ⊂ B(0, 1) ∩ P 1

0 . On obtient donc

(10.37) p10(Sl) = P 1

0 ∩B(0, 1).

En suite on va montrer que la projection p10 est injective sur Sl. Soient x1, x2 ∈ Sl tels que p1

0(x1) =

p10(x2) = z ∈ P 1

0 ∩ B(0, 1). Alors il existe r > 0 tel que B(x1, r) ∩ B(x2.r) = ∅. Par (10.35) et

(10.20), il existe r′ < r tel que dans B(xi, r′) E coïncide avec le graphe d’une fonction ϕi de classe

C1 : P 10 → P 1

0⊥. Par conséquent B(z, r′) ⊂ p1

0(Sl ∩ B(xi, r′)), i = 1, 2. Mais r′ < r implique que

[Sl ∩B(x1, r′)]∩ [Sl ∩B(x2, r

′)] = ∅, de sorte que z ∈ P 10 : ]p1

0−1(z)∩E ≥ 2 ⊃ B(z, r′)∩P 1

0 est de

mesure non nulle. Cela contredit (10.14).

On obtient donc l’injectivité. Par conséquent, Sl est le graphe d’une fonction ψ classe C1 sur

P 10 ∩ B(0, 1), et de plus pour chaque i 6= 1, la fonction ψi = pi0 ψ est localement analytique ou

antianalytique. En appliquant encore une fois le théorème 3.40 et l’argument autour, on sait que chaque

ψ est analytique ou antianalytique.

11.1 - Discussions générales 111

Mais le fait que Sl est un graphe sur P 10 ∩B(0, 1) implique que Sl\Sl ⊂ p1

0−1[P 1

0 ∩ ∂B(0, 1)]. Mais

Sl\Sl ⊂ E ∩ ∂B(0, 1) aussi, ce qui donne

(10.38) Sl\Sl ⊂ P 10 ∩ ∂B(0, 1),

de sorte que ψ(z) tend vers 0 quand z tend vers ∂B(0, 1). Et donc les ψi aussi. Alors par le principe

du maximum, on obtient que chaque ψi est une constante, qui vaut 0.

On en déduit que Sl = P 10 ∩B(0, 1). Et donc

(10.39) P 10 ∩B(0, 1) ⊂ E.

On peut faire pareil pour les autres 2 ≤ i ≤ n, et on obtient que

(10.40) P0 ∩B(0, 1) = ∪1≤i≤nPi0 ∩B(0, 1) ⊂ E.

Mais par (10.12), H2(P0 ∩B(0, 1)) = nπ = H2(E), par conséquent,

(10.41) E ∩B(0, 1) = P0 ∩B(0, 1),


11 L’union presque orthogonale d’un plan et un Y

dans R5

11.1 Discussions générales

Jusqu’à maintenant, tout ce qu’on a fait concernait l’union de plans. Mais grâce au lemme 9.4, on

peut montrer ce qui suit.

Proposition 11.1. Soit d ≥ 2, et E1, E2 deux ensembles minimaux de dimension d dans Rm1 et Rm2

respectivement. Alors l’union orthogonale E1 ∪ E2 est un ensemble minimal dans Rm1+m2 .

Démonstration. Soit F une déformation de E1 ∪ E2 dans Rm1+m2 , il existe alors R > 0 et f une

déformation Lipschitzienne dans Rm1+m2 tels que

(11.2) f(B(0, R)) ⊂ B(0, R); f |B(0,R)C = Id, et f(E1 ∪ E2) = F.

Notons pi le projecteur de Rmi , i = 1, 2. Alors pi f(Ei) est une déformation de Ei dans B(0, R)∩Rmi , i = 1, 2. Par la minimalité de Ei, Hd(pi f(Ei)) ≥ Hd(Ei), de sorte que

(11.3) Hd(pi(E)) = Hd(pi f(E1 ∪ E2)) ≥ Hd(pi f(Ei)) ≥ Hd(Ei), i = 1, 2.

112 L’union presque orthogonale d’un plan et un Y dans R5

On applique le lemme 9.4, et une version pour la dimension d du lemme 2.45 (dont la démonstration

est exactement le même pour toutes les dimensions), et on obtient que

(11.4) Hd(E) ≥ Hd(p1(E)) +Hd(p2(E)) ≥ Hd(E1) +Hd(E2) = Hd(E1 ∪ E2),


C’est donc naturel de se demander si l’union presque orthogonale de deux ensembles minimaux est

minimale, après tout ce qu’on a fait pour l’union des plans de toutes dimensions. Mais on a bien vu que

la démonstration pour l’union des plans dépend beaucoup de la structure des plans, surtout l’unicité

de l’union orthogonale, et la régularité pour la partie près d’un plan. Donc pour un ensemble minimal

quelconque, on ne peut rien dire.

Et de plus si d = 2, alors l’ensemble des 2-vecteurs simples qui vérifient l’égalité dans (9.6) est

beaucoup plus compliqué quand les dimension ambientes deviennent plus grandes, parce qu’ils donne

plus de flexibilité. Cela rend le probleme encore plus difficile. Mais pour d > 2, on a (9.8), et donc si

les ensembles minimaux ont des structures simples, par exemple deux cônes simples, la démonstration

ne sera sans doute pas si difficile. De plus, peut être qu’on n’est pas très loin de montrer l’unicité de

l’union orthogonale de deux cônes minimaux de même dimension (strictement plus grande que 2), à

condition que tous les deux soient uniques, au sens de Mumford Shah (une condition topologique, la

classe de minimiseurs au sens MS est toujours incluse dans la classes des minimiseurs au sens Almgren).

On va discuter des minimiseurs au sens MS plus tard.

Alors on commence par le cône le plus simple. Dans ce paragraphe on va traiter de la minimalité

de l’union presque orthogonale d’un plan et d’un Y.

Théorème 11.5 (minimalité de l’union d’un plan et un Y presque orthogonaux). Il existe un 0 < θ < π2 ,

tel que, si P et Q sont deux sous-espaces de R5 de dimension 2 et 3 respectivement, qui vérifient

(11.6) pour tout u ∈ P, v ∈ Q unitaires, l’angle entre u et v est plus grand que θ,

et si Y est un cône de type Y dans Q centré au point de P ∩Q, alors l’union P ∪Y est un cône minimal.

Pour la démonstration, on va toujours utiliser le même stratégie.

Pour chaque paire de sous-espaces P,Q, de dimension 2 et 3 respectivement, notons

(11.7) αP,Q = inf l’angle entre u, v;u ∈ P, v ∈ Q unitaires .

Notons Z0 = P0 ∪⊥ Y0 avec Y0 ∈ Q0 et α(P0, Q0) = π2 .

Alors par la proposition 11.1, Z0 est minimal.

11.2 - L’unicité de Z0 113

Lemme 11.8. Pour tout ξ ∈ ∧2(R5) simple unitaire, et tout choix de sous-espaces P,Q de R5 de

dimension 2 et 3, on a

(11.9) |p(ξ)|+ |q(ξ)| ≤ 1 + 2 cosα(P,Q),

où p et q sont les projecteurs orthogonaux sur P et Q respectivement, qui agisent aussi sur les 2-vecteurs

(voir (2.5) et (2.6)).

Démonstration. En effet si on note P ′ = P (q(ξ)) un sous-espace de dimension 2, et p′ son projecteur,

alors par la proposition 2.34 on a

(11.10) |p(ξ)|+ |p′(ξ)| ≤ 1 + 2 cosα(P,Q).

On conclut en notant que p′(ξ) = q(ξ). 2

11.2 L’unicité de Z0

Ensuite on va traiter de l’unicité. Ici, puisque Y est de codimension 1, on ne peut plus poser la

condition que la projection soit surjective. Mais une condition de séparation suffira. Notons que la

séparation est en fait la condition qu’on pose pour les minimiseurs de Mumford-Shah en codimension

1 (voir la définition 13.7). C’est en fait pourquoi on s’intéresse à l’unicité de l’union de deux cônes

minimaux au sens MS, parce qu’une déformation ne change pas la condition topologique qu’on pose

pour MS, ni les valeurs au bord des déformations. Et par conséquent l’ensemble minimal qu’on obtient

dans le théorème 4.1 garde aussi la condition topologique, ce qui pourrait nous donner une chance de

montrer la minimalité de l’union presque orthogonale.

Proposition 11.11 (l’unicité de Z0). Soit Z0 = P0∪⊥Y0 ⊂ P0∪⊥Q0 = R5 défini comme précédemment,

p0, q0 les projecteurs de P0, Q0. Soit E ⊂ B(0, 1) un ensemble de dimension 2 fermé réduit qui est

minimal dans B(0, 1) ⊂ R5, et qui vérifie

(11.12) p0(E ∩B(0, 1)) ⊃ P0 ∩B(0, 1);

(11.13) E ∩ ∂B(0, 1) = Z0 ∩ ∂B(0, 1);

(11.14) q0(E) vérifie la condition de séparation dans Q0,

c’est à dire, pour tout x, y ∈ ∂B(0, 1)∩Q0\Y0 tels que x et y n’appartiennent pas à la même composante

connexe de B(0, 1)∩Q0\Y0, ils n’appartiennent pas à la même composante connexe de B(0, 1)∩Q0\q0(E)

non plus ;

(11.15) H2(E ∩B(0, 1)) =52π.

Alors E = Z0 ∩B(0, 1).


Démonstration. Regardons d’abord les projections de E. D’abord puisque E ⊂ B(0, 1),

(11.16) p0(E) ⊂ p0(B(0, 1) = P0 ∩B(0, 1).

Mais E est compact, donc p0(E) aussi, de sorte que par (11.12)

(11.17) p0(E) ⊃ P0 ∩B(0, 1).

Par conséquent,

(11.18) p0(E) = P0 ∩B(0, 1).

Du côté de q0, par (11.14), q0(E) vérifie la condition de séparation. On montre d’abord le lemme

suivant.

Lemme 11.19. Soit F ⊂ B(0, 1) un ensemble rectifiable fermé de dimension 2 dans R3 qui vérifie

F ∩ ∂B(0, 1) = Y0 ∩ ∂B(0, 1), et la condition de séparation (définie après (11.14)). Alors

(11.20) H2(F ) ≥ H2(Y0 ∩B(0, 1)) =32π.

Il y a égalité si et seulement si F = [Y0 ∩B(0, 1)] ∪N , avec N ∩ [Y0 ∩B(0, 1)] = ∅, et H2(N) = 0.

Démonstration. On va utiliser la méthode de slicing.

Donc notons L0 l’épine de Y0, π son projecteur. Pour chaque s ∈ L0 ∩ B(0, 1), notons Fs = x ∈F, π(x) = s, Bs = x ∈ B(0, 1), π(x) = s qui est un disque. Alors Fs ∩ ∂B(0, 1) est composé de trois

points a, b, c, dont les distances entre chaque paire sont égales. Par l’hypothèse de séparation, Fs sépare

les composantes connexes de Bs\a, b, c dans Bs. Alors on a

(11.21) H1(Fs) ≥32rs,

où rs est le rayon de Bs. Il y a égalité si et seulement si Fs = Ys modulo un ensemble de 1-mesure

de Hausdorff négligéable, où Ys := [os, a] ∪ [os, b] ∪ [os, c], os = L0 ∩ Bs, et [x, y] désigne le segment

d’extrémités x et y ( c’est facile à vérifier, voir par exemple le lemme 59.1, page 392 de [8]).

Maintenant la formule de coaire donne

(11.22) H2(F ) ≥∫ 1

−1

H1(Fs)ds ≥∫ 1

−1

32rsds =

∫ 1

−1

32

√1− s2ds =

32π.

La deuxième inégalité est une égalité si et seulement si pour presque tout s, Fs = Ys modulo un

ensemble de 1-mesure de Hausdorff négligéable. Mais F est fermé, cela implique que Y0 ∩B(0, 1) ⊂ F .Donc pour que H2(F ) = 3

2π, il faut que F ⊃ Y0 ∩ B(0, 1), et que F\Y0 ∩ B(0, 1) est un ensemble de

mesure nulle.



Par (11.4), (11.15) et (11.18),

(11.23) H2(q0(E)) ≤ H2(E)−H2(p0(E)) =52π − π =

32π.

Mais par (11.14), en applicant le lemme 11.19 à q0(E), H2(q0(E)) ≥ 32π. Donc H2(q0(E)) = 3

2π. Encore

par le lemme 11.19,

(11.24) q0(E) = [Y0 ∩B(0, 1)] ∪N,

avec H2(N) = 0, [Y0 ∩B(0, 1)] ∩N = ∅, et

(11.25) H2(q0(E)) +H2(p0(E)) = H2(E),

ce qui donne le lemme suivant.

Lemme 11.26. 1) Pour presque tout x ∈ E, TxE ∈ P (Ξ) (voir (2.4) pour la définition de P ), où

(11.27) Ξ = ξ ∈ G(5, 2) simple unitaire , |p0(ξ)|+ |q0(ξ)| = 1.

2) Pour pour presque tout z ∈ P0 ∩B(0, 1) = p0(E),

(11.28) N(p0, z) = ]p0−1(z) ∩ E = 1,

et pour presque tout z ∈ q0(E),

(11.29) N(q0, z) = ]q0−1(z) ∩ E = 1.

Mais par la C1 régularité de E autour des points de type P, on peut préciser le terme 1), en notant

que P (Ξ) est un fermé dans G(5, 2).

Corollaire 11.30. Si x ∈ E est de type P, alors TxE ∈ P (Ξ).

Démonstration. Suppsons que TxE 6∈ P (Ξ). Par la C1 régularité de E autour de x, il existe un voisinage

U de x, tel que pour tout y ∈ U ∩ E, TyE existe, et TyE 6∈ P (Ξ), parce que P (Ξ) est fermé. Mais U

est ouvert, par la régularité d’Ahlfors des ensembles minimaux, H2(E ∩ U) est de mesure positive, ce

qui contredit le lemme 11.26 1). 2

On va maintenant déterminer la structure de Ξ.

Lemme 11.31. Soit x, y deux vecteurs unitaires dans R5, alors x∧y ∈ Ξ si et seulement si ils vérifient

la propriété suivante.

Il existe u1, u2, v1, v2 unitaires, ui ∈ P0, vi ∈ Q0, u1 ⊥ u2, v1 ⊥ v2, et α ∈ [0, π2 ], tels que

(11.32) x = cosαu1 + sinαv1, y = cosαu2 + sinαv2.


Démonstration. On va juste montre la partie "seulement si". La partie réciproque est triviale.

Pour tout x, y ∈ R5 unitaires, on a

|p0(x ∧ y)|+ |q0(x ∧ y)| = |p0(x) ∧ p0(y)|+ |q0(x) ∧ q0(y)|

≤ |p0(x)||p0(y)|+ |q0(x)||q0(y)|

≤ 12

(|p0(x)|2 + |p0(y)|2 + |q0(x)|2 + |q0(y)|2) = 1.

(11.33)

La dernière égalité est parce que R5 = P0⊕Q0, et donc |p0(x)|2 + |q0(x)|2 = |p0(y)|2 + |q0(y)|2 = 1.

Alors x ∧ y ∈ Ξ si et seulement si toutes les inégalités dans (11.33) sont des égalités. La première

implique que p0(x) ⊥ p0(y) et q0(x) ⊥ q0(y) ; la deuxième dit que |p0(x)| = |p0(y)| et |q0(x)| = |q0(y)|.Alors notons u1 = p0(x), u2 = p0(y), v1 = q0(x), v2 = q0(y), et α = arctan |q0(x)|

|p0(x)| , on obtient la

conclusion.


Maintenant pour tout ensemble F et x ∈ F , notons CxF la limite d’explosion de F en x si elle

existe. En particulier, notons Cx = CxE pour tout x ∈ E tel que CxE existe.

Lemme 11.34. Si y ∈ E est un point de type Y, alors Cy ⊂ Q0.

Démonstration.

Soit Pi, 1 ≤ i ≤ 3, les trois demi plans fermés dans R5 tels que Cy = ∪3i=1Pi. Alors les Pi se

rencontrent en une droite D. Notons Qi le plan qui contient Pi, v le vecteur unitaire qui engendre D,

et wi des vecteurs unitaires tels que wi ⊥ v et Qi = P (v ∧ wi). Par conséquent l’angle entre wi et wj ,

i 6= j, est de 120.

Maintenant supposons que v 6∈ Q0, c’est à dire qu’il existe e1 ∈ P0, e2 ∈ Q0, α ∈ [0, π2 [ tels que

v = cosαe1 + sinαe2.

On affirme qu’au moins un des Qi n’appartient pas à P (Ξ).

Supposons que non, donc pour i = 1, 2, 3, wi ∧ v ∈ Ξ. Alors il existe e3 ∈ P0, e4 ∈ Q0 unitaires,

e3 ⊥ e1, e4 ⊥ e2, tel que w1 = cosαe3 + sinαe4. Notons que P0 est de dimension 2, donc il n’y a que

deux vecteurs unitaires ±e3 dans P0 qui sont orthogonaux à e1. Par conséquent, pour w2, il existe

e5, e6 ∈ Q0 unitaires, e5 ⊥ e2, e6 ⊥ e2 tels que w2 = ± cosαe3 + sinαe5, w3 = ± cosαe3 + sinαe6.

Notons R l’espace engendré par w1, w2, w3. Alors R est de dimension 2. Notons πR son projecteur.

Alors πR(e3) 6= 0, parce que sinon, puisque w1 = cosαe3 + sinαe4 donne w1 = πR(w1) = sinαπRe4, on

a |w1| = | sinαπRe4| < 1, une contradiction.

Notons f1 = πR(e3)/|πR(e3)|. Prenons f2 un vecteur unitaire dans R qui est perpendiculaire à f1.


On a

| < wi, f1 > | = | < wi, πR(e3)/|πR(e3)| > | = | < πR(wi), e3/|πR(e3)| > |

= | < wi, e3 > |/|πR(e3)| = cosα/|πR(e3)|,(11.35)

qui ne dépend pas de i. Notons cette valeur b. Alors b < 1.

Puisque wi ∈ R = spanf1, f2, chaque wi est de forme

(11.36) wi = εibf1 + δi√

1− b2f2,

où εi, δi ∈ ±1. Mais les trois wi ne peuvent pas faire des angles de 120 sous cette forme (voir 3.19

pour les détails).

Donc au moins un des Qi n’appartient pas à P (Ξ). On continue ensuite comme dans le lemme 3.19,

et on arrive à montrer que v ∈ Q0. Donc α = π2 . Et par les expressions de wi on sait que wi ∈ Q0. En

particulier, Cy ∈ Q0.


Maintenant notons EP l’ensemble des points de type P dans E, et EY l’ensemble des points de

type Y dans E. Alors par la régularité C1 autour des points de type P à l’intérieur de B(0, 1), EP est

ouvert dans E ∩B(0, 1). Notons ES = E\(EP ∪EY ), l’ensembles des points de singularité qui ne sont

pas de type P ou Y. Pour chaque x ∈ ES ∩B(0, 1), si Cx est une limite d’explosion de E en x, alors la

structure des cônes minimaux dit que Cx ∩ ∂B(0, 1) est composé de cercles et d’arcs de cercles qui se

rencontrent en faisant des angles de 120. Et en particulier, Cx ne contient qu’un point de singularité

(tous les autres points sont de type P et Y). Alors par la régularité bi-Hölderienne, on sait qu’il existe

rx > 0 tel que dans B(x, rx), E est topologiquement un Cx, ce qui implique qu’il n’y a qu’un point de

type différent que P et Y dans B(x, r). Et par conséquent, ES est un ensemble discret.

Par la C1 régularité autour des point de type Y, on sait que

EY ∩B(0, 1) est une union de courbes C1 ouvertes,

qui sont limitées par des points dans ES ou ∂B(0, 1).(11.37)

Et si on note ESY l’ensemble des point dans ES dont une limite d’explosion contient des point de

type Y. Alors l’argument ci-dessus donne aussi que

(11.38) ESY ⊂ EY .

Notons aussi ESP = ES\ESP , alors pour tout x ∈ ESP , la limite d’explosion Cx de E en x est une

union de plans, qui vérifie la propriété de "full-length". Alors un argument semblable à celui du lemme

3.23 donne

(11.39) Cx = P0 ∪ Px,


où Px ⊂ Q0, et E coïncide avec une version C1 de Cx dans un voisinage B(x, r) de x. En particulier,

(11.40) q0(B(x, r) ∩ E) contient un disque dans Px ⊂ Q0.

On précise maintenant (11.24) par le lemme suivant.

Lemme 11.41. q0(E) = Y0 ∩B(0, 1).

Démonstration. Notons N ⊂ Q0 ∩B(0, 1) l’ensemble N dans (11.24), qui est de mesure nulle. On veut

montrer N = ∅, d’où la conclusion du lemme.

Par (11.13), N ∩ ∂B(0, 1) = ∅, de sorte que N ⊂ B(0, 1). Prenons un point x ∈ N . Puisque

Y0 ∩B(0, 1) est fermé, il existe r > 0 tel que B(x, r) ⊂ B(0, 1) et B(x, r) ∩ [Y0 ∩B(0, 1)] = ∅, de sorte

que q0(E) ∩B(x, r) est de mesure nulle.

Par définition de N , soit y ∈ E ∩B(0, 1) tel que q0(y) = x, alors q0(B(y, r)∩E) ⊂ q0(E)∩B(x, r),

donc est de mesure nulle. Par conséquent, y 6∈ ESP , parce que sinon, (11.40) implique que q0(B(y, r)∩E)

contient un disque dans Q0, qui est de mesure non nulle.

D’un autre côté, E∩B(y, r) ne contient pas de point de type Y. Sinon supposons que z ∈ B(y, r)∩Eest un point de type Y. Par le lemme 11.34, Cz ⊂ Q0. Par la C1 régularité, il existe r′ > 0 tel que

B(z, r′) ⊂ B(y, r) et H2[q0(E ∩B(z, r′))] > 0. Mais q0(E ∩B(z, r′)) ⊂ N , ce qui contredit la définition

de N .

Donc E ∩B(y, r) ne contient pas de point de type Y. Mais ESY ⊂ EY , de sorte que E ∩B(y, r) ne

contient pas de point de type ESY .

Donc y n’appartient pas à ES . Par conséquent, y est un point de type P. Par la C1 régularité autour

des points de type P, il existe r > r′′ > 0 tel que E ∩B(y, r′′) est le graphe d’une fonction ϕ de classe

C1 qui va de TyE dans TyE⊥. Alors si TyE n’est pas P0, par le corollaire 11.30 et le lemme 11.31,

q0(TyE ∩ B(0, 1)) contient un disque de rayon positive. Encore par la C1 régularité, q0(B(y, r′′) ∩ E)

contient un disque aussi, qui n’est pas de mesure nulle, ce qui contredit la définition de N .

Donc TyE = P0. De plus, le même argument marche pour tout z ∈ q−10 (N). Donc pour tout

z ∈ q−10 (N), TzE = P0. En particulier, pour tout z ∈ E ∩ B(y, r′′), TzE = P0. Par conséquent,

E ∩B(y, r′′) = (P0 + y) ∩B(y, r′′) = (P0 + x) ∩B(y, r′′).

Cet argument donne que E est ouvert dans (P0 + x) ∩B(0, 1). Mais E est aussi fermé, donc E est

ouvert fermé dans (P0 + x) ∩ B(0, 1). Par définition de N , x ∈ N implique que E ∩ (P0 + x) ∩ B(0, 1)

n’est pas vide, donc E ∩ (P0 + x) ∩B(0, 1) = (P0 + x) ∩B(0, 1).

Alors E ⊃ (P0+x)∩B(0, 1). Mais E est fermé dans B(0, 1), ce qui implique que (P0+x)∩∂B(0, 1) ⊂E∩∂B(0, 1) ⊂ Z0∩∂B(0, 1). Prenons l’image de la projection q0, et on obtient que x = 0 ∈ Y0∩B(0, 1),

ce qui contredit la définition de N .

Donc N est effectivement vide. On obtient donc la conclusion du lemme.



Lemme 11.42. Si x ∈ EY ∩B(0, 1), alors q0(E) n’a pas de plan tangent en q0(x).

Démonstration. Notons Cx la limite d’explosion de E en x, alors Cx est un Y , puisque x ∈ EY .

Par la C1 régularité, il existe rx > 0 et ϕ : R5 → R5 un difféomorphisme de classe C1 tel que

ϕ(x) = x,Dϕ(x) = Id, et B(x, rx) ∩ E = B(x, rx) ∩ ϕ(x + Cx). Mais par le lemme 11.34 on sait que

Cx + q0(x) ⊂ Q0, donc q0|Cx+q0(x) = Id, on peut donc définir ϕ0 = q0 ϕ q−10 sur Cx + q0(x), qui est

un C1 difféomorphisme entre q0(E) et Cx + q0(x) dans une petite boule B(x, r′x) ∩ Q0, avec r′x < rx.

Et par conséquent, q0(E) n’admet pas de plan tangent en q0(x).


Corollaire 11.43. q0(EY ∩B(0, 1)) = L0 ∩B(0, 1), où L0 désigne l’épine de Y0.

Démonstration. Rappelons que q0(E ∩ B(0, 1)) = Y0 ∩ B(0, 1), dont l’ensemble de singularités est

L0 ∩ B(0, 1). Par le lemme 11.42, tout point dans q0(EY ) n’a pas de plan tangent à q0(E), donc

q0(EY ∩B(0, 1)) ⊂ L0∩B(0, 1). Mais L0 est fermé, donc q0(EY ∩B(0, 1)) ⊂ L0∩B(0, 1). Pour montrer

la réciproque, soit x ∈ E, tel que q0(x) ∈ L0. On affirme que

(11.44) si x est de type P, alors TxE = P0.

En effet sinon, alors par le corollaire 11.30 et le lemme 11.31, q0(TxE∩B(0, 1)) contient un voisinage

de 0. Et par la C1 régularité autour des points de type P, q0(E) contient un disque C1 de dimension 2

avec q0(x) dans son intérieur. Par le lemme 11.41, q0(E) = Y0 ∩ B(0, 1), et donc q0(x) ∈ L0 implique

que pour tout petit voisinage U de q0(x) dans Q0, q0(E)∩U = Y0∩U , qui ne contient pas un tel disque.

Cette contradiction donne l’affirmation (11.44).

D’un autre côté, soit x ∈ E de type P. Alors par la C1 régularité autour des points de type P, il

existe rx > 0, tel que dans B(x, rx), E est une variété de classe C1. Mais par la Proposition 11.17 de

[17], E est aussi une variété harmonique dans B(x, rx), ce qui implique que E est une variété lisse dans

B(x, rx).

Par conséquent, l’ensemble EP est une variété lisse de dimension 2. Et donc q0 : EP → Q0 est une

fonction lisse entre deux variété lisses.

Notons que par (11.44), pour chaque x ∈ EP ∩ q−10 (L0), TxE = P0, ce qui implique que q0(TxE)

est un point, et donc est de mesure H1 nulle.

Donc par le théorème de Sard,

(11.45) H1(q0(EP ) ∩ L0) = H1(q0(EP ∩ q−10 (L0))) = 0.


