Etude de la transcription de la quasi-particule dans l'espace idCal

M. BANVILLE ET P. A. SIMARD Ddpartement de Pl~ysiqne, Universitd de Sl~erbrooke, Sherbrooke, Qudbec

R e p le 29 aoClt 1969

Le problttme de la transcription de la quasi-particule dans I'espace ideal permettant de retrouver tous les termes qui contribuent en approximation QTD pour le systttme k quatre quasi-particules a BtB Btudie. Nous montrons qu'il existe une infinite de solutions vBrifiant le commutateur {a, a+} tout en permettant le calcul correct des elements matriciels de I'hamiltonien. Enfin, des solutions particulittres ne verifiant que la valeur moyenne de ce commutateur sont obtenues. Ces dernittres possttdent des propriktes d'invariance par rapport aux transformations canoniques dans I'espace ideal et, de ce fait, s'obtiennent plus facilement que les premittres.

The transcription of the quasi-particle in the ideal space has been studied in such a way that all terms in the Han~iltonian in the QTD approximation for the system of four quasi-particles can be found. It is found that an infinity of solutions exists which verify the commutator {a, a+ } while yielding correct Han~iltonian matrix elements. Finally, particular solutions which do not verify this commutator are found. Their particular invariance properties under canonical transformations make them relatively easy to obtain. Nonphysical states are eliminated by these transcriptions and all the physical states appear properly antisymmetrized.

Canadian Journal of Physics, 48, 819 (1970)

1. Introduction De nombreux auteurs se sont intCressCs durant

ces dernieres annCes aux calculs de spectroscopie nuclCaire par la mCthode des quasi-particules. Dans cette mCthode, on cherche a diagonaliser l'interaction rCsiduelle d'un modele de quasi- particules indipendantes construit par un traite- ment approprit du "pairing". On espere de cette maniere pouvoir obtenir les premiers Ctats excitCs de noyaux sphCriques possCdant une couche de valence suffisamment Ctendue pour rendre des calculs exacts pratiquement impos- sible~.

I1 est bien connu que 1'Ctude des Ctats a plusieurs quasi-particules peut se faire par la linkarisation des Cquations du mouvement (Baranger 1960). D'autre part, il est possible d'obtenir les mimes Cquations par I'introduction de bosons (Belyaev et Zelevinsky 1962). Toute- fois, ces bosons doivent itre antisymCtrisCs de maniere & vCrifier le principe de Pauli (Marumori et al. 1964). Comme ces auteurs 170nt montrC, la mCthode des bosons consiste en une transcription des quasi-particules dans l'espace idCal. Cette transcription conduit a un hamiltonien ayant la forme d'une sCrie de termes dont le premier est harmonique. I1 importe alors de rCaliser cette transcription de manitre a ne rien perdre du probleme initial.

Nous nous proposons d'Ctudier le problkme

de la transcription de la quasi-particule dans l'espace idCal de maniere a permettre le calcul des Ctats a quatre quasi-particules (ou encore, les Ctats 2 deux phonons). On sait que cette trans- cription peut se faire en nYopCrant que sur une seule quasi-particule a la fois (Simard 1969~). Nous tenterons d'obtenir ainsi, toutes les transcriptions qui rendent les ClCments matriciels de l'hamiltonien invariants dans I'espace idCal. Une maniire de traiter l'hamiltonien une fois transcrit dans l'espace ideal a CtC CtudiCe par un des auteurs pour le systeme a trois quasi-parti- cules (Simard 19693).

