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Chapitre 4
Etat solide
4.1 Introduction
Dans ce chapitre, nous ferons une introduction à la physique du solide. Dans un premier
temps, nous dé�nirons les notions de base d'un solide : la structure périodique des solides
et la preuve expérimentale. Puis nous examinerons quelques propriétés des électrons libres
dans un métal. Finalement, la structure des bandes d'énergie des électrons dans un corps
solide nous permettra de comprendre les isolants et les conducteurs.
4.2 Structure périodique des solides
4.2.1 Réseau et maille unitaire
Un solide a une structure appelée cristal. Un cristal est la répétition de motifs formés
d'atomes, de molécules, ou de groupes d'atomes ou de molécules. Avant de discuter le
problème tridimensionnel, illustrons cela dans le cas bidimensionnel.
a1
b1
b2
a2
Fig. 4.1 � Exemple de réseau à deux dimensions
1
2 CHAPITRE 4. ETAT SOLIDE
Les cellules en gris de la �gure 4.1 sont des cellules unitaires : le réseau entier peut
être reproduit par translation de ce motif. Une cellule unitaire est dite primitive si
nous joignons les atomes voisins par une ligne (par exemple, la cellule correspondant au
parallélogramme formé par les vecteurs a1 et b1 est primitive).
Les réseaux sont caractérisés par des symétries. A deux dimensions, nous avons 5 types
de réseaux, représentés dans la �gure 4.2.
a1
b
a
b
a
ab
ab
b ba
120°
Réseau carré
Réseau oblique
Réseau hexagonal
Réseau rectangulaire
Réseau rectangulaire centré
Fig. 4.2 � Types de réseaux à deux dimensions
Pour le réseau rectangulaire centré, le rectangle formé à partir de a et b donne la cellule
unitaire rectangulaire. Le parallélogramme formé à partir de a1 et b donne la cellule
unitaire primitive.
4.2. STRUCTURE PÉRIODIQUE DES SOLIDES 3
Ces cinq réseaux sont appelés réseaux de Bravais. Les opérations de symétries sont des
rotations de 2π, 2π/2, 2π/3, 2π/4 et 2π/6. Il n'est pas possible d'avoir une symétrie 2π/5ou 2π/71. De plus, il est possible d'avoir une symétrie par rapport à un plan passant par
un point du réseau, ou une opération d'inversion (r → −r). Ce sont ces symétries qui
limitent le nombre des réseaux de Bravais.
A trois dimensions, le nombre de réseaux de Bravais s'élève à 14 (voir l'ouvrage cité en
note 1). Parmi les plus connus, nous avons :
• le réseau cubique :
• le réseau cubique centré, ou bcc (body centered cubic) :
• le réseau cubique à face centrée, ou fcc (face centered cubic) :
1Voir Introduction to solid state physics, Charles Kittel.
4 CHAPITRE 4. ETAT SOLIDE
Le fer à température ambiante est bcc. Le cuivre est fcc. Le sodium et le potassium sont
bcc.
Notez que la structure d'un corps dépend de la température. Le fer est par exemple bcc
à température ambiante jusqu'à 911 °C (fer α ou ferrite) et au dessus de 1392 °C (Fer δ),et il est fcc (Fer γ ou austénite) entre ces deux températures.
Quelles sont les dimensions des mailles élémentaires ? Comme ordre de grandeur, disons
qu'elles sont de l'ordre de 0.3 − 0.6 nm. Vous trouvez dans le livre de Kittel les valeurs
précises pour plusieurs corps.
4.2.2 Notation, indices de Miller
Comment dé�nissons-nous un plan dans un réseau avec les vecteurs a, b et c dé�nissant
la maille unitaire ?
ab
c
0 1
Fig. 4.3 � Réseau avec maille unitaire formée par trois vecteurs (a,b, c)
Considérons le plan gris de la �gure 4.3. Il coupe les axes a, b et c en (1,∞,∞). Laprocédure est la suivante :
• prendre l'intersection avec les axes, soit (1,∞,∞) dans le cas présent,• prendre l'inverse de cette intersection, soit (1, 0, 0),• réduire ces nombres à des entiers ayant le même rapport, ici (1, 0, 0).