Donc

(11.46) L0 ∩B(0, 1) ⊂ q0(EY ∪ ES).

Mais ES est un ensemble discret, donc on a

(11.47) L0 ∩B(0, 1) ⊂ q0(EY ∩B(0, 1)).

Par conséquent,

(11.48) L0 ∩B(0, 1) = q0(EY ∩B(0, 1)).

2

Corollaire 11.49. Pour tout x ∈ EY ∩B(0, 1), l’épine de Cx est L0.

Démonstration.

Soit x ∈ EY ∩ B(0, 1), notons Lx l’épine de Cx, alors Lx ⊂ Q0. Par la C1 régularité autour de

x, il existe r > 0, ϕ un C1 difféomorphisme de B(x, r) dans une partie de B(x, 2r) tel que ϕ(x) =

x,Dϕ(x) = Id et E coïncide avec l’image par ϕ de x+Cx dans B(x, r). Alors Lx est la droite tangente

à la courbe régulière γ = ϕ(Lx). Pour tout y ∈ ϕ(Lx), y ∈ EY , et la droite tangente Tyγ à γ en y est

juste l’épine Ly de Cy. Alors par le lemme 11.34, Tyγ = Ly ⊂ Q0 pour tout y ∈ γ, ce qui implique que

γ − x = q0(γ) ⊂ L0, et donc

(11.50) Lx = Txγ = L0.

2

Lemme 11.51. Pour chaque x ∈ EY ∩B(0, 1), il existe r > 0 tel que EY ∩B(x, r) = (L0 +x)∩B(x, r).

Démonstration. Ceci résulte de la régularité C1 et le corollaire 11.49. 2

Corollaire 11.52. Pour tout x ∈ EY ∩B(0, 1), Cx = Y0.

Démonstration. Par le lemme 11.34,

(11.53) Cx = q0(Cx) = Cq0(x)Y0.

Mais pour tout point y de type Y dans Y0, CyY0 = Y0, donc Cx = Y0. 2

Maintenant on sait que EY est composé de segments ouverts Si, i = 1, 2, 3 · · · parallèles à L0, par

(11.37) et le lemme 11.51. Mais encore par (11.37), pour chaque i, si un extrémité a n’est pas dans


∂B(0, 1), alors il est dans ES . Mais ES est discret, de sorte qu’il existe j 6= i tel que a est aussi un

extrémité de Sj . Par conséquent, EY est composé de segments parallèles à L0 dont les extrémités

appartiennent à ∂B(0, 1).

On en déduit que

(11.54) si x ∈ EY , alors (x+ L0) ∩B(0, 1) ⊂ EY .

Lemme 11.55. EY = L0 ∩B(0, 1), et EY est ouvert dans L0 ∩B(0, 1).

Démonstration.

Par le lemme 11.48, q0(EY ) est ouvert dans L0 ∩B(0, 1).

Maintenant si x ∈ EY , par (11.54), (x + L0) ∩ B(0, 1) ⊂ EY . Par le corollaire 11.43 on sait que

q0(x) ∈ L0. Donc pour montrer le lemme, il suffit de montrer que p0(x) = 0.

Notons xp = p0(x). Alors

(11.56) q0((L0 + xp) ∩B(0, 1)) = L0 ∩B(0,√

1− |xp|2).

Si xp 6= 0,√

1− |xp|2 < 1, donc q0((L0 + xp) ∩ B(0, 1)) = L0 ∩ B(0,√

1− |xp|2) 6= L0 ∩ B(0, 1) =

q0(EY ∩ B(0, 1)), ce qui implique qu’il existe un y ∈ (EY \(L0 + xp)) ∩ B(0, 1), parce que q0(EY ) est

un ouvert dense dans L0 ∩B(0, 1), à cause du corollaire 11.43 et du lemme 11.51.

Notons yp = p0(y), alors yp 6= xp, et (L0 + yp) ∩B(0, 1) ⊂ EY , et donc aussi

(11.57) L0 ∩B(0,√

1− |yp|2) = q0((L0 + yp) ∩B(0, 1)).

Maintenant x, y ∈ B(0, 1) implique que |xp| < 1, |yp| < 1. Alors r = min√

1− |xp|2,√

1− |yp|2 >0, et par conséquent, pour presque tout z ∈ L0 ∩B(0, r), ]q−1

0 (z) ∩EY ≥ 2. Encore par la régularité

C1, on obtient qu’il existe r′ > 0 tel que pour presque tout z ∈ Y0 ∩B(0, r′),

(11.58) ]q−10 (z) ∩ E ≥ 2.

Mais Y0 ∩B(0, r′) est de mesure non nulle, ce qui contredit (11.29).

Donc on a p0(x) = xp = 0. Mais x est n’importe quel point dans EY . On obtient donc que

EY = L0 ∩B(0, 1). Donc q0(EY ) = EY , de sorte que EY est ouvert dans L0, par le lemme 11.51.


Notons maintenant R1, R2, R3 les trois demi plans fermés qui composent Y0, et Pi le plan contenant

Ri. On a ∩3i=1Pi = L0.

Lemme 11.59. Si x ∈ EP ∩B(0, 1), et si TxE n’est pas perpendiculaire à Q0, alors il existe 1 ≤ i ≤ 3

tel que q0(TxE) = Pi.


Démonstration. Par le lemme 11.38 et la régularité de C1, on n’a pas d’autre choix. 2

Lemme 11.60. Pour chaque 1 ≤ i ≤ 3 et x tel que q0(TxE) = Pi, il existe r = rx > 0 tel que dans

B(x, r), E est le graphe d’une fonction analytique ou antianalytique de Pi dans P0.

Démonstration.

Supposons par exemple que i = 1.

Par la régularité de C1, l’application y → TyE est continue. Alors il existe r′ > 0 tel que pour tout

y ∈ E ∩ B(x, r′), le plan tangent TyE de E en y existe, et q0(TyE) 6= P2, P3, 0. Alors par le lemme

11.59,

(11.61) q0(TyE) = P1 pour tout y ∈ E ∩B(x, r′).

Encore par la C1 régularité, il existe r < r′ tel que dans B(x, r), E est le graphe d’une fonction ϕ

de classe C1, de P1 = TxE dans P⊥1 . Alors par (11.61)

(11.62) ϕ = p0 ϕ.

Donc en fait, E coïncide dans B(x, r) avec le graphe d’une fonction de P1 vers P0. Pour montrer qu’elle

est analytique ou anti-analytique, on utilise le lemme 11.31, et l’argument du lemme 3.34.


Lemme 11.63. Pour chaque x ∈ EY ∩ B(0, 1) ⊂ L0 ∩ B(0, 1), il existe r > 0 tel que E ∩ B(x, r) =

Y0 ∩B(x, r).

Démonstration. Soit x ∈ EY ∩B(0, 1). Par la C1 régularité, il existe r > 0 et un difféomorphisme ϕ de

classe C1 de B(x, r) vers B(x, r) tels que Dϕ(x) = 0, ϕ(x) = x, et E ∩ B(x, r) = ϕ(Y0) ∩ B(x, r). Et

pour chaque 1 ≤ i ≤ 3, et chaque y ∈ Pi ∩B(x, r),

(11.64) q0(Tϕ(y)ϕ(Pi)) = Pi.

Rappelons que Ri est le demi plan fermé contenu dans Pi, et ϕ(Ri ∩ B(x, r)\L0) ⊂ E, qui ne

contient que des points de type P. Alors par le lemme 11.60, pour chaque y ∈ ϕ(Ri ∩ B(x, r)\L0),

il existe ry > 0 tel que dans B(y, ry), E coïncide avec le graphe d’une fonction analytique ou anti

analytique de Pi vers P0. Par conséquent, si on note Ui = Ri ∩ B(x, r)\L0, alors dans Pi, Ui est un

ouvert simplement connexe, avec L0 ∩B(x, r) ⊂ ∂Ui, et

ϕ(Ui) est le graphe d’une fonction analytique ou antianalytique

fi de Ui vers P0 et qui est continue sur ∂Ui.(11.65)


Mais ϕ(L0∩B(x, r)) = L0∩B(x, r) implique que limx→L0 fi = 0, où L0∩B(x, r) est un ouvert dans

∂Ui, et tout le reste de Ui n’intersecte pas L0. Alors en utilisant le principe de réflexion de Schwarz, on

peut étendre fi analytiquement sur Ui ∪ L0 ∪ U∗i , où U∗i est le symétrie de Ui par rapport à L0.

Alors fi admet une droite de zeros, ce qui implique fi ≡ 0 sur Ui. On a donc E ∩ B(x, r) =

Y0 ∩B(x, r).


Lemme 11.66. Y0 ∩B(0, 1) ⊂ E.

Démonstration. Notons maintenant Ai = x ∈ E : ∃r > 0 tel que E∩B(x, r) = Pi∩B(x, r), 1 ≤ i ≤ 3.

On va montrer que

(11.67) Ai ∩Ri ∩B(0, 1)\(L0 ∪ ES) = Ri ∩B(0, 1)\(L0 ∪ ES), 1 ≤ i ≤ 3.

D’abord par le lemme 11.63, Ai 6= ∅. En effet prenons n’importe quel y ∈ EY ∩ B(0, 1) ⊂ L0, il

existe r > 0 tel que E ∩B(y, r) = Y0 ∩B(y, r). Alors B(y, r) ∩Ri\L0 ⊂ Ai.

Par définition, Ai est ouvert dans Ri ∩B(0, 1)\(L0 ∪ ES).

Mais on sait que pour tout x ∈ E ∩B(0, 1)\L0 ∪ ES , x est de type P. Par la C1 régularité, Ai est

aussi fermé dans Ri ∩ B(0, 1)\(L0 ∪ ES). Notons que ES est discret, Ri ∩ B(0, 1)\L0 est ouvert dans

Ri et connexe, donc Ri ∩B(0, 1)\(L0 ∪ ES) est aussi connexe. On obtient donc (11.67). Mais Ai ⊂ E,

donc Ri ∩B(0, 1)\(L0 ∪ ES) ⊂ E, de sorte que Ri ∩B(0, 1) ⊂ Ri ∩B(0, 1)\(L0 ∪ ES) ⊂ E, 1 ≤ i ≤ 3,

d’où la conclusion.


On sait que EY ⊂ EY ⊂ L0∩B(0, 1) ⊂ Y0. Donc si x ∈ [E∩B(0, 1)]\(Y0∪ES), x est de type P. Par

le lemme 11.59, si TxE n’est pas perpendiculaire à Q0, il existe i ∈ 1, 2, 3 tel que q0(TxE) = Pi. Par la

C1 régularité autour d’un point de type P, il existe rx > 0 tel que Pi ∩B(q0(x), rx) ⊂ q0(B(x, rx)∩E),

et B(x, rx) ∩ Y0 = ∅. Notons que q0(E) = Y0, donc q0(B(x, rx) ∩ E) ⊂ Y0 ∩ Pi = Ri. Notons Pi ∩B(q0(x), rx) = V , alors V ⊂ q0(B(x, rx) ∩ E) ⊂ Ri. Notons que Ri ⊂ Y0 ⊂ E. Par conséquent, pour

chaque z ∈ V , q−10 (z) ∩E a au moins deux éléments : un est lui-même, un est dans E ∩B(x, rx). Mais

V est ouvert dans Pi, de sorte qu’il est de mesure non nulle, ce qui contredit (11.29).

Donc pour tout x ∈ E ∩B(0, 1)\(Y0 ∪ ES), TxE existe et vaut P0.

Mais E ∩ B(0, 1)\Y0 est ouvert dans E. Donc si x ∈ E ∩ B(0, 1)\(Y0 ∪ ES), il existe r > 0 tel

que B(x, r) ∩ Y0 = ∅. Par la C1 régularité autour d’un point de type P, il existe 0 < r′x < r tel que

dans B(x, r′x), E est une variété de classe C1. Mais pour tout y ∈ B(x, r′x) ∩ E, y 6∈ Y0, de sorte que

TyE = P0. Donc E ∩B(x, r′x) = (P0 + x) ∩B(x, r′x).


Par (11.28), et le fait que p0(Y0 ∪ ES) est de mesure nulle, E ∩ B(0, 1)\(Y0 ∪ ES) n’est pas vide.

Prenons x ∈ E ∩B(0, 1)\(Y0 ∪ES), par l’argument d’ouvert et fermé, et en utilisant le fait que ES est

discret, EY ⊂ L0 dont l’intersection avec P0+x est un seul point, on a que (P0+x)∩B(0, 1)\(ES∪EY ) ⊂E. Mais E est fermé, (P0 + x) ∩ B(0, 1) ∩ (ES ∪ EY ) est discret, donc (P0 + x) ∩ B(0, 1) ⊂ E. Donc

(P0 + x) ∩ ∂B(0, 1) ⊂ E ∩ ∂B(0, 1), ce qui implique x ∈ P0. On a donc P0 ∩B(0, 1) ⊂ E.

Donc Z0 ∩B(0, 1) ⊂ E. Mais E est fermé, donc Z0 ∩B(0, 1) ⊂ E.

Mais H2(E) = 52π = H2(Z0 ∩B(0, 1)). On a donc

(11.68) E = Z0 ∩B(0, 1).

Et c’est ce qu’on voulait. 2

11.3 Remarques sur d’autres préparatifs

Maintenant on fait comme dans le paragraphe 4. Supposons que pour chaque k ∈ N, il existe

Zk = Pk ∪ Yk, où Yk ⊂ Qk, Pk, Qk sont des sous-espaces de dimension 2 et 3 respectivement, et

αPk,Qk ≥ π2 −

1k , tel que Zk n’est pas minimal dans B(0, 1).

De plus, quitte à composer par une rotation, on suppose que tous les Qk et les Yk sont tous égaux

à Q0 et Y0.

En utilisant la proposition 4.1, on montre que

Proposition 11.69. Pour chaque k, il existe un ensemble Ek fermé réduit, qui vérifie

(1) Ek est minimal dans R5\[Zk\B(0, 1)] ;

(2) ∂B(0, 1) ∩ Ek = ∂B(0, 1) ∩ Zk ;

(3) pk(Ek) ⊃ Pk ∩ B(0, 1), et qk(Ek) vérifie la condition de séparation, c’est à dire, pour tout

x, y ∈ ∂B(0, 1)∩Zk tels que x et y n’appartiennent pas à la même composante connexe de ∂B(0, 1)\Zk,ils n’appartiennent pas à la même composante connexe de B(0, 1)\Ek non plus.

Ici pk, qk désigne le projecteur de Pk et Qk ;

(4) H2(Ek) < H2(Zk ∩B(0, 1)) = 52π.

De plus, Ek est contenu dans l’enveloppe convexe de Zk ∩B(0, 1).

Remarque 11.70. Ici on utilise le fait qu’une déformation ne change pas la condition de séparation

(c.f.[13] XVII 4.3).

Ensuite on peut continuer à chercher le rayon critique pour chaque k. Mais on change un peu la

définition de Ck et Dk.

11.3 - Remarques sur d’autres préparatifs 125

Pour Pk, on note, comme précédent,

(11.71) CPk (x, r) = x+ p−1k (Pk ∩B(0, r)).

Pour la côté Qk, la vie est un peu plus compliquée. On rappelle que pour chaque k, Qk = Q0 et

Yk = Y0. On écritQ0 = R⊕R2, où la première coordonée est L0, qui est l’épine de Y0. La deuxième est un

plan, qui intersecte Y0 en un ensemble Y 1, qui est l’union de trois demi droites qui se rencontrenent en 0

en faisant des angles de 120 degrés (c’est un Y de dimension 1). Pour chaque r > 0, on note S(0, r) ⊂ R2

l’hexagone régulier ouvert centré en 0 dont trois côtés non-adjacents intersectent respectivement les trois

branches de Y 1 perpendiculairement. De plus, H1(S(0, r)∩Y 1) = 3r, c’est à dire, la partie de Y 1 dans

S(0, r) est l’union de trois segments de longeurs r. Notons aussi S(x, r) = x+S(0, r) pour x ∈ Q0, r > 0,

et a1(x, r), a2(x, r), a3(x, r) les trois côtés de S(x, r) qui rencontrent Y0, et b1(x, r), b2(x, r), b3(x, r) les

trois côtés restants. Voir le dessin 11-1.

11-1

Alors on note U(0, r) = (−r, r) × S(0, r), et U(x, r) = x + U(0, r). Ce sont donc des ouverts dans

Q0, qui sont topologiquement des boules. On prend U(x, r) au lieu d’une boule, pour contrôler mieux

la mesure autour d’une structure de Y, qu’on va le voir. On note aussi Ai(x, r) = (x − r, x + r) ×ai(x, r), Bi(x, r) = (x− r, x+ r)× bi(x, r), 1 ≤ i ≤ 3. Alors

(11.72) ∂U(x, r) = [∪3i=1Ai(x, r)] ∪ [∪3

i=1Bi(x, r)] ∪ S(x− r, r) ∪ S(x+ r, r).

On pose maintenant

(11.73) CQk (x, r) = x+ q−1k (Qk ∩ U(0, r))


et

(11.74) Dk(x, r) = CPk (x, r) ∩ CQk (x, r).

On définit aussi

(11.75) dx,rk (E,F ) = dr,Dk(x,r)(E,F ),

pour deux fermés E et F , où dr,U (E,F ) est défini dans (5.4), pour tout U ouvert.

On énonce maintenant la proposition 11.76, qui est une nouvelle version de la proposition 5.11, par

le même argument de récurrence, en utilisant bien sûr une nouvelle version du lemme 5.20, formulié

dans la proposition 11.77.

Proposition 11.76. Il existe ε0 > 0, tel que si ε < ε0, alors pour tout k assez grand, il existe rk ∈]0, 12 [

et ok ∈ B(0, 12ε) tels que Ek est 2εrk proche de Zk + ok dans Dk(ok, 2rk(1− 12ε)), mais par contre il

n’est εrk proche de Zk + q dans Dk(ok, rk) pour aucun q ∈ R5.

La démonstration de la proposition 11.76 se fait comme pour la proposition 5.11.

Ensuite la nouvelle version de la proposition 6.1.

Proposition 11.77. Il existe ε0 > 0, tel que pour ε < ε0 fixé et k grand, si notre ε-processus ne s’arrête

pas à l’étape n, alors

(1) Ek ∩ (D(0, 3940 )\D(qn, 1

10sn)) est composé de deux morceaux disjoints GP et GQ, tels que

(11.78) GP est le graphe d’une application C1 gp : Dk(0,3940

)\Dk(qn,110sn) ∩ Pk → P⊥k ,

avec

(11.79) ||∇gP ||∞ < 1 ;

et

(11.80) GQ est l’image de Yk d’une application gQ de classe C1 : R5 → R5,

avec

(11.81) ||DgQ − Id|| < 1100

.

(2) pour chaque 110sn ≤ t ≤ sn

(11.82) Ek ∩ (Dk(0, 1)\Dk(qn, t)) = GPt ∪GQt

où GPt , GQt ne se rencontrent pas. De plus

(11.83) Pk ∩ (Dk(0, 1)\CPk (qn, t)) ⊂ pk(GPt )

11.3 - Remarques sur d’autres préparatifs 127

et

(11.84) qk(Ek) sépare les trois Bi(qn, t) dans B(0, 1)\Dk(qn, t).

(3) Pour chaque 110sn < t < sn, il existe une suite Fnl (t) = fnl (t)((Zk + qn)∩Dk(qn, sn + 1

l )) dedéformations de (Zk + qn) ∩Dk(qn, t+ 1

l ), avec

(11.85) fnl (t)(Zk ∩ ∂Cik(qn, t+1l) ⊂ ∂Cki (qn, t+

1l), i = P,Q

qui tend vers Ek ∩Dk(qn, t) dans B(0, 1) ;

(4)

(11.86) pk : Ek ∩Dk(qn, t)→ Pk ∩ CPk (qn, t) est surjective,

et

(11.87) qk(Ek ∩Dk(qn, t) sépare les trois Bi(qn, t) dans Dk(qn, t).

Remarque 11.88. Le point différent de la proposition 6.1 est la condition de séparation. Mais notons

que c’est une propriété invariante sous les déformations (c.f.[13] XVII 4.3), et conservée pour la limite

pour la distance de Hausdorff, donc toute la démonstration marche comme dans la proposition 6.1.

Pour l’extension harmonique, on va encore avoir besoin d’une version pour des rectangles, pour

traiter la partie proche de Y0. Mais ça ne coûte pas cher.

Lemme 11.89. Soit 0 < r < 1 et u0 ∈ C1([0, r0]× 0,R). On note m(u0) = 1r0

∫ r00u0 sa moyenne.

Alors pour toute u ∈ C1([0, r0]× [0, 1],R) qui satisfait à

(11.90) u|[0,r0]×0 = u0

on a

(11.91)∫

[0.r0]×[0,1]

|∇u|2 ≥ 14πr−1

0

∫ r0

0

|u0 −m(u0)|2.

Démonstration. On peut d’abord définir, pour chaque u, u : [0, 2r0]× [0, 1]→ R, pour chaque (x, y) tel

que r0 < x ≤ 2r0, et y ∈ [0, 1], u(x, y) = u(2r0 − x, y). Alors u(0, y) = u(2r0, y), et

(11.92)∫

[0.2r0]×[0,1]

|∇u|2 = 2∫

[0.r0]×[0,1]

|∇u|2.

Notons aussi u0 = u0|[0,2r0]×0.

Maintenant on peut transformer notre région [0.2r0] × [0, 1] conformément (qui ne change pas

l’énergie de Dirichlet) dans un anneau de rayons 1 et r1 = exp(− πr0

) < 12 par une application f . En


effet, si on regarde le plan comme une version de C, en regardant (x, y) ∈ R2 comme x + yi, alors

f(z) = exp− πr0exp−iπz/r0.

Notons v = uf−1. Alors v est une fonction deB(0, 1)\B(0, r1) dans R, et v|∂B(0,r1) = v0 := u0f−1.

Par la proposition 7.1

(11.93)∫B(0,1)\B(0,r1)

|∇v|2 ≥ 14r−11

∫∂B(0,r1)

|v0 −m(v0)|2.

Mais

m(v0) =1

2πr1

∫∂B(0,r1)

v0 =1

2πr1

∫[0,2r0]

u0|Df |∂B(0,r1)|

=1

2πr1

∫[0,2r0]

u0 ×πr1

r0=

1r0

∫ r0

0

u0 = m(u0),(11.94)

et

r−11

∫∂B(0,r1)

|v0 −m(v0)|2 = r−11

∫[0,2r0]

|u0 −m(u0)|2|Df |∂B(0,r1)|

= r−11

∫[0,2r0]

|u0 −m(u0)|2 × πr1

r0= πr−1

0

∫[0,2r0]

|u0 −m(u0)|2.(11.95)

Donc par (11.93)

(11.96)∫B(0,1)\B(0,r1)

|∇v|2 ≥ 14πr−1

0

∫[0,2r0]

|u0 −m(u0)|2 =12πr−1

0

∫[0,r0]

|u0 −m(u0)|2.

Mais f est une transformation conforme, de sorte que∫B(0,1)\B(0,r1)

|∇v|2 =∫

[0.2r0]×[0,1]|∇u|2. Par

conséquent,

(11.97)∫

[0.2r0]×[0,1]

|∇u|2 ≥ 12πr−1

0

∫[0,2r0]

|u0 −m(u0)|2,

et donc

(11.98)∫

[0.r0]×[0,1]

|∇u|2 ≥ 14πr−1

0

∫ r0

0

|u0 −m(u0)|2.


La même argument, en combinant avec le corollaire 7.44, donne

Lemme 11.99. Pour tout 0 < ε < 1, il existe C = C(ε) > 100 tel que si r1 : r0 <14 , u ∈ C

1([0, r0]×[0, r1],R et

(11.100) u|[0, r0]× 0 > δr0 −δr0

Cet u|[0,r0]×r1 <

δr0

C,

alors

(11.101)∫

[0,r0]×[0,r1]

|∇u|2 ≥ C ′δ2r20.

11.4 - Conclusion 129

11.4 Conclusion

Comme dans le paragraphe 8, on donne d’abord une proposition parallèle à la proposition 8.1, mais

avec plus de restriction.

Proposition 11.102. Pour tout 0 < ε < ε0, il existe 0 < δ < ε et 0 < θ0 <π2 , qui ne dépendent que

de ε, avec les propriétés suivantes.

Soit θ0 < θ < π2 , et soit P,Q deux espace dans R5 de dimension 2 et 3 respectivement, avec

α = αP,Q > θ0, et Y est un cône de type Y dans Q. On définit Dα(x, r) comme dans (11.74) pour P et

Q. Alors si E ⊂ B(0, 1) est un ensemble minimal dans B(0, 1) qui est ε proche de Zα = Y ∪α P dans

Dα(0, 1), mais n’est 12ε proche d’aucune translation Zα + q de Zα dans Dα(0, 1

2 ), et si de plus

(11.103) p(E) ⊃ P ∩B(0,38

),

et

(11.104) q(E) sépare les trois Bi(0,38

), 1 ≤ i ≤ 3,

alors il n’est 12δ proche d’aucune translation Zα + q′ de Zα dans Dα(0, 1

2 )\[CP (0, 18 ) ∩ q−1(S(0, 1

8 ) ×[− 1

2 ,12 ])].

Démonstration. On montre d’abord ceci.

Lemme 11.105. Pour tout 0 < ε < ε0, il existe 0 < δ1 < ε et 0 < θ0 <π2 , qui ne dépendent que de ε,

avec les propriétés suivantes.

Soit θ0 < θ < π2 , et soit P,Q deux sous-espaces dans R5 de dimension 2 et 3 respectivement, avec

α = αP,Q > θ0, et Y un cône de type Y dans Q. On définit Dα(x, r) comme dans (11.74) pour P et

Q. Alors si E ⊂ Dα(0, 1) est un ensemble minimal dans Dα(0, 1) qui est δ1 proche de Z = Y ∪ P dans

Dα(0, 1)\Dα(0, 14 ), et si de plus

(11.106) p(E) ⊃ P ∩B(0, 1),

et

(11.107) q(E) sépare les trois Bi(0,34

), 1 ≤ i ≤ 3,

alors il est ε proche de Z dans Dα(0, 1).

Démonstration. Même argument pour que la proposition 8.1 et le corollaire 8.24, en remplaçant juste

une des deux conditions de projections par la condition de séparation, et utilisant l’unicité de Z0. 2

On va démontrer la proposition 11.102 par l’absurde. Supposons que l’énoncé n’est pas vrai. Il

existe alors une suite θl → π2 , δl → 0, et El minimaux dans B(0, 1), tels que El est ε proche de


Zl = Pl ∪θl Yl dans B(0, 1), et avec les propriétés suivantes. D’abord, El est 12δl proche de Zl dans

Dα(0, 12 )\[CP (0, 1

8 ) ∩ q−1(S(0, 18 ) × [− 1

2 ,12 ])], et (11.103),(11.104) sont vrais pour chaque El, mais El

n’est 12ε proche d’aucune translation Zα + q de Zα dans D(0, 1

2 ). Ainsi, par le lemme 11.105, il n’est12δ1 proche d’aucun Zα + q de Zα dans Dα(0, 1

2 )\Dα(0, 18 ).

