Embed Size (px)
Citation preview
Essai de 12 crédits
Couverture des pertes liées aux inondations au
Québec par le biais des « CAT-bonds »
Alexandre Têtu
21/03/2012
Essai effectué dans le cadre de la M. Sc. Ingénierie Financière
Directeur d’essai : Van Son Lai
Lecteur : Issouf Soumaré
1
Résumé
Dans cet essai, nous développons une méthodologie permettant de modéliser le risque de pertes suite
à une catastrophe dont le processus d’occurrence comporte une tendance haussière ainsi qu’un effet
saisonnier. Nous avons appliqué cette modélisation aux pertes subies dans le cadre du programme
d’aide financière en cas d’inondation du gouvernement du Québec. Les résultats que nous obtenons
lors du calibrage de notre fonction d’intensité du processus de Poisson non-homogène confirment la
présence d’une tendance à la hausse du nombre d’occurrences d’inondations ainsi qu’un effet
cyclique de type saisonnier. Selon cette modélisation, nous évaluons le niveau de couverture qui
aurait occasionné les coûts les plus faibles pour le gouvernement durant les 19 dernières années.
Nous démontrons que le rendement des 19 dernières années de « CAT-Bonds » portant sur les
inondations au Québec comparé au rendement du S&P/TSX, surtout dans le cas de l’inclusion de
l’aide fédérale, aurait été très intéressant pour les investisseurs s’ils avaient exigés une prime de
risque de 2.69 fois l’espérance des pertes. En se basant sur la littérature existante, nous soulignons
que le moment d’émission d’obligations catastrophes est un facteur important dans le niveau de
prime exigé par le marché. Nous utilisons les niveaux de primes de risque observés historiquement
pour fournir une échelle de prix pour l’émission d’obligations catastrophes qui permettrait au
ministère de la sécurité publique de se couvrir contre les pertes liées aux inondations durant les
prochaines années.
2
Avant-propos
Cet essai est la dernière étape à franchir dans mon cheminement pour l’obtention du titre de maître ès
sciences (M. Sc.). L’objectif d’entreprendre le programme en ingénierie financière était de réorienter
ma carrière pour trouver ma passion professionnelle. Quoi que la décision originale de me réorienter
ne fût pas prise facilement, je peux maintenant affirmer que ce fut la meilleure décision de ma vie.
Au cours des dernières années, j’ai reçu beaucoup de support, support sans lequel ce retour aux
études n’aurait jamais pu être un tel succès. Quoi que cet avant-propos puisse sembler long pour un
essai de maîtrise, les remerciements qui suivent s’appliquent non seulement à la réalisation de cet
essai, mais aussi au cheminement particulier qui m’a mené ici. Je tiens à remercier :
• L’Institut de finance mathématique de Montréal (IFM2) pour leur support financier. Celui-ci
permet à plusieurs étudiants comme moi de se concentrer sur leurs études de 2e ou 3e cycle.
• Mon directeur d’essai M. Van Son Lai et le Fonds Conrad-Leblanc pour m’avoir appuyé dans la
réalisation de cet essai.
• M. Sylvain Tremblay du ministère de la sécurité publique pour son aide.
• Mme. Marie-Claude Beaulieu, mes professeurs, mes collègues ainsi que mes amis pour leur aide,
leurs réponses à mes nombreuses questions et leur support moral.
• Mes parents qui m’ont toujours supporté. Ma mère, pour m’avoir transmis son amour pour les
chiffres. Mon père, pour avoir essayé de m’inculquer la patience. Ce sont, sans aucun doute, les
deux choses qui m’ont été le plus utiles durant les derniers mois.
• Dre Catherine Cournoyer, merci d’être qui tu es et d’égayer chacune de mes journées.
Je tiens à remercier tout spécialement ma sœur Isabelle et mon frère Philippe pour être aussi
passionnés dans leur travail et pour ne jamais se laisser imposer de barrière. Sans votre exemple, je
n’aurais jamais eu le courage de réorienter ma carrière vers la finance, un domaine qui me permettra
de me dépasser avec une passion semblable à la vôtre. Je suis fier de savoir que vous servez de
modèle pour vos proches, vos amis ainsi que pour vos collègues.
Finalement, j’espère que le présent travail permettra de faire un pas en avant vers une meilleure
gestion du risque d’inondations au Québec.
Bonne lecture!
3
Table des matières
Résumé ............................................................................................................................................................... 1
Avant-propos ..................................................................................................................................................... 2
Liste des figures ................................................................................................................................................. 4
Liste des tableaux .............................................................................................................................................. 4
1 - Contexte et problématique ........................................................................................................................... 6
2 - Structure de l’essai ....................................................................................................................................... 7
3 - Définition des obligations catastrophes ........................................................................................................ 8
3.1 - Exemple simple de flux monétaires provenant d’un « CAT-Bond » à taux de coupon fixe : ........... 10
4 - Revue de la littérature pertinente .............................................................................................................. 12
4.1 - Modélisation du risque catastrophique .............................................................................................. 12
4.2 - Modèles d’évaluation ........................................................................................................................ 13
4.3 - Casse-tête de la prime de risque ........................................................................................................ 15
5 - Hypothèses .................................................................................................................................................. 17
6 - Qualité des données .................................................................................................................................... 18
7 - Méthodologie .............................................................................................................................................. 22
7.1 - Ajustement des pertes historiques en dollars de 2011 ....................................................................... 22
7.2 - Modélisation du processus d’occurrence .......................................................................................... 25
7.3 - Distribution des pertes ....................................................................................................................... 28
7.4 - Pertes maximales probables .............................................................................................................. 32
8 - Évaluation ................................................................................................................................................... 33
8.1 - Modèle analytique actuariel .............................................................................................................. 33
8.2 - Validation du modèle analytique....................................................................................................... 39
8.3 - Modèle Monte-Carlo ......................................................................................................................... 41
8.4 - Analyse historique ............................................................................................................................. 44
8.5 - Effet de la prime de risque ................................................................................................................ 47
8.6 - Effet de l’aide fédérale ...................................................................................................................... 50
8.7 - Attrait pour les investisseurs ............................................................................................................. 54
8.8 - Couverture pour les prochaines années ............................................................................................. 57
9 - Conclusion .................................................................................................................................................. 59
Bibliographie ................................................................................................................................................... 61
Annexe A – Définition des distributions utilisées ............................................................................................ 64
Log-normale .............................................................................................................................................. 64
4
Gamma ...................................................................................................................................................... 64
Exponentielle ............................................................................................................................................. 64
Log-logistique ........................................................................................................................................... 65
Weibull ...................................................................................................................................................... 65
Pareto généralisée ...................................................................................................................................... 65
Burr ............................................................................................................................................................ 66
Annexe B – Carte des régions administratives................................................................................................ 67
Annexe C – Données des indices par région .................................................................................................... 67
Liste des figures
Figure 1 – Schéma de fonctionnement des obligations catastrophes ................................................................ 10
Figure 2 – Prime de risque vs espérance des pertes .......................................................................................... 15
Figure 3 – Prix d’un indice de CAT-Bonds avant et après le 11 septembre 2001 ............................................. 16
Figure 4 – Prime de risque en fonction de l’année et de la probabilité d’événement ........................................ 17
Figure 5 – Histogramme des occurrences d’inondations selon les saisons ....................................................... 26
Figure 6 – Nombre d’occurrences selon le type de Processus de Poisson ........................................................ 28
Figure 7 – Fonction de la moyenne excédentaire des données historiques ....................................................... 29
Figure 8 – Fonction de la moyenne excédentaire des différentes distributions étudiées ................................... 31
Figure 9 – Fonction de la moyenne excédentaire des distributions log-normale et de Pareto généralisée ........ 31
Figure 10 – Valeur maximale des pertes annuelles en fonction de la probabilité de dépassement ................... 33
Figure 11 – Pertes historiques liées aux inondations et coûts annuels pour une couverture complète de 1993 à 2011 ................................................................................................................................................................... 45
Figure 12 – Coûts actuariels historiques pour différents niveaux de déductible ............................................... 46
Figure 13 – Coûts historiques d’une couverture complète selon le ratio de la prime de risque ........................ 47
Figure 14 – Coûts historiques selon le niveau du déductible (prime de risque = 2.69) ..................................... 49
Figure 15 – Coûts annuels moyens historiques en fonction du déductible (prime de risque=2.69) .................. 50
Figure 16 – Comparaison des pertes et coûts de couverture complète selon l’inclusion ou l’exclusion de l’aide fédérale .............................................................................................................................................................. 52
Figure 17 – Coûts annuels moyens historiques en fonction du déductible (incluant l’aide fédérale) .............. 53
Figure 18 – Rendements historiques des « CAT-Bonds » selon déductible (sans aide fédérale, prime de risque=2.69) ....................................................................................................................................................... 54
Figure 19 – Rendements historiques des « CAT-Bonds » selon déductible (avec aide fédérale, prime de risque=2.69) ....................................................................................................................................................... 55
Figure 20 – Évolution de 100$ investis au 1er décembre 1992 (prime de risque=2.69) ................................... 57
Figure 21 – Coûts par année de couverture en fonction de la maturité pour différents déductibles ................. 58
Figure 22 – Coûts de couverture en fonction de l’année couverte pour différents déductibles......................... 58
Figure 23 – Carte des régions administratives du Québec ................................................................................ 67
5
Liste des tableaux
Tableau 1 – Inondations ayant causé plus de 300 000$ de dommages au Québec depuis 1992 ....................... 19
Tableau 2 – Pertes historiques ajustées en dollars de 2011 ............................................................................... 23
Tableau 3 – Statistiques de tests des distributions (Calibration selon une procédure de minimisation du A2) . 30
Tableau 4 – Comparaison de l’évaluation par modèle analytique et par modèle Monte-Carlo ........................ 41
Tableau 5 – Coûts actuariels historiques pour différents niveaux de déductible ............................................... 46
Tableau 6 – Coûts historiques d’une couverture complète selon la prime de risque ......................................... 48
Tableau 7 – Coûts historiques pour différents niveaux de déductible (prime=2.69) ......................................... 49
Tableau 8 – Formule de partage des coûts par habitant du gouvernement fédéral ............................................ 51
Tableau 9 – Exemple de partage des coûts par habitant du gouvernement fédéral ........................................... 51
Tableau 10 – Coûts historiques selon l’inclusion ou l’exclusion de l’aide fédérale (prime de risque=2.69) .... 52
Tableau 11 – Coûts historiques avec l’aide fédérale (prime de risque=2.69, notionnel=66 millions) .............. 53
Tableau 12 – Rendement annuel moyen historique et corrélation selon déductible (prime de risque=2.69) .... 55
Tableau 13 – Ratio de Sharpe pour les rendements annuels historiques (prime de risque=2.69) ..................... 56
Tableau 14 – Données des indices par région ................................................................................................... 67
6
1 - Contexte et problématique
Les effets de l'activité humaine sur la planète sont difficilement quantifiables. Cependant, un des
effets de notre existence et un sujet qui est de plus en plus d'actualité est le réchauffement planétaire.
En fait, en même temps que les températures moyennes annuelles grimpent et que la fréquence des
catastrophes naturelles augmente, les discussions et la sensibilisation sur le réchauffement climatique
de la planète Terre s’intensifient. Après tout, les enjeux environnementaux, sociaux, politiques et
économiques sont majeurs en ce qui concerne le réchauffement planétaire et le problème n’est pas
près d’être réglé. Dans son rapport déposé en 2007, le Groupe d'Experts Intergouvernemental sur
l'Évolution du Climat (GIEC), explique les effets déjà ressentis du réchauffement planétaire et ils
s’attendent à ce que les effets de ce dernier soient encore plus importantes, voir plus coûteuses dans
l’avenir (GIEC (2007)). Le sujet est d'une grande importance pour les compagnies d’assurances et les
gouvernements dont les finances sont grandement affectées lors de la survenue d’un désastre naturel
sur leur territoire. Par exemple, le Bureau d’Assurance du Canada (BAC) (2008) rapporte que le
montant des réclamations suite à des catastrophes naturelles dépassait les 900 millions de dollars
pour l’année 2005.
Traditionnellement, les compagnies d’assurances et les gouvernements se tournaient vers la
réassurance pour couvrir leur exposition au risque d’occurrence d’une catastrophe naturelle. Si l’on
tente de définir ce qu’est la réassurance, la définition la plus simple est que c’est l’assurance des
assureurs. En fait, une compagnie d’assurances qui s’estime trop fortement exposée à un risque de
désastre dans une certaine région, entrera dans un contrat avec un réassureur. Ce contrat lui permettra
de céder une partie du risque auquel elle était exposée en échange d’une prime. Ce processus fait en
sorte que les assureurs peuvent maintenir leur exposition au risque de catastrophe à un niveau qu’ils
jugent acceptable. La firme qui sert de réassureur est normalement une firme spécialisée en
réassurance et elle diversifie son risque géographiquement en ayant des contrats semblables avec des
compagnies situées aux quatre coins du monde.
Dans les deux dernières décennies, vu l’augmentation des désastres et de la valeur des biens à
couvrir, les compagnies de réassurance ont, d’un côté, augmenté les primes exigées pour couvrir
contre le risque d’une catastrophe, et de l’autre côté, diminué le niveau de couverture contre les
catastrophes qu’ils sont prêts à offrir. Devant une telle situation, les ingénieurs financiers ont mis sur
le marché de nouveaux instruments permettant aux compagnies et aux gouvernements de se couvrir
contre le risque d’une perte très élevée en capital dû à une catastrophe naturelle. Dans les années
7
1990, après les pertes gigantesques occasionnées par le tremblement de terre en Californie et le
passage de l’ouragan Andrew, les compagnies d’assurances ont commencé à couvrir une partie de
leur risque en émettant sur le marché les premières obligations catastrophes.
Au Québec, ainsi qu’au Canada, les inondations constituent la catastrophe naturelle ayant la plus
haute fréquence d’occurrence (BAC (2008)). Comme les propriétaires ne peuvent pas souscrire
d’assurance contre les dommages causés par des inondations, le gouvernement provincial a créé un
programme d’aide financière pour aider les propriétaires après les inondations. Ce programme
provincial, soutenu par le fédéral lors des catastrophes naturelles de plus grande envergure, peut
coûter très cher lors de catastrophes telles que les inondations au Saguenay en 1996. Pour éliminer
ces dépenses, le gouvernement désire que le risque d’inondations devienne assurable pour les
propriétaires. Cependant, comme le stipulent SANDINK, KOVACS, OULAHEN &
MCGILLIVRAY (2010), les compagnies d’assurances risquent de refuser d’assurer les propriétés
qui se trouvent dans des zones trop risquées ou bien de leur imposer des primes trop élevées. Ainsi,
le programme d’aide financière en cas d’inondations ne peut être totalement aboli (« Pour garantir la
viabilité économique d’un programme d’assurance contre les inondations, il peut être nécessaire
d’exclure certains propriétaires à très haut risque »).
Une des façons dont le gouvernement pourrait contrôler les dépenses liées à son programme d’aide
financière, sans toutefois le modifier, serait de transférer une partie du risque au marché des
investisseurs. En effet, en émettant une obligation catastrophe, mieux connue sous le nom de « CAT-
Bond », portant sur les inondations, le gouvernement atteindrait cet objectif.
Avant de pouvoir transférer une partie de son risque vers les investisseurs, ou encore de le transférer
à une compagnie d’assurance, le gouvernement du Québec (ou la compagnie d’assurance) doit être
en mesure d’évaluer le risque lié aux dommages causés par des inondations. Cet essai tente donc de
répondre à ce besoin en évaluant des « CAT-Bonds » couvrant le risque de pertes suite à des
inondations au Québec.
2 - Structure de l’essai
Le but de l’essai est d’évaluer la couverture des pertes suite à des inondations au Québec par le biais
de « CAT-bonds ». En plus d’atteindre cet objectif, nous répondrons à plusieurs questions :
8
Comment modéliser le risque de pertes liées aux inondations? Comment évaluer la valeur
d’obligations catastrophes? Quels impacts ont les politiques fédérales liées aux dédommagements en
cas de catastrophe sur l’évaluation? Quels sont les attraits des « CAT-bonds » pour les investisseurs?
Quel est l’impact des investisseurs dans le coût d’une couverture par le biais de « CAT-bonds »?
