Entre recherche et développement : quel choix de valeurs pour l’ingénierie curriculaire ?

Entre recherche et développement : Entre recherche et développement : quel choix de valeurs pour quel choix de valeurs pour l’ingénierie curriculaire ?l’ingénierie curriculaire ?

Maggy SchneiderMaggy Schneider

Université de Liège,Université de Liège,

Facultés de NamurFacultés de Namur

INRP 13-14 juinINRP 13-14 juin

Plan de l’exposéPlan de l’exposé

Questionnement sur l’indépendance des Questionnement sur l’indépendance des démarches descriptive et prescriptive : choix de démarches descriptive et prescriptive : choix de valeurs incontournablevaleurs incontournable

Nécessité d’un « arrière-fond » épistémologique Nécessité d’un « arrière-fond » épistémologique caractérisé et argumenté par le biais d’exemples caractérisé et argumenté par le biais d’exemples travaillés en formationtravaillés en formation

Critères et tensions inhérents aux décisions Critères et tensions inhérents aux décisions curriculairescurriculaires

Discours descriptif versus Discours descriptif versus discours prescriptifdiscours prescriptif

A titre de provocation :A titre de provocation :

« Notre livre n’est pas davantage un ouvrage de « Notre livre n’est pas davantage un ouvrage de didactique, s’occupant des phénomènes observés en didactique, s’occupant des phénomènes observés en classe ou cherchant les classe ou cherchant les meilleuresmeilleures façons d’enseigner » façons d’enseigner » (N. Rouche)(N. Rouche)

« Guy Brousseau me paraît « obsédé » par les « Guy Brousseau me paraît « obsédé » par les conditions du conditions du bonbon fonctionnement des systèmes fonctionnement des systèmes didactiques; je suis, quant à moi, davantage fasciné par didactiques; je suis, quant à moi, davantage fasciné par l’étude des conditions de possibilité de leur l’étude des conditions de possibilité de leur fonctionnement, tout court - bon ou moins bon » fonctionnement, tout court - bon ou moins bon » (Y. Chevallard)(Y. Chevallard)


L’éducation peut être l’objet :L’éducation peut être l’objet : d’uned’une démarche prescriptivedémarche prescriptive : « transformer l’école ou, : « transformer l’école ou,

plus modestement, aider les enseignants à résoudre les plus modestement, aider les enseignants à résoudre les problèmes qui se posent à eux »problèmes qui se posent à eux »

d’uned’une démarche descriptivedémarche descriptive : « élucider le phénomène : « élucider le phénomène éducationnel en analysant le fonctionnement des écoles éducationnel en analysant le fonctionnement des écoles et de tous les acteurs qui les habitent ou gravitent autour et de tous les acteurs qui les habitent ou gravitent autour d’elles » (M. Crahay en référence à E. Durkheim)d’elles » (M. Crahay en référence à E. Durkheim)


Qu’en est-il de la TSD ?Qu’en est-il de la TSD ?

Réseau conceptuel propre à analyser des phénomènes Réseau conceptuel propre à analyser des phénomènes d’enseignement/apprentissage y compris dans les d’enseignement/apprentissage y compris dans les classes « ordinaires »classes « ordinaires »

A émergé de l’étude de dispositifs didactiques A émergé de l’étude de dispositifs didactiques particuliers et d’ingénieries fonctionnant comme particuliers et d’ingénieries fonctionnant comme méthodologies de recherche mais … méthodologies de recherche mais …

on étudie aussi les conditions de transmission et de on étudie aussi les conditions de transmission et de reproductibilité de ces ingénieriesreproductibilité de ces ingénieries

Pourquoi ce choix Pourquoi ce choix a prioria priori du type de dispositifs du type de dispositifs didactiques étudiés ?didactiques étudiés ?


Qu’en est-il de la TAD?Qu’en est-il de la TAD?