Quitte à composer par une rotation, on peut supposer que tous les Yl sont les même. Alors quitte à

extraire une sous suite, on peut supposer que les El convergent vers un ensemble E∞ ⊂ B(0, 1). Alors

E∞ est un ensemble minimal qui est ε proche de Z0 dans B(0, 1). On a donc toutes les conclusions de

la proposition 11.77, en utilisant (11.103) et (11.104).

Notons que δl → 0, chaque El est 12δl proche de Zl dans Ωα = Dα(0, 1

2 )\[CP (0, 18 ) ∩ q−1(S(0, 1

8 )×[− 1

2 ,12 ])], et que Zl → Z0 puisque θl → π

2 , donc on a

(11.108) E∞ ∩ Ω0 = Z0 ∩ Ω0,

où Ω0 = D0(0, 12 )\[CP0 (0, 1

8 ) ∩ q−10 (S(0, 1

8 )× [− 12 ,

12 ])].

La région différence entre Ωα et Dα(0, 12 )\Dα(0, 1

8 ) est l’union de deux régions symétriques : Ω1α =

CP0 (0, 18 ) ∩ q−1

0 (S(0, 18 )× [− 1

2 ,−18 ]) et Ω2

α = CP0 (0, 18 ) ∩ q−1

0 (S(0, 18 )× [ 1

8 ,12 ]).

Notons que Ωiα → Ωi0, i = 1, 2, et E∞ est ε proche de Z0 dans ces deux régions. Mais dans chaque

Ωi0, Z0 est juste un morceau de Y , et ε est suffisament petit, donc par la régularité C1, E∞ est le graphe

d’un difféomorphisme ϕ de classe C1 de Y dans Ωi0, avec ||Dϕ − Id||∞ suffisamment petit. On peut

même étendre cette régularité jusqu’à Ωi = CP0 (0, 18 ) ∩ q−1

0 (S(0, 17 )× [ 1

10 ,1120 ]).

Alors prenons Ω1 par exemple. Notons Fj , 1 ≤ j ≤ 3 les trois morceaux ϕ(Yj), où les Yj sont les

trois demi-plans ouverts de Y . Chaque Fj contient un morceau de plan dans Ω1\Ω10. Autour de chaque

x ∈ Fj , x est un point de type P, donc dans un voisinage de x, Ej est une variété harmonique (c.f.[17],

Proposition 11.17). Par conséquent chaque Fj est une variété harmonique. Mais Fj contient un morceau

de plan, donc Fj est forcément un morceau de plan lui même. Par conséquent, E∞ = Y dans Ω1.

Pareil pour Ω2. On obtient donc E∞ = Z0 dans D0(0, 12 )\D0(0, 1

8 ). Mais ce cas contredit le fait que

E∞ n’est 12δ1 proche d’aucun Zα + q de Zα dans D0(0, 1

2 )\D0(0, 18 ).

On obtient donc la propositon 11.102. 2

Ensuite on procéde comme dans le paragraphe 8. Mais pour gagner une mesure suffisante de la

partie dans Q0 hors de la boule critique, qui ressemble à un Y, la manière est un peu différente que

celle pour traiter une partie qui ressemble à un plan.

Donc fixons un k assez grand, et un ε < ε0 tel que toutes les propriétés ci-dessus sont vraies.

Notons D(x, r) = Dk(x, r). On va regarder dans D(ok, rk). Par définition, Ek n’est εrk proche

de Zk + q pour aucun q ∈ R5. Alors par la proposition 11.102, Ek n’est δrk proche de Zk + q dans

D(ok, rk)\[CP (ok, 14rk) ∩ q−1(S(ok, 1

4rk)× [−rk, rk])] pour aucun q ∈ R5.

11.4 - Conclusion 131

Pour la partie Ek ∩D(ok, 14rk),

(11.109) H2(Ek ∩D(ok, rk)) ≥ (1− C

k)[H2(pk(Ek ∩D(ok, rk))) +H2(qk(Ek ∩D(ok, rk))).

Alors par (11.86)

(11.110) H2(pk(Ek ∩D(ok, rk))) ≥ πr2k,

et par (11.87) on a

(11.111) H2(qk(Ek ∩D(ok, rk))) ≥ 6r2k.

Par conséquent

(11.112) H2(Ek ∩D(ok, rk)) ≥ H2(Zk ∩D(ok, rk))− C

k.

Pour la partie Ek ∩D(ok, rk)\D(ok, 14rk), si la partie proche de Pk +ok est déjà loin, c’est à dire, la

partie GP14 rk

n’est 12εrk proche de aucun P + q dans D(ok, rk)\D(ok, 1

4rk), alors on gagne comme pour

deux plans presque orthogonaux si k est grand, parce que pour la partie GQ, la condition de séparation

garantit toujours que la mesure est plus grande que celle de Yk dans B(0, 1)\D(ok, 14rk). Sinon, alors

la partie GQ14 rk

n’est 12εrk proche de aucun Yk + q dans D(ok, rk)\(ok − rk, ok + rk)× S(ok, 1

4rk).

On va encore décomposer notre GQ14 rk∩D(ok, rk)\D(ok, 1

4rk).

Notons F1 = GQ14 rk∩D(ok, rk)\(ok− rk, ok + rk)×S(ok, 1

4rk). Alors F1 est composé de trois parties

plates F i1, 1 ≤ i ≤ 3, chaque F i1 est 2εrk proche d’un branche Ri + ok de Yk + ok dans D(ok, rk)\(ok −rk, ok + r)×S(ok, 1

4rk). Donc par la régularité de classe C1, chaque F i1 est le graphe C1 d’une fonction

gi sur Ri ∩D(ok, rk)\(ok − rk, ok + r)× S(ok, 14rk).

F1 n’est 14δ proche d’aucun Yk + q, alors il y a deux possibilités.

1) il existe un F i1 qui est 14δrk loin des translations de Ri. Alors, comme pour l’union de deux

plans, notons, pour chaque a ∈ (Y 1 ∩ Ri) + ok, Γa = gi((ok − rk, ok + rk) × a), il existe alors, soit

un segment (ok − rk, ok + rk)× a parallèle à L0, avec a ∈ (Y 1 ∩Ri) + ok, tel que la partie de F i1 sur

lui contient deux points x 6= y dont les attitudes sont assez différents : |gi(x)− gi(y)| ≥ 14δ ; soit deux

niveaux a, b ∈ (Y 1 ∩ Ri) + ok + ok ∩D(ok, rk)\(ok − rk, ok + r) × S(ok, 14rk) tels que Γa,Γb n’osillent

pas de 1200δrk eux-mêmes, mais la distance entre eux est plus grande que 1

8δrk. Dans les deux cas on

peut, comme on a démontré dans le paragraphe 8, gagner une mesure C1(δ)r2k sur Yk.

2) Si 1) n’est pas vrai. C’est à dire que

chaqune des trois parties estδrk200

proche des plans, mais

l’ensemble n’est pas14δ proche d’aucun Yk + q.

(11.113)

Notons F2 = qk(GQ14 rk∩ [ok + 1

4rk, ok + rk]× S(ok, 14rk)). On va gagner un peu de mesure sur cette

partie.


On sait que F2 intersecte les trois faces ∆i = S(ok + 14rk, ok + rk)× ai(ok, 1

4rk) en trois lignes qui

sont δrk200 proche d’une droite parallèle à L0. Mais par (11.105), l’union des trois lignes n’est 116δrk proche

d’aucun Yk+q. Alors puisque les lignes sont δrk200 proches des droites parallèle à L0 respectivement, pour

chaque s ∈ (ok + 14rk, ok + rk), la tranche F s2 = (x, y, z) ∈ F2, x = s n’est δrk

20 proche d’aucun Y 1 + q

pour q ∈ Qk.

Lemme 11.114. Soit S(0, 1) ⊂ R2 l’hexagone régulier définit comme avant, ai = ai(0, 1), bi = bi(0, 1)

ses 6 côtés. Alors pour chaque δ > 0 petit, il existe C(δ) > 0 qui vérifie la propriété suivante. Soit

xi, 1 ≤ i ≤ 3 trois points tels que xi ∈ ai, et que ∪3i=1xi n’est δ proche d’aucun (Y 1+q)∩(∪3

i=1(ai∪bi),et γ un ensemble connexe qui connecte les xi, alors

(11.115) H1(γ) ≥ 3 + C(δ).

Admettons ce lemme pour l’instant ; on obtient par la formule de la coaire que

H2(F2) ≥∫ ok+rk

ok+ 14 rk

H1(F s2 )ds ≥ (34rk)(1 + C(δ))

34rk +D(δ)

13rk)

≥ H2((Yk + ok) ∩ S(ok +14rk, ok + rk)× S(ok,

14rk)) + C2(δ)r2

k,

(11.116)

et on gagne comme précédemment.

Donc il nous reste à montrer le lemme.

Démonstration du lemme 11.114. Voir le dessin 11-2.

11-2

133

Notons q ∈ R2 le point tel que les angles entre les [q, xi] sont tous de 120. Ce point existe et

est dans ∆x1x2x3 ⊂ S(0, 1), puisque chaque angle du triangle ∆x1x2x3 est au plus de 120. Alors par

définition de q, on a

(11.117) H1(γ) ≥3∑i=1

|xiq|.

Pour chaque 1 ≤ i ≤ 3, notons li la droite contenant ai , et yi ∈ li le point tel que [q, yi] ⊥ li. Alors

(11.118)3∑i=1

|qyi| = 3.

Notons que (Y 1 + q) ∩ (∪3i=1(ai ∪ bi) = y1, y2, y3. Par hypothèse, dH(∪3

i=1xi,∪3i=1yi) > δ.

Donc il existe 1 ≤ i ≤ 3, tel que d(xi, yi) > δ. Supposons par exemple que d(x1, y1) > δ. Par conséquent

|x1q| =√|y1q|2 + |x1y1|2 = |y1q|

√1 + (

|x1y1||y1q|

)2

≥ |y1q|(1 +14

(|x1y1||y1q|

)2) = |y1q|+14|x1y1|2

|y1q|.

(11.119)

Mais |y1q| < 2, |x1y1| ≥ δ, donc

(11.120) |x1q| > |y1q|+18δ2.

D’autre part, puisque [yjq] ⊥ lj , et xj ∈ lj , j = 2, 3, on a donc

(11.121) |y2q| ≤ |x2q|, |y3q| ≤ |x3q|,

et donc

(11.122)3∑i=1

|xiq| >3∑i=1

|yiq|+18δ2 ≥ 3 +

18δ2.

Posons C(δ) = 18δ

2, et on obtient la conclusion.

Fin de la démonstration du lemme. 2

12 Produit et calibration

On commence encore par l’histoire de la liste de cônes minimaux de dimension 2 dans R4. A part

de l’union de deux plans presque orthogonaux, un autre canditat potentiel est le produit de deux

exemplaires de Y orthogonaux, où Y ⊂ R2 est un Y de dimension 1, qui est l’union de 3 demi-droites

qui se rencontrent en faisant angles de 120.


Il parait très naturel que le produit de deux ensembles minimaux soit minimal. Mais en fait c’est

beaucoup moin évident. Même pour Y ×Y ⊂ R4, on ne sait pas le démontrer. Ici on donnera un resultat

partiel, qui dit que Y × Y est de mesure minimale parmi toutes ses déformations injectives.

Proposition 12.1. Notons E = Y1 × Y2 ⊂ R4 = R21 × R2

2, où Y1 ⊂ R21, Y2 ⊂ R2

2. Alors pour toute

appllication f : R4 → R4 Lipschitzienne injective telle que f(x) = x hors d’une boule B ⊂ R4, alors

(12.2) H2(E\F ) ≤ H2(F\E).

Démonstration. Sans perdre de généralité, on peut supposer que f = id hors du cylindre D(0, 1) =

[B(0, 1) ∩ R21]× [B(0, 1) ∩ R2

2], parce que E est un cône.

On sait que pour chaque i = 1, 2, il y a une calibration paire pour Yi ⊂ R2i . Plus précisément,

notons Y1 ∩∂B(0, 1) = x0, x1, x2 = xii∈Z3 et Y2 ∩∂B(0, 1) = yii∈Z3 . Notons aussi xi, yj , i, j ∈ Z3

les vecteurs −→oxi,−→oyj . Notons vi ∈ R21 le vecteur unitaire perpendiculaire à [xi, xi+1], dont l’angle avec

−→0xi est 60, i ∈ Z3, et semblablement uj ∈ R2

2, j ∈ Z3. Posons wi =−−−−→xixi+1

|−−−−→xixi+1|=−−−−→xixi+1√

3= et Wj =

−−−−→yjyj+1

|−−−−→yjyj+1|=−−−−→yjyj+1√

3.

Maintenant fixons une base orthonormée e1 = w0, e2 = W0, e3 = v0, e4 = u0 de R4.

On définit, pour chaque i, j ∈ Z3, le courant Sij par,

(12.3) < Sij , ϕ >=∫

[o,xi]×[o,yj ]

det(xi ∧ yj ∧ ϕ(x))dH2(x), pour tout champs de 2-vecteurs ϕ,

et le courant Tij par

(12.4) < Tij , ϕ >=∫

[xi,xi+1]×[yj ,yj+1]

det(wi ∧Wj ∧ ϕ(x))dH2(x), pour tout champs de 2-vecteurs ϕ.

Alors pour f , on a

< f#Sij ,(vi+1 − vi) ∧ (uj+1 − uj)) >

=< f#Sij , vi+1 ∧ uj+1 − vi+1 ∧ uj − vi ∧ uj+1 + vi ∧ uj >,(12.5)

et en sommant sur i ∈ Z3, j ∈ Z3 on obtient∑i∈Z3,j∈Z3

< f#Sij , (vi − vi−1) ∧ (uj − uj−1)) >

=∑

i∈Z3,j∈Z3

< f#Sij + f#Si+1,j+1 − f#Si,j+1 − f#Si+1,j , vi ∧ uj > .(12.6)

Mais f ne bouge pas le bord, on a donc

(12.7) ∂[f#Sij + f#Si+1,j+1 − f#Si,j+1 − f#Si+1,j ] = ∂[Sij + Si+1,j+1 − Si,j+1 − Si+1,j ],

Alors dvi ∧ uj = 0 implique que∑i∈Z3,j∈Z3

< f#Sij + f#Si+1,j+1 − f#Si,j+1 − f#Si+1,j , vi ∧ uj >

=∑

i∈Z3,j∈Z3

< Sij + Si+1,j+1 − Si,j+1 − Si+1,j , vi ∧ uj > .(12.8)

135

Pour i.j ∈ Z3 fixés, on veut montrer, par un calcul simple, que

(12.9) < Sij + Si+1,j+1 − Si,j+1 − Si+1,j , vi ∧ uj >=< Tij , vi ∧ uj > .

En effet, notons a le point au milieu de [xi, xi+1] et b le point au milieu de [yj , yj+1]. Prenons Sij par

exemple. On a

(12.10) < Sij , vi ∧ uj >=∫

[o,xi]×[o,yj ]

det(xi ∧ yj ∧ vi ∧ uj).

Mais xi, vi ∈ spane1, e3, yj , uj ∈ spane2, e4, donc∫[o,xi]×[o,yj ]

det(xi ∧ yj ∧ vi ∧ uj)

=−∫

[o,xi]

dete1∧e3(xi ∧ vi)∫

[o,yj ]

dete2∧e4(yj ∧ uj)

=−∫

[o,xi]

vi ·1√3

(xi − xi−1)∫

[o,yj ]

yj ·1√3

(yj − yj−1)

= −∫

[a,xi]

vi · vi∫

[b,yj ]

yj · uj

= −∫

[a,xi]

dete1∧e3(wi ∧ vi)∫

[b,yj ]

dete2∧e4(Wj ∧ uj)

=∫

[a,xi]×[b,yj ]

det(wi ∧Wj ∧ vi ∧ uj).

(12.11)

Les autres trois Si+1,j+1, Si,j+1, Si+1,j sont pareil. On a donc

< Si+1,j+1, vi ∧ uj > =∫

[a,xi+1]×[b,yj+1]

det(wi ∧Wj ∧ vi ∧ uj);

< Si+1,j , vi ∧ uj > = −∫

[a,xi+1]×[b,yj ]

det(wi ∧Wj ∧ vi ∧ uj);

< Si,j+1, vi ∧ uj > = −∫

[a,xi]×[b,yj+1]

det(wi ∧Wj ∧ vi ∧ uj).

(12.12)

On somme sur les 4, et on obtient

< Sij + Si+1,j+1 − Si,j+1 − Si+1,j , vi ∧ uj >

=∫

[xi,xi+1]×[yj ,yj+1]

det(wi ∧Wj ∧ vi ∧ uj) =< Tij , vi ∧ uj > .(12.13)

On déduit de (12.9) que∑i∈Z3,j∈Z3

< Sij + Si+1,j+1 − Si,j+1 − Si+1,j , vi ∧ uj >

=∑

i∈Z3,j∈Z3

< Tij , vi ∧ uj >

=∑

i∈Z3,j∈Z3

∫[xi,xi+1]×[yj ,yj+1]

det(wi ∧Wj ∧ vi ∧ uj)

=∑

i∈Z3,j∈Z3

H2([xi, xi+1]× [yj , yj+1]) = 27.

(12.14)


La deuxième égalité est parce que les wi,Wj , vi, uj sont des vecteurs unitaires deux à deux orthogonaux.

Alors en combinant (12.6),(12.8) et (12.14) on a

(12.15)∑

i∈Z3,j∈Z3

< f#Sij , (vi − vi−1) ∧ (uj − uj−1) >= 27

pour toute déformation f (pas forcément injective) dans D(0, 1).

Mais |(vi − vi−1) ∧ (uj − uj−1)| = 3 pour chaque i, j ∈ Z3, et donc par la définition du courant,

(12.16) < f#Sij , (vi − vi−1) >≤ 3H2(f(Sij)),

et donc

(12.17)∑

i∈Z3,j∈Z3

H2(f(Sij)) ≥ 9 = H2(E ∩D(0, 1)).

Mais l’injectivité de f donne

(12.18)∑

i∈Z3,j∈Z3

H2(f(Sij)) = H2(f(E ∩D(0, 1))),

on a donc

(12.19) H2(f(E ∩D(0, 1))) ≥ H2(E ∩D(0, 1)),

ce qui donne (12.2). 2

L’injectivité de f est juste pour montrer (12.18). Il est encore très possible que Y ×Y soit minimal

parmi toutes les déformations. Mais on n’a pas encore trouvé de bon moyen pour le montrer.

Plus généralement, on voudrait savoir si le produit de deux ensembles minimaux E = E1 × E2

reste minimal. Mais puisque déjà dans le cas plus simple de Y × Y on ne sait pas comment faire, le

probleme parait plus compliqué. Un résultat partiel (et simple) est que si E est le support d’un courant

qui minimise la taille (au sens des courents, ce qui implique la minimalité Al), alors E×Rd est minimal.

On peut l’obtenir par slicing.

Par contre, on peut donner un resultat dans la direction réciproque, qui dit que la minimalité du

produit de deux ensembles donne la minimalité des deux.

Proposition 12.20. Soit Ei, i = 1, 2 deux ensembles rectifiables réduits fermés de dimension di dans

Rni respectivement. Notons n = n1 + n2, d = d1 + d2. Alors si E = E1 × E2 ⊂ Rn est un ensemble

minimal de dimension d dans Rn, alors Ei est minimal, i = 1, 2.

Démonstration. On va suivre l’argument dans [9] proposition 8.3, en faisant quelques modifications.

137

Donc supposons par exemple que f est une déformation de E1 dans une boule B ⊂ Rn1 (c’est à

dire que f et B vérifient (1.12)(avec U = Rn1) et (1.13). Notons

(12.21) Hd1(E1 ∩B)−Hd1(F ∩B) = c.

On veut construire une application Lipschitzienne ϕ : Rn → Rn et utiliser le fait que E est minimal.

Soit R > 0 grand, à choisir plus tard, et on prend une application lisse ψ sur Rn2 , avec

(12.22)

ψ(y) = 1 pour |y| ≤ R;

0 ≤ ψ(y) ≤ 1 pour R < |y| < R+ 1;

ψ(y) = 0 pour |y| ≥ R+ 1,

et |∇ψ(y)| ≤ 2 partout. Puis on définit g : Rn → Rn1 par

(12.23) g(x, y) = ψ(y)f(x) + (1− ψ(y))(f(x)− x) pour x ∈ Rn1 et y ∈ Rn2 ,

et pose ϕ(x, y) = (g(x, y), y). Notons que g(x, y) = x+ ψ(y)(f(x)− x), et que f(x)− x est borné,

(12.24)

g et ϕ sont Lipschitzienne, avec une borne sur les normes Lipschitziennes L qui ne dépend pas de R.

Posons W = (x, y) ∈ Rn1 × Rn2 ; f(x, y) 6= (x, y), alors si (x, y) ∈ W , ψ(y) 6= 0 et f(x) 6= x. Par

conséquent

(12.25) W ⊂ B ×B(0, R+ 1).

Notons aussi que par définition de ϕ, pour chaque (x, y) ∈ E, πϕ(x, y) = y, où π désigne le projecteur

sur Rn2 . C’est-à-dire, la deuxième coordonnée ne change pas. Donc π[ϕ(E) ∩ B × B(0, R + 1)] ⊂ E2.

Par conséquent on peut appliquer la formule de la coaire (c.f [14] Cor 3.3.22) à l’ensemble E, qui est

rectifiable en tant qu’ensemble minimal.∫ϕ(E)∩(B×B(0,R+1))

|| ∧d2 π(x)||dHd(x)

=∫E2

dHd2(z)Hd1 [π−1z ∩ ϕ(E) ∩ (B ×B(0, R))].(12.26)

Pour le côté gauche, notons que || ∧d2 π(x)|| = 1, donc

(12.27)∫ϕ(E)∩(B×B(0,R))

|| ∧d2 π(x)||dHd(x) = Hd(ϕ(E) ∩ (B ×B(0, R)).

Pour le côté droit, notons que pour z ∈ B(0, R) ∩E2, π−1z ∩ ϕ(E) ∩ (B ×B(0, R+ 1)) = f(E) ∩B,

et donc

(12.28) Hd1 [π−1z ∩ ϕ(E) ∩ (B ×B(0, R+ 1))] = H2(E1 ∩B)− c.


Par conséquent ∫E2

dHd2(z)Hd1 [π−1z ∩ ϕ(E) ∩ (B ×B(0, R))]

=∫E2∩B(0,R)

dHd2(z)Hd1 [π−1z ∩ ϕ(E) ∩ (B ×B(0, R+ 1))]

=Hd2(E2 ∩B(0, R))× [Hd1(E1 ∩B)− c]

=Hd(E ∩ (B ×B(0, R))− cHd2(E2 ∩B(0, R)).

(12.29)

D’un autre côté, pour z ∈ B(0, R+ 1)\B(0, R), notons que par définition de ϕ, ϕ(E) ∩ [B × (B(0, R+

1)\B(0, R))] = ϕ(E ∩ [B × (B(0, R+ 1)\B(0, R))]), donc par (12.24)

Hd(ϕ(E) ∩ [B × (B(0, R+ 1)\B(0, R))])

≤CHd(E ∩ [B × (B(0, R+ 1)\B(0, R))])

=CHd1(E1 ∩B)Hd2(E2 ∩B(0, R+ 1)\B(0, R)),

(12.30)

où C = Ld ne dépend pas de R.

En combinant (12.27), (12.29) et (12.30) on trouve que

Hd(ϕ(E) ∩ (B ×B(0, R+ 1))) ≤ Hd(E ∩ (B ×B(0, R))− cHd2(E2 ∩B(0, R))

+CHd1(E1 ∩B)Hd2(E2 ∩B(0, R+ 1)\B(0, R)).(12.31)

Notons CH1d1(E1 ∩B) = C ′, alors

Hd(E ∩ (B ×B(0, R))−Hd(ϕ(E) ∩ (B ×B(0, R+ 1)))

≥ cHd2(E2 ∩B(0, R))− C ′Hd2(E2 ∩B(0, R+ 1)\B(0, R))(12.32)

où c, C ′ ne dépendent pas de R. Alor par la minimalité de E on obtient

(12.33) cHd2(E2 ∩B(0, R))− C ′Hd2(E2 ∩B(0, R+ 1)\B(0, R)) ≤ 0 pour tout R > 0.

Alors si on a

(12.34) lim infR→∞

Hd2(E2 ∩B(0, R+ 1)\B(0, R))Hd2(E2 ∩B(0, R))

= 0,

on peut obtenir que c < 0 pour tout f (rappelons la définition de c dans (12.21)), et donc E1 est

minimal. Un argument semblable donne aussi que si

(12.35) lim infR→∞

Hd1(E1 ∩B(0, R+ 1)\B(0, R))Hd1(E1 ∩B(0, R))

= 0

alors E2 est minimal.

On affirme qu’au moins une des deux relations (12.34) et (12.35) est vraie. En effet, notonsBi(0, r) =

B(0, r) ∩ Rdi , alors pour chaque R > 0,

(E2 ∩B2(0,R+ 1)\B2(0, R))× (E1 ∩B1(0, R+ 1)\B1(0, R))

⊂ E ∩ [B1(0, R+ 1)×B2(0, R+ 1)]\[B1(0, R)×B2(0, R)].(12.36)

139

Mais E est minimal, donc par la régularité d’Ahlfors on a

Hd(E ∩ [B1(0, R+ 1)×B2(0, R+ 1)]\[B1(0, R)×B2(0, R))

= o(Rd) = o(Hd(E ∩B1(0, R)×B2(0, R))),(12.37)

ce qui implique que

Hd[(E2 ∩B2(0, R+ 1)\B2(0, R))× (E1 ∩B1(0, R+ 1)\B1(0, R))]

= o(Hd(E ∩B1(0, R)×B2(0, R))),(12.38)

ou également

Hd1(E1 ∩B1(0, R+ 1)\B1(0, R))×Hd2((E2 ∩B2(0, R+ 1)\B2(0, R))]

= o(Hd1(E ∩B1(0, R))×Hd2(B2(0, R))),(12.39)

et donc

(12.40) limR→∞

Hd2(E2 ∩B(0, R+ 1)\B(0, R))Hd2(E2 ∩B(0, R))

· Hd1(E1 ∩B(0, R+ 1)\B(0, R))

Hd1(E1 ∩B(0, R))= 0,

ce qui implique que (12.34) ou (12.35) est vrai.