Cette procédure permet de dé�nir un plan en connaissant les vecteurs unitaires de la
maille unitaire. Les trois nombres obtenus sont les indices de Miller du plan.
Illustrons cette procédure dans un cas un peu plus compliqué. Considérons le plan en
gris de la �gure 4.4.
• Point d'intersection : (3, 2, 2),• Inverse : (1
3 ,12 ,
12),
• Nombres entiers ayant le même rapport : (2, 3, 3).
4.2. STRUCTURE PÉRIODIQUE DES SOLIDES 5
a bc
3
0
2
2
Fig. 4.4 � Plan (2, 3, 3)
Les indices de Miller de ce plan sont (2, 3, 3). Les plans parallèles ont donc comme indices
de Miller {2, 3, 3}. Pour les nombres négatifs, il su�t de mettre une barre au dessus du
chi�re.
4.2.3 Véri�cation expérimentale
La véri�cation expérimentale des plans cristallins passe par la di�raction des rayons X
ou de particules. Si nous considérons une famille de plans parallèles déterminée par les
indices de Miller {h, k, l}, nous avons la situation décrite dans la �gure 4.5.
Plans {h,k,l}{ d
d
θ
θθ
Fig. 4.5 � Di�raction par un réseau
Les divers plans parallèles sont séparés d'une distance d. On envoie une onde (soit élec-
tromagnétique, soit de particules comme les électrons) sur ce cristal. Cette onde a une
6 CHAPITRE 4. ETAT SOLIDE
longueur d'onde λ et fait un angle θ avec les plans {h, k, l}. Cette onde est ré�échie
par chaque plan dans la direction θ également. Cherchons la condition pour obtenir une
interférence constructive des ondes ré�échies.
Les ondes incidentes et ré�échies correspondant à deux plans successifs ont une di�é-
rence de parcours égale à 2d sin θ. Pour que les ondes ré�échies interfèrent d'une manière
constructive, nous devons avoir alors la condition :
2d sin θ = nλ avec n entier
Cette relation est la loi de Bragg. On peut aussi voir la loi de Bragg sous la forme
2d sin θ = λ
Dans ce cas, le facteur n est absorbé dans le d. La loi de Bragg impose une condition sur
la longueur d'onde incidente. Comme sin θ est inférieur à 1, λ est également limité :
λ 6 2d
Aplication
Prenons λ = 0.154 nm, d = 0.4 nm. L'angle θ est donc :
θ = arcsin(λ
2d
)= 11°
Quelles sont les sources utilisées ? Les distances sont de l'ordre de quelques dixièmes de
nanomètres. Les longueurs d'onde doivent donc être de cet ordre ou inférieures. Nous
avons alors, comme sources :
• les rayons X,
• les faisceaux d'électrons,
• les faisceaux de neutrons.
Rayons X
Rappelons que les rayons X sont générés en bombardant un métal par un faisceau d'élec-
trons énergétiques. Le spectre émis consiste en un spectre de raie superposé à un spectre
continu (voir paragraphe 3.4.5). Si on utilise comme cible du Cu, on obtient une ligne
intense (ligne Kα1) à 0.1541 nm. Pour du Mo, la ligne Kα1 a une longueur d'onde de
0.0709 nm.
4.2. STRUCTURE PÉRIODIQUE DES SOLIDES 7
Faisceau d'électrons
Rappelons que les électrons, d'après la mécanique quantique, peuvent être considérés
comme des ondes (voir paragraphe 1.5). La relation entre λ et l'énergie cinétique E des
électrons est :
E =h2
2mλ2
avec m = 9 · 10−31 kg la masse de l'électron. En unité plus pratiques, nous avons :
λ[nm] =1.2√E[eV]
Les électrons sont des particules chargées et interagissent fortement avec la matière : ils
ne pénètrent pas profondément dans le cristal et sont surtout utilisés pour des �lms ou
de petits cristaux.
Pour obtenir λ de l'ordre de 0.1 nm, l'énergie des électrons est de l'ordre de quelques
centaines d'eV.
Faisceau de neutrons
Comme pour les électrons, la mécanique quantique nous dit que les neutrons ont aussi
une nature ondulatoire. La relation entre l'énergie et la longueur d'onde est toujours
E =h2
2mnλ2
avec mn = 1.67493 · 10−27 kg la masse du neutron. En unité plus pratiques, nous avons :
λ[nm] =0.028√E[eV]
Pour λ = 0.1 nm, E = 0.08 eV, ce qui correspond aux neutrons thermiques d'un réacteur.
