Première Ch 09 : calcul vectoriel et produit scalaire

Première Ch_09 : calcul vectoriel et produit scalaire Programme 2019

1

I. Produit scalaire dans le plan

Définition : produit scalaire

Soient u et v deux vecteurs et A, B et C trois points tels que ABu et ACv .

Le produit scalaire des vecteurs u et v , noté u v , est le nombre défini par :

Si 0u et 0v , alors cos BACu v u v ;

Si 0u ou 0v , alors 0u v .

Exemples

Soient A, B et C trois points distincts tels que :

AB 5 , AC 3 et BAC3

.

On a : AB AC AB AC cos BAC

1 15AB AC 5 3 cos 15

3 2 2

Propriétés : vecteurs colinéaires et carré scalaire

Soient u et v deux vecteurs non nuls et colinéaires.

Si u et v ont le même sens, alors u v u v .

En particulier, 22

u u u u . u u est noté 2

u et est appelé carré scalaire de u .

Si u et v sont de sens contraire, alors u v u v .

Propriété : projection orthogonale Preuve en page …

Soient A, B et C trois points, A et B étant distincts.

Si H est le projeté orthogonal du point C sur la droite AB , alors AB AC AB AH .

Remarques

Si BAC2

alors les vecteurs AB et AH

sont colinéaires et de même sens.

Dans ce cas, AB AC AB AH .

Si BAC2

alors les vecteurs AB et AH sont colinéaires et

de sens contraire.

Dans ce cas, AB AC AB AH .

Définition : vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs u et v sont orthogonaux lorsque 0u v .

Propriété

Soient A, B et C trois points distincts.

Les vecteurs AB et AC sont orthogonaux si les droites AB et AC sont perpendiculaires.


2

Exercice 1

ABC est un triangle équilatéral de côté 2.

I est le milieu du segment AB .

Calculer les produits scalaires suivants :

a. BC BA

b. AI AC

c. BC CA

Exercice 2

ABCD est un carré de centre O et de côté a.

Calculer, en fonction de a, les produits scalaires

suivants.

a. CD CA b. AD CB

c. BD AC d. OB AB

e. OA OC f. DA BD

Exercice 3

À l’aide des données de la figure ci-dessous, calculer

les produits scalaires ci-dessous.

a. CB CD b. 2

BD

c. DB AD d. BD BC

e. 2

CD f. BC BA

Exercice 4

Un charpentier veut monter une poutre pour

construire une charpente en haut d’une colline. Il

doit tirer la poutre sur toute la distance AB et sur une

pente inclinée d’un angle de 15° par rapport à

l’horizontale.

AB 30 mètres et la masse de la poutre est 60 kg.

Durant la montée, la poutre est soumise à plusieurs

forces dont son poids P . On rappelle que

P P mg où m est la masse et 9,8g N.kg–1

.

On définit le travail W d’une force F sur un

déplacement rectiligne d’un point A à un point B par

ABW F , où W est exprimé en joule (J), F en

newton (N) et AB en mètre (m).

Calculer le travail du poids de la poutre sur le

déplacement AB.

Exercice 5

Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la

réponse.

a. Si deux vecteurs sont colinéaires, alors leur produit scalaire est

égal au produit de leurs normes.

b. Si 0u v , alors 0u ou 0v .

c. Dans un rectangle ABCD, on a AB DB AB AC .

d. Dans un rectangle ABCD, on a 2AC DB AB .


3

II. Propriétés du produit scalaire

Propriétés

Soient u , v et w des vecteurs et k un nombre réel.

u v v u u v w u v u w u kv k u v

Remarques

Comme le produit scalaire est symétrique, on a aussi v w u v u w u et ku v k u v .

Le produit scalaire est linéaire à gauche et à droite. On dit qu’il est bilinéaire.

Exemples

u v w u v u w 22

v v v v

22

2 5 2 5 2 5u u v u u v u u v

Propriétés : produit scalaire dans une base orthonormée

Dans une base orthonormée, on considère deux vecteurs x

uy

et '

'

xv

y

.

' 'u v x x y y 2

2 2u x y ou 2 2u x y

Preuve en page …

Exemples

Soient les vecteurs 2

3u

et 6

4v

dans une base orthonormée ;i j du plan.

2 6 3 4 12 12 0u v Les vecteurs u et v sont donc orthogonaux.

2 222 3 4 9 13u . Donc 13u .

