ETUDE DE FAISABILITE D UN TRAMWAY MONORAILchemori/Temp/Meriem_Lydia/rapport_stage...Stage de Fin d’Année - Etude de Faisabilité d’un Tramway Monorail - Page 4/38 I. CAHIER DES

- ETUDE DE FAISABILITE D’UN

TRAMWAY MONORAIL -

COMMANDE DU PENDULE INVERSE

Stage De Fin d’Année

Année 2005-2006

- Bruno GARABEDIAN -

Université Montpellier 2

Master STPI EEA 1° année

- Tuteur : M. Sébastien KRUT -

LIRMM

Chercheur CNRS en Robotique

LIRMM Bruno GARABEDIAN Université Montpellier II

Stage de Fin d’Année - Etude de Faisabilité d’un Tramway Monorail - Page 1/38

REMERCIEMENTS

Pour l’ensemble du déroulement de ce stage, je souhaite remercier le Laboratoire

d'Informatique, de Robotique et de Microélectronique de Montpellier (LIRMM) et, plus

particulièrement, Monsieur Sébastien Krut, Chercheur CNRS en Robotique au LIRMM et

tuteur de mon stage de fin d’année, pour m’avoir accueilli dans son équipe, pour m’avoir

confié ce projet, pour sa disponibilité, et pour son aide en général.



AVANT-PROPOS

Le stage en entreprise d’une durée nominale de trois mois (4 mois en ce qui me

concerne : du 18 avril au 18 août 2006) est une occasion unique et non négligeable, non

seulement de mettre en application les différents enseignements reçus tout au long de la

formation Master 1 EEA (Electronique/Electrotechnique/Automatique), dispensée par

l’Université de Montpellier II, mais également, d’appréhender de nouveaux horizons

professionnels.

Master 2 Professionnel ou Master 2 Recherche, en Automatique et Robotique ?

Ingénieur d’études et développement ou chercheur, en Automatique et Robotique ? Ces

questions relatives à la définition de mon devenir professionnel sont restées jusqu’à

aujourd’hui quasiment sans réponse. C’est afin de résoudre ce dilemme que j’ai décidé de

réaliser mon stage de fin d’année au sein d’un laboratoire de recherche publique dans le

domaine de la robotique et/ou de l’automatique. Il est utile de préciser que mes antécédents

professionnels, me permettent déjà, d’avoir un point de vue quant au fait d’exercer le métier

d’ingénieur d’études dans une entreprise privée.

Mon choix s’est donc porté, sur le Laboratoire d'Informatique, de Robotique et de

Microélectronique de Montpellier (LIRMM), car il s’est avéré être en adéquation avec les

objectifs cités ci-dessus, mais aussi, parce que le stage proposé, qui consiste d’une manière

générale en l’étude de la commande du Pendule Inversé, m’a paru fortement intéressant (Cf.

chapitre II pour plus de précisions sur le cahier des charges).

Ce rapport de synthèse a pour finalité de présenter, le LIRMM, l’aspect

organisationnel gravitant autour de ce stage et enfin, le travail réalisé au cours de ces trois

derniers mois.



SOMMAIRE

AVANT-PROPOS ................................................................................................................................................. 2

I. CAHIER DES CHARGES ................................................................................................................................ 4

I.1. CONTEXTE ................................................................................................................................................... 4 I.2. LE TRAMWAY ............................................................................................................................................... 5 I.3. DU TRAMWAY MONORAIL AU PENDULE INVERSE ...................................................................................... 7 I.4. ENONCE DU CAHIER DES CHARGES ............................................................................................................ 7

II. GESTION DE PROJET .................................................................................................................................. 8

III. PRESENTATION DU LIRMM .................................................................................................................... 9

III.1. FICHE SIGNALETIQUE ................................................................................................................................ 9 III.2. PRESENTATION GENERALE ....................................................................................................................... 9 III.3. DEPARTEMENT INFORMATIQUE ................................................................................................................. 9 III.4. DEPARTEMENT MICROELECTRONIQUE ................................................................................................... 10 III.5. DEPARTEMENT ROBOTIQUE .................................................................................................................... 10

IV. MODELISATION MATHEMATIQUE DU PENDULE INVERSE RI .................................................. 11

IV.1. PREAMBULE ............................................................................................................................................ 11 IV.2. MODELE DYNAMIQUE NON-LINEAIRE ...................................................................................................... 14 IV.3. MODELE LINEARISE → REPRESENTATION D’ETAT ................................................................................ 15 IV.4. PROPRIETE DU SYSTEME ........................................................................................................................ 16 IV.5. CARACTERISATION DU SYSTEME ............................................................................................................ 17 IV.6. DIMENSIONNEMENT DU SYSTEME ........................................................................................................... 20

V. TECHNIQUES DE COMMANDE DU PENDULE INVERSE RI ............................................................ 21

V.1. PREAMBULE ............................................................................................................................................. 21 V.2. LA COMMANDE ROBUSTE : GENERALITE ................................................................................................ 21 V.3. SYNTHESE LINEAIRE QUADRATIQUE ....................................................................................................... 22 V.4. SYNTHESE LINEAIRE QUADRATIQUE GAUSSIENNE ................................................................................ 23 V.5. SIMULATION ............................................................................................................................................. 24

VI. MAQUETTE DU PENDULE INVERSE : CHOIX DES CONSTITUANTS .......................................... 29

VI.1. PREAMBULE ............................................................................................................................................ 29 VI.2. ARCHITECTURE ....................................................................................................................................... 29 VI.3. MOTEUR .................................................................................................................................................. 29 VI.4. VARIATEUR DE VITESSE .......................................................................................................................... 30 VI.5. INCLINOMETRE ........................................................................................................................................ 31 VI.6. SYSTEME D’EXPLOITATION ..................................................................................................................... 32 VI.7. REALISATION........................................................................................................................................... 32

VII. AXES DE REFFLEXION .......................................................................................................................... 33

VII.1. PREAMBULE ........................................................................................................................................... 33 VII.2. LA SECURITE .......................................................................................................................................... 33 VII.3. LE CONFORT ET LE DESIGN ................................................................................................................... 33 VII.4. L’ENERGIE .............................................................................................................................................. 34 VII.5. L’ECOLOGIE ........................................................................................................................................... 34

VIII. CONCLUSION .......................................................................................................................................... 35

IX. REFERENCES ............................................................................................................................................. 37

IX.1. BIBLIOGRAPHIE ....................................................................................................................................... 37 IX.2. WEBOGRAPHIE........................................................................................................................................ 37

RESUME ............................................................................................................................................................. 38



I. CAHIER DES CHARGES

I.1. Contexte

Le monde du transport urbain et périurbain est aujourd’hui en pleine mutation. En

effet, de nombreuses agglomérations françaises (Bordeaux, Marseille, Montpellier, Paris,

Strasbourg, etc.) ont fait le choix d’intégrer dans leur Plan de Déplacements Urbains (PDU)

respectif, des projets visant à densifier d’une manière significative leur réseau de transport en

commun au dépens des automobiles. Ces projets font tout simplement échos à une véritable

dégradation continue des conditions de circulation au niveau des grandes agglomérations

françaises (les urbanistes prévoient une croissance des déplacements dans les agglomérations

de près de 25% d’ici à l’horizon 2020). Les solutions envisageables pour élargir l'offre de

transport collectif sont : le renforcement du réseau de bus et de métro (pour les villes déjà

équipées) ; et/ou, l’implantation d’une ou plusieurs lignes de tramway.

En faisant abstraction des autres possibilités qui leur sont offertes, une grande majorité

des agglomérations désireuses de lutter efficacement contre l'asphyxie automobile, plébiscite

le tramway. Un tel choix n’est pas anodin, puisque le tramway se trouve être le meilleur

compromis entre le bus et le métro. Les quatre raisons qui suivent, viennent corroborer cet

engouement :

Malgré un coût d'investissement élevé, le tramway reste très compétitif. A titre de comparaison, un kilomètre d’une ligne de tramway représente environ un tiers du

coût d’un kilomètre d'une ligne de métro.

Le tramway est intégré au sein d’un réseau de transport collectif en site propre : c’est un réseau (ou espace réservé à usage spécifique) qui bénéficie d’une priorité

absolue sur les autres voies de circulation. Un tel dispositif permet d’affranchir le

transport en commun des aléas de la circulation, et donc, par corollaire, de garantir

sa fréquence et sa ponctualité.

L’implantation du tramway est une opportunité, pour une agglomération, de repenser les interconnections des différentes zones urbaines, dans le but de les

redynamiser au niveau social et économique.

Sous l’angle écologique, le tramway est considéré comme un moyen de transport urbain propre (propulsion par des moteurs électriques) et intégré à son environnent

(paysage urbain pacifié).

Il est indéniable que le tramway participe au rayonnement d’une agglomération à

travers un pays, voir même pour certaine, à travers le monde. Il donne à une agglomération

l’image d’une cité dynamique, moderne et soucieuse de la qualité de son environnement.