Supposons par exemple que (12.34) est vrai, alors E1 est minimal. Mais dans ce cas là on peut

utiliser la régularité d’Ahlfors de E1, qui donne (12.35), et par conséquent E2 est aussi minimal. On

obtient donc la conclusion. 2

140

Deuxième partie

Minimiseurs topologiques

Sommaire13 Introduction de la deuxième partie 141

14 Minimiseurs Al dans R3 143

15 Contrôler la topologie par mesure 152

16 Préliminaires sur la topologie 160

16.1 Topologie algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

16.1.1 Homologie simpliciale (à coefficient dans Z) . . . . . . . . . . 161

16.1.2 Homologie singulière (à coefficient dans Z) . . . . . . . . . . . 162

16.1.3 Les relations entre les deux groupes d’homologies . . . . . . . 163

16.2 Transversalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

17 L’image réciproque d’une chaîne lisse par une application trans-

verse 166

18 Minimiseur topologique 170

19 Une discussion sur T 177

141

13 Introduction de la deuxième partie

Dans cette partie, on va introduire une définition de minimiseurs topologiques, qui généralise celle

des MS-minimiseurs (voir la définition plus bas). On montrera des propriétés des minimiseurs topolo-

giques, qui sont vérifiées déjà par les MS-minimiseurs. Par exemple, tout minimiseur topologique est un

minimiseur d’Almgren. On fera ensuite un premier pas dans la direction d’une caractérisation des mini-

miseurs topologiques dans Rn, qui est motivé par le théorème 13.9, qui dit que tout MS-minimiseur de

dimension 2 dans R3 est un cône. Ensuite, on reviendra au problème de caractérisation des minimiseurs

d’Almgren de dimension 2 dans R3, et on restreindra la classe potentielle des Almgren-minimiseurs qui

ne seraient pas des cônes.

On rappelle la définition générale des ensembles minimaux. On se donne au préalable définition

de la classe des compétiteurs d’un ensemble E. Par exemple, la classe des compétiteurs d’Almgren

utilisée dans la partie I, mais deux autres classes seront utilisés ci-dessous. Et l’on définit les ensembles

minimaux comme suit.

Définition 13.1 (ensembles minimaux associés à une classe de compétiteurs donnée). Soient 0 < d < n

des entiers, U un ouvert de Rn. L’ensemble E fermé dans U est dit minimal de dimension d dans U si

(13.2) Hd(E ∩B) <∞ pour toute boule compacte B ⊂ U

et

(13.3) Hd(E\F ) ≤ Hd(F\E)

pour tout compétiteur F de E dans U .

Cette définition deviendra complète dès que nous aurons défini les classes de compétiteurs.

Dans cette partie, on va juste considérer des ensembles minimaux dans Rn. C’est à dire, on prend

U = Rn dans la définition. Alors par la remarque 1.17, un compétiteur d’Almgren est définit comme

suit.

Définition 13.4 (compétiteur d’Almgren). Un compétiteur d’Almgren de E dans Rn est un ensemble

F = f(E), où :

(13.5) f = id hors d’une boule B,

et où on demande aussi que f soit Lipschitzienne.

Remarque 13.6. Comparé avec la définition 1.11, en prenant U = Rn, ici on ne demande que (13.5),

i.e. (1.12) dans (1.11). Mais par la continuité de f , il existe une boule plus grand B′ ⊃ B, telle que

f(B) ⊂ B′. Alors par (13.5), la boule B′ vérifie (13.5) et (13.6). Donc en effet, cette définition coïncide

avec la définition 1.11, avec U = Rn.

142 Introduction de la deuxième partie

Maintenant on va donner une classe plus grande de compétiteurs de codimension 1.

Définition 13.7 (compétiteur de Mumford-Shah (MS)). Soit E ⊂ Rn un fermé de dimension n − 1

dans Rn. On dit qu’un fermé F ⊂ Rn est un MS-compétiteur de E s’il existe une boule B telle que

1) F\B = E\B ;

2) Pour tous y, z ∈ Rn\(B ∪ E) qui sont séparés par E, y, z sont aussi séparés par F .

Ici "y, z sont séparés par E" veut dire que y et z appartiennent à 2 composantes connexes différentes

de Rn\E.

On appelle E un ensemble minimal au sens d’Almgren (resp. MS) si E est comme dans la définition

13.1, en prenant la classe de compétiteurs d’Almgren (resp. MS).

Remarque 13.8. La notion d’ensemble minimal de Mumford-Shah vient de la théorie de la fonction-

nelle de Mumford-Shah, et en particulier des "minimas globaux" introduits par A.Bonnet. Dans ce cadre

les ensembles MS-minimaux sont juste les minimas globaux pour lesquels la fonction supplémentaire u

est constante. Voir [8] pour plus de détails.

En codimension 1 (où l’on peut définir des compétiteurs MS), un compétiteur d’Almgren est auto-

matiquement un compétiteur MS (voir [13] Chap XVII 4.3 pour la démonstration). Et par conséquent

un ensemble minimal MS est automatiquement un ensemble minimal au sens d’Almgren. On ne sait

pas si la classe des MS-minimiseurs est strictement plus petite que la classe de minimiseurs au sens

d’Almgren, bien que la classe de compétiteurs Al est strictement plus petite que la classe de compéti-

teurs MS. Mais de toute façon, la régularité des ensembles minimaux de dimension 2 dans R3 plus la

condition topologique qu’on pose sur les compétiteurs MS donne déjà de bons résultats.

Théorème 13.9 ([9], Thm 1.9). Soit E un ensemble minimal au sens MS dans R3, alors il existe un

ensemble E∗ ⊂ E, H2(E\E∗) = 0, tel que E∗ est soit l’ensemble vide, soit un plan, soit un cône de

type Y ou T.

En bref, le théorème dit qu’un MS-minimiseur dans R3 est un cône minimal. Rappelons que dans

le cas des minimiseurs d’Almgren, on sait qu’un minimiseur d’Almgren de dimension 2 dans R3 est

localement C1-équivalent à un cône minimal. Mais l’analogue du théorème 13.9 pour les minimiseurs

d’Almgren n’est pas encore connu.

Donc dans le paragraphe 14, on veut aussi savoir si le théorème 13.9 est vrai pour des ensembles

minimaux Al. Il existe un contre exemple potentiel connu (c.f. [9], paragraphe 19). Mais on va montrer

qu’il n’est pas un vrai contre exemple, puisqu’il n’est pas minimal (voir le corollaire 14.21). Par contre,

on donnera un autre contre-exemple potentiel d’une structure plus compliquée.

Tous ces contre-exemples sont des exemples topologiques, parce qu’on utilise toujours des arguments

topologiques pour montrer qu’un ensemble n’est pas minimal, c’est à dire, on utilise la topologie pour

143

contrôler la mesure. Mais au paragraphe 15 on donne une méthode pour contrôler la topologie par la

mesure.

Ensuite, aux paragraphes 16-18, on essaye d’abord de généraliser la définition de MS-minimiseur en

codimension plus haute, et de donner des propriétés fondamentales. L’idée est de remplacer la condition

2) de la définition 13.7 par une condition sur l’homologie de sphères contenues dans Rn\(B∪E) ; voir la

définition 18.1 pour la définition précise. On montre au corollaire 18.17 que tout minimiseur topologique

est un minimiseur d’Almgren, ce qui permet d’utiliser la théorie de régularité qui est disponible dans

ce cadre.

Dans le paragraphe 19, on essaye de regarder s’il y a de bons résultats semblables au théorème 13.9,

et on donne un contre-exemple potentiel.

14 Minimiseurs Al dans R3

Dans ce paragraphe on se place à nouveau dans R3, et on va discuter du théorème 13.9 en remplaçant

les ensembles minimaux MS par des ensembles minimaux Al.

Le théorème dit qu’un ensemble minimal MS de dimension 2 dans R3 est forcément un cône. L’idée

de la démonstration est la suivante.

Etant donné un ensemble minimal Al, on regarde les limites par implosion de cet ensemble. C’est

à dire, on prend n’importe quel point x ∈ E et on regarde les ensembles

(14.1) E(r, x) =1r

(E − x)

en faisant tendre r vers l’infini.

Pour toute suite rk qui tend vers l’infini telle que les E(rk, x) convergent (sur tout compact pour

la distance de Hausdorff), la limite, qui ne dépend pas de x, est un ensemble minimal avec densité

constante, et est donc un cône minimal. De plus, toutes les limites par implosion de E ont la même

densité. Or on a trois types d’ensembles minimaux, ceux qui resemblent à un plan, un Y , et un T .

1 Si E ressemble à un plan à l’infini, on fixe n’importe quel point x ∈ E, alors la densité de E en

x est au moins 1. Mais la densité à l’infini est 1. Par la monotonie par rapport à r de la fonction de

densité d(r, x) = H2(E∩B(x,r)r2 en x (c.f.[9], proposition 5.16), on sait que d(r, x) est constante, de sorte

que E est un cône centré en x (c.f.[9] Théorème 6.2), et est donc un plan passant par x.

2 Si E ressemble à un Y a l’infini, alors l’enjeu est de trouver un point de type Y dans E. Une

fois qu’on a un tel point, on obtiendra que la densité en ce point est constante, et donc que E est un Y

centré en ce point. Pour trouver un point de type Y , notons d’abord qu’il n’existe pas de point de type

T , à cause de la monotonie de la densité. Alors s’il n’y a pas de point de type Y , tout point dans E est

un point de type P, et donc E est une variété de classe C1, par la C1 régularité d’un ensemble minimal.


Alors par un argument de degré, on obtient une contradiction. (c.f.[9] proposition 16.24 et paragraphe

17).

3 Si E ressemble à un T à l’infini, on n’arrive pas à montrer l’existence d’un point de type T dans

E par un argument topologique simple. En fait, il y a un contre exemple E0 qui coïncide avec un T

hors d’une boule B, et est localement C1 équivalent à un plan ou un Y près de chaque point. (c.f.[9],

paragraphe 19). Et donc pour garantir l’existence d’un point de type T , on ajoute une condition de

séparation supplémentaire (voir [9],proposition 18.29), qui est vérifiée par tous les minimiseurs MS.

On peut donc observer que dans les cas 1 et 2, la minimalité au sens Al garantit déjà que

l’ensemble est un cône. Seulement pour 3 on a besoin d’un propriété supplémentaire. Mais en fait

l’exemple E0 n’est qu’un exemple topologique. On va montrer tout de suite qu’il n’est pas un ensemble

minimal Al. Donc il est encore possible qu’en fait tous les ensembles minimaux Al de dimension 2 dans

R3 soient des cônes, ce qu’on va discuter aussi.

Soit E un ensemble minimal Al dont la limite d’implosion est un T . Le but est de trouver un point

de type T (dans R3, cela veut dire un point près duquel E est équivalent à T ) dans E, parce que l’on

en déduirait comme ci-dessus que la densité de E en ce point est constante, puis que E est un T .

Donc supposons que T est un cône minimal de type T centré à l’origine, et qu’il existe une suite

tk tel que

(14.2) limk→∞

tk = +∞ et limk→∞

d0,tk(E, T ) = 0.

Alors d’abord, par la monotonie de la densité à l’origine, on sait que pour chaque k, 1t2kH2(E ∩

B(0, tk)) < dT , et donc

(14.3) H2(E ∩B(0, tk)) < H2(T ∩B(0, tk)).

Notons B = B(0, 1). Notons yi, 1 ≤ i ≤ 4 les quatre points de type Y de T ∩ ∂B. Notons C

l’enveloppe convexe de yi, 1 ≤ i ≤ 4, qui est un tétraèdre régulier inscrit à B. Notons TC = T ∩ C.

On a alors

(14.4)12H2(∂C) =

43

√3 < 2

√2 = H2(TC).

En effet, notons o l’origine, alors l’angle ∠yioyj = arccos(− 13 ), de sorte que

(14.5) |yiyj | = (|oyi|2 + |oyj |2 − 2|oyi||oyj | cos ∠yioyj )12 = 2

√2/√

3.

Par conséquent

(14.6) S∆y1y2y3 =√

34|yiyj |2 =

23

√3,

145

si bien que

(14.7)12H2(∂C) = 2S∆y1y2y3 =

43

√3.

D’autre part,

(14.8) S∆yioyj =12

sin ∠yioyj |oyi||oyj | =√

23,

de sorte que

(14.9) H2(TC) = 6S∆yioyj = 2√

2.

Notons δ = 14 (H2(TC)− 1

2H2(∂C)). Alors la même démonstration du lemme 16.43 de [9] donne

Lemme 14.10. Il existe ε1 > 0 tel que si d0,2(E, T ) < ε1, alors

(14.11) H2(E ∩ C) > H2(TC)− δ.

D’un autre côté, il existe ε2 > 0 tel que si d0,2(E, T ) < ε2, alors dans B(0, 32 )\B(0, 1

2 ), E est une

version C1 de T .

Alors par (14.2), et quitte à faire une dilatation, on peut supposer que pour tk = 2,

(14.12) d0,2(E, T ) < minε1, ε2,

ce qui donne (14.11), et que dans B(0, 32 )\B(0, 1

2 ), E est une version C1 de T .

En particulier sur le bord de C, E ∩ ∂C est de la même topologie que T ∩ ∂C, c’est à dire, E ∩ ∂Cest composé de six courbes C1 par morceaux, qui se rencontrent en 4 extrémités bi, 1 ≤ i ≤ 4, chaque

bi est très proche de chaque yi, 1 ≤ i ≤ 4, où les yi, 1 ≤ i ≤ 4, sont les quatre points de type Y dans

T ∩ ∂C. Notons wij la courbe dans E ∩ ∂C dont les extrémités sont bi et bj , alors wij est très proche

de [bi, bj ], en particulier, si on note Ωi, 1 ≤ i ≤ 4, la composante connexe de ∂C\E qui est en face de

bi (bi 6∈ Ωi), bordée par wkl, k, l 6= i, alors on peut demande que ε soit suffisamment petit pour que

(14.13) pour chaque 1 ≤ i ≤ 4, H2(Ωi) >14H2(∂C)− δ,

où 14H

2(∂C) est la mesure d’une face de ∂C. (voir le dessin 14-1)


14-1

Maintenant, supposons qu’il n’y a pas de point de type T dans E ∩ C. Notons EY l’ensemble de

points de type Y dans E. Par la C1 régularité autour des points de type Y (c.f. [10] théorème 1.15 et

lemme 14.6), EY ∩ C est composé de courbes C1, dont les bouts sont des bi, 1 ≤ i ≤ 4. Alors il existe

deux de ces courbes γ1, γ2 dont les bouts sont des bi. Supposons par exemple que γ1 ∩ ∂C = b1, b2 etγ2 ∩ ∂C = b3, b4.

Pour chaque point x ∈ γ1, il existe un voisinage B(x, r) tel que dans B(x, r), E est une version C1

d’un Y + x, qui coupe B(x, r) en 3 composantes connexes. C’est aussi vrai pour les deux points b1 et

b2, parce que b1, b2 sont des points de type Y dans E. Alors par la compacité de γ1 ∪ b1, b2, il exister > 0 tel que dans le voisinage tubulaire B(γ1, r) de γ1, E est un Y tordu, dont l’épine est γ1, et qui

découpe B(γ1, r) en trois composantes connexes, chacun étant un tube long qui joint l’un des trois Ωi

proches de b1 à l’un des trois Ωi qui sont proches de b2. Notons que si Ωi et Ωj sont liés par l’un de ces

longs tubes, alors ils appartiennent à la même composante connexe de B\E. Par conséquent, il existe

1 ≤ i, j ≤ 4, i 6= j tel que Ωi et Ωj sont dans les même composante connexe de B\E, et il existe un

tube T le long de γ1 qui les connecte.

Supposons qu’il existe une déformation f de E dans C (voir la définition 1.11), 1 ≤ i 6= j ≤ 4, deux

points x ∈ Ωi, y ∈ Ωj tels que

(14.14) f(E) ⊂ C\[x, y].

147

Puisque f(E) est fermé, il existe r > 0 tel que

(14.15) f(E) ⊂ C\B([x, y], r).

Pour chaque t > 0, posons

(14.16) gt : C\B([x, y], r)→ (R3\B([x, y], r + t)) ∪ (∂C\B([x, y], r))

l’application définie comme suit : gt = Id sur C\B([x, y], r + t) ; pour chaque z ∈ C ∩ B([x, y], r +

t)\B([x, y], r), soit z0 le point de [x, y] tel que [z, z0] ⊥ [x, y], alors gt(z) est l’intersection de la demi-

droite [z0, z) avec ∂(C ∩B([x, y], r + t)). Voir le dessin 14-2.

14-2

Par la définition on sait que gt est une déformation Lipschitzienne. De plus, quand t est suf-

fisament grand (par exemple t > 2), on a que (R3\B([x, y], r + t)) ⊂ (∂C\B([x, y], r)), donc

gt(E) ⊂ ∂C\B([x, y], r).

Maintenant notons hx : Ωi\B(x, r) → ∂Ωi et hy : Ωj\B(y, r) → ∂Ωj les déformations radiales

centrées en x et y. C’est à dire, pour z ∈ Ωi\B(x, r), hx(z) est l’intersection de la demi-droite [x, z)

avec ∂Ωi, et pour z ∈ Ωj\B(y, r), hy(z) est l’intersection de la demi-droite [y, z) avec ∂Ωj . Comme les

Ωj sont localement des version C1 de triangles, il y a en effet une unique intersection, et que hx et hysont Lipschitzienne. Notons ht = hx hy gt f la déformation de C\B([x, y], r)→ C\B([x, y], r), qui

envoie E dans G = ∂C\(Ωi ∪ Ωj) pour t grand, et de plus, les ht ne bougent pas E ∩ C = ∪4k=1∂Ωk.

Ceci implique qu’on peut déformer E dans C vers un sous ensemble de G.


Par (14.13) et (14.11),

H2(G) = H2(∂C)−H2(Ωi)−H2(Ωj) <12H2(∂C) + 2δ

= H2(TC)− 2δ < H2(E ∩ C),(14.17)

ce qui contredit le fait que E est minimal. Par conséquent, si E ne contient pas de point de type T,

alors il n’existe pas de déformation f de E dans C telle que C\f(E) contient un segment qui connecte

deux Ωi différents. Mais d’un autre côté, si E contient un point de type T, par l’argument au début

de ce paragraphe, E est un T centré en ce point, de sorte qu’il n’existe pas de telle déformation f non

plus. On a donc

Proposition 14.18. Soit E un minimiseur Al dans R3 tel que

1) d0,2(E, T ) < minε1, ε2 ;

2) E ne contient pas de point de type T.

Soit C, Ωi sont comme ci-dessus, alors il n’existe pas de déformation f de E dans C telle que

C\f(E) contient un segment qui connecte deux Ωi différents.

Un corollaire immédiat est que les γi font des noeud. En effet, par la proposition ci-dessus, le tube

T le long de γ1 ne peut pas être trop simple, parce que, par exemple, si γ1 ne fait pas de noeud, il

existe un homéomorphisme Lipschitzien f qui est une déformation dans C telle que

(14.19) f(γ1) = [b1, b2].

Alors

(14.20) C\f(E) = f(C\E) ⊃ f(γ1) = [b1, b2],

ce qui contredit la proposition 14.18.

Par conséquent, le contre exemple potential proposé par Guy David dans son article [9] n’est pas

un vrai contre exemple, puisque les deux γi dans cet exemple ne font pas de noeud tous les deux. On

a donc

Corollaire 14.21. L’ensemble E0 donné dans le paragraphe 19 de [9] n’est pas minimal.

Par l’argument ci-dessus, quand on regarde à une grand échelle où E est très proche de T , γ1 et γ2

font des noeux tous les deux.

Topologiquement on ne peut pas éviter ce cas. Les discussions suivantes sont donc déstinées à

donner un tel exemple topologique. On va maintenant chercher des propriétés nécéssaires de E si γ1

fait un noeud. Et ensuite on essayera de construire un exemple où γ1 fait un noeud, en profitant des

propriétés obtenues.

149

On va donc construire notre exemple à partir d’une surface fermée orientable non simplement

connexe.

Mais regardons d’abord le contre exemple E0 donné dans le paragraphe 19 de [10]. Bien que dans

cet exemple les γ1 et γ2 ne font pas des noeud, il est aussi un exemple qui contient une surface non

simplement connexe. Regardons-le donc pour avoir une idée.

En effet, prenons un tore T0, (voir le dessin 14-3), prenons le plus grand cercle horizontal (l’équateur)

C0 (ligne verte), et prenons n’importe quel cercle vertical L0 (ligne rouge). Notons x0 leur intersection.

Alors on prend r0 > 0 tel que B0 = B(x0, r0)∩T0 est un disque topologique. Notons a1, a2 l’intersection

∂B0 ∩ C0, et b1, b2 l’intersection ∂B0 ∩ L0.

14-3

Notons a1a2 = C0\B0 le grand arc entre a1 et a2, et b1b2 = L0\B0 le grand arc entre b1 et b2. Puis

notons S1 la partie verticale plane dont le bord est [b1, b2] ∪ b1b2. D’un autre côté, notons P le plan

contenant C0, et prenons un disque fermé B1 ⊂ P qui contient a1a2 et dont le bord contient a1, a2.

Alors notons a1a2 = ∂B1\B0 le grand arc du ∂B1 entre a1 et a2, et notons S2 ⊂ P la partie entre a1a2

et a1a2.

Alors l’ensemble (T0\B0) ∪ S1 ∪ S2 est topologiquement l’exemple donné dans le paragraphe 19

de [10]. Ici a1, a2, b1, b2 sont les 4 points de type Y qui correspondent aux 4 points de type Y dans

E ∩ ∂B(0, 1), a1a2 et b1b2 correspondent à γ1 et γ2 respectivement ; et a1a2 et [b1b2] et les 4 arcs sur

∂B0 entre ai et bj pour i, j = 1, 2 correspondent aux 6 courbes de E ∩ ∂B(0, 1).

Après la discussion ci-dessus, on est prêt à construire de la même manière, un exemple E où γ1

est la partie non-triviale d’un noeud de trèfle. Autrement dit, l’union de γ1 et du segment [b1, b2] fait

un noeud de trèfle (voir le dessin 14-4). Mais c’est juste un exemple topologique, et il est peu probable

que l’ensemble E décrit ci-dessous puisse en fait être minimal. Notons que toutes les constructions sont

dans R3 bien sûr.


14-4

Donc prenons un tube fin droit T = γ × [0, 1], où γ est un cercle. Fixons un point x0 ∈ γ. Notonsles deux cercles γ1 = γ×0 et γ2 = γ× 1, notons x1 = (x0, 0) et x2 = (x0, 1). Notons η = x0× [0, 1]

le segment horizontal. (voir le dessin 14-5)

14-5

Prenons un grand disque D horizontal centré à l’origine de rayon R, fixons un de ces diamètres L1,

et notons L2 le diamètre orthogonal à L1, ses extrémités y1, y2. Alors L1 sépare D en deux composantes

connexes. On enlève deux petits disques Σ1,Σ2 ⊂ D symétriques par rapport à L1 dont les centres o1, o2

appartiennent à L2 avec d(oi, yi) < 12H

1(L2), et dont les bords sont de même taille que γ.

Notons Q le plan orthogonal à D et passant par L1. Notons D1 ⊂ Q un demi disque dont le

diamètre est L1. Notons aussi Q′ le plan orthogonal à D et passant par L2, et D2 ⊂ Q′ le demi disque

dont le diamètre est L2, et choisissons D2 de l’autre côté de D par rapport à D1. (dessin 14-6)

151

14-6

On tord maintenant le tube T par un difféomorphisme f vers une partie d’un noeud de trèfle

contenu dans B(0, R) (voir le dessin 14-7 à gauche), et on demande que f(γi) = ∂Σi et que f(xi)

soit le point le plus proche de yi sur ∂Σi, i = 1, 2. Donc f(xi) ∈ L2. Par conséquent la courbe fermée

η1 := f(η)∪ [f(x1), y1]∪ [f(x2), y2]∪ [∂D2\L2] est un noeud de trèfle. On peut donc appuyer une surface

S1 ⊂ B(0, R) de classe C1 sur η1. Voir le dessin 14-7 à droite qui décrit une surface s’appuyant sur un

noeud de trèfle.

14-7

Maintenant notons E = [D\Σ1 ∪ Σ2] ∪ f(T ) ∪ D1 ∪ S1. Alors l’ensemble E et topologiquement

l’exemple qu’on voulait décrire. Ici y1, y2 et les deux extrémités de L1 z1, z2 sont les quatre points de

type Y dans E ∩ ∂B(0, R), f(η) ∪ [f(x1), y1] ∪ [f(x2), y2] est γ1 qui fait un noeud, et L1 est γ2. Les 4

152 Contrôler la topologie par mesure

arcs courts yizj , 1 ≤ i, j ≤ 2 sur ∂D, et ∂D1\L1, ∂D2\L2 sont des six courbes de E ∩ ∂B(0, R).

On est donc arrivé à fabriquer un exemple pour lequel une courbe de EY fait un noeud. Vraisem-

blablement cet ensemble n’est pas minimal. Mais topologiquement on ne peut pas l’éviter.

Par contre quand on regarde un ensemble E dont l’intersection avec ∂B est vraiment T ∩∂B, alors

on sait montrer que E n’est pas minimal. On le fera dans le paragraphe suivant.


Rappelons que T est le cône sur le trétraèdre régulier centré à l’origine.

Notons B = B(0, 1) ⊂ R3 la boule unité ouverte et B son adhérence. Alors T coupe la sphère ∂B

en quatre regions triangulaires égales Si1≤i≤4. On a alors

(15.1) ∪4i=1Si = ∂B

et

(15.2) ∪4i=1Si = ∂B\T.

Notons aj , 1 ≤ j ≤ 4, les quatre sommets de T ∩∂B, où aj = ∩i 6=jSj ∩∂B est le point qui se trouve

en face de Sj .

Proposition 15.3. 1) Soit E ⊂ B∩R3 un ensemble fermé, 2-rectifiable, Ahlfors régulier de dimension

2, avec

(15.4) E ∩ ∂B = T ∩ ∂B.

Alors si H2(E) < H2(T ∩B),

il existe 1 ≤ i < j ≤ 4, et quatre points a, b, c, d appartenant à un plan,

tels que a ∈ Si, d ∈ Sj , b, c ∈ B\E,∠abc >π

2,∠bcd >

π

2

et [a, b] ∪ [b, c] ∪ [c, d] ⊂ B\E.

(15.5)

où [x, y] désigne le segment d’extrémités x et y et ∠abc ≤ π l’angle du plus petit secteur délimité par ba

et bc.

2) Si de plus E est minimal dans B et vérifie (15.4), alors

(15.6) soit E = T ∩B, soit (15.5) est vrai.

Voici un corollaire direct de la proposition 15.3.

153

Corollaire 15.7.

(15.8) H2(E) ≤ H2((T ∩B\C) ∪G) = H2(T )− (2√

2− 43

√3).

Démonstration. Si E ⊂ B est un ensemble minimal réduit qui vérifie (15.4), et qui n’est pas T ∩ B,

alors par (15.6), (15.5) est vrai. Mais (15.5) donne l’existence d’une déformation f dans B(0, 1) telle

que f(E) ⊂ B\[a, d], on peut donc déformer E sur un sous ensemble de (T ∩ B\C) ∪G, où C,G sont

comme dans le paragraphe précédent. On a donc par (14.4),

(15.9) H2(E) ≤ H2((T ∩B\C) ∪G) = H2(T )− (2√

2− 43

√3).

Démonstration de la proposition 15.3.

Pour 1), on va démontrer la contraposée. Supposons donc que (15.5) n’est pas vrai.

