C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Sikie I, p. 1095-l 100, 1999 ProbPmes mathhmatiques de la m6caniquelMathematical Problems in Mechanics

lkpations de Cahn-Hilliard g&uhlis&es dans un milieu d&formable

Alain MIRANVILLE

1,3MA, UniversitG de Poitiers, hmlrvard 3, t616port 2, B.P. 179, 86960 Futuroscopr cedrx, France

( ,ourrirl : miranv~wallis.univ-poitiers.fr

(Rqu Ir 26 ortohr 1098, ac:c:rptG Ir 8 mars 1999)

R&sum& Nous considkrons dans cette Note des modbles d’equations de Cabn-Hilliard gCnCralisCes (dam le sens oti ces modkles prennent en compte les effets de microforces internes), introduites par M. Gurtin dans [6], couplkes 2 l’kquation de Navier de I’klasticid lit&ire (sous I’hypothkse de petites dCformations) pour lesquels nous obtenons l’existence et I’unicitk de solutions faibles. Lorsque les dkformations sent infinitksimales et lorsque le gradient du dtplacement est petit, auquel cas on peut nkgliger le terme Cvolutif dans 1’Cquation de Navier, on peut en outre obtenir I’existence d’attracteurs de dimension finie, en remarquant que la formulation variationnelle obtenue peut &tre dCcoupl&e. II est important de noter qu’en gCnCral ces rCsultats ne peuvent &tre obtenus pour les equations de Cahn-Hilliard (classiques) couplt5es. 0 AcadCmie des ScienceslElsevier. Paris

Generalized Cahn-Hilliard equations

for a deformable continuum

Abstract. We consider in this Note models of generalized Cahn-Hilliard equations that take into account the effects of internal microforces and introduced by M. Gurtin in [6] coupled with the Navier equation of linear elastic& (under the small deformations assumption) for which we obtain the existence and uniqueness of weak solutions. When the deforma&ns are injinitesimal and when the displacement gradient is small, in which case we can neglect the evolutive term in the Navier equation, we can furthermore prove the existence qfjinite-dimensional attractors by noting that the variational ,formulation can be uncoupled. It is important to note here that these results connot in general be obtained ,fi)r the coupled (classical) Cahn-Hilliard equations. 0 AcadCmie des ScienceslElsevier. Paris

A bridged English Version

We consider in this Note the coupling of generalized Cahn-Hilliard equations introduced by M. Gurtin in [6] with the Navier equation of linear elasticity.

Note p&entt?e par Philippe G. CIARLET.

07644442/99/0328 IO95 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris 1095

A. Miranville

We consider a first model (Equations (l)-(8) below) for which we obtain the existence and uniqueness of weak solutions (Theo&me 1).

We then consider a simplified model in which we neglect the evolutive term in the Navier equation (2). In that case, we observe that the associated variational formulation can be uncoupled. This allows us to obtain the existence of the global attractor for the first component of the system. We finally prove, by constructing an exponential attractor, the finite dimensionality (in the sense of the fractal dimension) of the global attractor (Theoreme 2).

The details of the proofs, and also the study of more general situations, will appear in [9].

Introduction

L’equation de Cahn-Hilliard, qui est une loi de conservation, est tres importante en science des madriaux : elle modelise le transport d’atomes entre des cellules unites. On peut noter que la plupart des etudes mathematiques sur cette equation ne prennent pas en compte l’evolution du milieu et le couplage qui en r&ulte.

Nous avons consider+5 dans [2] (voir Cgalement [3]) le cas particulier d’un milieu elastique isotrope (en supposant que les deformations sont infinitesimales et que le gradient du deplacement est petit). Nous avons obtenu l’existence d’attracteurs de dimension finie (au sens de la dimension fractale ou de la dimension de Hausdot-ff). Pour des milieux non necessairement isotropes, nous avons pu obtenir dans [4] I’existence d’attracteurs, mais nous n’avons pas pu prouver que ceux-ci sont de dimension finie (la difficult6 vient de ce qu’ils sont obtenus pour la topologie de H-l).

Dans cette Note, nous considerons le couplage des equations de Cahn-Hilliard generalistes introduites par M. Gurtin dans 161. Par rapport aux equations de Cahn-Hilliard classiques, ces equations tiennent compte des effets de microforces internes dont le travail influe sur le parametre d’ordre. Nous demontrons l’existence et l’unicite de solutions pour le modele Cahn-Hilliard-Navier Cvolutif et obtenons de plus, pour le modele simplifie Cahn-Hilliard-Navier non Cvolutif, I’existence d’attracteurs de dimension finie. Nous pouvons noter que, dans tous les cas, nous utilisons de maniere essentielle l’effet regularisant de I’equation de Cahn-Hilliard generalide (par rapport a l’equation de Cahn-Hilliard classique, voiv [7] et [S]) ; les resultats que nous obtenons ne peuvent en general etre Ctendus au couplage de l’equation de Cahn-Hilliard classique avec l’equation de Navier.

