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Université de Yaoundé 1 / Concours ENS _ session 2000

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ECOLE NATIONALE SUPERIEURE

Université de Yaoundé I

Concours d’entrée en première année

Session 2000 EPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 4H Coeff. 4

EXERCICE 1.

Partie A

Soit E le plan vectoriel rapporté à la base ( → i ,

→ j ), f l’endomorphisme de E qui associe à

→u = x

→ i + y

→ j le vecteur f(

→u) = (x + 1

2 y) + (­2x ­ y)

→ j .

1. Montrer que f o f est l’endomorphisme nul. f est­il bijectif ? Justifier votre réponse. 2. Déterminer le noyau E1 et l’image E2 de f. Comparer E1 et E2.

3. Soit →u un vecteur non nul du noyau f.

i) Montrer qu’il existe un vecteur → v vérifiant f(

→ v) =

→u.

ii) Montrer que( →u ,

→ v) est une base de E.

iii) Ecrire la matrice de f dans la base ( →u ,

→ v).

iv) Définir analytiquement f dans la base( →u ,

→ v).

Partie B

On note par (End(E), +, .) l’espace vectoriel des endomorphismes de E et par IdE l’endomorphisme identique. On pose : F=g ∈End(E) / g =af + bIdE, a et b réels 1. Montrer que f est un sous­espace vectoriel de End(E). 2. Montrer que (f , IdE) est une base de F. 3. Montrer que F est stable par la composition des applications. 4. i) déterminer a et b pour que g = af + bIdE, admette un symétrique g ­1 dans F par la loi o .

ii) Comparer g ­1 et ­ 3

a b f + 1

b IdE

5. Déterminer les symétries vectorielles de F

EXERCICE 2.

m désigne un réel. Soit fm la fonction définie par : fm (x) = x 2 ­ 2mx + 2m + 3. A chaque fonction fm est associée la courbe (Cm) représentative de fm dans le plan muni d’un

repère orthonormal (O, → i ,

→ j )

1. Etude de fo. Etudier les variations de fo et tracer la courbe(Co)

2. Etude de fm. a) Etudier les variations de fm et montrer que fm admet un minimum dont on précisera le signe

suivant les valeurs de m. b) déduisez­en suivant les valeurs de m le nombre de solutions de l’équations :

(Em) : x 2 ­ 2mx + 2mx + 3 = 0

3. nature de la courbe (Cm) a) Montrer que (Cm) est l’image de la parabole (P) d’équation y=x 2 par la translation tm dont

on précisera le vecteur de translation. b) Montrer que toutes les courbes passent par un même point I.

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PROBLEME

On désigne par et β les solutions supposées non rationnelles de l’équation z 2 – pz + q = 0 (1), où p et q sont des entiers relatifs.

Ω = x + y ; x et y entiers relatifs = x + y ; (x , y) ε W 2

Partie A

1. Monter que : ∀ x, y ε W, x + y = 0 ⇒ x = 0 et y = 0

2. Monter que Ω est stable pour l’addition et pour la multiplication. On admet que (Ω, +, .) est un anneau commutatif.

3. Pour tout élément ω = x + y de Ω, on associe ω* = x + βy. Montrer que ω* est un élément de Ω (on se rappellera que et β sont les solutions de (1) pour écrire β en fonction de ).

4. Pour tout élément ω = x + y de Ω, on définit N(ω) = ωω* = f( x, y ) i) Montrer que: N(ω ) = x 2 + pxy + qy 2

ii) Montrer que pour tout couple (ω 1, ω 2) de Ω 2 , on a : (ω 1.ω 2)* = ω 1 * . ω 2

*

iii) Déduire de ii) que pour tout couple (ω 1, ω 2) de Ω 2 , on a : N(ω 1, ω 2) = N(ω 1).N(ω 2) iv) Démontrer que : N(ω ) = 0 ⇔ ω = 0.. v) Soit ω ­1 le symétrique, par la multiplication, de l’élément ω de Ω

a) Déduire de iii) que si ω ­1 est un élément de Ω alors : N(ω ).N(ω ­1 ) = 1 b) Déduire de (a) que si ω ­1 est un élément de Ω alors : N(ω ) = 1 ou N(ω ) = ­1 c) montrer que si N(ω ) = 1 alors ω ­1 est un élément de Ω que l’on déterminera en

fonction deω * d) Montrer que si N(ω ) = ­1 alors ω ­1 est un élément de que l’on déterminera en

fonction de ω *. vi) Soit ω ­1 le symétrique par la multiplication de l’élément ω de Ω.

Peut –on dire que : ω ­1 est un élément de Ω ⇔ N(ω ) = 1 ou N(ω ) = ­1.

Partie B

Soit a , b ,c et d des entiers relatifs, Τ l’application de W 2 dans W 2 définie par Τ (x, y) = (X , Y) avec X = a x + by et Y = c x + d y. On se propose de déterminer a, b, c et d pour que Τ vérifie : ∀x ,y ε W, N(x + ay) = N(X + aY) (2)

1. Déterminer N(x + ay) en fonction de x, y, a, b, c, d, p et q.

2. On pose : u = a + c ; u* = a + βc ; v = b + d ; v* = b + βd. Démontrer que : N(x + y) = uu*x 2 + (u*v + uv*)xy + vv*y 2

3. Trouvez un ensemble de relations nécessaires et suffisantes entre u, v, u*, v*, p et q pour que la relation (2) soit vérifiée.

Vérifier que u*v et uv* sont des solutions de l’équation (1).