Notons Pj le plan orthogonal à ~oaj et tangent à la sphère unité, pj son projecteur. Notons Rj =

pj(Sj) ⊂ pj(∪i 6=jSi) ⊂ Pj . Alors pour chaque 1 ≤ j ≤ 4 et chaque x ∈ Rj ,

(15.10) p−1j (x) ∩ E 6= ∅.

En fait sinon, on a Rj\pj(E) 6= ∅, où pj(E) est compact, en tant que projection d’un compact. Donc

Rj\pj(E) 6= ∅ est ouvert. Notons que puisque Rj\(∪i6=jpj(Si)) est de mesure nulle, on a

(15.11) (Rj\pj(E)) ∩ (∪i 6=jpj(Si)) 6= ∅.

Prenons x ∈ (Rj\pj(E)) ∩ (∪i6=jpj(Si)). Alors x 6∈ ∂Rj , parce que ∂Sj ⊂ E et donc ∂Rj = ∂pj(Sj) =

pj(∂Sj) ⊂ pj(E). Par conséquent, p−1j (x) ∩ B est un segment [a, d] perpendiculaire à Pj avec a 6= d,

a ∈ Sj et d ∈ ∪i 6=jSi . Prenons b, c ∈ [a, d] tels que a, b, c, d sont différents, et alors (15.5) est vérifié.

Une contradiction avec notre hypothèse.

Maintenant pour chaque x ∈ Rj , notons fj(x) le point dans p−1j (x) ∩ E qui est le plus proche de

Rj . Autrement dit, fj(x) est le premier point dans E dont la projection est x. Ce point existe et est

unique, puisque E est compact et que p−1j (x) est une droite orthogonale à Rj .

Notons Aj = fj(Rj). Alors Aj est mesurable. En effet,

Aj = x ∈ E : ∀y ∈ E tel que d(y, Pj) < d(x, Pj), |pj(y)− pj(x)| > 0

=⋂p,q

x ∈ E : ∀y ∈ E tel que d(y, Pj) < d(x, Pj)− 2−p, |pj(y)− pj(x)| > 2−q.(15.12)

Maintenant puisque E est rectifiable, Aj ⊂ E l’est aussi. Donc pour presque tout x ∈ Aj , le plan

tangent approximatif TxAj de Aj en x existe. Notons vj le vecteur normal extérieur unitaire de Pj , et

notons wj(x) le vecteur unitaire normal de TxAj tel que < vj , wj(x) >≥ 0. Alors wj(x) est bien défini

pour x tel que TxAj 6⊥ Pj .

Posons

(15.13) Ej = x ∈ Aj : TxAj 6⊥ Pj.


Alors wj est un champs de vecteurs mesurable sur Ej . Par le théorème de Sard, on a

(15.14) H2(pj(Aj\Ej)) = 0.

Mais pj est injective sur Aj , donc pj(Aj\Ej) = pj(Aj)\pj(Ej) = Rj\pj(Ej), et donc Rj\pj(Ej) est de

mesure nulle. De plus, pour presque tout x ∈ Ej , TxAj = TxEj .

On veut montrer que

(15.15)∫Ej

< vj , wj(x) > dx = H2(Rj).

Donc appliquons la formule de l’aire (c.f.[14] 3.2.20), avec m = ν = 2, W = Ej , f = pj , g = 1Rj ;

on obtient

(15.16)∫Ej

|| ∧2 apDpj(x)||dH2x =∫Rj

N(pj , z)dH2z.

De plus par (15.10), N(pj , z) ≥ 1 pour tout z ∈ Rj . Par contre N(pj , z) ≤ 1 puisque Ej ⊂ Aj sur lequelpj est injective. Donc N(pj , z) = 1 pour tout z ∈ Rj . Par conséquent

(15.17)∫Rj

N(pj , z)dH2z = H2(Rj).

Pour le membre de gauche de (15.16), prenons w1j (x) un vecteur unitaire dans TxEj tel que w1

j (x)‖Rj ,et w2

j (x) le vecteur unitaire dans TxEj orthogonal à w1j (x). Alors pj(w1

j (x)) ⊥ pj(w2j (x)), par géométrie

élémentaire dans R3. On a alors

|| ∧2 apDpj(x)|| = ||pj(w1j (x)) ∧ pjj(w2(x))|| = |pj(w1

j (x))||pj(w2j (x))|

= |pj(w2j (x))|.

(15.18)

La première égalité est vraie parce que pj est une application linéaire de R2 dans R2, la deuxième

égalité parce que pj(w1j (x)) ⊥ pj(w2

j (x)), et la dernière parce que w1j (x)‖Sj .

Maintenant notons v2j (x) = pj(w

2j (x))

|pj(w2j (x))| ∈ Pj . Il est bien défini parce que TxEj 6⊥ Pj et donc

|pj(w2j (x))| > 0. Alors wj(x), w2

j (x), vj , v2j (x) sont tous orthogonaux à w1

j (x), et donc appartiennent à

un même plan, avec wj(x) ⊥ w2j (x), vj ⊥ v2

j (x). Donc

(15.19) | < wj(x), vj > | = | < w2j (x), v2

j (x) > | = |pj(w2j (x))|.

Mais par définition on a < wj(x), vj >≥ 0, donc

(15.20) < wj(x), vj >= |pj(w2j (x))| = || ∧2 apDpj(x)||

par (15.17). En combinant avec (15.16) et (15.17) on obtient (15.15). Notons qu’ici vj ne dépend pas

de E.

Maintenant pour x ∈ Aj\Ej , on définit un champs de vecteur mesurable wj(x) tel que wj(x) ⊥TxAj . Alors < wj(x), vj >= 0 pour presque tout x ∈ Aj\Ej . Et donc

(15.21)∫Aj

< vj , wj(x) > dx = H2(Rj).

155

En sommant sur j, on a

(15.22)4∑j=1

∫Aj

< vj , wj(x) > dx =4∑j=1

∫Ej

< vj , wj(x) > dx =4∑i=1

H2(Rj).

Ensuite, notons E0j = Ej\ ∪i 6=j Ei, Eij = (Ei ∩ Ej)\ ∪k 6=i,j Ek pour i 6= j. On affirme que

(15.23) Ej\(E0j ∪ ∪i 6=jEij) est de mesure nulle pour tout j.

Supposons que non. Alors il existe i, j, k différents tel que Ei ∩ Ej ∩ Ek est de mesure non nulle.

Supposons par exemple que i = 1, j = 2, k = 3, et notons E123 = E1 ∩ E2 ∩ E3. Maintenant puisque

E123 est un ensemble rectifiable mesurable de mesure positive, et que E123 ⊂ E, donc pour presque

tout x ∈ E123, le plan tangent approximatif TxE123 de E123 en x existe et est égal à TxE. Et de plus

puisque E est Ahlfors régulier, TxE est un vrai plan tangent (voir, par exemple, [8], Exercice 41.21,

page 277). Choisissons donc un tel x ∈ E123.

Alors par définition de Aj , on a que pour j = 1, 2, 3, le segment [x, pj(x)]∩E = x. Et par définitionde Ej , on a que TxE 6⊥ Pj et donc [x, pj(x)] ∩ (TxE + x) = x, puisque [x, pj(x)] ⊥ Pj . Maintenant le

sous espace affine TxE+x sépare R3 en 2 demi espaces, et puisque pour j = 1, 2, 3, ]x, pj(x)]∩(TxE+x) =

∅, il existe 1 ≤ i < j ≤ 3 tel que ]x, pi(x)] et ]x, pj(x)] se situent du même côté de TxE + x. Supposons

par exemple que i = 1, j = 2.

Notons, pour i = 1, 2, αi l’angle entre [x, pi(x)] et TxE+x. Posons α = minα1, α2. Alors puisqueTxE est un vrai plan tangent, il existe r > 0 tel que pour tout y ∈ E ∩B(x, r),

(15.24) d(y, TxE + x) <r

2sinα.

Posons b = [x, p1(x)]∩ ∂B(x, r), c = [x, p2(x)]∩ ∂B(x, r), alors par définition de α, d(b, TxE + x) ≥r sinα, et d(c, TxE + x) ≥ r sinα. Mais b, c sont du même côté de TxE + x, donc pour tout y ∈ [b, c],

d(y, TxE + x) ≥ r sinα, et donc [b, c] ∩ E = ∅, à cause de (15.24).

Maintenant on pose a = p1(x), d = p2(x). Notons que dans le triangle ∆xbc, |xb| = |xc|, de sorte

que ∠xbc = ∠xcb. Mais ∠xbc + ∠xcb + ∠bxc = π, ∠bxc > 0, donc ∠xbc = ∠xcb < π2 . Par conséquent,

∠abc = π = ∠xbc > π2 , ∠bcd = π − ∠xcb > π

2 . Ainsi on a trouvé quatre points a, b, c, d tel que (15.5)

est vrai. Une contradiction.

On obtient donc (15.23). Et par conséquent, on a

(15.25) H2(∪4j=1Ej) =

4∑j=1

H2(E0j ) +

∑1≤i<j≤4

H2(Eij).

Pour estimer les mesures, on va appliquer la méthode de calibration. Rappelons que vj est le vecteur


normal extérieur unitaire de Pj . Alors on a par (15.22),

4∑i=1

H2(Rj) =4∑j=1

∫Ej

< vj , wj(x) > dx

=4∑j=1

∫E0j

< vj , wj(x) > dx+∑

1≤i<j≤4

∫Eij

< vi, wi(x) > + < vj , wj(x) > dx

(15.26)

Pour le premier terme

|∫E0j

< vj , wj(x) > dx| ≤∫E0j

| < vj , wj(x) > |dx

≤∫E0j

|vj ||wj(x)|dx = H2(E0j )

(15.27)

et donc

(15.28) |4∑j=1

∫E0j

< vj , wj(x) > dx| ≤4∑j=1

|∫E0j

< vj , wj(x) > dx| ≤4∑j=1

H2(E0j ).

Pour le deuxième terme, observons que wi(x) = ±wj(x) pour x ∈ Eij , et notons εx = wi(x)wj(x) . Alors

| < vi,wi(x) > + < vj , wj(x) > | = | < vi + ε(x)vj , wi(x) > |

≤ |vi + ε(x)vj ||wi(x)| = |vi + ε(x)vj | ≤ max|vi + vj |, |vi − vj |.(15.29)

Par définition de vj , l’angle entre vi et vj est l’angle supplémentaire de l’angle θij entre Pi et Pj .

Alors un calcul simple donne

(15.30) |vi + vj | =2√3< 1, |vi − vj | =

2√

2√3> 1.

Donc max|vi + vj |, |vi − vj | = |vi − vj | > 1. Notons D cette valeur. Par (15.29),

|∫Eij

< vi,wi(x) > + < vj , wj(x) > dx|

≤∫Eij

| < vi, wi(x) > + < vj , wj(x) > |dx ≤ DH2(Eij)(15.31)

et donc

|∑

1≤i<j≤4

∫Eij

< vi, wi(x) > + < vj , wj(x) > dx|

≤∑

1≤i<j≤4

|∫Eij

< vi, wi(x) > + < vj , wj(x) > dx| = D∑

1≤i<j≤4

H2(Eij).(15.32)

En combinant (15.26), (15.28) et (15.32) on obtient

4∑i=1

H2(Rj) ≤4∑j=1

H2(E0j ) +D

∑1≤i<j≤4

H2(Eij)

≤ D[4∑j=1

H2(E0j ) +

∑1≤i<j≤4

H2(Eij)](puisque D > 1)

= DH2(∪4j=1Ej) ≤ DH2(E).

(15.33)

157

D’un autre côté, on peut faire la même chose pour T , le cône sur l’union des arêtes de C, puisque

T sépare les quatre faces de C et donc (15.5) est automatiquement faux. Alors par les définitions, on

peut bien voir que T 0i = ∅ pour tout i, εij = −1 pour tout i 6= j, et (vi − vj) ⊥ TxT pour presque tout

x ∈ Tij , ce qui implique que

(15.34) < vi, wi(x) > + < vj , wj(x) >= D

pour tout x ∈ Tij . En bref, toutes les inégalités sont des égalités pour T , par conséquent

(15.35) DH2(E) ≥4∑i=1

H2(Rj) = DH2(T ),

et donc

(15.36) H2(E) ≥ H2(T )

pour tout E qui ne vérifie pas (15.5).

Démontrons 2). Soit E un ensemble minimal réduit, alors il est automatiquement rectifiable et

Ahlfors régulier (c.f.[11]).

Notons d’abord queH2(E) ≤ H2(T ). En effet, pour chaque x ∈ B\T , il existe 1 ≤ i ≤ 4, tel que x et

Si appartiennent à la même composante connexe de B\T . Alors posons f(x) l’intersection de x+[0, ai)

avec T . Alors f : B → T est une rétraction Lipschtzienne (voir le dessin ci-dessous). Maintenant si E

est un ensemble minimal qui vérifie (15.4), alors posons g : ∂B ∪E → T ∪∂B, g(x) = f(x) pour x ∈ E,

g(x) = x pour x ∈ ∂T . Ensuite on étend g en une fonction qui envoie B dans B. (dessin 15-1). Donc g

déforme E en un sous-ensemble de T ∩B.

15-1

Mais E est minimal, donc

(15.37) H2(E) ≤ H2(g(E)) ≤ H2(T ∩B).


Donc pour montrer 2), il faut montrer que si (15.5) n’est pas vrai, et H2(E) = H2(T ∩ B), alors

E = T ∩B. Et en particulier E contient un point de type T.

Par les arguments dans 1), si (15.5) n’est pas vrai, et H2(E) = H2(T ), alors les inégalités (15.27)-

(15.29) et (15.31)-(15.33) sont tous des égalités.

On a donc

1) pour presque tout x ∈ Eij , TxEij ⊥ vi − vj . Notons Pij le plan perpendiculaire à vi − vj , alorspour presque tout x ∈ Eij , TxEij = Pij .

2) H2(E0j ) = 0 pour tout j, puisque D > 1.

3) H2(Aj\Ej) = 0.

4) pj(E) = pj(Ej) = Rj .

Alors pour presque tout x ∈ E, TxE est l’un des Pij . Si x est un point tel que TxE existe, par la C1

régularité (c.f.[10], Thm 1.15 et Lem 14.4), il existe r = r(x) > 0 tel que dans B(x, r), E est le graphe

d’une fonction C1 sur TxE, ce qui implique que dans B(x, r), la fonction f : E ∩ B(x, r) → G(3, 2),

f(y) = TyE est continue. Mais pour TyE on n’a que six choix Pij , 1 ≤ i < j ≤ 4, qui sont des points

isolés dans G(3, 2), et donc TyE = TxE pour tout y ∈ B(x, r) ∩ E. Par conséquent E ∩ B(x, r) =

(TxE + x) ∩B(x, r), un disque parallèle à Pij .

Encore à cause de la régularité C1, on a que EP = x ∈ E ∩ B : TxE existe est un variété de

classe C1, qui est ouverte dans E. Et donc

chaque composante connexe de EP est une partie

d’un plan qui est parallèle à l’un des Pij .(15.38)

Notons EY = x ∈ E : x est de type Y. Alors si x ∈ EY , par la C1 régularité (c.f.[10], Thm 1.15

et Lem 14.6), il existe r = r(x) > 0 tel que dans B(x, r) E est C1 équivalent à un Y . Notons LY l’épine

de ce Y , et S1, S2, S3 les trois demi plans ouverts de ce Y , alors si on note ϕ l’homéomorphisme C1 qui

envoie Y sur E dans B(x, r), les ϕ(Si)∩B(x, r) sont des variétés C1 connexes, et donc chaqune est une

partie d’un Pij . Par conséquent, ϕ(Ly)∩B(x, r) est un segment ouvert passant par x et est parallèle à

un Dj , où Dj = Pij ∩ Pjk.

Donc EY ∩B est l’union de segments ouverts I1, I2 · · · , chaque segment est parallèle à l’un des Dj ,

et son extrémité est soit un point dans la sphère ∂B, soit un point de type T . De plus

pour chaque x ∈ EY tel que TxEY = Dj , il existe r > 0

tel que dans B(x, r), E est un Y dont l’épine est x+Dj .(15.39)

Maintenant si x ∈ E est un point de type T , alors par les arguments ci-dessus, la limite d’exposion

CxE de E en x est T . Par conséquent, pour chaque segment Ii, au moins une de ses extrémité est dans

159

la sphère unité. En effet, si Ii est limité par deux points x, y de type T , alors au moins l’un de CxE et

CyE n’est pas T (deux T parallèles ne peuvent pas être connectés par une épine commune).

Donc les segments Ii vont jusqu’au bord.

Lemme 15.40. Si x est de type T , alors (T + x) ∩B ⊂ E.

Démonstration. Par la régularité C1 autour des point de type T , il existe r > 0 tel que dans B(x, r) E

est un exemple C1 de T +x. Mais par (15.38) et (15.39) on a que en fait E∩B(x, r) = (T +x)∩B(x, r).

Notons Li, 1 ≤ i ≤ 4 les 4 épines de T + x, alors Li ∩ B ⊂ EY , parce que Li ∩ B(x, r) est une partie

d’un segment Ij ⊂ EY , qui a déjà une extrémité x de type T , donc l’autre extrémité est dans la sphère,

ce qui veut dire Ij = Li ∩B(0, 1).

Maintenant on prend une famille à un paramètre de boules ouvertes Bs de rayon r ≤ s ≤ 1 qui

vérifie

1) B(x, r) ⊂ Bs ⊂ B pour tout s > r ;

2) Bs ⊂ Bs′ pour tout s < s′ ;

3) ∩1>t>sBt = Bs et ∪t<sBt = Bs pour tout r < s < 1.

Notons R = infs > r, (T + x) ∩Bs 6⊂ E. On affirme que R = 1.

Supposons que non.

Alors par définition de Bs, les quatre épines et les six faces de T + x ne sont jamais tangentes à

∂Bs, r < s < 1, puisque B(x, r) ⊂ Bs.

Pour chaque y ∈ ∂BR ∩ (T + x), y n’est pas un point de type T . En effet, si y appartient à l’un des

Li, alors y est automatiquement un point de type Y, puisque Li\x ⊂ EY ; Si y n’est pas de type Y,

il existe alors i, j tels que y ∈ x+Pij . Donc il existe ry > 0 tel que B(y, ry)∩ (x+ T ) est un disque Dy

centré en y. Maintenant par la définition de R, pour tout s < R, Bs ∩ (T + x) ⊂ E, et par conséquent

BR ∩ (T + x) ⊂ E. Et donc D ∩ BR ∩ B(y, ry) ⊂ E, ce qui implique que y ne peut pas être un point

de type T.

Alors si y est un point de type P, supposons que y ∈ Pij + x, alors TyE = Pij . Par (15.38), et

puisque R < 1, il existe un ry > 0 tel que E ∩B(y, ry) = (Pij + y) ∩B(y, ry). Cela signifie que

(15.41) il existe ry > 0 tel que E coïncide avec T + x dans BR ∪B(y, ry).

Si y est un point de type Y, alors il est forcément dans l’un des Li. Par le même argument que

ci-dessus en utilisant (15.39), on obtient aussi (15.41).

Donc (15.41) est vrai pour tout y ∈ ∂BR ∩ (T + x). Mais ∂BR ∩ (T + x) est compact, on peut donc

obtenir un r > 0 uniforme tel que pour chaque y (15.41) est vrai en posant ry = r. Cela contredit la

définition de R.

160 Préliminaires sur la topologie

Donc R = 1. Mais B1 ⊂ B est de rayon 1, de sorte que B1 = B. Par définition de R on obtient la

conclusion.


Par le lemme, on sait que si x est un point de type T , alors x est forcément l’origine, à cause de

(15.4). Donc T ∩B ⊂ E. Mais dans ce cas la, on a E = T ∩B, parce que H2(E) = H2(T ∩B).

Il reste donc le cas où il n’y a pas de point de type T . Mais dans ce cas, le même sorte d’argument

que le lemme 15.40 donne ce qui suit.

Lemme 15.42. Soit x un point de type Y dans E, et TxEY = Dj. Notons Yj le Y dont l’épine est Dj.

Alors

(15.43) (Yj + x) ∩B ⊂ E.

Mais c’est impossible, parce que E ∩ ∂B = T ∩ ∂B ne contient pas à la fois les deux bouts d’un

(Yj + x) ∩ ∂B(0, 1).

On obtient donc E = T ∩B. Et donc (15.6). 2


A partir de ce paragraphe, on commence à essayer de généraliser le concept de minimiseur de

Mumford Shah aux codimensions plus grandes.

Dans ce paragraphe, on donne d’abord quelques rappels sur des définitions et théorèmes (sans

démonstration) de topologie algébrique et de transversalité. Les lecteurs qui connaissent bien ce sujet

peuvent bien sûr sauter ce paragraphe.

16.1 Topologie algébrique

Dans cette section on va discuter de deux sortes de groupes d’homologie. Un groupe d’homologie

associé à un espace topologique est un invariant topologique, c’est à dire, à deux espaces homéomorphes

sont associées deux groupes d’homologie isomorphes. Donc les groupes d’homologie sont utiles pour

distinguer des espaces topologiques.

On donne d’abord les définitions de deux groupes d’homologies. Ensuite on donne des liens néces-

saires entre les deux, pour continuer à discuter de la généralisation des minimiseurs MS.

16.1 - Topologie algébrique 161

16.1.1 Homologie simpliciale (à coefficient dans Z)

Définition 16.1 (simplexe). Un n−simplexe s est l’enveloppe convexe des n + 1 points utilisés pour

former un repère affine dans un espace euclidien de dimension n. L’enveloppe convexe de tout sous-

ensemble de ce n+ 1 points est appelé une face du simplexe. Les faces sont des simplexes elles-mêmes.

En particulier, l’enveloppe convexe d’un sous-ensemble de taille m + 1 (de ce n + 1 points) est un

m−simplexe, appelé une m−face du simplexe initial. En particulier, pour m = n, une n−face d’un

n−simplexe est lui-même.

Par exemple, un 1-simplexe est un segment, un 2-simplexe est un triangle, un 3-simplexe est un

tétraèdre, etc.

Remarque 16.2. Un simplexe est une généralisation du triangle à une dimension quelconque. C’est

la raison pour laquelle on parle de "triangulation" dans les définitions suivantes.

Définition 16.3 (complexe simplicial). Un complexe simplicial K est un ensemble de simplexes tel que

1 Toutes les faces de chaque simplexe de K appartiennent aussi à K ;

2 L’intersection de n’importe quels deux simplexes non disjoints σ1, σ2 ∈ K est une face des deux

σ1 et σ2.

Un k−complexe simplicial K est un complexe simplical où la plus grande dimension de n’importe

quel simplexe de K est k. On dit qu’un complexe K est fini si K est un ensemble fini.

Définition 16.4 (Polyèdre et triangulation). Le polyèdre associé à un complexe simplicial K est sim-

plement la réunion de tous les simplexes qu’il contient. Il est noté |K|. La donnée (K, π) d’un complexe

simplicial et d’un homéomorphisme entre son polyèdre |K| et un espace topologique X est appelée une

triangulation de X. La triangulation est dite finie si K est un complexe simplicial fini.

Ainsi un cube ne se présente pas naturellement comme un complexe simplicial, notamment parce

que ses faces ne sont pas triangulaires, mais il admet plusieurs triangulations possibles.

Définition 16.5 (chaîne simpliciale). Soit K un complexe simplicial. Une k−chaîne simpliciale (à

coefficient dans Z) est une somme formelle de k−simplexes

(16.6)N∑i=1

ciσi, où ci ∈ Z, σi ∈ K est le i-ème k-simplexe.

Le groupe des k−chaînes sur K est le groupe abélien libre engendré par l’ensemble des k−simplexes

dans K, et est noté C∆k (K).

Définition 16.7 (l’application bord). L’application bord

(16.8) ∂k : C∆k (K)→ C∆

k−1(K)


est l’homomorphisme défini par

(16.9) ∂k(σ) =k∑i=0

(−1)i < v0, · · · , vi, · · · , vk >,

où le simplexe < v0, · · · , vi, · · · , vk > est la ième face de σ obtenue en supprimant son i-ème sommet.

Notons que

(16.10) ∂k ∂k+1 = 0 pour tout k.

Définition 16.11 (cycles et bords, groupes d’homologie). Puisque ∂k ∂k+1 = 0, on a Im(∂k+1) ⊂Ker(∂k). Les éléments de Im(∂k+1) sont appelés bords ; ce sont les chaînes qui sont images d’une autre

chaîne par l’application bord. Les éléments de Ker(∂k) sont appelés cycles ; ce sont les chaînes dont le

bord est nul. Tout bord est un cycle.

Le k-ème groupe H∆k (K,Z) d’homologie simpliciale (à coefficient dans Z) du complexe simplicial K

est le quotient

(16.12) H∆k (K,Z) = Ker(∂k)/Im(∂k+1).

La définition du groupe d’homologie simpliciale demande une bonne régularité de l’espace, c’est

à dire, on peut la définir sur un espace qui admet une triangulation. On ne peut pas le définir sur

n’import quel espace topologique. Par contre il est relativement facile à comprendre et à calculer, par

rapport au groupe d’homologie singulière, dont on va donner la définition tout de suite.

16.1.2 Homologie singulière (à coefficient dans Z)

Définition 16.13 (simplexe standard). On appelle simplexe standard ∆n de dimension n l’enveloppe

convexe dans Rn des points e0, e1, · · · , en où e0 = (0, · · · , 0) et où ei = (0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0), le 1 étant

placé à la i-ème position.

Définition 16.14 (simplexe singulier). Un n−simplexe singulier d’un espace topologique X est une

application continue de ∆n dans X. Notons Sn(x) l’ensemble des n−simplexes singuliers de X.

Ainsi, un 0−simplexe s’identifie à un point de X. Un 1-simplexe est un chemin reliant deux points,

paramétré par [0, 1].

Définition 16.15 (chaîne singulière). Soit X un espace topologique. Une k−chaîne singulière (à coef-

ficient dans Z) sur X est une somme formelle de k−simplexes

(16.16)N∑i=1

ciσi, où ci ∈ Z, σi ∈ Sk(X) est le i-ème k-simplexe singulier.

Le groupe de k−chaînes singulières sur X est le groupe abélien libre engendré par Sk(X), et est

noté Ck(X,Z).

16.1 - Topologie algébrique 163

Définition 16.17 (l’application bord). Soit σ un n−simplexe de X (n > 0), la i-ème face

σi de σ est la restriction de l’application au n-simplexe standard, enveloppe convexe des points

e0, · · · , ei−1, ei+1, · · · , en.

Le bord ∂σ de σ est par définition égal à∑ni=0(−1)iσi. On convient que le bord d’un point (un

0-simplexe) est 0. L’application bord est étendue par linéarité aux chaînes. Donc l’application bord ∂nva de Cn(X,Z) dans Cn−1(X,Z) (si n = 0, C−1(X,Z) = 0).

Notons que

(16.18) ∂n ∂n+1 = 0 pour tout k.