Etude de l’écologie des systèmes didactiques qui fait la Etude de l’écologie des systèmes didactiques qui fait la spécificité de l’approche anthropologiquespécificité de l’approche anthropologique

Qu’en est-il des développements récents de la TAD et Qu’en est-il des développements récents de la TAD et les « réponses » proposées à l’encontre d’une les « réponses » proposées à l’encontre d’une perspective « monumentaliste » de l’enseignement des perspective « monumentaliste » de l’enseignement des mathématiques, en termes de P.E.R. et d’A.E.R.?mathématiques, en termes de P.E.R. et d’A.E.R.?


« La confusion des genres est inacceptable » « La confusion des genres est inacceptable » (M. Crahay), mais doit-on, peut-on vouloir une (M. Crahay), mais doit-on, peut-on vouloir une séparation drastique des approches descriptive et séparation drastique des approches descriptive et prescriptive, une « autonomie entre recherche et prescriptive, une « autonomie entre recherche et pratique » (Ib.), le discours pédagogique ne pouvant pratique » (Ib.), le discours pédagogique ne pouvant être scientifique sans être érigé en norme et sans être scientifique sans être érigé en norme et sans empêcher un débat relatif au choix de valeurs ?empêcher un débat relatif au choix de valeurs ?

Choix de valeurs inévitable non seulement dans les Choix de valeurs inévitable non seulement dans les options d’enseignement, mais aussi dans la définition options d’enseignement, mais aussi dans la définition même des objets de recherchemême des objets de recherche

Mise à distance grâce à des cadres théoriques Mise à distance grâce à des cadres théoriques « consistants » et choix de valeurs affiché« consistants » et choix de valeurs affiché

Autopsie d’une situation Autopsie d’une situation proposée en formationproposée en formation

Recherche des automorphismes du graphe d’un cube : Recherche des automorphismes du graphe d’un cube : approche proposée par F. Buekenhout et J. Doyen approche proposée par F. Buekenhout et J. Doyen (ULB) (ULB)

GrapheGraphe : ensemble d’éléments appelés : ensemble d’éléments appelés sommetssommets dont la dont la structure est déterminée par la donnée de certaines structure est déterminée par la donnée de certaines paires de sommets qu’on appelle paires de sommets qu’on appelle arêtesarêtes

AutomorphismeAutomorphisme : permutations de sommets qui : permutations de sommets qui appliquent une arête sur une arête et réciproquementappliquent une arête sur une arête et réciproquement


Exemples :Exemples :

• = (a, b) (c, d) (a’, b’) (c’, d’)= (a, b) (c, d) (a’, b’) (c’, d’)

• = (a, b, c, d) (a’, b’, c’, d’)= (a, b, c, d) (a’, b’, c’, d’)

• o o = (a, c) (b) (d) (a’, c’) (b’) (d’) = (a, c) (b) (d) (a’, c’) (b’) (d’)

• = (a) (b) (c) (d) (a’) (b’) (c’) (d’)= (a) (b) (c) (d) (a’) (b’) (c’) (d’)

• = (a, d’, c, b’) (b, a’, d, c’)= (a, d’, c, b’) (b, a’, d, c’)


Certains de ces automorphismes sont facilement Certains de ces automorphismes sont facilement interprétables, d’autres noninterprétables, d’autres non

Combien sont-ils ?Combien sont-ils ? Comment les décrire tous ?Comment les décrire tous ?


Et dans le cas d’un icosaèdre (12 sommets, 20 faces) ?Et dans le cas d’un icosaèdre (12 sommets, 20 faces) ?