Mais, le tramway peut également dans une certaine mesure, uniformiser le paysage urbain des

agglomérations, c'est-à-dire dissoudre son identité dans la masse.

De nos jours, une agglomération doit se concevoir et se manager comme une

entreprise, si elle veut attirer des touristes, des sociétés, des industries ou des investisseurs,

elle doit se démarquer des agglomérations concurrentes. Et, l’une des façons de se démarquer,

c’est l’adoption de technologies avant-gardistes et exclusives. Une agglomération est en

quelque sorte sa propre vitrine marketing, soit en d’autres termes son propre vecteur

publicitaire.

C’est dans le but de répondre à cette problématique que le LIRMM a lancé un projet



d’études et développement autour d’un concept de transport urbain novateur, le Tramway

Monorail.

I.2. Le Tramway

A. Le Tramway « Classique » :

Le tramway (Cf. Fig 1) est un moyen de transport en commun urbain circulant sur des

voies ferrées. Il présente la particularité d’être implanté en site propre. La quasi-totalité des

tramways modernes sont des véhicules à traction électrique.

Fig. 1 : Tramway « Classique »

Les images ci-après, donnent un aperçu de quelques unes des installations de tramway

recensées à travers le monde :

Img. 1 : Tramway d’Amsterdam

Img. 2 : Tramway d’Athènes

B. Le Tramway Monorail :

Le Tramway Monorail est un système de transport en commun urbain, guidé par un

seul rail. Il peut se déplacer à cheval sur le rail ou suspendu dessous, en utilisant différentes

techniques de propulsion et de sustentation (roues, coussin d'air, sustentation magnétique...).

Les images ci-après, donnent un aperçu de quelques unes des installations de Tramway

Tramway

VUE DE FACE VUE DE COTE

VUE DE DESSUS

Rails



Monorail recensées à travers le monde :

Img. 3 : Tramway à sustentation magnétique

Allemand

Img. 4 : Tramway suspendu Allemand

C. Le Tramway Monorail actionné par une Roue d’Inertie :

Le tramway monorail est finalement un nom très générique servant à désigner une

catégorie de moyens de transport très hétérogène. Ces catégories se distinguent les unes des

autres en fonction des technologies mises en œuvres pour la propulsion ou la sustentation.

La voie technologique explorée par le LIRMM est celle du Tramway Monorail

stabilisé par une Roue d’Inertie (Cf. Fig 2). La roue d’inertie est l’élément qui va permettre

de gérer l’équilibre du tramway. Les principes mécaniques mis en œuvres sont certes

classiques (très utilisé dans le secteur spatial pour le contrôle d’attitude des satellites) mais

inédits pour ce type d’utilisation. Mis à part cette particularité, ce tramway fait appel à la

propulsion électrique pour se mouvoir et au couple monorail + roue pour se diriger.

Fig. 2 : Tramway Monorail stabilisé par une Roue d’Inertie

Remarque 1 : Ce tramway n’a pas été envisagé dans l’intention de répondre aux

problématiques économiques auxquelles les agglomérations sont confrontées dans le cadre de

leur politique d’urbanisation, mais plutôt, pour répondre à une problématique identitaire

(reconnaître une ville grâce aux spécificités de son tramway). Ce tramway est un concept

VUE DE FACE VUE DE COTE

VUE DE DESSUS

Tramway

Roue

d’inertie

Monorail



avant-gardiste, évolutif et adaptable aux besoins des agglomérations, qui doit être considéré

comme une vitrine technologique.

Remarque 2 : Le terme Tramway Monorail RI sera utilisé par la suite pour désigner le

Tramway Monorail stabilisé par une Roue d’Inertie.

I.3. Du Tramway Monorail au Pendule Inversé

Le Pendule Inversé est un outil très utilisé dans les laboratoires d’automatique. En

effet, Il présente l’avantage d’avoir une dynamique proche de celles de systèmes beaucoup

plus complexes, tels que les fusées, les avions de chasse, les robots bipèdes, les bateaux, etc.

De plus, il s’avère être l’outil idéal pour tester très rapidement et à moindre frais, différentes

techniques de commande allant de la plus classique à la plus novatrice.

Il existe de nombreuses formes du Pendule Inversé, les plus connus sont : le Pendule

Inversé Simple, le Pendule Inversé Double, le Pendule Inversé de Furuta, le Pendule Inversé

gyroscopique, le Pendule Inversé stabilisé par une Roue d’Inertie, etc. Dans le cadre de

l’étude du Tramway Monorail RI, seul le Pendule Inversé stabilisé par une Roue d’Inertie

présente une dynamique équivalente (Cf. Fig. 3). Cette équivalence s’entend uniquement sur

le plan transverse.

Remarque : Les termes Pendule Inversé RI ou Pendule Inversé seront utilisés par la suite

pour désigner le Pendule Inversé actionné par une Roue d’Inertie.

Fig. 3 : Principe de la dynamique du Tramway Monorail RI

I.4. Enoncé du cahier des charges

L’objectif de ce stage est de développer une plateforme de tests basée sur le principe

du Pendule Inversé RI, dans le but de valider les différents principes mis en œuvres pour la

stabilisation du Tramway Monorail RI. Sauf invalidation du concept, cette plateforme servira

également, à plus long terme, à étudier et à évaluer de nombreuses lois de commande

stabilisante.

Equilibre Nominal Rotation à droite Rotation à gauche

PENDULE INVERSE RI

TRAMWAY MONORAIL RI

Equilibre Nominal Rotation à droite Rotation à gauche



II. GESTION DE PROJET

Concernant l’aspect organisationnel, ce stage n’a pas fait l’objet d’un encadrement

strict en termes de gestion de projet. Les phases inhérentes à ce type de stage se sont

succédées assez naturellement. D’une manière informelle, cette période de stage a été

découpée en 5 phases :

Etude préalable : Prise de contact avec le projet. Propositions et évaluations des solutions techniques et organisationnelles pour la future plateforme de tests type

Pendule Inversé RI.

Etude détaillée : Spécifications complètes du système d’un point de vue structurel.

Etude technique : Spécifications complètes du système d’un point de vue technique. Tests et validations des différentes solutions envisageables.

Réalisation technique : Implémentation concrète de la plateforme de tests type Pendule Inversé RI.

Tests et analyses : Validation du système et de ses principes

Chacune de ces phases a été ponctuée par un jalon afin d’être avalisée par le tuteur de

mon stage. De plus, de nombreuses réunions ou concertations informelles ont été tenues entre

les différents intervenants concernés par le projet, afin de réajuster quasiment en temps réel,

les objectifs à court comme à moyen terme. Cette organisation a été définie dans le but de

rendre la gestion de ce projet la plus robuste possible face aux aléas.

Le schéma ci-dessous met en exergue l’organisation du stage ainsi que l’état

d’avancement de celui-ci :

Fig. 4 : Organisation temporelle du stage

Remarque : Le chiffre qui suit donne un ordre d’idée sur la charge de travail totale estimée

transposable à ce projet : 1 homme * 17 semaines * 5 jours ouvrables * 8 heures, soit 680

homme *heures.

Etude

préalable

Etude

détaillée

Etude

technique

Réalisation

technique

Tests et

analyses

4 mois

18 août 2006 18 avril 2006

Etat d’avancement

LEGENDE :

5 juillet 2006



III. PRESENTATION DU LIRMM

III.1. Fiche signalétique

Nom : LIRMM (Laboratoire d'Informatique, de Robotique et de Microélectronique de Montpellier)

Type d’unité : Unité Mixte de Recherche CNRS /UMII (UMR 5506) Organismes gestionnaires : CNRS (Centre National de la Recherche Scientifique

UMII (Université Montpellier II) Responsable Monsieur Michel ROBERT Adresse : 161, rue Ada

34392 Montpellier Cedex 5 - France

Web : www.lirmm.fr Téléphone : +33/0 467 41 85 85 Fax : +33/0 467 41 85 00 Email : [email protected] Effectif moyen : 292 personnes :

94 enseignants/chercheurs ; 30 chercheurs CNRS/INRIA ; 25 ingénieurs, techniciens ou administratifs ; 134 doctorants ; 9 IATOS.

Production Scientifique : (Moyenne annuelle)

350 publications (thèses, revues, congrès, conférences,

ouvrages)

III.2. Présentation générale

Le Laboratoire d'Informatique, de Robotique et de Microélectronique de Montpellier

(LIRMM) est une Unité Mixte de Recherche de l'Université Montpellier II (UMII) et du

Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS).

Le LIRMM couvre un large spectre de compétences dans les domaines des Sciences et

Technologies de l’Information, de la Communication et des Systèmes (STICS). Ces activités

sont réparties au sein de trois départements scientifiques de recherche :

Informatique (INFO) ; Microélectronique (MIC) ; Robotique (ROB).

