Le corps des nombres réels

Ensembles ordonnésMajorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures.

Structures Algèbriques.Insuffisance de Q

Définition axiomatique de RPROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R

Introduction.

On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z desentiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s’est rendu compte,depuis l’antiquité, que l’on ne peut pas tout mesurer à l’aide desnombres rationnels. Par exemple :

la diagonale d d’un carré de côté 1 vérifie, d’après le théorèmede Pythagore, d2 = 12 + 12 = 2, donc d =

√2, mais on verra que√

2 /∈Q.

d

FIGURE : La diagonale du carré de côté 1 n’est pas un rationnel.

Brahim Boussouis Le corps des nombres réels




De même, le périmètre P d’un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (pardéfinition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement !) queπ /∈Q.

FIGURE : Le périmètre du cercle de rayon 1 n’est pas un rationnel.


D’où la nécessité d’introduire de nouveaux nombres (dits irrationnels).La réunion des nombres rationnels et des nombres irrationnels formele corps R des nombres des réels. Il existe de nombreusesconstructions de R (que nous n’aborderons pas dans ce cours). Nousnous contenterons d’étudier les propriétés essentielles des nombresréels, lesquelles propriétés sont à la base de toute l’analysemathématique.




Sommaire

1 Ensembles ordonnés2 Majorants, Minorants, Bornes supérieures et Bornes inférieures.3 Structures Algèbriques.

Groupes, Sous-groupes4 Insuffisance de Q

Q est insuffisant en tant que corpsQ est insuffisant qu’ensemble ordonné.

5 Définition axiomatique de R6 PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE R

Propriétés de corps commutatif totalement ordonnéPropriétés conséquences de l’axiome de la borne supérieureIntervalles de R.Parties denses.Quelques inégalités utilesLa droite numérique achevée





Ensembles ordonnés

DéfinitionSoit E un ensemble non vide et ≤ une relation binaire sur E×E . Ondit que ≤ est une relation d’ordre si, et seulement si, :

≤ est réflexive : ∀x ∈ E ,x ≤ x .

≤ est antisymétrique : ∀x ,y ∈ E ,(x ≤ y et y ≤ x)⇒ (x = y).

≤ est transitive : ∀x ,y ,z ∈ E ,(x ≤ y et y ≤ z)⇒ (x ≤ z).

Lorsque x ≤ y et x 6= y , on note x < y (ou y > x). Le couple (E ,≤)est appelé un ensemble ordonné.Deux éléments x et y sont dits comparables si on a soit x ≤ y soity ≤ x . (E ,≤) est dit totalement ordonné si tous les éléments de Esont 2 à 2 comparables. Sinon, on dit que (E ,≤) est partiellementordonné.





Exemples

1 N muni de l’ordre habituel est totalement ordonné.2 N muni de la relation x ≤ y ⇐⇒ x |y (x divise y ) est

partiellement ordonné.3 Soit A un ensemble non vide et E = 2A l’ensemble des parties de

A. E est partiellement ordonné par la relation d’inclusion :X ≤ Y ⇐⇒ X ⊂ Y .





Sommaire










Définition

Soient (E ,≤) un ensemble ordonné, A⊂ E et x ∈ E . On dit que :

x majore A (ou encore x est un majorant de A) si pour tout a ∈ A,on a : a≤ x . La partie A est dite majorée s’elle admet unmajorant.

x est le plus grand élément (ou encore le maximum) de A six ∈ A et x est un majorant de A :

x = maxA ⇐⇒ (∀a ∈ A,a≤ x et x ∈ A).

De manière analogue, on dit que :

x minore A (ou encore x est un minorant de A) si pour tout a ∈ A,on a : x ≤ a. La partie A est dite minorée s’elle admet unminorant.





x est le plus petit élément (ou encore le minimum) de A si x ∈ Aet x est un minorant de A :

x = minA ⇐⇒ (∀a ∈ A,x ≤ a et x ∈ A).

Une partie A⊂ E est dite bornée s’elle est à la fois majorée etminorée.Si l’ensemble des majorants (resp. des minorants) de A admet unplus petit élément M (resp. un plus grand élément m) celui-cis’appelle borne supérieure (resp. borne inférieure) de A. Onécrit alors M = supA et m = infA.