Propriétés : norme et produit scalaire

Soient u et v deux vecteurs. 2 2 2

2u v u v u v 2 2 2

2u v u v u v 2 2

u v u v u v

2 2 21

2u v u v u v

2 2 21

2u v u v u v

Preuve en page …

Exemple

Soit ABDC un parallélogramme tel que :

AB 2 , AC 1 et BAC4

.

On veut calculer la longueur AD .

D’après la règle du parallélogramme, on a : AD AB AC . 2 2 2 2

2AD AD AB AC AB AC 2AB AC .

Or 2

2 2 2AB AC AB AC cos BAC 2 1 cos 2 1

4 2 2 2

.

D’où 2 2 2

2 1AD AB AC 2AB AC 2 1 2 1 2 1 2 5 soit AD 5 .


4

Exercice 6 ABCD est un carré de côté a.

I est le milieu de AD et J est le milieu de CD .

1. En remarquant que AJ AD DJ et que

BI BA AI , calculer AJ BI .

2. Que peut-on en conclure ?

Exercice 7

Soit ABCD un rectangle tel que :

AB 4 et AD 2 .

E est le point tel que 1

AE AB4

.

F est le milieu de CD .

1. Réaliser une figure.

2. a. En remarquant que DE DA AE ,

démontrer que 2

AC DE AD AC AE .

b. En déduire que les droites AC et DE

sont perpendiculaires.

3. Montrer que les droites EF et BD sont

perpendiculaires.

Exercice 8

Dans un repère orthonormé O ; ,i j , on donne les points A 2 ; 2 , B 1; 3 et les vecteurs 2 5u i j et

3v i j . Calculer les produits scalaires suivants.

a. OA AB b. u v c. AB u

Exercice 9

Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; ,i j , on considère les trois points A, B et C tels que

1AB

1

et AC2

x

où x est un nombre réel.

En utilisant deux expressions du produit scalaire, déterminer la (ou les) valeur(s) de x dans chacun des cas

suivants.

a. BAC2

b. BAC c. BAC

4

Exercice 10

Soit ABC un triangle tel que AB 4 , AC 6 et BC 7 . Calculer AB AC .

Exercice 11

Soit ABCD un parallélogramme. Montrer que 2 2 21AB BC AC AB BC

2 .

Exercice 12

On considère le cube ABCDEFGH de côté 5.

On note I le milieu des diagonales EC et AG dont on admet

qu’elles ont la même longueur.

1. Quelle est la nature du quadrilatère AEGC ?

2. On se place dans le plan du quadrilatère AEGC.

a. Calculer la longueur du segment AG .

b. En calculant de deux manières différentes le produit

scalaire IA IC , déterminer une valeur approchée à 0,01

degré près de l’angle AIC .


5

III. Applications du produit scalaire

Propriété : théorème de la médiane

Soient A et B deux point du plan et I le milieu du segment AB .

Quel que soit le point M du plan, on a : 2

2 ABMA MB MI

4 .

Preuve en page …

Propriété : formule d’Al-Kashi

Dans un triangle ABC, avec les notations de la figure ci-dessous, on a :

Preuve en page …

Remarque

On a de même : 2 2 2 2 cos Bb a c ac 2 2 2 2 cos Cc a b ab .

Exemple

On considère un triangle avec BC 9a , AC 7b et AB 4c .

La relation 2 2 2 2 cos Aa b c bc permet d’écrire 2 2 2 2 2 27 4 9 16 2

cos A2 2 7 4 56 7

b c a

bc

.

Grâce à la touche 1cos ou Arcos , une valeur approchée de l’angle A est A 106,6 .

De même, on obtient : 2 2 2 2 2 29 4 7 48 2

cos B2 2 9 4 72 3

a c b

ac

et B 48,2 .

2 2 2 2 2 29 7 4 114 19

cos C2 2 9 7 126 21

a b c

ac

et C 25,2 .

Propriété : caractérisation du cercle

Soient A, B et M trois points du plan.

MA MB 0 si et seulement si le point M appartient au cercle de

diamètre AB .

Preuve en page …

Remarque

Cela revient à dire que l’ensemble des points M tel que

MA MB 0 est le cercle de diamètre AB .


6

Exercice 13

A et B sont deux points du plan.

Déterminer, dans chaque cas, l’ensemble des points M du plan vérifiant la relation donnée.

a. AB 6 et MA MB 9 b. AB 6 et MA MB 16 c. AB 4 et MA MB 10

Exercice 14

A et B sont deux points du plan tels que AB 10 et on note I le milieu du segment AB .