III.3. Département Informatique

Les thématiques de ce département intègrent l'essentiel de la recherche menée

actuellement en informatique :

Algorithmique : bioinformatique, cryptographie, graphes, réseaux ;

Bases de Données et Systèmes d'Information : intégration de données, fouille de données, maintien de la cohérence ;

Génie Logiciel : langages de programmation, objets, composants, modèles ;

Intelligence Artificielle : apprentissage, contraintes, représentation des connaissances, systèmes multi-agents ;

http://www.univ-montp2.fr/http://www.cnrs.fr/



Interaction Homme/Machine : hypermédia, langage naturel, visualisation, Web sémantique et e-learning.

III.4. Département Microélectronique

Ce département mène depuis de nombreuses années des recherches de pointe dans les

domaines de la conception et du test de systèmes intégrés et de microsystèmes, et plus

précisément, sur les aspects ayant traits à la modélisation et à la méthodologie. Les activités

de recherche conduites au sein du département de Microélectronique s'articulent autour de

deux projets qui lui sont propres ainsi que d'un projet applicatif commun avec le département

de Robotique :

CCSI : Conception de Circuits & Systèmes Intégrés ;

TCSI : Test de Circuits & Systèmes Intégrés ;

DEMAR : (DEambulation et Mouvement ARtificiel) Modélisation et commande du système sensori-moteur humain, neuroprothèses (projet commun)

III.5. Département Robotique

D’une manière générale, ce département mène des recherches en automatique,

traitement du signal et de l'image, productique et informatique industrielle. Les activités de

recherche conduites au sein du département de Robotique s'articulent autour de cinq équipes-

projets :

ARCHI : Architecture de systèmes complexes, modélisation d'entreprise, affectation de ressources humaines, vérification de propriétés ;

DEMAR : Voir ci-dessus ;

DEXTER : Conception, commande, manipulation, robotique parallèle, robotique médicale ;

ICAR : (Image, Computing and Augmented Reality) Image, signal, vision, modélisation 3D, informatique graphique, réalité virtuelle ;

NERO : (NEtwork RObots) Commande collaborative de flottilles de véhicules sous-marins et terrestres ;

http://www.lirmm.fr/~taipan/



IV. MODELISATION MATHEMATIQUE DU PENDULE INVERSE RI

IV.1. Préambule

A. Tableau de variables :

Le tableau suivant regroupe l’ensemble des variables intervenant dans la modélisation

du Pendule Inversé RI :

Variable Unité Description

C1 N.m Couple appliqué du bâti sur le pendule (Couple perturbateur)

C2 N.m Couple appliqué du pendule sur le volant d’inertie

θ1 Rd Position angulaire du pendule

1θ = dθ1/dt rd.s

-1 Vitesse angulaire du pendule

1θ = d²θ1/dt² rd.s

-2 Accélération angulaire du pendule

θ 2 Rd Position angulaire du volant d’inertie

2θ = dθ2/dt rd.s

-1 Vitesse angulaire du volant d’inertie

2θ = d²θ2/dt² rd.s

-2 Accélération angulaire du volant d’inertie

B. Tableau de constantes :

Le tableau suivant regroupe l’ensemble des constantes utilisées lors de la modélisation

du Pendule Inversé RI :

Constante Unité Description

m1 kg Masse du pendule

m2 kg Masse du volant d’inertie

l1 m Distance pivot / centre de gravité du pendule : OG1

l2 m Distance pivot / centre de gravité du volant d’inertie : OG2

E2 m Epaisseur du volant d’inertie

RE2 m Rayon extérieur du volant d’inertie

RI2 m Rayon intérieur du volant d’inertie

I1 kg.m² Inertie du pendule au centre de masse autour de x

I2 kg.m² Inertie du volant d’inertie au centre de masse autour de x

g m.s-2

Accélération due à la gravité terrestre

C. Hypothèses :

Hypothèse 1 : Les masses du pendule et de la roue d’inertie sont définies en leur centre de

gravité (respectivement G1 et G2).

Hypothèse 2 : L’étude de la dynamique du Pendule Inversé RI est réalisée en négligeant les

phénomènes mécaniques liés aux frottements.

Hypothèse 3 : Le comportement dynamique du moteur associé à la roue d’inertie n’est pas

pris en compte dans le cadre de la modélisation du système.

D. Schéma de principe :

Le Pendule Inversé stabilisé par une Roue d’Inertie est un système sous actionné. Cela



signifie qu’il y a plus de degrés de liberté que d’actionneurs, soit, dans le cas du Pendule

Inversé RI, deux axes de rotation pour un actionneur (la roue d’inertie). Le système S

considéré est constitué de trois corps : un bâti [0], une tige rigide ou pendule [2] et un volant

d’inertie [2]. La tige rigide est en rotation libre autour du bâti alors que la roue d’inertie

possède un axe de rotation solidaire de cette même tige. Le schéma ci-dessous (Cf. Fig. 5) met

en exergue la géométrie du système dans un référentiel Galiléen.

Fig. 5 : Schéma de principe

Les mesures angulaires du système (position, vitesse et accélération) sont réalisées sur

la base d’un cercle trigonométrique. La verticale du repère Galiléen correspond à l’angle 0

radian.

E. Principes de la commande:

L’illustration (Cf. Fig. 6) qui suit met en avant les deux états les plus significatifs du

Pendule Inversé RI (points d’équilibres) afin de mieux appréhender les principes relatifs à la

commande de ce système :

Le point d’équilibre stable (Cf. Fig. 6.A), qui correspond à l’état dans lequel le pendule est dirigé vers le bas. En l’absence d’une quelconque force de contrôle, le

système reste naturellement dans cet état.

Le point d’équilibre instable (Cf. Fig. 6.C), qui correspond à l’état dans lequel le pendule est pointé vers le haut. Ce point d’équilibre est dit instable car en

l’absence d’une force de contrôle, le pendule, sous l’effet de diverses perturbations

liées à son environnement, est incapable de maintenir cette position indéfiniment.

Fig. 6 : Points d’équilibres

A. Point d’équilibre stable B. Etat intermédiaire C. Point d’équilibre instable

1

θ1

θ2

G2

G1

O

z

0

2

y

y

z

x

O



Traditionnellement, la commande du Pendule Inversé consiste, à amener le pendule,

depuis sa position d’équilibre stable jusqu’à sa position d’équilibre instable et de le maintenir

dans cet état. Mais, dans le cadre de ce projet, seule la phase relative à la stabilisation du

pendule est à considérer car il a été admis « a priori » que l’angle du Tramway Monorail RI ne

pouvait varier uniquement sur une plage de ± 10° par rapport à la verticale.

F. Principes mécaniques :

En appliquant le principe fondamental de la dynamique (PFD), on peut démontrer très

simplement la façon dont l’actionneur (roue d’inertie) interagit sur le pendule afin de

commander le système. Cette démonstration s’appuie sur un modèle mécanique équivalent

(La roue d’inertie est remplacée par une barre rectiligne pour modéliser de manière imagée le

couple induit par sa rotation), pour en faciliter sa compréhension (Cf. Fig. 7).

Fig. 7 : Modèle mécanique équivalent

Les équations du principe fondamental de la dynamique du Pendule Inversé RI sont :

DynamiqueG2oG1oBoAo MFMFMFMFM

Soit : DynamiquePenduleeRoueInerti MMC

Avec : BoAoeRoueInerti FMFMC et G2oG1oPendule FMFMM

Le pendule est mis en mouvement lorsque le couple généré par la roue d’inertie

CRoueInertie est supérieur ou inférieur au moment résistant (MDynamique - MPendule). La synthèse ci-

après précise l’état du système en fonction de ces différences de moment :

0MMoment → Le pendule en équilibre statique ;

0MMoment → Le pendule est en phase ascendante ;

0MMoment → Le pendule est en phase descendante.

Remarque : Dans la réalité, les forces mises en jeu pour mettre en rotation la roue d’inertie

sont réparties homogènement sur la totalité de sa circonférence.

G2

G1

O

z

y

AF

BF

A

B

y

z

x

O

Modèle mécanique initial Modèle mécanique équivalent

G2

G1

O

z

y

AF

BF

A

B



IV.2. Modèle dynamique non-linéaire

A. Généralités :

Le modèle mathématique du Pendule Inversé RI est déduit des équations d’Euler-

Lagrange. Cette approche nécessite de déterminer les énergies cinétiques et potentielles des

composants du système en termes de coordonnées généralisées. Le Formalisme d’Euler-

Lagrange utilisé ici est :

xQx

L-

x

L

dt

d

Avec : L = T – V

L : Lagrangien

T : Energie cinétique

V : Energie potentielle

Q : Force généralisée non prise en compte dans T et V

x : Coordonnées généralisées

Dans le cadre du Pendule Inversée RI,

2

1

θ

θx

B. Energie Cinétique totale T :

eRoueInertiPendule TTT

Avec : 2112G11Pendule θiVm2

1T avec 11G1 θlV

Et : 222G22eRoueInerti θiVm2

1T avec 22G2 θlV

et 21 θθθ

Donc : 212211222211 θθiθilmlm2

1T

C. Energie potentielle V :

eRoueInertiPendule VVV

Avec : 111Pendule cosθglmV

Et : 122eRoueInerti cosθglmV

Donc : 12211 cosθglmlmV

D. Lagrangien :

VTL

Avec : 212211222211 θθiθilmlm2

1T avec 1

2

22

2

11 ilmlmI

Et : 12211 cosθglmlmV avec 2211 lmlmml

Donc : 12122

1 cosθgmlθθiθI2

1L

F. Dynamique du Pendule Inversé RI:

Les équations de la dynamique du Pendule Inversé RI déduites des équations d’Euler-



Lagrange décrivent l’accélération angulaire du pendule (d²θ1/dt²) et l’accélération angulaire de

la roue d’inertie (d²θ2/dt²).