Les automorphismes d’un ensemble structuré forment Les automorphismes d’un ensemble structuré forment un groupe :un groupe :

« Les groupes d’automorphismes vont jouer un rôle « Les groupes d’automorphismes vont jouer un rôle déterminant dans la suite de notre travail. […] Nous déterminant dans la suite de notre travail. […] Nous verrons comment on peut élaborer à l’aide des groupes, verrons comment on peut élaborer à l’aide des groupes, une technique permettant de résoudre de manière quasi une technique permettant de résoudre de manière quasi mécanique non seulement le problème du cube mais mécanique non seulement le problème du cube mais aussi beaucoup d’autres »aussi beaucoup d’autres » (F. Buekenhout, J. Doyen) (F. Buekenhout, J. Doyen)


La technique de dénombrement dans le cas du cube :La technique de dénombrement dans le cas du cube :

Soit Soit G = Aut EG = Aut E où où EE est le graphe du cube est le graphe du cube

GG = 8 = 8 GGaa où 8 est le nombre de sommets du cube où 8 est le nombre de sommets du cube

(l’orbite de (l’orbite de aa pour pour GG))

GGaa = 3 = 3 GGabab où 3 est le nombre de sommets adjacents à où 3 est le nombre de sommets adjacents à a a (l’orbite de (l’orbite de bb pour pour GGaa))

GGabab = 2 = 2 GGabcabc où 2 est le nombre de sommets adjacents à où 2 est le nombre de sommets adjacents à bb et et non à non à aa (l’orbite de (l’orbite de cc pour pour GGabab))

GGabcabc = 1 = 1

D’où D’où GG = 8.3.2.1 = 48 = 8.3.2.1 = 48


La technique des « classes latérales » pour décrire les La technique des « classes latérales » pour décrire les automorphismes cherchés :automorphismes cherchés :

GGabab est composé de 2 automorphismes : est composé de 2 automorphismes :

1 = 1 = (a) (b) (c) (d) (a’) (b’) (c’) (d’)(a) (b) (c) (d) (a’) (b’) (c’) (d’) et 2 = et 2 = (a) (b) (a’) (b’) (c,d’) (c’,d)(a) (b) (a’) (b’) (c,d’) (c’,d)

GGaa est d’ordre 6 et composé de 3 « classes latérales » : est d’ordre 6 et composé de 3 « classes latérales » : GGabab, , GGaa (b,c’) (b,c’) et et GGaa(b,d)(b,d) où où 3 = 3 = (a) (b,c’) (d’) (a’) (b’,c) (d)(a) (b,c’) (d’) (a’) (b’,c) (d) et 5 = et 5 = (a) (c) (b,d) (a’)(c’) (b’,d’)(a) (c) (b,d) (a’)(c’) (b’,d’)


GG, d’ordre 48, est composé de 8 « classes latérales » :, d’ordre 48, est composé de 8 « classes latérales » :


Le prix théorique à payer :Le prix théorique à payer :

Les Les orbitesorbites de de Aut (E)Aut (E) regroupent les points de regroupent les points de EE ayant les mêmes ayant les mêmes propriétés (sommets, milieux arêtes, centres de symétrie, …) propriétés (sommets, milieux arêtes, centres de symétrie, …)

Pour tout groupe de permutations Pour tout groupe de permutations GG d’un ensemble d’un ensemble EE et tout point et tout point pp de de EE, le , le stabilisateur Gstabilisateur Gpp, composé des permutations de , composé des permutations de GG qui qui laissent laissent pp fixe, est un sous-groupe de fixe, est un sous-groupe de GG

Soient un groupe de permutations de Soient un groupe de permutations de E, pE, p un point de un point de EE et et gg un un élément de élément de GG. Si . Si g(p) = qg(p) = q, alors l’ensemble , alors l’ensemble G(p, q)G(p, q) des éléments de des éléments de G qui transforment G qui transforment pp en en qq est la est la classe latéraleclasse latérale gauche gauche g g oo G Gpp

Les classes latérales de Les classes latérales de HH, sous-groupe de , sous-groupe de GG, ont le même cardinal , ont le même cardinal et forment une partition de et forment une partition de GG

Si G est un groupe de permutations fini, Si G est un groupe de permutations fini, une orbite de une orbite de GG et et pp un un point de point de , alors , alors GG = = GGpp (la « formule magique ») (la « formule magique »)

Les valeurs sous-jacentes à ce choixLes valeurs sous-jacentes à ce choix

Situation fondamentale au sens strict, qui autorise une Situation fondamentale au sens strict, qui autorise une praxéologie à fort pouvoir « d’économie de pensée »praxéologie à fort pouvoir « d’économie de pensée »

Situation fondamentale d’entrée dans une nouvelle Situation fondamentale d’entrée dans une nouvelle institutioninstitution

Situation fondamentale au sens large : QFPG et/ou Situation fondamentale au sens large : QFPG et/ou RFPD (??)RFPD (??)