1. Soit M un point du plan. Justifier que : 2MA MB MI 25 .

2. En déduire :

a. l’ensemble des points M tels que MA MB 11 .

b. l’ensemble des points M tels que MA MB 0 .

c. l’ensemble des points M tels que MA MB 0 .

Exercice 15

On considère le triangle ABC suivant.

Déterminer dans chaque cas la longueur

exacte du côté manquant.

a. 3b , 4c et A 60 .

b. 2 2a , 5c et B 45 .

c. 3b c et A 90 .

Exercice 16

On considère la figure suivante où I est le milieu du segment AB .

1. Calculer les valeurs exactes de CA et CI.

2. En déduire une valeur approchée au dixième de degré près de l’angle .

Exercice 17

Soit ABC un triangle rectangle en B. On note I le milieu du segment BC .

1. Soit M un point du plan. À l’aide de la relation de Chasles, justifier que MB MC 2MI .

2. En déduire que le cercle circonscrit au triangle ABC est l’ensemble des points M du plan tels que

MA MB MC 0 .

Exercice 18

ABC est un triangle isocèle rectangle tel que AB AC 6 . On note I le milieu du segment AB .

1. Montrer que, pour tout point M du plan, on a : 2 2MA AB MC MI 9 .

2. En déduire l’ensemble des points M tels que : 2MA AB MC 12 .


7

Exercice 19

Soient A et B deux points du plan tels que AB 6 . On note I le milieu du segment AB .

Soit M un point du plan.

1. a. Justifier que MA MI IA et que MB MI IB .

b. En déduire que 2

2 2 2 ABMA MB 2MI

2 .

Cette égalité est appelée deuxième relation du théorème de la médiane.

2. a. Démontrer l’équivalence 2 2 2MA MB 20 MI 1 .

b. En déduire l’ensemble des points M tels que 2 2MA MB 20 .

Exercice 20

Soient ABC un triangle isocèle en C et M un point de la droite AB .

Existe-t-il une position du point M telle que 2 2 2MA MB MC soit minimale ? Laquelle ?

Exercice 21

Soit un triangle ABC.

1. On note S l’aire du triangle ABC.

Montrer que :

1 1 1sin A sin B sin C

2 2 2S bc ac ab .

2. ABC est un triangle tel que AC 2 , BC 4 et

BAC 45 .

Calculer l’aire de ABC.

3. Un avant-centre de football se retrouve en face

des buts dans la situation schématisée ci-

dessous. Combien mesure l’angle ?

Exercice 22 (deux dernières formules)

Soit un triangle ABC d’aire S.

1. En se référant à l’exercice 21, montrer que :

sin A sin B sin C

a b c .

Cette relation est appelée « loi des sinus ».

2. Exprimer 2 cos Abc en fonction de a, b et c.

3. Sachant que 1sin A

2S bc , en déduire que :

1

4S a b c a b c b c a c a b .

4. On note p le demi-périmètre du triangle ABC : 1

2p a b c .

Montrer que S p p a p b p c .

Cette formule est appelée « formule de Héron », du nom du mathématicien grec Héron d’Alexandrie.


8

Preuve de la propriété donnant le produit scalaire à l’aide d’une projection orthogonale

Soient A, B et C trois points, A et B étant distincts.

Si H est le projeté orthogonal du point C sur la droite AB , alors AB AC AB AH .

On suppose que d’abord H différent de A. Dans ce cas, le triangle ACH est rectangle en H.

Cas où H appartient à la demi-droite AB .

Dans ce cas, les vecteurs AB et AH sont

colinéaires et de même sens.

Ainsi, on a : AB AH AB AH .

On remarque que BAC HAC .

On a : AHcos HAC

AC .

D’où AH AC cos HAC .

AB AC AB AC cos BAC

AB AC cos HAC

AB AH

AB AH

Cas où H n’appartient pas à la demi-droite AB .

Dans ce cas, les vecteurs AB et AH sont colinéaires

et de sens contraire.

Ainsi, on a : AB AH AB AH

On remarque que BAC HAC .

On a : AHcos HAC

AC .

D’où AH AC cos HAC .

AB AC AB AC cos BAC

AB AC cos HAC

AB AC cos HAC

AB AC cos HAC

AB AH

AB AH

Si H est en A, alors l’angle BAC est droit et alors AB AC AB AC cos AB AC 0 02

.

On a bien AB AC AB AH car AH 0 .