2. Methode des bosons

2.1 Gknkralitks L'Ctude d'un systeme plusieurs nuclCons peut

se faire d'une maniere approchCe par la mCthode des quasi-particules. I1 s'agit, essentiellement, de passer, par la transformation de Bogoliubov, A un systeme ne conservant pas le nombre de particules dont l'hamiltonien est en apparence plus compliquC que celui de dCpart. Soit ct, =

M j l m l (a1+ = ajl,,,,+) un opCrateur de destruction (crCation) d'une quasi-particule dans 1'Ctat j,m,. Dtfinissons les opCrateurs :

UI Al = Aklpl ( j~ j l ' )

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[21 B1 = Bklpl(jljl') fait que l'on utilise des optrateurs couplb. La recherche de ces dtveloppements en est rendue

= ( - l ) j~ ' -m~ ' plus difficile du fait que les optrateurs A et B comprennent des paires d'optrateurs de quasi-

m l m ~ ' particules. Nous allons tenter, dans ce qui suit, d'obtenir ces dtveloppements en obviant B la

X <jlmljl ' - ml'Ikl~1)mjl'rnl''mj1,n1 plupart des difficultts mentionntes plus haut. L'hamiltonien devient alors une somme de On y parviendra en n'optrant que sur une seule

termes comprenant les produits A'A, AA, BA, quasi-particule B la fois en utilisant des bosons A'B et B. Les quatre premiers dtcrivent l'inter- non couplts de sorte que la majeure partie de action entre les quasi-particules et le dernier notre discussion sera indtpendante de toute reprtsente l'tnergie du modkle. L'approximation reprtsentation particulikre. de Tamm-Dancoff (QTDA)' consiste B ntgliger tous les termes d'interaction sauf le premier (de 2.3 L~~~~~~~ idkal la forme A'A) puis a lintariser les equations du ~ y ~ t i l i ~ ~ ~ i ~ ~ des bosons permet d*effectuer un mouvement. I1 est aussi possible d'inclure les passage de l'espace des quasi-particules un termes de la forme AA Par l ' a~~roximat ion nouvel espace connu sous le nom d' "espace RPAZ mais ce faisant, on complique de beaucoup ideal, = 11 est de deux sous-espaces, la situation sans amtliorer suffisamment les celui des bosons et celui des fermions servant rtsultats de dtpart. 11 convient donc de se limi- dtcrire la particule &libataire des noyaux impairs ter B l'approximation QTDA car, dans ce cas, (Marumori et al. 1964; Yamamura 1965). l'ttat fondamental est I'ttat de BCS qui reprt- Considtrons en effet l'ensemble des optra- sente le vide de quasi-particule. teurs b12 = -bzl obtissant 5 la relation de 2.2 Me'thode de Belyaev et Zelevinsky commutation

Gr2ce B l'introduction de bosons, il est [31 [b123 b34+ l = 813824 - 823814 possible d'obtenir des equations semblables & celles que fournissent les techniques de lintari- Les optrateurs b dtcrivent donc des bosons. sation (Belyaev et Zelevinsky 1962). En effet, le Introduisons de plus, les o~trateurs ci vtrifiant commutateur d'un optrateur A avec un opCra- entr'eux les relations de commutation des teur A+ donne un terme constant plus un terme fermions non constant. I1 s'agit d'exprimer un optrateur 141 {ci, cj) = {ci+, cj+) = 0 A en un dtveloppement faisant intervenir des produits de bosons de manikre B vCrifier les {ci, cj+) = 8. . relatioqs de commutation des optrateurs A et B. 1J

Les optrateurs Bdoivent s'exprimer en fonction L'operateur ci (ci+) est connu sous le nom des m&mes bosons. L'hamiltonien se transforme d'optrateur de destruction (crtation) d'une alors en une strie infinie dont le premier terme quasi-particuleidtale. L'espaceidtal est engendrt est harmonique et les autres dtcrivent l'inter- par les optrateurs b et c. I1 est compost de deux action entre les bosons. sous-espaces indtpendants si ces optrateurs