On a donc :

M = supA ⇐⇒{∀a ∈ A, a≤M;∀x ∈ E , x < M⇒∃a ∈ A,x < a≤M





Et de manière analogue :

m = infA ⇐⇒{∀a ∈ A, m ≤ a;∀x ∈ E , m < x ⇒∃a ∈ A,m ≤ a < x .

On dit qu’un ensemble ordonné (E ,≤) possède la propriété de laborne supérieure (resp. de la borne inférieure) si toute partie nonvide et majorée (resp. non vide et non minorée) de E possède uneborne supérieure (resp. une borne inférieure)

ExerciceMontrer que si un ensemble totalement ordonné possède la propriétéde la borne supérieure, alors il possède aussi la propriété de la borneinférieure, et vice-versa.





Remarque

Si A admet un plus grand élément, alors celui-ci est unique et A admetune borne supérieure supA = maxA. De même, si A admet un pluspetit élément, alors celui-ci est unique et A admet une borne inférieureinfA = minA. Mais, il se peut que A admette une borne supérieure(resp. une borne inférieure) sans admettre de maximum (resp. deminimum).





Exemples

Soit A = {1−1/n : n ∈ N∗} ⊂Q. A est minorée (par 0 ∈ A).Donc 0 = minA = infA = 0. D’autre part, il est clair que 1 majore

A. Soit r ∈Q, r < 1. On a : 1− 1n> r ⇐⇒ n >

11− r

. Donc, en

prenant n ∈ N vérifiant n >1

1− r, on trouverait un élément

a = 1−1/n de A vérifiant r < a. Donc 1 = supA. Comme1 = supA /∈ A, A n’admet pas de plus grand élément.

La partie A ={

n(−1)n: n ∈ N∗

}de Q est non majorée. De plus,

A est minorée (par 0). Soit r ∈Q, r > 0. En prenant un n ∈ N∗ tel

que n >12

(1r−1), on trouverait un élément a = 1/2n + 1 ∈ A

vérifiant a < r . Donc infA = 0, et comme 0 /∈ A, A n’admet pas deminimum.





ThéorèmeToute partie finie et non vide d’un ensemble totalement ordonné admetun plus grand élément et un plus petit élément.

Preuve. Soient (E ,≤) un ensemble totalement ordonné, /0 6= A⊂ Eune partie finie non vide de cardinal n ≥ 1. On va raisonner parrécurrence sur n.

si n = 1, c’est évident.

Supposons que toutes les parties de E de cardinal n−1admettent un plus grand élément et un plus petit élément. SoitA = {a1, · · · ,an} une partie de E à n éléments. PosonsA′ = {a1, · · · ,an−1}= A\{an}, s = maxA′ et m = minA′. Sis≤ an, alors an = maxA, et si an < s, alors s = maxA. De même,si m ≤ an, alors m = minA, et si an < m, alors an = minA.





Corollaire

Toute partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément.En particulier, N possède la propriété de la borne supérieure.

Preuve. Car une partie majorée de N est nécessairement finie.

Théorème

Toute partie non vide de N admet un plus petit élément.

Preuve. Supposons, par l’absurde, qu’il existe une partie /0 6= A⊂ Nn’admettant pas de minimum. Soit P (n) l’assertion suivante : “nminore A”. On a :

P (0) est vraie.Supposons que P (n) soit vraie. Alors n /∈ A (car A n’a pas deplus petit élément). Donc, pour tout a ∈ A, a > n, et par suitea≥ n + 1 (a et n sont des entiers !). donc n + 1 minore A,





ou encore P (n + 1) est vraie. Ainsi P (n)⇒ P (n + 1). Par conséquentP (n) est toujours vraie (c-a-d, tous les entiers naturels minorent A).On en déduit que A = /0 : (sinon, il existerait m ∈ A, et d’après ce quiprécéde, m minorerait A et A admettrait m comme plus petit élément).On aboutit à la contradiction A 6= /0 et A = /0. Absurde.