9

Preuve de la propriété donnant le produit scalaire dans une base orthonormée

Dans une base orthonormée, on considère deux vecteurs x

uy

et '

'

xv

y

.

' 'u v x x y y 2

2 2u x y

Soit une base orthonormée ;i j du plan. Donc 2

1i i i , 2

1j j j et 0i j j i .

Puisque le vecteur u a pour coordonnées x

y

alors u xi y j .

De même, le vecteur v a pour coordonnées '

'

x

y

, donc ' 'v x i y j .

' '

' ' ' '

' ' ' '

' '

u v xi y j x i y j

xi x i xi y j y j x i y j y j

xx i i xy i j yx j i yy j j

xx yy

En particulier, 2 2u u xx yy x y d’où 2

2 2u x y ou encore 2 2u x y .

Preuve de la propriété liant norme et produit scalaire

Soient u et v deux vecteurs. 2 2 2

2u v u v u v 2 2 2

2u v u v u v 2 2

u v u v u v

2 2 21

2u v u v u v

2 2 21

2u v u v u v

22 2 22 2

2 2u v u v u v u v u u u v v u v v u u v v u v u v

22 2 22 2

2 2u v u v u v u v u u u v v u v v u u v v u v u v

2 22 2

u v u v u u u v v u v v u u v u v v u v

Des deux premières formules, on en déduit les deux suivantes.

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

1

2

u v u v u v u v u v u v

u v u v u v

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

1

2

u v u v u v u v u v u v

u v u v u v


10

Preuve du théorème de la médiane

Soient A et B deux point du plan et I le milieu du segment AB .

Quel que soit le point M du plan, on a : 2

2 ABMA MB MI

4 .

2

2

2

2

MA MB MI IA MI IB

MI MI IB IA MI IA IB

MI MI IA IB IA IB

MI IA IB car IA IB 0

1 1MI AB AB

2 2

2 2

22

1MI AB

4

ABMI

4

Preuve de la formule d’Al-Kashi

Dans un triangle ABC, avec les notations de la figure ci-dessous, on a :

Grâce à la formule de Chasles, on a : BC BA AC AB AC AC AB .

Ainsi, 22 2 2

BC AC AB AC AB 2AC AB

Or AC AB AC AB cos A .

On en déduit que : 2 2 2BC AC AB 2AC AB cos A .

En posant BC a , AC b et AB c , la dernière égalité devient 2 2 2 2 cos Aa b c bc .


11

Preuve de la propriété donnant une caractérisation du cercle

Soient A, B et M trois points du plan.

MA MB 0 si et seulement si le point M appartient au cercle de diamètre AB .

Soit I le milieu du diamètre AB .

Le théorème de la médiane donne : 2

2 ABMA MB MI

4 .

22

22

ABMA MB 0 MI 0

4

ABMI

4

ABMI

2

MI où est le rayon du cercler r

Ainsi, MA MB 0 si et seulement si M appartient au cercle de centre I et de rayon AB

2r , c’est-à-dire au

cercle de diamètre AB .


12

Correction de l’exercice 18

1. Le théorème de la médiane indique que 2 2

2 2 2AB 6MA MB MI MI MI 9

4 4 .

Pour tout point M du plan, on a :

2 2

2

2 2

2 2

2 2

0

2

MA MB MI 9 MA MA AB MI 9

MA MA MA AB MI 9

MA MA AB MI 9

MA MC CA AB MI 9

MA MC AB CA AB MI 9

MA AB

2MC MI 9

2. 2 2 2MA AB MC 12 MI 9 12 MI 21 MI 21

L’ensemble des points M tels que 2MA AB MC 12 est le cercle de centre I et de rayon 21 .


1. Première question (I milieu de AB implique AB

IA IB2

et IA IB 0 ).

a. La relation de Chasles justifie les égalités MA MI IA et MB MI IB .

b. Pout tout point M du plan, on a :

2 22 2

2 2 2 2

2 2

2

0

2 22

22

MA MB MI IA MI IB

MI IA 2MI IA MI IB 2MI IB

AB AB2MI 2MI IA IB

2 2

AB AB2MI

4 4

AB2MI

2

2. Deuxième question.

a. Pour tout point M du plan, on a : 2

2 2 2

22

2

2

2

ABMA MB 20 2MI 20

2

62MI 20

2

2MI 18 20

2MI 2

MI 1

b. On a 2 2 2MA MB 20 MI 1 MI 1 .

L’ensemble des points M tels que 2 2MA MB 20 est le cercle de centre I et de rayon 1.


