8/20/2019 Espaces Préhilbertiens - Distance à Un Sous-espace Vectoriel

1/3

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 14 juin 2011 Enoncés 1

Distance à un sous-espace vectoriel

Exercice 1   [ 00526 ]  [correction][Déterminant de Gram]Soit E  un espace préhilbertien réel. Pour (u1, . . . , u p)   famille de vecteurs de  E , onnote G(u1, . . . , u p)  la matrice de M p(R) dont le coefficient d’indice (i, j)  est(ui | uj).a) Montrer que la famille  (u1, . . . , u p)  est liée si, et seulement si,

detG(u1, . . . , u p) = 0

b) Montrer que si  (e1, . . . , e p) est une base d’un sous-espace vectoriel  F   de E  alorspour tout  x ∈ E ,

d(x, F ) =

 detG(e1, . . . , e p, x)

detG(e1, . . . , e p)

Exercice 2   [ 00527 ]  [correction]

a) Montrer que (P  |  Q) =  P (0)Q(0) + P (1)Q(1) + P (2)Q(2) définit un produitscalaire sur  R2 [X ].b) Calculer  d(X 2, P )  où  P   =

aX  + b/(a, b) ∈R2

Exercice 3   Mines-Ponts MP   [ 02734 ]  [correction]

Calculer le minimum de 10

 (t3 − at2 − bt − c)2dt,  a,b,c parcourant  R .

Exercice 4   [ 00529 ]  [correction]On définit une application  ϕ  : R [X ] ×R [X ] →R par

ϕ(P,Q) =

   +∞0

P (t)Q(t)e−t dt

a) Montrer que ϕ  définit un produit scalaire sur  R [X ].b) Calculer  ϕ(X  p, X q).c) Déterminer

inf (a,b)∈R2

   +∞0

e−t(t2 − (at + b))2 dt

Exercice 5   Mines-Ponts MP   [ 02736 ]  [correction]On munit Mn(R) du produit scalaire rendant orthonormé la base canonique, donton note    la norme associée. Soit  J   la matrice de Mn(R) dont tous lescoefficients sont égaux à 1.Si M  ∈ Mn(R), calculer   inf 

(a,b)∈R2M  − aI n − bJ .

Exercice 6   Mines-Ponts MP   [ 02735 ]  [correction]Calculer

inf 

   10

t2(ln t − at− b)2 dt, (a, b) ∈ R2

Exercice 7   Mines-Ponts MP   [ 01332 ]  [correction]

Soient  n ∈N,  E  = Rn [X ]  et  ,  : (P,Q) ∈ E 2 → P,Q = +∞0

  P (t)Q(t)e−t dta) Justifier la définition de  ,   et montrer qu’il s’agit d’un produit scalaire.On pose F  = {P  ∈  E, P (0) = 0}. On cherche à déterminer  d(1, F ). On note(P 0, . . . , P  n) l’orthonormalisée de Schmidt de  (1,X , . . . ,X  

n).

b) Calculer  P k(0)2

.c) Déterminer une base de  F ⊥ que l’on exprimera dans la base (P 0, . . . , P  n). Endéduire d(1, F ⊥) et  d(1, F ).

8/20/2019 Espaces Préhilbertiens - Distance à Un Sous-espace Vectoriel

2/3

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 14 juin 2011 Corrections 2

Corrections

Exercice 1 :  [énoncé]a) Si la famille  (u1, . . . , u p) est liée alors il existe  (λ1, . . . , λ p) = (0, . . . ,0) tel que p

i=1λiui = 0E   et on observe alors

n

i=1λiLi = 0 en notant  L1, . . . , Ln  les lignes de la

matrice G(u1, . . . , u p).On conclut  det G(u1, . . . , u p) = 0.

Si det G(u1, . . . , u p) = 0 alors il existe  (λ1, . . . , λ p) = (0, . . . ,0) tel queni=1

λiLi = 0

et on obtient alors que le vecteurn

i=1

λiui   est orthogonal à tout  uj, c’est donc un

vecteur commun à Vect(u1, . . . , u p)   et à son orthogonal, c’est le vecteur nul.On conclut que la famille  (u1, . . . , u p) est liée.b) x  = u + n avec  u ∈ F   et n ∈ F ⊥. En développant  det G(e1, . . . , e p, x) selon ladernière colonne :

detG(e1, . . . , e p, u + n) = detG(e1, . . . , e p, u) +

G(e1, . . . , e p) 0

  n

2

or det G(e1, . . . , e p, u) = 0  car la famille est liée et donc

detG(e1, . . . , e p, x) = n2 detG(e1, . . . , e p)

avec n = d(x, F ).

Exercice 2 :  [énoncé]a) Sans difficulté, notamment parce qu’un polynôme de degré   2 possédant troisracines est nul.b) d(X 2, P ) =

X 2 − π

 avec π  =  aX  + b  projeté orthogonal de  X 2 sur P .