Groupes, Sous-groupes

Sommaire











Groupes

Définition

Un groupe (G,∗) est un ensemble G muni d’une loi de compositioninterne ∗ telle que :

1 ∗ est associative : ∀a,b,c ∈ G,a∗ (b ∗ c) = (a∗b)∗ c.2 ∗ admet un élément neutre e tel que : ∀a ∈ G,a∗e = e ∗a = a.3 Tout élément a de G admet un symétrique :∀a ∈ G,∃a′ ∈ G,a∗a′ = a′ ∗a = e.

Le groupe est dit abélien (ou commutatif ) si a∗b = b ∗a, pour tousa,b ∈ G.

Exemples. (Z,+) est un groupe abélien.






Sous-groupes

Définition

Soit (G,∗) un groupe, et soit H une partie de G. On dit que (H,∗) (outout simplement que H ) est un sous-groupe de (G,∗) si et seulementsi :

H est non vide.

(H,∗) est un groupe.

Exemple. Pour tout n ∈ Z, nZ = {nm : m ∈ Z} est un sous-groupede (Z,+).A partir de cette définition, il est facile de montrer les deuxpropositions suivantes :






Proposition

Soit (G,∗) un groupe, et soit H une partie non vide de G. Pour que Hsoit un sous-groupe de G, il faut et il suffit qu’il vérifie les deuxconditions suivantes :

1 ∀(x ,y) ∈ H2,x ∗ y ∈ H.2 ∀x ∈ H,x−1 ∈ H.

Les deux conditions précèdentes peuvent être groupées en une seulecondition :

Proposition

Soit (G,∗) un groupe, et soit H une partie non vide de G. Pour que Hsoit un sous-groupe de G, il faut et il suffit qu’il vérifie la conditionsuivante :

∀(x ,y) ∈ H2,x ∗ y−1 ∈ H.

Exemple. Les ensembles nZ, où n ∈ N, sont des sous-groupes de(Z,+) (vérifier).






Sous-groupes de (Z,+)

Théorème

Les sous-groupes de Z sont les ensembles de la formenZ = {nm : m ∈ Z}, où n ∈ N.

Preuve. On sait que les nZ sont des sous-groupes de Z.Inversement, soit H un sous-groupe de Z. Si H = {0}, alors H = 0.Z.Si H 6= {0}, on pose H∗+ = {p ∈ H, : p > 0}= H ∩N∗. H∗+ est unepartie non vide de N (pourquoi ?). Donc H∗+ admet un plus petitélément n. Puisque n ∈ H, et que H est un sous-groupe de (Z,+), onaura nZ⊂ H (Justifier). Inversement, soit p ∈ H et soit p = qn + r ladivision euclidienne de p par n (q ∈ Z, r ∈ N, r < n).






Si r > 0, on aurait r = p−qn ∈ H (différence de deux éléments de H),r ∈ H∗+ et r < n = minH∗+. Contradiction. Donc r = 0, p = qn ∈ nZ.Donc H ⊂ nZ et H = nZ.






Anneaux

DéfinitionUn anneau A est un ensemble muni de deux lois de compositioninternes + et · telles que (A,+) est un groupe commutatif et que · estassociative et distributive par rapport à +, c-a-d :

∀x ,y ,z ∈ A, x · (y + z) = (x · y) + (x · z)

A est dit commutatif si la loi · est commutative, unitaire si la loi · admetun élément neutre.

Exemple. (Z,+, ·) est un anneau commuttif unitaire, 1 étant lélémentneutre de ·.






Corps

DéfinitionUn corps est un anneau unitaire de cardinal ≥ 2, tel que tout élémentnon nul (i.e. distinct de l’élément neutre de +) admet un inverse pourla loi ·.Il revient au même de dire que (K,+, ·) est un corps si, et seulementsi, (K,+, ·) est un anneau unitaire tel que (K∗, ·) est un groupe, oùK∗ : = K\{0}.Exemple. (Q,+, ·) est un corps.

Définition

Soient (K1,+, .) et (K2,+, .) deux corps et f : K1→K2. On dit que fest un isomorphisme de corps si f est bijective, f (1K1) = 1K2 , et pourtout (x ,y) ∈K2

1, on a : f (x + y) = f (x) + f (y) f (x .y) = f (x).f (y).Brahim Boussouis Le corps des nombres réels





Corps commutatif totalement ordonné.