Les details des demonstrations present&es dans cette Note ainsi que l’etude de situations plus g&&ales (cas oti le systeme est non autonome, etude d’attracteurs pour le systeme complet ; on n’etudiera pas dans cette Note l’existence d’attracteurs pour le deplacement) paraitrons dans [9].

1. Les Cquations de Cahn-Hilliard gCnCralisCes dans un milieu Clastique dkformable

Nous supposons dans tout ce qui suit que le milieu est represente par un domaine borne et regulier 12 c W’“, 7) = 2 ou 3. Nous considerons les equations suivantes dam 12 :

- ,fji div BVp + rrdiv BV& + i div BV Tr [C (VU + ‘Vu)] - e2 Tr(C1) div BVp (1)

-div BVf’(p) + div BVy = .9, a”11 __ - r div C(Vu f +VU) + c div(pC1) = 0, iA* 2 (2)

(Bv) . Vp = (I sur X2, (3)

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equations de Cahn-Hilliard

tr(BVAp) . v + t{BVTr[C(Vu + tV~~)]} . v = 0 sur da, (4)

C f [C(Vu + “Vu)] - r:p(CI)}i/ = cp sur 89, (5)

I ‘IL&z = 0, (6)

. $2

.I ‘p(“:: t) dn = 0, vt 2 0, (7)

i3R

fl(X> 0) = &l(x), ?L(X,O) = U”(X), $(x, 0) = Us, (8)

oii o, /? et e sont strictement positifs, B est le tenseur de mobilite (tenseur symetrique, defini positif), I est le tenseur unite, C est le tenseur de d&placement (transformation lineaire, symetrique, definie positive qui envoie les tenseurs symetriques sur des tenseurs symetriques), Tr est I’operateur de trace, 11 est la normale exterieure a la frontier-e XI de R, ,f(s) = cf:i” nisi est un polynome de degre 2p + 2, p > 1 tel que n2p+2 > 0 et y, g et ‘p sont des fonctions regulieres de IC (on peut aussi considerer le cas oti ces fonctions dependent du temps, notamment dans la partie 2 ci-dessous oti l’on Ctudiera l’existence d’attracteurs, voir 191). En outre, l’influence des microforces intemes est modelisee par le terme /jg div BVp (en fait, pour un materiau non isotrope, la situation est plus complexe et nous considerons ici un modele simplifie ; voir [6] et [lo] pour une discussion sur ce sujet) ; y represente des microforces exterieures et /I un apport de masse exterieur (voir [6]). On retrouve l’equation de Cahn-Hilliard classique en posant /I = 0, y = g = 0 et B = K,I, h: > 0. On renvoie le lecteur a [2], [4] et [6] pour une discussion (et des justifications) sur la modelisation, le couplage et les conditions aux limites.

Nous introduisons les espaces H,, = L*(0), H,, = {u E L’(Q)” ; Jc2 u&: = O}, VP = {,I E H*(f2) ; (Bv) .Vp = 0 sur %I}, I/<, = B, nHl(0)” et I&‘, = {Q E H1(0) ; Jo p&r: = O}. On munit ces espaces des normes usuelles sur L* (notees / . 1, ( . , .) &ant le produit scalaire associe) pour H,,

et H,, et IV. / pour W,, et V,,. On verifie aisement que (ldiv BV . (’ + c jj . II;, c121) ‘, c > 0, est une norme sur VP tquivalente a la norme Hz usuelle. De plus, on a montre dans [4] que si B = r;l + B’,

M > 0, alors si B' est suffisamment petit, (IA . 1% + c I] I]~lcn,) ‘, c > O, est une norme sur \‘, Cquivalente a la norme H2 usuelle, pour des constantes qui ne dependent pas de B’.

On verifie aisement que la formulation variationnelle associee a (l)-(7) s’ecrit :

( trouver (p! U) : [O! T] - L7,) x ri,, T > 0, tel que :

I ;[(P, a) + NBVP. WI + ($, -) u +o(Ap,div BVb) + l(C(Vu + tVu), Vii)

1 + :(Tr[C(Vu + tVu)], div BVj) + e2 Tr(CI)(BVp, Vfi) + (BVf’(p), VP)

- e(p(CI), Vii) = 8~I~.tid~-(divBV I

Y? fi) + (9; p), v (6, ii) E (V, n w1-2”+2(11)) x v,,.