Bien que cette rn6thode paraisse B vue obtissent aux relations de commutation trks attrayante, elle prtsente certains inconvt- nients strieux. I1 faut d'abord traiter correcte- 15 I [ c~ , bjk] = [ci, bjk+] = 0

ment le principe de Pauli jouant entre les quasi- Nous savons qu,il existe, dans chacun de ces particules et que l'on doit introduire dans l'espace sous-espaces, des transformations canoniques des bosons (Marumori et a[. 1964). Ensuite, lors permettant de dtfinir de nouveaux optrateurs b de 'a recherche des dCvelo~~ements des 'ptra- et c en fonction des anciens sous la forme de teurs A et B en fonction des bosons, on se voit deux stries de termes comportant des produits obligt de manipuler une albkbre compliqute du d'optrateurs b et (sirnard 1969a). N~~~ ferons

lAbrCviation pour Tamm-DancoR usage de ces transformations plus loin, B I'oc- approximation". casion de l'ttude d'une transcription particulikre

2Abreviation pour "random phase approximation". de la quasi-particule dans l'espace idtal.

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TABLEAU I

Transcriptions de la quasi-particule

1 S l 5 + --2 COS 8

1 ) J

( I + +) - : (s2s4 + sin 8)

1 1 . - - S2 + 3 ( S I ~ 8 - s2s4) J3

1 -- (s2s4 + sin 8)

6 1 3 (s2s4 - sin 0)

0

3. Passage a l'espace idCal 3.1 Transcription de la quasi-particule

Nous nous proposons maintenant d'ttudier le problkme du passage B l'espace idtal selon une mtthode introduite par l'un des auteurs (Simard 1 9 6 9 ~ ) . I1 s'agit de transcrire une seule quasi- particule B la fois, c'est-a-dire d'obtenir une relation de la forme

Portant [ 6 ] dans [ 7 ] , le membre de droite devient une strie comportant, en plus du terme constant, des termes de la forme c+c, b+b, c+cb+b, etc. ... I1 s'agit de determiner les coefficients D(ij, k ) de manikre a annuler les coefficients de tous les termes non constants de la relation [ 7 ] . Ceci fournit un systkme d'tquations quadratiques que doivent satisfaire les coefficients D(ij, k).

En se rtftrant au Tableau I nous voyons dans la colonne D, les produits d'optrateurs c et b introduits sous une forme non explicite dans la relation [ 6 ] , les indices rtpttts sont sommts sur tous les Ctats de l'espace de Hilbert. Dans la colonne A apparaissent les coefficients D(ij, k ) et en B et C, leurs valeurs numtriques. Dans ces deux dernikres colonnes nous avons utilist la notation siZ = 1 pour i = 1, 2, ... et un angle 8 indttermint donnant lieu a une infinit6 de solutions.

Nous porterons notre attention d'abord sur les solutions apparaissant 6 la colonne B. Ces

[6] a = x D ( i j , k ) ( c +... ~ ) ~ ( b + . . . b ) ~ i j k

les quantitts D(ij, k) ttant des nombres, i et j indiquent le nombre d'optrateurs c et b respective- ment et k est un indice permettant d'tnumtrer les diverses permutations d'indices. Chacun des produits d'optrateurs comporte l'exctdent d'une destruction dans l'ttat de la quasi-particule a. Les bosons b posstdant deux indices, chacun d'eux compte pour deux destructions.

Dans un premier temps, nous cherchons une relation [6 ] permettant de vtrifier le commuta- teur

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solutions vtrifient exactement le commutateur [7]. Elles ont cependant t t t soumises B des restrictions suppltmentaires de maniere B rendre la transcription utilisable dans les calculs de spectroscopie nuclbire. Voici quelles sont ces restrictions. Soit (0) le vide relativement aux bosons et aux quasi-particules idtales, nous avons alors c,10) = bijlO) = 0. En utilisant la relation [6], il suit que ailO) = 0 de sorte que 1'6tat 10) est aussi le vide relativement aux quasi-particules et, de ce fait, s'identifie B l'ttat de BCS.3