Situation fondamentale en un sens strictSituation fondamentale en un sens strict

Tâche par rapport à laquelle le savoir visé fournit une Tâche par rapport à laquelle le savoir visé fournit une technique optimale : on a bien un couple technique optimale : on a bien un couple (Q, R)(Q, R) et un et un savoir savoir SS fonctionnel par rapport à ce couple. Le mot fonctionnel par rapport à ce couple. Le mot tâche renvoie donc ici à la notion de situation tâche renvoie donc ici à la notion de situation fondamentalefondamentale

Telle que travaillée ici, la situation ne comporte pas de Telle que travaillée ici, la situation ne comporte pas de dimension adidactiquedimension adidactique

Le poids du bloc « logos » est grand par rapport au bloc Le poids du bloc « logos » est grand par rapport au bloc « praxis ». Quid du topos dans la mise en œuvre des « praxis ». Quid du topos dans la mise en œuvre des techniques et quid de l’évaluation des élèves ?techniques et quid de l’évaluation des élèves ?

Situation fondamentale d’entrée Situation fondamentale d’entrée dans une nouvelle institutiondans une nouvelle institution

Se définit par rapport à des individus dont on cherche à Se définit par rapport à des individus dont on cherche à rendre adéquat au rapport institutionnel leur rapport rendre adéquat au rapport institutionnel leur rapport personnel à certains objets identifiés par cette institution:personnel à certains objets identifiés par cette institution:

Pour des élèves qui passent de l’enseignement Pour des élèves qui passent de l’enseignement secondaire à l’enseignement universitaire : leur faire secondaire à l’enseignement universitaire : leur faire regarder autrement des symétries internes d’une figure regarder autrement des symétries internes d’une figure géométrique, ainsi que la figure elle-mêmegéométrique, ainsi que la figure elle-même

Pour des élèves-professeurs : être confrontés à un Pour des élèves-professeurs : être confrontés à un développement mathématique de niveau universitaire développement mathématique de niveau universitaire qui répond à une question préalablequi répond à une question préalable

Situation fondamentale d’entrée Situation fondamentale d’entrée dans une nouvelle institutiondans une nouvelle institution

« [les élèves] doivent finalement « [les élèves] doivent finalement émettre l’hypothèse que ces émettre l’hypothèse que ces trois points pourraient n’en trois points pourraient n’en représenter qu’un seul et en représenter qu’un seul et en apporter la preuve apporter la preuve contre contre ‘l’évidence’ de la figure et ‘l’évidence’ de la figure et non pas avec» non pas avec» (G.Brousseau)(G.Brousseau)

Analogie avec une situation fondamentale d’entrée Analogie avec une situation fondamentale d’entrée dans la géométrie déductive :dans la géométrie déductive :

Situation fondamentale au sens large ?Situation fondamentale au sens large ?

Situation et non problème ? (A. Mercier)Situation et non problème ? (A. Mercier) Génératrice d’une étude à long terme (QFPG) ?: pas Génératrice d’une étude à long terme (QFPG) ?: pas

forcément le cas des automorphismes de solides; portée forcément le cas des automorphismes de solides; portée locale des techniqueslocale des techniques

Mais regard à fort pouvoir démultiplicateur (RFPD) :Mais regard à fort pouvoir démultiplicateur (RFPD) :• Penser les solides en termes de graphes qui sont des Penser les solides en termes de graphes qui sont des

ensembles structurés de « points » et de « liens » orientés ou ensembles structurés de « points » et de « liens » orientés ou non : vers la théorie des graphes et la combinatoirenon : vers la théorie des graphes et la combinatoire