Afin de répondre à ces questions, nous présentons un modèle d’évaluation de « CAT-bonds » portant
sur des catastrophes ayant une tendance d’occurrence à la hausse et un effet saisonnier. La
méthodologie utilisée pour modéliser le risque de pertes liées aux inondations au Québec est
expliquée et utilisée conjointement avec le modèle d’évaluation des « CAT-bonds ».
Cet essai est structuré de la manière suivante. La section 3 présente les obligations catastrophes avant
qu’une revue de la littérature pertinente soit effectuée dans la section 4. Dans la section 5, nous
définissons les hypothèses que nous avons posées alors que dans la section 6, nous élaborons sur la
qualité des données que nous avons utilisées. La section 7 décrit la méthodologie utilisée pour
modéliser le risque de pertes liées aux inondations au Québec. Dans la section 8, nous développons
tout d’abord un modèle analytique d’évaluation des « CAT-bonds » que nous comparons avec un
modèle Monte-Carlo. Ensuite, en utilisant le modèle Monte-Carlo, nous faisons une analyse
historique des coûts de couverture comparativement aux pertes encourues par le passé dans le cadre
du programme d’aide financière lors d’un sinistre du gouvernement du Québec. L’analyse historique
est reprise pour étudier l’effet de la variation de la prime de risque exigée par le marché ainsi que
l’effet de l’inclusion de l’aide fédérale en cas de sinistre. Nous concluons cette section en discutant
de l’attrait pour les investisseurs de telles obligations ainsi qu’en faisant l’évaluation d’une
couverture pour les prochaines années par le biais de « CAT-bonds ». La section 9 conclut l’essai.
3 - Définition des obligations catastrophes
Les obligations catastrophes (connus sous le nom de « CAT-Bonds » sont normalement émises par
des compagnies d’assurances, de réassurance ou encore par des gouvernements désireux de
transférer à des investisseurs une partie de leur exposition au risque d’occurrence d’une catastrophe
naturelle. Le fonctionnement d’une de ces obligations peut être relativement simple si la structure de
celle-ci l’est. En fait, dans son ensemble, l’opération d’émission de « CAT-Bonds » correspond à une
titrisation des risques de catastrophes. Lors de l’émission, le notionnel, payé par les investisseurs
pour s’acquérir d’une des obligations, est mis sous fiducie dans un SPV (« Special Purpose
Vehicle ») qui est une entité complètement séparée de la compagnie émettrice. Ceci protège les
9
investisseurs contre le risque de défaut de l’émetteur. Si aucune catastrophe naturelle couverte par
l’obligation ne se produit avant la maturité de celle-ci, les investisseurs reçoivent les coupons
périodiquement et, à l’échéance, ils reçoivent le paiement du principal. Cependant, si l’évènement
déclencheur sous-jacent au « CAT-Bond » se produit, ils perdent une partie ou la totalité de leur
investissement. Par exemple, si l’obligation porte sur des ouragans en Floride causant plus de 100
millions de dollars en dommages et qu’il y a un ouragan qui cause pour 150 millions de dollars de
pertes, tout dépendamment de la structure du « CAT-Bond », la compagnie émettrice pourra aller
chercher 50 millions de dollars ou plus sur le notionnel dans le compte en fiducie. Les coupons
versés aux investisseurs seront donc moindres ou nuls, tout comme le remboursement du notionnel à
la maturité de l’obligation. Il existe différents types d’évènements déclencheurs lors de l’occurrence
d’une catastrophe couverte par une obligation catastrophe. Les principaux types sont :
1. Le montant des pertes subies par l’émetteur.
2. Le montant de pertes calculées par un modèle numérique selon les paramètres de la catastrophe ayant
eu lieu.
3. L’utilisation d’un indice comme le CHI (« CME Hurricane Index »)1. Par exemple, si un ouragan fait
monter cet indice jusqu’à un certain seuil, l’obligation est déclenchée.
4. Le type paramétrique. Par exemple, dans le cas d’un tremblement de terre, si sa magnitude atteint un
certain seuil sur l’échelle de Richter, l’obligation sera déclenchée.
1 Le CHI est un indice qui décrit le potentiel de dommage pouvant être causé par un ouragan atlantique. Il sert de sous-
jacent pour la négociation de contrats futures et d’options sur le Chicago Mercantile Exchange.
SPV (special purpose
vehicle) Investisseurs
Émetteur (Assureur/Réassureur)
Actifs à court terme &
peu risqués
Prix d’achat à l’émission
Notionnel à maturité
Prix d’achat à l’émission
Coupons
Flux dépendants de l’occurrence de catastrophes
Pertes couvertes par l’obligation
Fonds restants à maturité
Prix d’achat à l’émission
10
Figure 1 – Schéma de fonctionnement des obligations catastrophes
Ces obligations peuvent être attrayantes pour compléter le portfolio d’un investisseur. D’un côté,
elles offrent un taux de rendement plus élevé que les obligations gouvernementales côtées AAA étant
donné le risque qui leur est associé. De l’autre côté, ces produits sont peu ou pas corrélés avec les
marchés (LITZENBERGER, BEAGLEHOLE, & REYNOLDS (1996)) puisqu’en temps de crise
économique, leur rendement ne diminuera pas s’il ne se produit pas de catastrophe naturelle. En fait,
ils sont avantageux même dans le cas de portefeuilles déjà bien diversifiés (CONSTANTIN (2011)).
Cependant, pour que cet outil soit vraiment un outil de diversification complètement indépendant du
marché, il faudrait que le marché ne soit pas du tout affecté par l’occurrence d’une catastrophe
naturelle affectant le « CAT-Bond ». Le but de la diversification étant de contrôler le risque de perte
de valeur d’un portefeuille, l’observation des réactions des marchés aux dernières catastrophes,
comme le tremblement de terre au Japon en 2011 et l’ouragan Katrina en Nouvelle-Orléans aux
États-Unis en 2005, nous suggère que cette hypothèse d’absence de corrélation n’est pas
nécessairement valide. Il serait intéressant de se concentrer sur cette problématique dans des travaux
futurs, mais celle-ci ne constitue pas le sujet abordé dans le présent travail.
3.1 - Exemple simple de flux monétaires provenant d’un « CAT-Bond » à taux de coupon fixe :
L’exemple montre l’évolution des flux monétaires du point de vue de l’investisseur qui achète le
« CAT-Bond » dans le cas où un évènement déclencheur se produit durant le 30e mois de la vie de
l’obligation.
Caractéristiques :
• Investisseur achète pour 100MM de notionnel d’une obligation catastrophe portant sur les
tornades au Texas aux États-Unis.
• Le terme de l’obligation est de 5 ans (60 mois).
11
• Le taux de coupon est de 10%.
• Les paiements de coupons sont mensuels.
• L’émission est faite à la valeur au pair.
Flux monétaires
• Au temps t=0, l’investisseur débourse 100MM pour acheter l’obligation.
• À la fin de chaque mois, durant les 29 premiers mois, l’investisseur reçoit : 10%12 x100MM = 0.833MM
• Durant le 30e mois, une tornade cause pour 60 MM de dommages dans la région couverte par
le « CAT-Bond ». Le notionnel de l’investisseur est donc diminué de 60 MM.
• À la fin du 30e mois et à chaque fin de mois par la suite jusqu’à la maturité de l’obligation
(comme il ne se produit pas une autre tornade), l’investisseur reçoit : 10%12 x40MM = 0.333MM
• À la maturité de l’obligation, l’investisseur reçoit le dernier coupon de 0.333 MM ainsi qu’un
paiement de notionnel de 40 MM.
12
4 - Revue de la littérature pertinente
4.1 - Modélisation du risque catastrophique
Les 2 aspects qui influencent grandement les résultats obtenus dans le présent essai sont le choix de
la structure du « CAT-Bond » et le choix du modèle d’évaluation. Cependant, avant de se lancer dans
une revue des modèles d’évaluation développés dans la littérature, il faut comprendre qu’une des
grandes difficultés de l’évaluation des « CAT-Bonds », est la modélisation de leur processus
d’occurrence. La littérature nous permet de constater l’évolution des processus utilisés pour
modéliser l’occurrence de catastrophes naturelles. Par exemple, CUMMINS & GEMAN (1995)
utilisent un processus de Poisson avec une amplitude constante pour modéliser les sauts
représentants l’occurrence de catastrophes. Assumer un montant constant de pertes, lors de chaque
arrivée d’un processus de Poisson, n’est pas valide dans le contexte d’un désastre naturel. Après tout,
toutes les catastrophes naturelles passées ont occasionné des montants de pertes différents. D’autres
auteurs utilisent une approche un peu plus réaliste. EMBRECHTS & MEISTER (1997) utilisent un
processus de Poisson composé mixte dont la fréquence d’arrivée est stochastique. BARYSHNIKOV,
MAYO, & TAYLOR (1999), quant à eux, utilisent un processus de Poisson doublement composé
pour modéliser la catastrophe sous-jacent au « CAT-Bonds ». LOUBERGE, KELLEZI, & GILLI
(1999) utilisent une distribution log normale pour les amplitudes des sauts alors que DASSIOS &
JANG (2003) utilisent le processus stochastique de Poisson double, aussi appelé processus de Cox.
La littérature s’entend donc sur la modélisation de l’occurrence de catastrophes comme un processus
de sauts dont les occurrences suivent un processus de Poisson et dont les amplitudes suivent une
distribution appropriée au type de catastrophe.
Comme il existe différents types de catastrophes, le processus de Poisson doit être adapté à la classe
de catastrophes étudiée. La littérature plus récente démontre les modifications pouvant être
apportées au processus utilisé pour tenir compte de différents facteurs qui entrent en jeu lorsqu’on
parle d’inondations. Par exemple, l’article de LIN, CHANG, & POWERS (2009) propose un
processus stochastique de Poisson double pour tenir compte de la probabilité d’augmentation de la
fréquence d’occurrence des catastrophes naturelles dues au réchauffement climatique de la planète.
Tout récemment, HAINAUT (2010) a contribué à ce sujet en publiant un article dans lequel il
propose un processus tenant en compte l’effet saisonnier de certains désastres; comme c’est le cas
pour les inondations, les ouragans ou les tornades. Il modélise donc l’événement déclencheur du
13
« CAT-Bond » avec un processus de Poisson dont l’intensité est la somme d’un processus d’Ornstein
Uhlenbeck et d’une fonction périodique. L’amplitude, quant à elle, est définie comme une variable
aléatoire positive indépendante du processus utilisé pour l’intensité.
4.2 - Modèles d’évaluation
La littérature propose différentes approches et différents modèles pour évaluer les « CAT-Bonds ». À
la base de ces approches se trouvent d’importantes hypothèses dont MERTON (1973) fut
l’instigateur. MERTON (1976) nota que lorsque les marchés financiers sont confrontés à un
événement rare, ils sont incomplets. Il proposa une méthode d’évaluation de réclamations
contingentes dans laquelle le risque d’occurrence d’un événement rare serait complètement
diversifiable et pourrait donc être traité comme un risque non-systématique qu’il n’est pas utile
d’évaluer. Plusieurs auteurs, dont DASSIOS & JANG (2003), qui proposent des modèles
d’évaluation dans la littérature, réutilisent cette hypothèse en assumant que le marché de la
réassurance est suffisamment efficient pour diversifier le risque de survenue de la catastrophe.
Cependant, certains auteurs font remarquer que ceci n’est pas applicable dans toutes les situations, et
comme le notent DUAN & YU (2005), le risque de catastrophe ne peut pas être couvert si
l’occurrence d’une telle catastrophe aura des répercussions sur toutes les facettes de l’économie. De
plus, IBRAGIMOV, JAFFEE & WALDEN (2009) stipulent que l’hypothèse d’efficience du marché
de la réassurance ne peut pas être satisfaite dans les marchés financiers puisque les assureurs se
spécialisent normalement dans des régions et des types de couvertures spécifiques, ce qui les laisse
grandement exposés au risque d’occurrence de certaines catastrophes. Ces auteurs notent que pour
que le risque de catastrophe devienne diversifiable dans cette situation, il faudrait une coordination
d’un très grand nombre d’assureurs et de réassureurs. Ils apportent le fait que même si une
catastrophe n’aurait pas de répercussion sur l’économie en général, son risque peut quand même être
non diversifiable si sa distribution de probabilités d’occurrence a une queue gauche épaisse. Ceci
étant dit, la majorité des auteurs développe leur modèle en assumant que l’hypothèse de risque
diversifiable est valide.
Discutons maintenant les différentes approches et modèles utilisés dans la littérature. Une des
approches utilisées est celle de l’absence d’arbitrage. Les auteurs, comme DASSIOS & JANG
(2003), qui utilisent cette approche, assument que le marché des « CAT-Bonds » n’offre pas de
possibilité d’arbitrage et c’est sous cette hypothèse qu’ils évaluent leurs prix selon le processus qu’ils
ont défini pour la catastrophe sous-jacente. JARROW (2010) développe son modèle analytique
14
d’évaluation en utilisant cette hypothèse pour assumer qu’il existe une mesure martingale
équivalente qui fait en sorte que les prix des obligations zéro-coupons gouvernementales et les prix
des « CAT-Bonds » sont martingales.
La faiblesse des méthodes basées sur l’absence d’arbitrage est le fait qu’on ne peut pas trouver
d’instruments financiers sur le marché pour répliquer les paiements d’un « CAT-Bonds ». La
conclusion, comme le notent GALEOTTI, GURTLER & WINKELVOS (2012), est donc que le
marché est incomplet lorsqu’on parle de « CAT-Bonds ». Alors, on ne peut pas trouver de mesure
martingale équivalente unique et en dériver un prix unique.
GALEOTTI, GURTLER & WINKELVOS (2012) eux, utilisent l’approche actuarielle en relâchant
l’hypothèse de marché complet. Leur méthode consiste à l’évaluation de la prime exigée lors de
l’émission de « CAT-Bonds » en tenant compte de l’espérance de la perte pour l’émetteur et en
tenant aussi compte des dépenses associées à la réassurance. Ce type de modèle essaie donc
d’expliquer les primes vues lors des dernières émissions de « CAT-Bonds ». Par exemple, WANG
(2004) apporte une explication mathématique aux primes en utilisant un modèle de transformation
des probabilités. Les travaux de LANE & MAHUL (2008) quant à eux, analysent plus de 250
émissions de « CAT-Bonds » ainsi que les facteurs affectant le prix du risque de catastrophe, tel que
le profil de risque de la transaction, pour nous donner un prix moyen du marché, au long terme, pour
le risque de catastrophe, se situant à 2.69 fois l’espérance de pertes.
L’avantage des approches suivantes est qu’elles sont valides même en présence d’un marché
incomplet. Comme le notent PERRAKIS & BOLOOR FOROOSH (2011), une autre approche
utilisée est celle d’assumer un modèle d’équilibre général. Cependant, cette approche demande de
fortes hypothèses comme celle de l’existence d’un investisseur représentatif. L’investisseur
représentatif sera souvent représenté par une fonction d’utilité averse au risque. Le problème avec ce
type d’évaluation est que le prix qui en découlera sera dépendant de la fonction d’utilité utilisée.
PERRAKIS & BOLOOR FOROOSH (2011), apportent à la littérature en tentant de remédier à
l’utilisation d’hypothèses trop fortes d’un modèle d’équilibre général par l’utilisation de la
dominance stochastique pour évaluer les requêtes contingentes. Cette méthode n’a pas besoin
d’utiliser l’hypothèse d’un investisseur représentatif ou une fonction d’utilité. Elle repose plutôt sur
l’hypothèse qu’il existe un groupe d’investisseurs qui ont dans leur portefeuille le « CAT-Bond » à
évaluer, d’autres titres qui lui sont indépendants et, finalement, l’actif sans risque.
15
4.3 - Casse-tête de la prime de risque
Comme le marché du risque catastrophique n’est pas complet, les obligations catastrophes
comportent une prime de risque dont le niveau est préalablement très difficilement estimable.
BANTWAL & KUNREUTHER (1999) montrent que les primes de risques élevées des obligations
catastrophes, beaucoup plus élevées que les obligations spéculatives équivalentes, sont dues à
plusieurs facteurs qui font en sorte que les investisseurs institutionnels ne touchent pas à ce marché.