Accélération angulaire du pendule → 1211 sinθgmlC-CI

1θ

Accélération angulaire de la roue d’inertie → 1222122

2 sinθgmliCIiCi-Ii

1θ

Les équations de la dynamique du Pendule Inversé RI sont mises sous la

forme xQxIxxx,HxxG .

2

11

2

1

C

C

0

sinθgml-

θ

θ

i2i2

i2i2I

IV.3. Modèle linéarisé → Représentation d’état

La représentation d’état du Pendule Inversé RI est obtenue par la linéarisation de son

modèle dynamique autour du point d’équilibre instable (pendule en position verticale haute à

l’arrêt). Les équations d’état sont de la forme :

UDXCY

UBXAX

Avec T211 θθθX et

2

1

C

CU

Au point d’équilibre instable T000X , T00U et 0)U,Xf(X

Soit

δUUU

δXXX

δX : Variation infinitésimale de X

δU : Variation infinitésimale de F

O2(δX,δU) : Notation de Landau

Et, δUδX,ΟδUU

U)f(X,δX

X

U)f(X,)U,Xf(δF)UδX,Xf(Xδ 2

UUXX

Le modèle mathématique du Pendule Inversé RI linéarisé autour du point d’équilibre

instable, est caractérisé par les équations suivantes :

Accélération angulaire du pendule → 1211 δθgmlC-CI

1θδ

Accélération angulaire de la roue d’inertie → 1222122

2 δθgmliCIiCi-Ii

1θδ

La représentation d’état déduite du modèle linéarisé est la suivante :

2

1

3231

2221

2

1

1

31

21

2

1

1

δC

δC

bb

bb

00

θδ

θδ

δθ

00a

00a

010

θδ

θδ

θδ

2

1

1

33

22

11

θδ

θδ

δθ

c00

0c0

00c

Y



Avec : I

glma 21 ;

I

glmaa 2131

I

1b21 ;

I

1bbb 212231 ;

Ii

iIb

2

232

;

0,1c11 ; 0,1c22 ; 0,1c33

Pour simplifier l’analyse du Pendule Inversé RI, le couple perturbateur δC1 est

considéré comme ayant une valeur nulle. La représentation d’état qui sera donc considérée

tout au long de ce rapport est :

2

2

1

2

1

1

2

1

1

δC

b

b

0

θδ

θδ

δθ

00a-

00a

010

θδ

θδ

θδ

2

1

1

33

22

11

θδ

θδ

δθ

c00

0c0

00c

Y

Avec : 0I

glma ; 0

I

1b1 ; 0

Ii

iIb

2

22

; 0,1c11 ; 0,1c22 ; 0,1c33

IV.4. Propriété du système

A. Stabilité en Boucle Ouverte :

Les pôles du système en boucle ouverte sont calculés en cherchant les solutions de

l’équation caractéristique det(A-λI) = 0. Dans le cas du Pendule Inversé RI, l’équation

caractéristique est :

λ (λ² – a) = 0

Et, les pôles sont : {0 ; √a ; -√a}

La présence de pôles à partie réelle nulle ou positive, vient confirmer le fait que le

Pendule Inversé RI est un système naturellement instable.

B. Gouvernabilité :

La gouvernabilité a un impact direct sur la conception de la loi de commande d’un

système. Un système est dit gouvernable, s’il existe une commande permettant d’amener le

système depuis l’état X(t0) vers l’état X(t1). Le degré d’observabilité est déterminé en

appliquant le critère de Kalman. Un système est entièrement gouvernable si le rang de sa

matrice de gouvernabilité (Go = [B AB … An-1

B]) est égal à la dimension du système (n).

Go = [B AB A2B] avec n = 3

Soit :

12

11

1

0

ba-0b

ba0b

0b0

G

Et Rang(Go) = n = 3

→ Le système est donc entièrement gouvernable.



C. Observabilité:

L’observabilité est une propriété fondamentale pour la conception d’un observateur

d’état. Un système est dit observable, si la connaissance de son vecteur de sortie entre les

instants t0 et t1 permet de déduire l’état X(t1). Le degré d’observabilité est déterminé en

appliquant le critère de Kalman. Un système est entièrement observable si le rang de sa

matrice d’observabilité (Ob = [CT [CA]

T … [CA

n-1]

T]

T et n = dimension du système) est égal à

la dimension du système (n).

2

b

CA

CA

C

O avec n = 3

Soit :

T

33

33221122

11332211

b

000000c00

ca-ca000c0c0

00caca-ca000c

O

Ob est de rang équivalent à :

T

1122

2211

b

000000

00c0c0

0ca000c

Ô

33

33

33

c

ca-

ca-

Au vu de la structure de la matrice d’observabilité, il apparaît clairement que

l’accessibilité de la mesure relative à la vitesse angulaire de la roue d’inertie (représentée par

c33) est la condition nécessaire et suffisante pour avoir un système entièrement observable

(les vecteurs colonnes 3, 6 et 7 de la matrice Ôb sont linéairement indépendants, donc

Rang(Ob) = n = 3), et ceci, quelle que soit l’accessibilité des autres mesures (position et

vitesse angulaires du pendule).

→ Le système est donc entièrement gouvernable si et seulement si c33 = 1.

IV.5. Caractérisation du système

A. Hypothèses :

La géométrie de la roue d’inertie a été définie en fonction de contraintes fixées « a

priori » (elles sont liées à une problématique d’encombrement). Ces contraintes (Cf. tableau

ci-dessous), imposent la forme de la roue d’inertie, sa masse ainsi que ses dimensions.

Contraintes Description

Forme Cylindre creux. Forme géométrique idéale pour avoir une

grande inertie (Cf. chapitre IV.5.B « une histoire de

compromis »)

Matière Acier (ρA=7800 Kg/m3). Une grande masse volumique

permet d’avoir le meilleur compromis entre la masse,

l’inertie et l’encombrement.

Diamètre extérieur maximum

RE2

20% de la largeur du tramway. Les 80% restant sont

destinés à accueillir les passagers.

Epaisseur du cylindre maximum

E2

80% de la longueur du tramway. Les 20% restant sont

destinés à accueillir le support mécanique et les moteurs

électriques.



Masse maximum

m2

10% de la masse du pendule. Le rapport m2/m1 doit

privilégier la masse utile.

Remarque : Ces hypothèses résultent d’un raisonnement basé sur l’observation, elles devront

de ce fait être affinées à posteriori pour améliorer la caractérisation de la roue d’inertie.

B. Une histoire de compromis :

Le moment MPendule induit, par la géométrie des centres de masse (l1, l2) du Pendule

Inversé RI, mais également, par la masse qui leur est respectivement associée (m1, m2),

représente un élément important en ce qui concerne la détermination de l’actionneur du

système (roue d’inertie). En effet, MPendule correspond au couple C2 qui doit être fourni par la

roue d’inertie, pour garantir l’équilibre du Pendule Inversé RI à l’instant t=0 (c’est-à-dire au

démarrage). Ce constat est modélisé par les équations suivantes :

Pendule2 MC

Avec : 1Pendule sinθgmlM avec : 2211 lmlmml

Et : 222 θIC

Les considérations précédemment citées permettent de mettre en exergue la nécessité

de minimiser le moment MPendule, afin d’avoir un actionneur présentant des caractéristiques

raisonnables et en concordances avec le système considéré. Le couple fourni par l’actionneur

est fonction de son inertie I2 et de son accélération angulaire 2θ et donc par voie de

conséquence, de sa masse m2. La caractérisation idéale de l’actionneur se définit comme suit :

une inertie la plus grande possible au profit d’une masse et d’une accélération angulaire les

plus faibles possibles. Cependant, cette théorie n’est pas transposable dans la réalité car

l’inertie de l’actionneur est proportionnelle à sa masse, donc, une grande inertie nécessite une

grande masse. Cette caractérisation revient ainsi, à trouver le meilleur compromis entre masse

et inertie tout en restant en adéquation avec le cahier des charges. Cette démonstration est

étayée par les équations et la courbe suivantes :

2

RRmI

2

I2

2

E222

Et : 2I22E22A2 RREπρm

Soit : 2A

2

22

2

E22Eπρ2

mmRI

Fig. 8 : I2 fonction de m2 (+évolution du rayon interne)

C. Géométrie des centres de masse :

La majorité des études portant sur le Pendule Inversé RI fait référence à une géométrie

des centres de masse où l2 = 2*l1. Cette géométrie ne peut être considérée uniquement dans le

cas où les masses en jeux (m1, m2) sont faibles, car le moment MPendule résultant est faible. Les

masses relatives au Pendule Inversé RI simulant la dynamique du Tramway Monorail RI sont

beaucoup plus conséquentes que celles employées dans ces différentes études. Il est donc

impératif d’envisager une autre répartition des centres de masse pour satisfaire les conditions

énoncées dans le chapitre IV.5.B « une histoire de compromis » mais aussi et surtout, pour

avoir un modèle qui soit le plus fidèle possible au système réel.