• Penser les transformations géométriques en termes de groupes Penser les transformations géométriques en termes de groupes et d’orbites : vers une relecture de la géométrie inspirée du et d’orbites : vers une relecture de la géométrie inspirée du programme d’Erlangen de F. Klein qui permet de dégager le programme d’Erlangen de F. Klein qui permet de dégager le raisonnement géométrique de l’intuition spatialeraisonnement géométrique de l’intuition spatiale

• Voir les structures mathématiques comme des outils d’action et Voir les structures mathématiques comme des outils d’action et de penséede pensée

Les structures comme économie de penséeLes structures comme économie de pensée

« Une structure est un outil pour le mathématicien. Une fois « Une structure est un outil pour le mathématicien. Une fois qu’il a discerné, entre les éléments qu’il étudie, des relations qu’il a discerné, entre les éléments qu’il étudie, des relations satisfaisant aux axiomes d’une structure de type connu, il satisfaisant aux axiomes d’une structure de type connu, il dispose aussitôt de tout l’arsenal des théorèmes généraux dispose aussitôt de tout l’arsenal des théorèmes généraux relatifs aux structures de ce type, là où, auparavant, il devait relatifs aux structures de ce type, là où, auparavant, il devait péniblement se forger lui-même des moyens d’attache dont la péniblement se forger lui-même des moyens d’attache dont la puissance dépendait de son talent personnel, et qui puissance dépendait de son talent personnel, et qui s’encombraient souvent d’hypothèses inutilement restrictives, s’encombraient souvent d’hypothèses inutilement restrictives, provenant des particularités du problème étudié »provenant des particularités du problème étudié » (Bourbaki) (Bourbaki)

L’économie de pensée vient du caractère « multi-sens » des L’économie de pensée vient du caractère « multi-sens » des structuresstructures

Une situation d’entrée dans la didactique, Une situation d’entrée dans la didactique, en particulier dans l’étude deen particulier dans l’étude de la transposition didactique la transposition didactique

Quelques éléments d’un P.E.R. en « didactique-Quelques éléments d’un P.E.R. en « didactique-épistémologie » (Cojerem) :épistémologie » (Cojerem) :

Contraste avec l’introduction du groupe de Klein dans le Contraste avec l’introduction du groupe de Klein dans le processus psychodynamique de Diénèsprocessus psychodynamique de Diénès

Réflexion sur le rôle des groupes de transformations Réflexion sur le rôle des groupes de transformations dans l’étude de la géométrie :dans l’étude de la géométrie :• Transformations qui déforment : oui, mais pour faire quoi? Transformations qui déforment : oui, mais pour faire quoi?

(exemple des inversions)(exemple des inversions)• Plonger un théorème dans une géométrie plus globalePlonger un théorème dans une géométrie plus globale• Démontrer un théorème au sein d’une même géométrie à partir Démontrer un théorème au sein d’une même géométrie à partir

d’un cas particulierd’un cas particulier

Instrumentalité des inversionsInstrumentalité des inversions

Méthode de transformation par rayons vecteurs Méthode de transformation par rayons vecteurs réciproques pour construire un cercle tangent à trois réciproques pour construire un cercle tangent à trois cercles donnéscercles donnés

Sortir d’une géométrieSortir d’une géométrie

La concourance des médianes d’un triangle quelconque La concourance des médianes d’un triangle quelconque « découle » de celle des hauteurs« découle » de celle des hauteurs

Elle peut être démontrée analytiquement en choisissant Elle peut être démontrée analytiquement en choisissant les points (0,0), (1,0) et (0,1) comme sommetsles points (0,0), (1,0) et (0,1) comme sommets

Traiter un cas particulier « générique » Traiter un cas particulier « générique » au sein d’une même géométrieau sein d’une même géométrie

Le théorème de Pascal : Le théorème de Pascal : les paires de côtés opposés les paires de côtés opposés d’un hexagone inscrit à une conique se rencontrent en d’un hexagone inscrit à une conique se rencontrent en des points alignésdes points alignés