DéfinitionUn corps commutatif totalement ordonné est la donnée d’un corpscommutatif (K,+, ·) muni d’une relation d’ordre totale ≤ compatibleavec l’addition + et avec la multiplication par les éléments positifs :

∀x ,y ∈K,(x ≤ y) ⇒ (∀z ∈K,x + z ≤ y + z).

∀x ,y ∈K,(x ≤ y) ⇒ (∀z ∈K+,x · z ≤ y · z),

où K+ : = {z ∈K : 0≤ z}.

Exemple. Q muni de ses lois et de son ordre habituels est un corpscommutatif totalement ordonné.






Sommaire











En effet, il existe des polynômes à cœfficients rationnels n’admettantpas de racines rationnelles. Pour le voir, démontrons d’abord lethéorème suivant :

Théorème

Soient n ∈ N∗ et a0,a1, · · · ,an ∈ Z tels que a0an 6= 0. Si l’équation :

a0 + a1x + · · ·+ anxn = 0 (1)

admet une racine rationnelle r écrite sous forme irréductible r =pq

,

(p,q) ∈ Z×Z∗, p∧q = 1, alors p divise a0 et q divise an.

Preuve. En remplaçant r parpq

dans l’équation 1 et en multipliant par

qn, on obtiendrait :






a0qn + a1pqn−1 + · · ·+ an−1pn−1q + anpn = 0;

Donc,anpn =−q

[a0qn−1 + a1pqn−2 + · · ·+ an−1pn−1].

Donc q divise anpn, et comme p et q sont sans diviseur commun, qdivise an (théorème de Gauss). De même, on a :

a0qn =−p[a1qn−1 + · · ·+ anpn−1].

Donc, p divise a0qn, et comme p∧q = 1, p divise a0.

Comme conséquence de ce théorème, on peut dire que l’équationx2−2 = 0 n’a pas de racines rationnelles (autrement dit

√2 /∈Q).

Sinon, soit r une telle racine, r =pq

la forme irréductible de r . D’après

le théorème précédent, p divise −2 (donc p ∈ {±1,±2}) et q divise 1(et q =±1). Donc r serait l’un des quatre nombres 2,−2,−1 ou 1.






Or aucun de ces nombres n’est solution de x2−2 = 0.De même, le nombre r = (2 + 51/3)1/2 /∈Q. En effet, on ar2 = 2 + 51/3 et (r2−2)3−5 = r6−6r4 + 12r2−13 = 0. Si r ∈Q et

r =pq

(la forme irréductible de r ), alors p diviserait −13 et q diviserait

1. Donc r ∈ {±13,±1}. Or, aucun de ces nombres ne vérifiel’équation x6−6x4 + 12x2−13 = 0.






Proposition

Q ne possède pas la propriété de la borne supérieure.

Preuve. Soit A ={

r ∈Q : r2 < 2}

. A est non vide ( 1 ∈ A), et majoré(par 2), mais A n’admet pas borne supérieure : sinon, il existeraitM ∈Q tel que M = supA. On a M ≥ 1 et M2 6= 2. Deux cas sontpossibles :

premier cas : M2 < 2. Alors, on a :

∀n ∈ N∗,(

M +1n

)2

= M2 + 2Mn

+1n2 ≤M2 +

2M + 1n

.

Donc, en choisissant n >2M + 12−M2 , on aurait (M +

1n

)2 < 2 et

M +1n∈ A. D’où la contradiction A 3M +

1n> M = supA.






deuxieme cas : M2 > 2. En choisissant n >2M

M2−2, on aurait

(M− 1

n

)2

= M2−2Mn

+1n2 ≥M2−2

Mn

> 2.

Or M− 1n< M = supA, donc il existe r ∈ A tel que

0 < M− 1n< r ≤M, et par suite,

(M− 1

n

)2

< r2 < 2.

Contradiction.

En conclusion A est une partie majorée et non vide de Q qui n’admetpas de borne supérieure (dans Q). Donc Q ne possède pas lapropriété de la borne supérieure.





Sommaire










Théorème et définition (admis).