Le centre des masses relatif au pendule doit se trouver au tiers de sa longueur totale.

m2

I2 Aucune réalité physique

car RI22 est négatif

RI22= 0

RI22= RE2

2

RI22



Ceci est la conséquence directe de la répartition de l’essentiel des masses de la structure du

Tramway Monorail RI sur la partie inférieure de ce dernier. Tout comme les hypothèses

explicitées dans le chapitre IV.5.A « hypothèses », il est indispensable de préciser que cette

caractérisation résulte d’un raisonnement basé sur l’observation et devra de ce fait, être

affinée à posteriori pour améliorer le modèle du système.

Le centre des masses relatif à la roue d’inertie est quant à lui, indépendant de toutes

contraintes structurelles fortes. Il doit être simplement le plus proche possible du centre de

rotation du pendule, soit à une distance légèrement plus grande que le rayon extérieur de la

roue d’inertie (1,1 * RE2). Cette nouvelle géométrie des centres des masses est illustrée sur la

figure suivante :

Fig. 9 : Géométrie des centres de masse

En résumé, cette nouvelle géométrie des centres de masse permet d’une part, d’avoir

un modèle plus proche de la réalité, et d’autre part, de limiter les puissances mécaniques en

jeux.

D. Dimensionnement de la Roue d’inertie :

Au vu des hypothèses et considérations présentées dans les chapitres précédents, le

dimensionnement de la roue d’inertie se résume tout simplement à déterminer son diamètre

intérieur RI2. Ce dernier se déduit de la relation suivante :

2A

22

E2I2Eπρ

mRR

E. Validation des paramètres :

Une fois les principaux paramètres de l’actionneur définis, il est essentiel de les

valider, en vérifiant leurs conformités par rapport au cahier des charges. Cette opération est

réalisée à l’aide d’un logiciel de simulation (Matlab). Le modèle de simulation utilisé, intègre

l’ensemble des paramètres relatifs au Tramway Monorail RI ainsi qu’une loi de commande

spécifique à cette phase de validation. Cette dernière permet de récolter et d’analyser des

données corrélatives à la roue d’inertie, telles que : la puissance mécanique, le couple

maximum, le couple moyen, la vitesse angulaire et l’accélération angulaire. Ces données

servent ensuite de base pour choisir le moteur, d’entraînement de la roue d’inertie, adéquat.

y

z

x

O G2

G1

O

z

y

G2 G1

O

z

y

Géométrie initiale Géométrie corrigée



IV.6. Dimensionnement du système

Le tableau suivant regroupe l’ensemble des constantes relatives à la maquette du

Pendule Inversé RI ainsi que leur valeur respective :

Constante Valeur Unité

m1 3.30810 kg

m2 0.33081 kg

l1 0.060 m

l2 0.044 m

I1 0.0314683 kg.m²

I2 0.0004176 kg.m²

E2 0.020 m

RE2 0.040 m

RI2 0.030 m

g 9.81 m.s-2

Remarque 1 : La maquette du Pendule Inversé RI n’est pas une représentation à l’échelle des

caractéristiques du Tramway Monorail RI mais plutôt un reflet des problématiques ayant traits

aux masses et à leur répartition.

Remarque 2 : Les valeurs de la roue d’inertie sont fonction des observations introduites dans

le chapitre précédent IV.5 « Caractérisation du système ».



V. TECHNIQUES DE COMMANDE DU PENDULE INVERSE RI

V.1. Préambule

La commande du Pendule Inversé RI consiste d’une manière générale, à stabiliser le

pendule en position d’équilibre instable et à le maintenir ainsi, même lorsqu’il est affecté par

des perturbations externes (rafale de vent, etc.) ou par des variations paramétriques

(modification des centres masse et de la charge utile).

Une question inéluctable se pose maintenant : Sur quelle technologie doit s’appuyer le

bloc de commande pour asservir le système ?

V.2. La commande Robuste : Généralité

A. Problématique :

La conception d’un asservissement consiste à ajuster le bloc de commande de manière

à obtenir les propriétés et le comportement désirés. Outre la contrainte de stabilité, on

recherche typiquement les meilleures performances possibles. Cette tâche est rendue

compliquée en raison des deux difficultés suivantes :

D’une part, la conception s’exécute sur un modèle idéalisé du système. Il faut donc assurer la « robustesse » aux imperfections de ce modèle.

D’autre part, on se heurte à des limitations intrinsèques, comme le compromis entre performance et robustesse.

B. Le modèle :

Le modèle d’un système réel, dénommé modèle nominal, peut provenir des équations

de la physique ou d’un processus d’identification. Quelle que soit la méthode utilisée, ce

modèle n’est qu’une approximation de la réalité. Ses carences peuvent avoir des causes

multiples :

Dynamique négligée ; Incertitude sur certains paramètres physiques ; Hypothèses simplificatrices ; Erreurs de mesure de l’identification ; Dégradation du système réel au cours du temps ; Facteurs externes imprévisibles ; Etc.

C. Commande Robuste :

En pratique, il est insuffisant d’optimiser un asservissement par rapport au modèle

nominal du système concerné, il faut en plus le prémunir contre les incertitudes de

modélisation et les aléas externes. Le système de commande obtient alors le grade de système

de commande robuste.

L’avantage essentiel des techniques de commande robuste est de générer des lois de

commande conformément aux exigences précédemment mentionnées. Plus précisément, étant

donné une spécification fréquentielle du comportement désiré et une estimation de l’ordre de

grandeur de l’incertitude, la théorie évalue la faisabilité, produit une loi de commande



adaptée, et fournit une garantie sur le domaine de validité de cette loi de commande

(robustesse). Cette démarche de synthèse est systématique et très générale.

D. Synthèse de loi de commande :

De nombreuses méthodologies de synthèse ont vu le jour au cours de ces dernières

années. Ces méthodes ont été conçues dans le but de produire des lois de commande le plus

rapidement et le plus simplement possible, tout en étant en adéquation avec le cahier des

charges défini au préalable.

Grâce à ces outils de synthèse, il est désormais possible d’imposer des spécifications

fréquentielles complexes (recherche du meilleur compromis) et d’obtenir directement un

diagnostic de faisabilité (respect des limitations du système) et une commande appropriée.

Voici une liste non exhaustive de quelques méthodologies de synthèse :

Synthèse linéaire quadratique, Synthèse linéaire quadratique gaussienne, Synthèse Hinfini, Micro Synthèse, Etc.

E. Cadre de l’étude :

L’étude de la commande du Pendule Inversé RI qui suit se présente essentiellement

comme une étude de faisabilité visant à éprouver les concepts inhérents à ce système (Cf.

chapitre précédent). Il est à noter que cette notion de faisabilité fait aussi bien référence à

l’aspect théorique qu’à l’aspect pratique. Ainsi la validité des principes de la commande du

Pendule Inversé RI n’est possible, qu’à la seule et unique condition qu’elle soit effective sur

ces deux aspects. Les synthèses de loi de commande choisies pour réaliser cette tâche sont la

synthèse linéaire quadratique et la synthèse linéaire quadratique gaussienne.

Remarque : Des synthèses de loi de commande prenant en compte explicitement les

variations paramétriques d’un système seront abordées dans la seconde partie de ce stage, si

l’étude de faisabilité de la commande du Pendule Inversé RI s’avère concluante.

V.3. Synthèse Linéaire Quadratique

Le contrôleur Linéaire Quadratique dénommé LQ ou LQR (Linear Quadratic

Regulator) est conçu sur la base du modèle linéaire du Pendule Inversé RI. La synthèse

linéaire quadratique consiste en la recherche d’une matrice de gain Kc, telle que, la commande

par retour d’état U = -Kc X + e stabilise le pendule autour de la position d’équilibre instable et

ceci, quelles que soient les perturbations affectant le système. La matrice de gain Kc est

déterminée en minimisant le critère quadratique suivant :

0

TT dtURUXQXJ Q : Matrice de pondération du vecteur d’état

R : Matrice de pondération de la commande

Ce critère se présente comme un compromis entre la vitesse de rejet des perturbations

par le système et l’énergie de commande mise en jeu pour le commander.