En fait, parmi les facteurs autres que la méconnaissance des investisseurs envers ce nouveau type
d’actif, on retrouve l’aversion à l’ambiguité, l’aversion myope au risque ainsi que les coûts fixes liés
à l’éducation des investisseurs. La Figure 2 (CUMMINS (2008)) montre que les primes de risque
exigées par les investisseurs entre 2001 et 2007 pour les « CAT-Bonds » se sont situées entre 2 et 6
fois l’espérance des pertes.
Figure 2 – Prime de risque vs espérance des pertes
Cependant, l’analyse de CUMMINS (2008) note que les écarts entre les obligations catastrophes et
les obligations spéculatives équivalentes semblent suivre une tendance à la baisse, ce qui laisse
présager des primes de risque plus basses dans le futur. FROOT (2008) donne des évidences que la
prime de risque pour le risque de catastrophe peut passer d’un ratio de 1 à 5 sur un contrat en
16
l’espace d’un an, s’il y a eu un événement du même type que celui correspondant au contrat. De plus,
le marché a déjà vu un ratio supérieur à 10. Il note que les primes de risque liées à un type de
catastrophe augmentent aussi après l’occurrence de catastrophes d’autres types. Par exemple, la
Figure 3 tirée de FROOT (2008) montre l’augmentation de la prime de risque sur différents « CAT-
Bonds » suite aux attaques terroristes du 11 septembre 2001. La Figure 4 tirée de FROOT (2001)
montre l’augmentation de la prime de risque suite à l’ouragan Andrew en 1992.
Figure 3 – Prix d’un indice de CAT-Bonds avant et après le 11 septembre 2001
17
Figure 4 – Prime de risque en fonction de l’année et de la probabilité d’événement
L’explication évidente et élaborée dans la littérature est, qu’après un gros évènement, il y a beaucoup
moins de capital disponible sur le marché du transfert du risque, ce qui emmène des primes plus
élevées. FROOT (2001) montre aussi, que pour un même risque de perte, plus l’occurrence d’un type
de catastrophe est rare et que l’amplitude des dégâts est élevée, plus le ratio de la prime de risque sur
l’espérance des pertes est élevé. La littérature montre donc que le sentiment des investisseurs envers
les catastrophes a une grande influence sur la prime de risque qu’ils exigent. En effet, le niveau de la
prime exigée est grandement affecté par une occurrence récente de catastrophe ainsi que par
l’amplitude d’une possible catastrophe future.
5 - Hypothèses
Dans le cadre du présent travail, nous faisons l’hypothèse déjà grandement utilisée dans la littérature
que l’occurrence des catastrophes suit un processus de Poisson. Le niveau des pertes sera considéré
comme indépendant du processus de Poisson et suivra une variable aléatoire dont la distribution sera
définie selon les données historiques.
18
Pour l’évaluation de l’obligation catastrophe, nous utilisons une approche actuarielle. Dans un
premier temps, nous examinons les valeurs avec l’hypothèse d’un marché parfait pour ensuite
relâcher cette hypothèse et examiner les valeurs selon les primes de risque vues historiquement sur le
marché. En effet, même si le marché n’est pas encore complet en ce qui a trait aux « CAT-Bonds »,
nous considérons qu’il le sera dans le futur vu que le marché du risque catastrophique ne cesse de
croître.
6 - Qualité des données
Les données avec lesquelles nous travaillons proviennent du programme d’aide financière lors de
sinistres du gouvernement du Québec. Ces données contiennent l’aide fournie lors des inondations
qui ont défrayées des coûts supérieurs à 300 000$ pour le gouvernement provincial. Il faut noter la
différence entre cette aide financière et la couverture qui serait fournie par une compagnie
d’assurance. En effet, une compagnie d’assurance pourrait offrir une couverture complète aux
particuliers, alors que cette aide ne fournit qu’une couverture des biens essentiels. Plus
d’informations sont disponibles dans le programme général d’aide financière lors de sinistres réels
ou imminents. En bref, les montants que nous avons dans le Tableau 1 pour les sinistres passés,
incluent les indemnités versées pour les dommages aux biens essentiels des particuliers, aux
entreprises non assurées, aux municipalités et aux organismes. Ils incluent également les coûts des
mesures d’urgence municipales et les frais d’hébergement temporaires de citoyens qui doivent
évacuer leur résidence. Une inondation catastrophique n’étant pas un sinistre assurable pour la
majorité des propriétaires québécois, il est présentement impossible d’obtenir des données
historiques précises sur les pertes encourues par les particuliers. Pour qu’une compagnie d’assurance
soit en mesure d’évaluer le risque de pertes par inondations pour des particuliers, il faudrait une
estimation des pertes subies par les particuliers lors de chacune des inondations passées. Le présent
travail modélise donc le risque de pertes dans le cadre du programme d’aide financière administré
par le ministère de la sécurité publique.
19
Tableau 1 – Inondations ayant causé plus de 300 000$ de dommages au Québec depuis 1992
Date de
l'évènement Type d'évènement
Coûts pour le
programme d'aide
financière du
ministère de la
sécurité publique
du Québec
Régions administratives
touchées
mars-92 Inondations 919 680 $ 03, 12
juil-93 Inondations 1 743 969 $ 08, 12, 14
avr-94 Inondations 1 802 667 $ 11, 12, 16
janv-96 Inondations 3 647 490 $ 03, 12
juil-96 Pluies abondantes 705 365 $ 05, 12
juil-96 Inondations et pluies
abondantes 139 117 747 $ 02
août-96 Inondations 2 607 359 $ 04, 05, 07
nov-96 Pluies abondantes 9 167 184 $ 04, 16
avr-97 Inondations 3 759 809 $ 03, 11, 16
juil-97 Pluies abondantes 3 759 809 $ 08, 12, 16
mars-98 Inondations (hiver et
printemps) 19 338 098 $ 04, 05
oct-98 Pluies abondantes 1 285 419 $ 04, 12
janv-99 Inondations 369 659 $ 03
juil-99 Pluies abondantes 336 354 $ 03, 04, 05, 12, 17
juin-00 Pluies abondantes 2 056 075 $ 07, 14
août-00 Pluies abondantes 1 235 978 $ 02, 04
avr-02 Inondations 2 390 107 $ 03, 04, 07, 14, 15, 17
juil-02 Pluies abondantes 4 075 742 $ 05, 12
juil-02 Pluies abondantes 583 694 $ 01, 11
avr-03 Inondations 369 052 $ 12, 16, 17
août-03 Inondations 8 274 890 $ 12, 17
déc-03 Inondations 4 258 423 $ 03, 12, 16
mai-04 Inondations 730 957 $ 01. 11
20
sept-04 Pluies abondantes 487 615 $ 01, 04, 05
déc-04 Inondations 487 614 $ 01, 05, 11
avr-05 Inondations 5 020 317 $ 03, 05, 11, 12, 14, 15, 16
juin-05 Inondations 1 263 289 $ 04
juil-05 Pluies abondantes 679 205 $ 03, 06
août-05 Pluies abondantes 2 103 543 $ 03, 09
sept-05 Pluies abondantes 3 175 485 $ 03, 12
oct-05 Pluies abondantes 1 327 536 $ 03, 05, 16, 17
déc-05 Inondations 511 377 $ 01
mai-06 Inondations 743 545 $ 04
mai-06 Pluies abondantes 1 188 233 $ 16
oct-06 Pluies abondantes 4 774 098 $ 05, 12, 17
mars-07 Inondations 349 241 $ 12
août-07 Pluies abondantes 28 162 134 $ 11
nov-07 Pluies abondantes 327 312 $ 01, 11
nov-07 Pluies abondantes 1 365 918 $ 11
janv-08 Inondations 1 780 868 $ 02, 12, 16, 17
avr-08 Inondations 5 070 874 $ 01, 04, 05, 06, 07,09, 11,
12,13, 14, 15, 16
juil-08 Pluies abondantes 508 185 $ 04, 14
août-08 Pluies abondantes 3 451 634 $ 01, 03, 05, 06, 09, 11
août-08 Pluies abondantes 443 215 $ 04, 05, 08, 16
déc-08 Inondations 420 321 $ 15, 17
avr-09 Inondations 991 136 $ 07, 11, 12, 14, 15
juil-09 Pluies abondantes 503 823 $ 12, 14, 15
juil-09 Pluies abondantes et vents
violents 420 911 $ 12
déc-09 Inondations 401 074 $ 03
oct-10 Pluies abondantes 1 021 551 $ 05, 12, 14, 15
déc-10 Pluies abondantes 38 400 000 $ 01, 09, 11
avr-11 Inondations 93 000 000 $ 16
juin-11 Pluies abondantes 6 445 318 $ 07
21
La principale lacune des données dont nous disposons, en plus de ne pas représenter les pertes totales
encourues lors des inondations, est que nous ne disposons pas des occurrences dont les pertes ont été
inférieures à 300 000$. Nous devrons donc poser que notre modélisation ne représente que les
inondations dont les pertes dépassent ce montant. De plus, comme nous ajustons ces montants pour
représenter les pertes encourues si ces mêmes événements se reproduisaient aujourd’hui, il y a risque
d’introduire une tendance à la hausse du nombre d’occurrences d’inondations supérieure à la réalité.
Par exemple, 300 000$ en 1995 représente une plus grosse perte que 300 000$ en 2011. Ainsi, une
occurrence d’inondations ayant causé des dommages semblables du point de vue matériel pourrait
être incluse dans nos données si elle s’est produite dans les en 2011, alors qu’elle pourrait être omise
si elle s’est produite en 1992. En effet, comme un dollar de dommages en 1992 représente plus qu’un
dollar de dommages en 2011, il faut des dégâts beaucoup plus importants en 1992, comparativement
à 2011, pour atteindre le seuil de 300 000$ et inclure la catastrophe dans nos données. Non
seulement cette distorsion des données peut légèrement biaiser notre distribution d’amplitude des
dégâts, mais elle fait en sorte que lorsque nous calibrons notre fonction d’intensité du processus de
Poisson, il y a un risque que le facteur représentant la tendance à la hausse à long terme du nombre
de catastrophes soit plus élevé qu’il ne devrait l’être. Ceci entraînerait une surestimation des coûts
futurs de couverture contre les inondations. Nous pourrions ajuster les données en excluant toute
catastrophe ayant causés des dommages inférieurs à 300 000$ en dollars de 1992, cependant comme
notre échantillon de données est déjà limité, nous prenons pour acquis que l’impact de cette
distorsion est mineure, voire nulle.
Une autre lacune possible des données, sont les divers changements qui ont été apportés à la
politique de l’aide financière. Les principaux changements furent la restriction de construction de
maisons dans des zones trop risquées, l’augmentation de la limite maximale de dédommagement
ainsi que la redéfinition des items couverts par la protection. Nous formulons l’hypothèse que ces
changements ont été apportés de manière à suivre l’augmentation des coûts ainsi que l’évolution des
items contenus dans chaque foyer et donc, que nos données demeurent valides.
22
7 - Méthodologie
7.1 - Ajustement des pertes historiques en dollars de 2011
Les montants des pertes historiques représentent le niveau des prix et le nombre de propriétés
exposées au risque au moment de l’occurrence de la catastrophe. Si une catastrophe de même
envergure se produisait aujourd’hui, le montant des pertes reflèteraient :
-Le niveau des prix aujourd’hui (incluant l’inflation et l’augmentation de la valeur des maisons).
-L’augmentation du nombre de propriétés dans la zone touchée.
Pour convertir les données historiques en dollars de 2011, nous utilisons une méthode semblable à
celle de COLLINS & LOWE (2001). La formule utilisée pour convertir les données est la suivante :
�,���� = �,� × �0.25 ∙ �����,��������,� � + 0.75 ∙ �� !����� !� �" × �# �,����# �,� �[%] où
Dr,y est le montant des pertes dans la région r d’un évènement dans l’année y
MLSr,y est la valeur moyenne des propriétés dans la région r dans l’année y
IPCy est la valeur de l’indice du prix à la consommation dans l’année y
NPr,y est le nombre de propriétés dans la région r dans l’année y
Le rationnel derrière cette équation est que les montants de dommages sont liés au nombre de
maisons touchés, à la valeur de celles-ci ainsi qu’à la valeur des items dans celles-ci. L’Annexe C
contient les tableaux dans lesquels sont présentées les données d’augmentation du niveau des prix et
du nombre de propriétés par région. Pour l’indice correspondant au niveau des prix, nous avons
utilisé d’une part, l’indice du prix à la consommation et d’autre part, la valeur moyenne des maisons
dans la région touchée. COLLINS & LOWE (2001) n’utilisent pas la valeur moyenne des maisons
dans la région touchée, cependant comme certaines personnes doivent déménager ou reconstruire en
partie suite à une inondation, nous avons décidé de l’inclure dans notre équation. Le ratio 75 % / 25
% a été choisi arbitrairement pour donner une plus grande importance à l’indice du prix à la
consommation. Le Tableau 2 présente les pertes historiques ajustées en dollars de 2011. Si une
23
catastrophe s’est produite en dehors d’une des régions administratives contenant une des régions
métropolitaines pour lesquelles nous détenons les données sur la valeur et le nombre de propriétés,
nous avons utilisé les valeurs moyennes de la province en entier. Si la région administrative touchée
contient une des régions métropolitaines dont nous détenons des données, nous avons utilisé cet
indice. De plus, si 2 régions administratives ont été touchées par une inondation, alors nous avons
utilisé la moyenne des 2 indices (indices des régions métropolitaines inclues dans les régions
administratives touchées si disponibles sinon, pour la région dont on ne possède pas l’indice pour
une région métropolitaine, on utilise l’indice de la province en entier). Dans le cas où plus de 3
régions administratives ont été touchées, nous avons utilisé l’indice de la province en entier.