8 CHAPITRE 4. ETAT SOLIDE
Réalisation expérimentale
Avant de montrer une réalisation expérimentale, dessinons les divers plans dans un réseau
cristallin. Ces plans sont représentés dans la �gure 4.6.
{0,1,0}
{1,1,0} {3,1,0}
{1,2,0}
{1,3,0}
}Fig. 4.6 � Di�érents plans {h, k, l}
Grâce à la �gure 4.6, nous voyons que la distance entre deux plans successifs décroît
lorsque les indices de Miller augmentent. Ceci requiert :
• à sin θ constant, des longueurs d'ondes plus courtes,• à λ constant, une augmentation de sin θ, donc de θ.Parmi les nombreuses méthodes possibles, nous décrivons la caméra de di�raction des
rayons X, utilisant des poudres. On envoie un faisceau de rayons X monochromatiques
dans une chambre cylindrique. Un �lm sensible aux rayons X est mis dans la chambre.
Au centre du cylindre, on place un petit tube rempli d'une poudre du cristal que l'on
veut étudier. La �gure 4.7 montre ce dispositif.
Film sensible aux rayons X
2θFaisceau de rayons X monochromatiques
Tube contenant une poudre de cristal
Direction des rayons X réfléchis dans une direction satisfaisant la condition de Bragg pour des plans {h,k,l}
Fig. 4.7 � Schéma d'une caméra utilisée pour la di�raction d'une poudre par rayons X
4.2. STRUCTURE PÉRIODIQUE DES SOLIDES 9
Par la loi de Bragg, 2d sin θ = λ. Nous avons la situation où λ est �xé, car le faisceau de
rayons X est monochromatique. Comment obtenir les �gures d'interférence correspondant
aux divers d ?
Notons que la poudre est un ensemble de cristaux dont l'orientation par rapport aux
rayons X est aléatoire. Il y aura toujours des plans {h, k, l} satisfaisant la condition de
Bragg. La �gure 4.8 montre la situation pour un tel plan.
Plans {h,k,l} satisfaisant la condition de Bragg
2θRayons X incidents
Rayons X réfléchis
θ}
Fig. 4.8 � Di�raction pour un plan satisfaisant la loi de Bragg
Le faisceau di�racté fait donc un angle 2θ par rapport au faisceau incident, avec
θ = arcsin(λ
2d
)où d est la distance entre deux plans {h, k, l}. L'angle θ augmente avec les indices {h, k, l}.
Dans une caméra pour di�raction de poudres, les faisceaux di�ractés dans les directions
satisfaisant la condition de Bragg sont émis selon des cônes dont l'axe est le faisceau
incident. Sur le �lm, ces faisceaux donnent des arcs de cercles caractérisant les divers
plans {h, k, l}. La mesure de l'angle θ correspondant nous donne d correspondant à la
distance entre les plans {h, k, l}.
4.2.4 Réseau réciproque
Soit un cristal avec des vecteurs de base (a,b, c) Un point du cristal est
ρ = ma+ nb+ qc
Dé�nissons les vecteurs suivants :
A = 2πb ∧ c
a · (b ∧ c)
B = 2πc ∧ a
a · (b ∧ c)
10 CHAPITRE 4. ETAT SOLIDE
C = 2πa ∧ b
a · (b ∧ c)
Les vecteurs A, B et C sont les vecteurs de base du réseau réciproque. Soit G un
vecteur du réseau réciproque :
G = hA+ kB+ lC
On a :
G · ρ =2π
a · (b ∧ c)[hma · (b ∧ c) + knb · (c ∧ a) + lqc · (a ∧ b)]
En utilisant
a · (b ∧ c) = b · (c ∧ a) = c · (a ∧ b)
on a :
G · ρ = 2π [hm+ kn+ lq] = 2π × nombre entier
exp {iG · ρ } = 1
Table des matières
4 Etat solide 1
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
4.2 Structure périodique des solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
4.2.1 Réseau et maille unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
4.2.2 Notation, indices de Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2.3 Véri�cation expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2.4 Réseau réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
11