Un calcul simple B I'aide de [6] donne

On voit que la transcription d'une paire d'optra- teurs a+ peut faire apparaftre des ttats A deux quasi-particules idtales. D'autre part, nous savons que, dans les noyaux, une paire de quasi- particules se comporte comme un boson et que la particule ctlibataire d'un noyau impair est dtcrite par la quasi-particule idtale (Yamamura 1965). Les ttats B plusieurs quasi-particules idtales n'ont donc pas d'inttr&t et apparaissent comme une cattgorie d'ttats non physiques devant &tre tlimints systtmatiquement. Ceci impose des restrictions suppltmentaires dans la dttermination des coefficients D(ij, k). L'une de ces restrictions, tirte de [8], donne D(10, 1) = - D(30, 1). Nous obtenons de la m&me maniere, lors de la transcription d'un ttat B trois quasi- particules, D(31, 3) = 0. Pour un ttat & quatre quasi-p?rticules, nous trouvons deux conditions; la premiere tlimine les ttats B quatre quasi-parti- cules idtales et la seconde supprime les ttats formts d'un boson et de deux quasi-particules idtales. Toutes les tquations obtenues de la vtri- fication de [7], compte tenu des restrictions im- posies par I'tlimination des ttats non physiques, permettent encore une infinite de transcriptions de la quasi-particule dans I'espace idtal. Nous pouvons voir B la colonne B du Tableau I que les coefficients D(ij, k) laissent cinq signes ind6- pendants et un angle 0 indttermint.

Le fait d'avoir autant de solutions ne prtsente cependant pas d'inconvtnients. A I'aide de [6], les ttats deviennent

3L'Ctat de BCS pour le noyau est similaire a celui obtenu par Bardeen, Cooper et Schrieffer dans I'dtude de la supraconductivitC.

PHYSICS. VOL. 48, 1970

L'angle 0 n'apparaft pas dans [9] et les signes indtpendants sont toujours factorids. Comme nous le verrons plus loin, l'angle 0 apparait dans la transcription de l'hamiltonien mais les 616- ments matriciels de I'hamiltonien en sont indtpendants.

Nous nous proposons maintenant de dt- montrer l'existence de familles de solutions ne vtrifiant pas le commutateur [7]. Supposons en effet que nous disposons d'un dtveloppement de la forme [6] tel que la transcription du commuta- teur donne

oh S12 est un optrateur construit a l'aide des optrateurs c et b de I'espace idtal. Cherchons les formes possibles de cet optrateur telles que (a) la transcription des ttats soit identique B celle obtenue dans le premier cas, c'est-8-dire des ttats antisymktriques dans l'espace idtal et (b) la transcription de I'hamiltonien soit faite de maniere B ce que ses tltments matriciels dans I'espace idtal soient les m&mes que dans I'espace des quasi-particules.

Soit In), un ttat a n quasi-particules et E(i, j)uj+ai un opkrateur non diagonal h une particule. L'action de ce dernier optrateur sur un ttat A n + 1 quasi-particules est

On dtsire que le rtsultat [ l l ] obtenu B I'aide de [lo] soit le meme que si nous avions utilist le commutateur [7]. I1 est tvident que

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[12I Q i , n + 1 In) = 0 commutation que les opCrateurs b et c pour les

soit une condition suffisante. I1 en est de meme pour l'ophateur 9'. En continuant l'analyse, nous obtenons des conditions semblables pour les Ctats a n - 1, n - 2, ... particules. I1 est clair que ces conditions suffisent aussi dans le cas des opkrateurs B deux particules. On vCrifie aisCment que, pour le systkme a quatre quasi-particules, l'operateur 9 peut prendre la forme particulikre

[13] = R ~ ~ ~ c ~ + c ~ + c ~ c ~

+ S612(c3+b45+b45c3

- c,+b45+b34c5)

oh R est S sont des constantes arbitraires. Les indices rCpCtCs sont sommCs conformCment B la convention CnoncCe prCcCdemment. I1 est B remarquer que la forme [I31 de I'opCrateur 9 ne peut s'obtenir que si les Ctats In) sont correcte- ment antisymCtrisCs dans l'espace idCal.