Tableau 2 – Pertes historiques ajustées en dollars de 2011
Date de
l'évènemen
t
Type d'évènement
Coûts pour le
programme
d'aide
financière du
ministère de la
sécurité
publique du
Québec
Régions
administratives
touchées
Coûts ajustés en
dollars de 2011
mars-92 Inondations 919 680 $ 03, 12 1 980 438 $
juil-93 Inondations 1 743 969 $ 08, 12, 14 3 496 954 $
avr-94 Inondations 1 802 667 $ 11, 12, 16 3 576 148 $
janv-96 Inondations 3 647 490 $ 03, 12 7 220 565 $
juil-96 Pluies abondantes 705 365 $ 05, 12 1 360 966 $
juil-96 Inondations et pluies
abondantes 139 117 747 $ 02 245 877 990 $
août-96 Inondations 2 607 359 $ 04, 05, 07 5 015 468 $
nov-96 Pluies abondantes 9 167 184 $ 04, 16 16 994 570 $
avr-97 Inondations 3 759 809 $ 03, 11, 16 7 122 633 $
juil-97 Pluies abondantes 3 759 809 $ 08, 12, 16 7 075 165 $
mars-98 Inondations (hiver et
printemps) 19 338 098 $ 04, 05 34 561 293 $
24
oct-98 Pluies abondantes 1 285 419 $ 04, 12 2 277 496 $
janv-99 Inondations 369 659 $ 03 698 687 $
juil-99 Pluies abondantes 336 354 $ 03, 04, 05, 12, 17 600 540 $
juin-00 Pluies abondantes 2 056 075 $ 07, 14 3 842 040 $
août-00 Pluies abondantes 1 235 978 $ 02, 04 2 007 577 $
avr-02 Inondations 2 390 107 $ 03, 04, 07, 14, 15, 17 3 875 844 $
juil-02 Pluies abondantes 4 075 742 $ 05, 12 6 497 256 $
juil-02 Pluies abondantes 583 694 $ 01, 11 933 155 $
avr-03 Inondations 369 052 $ 12, 16, 17 562 550 $
août-03 Inondations 8 274 890 $ 12, 17 12 313 892 $
déc-03 Inondations 4 258 423 $ 03, 12, 16 6 182 789 $
mai-04 Inondations 730 957 $ 01. 11 1 034 342 $
sept-04 Pluies abondantes 487 615 $ 01, 04, 05 675 628 $
déc-04 Inondations 487 614 $ 01, 05, 11 664 847 $
avr-05 Inondations 5 020 317 $ 03, 05, 11, 12, 14, 15,
16 6 721 253 $
juin-05 Inondations 1 263 289 $ 04 1 700 164 $
juil-05 Pluies abondantes 679 205 $ 03, 06 917 860 $
août-05 Pluies abondantes 2 103 543 $ 03, 09 2 834 851 $
sept-05 Pluies abondantes 3 175 485 $ 03, 12 4 258 680 $
oct-05 Pluies abondantes 1 327 536 $ 03, 05, 16, 17 1 728 215 $
déc-05 Inondations 511 377 $ 01 659 417 $
mai-06 Inondations 743 545 $ 04 949 333 $
mai-06 Pluies abondantes 1 188 233 $ 16 1 504 219 $
oct-06 Pluies abondantes 4 774 098 $ 05, 12, 17 5 931 182 $
mars-07 Inondations 349 241 $ 12 425 943 $
août-07 Pluies abondantes 28 162 134 $ 11 33 722 190 $
nov-07 Pluies abondantes 327 312 $ 01, 11 387 574 $
nov-07 Pluies abondantes 1 365 918 $ 11 1 617 402 $
janv-08 Inondations 1 780 868 $ 02, 12, 16, 17 2 093 463 $
avr-08 Inondations 5 070 874 $ 01, 04, 05, 06, 07,09,
11, 12,13, 14, 15, 16 5 897 913 $
25
juil-08 Pluies abondantes 508 185 $ 04, 14 586 922 $
août-08 Pluies abondantes 3 451 634 $ 01, 03, 05, 06, 09, 11 3 957 359 $
août-08 Pluies abondantes 443 215 $ 04, 05, 08, 16 508 154 $
déc-08 Inondations 420 321 $ 15, 17 474 937 $
avr-09 Inondations 991 136 $ 07, 11, 12, 14, 15 1 108 886 $
juil-09 Pluies abondantes 503 823 $ 12, 14, 15 559 470 $
juil-09 Pluies abondantes et
vents violents 420 911 $ 12 467 401 $
déc-09 Inondations 401 074 $ 03 446 353 $
oct-10 Pluies abondantes 1 021 551 $ 05, 12, 14, 15 1 081 679 $
déc-10 Pluies abondantes 38 400 000 $ 01, 09, 11 40 370 907 $
avr-11 Inondations 93 000 000 $ 16 101 118 814 $
juin-11 Pluies abondantes 6 445 318 $ 07 7 093 795 $
7.2 - Modélisation du processus d’occurrence
Comme nous utilisons un processus de Poisson pour modéliser les occurrences d’inondations, nous
devons déterminer l’intensité λ. Pour ce faire, nous devons choisir entre l’utilisation d’une intensité λ
constante (processus de Poisson homogène HPP) ou l’utilisation d’une intensité λ(t) dépendante du
temps (processus de Poisson non-homogène NHPP).
L’intensité λ dans le cas du processus de Poisson homogène est déterminée en divisant le nombre de
catastrophes historiques par le nombre de périodes (mois). Nous obtenons donc une intensité de :
' = 5320 ∙ 12 = 0,2208333
Dans le cas du processus de Poisson non-homogène, nous pouvons modéliser les effets de
saisonnalité et de réchauffement climatique. Intuitivement, ainsi qu’historiquement, l’occurrence
d’inondations comporte un effet de saisonnalité. En effet, historiquement, il s’est produit 4 fois plus
d’inondations l’été que pendant l’hiver. Nous devons tenir compte de ce fait dans notre modélisation.
La Figure 5 montre les occurrences historiques durant chacune des saisons.
26
Figure 5 – Histogramme des occurrences d’inondations selon les saisons
Pour inclure cet effet dans notre fonction d’intensité λ(t), nous introduisons une composante
périodique qui augmentera ou diminuera notre intensité, dépendamment du mois en cours. Pour ce
faire, nous utilisons une fonction sinusoïdale dont la période est de 12 mois. De plus, en se fiant aux
données historiques, notre minimum doit se trouver durant les mois de janvier et février, alors que le
maximum doit se trouver durant les mois de juillet et août. Notre composante périodique sera de la
forme : ()*λ+,- = . ∙ sin+23 + 4- [2]
Nous posons t=0 au 1er janvier 1992 (t=1 au 1er février 1992). Nous voulons que la période soit de
12 : 252 = 12
2 = 56
Nous voulons que le minimum soit à t=1 :
4 = 453
L’équation [2] devient donc :
()*λ+,- = . ∙ sin 7536 + 453 8 [9]
0
5
10
15
20
25
Hiver Printemps Été Automne
27
Une fois l’effet de saisonnalité pris en compte, il nous reste à déterminer la fonction ou le polynôme
qui minimisera la somme des résidus au carré par rapport aux données historiques. Après plusieurs
tests, nous avons constaté que l’utilisation d’un polynôme était plus appropriée et que l’augmentation
du degré de celui-ci au-delà du premier degré ne diminuait pas significativement la somme des
résidus aux carrés lorsqu’on compare aux données historiques. Nous utilisons donc un polynôme du
premier degré auquel nous ajoutons la composante périodique définie plus haut.
λ+t- = d + f ∙ t + a ∙ sin >?@A + B?C D [4]
où t est en mois (t=60 pour définir un temps équivalent à 5 ans).
En utilisant un algorithme d’optimisation, nous déterminons les paramètres inconnus de la fonction
λ+t- de manière à minimiser la somme du carré des résidus par rapport aux données historiques. Le
choix de la méthode d’optimisation dépend du modèle étudié ainsi que de la vitesse d’optimisation
requise. Dans notre cas, le temps requis par l’algorithme d’optimisation n’est pas une contrainte.
Nous avons donc utilisé la méthode du simplex de Nelder-Mead puisque celle-ci est déjà
implémentée dans Matlab et qu’elle fonctionne bien avec notre problème. Nous obtenons :
λ+t- = 0.064105 + 0.001417 ∙ t + 0.063782 ∙ sin 7536 + 453 8[E]
Ici, nous avons supposé que λ(t) est déterministe. Il serait intéressant d’étudier l’utilisation d’une
fonction λ(t) stochastique sur les résultats obtenus dans cet essai. Nous pouvons décomposer cette
équation en 3 composantes : une constante, l’augmentation de l’intensité par rapport au temps
(réchauffement climatique) et la variation périodique (saisonnalité). La tendance à long terme que
prédit cette fonction, est une augmentation de l’intensité de 0.001417 à chaque mois. Comme nous
en avons discuté dans la section sur les données, il y a une possibilité que cette valeur soit surestimée
vu que nous possédons seulement les occurrences ayant causé pour plus de 300 000$ de dommages,
en dollars de l’année d’occurrence.
Nous comparons les 2 types de processus en utilisant l’accumulation des pertes historiques. Sur la
Figure 6, nous constatons que le processus de Poisson non-homogène représente beaucoup mieux
nos données historiques.
28
Figure 6 – Nombre d’occurrences selon le type de Processus de Poisson
7.3 - Distribution des pertes
Ayant fait l’hypothèse usuelle que les montants des pertes sont des variables aléatoires
indépendantes, il faut sélectionner la distribution utilisée pour cette modélisation. Nous devons
sélectionner celle qui correspond le mieux aux données historiques. En premier lieu, nous allons
étudier la forme de la fonction de la moyenne excédentaire des données historiques. BURNECKI,
JANCZURA, & WERON (2011) stipulent que, si la fonction de la moyenne excédentaire augmente
(diminue), cela signifie que la distribution a une queue plus épaisse (mince) que la distribution
exponentielle. Nous constatons, sur la Figure 7, que la fonction de la moyenne excédentaire
augmente, donc notre distribution a une queue plus importante que la distribution exponentielle.
29
Figure 7 – Fonction de la moyenne excédentaire des données historiques
En deuxième lieu, nous allons étudier les distributions de pertes. BURNECKI, JANCZURA, &
WERON (2011) identifient les distributions log-normale, gamma, exponentielle, de Weibull, de Burr
et de Pareto comme des candidats typiques à une distribution de pertes. Nous allons donc étudier ces
différentes distributions ainsi que la distribution log-logistique pour déterminer laquelle correspond
le mieux à nos données. La définition des distributions utilisées se trouve en Annexe A. Comme nos
données contiennent seulement les catastrophes ayant causés pour plus de 300 000$ de dommages,
nous soustrayons cette quantité aux données historiques. La modélisation du montant des pertes sera
donc égale à une variable aléatoire à laquelle on ajoutera 300 000. Selon D’AGOSTINO &
STEPHENS (1986), lorsque la distribution ajustée aux données diverge de la vraie distribution dans
les queues, le test A2 (Anderson-Darling) est la statistique la plus efficace. Cette statistique
développée par ANDERSON & DARLING (1954) est une statistique quadratique mesurant la
différence entre la fonction de distribution empirique de l’échantillon et la distribution étudiée. En
fait elle donne plus de poids dans les queues et les statistiques des tests de la fonction de distribution
empirique sont plus basses que celles obtenues en utilisant un algorithme du maximum de
vraisemblance. Pour calibrer chacune des distributions selon les données historiques, nous utilisons
donc une procédure de minimisation des statistiques A2. Notre procédure de minimisation utilise
0 2 4 6 8 10 12
x 107
0
0.5
1
1.5
2
2.5 x 10 8 Fonction de la moyenne excédentaire des données
Données historiques
Seuil de la moyenne excédentaire
Moy
enne
exc
éden
tair
e
30
encore une fois la méthode du simplex de Nelder-Mead puisqu’elle implémentée dans Matlab et
fonctionne bien avec notre problème.
Tableau 3 – Statistiques de tests des distributions (Calibration selon une procédure de
minimisation du A2)
Distribution
Statistique
Exponentielle
β= 6561003
Weibull
a=3889188
b=0,589
Gamma
a=0,442
b=13041749
Log-
logistique
µ=14,384
σ=1,055
Log-
normale
µ=14,389
σ=1,786
Pareto
généralisée
k=0,846
σ= 1359685
θ=0
Burr
α=1,044
δ=2170944
τ=0,765
K-S 1,892 1,540 1,613 1,284 1,322 1,046 1,262
W2 1,227 0,351 0,396 0,282 0,303 0,251 0,296
A2 12,025 1,187 2,073 0,385 0,370 0,372 0,369
Comme tous les tests rejettent l’hypothèse H0 que les données empiriques proviennent de la
distribution spécifiée lorsque la statistique est supérieure à la valeur critique établie selon l’intervalle
de confiance, nous devons sélectionner la distribution avec les plus petites valeurs des statistiques de
tests. Dans le Tableau 3, nous voyons que 3 distributions se démarquent avec des valeurs de
statistiques de tests plus basses. Ce sont les distributions log-normale, de Pareto généralisée et de
Burr. Nous voyons que la statistique A2 est la plus basse pour la distribution de Burr, même si elles
sont relativement très semblables pour les 3 distributions. En regardant la satistique de Kolmogorov-
Smirnov (K-S) et la satistique quadratique de Cramer-von Mises (W2), on peut constater que la
distribution de Pareto généralisée se distingue avec des valeurs légèrement plus basses que les
distributions log-normale et de Burr. D’AGOSTINO & STEPHENS (1986) stipulent que les
statistiques K-S et W2 mesurent la différence entre la fonction de distribution empirique de
l’échantillon et la distribution étudiée. Comparons maintenant les fonctions de la moyenne
excédentaire avec celle de nos données historiques (Figures 8 et 9).
31
Figure 8 – Fonction de la moyenne excédentaire des différentes distributions étudiées
Figure 9 – Fonction de la moyenne excédentaire des distributions log-normale et de Pareto
généralisée
0 2 4 6 8 10 12
x 107
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10
9 Fonctions de la moyenne excédentaire
Données historiquesWeibullGamma
Log-logistique
Log-normalePareto généraliséeBurr
0 2 4 6 8 10 12
x 107
0
1
2
3
4
5
6x 10
8 Fonctions de la moyenne excédentaire
Données historiques
Log-normalePareto généralisée
32
Nous pouvons constater que la fonction de la moyenne excédentaire de la distribution de Burr
diverge complètement de celle des données historiques. Lorsqu’on compare les fonctions de la
moyenne excédentaire des distributions log-normale et de Pareto généralisée avec celle des données
historiques, on constate que pour le début de la distribution, la distribution de Pareto généralisée suit
très bien les données historiques alors que pour la fin de la distribution, la distribution log-normale
semble plus appropriée. Toutefois, comme cette fonction se trouve en dessous de celle des données
historiques pour la fin de la distribution log-normale, nous sélectionnons la distribution de Pareto
généralisée pour ne pas sous-estimer les pertes. En effet, celle-ci suit beaucoup mieux la fonction de
la moyenne excédentaire pour la majorité de la distribution et ne sous-estime pas la fonction pour la
queue de la distribution. Ce choix de distribution est confirmé par le Tableau 3 qui montre que cette
distribution est celle qui a les plus petites valeurs pour les statistiques K-S et W2 parmi les trois
distributions qui sont semblables selon la statistique A2.
7.4 - Pertes maximales probables
On définit la valeur maximale de perte probable comme le montant qui sera égale ou supérieur au
montant des pertes pour un certain pourcentage des essais. En assurance, cette notion est utilisée
pour comprendre le risque de pertes lié à un type de catastrophe déterminé. Dans le présent travail,
cette valeur représente le montant des pertes maximales durant une période de 12 mois pour une
probabilité donnée. Pour obtenir ces valeurs maximales nous utilisons des simulations Monte-Carlo
avec la fonction d’intensité et la distribution de Pareto généralisée définies plus haut. En utilisant
100 000 trajectoires nous déterminons la valeur des pertes annuelles pour chaque trajectoire et
ensuite nous pouvons déterminer la valeur maximale des pertes annuelles selon la probabilité. Selon
notre modèle, la probabilité que les pertes annuelles soient inférieures à 345 millions sont de 99.95%.
La probabilité inverse ou probabilité de dépassement (probabilité que les pertes annuelles soient
supérieures à ce montant) est donc de 0.05%. La Figure 10 montre le montant des pertes annuelles
en fonction de la probabilité de dépassement. Nous pouvons constater que le niveau maximale des
pertes augmente rapidement lorsqu’on augmente la probabilité à un niveau supérieur à 99%.
33
Figure 10 – Valeur maximale des pertes annuelles en fonction de la probabilité de dépassement
8 - Évaluation
8.1 - Modèle analytique actuariel
Comme nous cherchons à évaluer la valeur actuarielle de l’obligation catastrophe en développant un
modèle analytique, nous utilisons une méthodologie semblable à celle utilisée par JARROW (2010)
pour le développer. Nous faisons donc l’hypothèse d’un marché complet sans possibilité d’arbitrage.
Nous définissons donc la valeur du "CAT-Bond" comme égale à la valeur actuelle espérée de chacun
des paiements futurs. Les différences entre le modèle analytique que nous développons et celui
développé par JARROW (2010) comprend l’ajustement pour un taux de coupon fixe ainsi que
l’ajustement pour permettre au « CAT-Bond » de subir plusieurs événements déclencheurs avant que
le capital restant ne soit liquidé. Comme stipulé dans les hypothèses de cet essai et dans la littérature
(voir par exemple BURNECKI, JANCZURA, & WERON (2011)), nous assumons qu’il y a aucune
34
corrélation entre le processus d’occurrence, le montant des pertes et les taux d’intérêts. Il serait
intéressant de vérifier cette absence de corrélation dans des travaux futurs.