La matrice de gain Kc de la commande se déduit de la relation suivante :

c

T1

c PBRK Pc : Solution de l’équation algébrique de Riccati



L’obtention du gain Kc passe donc par la recherche de la solution Pc (symétrique

définie positive) de l’équation algébrique de Riccati suivante :

0QPBRBPPAAP cT1

cc

T

c

La structure du contrôleur LQ, qui est composée uniquement de la commande par

retour d’état, est illustrée sur le schéma ci-dessous :

Fig. 10 : Structure du contrôleur LQ

Remarque : Le réglage des matrices de pondérations peut s’avérer en pratique très

déconcertant car il s’agit de trouver un compromis satisfaisant. Pour éviter ce genre de

désagrément, il existe une méthode qui consiste à ajuster la valeur de la matrice de

pondération du vecteur d’état Q avec la valeur CT

C et à remplacer la matrice de pondération

R par un simple coefficient de pondération. Il suffit ensuite d’ajuster la valeur de R pour

définir le gain Kc adéquat.

V.4. Synthèse Linéaire Quadratique Gaussienne

La méthode Linéaire quadratique exige une connaissance complète du vecteur d’état

mais dans la majorité des cas, seule une connaissance partielle du vecteur d’état est

disponible. Le Pendule Inversé RI est précisément dans ce cas, puisque seule, la vitesse

angulaire de la roue d’inertie est accessible (pire cas garantissant un système entièrement

observable). La synthèse Linéaire Quadratique Gaussienne dénommée aussi synthèse LQG

(Linear Quadratic Gaussian) est une extension de la synthèse LQ. Elle consiste à chercher, à

partir de cette mesure partielle, un contrôleur qui minimise le critère quadratique stochastique

suivant :

0

TT dtURUXQXΕJ Q : Matrice de pondération du vecteur d’état

R : Matrice de pondération de la commande

La nature stochastique du critère quadratique s’explique par le fait que les variables

d’états et que les sorties du système sont perturbées par des bruits blancs centrés.

Grâce au principe de séparation, la solution du problème est réalisée en deux étapes

successives qui sont :

1° : l’estimation optimale de l’état X par la méthode du Filtre de Kalman ; 2° : l’évaluation de la matrice de gain de retour d’état Kc par la synthèse LQ (Cf.

V.3. « Synthèse Linéaire Quadratique »).

Pendule Inversé RI

Kc

e -

+

U Etats



Le Filtre de Kalman est un observateur d’état linéaire dont l’entrée, est composée, du

vecteur des mesures des sorties du système Y et du vecteur de commande U ; et, dont la

sortie, est le vecteur de l’estimé optimal de X. La structure du filtre obéit à l’équation

suivante :

)X̂C-(YKUBX̂AX̂ f

X̂

: Estimé optimal de X

Kf : Matrice de gain d’estimation

La matrice de gain d’estimation Kf se déduit de la relation suivante :

1T

ff VCPK Pf : Solution de l’équation algébrique de Riccati

L’obtention du gain Kf passe donc par la recherche de la solution Pf (symétrique

définie positive) de l’équation algébrique de Riccati suivante :

0WPCVCPPAAP f1T

ff

T

f V : Matrice de covariance du bruit de sortie

W : Matrice de covariance du bruit d’état

Étant donné que la commande par retour d’état utilise le vecteur d’état estimé, son

équation est donc de la forme suivante :

eX̂KU c

La structure du contrôleur LQG, qui est composée de l’observateur d’état et de la

commande par retour d’état, est illustrée sur le schéma ci-dessous :

Fig. 11 : Structure du contrôleur LQG

Remarque : Le réglage des matrices de pondérations V et W pour l’obtention du gain Kf peut

être basé sur le même principe que Kc, à la seule différence que V = BT B.

V.5. Simulation

A. Représentation numérique du modèle d’état :

La représentation numérique du modèle d’état est obtenue en substituant ses

paramètres par leur valeur respective :

2

2

1

1

2

1

1

δC

2417.1

22.7180-

0

θδ

θδ

δθ

0047.4793-

0047.4793

010

θδ

θδ

θδ

Pendule Inversé RI

Kf Kc

B

A

S-1

I

C

+ +

+ -

+

Filtre de Kalman

X̂

2θ

+

-

U

e



Remarque : L’équation Y représentative des sorties mesurées est précisée dans chacune des

synthèses.

B. Synthèse Linéaire Quadratique :

La synthèse linéaire quadratique impose une connaissance complète du vecteur d’état,

donc c11=c22=c33=1.

2

1

1

θδ

θδ

δθ

100

010

001

Y

Le tableau ci-dessous présente le résultat de 3 simulations correspondant à 3 réglages

différents de R :

SYNTHESE LQ N°1 : R = 1 Coefficients :

100

010

001

Q et R = 100

Gain

1-213.398-1463.5-Kc

Pôles en boucle ouverte et fermée

6.89-6.890PBO

6.857-6.857-2417.19-PBF

RESULTAT SIMULATION :

Données principales

Couple max 255.4 Nm à t = 0 s

Couple RMS 16.7 Nm

Vitesse de rotation max 2396.2 tr/min à t = 0.0021 s

Vitesse angulaire max 250.9 rd/s à t = 0.0021 s

Accélération angulaire max 617385 rd/s² à t = 0 s

Au point de fonctionnement max à t = 0.0004 s

Puissance 14793.4 W

Vitesse de rotation 1575.7 tr/min

Couple 89.6 Nm

SYNTHESE LQ N°2 : R = 103

Coefficients :

100

010

001

Q et R = 103

Gain

0.031-7.333-50.310-Kc


6.89-6.890PBO

6.857-6.857-76.444-PBF




Couple RMS 2.9 Nm



Accélération angulaire max 21215.6 rd/s² à t = 0 s


Puissance 482.3 W

Vitesse de rotation 776 tr/min

Couple 5.9 Nm

SYNTHESE LQ N°3 : R = 106

Coefficients :

100

010

001

Q et R = 106

Gain

0.001-0.818-5.634-Kc


6.89-6.890PBO

2.391- 6.877- 6.912-PBF




Couple RMS 0.472 Nm



Accélération angulaire max 2368.5 rd/s² à t = 0 s


Puissance 53.2 W

Vitesse de rotation 772. 9 tr/min

Couple 0.6572 Nm



Les courbes ci-dessous mettent en évidence la dynamique du Pendule Inversé RI pour

R=106 pour un état initial T0 0010X :

Dynamique du pendule

Dynamique de la roue d’inertie

Couple de la roue d’inertie

Puissance mécanique de la roue d’inertie

C. Synthèse Linéaire Quadratique Gaussienne :

La synthèse linéaire quadratique gaussienne s’accommode d’une connaissance

partielle du vecteur d’état, donc dans le cas du Pendule Inversé RI c33=1 (mesure nécessaire et

suffisante pour garantir une observabilité totale du système).

2

1

1

θδ

θδ

δθ

100Y

Le tableau ci-dessous présente le résultat d’une simulation avec V = 104 et R = 10

6 :

SYNTHESE LQG : Coefficients :

100

000

000

Q et R = 106

5842283.254911.4-0

54911.4-516.10

000

V et W = 104

Gain



Couple max 0.845 Nm à t = 0.1295 s

Couple RMS 0.299 Nm



Accélération angulaire max 2034.8 rd/s² à t = 0.1295 s


Puissance 166.2 W

Vitesse de rotation 2168.5 tr/min



0.001-0.818-5.634-Kc 37.90161.845-8.975-Kf


6.89-6.890PBO

2.391- 6.877- 6.912-PBF

Pôles de l’observateur

6.845-6.865-24.191-PBF

Couple 0.73 Nm

Les courbes ci-dessous mettent en évidence la dynamique du Pendule Inversé RI pour

V = 104 et R = 10

6 pour un état initial T0 0010X :

Dynamique du pendule

Dynamique de la roue d’inertie

Couple de la roue d’inertie

Puissance mécanique de la roue d’inertie

Les courbes ci-dessous mettent le rapport entre les états réels et les états estimés:

Position angulaire du pendule

Vitesse angulaire du pendule



Vitesse angulaire de la roue d’inertie

D. Conclusion :

Les simulations réalisées sur la base de la synthèse LQR et LQG démontrent la

faisabilité de la stabilisation d’un pendule par une roue d’inerte. La simulation présentée dans

la synthèse LQR illustre l’influence des matrices de pondération Q et R sur les puissances

mécaniques mises en jeux sur un cycle complet de stabilisation. La simulation présentée dans

la synthèse LQG illustre quant à elle, l’influence de l’observateur d’état sur les puissances

mécaniques mises en jeux sur un cycle complet de stabilisation ainsi que la différence entre

les états estimés et les états mesurés.