(9) Nous pouvons Cgalement considerer une formulation variationnelle plus faible que (9) (celle-ci sera

utile en particulier dans la partie 2). Pour cela, on note ,$ = IV0 la solution du probleme de Poisson :

trouver do E W,) telle que : - div BV$ = 0 dans 0((l), (By) . Vii, = o sur ~1. (10)

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A. Miranville

On prend alors ,8 = Nq dans (9), et on obtient en integrant par parties :

i

trouver (p: U) : [0, I’] --+ H1(0) x ri, tel que :

-&.Nq) +,d(p,q)] + ($+&IP>~) + ;(C(V~+~Vu),vil)

- i(Tr[C(Vu+ “Vu)]:q) + e”Tr(Cl)(p,q) + (.f’(p)>q)

* - e(p(CI). V,ii.) = I

cp. fib + (7, q) + (g, Nq)! V(q, G) E (W,, n L2”+2(fl)) x K. * m

(11)

On verifie aisement que si m(g) = 0, oti 7n(u) = & ji2 d p ‘u z our ‘u E Lz, alors les deux formulations variationnelles sont Cquivalentes si p est suffisamment reguliere. On a le resultat suivant :

THLOREME 1. - (i) On suppose que y E H’(Q), .q E L2(R), m(g) = 0, ‘p = 0 et (P~,u~,u~) E (HI(Q) n L2y+2(0)) x v, x H,. On suppose en outre que B = KI, K > 0. Alors, il existe une solution (a7 U) de (I l)-(8) telle que p E L”(t), T; Hl(U))nL”(O, T; L2”+‘(62)), g E L2(0, T; H,,), u E L”( 0, T ; Vtl) et $$ E L” (0: T ; H,), VT > 0. De plus, une telle solution est unique pour tout p si n = 2 rtpourp = 1 si n = 3. (ii) On suppose que B = nI + B’, oli K > 0 et B’ est st.@sammentpetit. Alors, sous les m&mes hyl>oth&es qu’en (i), il existe une solution de (9)-(8) ayant, outre la rt;gularite’ (i), la rkgularite’ p E I,‘((), T ; V,). De plus, une telle solution est unique si p = 1 au 2 lorsque n = 3.

Afm de demontrer (i), on remarque d’abord que lorsque B = ~1, on peut integrer par parties dans le terme (Ap. q). On prend alors successivement q = j5 = p - m(p) et U = 0, q = $f et iL = 0, q = 0 et ii = u et q = 0 et 1L = 2 dans (I I) et on integre par parties. On note de plus que ($&) = $(&)I) - 1%;” et que (/lCI) Vf$) = -$(&I, Vu) - ($$CI, Vu). Pour demontrer (ii). on prend de plus fi = /I et li, = 0 dans (9). La condition B’ petit permet de traiter le terme (All, div BVp) qui n’est pas positif. De plus, les estimations a priori et le passage a la limite sont justifies par des approximations de Galerkin.

2. Un moditle simplifiC

Dans cette partie, on suppose que les deformations sont infinitesimales et que le gradient du d&placement est petit. On peut alors (voir [6]) neghger le terme $$ dans (2) ainsi que dans les formulations variationnelles (9) et (11). De plus, on prendra B = I pour simplifier.

Si on prend i = 0 dans (9) on obtient, compte-tenu de la simplification faite :

(C(VU+‘VU),V~~) -2e(/CI,Vti) = 2~&wida, VG E K,. (12)

On suppose que cp E L2(i)62)“. Soit p E L*(R). On verifie que (C(Vu + tVu),Vii) = f (C (Vu + tVu) i Vii + t VG), V (u? ii) E r/;f. Par consequent, on deduit du thtoreme de Lax- Milgram l’existence d’une fonction C : H, --+ V,, definie par u = L(p) et telle que C est Lipschitz et afhne. On demontre de plus que si CI est dehni positif, alors L est bi-Lipschitz (voir [4] et [IO]). On pose alors B(p) = -5 Tr(C(VrL + ‘VU)) (D est d one affine et Lipschitz). Le systeme en (p, U) peut done Ctre decouple, et il sufht d’ttudier la formulation variationnelle (pour p) suivante (on prendra ici la formulation la plus faible) :

trouver p : [I). T] - HIW telle que : $I(P; W + O(p, 411 + 4Vp, W + (.13(&d

+ e2 WCI)(P> d + U-‘(P)> 9) = -(Y; q) + (!I, Nq), (13)