La dktermination des coefficients D(ij, k) de la transcription [6] se fait en portant [6] dans le membre de gauche de [lo]. On trouve ainsi une relation entre les constantes R et S. Les solutions apparaissant ii la colonne C du Tableau I s'obtiennent pour R = -9 et S = -3. La transcription des Ctats B l'aide de ces solutions est identique B celle obtenue a l'aide des solutions vtrifiant le commutateur [7]. Ces solutions jouissent cependant de propriktes intkressantes en relation avec les transformations canoniques dans l'espace idCal. Ces transformations, intro- duites par l'un des auteurs (Simard 1969a), se lisent comme suit

[I4] b12' = b12 + Z3b34+b34b12

+ ~ ~ b ~ ~ + b ~ ~ + b ~ ~ b ~ ~ b ~ , + ... cI1 = c1 + Q3c3+c3c1

+ Q5c3+c4+c4c3cI + ... Elles sont canoniques en ce sens que les opCra- teurs b' et c' obCissent aux mCmes relations de

valeurs des coefficients Z et Q apparaissant au Tableau 11. Si l'on transforme une solution particulikre du Tableau I 5 l'aide de l'une ou l'autre ou des deux relations [14] ii la fois, on retrouve une autre solution du meme tableau. Ceci est en accord avec le fait que les bosons et les quasi-particules idkales ne sont pas uniques.

Les solutions apparaissant B la colonne C du Tableau I ont ceci de ~articulier au'elles sont transformies en elles-memes pour toutes les transformations canoniques dans le sous-espace des quasi-particules idCales. Cette propriCt6 permet d'Ctablir, entre plusieurs coefficients D(ij, k), des relations tris simples et d'en annuler plusieurs. La recherche des dCveloppements [6] nCcessitant le calcul d'un grand nombre de commutateurs, le travail en est grandement simplifik. On obtient de cette maniire, une famille particulikre de transcriptions de la quasi-particule dans l'espace idCal.

TABLEAU I1 Coefficients des transformations canoniques dans l'espace ideal

TABLEAU I11 Transcriptions dans I'espace ideal du produit

d'optrateurs az+al

3.2 Transcription de l'hamiltonien I1 suffit, pour transcrire l'hamiltonien dans l'espace idCal, de connaitre les dCveloppements des

deux produits dYopCrateurs u+u et uci en fonction des opkrateurs b et c. On trouvera les dkveloppe- ments de ci+a aux colonnes B et C du Tableau 111. Ces dCveloppements correspondent aux dCvelop- pements de la quasi-particule aux colonnes B et C du Tableau I. Les paramitres B la colonne A identifient les coefficients des produits dYopCrateurs a la colonne D.

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Le dCveloppement du produit

correspond au dCveloppement 2 la colonne B du Tableau I pour un angle 0 arbitraire, et au dCvelop- pement a la colonne C si nous posons cos 0 = 0.

I1 est facile de vCrifier que les ClCments matriciels de 170pCrateur Cnergie dans les Ctats physiques [ 9 ] sont les memes, que le calcul soit fait avec les opCrateurs or, ou avec leurs dkveloppements en termes de b et c. Par exemple, dans 1'Ctat a quatre quasi-particules

I1 est Cvident que nous avons ici la somme des Cnergies de quatre quasi-particules indkpendantes pour I'un ou l'autre des dCveloppements du Tableau 111.