La synthèse LQG présente à paramètre équivalent, un rendement mécanique plus

faible que la synthèse LQR (Cf. tableau ci-dessous). Ceci est la conséquence directe de

l’utilisation d’un observateur d’états pour compenser l’incomplétude du vecteur d’états.

SYNTHESE LQR SYNTHESE LQG

Couple max 0.983 Nm à t = 0 s 0.845 Nm à t = 0.1295 s

Couple RMS 0.472 Nm 0.299 Nm

Vitesse de rotation max 1852.3 tr/min à t = 0.2518 s 3135.2 tr/min à t = 0.2669 s

Vitesse angulaire max 193.9 rd/s à t = 0.2518 s 328.32 rd/s à t = 0.2669 s

Accélération angulaire max 2368.5 rd/s² à t = 0 s 2034.8 rd/s² à t = 0.1295 s

Point de fonctionnement max à t = 0.0414 s à t = 0.1609 s

Puissance 53.2 W 166.2 W

Vitesse de rotation 772. 9 tr/min 2168.5 tr/min

Couple 0.6572 Nm 0.73 Nm



VI. MAQUETTE DU PENDULE INVERSE : CHOIX DES CONSTITUANTS

VI.1. Préambule

La mise en œuvre de la maquette du Pendule Inversé RI nécessite une phase de

dimensionnement de ses constituants matériels (partie opérative et partie commande) et

logiciels. Cette phase est étroitement liée aux caractéristiques du système et à la dynamique

qui doit lui être imposée, soit, en d’autres termes, au cahier des charges. La conception de

cette maquette a été imaginée, comme une occasion unique et non négligeable, d’explorer et

de tester, de nouvelles voies technologiques afin de les implémenter sur d’autres projets (si

elles donnent entière satisfaction). Le choix des éléments de la maquette a fait également

l’objet d’une attention particulière quant à leur capacité à être recyclés dans des projets

transverses.

Remarque : Il est utile de préciser que cette analyse est plus destinée, à définir les

orientations technologiques de chaque constituant de cette maquette, qu’à les justifier.

VI.2. Architecture

La maquette du Pendule Inversé RI est constituée de 4 composants principaux : un

calculateur, un variateur de vitesse, un inclinomètre et un groupe moteur/réducteur/codeur. Le

calculateur est le cœur du système car c’est lui qui est en charge d’interroger les différents

capteurs, de calculer la loi de commande et de piloter le variateur. Ce type de configuration

est communément appelé architecture maître/esclave. Le schéma ci-après met en exergue

l’architecture des constituants de la maquette ainsi que leurs interactions mutuelles :

Fig. 11 : Architecture de la maquette

VI.3. Moteur

Le dimensionnement du moteur électrique est étroitement lié avec le dimensionnement

de la roue d’inertie, car, il est dédié exclusivement à son entraînement. Plus qu’un simple

moteur, c’est un moteur couplé avec un réducteur et un codeur incrémental. Le réducteur

permet dans le cadre de ce projet, de privilégier le couple aux dépens de la vitesse de rotation.

Le codeur incrémental est quant à lui, destiné à donner des informations concernant la

position angulaire et la vitesse angulaire du moteur et par conséquent du volant d’inertie

(Cette information est primordiale pour rendre le système totalement observable, Cf. chapitre

V.4.C « Observabilité »).

D’un point de vue technologique, le moteur doit avoir un rapport encombrement /

puissance mécanique cohérent et adapté aux dimensions de la maquette, mais aussi, présenter

un rendement le plus élevé possible. En outre, les principaux critères nécessaires pour le

CALCULATEUR

Inclinomètre

Variateur

Moteur/Réducteur

Codeur

Roue d’inertie



dimensionnement d’un moteur sont : la puissance mécanique, le couple maximum, le couple

moyen, la vitesse angulaire et l’accélération angulaire (ces paramètres s’entendent sur un

cycle complet de fonctionnement du moteur).

Aucune étude comparative, à proprement parler, n’a été menée pour démontrer les

avantages et inconvénients d’une technologie par rapport à une autre ; mais, d’une manière

générale, il semble acquis que les moteurs électriques à courant continu de type brushless

soient les plus aptes à satisfaire les exigences précédemment exposées.

Le constructeur de moteur électrique Suisse Maxon a été retenu pour la fourniture du

moteur de la maquette. Il propose en effet, une gamme très étendue de moteurs électriques de

faible puissance dont la qualité et la fiabilité ont été confirmées par les plus grandes

entreprises (utilisés actuellement par la NASA pour leurs rovers martiens Spirit et

Oportunity).

Référence Maxon : EC-powermax 30 – 305013 - brushless, 200 W (Cf. Webographie pour

plus de précisions)

VI.4. Variateur de vitesse

Le choix d’un variateur de vitesse est très délicat car il est fonction de nombreux

facteurs, tels que :

la technologie et la puissance électrique du moteur à commander ; les différents modes d’asservissements disponibles (position, vitesse et couple) ; les interfaces de commande (consigne analogique, consigne numérique, bus de

terrain, etc.) ;

les interfaces de configuration (liaison série, bus de terrain ou aucune) ; et, la gestion ou pas de l’aspect régénératif (1, 2 ou 4 quadrants).

A l’heure actuelle, le choix du variateur de vitesse n’est pas encore arrêté car aucune

décision, se rapportant à la définition des interfaces de communication et de commande, n’a

encore été prise. Cependant les autres facteurs dimensionnant sont parfaitement connus ; ainsi

le variateur de vitesse doit être en mesure de fournir une puissance électrique de 200W (Cf.

caractéristiques du moteur), d’asservir le moteur en couple (Cf. loi de commande) et de

fonctionner en mode 4 quadrants (essentiel pour recycler l’énergie réactive produite par le

moteur en phase de freinage).

Ce dilemme est en passe d’être résolu, grâce à la mise en place d’une stratégie visant à

comparer d’une manière pragmatique, des variateurs de vitesse se différenciant

principalement, au niveau des interfaces de configuration et de commande, mais aussi, au

niveau des modes d’asservissement. L’ensemble des références concernées sont :

Constructeur Référence Puiss Asv Qd Conf Cmd

Copley Accelus ACP-055-18 320 W V / P /C 4 RS232 A / N Copley Accelnet ACP-055-18 320 W V / P /C 4 RS232, Can/CanOpen A / N / B Fiveco FMod-IPECMOT 48/10 480 W V / P 4 Ethernet A / B Maxon DEC 70/10 700 W V / C 4 RS232, Can A / B Maxon EPOS 70/10 700 W V / P /C 4 RS232, Can/CanOpen A / B

Légende : Puiss = Puissance électrique, Asv = Asservissement, V = Vitesse, P = Position, C

= Couple, Qd = Quadrant, Conf = Interfaces de configuration, Cmd = Interfaces de

commande, A = Consigne analogique, N = Consigne numérique et B = Bus de terrain



Remarque 1 : Seuls les variateurs Copley et Fiveco ont fait ou feront l’objet d’un test.

Remarque 2 : Cf. Webographie pour plus de précisions sur les principales caractéristiques

des variateurs

VI.5. Inclinomètre

Le critère d’observabilité explicité dans le chapitre IV.4.C démontre que la mesure de

la position angulaire du pendule n’est pas obligatoire. Cette information a été également

confortée par diverses simulations. L’expérience a démontré que les conclusions induites par

le critère d’observabilité (définition de l’espace de mesure minimum) n’étaient pas

systématiquement applicables sur le système réel, et ceci, en raison de sa dynamique et des

retards de traitements inhérents à ses propres constituants (chaîne d’acquisition et de

traitement des données, mécanique, électronique, etc.). La mesure de la position angulaire du

pendule est envisagée ici, afin d’anticiper d’éventuels problèmes ayant traits à l’observabilité

du système mais aussi pour explorer une nouvelle voie technologique.

Pour respecter l’intégrité de la maquette, il est inconcevable d’incorporer un codeur

incrémental sur l’axe de rotation du pendule pour la mesure de sa position angulaire (solution

généralement utilisée pour ce type de mesure). En effet, l’axe de rotation du Tramway

Monorail RI formé par le contact roue/rail est assimilable à une liaison pivot unilatérale et

non, à une liaison pivot bilatérale (Cf. Fig. 12).

Fig. 12 : Liaison pivot

Cependant, il existe de nombreuses alternatives, comme les inclinomètres statiques

(mesure d’une position angulaire à l’aide de deux accéléromètres), les gyroscopes (mesure

d’une vitesse angulaire), ou les centrales d’attitudes (mesure de plusieurs paramètres

angulaires). Ces trois capteurs possèdent au moins l’un des inconvénients suivants : une

insensibilité aux fortes dynamiques, une fiabilité incertaine ou des calculs sujets à des

problèmes de dérive temporelle (dans le cas de faibles dynamiques). Des mesures fiables et

cohérentes, et ceci, quelles que soient les dynamiques, sont concevables en combinant un ou

plusieurs capteurs avec un calculateur (les défauts d’un capteur sont contournés par les

qualités des autres).