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Equations de Cahn-Hilliard

VCJ E W, n L2p+2(62) ; et on prendra ensuite u = L(p). Les rtsultats d’existence et d’unicitt de solutions sont alors simples a obtenir, et on peut construire

le semi-groupe continu S(t) : H, + HP defini par S(t)pc = p(t). Notre but maintenant est d’obtenir l’existence d’attracteurs de dimension finie. Puisque la moyenne

de la densite p est conservee, nous allons Ctudier l’existence d’attracteurs dans les espaces H ,,J = {p E H,,; Irn(~)l 5 S}, S > 0, qui sont positivement invariants par S(t). Nous pouvons prouver que si B(p) est suffisamment petit (cette hypothese est implicitement contenue dans la modelisation puisque l’on suppose que le gradient du deplacement est petit, voir (41 pour une discussion sur ce sujet), alors S(t) possede un borne absorbant Ba darts H,,J. En outre, si on suppose que y = 1 lorsque n = 3 (ceci permet d’absorber le terme non lineaire), on peut prouver l’existence d’un borne absorbant BI dans H1(R) n H,,;r. On en deduit alors l’existence de l’attracteur global A,,n dam Hp,n7 q ui est un ensemble compact et invariant qui attire les trajectoires lorsque le temps tend vers l’infini (voir [lo]).

Afin de prouver que l’attracteur global A,J est de dimension finie, nous allons en fait prouver l’existence d’un attracteur exponentiel (voir [5]), qui est un ensemble compact et positivement invariant qui est de dimension fractale finie, contient l’attracteur global et attire exponentiellement les trajectoires (on notera ici que, pour des raisons techniques, on ne peut prouver la finitude de la dimension par la methode classique des exposants de Lyapunov, voir [7] et [S] pour une discussion sur ce sujet). Nous devons pour cela prouver la propriete de laminage (voir 151). A nouveau, la methode classique de [5] ne pourra s’appliquer directement (voir [7] et [S]), et nous allons plutot utiliser une idee de [I] basee sur une decomposition de la difference de deux trajectoires.

Soient p1 et p2 deux solutions de (13) et soit IJ = p1 - p2. On Ccrit p = p1 + p2. ou p1 et p2 sont solutions des equations suivantes :

d,Ny) i-ij(p’;q)] +rr(Bd.Oq) +e’Tr(Cl)(p’:q) =O; Vq E W,,

P’(O) = 40) - 74P((J))>

3 $,Ng) +i-I(p”>q)] +u(Vp2,c7q) +e2Tr(CI)(p2:~)

(14) (15) (16) + (&h) - Wp2l.q) + (I’ - f’(p2),q) = 0, Vq E W, n L2”+2(f2).

p2(0) = nr,(p(O)). (17)

On prend 4 = p1 dans (14) (on vtritie que rrr(p’ ) = 0) et on obtient une inegalite de la forme I~‘(t)l 5 ~“~lp(O)l, c > 0. On prend alors q = Ic’-‘(p2 - m(p2)) = -Ap2 dans (16) et on trouve une inegalite de la forme ll~2(t)lln~(o, < d(t)(p(O)l, ou la fonction d est continue. Ceci entraine, en considerant par exemple le projecteur orthogonal associe aux k premieres valeurs propres de I’opkrateur I - A de domaine V,, la propriete de laminage sur X,),6 = Utlt, S(t)& (voir [l] et [7] pour plus de precisions), ou tl est tel que t > tl entraine S(t)& C B1. On en deduit le

THBOR~ME 2. - On suppose que p = 1 si 71 = 3 et que le d&placement est s@samment petit. Alors S(t) posskde un attracteur exponentiel M,).n sur X,,h. Par conskquent, l’attracteur global Ap,h est de dimension ,fractale jnie.

RCfkences bibliographiques

[I] Babin A., Nicolaenko B., Exponential attractors of reaction-diffusion systems in an unbounded domain, J. Dynam. Differ. Eq. 7 (4) (1995) 567-590.

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A. Miranville

[2] Carrive M., Miranville A., Pi&us A., Rakotoson J.-M., The Cahn-Hilliard equation for an isotropic deformable continuum, Appl. Math. Letters (a pamitre).

[3] Carrive M., Miranville A., Pi&us A., Rakotoson J.-M., Weakly coupled dynamical systems and applications, (soumis). ]4] Carrive M., Miranville A.. Pi&us A., The Cahn-Hilliard equation for deformable elastic continua, (soumis). [S] Eden A., Foias C.. Nicolaenko FL, Temam R., Exponential attractors for dissipative evolution equations, Masson, 1994. [6] Gurtin M., Generalized Ginzburg-Landau and Cahn-Hilliard equations based on a microforce balance, Physica D 92

(1996) 178-192. [7] Miranville A., Exponential attractors for a class of evolution equations by a decomposition method, C. R. Acad. Sci.

Paris 328 (1999) 145-150. [8] Miranville A., Pietrus A., Rakotoson J.-M., Dynamical aspect of a generalized Cahn-Hilliard equation based on a

microforce balance, Asymp. Anal. 16 ( 1998) 315-345. 191 Miranville A., Long time behavior of some models of Cahn-Hilliard equations in deformable continua, (soumis).

[lo] Temam R., Infinite dimensional dynamical systems in mechanics and physics, 2nd ed., Springer-Verlag, New York, 1997.

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