Définition 16.19 (cycles et bords, groupes d’homologies). Puisque ∂n ∂n+1 = 0, on a Im(∂n+1) ⊂Ker(∂n). Les éléments de Im(∂n+1) sont appelés bords ; ce sont les chaînes qui sont images d’une autre

chaîne par l’application bord. Les éléments de Ker(∂n) sont appelés cycles ; ce sont les chaînes dont le

bord est nul. Tout bord est un cycle.

Le groupe quotient Ker(∂n)/Im(∂n+1) est le n−ème groupe Hn(X,Z) d’homologie singulière de

l’espace topologique X.

On associe ainsi à tout espace topologique une suite de groupes abéliens.

16.1.3 Les relations entre les deux groupes d’homologies

L’homologie singulière est définie sur tout espace topologique. Mais elle est, en général, difficile à

calculer directement à partir de la définition. On veut donc décider, sur quel espace les deux homo-

logies sont bien définies et coïncident, de sorte qu’on peut décider l’homologie singulière en calculant

l’homologie simpliciale, qui est plus facile.

Notons d’abord que, si K est un complexe simplicial, il existe un homomorphisme canonique

H∆n (K,Z) → Hn(|K|,Z), induit par l’application des chaînes C∆

n (K,Z) → Cn(|K|,Z), en envoyant

chaque n−simplexe de K dans son application caractéristique σ : ∆n → |K|.

Théorème 16.20 (c.f.[18], Thm 2.27). Les homomorphismes H∆n (K,Z) → Hn(|K|,Z) sont isomor-

phismes pour tout n.

Remarque 16.21. Soit X un espace topologique qui admet une triangulation |K| ∼= X, alors pour

toute triangulation |K′| ∼= X on a

(16.22) H∆n (K,Z) ∼= Hn(|K|,Z) ∼= Hn(X,Z) ∼= Hn(|K′|,Z) ∼= H∆

n (K′,Z),

ce qui implique qu’on peut définir l’homologie simpliciale sur X

(16.23) H∆n (X,Z) = H∆

n (K,Z).


Par le théorème, pour tout espace qui admet une triangulation, on peut calculer l’homologie singu-

lière par l’homologie simpliciale de la triangulation. Ensuite on va décider quels espaces admettent des

triangulation.

Définition 16.24 (triangulation µ−lisse). Soit µ ≥ 1 un entier, ou µ = ∞. Soit M une variété de

classe Cµ de dimension n. Une triangulation (K, π) (voir la définition 16.4) de M est dite µ−lisse si

pour chaque n−simplexe σ de K, il existe une carte (U, ξ) de M (ξ : U ∼= V ⊂ Rn) telle que π(σ) ⊂ U ,et ξ π est affine sur σ. Si de plus K est un n−complexe simplicial, la triangulation est dite une µ−lissen− triangulation.

Théorème 16.25 (c.f.[33],Chap. IV,§ 14B, Thm 12). Toute variété M de classe Cµ admet une trian-

gulation µ−lisse.

L’idée (qui vient de S.S.Cairns, [5]) pour démontrer ce théorème n’est pas compliquée. On plonge

d’abordM dans un espace euclidien RN . On donne d’abord une triangulation lisse à RN (par des cubes

dyadiques) très fine, et on bouge un peu cette triangulation de sorte qu’elle soit transverse à M . Alors

l’intersection de M avec la triangulation induit une triangulation sur M .

Une autre démonstration intéressante est donnée par le même mathématicien, voir [6].

Remarque 16.26 (c.f.[33],Chap.IV,§ 14B, Thm 12). a) Pour une sous-variété M ⊂ Rn, il existe une

triangulation lisse de Rn dont M est un sous-complexe ;

b) On peut aussi trianguler une "variété à bord", par la même méthode.

Remarque 16.27. Notons que toute triangulation (K, π) d’une variété de dimension n est forcément

une n−triangulation.

Définition 16.28 (k-chaîne simpliciale lisse). Soit k ≤ n deux entiers,M une váriété lisse de dimension

n. Une somme formelle Γ est dite une k−chaîne simpliciale lisse sur M (par rapport à la triangulation

(K, π)), s’il existe une triangulation (K, π) ∞-lisse de M , et une k−chaîne simpliciale S =∑Ni=1 ciσ

i

sur K (avec les σi ∈ K des k−simplexes, ci ∈ Z), tel que Γ =∑Ni=1 ciπ(σi). Les images π(σ) des

d−faces σ de K, d ≤ k, sont appelées les d−faces de Γ. Le bord ∂Γ de Γ est défini par

(16.29) ∂Γ =N∑i=1

ciπ(∂σi) =: π(∂S).

C’est une k − 1-chaîne lisse.

16.2 Transversalité

La propriété de transversalité décrit, en bref, une position générale de l’intersection de sous-espaces

ou de sous-variétés. Elle est en quelque sorte l’opposé de la notion de tangence.

16.2 - Transversalité 165

Définition 16.30. Soit M,N deux variétés lisses de dimensions m et n, f : M → N une application

lisse. Soit Γ ⊂ N une sous-variété lisse de N . On dit que f est transverse à Γ, noté f t Γ, si pour tout

x ∈M tel que y = f(x) ∈ Γ, le plan tangent TyΓ et l’image f∗(TxM) engendrent TyN .

La propriété utilisée le plus souvent est la suivante.

Proposition 16.31 (c.f.[4] , Chapt II, Thm15.2). Soit M,N, f,Γ comme dans la définition. Si f t Γ

alors f−1(Γ) est une sous-variété régulière (ou sous-variété plongée). De plus la codimension de f−1(Γ)

dans M est la même que celle de Γ dans N .

Corollaire 16.32. Soit M,N, f,Γ,m, n comme dans la proposition précédente. Si de plus, M,N,Γ sont

orientables, alors f−1(Γ) est aussi orientable.

Démonstration. Notons Γ′ = f−1(Γ). Notons d la codimension de Γ dans N , et donc aussi celle de Γ′

dans M , par la proposition.

Γ est orientable, ce qui implique qu’il existe sur Γ un champs de d−vecteurs normal lisse ne s’anulant

pas v : Γ→ ∧d(TN), avec v(x) ∈ ∧d(TxΓ⊥).

Maintenant pour chaque y ∈ Γ′, x = f(y) ∈ Γ, puisque f est transverse, f∗(TyM)⊕ TxΓ engendre

TxN . Notons NyΓ′ l’espace orthogonal de TyΓ′ dans TyM , et NxΓ l’espace orthogonal de TxΓ dans

TxN . On sait que f∗(TyΓ′) ⊂ TxΓ, donc f∗(NyΓ′)⊕ TxΓ engendre NxΓ⊕ TxΓ. Notons πx la projection

orthogonale de TxN sur NxΓ, alors πx f∗(NyΓ′) est surjective linéaire sur NxΓ. Notons que par la

proposition, NyΓ′ et NxΓ sont tous les deux de dimension d, donc πx f∗ est bijective linéaire. Donc

pour chaque y ∈ Γ′, définissons v′(y) ∈ NyΓ′ l’image réciproque de v(x) par πx f∗, alors v′ est un

champ de d−vecteurs normal lisse, partout non nul sur Γ′, ce qui implique que Γ′ est orientable. 2

Remarque 16.33. Par la démonstration du corollaire, l’orientation v′ de f−1(Γ) est dite l’orientation

induite par f de l’orientation v de Γ, noté f∗(v). Il est facile à voir que si Γ est une variété lisse à bord

orientable, f transverse à Γ et ∂Γ, alors ∂f−1(Γ) = f−1(∂Γ), et de plus si on note ∂v l’orientation de

∂Γ induite par v, ∂f∗(v) l’orientation de ∂f−1(Γ) induite par f−1(Γ), on a alors

(16.34) ∂f∗(v) = f∗(∂v).

Le théorème suivant dit que les fonctions transverses à une certaine variété forment un grand

ensemble dans l’ensemble des fonctions de classe C∞.

Théorème 16.35 (Théorème de transversalité, c.f.[20], Chapt 3, Thm 2.1). Soit M et W deux variétés

lisses. Soit F un fermé de M . Soit Z une sous-variété lisse de W . Soit f une application de classe C∞

de M dans W qui est transverse à Z en tout point de F . Soit X l’ensemble des applications C∞ de M

dans W qui coïncident avec f sur F . Alors l’ensemble des fonctions C∞ de M dans W qui coïncident

avec f sur F et sont transverses à Z est une intersection dénombrable d’ouverts dense de X par rapport

à la topologie de Whitney.

166 L’image réciproque d’une chaîne lisse par une application transverse

Remarque 16.36. Ici on n’explique pas ce que signifie la topologie de Whitney. Tout ce qu’on a besoin

de savoir ici est que la topologie de Whitney est une topologie sur l’espace de fonctions C∞, et que pour

tout compact K ⊂ M , pour tout ε > 0, pour tout f : M → W de classe C∞, l’ensemble des fonctions

g : M →W de classe C∞ telles que |g − f | < ε sur K est un ouvert pour la topologie de Whitney.

Remarque 16.37. Notons que si Ai, i ∈ N, est une suite d’ensembles, chacun est une intersection

dénombrable d’ouverts denses, alors leur intersection ∩i∈NAi est aussi une intersection dénombrable

d’ouverts dense. Par conséquent, si Zi, i ∈ N, est une suite de sous-variétés lisses dans W , alors l’en-

semble des fonctions lisses qui sont transverses à tous les Zi est toujours une intersection dénombrable

d’ouverts denses.

17 L’image réciproque d’une chaîne lisse par une ap-

plication transverse

On va maintenant généraliser le théorème au cas où Γ est une k−chaîne simpliciale lisse. Notons

que pour toute d−face σ de Γ, l’intérieur σ de σ est une d−sous-variété régulière lisse.

Définition 17.1. Soit m,n deux entiers, k < minm,n, M,N deux variétés lisses de dimensions m

et n. Soit Γ ⊂ N une k-chaîne lisse, on dit qu’une application lisse f : M → N est transverse à Γ, si

pour tout d ≤ k, pour toute d−face σ de Γ, f est transverse à la sous-variété σ.

Maintenant on va regarder l’image réciproque d’une chaîne simpliciale lisse par une application

transverse à elle, et on veut obenir un résultat semblable à (16.34). Pour avoir une idée, on énonce

d’abord la proposition suivante, sans préciser certaines notations.

Proposition 17.2. Soit M,N deux variétés lisses orientées de dimensions m et n, f : M → N

lisse et propre, k ≤ minm,n. Soit Γ une n − k−chaîne simpliciale lisse dans N , et supposons que

f est transverse à Γ. Alors f−1(Γ) est aussi une m − k−chaîne simpliciale lisse (sous une certaine

triangulation) dans M ; de plus,

(17.3) ∂f−1(Γ) = f−1(∂Γ).

Dans les discussion suivante on va expliquer les notations inconnues, et donner aussi une démons-

tration de la proposition.

SoitM,N deux variétés lisses orientées de dimensions m et n, notons leur orientations vM , vN . Soit

f : M → N une application lisse et propre (c’est à dire, l’image réciproque d’un compact est compact).

Etape 1 : structure autour d’un simplexe lisse.

167

Soit Σ ⊂ N un n−simplexe lisse. Soit f transverse à Σ.

Par définition, il existe une triangulation lisse (K,π) de N , un n−simplexe σ ∈ K, telle que

π(σ) = Σ. Par la définition de triangulation lisse, il existe une carte (U, ξ) de N (ξ : U ∼= V ⊂ Rn) telle

que Σ = π(σ) ⊂ U , et ξ π est affine sur σ.

Mais σ est un sous ensemble d’intérieur non-vide de Rn, et ξ π est affine sur σ, donc en fait ξ πest affine dans un voisinage w de σ. Notons G = ξ π(w)∩V ⊂ Rn, il est alors une sous-variété ouverte

de dimension n, qui contient ξ(Σ) = ξ π(σ). Notons que ξ π est affine, et est un homéomorphisme,

donc Σ′ := ξ π(σ) est un n−simplexe dans G ⊂ Rn. D’un autre côté, notons que ξ f est transverse

à Σ′ par définition.

Notons que ξ est un difféomorphisme, donc sans perdre de généralité, en remplaçant f par ξ f , Npar G, Σ par Σ′, on peut juste discuter le cas où N est un ouvert dans Rn, et Σ ⊂ N est un n−simplexe.

Pour chaque k ≤ n, σ une k−face de Σ, notons Vσ l’intersection de N avec le k−espace affine

contenant σ.

On sait que f est transverse à σ. Alors pour chaque point x ∈ σ, il existe d ≤ k tel que x appartient

à l’interieur d’une d−face γ de σ (pour d = 0, l’intérieur d’un point est défini comme ce point là) . Par

définition, pour chaque y ∈ f−1(x), f∗(TyM) ⊃ NxVγ (l’espace normal de Vγ). Mais Vγ ⊂ Vσ, donc

NxVγ ⊃ NxVσ. Par conséquent, f∗(TyM) ⊃ NxVσ pour tout x ∈ σ et y ∈ f−1(x). Donc f est transverse

à Vσ en tout point de σ.

Notons E l’ensemble des points dans N où f est transverse à Vσ. Il contient alors un voisinage

ouvert Oσ de σ. En effet, prenons un compact A ⊂ N tel que σ ⊂ A. Alors si yll∈N ⊂ A est

une suite de points où f n’est pas transverse à Vσ, et y∞ ∈ A est sa limite, alors par définition il

existe zll∈N ⊂ f−1(A) tel que f(zl) = yl et que Df(zl)(TzlM) ⊕ TylVσ 6= TylN . Notons que les

espaces normaux NylVσ et Nzlf−1(Vσ) sont de même dimension, et Df(zl)(Tzlf−1(Vσ) ⊂ TylVσ, donc

DetNzlf−1(Vσ)→NylVσpyl Df(zl) = 0, où pyl désigne la projection orthogonale de TylN sur NylVσ.

On sait que f est propre, A est compact, donc f−1(A) est compact. La suite zl admet donc

un point d’adhérence z∞. Alors f(z∞) = y∞ ⊂ A, et par la continuité de f et sa dérivée, on a aussi

DetNz∞f−1(Vσ)→Ny∞Vσ [py∞ Df(z∞)] = 0, ce qui implique que f n’est pas transverse à Vσ en y∞.

On a donc que l’ensemble EC des points où f n’est pas transverse à Vσ est fermé dans A. Donc

E est ouvert dans A. Notons que σ ⊂ A, il existe alors un voisinage ouvert Oσ ⊂ E tel que σ ⊂ Oσ.

On peut demander aussi que Oσ ⊃ Σ. En effet, E ⊃ N\Vσ, et on peut donc remplacer Oσ par

(Oσ ∩ Vσ) ∪N\Vσ = E\(Vσ\Oσ).

Notons que la nombre de faces dans Σ est fini, donc ∩k≤n ∩σ∈k−face de ΣOσ est un ouvert. Il est

non vide, parce qu’il contient Σ. Prenons un ouvert O ⊂ ∩k≤n ∩σ∈k−faces Oσ qui est difféomorphe à

une boule. Remplaçons Vσ par Vσ ∩O.

168 L’image réciproque d’une chaîne lisse par une application transverse

Jusqu’à maintenant, pour chaque k−face σ de Σ, on a trouvé une k−variété affine Vσ dans O qui

contient σ telle que f est transverse à Vσ.

Notons que pour chaque Vσ et Vσ′ de dimension k et k − 1, soit ils sont disjoints, soit Vσ′ ⊂ Vσ et

Vσ′ coupe Vσ en deux parties ouvertes.

Etape 2 : la structure de f−1(Σ).

Maintenant notons σ1, · · · , σn+1 les n + 1 n − 1-faces de Σ. Notons Gi la composante connexe de

O\σi qui contient Σ. Alors f−1(Σ) = f−1(∩1≤i≤n+1Gi) = ∩1≤i≤n+1f−1(Gi), c’est une region dans

M , bordée par des variétés orientées f−1(Vσi), 1 ≤ i ≤ n+ 1. (On donne l’orientation induite par f de

vN à f−1(Σ), et l’orientation induite par ∂vN à f−1(σi), et donc aussi aux f−1(Vσi), 1 ≤ i ≤ n+ 1. )

Par conséquent, le bord topologique de f−1(Σ) est contenu dans l’union des ∩j 6=if−1(Gi) ∩f−1(Vσi) = f−1(σi).

D’un autre côté, chaque f−1(σi) est contenu dans le bord de f−1(Σ). En effet, pour un point

x qui appartient à l’intérieur σi, il existe une boule ouverte B ⊂ O contenant x, tel que dans B, σi

sépare B en deux parties Σ ∩B et B\Σ. Par conséquent dans f−1(B), f−1(σi) sépare ausse f−1(Σ)

et f−1(O\Σ). Mais f−1(σn−1) est une sous-variété lisse, donc f−1(Σ ∩ B) est une variété lisse à bord

orienté, dont le bord est f−1(σn−1) ∩ f−1(B).

Donc le bord de f−1(Σ) est l’union des f−1(σi), 1 ≤ i ≤ n + 1. Et de plus, près de chaque point

intérieur de f−1(σi), le bord est aussi le bord au sens "variété à bord". Et en des point où deux f−1(σi)

se rencontrent, ils se rencontrent en une variété lisse.

On obtient aussi, par l’argument ci-dessus, que comme le bord, la multiplicité de chaque f−1(σi)

est 1, c’est à dire, c’est impossible que f−1(σi) touche f−1(Σ) de ses deux côtés.

On donne alors l’orientation induite par f de Σ, σi à f−1(Σ) et des f−1(σi), 1 ≤ i ≤ n+ 1.

On peut faire la même chose que Σ pour chaque σi, en remplaçant M par f−1(Vσi), N par Vσi . On

obtient donc que formellement le bord de f−1(σi) est l’union des images reciproques de ses m−2-faces.

On peut continuer jusqu’à la dimension 0.

Etape 3 : triangulation.

On fait maintenant une triangulation lisse sur f−1(O), en demandant que pour chaque k ≤minn,m, pour chaque n − k−face σ, f−1(Vσ) est l’union dénombrable de m − k-simplexes lisses.

Ce n’est pas très compliqué.

En effet, prenons une triangulation lisse (K,π) de f−1(O). Pour des m − 1-faces σ1, · · · , σn+1,

on bouge un peu π de façon que f−1(V 1σ ) soit transverse à cette triangulation. Alors f−1(Vσ1) coupe

chaquem−simplexe de cette triangulation en polyèdres lisses. On fait alors une subdivision pour chaque

polyèdre lisse, et on obtient une nouvelle triangulation (K1, π1). (Voir [33] pour plus de détails). Ensuite

169

on le fait pour f−1(Vσ2), et obtient (K2, π2). Une remarque à faire est que quand on faire bouger π1

pour obtenir la transversalité, on ne bouge pas les simplexes lisse contenus dans f−1(Vσ1). On peut le

faire parce que sur f−1(Vσ1) on est déjà transverse à f−1(Vσ2), et on applique le théorème 16.35.

On fait ce processus jusquà σn+1, et on obtient (Kn+1, πn+1). C’est la triangulation dont on a

besoin. Notons-la (L, χ). Supposons aussi que χ préserve l’orientation.

On sait aussi que f−1(Σ) est compact. Alors pour chaque n− k−face σ de Σ, il est l’union finie de

m− k−simplexes lisse de (L, χ). Notons aussi f−1σ la k−chaîne de (L, χ), qui est la somme de tous les

m− k−simplexes lisses de (L, χ) contenu dans σ dont l’orientaion est induite par f de σ.

On a alors, par l’étape 2,

(17.4) ∂f−1(Σ) =n+1∑i=1

f−1(σi).

Etape 4 : Passer aux chaînes.

Maintenant soit Γ =∑li=1 ciΣ

i une n−chaîne lisse. On va définir la triangulation par récurrence

sur j sur ∪ji=1f−1(Σi), 1 ≤ j ≤ l.

Pour i = 1, on fait d’abord la triangulation (L1, χ1) décrite dans l’étape 3 pour f−1(Σ1), qui est un

n−simplexe lisse. On garde la triangulation dans f−1(Σ1), et laisse libre son complémentaire. Notons

que la triangulation restreinte à f−1(Σ1) est finie, puisque f−1(Σ1) est compact.

Maintenant supposons qu’il existe une triangulation lisse (Lj−1, χj−1) pour ∪ji=1f−1(Σi), telle que

pour chaque k ≤ minm,n, chaque n − k−simplexe de chaque f−1(Σi) est une m − k−chaîne dans

cette triangulation. On fait comme dans l’étape 3 une triangulation (L′j , χ′j) sur f−1(Σj), mais en

demandant aussi que cette triangulation soit transverse à la restriction de (Lj−1, χj−1) sur ses n − 1

faces qui touchent les f−1(Σi), 1 ≤ i ≤ j − 1.

On fait une subdivision sur (Lj−1, χj−1) par rapport à la restriction de (L′j , χ′j) sur les m− 1-faces

de f−1(Σj) qui touchent les f−1(Σi), 1 ≤ i ≤ j − 1, et on fait la même chose sur (L′j , χ′j) par rapport à

(Lj−1, χj−1). On peut le faire parce que la triangulation (L′j , χ′j) restreinte à l’union des faces est finie,

parce que l’union est compacte. L’ensemble de ces triangulation, notée (Lj , χj), est la triangulation

dont on a envie pour ∪ji=1f−1(Σi).

On arrive donc à définir une triangulation (Ll, χl) sur ∪li=1f−1(Σi), telle que pour chaque k ≤

minm,n, pour chaque n−k−face de Γ, son image réciproque par f est unem−k−chaîne de (Lm, χm).

On continue à trianguler la reste de M . En effet, M\(∪li=1f−1(Σi)) est aussi une variété à bord

topologique, dont le bord est l’union des m − 1-faces des f−1(Σi) qui touchent M\ ∪li=1 f−1(Σi). On

peut donc trianguler M\(∪li=1f−1(Σi)), en demandant que cette triangulation soit transverse à tous

les sous-simplexes de son bord. Notons (L0, χ0) cette triangulation. Ensuite on fait comme avant, on fait

des subdivisions pour que (Ll, χl) et (L0, χ0) soient cohérentes. Alors leur union est une triangulation

170 Minimiseur topologique

lisse sur M , telle que pour chaque k ≤ minm,n, l’image réciproque de chaque n− k−simplexe de Γ

est une m− k−chaîne.

De plus, on a

(17.5) ∂f−1(Γ) =l∑i=1

ci∂f−1(Σi),

où ∂f−1(Σi) est défini dans (17.4).

On peut vérifier la cohérence avec les dimensions plus petites. C’est à dire, soit σ un k−simplexe

lisse, il est contenu alors dans une sous-variété régulière lisse Nk de N . On travaille alors sur Nk et

f−1(Nk) ⊂ M , la dernière est une sous-variété régulière de codimension n − k de M , par la transver-

salité de f . On continue comme précédemment. On arrive à la même conclusion. On obtient donc la

proposition 17.2.


On va généraliser le concept MS-minimiseur à des codimensions plus hautes.

Dans ce paragraphe, soit U ⊂ Rn un ouvert, alors pour toute k−variété lisse à bord orientée

compacte Γ ⊂ U , Γ représente aussi la chaîne∑Ni=1 Σi, où Σi, 1 ≤ i ≤ N est l’ensemble de tous les

k−simplexes simpliciaux lisses de n’importe quelle triangulation sur la variété à bord Γ qui préserve

l’orientation. Notons que par le théorème 16.20, l’élément representé par une variété sans bord Γ (noté

encore Γ) dans le groupe d’homologie singulière Hk(U,Z) ne dépend pas de la triangulation.

Définition 18.1 (compétiteur topologique). Soit E un fermé dans Rn. On dit qu’un fermé F est un

compétiteur topologique de dimension d (d < n) de E, s’il existe une boule B telle que

1) F\B = E\B ;

2) Pour tout n− d− 1-sphère euclidienne S ⊂ Rn\(B ∪E), si S représente un élément non nul du

groupe d’homologie singulière Hn−d−1(Rn\E; Z), alors il est aussi non nul dans Hn−d−1(Rn\F ; Z).

Remarque 18.2. Notons que si d = n − 1, une sphère de dimension 1 est composée de deux points.

Donc la sphère est nulle en homologie si et seulement si les deux points sont dans la même composante

connexe. Donc dans le cas de la codimension 1, la définition de compétiteur topologique coïncide avec

la définition de MS-compétiteur.

Remarque 18.3. Dans la définition, si F est un compétiteur topologique de E, et B est une boule qui

vérifie 1) et 2), alors pour toute boule B′ tel que B ⊂ B′, elle vérifie aussi 1) et 2) ; par contre pour

une boule B′ plus petite que B qui vérifie 1), 2) n’est pas forcément vrai pour B′. Voir le dessin 18-1

pour un contre exemple, où l’ensemble F est un compétiteur de E par rapport à la grande boule B, mais

171

pas pour la petite boule B′. En effet, E sépare les deux points (marqués par deux petites croix sur les

dessins), mais F non.

18-1

On a donné d’abord la définition 18.1 en utilisant le groupe d’homologie singulière, pour éviter des

ambiguïtés, parce que le groupe d’homologie est définie sur tout espace topologique, et ne dépend pas

de triangulations, etc. Mais comme on a dit avant, l’homologie singulière n’est pas facile à calculer.

Pour cette raison on donne aussi la définition suivante. Notons que E et F sont des fermés, et donc

Rn\E et Rn\F sont des n−variétés lisse, donc par le théorème 16.25 et le théorème 16.20 on peut

donner la définition équivalente suivante. Notons que par la remarque 16.21, la définition ne dépend

pas de triangulations.

Définition 18.4 (compétiteur topologique). Soit E un fermé dans Rn. On dit qu’un fermé F est un

compétiteur topologique de dimension d (d < n) de E, s’il existe une boule B telle que

1) F\B = E\B ;

2) Pour tout n − d − 1-sphère euclidienne S ⊂ Rn\(B ∪ E), si S est le bord d’une n − d-chaînesimpliciale lisse dans Rn\F , alors elle est aussi le bord d’une n−d-chaîne simpliciale lisse dans Rn\E.

Proposition 18.5. Les définitions 18.1 et 18.4 sont équivalentes.

Démonstration. Il faut juste montrer que pour tout fermé E ⊂ Rn, pour toute n−d−1-sphère S ⊂ Rn,

elle est un élément nul dans Hn−d−1(Rn\E; Z) si et seulement si elle est le bord d’une n − d chaîne

simpliciale lisse.

La partie "si" est triviale, à cause de l’homomorphisme canonique H∆d (K,Z)→ Hd(|K|,Z) ;

Pour la partie "seulement si", on donne d’abord une triangulation (K,π) de la n−variété lisse

Rn\E ⊂ Rn, telle que S est une n − d − 1−chaîne lisse. Alors par le théorème 16.20, S est nul dans

le groupe d’homologie singulière si et seulement s’elle est nulle dans le groupe d’homologie simpliciale

par rapport à la triangulation (K,π), ce qui implique qu’elle est le bord d’une n− d chaîne simpliciale

lisse de cette triangulation. 2


Définition 18.6 (minimiseur topologique). Un ensemble minimal topologique est un minimiseur défini

dans 13.1 en prenant les compétiteurs topologiques comme la classe de compétiteurs.