Notation utilisée dans le présent travail :
(+3, F- = G.H)I*.I3)J(F3K)1$(.Mé.I3)J(FF*+3- = 3.INF.OF*PFQI)RIFQI′.I3)J(F34 = 4SI(SOG)*Féà4ℎ.QI)(é*PSK)+)O%-�U = ()*3)FKI)FàHWS44I**)O4)K)H′éGèO)J)O34.3.F3*S(ℎPQI)P!XYZ[\Z]^ = (.P)J)O3F(é*PSKPQI)FK)4SI(SOF_ = G.H)I*OSJPO.H)àH′éJPFFPSOK)H′S2HP`.3PSOaU = 3)J(FK′S44I**)O4)K)H′éGèO)J)O3Pb = 3)J(F4S**)F(SOK.O3àH.J.3I*P3éK)H′S2HP`.3PSO#^c@ = OSJ2*)K′S44I**)O4)K)4.3.F3*S(ℎ))O3*)H)3)J(F3)3H)3)J(FF+SùF > 3- 1efg^gefhi = 1FPH)3)J(FK′S44I**)O4)K)H′éGèO)J)O3P)F3FI(é*P)I*.I3)J(FF)3 F)F3FI(é*P)I*.I3)J(FK′S44I**)O4)K)H′éGèO)J)O3P − 1, FPOSO = 0
1-Valeur actuelle espérée des paiements de coupons fixes:
L’espérance de la valeur actuelle des coupons reçus avant l'occurrence d'une catastrophe:
k@l� mn_ ∙o^l� 4 ∙ 1eig^g� ∙ (+0, F-p = k@l� m_ ∙ 4n1eig^g� ∙ (+0, F-o
^l� p [q]
L’espérance de la valeur actuelle des coupons reçus après l'occurrence d'une catastrophe:
Nous faisons l’hypothèse que, lorsque des pertes diminuent le notionnel, le coupon suivant est versé
sur le notionnel restant, peu importe le temps écoulé depuis le dernier coupon lors de l’occurrence
des pertes.
k@l� m+_ − ��- ∙ 4n1erg^gei ∙ (+0, F-o^l� p[s]
On peut généraliser pour un nombre de catastrophes i:
Espérance de la valeur actuelle des coupons reçus après l'occurrence de i catastrophes:
35
k@l� t+_ −n�uUul� - ∙ 4n1efvig^gef ∙ (+0, F-o
^l� w[x] Pour calculer l'espérance de la valeur actuelle des coupons reçus après l'occurrence de i catastrophes,
il suffit de remplacer la valeur 1efg^gefhi par la probabilité qu'il se produise i catastrophes avant le
temps s.
Nous avons défini que notre processus d'arrivée des catastrophes suivait un processus de Poisson
dont la fonction d'intensité '+3- était déterministe. Nous savons donc que :
*S2+#^c@ = O- = yhz {+|-}|~� ∙>z �+[-�[~� D�]! [9]
Ce qui nous permet de déduire:
Pour 0 catastrophe: *S2+#^c� = 0- = )cz �+[-�[~� [10]
k@l� m_ ∙ 4n1eig^g� ∙ (+0, F-o^l� p = _ ∙ 4n(+0, F- ∙o
^l� )cz �+[-�[~� [%%] Pour i catastrophes:
k@l� t�_�+_ −n�uUul� , 0- ∙ 4n1efvig^gef ∙ (+0, F-o
^l� w= k@l� t�_��_ −n�uU
ul� , 0�w ∙ 4n(+0, F- ∙ )cz �+[-�[~� ∙ �z '+I-KI� �UP! [%�]o^l�
La valeur actuelle espérée des coupons est donc la sommation de la valeur actuelle espérée de chacun
des nombres d'occurrences de catastrophes possibles: k@l��!XYZ[\Z]^�= �_ ∙ 4n(+0, F- ∙o
^l� )cz �+[-�[~� "+ �k@l�[�_�+_ − ��, 0-] ∙ 4n(+0, F- ∙o
^l� )cz �+[-�[~� ∙ � '+I-KI^� " +⋯
+ �k@l� t�_��_ −n�uUul� , 0�w ∙ 4n(+0, F- ∙ )cz �+[-�[~� ∙ �z '+I-KI� �UP!o
^l� �+⋯[%9]
36
Posons ∑U = ∑ �uUul� [14]
k@l�[�_�+_ − ∑U, 0-] = z +_ − ∑U- ∙�� `+∑U- ∙ K∑U [15]
Où g(∑i) est la fonction de densité de la somme des montants des pertes des i occurrences.
Comme nous assumons que les variables aléatoires utilisées pour modéliser les pertes lors de
chacune des occurrences de catastrophes sont des variables aléatoires indépendantes et
identiquement distribuées ayant comme fonction de densité f(x): `+∑U- = �+N- ∗ �+N- ∗ … ∗ �+N-���������������U�ZU^ [16]
où ∗ est l’opérateur du produit de convolution : �+N- ∗ �+N- = z �+N − 3-∞� �+3-K3 [17]
Ainsi l’équation 13 devient :
k@l�+!XYZ[\Z]^- = ∑ �k@l�$�_�(_ − ∑U , 0)& ∙ 4 ∑ ((0, F) ∙ yhz {(|)}|~� ∙>z �([)�[~� DfU!ol� "∞Ul� [18]
k@l�(!XYZ[\Z]^)=n��� (_ − ∑U) ∙�
� `(∑U) ∙ K∑U�∞
Ul�∙ 4n((0, F) ∙ )cz �([)�[~� ∙ �z '(I)KI� �UP!
o^l� �$%�&
2-Valeur actuelle du paiement à maturité
Espérance de la valeur actuelle du paiement à maturité s'il n'y a pas d'occurrence de catastrophe: k@l��_ ∙ 1eigo ∙ ((0, b)� [20]
Espérance de la valeur actuelle du paiement à maturité s'il y a i occurrences de catastrophes:
k@l� t�_��_ −n�u , 0Uul� � ∙ 1ef�o ∙ ((0, b)w$��&
Pour calculer l'espérance de la valeur actuelle du paiement reçu à échéance lors de l'occurrence de i
catastrophes, il suffit de remplacer la valeur 1efg^gefhi par la probabilité qu'il se produise i
catastrophes entre t=0 et la maturité T.
37
Dans le cas où il y a 0 catastrophe:
k@l��_ ∙ 4 ∙ 1eigo ∙ (+0, b-� = _ ∙ (+0, b- ∙ )cz �+[-�[�� [�%] Dans le cas où il y a i catastrophes:
k@l� t�_��_ −n�u , 0Uul� � ∙ 4 ∙ 1ef�o ∙ (+0, b-w
= k@l� t�_��_ −n�uUul� , 0�w ∙ (+0, b- ∙ )cz �+[-�[�� ∙ >z '+I-KIo� DUP! [��]
La valeur actuelle espérée du paiement à maturité est donc la sommation de la valeur actuelle espérée
de chacun des nombres d'occurrences de catastrophes possibles: k@l�+!X� @[�U@é-= >_ ∙ (+0, b- ∙ )cz �+[-�[�� D+ �k@l�[�_�+_ − ∑�, 0-] ∙ (+0, b- ∙ )cz �+[-�[�� ∙ � '+I-KI^
� � +⋯+ ¢k@l���_��_ − ∑UU, 0�� ∙ (+0, b- ∙ )cz �+[-�[�� ∙ >z '+I-KIo� DUP! £+ ⋯ [�9] k@l�+!X� @[�U@é-
= n¢k@l�[�_�+_ − ∑U , 0-] ∙ (+0, b- ∙ )cz �+[-�[�� ∙ >z '+I-KIo� DUP! £[�¤]∞
Ul�
k@l�+!X� @[�U@é-= n¢�� +_ − ∑U- ∙�
� `+∑U- ∙ K∑U� ∙ (+0, b- ∙ )cz �+[-�[�� ∙ >z '+I-KIo� DUP! £[�E]∞
Ul�
3-Formule de la valeur actuelle de l'obligation "CAT-Bond":
En observant les équations [19] et [25], nous pouvons rapidement constater que les termes les plus
significatifs seront les premiers pour chacune des équations. En effet, à mesure que i augmente, les
termes s'y rattachant deviendront très petits et non significatifs. Pour implémenter le modèle pour
une obligation catastrophe, il suffit d'étudier la magnitude des termes lorsque i augmente et décider à
38
partir de quelle valeur critique K, l'inclusion des i suivants n'a plus d'impact significatif sur la valeur
de l’obligation. Les équations [19] et [25] deviendraient donc:
k@l�+!XYZ[\Z]^- = ∑ �¥z (_ − ∑U) ∙�� `(∑U) ∙ K∑U¦ ∙ 4 ∙ ∑ ((0, F) ∙ yhz {(|)}|~� ∙�z �([)�[~� �fU!ol� � + O()$�q&Ul�
k@l�(!X� @[�U@é) = ∑ �¥z (_ − ∑U) ∙�� `(∑U) ∙ K∑U¦ ∙ ((0, b) ∙ yhz {(|)}|�� ∙>z �([)�[�� DfU! "+ O()$�s&Ul�
où O() = 3)*J)K′)**)I*
©ª�o =n��� +_ − ∑U- ∙�� `+∑U- ∙ K∑U� ∙ 4 ∙n(+0, F- ∙ )cz �+[-�[~� ∙ �z '+I-KI� �UP!o
^l� �¨Ul�
+n¢�� +_ − ∑U- ∙�� `+∑U- ∙ K∑U� ∙ (+0, b- ∙ )cz �+[-�[�� ∙ >z '+I-KIo� DUP! £¨
Ul� [�x] Pour résoudre cette équation analytiquement, il faut connaître la fonction `+∑U-. Comme celle-ci est
obtenue en effectuant le produit de convolution de i fonctions de densité identiques f(x), tout dépend
s’il est possible d’obtenir la solution à ce produit de convolution. Dans notre cas, comme nos
montants de pertes sont distribués selon la distribution de Pareto généralisée, il n’existe pas de
solution. En effet, RAMSAY (2006) stipule que la solution analytique pour le produit de convolution
de n fonctions de densité existe seulement pour des cas particuliers lorsqu’on travaille avec des
variables de Pareto. Ces cas particuliers sont différents des paramètres de notre distribution. Nous ne
pourrions pas non plus utiliser ce modèle avec les autres distributions dont les statistiques de tests
étaient semblables à celle de la distribution de Pareto généralisée. En effet, il n’existe pas non plus de
solution analytique pour la distribution de la somme de variables log-normales indépendantes (LI
(2007)) ou de variables de Burr indépendantes (KORTSCHAK & ALBRECHER (2010)).
Lorsque la distribution utilisée pour le montant des pertes le permet, l’utilisation du modèle
développé ci-haut permettra d’obtenir une valeur actuarielle pour l’obligation catastrophe en un
temps beaucoup moindre que l’utilisation de simulations Monte-Carlo. Une fois que cette formule est
implantée dans l'ordinateur, il devient très facile d'évaluer différents "CAT-Bonds" à taux de coupons
fixe. En effet, il suffit de calibrer les paramètres selon les catastrophes sous-jacentes au "CAT-Bond"
qui doit être évalué. Les paramètres à définir lors de l'évaluation sont: les variables aléatoires
utilisées pour le niveau des pertes, la fonction déterministe d'intensité du processus de Poisson
39
modélisant l'occurrence des catastrophes, le temps avant maturité, la fréquence des coupons et la
courbe utilisée pour le taux sans risque. La valeur critique de K peut être calculée automatiquement
pour chaque obligation, de manière à ce qu’elle corresponde aux nombres d’occurrences à partir
duquel le prix de l’obligation ne varie plus significativement.
L’absence de solution analytique pour la distribution de la somme de variables indépendantes suivant
toutes une distribution de Pareto généralisée nous conduit à utiliser l’approche Monte-Carlo.
Cependant, avant de procéder selon l’approche Monte-Carlo, nous allons valider notre modèle
analytique en utilisant une distribution des pertes qui le permet.
8.2 - Validation du modèle analytique
Pour valider notre modèle analytique, nous allons utiliser une distribution gamma pour le montant
des pertes et nous allons comparer les résultats avec ceux obtenus par simulations Monte-Carlo. Pour
le processus d’occurrence nous utilisons le processus de Poisson non-homogène définit
précédemment.
�U ~HSP`.JJ.+¬, - où
α = 0.438
θ = 2.609e+07
S44I**)O4)F~#®
où
(nous reprenons l’équation [5])
λ+t- = 0.064105 + 0.001417 ∙ t + 0.063782 ∙ sin 7536 + 453 8
Modèle analytique :
(nous reprenons l’équation [28])
40
©ª�o =n��� +_ − ∑U- ∙�� `+∑U- ∙ K∑U� ∙ 4 ∙n(+0, F- ∙ )cz �+[-�[~� ∙ �z '+I-KI� �UP!o
^l� �¨Ul�
+n¢�� +_ − ∑U- ∙�� `+∑U- ∙ K∑U� ∙ (+0, b- ∙ )cz �+[-�[�� ∙ >z '+I-KIo� DUP! £¨
Ul�
avec ©ª�o = G.H)I*K)H′S2HP`.3PSO4.3.F3*S(ℎ) _ = G.H)I*OSJPO.H)àH′éJPFFPSOK)H′S2HP`.3PSO F = 3)J(F4S**)F(SOK.O3àIO(.P)J)O3K)4SI(SOb = 3)J(F4S**)F(SOK.O3àH.J.3I*P3éK)H′S2HP`.3PSO ∑U = ()*3)FKû)àH′S44I**)O4)K)P4.3.F3*S(ℎ)F4 = 4SI(SOG)*Féà4ℎ.QI)(é*PSK)+)O%-(+3, F- = G.H)I*.I3)J(F3K)1$(.Mé.I3)J(FFP = OSJ2*)K′S44I**)O4)FK′éGèO)J)O34.3.F3*S(ℎPQI)¯ = G.H)I*4*P3PQI)à(.*3P*K)H.QI)HH)©ª�oO)G.*P)(HIFFP`OP�P4.3PG)J)O3 `+∑U- = �SO43PSOK)K)OFP3éK)H.FSJJ)K)FJSO3.O3FK)F()*3)FK)FPS44I**)O4)F
Modèle Monte-Carlo :
©Y @ =n_])c]∙���� ∙ 4°]l� + _° ∙ )c°∙�±�� [��]
avec ©ª�o = G.H)I*K)H′S2HP`.3PSO4.3.F3*S(ℎ) _] = G.H)I*OSJPO.H).I3)J(FO O = 3)J(F4S**)F(SOK.O3àIO(.P)J)O3K)4SI(SO# = 3)J(F4S**)F(SOK.O3àH.J.3I*P3éK)H′S2HP`.3PSO *] = 3.INF.OF*PFQI).I3)J(F²é*S.M.O34SJJ)3)*J)H)3)J(FO 4 = 4SI(SOG)*Féà4ℎ.QI)(é*PSK)+)O%-
Nous allons évaluer la valeur d’une obligation catastrophe au 1er décembre 2011 (t=239 dans
l’équation λ(t)) dont le notionnel de départ est de 500 millions, le coupon mensuel de 0.666% (8%
annuel et une maturité de 60 mois (5 ans). Nous avons utilisé une valeur critique K de 100, les
41
données nous montre que c’est largement suffisant dans le cas présent et les intégrales n’ayant pas de
solutions analytiques fermées ont été évaluées numériquement.
Tableau 4 – Comparaison de l’évaluation par modèle analytique et par modèle Monte-Carlo
Prix pour 100$ de notionnel
Maturité (ans) Analytique Monte-Carlo Différence
1 95,446 95,440 0,005
2 89,559 89,543 0,016
5 64,224 64,199 0,025
10 34,385 34,374 0,011
20 33,052 33,042 0,009
Nous constatons dans le Tableau 4 que l’évaluation faite avec le modèle analytique est très près de
celle faite avec le modèle Monte-Carlo. En fait, nous voyons que la différence maximale est de 0.025
$ pour un notionnel de 100 $. Cette différence étant minime (0.04%), nous pouvons conclure que
notre modèle analytique est valide. Comme le modèle analytique ne peut pas être utilisé avec la
distribution choisie pour le montant des pertes à la suite d’inondations au Québec, nous devons
procéder par Monte-Carlo pour le reste de cet essai.
8.3 - Modèle Monte-Carlo
Pour l’évaluation, il est possible d’implémenter des méthodes numériques pour approximer les
distributions des sommes des variables aléatoires indépendantes suivant la distribution de Pareto
généralisée. Cependant, pour éviter les approximations, il faut utiliser des simulations Monte-Carlo.