(X 2

−π

 | 1) = (X 2

−π

 | X ) = 0  donne le système

3a + 3b = 5

5a + 3b = 9

Après résolution a = 2

b = −1/3et après calcul

d = 

2/3

Exercice 3 :  [énoncé]

En introduisant sur  R [X ]  le produit scalaire :  (P  |  Q) =  10  P (t)Q(t)dt, laquantité cherchée est  m  = d(X 3,R2 [X ])2 =

X 3 − p(X 3)2 avec p   la projectionorthogonale sur  R2 [X ]. p(X 3) =  a + bX  + cX 2 avec ( p(X 3) | X i) = (X 3 | X i)  pour  i  = 0 , 1,2.La résolution du système ainsi obtenu donne  a  = 1/20, b  = −3/5 et  c  = 3/2.m =

X 3 − p(X 3)2 = (X 3 − p(X 3) | X 3) =   12800 .

Exercice 4 :  [énoncé]a) symétrie, bilinéarité et positivité : ok

Si ϕ(P, P ) = 0 alors +∞0

  P 2(t)e−tdt = 0  donc (fonction continue positived’intégrale nulle)

∀t ∈R+, P (t) = 0Comme le polynôme  P  admet une infinité de racines, c’est le polynôme nul.b) Par intégration par parties successives,

 +∞0

  tne−t dt = n! donc

ϕ(X  p, X q) = ( p + q )!

c) On interprète

inf (a,b)∈R2

   +∞0

e−t(t2 − (at + b))2 dt = d(X 2,R1 [X ])2 =X 2 − π2

avec π  =  aX  + b   le projeté orthogonal de  X 2 sur  R1 [X ](X 2 − π | 1) = (X 2 − π | X ) = 0  donne

a + b = 2

2a + b = 6

Après résolution  a  = 4 , b  = −2 et

inf (a,b)∈R2  

  +∞

0

e−t(t2

−(at + b))2 dt = 4

Exercice 5 :  [énoncé]Le cas n  = 1 étant évident, on suppose désormais  n 2.La quantité cherchée est  m  = d(M, Vect(I, J )) = M  − p(M )  avec p  la projectionorthogonale sur Vect(I, J ). p(M ) =  aI  + bJ  avec  ( p(M ) | I ) = (M  |  I ) =  tr(M ) et  ( p(M ) | J ) = (M  |  J ) =  σavec σ   la somme des coefficients de  M .La résolution de ce système donne  a  =   ntr(M )−σ

n(n−1)  et b  =   σ−tr(M )

n(n−1) .

m2 = M  − p(M )2 = (M  − p(M ) | M ) = M 2 −  (n−1)tr(M )2+(tr(M )−σ)2n(n−1)   .

8/20/2019 Espaces Préhilbertiens - Distance à Un Sous-espace Vectoriel

3/3

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 14 juin 2011 Corrections 3

Exercice 6 :  [énoncé]En introduisant l’espace  E  des fonctions réelles  f  continues sur  ]0,1] telles quet → (tf (t))2 soit intégrable et en munissant cet espace du produit scalaire

(f  | g) =   10

t2f (t)g(t) dt

la quantité cherchée est :  m  = d(f, F )2

avec f  :  t → ln t  et  F  =  Vect(f 0, f 1) oùf 0(t) = 1 et  f 1(t) =  t.

m = f  − p(f )2 avec p   la projection orthogonale sur  F . p(f )(t) =  a + bt  avec  ( p(f ) | f 0) = (f  |  f 0) et  ( p(f ) | f 1) = (f  | f 1).La résolution du système ainsi obtenu donne  a  = 5/3 et  b  = −19/12.m = f  − p(f )2 = (f  − p(f ) | f ) = 1/432.

Exercice 7 :  [énoncé]a) Pour P, Q ∈ E , la fonction t → P (t)Q(t)e−t est définie et continue parmorceaux sur [0, +∞[ et vérifie

t2P (t)Q(t)e−t

−−−−→t→+∞0

On peut donc affirmer que cette fonction est intégrable sur  [0,+∞[  ce qui assurela bonne définition de  , .On vérifie aisément que  ,  est une forme bilinéaire symétrique positive.Si P, P  = 0  alors par nullité de l’intégrale d’une fonction continue positive

∀t ∈ [0,+∞[ , P (t)2e−t = 0On en déduit que le polynôme  P  admet une infinité de racines et donc  P  = 0.b) Pour k 1 ou  k  = 0, on peut affirmer que les polynômes  P k  et  P k   sontorthogonaux.Par une intégration par parties

0 =   +∞

0

P k(t)P k(t)e−t dt =  1

2

P k(t)

2e−t+∞0

  + 12

   +∞

0

P k(t)2e−t dt

On en déduitP k(0)

2 = P k2 = 1c) F   est un hyperplan (car noyau de la forme linéaire non nulle  P  → P (0)). Sonorthogonal est donc une droite vectorielle. Soit  Q  un vecteur directeur de celle-ci.On peut écrire

Q =n

k=0

P k, QP k

OrP k, Q = P k −P k(0), Q + P k(0) 1, Q

Puisque le polynôme  P k −P k(0) est élément de  F , il est orthogonal à  Q  et l’onobtient

P k, Q = P k(0) 1,Qce qui permet d’écrire

Q = λn

k=0

P k(0)P k  avec  λ  = 1,Q = 0

On en déduit

d(1, F ) = |1, Q|

Q   =  1   nk=0

P k(0)2

=  1√ n + 1

Enfin par Pythagore12 = d(1, F )2 + d(1, F ⊥)2

et l’on obtient

d(1, F ⊥) = 

  nn + 1