Par la remarque 18.2, en codimension 1, la définition des minimiseurs topologiques coïncident avec

celle des minimiseurs MS.

Remarque 18.7. Il serait encore possible de définir des compétiteurs topologiques par le groupe d’ho-

motopie πn−d−1, où π0 coïncide aussi avec la séparation quand d = n− 1. Mais on connait un exemple

simple dans R3, un arc de Fox-Artin, dont une déformation ne préserve pas le groupe π1 de son com-

plément. Voir [16] pour plus de détails. Mais on a de la chance avec notre définition.

Proposition 18.8. Tout compétiteur d’Almgren est un compétiteur topologique.

Démonstration.

Soit E un ensemble fermé de dimension d dans Rn, et F un compétiteur Al de E, c’est à dire, il

existe B = B(x,R) ⊂ Rn une boule, f une application de Rn vers Rn telles que

(18.9) f(B) ⊂ B, f |Rn\B = id et f(E) = F.

On note, pour chaque r > 0, rB = B(x, rR). On va montrer que F est un compétiteur topologique

par rapport à 2B.

Soit S ⊂ Rn\(2B ∪E) une sphère de dimension n− d− 1, alors S ⊂ Rn\F . Supposons qu’il existeune n− d-chaîne lisse Γ ⊂ Rn\F dont le bord est S, on va montrer qu’il existe aussi une n− d-chaînelisse Γ′ ⊂ Rn\E dont le bord est S.

Notons δ = dist(Γ, F ). Alors on peut trouver une application g de Rn dans Rn de classe C∞, avec

(18.10) g|Rn\ 32B

= f = id

et

(18.11) ||g − f ||∞ = sup||f(x)− g(x)||, s ∈ 32B < δ

4.

Par (16.10), g est transverse à Γ sur Rn\ 32B, puisque’elle est l’identité.

Alors par le théorème 16.35 et la remarque 16.37, l’ensemble des fonctions lisses de Rn dans Rn

transverses à Γ et coïncidant avec g sur Rn\ 32B est un ensemble Gδ dense dans l’ensemble des fonctions

lisses de Rn dans Rn qui coïncide avec g sur Rn\ 32B, pour la topologie de Whitney (voir la remarque

16.36). En particulier, il existe une application lisse h de Rn → Rn telle que

(18.12) h|Rn\ 32B

= g = id,

(18.13) ||g − h||∞ = sup||h(x)− g(x)||, x ∈ 32B < δ

4,

173

et

(18.14) h est transverse à Γ.

Notons que (18.12) implique que h est surjective et propre. Par la proposition 17.2, (18.14) donne

que Γ′ = h−1Γ est une k−chaîne simpliciale lisse dans Rn, et de plus

(18.15) ∂Γ′ = f−1(∂Γ) = S.

Mais Γ′ ∩ E = ∅. En effet, si x ∈ Γ′ ∩ E, alors |h(x) − f(x)| ≤ ||g − h||∞ + ||g − f ||∞ ≤ δ2 . Mais

x ∈ E implique que f(x) ∈ F , et h(x) ∈ Γ, donc

(18.16) d(F,Γ) ≤ δ

2< δ = dist(Γ, F ),

une contradiction.

On obtient donc que Γ′ est une chaîne simpliciale lisse dans Rn\E, dont le bord est S. Donc F est

un compétiteur topologique de E par rapport à 2B. 2

Corollaire 18.17. Tout ensemble minimal topologique est un ensemble minimal Al.

Proposition 18.18. Soit E un ensemble de dimension d. Alors s’il existe m > d tel que E est minimal

topologique dans Rm, il est minimal topologique dans Rn pour tout n > d tel que E ⊂ Rn.

Démonstration. Soit E ⊂ Rn. On va juste le montrer pour deux cas : 1) E est minimal topologique

dans Rn ⇒ E est minimal topologique dans Rn+1 ; 2)E est minimal topologique dans Rn+1 ⇒ E est

minimal topologique dans Rn. La proposition suivra par récurrence.

1) Soit E ⊂ Rn un minimiseur topologique de dimension d. Soit F un compétiteur topologique de

E dans Rn+1 = Rn × R. C’est à dire, il existe une boule B ⊂ Rn+1, telle que F\B = E\B, et pour

chaque n− d-sphère S ⊂ Rn+1\(B ∪ E), si S est non nulle dans Hn−d(Rn+1\E,Z), alors elle est aussi

non nulle dans Hn−d(Rn+1\F,Z).

Par la remarque 18.3, on peut supposer que le centre de B appartient à Rn. Notons que E ⊂ Rn,

donc F\B = E\B ⊂ Rn. Notons π le projecteur sur Rn, alors par la proposition 18.8, π(F ) ⊂ Rn est

un compétiteur topologique de E dans Rn+1, par rapport à la boule 2B. Puisque π est 1-Lipschitzienne,

π(F ) est un meilleur compétiteur topologique que F de E, c’est à dire,

(18.19) Hd(π(F )\F ) ≤ Hd(F\π(F )).

Notons B′ = π(2B) = 2B∩Rn (puisque le centre de 2B appartient à Rn). On va montrer que π(F )

est un compétiteur topologique de E dans Rn par rapport à B′.

Soit S ⊂ Rn\(B′ ∪E) une n− d− 1-sphère. Si S est nulle dans Rn\π(F ), il existe une n− d-chainesingulière Γ ⊂ Rn\π(F ), telle que ∂Γ = S.


Prenons U ⊂ Rn\B′ la n− d-boule dans Rn telle que ∂U = S.

On sait que Hn−d(Rn,Z) = 0 pour d ≥ 1, et que U − Γ est une n− d chaine singulière sans bord,

il existe donc une n− d+ 1-chaine R ⊂ Rn telle que ∂R = U − Γ.

Posons T = R × 1 − R × −1 + Γ × [−1, 1], alors T est une n − d + 1-chaine singulière, avec

∂T = S × [−1, 1] + U × 1 − U × −1. Alors ∂T est une variété topologique compacte sans bord, et

est lisse sauf autour de S ×−1, 1. Donc on bouge un peu ∂T dans un petit voisinage de S ×−1, 1,et obtient que dans Rn+1\(2B ∪π(F )), elle est homotope à la n− d-sphère S′ dont le centre appartientà Rn et telle que S′ ∩ Rn = S.

Or ∂T est nulle dans Hn−d(Rn+1\π(F ),Z), donc S′ ⊂ Rn+1\2B est nulle dans

Hn−d(Rn+1\π(F ),Z). Mais π(F ) est un compétiteur de E dans Rn+1 par rapport à 2B, donc S′ est

nulle dans Hn−d(Rn+1\E,Z). Par la proposition 18.5, il existe alors une n − d + 1−chaîne simpliciale

lisse R′ ⊂ Rn+1\E dont le bord est S′. Prenons B1 une boule telle que R′ ⊂ B1.

Notons i le plongement de Rn → Rn+1. Alors i est transverse à R′ sur S′∪BC1 . Donc par le théorème

16.35, l’ensemble des fonctions de classe C∞ qui coïncident avec i sur S′ ∪BC1 et sont transverses à R′

est un Gδ-dense dans l’ensembles des fonctions dans C∞(Rn,Rn+1) qui coïncident avec i sur S′ ∪BC1 .

En particulier, il existe un plongement g ∈ C∞(Rn,Rn+1), transverse à R′, et tel que ||g − i||∞ est

aussi petit qu’on veut, tel que g−1(R′) ∩ E = ∅, puisque l’ensemble des plongements est ouvert. Par

conséquent, la proposition 17.2 donne que Γ′ = g−1(R′) est une n− d-chaîne simpliciale lisse dans Rn

avec ∂Γ′ = g−1(S′) = S, ce qui implique que S est nulle dans Hn−d−1(Rn\E,Z).

Donc π(F ) est un compétiteur topologique de E dans Rn. Par la minimalité de E, on a que

(18.20) Hd(E\π(F )) ≤ Hd(π(F )\E).


(18.21) Hd(E\F ) ≤ Hd(F\E),

et donc E est minimal topologique dans Rn+1.

2) Soit E ⊂ Rn un minimiseur topologique de dimension d dans Rn+1 = Rn × R. Soit F ⊂ Rn un

compétiteur de E dans Rn. Donc il existe une boule B ⊂ Rn telle que F\B = E\B, et pour chaque

n − d − 1–sphère S ⊂ Rn\(B ∪ E), si S est le bord d’une n − d−chaîne simpliciale lisse dans Rn\E,

alors elle est aussi le bord d’une n− d−chaîne simpliciale lisse dans Rn\F .

Notons B′ la boule dans Rn+1 avec le même centre et le même rayon que B. Alors F\B′ = E\B′.On veut montrer que F est un compétiteur topologique de E dans Rn+1 aussi.

Soit S′ ⊂ Rn+1\(F ∪ B′) une sphère de dimension n− d, qui est nulle dans Hn−d(Rn+1\F,Z), on

veut montrer que S′ est nulle dans Hn−d(Rn+1\E,Z).

Si S′ ∩ Rn = ∅, alors puisque S′ est connexe, et Rn sépare Rn+1 en 2 composantes, on voit que S′

175

appartient à l’une des deux composantes, qui est homéomorphe à Rn+1, dont le groupe Hn−d est nul.

Par conséquent, S′ est nul dans Hn−d(Rn+1\E,Z) ;

Si S′ ∩Rn 6= ∅, mais l’intersection est justement un point, c’est le cas où Rn est tangent à S′. Alors

S′ appartient aussi à un des demi espaces fermés V de Rn+1 bordé par Rn. Notons D le n−d+1 disque

dans V dont le bord est S′, alors Rn est tangent à D aussi, et D ∩ Rn = S′ ∩ Rn, qui n’intersecte pas

F et E. Donc S′ est nul dans Hn−d(Rn+1\E,Z) ;

Si S′∩Rn est d’interieur non vide dans Rn, alors par la proposition 18.5, il existe une n−d+1−chaînesimpliciale lisse Γ′ ⊂ Rn+1\F dont le bord est S′. Notons S = S′∩Rn, Alors par un argument semblable

à celui qui montre le S dans 1) est unélément nul, il existe une n−d−1−chaîne simpliciale lisse Γ dans

Rn\F dont le bord est S. Mais F est un compétiteur topologique de E dans Rn, il existe donc une

n − d − 1−chaîne simpliciale lisse R dans Rn\E dont le bord est S. Prenons D ⊂ Rn\B′ une -variété

lisse compacte à bord de dimension n − d telle que ∂D = −S. Alors D + R est une n − d-chaine sans

bord dans Rn, il existe alors une n− d+ 1-chaine U ⊂ Rn telle que ∂U = D+R, puisque Hn−d(Rn,Z)

est nul.

Notons R′ = R× [−1, 1] +U × 1 −U × −1, alors R′ ∩E = ∅ et ∂R′ = S × [−1, 1] +D× 1 −D × −1, qui est homotope à S′. Donc S′ est nulle dans Hn−d(Rn\E,Z).

Par conséquent, F est un compétiteur topologique de E dans Rn+1 par rapport à B′, de sorte que

(18.22) Hd(E\F ) ≤ Hd(F\E).

Donc E est minimal topologique dans Rn. 2

On considère aussi le produit de deux ensembles. C’est à dire, si E = E1 × E2, avec Ei ⊂ Rni ,

E ⊂ Rn1+n2 , quelles sont les relations entre les minimalités des trois ensembles ?

Nous avons vu dans paragraphe 12 que si E est minimal Al dans Rn1+n2 , les Ei sont forcément des

minimiseurs Al dans Rni , i = 1, 2.

Pour l’autre direction, si les Ei sont minimaux au sens Al dans Rni , i = 1, 2, on ne sait pas encore

montrer la minimalité Al de leur produit E. En fait on ne sait même pas le montrer si l’un des deux

Ei est R. En effet, on aimerait procéder par “slicing”. Pour E1 × R par exemple, on voudrait se servir

de la minimalité de E1, donc naturellement on regarde la tranche π−1(x) pour chaque x ∈ R, où π

est le projecteur sur R. Mais malheureusement on ne peut pas garantir que la tranche π−1(x) est une

déformation de E1, donc on ne peut pas utiliser la minimalité de E1 directement.

Alors pour le cas général E = E1 × E2, la situation est encore plus compliquée. Les tranches

π−1(x), x ∈ E2 ne sont pas de la même dimension que E1, parce que E2 n’est pas de dimension pleine.

Il faut sans doute trouver une moyen de faire le slicing plus intelligent.

Remarque 18.23. Un moyen de slicing généralisé est de le faire par rapport à un groupe. C’est à dire,

soit G un groupe opérant sur Rn. Notons Ox l’orbite de x ∈ R4, et Gx le sous groupe stable de x. Alors


a priori si G est suffisamment bon, Gx = Gy pour tout x, y et Gx ⊥ Oy pour tout x, y. Donc on a une

décomposition de R4 en ∪y∈OxGx(y). Et on peut regarder les tranches Gx(y)∩E si E est invariant par

rapport à G. Mais on ne sait pas mieux faire comme ceci.

Par contre pour les minimiseurs topologique, on peut au moins montrer la minimalité topologique

pour le produit d’un minimiseur topologique avec Rn.

Proposition 18.24. Soit E ⊂ Rn un minimiseur topologique de dimension d dans Rn, alors pour tout

m > 0, E × Rm est minimal topologique de dimension d+m dans Rn+m.

Démonstration. On va juste le montrer pourm = 1. Le cas oùm > 1 s’en déduit aussitôt par récurrence.

On restreint d’abord la classe des compétiteur topologiques de E×R à l’ensemble de compétiteurs

topologiques rectifiables. En effet, si un ensemble F non rectifiable est un compétiteur topologique de

E×R, par rapport à une boule B par exemple, alors forcément il n’est pas rectifiable dans B, parce que

E est minimal topologique implique qu’il est Al minimal (par le corollaire 18.17), donc E est rectifiable,

de sorte que F\B = E\B est rectifiable.

Mais F n’est pas rectifiable dans B implique que F n’est pas Al minimal dans B (c.f. [11] Théorème

2.11). Alors par le théorème 4.1, il existe un ensemble F ′, obtenu par déformation de F dans B, qui

est quasi-minimal (donc est rectifiable, c.f. [11], Thm 2.11), et dont la mesure dans B est strictement

plus petite que celle de F dans B. Par la proposition 18.8, F ′ est aussi un compétiteur topologique de

E × R. Et comme F ′ est rectifiable, cela implique que

infHd(F );F est un compétiteur topologique de E

= infHd(F );F est rectifiable et est un compétiteur topologique de E.(18.25)

Donc soit F un compétiteur topologique de E ×R, qui est aussi rectifiable. Par définition, on peut

trouver R > 0 tel que

(18.26) F\B(0, R) = (E × R)\B(0, R),

et pour toute n− d− 1-sphère S ∈ Rn+1\(E × R ∪B(0, R)),

S est non nul dans Hn−d−1(Rn+1\E × R,Z)

⇒ il est non nul dans Hn−d−1(Rn+1\F,Z).(18.27)

On remplace B(0, R) par C(R) := Bn(0, R) × [−R,R], où Bn(0, R) = B(0, R) ∩ Rn, alors (18.26)

et (18.27) sont encore vrais.

Notons π le projecteur sur R, et pour tout t ∈ [−R,R], notons Ft = π−1(t)∩F . Alors Ft− t est uncompétiteur topologique de E dans Rn. En effet, soit S ⊂ Rn\[(Ft − t) ∪ Bn(0, R)] est une n− d− 1-

sphère, qui s’annule dans Hn−d−1(Rn\(Ft− t),Z). Ceci implique qu’il existe une n−d chaine singulière

177

Γ ⊂ Rn\(Ft− t) telle que ∂Γ = S. Alors Γt := Γ×t ⊂ Rn+1\F est une n−d-chaîne et ∂Γt = S×t.Notons que S×t ⊂ (Rn\[(Ft− t)∪Bn(0, R)])×t = [Rn\Bn(0, R)]×t\Ft ⊂ Rn+1\(F ∪B(0, R)),

et que Γt ⊂ Rn+1\F est tel que ∂Γt = S × t, donc [S × t] s’annule dans Hn−d−1(Rn+1\F,Z). Par

conséquent [S×t] s’annule dans Hn−d−1(Rn+1\(E×R),Z), puisque F est un compétiteur topologique

de E×R par rapport à B(0, R). Il existe alors une n− d-chaîne singulière Γ′ ⊂ Rn+1\(E×R) telle que

∂Γ′ = S × t. Notons Γ′′ = p(Γ′), où p désigne le projecteur de Rn. Alors Γ′′ ⊂ Rn\E et ∂Γ′′ = s.

Donc S s’annulle dans Hn−d−1(Rn\E). Donc Ft − t est un compétiteur topologique de E.

Par la minimalité topologique de E,

Hd(π−1(t) ∩ F ∩ C(R)) = Hd([(Ft − t) ∩Bn(0, R)]× t)

= Hd((Ft − t) ∩Bn(0, R)) ≥ Hd(E ∩Bn(0, R)).(18.28)

Or par la formule de coaire (c.f.[14] Thm 3.2.22)

(18.29)∫F∩C(R)

||apDπ(x)||dHd+1(x) =∫ R

−RHd(π−1(t) ∩ F ∩Bn(0, R)× t)dH1(t).

Mais π est 1-Lipschitzienne, donc ||apDπ(x)|| ≤ 1, et

(18.30)∫F∩C(R)

||apDπ(x)||dHd+1(x) ≤ Hd+1(F ∩ C(R)).

D’un autre côté par (18.28)

(18.31)∫ R

−RHd(π−1(t) ∩ F ∩Bn(0, R))dH1(t) ≥ 2RHd(E ∩Bn(0, R)).

On obtient donc

(18.32) Hd+1(F ∩ C(R)) ≥ 2RHd(E ∩Bn(0, R)) = Hd+1(E ∩ C(R)),

ce qui donne la minimalité topologique de E × R. 2

19 Une discussion sur T

Maintenant on veut démontrer, pour des ensembles minimaux de dimension 2 dans R4, un théorème

semblable au théorème 13.9. Dans [9], on l’a démontré pour chaque type de limite d’implosion, qui est

un cône minimal, et on a traité les cas un par un. Si on veut faire la même chose dans notre cas, cela

demande encore une liste complète des cônes minimaux, qui est sans doute encore loin d’être connue.

Mais commençons par les types de singularité qu’on connait bien.

On sait déjà que pour un cône minimal (au sens d’Almgren) de type T, sa densité à l’origine est

toujours plus grand qu’un certain nombre dT , qui est strictement supérieure à 32 . Ici un cône minimal

de type T veut dire seulement un cône minimal qui n’est pas un plan, ni un Y. (c.f. [9], lemme 14.12).


Dans R3, il n’y a qu’un cône minimal (au sens MS ou Al) de type T, qui est le cône sur le tétraèdre,

et qu’on note T . Et donc sa densité à l’origine est juste dT , qui vaut environ 1.8. Notons que dans R3,

tous les cônes minimaux au sens Al de dimension 2 sont aussi minimaux au sens MS.

Pour notre cas R4, on connait déjà 2 cônes minimaux de type T : le cône sur le tétraèdre T , de

densité environ 1.8, et l’union de deux plans presque orthogonaux, de densité 2. Un autre cône potentiel

est le produit de 2 ensembles Y de dimension 1, dont on ne sait pas encore montrer la minimalité (mais

on va en discuter un peu plus tard), et qui serait de densité 94 .

On ne sait pas non plus si dans R4 il existe un cône de type T avec une densité inféreure à celle

d’un T . Mais apparement T est le cône qui admet la structure topologique la plus simple parmi tous les

cônes de type T. Donc supposons que la densité de T vaut dT dans R4 aussi. Alors on voudrait montrer

un théorème semblable au théorème 13.9.

Remarque 19.1. Rappelons que le stratégie pour montrer le théoréme 13.9 est que, pour chaque en-

semble minimal E , on regarde la densité dE d’une de ses limites d’implosion, et on essaye de trouver

un point p dans E de densité dE. Alors par la monotonie de la fonction f(t) = H2(E∩B(p,t))t2 , on obtient

que f est constante, c’est à dire que la densité de E en p est constante. Cela montre que E est un cône

centré en p.

L’enjeu est donc de trouver un point de la densité caractéristique pour chaque type de cône minimal,

et ça entraîne souvent un argument topologique correspondant à chaque type de cône minimal. Donc

jusqu’à maintenant, on ne sait que de traiter les cônes un par un, et à condition qu’on sache déjà leur

structure topologique.

Maintenant on va regarder un minimiseur topologique E qui ressemble à un T à l’infini, c’est à

dire, on suppose qu’il existe un T centré à l’origine, et une suite rkk∈N telle que

(19.2) limk→∞

rk →∞ et limk→∞

d0,rk(E, T ) = 0.

On suppose aussi, dans tout ce qui suit, que la densité de T est dT (ce qui n’est pas démontré à ce

jour).

Notre ensemble E est maintenant de codimension 2, et donc la condition topologique est définie

par le groupe H1(R4\E,Z).

Notons yi1≤i≤4 les quatre points de type Y dans T ∩ ∂B(0, 1). Notons lij ⊂ T ∩ ∂B(0, 1) l’arc

de grand cercle connectant yi et yj . Le cône T est composé de 6 secteurs fermés Tij1≤i 6=j≤4, où Tijest le cône sur lij . Notons xij , 1 ≤ i 6= j ≤ 4, le milieu de lij . Notons Pij le 2-plan orthogonal à Tij et

passant par xij (et donc passant par l’origine aussi). Posons Bij = B(xij , 110 ) ∩ Pij et sij le bord de

Bij . Alors les sij sont des cercles, qui ne touchent pas T , et Bij ∩ T = Bij ∩ Tij = xij .

Fixons une base orthonormée ei1≤i≤4 de R4. Nous allons définir des cercles orientés ~sij , c’est

à dire, donner une orientation aux sij . Il y a deux orientations σ1 = x ∧ y, σ2 = −x ∧ y pour Bij ,

179

où x, y sont deux vecteurs unitaires orthogonaux appartenant au plan qui contient Bij . Choisissons

le k ∈ 1, 2 tel que detei1≤i≤4−−→oxij ∧ −−→yiyj ∧ σk > 0, et notons

−→B ij le disque orienté Bij avec cette

orientation. Notons ~sij = ∂−→B ij le cercle orienté. Et [~sij ] l’élément representé par ~sij dans H1(R4\T ; Z).

Les [~sij ], 1 ≤ i < j ≤ 4 sont deux à deux différents, par contre ils sont algébriquement dépendants.

Le dessin 19-1 ci-dessous donne un schéma (mais dans R3). Comme T est contenu dans un R3,

alors si on fixe l’orientation de la dimension restante de R4, l’orientation de Bij s’obtient en prenant

l’orientaiton du vecteur normal à Tij dans R3. Cette orientation correspond à l’orientation de lij par la

règle de la main droite. Donc dans le dessin on marque l’orientation de lij par des flèches, pour désigner

l’orientation de [~sij ]. Dans le dessin, l’orientation Sij désigne [~sij ].

19-1

Nous avons alors que

(19.3) ~sij = −~sji, [~sij ] = −[~sji].

Notons que [~sij ], 1 ≤ i, j ≤ 4 est un ensemble des générateurs du groupe d’homologie

H1(R4\T ; Z). Pour montrer ceci, notons Ci, 1 ≤ i ≤ 4 le cône fermé sur le triangle dont les som-

mets sont les yj , j 6= i. Notons Vij = R4\(Ci ∪ Cj), et Uij = Vij\Tij ⊂ R4\T . Notons que Ci ∪ Cj est

un cône de dimension 3 et homéomorphe à un cône sur un disque fermé de dimension 2, donc Vij est

homémorphe à R4, et Uij est homémorphe à R4\R2. Pour chaque Uij , le groupe d’homologie singulière

H1(Uij ,Z) est donc le groupe libre engendré par l’élément enlaçant Tij , qui est [~sij ]. D’un autre côté,

chaque Uij est connexe, de sorte que H0(Uij ,Z) = Z.

Maintenant pour les deux ouverts U12 et U13, on a la suite exacte de Mayer-Vietoris (c.f.[18] Chap


2.2, Mayer-Vietoris Sequences)

H1(U12 ∩ U13)→ H1(U12)⊕H1(U13)→ H1(U12 ∪ U13)

→ H0(U12 ∩ U13)→ H0(U12)⊕H0(U13)→ H0(U12 ∪ U13)→ 0.(19.4)

Notons que U12 ∩U13 = R4\R3 ∪C4 ∼= R4, il est donc connexe et simplement connexe, de sorte que

H1(U12∩U13) = 0, H0(U12∩U13) = Z ; U12∪U13 = R4\(T∪C1) est connexe, on a doncH0(U12∪U13) = Z.

Par conséquent, (19.4) devient

(19.5) 0→< [~s12] > ⊕ < [~s13] >→ H1(U12 ∪ U13)→ Z→ Z2 → Z→ 0.

On a donc

(19.6) 0→< [~s12] > ⊕ < [~s13] >→ H1(U12 ∪ U13)→ 0,

ce qui donne

(19.7) H1(U12 ∪ U13) =< [~s12] > ⊕ < [~s13] > .

Ensuite regardons les deux ensembles U12 ∪ U13 et U34. On a la suite exacte de Mayer-Vietoris

H1([U12 ∪ U13] ∩ U34)→ H1(U12 ∪ U13)⊕H1(U34)→ H1(U12 ∪ U13 ∪ U34)→

H0([U12 ∪ U13] ∩ U34)→ H0(U12 ∪ U13)⊕H0(U34)→ H0(U12 ∪ U13 ∪ U34)→ 0.(19.8)

L’union des deux ouverts est R4\T , qui est connexe, de sorte que H0(R4\T ) = Z. L’intersection

des deux ouverts est R4\R3 ∪ C2∼= R4\R3 ∪ C4 = U12 ∩ U13, dont les groupes d’homologies sont les

mêmes que ceux de U12 ∩ U13. Par conséquent, (19.8) devient

(19.9) 0→< [~s12] > ⊕ < [~s13] > ⊕ < [~s34] >→ H1(R4\T )→ Z→ Z2 → Z→ 0,

On a donc

(19.10) H1(R4\T ) =< [~s12] > ⊕ < [~s13] > ⊕ < [~s34] > .

Remarque 19.11. Notons que si on remplace ~s34 par ~s23 ou ~s24, on a toujours le même resultat que

(19.10). Par contre ~s14 ne marche pas. En effet, si trois Tij ne partargent pas un sommet yl, alors

H1(R4\T ) est le groupe libre engendré par les trois sij correspondants.

On dit que [sij ] et [skl] (sans flèche de vecteur) sont différents (dans un groupe d’homologie) si

(19.12) [~sij ] 6= ±[~skl],

et on note sij ∼ skl si [~sij ] = ±[~skl].