Il existe un corps commutatif totalement ordonné possèdant lapropriété de la borne supérieure.De plus, si deux corps commutatifs totalement ordonnés, R1 et R2,possèdent la propriété de la borne supérieure, alors il existe unisomorphisme de corps f : R1→ R2, tel que :

f est strictement croissante : x < y ⇒ f (x) < f (y).

si A est une partie non vide et majorée de R1, alors f (A) est unepartie non vide et majorée de R2 et f (supA) = sup f (A).

Donc, à un isomorphisme près, il existe un seul corps commutatiftotalement ordonné possèdant la propriété de la borne supérieure. Cecorps s’appelle le corps des nombres réels, et on le note R. Un telcorps contient Q, et les éléments de Q sont appelés nombresrationnels et ceux de R\Q sont appelés nombres irrationnels.






Sommaire











R possède des propriétés communes à tous les les corps commutatifstotalement ordonnés et des propriétés qui découlent de la propriété dela borne supérieure.






Théorème

Dans R, les propriétés suivantes sont vérifiées :

(x ≥ 0,y ≥ 0)⇒ xy ≥ 0 ;

∀x ∈ R,x2 ≥ 0.

x ≤ y ⇐⇒ x− y ≤ 0 ⇐⇒ y− x ≥ 0 ⇐⇒ (−y)≥ (−x).

(x ≤ y ,z ≤ 0)⇒ yz ≤ xz ;

x < y ⇐⇒ x− y < 0 ⇐⇒ y− x > 0 ⇐⇒ (−y) < (−x).

x < y ⇐⇒ ∃z ∈ R, x + z < y + z ⇐⇒ ∀z ∈ R,x + z < y + z.

0 < x < y ⇐⇒ 0 < y−1 < x−1.

Si xi ≤ yi , i = 1, . . . ,n, alors ∑ni=1 xi ≤ ∑

ni=1 yi , avec égalité si et

seulement si xi = yi , i = 1, . . . ,n.

Preuve. Laissée en exercice.Brahim Boussouis Le corps des nombres réels





Caractérisation de la borne supérieure

Théorème

Soit A une partie non vide et majorée de R et soit s ∈ R. Alors

s = supA ⇐⇒{∀a ∈ A, a≤ s

∀ε ∈ R∗+,∃a ∈ A, s− ε < a≤ s

Preuve. La 1ère condition exprime le fait que s est un majorant de A.La 2eme condition veut dire que tout réel strictement plus petit que sn’est pas un majorant de A. Donc s est le plus petit majorant de A, ouencore s = supA.






Caractérisation de la borne inférieure

De manière analogue, on a :

Théorème

Soient A une partie non vide et minorée de R et m ∈ R. Alors

m = infA ⇐⇒{∀a ∈ A, m ≤ a

∀ε ∈ R∗+,∃a ∈ A, m ≤ a < m + ε

Preuve. La 1ère condition exprime le fait que m est un minorant de A.La 2eme condition veut dire que tout réel strictement plus grand que mn’est pas un minorant de A. Donc m est le plus grand minorant de A,ou encore m = infA.






Exercice

Soit /0 6= A⊂ R et soit −A = {−x : x ∈ A}. Montrer que si A estminorée alors −A est majorée et infA =−sup(−A). Déduire lethéorème 6.3 du théorème 6.2.

Théorème et définition (Valeur absolue d’un nombre réel)

Soit x ∈ R. La valeur absolue de x est le nombre |x |= max(x ,−x) ;La valeur absolue vérifie les propriétés suivantes :

|x | = |− x | ≥ 0.

|x |= 0 ⇐⇒ x = 0.

|x · y | = |x |× |y |.|x | ≤ a ⇐⇒ −a≤ x ≤ a.

||x |− |y || ≤ |x± y | ≤ |x |+ |y |.Brahim Boussouis Le corps des nombres réels





On définit la distance de deux réels x et y par d(x ,y) = |x− y |. d estdonc une application définie sur R2 à valeurs positives et elle vérifieles propriétés suivantes :

(D1) d(x ,y) = 0 ⇐⇒ x = y ;

(D2) d(x ,y) = d(y ,x) ; (Symétrie)

(D3) d(x ,y)≤ d(x ,z) + d(z,y) (Inégalité triangulaire)

Plus généralement, on appelle distance sur un ensemble quelconqueE , toute application d : E2→ R+ qui vérifie les propriétés (D1), (D2)et (D3). Le couple (E ,d) est alors appelé espace métrique.