Extension du cercle aux coniques par projectivitéExtension du cercle aux coniques par projectivité

Un P.E.R. en « didactique-épistémologie »Un P.E.R. en « didactique-épistémologie »

Fonctionnalité des transformations pour étudier des Fonctionnalité des transformations pour étudier des propriétés de figures assurée par des théorèmes de propriétés de figures assurée par des théorèmes de « structure » :« structure » :• Détermination du nombre de points dont il faut connaître l’image Détermination du nombre de points dont il faut connaître l’image

pour déterminer les transformations à partir de leurs invariantspour déterminer les transformations à partir de leurs invariants• Caractérisation économe des transformations en jeu à partir Caractérisation économe des transformations en jeu à partir

d’une définition en termes d’invariants : suppose de considérer d’une définition en termes d’invariants : suppose de considérer les transformations comme affectant le plan entierles transformations comme affectant le plan entier

• Etude du caractère transitif du groupe ou caractérisation des Etude du caractère transitif du groupe ou caractérisation des orbites d’ensembles privilégiés : cas d’isométrie et de similitude orbites d’ensembles privilégiés : cas d’isométrie et de similitude de trianglesde triangles

Ces mêmes cas sont des outils privilégiés pour réduire Ces mêmes cas sont des outils privilégiés pour réduire les problèmes des macro et méso espaces à des les problèmes des macro et méso espaces à des propriétés de figures tracées sur une feuille de papierpropriétés de figures tracées sur une feuille de papier

Mise à distance au moyen Mise à distance au moyen d’un discours socio-épistémologique d’un discours socio-épistémologique

P.E.R. qui correspond à une question de didactique : « Que P.E.R. qui correspond à une question de didactique : « Que faut-il enseigner comme géométrie au collège ? »faut-il enseigner comme géométrie au collège ? »

Discours relevant de la socio-épistémologie et non de Discours relevant de la socio-épistémologie et non de l’épistémologie normative grâce auquel on peut questionner l’épistémologie normative grâce auquel on peut questionner rationnellement une réponse « poinçon » donnée à cette rationnellement une réponse « poinçon » donnée à cette question dans l’institution scolaire et débusquer une position question dans l’institution scolaire et débusquer une position « politiquement correcte » pour la noosphère (analyse de D. « politiquement correcte » pour la noosphère (analyse de D. Perrin dans le rapport « J.-P. Kahane » de 2002)Perrin dans le rapport « J.-P. Kahane » de 2002)

Prise de distance par rapport à certaines activités Prise de distance par rapport à certaines activités naturaliséesnaturalisées

Et la réponse « cœur » ? Et la réponse « cœur » ?

Discours socio-épistémologique Discours socio-épistémologique

A l’opposé de A l’opposé de l’épistémologie normativel’épistémologie normative, « la , « la socio-socio-épistémologieépistémologie entend étudier les rationalités humaines entend étudier les rationalités humaines d’un tout autre point de vue. Au lieu de prétendre dire d’un tout autre point de vue. Au lieu de prétendre dire comment les êtres humains comment les êtres humains devraientdevraient raisonner, ces raisonner, ces approches essayent de approches essayent de décrire comment les humains décrire comment les humains raisonnentraisonnent. On y examine les scientifiques comme un . On y examine les scientifiques comme un anthropologue regarde des sorciers : sans se prononcer anthropologue regarde des sorciers : sans se prononcer sur la valeur que ceux-ci donnent à leurs pratiques (et sur la valeur que ceux-ci donnent à leurs pratiques (et donc, sans y croire nécessairement) » (G. Fourez)donc, sans y croire nécessairement) » (G. Fourez)

Un parti-pris : l’épistémologique Un parti-pris : l’épistémologique partout dense dans le didactiquepartout dense dans le didactique

Un certain consensus se dessine : l’épistémologie est le Un certain consensus se dessine : l’épistémologie est le ferment de la didactique même si le didactique ne se ferment de la didactique même si le didactique ne se réduit pas à l’épistémologieréduit pas à l’épistémologie