181

Revenons à notre ensemble E. Sans perdre de généralité, on peut supposer (quitte à remplacer E

par un E/rk, k grand) que d0,3(E, T ) est aussi petit qu’on veut (inférieur à ε0 par exemple). Vérifions

qu’alors, dans B(0, 52 )\B(0, 1

2 ), E est une version C1 de T . En effet, l’ensemble EY des points de type

Y dans E∩B(0, 52 )\B(0, 1

2 ) est l’union de 4 courbes de classe C1 γi, 1 ≤ i ≤ 4, chaque γi est très proche

de la demi droite [oyi), et autour de chaque γi, il existe un voisinage tubulaire Ti de γi qui contientB([oyi), r) pour un r > 0, tel que E est une version C1 de Y (voir [9] paragraphe 18 pour plus de

détails). Pour des points dans E qui sont dans B(Tij\B([oyi), r)), on peut montrer, par un argument

semblable à celui de paragraphe 6, que E est le graphe d’une fonction C1 de Tij . Donc au total, dans

B(0, 52 )\B(0, 1

2 ), E est l’image de T par un homéomorphisme ϕ, dont la dérivé est très proche de

l’identité. Notons Eij = ϕ(Tij), 1 ≤ i 6= j ≤ 4. De plus, comme E est très proche de T , sij ∩ E = ∅,Bij ∩ E = Bij ∩ Eij est aussi un ensemble qui ne contient qu’un point, si bien que localement chaque

sij enlace Eij , et est donc un élément dans H1(R4\E,Z) aussi.

Lemme 19.13. Soit E un ensemble minimal au sens Al et vérifiant (19.2). On continue à supposer

que dT vaut la densité de T . Prenons toutes les conventions ci-dessus. Alors si

(19.14) pour tout 1 ≤ i < j ≤ 4, [ ~sij ] 6= 0 dans H1(R4\E,Z),

et

(19.15) au moins 5 des [sij ] sont deux à deux différents dans H1(R4\E,Z),

alors E contient au moins un point de type T.

Démonstation du lemme : On raisonne par l’absurde. Supposons qu’il n’existe pas de point de type T.

Pour tout point x ∈ E, la densité dE(x) = limr→0H2(B(x,r)∩E)

r2 de E en x est strictement inférieure à

dT , qui vaut aussi la densité de T à l’origine. Alors dE(x) est soit 32 , soit 1. Autrement dit, tous les

points singuliers de E sont de type Y.

Notons EY l’ensemble des points de type Y de E. Alors EY ∩ B(0, 2) est composé de courbes

localement bi-Hölder équivalentes à une droite, dont des bouts sont situés dans la sphère ∂B(0, 2).(c.f.[9],

lemme 18.11).

L’argument ci-dessous est le même que celui après le lemme 18.11 dans [9] paragraphe 18, que l’on

pourra donc consulter pour plus de détails. Ici on ne donne pas trop de détail.

Puisque E ressemble assez à un T dans B(0, 52 )\B(0, 1

2 ), on a donc EY ∩ ∂B(0, 2) =

a1, a2, a3, a4, EY ∩ ∂B(0, 1) = b1, b2, b3, b4, où bi est le point le plus proche de ai parmi les

bj , 1 ≤ j ≤ 4. Alors par chaque ai passe une courbe de EY , et donc localement ai est situé dans

l’intersection de 3 demi surfaces Eij , j 6= i, 1 ≤ j ≤ 4.

Maintenant puisqu’on a 4 bouts, sans perdre de généralité, on peut supposer que la courbe γ1 de

EY entre dans la boule B(0, 2) par a1 et sort par a2, l’autre courbe γ2 part par a3 et sort par a4 (voir


le dessin 19-2 ci-dessous, où les traits verts représentent les γi, et on ne connait pas trop la structure

de E dans B1/2 = B(0, 12 )).

19-2

Autour de chaque point x de γ1, il existe une boule bi-hölderienne B(x, rx) de x. Par compacité de

la courbe γ1, il existe donc un voisinage tubulaire I1 de γ1, tel que E ∩ I1 est composé exactement de

trois surfaces qui se rencontrent le long de γ1.

Mais γ1 connecte a1 et a2, donc il passe par b1 et b2. Mais autour de yi E est composé de trois surfaces

Eij , j 6= i. Alors puisque E est composé de trois surfaces tout le long de γ1, ces trois surface se connectent

E12, E13, E14 à E21, E23, E24. On sait donc que s12, s13, s14 sont homotopes à s21, s23, s24 (sans connaître

l’attribution), et un argument semblable donne que s31, s32, s34 sont homotopes à s41, s42, s43. Pour la

partie γ1 on a donc 6 cas.

(19.16)

s12 ∼ s21, s13 ∼ s23, s14 ∼ s24;

s12 ∼ s21, s13 ∼ s24, s14 ∼ s23;

s12 ∼ s23, s13 ∼ s21, s14 ∼ s24;

s12 ∼ s23, s13 ∼ s24, s14 ∼ s21;

s12 ∼ s24, s13 ∼ s21, s14 ∼ s23;

s12 ∼ s24, s13 ∼ s23, s14 ∼ s21.

Notons que naturellement s12 ∼ s21, on a donc 4 cas (modulo la symétrie des indices 3 et 4)

(19.17)

s13 ∼ s23, s14 ∼ s24;

s13 ∼ s24, s14 ∼ s23;

s12 ∼ s23 ∼ s13, s14 ∼ s24;

s12 ∼ s23 ∼ s14, s13 ∼ s24.

183

Semblablement on a, pour la partie γ2

(19.18)

s31 ∼ s41, s32 ∼ s42;

s31 ∼ s42, s32 ∼ s41;

s34 ∼ s41 ∼ s31, s32 ∼ s42;

s34 ∼ s41 ∼ s32, s31 ∼ s42.

En combinant (19.17) et (19.18) on a 8 cas

(19.19)

1 s13 ∼ s23 ∼ s42 ∼ s14;

2 s13 ∼ s23 ∼ s42 ∼ s14 ∼ s43;

3 s13 ∼ s24, s14 ∼ s23;

4 s34 ∼ s41 ∼ s32, s13 ∼ s24;

5 s13 ∼ s23 ∼ s42 ∼ s14 ∼ s12;

6 s13 ∼ s24, s12 ∼ s23 ∼ s14;

7 s12 ∼ s13 ∼ s23 ∼ s42 ∼ s14 ∼ s43;

8 s13 ∼ s24, s12 ∼ s14 ∼ s23 ∼ s34.

Par conséquent, au plus 4 des [sij ], 1 ≤ i < j ≤ 4, sont différents, d’où se produit la contradiction

avec notre hypothèse, qui dit qu’au moins 5 des [sij ], 1 ≤ i < j ≤ 4 sont des éléments différents de

H1(R4\E; Z).


Corollaire 19.20. Soit E un ensemble minimal au sens Al de dimension 2 dans R4 tel que

(19.2),(19.14) et (19.15) sont vrais. Alors E est un T .

Démonstration. Par le lemme 19.13, E contient un point x de type T, donc la densité dE(x) de E

en x est supérieure ou égale à dT . Posons θ(t) = t−2H2(E ∩ B(x, t)) la fonction de densité de E en

x, elle est monotone, par la proposition 5.16 de [9] . Alors (19.2) et le lemme 16.43 de [9] donnent

limt→∞ θt = dT . Notons que dE(x) = θ(0) ≥ dT , donc la monotonie de θ dit que θ(t) = dT pour tout

t > 0. Par conséquent, le théorème 6.2 de [9] donne que E est un cône minimal centré en x, de densité

dT . Donc par (19.2) E et un T centré en x. 2

D’après le corollaire 19.20, il ne nous reste (pour démontrer un théorème semblable au théorème

13.9) qu’à discuter les cas où E est minimal topologique, et au plus 4 des [sij ] sont différents.

On va d’abord établir quelques propriétés des sij .

Lemme 19.21. 1)

(19.22)∑j 6=i

[~sij ] = 0 pour tout 1 ≤ i ≤ 4.


2) Pour chaque i 6= j 6= k,

(19.23) [~sij ] 6= 0,

et

(19.24) [~sij ] 6= [~sjk].

Démonstration. 1) Fixons un 1 ≤ i ≤ 4.

On décompose R4 = R3 × R, où T ⊂ R3.

Rappelons que les yi, 1 ≤ i ≤ 4 sont les 4 points de type Y de T ∩ ∂B(0, 1), Tij est le secteur de T

passant par l’origine et yi, yj , xij est le milieu du grand cercle passant par yi, yj , Pij est le plan passant

par xij et orthogonal à Tij , et sij = ∂Bij où Bij = B(xij , 110 ) ∩ Pij .

Notons Yi le cône sur Zi := ∪j 6=iyixij , où yixij désigne l’arc de cercle entre yi et xij (voir le dessin

19-3 de Y1 ⊂ R3 ci-dessous), CT l’enveloppe convexe de Yi. Posons C = CT × R. Notons que C est un

cône, et donc C\T l’est aussi. Noter que Zi ⊂ S3 ∩C est comme un Y de dimension 1. On va montrer

que∑j 6=i[~sij ] = 0 dans H1(C\T,Z).

19-3

Observons d’abord que ~sij est homotope dans C\T à sa projection radiale ~s′ij sur S3 (dont l’orien-

tation est induite par ~sij sur la sphère S3). En effet, notons πS le projecteur radial de R4\0 sur

S3, alors pour chaque x ∈ sij , le segment [x, πS(x)] appartient à une droite radiale, qui ne rencontre

aucune autre droite radiale, en particulier, puisque x ∈ R4\T , où T est décomposé de droites radiales,

[x, πX(x)] ∩ T = ∅. Alors si on pose ft(x) = (1 − t)x + tπS(x), 0 ≤ t ≤ 1, alors ft est un homotopie

entre ~sij et ~s′ij = πS(~sij).

Alors sur la sphère, dans C ∩ S3, topologiquement les sij , j 6= i sont trois cercles enlaçant les trois

branches de Zi (rappelons que le couple d’espaces topologiques (C∩S3, Zi) est homéomorphe à (R3, Y )

avec Y un ensemble de type Y de dimension 1. Alors dans (R3, Y ), l’union des trois cercles orientés

185

enlaçant les trois branches de Y est le bord d’une variété orientée à bord contenue dans R3\Y , ce qui

donne qu’il existe une variété orientée à bord Σ ⊂ C ∩ S3\Zi de dimension 2 telle que ∂Σ = ∪j 6=i~s′ij(voir le dessin 19-4 ci-dessous, où sij désigne le cercle orienté ~sij, et l’orientation de Σ est marquée par

un vecteur normal extérieur ~n), de sorte que, après une triangulation lisse dont Γ et les sij sont des

chaîne lisses, on a ∂[Σ] = ∪j 6=i[~s′ij ]. Mais Σ ⊂ C ∩ S3\Zi ⊂ R4\T , par conséquent∑j 6=i[~s

′ij ] = 0 dans

H1(R4\T,Z). Alors puisque ~s′ij est homotope à ~sij , on obtient

(19.25)∑j 6=i

[~sij ] = 0 dans H1(R4\T,Z).

Puisque E est très proche de T , on peut supposer que Σ et les ft(sij) ne touchent pas E. On obtient

donc la conclusion.

19-4

2)Supposons par exemple que i = 1, j = 2, k = 3. Si [~s12] = [~s23], alors par (19.22)

(19.26) [~s24] = 0,

Donc il faut juste montrer (19.23). Supposons par exemple i = 2, j = 4. Alors (19.26) veut dire

qu’il existe une 2-chaîne simpliciale lisse Γ dans R4\E telle que ∂Γ = ~s24. Mais E est fermé, il existe

donc un voisinage U de Γ tel que U ∩ E = ∅. En particulier, s24 ⊂ U .

Posons D = E ∩ B(x24,110 ). Alors par la régularité de E qui est très proche de T , E est dans

B(x24,18 ) égale à un morceau de surface qui est presque un disque. Par conséquent D est une surface

de mesure non nulle.

On note F = E\D, alors F\B(0, 2) = E\B(0, 2). On va montrer que F est un compétiteur topo-

logique de E par rapport à la boule B(0, 2). Supposons donc que γ ⊂ R4\(B(0, 2) ∪ E) est un cercle

orienté. On veut montrer que si [γ] est nul dans H1(R4\F,Z), alors il est nul dans H1(R4\E,Z).

Puisque [γ] est nul dans H1(R4\F,Z), il existe un 2 − chaine simpliciale lisse Σ ⊂ R4\F tel que

∂Σ = γ. Par le théorème 16.35 et la remarque 16.37, et un argument semblable à celui de la proposition

18.8, on peut demander que Σ soit transverse à ∂B(x24,110 ).


Si Σ ∩ B(x24,110 ) = ∅, alors Σ ⊂ R4\E aussi, d’où [γ] = 0 ∈ H1(R4\E,Z). Si Σ ∩ B(x24,

110 ) 6= ∅,

alors par la transversalité de Σ et ∂B(x24,110 ), par la proposition 17.2, leur intersection est une 1-chaîne

simpliciale lisse s ⊂ ∂B(x24,110 ) sans bord.

Maintenant on se place dans la boule B1 := B(x24,110 ). Puisque D est topologiquement un disque,

on a

(19.27) H1(B1\D) = Z,

donc l’élément générateur est [~s24]. Par conséquent, il existe n ∈ Z tel que [s] = n[~s24]. Il existe donc

une 1-chaîne simpliciale lisse R ⊂ B1\D tel que ∂R = s− n~s24.

Rappelons que Γ ⊂ R4\E est tel que ∂Γ = ~s24. Par conéquent, Σ′ = Σ\B1 +nΓ+R est un 2-chaine

tel que ∂[Σ′] = [γ]. De plus Σ′ ⊂ R4\E. Donc [γ] est aussi nul dans H1(R4\E,Z). Ainsi F est un

compétiteur topologique de E.

Mais puisque D est de mesure non nulle,

(19.28) H2(F ) < H2(E),

ce qui contredit le fait que E est minimal topologiquement.

Fin de la démonstration du lemme 19.21.

On va maintenant reprendre la discussion des cas où E est trés proche d’un T à l’échelle 1, et ne

contient pas de point de type T. On va donc discuter les 8 cas qui apparaissent dans (19.19). Notons

que parmi les 8 cas, le troisième cas contient déjà tous les autres 7. Mais on va comme même discuter

tous les 8, pour en éliminer certains.

1 s13 ∼ s23 ∼ s42 ∼ s14.

Par (19.24), [~s13] 6= [~s32], donc [~s13] = [~s23] ; en fait

(19.29) [~s13] = [~s23] = [~s24] = [~s14] := α,

ensuite par (19.22)

(19.30) [~s43] = [~s24] + [~s14] = [~s13] + [~s23] = [~s34],

donc

(19.31) [~s43] = [~s34] = 2α et 4α = 0.

On a semblablement

(19.32) [~s12] = [~s21] = 2α.

Dans ce cas, on a au plus 2 éléments différents parmis les sij , 1 ≤ i, j ≤ 4.

187

2 s13 ∼ s23 ∼ s42 ∼ s14 ∼ s43.

On a s13 ∼ s43 ∼ s14, (19.24) donne

(19.33) [~s13] = [~s43], [~s13] = [~s14], [~s14] = [~s34],

donc

(19.34) [~s13] = [~s43] = [~s14] := α avec 2α = 0.

Mais dans ce cas, par (19.22),

(19.35) [~s12] = [~s41] + [~s31] = 2α = 0,

ce qui contredit (19.23). Donc ce cas n’existe pas.

3 s13 ∼ s24, s14 ∼ s23.

Ici on a 4 cas

(19.36)

1)[~s13] = [~s24] := α, [~s14] = [~s23] := β;

2)[~s13] = [~s24] := α, [~s14] = −[~s23] := β;

3)[~s13] = −[~s24] := α, [~s14] = [~s23] := β;

4)[~s13] = −[~s24] := α, [~s14] = −[~s23] := β.

Pour 1), on a [~s34] = −[~s24] − [~s14] = −α − β, aussi [~s34] = [~s13] + [~s23] = α + β. D’autre part,

[~s12] = −[~s13]− [~s14] = −α− β = α+ β = [~s23] + [~s24]. On a donc

(19.37) 2α+ 2β = 0 et [~s34] = [~s12],

et dans ce cas on a au plus 3 éléments différents parmis les sij , 1 ≤ i, j ≤ 4 ;

Pour 2), on a α− β = [~s13] + [~s23] = [~s34] = −[~s24]− [~s14] = −α− β, α− β = [~s23] + [~s24] = [~s12] =

−[~s13]− [~s14] = −α− β. Donc

(19.38) 2α = 0 et [~s34] = [~s12],


Pour 3), on a α+ β = [~s13] + [~s23] = [~s34] = −[~s24]− [~s14] = α− β, β − α = [~s23] + [~s24] = [~s12] =

−[~s13]− [~s14] = −α− β, donc

(19.39) 2β = 0 et [~s34] = −[~s12],


Pour 4), on a α− β = [~s13] + [~s23] = [~s34] = −[~s24]− [~s14] = α− β, −β −α = [~s23] + [~s24] = [~s12] =

−[~s13]− [~s14] = −α− β, donc

(19.40) [~s34] = α− β, [~s12] = −α− β,


et dans ce cas on a au plus 4 éléments différents parmis les sij , 1 ≤ i, j ≤ 4.

4 s34 ∼ s41 ∼ s32, s13 ∼ s24.

Par (19.24) on a

(19.41) [~s34] = [~s14] = [~s32] := α,

alors

(19.42) [~s24] = [~s14]− [~s34] = −2α, [~s21] = −[~s24] + [~s32] = 3α, [~s13] = [~s32] + [~s34] = 2α.

C’est un cas particulier de 34), et dans ce cas on a au plus 3 éléments différents parmis les

sij , 1 ≤ i, j ≤ 4.

5 s13 ∼ s23 ∼ s42 ∼ s14 ∼ s43.

Cas semblable que 2, impossible.

6 s13 ∼ s24, s12 ∼ s23 ∼ s14.

Par (19.24) on a

(19.43) [~s12] = [~s32] = [~s14] := α,

et donc

(19.44) [~s42] = −[~s12]− [~s32] = −2α, [~s43] = −[~s42] + [~s14] = 3α, [~s13] = [~s32] + [~s34] = −2α.

C’est un cas particulier de 34), et dans ce cas on a au plus 3 éléments différents parmis les

sij , 1 ≤ i, j ≤ 4.

7 s12 ∼ s13 ∼ s23 ∼ s42 ∼ s14 ∼ s43.

C’est un cas contenu dans 2 ou 5, donc impossible.

8 s13 ∼ s24, s12 ∼ s14 ∼ s23 ∼ s34.

C’est un sous cas de 6, et donc par la conclusion de 6, s34 ∼ s14 donne 3α = [~s43] = [~s41] = −α,de sorte que 2α = 0, ce qui impique que [~s13] = 0, impossible.

En gros, topologiquement tous les cas sont contenus dans le cas 3 4) ( notons que les cas 1, 3, 4, 6

sont tous des cas parcituliers de 3 4)). Alors dans le cas 3 4), il y a au plus 2 éléments indépendants

parmis les sij , 1 ≤ i ≤ 4. Modulo changement de noms, on a

(19.45) [~s13] = −[~s24] = α, [~s14] = −[~s23] = β, [~s34] = α− β, [~s12] = −α− β.

On obtient donc la proposition suivante.

189

Proposition 19.46. Soit E un minimiseur topologique réduit de dimension 2 dans R4, qui vérifie

(19.2). Prenons toutes les conventions énoncé au debut du paragraphe, et suppsons aussi que γ1 connecte

a1, a2, γ2 connecte a3, a4. Alors s’il existe r > 0 tel que d0,3r(E, T ) < ε0 (où ε0 est celui juste après

(19.12)), mais les sij ne vérifie pas (19.45) par rapport à 1rE, alors E est un T .

La proposition ci-dessus n’est pas encore aussi forte que le théorème 13.9. On n’arrive pas à exclure

le cas 3 4). Mais cela vient d’une discussion plutôt algébrique. On regarde ci-dessous que signifie-t-il

topologiquement.

Supposons que (19.45) est vrai.

Notons wij = Eij ∩ ∂B(0, 1), (voir le dessin 19-5 ci-dessous, où wij désigne ~wij), alors les wij sont

des courbe C1. Notons aussi ~wij la courbe orientée de bi vers bj .

19-5

Maintenant supposons que EY = γ1 ∪ γ2. C’est à dire, tout point est de type P, sauf les deux

courbes. (Pour le cas où EY 6= γ1 ∪ γ2, on sait que EY \(γ1 ∪ γ2) est une union de courbes fermées,

parce que les seuls bouts des courbes dans EY sont les bi1≤i≤4. C’est donc un cas plus compliqué.)

Lemme 19.47. γ1 ∪ γ2 ∪ w12 ∪ w34 est le bord d’une surface S0 ⊂ E de classe C1, et S0 ne contient

que des points de type P.

Démonstration. Par la C1 régularité des ensembles minimaux, la partie de E qui est dans B(0, 1) est

composé de variétés S1, S2, · · · de classe C1 dont les bords sont composés des éléments dans l’ensemble

Bd = wij , γ1, γ2. Alors w12 fait partie du bord d’une variété Sk. Mais ∂Sk doit être une union de

plusieurs courbes fermées. Il existe donc un courbe γ dans Bd qui touche w12 et telle que γ fait partie de


∂Sk aussi. Si l’un des w1i (resp. l’un des w2j) est contenu dans ∂Sk à la suite de w12, on a [~s12] = [~si1]

(avec orientation) (resp. [~s12] = [~s2i]), ce qui contredit (19.24).

Par conséquent la seule possibilité est γ1. C’est à dire, w12 et γ1 font partie du bord d’une même

variété Sk, et sauf w34, le bord de Sk ne contient pas les autre wij . Un argument semblable donne que

w34 et γ2 font partie d’une même variété Sl, dont le bord ne contient pas les autre wij , sauf w12.

Alors soit l’union des quatre est le bord d’une surface, soit l’union de w34 et γ2 est le bord d’une

surface et l’union des deux autres est le bord d’une autre surface. En tout cas, l’union des quatre est le

bord d’une surface (pas forcément connexe).


D’après ce lemme, si on enlève la surface S0 de E, alors E\S est composé de surfaces de classe C1

dont les bords sont composés d’éléments de l’ensemble Bd′ = w13, w14, w23, w24, γ1, γ2. Alors par le

même argument, il y a 2 surfaces S1, S2, avec ∂S1 = w13∪γ2∪w24∪γ1, et l’autre ∂S2 = w23∪γ2∪w14∪γ1.

De plus S1 ∪ S2 est aussi une variété topologique connexe, dont on peut définir l’orientation locale, y

compris près de ∂S1 et ∂S2.

19-6

Donc topologiquement, les bords des deux surfaces S1, S2 sont comme les bords de deux carrés, l’un

avec les quatre sommets (écrit dans l’ordre voisin) b1, b3, b4, b2, l’autre avec les somments b1, b4, b3, b2.

De plus, on doit coller ~b1b2 ensemble, et ~b3b4 ensemble. Notons que (voir le dessin 19-6 par exemple)

ces deux collages sont de directions contraires.

Alors si l’un des S1, S2 est non orientable, S1∪S2 est automatiquement non-orientable. Si S1, S2 sont

orientables, alors par la collage, S1∪S2 est aussi non-orientable. En tout cas S1∪S2 est non-orientable.

Remarque 19.48. Puisque S1 ∪S2 n’est pas orientable, [~s13], [~s14], [~s24], [~s23] sont tous d’ordre 2 dans

H1(R4\E,Z).

En effet pour une surface connexe S, la non-orientabilité veut dire que pour chaque point x ∈ S on

peut trouver un chemin γ : [0, 1]→ S tel que γ(0) = γ(1) = x, et si on note n(t) = x(t)∧y(t) ∈ ∧2Nγ(t)S

191

un champ de 2-vecteurs normal unitaire sur γ, où x(t), y(t) ∈ Nγ(t)S des champs de vecteurs unitaires,

n, x, y continus par rapport à t, alors n(0) = −n(1). Notons que n(t) désigne aussi le plan orienté

dans R4. Notons, pour chaque r > 0 sr(t) : T = R/Z → Pt = P (x(t) ∧ y(t)), θ 7→ r[cos(2πθ)x(t) +

sin(2πθ)y(t)]. Alors l’image de sr(0) et sr(1) sont le même cercle, mais ils sont d’orientation contraire :

sr(0)(t) = sr(1)(−t).

Notons Qt = γ(t)+P (t). Fixons r > 0 suffisamment petit, tel que pour chaque t ∈ [0, 1], B(γ(t), r)∩Qt ∩ S = γ(t).

Notons G : T × [0, 1] → R4, G(θ, t) = sr(t)(θ) + γ(t). C’est une application continue, telle que

G(T × 0) = sr(0) et G(T × 1) = sr(1) = −sr(0). Par conséquent, le cercle orienté sr(0) est

homotope à −sr(0), il est donc d’ordre 2.

Maintenant pour chaque s ∈ [~s13], [~s14], [~s24], [~s23], on peut trouver d’abord trouver un s′ homotope

à s, tel qu’il existe x, γ comme avant, et qu’il existe R > 0 tel que sR(0) = s′. On peut trouver r > 0

comme ci-dessus, alors sr(0) est homotope à s′, et donc s. Par conséquent [s] = [sr(0)] est d’ordre 2.

On va construire un ensemble E ⊂ R4, avec les propriétés ci-dessus, c’est à dire, dans B(0, 1),

l’ensemble E est composé de S0 et S1 ∪ S2 comme ci-dessus, S1 ∪ S2 est une variété topologique non-

orientable ; S0 a deux composante connexe, qui rencontre S1 ∪ S2 en γ1 et γ2 respectivement. Hors de

la boule B(0, 1), E est une versions C1 de T , et il resemble à T à l’infini. De plus, H1(R4\E) est juste

comme le cas 34) ci-dessus.

Prenons deux exemplaires de carrés (voir le dessin 19-6), l’un avec des sommets (écrit dans les sens

des aiguilles d’une montre) b1, b3, b4, b2, l’autre avec les somments b1, b4, b3, b2. On colle les deux côtés−−→b3b4 et

−−→b1b2. On obtient alors une bande de Möbius dans R3.

19-7

192 RÉFÉRENCES

En suite, prenons un grand tétraèdre (dont les sommets yi, 1 ≤ i ≤ 4) régulier qui contient la bande

de Möbius. Prenons, pour chaque i, une courbe lisse Li emis de bi et allant à l’infini, telle que Li tends

vers la demi droite émise du centre de T et passant par yi. (voir le dessin 19-7).

Prenons, pour chaque 1 ≤ i 6= j ≤ 4, une surface Eij de classe C1, homéomorphe à R2, dont le

bord est Li ∪ Lj ∪ [bibj ]. Notons que tous les Eij vont à l’infini, de sorte que dans R3, E23 et E14, ou

E13 et E24 se croisent forcément. Donc on déménage dans R4 pour l’éviter.

On obtient comme ça un ensemble qui ressemble à un T à l’infini, et du premier coup, on ne peut

pas dire facilement qu’il existe pas un ensemble minimal topologique qui admet une telle topologie.

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Ensembles et cônes minimaux de dimension 2 dans les