I1 en est de meme pour les ClCments matriciels de 1 'interaction, de sorte que la transcription dans I'espace idCal laisse l'hamiltonien invariant. On trouve que

[17] or4+or3+orlor2 = b4,+bZl - $c5+b43+b21c5 + + c 5 f b 4 3 f b 1 5 c 2 + + ~ , ~ b ~ ~ + b , , c ~

+ 3.c4+b35+b21c5 + i ic3+b54+b21c5 + .?c3+b54+b5,c1 + ? j ~ 3 ~ b ~ ~ + b ~ ~ ~ ~

+ + ~ ~ ~ b ~ ~ + b ~ ~ ~ ~ + 4c4+ b 3 5 f b l5c2 + {-(I - ?j COS' 0)(b34+ b56+ b56bZ1

+ b34fb56fb6 ,b15 + b36fb54fb65b12) + $(I + O)(b35+b64+ bz6b51

- b35fb64+b52b16)

avec un angle 0 arbitraire pour le dCveloppement B et cos 0 = 0 pour le dCveloppement C. Enfin

+ + S l S 2 + [18] or4+or3 or2 or1 = --- ( c , b3,+c1 + c3+b4,+ c1 + c4+ b Z 3 + c 1 ) JT

S S S or4+or3+or2+orl + = ------- I

(b12+b34f + b23+b14+ + b 3 I f b z 4 + )

La transcription de l'hamiltonien sera complCtCe dans 1'Appendice en exprimant les termes de I'hamiltonien A f A , BA, A + B et B en fonction d'opkrateurs similaires, dCfinis dans I'espace idCal.

4. Conclusions

Introduite depuis plusieurs anntes dija, la mkthode des bosons a Ctk par la suite CtudiCe par plusieurs auteurs. I1 semblait que cette mCthode ne donnait pas de bons rksultats, mais il s'est avkrk par l a suite que le probleme du passage B l'espace idCal devait Stre Ctudik avec beaucoup de soin. Dans le prksent travail, nous avons examink ce probleme de maniere B permettre le traitement du systkme h quatre quasi-particules, c'est-a-dire de deux phonons, et, a fortiori, le traitement des systkmes B trois, deux ou une quasi-particules.

I1 ressort du prksent expos6 que le passage 2 l'espace idCal possede une infinit6 de solutions de

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sorte que la transcription de I'hamiltonien donne une strie de termes posstdant au moins un param- etre indttermint. Les tltments matriciels de l'hamiltonien n'en sont cependant pas affectts et les Ctats correctement antisymttrists en sont indtpendants. I1 ressort de plus que pour effectuer le passage ii l'espace idtal, il n'est pas ntcessaire de verifier les commutateurs des optrateurs dtcrivant les quasi-particules. Ce rtsultat est remarquable en ce sens qu'il permet plus de libertt dans la trans- cription de la quasi-particule dans l'espace idtal.

De plus, I'ttude prtctdente ayant t t t menee a I'aide d'optrateurs non couplCs, par constquent in- dtpendamment de toute reprtsentation particuliire, on tvite les complications inhtrentes l'alg2bre de Racah ce qui est une simplification importante dans ce type de probleme.

Appendice

Dtfinissons dans l'espace idtal, des optrateurs A et B similaires aux optrateurs A et B de l'espace de la quasi-particule [ l ] et [2],

Le rtsultat de la substitution des dtveloppements du Tableau I11 et des tqs. [17], [I81 et [I91 sera tcrit en utilisant la notation de Belyaev et Zelevinsky

o~ la quantitt W( ...) est un coefficient de Racah. L'optrateur B se transcrit par la relation

et les optrateurs de l'interaction deviennent

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BARANGER, M. 1960. Phys. Rev. 120, 957. SIMARD, P. A. 1969a. Can. J. Phys. 47, 103. BELYAEV, S. T. et ZELEVINSKY, V. G . 1962. Nucl. Phys. - 19696. Can. J. Phys. 47, 2645.

39, 582. YAMAMURA, M. 1965. Progr. Theoret. Phys. (Kyoto), MARUMORI, T., YAMAMURA, M. et TOKUNAGA, A. 1964. 33, 199.

Progr. Theoret. Phys. (Kyoto), 31, 1009.

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