La réflexion épistémologique doit être menée à un haut La réflexion épistémologique doit être menée à un haut niveau de co-détermination didactique : elle doit être niveau de co-détermination didactique : elle doit être partagée par les enseignants, chercheurs et membres partagée par les enseignants, chercheurs et membres de la noosphère pour les faire sortir de divers types de la noosphère pour les faire sortir de divers types d’autismesd’autismes

Risque de transparence de ce qu’on appelle l’épisté-Risque de transparence de ce qu’on appelle l’épisté-mologie dont la relativité institutionnelle peut être mise mologie dont la relativité institutionnelle peut être mise en évidence par la TADen évidence par la TAD

Les décisions curriculaires : Les décisions curriculaires : quelques critères et tensionsquelques critères et tensions

Les finalités « généreuses »Les finalités « généreuses » : apprendre aux élèves à : apprendre aux élèves à apprendre, leur apprendre à résoudre des problèmes, à apprendre, leur apprendre à résoudre des problèmes, à

communiquer, …communiquer, … Problèmes d’opérationnalitéProblèmes d’opérationnalité Où est le lieu de la transversalité ? Chimère car Où est le lieu de la transversalité ? Chimère car

la transversalité relève de l’intention (B. Rey)la transversalité relève de l’intention (B. Rey)L’intention scripturale : appréhension de l’écriture, non pas L’intention scripturale : appréhension de l’écriture, non pas seulement comme message adressé à l’autre, mais comme seulement comme message adressé à l’autre, mais comme instrument intellectuel pour « ramener le divers du monde à des instrument intellectuel pour « ramener le divers du monde à des regroupements dominables ». Ne rejoint-on pas là l’essentiel de la regroupements dominables ». Ne rejoint-on pas là l’essentiel de la culture mathématique : l’algèbre comme modélisation ultime par des culture mathématique : l’algèbre comme modélisation ultime par des ostensifs performants de divers systèmes mathématiques ou extra-ostensifs performants de divers systèmes mathématiques ou extra-mathématiques ?mathématiques ?


Les finalités « citoyennes » :Les finalités « citoyennes » : Quid de l’instrumentalité des mathématiques au Quid de l’instrumentalité des mathématiques au

quotidien ?quotidien ? Posture rationnelle vis-à-vis des mathématiquesPosture rationnelle vis-à-vis des mathématiques Difficultés de traitement des questions socialement Difficultés de traitement des questions socialement

sensibles au sein des institutions scolaires. Pondération sensibles au sein des institutions scolaires. Pondération entre médias et milieux. Place des mathématiques dans entre médias et milieux. Place des mathématiques dans le traitement de ces questions ?le traitement de ces questions ?

Equilibre entre mathématiques mixtes et mathématiques Equilibre entre mathématiques mixtes et mathématiques « multi-sens »« multi-sens »


Faut-il croiser et comment une entrée par les questions Faut-il croiser et comment une entrée par les questions et une entrée par les réponses ? Absence de et une entrée par les réponses ? Absence de correspondance univoque : offre une espace pour correspondance univoque : offre une espace pour l’entraînement à la résolution de problèmes !l’entraînement à la résolution de problèmes !

Possibilité de rendre les élèves « actifs »? Mais pas au Possibilité de rendre les élèves « actifs »? Mais pas au prix du sacrifice du caractère fondamental des situations prix du sacrifice du caractère fondamental des situations (nécessité d’intégrer les A.E.R. dans des P.E.R.)(nécessité d’intégrer les A.E.R. dans des P.E.R.)

Réponses « poinçons » et/ou réponses « cœur »?Réponses « poinçons » et/ou réponses « cœur »? Mise à distance des réponses « poinçons » par un Mise à distance des réponses « poinçons » par un

discours technologique et socio-épistémologiquediscours technologique et socio-épistémologique

Les décisions curriculaires : Les décisions curriculaires : quelques critères et tensions quelques critères et tensions

L’évolution des mathématiques : y a-t-il des valeurs L’évolution des mathématiques : y a-t-il des valeurs intemporelles ?intemporelles ?