Pour ce faire, nous définissons tout d’abord un exemple du type d’obligation catastrophe qui pourrait
être émis pour couvrir le gouvernement contre le risque de pertes liées aux catastrophes. Dans un
premier lieu, nous allons comparer les pertes qui ont été subies avec les coûts qu’auraient engendrés
des émissions dans le passé si elles avaient été faites à la valeur actuarielle. Dans un deuxième lieu,
nous allons évaluer les coûts qu’engendrerait une émission d’obligations servant à couvrir le risque
d’inondations durant les prochaines années. Dans le présent travail, les « CAT-Bonds » que nous
évaluerons seront des obligations à taux de coupons fixe et dont le capital sera réduit du montant des
pertes si un événement catastrophique se produit. Les « CAT-Bonds » qui seront hypothétiquement
émis pour couvrir le risque d’inondations dans la province auront les caractéristiques suivantes :
42
• Fréquence de paiement des coupons : mensuelle
• Taux de coupon annuel : C (taux correspondant à la valeur au pair à l’émission)
• Montant de l’émission : A0 = 500 millions
• Les pertes diminuent le notionnel et, par conséquent, les coupons subséquents
• Maturité : 1 an (pour une comparaison historique des coûts sur une base annuelle)
• Date d’émission : 1er décembre (par exemple, lorsque le prix de couverture est montré dans
un tableau ou graphique sous 1993, ça représente une couverture du 1er décembre 1992 au 1er
décembre 1993).
• Courbes de rendement coupon zéro provenant de la Banque du Canada. Pour la méthode de
construction des courbes voir BOLDER, JOHNSON, & METZLER (2004).
Hypothèses:
• Les pertes suivent des variables aléatoires indépendantes de types Pareto (Li) (i.i.d.). La
distribution est calibrée selon les données historiques disponibles.
• L’occurrence des inondations catastrophiques suivent un processus de Poisson non-homogène
avec une fonction d'intensité déterministe λ(t) calibrée selon les données historiques. Comme
mentionné précédemment dans la section 7.2 - Modélisation du processus d’occurrence,
étendre l’étude au cas stochastique dans des travaux futurs pourrait être intéressant.
• Lorsqu’un évènement catastrophique se produit durant une période, nous assumons que le
montant des pertes peut immédiatement être évalué et que le principal est donc affecté à la fin
de cette même période.
Matlab a été utilisé pour effectuer les simulations Monte-Carlo. Le coût d’émission d’une obligation
catastrophe est lié à l’écart sur le taux de l’obligation sans risque qui fait en sorte que l’obligation
catastrophe est à la valeur au pair. Plus cet écart est grand, ce qui dépend seulement du risque de
pertes dans une évaluation actuarielle, et plus l’émission sera coûteuse pour l’émetteur. Le fait
d’utiliser un taux de coupon fixe au lieu d’un écart fixe, apporte un risque de taux d’intérêt puisque
l’argent dans le SPV ne peut être réinvesti qu’à court terme dans des actifs peu risqués. Pour éliminer
ce risque de taux d’intérêt, l’obligation catastrophe peut être définie avec un taux de coupon ayant
une partie variable, par exemple, les bons du trésor 1 mois, et une partie fixe correspondant à l’écart
lié au risque de catastrophe. Par soucis de simplicité et comme le coût actuariel de couverture lié aux
43
catastrophes calculé à l’émission sera le même, les évaluations faites dans le présent travail utilisent
un taux de coupon fixe en négligeant le risque de taux d’intérêt.
Les coûts d’émissions correspondent à la somme que doit mettre l’émetteur dans le SPV à l’émission
pour être en mesure de payer tous les coupons durant la vie de l’obligation s’il n’y a aucun
évènement venant affecter le notionnel de l’obligation. Dans l’éventualité où l’occurrence de
catastrophes vient diminuer le montant des coupons à payer par l’émetteur, les montants
excédentaires disponibles sont retournés à l’émetteur qui peut l’utiliser pour payer des pertes
supplémentaires.
La valeur de l’obligation catastrophe à l’émission suit l’équation suivante :
©Y @ =n_])c]∗���� ∙ 4�*)Q]°]l� + _° ∙ )c°∙�±�� [9�]
où
n est la période
N la maturité
Vcat est la valeur de l’obligation catastrophe
An est le montant de principal non affecté à la fin de la période n
rn est le taux sans risque ayant comme terme la fin de la période n
c est le taux de coupon annuel
b est le taux de coupon annuel d’une obligation sans risque au pair ayant la même maturité et la
même fréquence de versements de coupons que l’obligation catastrophe
freqn est le nombre de périodes de versements de coupons par année
Nous pouvons ainsi déterminer le taux de coupon qui permet d’obtenir une obligation au pair (basé
sur un notionnel de 100).
4 = �*)Q] 100 − _° ∙ )c°∙�±��∑ _])c]∙����°]l�
$9%& En utilisant la courbe zéro-coupon et des simulations Monte-Carlo pour simuler des trajectoires pour
An, nous pouvons établir le taux de coupon et ainsi les coûts liés à une émission.
44
4Sû3F = n_] ∙ 4 − 2�*)Q] ∙ )c]∙���� $9�&°]l�
avec
A] = �_��_ −n�u , 0Uul� �$99&
où
Lj est le montant de pertes suite à l’occurrence j
i est le nombre d’occurrences de catastrophes s’étant produits avant la fin de la période n
Pour déterminer les coûts d’une émission, il faut simuler des trajectoires de An pour la durée de vie
de l’obligation catastrophe. Lj suit la distribution de Pareto généralisée déterminée plus haut et
l’arrivée d’occurrence suit le processus de Poisson non-homogène déterminé plus haut.
8.4 - Analyse historique
Pour l’analyse historique, nous comparons les pertes annuelles avec l’évaluation du coût d’émission
au début de l’année d’une obligation catastrophe ayant une maturité d’un an.
Sur la Figure 11, on peut voir les pertes historiques ainsi que les coûts pour l’émetteur qu’auraient
engendrés des émissions d’obligations catastrophes offrant une couverture complète durant l’année
45
Figure 11 – Pertes historiques liées aux inondations et coûts annuels pour une couverture
complète de 1993 à 2011
Nous voyons que dans le cas où une couverture au coût actuariel aurait été possible, l’émission
d’obligations catastrophes aurait permis de diminuer grandement les coûts liés aux inondations
depuis 1993. Nous pourrions argumenter que l’année 1996 semble être un extrême, cependant
l’objectif d’une émission de « CAT-Bonds » est justement de protéger le gouvernement de la
province contre les évènements catastrophiques semblables à celui de 1996. Ensuite, nous allons
faire varier le niveau du déclencheur et ainsi, vérifier historiquement qu’elles auraient été les
dépenses du gouvernement selon le niveau de couverture. La Figure 12 montre les coûts annuels
historiques en dollars de 2011 (coûts de couverture plus pertes non couvertes) qu’aurait payés le
gouvernement s’il y avait eu des émissions d’obligations catastrophes à la valeur actuarielle pour
différents niveaux de déclencheur.
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 10 8 Pertes historiques et coûts de couverture
Pertes historiquesCoûts de couverture
Années
Coû
ts
46
Figure 12 – Coûts actuariels historiques pour différents niveaux de déductible
Tableau 5 – Coûts actuariels historiques pour différents niveaux de déductible
Niveau
déclencheur Coûts annuels moyens Coûts totaux
Pas de couverture 31 871 135 $ 605 551 567 $
0 $ 16 541 404 $ 314 286 682 $
1 000 000 $ 15 269 177 $ 290 114 357 $
5 000 000 $ 14 410 676 $ 273 802 851 $
10 000 000 $ 15 176 339 $ 288 350 448 $
50 000 000 $ 21 386 177 $ 406 337 371 $
75 000 000 $ 23 194 305 $ 440 691 796 $
100 000 000 $ 25 283 506 $ 480 386 611 $
Nous pouvons constater sur la Figure 12 qu’une couverture complète offre plus de stabilité dans les
coûts annuels. Le Tableau 5 montre qu’historiquement, tous les niveaux de déclencheur étudiés
auraient permis de diminuer la moyenne des coûts annuels. Le niveau du déclencheur doit donc être
sélectionné selon la flexibilité de l’émetteur.
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 20100
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 10
8Pertes historiques selon le niveau du déclencheur (prime de risque=1)
Pas de couverture010000001000000050000000100000000
Années
Coû
ts
47
8.5 - Effet de la prime de risque
Le développement d’un modèle d’évaluation actuariel est simplement la première étape à
l’évaluation du coût d’émission d’un tel actif. En effet, comme mentionné dans la revue de
littérature, les primes de risque exigées par les investisseurs lors d’émissions d’obligations
catastrophes sont dépendantes des conditions en vigueur sur le marché. La prime de risque est le
ratio demandé par les investisseurs pour couvrir l’espérance de pertes. Par exemple, un ratio de
prime de risque de 1 signifie que le rendement exigé est le rendement du taux sans risque plus le
rendement supplémentaire nécessaire pour couvrir l’espérance des pertes. Un ratio de prime de
risque de 1 correspond donc à valeur et correspond à la juste valeur actuarielle. Un ratio de 3 signifie
que l’émetteur doit offrir un rendement qui couvre le triple de l’espérance des pertes. En se basant
sur CUMMINS (2008), qui stipule que les primes de risque ont une tendance à la baisse pour le
risque de catastrophe, ainsi que sur les travaux de LANE & MAHUL (2008), qui estiment que la
tendance à long terme de ce ratio se situe à 2.69, nous allons examiner l’effet d’une prime de risque
variant entre 1 et 6 fois l’espérance des pertes. La Figure 13 montre les pertes historiques ainsi que
les coûts pour l’émetteur qu’auraient engendrés des émissions d’obligations catastrophes offrant une
couverture complète durant l’année pour différentes primes de risque. Dans le reste du présent
travail, la prime de risque est toujours exprimée en ratio de l’espérance des pertes.
Figure 13 – Coûts historiques d’une couverture complète selon le ratio de la prime de risque
Il devient clair que les émissions ne doivent être faites que si le ratio de la prime de risque demandé
par le marché est à un niveau acceptable. Le Tableau 6 montre la moyenne sur les 19 ans de données
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 20100
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 10
8Coûts de couverture complète selon le ratio de prime de risque
Pertes historiques
11.5
2
2.69
34.5
6
Années
Coû
ts
48
historiques du coût des pertes et des coûts de couverture complète selon les ratios de la prime de
risque sur l’espérance des pertes. Nous constatons, selon la moyenne annuelle des coûts historiques,
qu’une couverture complète aurait été avantageuse si le ratio de la prime de risque avait été inférieur
à 2. Il ne faut cependant pas oublier que l’objectif d’une telle couverture n’est pas d’avoir les coûts
moyens les plus bas. Une telle couverture est mise en place pour stabiliser les coûts annuels et
empêcher les situations où un seul évènement nous oblige à faire un gros paiement.
Tableau 6 – Coûts historiques d’une couverture complète selon la prime de risque
Prime de risque Coûts annuels moyens Coûts totaux
Pas de couverture 31 871 135 $ 605 551 567 $
1,0 16 541 404 $ 314 286 682 $
1.5 24 879 581 $ 472 712 043 $
2,0 33 355 155 $ 633 747 946 $
2.69 44 260 635 $ 840 952 068 $
3,0 49 284 291 $ 936 401 521 $
4.5 74 377 908 $ 1 413 180 261 $
6,0 99 902 221 $ 1 898 142 201 $
Nous utilisons ensuite la tendance à long terme estimée par LANE & MAHUL (2008) pour étudier
l’effet du niveau du déclencheur lorsqu’on tient compte de la prime de risque. La Figure 14 montre
les coûts annuels historiques en dollars de 2011 (coûts de couverture plus pertes non couvertes)
qu’aurait payés le gouvernement s’il y avait eu des émissions d’obligations catastrophes avec un
ratio de 2.69 comme prime de risque pour différents niveaux de déclencheur.
49
Figure 14 – Coûts historiques selon le niveau du déductible (prime de risque = 2.69)
Tableau 7 – Coûts historiques pour différents niveaux de déductible (prime=2.69)
Niveau déclencheur Coûts annuels moyens Coûts totaux
Pas de couverture 31 871 135 $ 605 551 567 $
0 $ 44 260 635 $ 840 952 068 $
1 000 000 $ 39 411 904 $ 748 826 176 $
5 000 000 $ 32 349 177 $ 614 634 365 $
10 000 000 $ 29 972 513 $ 569 477 747 $
50 000 000 $ 28 433 323 $ 540 233 142 $
75 000 000 $ 29 146 600 $ 553 785 406 $
100 000 000 $ 30 381 566 $ 577 249 763 $
On constate sur la Figure 14 que les coûts totaux gardent la même forme avec une prime de risque
qu’avec le coût actuariel. Cependant, il est bien évident qu’ils sont supérieurs peu importe le niveau
du déclencheur et que les pertes doivent être significativement plus grandes pour que la couverture
soit rentable. Le Tableau 7 – Coûts historiques pour différents niveaux de déductible (prime=2.69)
suggère qu’un niveau de couverture entre 10 et 100 millions aurait permis de diminuer les coûts dans
le cas d’une prime de risque de 2.69. Nous pouvons étendre la même conclusion jusqu’à un
déductible de 150 millions en étudiant la Figure 15 qui montre la moyenne sur les 19 ans de données
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 20100
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 10
8Coûts historiques selon le niveau du déductible (prime de risque=2.69)
Pas de couverture010000001000000050000000100000000
Années
Coû
ts
50
historiques des coûts totaux selon le niveau des déclencheurs pour un ratio 2.69 comme prime de
risque. De plus, on constate qu’un niveau de déclencheur trop bas n’aurait pas été avantageux. En
effet, le coût annuel moyen aurait été supérieur à la moyenne des pertes si le déductible aurait été
inférieur à 5 millions.
Figure 15 – Coûts annuels moyens historiques en fonction du déductible (prime de risque=2.69)
8.6 - Effet de l’aide fédérale
Dans le cadre du programme provincial actuel d’aide financière en cas d’inondations, le
gouvernement fédéral vient défrayer une partie des coûts lorsqu’une catastrophe dépasse un certain
montant par habitant de la province. Le Tableau 8 tiré du site web de la Sécurité Publique Canada
montre le pourcentage remboursé par le fédéral lors de catastrophes comme des inondations au
Québec.
0 5 10 15
x 107
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10
7Coûts annuels moyens selon le déductible sans aide fédéral (prime de risque=2.69)
Avec couvertureSans couverture
Coû
ts
Déductible
51
Tableau 8 – Formule de partage des coûts par habitant du gouvernement fédéral
Le Tableau 9 montre un exemple lorsque les dépenses admissibles sont de 10 millions de dollars
pour une province comptant 1 million d’habitants.
Tableau 9 – Exemple de partage des coûts par habitant du gouvernement fédéral
D’un côté, le fédéral pourrait entrer dans une entente de partage des coûts de couverture si le
gouvernement de la province émet des obligations catastrophes de manière à aller chercher la
réassurance normalement offerte en partie par le fédéral. D’un autre côté, le provincial pourrait
décider d’émettre des obligations catastrophes dont le notionnel serait touché seulement pour
rembourser la partie qui n’est pas remboursée par le fédéral. Ainsi, le risque de pertes, le montant des
pertes et la probabilité de ruine seraient beaucoup plus faibles. Comme vu dans littérature, la prime
de risque est habituellement plus basse pour des évènements plus petits, ce qui nous laisse croire
qu’inclure l’aide fédérale permettrait de faire diminuer la prime de risque exigée par le marché. La
Figure 16 compare les pertes historiques et les coûts de couverture si on inclut ou exclut l’aide
fédérale pour un ratio de prime de risque de 2.69 et une couverture complète.
52
Figure 16 – Comparaison des pertes et coûts de couverture complète selon l’inclusion ou
l’exclusion de l’aide fédérale
Tableau 10 – Coûts historiques selon l’inclusion ou l’exclusion de l’aide fédérale (prime de
risque=2.69)
Aide fédérale/Couverture Coûts annuels moyens Coûts totaux
Non Incluse/Pas de couverture 31 871 135 $ 605 551 567 $
Non Incluse/Complète 44 260 635 $ 840 952 068 $
incluse/Pas de couverture 13 932 783 $ 264 722 876 $
Incluse/Complète 26 973 316 $ 512 493 003 $
On peut constater que le niveau des pertes et de la couverture sont moindres lorsque l’aide fédérale
est prise en compte. Le Tableau 10 démontre qu’une couverture complète n’est pas avantageuse dans
le cas d’une prime de risque de 2.69, que ce soit avec ou sans l’inclusion de l’aide fédérale. La
Figure 17 montre les coûts annuels moyens historiques selon le déductible lorsqu’on inclut l’aide
fédérale pour un ratio de prime de risque de 2.69. Un déductible inférieur à 6 millions aurait fait en
sorte que le coût annuel moyen aurait été supérieur à la moyenne des pertes alors qu’un déductible
entre 6 et 26 millions aurait permis de diminuer les coûts dans le cas d’une prime de risque de 2.69.