13


Soit I le milieu du segment AB . Ainsi, on aura : IA IB 0 .

Comme le triangle ABC est isocèle en C, alors la médiane IC issue de C est aussi la hauteur issue de C.

Ainsi, on aura : MI IC soit MI IC 0 .

Pour tout point M du plan, on a :

2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

00

2 2 2 2

MA MB MC MI IA MI IB MI IC

MI IA 2MI IA MI IB 2MI IB MI IC 2MI IC

3MI IA IB IC 2MI IA IB 2MI IC

3MI IA IB IC

Les nombres 2IA , 2IB et 2IC ont des valeurs fixes, peu importe la position du point M.

Donc l’expression 2 2 2MA MB MC est minimale lorsque 2MI est minimale, soit quand M se confond

avec le point I, milieu du segment AB .


14


1. Soit H le point de la droite AB tel que les droites

AB et CH soient perpendiculaires.

Dans le triangle ACH rectangle en H, on a :

CHsin A

AC d’où CH AC×sin A .

L’aire S du triangle ABC est :

2 2

Base Hauteur AB CHS

D’où AB AC×sin A sin A

2 2

c bS

soit 1

sin A2

S bc .

Les deux autres formules se démontrent de façon similaire.

2. On utilise la formule impliquant l’angle A .

Ainsi, 1 1sin A AC AB sin A

2 2S bc .

Or 2 2 2ACBC AC AB 2 AB cos A

2 2 2×24 2 AB 2 AB cos 45

2 216 4 AB 4 AB

2

2AB 2 2AB 12 0

On résout l’équation 2x 2 2 12 0x .

2

2 2 4 1 12 8 48 56 0

Il existe donc deux racines :

1

2 2 56 2 2 2 142 14 0

2 1 2 2x

et

2

2 2 56 2 2 2 142 14 0

2 1 2 2x

.

Comme AB est une distance, donc un réel positif, on ne retient que la solution 2 2 14x .

Ainsi, AB 2 14 .

D’où 2

1 2 2 28 2 72 2 14 sin 45 2 14 1 1 7

2 2 2 2 2S .

3. Voici une façon de faire utilisant une des formules de la question 1 (pas la plus simple cependant).

AC AJ 10,32 25

ACJ 1292 2

S

et AB AJ 3 25

ABJ 37,52 2

S

.

D’où BCJ ACJ ABJ 129 37,5 91,5S S S .

En outre, 1

BCJ BJ CJ sin2

S .

Or, 2 2 2 2BJ AB AJ 3 25 634 et 2 2 2 2CJ AC AJ 10,32 25 731,502 4 .

On en déduit que : BCJ 91,5

sin 0,2691 1

BJ CJ 634 731,502 42 2

S

puis que 15,6 .

Autre méthode : 1 110,32 3tan tan 15,6

25 25

.


15


1. On a vu lors de la résolution de l’exercice 21 que 1 1 1sin A sin B sin C

2 2 2S bc ac ab .

On peut isoler une partie de la formule : 1 1sin A sin B

2 2bc ac soit sin A sin Bbc ac .

En divisant cette dernière égalité par abc , on obtient :

sin A sin B sin A sin B

sin A sin B

bc ac a b

abc abc a b .

De la même manière, on démontre la formule complète :

sin A sin B sin C

a b c .

2. On sait que 2 2 2 2 cos Aa b c bc . D’où 2 2 22 cos Abc b c a .

3. On rappelle que, pour tout réel x, on a 2 2cos sin 1x x , soit 2 2sin 1 cosx x .

2 2

2 2 21 2 4sin A 1 cos A 1 cos A 1 cos A

2 2 4 4

bc bc b cS bc

1 12 1 cos A 2 1 cos A 2 2 cos A 2 2 cos A

4 4S bc bc bc bc bc bc

2 22 2 2 2 2 2 2 21 12 2

4 4S bc b c a bc b c a b c a a b c

1

4S b c a b c a a b c a b c

On a bien 1

4S a b c a b c b c a c a b .

4. Comme 1

2p a b c alors 2p a b c . On obtient alors :

2 2p c a b c , 2 2p a b c a , 2 2p b c a b .

La formule 1

4S a b c a b c b c a c a b devient alors :

1 1

2 2 2 2 2 2 2 164 4

S p p c p a p b p p a p b p c

16

4S p p a p b p c soit S p p a p b p c .

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Première Ch 09 : calcul vectoriel et produit scalaire