Exercice

Montrer que l’application d : R2→ R+ définie pard(x ,y) = inf(1, |x− y |) est une distance sur R.






Théorème (Propriété d’Archimède)

Pour tout x ∈ R∗+, et pour tout y ∈ R, il existe n ∈ N tel que y < nx.

Preuve. Soit A = {nx/n ∈ N} ; A est une partie non vide de R. Si Aest majorée par y , il existerait s ∈ R tel que s = supA. Comme(s− x) < s, on pourrait trouver n ∈ N, tel que (s− x) < nx ≤ s ; D’oùs < (n + 1)x ∈ A, ce qui est absurde.

Théorème (Partie entière d’un nombre réel)

Pour tous x ∈ R et ε ∈ R∗+, il existe un et un seul entier n ∈ Z, tel quenε≤ x < (n + 1)ε.L’entier n qui correspond à ε = 1, s’appelle la partie entière de x,notée E(x), ou encore [x]. le nombre x−E(x) s’appelle la partiefractionnaire de x.






Preuve. Si m et n sont deux entiers relatifs tels que :nε≤ x < (n + 1)ε et mε≤ x < (m + 1)ε, On aurait nε < (m + 1)ε,donc n < (m + 1) et n ≤m.De la même manière, on obtiendrait m ≤ n, donc m = n. D’où l’unicitéde n.Pour montrer l’existence de n, commençons par le cas x > 0. SoitA = {m ∈ N/x < mε} ; A est une partie non vide de N (par lapropriété d’Archimède) ; Soit p le plus petit élément de A. On a p ≥ 1et (p−1) /∈ A, donc nε≤ x < (n + 1)ε, où n = (p−1).Si x < 0, d’après ce qui précède, il existe m ∈ N, tel quemε≤−x < (m + 1)ε. Il suffit de poser alors n =−(m + 1) six 6=−mε, et n =−m, si x =−mε. En fin, pour x = 0, on a0.ε≤ x = 0 < (0 + 1).ε, donc l’entier n = 0 répond à la question.






Il existe neuf types d’intervalles sur R :les intervalles bornés (d’extrémités a et b, où−∞< a≤ b < +∞) :

[a,b] = {x ∈ R : a≤ x ≤ b} (intervalle fermé borné) ;]a,b[ = {x ∈ R : a≤ x < b} (intervalle ouvert ) ;]a,b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} (intervalle semi-ouvert ou semi-fermé) ) ;[a,b[ = {x ∈ R : a≤ x < b} (intervalle semi-ouvert (ou semi-fermé)) .

Les intervalles ]a,a[ = [a,a[=]a,a] = /0 et [a,a] = {a} sont ditstriviaux. On convient que l’ensemble vide est considèré commeun intervalle ouvert borné.les intervalles non bornés (dont une extrémité est a ∈ R) :

[a,+∞[ = {x ∈ R : a≤ x} ;]−∞,a] = {x ∈ R : x ≤ a} ;]−∞,a[ = {x ∈ R : x < a} ;]a,+∞[ = {x ∈ R : a < x} ;]−∞,+∞[ = R.






Caractérisation des intervalles

Proposition

Soit I ⊂ R. I est un intervalle si et seulement si

∀x ,y ∈ I,(x ≤ y ⇒ [x ,y ]⊂ I) (∗)

Preuve. La condition est manifestement nécessaire. Inversement si(∗) est satisfaite, alors en utilisant la définition des bornes supérieureet inférieure, on peut écrire si I 6= /0 :

]inf I,sup I[⊂ I ⊂ [inf I,sup I]⊂ R

Donc I est un intervalle. Si I = /0, alors on peut considèrer I comme unintervalle ouvert : I = ]0,0[.






Définition

On dit qu’une partie A de R est dense dans R si entre deux réelsdistincts, il existe au moins un élément de A :

∀x ,y ∈ R,x < y ,∃a ∈ A,x < a < y .

Théorème (Densité de Q dans R)

Entre deux réels distincts, il existe au moins un rationnel (ou encore, Qest dense dans R).