Le constructeur de capteur américain MicroStraim a été retenu pour la fourniture de la

centrale d’attitude. MicroStraim propose des capteurs avec un bon rapport qualité / prix /

performance. Les capteurs d’inclinaison proposés combinent au minimum deux

accéléromètres avec un gyroscope.

Référence MicroStraim : FAS-G Inclinometer (Cf. Webographie pour plus de précisions)

Sol

Rail

Liaison pivot unilatérale

Tramway Monorail RI

Liaison pivot bilatérale

Pendule Inversé RI

Roue

Pivot



VI.6. Système d’exploitation

Le temps d’exécution d’une tache et sa répétitivité sont deux contraintes fortes dans le

domaine de la commande de système. Le non respect de l’une d’elles peut avoir des

conséquences graves, aussi bien sur le système que sur son environnement direct. C’est à ce

titre, que le système d’exploitation implémenté sur le calculateur est un système temps réel

strict. Il existe une multitude de systèmes temps réel strict sur le marché. Les plus connus sont

QNX (très utilisé dans des secteurs critiques comme les télécoms, le médical, ou les

applications militaires) et VxWorks de Wind River (utilisé à de nombreuses reprises par la

NASA).

Le LIRMM utilise par habitude le sous système RTX édité par Ardence et en possède

donc les droits (RTX se substitue au noyau Microsoft Windows afin d’imposer entre autre son

gestionnaire de tâches). RTX a été retenu pour sa facilité de mise en œuvre, ses performances

mais aussi et surtout, parce qu’il a donné entière satisfaction au LIRMM sur différents projets.

Référence Ardence : RTX

VI.7. Réalisation

La réalisation de la maquette du Pendule Inversé RI n’est pas une réalité à ce jour car

la totalité de ses constituants n’est pas encore disponible. La cause principale de cette

indisponibilité est que les délais de livraison pour certains constituants peuvent aller jusqu’à

dix semaines, notamment lorsqu’il s’agit de besoins spécifiques. L’ensemble

réducteur/moteur/ codeur Maxon est précisément dans ce cas, puisqu’il s’agit d’une

combinaison de référence matérielle non disponible en stock (donc produite à la demande).

Sauf contretemps, la maquette du Pendule Inversé RI devrait être effective durant le

courant du mois d’août.



VII. AXES DE REFFLEXION

VII.1. Préambule

Le Tramway Monorail RI est un concept qui se veut hautement technologique. Il doit

être en quelque sorte le reflet du savoir-faire d’aujourd‘hui et de demain dans des domaines

aussi divers que la sécurité, le confort, le design, l’énergie, l’écologie, etc. Ce chapitre est un

condensé des réflexions menées par quelques uns des protagonistes de ce projet.

VII.2. La sécurité

Un véhicule de transport urbain est par essence un véhicule de transport de masse. Il

doit de ce fait, faire l’objet de toutes les attentions en ce qui concerne sa fiabilité. Un défaut

de fonctionnement peut avoir des conséquences désastreuses sur les passagers. La sûreté de

fonctionnement doit donc être la pierre angulaire de ce projet et ceci, pour chacun des

éléments composants le Tramway Monorail. La redondance est sans doute l’outil provenant

de la branche sûreté de fonctionnement le plus adéquat, pour répondre à ce genre de

problématique. Ainsi, en cas de panne, le système peut assurer dans le meilleur des cas une

continuité de service et dans le pire des cas son arrêt en toute sécurité. Le listing ci-après

présente de manière non exhaustive des options envisageables :

Multiplication (par deux ou par trois) et diversification des calculateurs : le calculateur est le centre névralgique du système et doit à ce titre, présenter le degré

de redondance le plus élevé ;

Multiplication des actionneurs (couple moteur + roue d’inertie) : ceci permet d’augmenter leur durée de vie en répartissant de manière homogène les charges et

contraintes mécaniques ;

Multiplication des capteurs de même nature (trois minimum) : la confrontation des mesures d’un groupe de capteurs permet de détecter la défaillance de l’un d’eux ;

Diversification des sources d’énergie : une source d’énergie auxiliaire doit pourvoir prendre le relais en cas de défaillance de la source principale ;

VII.3. Le confort et le design

Le confort des passagers demeure l’un des axes majeurs de réflexion lors du

développement d’un nouveau moyen de transport urbain. Le confort de l’usager ne peut

s’effacer devant l’exclusivité du concept, sous peine d’une mise en péril de l’exploitation

économique du réseau de transport urbain, par les agglomérations. De plus, le Tramway

Monorail RI via son image, doit être son propre promoteur quant à son usage au quotidien par

les citadins ou les touristes. Le listing ci-après présente de manière non exhaustive des

solutions envisageables :

Le design Tramway Monorail RI doit faire l’objet d’un concours afin de confronter plusieurs concepts (ce genre de défi est généralement une source

d’inspiration pour les designers) ;

L’infrastructure du réseau de transport doit être la plus intégrée possible au paysage urbain ;

Le mouvement pendulaire du tramway doit être le moins perceptible possible pour ne pas perturber l’usager. Ce phénomène pourrait être annihilé par la mise en place



d’un plateau désolidarisé de la structure du tramway (l’assiette pourra être gardée

constante en toutes circonstances).

VII.4. L’énergie

L’aspect avant-gardiste touche aussi la thématique de l’énergie nécessaire au

fonctionnement du Tramway Monorail RI et de son infrastructure. Cette thématique encadre

plus particulièrement des problématiques liées aux sources d’énergie et à son stockage. Quelle

que soit la solution envisagée, elle doit faire référence à des énergies dites renouvelables. La

pile à combustible et l’énergie solaire sont sans conteste les formes d’énergies les plus à

même de satisfaire ces exigences.

VII.5. L’écologie

Chaque matériau employé dans la conception du Tramway Monorail RI doit être

respectueux de l’environnement et avoir une forte capacité en terme de recyclage. La

politique environnementale gravitant autour de ce projet doit être pensée sur la totalité de son

cycle de vie, depuis sa conception dans les bureaux d’études jusqu’à sa mise hors circulation.



VIII. CONCLUSION

Le projet d’études et développement du Tramway Monorail stabilisé par une roue

d’inertie est à l’heure actuelle toujours dans une phase d’étude préliminaire. Cette dernière a

pour visée de démontrer la faisabilité d’un tel concept aussi bien d’un point de vue

technologique (les principes théoriques définies dans le cahier des charges sont-ils

transposables sur des systèmes réels ?) que d’un point de vue économique (coût d’installation

d’une infrastructure complète ?; taux de pénétration du marché ?). Les recherches menées tout

au long de mon stage peuvent être considérées comme l’amorce de cette étude préliminaire.

Pour rappel, l’objectif de ce stage est de développer une plateforme de tests basée sur

le modèle du Pendule Inversé RI, dans le but de valider les différents principes mis en œuvres

pour la stabilisation du Tramway Monorail RI (le stage se terminera le 18 août 2006). Sauf

invalidation du concept (toujours en phase d’évaluation), cette plateforme servira également, à

plus long terme, à étudier et à évaluer de nombreuses lois de commande stabilisante.

Pourquoi le Pendule Inversé RI ? La commande du Pendule Inversé a fait l’objet de

nombreuses études aux quatre coins du monde. La raison de cette notoriété est que la

dynamique du Pendule Inversé se rapproche de celle de systèmes plus complexes, tels que :

les avions de chasse, les fusées, les robots bipèdes, le Segway (véhicule de transport urbain),

etc. Le Pendule Inversé est donc un outil qui présente de nombreux avantages pour illustrer de

nouveaux principes de commande : ils sont pour l’essentiel d’ordre pratique (système régi par

des principes élémentaires) et d’ordre financier (faible coût de mise en œuvre).

Les simulations réalisées à ce jour sur Matlab, ont permis de valider la possibilité de

stabiliser un pendule par un actionneur du type roue d’inertie (Cf. chapitre V « techniques de

commande du Pendule Inversé RI »). Il demeure toutefois, encore deux étapes nécessaires à la

qualification du concept :

La réalisation d’une plateforme de tests pour valider le principe de stabilisation selon un aspect pratique. Une étude pratique permet parfois de mettre en évidence

des problèmes insoupçonnés. La construction de la plateforme devrait être achevée

au cours du mois d’août (Cf. chapitre VI.7 « réalisation »);

Et, la recherche de lois de commande offrant une meilleure robustesse aux incertitudes. En pratique, le tramway Monorail RI sera sujet à des variations de sa

charge utile (nombre de passagers) et de son centre de gravité, mais aussi, à des

perturbations liées à son environnement (rafale de vent). Cette p

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ETUDE DE FAISABILITE D UN TRAMWAY MONORAILchemori/Temp/Meriem_Lydia/rapport_stage...Stage de Fin d’Année - Etude de Faisabilité d’un Tramway Monorail - Page 4/38 I. CAHIER DES