L’évolution de l’environnement technologique : offre de L’évolution de l’environnement technologique : offre de nouvelles opportunités d’expérimentation, de nouvelles opportunités d’expérimentation, de questionnement et d’illustration mais risque d’une questionnement et d’illustration mais risque d’une recrudescence des pratiques ostensives ?recrudescence des pratiques ostensives ?

N’importe quel savoir pourvu qu’il soit fonctionnel ? N’importe quel savoir pourvu qu’il soit fonctionnel ? Fonctionnalité relative et perspective plus ou moins Fonctionnalité relative et perspective plus ou moins réduiteréduite


Et les problèmes d’écologie ?Et les problèmes d’écologie ? Quels sont les changements susceptibles d’être intégrés Quels sont les changements susceptibles d’être intégrés

dans une pratique quotidienne ?dans une pratique quotidienne ? S’en tenir à des propositions modestes ?S’en tenir à des propositions modestes ? Formation approfondie des mathématiques élémentairesFormation approfondie des mathématiques élémentaires

(F. Klein, Liping Ma, rapport « Kahane », …)(F. Klein, Liping Ma, rapport « Kahane », …)

Sans compter les jeux d’influences personnelles dans Sans compter les jeux d’influences personnelles dans les commissions de programmes ou d’influences d’un les commissions de programmes ou d’influences d’un niveau d’enseignement sur d’autres …niveau d’enseignement sur d’autres …


Accepter de « détricoter la chaussette » :Accepter de « détricoter la chaussette » : Avant d’exister par le truchement d’une définition au sein Avant d’exister par le truchement d’une définition au sein

d’une axiomatique, les concepts renvoient à des « objets d’une axiomatique, les concepts renvoient à des « objets mentaux » (H. Freudenthal)mentaux » (H. Freudenthal)

Quel discours technologique accepte-t-on en Quel discours technologique accepte-t-on en

« attendant » la théorie standardisée ?« attendant » la théorie standardisée ? Quel type de Quel type de validation ? validation ?

La « dialectique outil/objet » (R. Douady) demeure très La « dialectique outil/objet » (R. Douady) demeure très éclairante pour analyser les « séquelles » de la réforme éclairante pour analyser les « séquelles » de la réforme dite « des mathématiques modernes »dite « des mathématiques modernes »

En guise de conclusion En guise de conclusion

Privilégier des recherches qui éclairent les choix Privilégier des recherches qui éclairent les choix curriculaires en intégrant, d’une manière ou d’une autre, curriculaires en intégrant, d’une manière ou d’une autre, des dimensions fondamentales du savoir dont on étudie des dimensions fondamentales du savoir dont on étudie l’apprentissage et/ou l’enseignementl’apprentissage et/ou l’enseignement

Concevoir des outils de formation qui coordonnent Concevoir des outils de formation qui coordonnent davantage aspects didactiques et aspects épistémologico-davantage aspects didactiques et aspects épistémologico-mathématiques; distinguer temps d’action et temps de mathématiques; distinguer temps d’action et temps de formation formation

Pratiquer la méthode des lieux : chercher un objet Pratiquer la méthode des lieux : chercher un objet répondant à plusieurs contraintes à l’intersection de lieux, répondant à plusieurs contraintes à l’intersection de lieux, chacun étant obtenu en faisant jouer une contrainte à la chacun étant obtenu en faisant jouer une contrainte à la fois. L’objet : un point, un triangle, une fonction, la fois. L’objet : un point, un triangle, une fonction, la signification d’un mot dans un dictionnaire, une maison à signification d’un mot dans un dictionnaire, une maison à acheter, un homme à épouser et un contenu acheter, un homme à épouser et un contenu mathématique à proposer dans un programme scolaire !mathématique à proposer dans un programme scolaire !

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Entre recherche et développement : quel choix de valeurs pour l’ingénierie curriculaire ?