Preuve. Soient x et y deux réels tels que x < y . Par la propriétéd’Archimède, on dispose d’un entier naturel n, tel que 1 < n(y− x).Soient m = E(nx) et r = (m + 1)/n ; On a alors : m ≤ nx < m + 1,donc m

n ≤ x < m+1n ≤ x + 1

n < x + y− x = y . Donc le rationnel r estcompris entre x et y .






Théorème (Densité de R\Q dans R)

Entre deux réels distincts, il y a au moins un nombre irrationnel (ouencore, R\Q est dense dans R).

Preuve. Soient x ,y ∈ R,x < y . Par la densité de Q dans R, il exister1, r2 ∈Q tels que x < r1 < r2 < y . On en déduit, puisque 1 <

√2 < 2,

que :

x < r1 = (r2− r1) + (2r1− r2) <

ρ︷︸︸︷(r2− r1)

√2 + 2r1− r2 <

2(r2− r1) + 2r1− r2 = r2 < y

On a ρ /∈Q (sinonρ−2r1 + r2

r2− r1=√

2 ∈Q ). Donc il y a au moins un

irrationnel entre x et y .






ExerciceMontrer qu’entre deux réels distincts, il y a une infinité de rationnels etune infinité d’irrationnels.

Théorème (Sous-groupes de (R,+))

Soit H un sous-groupe de (R,+). Alors H est soit dense dans R, soitil est discret (i.e. H est de la forme H = aZ où a ∈ R+ ).

Preuve. Si H = {0}, alors H = 0 ·Z est discret. Supposons donc queH n’est pas réduit à {0} et posons H∗+ = H ∩R∗+. On a alors H∗+minoré par 0 et H∗+ 6= /0 (Justifier !). Soit a = infH∗+. Deux cas sontpossibles :1ier cas : a > 0. Montrons que dans ce cas, H = aZ. Et pourcommencer, montrons d’abord que a ∈ H.






puisque a = infH∗+ < 2a, on peut trouver y ∈ H∗+ tel que a≤ y < 2a.Si a < y , il existerait z ∈ H∗+ tel que a < z < y < 2a. On aurait alors

0 <

∈H︷︸︸︷y− z < a. D’où la contradiction. Donc y = a ∈ H et a ·Z⊂ H.

Inversement, soit x ∈ H et soit m = E(x/a). Comme0≤ x−ma < a = infH∗+, on en déduit que x = ma ∈ a ·Z. DoncH ⊂ a ·Z et H = a ·Z.2eme cas : a = 0. On va montrer que dans ce cas, H est dense dans R.Soient x ,y deux réels tels que x < y . On a 0 = infH∗+ < y− x , donc ilexiste z ∈ H tel que 0 < z < y− x . Posons m = E(x/z). On a alors :

0 < (m + 1)z− x ≤ z < y− x ⇒ x <

∈H︷︸︸︷(m + 1)z < y ⇒]x ,y [∩H 6= /0

Donc H est dense dans R.






Existence de radicaux arithmétiques

Théorème

Pour tout x ∈ R∗+, et pour tout m ∈ N∗, il existe un et un seul y ∈ R∗+,

tel que ym = x. y s’appelle la racine me de x, notée m√

x ou x

1m .

Preuve. Si ym1 = ym

2 , yi > 0, i = 1,2, alors0 = (y1− y2)(ym−1

1 + . . .+ ym−12 ). Donc y1 = y2. D’où l’unicité.

Pour établir l’existence, on considère A = {a ∈ R+/am ≤ x}. On a :A 6= /0 (car 0 ∈ A), et A est majorée. En effet, soit n un entier tel quex < n (propriété d’Archimède) ; on a alors pour tout a ∈ A :

am ≤ x < n ≤ nm.

Donc a≤ n et A est majoré par n. Soit y = supA.Brahim Boussouis Le corps des nombres réels





Supposons par l’absurde que x < ym. Soit n ∈ N∗ tel que ny > 1. Ona :

(y− 1n

)m = ym−mym−1

n+

m(m−1)

2ym−2

n2 − . . .+(−1)m

nm

= ym− 1n

[mym−1− m(m−1)

2ym−2

n+ . . .]