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 20100
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 10
8Pertes historiques et coûts de couverture avec ou sans aide fédérale
Pertes totalesPertes après aide fédéraleSans aide fédéraleAvec aide fédérale
Années
Coû
ts
53
Figure 17 – Coûts annuels moyens historiques en fonction du déductible (incluant l’aide
fédérale)
Tableau 11 – Coûts historiques avec l’aide fédérale (prime de risque=2.69, notionnel=66
millions)
Couverture Coûts annuels moyens Coûts totaux
Pas de couverture 13 932 783 $ 264 722 876 $
Complète 26 140 259 $ 492 252 745 $
Le Tableau 11 reprend le même exercice que le Tableau 10, mais cette fois avec un montant
d’émission de 66 millions. Ce 66 million a été déterminé en appliquant la formule de partage des
coûts au 500 millions préalablement étudié comme montant d’émission d’obligations. Nous pouvons
constater que d’ajuster le montant des émissions annuelles d’obligations catastrophes en fonction de
l’inclusion de l’aide fédérale n’améliore pas significativement la performance historique d’une
couverture complète.
Pour déterminer si le gouvernement de la province du Québec devrait inclure l’aide fédérale dans ses
émissions d’obligations catastrophes, il faudrait connaître quelle portion des coûts le gouvernement
fédéral accepterait de débourser pour que cette aide ne soit pas incluse. En effet, comme mentionnée
précédemment, une amplitude d’évènement plus faible emmène normalement une prime de risque
exigée par le marché plus faible, et donc des coûts plus faibles. Cette décision devrait être prise à la
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
x 107
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8x 10
7Coûts annuels moyens selon le déductible avec aide fédéral (prime de risque=2.69)
Avec couvertureSans couverture
Coû
ts
Déductible
54
suite de discussions avec le gouvernement fédéral ainsi qu’après avoir sondé le marché des
investisseurs pour estimer la prime de risque qui serait exigée dans les 2 cas.
8.7 - Attrait pour les investisseurs
L’attrait pour un investisseur, d’investir une partie de son portefeuille dans une obligation
catastrophe, est bien sur la diversification. En effet, comme nous avons vu dans la revue de
littérature, les rendements offerts par le marché du risque de catastrophe sont peu ou pas corrélés
avec le marché. Les Figures 18 et 19 montrent les rendements, en fonction du niveau du déclencheur,
pour une prime de risque de 2.69, qu’auraient obtenus les investisseurs qui auraient participé dans les
émissions de 1993 à 2011. Le montant de chaque émission est l’équivalent, au moment de
l’émission, de 500 MM$ de dollars de 2011.
Figure 18 – Rendements historiques des « CAT-Bonds » selon déductible (sans aide fédérale,
prime de risque=2.69)
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Rendement historique selon déductible (prime de risque=2.69, sans aide fédérale)
S&P/TSX010000001000000050000000100000000
Années
Ren
dem
ent
55
Figure 19 – Rendements historiques des « CAT-Bonds » selon déductible (avec aide fédérale,
prime de risque=2.69)
Nous constatons que pour les 19 dernières années, ces obligations auraient offert un rendement qui,
sauf pour la dernière année, semble non corrélé avec le S&P/TSX. Cette observation est confirmée
par les coefficients de corrélation près de zéro calculés dans le Tableau 12. De plus, comme on peut
le voir dans le Tableau 12, le rendement annuel moyen des obligations catastrophes durant ces 19 ans
aurait été supérieur au S&P/TSX. Le rendement annuel moyen aurait été supérieur lorsque le
déductible est bas ou nul ainsi que lorsque l’aide fédérale est incluse.
Tableau 12 – Rendement annuel moyen historique et corrélation selon déductible (prime de
risque=2.69)
Actif Rendement annuel moyen Corrélation avec le S&P/TSX
S&P/TSX 7,13%
Sans aide
fédérale
Avec aide
fédérale
Sans aide
fédérale
Avec aide
fédérale
Déductible: 0 $ 14,43% 15,33% -0,08 -0,15
Déductible: 1 MM$ 12,36% 13,34% -0,06 -0,14
Déductible: 10 MM$ 7,69% 8,98% 0,01 -0,14
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Rendement historique selon déductible (prime de risque=2.69, avec aide fédérale)
S&P/TSX010000001000000050000000100000000
Années
Ren
dem
ent
56
Déductible: 50 MM$ 7,56% 7,48% 0,07 -0,16
Déductible: 100
MM$ 7,55% 7,68% 0,08 -0,18
Nous avons évalué le ratio de Sharpe des obligations catastrophes sur les 19 années étudiées. Nous
rappelons que la formule du ratio de Sharpe :
� = ´c�µ [34]
où
R est le rendement annuel moyen de l’investissement
r est le taux sans risque
σ est l’écart type des rendements annuels
Comme données pour le taux sans risque, nous avons utilisé le rendement historiquement obtenu
d’un investissement qui aurait été fait dans les bons du Trésor 3 mois du gouvernement du Canada.
Tableau 13 – Ratio de Sharpe pour les rendements annuels historiques (prime de risque=2.69)
Actif Ratio de Sharpe
S&P/TSX 0,20
Sans aide fédérale Avec aide fédérale
Déductible: 0 $ 0,75 2,52
Déductible: 1 MM$ 0,63 2,06
Déductible: 10 MM$ 0,37 0,94
Déductible: 50 MM$ 0,34 1,17
Déductible: 100
MM$ 0,48 1,14
Le Tableau 13 montre que le ratio de Sharpe est supérieur à 1 seulement dans le cas des obligations
catastrophes incluant l’aide fédérale. On peut en déduire qu’historiquement, seul les « CAT-Bonds »
incluant l’aide fédérale auraient fourni un rendement excédentaire au taux sans risque suffisant pour
le risque supplémentaire encouru.
57
La Figure 20 suivante montre l’évolution d’un investissement de 100$ au 1er décembre 1992
jusqu’au 1er décembre 2011 tout dépendamment de l’actif dans lequel il est investi à chaque année.
Figure 20 – Évolution de 100$ investis au 1er décembre 1992 (prime de risque=2.69)
La Figure 20 illustre clairement ce qui a été vu dans les figures et tableaux précédent. En effet, on
voit que avec un déductible à zéro ou près de zéro, l’argent investie aurait augmenté beaucoup plus
rapidement que si elle avait été investie dans l’indice S&P/TSX. Ce rendement supérieur à l’indice
représentant le marché de l’équité canadienne, combiné au faible taux de corrélation au marché ainsi
qu’aux ratios de Sharpe calculés, nous permet de conclure que les obligations catastrophes incluant
l’aide fédérale pourraient être des investissements attrayants pour les investisseurs canadiens. En fait,
vu que le rendement est de beaucoup supérieur à celui du S&P/TSX, nous pouvons donc croire que
les investisseurs canadiens pourraient avoir un intérêt pour un tel produit et ce, même en exigeant
une prime de risque inférieure à 2.69.
8.8 - Couverture pour les prochaines années
Nous pouvons utiliser la modélisation afin d’évaluer les coûts d’une émission d’obligations
catastrophes permettant au gouvernement de se couvrir contre les inondations futures. Les Figures
21 et 22 montrent les coûts de couverture pour une émission d’obligations catastrophes ayant une
maturité d’un an selon l’année d’émission et le déductible. On pose l’hypothèse que la prime de
risque exigée serait de 2.69 et que la structure à terme ne varie pas dans le temps.
1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 20100
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Évolution de 100$ investis au 1er décembre 1992
S&P/TSX0 (avec aide)1000000 (avec aide)10000000 (avec aide)50000000 (avec aide)100000000 (avec aide)0 (sans aide)1000000 (sans aide)10000000 (sans aide)50000000 (sans aide)100000000 (sans aide)
Années
Val
eur
58
Figure 21 – Coûts par année de couverture en fonction de la maturité pour différents
déductibles
Figure 22 – Coûts de couverture en fonction de l’année couverte pour différents déductibles
Il est clair lorsqu’on observe les Figures 21 et 22 que les coûts d’émission d’obligations catastrophes
couvrant les inondations au Québec sont très élevées lorsqu’on parle d’une couverture complète dans
2012 2014 2016 2018 2020 2022 2024 2026 2028 20300
5
10
15x 10
7Coûts selon l année couverte et le déductible (sans aide fédérale, prime de risque=2.69)
010000001000000050000000100000000
2012 2014 2016 2018 2020 2022 2024 2026 2028 20300
1
2
3
4
5
6
7
8
9x 10
7Coûts selon l année couverte et le déductible (avec aide fédérale, prime de risque=2.69)
010000001000000050000000100000000
Année de couverture
Coû
ts
Coû
ts
Année de couverture
59
un contexte de prime de risque à 2.69. En fait, lorsque nous n’incluons pas l’aide fédérale, une
émission de 500 millions de notionnel d’une obligation catastrophe dont le déductible est de 10
millions entrainerait des coûts de 41 millions pour 2012 et qui augmentent par la suite. Dans le cas
de l’inclusion de l’aide fédérale, ce montant s’élève à 11 millions pour 2012 et il augmente par la
suite. Si on opte pour une couverture complète, ces montants s’élèvent à 77 millions et 46 millions
pour 2012. Le but de telles émissions étant de stabiliser les coûts annuels liés aux inondations dans le
cadre du programme d’aide financière, il est clair que le montant du déductible et la prime de risque
exigée sont les facteurs déterminants. En effet, le gouvernement du Québec sera intéressé d’émettre
un tel produit seulement lorsqu’il jugera que les coûts et donc, la prime de risque exigée, seront assez
faibles pour le niveau de déductible qu’il l’intéresse.
9 - Conclusion
Nous avons développé une méthodologie permettant de modéliser le risque de pertes suite à des
inondations. Les paramètres qui sont nécessaires et qui doivent être judicieusement évalués pour
obtenir une bonne évaluation, sont les paramètres de la fonction d’intensité du processus de Poisson
modélisant l’occurrence des catastrophes ainsi que la distribution des pertes lors de l’occurrence
d’une catastrophe. Nous avons appliqué cette modélisation aux pertes subies dans le cadre du
programme provincial d’aide financière en cas d’inondation. Les résultats que nous obtenons lors du
calibrage de notre fonction d’intensité, semblent confirmer la présence d’une tendance à la hausse du
nombre d’occurrences d’inondations ainsi qu’un effet cyclique de type saisonnier. Nous avons
cependant émis la possibilité que la tendance à la hausse obtenue était surestimée, vue les données
mises à notre disposition. Suite à cette modélisation, nous avons été en mesure d’analyser les pertes
historiques. Cette analyse nous a permis d’évaluer, selon le niveau de la prime de risque, quel niveau
de couverture aurait occasionné les coûts les plus faibles pour le gouvernement durant les 19
dernières années.
Nous avons montré que le rendement des 19 dernières années de tels actifs, surtout dans le cas de
l’inclusion de l’aide fédérale, aurait été très intéressant pour les investisseurs s’ils avaient exigés une
prime de risque de 2.69 fois l’espérance des pertes. Nous pouvons émettre l’hypothèse que, vu le
rendement historique de beaucoup supérieur au S&P/TSX pour les obligations dont le déductible est
bas, la prime de risque exigée dans le futur pour de tels actifs pourrait être inférieure à 2.69.
60
En utilisant les études empiriques sur la prime de risque des obligations catastrophes, nous avons été
en mesure d’analyser l’effet de différents niveaux de primes de risque sur nos résultats. De plus, nous
avons utilisé les niveaux de primes de risque observés historiquement pour fournir une échelle de
prix pour l’émission d’obligations catastrophes qui permettrait au ministère de la sécurité publique
de se couvrir contre les pertes liées aux inondations durant les prochaines années. Ce coût pourra
varier selon le sentiment du marché, alors, le moment de l’émission sera important. En effet, une
émission à la suite d’une catastrophe naturelle de grande envergure sera plus coûteuse.
En sondant les investisseurs pour quantifier plus précisément la prime de risque qu’ils exigeraient
pour participer à une émission future d’obligations catastrophes de ce type, le gouvernement pourrait
utiliser le présent travail pour évaluer les coûts annuels de couverture pour les années à venir et ainsi,
le prévoir dans son budget annuel. En fait, il semble qu’il est très fréquent, au printemps, que les
inondations frappent une région et que les habitants de celle-ci utilisent les médias pour demander un
dédommagement au gouvernement du Québec. Inclure une telle dépense dans leur budget et faire
une telle émission de « CAT-Bonds » permettrait à la province d’être en mesure d’avoir les fonds
nécessaires à la réparation des dommages causés par une inondation catastrophique. Cela éviterait à
celui-ci de devoir, soit remanier le budget annuel ou encore, émettre de la dette supplémentaire pour
subvenir à leurs besoins. Une telle mesure permettrait d’éviter des situations telles que les
inondations du Saguenay en 1996, inondations qui ont coûté plus de 100 millions de dollars
canadiens aux contribuables québécois. Sur une base plus actuelle, si des « CAT-Bonds » de ce type
étaient actuellement sur le marché, le gouvernement québécois pourrait, si l’élément déclencheur
défini dans ceux-ci le permettait, utiliser le notionnel des obligations pour rembourser une partie des
pertes encourues par les inondations en Montérégie. Les pertes monétaires seraient donc encourues
en partie par les investisseurs et non seulement par les contribuables québécois.
Avec plus d’informations sur les pertes totales historiques des inondations sur le territoire québécois,
cette méthodologie pourrait être utilisée par le gouvernement du Québec ou encore par une
compagnie d’assurance qui offrirait une protection complète aux habitants de la province.
61
Bibliographie
ANDERSON, T. W., & DARLING, D. A. (1954). Asymptotic Theory of Certain Goodness-of-Fit Criteria Based on Stochastic Processes. Annals of Mathematical Statistics, 193-212.
BANTWAL, V., & KUNREUTHER, H. (1999). A Cat Bond Premium Puzzle? Working Papers, Wharton
School Center for Financial Institutions.
BARYSHNIKOV, Y., MAYO, A., & TAYLOR, D. (1999). Pricing CAT Bonds. Working Paper.
BOLDER, D. J., JOHNSON, G., & METZLER, A. (2004). An Empirical Analysis of the Canadian Term Structure of Zero-Coupon Interest Rates. Working Paper - Bank of Canada.
Bureau d'Assurance du Canada (BAC). (2008). FACTS of the Genera Insurance Industry in Canada.
BURNECKI, K., JANCZURA, J., & WERON, R. (2011). Building Loss Models. Dans Statistical Tools for
Finance and Insurance (pp. 293-328). Berlin: Springer.
COLLINS, D. J., & LOWE, S. (2001). A Macro Validation Dataset for US Hurricane Model. Casualty
Actuarial Society, Winter Forum.
CONSTANTIN, L. (2011). Portfolio Diversification through Structured Catastrophe Bonds amidst the Financial Crisis. Economic Sciences Series, Vol. LXIII, No. 3, pp. 75-84.
CUMMINS, J. D. (2007). Reinsurance for Natural and Man-Made Catastrophes in the United States: Current State of the Market and Regulatory Reforms. Risk Management and Insurance Review 10, pp. 179-220.
CUMMINS, J. D. (2008). Cat Bonds and Other Risk Linked Securities: State of the Market and Recent Developments. Risk Management and Insurance Review, Vol. 11, No. 1, pp. 23-47.
CUMMINS, J. D., & GEMAN, H. (1995). Pricing Catastrophe Insurance Futures and Call Spreads: An Arbitrage Approach. Journal of Fixed Income 4, pp. 46-57.
D’AGOSTINO, R., & STEPHENS, M. (1986). Goodness-of-Fit Techniques. New York: Marcel.
DASSIOS, A., & JANG, J.-W. (2003). Pricing of Catastrophe Reinsurance and Derivatives Using the Cox Process with Shot Noise Intensity. Finance and Stochastics 7, pp. 73–95.
DUAN, J., & YU, M. (2005). Fair Insurance Guaranty Premia in the Presence of Risk-Based Capital Regulations, Stochastic Interest Rate and Catastrophic Risk. Journal of Banking & Finance, Vol. 29,
No. 10, pp. 2435-2454.
EMBRECHTS, P., & MEISTER, S. (1997). Pricing Insurance Derivatives, the Case of CAT-Futures. Proceedings of the 1995 Bowles Symposium on Securitization of Risk (pp. 15-26). George State University Atlanta: Society of Actuaries.
FROOT, K. A. (2001). The Market for Catastrophe Risk: a Clinical Examination. Journal of Financial
Economics 60, pp. 529-571.
FROOT, K. A. (2008). The Intermediation of Financial Risks: Evolution in the Catastrophe Reinsurance Market. Risk Management & Insurance Review 11, No. 2, pp. 281-294.
62
GALEOTTI, GURTLER, & WINKELVOS. (2012). Accuracy of Premium Calculation Models for - an Empirical Analysis. The Journal of Risk and Insurance.
Gouvernement Du Canada. (s.d.). Accords d'aide financière en cas de catastrophe (AAFCC). Récupéré sur Sécurité Publique Canada.
Groupe d'Experts Intergouvernemental sur l'Évolution du Climat (GIEC). (2007). Changements Climatiques 2007.
HAINAUT, D. (2010). Pricing of Catastrophe Bond with a Seasonal Effect. Working Paper.
IBRAGIMOV, R., JAFFEE, D., & WALDEN, J. (2009). Nondiversification Traps in Catastrophe Insurance Markets. The Review of Financial Studies, Vol. 22, Issue 3, pp. 959-993.
JARROW, R. A. (2010). A Simple Robust Model for Cat Bond Valuation. Finance Research Letters 7, pp. 72-79.
KORTSCHAK, D., & ALBRECHER, H. (2010). An Asymptotic Expansion for the Tail of Compound Sums of Burr Distributed Random Variables. Statistics and probability Letters 80, pp. 612-620.
LANE, M., & MAHUL, O. (2008). Catastrophe Risk Pricing An Empirical Analysis. Policy Research
Working Paper Series - The World Bank.
LI, X. (2007). A Novel Accurate Approximation Method of Lognormal Sum Random Variables. M. Sc.
Thesis, Wright State University.
LIN, S.-K., CHANG, C.-C., & POWERS, M. R. (2009). The Valuation of Contingent Capital with Catastrophe Risks. Insurance: Mathematics and Economics 45, pp. 65-73.
LITZENBERGER, R. H., BEAGLEHOLE, D. R., & REYNOLDS, C. E. (1996). Assessing Catastrophe Reinsurance-Linked Securities as a New Asset Class. Journal of Portfolio Management, 23, pp. 76-86.
LOPEZ CABRERA, B. (2010). Calibrating CAT Bonds for Mexican Earthquakes. The Journal of Risk and
Insurance, Vol. 77, No. 3, pp. 625-650.
LOUBERGE, KELLEZI, & GILLI. (1999). Using Catastrophe-Linked Securities To Diversify Insurance Risk - A Financial Analysis Of Cat Bonds. Journal of Insurance Issues, 22, 2, pp. 125-146.
MERTON, R. (1973). Theory of Rational Option Pricing. Bell Journal of Economics and Management
Science, pp. 141-183.
MERTON, R. (1976). Option Prices when Underlying Stock Returns are Discontinuous. Journal of Financial
Economics 3, pp. 125-144.
MUERMAN, A. (2003). Actuarially Consistent Valuation of CAT Derivatives. WorkingPaper 03–18, The
Wharton Financial Institutions Center.
PERRAKIS, S., & BOLOOR FOROOSH, A. (2011). Valuing Catastrophe Derivatives Under Limited Diversification: a Stochastic Dominance Approach. Midwest Finance Association 2012 Annual
Meetings Paper.
63
RAMSAY, C. M. (2006). The Distribution of Sums of Certain I.I.D. Pareto Variates. Communications in
Statistics - Theory and Methods, Vol. 35, No. 3, pp. 395-405.
SANDINK, D., KOVACS, P., OULAHEN, G., & MCGILLIVRAY, G. (2010). Making Flood Insurable for Canadian Homeowners. Discussion Paper, SwissRE.
WANG, S. (2004). Cat Bond Pricing using Probability Transforms. Geneva Papers: Etudes et Dossiers,
special issue on "Insurance and the State of the Art Cat Bond Pricing", No. 278, pp. 19-29.
64
Annexe A – Définition des distributions utilisées
Log-normale
Fonction de densité : f(x�μ, σ) = 11 ∙ x ∙ σ ∙ √2π ∙ ec
(»¼(½)c¾)r�¿r
Fonction de répartition :
F(x�μ, σ) = 1σ ∙ √2π ∙ � ec(»¼(,)c¾)r�¿rt dt½�
Gamma
Fonction de densité : f(x�a, b) = 1b ∙ Γ(a) ∙ xÂc� ∙ ec½Ä
Fonction de répartition :
F(x�a, b) = 1b ∙ Γ(a) ∙ � tÂc� ∙ ec,Ä dt½�
Exponentielle
Fonction de densité : f(x�μ) = 1μ ∙ ec½¾
Fonction de répartition :F(x�μ) = 1 − ec½¾
65
Log-logistique
Pour
x ≥ 0
Fonction de densité : f(x�μ, σ) = e»¼(½)c¾¿
σ ∙ x ∙ 71 + e»¼(½)c¾¿ 8�
Fonction de répartition :
F(x�μ, σ) = 11 + ec(»¼(½)c¾)¿
Weibull
Pour
x ≥ 0
Fonction de densité :
f(x�a, b) = b ∙ acÄ ∙ xÄc� ∙ ec>½ÂDÆ Fonction de répartition :
F(x�a, b) = 1 − ec>½ÂDÆ
Pareto généralisée
Pour
x ≥ 0
Fonction de densité :
f(x�k, σ, 0) = 1σ ∙ >1 + k xσDc�c�È
Fonction de répartition :
66
F(x�k, σ, 0) = 1 − >1 + k xσDc�È
Burr
Fonction de densité :
f(x�α, δ, τ) = α ∙ τ ∙ δτ ∙ xÊc�(xÊ + δ)τË�
Fonction de répartition :
F(x�α, δ, τ) = 1 − 71 + xÊδ8cτ
67
Annexe B – Carte des régions administratives
Figure 23 – Carte des régions administratives du Québec
Annexe C – Données des indices par région
Tableau 14 – Données des indices par région
Pondération 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
0,75 Indice du prix à la consommation
(augmentation %) 1,9% 1,3% -1,4% 1,8% 1,6% 1,4% 1,4% 1,5% 2,4% 2,4% 2,0% 2,5% 1,9% 2,3% 1,7% 1,6% 2,1% 0,6% 1,3% 3,0%
Saguenay
MLS valeur moyenne (PM) 72491 70465 72741 69038 69313 71554 72619 75803 77166
MLS valeur moyenne (PMP)
78963 81787 87117 92461 96918 105597 115426 130803 144213 151911 168283 179033
0,25 MLS augmentation % 8,8% -2,8% 3,2% -5,1% 0,4% 3,2% 1,5% 4,4% 1,8% 3,6% 6,5% 6,1% 4,8% 9,0% 9,3% 13,3% 10,3% 5,3% 10,8% 6,4%
Nombre d'habitations (augmentation
%) 1,7% 1,3% 1,1% 1,0% 0,5% 0,5% 0,8% 0,8% 0,5% 0,5% 0,5% 1,0% 0,7% 0,5% 0,7% 0,8% 1,1% 1,3% 0,9% 1,2%
Nombre d'habitations (début de
l'année) 57 923 58 660 59 328 59 934 60 245 60 554 61 054 61 556 61 861 62 157 62 493 63 089 63 524 63 871 64335 64 820 65 505 66 374 66 958 67 741
Nouvelles habitations (durant l'année) 737 668 606 311 309 500 502 305 296 336 596 435 347 464 485 685 869 584 783
INDICE 1,05 1,02 1,01 1,01 1,02 1,02 1,02 1,03 1,03 1,03 1,04 1,04 1,03 1,05 1,04 1,05 1,05 1,03 1,05 1,05
Trois-Rivières
MLS valeur moyenne (PM) 67429 71254 69243 67034 68341 69554 69384 68698 69571
MLS valeur moyenne (PMP)
76320 75959 83774 90415 101054 111576 116523 132113 138366 142048 151953 156917
0,25 MLS augmentation % 1,8% 5,7% -2,8% -3,2% 1,9% 1,8% -0,2% -1,0% 1,3% -0,5% 10,3% 7,9% 11,8% 10,4% 4,4% 13,4% 4,7% 2,7% 7,0% 3,3%
Nombre d'habitations (augmentation
%) 2,1% 1,3% 1,4% 1,7% 0,9% 0,8% 0,9% 1,0% 0,6% 0,6% 0,5% 1,0% 1,0% 1,4% 1,5% 1,6% 1,8% 1,7% 1,5% 2,5%
Nombre d'habitations (début de
l'année) 55246 55942 56725 57663 58182 58668 59188 59787 60167 60504 60828 61447 62082 62956 63875 64892 66089 67237 68264 69955
Nouvelles habitations (durant l'année) 696 783 938 519 486 520 599 380 337 324 619 635 874 919 1017 1197 1148 1027 1691
INDICE 1,04 1,04 1,00 1,02 1,03 1,02 1,02 1,02 1,03 1,02 1,05 1,05 1,05 1,06 1,04 1,06 1,05 1,03 1,04 1,06
Sherbrooke
MLS valeur moyenne (PM) 80037 83722 82486 79018 81232 85711 87369 89258 93269
MLS valeur moyenne (PMP)
94232 98898 107823 123203 141485 161253 166145 183120 187669 193247 204421 215724
0,25 MLS augmentation % -3,8% 4,6% -1,5% -4,2% 2,8% 5,5% 1,9% 2,2% 4,5% 5,0% 9,0% 14,3% 14,8% 14,0% 3,0% 10,2% 2,5% 3,0% 5,8% 5,5%
Nombre d'habitations (augmentation
%) 1,6% 1,0% 1,1% 1,3% 0,8% 1,1% 1,0% 0,8% 0,8% 0,7% 0,8% 1,1% 1,3% 1,7% 1,3% 1,6% 1,6% 1,9% 1,8% 1,9%
Nombre d'habitations (début de
l'année) 71423 72172 72950 73933 74515 75312 76068 76658 77303 77818 78407 79264 80334 81689 82765 84070 85388 87015 88595 90251
Nouvelles habitations (durant l'année) 749 778 983 582 797 756 590 645 515 589 857 1070 1355 1076 1305 1318 1627 1580 1656
INDICE 1,02 1,03 1,00 1,02 1,03 1,04 1,03 1,02 1,04 1,04 1,05 1,07 1,07 1,07 1,03 1,05 1,04 1,03 1,04 1,06
Gatineau
MLS valeur moyenne (PM) 94172 96437 97067 94074 94351 90275 90353 90989 92338
MLS valeur moyenne (PMP)
94584 103896 118424 137931 154693 165454 174199 185590 193911 206005 218620 234268
0,25 MLS augmentation % 2,2% 2,4% 0,7% -3,1% 0,3% -4,3% 0,1% 0,7% 1,5% 9,8% 14,0% 16,5% 12,2% 7,0% 5,3% 6,5% 4,5% 6,2% 6,1% 7,2%
68
Nombre d'habitations (augmentation
%) 4,7% 3,2% 3,1% 2,7% 1,5% 1,3% 1,5% 1,5% 1,4% 1,4% 1,9% 2,9% 3,0% 3,4% 2,2% 2,9% 2,7% 3,1% 2,9% 2,4%
Nombre d'habitations (début de
l'année) 73872 76240 78607 80735 81943 82987 84249 85493 86678 87902 89561 92114 94915 98142 100265 103198 105986 109290 112406 115093
Nouvelles habitations (durant l'année) 2368 2367 2 128 1208 1044 1262 1244 1185 1224 1659 2553 2801 3227 2123 2933 2788 3304 3116 2687
INDICE 1,07 1,05 1,02 1,03 1,03 1,01 1,03 1,03 1,04 1,06 1,07 1,09 1,08 1,07 1,05 1,06 1,05 1,05 1,05 1,07
Ville de Québec
MLS valeur moyenne (PM) 84095 85250 86143 83800 84994 84051 85883 88091 90079
MLS valeur moyenne (PMP)
92185 96813 107721 126292 139901 152853 162764 181183 197450 212203 237309 247127
0,25 MLS augmentation % -0,5% 1,4% 1,0% -2,7% 1,4% -1,1% 2,2% 2,6% 2,3% 5,0% 11,3% 17,2% 10,8% 9,3% 6,5% 11,3% 9,0% 7,5% 11,8% 4,1%
Nombre d'habitations (augmentation
%) 2,5% 2,4% 1,7% 1,7% 0,9% 0,8% 0,8% 0,6% 0,6% 0,8% 0,9% 1,5% 1,9% 2,0% 1,9% 1,6% 1,6% 1,7% 1,7% 2,0%
Nombre d'habitations (début de
l'année) 263737 270037 274736 279413 281818 284026 286259 288104 289918 292193 294748 299030 304629 310815 316650 321826 327110 332567 338080 344732
Nouvelles habitations (durant l'année) 6300 4 699 4 677 2 405 2 208 2233 1 845 1 814 2275 2555 4282 5599 6186 5835 5176 5284 5457 5513 6652
INDICE 1,04 1,04 1,01 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,03 1,04 1,05 1,08 1,06 1,06 1,05 1,06 1,06 1,04 1,06 1,05
Montréal
MLS valeur moyenne (PM) 111067 111255 110810 106896 105729 109720 112516 116218 121544
MLS valeur moyenne (PMP)
126781 133077 153293 180867 206246 221275 235197 251418 262611 274787 297588 314022
0,25 MLS augmentation % -0,7% 0,2% -0,4% -3,5% -1,1% 3,8% 2,5% 3,3% 4,6% 5,0% 15,2% 18,0% 14,0% 7,3% 6,3% 6,9% 4,5% 4,6% 8,3% 5,5%
Nombre d'habitations (augmentation
%) 1,4% 1,1% 1,0% 1,0% 0,6% 0,6% 0,8% 0,7% 0,9% 0,9% 0,9% 1,4% 1,7% 1,9% 1,7% 1,5% 1,5% 1,4% 1,2% 1,4%
Nombre d'habitations (début de
l'année) 1311217 1325737 1339466 1352623 1360091 1367647 1378155 1388448 1400814 1413580 1426880 1447434 1471755 1500428 1525745 1548558 1571791 1593718 1612969 1634970
Nouvelles habitations (durant l'année) 14520 13729 13157 7468 7556 10508 10293 12366 12766 13300 20554 24321 28673 25317 22813 23233 21927 19251 22001
INDICE 1,03 1,02 1,00 1,01 1,01 1,03 1,02 1,03 1,04 1,04 1,06 1,08 1,07 1,06 1,05 1,04 1,04 1,03 1,04 1,05
Province de Québec
MLS valeur moyenne (PM) 102311 102447 102181 98685 98435 101715 103947 107501 108392
MLS valeur moyenne (PMP)
108392 113332 128631 149600 169470 183415 195378 209465 220090 230217 248685 261328
0,25 MLS augmentation % -0,5% 0,1% -0,3% -3,4% -0,3% 3,3% 2,2% 3,4% 0,8% 4,6% 13,5% 16,3% 13,3% 8,2% 6,5% 7,2% 5,1% 4,6% 8,0% 5,1%
Nombre d'habitations (augmentation
%) 1,7% 1,4% 1,2% 1,2% 0,8% 0,8% 0,9% 0,8% 0,9% 0,8% 0,9% 1,4% 1,7% 1,9% 1,6% 1,5% 1,5% 1,5% 1,3% 1,5%
Nombre d'habitations (début de
l'année) 2708591 2746819 2780834 2814988 2836873 2860093 2885989 2909127 2934869 2959564 2987246 3029698 3079987 3138435
3 189
345 3237222 3285775 3333676 3377079 3428442
Nouvelles habitations (durant l'année) 38228 34015 34154 21885 23220 25896 23138 25742 24695 27682 42452 50289 58448 50910 47877 48553 47901 43403 51363
INDICE 1,03 1,02 1,00 1,02 1,02 1,03 1,03 1,03 1,03 1,04 1,06 1,07 1,06 1,06 1,05 1,05 1,04 1,03 1,04 1,05