≥ ym− 1n

[mym−1 +m(m−1)

2ym−2 + . . .]

= ym− 1n

[(y + 1)m− ym]

Donc si n > max

(1y,

(y + 1)m− ym

ym− x

), on aurait x < (y− 1

n)m. Or il

existe a ∈ A tel que 0 < y−1/n < a≤ y (cary = supAety−1/n < y ). On en déduit que (y−1/n)m ≤ am < x .D’où la contradiction.






Supposons maintenant que ym < x . En raisonnant commeprécèdemment, on peut montrer que :

(y +1n

)m ≤ ym +1n

[(y + 1)m− ym].

Donc en choisissant n >(y + 1)m− ym

x− ym , on aurait (y + 1/n)m ≤ x ,

donc y + 1/n ∈ A, ce qui est absurde puisque y + 1/n > y = supA.En conclusion ym = x , ce qui termine la démonstration du théorème.

A partir de l’unicité de la racine mi eme, on peut démontrer les formulessuivantes (x > o,y > 0,m,p ∈ N∗) :

m√

xy = m√

x · m√

ym√

x =mp√

xp

mp√

x =m√

p√

x






Proposition

Pour tous réels x et y, on a :

|xy | ≤ x2 + y2

2. (2)

Preuve. En effet, on a : x2 + y2−2 |xy |= (|x |− |y |)2 ≥ 0. D’oùl’inégalité cherchée. En voici une démonstration géométrique :

√ab

a b

a+b2

FIGURE : La moyenne géométrique de 2 réels positifs est plus petite que leurmoyenne arithmétique.






Proposition (Inégalité de Bernouilli)

Soit h un réel >−1 et n ∈ N∗. Alors, on a : (1 + h)n ≥ 1 + nh.

Preuve. Par récurrence (laissée en exercice).

Proposition (Inégalié de Cauchy-Schwarz)

Soient ai ,bi , i = 1, · · · ,n, des nombres réels. Alors, on a :∣∣∣∣∣ n

∑i=1

aibi

∣∣∣∣∣≤(

n

∑i=1

a2i

)1/2( n

∑i=1

b2i

)1/2

. (3)






Preuve. Le trinôme du second degré

T (x) =n

∑i=1

(ai + xbi)2 =

n

∑i=1

a2i + 2x

n

∑i=1

aibi +n

∑i=1

b2i est toujours positif,

donc son discriminant (réduit) ∆′ =

∣∣∣∣∣ n

∑i=1

aibi

∣∣∣∣∣2

−(

n

∑i=1

a2i

)(n

∑i=1

b2i

)est

négatif. D’où l’inégalité 3.

ExerciceMontrer que s’il y a égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz, alorssoit tous les bi sont nuls, soit il existe x ∈ R tel que pour touti ∈ {1, . . . ,n},ai = xbi .






Définition

La droite numérique achevée R est l’ensemble obtenu par adjonctionà R de deux éléments, notés +∞ et −∞, muni de la relation d’ordretotal obtenue en prolongeant l’ordre de R par les conditions

∀x ∈ R, −∞ < x < +∞

Par définition, +∞ (resp. −∞) est le plus grand (resp. le plus petit)élément de R. Si A est une partie de R, alors on écrit :

supA = +∞ si A est non vide et majoré.

infA =−∞ si A est non vide et minoré.

sup /0 =−∞ et inf /0 = +∞.






On peut prolonger partiellement à R la structure algèbrique de R enposant : v

+ -∞ y ∈ R +∞

-∞ -∞ -∞ ? ?x ∈ R -∞ x + y +∞

+∞ ? ? +∞ +∞

× -∞ y ∈ R∗− 0 y ∈ R∗+ +∞

-∞ +∞ +∞ ? ? -∞ -∞x ∈ R∗− +∞ xy 0 xy -∞

0 ? ? 0 0 0 ? ?x ∈ R∗+ -∞ xy 0 xy +∞

+∞ -∞ -∞ ? ? +∞ +∞

Il n’est pas possible de définir +∞ + (−∞) et 0× (±∞) de manièreque R devienne un anneau ordonné.


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Le corps des nombres réels